Aby sme porozumeli tejto téme, uvažujme o funkcii zobrazenej na grafe // Ukážme si, ako vám graf funkcie umožňuje určiť jej vlastnosti.

Pozrime sa na vlastnosti funkcie pomocou príkladu

Oblasť definície funkcie je rozpätie [ 3,5; 5,5].

Rozsah hodnôt funkcie je rozpätie [ 1; 3].

1. Pri x = -3, x = - 1, x = 1,5, x = 4,5 je hodnota funkcie nulová.

Hodnota argumentu, pri ktorej je funkčná hodnota nula, sa nazýva funkcia nula.

//tie. pre túto funkciu sú čísla -3;-1;1,5; 4,5 sú nuly.

2. V intervaloch [ 4,5; 3) a (1; 1.5) a (4.5; 5.5] je graf funkcie f umiestnený nad osou x a v intervaloch (-3; -1) a (1.5; 4.5) pod osou x. je vysvetlená nasledovne: na intervaloch [ 4.5; 3) a (1; 1.5) a (4.5; 5.5] nadobúda funkcia kladné hodnoty a na intervaloch (-3; -1) a ( 1.5; 4.5) záporné.

Každý z uvedených intervalov (kde funkcia nadobúda hodnoty rovnakého znamienka) sa nazýva interval konštantného znamienka funkcie f.//t.j. ak si napríklad vezmeme interval (0; 3), tak to nie je interval konštantného znamienka tejto funkcie.

V matematike je pri hľadaní intervalov konštantného znamienka funkcie zvykom uvádzať intervaly maximálnej dĺžky. //Tie. interval (2; 3) je interval stálosti znamienka funkcia f, ale odpoveď by mala obsahovať interval [ 4,5; 3) obsahujúci interval (2; 3).

3. Ak sa posuniete pozdĺž osi x z 4,5 na 2, všimnete si, že graf funkcie klesá, to znamená, že hodnoty funkcie klesajú. //V matematike je zvykom povedať, že na intervale [ 4,5; 2] funkcia klesá.

Keď sa x zvyšuje z 2 na 0, graf funkcie stúpa, t.j. hodnoty funkcie sa zvyšujú. //V matematike je zvykom povedať, že na intervale [ 2; 0] funkcia sa zvýši.

Funkcia f sa volá, ak pre ľubovoľné dve hodnoty argumentu x1 a x2 z tohto intervalu tak, že x2 > x1 platí nerovnosť f (x2) > f (x1). // alebo sa volá funkcia zvýšenie v určitom intervale, ak pre ľubovoľné hodnoty argumentu z tohto intervalu väčšia hodnota argumentu zodpovedá väčšej hodnote funkcie.//t.j. čím viac x, tým viac y.

Volá sa funkcia f v určitom intervale klesá, ak pre ľubovoľné dve hodnoty argumentu x1 a x2 z tohto intervalu tak, že x2 > x1 sa nerovnosť f(x2) na nejakom intervale zmenšuje, ak pre ľubovoľné hodnoty argumentu z tohto intervalu je väčšia hodnota argumentu zodpovedá menšej hodnote funkcie. //tie. čím viac x, tým menej y.

Ak funkcia narastá v celej oblasti definície, potom sa volá zvyšujúci sa.

Ak funkcia klesá v celej oblasti definície, potom sa volá klesajúci.

Príklad 1 graf rastúcich a klesajúcich funkcií resp.

Príklad 2

Definujte fenomén. Je lineárna funkcia f(x) = 3x + 5 rastúca alebo klesajúca?

Dôkaz. Použime definície. Nech x1 a x2 sú ľubovoľné hodnoty argumentu a x1< x2., например х1=1, х2=7

Funkcie a ich vlastnosti

Funkcia je jedným z najdôležitejších matematických pojmov.Funkcia Nazývajú takú závislosť premennej y od premennej x, v ktorej každej hodnote premennej x zodpovedá jedna hodnota premennej y.

