Nájdite determinant inverznej matice. Metóda elementárnych transformácií (Gaussova a Gauss-Jordanova metóda na hľadanie inverzných matíc)
Táto téma je medzi študentmi jedna z najnenávidenejších. Horšie sú asi kvalifikácie.
Trik je v tom, že samotný koncept inverzného prvku (a nehovorím len o maticiach) nás odkazuje na operáciu násobenia. Aj v školských osnovách sa násobenie považuje za zložitú operáciu a násobenie matíc je vo všeobecnosti samostatnou témou, ktorej venujem celý odsek a video lekciu.
Dnes nebudeme zachádzať do detailov maticových výpočtov. Len si spomeňme: ako sa matice označujú, ako sa násobia a čo z toho vyplýva.
Recenzia: Násobenie matice
V prvom rade sa dohodneme na notácii. Matica $A$ veľkosti $\left[ m\times n \right]$ je jednoducho tabuľka čísel s presne $m$ riadkami a $n$ stĺpcami:
\=\underbrace(\left[ \begin(matica) ((a)_(11)) & ((a)_(12)) & ... & ((a)_(1n)) \\ (( a)_(21)) & ((a)_(22)) & ... & ((a)_(2n)) \\ ... & ... & ... & ... \\ ((a)_(m1)) & ((a)_(m2)) & ... & ((a)_(mn)) \\\koniec (matica) \vpravo])_(n)\]
Aby ste predišli náhodnému pomiešaniu riadkov a stĺpcov (verte mi, na skúške si môžete pomýliť jednotku s dvojkou, nieto ešte niektoré riadky), stačí sa pozrieť na obrázok:
Stanovenie indexov pre bunky matrice Čo sa deje? Ak umiestnite štandardný súradnicový systém $OXY$ do ľavého horného rohu a nasmerujete osi tak, aby pokrývali celú maticu, potom každá bunka tejto matice môže byť jednoznačne spojená so súradnicami $\left(x;y \right)$ - toto bude číslo riadku a číslo stĺpca.
Prečo je súradnicový systém umiestnený v ľavom hornom rohu? Áno, pretože odtiaľ začíname čítať akékoľvek texty. Je veľmi ľahké si to zapamätať.
Prečo je os $x$ nasmerovaná nadol a nie doprava? Opäť je to jednoduché: zoberte štandardný súradnicový systém (os $x$ ide doprava, os $y$ ide hore) a otočte ho tak, aby pokrýval maticu. Ide o otočenie o 90 stupňov v smere hodinových ručičiek – výsledok vidíme na obrázku.
Vo všeobecnosti sme prišli na to, ako určiť indexy prvkov matice. Teraz sa pozrime na násobenie.
Definícia. Matice $A=\left[ m\krát n \right]$ a $B=\left[ n\krát k \right]$, keď sa počet stĺpcov v prvom zhoduje s počtom riadkov v druhom, sú nazývaný konzistentný.
Presne v tomto poradí. Niekto môže byť zmätený a povedať, že matice $A$ a $B$ tvoria usporiadaný pár $\left(A;B \right)$: ak sú konzistentné v tomto poradí, potom nie je vôbec potrebné, aby $B $ a $A$ tie. pár $\left(B;A \right)$ je tiež konzistentný.
Násobiť je možné len spárované matice.
Definícia. Súčin párovaných matíc $A=\left[ m\krát n \right]$ a $B=\left[ n\krát k \right]$ je nová matica $C=\left[ m\krát k \right ]$ , ktorých prvky $((c)_(ij))$ sa vypočítajú podľa vzorca:
\[((c)_(ij))=\sum\limits_(k=1)^(n)(((a)_(ik)))\cdot ((b)_(kj))\]
Inými slovami: ak chcete získať prvok $((c)_(ij))$ matice $C=A\cdot B$, musíte vziať $i$-riadok prvej matice, $j$ -tý stĺpec druhej matice a potom vynásobte v pároch prvky z tohto riadka a stĺpca. Sčítajte výsledky.
Áno, to je taká krutá definícia. Vyplýva z toho hneď niekoľko faktov:
- Maticové násobenie je vo všeobecnosti nekomutatívne: $A\cdot B\ne B\cdot A$;
- Násobenie je však asociatívne: $\left(A\cdot B \right)\cdot C=A\cdot \left(B\cdot C \right)$;
- A to aj distribučne: $\left(A+B \right)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C$;
- A ešte raz distributívne: $A\cdot \left(B+C \right)=A\cdot B+A\cdot C$.
Distributivita násobenia musela byť popísaná oddelene pre ľavý a pravý súčtový faktor práve z dôvodu nekomutatívnosti operácie násobenia.
Ak sa ukáže, že $A\cdot B=B\cdot A$, takéto matice sa nazývajú komutatívne.
Medzi všetkými maticami, ktoré sú tam niečím vynásobené, sú špeciálne - tie, ktoré po vynásobení akoukoľvek maticou $A$ opäť dávajú $A$:
Definícia. Matica $E$ sa nazýva identita, ak $A\cdot E=A$ alebo $E\cdot A=A$. V prípade štvorcovej matice $A$ môžeme písať:
Matica identity je častým hosťom pri riešení maticových rovníc. A vôbec, častý hosť vo svete matrík. :)
A kvôli tomuto $E$ niekto vymyslel všetky tie nezmysly, ktoré budú napísané nabudúce.
Čo je inverzná matica
Keďže násobenie matice je veľmi pracná operácia (musíte vynásobiť veľa riadkov a stĺpcov), koncept inverznej matice tiež nie je najtriviálnejší. A vyžaduje si nejaké vysvetlenie.
Kľúčová definícia
No je načase poznať pravdu.
Definícia. Matica $B$ sa nazýva inverzná k matici $A$ if
Inverzná matica je označená $((A)^(-1))$ (nezamieňať so stupňom!), takže definíciu možno prepísať takto:
Zdalo by sa, že všetko je veľmi jednoduché a jasné. Pri analýze tejto definície sa však okamžite vynára niekoľko otázok:
- Existuje vždy inverzná matica? A ak nie vždy, ako určiť: kedy existuje a kedy nie?
- A kto povedal, že existuje práve jedna takáto matrica? Čo ak pre nejakú počiatočnú maticu $A$ existuje celý zástup inverzných hodnôt?
- Ako vyzerajú všetky tieto „obrátky“? A ako ich vlastne máme počítať?
Čo sa týka výpočtových algoritmov, o tom budeme hovoriť o niečo neskôr. Na zvyšné otázky však odpovieme už teraz. Formulujme ich vo forme samostatných výrokov-lemm.
Základné vlastnosti
Začnime tým, ako by mala matica $A$ v princípe vyzerať, aby pre ňu existovala $((A)^(-1))$. Teraz sa presvedčíme, že obe tieto matice musia byť štvorcové a rovnakej veľkosti: $\left[ n\times n \right]$.
Lema 1. Daná je matica $A$ a jej inverzná hodnota $((A)^(-1))$. Potom sú obe tieto matice štvorcové a rovnakého rádu $n$.
Dôkaz. Je to jednoduché. Nech je matica $A=\vľavo[ m\krát n \vpravo]$, $((A)^(-1))=\vľavo[ a\krát b \vpravo]$. Keďže produkt $A\cdot ((A)^(-1))=E$ podľa definície existuje, matice $A$ a $((A)^(-1))$ sú konzistentné v uvedenom poradí:
\[\začiatok(zarovnanie) & \left[ m\times n \right]\cdot \left[ a\times b \right]=\left[ m\times b \right] \\ & n=a \end( zarovnať)\]
Toto je priamy dôsledok algoritmu násobenia matice: koeficienty $n$ a $a$ sú „tranzitné“ a musia sa rovnať.
