Intervalová metóda: riešenie najjednoduchších striktných nerovností. Riešenie lineárnych nerovností

Aplikácia

Riešenie nerovností online na Math24.biz pre študentov a školákov, aby si upevnili látku, ktorú prebrali. A trénujte svoje praktické zručnosti. Nerovnosť v matematike je tvrdenie o relatívnej veľkosti alebo poradí dvoch objektov (jeden z objektov je menší alebo nie väčší ako druhý), alebo že dva objekty nie sú rovnaké (popretie rovnosti). V elementárnej matematike sa študujú numerické nerovnosti, vo všeobecnej algebre, analýze a geometrii sa uvažuje aj o nerovnostiach medzi objektmi nenumerickej povahy. Na vyriešenie nerovnosti musia byť obe jej časti určené s jedným zo znakov nerovnosti medzi nimi. Prísne nerovnosti znamenajú nerovnosť medzi dvoma objektmi. Na rozdiel od striktných nerovností umožňujú nestastné nerovnosti rovnosť objektov, ktoré sú v nich zahrnuté. Lineárne nerovnosti sú na začiatok najjednoduchšie výrazy a na riešenie takýchto nerovností sa používajú najjednoduchšie techniky. Hlavnou chybou študentov pri riešení nerovností online je, že nerozlišujú medzi znakmi striktných a neprísnych nerovností, čo určuje, či budú alebo nebudú hraničné hodnoty zahrnuté do konečnej odpovede. Niekoľko nerovností prepojených niekoľkými neznámymi sa nazýva systém nerovností. Riešením nerovností zo sústavy je určitá plocha na rovine, alebo trojrozmerný obrazec v trojrozmernom priestore. Spolu s tým sú abstrahované n-rozmernými priestormi, no pri riešení takýchto nerovností sa často bez špeciálnych počítačov nezaobídete. Pre každú nerovnosť samostatne musíte nájsť hodnoty neznámeho na hraniciach oblasti riešenia. Množina všetkých riešení nerovnosti je jej odpoveďou. Nahradenie jednej nerovnosti inou nerovnosťou, ktorá je jej ekvivalentná, sa nazýva ekvivalentný prechod z jednej nerovnosti na druhú. Podobný prístup nájdeme aj v iných disciplínach, pretože pomáha dostať výrazy do štandardnej formy. Všetky výhody riešenia nerovností online oceníte na našej stránke. Nerovnosť je výraz obsahujúci jeden zo znakov =>. V podstate ide o logické vyjadrenie. Môže byť buď pravda, alebo nepravda – podľa toho, čo je v tejto nerovnosti vpravo a vľavo. Vysvetlenie významu nerovníc a základné techniky riešenia nerovností sa študujú na rôznych kurzoch, ale aj v škole. Online riešenie akýchkoľvek nerovností - nerovnosti s modulom, algebraické, trigonometrické, transcendentálne nerovnosti online. Identické nerovnosti, ako striktné a neprísne nerovnosti, zjednodušujú proces dosiahnutia konečného výsledku a sú pomocným nástrojom na riešenie problému. Riešenie akýchkoľvek nerovností a systémov nerovností, či už ide o logaritmické, exponenciálne, trigonometrické alebo kvadratické nerovnosti, je zabezpečené prvotne správnym prístupom k tomuto dôležitému procesu. Riešenie nerovností online na stránke je vždy dostupné pre všetkých používateľov a úplne zadarmo. Riešením nerovnosti v jednej premennej sú hodnoty premennej, ktoré ju prevedú na správny číselný výraz. Rovnice a nerovnice s modulom: modul reálneho čísla je absolútna hodnota tohto čísla. Štandardnou metódou riešenia týchto nerovností je zvýšenie oboch strán nerovnosti na požadovanú moc. Nerovnice sú výrazy, ktoré označujú porovnávanie čísel, takže správne riešenie nerovností zabezpečuje presnosť takýchto porovnaní. Môžu byť prísne (väčšie ako, menšie ako) a neprísne (väčšie alebo rovné, menšie alebo rovné). Riešenie nerovnosti znamená nájsť všetky tie hodnoty premenných, ktoré po dosadení do pôvodného výrazu premenia na správnu číselnú reprezentáciu. Pojem nerovnosti, jej podstata a znaky, klasifikácia a variety – to je to, čo určuje špecifiká túto matematickú sekciu. Základné vlastnosti numerických nerovností, aplikovateľné na všetky objekty tejto triedy, musia študenti študovať v počiatočnej fáze oboznámenia sa s touto témou. Nerovnosti a rozpätia číselných osí spolu veľmi úzko súvisia, pokiaľ ide o online riešenie nerovností. Grafické označenie riešenia nerovnosti jasne ukazuje podstatu takéhoto vyjadrenia, je jasné, o čo sa treba pri riešení daného problému snažiť. Koncept nerovnosti zahŕňa porovnávanie dvoch alebo viacerých objektov. Nerovnice obsahujúce premennú sa riešia ako podobne zložené rovnice, po ktorých sa urobí výber intervalov, ktoré budú brané ako odpoveď. Pomocou našej bezplatnej služby môžete jednoducho a okamžite vyriešiť akúkoľvek algebraickú nerovnosť, trigonometrickú nerovnosť alebo nerovnice obsahujúce transcendentálne funkcie. Číslo je riešením nerovnosti, ak pri dosadení tohto čísla namiesto premennej získame správny výraz, to znamená, že znamienko nerovnosti ukazuje skutočný koncept. Riešenie nerovností online na stránke každý deň, aby sa študenti mohli plne študovať preberanú látku a upevniť svoje praktické zručnosti. Tému online nerovnosti v matematike často študujú školáci po dokončení časti rovníc. Ako sa očakávalo, na určenie intervalov riešenia sa aplikujú všetky princípy riešenia. Nájsť odpoveď v analytickej forme môže byť ťažšie ako urobiť to isté v číselnej forme. Tento prístup však poskytuje jasnejší a úplnejší obraz o integrite riešenia nerovnosti. Ťažkosti môžu nastať v štádiu konštrukcie úsečky a vykresľovania bodov riešenia pre podobnú rovnicu. Potom sa riešenie nerovníc zredukuje na určenie znamienka funkcie na každom identifikovanom intervale, aby sa určilo zvýšenie