Variabilné X volal nezávislá premenná alebo argument. Variabilné pri volal závislá premenná. Aj to hovoriapremenná y je funkciou premennej x. Hodnoty závislej premennej sa nazývajúfunkčné hodnoty.

Ak závislosť premennejpri z premennejX je funkcia, potom ju možno stručne zapísať takto:r= f( x ). (Prečítajte si:pri rovná saf odX .) Symbolf( x) označujú hodnotu funkcie zodpovedajúcu hodnote argumentu rovnúX .

Všetky hodnoty formy nezávislej premennejdoména funkcie . Všetky hodnoty, ktoré má závislá premennáfunkčný rozsah .

Ak je funkcia špecifikovaná vzorcom a jej doména definície nie je špecifikovaná, potom sa doména definície funkcie považuje za pozostávajúcu zo všetkých hodnôt argumentu, pre ktoré má vzorec zmysel.

Metódy na určenie funkcie:

1.analytická metóda (funkcia sa špecifikuje pomocou matematického vzorca;

2.tabuľková metóda (funkcia je špecifikovaná pomocou tabuľky)

3.deskriptívna metóda (funkcia je špecifikovaná slovným popisom)

4. grafická metóda (funkcia sa špecifikuje pomocou grafu).

Funkčný graf pomenujte množinu všetkých bodov súradnicovej roviny, ktorých úsečky sa rovnajú hodnotám argumentu a súradníc - zodpovedajúce funkčné hodnoty.

ZÁKLADNÉ VLASTNOSTI FUNKCIÍ

1. Funkčné nuly

Nula funkcie je hodnota argumentu, pri ktorej sa hodnota funkcie rovná nule.

2. Intervaly konštantného znamienka funkcie

Intervaly konštantného znamienka funkcie sú množiny hodnôt argumentov, v ktorých sú hodnoty funkcie iba kladné alebo záporné.

3. Zvyšujúca (klesajúca) funkcia.

Zvyšovanie v určitom intervale je funkcia funkcia, ktorej väčšia hodnota argumentu z tohto intervalu zodpovedá väčšej hodnote funkcie.

Funkcia y = f ( x ) volal zvyšujúci sa na intervale (A; b ), ak pre nejaké x 1 A x 2 z tohto intervalu tak, žex 1 < x 2 , nerovnosť je pravdiváf ( x 1 )< f ( x 2 ).

Zostupne v určitom intervale je funkcia taká funkcia, v ktorej väčšej hodnote argumentu z tohto intervalu zodpovedá menšia hodnota funkcie.

Funkcia pri = f ( x ) volal klesajúci na intervale (A; b ) , ak pre nejaké x 1 A x 2 z tohto intervalu tak, že x 1 < x 2 , nerovnosť je pravdiváf ( x 1 )> f ( x 2 ).

4. Párna (nepárna) funkcia

Dokonca aj funkcia - funkcia, ktorej definičný obor je symetrický vzhľadom na počiatok súradníc a pre ľubovoľnéX z oblasti definície rovnostif (- x ) = f ( x ) . Graf párnej funkcie je symetrický podľa ordináty.

Napríklad y = x 2 - rovnomerná funkcia.

Neobyčajná funkcia- funkcia, ktorej definičný obor je symetrický vzhľadom na počiatok súradníc a pre ľubovoľné X z oblasti definície platí rovnosť f (- x ) = - f (x ). Graf nepárnej funkcie je symetrický podľa pôvodu.

Napríklad: y = x 3 - nepárna funkcia .

Funkcia všeobecného tvaru nie je párna ani nepárna (y = x 2 +x ).

Vlastnosti niektorých funkcií a ich grafika

1. Lineárna funkcia nazývaná funkcia formulára , Kde k A b – čísla.

Definičný obor lineárnej funkcie je množinaR reálne čísla.

Graf lineárnej funkciepri = kx + b ( k ≠ 0) je priamka prechádzajúca bodom (0;b ) a rovnobežne s čiaroupri = kx .

