Наиболее простым способом обобщения статистического материала является построение рядов. Результатом сводки статистического исследования могут быть ряды распределения.

После определения группировочного признака, количества групп и интервалов группировки данные сводки и группировки представляются в виде рядов распределения и оформляются в виде статистических таблиц.

Ряд распределния является одним из видов группировок.

Рядом распределения в статистике называется упорядоченное распределение единиц совокупности на группы по какому-либо одному признаку: по качественному или количественному.

1. Виды рядов распределения

В зависимости от признака, положенного в основу образования ряда распределения различают атрибутивные и вариационные ряды распределения:

атрибутивными называют ряды распределения, построенные по качественными признакам;

вариационными называют ряды распределения, построенные в порядке возрастания или убывания значений количественного признака.

Вариационный ряд распределения состоит из двух столбцов. В первом столбце приводятся количественные значения варьирующегося признака, которые называются вариантами и обозначаются. Дискретная варианта - выражается целым числом. Интервальная варианта находится в пределах от и до. В зависимости от типа варианты можно построить дискретный или интервальный вариационный ряд. Во втором столбце содержится количество конкретных вариант, выраженное через частоты или частости:

частоты - это абсолютные числа, показывающие столько раз в совокупности встречается данное значение признака; сумма всех частот должна быть равна численности единиц всей совокупности;

частости - это частоты выраженные в процентах к итогу; сумма всех частостей выраженных в процентах должна быть равна 100% в долях единице.

Вариационный ряд характеризуется двумя элементами: вариантой (Х) и частотой (f). Варианта – это отдельное значение признака отдельной единицы или группы совокупности. Число, показывающее, сколько раз встречается то или иное значение признака, называется частотой. Если частота выражена относительным числом, то она называется частостью.

Вариационный ряд может быть:

интервальным, когда определены границы «от» и «до», интервальные ряды распределения можно представить графически в виде гистограммы;

дискретным, когда изучаемый признак характеризуется определенным числом.

1. Графическое изображение рядов распределения

Наглядно ряды распределения представляются при помощи графических изображений.

Ряды распределения изображаются в виде:

полигона;

гистограммы;

кумуляты;

При построении полигона на горизонтальной оси (ось абсцисс) откладывают значения варьирующего признака, а на вертикальной оси (ось ординат) - частоты или частости.

Для построения гистограммы по оси абсцисс указывают значения границ интервалов и на их основании строят прямоугольники, высота которых пропорциональна частотам (или частостям).

Распределение признака в вариационном ряду по накопленным частотам (частостям) изображается с помощью кумуляты.

Кумулята или кумулятивная кривая в отличие от полигона строится по накопленным частотам или частостям. При этом на оси абсцисс помещают значения признака, а на оси ординат - накопленные частоты или частости.

Огива строится аналогично кумуляте с той лишь разницей, что накопленные частоты помещают на оси абсцисс, а значения признака - на оси ординат.

Разновидностью кумуляты является кривая концентрации или график Лоренца. Для построения кривой концентрации на обе оси прямоугольной системы координат наносится масштабная шкала в процентах от 0 до 100. При этом на оси абсцисс указывают накопленные частости, а на оси ординат - накопленные значения доли (в процентах) по объему признака.

Описание изменений варьирующего признака осуществляется с помощью рядов распределения.

Статистический ряд распределения - это упорядоченное распределение единиц статистической совокупности на отдельные группы по определенному варьирующему признаку.

Статистические ряды, построенные по качественному признаку называют атрибутивными . Если в основе ряда распределения лежит количественный признак, то ряд является вариационным .

В свою очередь вариационные ряды делят на дискретные и интервальные. В основе дискретного ряда распределения лежит дискретный (прерывный) признак, принимающий конкретные числовые значения (число правонарушений, число обращений граждан за юридической помощью). Интервальный ряд распределения строится на основе непрерывного признака, который может принимать любые значения из заданного диапазона (возраст осужденного, срок лишения свободы и т.д.)

Любой статистический ряд распределения содержит два обязательных элемента – варианты ряда и частоты. Варианты (x i ) – отдельные значения признака, которые он принимает в ряду распределения. Частоты (f i ) – это числовые значения, показывающие сколько раз встречаются те или иные варианты в ряду распределения. Сумма всех частот называется объемом совокупности.

Частоты, выраженные в относительных единицах (долях или процентах) называются частостями (w i ). Сумма частостей равна единице, если Частости выражены в долях единицы, или 100, если они выражаются в процентах. Использование частостей позволяет производить сравнение вариационных рядов с разным объемом совокупности. Частости определяются по следующей формуле:

Для построения дискретного ряда ранжируются все встречающиеся в ряду индивидуальные значения признака, а затем подсчитываются частоты повторений каждого значения. Оформляется ряд распределения в идее таблицы, состоящей из двух строк и столбцов, в одной из которых приводятся значения вариантов ряда x i , во второй – значения частот f i .