alebo zníženie funkcie. Aby ste to dosiahli, musíte striedavo nahradiť hodnoty obsiahnuté v každom intervale do pôvodnej funkcie a skontrolovať jej hodnotu na pozitívnosť alebo negatívnosť. To je podstata hľadania všetkých riešení, vrátane intervalov riešenia. Keď si nerovnosť vyriešite sami a uvidíte všetky intervaly s riešeniami, pochopíte, nakoľko je tento prístup použiteľný pre ďalšie akcie. Webová stránka vás vyzýva, aby ste si ešte raz skontrolovali výsledky výpočtov pomocou výkonnej modernej kalkulačky na tejto stránke. Nepresnosti a nedostatky vo výpočtoch môžete ľahko identifikovať pomocou jedinečného riešiča nerovností. Študenti sa často pýtajú, kde nájsť taký užitočný zdroj? Vďaka inovatívnemu prístupu k schopnosti určovať potreby inžinierov je kalkulačka vytvorená na základe výkonných výpočtových serverov využívajúcich len nové technológie. Riešenie nerovností online v podstate zahŕňa riešenie rovnice a výpočet všetkých možných koreňov. Výsledné riešenia sa označia na riadku a potom sa vykoná štandardná operácia na určenie hodnoty funkcie na každom intervale. Čo však robiť, ak sa ukáže, že korene rovnice sú zložité, ako v tomto prípade môžete vyriešiť nerovnosť v plnej forme, ktorá by spĺňala všetky pravidlá na písanie výsledku? Odpoveď na túto a mnohé ďalšie otázky vám ľahko odpovie naša webová stránka služby, pre ktorú pri riešení matematických úloh online nie je nič nemožné. V prospech vyššie uvedeného dodávame nasledovné: každý, kto sa vážne venuje štúdiu disciplíny, akou je matematika, je povinný študovať tému nerovností. Existujú rôzne typy nerovností a riešenie nerovností online niekedy nie je jednoduché, pretože musíte poznať princípy prístupu ku každej z nich. To je základ úspechu a stability. Napríklad môžeme zvážiť typy ako logaritmické nerovnosti alebo transcendentálne nerovnosti. Ide vo všeobecnosti o špeciálny typ takýchto na prvý pohľad zložitých úloh pre žiakov, najmä pre školákov. Inštitútni učitelia venujú veľa času školeniam stážistov, aby dosiahli profesionálne zručnosti vo svojej práci. Medzi rovnaké typy zaraďujeme trigonometrické nerovnosti a označujeme všeobecný prístup k riešeniu mnohých praktických príkladov z nastoleného problému. V niektorých prípadoch treba najskôr všetko zredukovať na rovnicu, zjednodušiť, rozložiť na rôzne faktory, skrátka doviesť do úplne prehľadnej podoby. Ľudstvo sa vždy snažilo nájsť optimálny prístup v akomkoľvek úsilí. Vďaka moderným technológiám ľudstvo urobilo obrovský prielom vo svojom budúcom rozvoji. Inovácie sa do našich životov hrnú čoraz častejšie, deň čo deň. Základom výpočtovej techniky bola samozrejme matematika s vlastnými princípmi a striktným prístupom k podnikaniu. stránka je všeobecný matematický zdroj, ktorý zahŕňa rozvinutú kalkulačku nerovností a mnoho ďalších užitočných služieb. Použite našu stránku a budete mať istotu v správnosť vyriešených problémov. Z teórie je známe, že objekty nenumerickej povahy sa študujú aj pomocou nerovností online, len tento prístup je špeciálnym spôsobom štúdia tejto časti v algebre, geometrii a iných oblastiach matematiky. Nerovnosti sa dajú riešiť rôznymi spôsobmi, konečné overenie riešení zostáva nezmenené a najlepšie sa to robí priamym dosadením hodnôt do samotnej nerovnosti. V mnohých prípadoch je daná odpoveď zrejmá a dá sa ľahko mentálne skontrolovať. Predpokladajme, že sme požiadaní, aby sme vyriešili zlomkovú nerovnosť, v ktorej sú požadované premenné prítomné v menovateľoch zlomkových výrazov. Potom sa riešenie nerovností zredukuje na uvedenie všetkých pojmov do spoločného menovateľa, pričom sa najprv všetko presunie na ľavú a pravú stranu nerovnosti. Ďalej musíte vyriešiť homogénnu rovnicu získanú v menovateli zlomku. Tieto numerické korene budú body, ktoré nie sú zahrnuté v intervaloch všeobecného riešenia nerovnice, alebo sa nazývajú aj punktované body, v ktorých funkcia ide do nekonečna, to znamená, že funkcia nie je definovaná, ale môžete získať iba jej limitná hodnota v danom bode. Po vyriešení rovnice získanej v čitateli vynesieme všetky body na číselnú os. Vytieňme tie body, v ktorých sa čitateľ zlomku zmení na nulu. Podľa toho necháme všetky ostatné body prázdne alebo prepichnuté. Nájdite znamienko zlomku na každom intervale a potom zapíšme konečnú odpoveď. Ak sú na hraniciach intervalu tieňované body, potom tieto hodnoty zahrnieme do riešenia. Ak sú na hraniciach intervalu prepichnuté body, tieto hodnoty do riešenia nezahŕňame. Po vyriešení nerovnosti budete musieť skontrolovať výsledok. Môžete to urobiť manuálne, nahradiť každú hodnotu z intervalov odozvy jednu po druhej do počiatočného výrazu a identifikovať chyby. Web vám jednoducho poskytne všetky riešenia nerovnosti a odpovede, ktoré ste dostali, si hneď porovnáte s kalkulačkou. Ak sa napriek tomu vyskytne chyba, riešenie nerovností online na našom zdroji bude pre vás veľmi užitočné. Všetkým študentom odporúčame, aby najskôr začali nerovnicu priamo riešiť, ale výsledok si najskôr dali na webovú stránku, pretože v budúcnosti bude oveľa jednoduchšie urobiť si správny výpočet sami. V slovných úlohách riešenie takmer vždy spočíva v zostavení sústavy nerovností s niekoľkými neznámymi. Náš zdroj vám pomôže vyriešiť nerovnosť online v priebehu niekoľkých sekúnd. V tomto prípade riešenie vytvorí výkonný výpočtový program s vysokou presnosťou a bez chýb v konečnej