Pravidlo na rozklad polynómu pomocou metódy zoskupenia. Komplexné prípady faktoringových polynómov

Akýkoľvek algebraický polynóm stupňa n možno znázorniť ako súčin n-lineárnych faktorov tvaru a konštantného čísla, ktorým sú koeficienty polynómu na najvyššom stupni x, t.j.

Kde - sú korene polynómu.

Koreňom polynómu je číslo (reálne alebo komplexné), vďaka ktorému polynóm zmizne. Korene polynómu môžu byť skutočné korene alebo komplexne združené korene, potom môže byť polynóm reprezentovaný v nasledujúcej forme:

Uvažujme o metódach rozkladu polynómov stupňa „n“ na súčin faktorov prvého a druhého stupňa.

Metóda č.1.Metóda neurčených koeficientov.

Koeficienty takto transformovaného výrazu sú určené metódou neurčitých koeficientov. Podstatou metódy je, že je vopred známy typ faktorov, na ktoré sa daný polynóm rozkladá. Pri použití metódy neurčitých koeficientov platia nasledujúce tvrdenia:

P.1. Dva polynómy sú zhodné, ak sú ich koeficienty rovnaké pre rovnaké mocniny x.

P.2. Každý polynóm tretieho stupňa sa rozloží na súčin lineárnych a kvadratických faktorov.

P.3. Akýkoľvek polynóm štvrtého stupňa možno rozložiť na súčin dvoch polynómov druhého stupňa.

Príklad 1.1. Je potrebné rozložiť kubický výraz:

P.1. V súlade s prijatými tvrdeniami platí zhodná rovnosť pre kubický výraz:

P.2. Pravá strana výrazu môže byť vyjadrená nasledujúcimi výrazmi:

P.3. Z podmienky rovnosti koeficientov pri zodpovedajúcich mocninách kubického výrazu zostavíme sústavu rovníc.

Tento systém rovníc je možné riešiť výberom koeficientov (ak ide o jednoduchý akademický problém) alebo použiť metódy riešenia nelineárnych systémov rovníc. Pri riešení tohto systému rovníc zistíme, že neisté koeficienty sú určené takto:

Pôvodný výraz sa teda rozkladá v nasledujúcom tvare:

Túto metódu možno použiť v analytických výpočtoch aj v počítačovom programovaní na automatizáciu procesu hľadania koreňa rovnice.

Metóda č.2.Vieta vzorce

Vietove vzorce sú vzorce spájajúce koeficienty algebraických rovníc stupňa n a ich korene. Tieto vzorce boli implicitne prezentované v prácach francúzskeho matematika Françoisa Vietu (1540 - 1603). Vzhľadom na to, že Vieth považoval len pozitívne skutočné korene, nemal teda možnosť napísať tieto vzorce vo všeobecnej explicitnej forme.

Pre každý algebraický polynóm stupňa n, ktorý má n-reálne korene,

Platia nasledujúce vzťahy, ktoré spájajú korene polynómu s jeho koeficientmi:

Vietove vzorce je vhodné použiť na kontrolu správnosti nájdenia koreňov polynómu, ako aj na zostrojenie polynómu z daných koreňov.

Príklad 2.1. Uvažujme, ako súvisia korene polynómu s jeho koeficientmi na príklade kubickej rovnice

Podľa Vietových vzorcov má vzťah medzi koreňmi polynómu a jeho koeficientmi nasledujúcu formu:

Podobné vzťahy je možné vytvoriť pre akýkoľvek polynóm stupňa n.

Metóda číslo 3. Faktorizácia kvadratickej rovnice s racionálnymi koreňmi

Z posledného vzorca Vieta vyplýva, že korene polynómu sú deliteľmi jeho voľného člena a vodiaceho koeficientu. V tomto ohľade, ak problémový príkaz špecifikuje polynóm stupňa n s celočíselnými koeficientmi

potom tento polynóm má racionálny koreň (neredukovateľný zlomok), kde p je deliteľ voľného člena a q je deliteľ vedúceho koeficientu. V tomto prípade môže byť polynóm stupňa n reprezentovaný ako (Bezoutova veta):

Polynóm, ktorého stupeň je o 1 menší ako stupeň počiatočného polynómu, sa určí delením polynómu binomického stupňa n, napríklad pomocou Hornerovej schémy alebo najjednoduchším spôsobom - "stĺpec".

Príklad 3.1. Je potrebné faktorizovať polynóm

P.1. Vzhľadom na to, že koeficient najvyššieho člena je rovný jednej, racionálne korene tohto polynómu sú deliteľmi voľného člena výrazu, t.j. môžu byť celé čísla . Každé z uvedených čísel dosadíme do pôvodného výrazu a zistíme, že koreň prezentovaného polynómu sa rovná .