Zároveň je definované aj inverzné násobenie: $((A)^(-1))\cdot A=E$, teda matice $((A)^(-1))$ a $A$ sú tiež konzistentné v určenom poradí:
\[\začiatok(zarovnanie) & \left[ a\times b \right]\cdot \left[ m\times n \right]=\left[ a\times n \right] \\ & b=m \end( zarovnať)\]
Bez straty všeobecnosti teda môžeme predpokladať, že $A=\vľavo[ m\krát n \vpravo]$, $((A)^(-1))=\vľavo[ n\krát m \vpravo]$. Podľa definície $A\cdot ((A)^(-1))=((A)^(-1))\cdot A$ sa však veľkosti matíc presne zhodujú:
\[\začiatok(zarovnanie) & \vľavo[ m\krát n \vpravo]=\vľavo[ n\krát m \vpravo] \\ & m=n \koniec (zarovnanie)\]
Ukazuje sa teda, že všetky tri matice – $A$, $((A)^(-1))$ a $E$ – sú štvorcové matice veľkosti $\left[ n\krát n \right]$. Lema je dokázaná.
No to je už dobré. Vidíme, že iba štvorcové matice sú invertibilné. Teraz sa uistite, že inverzná matica je vždy rovnaká.
Lema 2. Daná je matica $A$ a jej inverzná hodnota $((A)^(-1))$. Potom je táto inverzná matica jediná.
Dôkaz. Poďme k rozporu: nech má matica $A$ aspoň dve inverzné hodnoty - $B$ a $C$. Potom podľa definície platia nasledujúce rovnosti:
\[\begin(align) & A\cdot B=B\cdot A=E; \\ & A\cdot C=C\cdot A=E. \\ \end(zarovnať)\]
Z Lemy 1 usudzujeme, že všetky štyri matice - $A$, $B$, $C$ a $E$ - sú štvorce rovnakého poriadku: $\left[ n\krát n \right]$. Preto je výrobok definovaný:
Keďže násobenie matice je asociatívne (ale nie komutatívne!), môžeme písať:
\[\začiatok(zarovnanie) & B\cdot A\cdot C=\vľavo(B\cdot A \vpravo)\cdot C=E\cdot C=C; \\ & B\cdot A\cdot C=B\cdot \left(A\cdot C \right)=B\cdot E=B; \\ & B\cdot A\cdot C=C=B\šípka doprava B=C. \\ \end(zarovnať)\]
Dostali sme jedinú možnú možnosť: dve kópie inverznej matice sú rovnaké. Lema je dokázaná.
Vyššie uvedené argumenty takmer doslovne opakujú dôkaz jedinečnosti inverzného prvku pre všetky reálne čísla $b\ne 0$. Jediným významným doplnkom je zohľadnenie rozmeru matíc.
Stále však nevieme nič o tom, či je každá štvorcová matica invertovateľná. Tu nám prichádza na pomoc determinant - to je kľúčová charakteristika pre všetky štvorcové matice.
Lema 3. Daná matica $A$. Ak existuje jeho inverzná matica $((A)^(-1))$, potom je determinant pôvodnej matice nenulový:
\[\left| A\vpravo|\ne 0\]
Dôkaz. Už vieme, že $A$ a $((A)^(-1))$ sú štvorcové matice veľkosti $\left[ n\krát n \right]$. Preto pre každý z nich môžeme vypočítať determinant: $\left| A\vpravo|$ a $\vľavo| ((A)^(-1)) \vpravo|$. Avšak determinant produktu sa rovná súčinu determinantov:
\[\left| A\cdot B \right|=\left| A \right|\cdot \left| B \vpravo|\Šípka vpravo \vľavo| A\cdot ((A)^(-1)) \right|=\left| A \right|\cdot \left| ((A)^(-1)) \vpravo|\]
Ale podľa definície $A\cdot ((A)^(-1))=E$ a determinant $E$ sa vždy rovná 1, takže
\[\begin(align) & A\cdot ((A)^(-1))=E; \\ & \left| A\cdot ((A)^(-1)) \right|=\left| E\right|; \\ & \left| A \right|\cdot \left| ((A)^(-1)) \vpravo|=1. \\ \end(zarovnať)\]
Súčin dvoch čísel sa rovná jednej iba vtedy, ak je každé z týchto čísel nenulové:
\[\left| A \right|\ne 0;\quad \left| ((A)^(-1)) \vpravo|\ne 0.\]
Takže sa ukázalo, že $\left| A \vpravo|\ne 0$. Lema je dokázaná.
V skutočnosti je táto požiadavka celkom logická. Teraz budeme analyzovať algoritmus na nájdenie inverznej matice - a bude úplne jasné, prečo s nulovým determinantom nemôže v zásade existovať žiadna inverzná matica.
Najprv však sformulujme „pomocnú“ definíciu:
Definícia. Singulárna matica je štvorcová matica veľkosti $\left[ n\krát n \right]$, ktorej determinant je nula.
Môžeme teda tvrdiť, že každá invertibilná matica je nesingulárna.
Ako nájsť inverznú maticu
Teraz zvážime univerzálny algoritmus na hľadanie inverzných matíc. Vo všeobecnosti existujú dva všeobecne akceptované algoritmy a dnes zvážime aj druhý.
Tá, o ktorej sa teraz bude diskutovať, je veľmi účinná pre matice veľkosti $\left[ 2\krát 2 \right]$ a - čiastočne - veľkosti $\left[ 3\krát 3 \right]$. Ale od veľkosti $\left[ 4\krát 4 \right]$ je lepšie ho nepoužívať. Prečo - teraz všetko pochopíte sami.
Algebraické sčítania
Pripraviť sa. Teraz bude bolesť. Nie, nebojte sa: krásna sestra v sukni, pančuchách s čipkou k vám nepríde a nedá vám injekciu do zadku. Všetko je oveľa prozaickejšie: prichádzajú k vám algebraické doplnky a Jej Veličenstvo „Union Matrix“.
Začnime tým hlavným. Nech existuje štvorcová matica veľkosti $A=\left[ n\krát n \right]$, ktorej prvky sa nazývajú $((a)_(ij))$. Potom pre každý takýto prvok môžeme definovať algebraický doplnok:
Definícia. Algebraický doplnok $((A)_(ij))$ k prvku $((a)_(ij))$ umiestnený v $i$tom riadku a $j$tom stĺpci matice $A=\left[ n \times n \right]$ je konštrukcia formulára
\[((A)_(ij))=((\left(-1 \right))^(i+j))\cdot M_(ij)^(*)\]
Kde $M_(ij)^(*)$ je determinant matice získanej z pôvodného $A$ odstránením rovnakého $i$-tého riadku a $j$-tého stĺpca.
Opäť. Algebraický doplnok k prvku matice so súradnicami $\left(i;j \right)$ sa označí ako $((A)_(ij))$ a vypočíta sa podľa schémy:
- Najprv vymažeme $i$-riadok a $j$-tý stĺpec z pôvodnej matice. Získame novú štvorcovú maticu a jej determinant označíme ako $M_(ij)^(*)$.
- Potom tento determinant vynásobíme $((\left(-1 \right))^(i+j))$ - na prvý pohľad sa tento výraz môže zdať ohromujúci, ale v podstate jednoducho prichádzame na znamienko pred $M_(ij)^(*) $.
- Počítame a dostaneme konkrétne číslo. Tie. algebraické sčítanie je presne číslo a nie nejaká nová matica atď.
Samotná matica $M_(ij)^(*)$ sa nazýva doplnková vedľajšia k prvku $((a)_(ij))$. A v tomto zmysle je vyššie uvedená definícia algebraického doplnku špeciálnym prípadom zložitejšej definície – na čo sme sa pozreli v lekcii o determinante.
