Riešenie matematickej matice pomocou Gaussovej metódy. Gaussova metóda online

V tomto článku je metóda považovaná za metódu riešenia systémov lineárnych rovníc (SLAE). Metóda je analytická, to znamená, že vám umožňuje napísať algoritmus riešenia vo všeobecnej forme a potom tam nahradiť hodnoty z konkrétnych príkladov. Na rozdiel od maticovej metódy alebo Cramerových vzorcov sa pri riešení sústavy lineárnych rovníc pomocou Gaussovej metódy dá pracovať aj s takými, ktoré majú nekonečný počet riešení. Alebo ho nemajú vôbec.

Čo znamená riešiť pomocou Gaussovej metódy?

Najprv musíme napísať náš systém rovníc do Vyzerá to takto. Vezmite systém:

Koeficienty sa zapisujú vo forme tabuľky a voľné termíny sa zapisujú do samostatného stĺpca vpravo. Stĺpec s voľnými výrazmi je pre pohodlie oddelený. Matica, ktorá obsahuje tento stĺpec, sa nazýva rozšírená.

Ďalej je potrebné zredukovať hlavnú maticu s koeficientmi na horný trojuholníkový tvar. Toto je hlavný bod riešenia systému pomocou Gaussovej metódy. Jednoducho povedané, po určitých manipuláciách by matica mala vyzerať tak, že jej ľavá spodná časť obsahuje iba nuly:

Ak potom novú maticu napíšete znova ako sústavu rovníc, všimnete si, že posledný riadok už obsahuje hodnotu jedného z koreňov, ktorá sa potom dosadí do vyššie uvedenej rovnice, nájde sa ďalší koreň atď.

Toto je najvšeobecnejší popis riešenia Gaussovou metódou. Čo sa stane, ak systém zrazu nemá riešenie? Alebo ich je nekonečne veľa? Na zodpovedanie týchto a mnohých ďalších otázok je potrebné samostatne zvážiť všetky prvky použité pri riešení Gaussovej metódy.

Matrice, ich vlastnosti

V matrici nie je skrytý význam. Je to jednoducho pohodlný spôsob zaznamenávania údajov pre následné operácie s ním. Nemusia sa ich báť ani školáci.

Matica je vždy obdĺžniková, pretože je pohodlnejšia. Dokonca aj v Gaussovej metóde, kde všetko spočíva v zostrojení matice trojuholníkového tvaru, sa v položke objaví obdĺžnik, len s nulami na mieste, kde nie sú žiadne čísla. Nuly sa nemusia písať, ale sú implikované.

Matica má veľkosť. Jeho „šírka“ je počet riadkov (m), „dĺžka“ je počet stĺpcov (n). Potom veľkosť matice A (na ich označenie sa zvyčajne používajú veľké latinské písmená) označíme ako A m×n. Ak m=n, potom je táto matica štvorcová a m=n je jej poradie. Podľa toho môže byť ľubovoľný prvok matice A označený číslami riadkov a stĺpcov: a xy; x - číslo riadku, zmeny, y - číslo stĺpca, zmeny.

B nie je hlavným bodom rozhodnutia. V zásade možno všetky operácie vykonávať priamo so samotnými rovnicami, no zápis bude oveľa ťažkopádnejší a bude sa v ňom oveľa ľahšie zmiasť.

Determinant

Matica má tiež determinant. Toto je veľmi dôležitá vlastnosť. Teraz nie je potrebné zisťovať jeho význam, môžete jednoducho ukázať, ako sa vypočítava, a potom povedať, aké vlastnosti matice určuje. Najjednoduchší spôsob, ako nájsť determinant, je cez uhlopriečky. V matici sú nakreslené imaginárne uhlopriečky; prvky umiestnené na každom z nich sa vynásobia a potom sa pridajú výsledné produkty: uhlopriečky so sklonom doprava - so znamienkom plus, so sklonom doľava - so znamienkom mínus.

Je mimoriadne dôležité poznamenať, že determinant možno vypočítať iba pre štvorcovú maticu. Pre obdĺžnikovú maticu môžete urobiť nasledovné: vybrať najmenší z počtu riadkov a počtu stĺpcov (nech je k) a potom náhodne označiť k stĺpcov a k riadkov v matici. Prvky v priesečníku vybratých stĺpcov a riadkov vytvoria novú štvorcovú maticu. Ak je determinantom takejto matice nenulové číslo, nazýva sa základná minor pôvodnej pravouhlej matice.

