Staticky neurčité problémy s krútením. Staticky neurčité problémy na krútenie Sopromat staticky neurčité systémy krútenie

Návrhová schéma a schémy

Riešenie

Označme pozdĺžnu os z, body A a B, čísla rezu 1, 2, 3. Konce tyče sú zovreté, takže vznikajú reaktívne momenty M A a M B, ktoré je potrebné vypočítať. Počet neznámych podporných reakcií je dva a rovnica statiky pre tento systém síl je jedinečná:

MA – M 1 + M 2 – M B = 0. (1)

Preto je tento systém raz staticky neurčitý. Okrem rovnice (1) je potrebné vytvoriť ďalšiu rovnicu obsahujúcu rovnaké neznáme M A a M B . Za týmto účelom budeme postupovať nasledovne. Zahoďme to správne štipnutie, ale nahraďme jeho vplyv momentom M B , zatiaľ neznámym vo veľkosti a smere. Takto získame návrhovú schému 2), ekvivalentnú pôvodnej schéme 1). Teraz sú na tyč aplikované tri zaťaženia: M 1, M 2, M B vo forme momentov, vrátane požadovaného - M B. Keďže pravý koniec tyče je upnutý, uhol natočenia tohto úseku okolo pozdĺžnej osi tyče by sa mal rovnať nule, t.j. . Takáto rotácia v bode B je výsledkom pôsobenia troch silových faktorov: M 1, M 2, M B.

Podľa princípu nezávislosti na pôsobení síl možno z každého momentu najskôr vypočítať uhol natočenia rezu B a výsledky potom sčítať. Takto získame druhú rovnicu dopĺňajúcu (1):

Pri zostavovaní tejto rovnice sa počítalo s tým, že v momente, keď M 1 skrúti len prvý úsek tyče, v momente M 2 skrúti úseky 1 a 2 a v momente M B skrúti všetky tri úseky. Zmenšíme ľavú stranu rovnice (2). a G a dostaneme

Rovnice (1) a (3) tvoria systém na určenie M A a M B . Aby ste to vyriešili, musíte najskôr určiť momenty zotrvačnosti J, J, J.

Prvá časť tyče je dutý valec. Pre svoju sekciu

Druhá časť tyče má obdĺžnikový prierez. Jeho torzný moment zotrvačnosti

J (5)

Tu je tabuľkový koeficient v závislosti od pomeru strán obdĺžnika. Pre daný pomer h/b = 2,0 je hodnota prevzaté zo stola.

Vzorec (5) dáva výsledok

J . (6)

Prierez tyče druhej časti je plný okrúhleho tvaru. Preto

(7)

Hodnoty krútiacich momentov a zistené hodnoty momentov zotrvačnosti sekcií sú dosadené do (3)

Znížime b 4 vo všetkých pojmoch, vykonáme jednoduché aritmetické výpočty a dostaneme

Po transformáciách dostane rovnica tvar

14,89 MB = 17,78.

Odtiaľto máme

MB = krútiaci moment 1,194 kNm.

Z rovnice (1) nájdeme reaktívny moment pri zovretí ľavého konca:

MA = M 1 – M 2 + M B = 6 – 7 + 1,194 = 0,194 kNm.

Teraz môžete začať zostavovať diagram krútiaceho momentu. Na ľubovoľné miesto každej časti tyče nakreslíme časti 1–1, 2–2, 3–3.

Zoberme si ľavú odrezanú časť a ukážme krútiaci moment v sekcii M. Jeho smer je síce možné zvoliť ľubovoľne, ale lepšie je zvoliť smer pozitívny, t.j. tak, že pri pohľade na koniec odrezanej časti je viditeľný smerovaný proti smeru hodinových ručičiek.

Celá tyč je v rovnováhe. To znamená, že každá odrezaná časť musí byť v rovnováhe. Preto môžeme napísať rovnicu rovnováhy:

Odtiaľto máme

Časť 2–2

Časť 3-3

kNm.

