Rozklad skupiny na cyklické podskupiny. Cyklické podskupiny

• 1. Skupina Z celé čísla s operáciou sčítania.
• 2. Skupina všetkých komplexných koreňov stupňa n z jedného s operáciou násobenia. Pretože cyklické číslo je izomorfizmus

skupina je cyklická a prvok generuje.

Vidíme, že cyklické skupiny môžu byť buď konečné alebo nekonečné.

3. Nech je ľubovoľná skupina a ľubovoľný prvok. Množina je cyklická skupina s generátorovým prvkom g. Nazýva sa cyklická podskupina generovaná prvkom g a jej poradie je poradie prvku g. Podľa Lagrangeovej vety je poradie prvku deliteľom poradia grupy. Displej

funguje podľa vzorca:

je zjavne homomorfizmus a jeho obraz sa zhoduje s. Mapovanie je surjektívne vtedy a len vtedy, ak skupina G- cyklický a g jeho základným prvkom. V tomto prípade budeme volať štandardný homomorfizmus pre cyklickú grupu G s vybranou tvoriacou čiarou g.

Aplikovaním vety o homomorfizme v tomto prípade získame dôležitú vlastnosť cyklických grúp: každá cyklická grupa je homomorfným obrazom grupy. Z .

V akejkoľvek skupine G možno určiť stupňa prvok s celočíselnými indikátormi:

Nehnuteľnosť drží

To je zrejmé, ak . Zoberme si prípad, kedy . Potom

So zvyšnými prípadmi sa zaobchádza podobne.

Z (6) vyplýva, že

Navyše podľa definície. Mocniny prvku teda tvoria v grupe podgrupu G. To sa nazýva cyklická podskupina generovaná prvkom, a označuje sa .

Sú možné dva zásadne odlišné prípady: buď sú všetky stupne prvku rôzne, alebo nie. V prvom prípade je podskupina nekonečná. Pozrime sa na druhý prípad podrobnejšie.

Nechaj ,; Potom. Najmenšie prirodzené číslo T, pre ktoré sa v tomto prípade volá v poriadku prvok a označuje sa .

veta 1. Ak , To

Dôkaz. 1) Rozdeliť m na P so zvyškom:

Potom na základe definície poriadku

Vzhľadom na predchádzajúce

Dôsledok. Ak podskupina mo obsahuje n prvkov.

Dôkaz. naozaj,

a všetky uvedené prvky sú odlišné.

V prípade, že takéto prirodzené neexistuje T,že (t. j. nastane prvý z vyššie opísaných prípadov), sa verí . Poznač si to; rády všetkých ostatných prvkov skupiny sú väčšie ako 1.

V skupine aditív nehovoríme o mocnostiach prvku , a o ňom násobky, ktoré sú označené . V súlade s tým je poradie prvku aditívnej skupiny G-- je najmenšie prirodzené číslo T(ak také existujú), pre ktoré

PRÍKLAD 1. Charakteristikou poľa je poradie akéhokoľvek nenulového prvku v jeho aditívnej skupine.

PRÍKLAD 2. Je zrejmé, že v konečnej skupine je poradie akéhokoľvek prvku konečné. Ukážme si, ako sa počítajú poradia prvkov skupiny cyklu dĺžku a označuje sa, ak sa cyklicky preskupuje

a ponecháva všetky ostatné čísla na mieste. Je zrejmé, že poradie dĺžky cyklu sa rovná R. Cykly sú tzv nezávislý, ak medzi číslami, ktoré skutočne usporiadajú, nie sú žiadne spoločné; v tomto prípade . Každá substitúcia sa dá jednoznačne rozložiť na súčin nezávislých cyklov. Napríklad,

čo je jasne znázornené na obrázku, kde je substitučná akcia znázornená šípkami. Ak sa substitúcia rozloží na súčin nezávislých cyklov dĺžky , To

PRÍKLAD 3. Poradie komplexného čísla c v skupine je konečné vtedy a len vtedy, ak je toto číslo koreňom nejakej mocniny jednoty, ktorá sa naopak vyskytuje vtedy a len vtedy, ak a je úmerné c, t.j. .