Predtým, ako začnete riešiť sústavu rovníc pomocou Gaussovej metódy, nezaškodí vypočítať determinant. Ak sa ukáže, že je nula, potom môžeme okamžite povedať, že matica má buď nekonečný počet riešení, alebo žiadne. V takomto smutnom prípade treba ísť ďalej a informovať sa o hodnosti matice.

Klasifikácia systému

Existuje niečo ako hodnosť matice. Toto je maximálne poradie jej nenulového determinantu (ak si pamätáme na základnú minoritu, môžeme povedať, že hodnosť matice je poradie základne minor).

Na základe situácie s hodnosťou možno SLAE rozdeliť na:

Spoločný. U V spoločných systémoch sa hodnosť hlavnej matice (pozostávajúcej len z koeficientov) zhoduje s hodnosťou rozšírenej matice (so stĺpcom voľných členov). Takéto systémy majú riešenie, ale nie nevyhnutne jedno, preto sa navyše kĺbové systémy delia na:
- istý- majúci jediné riešenie. V určitých systémoch sú poradie matice a počet neznámych (alebo počet stĺpcov, čo je to isté) rovnaké;
- nedefinované - s nekonečným množstvom riešení. Poradie matíc v takýchto systémoch je menšie ako počet neznámych.
Nekompatibilné. U V takýchto systémoch sa poradie hlavnej a rozšírenej matice nezhoduje. Nekompatibilné systémy nemajú riešenie.

Gaussova metóda je dobrá, pretože pri riešení umožňuje získať buď jednoznačný dôkaz nekonzistentnosti sústavy (bez výpočtu determinantov veľkých matíc), alebo riešenie vo všeobecnej forme pre sústavu s nekonečným počtom riešení.

Elementárne transformácie

Predtým, ako pristúpite priamo k riešeniu systému, môžete ho urobiť menej ťažkopádnym a pohodlnejším pre výpočty. Dosahuje sa to elementárnymi transformáciami – takými, že ich implementácia nijako nemení konečnú odpoveď. Treba poznamenať, že niektoré z uvedených elementárnych transformácií sú platné len pre matice, ktorých zdrojom bol SLAE. Tu je zoznam týchto transformácií:

Preskupenie liniek. Je zrejmé, že ak zmeníte poradie rovníc v systémovom zázname, riešenie to nijako neovplyvní. Riadky v matici tohto systému je teda možné aj prehadzovať, samozrejme, netreba zabúdať ani na stĺpec voľných výrazov.
Násobenie všetkých prvkov reťazca určitým koeficientom. Veľmi nápomocný! Môže sa použiť na zmenšenie veľkých čísel v matici alebo odstránenie núl. Mnohé rozhodnutia sa ako obvykle nezmenia, ale ďalšie operácie budú pohodlnejšie. Hlavná vec je, že koeficient sa nerovná nule.
Odstránenie riadkov s proporcionálnymi faktormi. To čiastočne vyplýva z predchádzajúceho odseku. Ak majú dva alebo viac riadkov v matici proporcionálne koeficienty, potom keď sa jeden z riadkov vynásobí/vydelí koeficientom proporcionality, získajú sa dva (alebo opäť viac) absolútne identické riadky a ďalšie riadky sa dajú odstrániť, čím zostane len jeden.
Odstránenie nulového riadku. Ak sa pri transformácii niekde získa riadok, v ktorom sú všetky prvky vrátane voľného člena nulové, potom sa takýto riadok môže nazvať nula a vyhodiť z matice.
Pridanie prvkov v jednom riadku prvkov druhého (v zodpovedajúcich stĺpcoch), vynásobených určitým koeficientom. Najnezrejmejšia a najdôležitejšia premena zo všetkých. Stojí za to venovať sa tomu podrobnejšie.