Rozdeľme pôvodný polynóm binomom:

Využime Hornerovu schému

Koeficienty pôvodného polynómu sa nastavia v hornom riadku, pričom prvá bunka horného riadku zostane prázdna.

V prvej bunke druhého riadku sa zapíše nájdený koreň (v uvažovanom príklade sa zapíše číslo „2“) a nasledujúce hodnoty v bunkách sa vypočítajú určitým spôsobom a sú to koeficienty polynómu, ktorý získame delením mnohočlenu dvojčlenom. Neznáme koeficienty sa určujú takto:

Hodnota zo zodpovedajúcej bunky prvého riadku sa prenesie do druhej bunky druhého riadku (v uvažovanom príklade je napísané číslo „1“).

Tretia bunka druhého riadku obsahuje hodnotu súčinu prvej bunky a druhej bunky druhého riadka plus hodnotu z tretej bunky prvého riadku (v uvažovanom príklade 2 ∙1 -5 = -3 ).

Štvrtá bunka druhého riadku obsahuje hodnotu súčinu prvej bunky a tretej bunky druhého riadka plus hodnotu zo štvrtej bunky prvého riadku (v uvažovanom príklade 2 ∙ (-3) + 7 = 1).

Pôvodný polynóm je teda faktorizovaný:

Metóda č.4.Používanie skrátených vzorcov na násobenie

Na zjednodušenie výpočtov sa používajú skrátené vzorce násobenia, ako aj faktoringové polynómy. Skrátené vzorce násobenia umožňujú zjednodušiť riešenie jednotlivých úloh.

Vzorce používané na faktorizáciu

Faktorovanie polynómov je transformácia identity, v dôsledku ktorej sa polynóm premení na súčin viacerých faktorov – polynómov alebo monomálov.

Existuje niekoľko spôsobov, ako faktorizovať polynómy.

Metóda 1. Vybratie spoločného činiteľa zo zátvoriek.

Táto transformácia je založená na distributívnom zákone násobenia: ac + bc = c(a + b). Podstatou transformácie je izolovať spoločný faktor v dvoch uvažovaných zložkách a „vybrať“ ho zo zátvoriek.

Vynásobme polynóm 28x 3 – 35x 4.

Riešenie.

1. Nájdite spoločného deliteľa pre prvky 28x3 a 35x4. Pre 28 a 35 to bude 7; pre x 3 a x 4 – x 3. Inými slovami, náš spoločný faktor je 7x 3.

2. Každý z prvkov predstavujeme ako súčin faktorov, z ktorých jeden
7x 3: 28x 3 – 35x 4 = 7x 3 ∙ 4 – 7x 3 ∙ 5x.

3. Zo zátvoriek vyberieme spoločný faktor
7x 3: 28x 3 – 35x 4 = 7x 3 ∙ 4 – 7x 3 ∙ 5x = 7x 3 (4 – 5x).

Metóda 2. Použitie skrátených vzorcov na násobenie. „Majstrovstvom“ používania tejto metódy je všimnúť si jeden zo skrátených vzorcov násobenia vo výraze.

Vynásobme polynóm x 6 – 1.

Riešenie.

1. Na tento výraz môžeme použiť vzorec rozdielu štvorcov. Aby ste to urobili, predstavte si x 6 ako (x 3) 2 a 1 ako 1 2, t.j. 1. Výraz bude mať tvar:
(x 3) 2 – 1 = (x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1).

2. Na výsledný výraz môžeme použiť vzorec pre súčet a rozdiel kociek:
(x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1) = (x + 1) ∙ (x 2 – x + 1) ∙ (x – 1) ∙ (x 2 + x + 1).

takže,
x 6 – 1 = (x 3) 2 – 1 = (x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1) = (x + 1) ∙ (x 2 – x + 1) ∙ (x – 1) ∙ (x 2 + x + 1).

Metóda 3. Zoskupovanie. Metóda zoskupovania spočíva v spájaní zložiek polynómu tak, aby sa s nimi dali ľahko vykonávať operácie (sčítanie, odčítanie, odčítanie spoločného činiteľa).

Vynásobme polynóm x 3 – 3x 2 + 5x – 15.

Riešenie.

1. Zoraďme komponenty takto: 1. s 2. a 3. so 4.
(x 3 – 3x 2) + (5x – 15).

2. Vo výslednom výraze vyberieme zo zátvoriek spoločné činitele: x 2 v prvom prípade a 5 v druhom.
(x 3 – 3x 2) + (5x – 15) = x 2 (x – 3) + 5 (x – 3).