Na základe výsledkov výpočtov zostrojíme diagram krútiacich momentov. Rozmery prierezu tyče je potrebné zistiť z pevnostného stavu

(8)

Tu je číslo stránky. Ľavá strana nerovnosti je najväčšia absolútna hodnota šmykového napätia pre celú tyč. Na pravej strane je dovolené napätie pre materiál na základe tangenciálnych napätí. Poďme si ich nainštalovať. Pre každý úsek nájdeme maximálne šmykové napätie pomocou všeobecného vzorca

Krútiace momenty sa už našli. Určme momenty odporu pri krútení:

Druhý vzorec je tabuľkový koeficient v závislosti od pomeru strán obdĺžnika. Pre daný pomer h/b = 2,0 je hodnota prevzaté zo stola.

Pre každý úsek určíme lokálne maximá tangenciálnych napätí:

(9)

(10)

(11)

Z porovnania výsledkov vidíme, že úseky druhého úseku sú nebezpečné.

Prípustné šmykové napätie

.

Na rozdiel od predtým diskutovaných kruhových tyčí má krútenie tyčí nekruhového priečneho tvaru svoje vlastné zvláštnosti. Hlavným je deplanácia. Toto je jav, že úseky prestávajú byť ploché a deplanujú. Vzorce založené na hypotéze rovinných rezov strácajú platnosť. Vznikajú normálne stresy.

Existuje voľné a obmedzené krútenie. zadarmo Toto sa nazýva krútenie, pri ktorom je deplanácia konštantná po celej dĺžke tyče a môže byť charakterizovaná veľkosťou posunutia v axiálnom smere. Krútenie tyče, pri ktorom sa mení deplanácia úseku po dĺžke tyče, sa nazýva obmedzené krútenie. V tomto prípade vzniká špeciálny typ vnútornej sily - bimoment, ktorý ovplyvňuje rozloženie normálových a tangenciálnych napätí po priereze.

Tyče s nekruhovým prierezom môžu byť rôzne (obr. 11.1).

Ryža. 11.1. Tyče s nekruhovým prierezom: a) hrubostenné; b) tenkostenný uzavretý a otvorený profil

Hrubostenné sa nazývajú tyče, ktoré majú rozmery rôznych profilových prvkov úmerné rozmerom samotného profilu. Deformácia hrubostenných tyčí je komplexná, problémy krútenia takýchto tyčí sa riešia analyticky alebo numericky pomocou metód teórie pružnosti.

Tenkostenné sa nazývajú tyče, v ktorých je dĺžka obrysu prierezu oveľa väčšia ako hrúbka prierezu.

Výpočet tenkostenných tyčí otvoreného a uzavretého profilu pre obmedzené krútenie je študovaný v teórii tenkostenných tyčí vypracovanej prof. V.Z. Vlasov.

Riešenie problému voľného krútenia tyčí nekruhového prierezu získal Saint-Venant.

Torzné obdĺžnikový prierez najväčšie napätie vzniká v strede dlhej strany obvodu (obr. 11.2). Na jej výpočet použite vzorec (11.1).

Tu Wt = ahb 2- moment torzná odolnosť, α – Saint-Venant koeficient, h A b rozmery pravouhlého rezu (obr. 11.2).

Uhol natočenia dĺžky sekcie nákladu l s konštantnou vnútornou silou sa zistí podľa vzorca (11.2)

Tu It = βhb 3- moment zotrvačnosti pri krútení, β – Saint-Venantov koeficient.

Ep. τ[MPa]

Ryža. 11.2. Diagram šmykového napätia

Saint-Venantove koeficienty α, β, γ sa určujú pomocou tabuľky 11.1 v závislosti od pomeru h/b.

Tabuľka 11.1

h/b
α	0,208	0,246	0,267	0,282	0,299	0,307	0,313	0,333
β	0,140	0,229	0,263	0,281	0,299	0,307	0,312	0,333
γ	1,000	0,795	0,753	0,745	0,743	0,742	0,742	0,742

Výpočet rôznych nekruhových prierezov na pevnosť a tuhosť sa vykonáva podobne ako v predchádzajúcej prednáške. Pomocou podmienok pevnosti a tuhosti sa riešia úlohy za účelom výberu rozmerov prierezu, určenia prípustného zaťaženia a kontroly splnenia podmienok. V závislosti od profilu prierezu sa geometrické charakteristiky prierezu, ktoré sa objavujú vo vzorcoch na výpočet napätí a posunov, určujú rôzne. (Vyhľadajte si tieto vzorce sami pomocou učebnice).