Rovné, nie rovnobežné s osouoh, je graf lineárnej funkcie.

Vlastnosti lineárnej funkcie.

1. Kedy k > Funkcia 0 pri = kx + b

2. Kedy k < Funkcia 0 y = kx + b v oblasti definície.

r = kx + b ( k ≠ 0 ) je celý číselný rad, t.j. veľaR reálne čísla.

O k = 0 sada funkčných hodnôty = kx + b pozostáva z jedného číslab .

3. Kedy b = 0 a k = 0 funkcia nie je ani párna, ani nepárna.

O k = 0 lineárna funkcia má tvary = b a pri b ≠ 0 je to rovnomerné.

O k = 0 a b = 0 lineárna funkcia má tvary = 0 a je párne aj nepárne.

Graf lineárnej funkciey = b je priamka prechádzajúca bodom (0; b ) a rovnobežne s osouOh. Všimnite si, že kedy b = 0 funkčný grafy = b sa zhodujú s osou Oh .

5. Kedy k > 0 to máme pri> 0, ak a pri< 0 ak . O k < 0 máme, že y > 0, ak a pri< 0, если .

2. Funkcia r = x 2

Rreálne čísla.

Uvedenie premennejX niekoľko hodnôt z domény funkcie a výpočet zodpovedajúcich hodnôtpri podľa vzorca r = x 2 , znázorňujeme graf funkcie.

Graf funkcie r = x 2 volal parabola.

Vlastnosti funkcie y = x 2 .

1. Ak X= 0 teda y = 0, t.j. Parabola má spoločný bod so súradnicovými osami (0; 0) - počiatok súradníc.

2. Ak x ≠ 0 , To pri > 0, t.j. všetky body paraboly okrem počiatku ležia nad osou x.

3. Sada funkčných hodnôtpri = X 2 je funkcia rozpätiapri = X 2 klesá.

X

3.Funkcia

Oblasťou tejto funkcie je funkcia rozpätiar = | x | klesá.

7. Funkcia nadobúda v bode svoju najmenšiu hodnotuX, to rovná sa 0. Neexistuje žiadna najväčšia hodnota.

6. Funkcia

Rozsah funkcie: .

Rozsah funkcií: .

Graf je hyperbola.

1. Funkčné nuly.

y ≠ 0, žiadne nuly.

2. Intervaly stálosti znakov,

Ak k > 0, teda pri> 0 at X > 0; pri < 0 при X < О.

Ak k < 0, то pri < 0 при X > 0; pri> 0 at X < 0.

3. Intervaly zvyšovania a znižovania.

Ak k > 0, potom funkcia klesá ako .

Ak k < 0, то функция возрастает при .

4. Párna (nepárna) funkcia.

Funkcia je nepárna.

Štvorcový trojčlen

Rovnica formulára sekera 2 + bx + c = 0, kde a , b A s - niektoré čísla aa≠ 0, tzv štvorec.

V kvadratickej rovnicisekera 2 + bx + c = 0 koeficient A volal prvý koeficient b - druhé koeficienty, s - voľný člen.

Vzorec pre korene kvadratickej rovnice je:

.

Výraz je tzv diskriminačný kvadratickej rovnice a označuje saD .

Ak D = 0, potom existuje iba jedno číslo, ktoré vyhovuje rovnici sekera 2 + bx + c = 0. Dohodli sme sa však, že v tomto prípade má kvadratická rovnica dva rovnaké reálne korene a samotné číslo volal dvojitý koreň.

Ak D < 0, то квадратное уравнение не имеет действительных корней.

Ak D > 0, potom má kvadratická rovnica dva rôzne reálne korene.

Nech je daná kvadratická rovnicasekera 2 + bx + c = 0. Odkedy a≠ 0, potom obe strany tejto rovnice vydelímeA, dostaneme rovnicu . Veriaci A , dostávame sa k rovnici , v ktorom sa prvý koeficient rovná 1. Táto rovnica sa nazývadaný.

