Vysvetlenie koreňov. Výpočet druhej odmocniny čísla: ako ho vypočítať ručne
Pomerne často sa pri riešení problémov stretávame s veľkými číslami, z ktorých musíme vyťažiť Odmocnina. Mnohí študenti sa rozhodnú, že ide o chybu a začnú celý príklad riešiť znova. V žiadnom prípade to nerobte! Sú na to dva dôvody:
- V problémoch sa objavujú korene veľkých čísel. Najmä v textových;
- Existuje algoritmus, pomocou ktorého sa tieto korene vypočítavajú takmer ústne.
Tento algoritmus dnes zvážime. Možno sa vám niektoré veci budú zdať nepochopiteľné. Ale ak budete venovať pozornosť tejto lekcii, dostanete silnú zbraň proti odmocniny.
Takže, algoritmus:
- Obmedzte požadovaný koreň nad a pod na čísla, ktoré sú násobkami 10. Zredukujeme teda rozsah vyhľadávania na 10 čísel;
- Z týchto 10 čísel vyraďte tie, ktoré rozhodne nemôžu byť koreňmi. V dôsledku toho zostanú 1-2 čísla;
- Odmocni tieto 1-2 čísla. Ten, ktorého druhá mocnina sa rovná pôvodnému číslu, bude odmocninou.
Pred uvedením tohto algoritmu do praxe sa pozrime na každý jednotlivý krok.
Obmedzenie koreňa
V prvom rade musíme zistiť, medzi ktorými číslami sa nachádza náš koreň. Je veľmi žiaduce, aby čísla boli násobky desiatich:
10 2 = 100;
20 2 = 400;
30 2 = 900;
40 2 = 1600;
...
90 2 = 8100;
100 2 = 10 000.
Dostaneme sériu čísel:
100; 400; 900; 1600; 2500; 3600; 4900; 6400; 8100; 10 000.
Čo nám tieto čísla hovoria? Je to jednoduché: dostávame hranice. Vezmime si napríklad číslo 1296. Leží medzi 900 a 1600. Preto jeho koreň nemôže byť menší ako 30 a väčší ako 40:
[Popis k obrázku]
To isté platí pre akékoľvek iné číslo, z ktorého môžete nájsť druhú odmocninu. Napríklad 3364:
[Popis k obrázku]Namiesto nezrozumiteľného čísla tak dostaneme veľmi špecifický rozsah, v ktorom leží pôvodný koreň. Ak chcete ďalej zúžiť oblasť vyhľadávania, prejdite na druhý krok.
Odstránenie zjavne nepotrebných čísel
Takže máme 10 čísel - kandidátov na koreň. Získali sme ich veľmi rýchlo, bez zložitého premýšľania a násobenia v stĺpci. Je čas pohnúť sa.
Verte či neverte, teraz zredukujeme počet kandidátskych čísel na dve – opäť bez zložitých výpočtov! Stačí poznať špeciálne pravidlo. Tu je:
Posledná číslica štvorca závisí len od poslednej číslice pôvodné číslo.
Inými slovami, stačí sa pozrieť na poslednú číslicu štvorca a hneď pochopíme, kde končí pôvodné číslo.
Na poslednom mieste môže byť iba 10 číslic. Pokúsme sa zistiť, na čo sa premenia pri štvorci. Pozrite sa na tabuľku:
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 0 |
| 1 | 4 | 9 | 6 | 5 | 6 | 9 | 4 | 1 | 0 |
Táto tabuľka je ďalším krokom k výpočtu koreňa. Ako vidíte, čísla v druhom riadku sa ukázali ako symetrické vzhľadom na päť. Napríklad:
2 2 = 4;
8 2 = 64 → 4.
Ako vidíte, posledná číslica je v oboch prípadoch rovnaká. To znamená, že napríklad koreň 3364 musí končiť na 2 alebo 8. Na druhej strane si pamätáme obmedzenie z predchádzajúceho odseku. Dostaneme:
[Popis k obrázku] Červené štvorce naznačujú, že tento údaj ešte nepoznáme. Ale koreň leží v rozsahu od 50 do 60, na ktorom sú iba dve čísla končiace na 2 a 8:
[Popis k obrázku]To je všetko! Zo všetkých možných koreňov sme nechali len dve možnosti! A to je v najťažšom prípade, pretože posledná číslica môže byť 5 alebo 0. A potom bude len jeden kandidát na korene!