odpovedi. S touto kalkulačkou tak môžete ušetriť obrovské množstvo času pri riešení príkladov. V mnohých prípadoch majú školáci ťažkosti, keď sa v praxi alebo pri laboratórnej práci stretávajú s logaritmickými nerovnosťami a ešte horšie, keď vidia trigonometrické nerovnosti so zložitými zlomkovými výrazmi so sínusovými, kosínusovými alebo dokonca inverznými goniometrickými funkciami. Čokoľvek sa dá povedať, bez pomoci kalkulačky nerovností bude veľmi ťažké zvládnuť to a chyby sú možné v ktorejkoľvek fáze riešenia problému. Používajte zdroj stránky úplne zadarmo, je k dispozícii každému používateľovi každý deň. Je veľmi dobrý nápad začať využívať našu asistenčnú službu, keďže analógií je veľa, ale skutočne kvalitných služieb je len niekoľko. Garantujeme presnosť výpočtov, keď hľadanie odpovede trvá niekoľko sekúnd. Nerovnosti si stačí zapísať online a my vám obratom obratom poskytneme presný výsledok riešenia nerovnosti. Hľadanie takéhoto zdroja môže byť zbytočné, pretože je nepravdepodobné, že by ste našli rovnakú vysokokvalitnú službu ako my. Bez teórie o riešení nerovností online sa zaobídete, no bez kvalitnej a rýchlej kalkulačky sa nezaobídete. Prajeme vám veľa úspechov v štúdiu! Skutočný výber optimálneho riešenia nerovnosti online často zahŕňa logický prístup k náhodnej premennej. Ak zanedbáme malú odchýlku uzavretého poľa, potom je vektor rastúcej hodnoty úmerný najmenšej hodnote v intervale klesajúcej ordináty. Invariant je úmerný dvojnásobku mapovaných funkcií spolu s odchádzajúcim nenulovým vektorom. Najlepšia odpoveď vždy obsahuje presnosť výpočtu. Naše riešenie nerovností bude mať podobu homogénnej funkcie postupne konjugovaných číselných podmnožín hlavného smeru. Pre prvý interval vezmeme presne tú najhoršiu presnú hodnotu našej reprezentácie premennej. Vypočítajme predchádzajúci výraz pre maximálnu odchýlku. Službu použijeme podľa uváženia navrhovaných možností podľa potreby. Či sa riešenie nerovností nájde online pomocou dobrej kalkulačky v triede, je rečnícka otázka, študentom samozrejme takýto nástroj len prospeje a prinesie veľké úspechy v matematike. Uložme obmedzenie na plochu množinou, ktorú zredukujeme na prvky s vnímaním napäťových impulzov. Fyzikálne hodnoty takýchto extrémov matematicky popisujú nárast a pokles po častiach spojitých funkcií. Vedci popri tom našli dôkazy o existencii prvkov na rôznych úrovniach štúdia. Usporiadajme všetky po sebe nasledujúce podmnožiny jedného komplexného priestoru do jedného radu s predmetmi ako guľa, kocka alebo valec. Z nášho výsledku môžeme vyvodiť jednoznačný záver a keď nerovnicu vyriešite, výstup určite osvetlí uvedený matematický predpoklad o integrácii metódy do praxe. Za súčasného stavu bude dostatočnou podmienkou aj nevyhnutná podmienka. Kritériá neistoty často spôsobujú nezhody medzi študentmi v dôsledku nespoľahlivých údajov. Za toto opomenutie by mali niesť zodpovednosť vysokoškolskí učitelia, ako aj učitelia škôl, keďže v počiatočnom štádiu vzdelávania je potrebné počítať aj s tým. Z vyššie uvedeného záveru môžeme podľa názoru skúsených ľudí usúdiť, že riešenie nerovnosti online je veľmi náročná úloha pri vstupe do nerovnosti neznámych rôznych typov dát. Konštatovalo sa to na vedeckej konferencii v západnom okrese, na ktorej boli predložené rôzne zdôvodnenia týkajúce sa vedeckých objavov v oblasti matematiky a fyziky, ako aj molekulárnej analýzy biologicky skonštruovaných systémov. Pri hľadaní optimálneho riešenia majú absolútne všetky logaritmické nerovnosti vedeckú hodnotu pre celé ľudstvo. Preskúmajme tento prístup a získajme logické závery týkajúce sa množstva nezrovnalostí na najvyššej úrovni pojmov o existujúcom objekte. Logika diktuje niečo iné, ako sa neskúsenému študentovi na prvý pohľad zdá. Vzhľadom na vznik rozsiahlych analógií bude racionálne najprv prirovnať vzťahy k rozdielom medzi objektmi skúmaného územia a potom v praxi preukázať prítomnosť spoločného analytického výsledku. Riešenie nerovníc je absolútne závislé od aplikácie teórie a pre každého bude dôležité študovať tento odbor matematiky, ktorý je potrebný pre ďalší výskum. Pri riešení nerovníc však musíte nájsť všetky korene zostavenej rovnice a až potom vyniesť všetky body na súradnicovú os. Niektoré body budú prepichnuté a zvyšok bude zahrnutý v intervaloch so všeobecným riešením. Začnime študovať sekciu matematiky základmi najdôležitejšej disciplíny školského vzdelávacieho programu. Ak sú goniometrické nerovnosti neoddeliteľnou súčasťou slovnej úlohy, potom je použitie zdroja na výpočet odpovede jednoducho nevyhnutné. Zadajte ľavú a pravú stranu nerovnosti správne, stlačte tlačidlo a do niekoľkých sekúnd získate výsledok. Na rýchle a presné matematické výpočty s numerickými alebo symbolickými koeficientmi pred neznámymi budete ako vždy potrebovať univerzálnu kalkulačku nerovníc a rovníc, ktorá vám dá odpoveď na váš problém v priebehu niekoľkých sekúnd. Ak nemáte čas napísať celú sériu písomných cvičení, tak platnosť služby je nepopierateľná aj voľným okom. Pre študentov je tento prístup optimálnejší a opodstatnenejší z hľadiska šetrenia materiálnych zdrojov a času. Oproti nohe leží uhol a na jeho meranie potrebujete kompas, ale rady môžete použiť kedykoľvek a vyriešiť nerovnosť bez použitia akýchkoľvek redukčných vzorcov. Znamená to úspešné dokončenie začatej akcie? Odpoveď bude určite kladná.