PRÍKLAD 4. Nájdite prvky konečného poriadku v skupine pohybov roviny. Nechať byť. Za akýkoľvek bod

cyklicky preskupované pohybom , teda ich ťažisko O relatívne nehybný. Preto - buď rotácia o uhol pohľadu okolo bodu O alebo odraz vo vzťahu k nejakej priamke prechádzajúcej cez O.

PRÍKLAD 5. Poďme nájsť poradie matice

ako prvok skupiny. Máme

Takže. Samozrejme, tento príklad je špeciálne vybraný: pravdepodobnosť, že poradie náhodne vybranej matice bude konečné, je nulová.

Návrh 2. Ak , To

Dôkaz. Nechaj

Takže. Máme

Preto, .

Definícia 1 . Skupina G volal cyklický, ak takýto prvok existuje , Čo . Každý takýto prvok sa nazýva generujúci prvok skupiny G.

PRÍKLAD 6. Aditívna skupina celých čísel je cyklická, pretože ju generuje prvok 1.

PRÍKLAD 7. Aditívna skupina modulo zrážok n je cyklický, pretože ho generuje prvok .

PRÍKLAD 8. Multiplikatívna skupina komplexných n-tých koreňov 1 je cyklická. V skutočnosti sú tieto korene čísla

To je jasné . Preto je skupina generovaná prvkom.

Je ľahké vidieť, že v nekonečnej cyklickej skupine sú jedinými generujúcimi prvkami a. V skupine Z sú teda jediné tvoriace prvky 1 a -- 1.

Počet prvkov konečnej skupiny G zavolal jej v poriadku a označuje sa. Poradie konečnej cyklickej grupy sa rovná poradiu jej generujúceho prvku. Z návrhu 2 to teda vyplýva

veta 3 . Prvok cyklickej skupiny rádu n generuje vtedy a len vtedy

PRÍKLAD 9. Generujúce prvky skupiny sa nazývajú primitívne korene n mocnina 1. Toto sú korene druhu , Kde. Napríklad primitívne korene 12. stupňa od 1 are.

Cyklické skupiny sú najjednoduchšie skupiny, aké si možno predstaviť. (Predovšetkým sú abelovské.) Nasledujúca veta poskytuje ich úplný popis.

Veta 1. Každá nekonečná cyklická skupina je izomorfná so skupinou. Každá konečná cyklická grupa rádu n je izomorfná s grupou.

Dôkaz. Ak je nekonečná cyklická skupina, potom podľa vzorca (4) je zobrazenie izomorfizmus.

Dovoliť byť konečná cyklická skupina poriadku P. Zvážte mapovanie

potom je mapovanie dobre definované a bijektívne. Nehnuteľnosť

vyplýva z rovnakého vzorca (1). Ide teda o izomorfizmus.

Veta je dokázaná.

Pre pochopenie štruktúry skupiny zohráva dôležitú úlohu znalosť jej podskupín. Všetky podskupiny cyklickej skupiny možno ľahko opísať.

Veta 2. 1) Každá podskupina cyklickej skupiny je cyklická.

2)V cyklickej skupine poriadku n poradie ktorejkoľvek podskupiny sa delí n a pre ľubovoľného deliteľa q čísla n existuje práve jedna podskupina rádu q.

Dôkaz. 1) Nech je cyklická skupina a N-- jeho podskupina, odlišná od (Podskupina identity je zjavne cyklická.) Všimnite si, že ak pre nejakú, potom a . Nechaj T-- najmenšie z prirodzených čísel, pre ktoré . Dokážme to . Nechaj . Poďme sa rozdeliť Komu na T so zvyškom:

odkiaľ, na základe definície čísla T z toho vyplýva, a preto .

2) Ak , potom platila predchádzajúca úvaha (v tomto prípade ), to ukazuje . V čom

A N je jedinou podskupinou poriadku q v skupine G. Späť, ak q-- ľubovoľný deliteľ čísla P A , potom podmnožina N, definovaná rovnosťou (9), je podskupinou poriadku q. Veta je dokázaná.