Vzorec pre korene vyššie uvedenej kvadratickej rovnice je:

.

Rovnice formulára

A x 2 + bx = 0, sekera 2 + s = 0, A x 2 = 0

sa volajú neúplné kvadratické rovnice. Neúplné kvadratické rovnice sa riešia faktorizáciou ľavej strany rovnice.

Vietov teorém .

Súčet koreňov kvadratickej rovnice sa rovná pomeru druhého koeficientu k prvému, branému s opačným znamienkom, a súčin koreňov je pomer voľného člena k prvému koeficientu, t.j.

Konverzná veta.

Ak súčet akýchkoľvek dvoch číselX 1 A X 2 rovná sa a ich súčin je rovnaký, potom tieto čísla sú koreňmi kvadratickej rovniceOh 2 + b x + c = 0.

Funkcia formulára Oh 2 + b x + c volal štvorcový trojčlen. Korene tejto funkcie sú koreňmi zodpovedajúcej kvadratickej rovniceOh 2 + b x + c = 0.

Ak je diskriminant kvadratického trinomu väčší ako nula, potom tento trinom môže byť reprezentovaný ako:

Oh 2 + b x + c = a(x-x 1 ) (x-x 2 )

Kde X 1 A X 2 - korene trojčlenky

Ak je diskriminant kvadratického trinomu nula, potom tento trinom môže byť reprezentovaný ako:

Oh 2 + b x + c = a(x-x 1 ) 2

Kde X 1 - koreň trojčlenky.

napr. 3x 2 - 12x + 12 = 3 (x - 2) 2 .

Rovnica formulára Oh 4 + b X 2 + s= 0 sa volá bikvadratický. Použitie variabilnej náhrady pomocou vzorcaX 2 = r redukuje sa na kvadratickú rovnicuA r 2 + podľa + c = 0.

Kvadratická funkcia

Kvadratická funkcia je funkcia, ktorú možno zapísať pomocou vzorca vo former = sekera 2 + bx + c , Kde x - nezávislá premenná,a , b A c – niektoré čísla aa ≠ 0.

Vlastnosti funkcie a typ jej grafu sú určené hlavne hodnotami koeficientua a diskriminačné.

Vlastnosti kvadratickej funkcie

Rozsah:R;

Rozsah hodnôt:

pri A > 0 [- D/(4 a); ∞)

pri A < 0 (-∞; - D/(4 a)];

Párne, nepárne:

pri b = 0 párna funkcia

pri b ≠ Funkcia 0 nie je párna ani nepárna

pri D> 0 dve nuly: ,

pri D= 0 jedna nula:

pri D < 0 нулей нет

Intervaly stálosti znamienka:

ak a > 0, D> 0, teda

ak a > 0, D= 0 teda

e ak a > 0, D < 0, то

ak a< 0, D> 0, teda

ak a< 0, D= 0 teda

ak a< 0, D < 0, то

- Intervaly monotónnosti

pre > 0

v a< 0

Graf kvadratickej funkcie jeparabola – krivka symetrická podľa priamky , prechádzajúci vrcholom paraboly (vrchol paraboly je priesečník paraboly s osou symetrie).

Na vytvorenie grafu kvadratickej funkcie potrebujete:

1) nájdite súradnice vrcholu paraboly a označte ju v rovine súradníc;

2) zostrojte niekoľko ďalších bodov patriacich do paraboly;

3) spojte označené body hladkou čiarou.

Súradnice vrcholu paraboly sú určené vzorcami:

; .

Konverzia funkčných grafov

1. Strečing grafikay = x 2 pozdĺž osipri V|a| krát (o|a| < 1 je kompresia 1/|a| raz).

Ak, a< 0, произвести, кроме того, зеркальное отражение графика отно­сительно оси X (vetvy paraboly budú smerovať dole).

výsledok: graf funkciey = ah 2 .

2. Paralelný prenos funkčná grafikay = ah 2 pozdĺž osiX na| m | (vpravo, keď

m > 0 a doľava, keďT< 0).