Riešenie staticky neurčitých problémov v krútení. Problémy krútenia tyčí sú staticky neurčité, ak krútiace momenty vznikajúce v prierezoch tyče nie je možné určiť len pomocou rovnovážnych rovníc. Na vyriešenie takýchto problémov je potrebné zvážiť deformovaný stav skrútenej tyče. Algoritmus riešenia je podobný tomu, ktorý je opísaný v téme osové napätie – stlačenie.

V prípade konštantnej tuhosti tyče je vhodné použiť metódu počiatočných parametrov na riešenie staticky neurčitých úloh (oboznámte sa s touto metódou).

Problémy môžu byť niekoľkokrát staticky neurčité. Uvažujme raz o staticky neurčitých problémoch.

Ryža. 11.3. Staticky neurčité tyče v krútení

a) Zverejnenie statickej neurčitosti

∑ m X = 0; M A - M + M V nst

Pohyb (uhol natočenia) bodu B (tuhé zapustenie) je nemožný, potom tento pohyb možno znázorniť ako súčet uhlov natočenia úsekov zaťaženia φ B =φ I+φ II = 0 (2).

Mt = konšt môžu byť reprezentované ako: (3). Dosadíme (3) do (2): . (4)

Zapíšme si rovnice krútiacich momentov na úsekoch zaťaženia, pričom zohľadníme rovnováhu pravej strany obsahujúcej reakciu podpory M V: M t,ja = M V- konšt M t,II = M V - M– konšt. Ak sú tuhosti na úsekoch zaťaženia rovnaké, rovnica (4) bude mať tvar:

M IN

b) Zverejnenie statickej neurčitosti

1. Zvážte statickú stránku problému

Vytvorme rovnovážnu rovnicu:

∑ m X = 0; M A + ml – M V = 0 (1), zistíme stupeň statickej neurčitosti ako rozdiel medzi neznámymi reakciami podpory a počtom statických rovníc nst = 2 – 1 = 1 – úloha je raz staticky neurčitá a na odhalenie statickej neurčitosti je potrebná ešte jedna rovnica.

2. Zvážte geometrickú stránku problému

Pohyb (uhol natočenia) bodu IN(tuhé zapustenie) nie je možné, potom tento pohyb možno znázorniť ako súčet uhlov natočenia úsekov zaťaženia φ B =φ Ja = 0 (2).

3. Uvažujme o fyzickej stránke problému

Uhol natočenia na dĺžke záťažového úseku, kde M t opísaná lineárnou rovnicou môže byť reprezentovaná ako:

(3). Dosadíme (3) do (2): . (4)

Napíšme rovnicu krútiacich momentov na zaťažovacej časti, berúc do úvahy rovnováhu pravej strany obsahujúcej reakciu podpory M V: M t I = - MV+ mx, rovnicu vnútornej sily dosadíme do (4):

Vyriešme výslednú rovnicu pre jednu neznámu M IN . Ďalej sa problém rieši ako staticky určiteľný.

Výpočet tyčí v krútení na základe medzného stavu. Uvažujme rozloženie tangenciálnych napätí v priereze kruhovej tyče z elastoplastického materiálu podľa idealizovaného Prandtlovho diagramu (obr. 11.4).

Ryža. 11.4. Prandtlov diagram

τ max < τs τ max = τ s. τ sτ s

Mt = τ sWρ Elastické jadro Plastový pánt

(Mt, lim)

Ryža. 11.5. Rozloženie šmykových napätí v priereze

Pri šmykových uhloch γ ≤ γ s materiál sa podriaďuje Hookovmu zákonu, t.j. τ = G γ, pričom γ = γ sšmykové napätie dosahuje medzu klzu τ s, pre γ > γ s materiál „tečie“ pri konštantnom napätí τ = τ s. Tým sa končí čisto elastická etapa práce (obr. 11.5 b) a moment dosiahne nebezpečnú hodnotu. S ďalším zvýšením krútiaceho momentu nadobúda diagram napätia tvar znázornený na obr. 11. 5. storočie Pri zvyšovaní krútiaceho momentu sa elastické jadro znižuje a tekutosť materiálu nastáva v celom úseku medznej rovnováhy zodpovedajúcej maximálnej nosnosti tyče. Pre pevný kruhový prierez v prípade znázornenom na obr. 11. 5 g nosnosť prúta sa zvyšuje o 33 % v porovnaní s nosnosťou vypočítanou pre situáciu znázornenú na obr. 11.5