Dôsledok . V cyklickej skupine prvotriedneho poriadku sa akákoľvek netriviálna podskupina zhoduje s celou skupinou.

PRÍKLAD 10. V skupine má každá podskupina tvar kde.

PRÍKLAD 11. V skupine n-tých koreňov s číslom 1 je každá podskupina skupinou koreňov q- stupeň 1, kde.

Skupina O sa nazýva cyklická, ak všetky jej prvky sú mocniny toho istého prvku. Tento prvok sa nazýva generátor cyklickej skupiny O. Každá cyklická skupina je zjavne abelovská.

Cyklická skupina je napríklad skupina celých čísel sčítaním. Túto skupinu budeme označovať symbolom 2. Jej generátorom je číslo 1 (rovnako ako číslo - 1). Cyklická skupina je tiež skupina pozostávajúca iba z jedného prvku (jedného).

V ľubovoľnej skupine O tvoria mocniny ľubovoľného prvku g cyklickú podgrupu s generátorom g. Poradie tejto podskupiny sa zjavne zhoduje s poradím prvku g. Odtiaľto na základe Lagrangeovej vety (pozri stranu 32) vyplýva, že poradie ktoréhokoľvek prvku grupy rozdeľuje poradie grupy (všimnite si, že všetky prvky konečnej grupy sú prvky konečného poriadku).

Preto pre ľubovoľný prvok g konečnej grupy rádu platí rovnosť

Táto jednoduchá poznámka je často užitočná.

Ak je skupina O cyklická a jej generátor, potom sa poradie prvku rovná . Naopak, ak má skupina O prvok poriadku, potom medzi mocnosťami tohto prvku sú rôzne, a preto tieto mocniny vyčerpávajú celú skupinu O.

Vidíme teda, že cyklická skupina môže mať niekoľko rôznych generátorov (menovite ktorýkoľvek prvok rádu je generátor).

Úloha. Dokážte, že každá skupina prvotriedneho poriadku je cyklická skupina.

Úloha. Dokážte, že cyklická skupina poradia má presne generátory, kde je počet kladných čísel menší ako a čoprime k .

Spolu s poradím možno každej konečnej skupine priradiť číslo - najmenší spoločný násobok rádov všetkých jej prvkov.

Úloha. Dokážte, že pre akúkoľvek konečnú grupu O číslo delí poradie grupy.

Je zrejmé, že pre cyklickú skupinu sa číslo zhoduje s poradím. Opak vo všeobecnosti nie je pravdou. Napriek tomu platí nasledujúce tvrdenie charakterizujúce cyklické grupy v triede konečných abelovských grup:

konečná abelovská grupa O, ktorej počet sa rovná jej rádu, je cyklická grupa.

Skutočne, nech

Porady všetkých možných nejednotkových prvkov konečnej abelovskej grupy O sú rádu , a nech je ich najmenší spoločný násobok.

Rozviňme číslo na súčin mocnin rôznych prvočísel:

Nech Keďže číslo je podľa definície najmenší spoločný násobok čísel (1), medzi týmito číslami je aspoň jedno číslo, ktoré je presne deliteľné číslom, t.j. má tvar , kde b je spoločné s . Nech toto číslo je v poradí prvku g. Potom má prvok poradie (pozri Dôsledok 1) na strane 29).

Pre každého v skupine O teda existuje aspoň jeden prvok poriadku Po výbere jedného takéhoto prvku pre každého uvažujeme o jeho produkte. Podľa tvrdenia preukázaného na stranách 29-30 sa poradie tohto produktu rovná súčinu objednávok, t.j. rovná sa číslu. Keďže posledné číslo podľa podmienky je rovné , je tým dokázané, že v skupine O je prvok rádu n. V dôsledku toho je táto skupina cyklickou skupinou.