Napríklad nerovnosť je výraz \(x>5\).

Druhy nerovností:

Ak sú \(a\) a \(b\) čísla alebo , potom sa volá nerovnosť číselné. Ide vlastne len o porovnanie dvoch čísel. Takéto nerovnosti sa delia na verný A neverný.

Napríklad:
\(-5<2\) - верное числовое неравенство, ведь \(-5\) действительно меньше \(2\);

\(17+3\geq 115\) je nesprávna číselná nerovnosť, pretože \(17+3=20\) a \(20\) je menšie ako \(115\) (a nie väčšie alebo rovné) .

Ak sú \(a\) a \(b\) výrazy obsahujúce premennú, potom máme nerovnosť s premennou. Takéto nerovnosti sú rozdelené do typov v závislosti od obsahu:

\(2x+1\geq4(5-x)\)				Variabilné len na prvú mocninu
\(3x^2-x+5>0\)				V druhej mocnine (štvorci) je premenná, ale neexistujú žiadne vyššie mocniny (tretia, štvrtá atď.)
\(\log_(4)((x+1))<3\)
\(2^(x)\leq8^(5x-2)\)

... a tak ďalej.

Aké je riešenie nerovnosti?

Ak namiesto premennej dosadíte číslo do nerovnosti, zmení sa na číselnú.

Ak daná hodnota pre x zmení pôvodnú nerovnosť na skutočnú numerickú, potom sa volá riešenie nerovnosti. Ak nie, potom táto hodnota nie je riešením. A do vyriešiť nerovnosť– musíte nájsť všetky jeho riešenia (alebo ukázať, že žiadne neexistujú).

Napríklad, ak do lineárnej nerovnosti \(x+6>10\) dosadíme číslo \(7\), dostaneme správnu číselnú nerovnosť: \(13>10\). A ak dosadíme \(2\), vznikne nesprávna číselná nerovnosť \(8>10\). To znamená, že \(7\) je riešením pôvodnej nerovnosti, ale \(2\) nie.

Nerovnosť \(x+6>10\) má však aj iné riešenia. Pri dosadení \(5\) a \(12\) a \(138\) skutočne dostaneme správne číselné nerovnosti... A ako nájdeme všetky možné riešenia? Na to používajú Pre náš prípad máme:

\(x+6>10\) \(|-6\)
\(x>4\)

To znamená, že akékoľvek číslo väčšie ako štyri je pre nás vhodné. Teraz musíte odpoveď napísať. Riešenia nerovností sa zvyčajne zapisujú číselne, dodatočne sa označujú na číselnej osi tieňovaním. Pre náš prípad máme:

odpoveď: \(x\in(4;+\infty)\)

Kedy sa zmení znak nerovnosti?

V nerovnostiach je jedna veľká pasca, do ktorej študenti skutočne „radi“ padajú:

Pri vynásobení (alebo delení) nerovnosti záporným číslom sa táto nerovnosť obráti („viac“ za „menej“, „viac alebo rovné“ za „menej alebo rovné“ atď.)

Prečo sa to deje? Aby sme to pochopili, pozrime sa na transformácie numerickej nerovnosti \(3>1\). Správne, tri je skutočne väčšie ako jedna. Najprv to skúsme vynásobiť ľubovoľným kladným číslom, napríklad dvoma:

\(3>1\) \(|\cdot2\)
\(6>2\)

Ako vidíme, po vynásobení nerovnosť zostáva pravdivá. A bez ohľadu na to, akým kladným číslom vynásobíme, vždy dostaneme správnu nerovnosť. Teraz skúsme vynásobiť záporným číslom, napríklad mínus tri:

\(3>1\) \(|\cdot(-3)\)
\(-9>-3\)

Výsledkom je nesprávna nerovnosť, pretože mínus deväť je menej ako mínus tri! To znamená, že aby sa nerovnosť stala pravdivou (a teda transformácia násobenia záporom bola „legálna“), musíte otočiť znamienko porovnania takto: \(−9<− 3\).
S delením to vyjde rovnako, môžete si to overiť sami.

Vyššie napísané pravidlo platí pre všetky typy nerovností, nielen pre číselné.

Príklad: Vyriešte nerovnosť \(2(x+1)-1<7+8x\)
Riešenie:

\(2x+2-1<7+8x\)	Presuňme sa \(8x\) doľava a \(2\) a \(-1\) doprava, pričom nezabudnime zmeniť znamienka
\(2x-8x<7-2+1\)
\(-6x<6\) \(|:(-6)\)	Vydeľme obe strany nerovnosti \(-6\), pričom nezabudnime zmeniť z „menej“ na „viac“
	Vyznačme si na osi číselný interval. Nerovnosť, preto „vypichneme“ samotnú hodnotu \(-1\) a neberieme to ako odpoveď
	Odpoveď napíšeme ako interval

odpoveď: \(x\in(-1;\infty)\)

Nerovnosti a postihnutie

Nerovnice, rovnako ako rovnice, môžu mať obmedzenia na , teda na hodnoty x. V súlade s tým by tie hodnoty, ktoré sú podľa DZ neprijateľné, mali byť vylúčené z rozsahu riešení.

Príklad: Vyriešte nerovnosť \(\sqrt(x+1)<3\)

Riešenie: Je jasné, že na to, aby bola ľavá strana menšia ako \(3\), musí byť radikálny výraz menší ako \(9\) (veď z \(9\) práve \(3\)). Dostaneme:

\(x+1<9\) \(|-1\)
\(X<8\)

všetky? Vyhovuje nám akákoľvek hodnota x menšia ako \(8\)? Nie! Pretože ak vezmeme napríklad hodnotu \(-5\), ktorá sa zdá byť v súlade s požiadavkou, nebude to riešenie pôvodnej nerovnosti, pretože nás to privedie k výpočtu odmocniny záporného čísla.

\(\sqrt(-5+1)<3\)
\(\sqrt(-4)<3\)

Preto musíme brať do úvahy aj obmedzenia hodnoty X – nemôže byť také, aby pod odmocninou bolo záporné číslo. Máme teda druhú požiadavku na x:

\(x+1\geq0\)
\(x\geq-1\)

A aby x bolo konečným riešením, musí spĺňať obe požiadavky naraz: musí byť menšie ako \(8\) (aby bolo riešením) a väčšie ako \(-1\) (aby bolo v zásade prípustné). Keď to nakreslíme na číselnú os, máme konečnú odpoveď:

odpoveď: \(\left[-1;8\right)\)

Nie každý vie riešiť nerovnice, ktoré majú vo svojej štruktúre podobné a charakteristické znaky s rovnicami. Rovnica je cvičenie pozostávajúce z dvoch častí, medzi ktorými je znamienko rovnosti a medzi časťami nerovnosti môže byť znamienko „viac ako“ alebo „menej ako“. Preto pred nájdením riešenia konkrétnej nerovnosti musíme pochopiť, že stojí za to zvážiť znamienko čísla (kladné alebo záporné), ak je potrebné vynásobiť obe strany akýmkoľvek výrazom. Rovnaká skutočnosť by sa mala vziať do úvahy, ak sa na vyriešenie nerovnosti vyžaduje kvadratúra, pretože kvadratúra sa vykonáva násobením.

Ako vyriešiť systém nerovností

Je oveľa ťažšie riešiť sústavy nerovností ako bežné nerovnosti. Pozrime sa na to, ako riešiť nerovnosti v 9. ročníku na konkrétnych príkladoch. Malo by sa chápať, že pred riešením kvadratických nerovníc (systémov) alebo akýchkoľvek iných systémov nerovníc je potrebné vyriešiť každú nerovnosť samostatne a potom ich porovnať. Riešením systému nerovnosti bude buď kladná alebo záporná odpoveď (či systém riešenie má alebo nemá).