4.4. Staticky neurčité problémy s krútením

Takéto problémy zvyčajne vznikajú, ak je pohyb hriadeľa v niektorých úsekoch obmedzený, napríklad (obr. 4.9), keď sú jeho konce zovreté. IN

jedna rovnovážna rovnica: :

v podperách sú dva neznáme momenty, takže problém je staticky neurčitý. Aby sme to vyriešili, vytvoríme dodatočnú rovnicu posunu. Uvažujme posuny (uhly natočenia) sekcií, ktoré sú hranicami sekcií hriadeľa..gif" width="99" height="27 src=">.

https://pandia.ru/text/78/579/images/image007_54.gif" width="99 height=26" height="26">.

Keďže je časť hriadeľa privretá, potom z: https://pandia.ru/text/78/579/images/image011_42.gif" align="left" width="258" height="186">

Potenciálna deformácia časti hriadeľa s dĺžkou dz bude:
Keďže pri krútení τ = (MK / IP) r, potom

Znížením o IP získame vyjadrenie potenciálnej energie deformácie pri krútení

4.6 . Krútenie tyčí nekruhového prierezu

https://pandia.ru/text/78/579/images/image018_20.gif" align="left" width="324" height="237 src="> Keď krútenie tyčí (hriadel) nie je okrúhle a nie je prstencové priečnych rezov nie sú splnené predpoklady akceptované pre krútenie kruhových a prstencových hriadeľov: ploché prierezy tyče nezostávajú pri krútení ploché, ale deplanujú (krivkové priame polomery nakreslené v plochých rezoch); zmeny (obr. 4Ak tyč konštantného prierezu po celej dĺžke nie je nikde priškripnutá a krútiace momenty sú na jej koncoch, potom sa všetky sekcie deplanujú rovnako a nevznikajú normálové napätia. Avšak s dostatočnou presnosťou pre praktické na účely, môže byť použitý pre neokrúhle prúty odvodené pre okrúhle prúty, ktoré nahrádzajú obe https://pandia.ru/text/78/579/images/image021_17.gif" width="23" height="27. src=">- moment zotrvačnosti pri krútení a - moment odporu pri krútení.

https://pandia.ru/text/78/579/images/image024_18.gif" width="90" height="49">, ,

Pre obdĺžnikový prierez (obr. 4.12)

https://pandia.ru/text/78/579/images/image027_17.gif" width="87" height="29 src=">.

Tu a - závisí od vzťahu.

Koeficienty.	Pomer väčšej strany sekcie k menšej.

Diferenciálna" href="/text/category/differentcial/" rel="bookmark">diferenciálna rovnica, rovnaká ako problém rovnováhy tenkého filmu natiahnutého cez obrys rovnakého obrysu ako obrys prierezu tyč a zaťažené rovnomerne rozloženým tlakom. Analógové napätie je uhol, ktorý zviera dotyčnica k povrchu filmu s rovinou obrysu, a analógom krútiaceho momentu je objem uzavretý medzi rovinou obrysu a povrchom filmu správanie fólie pod tlakom Obr. 4.13b ukazuje kvalitatívne rozloženie napätí pri krútení tyče s komplexným profilom Vzhľadom na tuhosť fólie sa rovnaký experiment vykoná s okrúhlym otvorom, odkiaľ sa získa požadovaná tuhosť fólie, pretože riešenie je v tomto prípade možné presne.

4.7. Voľné krútenie tenkostenných tyčí

Tenkostenné tyče sú tie, ktoré majú jeden rozmer prierezu - hrúbka profilu , a menší ako iný - dĺžka obrysu prierezu s. Tyče sa dodávajú v otvorených (obr. 4.14) a uzavretých (obr. 4.15) profiloch. Použime analógiu s membránou. Charakter správania sa fólie a podľa toho aj tangenciálnych napätí v tenkostenných tyčiach otvorených a uzavretých profilov je zásadne odlišný (obr. 4.16 a obr. 4. Ak sa tyč otvoreného profilu narovná do dlhého obdĺžnika , potom sa tvar fólie nezmení.