Рассмотрим пример построения дискретного вариационного ряда.

Пример 3.1 . По данным УМВД зарегистрировано преступлений, совершенных в городе N несовершеннолетними в возрасте.

17 13 15 16 17 15 15 14 16 13 14 17 14 15 15 16 16 15 14 15 15 14 16 16 14 17 16 15 16 15 13 15 15 13 15 14 15 13 17 14.

Построить дискретный ряд распределения.

Решение .

Сначала необходимо проранжировать данные о возрасте несовершеннолетних, т.е. записать их в порядке возрастания.

13 13 13 13 13 14 14 14 14 14 14 14 14 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 16 16 16 16 16 16 16 16 17 17 17 17 17

Таблица 3.1

Таким образом, частоты отображают количество человек данного возраста, например, 5 человек имеют возраст 13 лет, 8 человек – 14 лет, и т.д.

Построение интервальных рядов распределения осуществляют аналогично выполнению равноинтервальной группировки по количественному признаку, то есть вначале определяют оптимальное число групп, на которые будет разбита совокупность, устанавливаются границы интервалов по группам и подсчитываются частоты.

Проиллюстрируем построение интервального ряда распределения на следующем примере.

Пример 3.2 .

Построить интервальный ряд по следующей статистической совокупности – заработной плате юриста в конторе, тыс. руб.:

16,0 22,2 25,1 24,3 30,5 32,0 17,0 23,0 19,8 27,5 22,0 18,9 31,0 21,5 26,0 27,4

Решение.

Примем оптимальное количество групп равноинтервальной группировки для данной статистической совокупности, равное 4 (у нас 16 вариантов). Следовательно, численность каждой группы равна:

а величина каждого интервала будет равна:

Границы интервалов определяем по формулам:

,

где - соответственно нижняя и верхняя границы i-го интервала.

Опуская промежуточные вычисления границ интервалов, заносим их значения (варианты) и количество юристов (частоты), имеющих з/п в пределах каждого интервала, в таблицу 3.2, которая и иллюстрирует полученный интервальный ряд.

Таблица 3.2

Анализ статистических рядов распределения может производиться с использованием графического метода. Графическое представление рядов распределения позволяет наглядно проиллюстрировать закономерности распределения исследуемой совокупности путем ее изображения в виде полигона, гистограммы и кумуляты. Остановимся на каждом из перечисленных графиков.

Полигон – ломаная, отрезки которой соединяют точки с координатами (x i ;f i ). Обычно полигон используют для изображения дискретных рядов распределения. Для его построения на оси абсцисс откладывают ранжированные индивидуальные значения признака x i , на оси ординат – соответствующие этим значениям частоты. В результате, соединив отрезками точки, соответствующие данным, отмеченным по осям абсцисс и ординат, получают ломаную, называемую полигоном. Приведем пример построения полигона частот.

Для иллюстрации построения полигона возьмем результат решения примера 3.1 на построение дискретного ряда – рисунок 1. По оси абсцисс отложен возраст осужденных, по оси ординат – количество несовершеннолетних осужденных, имеющих данный возраст. Анализируя данный полигон, можно сказать, что наибольшее количество осужденных – 14 человек, имеют возраст 15 лет.

Рисунок 3.1 – Полигон частот дискретного ряда.

Полигон можно построить и для интервального ряда, в этом случае по оси абсцисс откладывают середины интервалов, а по оси ординат – соответствующие им частоты.

Гистограмма – ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников, основаниями которых служат интервалы значения признака, а высоты равны соответствующим частотам. Гистограмма применяется только для изображения интервальных рядов распределения. Если интервалы являются неравными, то для построения гистограммы на оси ординат откладывают не частоты, а отношение частоты к ширине соответствующего интервала. Гистограмму можно преобразовать в полигон распределения, если середины ее столбиков соединить между собой отрезками.

Для иллюстрации построения гистограммы возьмем результаты построения интервального ряда из примера 3.2– рисунок 3.2.

Рисунок 3.2 – Гистограмма распределения заработной платы юристов.

Для графического изображения вариационных рядов также используют кумуляту. Кумулята – кривая, изображающая ряд накопленных частот и соединяющая точки с координатами (x i ;f i нак ). Накопленные частоты вычисляются последовательным суммированием всех частот ряда распределения и показывают число единиц совокупности, имеющих значение признака не больше, чем указанное. Проиллюстрируем вычисление накопленных частот для вариационного интервального ряда, представленного в примере 3.2 – таблица 3.3.

Таблица 3.3

Для построения кумуляты дискретного ряда распределения по оси абсцисс откладывают ранжированные индивидуальные значения признака, а по оси ординат – соответствующие им накопленные частоты. При построении кумулятивной кривой интервального ряда первая точка будет иметь абсциссу, равную нижней границе первого интервала, а ординату, равную 0. Все последующие точки должны соответствовать верхним граница интервалов. Построим кумуляту, используя данные таблицы 3.3 – рисунок 3.3.