Dôležitá poznámka. V matematike pre dospelých sú algebraické sčítania definované takto:
- Vezmeme $k$ riadkov a $k$ stĺpcov v štvorcovej matici. Na ich priesečníku dostaneme maticu veľkosti $\left[ k\times k \right]$ - jej determinant sa nazýva moll rádu $k$ a označuje sa $((M)_(k))$.
- Potom tieto „vybrané“ $k$ riadky a $k$ stĺpce prečiarkneme. Opäť dostaneme štvorcovú maticu – jej determinant sa nazýva dodatočný vedľajší a označuje sa $M_(k)^(*)$.
- Vynásobte $M_(k)^(*)$ $((\left(-1 \right))^(t))$, kde $t$ je (teraz pozor!) súčet čísel všetkých vybratých riadkov a stĺpce . Toto bude algebraické sčítanie.
Pozrite sa na tretí krok: v skutočnosti ide o sumu 2 000 $! Ďalšia vec je, že pre $k=1$ dostaneme len 2 členy - tie budú rovnaké $i+j$ - „súradnice“ prvku $((a)_(ij))$, pre ktoré sme hľadá algebraický doplnok.
Takže dnes používame trochu zjednodušenú definíciu. Ako však neskôr uvidíme, bude toho viac než dosť. Oveľa dôležitejšia vec je:
Definícia. Spojenecká matica $S$ ku štvorcovej matici $A=\left[ n\krát n \right]$ je nová matica veľkosti $\left[ n\krát n \right]$, ktorá sa získa z $A$ nahradením $(( a)_(ij))$ algebraickými sčítaniami $((A)_(ij))$:
\\Šípka doprava S=\doľava[ \začiatok(matica) ((A)_(11)) & ((A)_(12)) & ... & ((A)_(1n)) \\ (( A)_(21)) & ((A)_(22)) & ... & ((A)_(2n)) \\ ... & ... & ... & ... \\ ((A)_(n1)) & ((A)_(n2)) & ... & ((A)_(nn)) \\\koniec (matica) \vpravo]\]
Prvá myšlienka, ktorá vyvstáva v momente realizácie tejto definície, je „koľko sa bude musieť počítať! Relax: budete musieť počítať, ale nie toľko. :)
To všetko je veľmi pekné, ale prečo je to potrebné? Ale prečo.
Hlavná veta
Vráťme sa trochu späť. Pamätajte, že v Leme 3 bolo uvedené, že invertibilná matica $A$ je vždy nesingulárna (to znamená, že jej determinant je nenulový: $\left| A \right|\ne 0$).
Platí to teda aj naopak: ak matica $A$ nie je singulárna, potom je vždy invertibilná. A dokonca existuje schéma vyhľadávania pre $((A)^(-1))$. Skontrolovať to:
Veta o inverznej matici. Nech je daná štvorcová matica $A=\left[ n\krát n \right]$ a jej determinant je nenulový: $\left| A \vpravo|\ne 0$. Potom existuje inverzná matica $((A)^(-1))$ a vypočíta sa podľa vzorca:
\[((A)^(-1))=\frac(1)(\vľavo| A \vpravo|)\cdot ((S)^(T))\]
A teraz - všetko je po starom, ale čitateľným rukopisom. Ak chcete nájsť inverznú maticu, potrebujete:
- Vypočítajte determinant $\left| A \right|$ a uistite sa, že je nenulové.
- Zostrojte zjednocovaciu maticu $S$, t.j. spočítaj 100500 algebraických sčítaní $((A)_(ij))$ a umiestni ich na miesto $((a)_(ij))$.
- Transponujte túto maticu $S$ a potom ju vynásobte nejakým číslom $q=(1)/(\left| A \right|)\;$.
To je všetko! Bola nájdená inverzná matica $((A)^(-1))$. Pozrime sa na príklady:
\[\left[ \začiatok(matica) 3 & 1 \\ 5 & 2 \\\koniec (matica) \right]\]
Riešenie. Skontrolujeme reverzibilitu. Vypočítajme determinant:
\[\left| A\vpravo|=\vľavo| \začiatok(matica) 3 & 1 \\ 5 & 2 \\\koniec (matica) \right|=3\cdot 2-1\cdot 5=6-5=1\]
Determinant je odlišný od nuly. To znamená, že matrica je invertovateľná. Vytvorme zjednocovaciu maticu:
Vypočítajme algebraické sčítania:
\[\begin(align) & ((A)_(11))=((\left(-1 \right))^(1+1))\cdot \left| 2 \vpravo|=2; \\ & ((A)_(12))=((\left(-1 \right))^(1+2))\cdot \left| 5 \vpravo|=-5; \\ & ((A)_(21))=((\left(-1 \right))^(2+1))\cdot \left| 1 \vpravo|=-1; \\ & ((A)_(22))=((\left(-1 \right))^(2+2))\cdot \left| 3\vpravo|=3. \\ \end(zarovnať)\]
Poznámka: determinanty |2|, |5|, |1| a |3| sú determinanty matíc veľkosti $\left[ 1\krát 1 \right]$, a nie moduly. Tie. Ak boli v determinantoch záporné čísla, nie je potrebné odstraňovať „mínus“.
Celkovo naša matica spojenia vyzerá takto:
\[((A)^(-1))=\frac(1)(\vľavo| A \vpravo|)\cdot ((S)^(T))=\frac(1)(1)\cdot ( (\left[ \begin(pole)(*(35)(r)) 2 & -5 \\ -1 & 3 \\\end(pole) \right])^(T))=\left[ \začiatok (pole)(*(35)(r)) 2 & -1 \\ -5 & 3 \\\koniec (pole) \vpravo]\]
Dobre, teraz je po všetkom. Problém je vyriešený.
Odpoveď. $\left[ \begin(pole)(*(35)(r)) 2 & -1 \\ -5 & 3 \\\end(pole) \right]$
Úloha. Nájdite inverznú maticu:
\[\left[ \begin(pole)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\\end(pole) \right] \]
Riešenie. Opäť vypočítame determinant:
\[\začiatok(zarovnanie) & \left| \začiatok(pole)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\\koniec (pole) \right|=\začiatok (matica ) \left(1\cdot 2\cdot 1+\left(-1 \right)\cdot \left(-1 \right)\cdot 1+2\cdot 0\cdot 0 \right)- \\ -\left (2\cdot 2\cdot 1+\left(-1 \right)\cdot 0\cdot 1+1\cdot \left(-1 \right)\cdot 0 \right) \\\end(matica)= \ \ & =\left(2+1+0 \right)-\left(4+0+0 \right)=-1\ne 0. \\ \end(align)\]
Determinant je nenulový - matica je invertibilná. Ale teraz to bude naozaj ťažké: musíme napočítať až 9 (deväť, sráč!) algebraických sčítaní. A každý z nich bude obsahovať determinant $\left[ 2\krát 2 \right]$. Let:
\[\begin(matica) ((A)_(11))=((\left(-1 \right))^(1+1))\cdot \left| \začiatok(matica) 2 & -1 \\ 0 & 1 \\\koniec (matica) \vpravo|=2; \\ ((A)_(12))=((\left(-1 \right))^(1+2))\cdot \left| \začiatok(matica) 0 & -1 \\ 1 & 1 \\\koniec (matica) \vpravo|=-1; \\ ((A)_(13))=((\left(-1 \right))^(1+3))\cdot \left| \začiatok(matica) 0 & 2 \\ 1 & 0 \\\koniec (matica) \vpravo|=-2; \\ ... \\ ((A)_(33))=((\left(-1 \right))^(3+3))\cdot \left| \začiatok(matica) 1 & -1 \\ 0 & 2 \\\koniec (matica) \vpravo|=2; \\ \end(matica)\]
Stručne povedané, zjednocovacia matica bude vyzerať takto:
Preto inverzná matica bude:
\[((A)^(-1))=\frac(1)(-1)\cdot \left[ \begin(matica) 2 & -1 & -2 \\ 1 & -1 & -1 \\ -3 & 1 & 2 \\\koniec (matica) \vpravo]=\ľavý[ \začiatok(pole)(*(35)(r))-2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \ \2 & 1 & -2 \\\koniec (pole) \vpravo]\]
To je všetko. Tu je odpoveď.