Teraz nech O je ľubovoľná cyklická skupina s generátorom a H sú niektoré z jej podgrupov. Pretože ktorýkoľvek prvok podskupiny H je prvkom skupiny O, môže byť reprezentovaný vo forme , kde d je nejaké kladné alebo záporné celé číslo (vo všeobecnosti nie je jednoznačne definované). Uvažujme množinu všetkých kladných čísel, pre ktoré prvok patrí do podgrupy H. Keďže táto množina nie je prázdna (prečo?), potom obsahuje najmenšie číslo, že ľubovoľný prvok h podgrupy H je a sila prvku. V skutočnosti podľa definície existuje číslo d také, že (číslo d môže byť záporné). Vydeľte (so zvyškom) číslo d číslom

Vzhľadom k tomu, potom z dôvodu minimalizácie počtu musí byť zvyšok rovný nule. Teda, .

To dokazuje, že prvok je generátorom skupiny H, t.j. že skupina H je cyklická. Takže každá podskupina cyklickej skupiny je cyklická skupina.

Úloha. Dokážte, že číslo sa rovná indexu podgrupy H, a teda delí poradie skupiny O (ak je skupina O konečná).

Všimnite si tiež, že pre ľubovoľného deliteľa rádu konečnej cyklickej grupy Q v grupe O existuje len jedna podgrupa H rádu (konkrétne podgrupa s generátorom

To znamená, že ak je konečná cyklická skupina jednoduchá, jej poradie je prvočíslo (alebo jednota).

Nakoniec si všimnime, že každá kvocientová skupina (teda akýkoľvek homomorfný obraz) cyklickej skupiny Q je cyklická skupina.

Aby sme to dokázali, stačí poznamenať, že generátorom skupiny je množina obsahujúca generátor skupiny O.

Konkrétne, ktorákoľvek kvocientová skupina skupiny celých čísel Z je cyklická skupina. Pozrime sa na tieto cyklické skupiny podrobnejšie.

Keďže grupa Z je abelovská, každá jej podgrupa H je normálnym deliteľom. Na druhej strane, podľa toho, čo bolo dokázané vyššie, podskupina H je cyklická skupina. Keďže sú nám kvocientové grupy podľa triviálnych podgrupov známe, môžeme podskupinu H považovať za netriviálnu. Nech je číslo generátorom podgrupy H. Toto číslo môžeme považovať za kladné (prečo?) a teda väčšie ako jedna.

Podskupina N. zjavne pozostáva zo všetkých celých čísel deliteľných . Preto dve čísla patria do tej istej množiny v podskupine H práve vtedy, ak je ich rozdiel deliteľný , t.j. keď sú modulovo porovnateľné (pozri Kurz, s. 277). Kosety v podskupine H teda nie sú nič iné ako triedy čísel, ktoré sú navzájom porovnateľné v module.

Inými slovami, kvocientová skupina skupiny Z podľa podskupiny H je skupina (sčítaním) tried čísel, ktoré sú navzájom porovnateľné v module. Túto skupinu budeme označovať jej generátorom je trieda obsahujúca číslo 1.

Ukazuje sa, že každá cyklická skupina je izomorfná buď so skupinou Z (ak je nekonečná), alebo s jednou zo skupín (ak je jej poradie konečné).

Nech je skutočne generátorom skupiny O. Definujme nastavenie zo skupiny 2 do skupiny O

Definícia 1.22. Nechaj R- Prvočíslo. Skupina G volal p-skupina, ak sa poradie každého prvku grupy rovná nejakej mocnine prvočísla R.

Definícia 1.23. Silovského r-podskupina konečná skupina G p-podskupinou danej skupiny sa nazýva tá, ktorá nie je obsiahnutá vo väčšej p-podskupine danej skupiny.

Veta 1.25. Konečná abelovská grupa sa rovná priamemu súčinu jej Sylowových p-podgrup.

Dôkaz. Uvažujme o konečnej abelovskej grupe G rádu n a nech n = R" ! p 2 2 p* 1 k - rozšírenie čísla P do súčinu mocnín rôznych prvočísel. za 1, 2,..., Komu označme I, podskupinu Sylow r a I podskupinu vytvorenú všetkými I; Pre; * i. Je ľahké dokázať, že I, n I, = (e). Preto ja = (N1,H2,...,Nk) = N1xN2x...xNk. Predpokladajme, že existuje prvok g napr G, tak, že g g Y. Podľa Dôsledku 2 z Lagrangeovej vety |G| : |g|. Z toho vyplýva