3. Vyberieme spoločný faktor x – 3 zo zátvoriek a dostaneme:
x 2 (x – 3) + 5 (x – 3) = (x – 3) (x 2 + 5).

takže,
x 3 – 3x 2 + 5x – 15 = (x 3 – 3x 2) + (5x – 15) = x 2 (x – 3) + 5 (x – 3) = (x – 3) ∙ (x 2 + 5 ).

Zabezpečme materiál.

Faktor polynómu a 2 – 7ab + 12b 2 .

Riešenie.

1. Znázornime monomiál 7ab ako súčet 3ab + 4ab. Výraz bude mať tvar:
a 2 – (3ab + 4ab) + 12b 2.

Otvorme zátvorky a získame:
a 2 – 3ab – 4ab + 12b 2.

2. Zoskupme zložky polynómu takto: 1. s 2. a 3. so 4.. Dostaneme:
(a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2).

3. Vyberme zo zátvoriek bežné faktory:
(a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2) = a(a – 3b) – 4b(a – 3b).

4. Vyberme spoločný faktor (a – 3b) zo zátvoriek:
a(a – 3b) – 4b(a – 3b) = (a – 3 b) ∙ (a – 4b).

takže,
a 2 – 7ab + 12b 2 =
= a 2 – (3ab + 4ab) + 12b 2 =
= a 2 – 3ab – 4ab + 12b 2 =
= (a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2) =
= a(a – 3b) – 4b(a – 3b) =
= (a – 3 b) ∙ (a – 4b).

webová stránka, pri kopírovaní celého materiálu alebo jeho časti je potrebný odkaz na zdroj.

Faktorizácia polynómu. Časť 1

Faktorizácia je univerzálna technika, ktorá pomáha riešiť zložité rovnice a nerovnice. Prvá myšlienka, ktorá by vám mala prísť na myseľ pri riešení rovníc a nerovníc, v ktorých je na pravej strane nula, je pokúsiť sa vynásobiť ľavú stranu.

Vymenujme hlavné spôsoby faktorizácie polynómu:

• uvedenie spoločného činiteľa zo zátvoriek
• pomocou skrátených vzorcov na násobenie
• pomocou vzorca na rozklad kvadratického trinomu
• metóda zoskupovania
• delenie polynómu binómom
• metóda neurčitých koeficientov

V tomto článku sa budeme podrobne zaoberať prvými tromi metódami, zvyšok zvážime v nasledujúcich článkoch.

1. Vyňatie spoločného činiteľa zo zátvoriek.

Ak chcete vyňať spoločný faktor zo zátvoriek, musíte ho najprv nájsť. Spoločný multiplikačný faktor rovný najväčšiemu spoločnému deliteľovi všetkých koeficientov.

Listová časť spoločný činiteľ sa rovná súčinu výrazov zahrnutých v každom člene s najmenším exponentom.

Schéma pridania spoločného multiplikátora vyzerá takto:

Pozor!
Počet výrazov v zátvorkách sa rovná počtu výrazov v pôvodnom výraze. Ak sa jeden z pojmov zhoduje so spoločným činiteľom, potom pri jeho delení spoločným činiteľom dostaneme jeden.

Príklad 1

Faktor polynómu:

Vyberme spoločný faktor zo zátvoriek. Aby sme to dosiahli, najprv ho nájdeme.

1. Nájdite najväčšieho spoločného deliteľa všetkých koeficientov polynómu, t.j. čísla 20, 35 a 15. Rovná sa 5.

2. Stanovíme, že premenná je obsiahnutá vo všetkých členoch a najmenší z jej exponentov sa rovná 2. Premenná je obsiahnutá vo všetkých členoch a najmenší z jej exponentov je 3.

Premenná je obsiahnutá len v druhom člene, teda nie je súčasťou spoločného činiteľa.

Takže celkový faktor je

3. Násobiteľ vyberieme zo zátvoriek pomocou vyššie uvedenej schémy:

Príklad 2 Vyriešte rovnicu:

Riešenie. Rozložme ľavú stranu rovnice na faktor. Vyberme faktor zo zátvoriek:

Takže dostaneme rovnicu

Prirovnajme každý faktor k nule:

Dostaneme - koreň prvej rovnice.

Korene:

Odpoveď: -1, 2, 4

2. Faktorizácia pomocou skrátených vzorcov násobenia.

Ak je počet členov v polynóme, ktorý ideme vynásobiť, menší alebo rovný trom, potom sa pokúsime použiť skrátené vzorce násobenia.