Pridanie reťazca vynásobeného faktorom

Pre ľahšie pochopenie stojí za to rozobrať tento proces krok za krokom. Z matice sú prevzaté dva riadky:

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a 21 a 22 ... a 2n | b 2

Povedzme, že musíte pridať prvý k druhému, vynásobený koeficientom "-2".

a" 21 = a 21 + -2xa 11

a" 22 = a 22 + -2 x a 12

a" 2n = a 2n + -2xa 1n

Potom sa druhý riadok v matici nahradí novým a prvý zostane nezmenený.

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a" 21 a" 22 ... a" 2n | b 2

Treba poznamenať, že koeficient násobenia možno zvoliť tak, že v dôsledku pridania dvoch riadkov sa jeden z prvkov nového riadku rovná nule. Preto je možné získať rovnicu v systéme, kde bude o jednu neznámu menej. A ak dostanete dve takéto rovnice, potom je možné operáciu vykonať znova a získať rovnicu, ktorá bude obsahovať o dve neznáme menej. A ak zakaždým otočíte jeden koeficient zo všetkých riadkov, ktoré sú pod pôvodným, na nulu, potom môžete, ako po schodoch, zísť na úplný spodok matice a získať rovnicu s jednou neznámou. Toto sa nazýva riešenie systému pomocou Gaussovej metódy.

Všeobecne

Nech existuje systém. Má m rovníc a n neznámych koreňov. Môžete to napísať nasledovne:

Hlavná matica je zostavená zo systémových koeficientov. Stĺpec voľných výrazov sa pridá do rozšírenej matice a pre pohodlie je oddelený čiarou.

prvý riadok matice sa vynásobí koeficientom k = (-a 21 /a 11);
pridá sa prvý upravený riadok a druhý riadok matice;
namiesto druhého riadku sa do matice vloží výsledok doplnenia z predchádzajúceho odseku;
teraz je prvý koeficient v novom druhom riadku a 11 × (-a 21 /a 11) + a 21 = -a 21 + a 21 = 0.

Teraz sa vykoná rovnaká séria transformácií, je zahrnutý iba prvý a tretí riadok. V súlade s tým je v každom kroku algoritmu prvok a 21 nahradený prvkom 31. Potom sa všetko opakuje pre 41, ... a m1. Výsledkom je matica, kde prvý prvok v riadkoch je nula. Teraz musíte zabudnúť na riadok číslo jedna a vykonať rovnaký algoritmus, počnúc riadkom dva:

koeficient k = (-a 32 /a 22);
druhý upravený riadok sa pridá k „aktuálnemu“ riadku;
výsledok sčítania sa dosadí do tretieho, štvrtého atď. riadku, pričom prvý a druhý zostanú nezmenené;
v riadkoch matice sú prvé dva prvky už rovné nule.

Algoritmus sa musí opakovať, kým sa neobjaví koeficient k = (-a m,m-1 /a mm). To znamená, že poslednýkrát bol algoritmus vykonaný iba pre nižšiu rovnicu. Teraz matica vyzerá ako trojuholník alebo má stupňovitý tvar. V spodnom riadku je rovnosť a mn × x n = b m. Koeficient a voľný člen sú známe a pomocou nich sa vyjadruje koreň: x n = b m /a mn. Výsledný koreň sa dosadí do horného riadku, aby sa zistilo x n-1 = (b m-1 - a m-1,n ×(b m /a mn))÷a m-1,n-1. A tak ďalej analogicky: v každom ďalšom riadku je nový koreň a po dosiahnutí „vrcholu“ systému môžete nájsť veľa riešení. Bude to jediné.

Keď neexistujú riešenia

Ak sa v jednom z riadkov matice všetky prvky okrem voľného člena rovnajú nule, potom rovnica zodpovedajúca tomuto riadku vyzerá ako 0 = b. Nemá to riešenie. A keďže takáto rovnica je v systéme zahrnutá, potom je množina riešení celého systému prázdna, teda degenerovaná.

Keď existuje nekonečné množstvo riešení

Môže sa stať, že v danej trojuholníkovej matici nie sú riadky s jedným koeficientovým prvkom rovnice a jedným voľným členom. Existujú iba riadky, ktoré by po prepísaní vyzerali ako rovnica s dvoma alebo viacerými premennými. To znamená, že systém má nekonečné množstvo riešení. V tomto prípade môže byť odpoveď daná vo forme všeobecného riešenia. Ako to spraviť?

