Všeobecné goniometrické vzorce. Základné goniometrické identity
Referenčné informácie o goniometrických funkciách sínus (sin x) a kosínus (cos x). Geometrická definícia, vlastnosti, grafy, vzorce. Tabuľka sínusov a kosínusov, derivácie, integrály, radové expanzie, sekans, kosekans. Vyjadrenia prostredníctvom komplexných premenných. Spojenie s hyperbolickými funkciami.
Geometrická definícia sínusu a kosínusu
|BD|- dĺžka oblúka kružnice so stredom v bode A.
α
- uhol vyjadrený v radiánoch.
Definícia
sínus (sin α) je goniometrická funkcia závislá od uhla α medzi preponou a ramenom pravouhlého trojuholníka, ktorá sa rovná pomeru dĺžky protiľahlého ramena |BC| na dĺžku prepony |AC|.
Kosínus (cos α) je goniometrická funkcia závislá od uhla α medzi preponou a ramenom pravouhlého trojuholníka, rovná pomeru dĺžky susedného ramena |AB| na dĺžku prepony |AC|.
Akceptované notácie
;
;
.
;
;
.
Graf funkcie sínus, y = sin x
Graf funkcie kosínus, y = cos x
Vlastnosti sínusu a kosínusu
Periodicita
Funkcie y = hriech x a y = cos x periodický s bodkou 2π.
Parita
Funkcia sínus je nepárna. Kosínusová funkcia je párna.
Oblasť definície a hodnôt, extrémy, nárast, pokles
Funkcie sínus a kosínus sú spojité vo svojej oblasti definície, to znamená pre všetky x (pozri dôkaz spojitosti). Ich hlavné vlastnosti sú uvedené v tabuľke (n - celé číslo).
| y= hriech x | y= cos x | |
| Rozsah a kontinuita | - ∞ < x < + ∞ | - ∞ < x < + ∞ |
| Rozsah hodnôt | -1 ≤ y ≤ 1 | -1 ≤ y ≤ 1 |
| Zvyšovanie | ||
| Zostupne | ||
| Maxima, y = 1 | ||
| Minimum, y = - 1 | ||
| Nuly, y = 0 | ||
| Priesečník bodov s ordinátnou osou x = 0 | y= 0 | y= 1 |
Základné vzorce
Súčet druhých mocnín sínusu a kosínusu
Vzorce pre sínus a kosínus zo súčtu a rozdielu
;
;
Vzorce na súčin sínusov a kosínusov
Vzorce súčtu a rozdielu
Vyjadrenie sínusu cez kosínus
;
;
;
.
Vyjadrenie kosínusu cez sínus
;
;
;
.
Vyjadrenie prostredníctvom dotyčnice
; .
Kedy máme:
;
.
na :
;
.
Tabuľka sínusov a kosínusov, tangens a kotangens
Táto tabuľka zobrazuje hodnoty sínusov a kosínusov pre určité hodnoty argumentu. 
Vyjadrenia prostredníctvom komplexných premenných
;
Eulerov vzorec
{ -∞ < x < +∞ }
Sekant, kosekant
Inverzné funkcie
Inverzné funkcie sínusu a kosínusu sú arczín a arkkozín.
Arcsine, arcsin
Arccosine, arccos
Referencie:
I.N. Bronstein, K.A. Semendyaev, Príručka matematiky pre inžinierov a vysokoškolských študentov, „Lan“, 2009.
Referenčné údaje pre tangens (tg x) a kotangens (ctg x). Geometrická definícia, vlastnosti, grafy, vzorce. Tabuľka dotyčníc a kotangens, derivácie, integrály, radové expanzie. Vyjadrenia prostredníctvom komplexných premenných. Spojenie s hyperbolickými funkciami.
Geometrická definícia
|BD| - dĺžka oblúka kružnice so stredom v bode A.
α je uhol vyjadrený v radiánoch.
Tangenta ( opálenie α) je goniometrická funkcia závislá od uhla α medzi preponou a ramenom pravouhlého trojuholníka, ktorá sa rovná pomeru dĺžky protiľahlého ramena |BC| na dĺžku susednej nohy |AB| .
Kotangens ( ctg α) je goniometrická funkcia závislá od uhla α medzi preponou a ramenom pravouhlého trojuholníka, rovná pomeru dĺžky susedného ramena |AB| na dĺžku opačnej nohy |BC| .
Tangenta
Kde n- celý.
V západnej literatúre sa dotyčnica označuje takto:
.
;
;
.
Graf funkcie dotyčnice, y = tan x
Kotangens
Kde n- celý.
V západnej literatúre sa kotangens označuje takto:
.
Akceptované sú aj nasledujúce zápisy:
;
;
.