Рисунок 3.3 – Кумулятивная кривая распределения заработной платы юристов.

Контрольные вопросы

1. Понятие статистического ряда распределения, его основные элементы.

2. Виды статистических рядов распределения. Их краткая характеристика.

3. Дискретные и интервальные ряды распределения.

4. Методика построения дискретных рядов распределения.

5. Методика построения интервальных рядов распределения.

6. Графическое изображение дискретных рядов распределения.

7. Графическое изображение интервальных рядов распределения.

Задачи

Задача 1 . Имеются следующие данные об успеваемости 25 студен­тов группы по ТГП в сессию: 5, 4, 4, 4, 3, 2, 5, 3, 4, 4, 4, 3, 2, 5, 2, 5, 5, 2, 3, 3, 5, 4, 2, 3, 3. Постройте дискретный вариационный ряд распределения студентов по баллам оценок, получен­ных в сессию. Для полученного ряда рассчитайте Частости, накопленные Частости, накопленные частоты. Сделайте выводы.

Задача 2 . В колонии содержатся 1000 осужденных, их распределение по возрасту представлено в таблице:

Изобразите данный ряд графически. Сделайте выводы.

Задача 3 . Имеются следующие данные о сроках лишения свободы заключенных:

5; 4; 2; 1; 6; 3; 4; 3; 2; 2; 3; 1; 17; 6; 2; 8; 5; 11; 9; 3; 5; 6; 4; 3; 10; 5; 25; 1; 12; 3; 3; 4; 9; 6; 5; 3; 4; 3; 5; 12; 4; 13; 2; 4; 6; 4; 14; 3; 11; 5; 4; 13; 2; 4; 6; 4; 14; 3; 11; 5; 4; 3; 12; 6.

Постройте интервальный ряд распределения заключенных по срокам лишения свободы. Сделайте выводы.

Задача 4 . Имеются следующие данные о распределении осужденных в области за изучаемый период по возрастным группам:

Изобразите данный ряд графически, сделайте выводы.

При построении интервального ряда распределения решаются три вопроса:

• 1. Сколько надо взять интервалов?
• 2. Какова длина интервалов?
• 3. Каков порядок включения единиц совокупности в границы интервалов?
• 1. Количество интервалов можно определить по формуле Стер- джесса :

2. Длина интервала, или шаг интервала , обычно определяется по формуле

где R - размах вариации.

3. Порядок включения единиц совокупности в границы интервала

может быть разным, но при построении интервального ряда распределения обязательно строго определен.

Например, такой: [), при котором единицы совокупности в нижние границы включаются, а в верхние - не включаются, а переносятся в следующий интервал. Исключение в этом правиле составляет последний интервал , верхняя граница которого включает последнее число ранжированного ряда.

Границы интервалов бывают:

• закрытые - с двумя крайними значениями признака;
• открытые - с одним крайним значением признака (до такого-то числа или свыше такого-то числа).

С целью усвоения теоретического материала введем исходную информацию для решения сквозной задачи.

Имеются условные данные по среднесписочной численности менеджеров по продажам, количеству проданного ими однокачественного товара, индивидуальной рыночной цене на этот товар, а также объему продаж 30 фирм в одном из регионов РФ в I квартале отчетного года (табл. 2.1).

Таблица 2.1

Исходная информация для сквозной задачи

	Численность менеджеров,		Цена, тыс. руб.	Объем продаж, млн руб.

	Численность менеджеров,	Количество проданного товара, шт.	Цена, тыс. руб.	Объем продаж, млн руб.

На базе исходной информации, а также дополнительной сделаем постановку отдельных заданий. Затем представим методику их решения и сами решения.

Сквозная задача. Задание 2.1

Используя исходные данные табл. 2.1, требуется построить дискретный ряд распределения фирм по количеству проданного товара (табл. 2.2).

Решение:

Таблица 2.2

Дискретный ряд распределения фирм по количеству проданного товара в одном из регионов РФ в I квартале отчетного года

Сквозная задача. Задание 2.2

требуется построить ранжированный ряд 30 фирм по среднесписочной численности менеджеров.

Решение:

15; 17; 18; 20; 20; 20; 22; 22; 24; 25; 25; 25; 27; 27; 27; 28; 29; 30; 32; 32; 33; 33; 33; 34; 35; 35; 38; 39; 39; 45.

Сквозная задача. Задание 2.3

Используя исходные данные табл. 2.1, требуется:

• 1. Построить интервальный ряд распределения фирм по численности менеджеров.
• 2. Рассчитать частости ряда распределения фирм.
• 3. Сделать выводы.

Решение:

Рассчитаем по формуле Стерджесса (2.5) количество интервалов :

Таким образом, берем 6 интервалов (групп).