Všetky premenné v matici sú rozdelené na základné a voľné. Základné sú tie, ktoré stoja „na okraji“ riadkov v matici krokov. Ostatné sú zadarmo. Vo všeobecnom riešení sa základné premenné zapisujú cez voľné.

Pre pohodlie je matica najprv prepísaná späť do systému rovníc. Potom v poslednej z nich, kde presne ostala len jedna základná premenná, zostane na jednej strane a všetko ostatné sa prenesie na druhú. Toto sa robí pre každú rovnicu s jednou základnou premennou. Potom v zostávajúcich rovniciach, kde je to možné, sa namiesto základnej premennej dosadí pre ňu získaný výraz. Ak je výsledkom opäť výraz obsahujúci iba jednu základnú premennú, je opäť vyjadrený odtiaľ atď., kým sa každá základná premenná nezapíše ako výraz s voľnými premennými. Toto je všeobecné riešenie SLAE.

Môžete tiež nájsť základné riešenie systému - zadajte voľným premenným ľubovoľné hodnoty a potom pre tento konkrétny prípad vypočítajte hodnoty základných premenných. Existuje nekonečné množstvo konkrétnych riešení, ktoré možno poskytnúť.

Riešenie s konkrétnymi príkladmi

Tu je systém rovníc.

Pre pohodlie je lepšie okamžite vytvoriť maticu

Je známe, že pri riešení Gaussovou metódou zostane rovnica zodpovedajúca prvému riadku na konci transformácií nezmenená. Preto bude výhodnejšie, ak bude ľavý horný prvok matice najmenší - potom sa prvé prvky zostávajúcich riadkov po operáciách zmenia na nulu. To znamená, že v zostavenej matici bude výhodné umiestniť druhý riadok na miesto prvého.

druhý riadok: k = (-a21/a11) = (-3/1) = -3

a" 21 = a 21 + k×a 11 = 3 + (-3)×1 = 0

a" 22 = a 22 + k×a 12 = -1 + (-3)×2 = -7

a" 23 = a 23 + k×a 13 = 1 + (-3)×4 = -11

b" 2 = b 2 + k × b 1 = 12 + (-3) × 12 = -24

tretí riadok: k = (-a 3 1 /a 11) = (-5/1) = -5

a" 3 1 = a 3 1 + k×a 11 = 5 + (-5)×1 = 0

a" 3 2 = a 3 2 + k×a 12 = 1 + (-5)×2 = -9

a" 3 3 = a 33 + k×a 13 = 2 + (-5)×4 = -18

b" 3 = b 3 + k × b 1 = 3 + (-5) × 12 = -57

Teraz, aby ste sa nenechali zmiasť, musíte napísať maticu s medzivýsledkami transformácií.

Je zrejmé, že takáto matica môže byť pohodlnejšia na vnímanie pomocou určitých operácií. Môžete napríklad odstrániť všetky „mínusy“ z druhého riadku vynásobením každého prvku „-1“.

Za zmienku tiež stojí, že v treťom riadku sú všetky prvky násobkami troch. Potom môžete reťazec skrátiť o toto číslo vynásobením každého prvku "-1/3" (mínus - súčasne, aby sa odstránili záporné hodnoty).

Vyzerá oveľa krajšie. Teraz musíme nechať prvý riadok na pokoji a pracovať s druhým a tretím. Úlohou je pridať druhý riadok k tretiemu riadku, vynásobený takým koeficientom, aby sa prvok a 32 rovnal nule.

k = (-a 32 /a 22) = (-3/7) = -3/7 (ak sa pri niektorých transformáciách odpoveď neukáže ako celé číslo, odporúča sa zachovať presnosť výpočtov ponechať je „tak ako je“, vo forme obyčajných zlomkov a až potom, keď dostanete odpovede, sa rozhodnite, či sa má zaokrúhliť a previesť na inú formu záznamu)

a" 32 = a 32 + k×a 22 = 3 + (-3/7) × 7 = 3 + (-3) = 0

a" 33 = a 33 + k×a 23 = 6 + (-3/7)×11 = -9/7

b" 3 = b 3 + k × b 2 = 19 + (-3/7) × 24 = -61/7

Matica sa znova zapíše s novými hodnotami.