Potom pre obdĺžnikový úsek v bode , máme: ,..gif" width="22" height="25"> obdĺžniky, potom

..gif" width="42" height="26"> .

Systémy, v ktorých je väčší počet superponovaných spojení, počet nezávislých rovnováh rovnováhy, sa nazývajú štatistika nedefinovaná.V porovnaní so štatisticky definovateľnými systémami v stovke nedefinovateľných. systémy majú ďalšie prídavné pripojenia Termín „extra pripojenia“ je podmienený. Tieto prepojenia sú z hľadiska výpočtových priestorov nadbytočné. V skutočnosti tieto spojenia vytvárajú dodatočné rezervy pre konštrukcie, a to ako z hľadiska zabezpečenia jej tuhosti, tak aj pevnosti. Na obr. 2.5 a znázorňuje konzolu pozostávajúcu z 2 tyčí, ktoré sú navzájom kĺbovo spojené. Vzhľadom na to, že na konštrukciu pôsobí iba vertikálna sila R, a systém je plochý, ukazuje sa, že sily v tyčiach sa dajú ľahko určiť. z rovnovážnych podmienok uzla A, t.j. X= 0, r= 0. Rozšírením týchto rovníc získame uzavretý systém lineárnych rovníc pre neznáme sily N 1 a N 2, v ktorom sa počet rovníc rovná počtu neznámych: N 1  N 2 sin  = 0; N 2 čos   R = 0.

Ak je konštrukcia konzoly komplikovaná pridaním ďalšej tyče (obr. 2.5, b), potom sily v tyčiach N 1 ,N 2 a N 3 už nie je možné určiť pomocou predchádzajúcej metódy, pretože pri rovnakých dvoch rovnovážnych rovniciach (2.16) sú v tyčiach 3 neznáme sily. Polosystém je raz sto neurčitý. Rozdiel medzi počtom neznámych síl a počtom nezávislých (zmysluplných) rovnováh rovnováhy spájajúcich tieto sily sa nazýva stupeň c neurčitej sústavy Vo všeobecnom prípade pod n staticky neurčitý systém sa chápe ako systém, v ktorom počet neznámych vonkajších podporných reakcií a vnútorných síl prevyšuje počet nezávislých a zmysluplných rovníc rovnováhy o n Jednotky. Riešenie staticky neurčitých úloh metódou síl sa uskutočňuje v nasledujúcom poradí.1 Stupeň st neurčitej sústavy nastavte ako rozdiel medzi počtom hľadaných neznámych síl a počtom nezávislých rovníc rovnováhy. Berie sa do úvahy, že jednoduchý záves spájajúci 2 tyče systému znižuje stupeň st o 1, pretože odstraňuje jedno spojenie, ktoré zabraňuje otáčaniu jednej časti systému voči druhej. Jednoduchý pánt umožňuje pridať do Eq. rovný celej sústavy rovnovážna rovnica časti sústavy spojenej týmto závesom.2. Z daného st. systém je hlavný systém izolovaný odstránením nepotrebných spojení a externej záťaže.3. Je znázornený ekvivalentný systém zodpovedajúci zvolenému hlavnému systému, v ktorom sú sily aplikované namiesto odstránených dodatočných väzieb a v ich smere X i, ak spojenia bránili lineárnemu pohybu, a páry Xk, ak vylúčili rotácie úsekov.4. Zostavujú sa kanonické rovnice silovej metódy.5. Koeficienty kanonických rovníc sa počítajú analyticky

V TORZII (Úloha č. 11)

Úloha

Oceľový hriadeľ kruhového prierezu pozostáva z troch častí s rôznymi polárnymi momentmi zotrvačnosti (obr. 3.6, Obr. A). Konce hriadeľa sú pevne zaistené proti otáčaniu vzhľadom na pozdĺžnu os hriadeľa. Zaťaženia sú špecifikované: dvojice síl a , pôsobiace v rovine prierezu hriadeľa; vzťah medzi polárnymi momentmi zotrvačnosti častí hriadeľa a ; dĺžky sekcií , , .

