Prezentácia "Konštrukcia trojuholníka pomocou troch prvkov." Prezentácia na tému „zostrojenie trojuholníka pomocou troch prvkov“ Trojuholník, v ktorom je jeden uhol tupý, sa nazýva

V dnešnej lekcii sa bližšie pozrieme na konštrukčné úlohy. Zostrojenie trojuholníka pomocou troch prvkov a konštrukčných úloh vo všeobecnosti je objemová trieda. Pri práci s teorémami sme sa stretli s najjednoduchšími z nich a teraz stojí za to použiť všetky nahromadené teoretické znalosti na riešenie typických problémov.

snímky 1-2 (Téma prezentácie „Konštrukcia trojuholníka pomocou troch prvkov“, príklad)

Takže v stave nášho problému sú tri prvky: dve strany a uhol medzi týmito stranami. Známe znamenie, že trojuholník je rovnaký na základe dvoch strán a uhla. To znamená, že keď sú dve strany a uhol jedného trojuholníka totožné s dvomi stranami a uhlom iného trojuholníka, potom sú tieto trojuholníky zhodné. To znamená, že takýchto trojuholníkov môže byť na doske v rôznych rohoch nespočetné množstvo, ale v skutočnosti to bude ten istý trojuholník. Dve strany a uhol teda jednoznačne definujú trojuholník, ktorý sa v konečnom dôsledku môže pohybovať pozdĺž roviny. Takže toto je taký trojuholník, ktorý musíme postaviť.

Nakreslíme trojuholník „ABC“, ktorý budeme musieť postaviť. Používame pomerne štandardnú notáciu.

Ukazuje sa, že máme určitý segment „P1Q1“. Druhý segment je „P2Q2“, oba segmenty sú požadovaný trojuholník. Uvedený je aj uhol „hk“. Hodnota uhla je špecifikovaná, ale nie je definovaná. Pamätáme si však, že nemôže byť vyššia ako stoosemdesiat stupňov.

Vezmime si priamku a nakreslíme na ňu úsečku „P2Q2“, ktorej dĺžku vieme zmerať kompasom. Vieme, že na priamku môžeme nakresliť úsečku z daného bodu, pričom poznáme jeho dĺžku. Čo je presne to, čo robíme. Ďalej odmeriame daný uhol od daného lúča a z nášho bodu pokračujeme v lúči pod určitým uhlom. Uhol je možné merať pomocou uhlomeru. Na nový lúč umiestnime segment „P1Q1“. Koncové body na lúčoch je potrebné spojiť a dostaneme trojuholník. Je trojuholník ten, ktorý hľadáme? Áno, pretože boli použité všetky potrebné údaje.

snímky 3-4 (príklady)

Tento problém tiež zodpovedá testu zhody trojuholníkov, ktorý hovorí, že trojuholníky sú zhodné, ak sú jedna strana a dva susedné uhly zhodné. Konkrétne je táto úloha nasledovná. Nakreslíme tiež trojuholník, ktorý by sme mali postaviť a označíme ho „ABC“. Dostali sme segment dĺžky „MN“, uhol „beta“ a „alfa“.

Na ľubovoľnú priamku nakreslíme bod „A“. Od tohto bodu odložíme požadovaný segment, pričom sme predtým zmerali jeho dĺžku pomocou kompasu. Ďalej z bodu „A“ nakreslíme uhol „alfa“ a z vrcholu „B“ nakreslíme požadovaný uhol „beta“. Priesečník týchto lúčov bude tretím vrcholom daného trojuholníka. Tvrdíme, že trojuholník „ABC“ je požadovaný. prečo? Pretože strana „AB“ sa rovná pôvodnej strane „MN“ a dané uhly nájdeme na základni výsledného obrazca. Trojuholníky môžete stavať v rôznych rovinách v každom prípade, budú to tie, ktoré hľadáte.