|g| = pf"pjf 2 Pk k > g D e Pi - a i D pre ľubovoľné i = 1, 2, Komu. V dôsledku vety 1.23 existujú prvky g 1; g2, ..., gk e G, tak, že = x x... x (g k) a | g,-1 = pf 1 pre i = 1, 2, ..., /s. Ak predpokladáme, že g, g I pre nejaké g, získame p-podskupinu (gi, ja,) F I, čo je v rozpore s definíciou Sylowovej p-podskupiny. Teda pre ľubovoľné i = 1, 2,..., /napr e Odkial som g e N. teda H = G a veta je dokázaná.

Veta 1.26. Konečná abelovská p-skupina sa rovná priamemu súčinu cyklických podskupín.

Dôkaz. Nech je daná konečná abelovská p-grupa G. Vyberme v ňom prvok A maximálneho rádu p", a nech H je maximálna podskupina tak, že (a) nH = (e). Potom (a, R) = (a) x R. Označme Gj = (a) x R.

Predstierajme to G Ф G y Zo všetkých prvkov nepatriacich do G x vyberieme prvok g minimálneho rádu рР. Za predpokladu, že gPg Gb potom od |gp| = рР- 1, dostávame sa do rozporu s výberom prvku g. V dôsledku toho gP e G x = (a) x I a existuje celé číslo /c a prvok h e I, takže gP = a fc /i. Odtiaľ a k= gp/i-1. Ak gcd(/c, p) = 1, potom gcd(/c, p°9 = 1 a existujú celé čísla u, v také, že /c + p a v = 1. Potom

Kvôli maximalizácii | a = p a máme gP“ = e a e F aR“ _1 = = (gP"/i _u)P" _1 =gP“h~ u P a ~ 1 =/i _u p““ 1 e I, čo je v rozpore s podmienkou (a) p I = (e). Preto /s: r.

Nechaj Komu= r/s x. Potom aP fc i = a k = gPh~ 1, kde h = a~P k igP == (a _fc ig)P. Označme gj=a _/c ig. Potom gf -heH. Za predpokladu, že gj =ar fc "geG] =(a)xN, potom g е G x , čo je v rozpore s výberom prvku g. Následne g x g G x , a teda gj g I. Keďže I je maximálna podskupina s podmienkou (A) nI = (e), potom (a) n (g x, I) ^ (e). Preto existujú t, s e Z a prvok hj e I tak, že e * a t= gf

Za predpokladu, že p:p,top=pp 1 pri niektorých n,eZ a napr. g a m = gf/ij = gf ni /ii e I, čo je v rozpore s podmienkou (a) n I = = (e). Preto GCD(n,p) = 1 Hgf = a m /ak 1 . Ak |g x | =pY, potom GCD(n, p’O = 1 a existuje u x, v x g Z, tak, že gsh x -t-pYv x = 1. Preto g, =gf u i + P Yv i = gf Ul gf Yvi = gf Ul =(a m /i 1 - 1) u i Opäť sme sa dostali k rozporu. Zostáva teda akceptovať to G - (a) x R. Teraz v podgrupe R podobne vyberieme priamym faktorom cyklickú podgrupu maxima v N poriadku atď., kým nezískame rozklad skupiny G na priamy produkt cyklických podskupín. Veta je dokázaná.

Veta 1.27. Konečná abelovská grupa sa rovná priamemu súčinu cyklických p-podskupín.

Dôkaz vyplýva z vety 1.25 a 1.26.

Na záver kapitoly o skupinách poznamenávame, že skupinu možno považovať za množinu s jednou binárnou operáciou, ktorá je asociatívna a pre ľubovoľné prvky A A Kommersant rovnice sú jednoznačne riešiteľné sekera = b uua-b. Tento pohľad na skupinu vedie k dvom zovšeobecneniam. Na jednej strane sa možno zamerať na štúdium významu asociatívnosti operácie a to vedie ku koncepcii pologrupy ako množiny s jednou asociatívnou operáciou (pozri prácu). Na druhej strane možno ignorovať požiadavku na asociatívnosť, čo vedie ku koncepcii kvázigrupy ako množiny s jednou binárnou operáciou, vzhľadom na ktorú sú pomenované rovnice jednoznačne riešiteľné. Kvázigrupa s identitou sa nazýva slučka (pozri prácu). Teória pologrúp a teória kvázigúp sa zmenili na dve nezávisle sa rozvíjajúce substantívne teórie. V hlavnom texte ich neuvádzame z dôvodu „maximálnej možnej minimálnej“ hlasitosti.