Длину интервала , или шаг интервала , рассчитаем по формуле

Примечание. Порядок включения единиц совокупности в границы интервала такой: I), при котором единицы совокупности в нижние границы включаются, а в верхние - не включаются, а переносятся в следующий интервал. Исключение в этом правиле составляет последний интервал I ], верхняя граница которого включает последнее число ранжированного ряда.

Строим интервальный ряд (табл. 2.3).

Интервальный ряд распределения фирм но среднесписочной численности менеджеров в одном из регионов РФ в I квартале отчетного года

Вывод. Наиболее многочисленной группой фирм является группа со среднесписочной численностью менеджеров 25- 30 человек, которая включает 8 фирм (27%); в самую малочисленную группу со среднесписочной численностью менеджеров 40-45 человек входит всего одна фирма (3%).

Используя исходные данные табл. 2.1, а также интервальный ряд распределения фирм по численности менеджеров (табл. 2.3), требуется построить аналитическую группировку зависимости между численностью менеджеров и объемом продаж фирм и на основании ее сделать вывод о наличии (или отсутствии) связи между указанными признаками.

Решение:

Аналитическая группировка строится по факторному признаку. В нашей задаче факторным признаком (х) является численность менеджеров, а результативным признаком (у) - объем продаж (табл. 2.4).

Построим теперь аналитическую группировку (табл. 2.5).

Вывод. На основании данных построенной аналитической группировки можно сказать, что с увеличением численности менеджеров по продажам средний в группе объем продаж фирмы также увеличивается, что свидетельствует о наличии прямой связи между указанными признаками.

Таблица 2.4

Вспомогательная таблица для построения аналитической группировки

	Численность менеджеров, чел.,	Номер фирмы	Объем продаж, млн руб., у
			» = 59 f = 9,97
			Я-™ 4 - Ю.22
			74 ’25 1ПЙ1 У4 = 7 = 10,61

			у = ’ =10,31 30

Таблица 2.5

Зависимость объемов продаж от численности менеджеров фирм в одном из регионов РФ в I квартале отчетного года

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

• 1. В чем суть статистического наблюдения?
• 2. Назовите этапы статистического наблюдения.
• 3. Каковы организационные формы статистического наблюдения?
• 4. Назовите виды статистического наблюдения.
• 5. Что такое статистическая сводка?
• 6. Назовите виды статистических сводок.
• 7. Что такое статистическая группировка?
• 8. Назовите виды статистических группировок.
• 9. Что такое ряд распределения?
• 10. Назовите конструктивные элементы ряда распределения.
• 11. Каков порядок построения ряда распределения?

Если изучаемая случайная величина является непрерывной, то ранжирование и группировка наблюдаемых значений зачастую не позволяют выделить характерные черты варьирования ее значений. Это объясняется тем, что отдельные значения случайной величины могут как угодно мало отличаться друг от друга и поэтому в совокупности наблюдаемых данных одинаковые значения величины могут встречаться редко, а частоты вариантов мало отличаются друг от друга.

Нецелесообразно также построение дискретного ряда для дискретной случайной величины, число возможных значений которой велико. В подобных случаях следует строить интервальный вариационный ряд распределения.

Для построения такого ряда весь интервал варьирования наблюдаемых значений случайной величины разбивают на ряд частичных интервалов и подсчитывают частоту попадания значений величины в каждый частичный интервал.

Интервальным вариационным рядом называют упорядоченную совокупность интервалов варьирования значений случайной величины с соответствующими частотами или относительными частотами попаданий в каждый из них значений величины.

Для построения интервального ряда необходимо:

1. определить величину частичных интервалов;
2. определить ширину интервалов;
3. установить для каждого интервала его верхнюю и нижнюю границы ;
4. сгруппировать результаты наблюдении.

1 . Вопрос о выборе числа и ширины интервалов группировки приходится решать в каждом конкретном случае исходя из целей исследования, объема выборки и степени варьирования признака в выборке.

Приблизительно число интервалов k можно оценить исходя только из объема выборки n одним из следующих способов:

• по формуле Стержеса : k = 1 + 3,32·lg n ;
• с помощью таблицы 1.

Таблица 1

2 . Обычно предпочтительны интервалы одинаковой ширины. Для определения ширины интервалов h вычисляют:

• размах варьирования R - значений выборки: R = x max - x min ,

где x max и x min - максимальная и минимальная варианты выборки;

• ширину каждого из интервалов h определяют по следующей формуле: h = R/k .

3 . Нижняя граница первого интервала x h1 выбирается так, чтобы минимальная варианта выборки x min попадала примерно в середину этого интервала: x h1 = x min - 0,5·h .

Промежуточные интервалы получают прибавляя к концу предыдущего интервала длину частичного интервала h :

x hi = x hi-1 +h .