Odpoveď. $\left[ \begin(pole)(*(35)(r)) -2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & -2 \\\end(pole) \right ]$
Ako vidíte, na konci každého príkladu sme vykonali kontrolu. V tejto súvislosti dôležitá poznámka:
Nebuďte leniví na kontrolu. Vynásobte pôvodnú maticu nájdenou inverznou maticou - mali by ste dostať $E$.
Vykonanie tejto kontroly je oveľa jednoduchšie a rýchlejšie ako hľadať chybu v ďalších výpočtoch, keď napríklad riešite maticovú rovnicu.
Alternatívny spôsob
Ako som povedal, veta o inverznej matici funguje skvele pre veľkosti $\left[ 2\krát 2 \right]$ a $\left[ 3\krát 3 \right]$ (v druhom prípade to nie je také „skvelé“ “ ), no pri väčších matrikách začína smútok.
Ale nebojte sa: existuje alternatívny algoritmus, pomocou ktorého môžete pokojne nájsť inverznú hodnotu aj pre maticu $\left[ 10\krát 10 \right]$. Ale ako sa často stáva, na zváženie tohto algoritmu potrebujeme malý teoretický úvod.
Elementárne transformácie
Medzi všetkými možnými maticovými transformáciami existuje niekoľko špeciálnych - nazývajú sa elementárne. Existujú presne tri takéto transformácie:
- Násobenie. Môžete vziať $i$tý riadok (stĺpec) a vynásobiť ho ľubovoľným číslom $k\ne 0$;
- Doplnenie. Pridajte do $i$-tého riadku (stĺpca) akýkoľvek iný $j$-tý riadok (stĺpec), vynásobený ľubovoľným číslom $k\ne 0$ (môžete, samozrejme, urobiť $k=0$, ale čo je pointa? Nič sa nezmení).
- Preskupenie. Vezmite $i$th a $j$th riadky (stĺpce) a vymeňte si miesta.
Prečo sa tieto transformácie nazývajú elementárne (pre veľké matice nevyzerajú až tak elementárne) a prečo sú len tri – tieto otázky sú nad rámec dnešnej hodiny. Nebudeme preto zachádzať do podrobností.
Ďalšia vec je dôležitá: všetky tieto perverzie musíme vykonať na pripojenej matici. Áno, áno: počuli ste dobre. Teraz bude ešte jedna definícia – posledná v dnešnej lekcii.
Spojovacia matica
Určite ste v škole riešili sústavy rovníc metódou sčítania. No, odčítajte ďalší od jedného riadku, vynásobte nejaký riadok číslom - to je všetko.
Takže: teraz bude všetko rovnaké, ale „dospelým“ spôsobom. pripravený?
Definícia. Nech je daná matica $A=\left[ n\krát n \right]$ a matica identity $E$ rovnakej veľkosti $n$. Potom adjungovaná matica $\left[ A\left| E\vpravo. \right]$ je nová matica veľkosti $\left[ n\krát 2n \right]$, ktorá vyzerá takto:
\[\left[ A\left| E\vpravo. \right]=\left[ \begin(pole)(rrrr|rrrr)((a)_(11)) & ((a)_(12)) & ... & ((a)_(1n)) & 1 & 0 & ... & 0 \\((a)_(21)) & ((a)_(22)) & ... & ((a)_(2n)) & 0 & 1 & ... & 0 \\... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... \\((a)_(n1)) & ((a)_(n2)) & ... & ((a)_(nn)) & 0 & 0 & ... & 1 \\\end(pole) \right]\]
Skrátka, vezmeme maticu $A$, vpravo k nej priradíme maticu identity $E$ požadovanej veľkosti, pre krásu ich oddelíme zvislou čiarou - tu máte adjoint. :)
v čom je háčik? Tu je čo:
Veta. Nech je matica $A$ invertibilná. Uvažujme adjungovanú maticu $\left[ A\left| E\vpravo. \right]$. Ak používate elementárne reťazcové konverzie uveďte ho do tvaru $\left[ E\left| B\vpravo. \right]$, t.j. vynásobením, odčítaním a preskupením riadkov získate z $A$ maticu $E$ vpravo, potom matica $B$ získaná vľavo je inverzná k $A$:
\[\left[ A\left| E\vpravo. \vpravo]\do \doľava[ E\doľava| B\vpravo. \vpravo]\Šípka doprava B=((A)^(-1))\]
Je to také jednoduché! Stručne povedané, algoritmus na nájdenie inverznej matice vyzerá takto:
- Napíšte adjungovanú maticu $\left[ A\left| E\vpravo. \right]$;
- Vykonávajte základné konverzie reťazcov, kým sa namiesto $A$ nezobrazí $E$;
- Samozrejme, že sa niečo objaví aj vľavo – istá matica $B$. Toto bude naopak;
- ZISK! :)
Samozrejme, toto sa oveľa ľahšie povie, ako urobí. Pozrime sa teda na pár príkladov: pre veľkosti $\left[ 3\krát 3 \right]$ a $\left[ 4\krát 4 \right]$.
Úloha. Nájdite inverznú maticu:
\[\left[ \begin(pole)(*(35)(r)) 1 & 5 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \\ 6 & -2 & 1 \\\end(pole) \right]\ ]
Riešenie. Vytvoríme pridruženú maticu:
\[\left[ \begin(pole)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 6 & -2 & 1 & 0 & 0 a 1 \\\koniec (pole) \vpravo]\]
Keďže posledný stĺpec pôvodnej matice je vyplnený jednotkami, odpočítajte prvý riadok od zvyšku:
\[\begin(align) & \left[ \begin(pole)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 6 & - 2 & 1 & 0 & 0 & 1 \\\koniec (pole) \vpravo]\začiatok (matica) \dole \\ -1 \\ -1 \\\koniec (matica)\do \\ & \do \vľavo [ \begin(pole)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 5 & -7 & 0 & -1 & 0 & 1 \\\koniec (pole) \vpravo] \\ \koniec (zarovnanie)\]
Neexistujú žiadne ďalšie jednotky, okrem prvého riadku. Nedotýkame sa ho, inak sa novo odstránené jednotky začnú „množiť“ v treťom stĺpci.
Ale môžeme odpočítať druhý riadok dvakrát od posledného - dostaneme jeden v ľavom dolnom rohu:
\[\begin(align) & \left[ \begin(pole)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 5 & -7 & 0 & -1 & 0 & 1 \\\koniec (pole) \vpravo]\začiatok (matica) \ \\ \šípka nadol \\ -2 \\\koniec (matica)\do \\ & \vľavo [ \begin(pole)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\koniec (pole) \vpravo] \\ \koniec (zarovnanie)\]
Teraz môžeme odpočítať posledný riadok od prvého a dvakrát od druhého - týmto spôsobom „vynulujeme“ prvý stĺpec:
\[\begin(align) & \left[ \begin(pole)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\koniec (pole) \vpravo]\začiatok (matica) -1 \\ -2 \\ \hore \\\koniec (matica)\do \\ & \ do \left[ \begin(pole)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & -3 & 5 & -2 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\koniec (pole) \vpravo] \\ \koniec (zarovnanie)\]
Vynásobte druhý riadok −1 a potom ho 6-krát odpočítajte od prvého a pripočítajte 1-krát k poslednému:
\[\begin(align) & \left[ \begin(pole)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & -3 & 5 & -2 \ \ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\koniec (pole) \vpravo]\začiatok (matica) \ \\ \ľavý| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ \ \\\koniec (matice)\do \\ & \do \vľavo[ \začiatok(pole)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\koniec (pole) \vpravo]\začiatok (matica) -6 \\ \nahoru nadol \\ +1 \\\koniec (matica)\do \\ & \do \vľavo[ \začiatok(pole)(rrr|rrr) 0 & 0 & 1 & -18 & 32 & -13 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 1 & 0 & 0 & 4 & -7 & 3 \\\koniec (pole) \vpravo] \\ \koniec (zarovnanie)\]
Zostáva len vymeniť riadky 1 a 3:
\[\left[ \begin(pole)(rrr|rrr) 1 & 0 & 0 & 4 & -7 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & - 18 & 32 & -13 \\\koniec (pole) \vpravo]\]
Pripravený! Vpravo je požadovaná inverzná matica.