Požadovaný:

1) zostavte diagram krútiacich momentov;

2) vyberte rozmery prierezov na základe pevnostných podmienok;

3) zostrojte diagram uhlov natočenia.

Riešenie

V dôsledku prítomnosti dvoch pevných podperných upevnení pod vplyvom zaťaženia vznikajú v každom z nich reaktívne páry. Po vytvorení rovnovážnej podmienky pre hriadeľ

Sme presvedčení, že napísaná rovnica sa nedá vyriešiť jednoznačne, pretože obsahuje dve neznáme veličiny: a . Zostávajúce rovnovážne rovnice pre dané zaťaženie sa vykonávajú identicky. V dôsledku toho je problém raz staticky neurčitý.

Na odhalenie statickej neurčitosti vytvárame podmienku kompatibility deformácií. V dôsledku tuhosti podporných upevnení sa koncové časti hriadeľa neotáčajú. To je ekvivalentné skutočnosti, že celkový uhol natočenia hriadeľa v oblasti A–B rovná nule: alebo .

Posledná rovnica je podmienkou kompatibility deformácií. Aby sme to spojili s rovnovážnou rovnicou, zapíšeme fyzikálne rovnice týkajúce sa krútiacich momentov a uhlov natočenia (3.3) (Hookeov zákon pre krútenie) pre každú časť tyče:

, , .

Dosadením fyzikálnych vzťahov do podmienky kompatibility deformácií nájdeme reaktívny moment a z rovnice rovnováhy potom určíme . Diagram krútiaceho momentu je znázornený na obr. 3,6, b.

Aby sme vyriešili problém výberu sekcie, zapíšeme si vzorce na určenie maximálnych tangenciálnych napätí (3.5) na každej sekcii hriadeľa:

; ; .

Koeficienty a , predstavujúce pomer polárnych momentov odporu sekcií druhej a tretej sekcie hriadeľa k polárnemu momentu odporu sekcie prvej sekcie, budú stanovené pomocou známych parametrov a .

Polárny moment zotrvačnosti možno zapísať dvoma spôsobmi:

; ,

kde , sú polomery prvej a druhej časti tyče. Odtiaľto vyjadrujeme polomer prostredníctvom:

Potom polárny moment odporu druhej sekcie

,

to je . Podobne.

Teraz môžeme porovnať maximálne tangenciálne napätia v jednotlivých rezoch a zapísať podmienku pevnosti (3.13) pre najväčšie z nich. Z tejto podmienky zistíme požadovaný polárny moment odporu a potom pomocou vzorca (3.8) polomery hriadeľa v každej sekcii.

; ; .

Na vytvorenie diagramu uhlov skrútenia vypočítame uhly skrútenia v každej časti tyče pomocou vzorca (3.3). Súradnice diagramu sa získajú postupným sčítaním výsledkov pre jednotlivé úseky, počnúc jedným z koncov hriadeľa. Správnosť riešenia sa kontroluje rovnosťou uhla stočenia na nulu na druhom konci hriadeľa Schéma uhlov stočenia je na obr. 3,6, V.

Pre konštrukciu s tuhou tyčou je rovnica racionálnej rovnováhy, ktorá zahŕňa jednu neznámu silu, rovnicou kde A- záves, okolo ktorého sa otáča tuhá tyč.

Ako už názov napovedá, táto metóda je použiteľná pre konštrukcie, ktorých tyče sú vyrobené z plastového materiálu.

Je zrejmé, že vzťah medzi deformáciami tyčí bude rovnaký ako v prvej časti úlohy, preto rovnicu pre kompatibilitu deformácií v tretej časti úlohy možno napísať pomocou predtým získanej rovnice a nahradiť ju rovnicou .

Pri riešení tejto úlohy korešpondenční študenti vykonávajú iba výpočty na základe medzného stavu plasticity. Zvyšní žiaci riešia úlohu č. 6 podľa požiadavky učiteľa. Bod 2, označený *, je nepovinný a vykonáva sa na žiadosť študenta.

Moderné štandardy projektovania budov poskytujú komplexnejší prístup (zavedenie samostatných bezpečnostných faktorov pre zaťaženie, vlastnosti materiálov, prevádzkové podmienky konštrukcie). Študent sa s tým oboznámi pri štúdiu predmetov o kovových, železobetónových a iných konštrukciách.