Graf funkcie kotangens, y = ctg x
Vlastnosti dotyčnice a kotangens
Periodicita
Funkcie y = tg x a y = ctg x sú periodické s periódou π.
Parita
Funkcie tangens a kotangens sú nepárne.
Oblasti definície a hodnôt, rastúce, klesajúce
Dotykové a kotangens funkcie sú spojité vo svojej doméne definície (pozri dôkaz spojitosti). Hlavné vlastnosti tangens a kotangens sú uvedené v tabuľke ( n- celé).
| y= tg x | y= ctg x | |
| Rozsah a kontinuita | ||
| Rozsah hodnôt | -∞ < y < +∞ | -∞ < y < +∞ |
| Zvyšovanie | - | |
| Zostupne | - | |
| Extrémy | - | - |
| Nuly, y = 0 | ||
| Priesečník bodov s ordinátnou osou x = 0 | y= 0 | - |
Vzorce
Výrazy využívajúce sínus a kosínus
;
;
;
;
;
Vzorce pre tangens a kotangens zo súčtu a rozdielu
Zostávajúce vzorce sa dajú ľahko získať napr
Súčin dotyčníc
Vzorec pre súčet a rozdiel dotyčníc
Táto tabuľka predstavuje hodnoty dotyčníc a kotangens pre určité hodnoty argumentu.
Výrazy využívajúce komplexné čísla
Vyjadrenia prostredníctvom hyperbolických funkcií
;
;
Deriváty
; .
.
Derivácia n-tého rádu vzhľadom na premennú x funkcie:
.
Odvodenie vzorcov pre dotyčnicu > > > ; pre kotangens >> >
Integrály
Rozšírenia série
Ak chcete získať rozšírenie tangens v mocninách x, musíte vziať niekoľko členov expanzie v mocninnom rade pre funkcie hriech x A cos x a rozdeliť tieto polynómy navzájom, . Takto sa získajú nasledujúce vzorce.
o .
v .
Kde Bn- Bernoulliho čísla. Určujú sa buď zo vzťahu opakovania:
;
;
Kde .
Alebo podľa Laplaceovho vzorca: 
Inverzné funkcie
Inverzné funkcie tangens a kotangens sú arkustangens a arkustangens.
Arctangens, arctg
, Kde n- celý.
Arckotangens, arcctg
, Kde n- celý.
Referencie:
I.N. Bronstein, K.A. Semendyaev, Príručka matematiky pre inžinierov a vysokoškolských študentov, „Lan“, 2009.
G. Korn, Príručka matematiky pre vedcov a inžinierov, 2012.
Sú uvedené vzťahy medzi základnými goniometrickými funkciami - sínus, kosínus, tangens a kotangens trigonometrické vzorce. A keďže medzi goniometrickými funkciami existuje pomerne veľa spojení, vysvetľuje to množstvo goniometrických vzorcov. Niektoré vzorce spájajú goniometrické funkcie rovnakého uhla, iné - funkcie viacnásobného uhla, iné - umožňujú znížiť stupeň, štvrté - vyjadrujú všetky funkcie cez tangens polovičného uhla atď.
V tomto článku uvedieme v poradí všetky základné trigonometrické vzorce, ktoré postačujú na vyriešenie veľkej väčšiny problémov s trigonometriou. Pre ľahšie zapamätanie a používanie ich zoskupíme podľa účelu a zapíšeme do tabuliek.
Navigácia na stránke.
Základné goniometrické identity
Základné goniometrické identity definovať vzťah medzi sínusom, kosínusom, tangentom a kotangensom jedného uhla. Vyplývajú z definície sínusu, kosínusu, tangensu a kotangensu, ako aj z pojmu jednotkový kruh. Umožňujú vám vyjadriť jednu goniometrickú funkciu akoukoľvek inou.
Podrobný popis týchto trigonometrických vzorcov, ich odvodenie a príklady použitia nájdete v článku.
Redukčné vzorce
Redukčné vzorce vyplývajú z vlastností sínusu, kosínusu, dotyčnice a kotangensu, to znamená, že odrážajú vlastnosť periodicity goniometrických funkcií, vlastnosť symetrie, ako aj vlastnosť posunu o daný uhol. Tieto trigonometrické vzorce vám umožňujú prejsť od práce s ľubovoľnými uhlami k práci s uhlami v rozsahu od nuly do 90 stupňov.
Zdôvodnenie týchto vzorcov, mnemotechnické pravidlo na ich zapamätanie a príklady ich aplikácie si môžete prečítať v článku.