Odpoveď. $\left[ \začiatok(pole)(*(35)(r))4 & -7 & 3 \\ 3 & -5 & 2 \\ -18 & 32 & -13 \\\koniec (pole) \vpravo ]$
Úloha. Nájdite inverznú maticu:
\[\left[ \begin(matica) 1 & 4 & 2 & 3 \\ 1 & -2 & 1 & -2 \\ 1 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & -10 & -2 & -5 \\\koniec(matica) \vpravo]\]
Riešenie. Znova skladáme adjunkciu:
\[\left[ \begin(pole)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \ \ 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\koniec (pole) \vpravo]\]
Trochu si poplačme, buďme smutní z toho, koľko toho teraz musíme počítať... a začnime počítať. Najprv „vynulujeme“ prvý stĺpec odčítaním riadku 1 od riadkov 2 a 3:
\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\end (pole) \vpravo]\začiatok(matica) \dole \\ -1 \\ -1 \\ \ \\\koniec (matica)\do \\ & \do \vľavo[ \začiatok(pole)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -6 & -1 & -5 & -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -5 & -1 & -2 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\koniec (pole) \vpravo] \\ \koniec (zarovnanie)\]
V riadkoch 2-4 vidíme príliš veľa „proti“. Vynásobte všetky tri riadky −1 a potom vypaľte tretí stĺpec odčítaním riadku 3 od zvyšku:
\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -6 & -1 & -5 & - 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -5 & -1 & -2 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end(pole) \right]\begin(matica) \ \\ \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ \vľavo| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ \vľavo| \cdot \left(-1 \right) \right. \\\koniec (matica)\do \\ & \do \doľava[ \začiatok(pole)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 1 & 5 & 1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 10 & 2 & 5 & 0 & 0 & 0 & -1 \\ \koniec (matica) \vpravo]\začiatok (matica) -2 \\ -1 \\ \šipka nadol \\ -2 \\\koniec (matica)\do \\ & \do \vľavo[ \začiatok(pole)( rrrr| rrrr) 1 & -6 & 0 & -1 & -1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(pole) \right] \\ \end(align)\]
Teraz je čas „vysmažiť“ posledný stĺpec pôvodnej matice: odpočítajte riadok 4 od zvyšku:
\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & -1 & -1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(pole ) \vpravo]\začiatok(matica) +1 \\ -3 \\ -2 \\ \hore \\\koniec (matica)\do \\ & \do \vľavo[ \začiatok(pole)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & 0 & -3 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 5 & 1 & 0 & 5 & 0 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\koniec (pole) \vpravo] \\ \koniec (zarovnanie)\]
Posledný hod: „vypálite“ druhý stĺpec odčítaním riadku 2 od riadkov 1 a 3:
\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & 0 & -3 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 5 & 1 & 0 & 5 & 0 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end( pole) \vpravo]\začiatok(matica) 6 \\ \hore nadol \\ -5 \\ \ \\\koniec (matica)\do \\ & \do \doľava[ \začiatok(pole)(rrrr|rrrr) 1 & 0 & 0 & 0 & 33 & -6 & -26 & -17 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & -25 & 5 & 20 & -13 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\koniec (pole) \vpravo] \\ \koniec (zarovnanie)\]
A opäť matica identity je vľavo, čo znamená, že inverzná je vpravo. :)
Odpoveď. $\left[ \begin(matica) 33 & -6 & -26 & 17 \\ 6 & -1 & -5 & 3 \\ -25 & 5 & 20 & -13 \\ -2 & 0 & 2 & - 1 \\\koniec(matica) \vpravo]$
Dostaneme štvorcovú maticu. Musíte nájsť inverznú maticu.
Prvý spôsob. Veta 4.1 o existencii a jedinečnosti inverznej matice naznačuje jeden zo spôsobov, ako ju nájsť.
1. Vypočítajte determinant tejto matice. Ak, potom inverzná matica neexistuje (matica je singulárna).
2. Zostrojte maticu z algebraických doplnkov prvkov matice.
3.
Transponujte maticu, aby ste získali pridruženú maticu 
.
4. Nájdite inverznú maticu (4.1) vydelením všetkých prvkov adjungovanej matice determinantom
Druhý spôsob. Ak chcete nájsť inverznú maticu, môžete použiť elementárne transformácie.
1. Zostavte blokovú maticu priradením matice identity rovnakého rádu k danej matici.
2. Pomocou elementárnych transformácií vykonaných na riadkoch matice priveďte jej ľavý blok do najjednoduchšej formy. V tomto prípade je bloková matica redukovaná do tvaru, kde je štvorcová matica získaná ako výsledok transformácií z matice identity.
3. Ak , potom sa blok rovná inverznej hodnote matice, t. j. Ak, potom matica inverznú hodnotu nemá.
V skutočnosti je možné pomocou elementárnych transformácií riadkov matice zredukovať jej ľavý blok do zjednodušenej podoby (pozri obr. 1.5). V tomto prípade je bloková matica transformovaná do tvaru, kde je elementárna matica spĺňajúca rovnosť. Ak je matica nedegenerovaná, potom sa podľa odseku 2 poznámok 3.3 jej zjednodušená forma zhoduje s maticou identity. Potom z rovnosti vyplýva, že. Ak je matica singulárna, potom sa jej zjednodušená forma líši od matice identity a matica nemá inverznú formu.
11. Maticové rovnice a ich riešenie. Maticová forma nahrávky SLAE. Maticová metóda (metóda inverznej matice) na riešenie SLAE a podmienky jej použiteľnosti.
Maticové rovnice sú rovnice v tvare: A*X=C; X*A=C; A*X*B=C kde matica A, B, C je známa, matica X je neznáma, ak matice A a B nie sú degenerované, potom riešenia pôvodných matíc zapíšeme v príslušnom tvare: X = A-1*C; X=C*A-1; X=A-1*C*B-1 Maticová forma zápisu sústav lineárnych algebraických rovníc. Ku každému SLAE môže byť priradených niekoľko matíc; Okrem toho samotný SLAE môže byť napísaný vo forme maticovej rovnice. Pre SLAE (1) zvážte nasledujúce matice:
Matica A sa volá matice systému. Prvky tejto matice predstavujú koeficienty daného SLAE.
Nazýva sa matica A˜ rozšírený maticový systém. Získame ho pridaním do matice systému stĺpca obsahujúceho voľné členy b1,b2,...,bm. Zvyčajne je tento stĺpec oddelený zvislou čiarou kvôli prehľadnosti.
Stĺpcová matica B sa nazýva matice voľných členov a stĺpcová matica X je matica neznámych.
Použitím vyššie uvedeného zápisu možno SLAE (1) zapísať vo forme maticovej rovnice: A⋅X=B.
Poznámka
Matice spojené so systémom môžu byť zapísané rôznymi spôsobmi: všetko závisí od poradia premenných a rovníc uvažovaného SLAE. Ale v každom prípade musí byť poradie neznámych v každej rovnici daného SLAE rovnaké.