Záverečné výpočty
Zostali nám teda 2 čísla kandidátov. Ako viete, ktorý z nich je koreň? Odpoveď je zrejmá: odmocni obe čísla. Tá, ktorá odmocnina dáva pôvodné číslo, bude koreňom.
Napríklad pre číslo 3364 sme našli dve kandidátske čísla: 52 a 58. Odmocnime ich:
52 2 = (50 + 2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;
58 2 = (60 − 2) 2 = 3 600 − 2 60 2 + 4 = 3 364.
To je všetko! Ukázalo sa, že koreň je 58! Zároveň som pre zjednodušenie výpočtov použil vzorec pre druhé mocniny súčtu a rozdielu. Vďaka tomu som ani nemusel násobiť čísla do stĺpca! Toto je ďalšia úroveň optimalizácie výpočtu, ale, samozrejme, je úplne voliteľná :)
Príklady výpočtu koreňov
Teória je samozrejme dobrá. Poďme si to však overiť v praxi.
[Popis k obrázku]
Najprv zistíme, medzi ktorými číslami leží číslo 576:
400 < 576 < 900
20 2 < 576 < 30 2
Teraz sa pozrime na posledné číslo. Rovná sa 6. Kedy sa to stane? Iba ak koreň končí na 4 alebo 6. Získame dve čísla:
Zostáva len odmocniť každé číslo a porovnať ho s originálom:
24 2 = (20 + 4) 2 = 576
Skvelé! Ukázalo sa, že prvý štvorec sa rovná pôvodnému číslu. Takže toto je koreň.
Úloha. Vypočítajte druhú odmocninu:
[Popis k obrázku]
900 < 1369 < 1600;
30 2 < 1369 < 40 2;
Pozrime sa na poslednú číslicu:
1369 → 9;
33; 37.
Štvorec:
33 2 = (30 + 3) 2 = 900 + 2 30 3 + 9 = 1089 ≠ 1369;
37 2 = (40 − 3) 2 = 1 600 − 2 40 3 + 9 = 1 369.
Tu je odpoveď: 37.
Úloha. Vypočítajte druhú odmocninu:
[Popis k obrázku]
Obmedzujeme počet:
2500 < 2704 < 3600;
50 2 < 2704 < 60 2;
Pozrime sa na poslednú číslicu:
2704 → 4;
52; 58.
Štvorec:
52 2 = (50 + 2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;
Dostali sme odpoveď: 52. Druhé číslo už nebude potrebné odmocňovať.
Úloha. Vypočítajte druhú odmocninu:
[Popis k obrázku]
Obmedzujeme počet:
3600 < 4225 < 4900;
60 2 < 4225 < 70 2;
Pozrime sa na poslednú číslicu:
4225 → 5;
65.
Ako vidíte, po druhom kroku zostáva len jedna možnosť: 65. Toto je požadovaný koreň. Ale poďme to urobiť na druhú a skontrolujte:
65 2 = (60 + 5) 2 = 3600 + 2 60 5 + 25 = 4225;
Všetko je správne. Odpoveď zapíšeme.
Záver
Bohužiaľ, o nič lepšie. Pozrime sa na dôvody. Sú dve z nich:
- Pri akejkoľvek bežnej skúške z matematiky, či už ide o štátnu skúšku alebo jednotnú štátnu skúšku, je používanie kalkulačiek zakázané. A ak si na hodinu prinesiete kalkulačku, ľahko vás zo skúšky vyhodia.
- Nebuďte ako hlúpi Američania. Ktoré nie sú ako odmocniny – nedokážu sčítať dve prvočísla. A keď vidia zlomky, vo všeobecnosti začnú byť hysterické.
V matematike sa otázka, ako extrahovať koreň, považuje za pomerne jednoduchú. Ak odmocníme čísla z prirodzeného radu: 1, 2, 3, 4, 5...n, dostaneme nasledujúci rad štvorcov: 1, 4, 9, 16...n 2. Rad štvorcov je nekonečný a ak sa naň pozriete pozorne, uvidíte, že v ňom nie je príliš veľa celých čísel. Prečo je to tak, bude vysvetlené o niečo neskôr.
Koreň čísla: pravidlá výpočtu a príklady
Takže sme odmocnili číslo 2, to znamená, vynásobili sme ho a dostali sme 4. Ako extrahovať odmocninu čísla 4? Povedzme hneď, že korene môžu byť štvorcové, kubické a ľubovoľný stupeň do nekonečna.