Úlohou je vyriešiť množinu nerovníc:

Riešime každú nerovnosť samostatne

Zostavíme číselnú os, na ktorej znázorníme množinu riešení

Keďže množina je zjednotením množín riešení, táto množina na číselnej osi musí byť podčiarknutá aspoň jednou čiarou.

Riešenie nerovností modulom

Tento príklad ukáže, ako riešiť nerovnosti s modulom. Takže máme definíciu:

Musíme vyriešiť nerovnosť:

Pred riešením takejto nerovnosti je potrebné zbaviť sa modulu (znamienka)

Napíšme na základe definičných údajov:

Teraz musíte vyriešiť každý zo systémov samostatne.

Zostrojme jednu číselnú os, na ktorej znázorníme množiny riešení.

Výsledkom je kolekcia, ktorá kombinuje mnoho riešení.

Riešenie kvadratických nerovností

Pomocou číselnej osi sa pozrime na príklad riešenia kvadratických nerovníc. Máme nerovnosť:

Vieme, že grafom kvadratického trinomu je parabola. Vieme tiež, že vetvy paraboly smerujú nahor, ak a>0.

x 2-3x-4< 0

Pomocou Vietovej vety nájdeme korene x 1 = - 1; x 2 = 4

Nakreslíme parabolu, alebo skôr jej náčrt.

Zistili sme teda, že hodnoty kvadratického trinomu budú menšie ako 0 na intervale od – 1 do 4.

Mnoho ľudí má otázky pri riešení dvojitých nerovností ako g(x)< f(x) < q(x). Перед тем, как решать двойные неравенства, необходимо их раскладывать на простые, и каждое простое неравенство решать по отдельности. Например, разложив наш пример, получим в результате систему неравенств g(x) < f(x) и f(x) < q(x), которую следует и решать.

V skutočnosti existuje niekoľko metód na riešenie nerovností, takže na riešenie zložitých nerovností môžete použiť grafickú metódu.

Riešenie zlomkových nerovností

Zlomkové nerovnosti si vyžadujú opatrnejší prístup. Je to spôsobené tým, že v procese riešenia niektorých zlomkových nerovností sa znamienko môže zmeniť. Pred riešením zlomkových nerovností musíte vedieť, že na ich riešenie sa používa intervalová metóda. Zlomková nerovnosť musí byť prezentovaná tak, že jedna strana znamienka vyzerá ako zlomkový racionálny výraz a druhá strana vyzerá ako „- 0“. Transformáciou nerovnosti týmto spôsobom dostaneme výsledok f(x)/g(x) > (.

Riešenie nerovníc intervalovou metódou

Intervalová technika je založená na metóde úplnej indukcie, to znamená, že na nájdenie riešenia nerovnosti je potrebné prejsť všetkými možnými možnosťami. Tento spôsob riešenia nemusí byť potrebný pre žiakov 8. ročníka, pretože by mali vedieť riešiť nerovnosti 8. ročníka, čo sú jednoduché cvičenia. Ale pre staršie ročníky je táto metóda nevyhnutná, pretože pomáha riešiť zlomkové nerovnosti. Riešenie nerovností pomocou tejto techniky je tiež založené na takej vlastnosti spojitej funkcie, ako je zachovanie znamienka medzi hodnotami, v ktorých sa mení na 0.

Zostavme graf polynómu. Ide o spojitú funkciu, ktorá nadobudne hodnotu 0 3-krát, to znamená, že f(x) sa bude rovnať 0 v bodoch x 1, x 2 a x 3, koreňoch polynómu. V intervaloch medzi týmito bodmi je zachované znamienko funkcie.

Keďže na vyriešenie nerovnice f(x)>0 potrebujeme znamienko funkcie, prejdeme na súradnicovú čiaru, pričom graf opustíme.

f(x)>0 pre x(x 1 ; x 2) a pre x(x 3 ;)

f(x)x(- ; x 1) a pri x (x 2; x 3)

V grafe sú zreteľne znázornené riešenia nerovníc f(x)f(x)>0 (riešenie prvej nerovnice je modro a riešenie druhej červenej). Na určenie znamienka funkcie na intervale stačí, že poznáte znamienko funkcie v jednom z bodov. Táto technika vám umožňuje rýchlo vyriešiť nerovnosti, v ktorých je ľavá strana faktorizovaná, pretože v takýchto nerovnostiach je celkom ľahké nájsť korene.

Čo potrebujete vedieť o ikonách nerovnosti? Nerovnosti s ikonou viac (> ), alebo menej (< ) sa volajú prísny. S ikonami viac alebo rovné (≥ ), menšie alebo rovnaké (≤ ) sa volajú nie prísna. Ikona nerovná sa (≠ ) stojí od seba, ale príklady s touto ikonou musíte neustále riešiť. A rozhodneme sa.)

Samotná ikona nemá veľký vplyv na proces riešenia. Ale na konci rozhodnutia, pri výbere konečnej odpovede, sa význam ikony objaví v plnej sile! To je to, čo uvidíme nižšie v príkladoch. Sú tam vtipy...

Nerovnosti, rovnako ako rovnosť, existujú verný a neverný. Všetko je tu jednoduché, žiadne triky. Povedzme 5 > 2 je skutočná nerovnosť. 5 < 2 - nesprávne.

Tento prípravok funguje pri nerovnostiach akýkoľvek druh a jednoduché až desivé.) Stačí správne vykonať dve (iba dve!) základné akcie. Tieto akcie sú známe každému. Ale je príznačné, že chyby v týchto úkonoch sú hlavnou chybou pri riešení nerovností, áno... Preto sa tieto úkony musia opakovať. Tieto akcie sa nazývajú takto:

Identické transformácie nerovností.

Identické transformácie nerovníc sú veľmi podobné identickým transformáciám rovníc. V skutočnosti je to hlavný problém. Rozdiely presahujú vašu hlavu a... tu to máte.) Preto vyzdvihnem najmä tieto rozdiely. Takže prvá identická transformácia nerovností:

1. Na obe strany nerovnosti možno pridať (odčítať) rovnaké číslo alebo výraz. Akýkoľvek. Toto nezmení znak nerovnosti.

V praxi sa toto pravidlo používa ako presun pojmov z ľavej strany nerovnice na pravú (a naopak) so zmenou znamienka. So zmenou znamienka termínu, nie nerovnosť! Pravidlo jedna k jednej je rovnaké ako pravidlo pre rovnice. Nasledujúce identické transformácie v nerovnostiach sa však výrazne líšia od tých v rovniciach. Preto ich zvýrazním červenou farbou:

2. Obe strany nerovnosti možno vynásobiť (vydeliť) tým istýmpozitívnečíslo. Pre akékoľvekpozitívne nezmení sa.

3. Obe strany nerovnosti možno vynásobiť (vydeliť) tým istýmnegatívnečíslo. Pre akékoľveknegatívnečíslo. Znak nerovnosti z tohosa zmení na opak.