1. Ak je polynómrozdiel dvoch termínov, potom sa pokúsime uplatniť vzorec štvorcového rozdielu:

alebo vzorec rozdielu kociek:

Tu sú písmená a označujú číslo alebo algebraický výraz.

2. Ak je polynóm súčtom dvoch členov, možno ho možno faktorizovať pomocou vzorce súčtu kociek:

3. Ak sa polynóm skladá z troch členov, potom sa pokúsime použiť vzorec štvorcového súčtu:

alebo vzorec štvorcového rozdielu:

Alebo sa pokúsime faktorizovať podľa vzorec na rozklad kvadratického trinomu:

Tu a sú korene kvadratickej rovnice

Príklad 3Zvážte výraz:

Riešenie. Máme pred sebou súčet dvoch pojmov. Skúsme použiť vzorec pre súčet kociek. Aby ste to dosiahli, musíte najprv reprezentovať každý výraz ako kocku nejakého výrazu a potom použiť vzorec pre súčet kociek:

Príklad 4. Zvážte výraz:

rozhodnutie. Tu máme rozdiel druhých mocnín dvoch výrazov. Prvý výraz: , druhý výraz:

Použime vzorec pre rozdiel štvorcov:

Otvorme zátvorky a pridáme podobné výrazy, dostaneme:

V tejto lekcii si pripomenieme všetky predtým študované metódy faktorizácie polynómu a zvážime príklady ich aplikácie, okrem toho budeme študovať novú metódu - metódu izolácie úplného štvorca a naučíme sa, ako ju používať pri riešení rôznych problémov. .

Predmet:Faktorizácia polynómov

lekcia:Faktorizácia polynómov. Metóda výberu celého štvorca. Kombinácia metód

Pripomeňme si základné metódy faktorizácie polynómu, ktoré boli študované skôr:

Metóda vyňatia spoločného faktora zo zátvoriek, to znamená faktora, ktorý je prítomný vo všetkých pojmoch polynómu. Pozrime sa na príklad:

Pripomeňme si, že jednočlen je súčinom mocnín a čísel. V našom príklade majú oba výrazy spoločné, identické prvky.

Vyberme teda spoločný faktor zo zátvoriek:

;

Pripomeňme, že vynásobením vyňatého koeficientu zátvorkou môžete skontrolovať správnosť vyňatého koeficientu.

Metóda zoskupovania. Nie je vždy možné extrahovať spoločný faktor v polynóme. V tomto prípade je potrebné rozdeliť jeho členov do skupín tak, že v každej skupine môžete vybrať spoločný faktor a pokúsiť sa ho rozdeliť tak, aby sa po vyňatí faktorov v skupinách objavil spoločný faktor v celý výraz a môžete pokračovať v rozklade. Pozrime sa na príklad:

Zoskupme prvý výraz so štvrtým, druhý s piatym a tretí so šiestym:

Vyberme si spoločné faktory v skupinách:

Výraz má teraz spoločný faktor. Poďme to von:

Aplikácia skrátených vzorcov násobenia. Pozrime sa na príklad:

;

Napíšme výraz podrobne:

Očividne máme pred sebou vzorec na druhú mocninu rozdielu, keďže ide o súčet druhých mocnín dvoch výrazov a ich dvojitý súčin sa od neho odčíta. Rozvaľkáme podľa vzorca:

Dnes sa naučíme ďalšiu metódu - metódu výberu úplného štvorca. Vychádza zo vzorcov druhej mocniny súčtu a druhej mocniny rozdielu. Pripomeňme si ich:

Vzorec pre druhú mocninu súčtu (rozdielu);

Zvláštnosťou týchto vzorcov je, že obsahujú druhé mocniny dvoch výrazov a ich dvojitý súčin. Pozrime sa na príklad:

Zapíšme si výraz:

Takže prvý výraz je a druhý je .

Na vytvorenie vzorca pre druhú mocninu súčtu alebo rozdielu nestačí dvojnásobok súčinu výrazov. Je potrebné pridať a odčítať:

Doplňme druhú mocninu súčtu:

Transformujme výsledný výraz:

Použime vzorec pre rozdiel druhých mocnín, pripomeňme si, že rozdiel druhých mocnín dvoch výrazov je súčinom a súčtom ich rozdielu:

Táto metóda teda spočíva predovšetkým v identifikácii výrazov a a b, ktoré sú umocnené na druhú, teda v určení, ktoré výrazy sú v tomto príklade odmocnené. Potom musíte skontrolovať prítomnosť dvojitého súčinu a ak tam nie je, pridajte ho a odčítajte, význam príkladu sa tým nezmení, ale polynóm možno faktorizovať pomocou vzorcov pre druhú mocninu súčet alebo rozdiel a rozdiel druhých mocnín, ak je to možné.