Mocnina odmocniny je vždy prirodzené číslo, to znamená, že nie je možné vyriešiť nasledujúcu rovnicu: odmocnina k mocnine 3,6 z n.
Odmocnina
Vráťme sa k otázke, ako vytiahnuť druhú odmocninu zo 4. Keďže sme odmocnili číslo 2, vytiahneme aj druhú odmocninu. Aby ste správne extrahovali odmocninu zo 4, stačí vybrať správne číslo, ktoré by po odmocnení dalo číslo 4. A toto je, samozrejme, 2. Pozrite si príklad:
- 2 2 =4
- Odmocnina zo 4 = 2
Tento príklad je celkom jednoduchý. Skúsme extrahovať druhú odmocninu z 64. Aké číslo, keď sa vynásobí samo sebou, dáva 64? Je jasné, že je 8.
- 8 2 =64
- Odmocnina z 64=8
Kockový koreň
Ako bolo povedané vyššie, korene nie sú len štvorcové, na príklade sa pokúsime jasnejšie vysvetliť, ako extrahovať odmocninu kocky alebo odmocninu tretieho stupňa. Princíp extrakcie odmocniny je rovnaký ako pri druhej odmocnine, len s tým rozdielom, že požadované číslo sa na začiatku vynásobilo nie raz, ale dvakrát. To znamená, že sme si vzali nasledujúci príklad:
- 3x3x3=27
- Prirodzene, odmocnina čísla 27 sú tri:
- Koreň 3 z 27 = 3
Povedzme, že potrebujete nájsť odmocninu čísla 64. Na vyriešenie tejto rovnice stačí nájsť číslo, ktoré po umocnení na tretiu mocninu dáva 64.
- 4 3 =64
- Koreň 3 zo 64 = 4
Extrahujte koreň čísla na kalkulačke
Samozrejme, najlepšie je naučiť sa extrahovať štvorec, kocku a iné odmocniny cvičením, riešením mnohých príkladov a zapamätaním si tabuliek štvorcov a kociek malých čísel. V budúcnosti to výrazne uľahčí a skráti čas potrebný na riešenie rovníc. Aj keď, treba si uvedomiť, že niekedy potrebujete vytiahnuť odmocninu z takého veľkého čísla, že výber správneho druhého čísla bude stáť veľa práce, ak je to vôbec možné. Bežná kalkulačka príde na záchranu pri extrakcii druhej odmocniny. Ako extrahovať koreň na kalkulačke? Veľmi jednoducho zadajte číslo, z ktorého chcete nájsť výsledok. Teraz sa bližšie pozrite na tlačidlá kalkulačky. Dokonca aj najjednoduchší z nich má kľúč s koreňovou ikonou. Kliknutím naň okamžite získate hotový výsledok.
Nie každé číslo môže mať celý koreň; zvážte nasledujúci príklad:
Odmocnina z roku 1859 = 43,116122…
Tento príklad môžete súčasne skúsiť vyriešiť na kalkulačke. Ako vidíte, výsledné číslo nie je celé číslo, navyše množina číslic za desatinnou čiarkou nie je konečná. Špeciálne inžinierske kalkulačky môžu poskytnúť presnejší výsledok, ale úplný výsledok sa jednoducho nezmestí na displej bežných. A ak budete pokračovať v sérii štvorcov, ktorú ste začali skôr, nenájdete v nej číslo 1859 práve preto, že číslo, ktoré bolo odmocnené na jeho získanie, nie je celé číslo.
Ak potrebujete extrahovať tretí koreň na jednoduchej kalkulačke, musíte dvakrát kliknúť na tlačidlo s koreňovým znakom. Napríklad vezmite číslo 1859 použité vyššie a vezmite z neho odmocninu kocky:
Koreň 3 z roku 1859 = 6,5662867…
To znamená, že ak je číslo 6,5662867... umocnené na tretiu mocninu, dostaneme približne 1859. Extrahovanie koreňov z čísel teda nie je ťažké, stačí si zapamätať vyššie uvedené algoritmy.