Výsledok: funkčný grafy = a(x - t) 2 .

3. Paralelný prenos funkčná grafika pozdĺž osipri na| n | (hore op> 0 a dole prin< 0).

Výsledok: funkčný grafy = a(x - t) 2 + p.

Kvadratické nerovnosti

Nerovnosti formyOh 2 + b x + c > 0 aOh 2 + bx + c< 0, kdeX - variabilný,a , b As - niektoré čísla aa≠ 0 sa nazývajú nerovnosti druhého stupňa s jednou premennou.

Riešenie nerovnosti druhého stupňa v jednej premennej možno považovať za nájdenie intervalov, v ktorých zodpovedajúca kvadratická funkcia nadobúda kladné alebo záporné hodnoty.

Na riešenie nerovností tvaruOh 2 + bx + c > 0 aOh 2 + bx + c< 0 postupujte nasledovne:

1) nájdite diskriminant kvadratického trinómu a zistite, či má trinóm korene;

2) ak má trojčlen korene, označte ich na osiX a cez vyznačené body je schematicky nakreslená parabola, ktorej vetvy smerujú nahorA > 0 alebo nižšie, keďA< 0; ak trojčlenka nemá korene, potom schematicky znázornite parabolu umiestnenú v hornej polrovine atA > 0 alebo nižšie priA < 0;

3) nájdete na osiX intervaly, pre ktoré sú body paraboly umiestnené nad osouX (ak je nerovnosť vyriešenáOh 2 + bx + c > 0) alebo pod osouX (ak je nerovnosť vyriešenáOh 2 + bx + c < 0).

Príklad:

Vyriešme nerovnosť .

Zvážte funkciu

Jeho grafom je parabola, ktorej vetvy smerujú nadol (od r ).

Poďme zistiť, ako je graf umiestnený vzhľadom na osX. Poďme na to vyriešiť rovnicu . Chápeme tox = 4. Rovnica má jeden koreň. To znamená, že parabola sa dotýka osiX.

Schematickým znázornením paraboly zistíme, že funkcia nadobúda záporné hodnoty pre ľubovoľnúX, okrem 4.

Odpoveď možno napísať takto:X - akékoľvek číslo, ktoré sa nerovná 4.

Riešenie nerovníc intervalovou metódou

schéma riešenia

1. Nájdite nuly funkcia na ľavej strane nerovnosti.

2. Označte polohu núl na číselnej osi a určte ich násobnosť (Akk i je párne, potom nula je párnej násobnosti, akk i nepárne je nepárne).

3. Nájdite znaky funkcie v intervaloch medzi jej nulami, počnúc intervalom úplne vpravo: v tomto intervale je funkcia na ľavej strane nerovnosti vždy kladná pre danú formu nerovností. Pri prechode sprava doľava cez nulu funkcie z jedného intervalu do susedného intervalu je potrebné vziať do úvahy:

ak je nula nepárna multiplicita, znamienko funkcie sa mení,

ak je nula párna násobnosti, znamienko funkcie sa zachová.

4. Zapíšte si odpoveď.

Príklad:

(x + 6) (x + 1) (X - 4) < 0.

Našli sa nuly funkcie. Sú si rovní:X 1 = -6; X 2 = -1; X 3 = 4.

Označme nuly funkcie na súradnicovej čiaref ( x ) = (x + 6) (x + 1) (X - 4).

Nájdite znamienka tejto funkcie v každom z intervalov (-∞; -6), (-6; -1), (-1; 4) a

Z obrázku je zrejmé, že množina riešení nerovnice je zjednotením intervalov (-∞; -6) a (-1; 4).

Odpoveď: (-∞ ; -6) a (-1; 4).

Uvažovaná metóda riešenia nerovností je tzvintervalová metóda.