Построение шкалы интервалов на основе вычисления границ интервалов продолжается до тех пор, пока величина x hi удовлетворяет соотношению:

x hi < x max + 0,5·h .

4 . В соответствии со шкалой интервалов производится группирование значений признака - для каждого частичного интервала вычисляется сумма частот n i вариант, попавших в i -й интервал. При этом в интервал включают значения случайной величины, большие или равные нижней границе и меньшие верхней границы интервала.

Полигон и гистограмма

Для наглядности строят различные графики статистического распределения.

По данным дискретного вариационного ряда строят полигон частот или относительных частот.

Полигоном частот x 1 ; n 1 ), (x 2 ; n 2 ), ..., (x k ; n k ). Для построения полигона частот на оси абсцисс откладывают варианты x i , а на оси ординат - соответствующие им частоты n i . Точки (x i ; n i ) соединяют отрезками прямых и получают полигон частот (Рис. 1).

Полигоном относительных частот называют ломанную, отрезки которой соединяют точки (x 1 ; W 1 ), (x 2 ; W 2 ), ..., (x k ; W k ). Для построения полигона относительных частот на оси абсцисс откладывают варианты x i , а на оси ординат - соответствующие им относительные частоты W i . Точки (x i ; W i ) соединяют отрезками прямых и получают полигон относительных частот.

В случае непрерывного признака целесообразно строить гистограмму .

Гистограммой частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиной h , а высоты равны отношению n i / h (плотность частоты).

Для построения гистограммы частот на оси абсцисс откладывают частичные интервалы, а над ними проводят отрезки, параллельные оси абсцисс на расстоянии n i / h .

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

ЗАДАЧА 1

Имеются следующие данные о заработной плате работников на предприятии:

Таблица 1.1

	Размер заработной платы в усл. ден. ед.

Требуется построить интервальный ряд распределения, по которому найти;

1) среднюю заработную плату;

2) среднее линейное отклонение;

4) среднее квадратическое отклонение;

5) размах вариации;

6) коэффициент осцилляции;

7) линейный коэффициент вариации;

8) простой коэффициент вариации;

10) медиану;

11) коэффициент асимметрии;

12) показатель асимметрии Пирсона;

13) коэффициент эксцесса.

Решение

Как известно, варианты (значения признано) расположены в порядке возрастания образуют дискретный вариационный ряд. При большом числе вариант (больше 10) даже в случае дискретной вариации строятся интервальные ряды.

Если составляется интервальный ряд с ровными интервалами, то размах вариации делится на указанное число интервалов. При этом, если полученное значение целое и однозначное (что бывает редко), то длина интервала принимается равной этому числу. В остальных случаях производится округление обязательно в сторону увеличения, так чтобы последняя оставляемая цифра была чётной. Очевидно, с увеличением длины интервала расширяется размах вариации на величину, равной произведению числа интервалов: на разность расчетной и первоначальной длины интервала

а) Если величина расширения размаха вариации незначительна, то ее либо прибавляют к наибольшему либо вычитают из наименьшего значения признака;

б) Если величина расширения размаха вариации ощутима, то, чтобы не произошло смешения центра размаха, ее примерно делят пополам одновременно прибавляя к наибольшему и вычитая из наименьшего значений признака.

Если составляется интервальный ряд с неравными интервалами, то процесс упрощается, но по-прежнему длина интервалов должна выражаться числом с последней чётной цифрой, что значительно упрощает последующие расчёты числовых характеристик.

30 - объем выборки.

Составим интервальный ряд распределения, используя формулу Стерджеса:

K = 1 + 3.32*lg n,

K - число групп;

K = 1 + 3.32*lg 30 = 5,91=6

Находим размах признака - заработная плата работников на предприятии - (х) по формуле

R= xmaх - xmin и делим на 6; R= 195-112=83

Тогда длина интервала будет l пер=83:6=13.83

Началом первого интервала будет 112. Прибавляя к 112 l рас=13,83, получим его конечное значение 125,83, которое одновременно является началом второго интервала и т.д. конец пятого интервала - 195.

При нахождении частот следует руководствоваться правилом: «если значение признака совпадает с границей внутреннего интервала, то его следует относить к предыдущему интервалу».

Получим интервальный ряд частот и накопительных частот.

Таблица 1.2

Следовательно, 3 работника имеют зар. плату от 112 до 125,83 усл.ден.ед. Наибольшая зар. плата от 181,15 до 195 усл.ден.ед. только у 6-ті работников.

Для расчёта числовых характеристик интервальный ряд преобразуем в дискретный, взяв в качестве вариант середины интервалов:

Таблица 1.3

							14131,83

По формуле взвешенного среднего арифметического

усл.ден.ед.

Среднее линейное отклонение:

где xi - значение изучаемого признака у i-той единицы совокупности,

Средняя величина изучаемого признака.