V predslove k svojmu prvému vydaniu „V kráľovstve vynaliezavosti“ (1908) E. I. Ignatiev píše: „...intelektuálna iniciatíva, bystrý vtip a „vynaliezavosť“ nemožno nikomu „navŕtať“ alebo „vložiť“ do hlavy. Výsledky sú spoľahlivé len vtedy, keď je úvod do oblasti matematických vedomostí urobený jednoduchým a príjemným spôsobom s použitím predmetov a príkladov z bežných a každodenných situácií, vybraných s primeraným vtipom a zábavou.“
V predslove k vydaniu z roku 1911 „Úloha pamäte v matematike“ E.I. Ignatiev píše: „...v matematike by sa nemali pamätať na vzorce, ale na proces myslenia.
Na extrakciu druhej odmocniny existujú tabuľky druhých mocnín pre dvojciferné čísla; číslo môžete rozpočítať do prvočísel a extrahovať druhú odmocninu súčinu. Tabuľka štvorcov niekedy nestačí, extrahovanie koreňa faktoringom je časovo náročná úloha, ktorá navyše nie vždy vedie k požadovanému výsledku. Skúste vziať druhú odmocninu z 209764? Započítaním do hlavných faktorov získame súčin 2*2*52441. Pokusom a omylom, výberom - to sa samozrejme dá urobiť, ak ste si istí, že ide o celé číslo. Metóda, ktorú chcem navrhnúť, vám v každom prípade umožňuje vziať druhú odmocninu.
Kedysi dávno v inštitúte (Permský štátny pedagogický ústav) sme boli oboznámení s touto metódou, o ktorej chcem teraz hovoriť. Nikdy som sa nezamýšľal nad tým, či má táto metóda dôkaz, takže teraz som si musel niektoré dôkazy odvodiť sám.
Základom tejto metódy je zloženie čísla =.
=&, t.j. & 2 = 596334.
1. Rozdeľte číslo (5963364) do párov sprava doľava (5`96`33`64)
2. Extrahujte druhú odmocninu prvej skupiny vľavo ( - číslo 2). Takto dostaneme prvú číslicu &.
3. Nájdite druhú mocninu prvej číslice (2 2 = 4).
4. Nájdite rozdiel medzi prvou skupinou a druhou mocninou prvej číslice (5-4=1).
5. Zoberieme ďalšie dve číslice (dostaneme číslo 196).
6. Zdvojnásobte prvú číslicu, ktorú sme našli, a napíšte ju vľavo za riadok (2*2=4).
7. Teraz musíme nájsť druhú číslicu čísla &: dvojnásobok prvej číslice, ktorú sme našli, sa stane desiatkovou číslicou čísla, ktoré po vynásobení počtom jednotiek musíte dostať číslo menšie ako 196 (to je číslo 4, 44*4=176). 4 je druhá číslica &.
8. Nájdite rozdiel (196-176=20).
9. Zničíme ďalšiu skupinu (dostaneme číslo 2033).
10. Zdvojnásobte číslo 24, dostaneme 48.
V čísle je 11,48 desiatok, po vynásobení počtom jednotiek by sme mali dostať číslo menšie ako 2033 (484*4=1936). Jedna číslica, ktorú sme našli (4), je tretia číslica čísla &.
Poskytol som dôkaz pre nasledujúce prípady:
1. Extrahovanie druhej odmocniny z trojciferného čísla;
2. Extrahovanie druhej odmocniny štvorciferného čísla.
Približné metódy na extrakciu druhých odmocnín (bez použitia kalkulačky).
1. Starovekí Babylončania použili nasledujúcu metódu na zistenie približnej hodnoty druhej odmocniny svojho čísla x. Číslo x reprezentovali ako súčet a 2 + b, kde a 2 je presná druhá mocnina prirodzeného čísla a (a 2 ? x) najbližšie k číslu x a použili vzorec 
. (1)
Pomocou vzorca (1) extrahujeme druhú odmocninu, napríklad z čísla 28:
Výsledok extrakcie koreňa 28 pomocou MK je 5,2915026.
Ako vidíte, babylonská metóda poskytuje dobrú aproximáciu presnej hodnoty koreňa.
2. Isaac Newton vyvinul metódu odmocnenia, ktorá sa datuje od Herona Alexandrijského (približne 100 n. l.). Táto metóda (známa ako Newtonova metóda) je nasledovná.
Nechaj 1- prvá aproximácia čísla (ako 1 môžete vziať hodnoty druhej odmocniny prirodzeného čísla - presná druhá mocnina nepresahujúca X) .
Ďalej presnejšia aproximácia a 2čísla
zistené podľa vzorca 
.