Doména definície a rozsah hodnôt funkcie. V elementárnej matematike sa funkcie študujú iba na množine reálnych čísel R.To znamená, že argument funkcie môže nadobúdať iba tie reálne hodnoty, pre ktoré je funkcia definovaná, t.j. tiež akceptuje len skutočné hodnoty. Veľa X všetky platné platné hodnoty argumentov x, pre ktorú funkciu r= f(x)definovaný, tzv doména funkcie. Veľa Y všetky skutočné hodnoty r, ktorú funkcia akceptuje, sa volá funkčný rozsah. Teraz môžeme poskytnúť presnejšiu definíciu funkcie: pravidlo(zákon) o zhode medzi množinami X a Y, podľa ktorého pre každý prvok zo sadyX dokáže nájsť jeden jediný prvok z množiny Y, nazývaný funkcia.

Z tejto definície vyplýva, že funkcia sa považuje za definovanú, ak:

Doména funkcie je špecifikovaná X ;

Rozsah funkcií je špecifikovaný Y ;

Pravidlo (zákon) korešpondencie je známe, a to také, že pre každého

Pre hodnotu argumentu možno nájsť iba jednu funkčnú hodnotu.

Táto požiadavka jedinečnosti funkcie je povinná.

Monotónna funkcia. Ak pre ľubovoľné dve hodnoty argumentu x 1 a x 2 podmienky x 2 > x 1 nasleduje f(x 2) > f(x 1), potom funkcia f(x) sa nazýva zvyšujúci sa; ak pre nejaké x 1 a x 2 podmienky x 2 > x 1 nasleduje f(x 2) < f(x 1), potom funkcia f(x) sa nazýva klesajúci. Volá sa funkcia, ktorá iba zvyšuje alebo iba znižuje monotónna.

Obmedzené a neobmedzené funkcie. Funkcia sa volá obmedzené, ak je takéto kladné číslo Mčo | f(x) | M pre všetky hodnoty x. Ak takéto číslo neexistuje, potom funkcia existuje neobmedzené.

PRÍKLADY.

Funkcia znázornená na obr. 3 je obmedzená, ale nie monotónna. Funkcia na obr. 4 je práve opačná, monotónna, ale neobmedzená. (Vysvetlite to prosím!).

Spojité a nespojité funkcie. Funkcia r = f (x) sa nazýva nepretržitý v bodex = a, Ak:

1) funkcia je definovaná kedy x = a, t.j. f (a) existuje;

2) existuje konečný limit lim f (x) ;

x→a

(pozri limity funkcií)

3) f (a) = lim f (x) .

x→a

Ak aspoň jedna z týchto podmienok nie je splnená, funkcia sa volá výbušný v bode x = a.

Ak je funkcia nepretržitá počas všetci body svojej oblasti definície, potom sa volá nepretržitá funkcia.

Párne a nepárne funkcie. Ak pre akékoľvek x f(- x) = f (x), potom sa zavolá funkcia dokonca;ak nastane: f(- x) = - f (x), potom sa zavolá funkcia nepárne. Graf párnej funkcie symetrické okolo osi Y(obr. 5), graf nepárnej funkcie Simmetrický vzhľadom na pôvod(obr. 6).

Periodická funkcia. Funkcia f (x) - periodické, ak niečo také existuje nenulovéčíslo T načo akékoľvek x z oblasti definície funkcie platí: f (x + T) = f (x). Toto najmenejčíslo sa volá obdobie funkcie. Všetky goniometrické funkcie sú periodické.

Príklad 1 Dokážte ten hriech x má obdobie 2.

Riešenie: Vieme, že hriech ( x+ 2n) = hriech x, Kde n= 0, ± 1, ± 2, …

Preto dodatok 2 n nie k sínusovému argumentu

Mení jeho význam. Je s tým iné číslo

Rovnaký majetok?

Predpokladajme, že P- také číslo, t.j. rovnosť:

Sin( x+P) = hriech x,

Platí pre akúkoľvek hodnotu x. Ale potom má

Miesto a čas x= / 2, t.j.

Hriech(/2 + P) = hriech / 2 = 1.