Pamätáte si (dúfam...), že rovnica sa dá násobiť/deliť čímkoľvek. A pre akékoľvek číslo a pre výraz s X. Len keby to nebolo nula. Vďaka tomu nie je rovnica ani horúca, ani studená.) Nezmení sa. Ale nerovnosti sú citlivejšie na násobenie/delenie.

Jasný príklad na dlhú pamäť. Napíšme nerovnosť, ktorá nevyvoláva pochybnosti:

5 > 2

Vynásobte obe strany +3, dostaneme:

15 > 6

Nejaké námietky? Neexistujú žiadne námietky.) A ak obe strany pôvodnej nerovnosti vynásobíme o -3, dostaneme:

15 > -6

A toto je vyslovená lož.) Úplná lož! Klamanie ľudí! Ale akonáhle zmeníte znamienko nerovnosti na opačné, všetko zapadne na svoje miesto:

15 < -6

Nenadávam len na klamstvá a podvody.) "Zabudol som zmeniť znamienko rovnosti..."- Toto Domov chyba pri riešení nerovností. Toto triviálne a jednoduché pravidlo ublížilo toľkým ľuďom! Na čo zabudli...) Tak prisahám. Možno si spomeniem...)

Obzvlášť pozorní ľudia si všimnú, že nerovnosť nemožno znásobiť výrazom s X. Rešpekt k tým, ktorí sú pozorní!) Prečo nie? Odpoveď je jednoduchá. Nepoznáme znamienko tohto výrazu s X. Môže byť kladný, záporný... Preto nevieme, ktoré znamienko nerovnosti dať po násobení. Mám to zmeniť alebo nie? Neznámy. Samozrejme, toto obmedzenie (zákaz násobenia/delenia nerovnice výrazom s x) sa dá obísť. Ak to naozaj potrebujete. Ale to je téma na iné hodiny.

To sú všetky identické transformácie nerovností. Dovoľte mi ešte raz pripomenúť, že pracujú pre akýkoľvek nerovnosti Teraz môžete prejsť na konkrétne typy.

Lineárne nerovnosti. Riešenie, príklady.

Lineárne nerovnosti sú nerovnosti, v ktorých je x v prvej mocnine a neexistuje delenie x. Typ:

x+3 > 5x-5

Ako sa takéto nerovnosti riešia? Sú veľmi ľahko riešiteľné! Totiž: pomocou redukujeme najviac neprehľadnú lineárnu nerovnosť rovno k odpovedi. To je riešenie. Vyzdvihnem hlavné body rozhodnutia. Aby ste sa vyhli hlúpym chybám.)

Vyriešme túto nerovnosť:

x+3 > 5x-5

Riešime to úplne rovnakým spôsobom ako lineárnu rovnicu. S jediným rozdielom:

Pozorne sledujeme znak nerovnosti!

Prvý krok je najbežnejší. S X - doľava, bez X - doprava... Toto je prvá identická transformácia, jednoduchá a bezproblémová.) Len nezabudnite zmeniť znamienka prenesených pojmov.

Znak nerovnosti zostáva:

x-5x > -5-3

Tu sú podobné.

Znak nerovnosti zostáva:

4x > -8

Zostáva použiť poslednú identickú transformáciu: vydeľte obe strany -4.

Deliť podľa negatívnečíslo.

Znak nerovnosti sa zmení na opačný:

X < 2

Toto je odpoveď.

Takto sa riešia všetky lineárne nerovnosti.

Pozor! Bod 2 je nakreslený bielou farbou, t.j. nenamaľované. Vo vnútri prázdno. To znamená, že nie je zahrnutá v odpovedi! Takúto zdravú som ju nakreslil zámerne. Takýto bod (prázdny, nie zdravý!)) v matematike sa nazýva prepichnutý bod.

Zostávajúce čísla na osi je možné označiť, ale nie je to potrebné. Cudzie čísla, ktoré nesúvisia s našou nerovnosťou, môžu byť mätúce, áno... Len si treba uvedomiť, že čísla pribúdajú v smere šípky, t.j. čísla 3, 4, 5 atď. sú doprava sú dvojky a čísla sú 1, 0, -1 atď. - doľava.

Nerovnosť x < 2 - prísny. X je striktne menej ako dva. Ak máte pochybnosti, kontrola je jednoduchá. Pochybné číslo dosadíme do nerovnosti a pomyslíme si: "Dva je menej ako dva? Nie, samozrejme!" presne tak. Nerovnosť 2 < 2 nesprávne. Dvojka na oplátku nie je vhodná.

Je jeden v poriadku? určite. Menej... A nula je dobrá a -17 a 0,34... Áno, všetky čísla, ktoré sú menšie ako dve, sú dobré! A dokonca 1,9999.... Aspoň trochu, ale menej!

Označme teda všetky tieto čísla na číselnej osi. Ako? Tu sú možnosti. Prvá možnosť je tienenie. Prejdeme myšou nad obrázok (alebo sa dotkneme obrázka na tablete) a vidíme, že oblasť všetkých x, ktoré spĺňajú podmienku x, je zatienená < 2 . To je všetko.

Pozrime sa na druhú možnosť pomocou druhého príkladu:

X ≥ -0,5

Nakreslite os a označte číslo -0,5. Páči sa ti to:

Všimli ste si rozdiel?) Áno, je ťažké si to nevšimnúť... Táto bodka je čierna! Premaľované. To znamená -0,5 je zahrnuté v odpovedi. Tu, mimochodom, môže overovanie niekoho zmiasť. Nahradíme:

-0,5 ≥ -0,5

Ako to? -0,5 nie je viac ako -0,5! A je tu viac ikon...

Je to v poriadku. V slabej nerovnosti sa hodí všetko, čo sa hodí na ikonu. A rovná sa dobre a viac dobre. Preto je v odpovedi zahrnutých -0,5.

Na osi sme teda označili -0,5, zostáva označiť všetky čísla, ktoré sú väčšie ako -0,5. Tentokrát označím oblasť vhodných hodnôt x luk(od slova oblúk), a nie tieňovanie. Prejdeme kurzorom na kresbu a vidíme tento luk.

Medzi tienením a ramenami nie je žiadny zvláštny rozdiel. Urobte, ako hovorí učiteľ. Ak nie je učiteľ, nakreslite oblúky. Pri zložitejších úlohách je tieňovanie menej zrejmé. Môžete sa zmiasť.