Bibliografický popis: Pryostanovo S. M., Lysogorova L. V. Metódy extrakcie druhej odmocniny // Mladý vedec. 2017. Číslo 2.2. S. 76-77..02.2019).
Kľúčové slová : druhá odmocnina, extrakcia druhej odmocniny.
Na hodinách matematiky som sa zoznámil s pojmom odmocnina, a operáciou extrakcie druhej odmocniny. Začalo ma zaujímať, či je extrahovanie druhej odmocniny možné len pomocou tabuľky štvorcov, pomocou kalkulačky, alebo existuje spôsob, ako to extrahovať ručne. Našiel som viacero spôsobov: vzorec starovekého Babylonu, cez riešenie rovníc, metódu vyhadzovania úplného štvorca, Newtonovu metódu, geometrickú metódu, grafickú metódu (, ), metódu hádania, metódu odpočtu nepárnych čísel.
Zvážte nasledujúce metódy:
Rozložme to na prvočísla pomocou kritérií deliteľnosti 27225=5*5*3*3*11*11. Teda
- TO Kanadská metóda. Túto rýchlu metódu objavili mladí vedci na jednej z popredných kanadských univerzít v 20. storočí. Jeho presnosť nie je väčšia ako dve až tri desatinné miesta.
kde x je číslo, z ktorého sa musí extrahovať koreň, c je číslo najbližšieho štvorca), napríklad:
=5,92
- V stĺpci. Táto metóda vám umožňuje nájsť približnú hodnotu odmocniny akéhokoľvek reálneho čísla s akoukoľvek vopred určenou presnosťou. Medzi nevýhody tejto metódy patrí zvyšujúca sa náročnosť výpočtu so zvyšujúcim sa počtom nájdených číslic. Na manuálne extrahovanie koreňa sa používa zápis podobný dlhému deleniu
Algoritmus druhej odmocniny
1. Zlomkovú časť a celočíselnú časť delíme oddelene od čiarky na hranici dvoch číslic v každej tvári ( bozkávaťčasť - sprava doľava; zlomkové- zľava doprava). Je možné, že celočíselná časť môže obsahovať jednu číslicu a zlomková časť môže obsahovať nuly.
2. Extrakcia začína zľava doprava a vyberieme číslo, ktorého druhá mocnina nepresahuje číslo na prvej ploche. Toto číslo odmocníme a napíšeme pod číslo na prvej strane.
3. Nájdite rozdiel medzi číslom na prvej ploche a druhou mocninou vybraného prvého čísla.
4. K výslednému rozdielu pripočítame ďalšiu hranu, výsledné číslo bude deliteľné. Vzdelávajme sa rozdeľovač. Prvú vybranú číslicu odpovede zdvojnásobíme (vynásobíme 2), dostaneme počet desiatok deliteľa a počet jednotiek by mal byť taký, aby jeho súčin celým deliteľom nepresiahol deliteľa. Vybrané číslo si zapíšeme ako odpoveď.
5. Vezmeme ďalšiu hranu k výslednému rozdielu a vykonáme akcie podľa algoritmu. Ak sa ukáže, že táto tvár je tvárou zlomkovej časti, potom do odpovede vložíme čiarku. (Obr. 1.)
|
|
|
Pomocou tejto metódy môžete extrahovať čísla s rôznou presnosťou, napríklad až na tisíciny. (Obr.2)
Vzhľadom na rôzne metódy extrakcie druhej odmocniny môžeme konštatovať: v každom konkrétnom prípade sa musíte rozhodnúť o výbere najúčinnejšieho, aby ste strávili menej času riešením
Literatúra:
- Kiselev A. Prvky algebry a analýzy. Časť prvá.-M.-1928
Kľúčové slová: odmocnina, odmocnina.
Anotácia: Článok popisuje metódy extrakcie druhých odmocnín a poskytuje príklady extrakcie koreňov.
Kruh ukázal, ako môžete získať druhé odmocniny v stĺpci. Môžete vypočítať koreň s ľubovoľnou presnosťou, nájsť ľubovoľný počet číslic v jeho desiatkovom zápise, aj keď sa to ukáže ako iracionálne. Algoritmus bol zapamätaný, ale zostali otázky. Nebolo jasné, odkiaľ metóda pochádza a prečo dáva správny výsledok. Nebolo to v knihách, alebo som možno len hľadal v nesprávnych knihách. Nakoniec, ako veľa z toho, čo dnes viem a dokážem, som si to vymyslel sám. Zdieľam tu svoje poznatky. Mimochodom, stále neviem, kde je uvedené zdôvodnenie algoritmu)))
Takže najprv vám poviem „ako systém funguje“ na príklade a potom vysvetlím, prečo to vlastne funguje.