Konečné skupiny

Volá sa skupina (pologrupa). konečný, ak pozostáva z konečného počtu prvkov. Počet prvkov konečnej grupy sa nazýva jej v poriadku. Každá podgrupa konečnej grupy je konečná. A keď NÍ G– podskupina skupiny G, potom pre ľubovoľný prvok AÎ G kopa Zapnuté={X: X=h◦a, pre akékoľvek hÎ H) sa nazýva ľavý coset Pre G pomerne N. Je zrejmé, že počet prvkov v Zapnuté rovná objednávke N. (Definícia môže byť formulovaná podobne N– správny coset vzhľadom na N).

Dôležité je, že pre akúkoľvek podskupinu N skupiny Gľubovoľné dve ľavé (pravé) cosety podľa N buď sa zhodujú alebo sa nepretínajú, preto môže byť akákoľvek skupina reprezentovaná ako spojenie disjunktných ľavých (pravých) komnožín pomocou N.

Skutočne, ak dve triedy N a A Hb, Kde a, bÎ G, majú spoločný prvok X, potom existuje tÎ H také že X = t◦a. A potom je ľavá trieda pre X: N x={r: r=h◦X= h◦(t◦a) = (h◦t)◦a} Í H a, Ale a=t ‑1 ◦X A N a={r: r=h◦a= h◦(t ‑1 ◦X) = (h◦t ‑1)◦X} Í Hx. Odtiaľ N x=N a. Podobne sa dá ukázať, že N x=N b. A preto N a=N b. Ak triedy N a A Hb nemajú spoločné prvky, potom sa nepretínajú.

Takéto rozdelenie skupiny do ľavých (pravých) kosetov sa nazýva rozklad skupiny na podskupinu H.

Veta 2.6.1. Poradie konečnej grupy je rozdelené poradím ktorejkoľvek z jej podgrupov.

Dôkaz. Pretože G je konečná grupa, potom aj ktorákoľvek jej podgrupa N má konečný poriadok. Zvážte rozklad skupiny na podskupinu N. V každej množine pri tomto rozklade je počet prvkov rovnaký a rovný poradiu N. Preto ak n– skupinová objednávka G, A k– poradie podskupiny N, To n=m× k, Kde m– počet cosetov podľa N v skupinovom rozklade G.

Ak pre nejaký prvok aÎ G Þ N a=N(ľavé a pravé kosety podľa podskupiny N zhodovať sa), potom N volal normálny deliteľ skupiny G.

Vyhlásenie: Ak G je komutatívna grupa, potom akákoľvek jej podgrupa N je normálny deliteľ G.

Vzhľadom na asociatívny charakter akcie v skupine (polskupine) môžeme hovoriť o „produkte“ troch prvkov ( A◦b◦c) =(A◦b)◦c = A◦(b◦c). Podobne aj koncept komplexného produktu z n prvky: A 1 ◦A 2 ◦…◦a n = ◦ a n = = ◦.

Práca n identické prvky skupiny sa nazývajú stupeň prvku a je určený a n=. Táto definícia má zmysel pre akékoľvek prírodné n. Pre akýkoľvek prvok skupiny aÎ G označovať A 0 =e– neutrálny prvok skupiny G. A negatívne sily prvku a ‑ n definovaný ako ( a ‑1)n alebo ( a n) -1 , kde a-1 – inverzný prvok k A. Obe definície a ‑ n zhodovať, pretože a n◦(a ‑1)n = (A◦A◦ ¼◦ A)◦(a ‑1 ◦a-1◦ ¼◦ a ‑1) = A◦A◦¼◦( A◦a ‑1)◦a‑1 ◦¼◦ a ‑1 =e n =e. Teda, ( a ‑1)n = (a n) ‑1 .