Takto sa na osi kreslia lineárne nerovnosti. Prejdime k ďalšej vlastnosti nerovností.

Písanie odpovede na nerovnosti.

Rovnice boli dobré.) Našli sme x a zapísali odpoveď, napríklad: x=3. Existujú dve formy písania odpovedí v nerovnostiach. Jedna je vo forme konečnej nerovnosti. Dobré pre jednoduché prípady. Napríklad:

X< 2.

Toto je úplná odpoveď.

Niekedy je potrebné zapísať to isté, ale v inej forme, v číselných intervaloch. Potom záznam začne vyzerať veľmi vedecky):

x ∈ (-∞; 2)

Pod ikonou ∈ slovo je skryté „patrí“.

Záznam znie takto: x patrí do intervalu od mínus nekonečna do dvoch nezahrňuje. Celkom logické. X môže byť ľubovoľné číslo zo všetkých možných čísel od mínus nekonečna po dve. Nemôže existovať dvojité X, čo nám hovorí slovo "nezahrňuje".

A kde v odpovedi je jasné, že "nezahrňuje"? Táto skutočnosť je uvedená v odpovedi okrúhly zátvorka hneď za dvojkou. Ak by boli zahrnuté tieto dve, zátvorka by bola námestie. Ako tento: ]. Nasledujúci príklad používa takúto zátvorku.

Zapíšme si odpoveď: x ≥ -0,5 v intervaloch:

x ∈ [-0,5; +∞)

Číta: x patrí do intervalu od mínus 0,5, počítajúc do toho, do plus nekonečna.

Nekonečno sa nikdy nedá zapnúť. Nie je to číslo, je to symbol. Preto v takýchto zápisoch nekonečno vždy susedí so zátvorkou.

Táto forma záznamu je vhodná pre komplexné odpovede pozostávajúce z niekoľkých medzier. Ale - len pre konečné odpovede. V medzivýsledkoch, kde sa očakáva ďalšie riešenie, je lepšie použiť obvyklú formu vo forme jednoduchej nerovnosti. Budeme sa tomu venovať v príslušných témach.

Populárne úlohy s nerovnosťami.

Samotné lineárne nerovnosti sú jednoduché. Preto sú úlohy často ťažšie. Bolo teda potrebné premýšľať. Toto, ak na to nie ste zvyknutý, nie je veľmi príjemné.) Ale je to užitočné. Ukážem príklady takýchto úloh. Nie aby ste sa ich učili, je to zbytočné. A aby sa pri stretnutí s takýmito príkladmi nebáli. Len trochu premýšľajte - a je to jednoduché!)

1. Nájdite ľubovoľné dve riešenia nerovnosti 3x - 3< 0

Ak nie je jasné, čo robiť, nezabudnite na hlavné pravidlo matematiky:

Ak neviete, čo potrebujete, urobte, čo môžete!)

X < 1

A čo? Nič zvláštne. Čo sa nás pýtajú? Sme požiadaní, aby sme našli dve konkrétne čísla, ktoré sú riešením nerovnosti. Tie. zodpovedať odpovedi. Dva akýkoľvekčísla. V skutočnosti je to mätúce.) Pár 0 a 0,5 je vhodných. Pár -3 a -8. Tých párov je nekonečne veľa! Ktorá odpoveď je správna?!

Odpovedám: všetko! Akýkoľvek pár čísel, z ktorých každé je menšie ako jedna, bude správna odpoveď. Napíšte, ktorý chcete. Poďme ďalej.

2. Vyriešte nerovnosť:

4x - 3 ≠ 0

Úlohy v tejto forme sú zriedkavé. Ale ako pomocné nerovnosti, napríklad pri hľadaní ODZ alebo pri hľadaní definičného oboru funkcie, sa vyskytujú stále. Takáto lineárna nerovnosť môže byť vyriešená ako obyčajná lineárna rovnica. Iba všade okrem znaku "=" ( rovná sa) dať znamenie" ≠ " (nerovná sa). Takto pristupujete k odpovedi so znamienkom nerovnosti:

X ≠ 0,75

V zložitejších príkladoch je lepšie robiť veci inak. Urobte z rovnosti nerovnosť. Páči sa ti to:

4x - 3 = 0

Pokojne to vyriešte podľa nauky a získajte odpoveď:

x = 0,75

Hlavná vec je, že na samom konci pri zapisovaní konečnej odpovede nezabudnite, že sme našli x, čo dáva rovnosť. A potrebujeme - nerovnosť. Preto toto X naozaj nepotrebujeme.) A musíme si ho zapísať so správnym symbolom:

X ≠ 0,75

Tento prístup vedie k menšiemu počtu chýb. Tí, ktorí riešia rovnice automaticky. A pre tých, ktorí neriešia rovnice, sú nerovnice v skutočnosti zbytočné...) Ďalší príklad obľúbenej úlohy:

3. Nájdite najmenšie celočíselné riešenie nerovnosti:

3 (x - 1) < 5x + 9

Najprv jednoducho vyriešime nerovnosť. Otvárame zátvorky, presúvame ich, prinášame podobné... Získame:

X > - 6

Nevyšlo to tak!? Sledovali ste znamenia!? A za znakmi členov a za znakom nerovnosti...

Zamyslime sa ešte raz. Musíme nájsť konkrétne číslo, ktoré zodpovedá odpovedi aj podmienke „najmenšie celé číslo“. Ak vám to nesvitne hneď, môžete si vziať ľubovoľné číslo a prísť na to. Dva cez mínus šesť? Určite! Existuje vhodné menšie číslo? Samozrejme. Napríklad nula je väčšia ako -6. A ešte menej? Potrebujeme najmenšiu možnú vec! Mínus tri je viac ako mínus šesť! Už môžete zachytiť vzorec a prestať hlúpo prechádzať číslami, však?)

Zoberme si číslo bližšie k -6. Napríklad -5. Odpoveď je splnená, -5 > - 6. Je možné nájsť iné číslo menšie ako -5, ale väčšie ako -6? Môžete napríklad -5,5... Stop! Je nám povedané celý Riešenie! Neroluje sa -5,5! A čo mínus šesť? Uh-uh! Nerovnosť je prísna, mínus 6 nie je v žiadnom prípade menej ako mínus 6!

Správna odpoveď je teda -5.

Dúfam, že s výberom hodnoty zo všeobecného riešenia je všetko jasné. Ďalší príklad:

4. Vyriešte nerovnosť:

7 < 3x+1 < 13

Wow! Tento výraz sa nazýva trojitá nerovnosť. Presne povedané, ide o skrátenú formu systému nerovností. Ale takéto trojité nerovnosti sa predsa musia v niektorých úlohách riešiť... Dá sa to vyriešiť bez akýchkoľvek systémov. Podľa rovnakých identických premien.