Zoberme si číslo (číslo bolo vzaté „zo vzduchu“, len mi prišlo na myseľ).
1. Jeho čísla rozdeľujeme do dvojíc: čísla naľavo od desatinnej čiarky sú zoskupené po dvoch sprava doľava a čísla napravo po dve zľava doprava. Dostaneme.
2. Z prvej skupiny čísel vľavo vytiahneme druhú odmocninu - v našom prípade je to tak (je jasné, že presnú odmocninu nemožno vytiahnuť, vezmeme číslo, ktorého druhá mocnina je čo najbližšie k nášmu číslu tvorenému prvá skupina čísel, ale neprekračuje ju). V našom prípade to bude číslo. Odpoveď zapíšeme - toto je najvýznamnejšia číslica koreňa.
3. Číslo, ktoré je už v odpovedi - toto - odmocníme a odpočítame od prvej skupiny čísel vľavo - od čísla. V našom prípade zostáva.
4. Vpravo priradíme nasledujúcu skupinu dvoch čísel: . Číslo, ktoré je už v odpovedi, vynásobíme a dostaneme .
5. Teraz pozorne sledujte. K číslu napravo musíme priradiť jednu číslicu a číslo vynásobiť, teda rovnakou priradenou číslicou. Výsledok by sa mal čo najviac približovať k tomuto číslu, ale opäť nie viac. V našom prípade to bude číslo, píšeme ho do odpovede vedľa, vpravo. Toto je ďalšia číslica v desiatkovom zápise našej druhej odmocniny.
6. Odčítaním súčinu dostaneme .
7. Ďalej zopakujeme známe operácie: k výslednému číslu priradíme nasledujúcu skupinu číslic vpravo, vynásobíme , > priradíme jednu číslicu vpravo tak, že po vynásobení ňou dostaneme číslo menšie ako , ale najbližšie k nemu - toto je ďalšia číslica v desiatkovom koreňovom zápise.
Výpočty budú napísané takto:
A teraz sľúbené vysvetlenie. Algoritmus je založený na vzorci
Komentáre: 50
2 Anton:
Príliš chaotické a mätúce. Všetko zoraď bod po bode a očísluj. Plus: vysvetlite, kde nahrádzame požadované hodnoty v každej akcii. Nikdy predtým som nevypočítal koreňový koreň; mal som problém to zistiť.
5 Júlia:
6 :
Julia, 23 je momentálne napísaná vpravo; toto sú prvé dve (vľavo) číslice odmocniny, ktorá už bola prijatá v odpovedi. Vynásobte 2 podľa algoritmu. Opakujeme kroky popísané v bode 4.
7 zzz:
chyba v „6. Od 167 odpočítame súčin 43 * 3 = 123 (129 nada), dostaneme 38.“
Nechápem, ako sa ukázalo, že je 08 za desatinnou čiarkou...9 Fedotov Alexander:
A ešte v dobe pred kalkulačkou nás v škole učili nielen druhú odmocninu, ale aj odmocninu v stĺpci, ale to bola namáhavejšia a namáhavejšia práca. Jednoduchšie bolo použiť Bradisove tabuľky alebo posuvné pravítko, ktoré sme študovali už na strednej škole.
10 :
Alexander, máte pravdu, môžete extrahovať korene veľkých síl do stĺpca. Budem písať len o tom, ako nájsť odmocninu kocky.
12 Sergej Valentinovič:
Milá Elizaveta Alexandrovna! Koncom 70-tych rokov som vypracoval schému automatického (t.j. nie výberom) výpočtu quadra. root na sčítacom stroji Felix. V prípade záujmu môžem poslať popis.