V skupine aditív je analógom stupňa prvku a n bude n jeho násobok, zvyčajne sa označuje na, čo netreba brať ako dielo n na A, pretože nÎℕ a možno nÏ G. To. na⇋, kde nОℕ a 0 A=e⇋0 a (- n)a = ‑(na) = n(‑a) pre akékoľvek prírodné n, Kde (- a) – inverzne k aÎ G.

Je ľahké to ukázať pomocou zvoleného zápisu pre akékoľvek celé čísla m A n a pre kohokoľvek aÎ G sú splnené známe vlastnosti: A) v multiplikatívnom zápise a n ◦a m = a n + m a ( a n)m = a nm; b) v aditívnom zápise na+ma = (n+m)a A n(ma)=(nm)a.

Zvážte podmnožinu skupiny G, zložený zo všetkých mocnín ľubovoľného prvku gÎ G. Označme to A g. teda A g ={g 0 , g 1 , g ‑1 , g 2 , g-2,¼). samozrejme, A g je podskupinou skupiny G, pretože pre akékoľvek prvky X,priÎ A g z toho vyplýva ( X◦pri)Î A g a pre akýkoľvek prvok XÎ A g tam bude X-1 О A g, okrem toho, g 0 =eÎ A g.

Podskupina A g volal cyklická podskupina skupiny G, generované prvkom g. Táto podskupina je vždy komutatívna, aj keď sama o sebe G nie komutatívna. Ak skupina G sa zhoduje s jednou z jej cyklických podskupín, potom sa nazýva cyklická skupina, generované prvkom g.

Ak všetky mocniny prvku g sú odlišné, potom skupina G volal nekonečné cyklická skupina a prvok g- element nekonečný poriadok.

Ak sú medzi prvkami cyklickej skupiny rovnaké, napr. g k=g m pri k>m, To g k-m=e; a označovanie k-m cez n, dostaneme g n=e, nÎℕ.

Najnižší prirodzený indikátor n také že g n=e, volal poradie prvku g a samotný prvok g volal prvok konečného poriadku.

Takýto prvok sa vždy nájde v konečnej grupe, ale môže byť aj v nekonečnej grupe.

Skupiny, ktorých všetky prvky majú konečné poradie, sa nazývajú periodické.

Pretože každý prvok konečnej grupy má konečné usporiadanie, všetky konečné grupy sú periodické. Navyše, všetky cyklické podgrupy konečnej grupy sú periodické, pretože sú konečné, a každý prvok konečného poriadku n generuje cyklickú skupinu rovnakého rádu n pozostávajúce z prvkov ( g 0 , g 1 , g 2 ¼, g n-1). Ak by sa totiž počet prvkov rovnal niektorým k<n, Potom g k=e=g n, čo je v rozpore s výberom n, ako najmenší stupeň taký, že g n=e; na druhej strane, k>n tiež nemožné, pretože v tomto prípade by boli rovnaké prvky.

Vyhlásenie: 1) všetky stupne g 0 , g 1 , g 2 ¼, g n-1 sú iné, pretože ak by boli rovnaké napr. g i=g j (i>j), To g i - j=e, Ale ( i‑j)<n a podľa definície n – najmenší stupeň je taký, že g n=e.

2) Akýkoľvek iný titul g, kladný alebo záporný, rovný jednému z prvkov g 0 , g 1 , g 2 ¼, g n-1, pretože akékoľvek celé číslo k môže byť vyjadrený výrazom: k=nq+r, Kde q,rÎℤ a 0 £ r<n, r– zvyšok a g k=g nq + r= g nq° g r= (g n)q° g r= e q° g r= g r.

1) Každá skupina má jedinečný prvok prvého rádu ( e), čím sa generuje cyklická podskupina prvého rádu pozostávajúca z jedného prvku e.