Размещено на http://www.allbest.ru/

LРазмещено на http://www.allbest.ru/

Усл.ден.ед.

Среднее квадратическое отклонение:

Дисперсия:

Относительный размах вариации (коэффициент осцилляции): с= R:,

Относительное линейное отклонение: q = L:

Коэффициент вариации: V = у:

Коэффициент осцилляции показывает относительную колеблемость крайних значений признака около среднего арифметического, а коэффициент вариации характеризует степень и однородности совокупности.

с= R: = 83 / 159,485*100% = 52,043%

Таким образом, разница между крайними значениями на 5,16% (=94,84%-100%) меньше среднего значения заработной платы работников на предприятии.

q = L: = 17,765/ 159,485*100% =11,139 %

V = у: = 21,704/ 159,485*100% = 13,609%

Коэффициент вариации меньше 33%, что говорит о слабой вариации заработной платы работников на предприятии, т.е. о том, что средняя величина является типической характеристикой заработной плате работников (совокупность однородная).

В интервальных рядах распределения мода определяется по формуле -

Частота модального интервала, т. е. интервала, содержащего наибольшее число вариант;

Частота интервала, предшествующего модальному;

Частота интервала, следующего за модальным;

Длина модального интервала;

Нижняя граница модального интервала.

Для определения медианы в интервальном ряду воспользуемся формулой

где - кумулятивная (накопленная) частота интервала, предшествующего медианному;

Нижняя граница медианного интервала;

Частота медианного интервала;

Длина медианного интервала.

Медианный интервал - интервал, накопленная частота которого (=3+3+5+7) превышает половину суммы частот - (153,49; 167,32).

Рассчитаем асимметрию и эксцесс для чего составим новую рабочую таблицу:

Таблица 1.4

Фактические данные	Расчетные данные

Рассчитаем момент третьего порядка

Следовательно, асимметрия равна

Так как 0,3553 0,25, то асимметрия признается значительной.

Рассчитаем момент четвертого порядка

Следовательно, эксцесс равен

Так как < 0, то эксцесс является плосковершинным.

Степень асимметрии может быть определена с помощью коэффициента асимметрии Пирсона (Аs): осцилляция выборка стоимость товарооборот

где -- средняя арифметическая ряда распределения; -- мода; -- среднее квадратическое отклонение.

При симметричном (нормальном) распределении = Мо, следовательно, коэффициент асимметрии равен нулю. Если Аs > 0, то больше моды, следовательно, имеется правосторонняя асимметрия.

Если As < 0, то меньше моды, следовательно, имеется левосторонняя асимметрия. Коэффициент асимметрии может изменяться от -3 до +3.

Распределение не является симметричным, а имеет левостороннюю асимметрию.

ЗАДАЧА 2

Какова должна быть численность выборки, чтобы с вероятностью 0,954 ошибка выборки не превышала 0,04, если на основе предыдущих обследований известно, что дисперсия равна 0,24?

Решение

Объем выборки при бесповторном отборе рассчитывается по формуле:

t - коэффициент доверия (при вероятности 0,954 он равен 2,0; определяется по таблицам интегралов вероятности),

у2=0,24 - среднее квадратическое отклонение;

10000 чел. - численность выборки;

Дх =0,04 - предельная ошибка выборочной средней.

С вероятностью 95,4% можно утверждать, что численность выборки, обеспечивающая относительную погрешность не более 0,04, должна составлять не менее 566 семей.

ЗАДАЧА 3

Имеются следующие данные о доходах от основной деятельности предприятия, млн. руб.

Для анализа ряда динамики определите следующие показатели:

1) цепные и базисные:

Абсолютные приросты;

Темпы роста;

Темпы прироста;

2) средний

Уровень ряда динамики;

Абсолютный прирост;

Темп роста;

Темп прироста;

3) абсолютное значение 1% прироста.

Решение

1. Абсолютный прирост (Д у) - это разность между последующим уровнем ряда и предыдущим (или базисным):

цепной: Ду = уi - yi-1,

базисный: Ду = уi - y0,

уi - уровень ряда,

i - номер уровня ряда,

y0 - уровень базисного года.

2. Темп роста (Ту) - это отношение последующего уровня ряда и предыдущего (или базисного 2001 г.):

цепной: Ту = ;

базисный: Ту =

3. Темп прироста (Т Д ) - это отношение абсолютного прироста к предыдущему уровню, выраженное в %.

цепной: Ту = ;

базисный: Ту =

4. Абсолютное значение 1% прироста (А) - это отношение цепного абсолютного прироста к темпу прироста, выраженному в %.

А =

Средний уровень ряда рассчитывается по формуле средней арифметической.

Средний уровень доходов от основной деятельности за 4 года:

Средний абсолютный прирост рассчитывается по формуле:

где n - число уровней ряда.

В среднем за год доходы от основной деятельности выросли на 3,333 млн. руб.