14 Vlad aus Engelsstadt:
(((Výber druhej odmocniny stĺpca)))
Algoritmus sa zjednoduší, ak použijete 2. číselný systém, ktorý sa študuje v informatike, ale je užitočný aj v matematike. A.N. Kolmogorov predstavil tento algoritmus v populárnych prednáškach pre školákov. Jeho článok možno nájsť v zbierke „Čebyšev“ (Matematický časopis, odkaz naň hľadajte na internete)
Mimochodom, povedzte:
G. Leibniz sa svojho času pohrával s myšlienkou prechodu z desiatej číselnej sústavy na binárnu pre jej jednoduchosť a dostupnosť pre začiatočníkov (školákov). Ale porušiť zavedené tradície je ako rozbiť bránu pevnosti čelom: je to možné, ale je to zbytočné. Tak to dopadá, ako podľa najcitovanejšieho bradatého filozofa za starých čias: tradície všetkých mŕtvych generácií potláčajú vedomie živých.Dobudúcna.
15 Vlad aus Engelsstadt:
))Sergej Valentinovič, áno, mám záujem...((
Stavím sa, že toto je variácia na „Felix“ babylonskej metódy získavania štvorcového rytiera pomocou metódy postupných aproximácií. Tento algoritmus bol pokrytý Newtonovou metódou (tangenciálna metóda)
Zaujímalo by ma, či som sa v predpovedi nemýlil?
18 :
2Vlad z Engelsstadtu
Áno, binárny algoritmus by mal byť jednoduchší, to je celkom zrejmé.
O Newtonovej metóde. Možno je to pravda, ale aj tak je to zaujímavé
20 Kirill:
Mnohokrat dakujem. Ale stále neexistuje žiadny algoritmus, nikto nevie, odkiaľ pochádza, ale výsledok je správny. MNOHOKRAT DAKUJEM! dlho som to hľadal)
21 Alexander:
Ako extrahujete koreň z čísla, kde je druhá skupina zľava doprava veľmi malá? napríklad obľúbené číslo každého je 4 398 046 511 104. Po prvom odčítaní nie je možné pokračovať vo všetkom podľa algoritmu. Môžeš prosím vysvetliť.
22 Alexey:
Áno, túto metódu poznám. Pamätám si, že som to čítal v knihe „Algebra“ nejakého starého vydania. Potom, analogicky, sám odvodil, ako extrahovať odmocninu kocky v stĺpci. Ale tam je to už komplikovanejšie: každá číslica nie je určená jedným (ako v prípade štvorca), ale dvoma odčítaniami, a aj tam musíte vždy násobiť dlhé čísla.
23 Artem:
V príklade extrakcie druhej odmocniny z 56789,321 sú preklepy. Skupina čísel 32 sa priradí dvakrát k číslam 145 a 243, v čísle 2388025 je potrebné druhú 8 nahradiť číslom 3. Potom posledné odčítanie treba zapísať takto: 2431000 – 2383025 = 47975.
Pri delení zvyšku zdvojnásobenou hodnotou odpovede (bez zohľadnenia čiarky) získame dodatočný počet platných číslic (47975/(2*238305) = 0,100658819...), ktoré by sa mali pripočítať odpoveď (√56789,321 = 238,305... = 238,305100659).24 Sergey:
Algoritmus zrejme pochádza z knihy Isaaca Newtona „Všeobecná aritmetika alebo kniha o aritmetickej syntéze a analýze“. Tu je úryvok z nej:
O VYŤAŽOVANÍ KOREŇOV
Ak chcete extrahovať druhú odmocninu čísla, musíte najskôr umiestniť bodku nad jeho číslice, začínajúc od jednotiek. Potom by ste mali v kvociente alebo radikále napísať číslo, ktorého druhá mocnina sa rovná alebo je v nevýhode najbližšie k číslam alebo číslu pred prvým bodom. Po odčítaní tohto štvorca sa postupne nájdu zvyšné číslice odmocniny tak, že sa zvyšok vydelí dvojnásobkom hodnoty už extrahovanej časti odmocniny a od zvyšku odmocniny sa vždy odčíta posledná nájdená číslica a jej desaťnásobný súčin o menovaný deliteľ.
25 Sergey:
Opravte tiež názov knihy „Všeobecná aritmetika alebo kniha o aritmetickej syntéze a analýze“
26 Alexander:
Ďakujem za zaujímavý materiál. Ale táto metóda sa mi zdá o niečo zložitejšia, ako je potrebná napríklad pre školáka. Používam jednoduchšiu metódu založenú na rozširovaní kvadratickej funkcie pomocou prvých dvoch derivácií. Jeho vzorec je:
sqrt(x)= A1+A2-A3, kde
A1 je celé číslo, ktorého druhá mocnina je najbližšie k x;
A2 je zlomok, čitateľ je x-A1, menovateľ je 2*A1.