Maticová metóda je vhodná na riešenie SLAE, v ktorých sa počet rovníc zhoduje s počtom neznámych premenných a determinant hlavnej matice systému je odlišný od nuly. Ak systém obsahuje viac ako tri rovnice, potom nájdenie inverznej matice vyžaduje značné výpočtové úsilie, preto je v tomto prípade vhodné použiť Gaussova metóda.
12. Homogénne SLAE, podmienky existencie ich nenulových riešení. Vlastnosti parciálnych roztokov homogénnych SLAE.
Lineárna rovnica sa nazýva homogénna, ak sa jej voľný člen rovná nule, a inak nehomogénna. Systém pozostávajúci z homogénnych rovníc sa nazýva homogénny a má všeobecný tvar:
13 .Koncept lineárnej nezávislosti a závislosti parciálnych riešení homogénneho SLAE. Základný systém riešení (FSD) a jeho určenie. Znázornenie všeobecného riešenia homogénneho SLAE prostredníctvom FSR.
Funkčný systém r 1 (X ), r 2 (X ), …, r n (X ) sa nazýva lineárne závislé v intervale ( a , b ), ak existuje množina konštantných koeficientov, ktoré sa súčasne nerovnajú nule, takže lineárna kombinácia týchto funkcií je zhodne rovná nule na ( a , b ): Pre . Ak je rovnosť pre možná len pre , systém funkcií r 1 (X ), r 2 (X ), …, r n (X ) sa nazýva lineárne nezávislé v intervale ( a , b ). Inými slovami, funkcie r 1 (X ), r 2 (X ), …, r n (X ) lineárne závislé v intervale ( a , b ), ak sa rovná nule na ( a , b ) ich netriviálna lineárna kombinácia. Funkcie r 1 (X ),r 2 (X ), …, r n (X ) lineárne nezávislé v intervale ( a , b ), ak sa iba ich triviálna lineárna kombinácia rovná nule na ( a , b ).
Základný rozhodovací systém (FSR) Základom tohto systému stĺpov je homogénny SLAE.
Počet prvkov v FSR sa rovná počtu neznámych systému mínus poradie matice systému. Akékoľvek riešenie pôvodného systému je lineárnou kombináciou riešení FSR.
Veta
Všeobecné riešenie nehomogénneho SLAE sa rovná súčtu konkrétneho riešenia nehomogénneho SLAE a všeobecného riešenia zodpovedajúceho homogénneho SLAE.
1 . Ak sú stĺpce riešením homogénneho systému rovníc, potom akákoľvek ich lineárna kombinácia je tiež riešením homogénneho systému.
Z rovnosti to skutočne vyplýva
tie. lineárna kombinácia riešení je riešením homogénneho systému.
2. Ak sa hodnosť matice homogénneho systému rovná , potom má systém lineárne nezávislé riešenia.
Pomocou vzorcov (5.13) pre všeobecné riešenie homogénneho systému nájdeme konkrétne riešenia, ktoré dávajú voľným premenným nasledovné sady štandardných hodnôt (zakaždým za predpokladu, že jedna z voľných premenných sa rovná jednej a zvyšok sa rovná nule):
ktoré sú lineárne nezávislé. V skutočnosti, ak vytvoríte maticu z týchto stĺpcov, jej posledné riadky tvoria maticu identity. V dôsledku toho sa vedľajšia položka nachádzajúca sa v posledných riadkoch nerovná nule (rovná sa jednotke), t.j. je základný. Preto bude poradie matice rovnaké. To znamená, že všetky stĺpce tejto matice sú lineárne nezávislé (pozri Veta 3.4).
Akýkoľvek súbor lineárne nezávislých riešení homogénneho systému sa nazýva základný systém (množina) riešení .
14 Minor t. rádu, základný moll, hodnosť matice. Výpočet hodnosti matice.
Rad k minor matice A je determinantom niektorej jej štvorcovej podmatice rádu k.
V matici A s rozmermi m x n sa minorita rádu r nazýva základná, ak je nenulová, a všetky minority vyššieho rádu, ak existujú, sú rovné nule.
Stĺpce a riadky matice A, na priesečníku ktorých je základná vedľajšia, sa nazývajú základné stĺpce a riadky matice A.
Veta 1. (O hodnosti matice). Pre každú maticu sa vedľajšie poradie rovná poradiu riadka a rovná sa poradiu stĺpca.
Veta 2. (Na základe vedľajšej). Každý stĺpec matice sa rozloží na lineárnu kombináciu základných stĺpcov.
Hodnosť matice (alebo vedľajšia hodnosť) je poradie základného menšieho alebo, inými slovami, najväčšie poradie, pre ktoré existujú nenulové podradné. Hodnosť nulovej matice sa podľa definície považuje za 0.
Všimnime si dve zrejmé vlastnosti vedľajšej hodnosti.
1) Hodnosť matice sa počas transpozície nemení, pretože keď sa matica transponuje, všetky jej podmatice sa transponujú a neplnoleté osoby sa nemenia.
2) Ak je A’ podmaticou matice A, potom hodnosť A’ nepresahuje hodnosť A, pretože nenulová podmatica zahrnutá v A’ je tiež zahrnutá v A.
15. Koncept -rozmerného aritmetického vektora. Rovnosť vektorov. Operácie s vektormi (sčítanie, odčítanie, násobenie číslom, násobenie maticou). Lineárna kombinácia vektorov.
Objednaný odber n nazývajú sa reálne alebo komplexné čísla n-rozmerný vektor. Čísla sa volajú vektorové súradnice.
Dva (nenulové) vektory a A b sú rovnaké, ak sú rovnako smerované a majú rovnaký modul. Všetky nulové vektory sa považujú za rovnaké. Vo všetkých ostatných prípadoch nie sú vektory rovnaké.
Vektorové pridanie. Existujú dva spôsoby pridávania vektorov: 1. Pravidlo paralelogramu. Aby sme pridali vektory a, umiestnime počiatky oboch do rovnakého bodu. Postavíme sa na rovnobežník a z toho istého bodu nakreslíme uhlopriečku rovnobežníka. Toto bude súčet vektorov.
2. Druhým spôsobom sčítania vektorov je pravidlo trojuholníka. Zoberme si rovnaké vektory a . Začiatok druhého pridáme na koniec prvého vektora. Teraz spojme začiatok prvého a koniec druhého. Toto je súčet vektorov a . Pomocou rovnakého pravidla môžete pridať niekoľko vektorov. Usporiadame ich jeden po druhom a potom spojíme začiatok prvého s koncom posledného.
Odčítanie vektorov. Vektor smeruje opačne ako vektor. Dĺžky vektorov sú rovnaké. Teraz je jasné, čo je odčítanie vektorov. Vektorový rozdiel a je súčtom vektora a vektora .
Násobenie vektora číslom
Vynásobením vektora číslom k vznikne vektor, ktorého dĺžka je k krát dĺžka. Je kosmerný s vektorom, ak je k väčšie ako nula, a opačne, ak je k menšie ako nula.
Skalárny súčin vektorov je súčinom dĺžok vektorov a kosínusu uhla medzi nimi. Ak sú vektory kolmé, ich skalárny súčin je nula. A takto je skalárny súčin vyjadrený prostredníctvom súradníc vektorov a .
Lineárna kombinácia vektorov
Lineárna kombinácia vektorov 
nazývaný vektor
Kde 
- lineárne kombinačné koeficienty. Ak 
kombinácia sa nazýva triviálna, ak je netriviálna.
16 .Skalárny súčin aritmetických vektorov. Dĺžka vektora a uhol medzi vektormi. Koncept vektorovej ortogonality.