Na upevnenie tretieho príkladu je potrebné poskytnúť študentom nezávislú analýzu, ktorú potom budú analyzovať a učiť spolu s jedným zo študentov. Na začiatku sú uvedené niektoré segmenty dĺžky „P1Q1“, „P2Q2“, „P3Q3“. Vidíme, že segmenty majú rôznu dĺžku, to znamená, že žiadny z nich nie je rovnaký, takže dostaneme ľubovoľný trojuholník. Na vyriešenie problému budete opäť potrebovať pravítko a kompas.

Zostrojme priamku „a“, na ktorú umiestnime bod „B“. Od tohto bodu nakreslíme segment dĺžky „P1Q1“, pretože je najväčší. Potom pomocou kompasu zmerajte segment „P3Q3“ a nakreslite kruh so stredom v bode „B“. Potom akciu zopakujeme, ale v bode „A“ nakreslíme kruh s polomerom „P2Q2“. V priesečníku kružníc je tretí vrchol nášho trojuholníka. Budú dva z týchto bodov, ale nezáleží na tom, v ktorej rovine trojuholník nakreslíte, pretože v každom prípade to bude ten, ktorý hľadáte.

Práca obsahuje 29 snímok na lekciu na tému „Konštrukcia trojuholníkov pomocou troch prvkov“

n1) Oboznámiť sa s problematikou konštrukcie trojuholníkov;

n2) Odvoďte algoritmus na riešenie úloh zostrojovania trojuholníkov.

n3) Pokúste sa nezávisle zostaviť trojuholníky pomocou troch prvkov.

Konštrukčný algoritmus

1. Nakreslíme rovnú čiaru A.

2. Nasaďte ho pomocou

segment kompasu AB, rovné

segment M 1 N1.

3. Zostrojte uhol VÁM, rovné

tento uhol hk.

4. Na nosníku AM odložte segment

AC rovná segmentu M 2 N2 .

5. Nakreslíme segment B.C..

6. Zostrojený trojuholník

ABC- vyhľadávaný.

Konštrukčný algoritmus

1. Nakreslíme lúč AK so začiatkom

v bode A.

2 Od začiatku lúča odložíme

úsečka AB rovná segmentu M 1N1.

3. Odložme od začiatku lúča od

pomocou uhla kompasu C1AB,

rovný uhlu hk.

4. Zostrojte uhol ABC2, rovné

rohu mn.

5. Priesečník lúčov

AC1 A BC2 označte bodkou S.

6. Zostrojený trojuholník

ABC- vyhľadávaný.

Konštrukčný algoritmus

1. Nakreslíme rovnú čiaru A.

AB rovná segmentu M 1N1.

3. Zostrojte kruh s

stred A a polomer M 2 N2 .

4. Zostrojte kruh s

stred IN polomer M 3 N3 .

bodka S.

6. Nakreslíme segmenty AC A slnko.

7. Zostrojený trojuholník ABC- vyhľadávaný.

Zobraziť obsah dokumentu
„prezentácia na lekciu geometrie „Konštrukcia trojuholníkov“, ročník 7“

Stavebné úlohy

Zostrojenie uhla rovného danému

Úloha

Vzhľadom na to:

Konštrukcia:

Zostava:

6. okr(E,BC)

2. okr(A,r) ; g-akýkoľvek

 KOM =  A

3. sk(A; g)  A=  B; C 

7. okr(E,BC)  okr(O,g)=  K;K 1 

4. okr(O,g)

5. okr(O,g)  OM=  E 

Úloha

Zostrojte os daného uhla

Dané :

Stavať :

Lúč AE - os  A

Stavebníctvo :

5. okr(B; g 1)  okr(C; g 1)=  E 1 

1. env(A; r); g-akýkoľvek

6. E-vnútri  A

2. sk(A; g)  A=  B; C 

3. sk(V;g 1)

4. sk(C;g 1)

8. AE- vyhľadané

Zostrojenie trojuholníka pomocou troch prvkov

• Skupina 1 - konštrukcia trojuholníka pomocou dvoch strán a uhla medzi nimi.
• Skupina 2 - konštrukcia trojuholníka pomocou dvoch uhlov a strany medzi nimi.
• Skupina 3 - konštrukcia trojuholníka na troch stranách.