Prejdime k riešeniu príkladov.

Príklad 1 – faktorizácia:

Nájdite výrazy, ktoré sú umocnené na druhú:

Napíšme si, aký by mal byť ich dvojitý súčin:

Pridajme a odčítame dvojnásobok súčinu:

Doplňme druhú mocninu súčtu a dajme podobné:

Napíšme to pomocou vzorca rozdielu štvorcov:

Príklad 2 - vyriešte rovnicu:

;

Na ľavej strane rovnice je trojčlen. Musíte to zohľadniť vo faktoroch. Používame vzorec na druhú mocninu rozdielu:

Máme druhú mocninu prvého výrazu a dvojitý súčin, druhá mocnina druhého výrazu chýba, sčítajme a odčítajme:

Zložme úplný štvorec a dajme podobné výrazy:

Použime vzorec rozdielu štvorcov:

Takže máme rovnicu

Vieme, že súčin sa rovná nule iba vtedy, ak sa aspoň jeden z faktorov rovná nule. Na základe toho vytvoríme nasledujúce rovnice:

Poďme vyriešiť prvú rovnicu:

Poďme vyriešiť druhú rovnicu:

Odpoveď: alebo

;

Postupujeme podobne ako v predchádzajúcom príklade – vyberieme druhú mocninu rozdielu.

Zachovanie vášho súkromia je pre nás dôležité. Z tohto dôvodu sme vyvinuli Zásady ochrany osobných údajov, ktoré popisujú, ako používame a uchovávame vaše informácie. Prečítajte si naše postupy ochrany osobných údajov a ak máte nejaké otázky, dajte nám vedieť.

Zhromažďovanie a používanie osobných údajov

Osobné údaje sú údaje, ktoré možno použiť na identifikáciu alebo kontaktovanie konkrétnej osoby.

Keď nás budete kontaktovať, môžete byť kedykoľvek požiadaní o poskytnutie svojich osobných údajov.

Nižšie sú uvedené niektoré príklady typov osobných údajov, ktoré môžeme zhromažďovať, a ako môžeme tieto informácie použiť.

Aké osobné údaje zhromažďujeme:

• Keď odošlete žiadosť na stránke, môžeme zhromažďovať rôzne informácie vrátane vášho mena, telefónneho čísla, e-mailovej adresy atď.

Ako používame vaše osobné údaje:

• Osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, nám umožňujú kontaktovať vás s jedinečnými ponukami, propagačnými akciami a inými udalosťami a pripravovanými udalosťami.
• Z času na čas môžeme použiť vaše osobné údaje na zasielanie dôležitých upozornení a komunikácie.
• Osobné údaje môžeme použiť aj na interné účely, ako je vykonávanie auditov, analýza údajov a rôzne výskumy, aby sme zlepšili služby, ktoré poskytujeme, a poskytli vám odporúčania týkajúce sa našich služieb.
• Ak sa zúčastníte žrebovania o ceny, súťaže alebo podobnej propagačnej akcie, môžeme použiť informácie, ktoré nám poskytnete, na správu takýchto programov.

Sprístupnenie informácií tretím stranám

Informácie, ktoré od vás dostaneme, nezverejňujeme tretím stranám.

Výnimky:

• V prípade potreby – v súlade so zákonom, súdnym konaním, v súdnom konaní a/alebo na základe verejných žiadostí alebo žiadostí vládnych orgánov na území Ruskej federácie – poskytnúť vaše osobné údaje. Môžeme tiež zverejniť informácie o vás, ak zistíme, že takéto zverejnenie je potrebné alebo vhodné na účely bezpečnosti, presadzovania práva alebo na iné účely verejného významu.
• V prípade reorganizácie, zlúčenia alebo predaja môžeme osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, preniesť na príslušnú nástupnícku tretiu stranu.

Ochrana osobných údajov

Prijímame opatrenia – vrátane administratívnych, technických a fyzických – na ochranu vašich osobných údajov pred stratou, krádežou a zneužitím, ako aj neoprávneným prístupom, zverejnením, zmenou a zničením.

Rešpektovanie vášho súkromia na úrovni spoločnosti

Aby sme zaistili bezpečnosť vašich osobných údajov, informujeme našich zamestnancov o štandardoch ochrany osobných údajov a bezpečnosti a prísne presadzujeme postupy ochrany osobných údajov.