Skalárny súčin vektorov a a b je číslo
Skalárny súčin sa používa na výpočet: 1) nájdenia uhla medzi nimi; 2) nájdenia projekcie vektorov; 3) výpočtu dĺžky vektora; 4) podmienok kolmosti vektorov.
Dĺžka úseku AB sa nazýva vzdialenosť medzi bodmi A a B. Uhol medzi vektormi A a B sa nazýva uhol α = (a, b), 0≤ α ≤P. Čím je potrebné otočiť 1 vektor tak, aby sa jeho smer zhodoval s iným vektorom. Za predpokladu, že sa ich pôvod zhoduje.
Ortom a je vektor a, ktorý má jednotkovú dĺžku a smer a.
17. Systém vektorov a jeho lineárna kombinácia. Pojem lineárnej závislosti a nezávislosti sústavy vektorov. Veta o nevyhnutných a postačujúcich podmienkach pre lineárnu závislosť sústavy vektorov.
Systém vektorov a1,a2,...,an sa nazýva lineárne závislý, ak existujú čísla λ1,λ2,...,λn také, že aspoň jedno z nich je nenulové a λ1a1+λ2a2+...+λnan=0 . V opačnom prípade sa systém nazýva lineárne nezávislý.
Dva vektory a1 a a2 sa nazývajú kolineárne, ak sú ich smery rovnaké alebo opačné.
Tri vektory a1, a2 a a3 sa nazývajú koplanárne, ak sú rovnobežné s niektorou rovinou.
Geometrické kritériá pre lineárnu závislosť:
a) systém (a1,a2) je lineárne závislý práve vtedy, ak sú vektory a1 a a2 kolineárne.
b) systém (a1,a2,a3) je lineárne závislý práve vtedy, ak sú vektory a1,a2 a a3 koplanárne.
teorém. (Nevyhnutná a postačujúca podmienka pre lineárnu závislosť systémov vektory.)
Vektorový systém vektor priestor je lineárne závislý vtedy a len vtedy, ak je jeden z vektorov systému lineárne vyjadrený v podmienkach ostatných vektor tento systém.
Dôsledok 1. Systém vektorov vo vektorovom priestore je lineárne nezávislý práve vtedy, ak žiadny z vektorov systému nie je lineárne vyjadrený v podmienkach iných vektorov tohto systému.2. Systém vektorov obsahujúci nulový vektor alebo dva rovnaké vektory je lineárne závislý.
Ak chcete nájsť inverznú maticu online, budete musieť uviesť veľkosť samotnej matice. Ak to chcete urobiť, kliknite na ikony „+“ alebo „-“, kým nebudete spokojní s počtom stĺpcov a riadkov. Ďalej do polí zadajte požadované prvky. Nižšie je tlačidlo „Vypočítať“ - kliknutím naň dostanete na obrazovke odpoveď s podrobným riešením.
V lineárnej algebre sa pomerne často musíme zaoberať procesom výpočtu inverznej matice. Existuje len pre nevyjadrené matice a pre štvorcové matice za predpokladu, že determinant je nenulový. V zásade nie je jej výpočet nijak zvlášť náročný, najmä ak máte čo do činenia s malou maticou. Ak ale potrebujete zložitejšie výpočty alebo dôkladnú dvojitú kontrolu svojho rozhodnutia, je lepšie použiť túto online kalkulačku. S jeho pomocou môžete rýchlo a presne vyriešiť inverznú maticu.
Pomocou tejto online kalkulačky si môžete výrazne uľahčiť výpočty. Okrem toho pomáha konsolidovať materiál získaný v teórii - je to akýsi simulátor pre mozog. Nemalo by sa považovať za náhradu za manuálne výpočty; môže vám poskytnúť oveľa viac, čo uľahčuje pochopenie samotného algoritmu. Okrem toho nikdy nie je na škodu sa ešte raz skontrolovať.
Pokračujme v rozhovore o akciách s matricami. Počas štúdia tejto prednášky sa totiž naučíte, ako nájsť inverznú maticu. Učte sa. Aj keď je matematika ťažká.
Čo je to inverzná matica? Tu môžeme nakresliť analógiu s inverznými číslami: zvážte napríklad optimistické číslo 5 a jeho inverzné číslo. Súčin týchto čísel sa rovná jednej: . S matrikami je všetko podobné! Súčin matice a jej inverznej matice sa rovná – matica identity, čo je maticová obdoba číselnej jednotky. Najprv však najprv vyriešme dôležitú praktickú otázku, a to naučiť sa nájsť túto veľmi inverznú maticu.
Čo potrebujete vedieť a vedieť, aby ste našli inverznú maticu? Musíte sa vedieť rozhodnúť kvalifikácie. Musíte pochopiť, čo to je matice a vedieť s nimi vykonávať nejaké akcie.
Existujú dva hlavné spôsoby nájdenia inverznej matice:
používaním algebraické sčítania A pomocou elementárnych transformácií.
Dnes budeme študovať prvú, jednoduchšiu metódu.
Začnime tým najstrašnejším a nepochopiteľným. Uvažujme námestie matice. Inverznú maticu možno nájsť pomocou nasledujúceho vzorca:
Kde je determinant matice, je transponovaná matica algebraických doplnkov zodpovedajúcich prvkov matice.
Koncept inverznej matice existuje len pre štvorcové matice, matice „dva po dvoch“, „tri po troch“ atď.
Označenia: Ako ste si už mohli všimnúť, inverzná matica je označená horným indexom
Začnime s najjednoduchším prípadom - maticou dva krát dva. Najčastejšie sa samozrejme vyžaduje „tri na tri“, ale napriek tomu dôrazne odporúčam preštudovať si jednoduchšiu úlohu, aby ste pochopili všeobecný princíp riešenia.
Príklad:
Nájdite inverznú hodnotu matice
Rozhodnime sa. Je vhodné rozdeliť postupnosť akcií bod po bode.
1) Najprv nájdeme determinant matice.
Ak nerozumiete tejto akcii dobre, prečítajte si materiál Ako vypočítať determinant?
Dôležité! Ak sa determinant matice rovná NULA– inverzná matica NEEXISTUJE.
V uvažovanom príklade, ako sa ukázalo, , čo znamená, že všetko je v poriadku.
2) Nájdite maticu maloletých.
Na vyriešenie nášho problému nie je potrebné vedieť, čo je maloletý, ale je vhodné prečítať si článok Ako vypočítať determinant.
Matica maloletých má rovnaké rozmery ako matrica, teda v tomto prípade.
Zostáva len nájsť štyri čísla a dať ich namiesto hviezdičiek.
Vráťme sa k nášmu matrixu
Najprv sa pozrime na ľavý horný prvok:
Ako to nájsť maloletý?
A to sa robí takto: MENTÁLNE prečiarknite riadok a stĺpec, v ktorom sa tento prvok nachádza:
Zostávajúce číslo je minor tohto prvku, ktoré zapisujeme do našej matice maloletých:
Zvážte nasledujúci prvok matice:
V duchu prečiarknite riadok a stĺpec, v ktorom sa tento prvok nachádza:
Čo zostáva, je menšia časť tohto prvku, ktorú zapíšeme do našej matice:
Podobne zvážime prvky druhého radu a nájdeme ich neplnoleté osoby:
Pripravený.
Je to jednoduché. V matrici maloletých potrebujete ZMENIŤ ZNAČKY dve čísla:
Toto sú čísla, ktoré som zakrúžkoval!
– matica algebraických sčítaní príslušných prvkov matice.
A len...
4) Nájdite transponovanú maticu algebraických sčítaní.
– transponovaná matica algebraických doplnkov zodpovedajúcich prvkov matice.
5) Odpovedzte.
Zapamätajme si náš vzorec
Všetko sa našlo!
Takže inverzná matica je: 
Je lepšie nechať odpoveď tak, ako je. NETREBA vydeľte každý prvok matice 2, pretože výsledkom sú zlomkové čísla. Táto nuansa je podrobnejšie diskutovaná v tom istom článku. Akcie s maticami.