1. segmenty M 1 N 1 a M 2 N 2.

1. segment MN.

Potrebujete: na zostrojenie trojuholníka použiť kružidlo a pravítko bez dielikov mierky.

Segmenty: M 1 N 1, M 2 N 2, M 3 N 3

Potrebujete: na zostrojenie trojuholníka použiť kružidlo a pravítko bez dielikov mierky.

Zostrojte trojuholník pomocou dvoch strán a uhla medzi nimi

Igor Zhaborovsky © 2011

UROKI MATEMATIKA .RU

Stavebníctvo

Konštrukčný algoritmus

1. Nakreslíme rovnú čiaru A .

2. Nasaďte ho pomocou

segment kompasu AB, rovné

segment M 1 N1 .

3. Zostrojte uhol VÁM, rovné

tento uhol hk .

4. Na nosníku AM odložte segment

AC rovná segmentu M 2 N 2 .

5. Nakreslíme segment B.C. .

6. Zostrojený trojuholník

ABC- vyhľadávaný.

Zostrojte trojuholník pomocou strany a dvoch susedných uhlov

Igor Zhaborovsky © 2011

UROKI MATEMATIKA .RU

Konštrukčný algoritmus

1. Nakreslíme lúč AK so začiatkom

v bode A .

2 Od začiatku lúča odložíme

úsečka AB rovná segmentu M 1N1 .

3. Odložme od začiatku lúča od

pomocou uhla kompasu C1AB ,

rovný uhlu hk .

4. Zostrojte uhol ABC2, rovné

rohu mn .

5. Priesečník lúčov

AC1 A BC2 označte bodkou S .

6. Zostrojený trojuholník

ABC- vyhľadávaný.

Stavebníctvo

Rýchlo sme vstali od stolov

A kráčali na mieste

• A teraz sme sa zasmiali
• Vyššie, vyššie sme sa dostali.

Narovnajte ramená

zdvihnúť, znížiť,

Odbočte doľava, odbočte doľava.

A opäť si sadnite za stôl.

Zostrojte trojuholník pomocou jeho troch strán

Igor Zhaborovsky © 2011

UROKI MATEMATIKA .RU

Zostrojte trojuholník pomocou jeho troch strán

Konštrukčný algoritmus

1. Nakreslíme rovnú čiaru A .

2. Pomocou kružidla naň nakreslite úsečku AB rovná segmentu M 1N1 .

3. Zostrojte kruh s

stred A a polomer M 2 N 2 .

4. Zostrojte kruh s

stred IN polomer M 3 N 3 .

5. Označme jeden z priesečníkov týchto kružníc

bodka S .

6. Nakreslíme segmenty AC A slnko .

7. Zostrojený trojuholník ABC- vyhľadávaný.

Igor Zhaborovsky © 2011

UROKI MATEMATIKA .RU

Úloha (sám za seba)

Zostrojte trojuholník pomocou jeho troch strán

Konštrukčný algoritmus

1. Nakreslíme rovnú čiaru A .

2. Pomocou kružidla naň nakreslite úsečku OD= 4 cm

3. Zostrojte kruh s

stred O a polomer OE = 2 cm.

4. Zostrojte kruh s

stred D a polomer DE = 3 cm.

5. Označme jeden z priesečníkov týchto kružníc

bodka E .

6. Nakreslíme segmenty OE A DE .

7. Zostrojený trojuholník

OED- vyhľadávaný.

Dané: OD = 4 cm,

DE = 3 cm,

EO = 2 cm.