Среднегодовой темп роста рассчитывается по формуле средней геометрической:

уn - конечный уровень ряда,

у0 - начальный уровень ряда.

Ту = 100% = 102,174 %

Среднегодовой темп прироста рассчитывается по формуле:

Т? = Ту - 100% = 102,74% - 100% = 2,74%.

Таким образом, в среднем за год доходы от основной деятельности предприятия увеличивались на 2,74%.

ЗАДАЧ А 4

Вычислить:

1. Индивидуальные индексы цен;

2. Общий индекс товарооборота;

3. Агрегатный индекс цен;

4. Агрегатный индекс физического объема продажи товаров;

5. Абсолютный прирост стоимости товарооборота и разложите по факторам (за счет изменения цен и количества проданных товаров);

6. Сделать краткие выводы по всем полученным показателям.

Решение

1. По условию, индивидуальные индексы цен по изделиям А, Б, В составили -

iрA=1.20; iрБ=1,15; iрВ=1.00.

2. Общий индекс товарооборота рассчитаем по формуле:

I w = = 1470/1045*100% = 140,67 %

Товарооборот вырос на 40,67 % (140,67%-100%).

В среднем цены на товары выросли на 10,24%.

Сумма дополнительных расходов покупателей от роста цен:

w(p) = ? p1q1 - ? p0q1 = 1470 - 1333,478= 136,522 млн. руб.

В результате роста цен покупателям пришлось дополнительно израсходовать 136,522 млн. руб.

4. Общий индекс физического объема товарооборота:

Физический объем товарооборота вырос на 27,61 %.

5. Определим общее изменение товарооборота во втором периоде по сравнению с первым периодом:

w = 1470- 1045 = 425 млн.руб.

за счет изменения цен:

W(р) = 1470 - 1333,478 = 136,522 млн. руб.

за счет изменения физического объема:

w(q) = 1333,478 - 1045= 288,478 млн. руб.

Товарооборот товаров увеличился на 40,67%. Цены в среднем по 3-м товарам выросли на 10,24%. Физический объем товарооборота увеличился на 27,61%.

В целом объем реализации увеличился на 425 млн.руб., в том числе за счет роста цен он вырос на 136,522 млн. руб., а за счет увеличения объемов продаж - на 288,478 млн. руб.

ЗАДАЧА 5

По 10 заводам одной отрасли имеются следующие данные.

№ завода	Выпуск продукции, тыс. шт. (Х)

На основе приведенных данных:

I) для подтверждения положений логического анализа о наличии корреляционной прямолинейной зависимости между факторным признаком (объемом выпуска продукции) и результативным признаком (расходом электроэнергии) нанесите исходные данные на график корреляционного поля и сделайте выводы о форме связи, укажите ее формулу;

2) определите параметры уравнения связи и нанесите полученную при этом теоретическую линию на график корреляционного поля;

3) исчислите линейный коэффициент корреляции,

4) поясните значения показателей, полученных в пунктах 2) и 3);

5) используя полученную модель, сделайте прогноз о возможном расходе электроэнергии на заводе с объемом производства 4,5 тыс. шт.

Решение

Данные признака - объем выпуска продукции (фактор), обозначим через хi; признака - расход электроэнергии (результат) через уi; точки с координатами (х, у) наносим на корреляционное поле ОХУ.

Точки корреляционного поля расположены вдоль некоторой прямой. Следовательно, связь - линейная, будем искать уравнение регрессии в виде прямой Уx=ax+b. Для его нахождения воспользуемся системой нормальных уравнений:

Составим расчетную таблицу.

По найденным средним составляем систему и решаем её относительно параметров а и b:

Итак, получим уравнение регрессии у на х: = 3,57692 х + 3,19231

Строим линию регрессии на корреляционном поле.

Подставляя в уравнение регрессии значения х из столбца 2, получим расчетные (столбец 7) и сравниваем их с данными у, что отражено в столбце 8. Кстати, правильность расчетов подтверждается и совпадением средних значений у и.

Коэффициент линейной корреляции оценивает тесноту зависимости между признаками х и у и рассчитывается по формуле

Угловой коэффициент прямой регрессии а (при х) характеризует направление выявленной зависимости признаков: при а>0 одинаковы, при а<0- противоположны. Его абсолютная величина - мера изменения результативного признака при изменении факторного на единицу измерения.

Свободный член прямой регрессии выявляет направление, а его абсолютное значение - количественную меру влияния на результативный признак всех прочих факторов.

Если < 0, то ресурс факторного признака отдельного объекта используется с меньшей, а при >0 с большей результативностью, чем в среднем по всему множеству объектов.

Проведём послерегрессионный анализ.

Коэффициент при х прямой регрессии равен 3,57692 >0, следовательно, с увеличением (уменьшением) выпуска продукции растёт (падает) расход электроэнергии. Увеличение выпуска продукции на 1 тыс. шт. даёт в среднем рост расход электроэнергии на 3,57692 тыс. кВт.ч.