1	2	4	12
0	7	11	24
0	0	-9/7	-61/7

Ako vidíte, výsledná matica už má stupňovitý tvar. Preto nie sú potrebné ďalšie transformácie systému pomocou Gaussovej metódy. Tu môžete odstrániť celkový koeficient "-1/7" z tretieho riadku.

Teraz je všetko krásne. Zostáva len napísať maticu znova vo forme systému rovníc a vypočítať korene

x + 2y + 4z = 12 (1)

7r + 11z = 24 (2)

Algoritmus, ktorým sa teraz budú hľadať korene, sa v Gaussovej metóde nazýva spätný pohyb. Rovnica (3) obsahuje hodnotu z:

y = (24 - 11 x (61/9))/7 = -65/9

A prvá rovnica nám umožňuje nájsť x:

x = (12 - 4z - 2y)/1 = 12 - 4×(61/9) - 2×(-65/9) = -6/9 = -2/3

Máme právo nazývať takýto systém spoločným, a dokonca určitým, to znamená, že má jedinečné riešenie. Odpoveď je napísaná v nasledujúcom tvare:

x1 = -2/3, y = -65/9, z = 61/9.

Príklad neistého systému

Variant riešenia určitej sústavy Gaussovou metódou bol analyzovaný, teraz je potrebné zvážiť prípad, ak je sústava neistá, teda možno pre ňu nájsť nekonečne veľa riešení.

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 (1)

3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 = -2 (2)

x 2 + 2 x 3 + 2 x 4 + 6 x 5 = 23 (3)

5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 - x 5 = 12 (4)

Už samotný vzhľad systému je alarmujúci, pretože počet neznámych je n = 5 a poradie matice systému je už presne menšie ako toto číslo, pretože počet riadkov je m = 4, tj. najväčšie poradie determinant-štvorca je 4. To znamená, že existuje nekonečné množstvo riešení a musíte hľadať jeho všeobecný vzhľad. Umožňuje vám to Gaussova metóda pre lineárne rovnice.

Najprv sa ako obvykle zostaví rozšírená matica.

Druhý riadok: koeficient k = (-a 21 /a 11) = -3. V treťom riadku je prvý prvok pred transformáciami, takže sa nemusíte ničoho dotýkať, musíte to nechať tak, ako je. Štvrtý riadok: k = (-a 4 1 /a 11) = -5

Postupným vynásobením prvkov prvého riadku každým z ich koeficientov a ich pridaním do požadovaných riadkov získame maticu nasledujúceho tvaru:

Ako vidíte, druhý, tretí a štvrtý riadok pozostávajú z prvkov, ktoré sú navzájom proporcionálne. Druhý a štvrtý sú vo všeobecnosti identické, takže jeden z nich je možné okamžite odstrániť a zvyšný vynásobiť koeficientom „-1“ a získať riadok číslo 3. A opäť z dvoch rovnakých riadkov ponechajte jeden.

Výsledkom je takáto matica. Zatiaľ čo systém ešte nie je zapísaný, je tu potrebné určiť základné premenné - tie, ktoré stoja pri koeficientoch a 11 = 1 a a 22 = 1, a voľné - všetky ostatné.

V druhej rovnici je len jedna základná premenná - x 2. To znamená, že sa odtiaľ dá vyjadriť zápisom cez premenné x 3 , x 4 , x 5 , ktoré sú voľné.

Výsledný výraz dosadíme do prvej rovnice.

Výsledkom je rovnica, v ktorej je jedinou základnou premennou x 1 . Urobme s tým to isté ako s x 2.

Všetky základné premenné, z ktorých sú dve, sú vyjadrené tromi voľnými, teraz môžeme odpoveď napísať vo všeobecnej forme.

Môžete tiež zadať jedno z konkrétnych riešení systému. V takýchto prípadoch sa ako hodnoty pre voľné premenné zvyčajne vyberajú nuly. Potom bude odpoveď:

16, 23, 0, 0, 0.