Igor Zhaborovsky © 2011

UROKI MATEMATIKA .RU

• S. 38 s. 84 (poznámka na učenie)
• č. 291 (a, b)

• Problém 1: na danom lúči od jeho začiatku odložte segment rovný danému.
• Riešenie.
• Znázornime čísla uvedené v probléme: lúč OS a segment AB.
• Potom pomocou kružidla zostrojíme kružnicu s polomerom AB so stredom O. Táto kružnica pretína lúč OS v určitom bode D.
• Segment OD je požadovaný.

• Úloha 2: odčítajte od daného lúča uhol rovný danému.
• Riešenie.
• Nakreslime obrazce uvedené v podmienke: uhol s vrcholom A a lúčom OM.
• Narysujme kružnicu s ľubovoľným polomerom so stredom vo vrchole A daného uhla. Tento kruh pretína strany uhla v bodoch B a C.

• Potom nakreslíme kružnicu s rovnakým polomerom so stredom na začiatku tohto lúča OM. Pretína lúč v bode D. Potom zostrojíme kružnicu so stredom D, ktorej polomer sa rovná BC. Kruhy sa pretínajú v
• dva body. Označme jeden
• písmeno E. Dostaneme uhol MOE

Riešenie:

• Zostrojte trojuholník pomocou dvoch strán a uhla medzi nimi. Riešenie:
• Najprv si ujasnime, ako treba tento problém chápať, teda čo je tu dané a čo treba postaviť.
• Dané segmenty P1Q1, P2Q2 uhol hk.
• P1 Q1
• P2 Q2 h

• Pomocou kružidla a pravítka (bez delenia mierky) je potrebné zostrojiť trojuholník ABC, ktorého dve strany, povedzme AB a AC, sa rovnajú daným úsečkám P1Q1.
• a Р2Q2 a uhol A medzi týmito stranami sa rovná danému uhlu hк.

• Nakreslíme priamku a a na ňu pomocou kružidla nakreslíme úsečku AB rovnú úsečke P1Q1
• Potom zostrojíme uhol BAM rovný danému uhlu hк. (vieme ako na to).
• Na lúč AM nakreslíme segment AC rovný segmentu P2Q2 a nakreslíme segment BC.
• V skutočnosti je podľa konštrukcie AB = P1Q1, AC = P2Q2, A = hк.

• Požadovaný je zostrojený trojuholník ABC.
• V skutočnosti podľa konštrukcie AB = P1Q1, AC = P2Q2,
• A=hк.

• Opísaný konštrukčný postup ukazuje, že pre ľubovoľné dané segmenty P1Q1, P2Q2 a daný nerozvinutý uhol hk možno zostrojiť požadovaný trojuholník. Keďže priamku a a bod A na nej je možné zvoliť ľubovoľne, existuje nekonečne veľa trojuholníkov, ktoré spĺňajú podmienky úlohy. Všetky tieto trojuholníky sú si navzájom rovné (podľa prvého znaku rovnosti trojuholníkov), preto sa zvykne hovoriť, že tento problém má jedinečné riešenie.

Problém 2

• Zostrojte trojuholník pomocou strany a dvoch
• uhly, ktoré k nemu priliehajú.
• P1 Q1

• Ako prebiehala stavba?
• Má problém vždy riešenie?

Problém 3

• Zostrojte trojuholník pomocou jeho troch strán.
• Riešenie.
• Nech sú dané segmenty P1Q1, P2Q2 a P3Q3. Je potrebné zostrojiť trojuholník ABC, v ktorom
• Nakreslíme priamku a pomocou kružidla nakreslíme úsečku AB rovnú úsečke P1Q1. Potom zostrojíme dve kružnice: jednu so stredom A a polomerom P2Q2.,

• a druhý so stredom B a polomerom P3Q3.
• Nech bod C je jedným z priesečníkov týchto kružníc. Nakreslením segmentov AC a BC získame požadovaný trojuholník ABC.
• P1 Q1
• P2 Q2
• P3 Q3

• A B A
• Zostrojenie trojuholníka pomocou troch strán.

• Zostrojený trojuholník ABC, v ktorom
• AB = P1Q1, AC = P2Q2, BC = P3Q3.