Ale podľa redukčného vzorca sin ( / 2 + P) = cos P. Potom

Z posledných dvoch rovností vyplýva, že cos P= 1, ale my

Vieme, že to platí len vtedy P = 2n. Od najmenšieho

Nenulové číslo od 2 n je 2, potom toto číslo

A je tu dobový hriech x. Podobným spôsobom sa dá dokázať, že 2 od n je , takže toto je obdobie sin 2 x.

Funkčné nuly. Zavolá sa hodnota argumentu, pri ktorej sa funkcia rovná 0 nula (root) funkcia. Funkcia môže mať viacero núl, napríklad funkcia r = x (x + 1) (x-3) má tri nuly: x= 0, x= -1, x= 3. Geometricky nulová funkcia - toto je úsečka priesečníka funkčného grafu s osou X .

Obrázok 7 zobrazuje graf funkcie s nulami: x= a, x = b A x= c.

Asymptota. Ak sa graf funkcie neobmedzene približuje k určitej čiare, keď sa vzďaľuje od začiatku, potom sa táto čiara nazýva asymptota.

1) Funkčná oblasť a funkčný rozsah.

Doména funkcie je množina všetkých platných hodnôt argumentov x(premenná x), pre ktoré je funkcia y = f(x) určený. Rozsah funkcie je množina všetkých reálnych hodnôt r, ktorú funkcia akceptuje.

V elementárnej matematike sa funkcie študujú iba na množine reálnych čísel.

2) Funkčné nuly.

Funkcia nula je hodnota argumentu, pri ktorej sa hodnota funkcie rovná nule.

3) Intervaly konštantného znamienka funkcie.

Intervaly konštantného znamienka funkcie sú množiny hodnôt argumentov, v ktorých sú hodnoty funkcie iba kladné alebo záporné.

4) Monotónnosť funkcie.

Rastúca funkcia (v určitom intervale) je funkcia, v ktorej väčšia hodnota argumentu z tohto intervalu zodpovedá väčšej hodnote funkcie.

Klesajúca funkcia (v určitom intervale) je funkcia, v ktorej väčšej hodnote argumentu z tohto intervalu zodpovedá menšia hodnota funkcie.

5) Párna (nepárna) funkcia.

Párna funkcia je funkcia, ktorej definičný obor je symetrický vzhľadom na pôvod a pre ľubovoľný X z oblasti definície rovnosti f(-x) = f(x).

Graf párnej funkcie je symetrický podľa ordináty. X Nepárna funkcia je funkcia, ktorej definičný obor je symetrický vzhľadom na pôvod a pre ľubovoľný z oblasti definície platí rovnosť f(-x) = - f(x

)..

Graf nepárnej funkcie je symetrický podľa pôvodu.

6) Obmedzené a neobmedzené funkcie.

Funkcia sa nazýva ohraničená, ak existuje kladné číslo M také, že |f(x)| ≤ M pre všetky hodnoty x. Ak takéto číslo neexistuje, funkcia je neobmedzená.

7) Periodicita funkcie

Základné elementárne funkcie. Ich vlastnosti a grafy

1. Lineárna funkcia.

Lineárna funkcia sa nazýva funkcia tvaru , kde x je premenná, a a b sú reálne čísla.

číslo A nazývaný sklon priamky, rovná sa dotyčnici uhla sklonu tejto priamky ku kladnému smeru osi x. Graf lineárnej funkcie je priamka. Je definovaný dvoma bodmi.

Vlastnosti lineárnej funkcie

1. Definičný obor - množina všetkých reálnych čísel: D(y)=R

2. Množina hodnôt je množina všetkých reálnych čísel: E(y)=R

3. Funkcia nadobúda nulovú hodnotu, keď alebo.

4. Funkcia rastie (klesá) v celom definičnom obore.

5. Lineárna funkcia je spojitá v celom definičnom obore, diferencovateľná a .

2. Kvadratická funkcia.

Volá sa funkcia tvaru, kde x je premenná, koeficienty a, b, c sú reálne čísla kvadratický.