Pre väčšinu čísel, s ktorými sa stretnete v školskom kurze, to stačí na to, aby bol výsledok presný na stotinu.
Ak potrebujete presnejší výsledok, vezmite
A3 je zlomok, čitateľ je A2 na druhú, menovateľ je 2*A1+1.
Samozrejme, na použitie potrebujete tabuľku druhých mocnín celých čísel, ale to v škole nie je problém. Zapamätanie si tohto vzorca je celkom jednoduché.
Mätie ma však, že som A3 získal empiricky ako výsledok experimentov s tabuľkovým procesorom a celkom nerozumiem, prečo má tento člen tento vzhľad. Možno mi viete poradiť?27 Alexander:
Áno, zvažoval som aj tieto úvahy, ale diabol sa skrýva v detailoch. Píšete:
"keďže a2 a b sa líšia pomerne málo." Otázka je presne ako málo.
Tento vzorec funguje dobre na čísla v druhej desiatke a oveľa horšie (nie do stotín, len do desatiniek) na čísla v prvej desiatke. Prečo sa to deje, je ťažké pochopiť bez použitia derivátov.28 Alexander:
Vysvetlím, v čom vidím výhodu vzorca, ktorý navrhujem. Nevyžaduje nie celkom prirodzené delenie čísel do dvojíc číslic, ktoré sa, ako ukazuje skúsenosť, často vykonáva s chybami. Jeho význam je zrejmý, ale pre človeka znalého analýzy je to triviálne. Funguje dobre na číslach od 100 do 1000, čo sú najbežnejšie čísla, s ktorými sa v škole stretávame.
29 Alexander:
Mimochodom, trochu som kopal a našiel som presný výraz pre A3 v mojom vzorci:
A3= A22 /2(A1+A2)30 Vasil stryzhak:
V našej dobe, s rozšíreným používaním výpočtovej techniky, otázka extrakcie štvorcového rytiera z čísla nestojí za to z praktického hľadiska. Ale pre milovníkov matematiky budú nepochybne zaujímavé rôzne možnosti riešenia tohto problému. Spôsob tohto výpočtu bez použitia dodatočných finančných prostriedkov by mal v školských osnovách prebiehať na úrovni násobenia a dlhého delenia. Výpočtový algoritmus musí byť nielen zapamätaný, ale aj zrozumiteľný. Klasická metóda, prezentovaná v tomto materiáli na diskusiu s odhalením podstaty, plne vyhovuje vyššie uvedeným kritériám.
Významnou nevýhodou metódy, ktorú navrhol Alexander, je použitie tabuľky druhých mocnín celých čísel. Autor mlčí o väčšine čísel, s ktorými sa stretáva v školskom kurze. Pokiaľ ide o vzorec, vo všeobecnosti sa mi páči kvôli relatívne vysokej presnosti výpočtu.31 Alexander:
za 30 vasil stryzhak
Nič som nezamlčal. Tabuľka štvorcov má byť do 1000. Za mojich čias v škole sa to jednoducho učili naspamäť a bolo to vo všetkých učebniciach matematiky. Tento interval som výslovne pomenoval.
Čo sa týka výpočtovej techniky, tá sa nevyužíva najmä na hodinách matematiky, pokiaľ nie je špeciálne rozoberaná téma používania kalkulačky. Kalkulačky sú teraz zabudované do zariadení, ktoré je zakázané používať na jednotnej štátnej skúške.32 Vasil stryzhak:
Alexander, ďakujem za vysvetlenie! Myslel som, že pre navrhovanú metódu je teoreticky potrebné zapamätať si alebo použiť tabuľku druhých mocnín všetkých dvojciferných čísel. Potom pre radikálne čísla, ktoré nie sú zahrnuté v intervale od 100 do 10 000, môžete použiť techniku ich zväčšovania alebo zmenšovania o požadovaný počet rádov posunutím desatinnej čiarky.
33 Vasil stryzhak:
39 ALEXANDER:
MÔJ PRVÝ PROGRAM V JAZYKU IAMB NA SOVIETSKOM STROJI „ISKRA 555“ BOL NAPÍSANÝ, ABY SLOVENČINA VYŤAHOVALA POMOCOU ALGORITHMU EXTRAKCIE STĹPCA! a teraz som zabudol, ako to extrahovať ručne!