• V skutočnosti podľa konštrukcie AB = P1Q1,
• AC= Р2Q2, BC= Р3Q3, t.j. Strany trojuholníka ABC sa rovnajú daným úsečkám.
• Problém 3 nie vždy má riešenie.
• V každom trojuholníku je súčet akýchkoľvek dvoch strán väčší ako tretia strana, a preto, ak je ktorýkoľvek z daných segmentov väčší alebo rovný súčtu ostatných dvoch, potom nie je možné zostrojiť trojuholník, ktorého strany by sa rovnalo týmto segmentom.

Zhrnutie lekcie.

• Uvažujme o schéme, podľa ktorej sa konštrukčné problémy zvyčajne riešia pomocou kompasu a pravítka.
• Pozostáva z častí:
• 1. Hľadanie spôsobu riešenia problému vytvorením spojení medzi požadovanými prvkami a údajmi problému. Analýza umožňuje zostaviť plán riešenia konštrukčného problému.
• 2. Uskutočnenie stavby podľa plánovaného zámeru.
• 3. Dôkaz, že zostrojený obrazec spĺňa podmienky úlohy.
• 4. Štúdium problému, t.j. objasnenie otázky, či má problém vzhľadom na dané údaje riešenie, a ak áno, koľko riešení.

№286

• Zostrojte trojuholník pomocou strany, susedného uhla a osi trojuholníka nakreslených z vrcholu tohto uhla.
• Riešenie.
• Potrebné na zostavenie trojuholníka ABC, ktorý má jednu zo strán napr AC, rovná tomuto segmentu P1Q1, rohu A rovná sa tomuto
• rohu hk, a stred osi AD tohto trojuholníka sa rovná danej
• segment P2Q2.
• Dané sú segmenty P1 Q1 a P2Q2 a uhol hк (obrázok a).
• P1 Q1 P2 Q2
• obrázok a

Konštrukcia (obrázok b).

• Konštrukcia (obrázok b).
• 1) Zostrojme uhol XAU rovný danému uhlu hk.
• 2) Na lúč AC nakreslíme segment AC rovný tomuto segmentu P1Q1.
• 3) Zostrojte os AF uhla XAU.
• 4) Na lúč AF nakreslíme segment AD rovný danému segmentu P2Q2
• 5) Požadovaný vrchol B je priesečník lúča AX s priamkou CD. Zostrojený trojuholník ABC spĺňa všetky podmienky úlohy: AC = P1Q1,
• A = hк, AD = P2Q2, kde AD je os trojuholníka ABC.

• obrázok b

• Záver: zostrojený trojuholník ABC spĺňa všetky podmienky úlohy:
• AC= P1Q1; A=hk, AD= P2Q2,
• kde AD je os trojuholníka ABC

1. Dokážte, že kolmica vedená z bodu k priamke je menšia ako akýkoľvek naklonený sklon nakreslený z toho istého bodu k tejto priamke. 2. Dokážte, že všetky body každej z dvoch rovnobežných priamok sú rovnako vzdialené od druhej priamky. 3. Vyriešte úlohu č.274.

3. Označte naklonené čiary nakreslené z bodu A do čiary BD. 4. Ako sa nazýva vzdialenosť od bodu k priamke? 5. Ako sa nazýva vzdialenosť medzi dvoma rovnobežnými priamkami? 1. Zadajte segment, ktorý je kolmicou nakreslenou z bodu A na čiaru BD. 2. Vysvetlite, čo sa nazýva segment naklonený od daného bodu k danej priamke.

Nájdite vzdialenosť od bodu A k priamke a. Dané: KA = 7 cm Nájdite: vzdialenosť od bodu A k priamke a. Ryža. 4,192.