Príklad nespolupracujúceho systému

Riešenie nekompatibilných sústav rovníc pomocou Gaussovej metódy je najrýchlejšie. Okamžite končí, akonáhle sa v niektorej z fáz získa rovnica, ktorá nemá riešenie. To znamená, že fáza výpočtu koreňov, ktorá je dosť dlhá a únavná, odpadá. Do úvahy prichádza nasledujúci systém:

x + y - z = 0 (1)

2x - y - z = -2 (2)

4x + y - 3z = 5 (3)

Ako obvykle je matica zostavená:

1	1	-1	0
2	-1	-1	-2
4	1	-3	5

A je zredukovaný na stupňovitú formu:

k1 = -2k2 = -4

1	1	-1	0
0	-3	1	-2
0	0	0	7

Po prvej transformácii obsahuje tretí riadok rovnicu tvaru

bez riešenia. V dôsledku toho je systém nekonzistentný a odpoveďou bude prázdna množina.

Výhody a nevýhody metódy

Ak si vyberiete metódu riešenia SLAE na papieri perom, metóda, o ktorej sa hovorí v tomto článku, vyzerá najatraktívnejšie. Je oveľa ťažšie zmiasť sa v elementárnych transformáciách, ako keď musíte manuálne hľadať determinant alebo nejakú záludnú inverznú maticu. Ak však používate programy na prácu s údajmi tohto typu, napríklad tabuľky, potom sa ukazuje, že takéto programy už obsahujú algoritmy na výpočet hlavných parametrov matíc - determinant, vedľajšie, inverzné atď. A ak ste si istí, že stroj tieto hodnoty vypočíta sám a nebude robiť chyby, je vhodnejšie použiť maticovú metódu alebo Cramerove vzorce, pretože ich aplikácia začína a končí výpočtom determinantov a inverzných matíc. .

Aplikácia

Keďže Gaussovo riešenie je algoritmus a matica je v skutočnosti dvojrozmerné pole, možno ho použiť pri programovaní. Ale keďže sa článok stavia ako návod „pre figuríny“, malo by sa povedať, že najjednoduchšie miesto na vloženie metódy sú tabuľky, napríklad Excel. Opäť platí, že každý SLAE zadaný do tabuľky vo forme matice bude Excel považovať za dvojrozmerné pole. A na operácie s nimi existuje veľa pekných príkazov: sčítanie (môžete sčítať iba matice rovnakej veľkosti!), násobenie číslom, násobenie matíc (aj s určitými obmedzeniami), hľadanie inverzných a transponovaných matíc a hlavne , výpočet determinantu. Ak je táto časovo náročná úloha nahradená jediným príkazom, je možné určiť hodnosť matice oveľa rýchlejšie, a teda určiť jej kompatibilitu alebo nekompatibilitu.

Čo znamená riešiť pomocou Gaussovej metódy?

Najprv musíme napísať náš systém rovníc do Vyzerá to takto. Vezmite systém:

Matrice, ich vlastnosti

V matrici nie je skrytý význam. Je to jednoducho pohodlný spôsob zaznamenávania údajov pre následné operácie s ním. Nemusia sa ich báť ani školáci.

B nie je hlavným bodom rozhodnutia. V zásade možno všetky operácie vykonávať priamo so samotnými rovnicami, no zápis bude oveľa ťažkopádnejší a bude sa v ňom oveľa ľahšie zmiasť.

Determinant

Klasifikácia systému

Na základe situácie s hodnosťou možno SLAE rozdeliť na:

Spoločný. U V spoločných systémoch sa hodnosť hlavnej matice (pozostávajúcej len z koeficientov) zhoduje s hodnosťou rozšírenej matice (so stĺpcom voľných členov). Takéto systémy majú riešenie, ale nie nevyhnutne jedno, preto sa navyše kĺbové systémy delia na:
- istý- majúci jediné riešenie. V určitých systémoch sú poradie matice a počet neznámych (alebo počet stĺpcov, čo je to isté) rovnaké;
- nedefinované - s nekonečným množstvom riešení. Poradie matíc v takýchto systémoch je menšie ako počet neznámych.
Nekompatibilné. U V takýchto systémoch sa poradie hlavnej a rozšírenej matice nezhoduje. Nekompatibilné systémy nemajú riešenie.