Musíme to zjednodušiť, priniesť túto nerovnosť do čistého X. Ale... Čo by sa malo kam presunúť?! Tu je čas si uvedomiť, že pohyb doľava a doprava je krátka forma prvá transformácia identity.

A celá forma znie takto: Akékoľvek číslo alebo výraz možno pripočítať/odčítať na obe strany rovnice (nerovnosť).

Sú tu tri časti. Na všetky tri časti teda použijeme identické transformácie!

Zbavme sa teda tej strednej časti nerovnosti. Odčítajme jednu od celej strednej časti. Aby sa nerovnosť nezmenila, odpočítame jednu od zvyšných dvoch častí. Páči sa ti to:

7 -1< 3x+1-1 < 13-1

6 < 3x < 12

To je lepšie, však?) Zostáva len rozdeliť všetky tri časti na tri:

2 < X < 4

To je všetko. Toto je odpoveď. X môže byť ľubovoľné číslo od dvoch (bez) do štyroch (bez). Táto odpoveď je tiež písaná v intervaloch, takéto záznamy budú v kvadratických nerovnostiach. Tam sú to najbežnejšie.

Na konci lekcie zopakujem to najdôležitejšie. Úspech pri riešení lineárnych nerovníc závisí od schopnosti transformovať a zjednodušiť lineárne rovnice. Ak v rovnakom čase pozor na znak nerovnosti, nebudú žiadne problémy. To ti prajem. Žiadne problémy.)

Ak sa vám táto stránka páči...

Mimochodom, mám pre vás niekoľko ďalších zaujímavých stránok.)

Môžete si precvičiť riešenie príkladov a zistiť svoju úroveň. Testovanie s okamžitým overením. Učme sa - so záujmom!)

Môžete sa zoznámiť s funkciami a derivátmi.

Zjednodušene môžeme povedať, že ide o nerovnosti, v ktorých je premenná len do prvého stupňa a nie je v menovateli zlomku.

Príklady:

\(\frac(3y-4)(5)\) \(\leq1\)

\(5(x-1)-2x>3x-8\)

Príklady nelineárnych nerovností:

\(3>-2\) – nie sú tu žiadne premenné, iba čísla, čo znamená, že ide o číselnú nerovnosť
\(\frac(-14)((y-3)^(2)-5)\) \(\leq0\) – v menovateli je premenná, toto
\(5(x-1)-2x>3x^(2)-8\) - existuje premenná k druhej mocnine, toto je

Riešenie lineárnych nerovností

Riešenie nerovnosti bude nejaké číslo, ktorého nahradenie namiesto premennej urobí nerovnosť pravdivou. Vyriešte nerovnosť- znamená nájsť všetky takéto čísla.

Napríklad pre nerovnosť \(x-2>0\) bude riešením číslo \(5\), pretože pri dosadení päťky namiesto x dostaneme správne číslo: \(3>0\). Ale číslo \(1\) nebude riešením, pretože nahradenie bude mať za následok nesprávnu číselnú nerovnosť: \(-1>0\) . Riešením nerovnosti však bude nielen päť, ale aj \(4\), \(7\), \(15\), \(42\), \(726\) a nekonečný počet čísel: akékoľvek číslo väčšie ako dva.

Lineárne nerovnosti preto nemožno riešiť hľadaním a dosadzovaním hodnôt. Namiesto toho ich použite viesť k jednému z nasledujúcich:

\(X c\), \(x\leqс\), \(x\geqс\), kde \(с\) je ľubovoľné číslo

Odpoveď je potom označená na číselnej osi a zapísaná ako (nazývaná aj interval).

Vo všeobecnosti, ak viete, ako riešiť, potom môžete robiť lineárne nerovnosti, pretože proces riešenia je veľmi podobný. Existuje len jeden dôležitý doplnok:

Príklad. Vyriešte nerovnosť \(2(x+1)-1<7+8x\)
Riešenie:

odpoveď: \(x\in(-1;\infty)\)

Špeciálny prípad č.1: riešenie nerovnosti - ľubovoľné číslo

Pri lineárnych nerovnostiach je možná situácia, keď ako riešenie možno použiť absolútne akékoľvek číslo - celé číslo, zlomkové, záporné, kladné, nulové... Napríklad táto nerovnosť \(x+2>x\) bude platiť pre ľubovoľné hodnota x. No ako by to mohlo byť inak, veď k X vľavo pribudla dvojka, ale vpravo nie. Prirodzene, číslo vľavo bude väčšie, bez ohľadu na to, aké X vezmeme.

Príklad. Vyriešte nerovnosť \(3(2x-1)+5<6x+4\)
Riešenie:

odpoveď: \(x\in(-\infty;\infty)\)

Špeciálny prípad č. 2: nerovnosť nemá riešenia

Je možná aj opačná situácia, keď lineárna nerovnosť nemá vôbec žiadne riešenia, teda žiadne x ju nespraví. Napríklad \(x-2>x\) nebude nikdy pravdivé, pretože dva sa odpočítajú od x vľavo, ale nie vpravo. To znamená, že naľavo bude vždy menej, nie viac.

Príklad. Vyriešte nerovnosť \(\frac(x-5)(2)\) \(>\) \(\frac(3x+2)(6)\) \(-1\)
Riešenie:

\(\frac(x-5)(2)\) \(>\) \(\frac(3x+2)(6)\) \(-1\)		Menovatelia sa nám stavajú do cesty. Okamžite sa ich zbavíme vynásobením všetkej nerovnosti spoločným menovateľom všetkých, teda 6.
\(6\cdot\)\(\frac(x-5)(2)\) \(>\)\(6\cdot\)\((\frac(3x+2)(6)\) \( -1\)\()\)		Otvoríme zátvorky
\(6\cdot\)\(\frac(x-5)(2)\) \(>\)\(6\cdot\)\(\frac(3x+2)(6)\) \(- 6\)		Nakrájame, čo sa dá
\(3\cdot(x-5)>3x+2-6\)		Na ľavej strane otvoríme zátvorku a na pravej strane predstavíme podobné pojmy
\(3x-15>3x-4\)		Presuňme sa \(3x\) doľava a \(-15\) doprava, pričom zmeníme znamienka
\(3x-3x>-4+15\)		Opäť uvádzame podobné pojmy
		Dostali ste nesprávnu číselnú nerovnosť. A pre ľubovoľné x to bude nesprávne, pretože to nijako neovplyvňuje výslednú nerovnosť. To znamená, že žiadna hodnota X nebude riešením.

odpoveď: \(x\in\varnothing\)