1. Vysvetlite, ako na daný lúč od jeho začiatku vykresliť úsečku rovnajúcu sa danej úsečke. 2. Vysvetlite, ako zostrojiť uhol z daného lúča rovný danému uhlu. 3. Vysvetlite, ako zostrojiť os daného uhla. 4. Vysvetlite, ako zostrojiť priamku prechádzajúcu daným bodom ležiacim na danej priamke a kolmou na túto priamku. 5. Vysvetlite, ako zostrojiť stred daného segmentu. Zostrojenie trojuholníka pomocou troch prvkov.

1 riadok. Dané: Obr. 4,193. Zostrojte: ABC tak, že AB = PQ, A = M, B = N pomocou kružidla a pravítka bez delenia. 2. riadok. Dané: Obr. 4,194. Zostrojte: ABC tak, že AB = MN, AC = RS, A = Q pomocou kružidla a pravítka bez delenia. 3. riadok. Dané: Obr. 4,195. Zostrojte: ABC tak, že AB = MN, BC = PQ, AC = RS pomocou kružidla a pravítka bez delenia.

D C Zostrojenie trojuholníka pomocou dvoch strán a uhla medzi nimi. hk h Zostrojme lúč a. Odložme úsečku AB rovnú P 1 Q 1 . Zostrojme uhol rovný tomuto. Odložme úsečku AC rovnú P 2 Q 2 . B A Δ ABC je požadovaný. Dané: Segmenty P 1 Q 1 a P 2 Q 2, Q 1 P 1 P 2 Q 2 a k Doc: Konštrukciou AB=P 1 Q 1, AC=P 2 Q 2, A= hk. Stavať. Stavebníctvo.

Pre ľubovoľné dané úsečky AB=P 1 Q 1 , AC=P 2 Q 2 a dané nerozvinuté hk možno zostrojiť požadovaný trojuholník. Keďže priamku a a bod A na nej je možné zvoliť ľubovoľne, existuje nekonečne veľa trojuholníkov, ktoré spĺňajú podmienky úlohy. Všetky tieto trojuholníky sú si navzájom rovné (podľa prvého znaku rovnosti trojuholníkov), preto sa zvykne hovoriť, že tento problém má jedinečné riešenie.

D C Zostrojenie trojuholníka pomocou strany a dvoch susedných uhlov. h 1 k 1, h 2 k 2 h 2 Zostrojme lúč a. Odložme úsečku AB rovnú P 1 Q 1 . Zostrojme uhol rovný danému h 1 k 1 . Zostrojme uhol rovný h 2 k 2 . B A Δ ABC je požadovaný. Dané: Úsek P 1 Q 1 Q 1 P 1 a k 2 h 1 k 1 N Doc: Konštrukciou AB = P 1 Q 1, B = h 1 k 1, A = h 2 k 2 . Konštrukcia Δ. Stavebníctvo.

C Postavme lúč a. Odložme úsečku AB rovnú P 1 Q 1 . Zostrojme oblúk so stredom v bode A a polomerom P 2 Q 2 . Zostrojme oblúk so stredom v t.B a polomerom P 3 Q 3 . B A Δ ABC je požadovaný. Dané: segmenty P 1 Q 1, P 2 Q 2, P 3 Q 3. Q 1 P 1 P 3 Q 2 a P 2 Q 3 Zostrojenie trojuholníka pomocou troch strán. Doc: Podľa konštrukcie AB=P 1 Q 1, AC=P 2 Q 2 CA= P 3 Q 3, t.j. strany Δ ABC sa rovnajú týmto segmentom. Konštrukcia Δ. Stavebníctvo.

Problém nemá vždy riešenie. V každom trojuholníku je súčet akýchkoľvek dvoch strán väčší ako tretia strana, preto, ak je ktorýkoľvek z daných segmentov väčší alebo rovný súčtu ostatných dvoch, potom nie je možné zostrojiť trojuholník, ktorého strany by boli rovnajúce sa týmto segmentom.

Problém č.286,288.

Domáca úloha: § 23, 37 - opakujte, § 38!!! Otázky 19, 20 s. 90. Riešte úlohy č.273, 276, 287, Riešte úlohu č.284.