Sčítacie vzorce
Goniometrické sčítacie vzorce ukážte, ako sú goniometrické funkcie súčtu alebo rozdielu dvoch uhlov vyjadrené z hľadiska goniometrických funkcií týchto uhlov. Tieto vzorce slúžia ako základ pre odvodenie nasledujúcich goniometrických vzorcov.
Vzorce pre dvojité, trojité atď. uhol
Vzorce pre dvojité, trojité atď. uhla (nazývajú sa aj viacuhlové vzorce) ukazujú, ako goniometrické funkcie dvojitého, trojitého atď. uhly () sú vyjadrené ako trigonometrické funkcie jedného uhla. Ich odvodenie je založené na adičných vzorcoch.
Podrobnejšie informácie sú zhromaždené vo vzorcoch článku pre dvojité, trojité atď. uhol
Vzorce polovičného uhla
Vzorce polovičného uhla ukážte, ako sú goniometrické funkcie polovičného uhla vyjadrené ako kosínus celého uhla. Tieto trigonometrické vzorce vyplývajú zo vzorcov dvojitého uhla.
Ich záver a príklady aplikácie nájdete v článku.
Vzorce na zníženie stupňa
Trigonometrické vzorce na zníženie stupňov sú navrhnuté tak, aby uľahčili prechod od prirodzených mocnín goniometrických funkcií na sínusy a kosínusy v prvom stupni, ale s viacerými uhlami. Inými slovami, umožňujú vám znížiť mocniny goniometrických funkcií na prvé.
Vzorce pre súčet a rozdiel goniometrických funkcií
Hlavný účel vzorce pre súčet a rozdiel goniometrických funkcií je prejsť na súčin funkcií, čo je veľmi užitočné pri zjednodušovaní goniometrických výrazov. Tieto vzorce sú tiež široko používané pri riešení goniometrických rovníc, pretože umožňujú faktorizovať súčet a rozdiel sínusov a kosínusov.
Vzorce na súčin sínusov, kosínusov a sínus po kosínu
Prechod od súčinu goniometrických funkcií k súčtu alebo rozdielu sa vykonáva pomocou vzorcov pre súčin sínusov, kosínusov a sínus po kosínusu.
Autorské práva chytrých študentov
Všetky práva vyhradené.
Chránené autorským zákonom. Žiadna časť www.site, vrátane interných materiálov a vzhľadu, nesmie byť reprodukovaná v žiadnej forme ani použitá bez predchádzajúceho písomného súhlasu držiteľa autorských práv.
Trigonometrické identity- sú to rovnosti, ktoré vytvárajú vzťah medzi sínusom, kosínusom, tangensom a kotangensom jedného uhla, čo vám umožňuje nájsť ktorúkoľvek z týchto funkcií za predpokladu, že je známa akákoľvek iná.
tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), \enspace ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)
tg \alpha \cdot ctg \alpha = 1
Táto identita hovorí, že súčet druhej mocniny sínusu jedného uhla a druhej mocniny kosínusu jedného uhla sa rovná jednej, čo v praxi umožňuje vypočítať sínus jedného uhla, keď je známy jeho kosínus a naopak. .
Pri prevode goniometrických výrazov sa veľmi často používa táto identita, ktorá umožňuje nahradiť súčet druhých mocnín kosínusu a sínusu jedného uhla jednotkou a tiež vykonať operáciu nahradenia v opačnom poradí.
Hľadanie tangens a kotangens pomocou sínus a kosínus
tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha),\enspace
Tieto identity sú tvorené definíciami sínus, kosínus, tangens a kotangens. Koniec koncov, ak sa na to pozriete, potom podľa definície ordináta y je sínus a osa x je kosínus. Potom sa dotyčnica bude rovnať pomeru \frac(y)(x)=\frac(\sin \alpha)(\cos \alpha) a pomer \frac(x)(y)=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- bude kotangens.
Dodajme, že iba pre také uhly \alpha, pri ktorých trigonometrické funkcie v nich obsiahnuté majú zmysel, budú platiť identity, ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha).
Napríklad: tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha) platí pre uhly \alpha, ktoré sa líšia od \frac(\pi)(2)+\pi z, A ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- pre uhol \alpha iný ako \pi z je z celé číslo.
Vzťah medzi tangentom a kotangensom
tg \alpha \cdot ctg \alpha=1
Táto identita je platná len pre uhly \alpha, ktoré sú odlišné od \frac(\pi)(2) z. V opačnom prípade sa kotangens alebo tangenta neurčia.
Na základe vyššie uvedených bodov to získame tg \alpha = \frac(y)(x), A ctg \alpha=\frac(x)(y). Z toho vyplýva tg \alpha \cdot ctg \alpha = \frac(y)(x) \cdot \frac(x)(y)=1. Tangent a kotangens rovnakého uhla, pod ktorým dávajú zmysel, sú teda vzájomne inverzné čísla.