2. Свободный член прямой регрессии равен 3,19231,следовательно, влияние прочих факторов увеличивает силу воздействия выпуска продукции на расход электроэнергии в абсолютном измерении на 3,19231 тыс. кВт.ч.

3. Коэффициент корреляции 0,8235 выявляет весьма тесную зависимость расхода электроэнергии от выпуска продукции.

По уравнению регрессионной модели легко делать прогнозы. Для этого в уравнение регрессии подставляют значения х - объем выпуска продукции и прогнозируют расход электроэнергии. При этом значения х можно брать не только в пределах заданного размаха, но и вне его.

Сделаем прогноз о возможном расходе электроэнергии на заводе с объемом производства 4,5 тыс. шт.

3,57692*4,5 + 3,19231= 19,288 45 тыс. кВт.ч.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. Захаренков С.Н. Социально-экономическая статистика: Учеб.-практ пособие. -Мн.: БГЭУ, 2002.

2. Ефимова М.Р., Петрова Е.В., Румянцев В.Н. Общая теория статистики. - М.: ИНФРА - М., 2000.

3. Елисеева И.И. Статистика. - М.: Проспект, 2002.

4. Общая теория статистики / Под общ. ред. О.Э. Башиной, А.А. Спирина. - М.: Финансы и статистика, 2000.

5. Социально-экономическая статистика: Учеб.-практ. пособие / Захаренков С.Н. и др. - Мн.: ЕГУ, 2004.

6. Социально-экономическая статистика: Учеб. пособие. / Под ред. Нестерович С.Р. - Мн.: БГЭУ, 2003.

7. Теслюк И.Е., Тарловская В.А., Терлиженко Н. Статистика.- Минск, 2000.

8. Харченко Л.П. Статистика. - М.: ИНФРА - М, 2002.

9. Харченко Л.П., Долженкова В.Г., Ионин В.Г. Статистика. - М.: ИНФРА - М, 1999.

10. Экономическая статистика / Под ред. Ю.Н. Иванова - М., 2000.

Размещено на Allbest.ru

...

Подобные документы

Расчет средней арифметической для интервального ряда распределения. Определение общего индекса физического объема товарооборота. Анализ абсолютного изменения общей стоимости продукции за счет изменения физического объема. Расчет коэффициента вариации.

контрольная работа , добавлен 19.07.2010


Сущность оптового, розничного и общественного товарооборота. Формулы расчета индивидуальных, агрегатных индексов товарооборота. Расчет характеристик интервального ряда распределения - среднего арифметического, моды и медианы, коэффициента вариации.

курсовая работа , добавлен 10.05.2013


Расчет планового и фактического объема продаж, процента выполнения плана, абсолютного изменения товарооборота. Определение абсолютного прироста, средних темпов роста и прироста денежных доходов. Расчет структурных средних: моды, медианы, квартиля.

контрольная работа , добавлен 24.02.2012


Интервальный ряд распределения банков по объему прибыли. Нахождение моды и медианы полученного интервального ряда распределения графическим методом и путем расчетов. Расчет характеристик интервального ряда распределения. Вычисление средней арифметической.

контрольная работа , добавлен 15.12.2010


Формулы определения средних величин интервального ряда - моды, медианы, дисперсии. Расчет аналитических показателей рядов динамики по цепной и базисной схемам, темпов роста и прироста. Понятие сводного индекса себестоимости, цен, затрат и товарооборота.

курсовая работа , добавлен 27.02.2011


Понятие и назначение, порядок и правила построения вариационного ряда. Анализ однородности данных в группах. Показатели вариации (колеблемости) признака. Определение среднего линейного и квадратического отклонения, коэффициента осцилляции и вариации.

контрольная работа , добавлен 26.04.2010


Понятие моды и медианы как типичных характеристик, порядок и критерии их определения. Нахождение моды и медианы в дискретном и интервальном вариационном ряду. Квартили и децили как дополнительные характеристики вариационного статистического ряда.

контрольная работа , добавлен 11.09.2010


Построение интервального ряда распределения по группировочному признаку. Характеристика отклонения распределения частот от симметричной формы, расчет показателей эксцесса и ассиметрии. Анализ показателей бухгалтерского баланса или отчёта о прибылях.

контрольная работа , добавлен 19.10.2014


Преобразование эмпирического ряда в дискретный и интервальный. Определение средней величины по дискретному ряду с использованием ее свойств. Расчет по дискретному ряду моды, медианы, показателей вариации (дисперсия, отклонение, коэффициент осцилляции).

контрольная работа , добавлен 17.04.2011


Построение статистического ряда распределения организаций. Графическое определение значения моды и медианы. Теснота корреляционной связи с использованием коэффициента детерминации. Определение ошибки выборки среднесписочной численности работников.