Ako skontrolovať riešenie?
Musíte vykonať maticové násobenie resp
Vyšetrenie: 
Prijaté už spomenuté matica identity je matica s jednotkami podľa hlavná uhlopriečka a nuly na iných miestach.
Inverzná matica je teda nájdená správne.
Ak vykonáte akciu, výsledkom bude aj matica identity. Toto je jeden z mála prípadov, kedy je násobenie matice komutatívne, viac podrobností nájdete v článku Vlastnosti operácií s maticami. Maticové výrazy. Všimnite si tiež, že počas kontroly sa konštanta (zlomok) posunie dopredu a spracuje sa na samom konci - po vynásobení matice. Toto je štandardná technika.
Prejdime k bežnejšiemu prípadu v praxi - matice tri na tri:
Príklad:
Nájdite inverznú hodnotu matice 
Algoritmus je presne rovnaký ako v prípade „dva po dvoch“.
Inverznú maticu nájdeme pomocou vzorca: , kde je transponovaná matica algebraických doplnkov zodpovedajúcich prvkov matice.
1) Nájdite determinant matice.
Tu je odhalený determinant na prvom riadku.
Tiež nezabudnite na to, čo znamená, že všetko je v poriadku - existuje inverzná matica.
2) Nájdite maticu maloletých.
Matica maloletých má rozmer „tri krát tri“ 
a musíme nájsť deväť čísel.
Podrobne sa pozriem na pár maloletých:
Zvážte nasledujúci prvok matice: 
MENTÁLNE prečiarknite riadok a stĺpec, v ktorom sa tento prvok nachádza: 
Zvyšné štyri čísla zapíšeme do determinantu „dva po dvoch“. 
Tento determinant dva po dvoch a je vedľajší prvok tohto prvku. Je potrebné vypočítať: 
To je všetko, neplnoletý bol nájdený, zapíšeme ho do našej matice maloletých: 
Ako ste pravdepodobne uhádli, musíte vypočítať deväť determinantov dva krát dva. Tento proces je, samozrejme, únavný, ale prípad nie je najzávažnejší, môže byť aj horší.
No, na konsolidáciu – nájdenie ďalšieho maloletého na obrázkoch: 
Skúste si vypočítať zvyšné neplnoleté osoby sami.
Konečný výsledok: 
– matica maloletých príslušných prvkov matice.
Skutočnosť, že všetci maloletí dopadli negatívne, je čisto náhoda.
3) Nájdite maticu algebraických sčítaní.
V matrike maloletých je to potrebné ZMENIŤ ZNAČKY presne pre tieto prvky: 
V tomto prípade:
Neuvažujeme o hľadaní inverznej matice pre maticu „štyri krát štyri“, keďže takúto úlohu môže zadať iba sadistický učiteľ (aby študent vypočítal jeden determinant „štyri krát štyri“ a 16 determinantov „tri krát tri“ ). V mojej praxi sa vyskytol len jeden takýto prípad a na moje trápenie dosť draho doplatil zákazník testu =).
V mnohých učebniciach a príručkách môžete nájsť mierne odlišný prístup k hľadaniu inverznej matice, ale odporúčam použiť algoritmus riešenia uvedený vyššie. prečo? Pretože pravdepodobnosť zmätku vo výpočtoch a znakoch je oveľa menšia.
Definícia 1: matica sa nazýva singulárna, ak je jej determinant nula.
Definícia 2: matica sa nazýva nesingulárna, ak sa jej determinant nerovná nule.
Matica "A" sa nazýva inverzná matica, ak je splnená podmienka A*A-1 = A-1 *A = E (matica jednotiek).
Štvorcová matica je invertibilná iba vtedy, ak nie je jednotná.
Schéma na výpočet inverznej matice:
1) Vypočítajte determinant matice "A", ak ∆ A = 0, potom inverzná matica neexistuje.
2) Nájdite všetky algebraické doplnky matice "A".
3) Vytvorte maticu algebraických sčítaní (Aij)
4) Transponujte maticu algebraických doplnkov (Aij )T
5) Vynásobte transponovanú maticu inverznou hodnotou determinantu tejto matice.
6) Vykonajte kontrolu:
Na prvý pohľad sa to môže zdať komplikované, ale v skutočnosti je všetko veľmi jednoduché. Všetky riešenia sú založené na jednoduchých aritmetických operáciách, hlavnou vecou pri riešení je nezamieňať sa so znamienkami „-“ a „+“ a nestratiť ich.
Teraz spolu vyriešime praktickú úlohu výpočtom inverznej matice.
Úloha: nájdite inverznú maticu "A" zobrazenú na obrázku nižšie:
1. Prvá vec, ktorú musíte urobiť, je nájsť determinant matice "A":
Vysvetlenie:
Náš determinant sme zjednodušili pomocou jeho základných funkcií. Najprv sme do 2. a 3. riadku pridali prvky prvého riadku, vynásobené jedným číslom.
Po druhé, zmenili sme 2. a 3. stĺpec determinantu a podľa jeho vlastností sme zmenili znamienko pred ním.
Po tretie, vyňali sme spoločný faktor (-1) druhého riadku, čím sme opäť zmenili znamienko a stalo sa kladným. Rovnakým spôsobom ako na začiatku príkladu sme zjednodušili aj riadok 3.
Máme trojuholníkový determinant, ktorého prvky pod uhlopriečkou sa rovnajú nule a podľa vlastnosti 7 sa rovnajú súčinu prvkov uhlopriečky. Nakoniec sme sa dočkali ∆ A = 26, preto existuje inverzná matica.
A11 = 1*(3+1) = 4
A12 = -1*(9+2) = -11
A13 = 1 x 1 = 1
A21 = -1*(-6) = 6
A22 = 1*(3-0) = 3
A23 = -1*(1+4) = -5
A31 = 1 x 2 = 2
A32 = -1*(-1) = -1
A33 = 1+(1+6) = 7
3. Ďalším krokom je zostavenie matice z výsledných doplnkov:
5. Vynásobte túto maticu prevrátenou hodnotou determinantu, teda 1/26:
6. Teraz už len musíme skontrolovať:
Počas testu sme dostali maticu identity, takže riešenie bolo vykonané úplne správne.
2 spôsob výpočtu inverznej matice.
1. Transformácia elementárnej matice
2. Inverzná matica cez elementárny prevodník.
Transformácia elementárnej matice zahŕňa:
1. Násobenie reťazca číslom, ktoré sa nerovná nule.
2. Pridanie ďalšieho riadku vynásobeného číslom do ľubovoľného riadku.
3. Vymeňte riadky matice.
4. Aplikovaním reťazca elementárnych transformácií získame ďalšiu maticu.
A -1 = ?
1. (A|E) ~ (E|A -1 )
2.A -1 * A = E
Pozrime sa na to na praktickom príklade s reálnymi číslami.
Cvičenie: Nájdite inverznú maticu.
Riešenie:
Skontrolujme to:
Malé vysvetlenie k riešeniu:
Najprv sme preusporiadali riadky 1 a 2 matice, potom sme prvý riadok vynásobili (-1).
Potom sme prvý riadok vynásobili (-2) a pridali ho k druhému riadku matice. Potom sme riadok 2 vynásobili 1/4.
Poslednou fázou transformácie bolo vynásobenie druhého riadku 2 a jeho pripočítanie k prvému. Výsledkom je, že maticu identity máme vľavo, takže inverzná matica je matica vpravo.
Po preverení sme sa presvedčili, že rozhodnutie bolo správne.
Ako vidíte, výpočet inverznej matice je veľmi jednoduchý.
Na záver tejto prednášky by som chcel venovať trochu času vlastnostiam takejto matrice.