Vzťahy medzi tangensom a kosínusom, kotangensom a sínusom
tg^(2) \alpha + 1=\frac(1)(\cos^(2) \alpha)- súčet druhej mocniny tangens uhla \alpha a 1 sa rovná prevrátenej druhej mocnine kosínusu tohto uhla. Táto identita je platná pre všetky \alpha okrem \frac(\pi)(2)+ \pi z.
1+ctg^(2) \alpha=\frac(1)(\sin^(2)\alpha)- súčet 1 a druhej mocniny kotangens uhla \alfa sa rovná prevrátenej druhej mocnine sínusu daného uhla. Táto identita je platná pre všetky \alpha odlišné od \pi z.
Príklady s riešením problémov pomocou goniometrických identít
Príklad 1
Nájdite \sin \alpha a tg \alpha if \cos \alpha=-\frac12 A \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi ;
Ukážte riešenie
Riešenie
Funkcie \sin \alpha a \cos \alpha súvisia podľa vzorca \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1. Nahradenie do tohto vzorca \cos \alpha = -\frac12, dostaneme:
\sin^(2)\alpha + \left (-\frac12 \right)^2 = 1
Táto rovnica má 2 riešenia:
\sin \alpha = \pm \sqrt(1-\frac14) = \pm \frac(\sqrt 3)(2)
Podľa podmienok \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . V druhom štvrťroku je sínus kladný, takže \sin \alpha = \frac(\sqrt 3)(2).
Aby sme našli tan \alpha, použijeme vzorec tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)
tg \alpha = \frac(\sqrt 3)(2) : \frac12 = \sqrt 3
Príklad 2
Nájdite \cos \alpha a ctg \alpha, ak a \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi .
Ukážte riešenie
Riešenie
Dosadzovanie do vzorca \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1 dané číslo \sin \alpha=\frac(\sqrt3)(2), dostaneme \left (\frac(\sqrt3)(2)\right)^(2) + \cos^(2) \alpha = 1. Táto rovnica má dve riešenia \cos \alpha = \pm \sqrt(1-\frac34)=\pm\sqrt\frac14.
Podľa podmienok \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . V druhom štvrťroku je kosínus záporný, takže \cos \alpha = -\sqrt\frac14=-\frac12.
Aby sme našli ctg \alpha , použijeme vzorec ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha). Zodpovedajúce hodnoty poznáme.
ctg \alpha = -\frac12: \frac(\sqrt3)(2) = -\frac(1)(\sqrt 3).
Video kurz „Získaj A“ obsahuje všetky témy potrebné na úspešné absolvovanie jednotnej štátnej skúšky z matematiky so 60-65 bodmi. Kompletne všetky úlohy 1-13 Profilovej jednotnej štátnej skúšky z matematiky. Vhodné aj na zloženie Základnej jednotnej štátnej skúšky z matematiky. Ak chcete zložiť jednotnú štátnu skúšku s 90-100 bodmi, musíte časť 1 vyriešiť za 30 minút a bezchybne!
Prípravný kurz na Jednotnú štátnu skúšku pre ročníky 10-11, ako aj pre učiteľov. Všetko, čo potrebujete na vyriešenie 1. časti Jednotnej štátnej skúšky z matematiky (prvých 12 úloh) a 13. úlohy (trigonometria). A to je na Jednotnej štátnej skúške viac ako 70 bodov a nezaobíde sa bez nich ani 100-bodový študent, ani študent humanitných vied.
Všetka potrebná teória. Rýchle riešenia, úskalia a tajomstvá Jednotnej štátnej skúšky. Všetky aktuálne úlohy 1. časti z FIPI Task Bank boli analyzované. Kurz plne vyhovuje požiadavkám Jednotnej štátnej skúšky 2018.
Kurz obsahuje 5 veľkých tém, každá po 2,5 hodiny. Každá téma je daná od začiatku, jednoducho a jasne.
Stovky úloh jednotnej štátnej skúšky. Slovné úlohy a teória pravdepodobnosti. Jednoduché a ľahko zapamätateľné algoritmy na riešenie problémov. Geometria. Teória, referenčný materiál, analýza všetkých typov úloh jednotnej štátnej skúšky. Stereometria. Záludné riešenia, užitočné cheat sheets, rozvoj priestorovej predstavivosti. Trigonometria od nuly k problému 13. Pochopenie namiesto napchávania sa. Jasné vysvetlenie zložitých pojmov. Algebra. Odmocniny, mocniny a logaritmy, funkcia a derivácia. Podklad pre riešenie zložitých problémov 2. časti jednotnej štátnej skúšky.