2) Zvážte skupinu substitúcií S 3, pozostávajúci z prvkov: , , , , , . objednať S 3 = 6. Poradie prvkov A sa rovná 2, pretože . Poradie prvkov b sa tiež rovná 2, pretože . Poradie prvkov s sa rovná 3, pretože A . Poradie prvkov f sa tiež rovná 3, pretože A . A nakoniec, objednať d sa rovná 2, pretože . Teda cyklické podskupiny S 3 generované prvkami e, a, b, d, c A f, respektíve rovné: ( e}, {e, a}, {e, b}, {e, d}, {e, c, f) A ( e, f, c), kde sa posledné dve zhodujú. Všimnite si tiež, že poradie každej cyklickej podskupiny rozdeľuje poradie skupiny bezo zvyšku. Nasledujúca veta je pravdivá.

Veta 2.7.1. (Lagrange) Poradie konečnej grupy je rozdelené poradím ktoréhokoľvek z jej prvkov (pretože poradie prvku a poradie ním vygenerovanej cyklickej podgrupy sa zhodujú).

Z toho tiež vyplýva, že ktorýkoľvek prvok konečnej grupy, keď sa zvýši na mocninu rádu grupy, udáva jednotku grupy. (Pretože g m=g nk=e k=e, Kde m- skupinová objednávka, n– poradie prvkov g, k– celé číslo).

V skupine S sú 3 podskupiny N={e, c, f) je normálny deliteľ, ale podskupiny 2. rádu nie sú normálnymi deliteľmi. To sa dá ľahko overiť nájdením ľavých a pravých cosetov podľa N pre každý prvok skupiny. Napríklad pre prvok Aľavý coset Zapnuté={e ◦ a, s◦ A, f◦ a} = {A, b, d) a pravý coset N={a ◦ e, A◦ c, A◦ f} = {A, d, b) zhodovať sa. Rovnako pre všetky ostatné prvky S 3 .

3) Množina všetkých celých čísel so sčítaním tvorí nekonečnú cyklickú grupu s tvoriacim prvkom 1 (alebo –1), pretože akékoľvek celé číslo je násobkom 1.

4) Zvážte súbor koreňov n- sila jednoty: E n=. Táto množina je skupina vzhľadom na operáciu násobenia koreňov. V skutočnosti je to produkt akýchkoľvek dvoch prvkov e k A e m od E n, Kde k, m £ n-1 bude tiež prvkom E n, keďže = = , kde r=(k+m) mod n A r £ n-1; násobenie asociatívny, neutrálny prvok e=e 0 = 1 a pre ľubovoľný prvok e k existuje spätný chod a . Táto skupina je cyklická, jej tvoriacim prvkom je primitívny koreň. Je ľahké vidieť, že všetky právomoci sú odlišné: , ďalej pre k³ n korene sa začínajú opakovať. V komplexnej rovine sú korene umiestnené na kruhu s jednotkovým polomerom a rozdeľujú ho na n rovnaké oblúky, ako je znázornené na obrázku 11.

Posledné dva príklady v podstate vyčerpajú všetky cyklické skupiny. Pretože nasledujúca veta je pravdivá.

Veta 2.7.2. Všetky nekonečné cyklické skupiny sú navzájom izomorfné. Všetky konečné cyklické grupy poriadku n sú navzájom izomorfné.

Dôkaz. Nechajte ( G, ∘) je nekonečná cyklická grupa s tvoriacim prvkom g. Potom je tu bijektívne mapovanie f: ℤ ® G tak, že pre akékoľvek celé čísla k A m ich obrázky f(k) A f(m), rovnaké resp g k A g m, sú prvky G. A kde f(k+m)=f(k)∘f(m), pretože g k + m=g k∘ g m.

Nechaj teraz ( G, ∘) je konečná cyklická grupa poriadku n s generujúcim prvkom g. Potom každý prvok g kÎ G jediný spôsob, ako priradiť prvok, je e kÎ E n(0£ k<n), podľa pravidla f(g k)=e k. A zároveň na akúkoľvek g k A g mÎ G z toho vyplýva f(g k∘ g m)=f(g k) ∘f(g m), pretože f(g k∘ g m)=f(g k + m)=f(g r), Kde r=(k+m) mod n, A f(g r)=e r=e k× e m. Je jasné, že takéto mapovanie je bijektívnym mapovaním.