Elementárne transformácie

Preskupenie liniek. Je zrejmé, že ak zmeníte poradie rovníc v systémovom zázname, riešenie to nijako neovplyvní. Riadky v matici tohto systému je teda možné aj prehadzovať, samozrejme, netreba zabúdať ani na stĺpec voľných výrazov.
Násobenie všetkých prvkov reťazca určitým koeficientom. Veľmi nápomocný! Môže sa použiť na zmenšenie veľkých čísel v matici alebo odstránenie núl. Mnohé rozhodnutia sa ako obvykle nezmenia, ale ďalšie operácie budú pohodlnejšie. Hlavná vec je, že koeficient sa nerovná nule.
Odstránenie riadkov s proporcionálnymi faktormi. To čiastočne vyplýva z predchádzajúceho odseku. Ak majú dva alebo viac riadkov v matici proporcionálne koeficienty, potom keď sa jeden z riadkov vynásobí/vydelí koeficientom proporcionality, získajú sa dva (alebo opäť viac) absolútne identické riadky a ďalšie riadky sa dajú odstrániť, čím zostane len jeden.
Odstránenie nulového riadku. Ak sa pri transformácii niekde získa riadok, v ktorom sú všetky prvky vrátane voľného člena nulové, potom sa takýto riadok môže nazvať nula a vyhodiť z matice.
Pridanie prvkov v jednom riadku prvkov druhého (v zodpovedajúcich stĺpcoch), vynásobených určitým koeficientom. Najnezrejmejšia a najdôležitejšia premena zo všetkých. Stojí za to venovať sa tomu podrobnejšie.

Pridanie reťazca vynásobeného faktorom

Pre ľahšie pochopenie stojí za to rozobrať tento proces krok za krokom. Z matice sú prevzaté dva riadky:

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a 21 a 22 ... a 2n | b 2

Povedzme, že musíte pridať prvý k druhému, vynásobený koeficientom "-2".

a" 21 = a 21 + -2xa 11

a" 22 = a 22 + -2 x a 12

a" 2n = a 2n + -2xa 1n

Potom sa druhý riadok v matici nahradí novým a prvý zostane nezmenený.

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a" 21 a" 22 ... a" 2n | b 2

Všeobecne

Nech existuje systém. Má m rovníc a n neznámych koreňov. Môžete to napísať nasledovne:

Hlavná matica je zostavená zo systémových koeficientov. Stĺpec voľných výrazov sa pridá do rozšírenej matice a pre pohodlie je oddelený čiarou.

prvý riadok matice sa vynásobí koeficientom k = (-a 21 /a 11);
pridá sa prvý upravený riadok a druhý riadok matice;
namiesto druhého riadku sa do matice vloží výsledok doplnenia z predchádzajúceho odseku;
teraz je prvý koeficient v novom druhom riadku a 11 × (-a 21 /a 11) + a 21 = -a 21 + a 21 = 0.

koeficient k = (-a 32 /a 22);
druhý upravený riadok sa pridá k „aktuálnemu“ riadku;
výsledok sčítania sa dosadí do tretieho, štvrtého atď. riadku, pričom prvý a druhý zostanú nezmenené;
v riadkoch matice sú prvé dva prvky už rovné nule.

Keď neexistujú riešenia

Keď existuje nekonečné množstvo riešení

Riešenie s konkrétnymi príkladmi

Tu je systém rovníc.

Pre pohodlie je lepšie okamžite vytvoriť maticu

druhý riadok: k = (-a21/a11) = (-3/1) = -3

a" 21 = a 21 + k×a 11 = 3 + (-3)×1 = 0

a" 22 = a 22 + k×a 12 = -1 + (-3)×2 = -7

a" 23 = a 23 + k×a 13 = 1 + (-3)×4 = -11

b" 2 = b 2 + k × b 1 = 12 + (-3) × 12 = -24

tretí riadok: k = (-a 3 1 /a 11) = (-5/1) = -5

a" 3 1 = a 3 1 + k×a 11 = 5 + (-5)×1 = 0

a" 3 2 = a 3 2 + k×a 12 = 1 + (-5)×2 = -9

a" 3 3 = a 33 + k×a 13 = 2 + (-5)×4 = -18

b" 3 = b 3 + k × b 1 = 3 + (-5) × 12 = -57

Teraz, aby ste sa nenechali zmiasť, musíte napísať maticu s medzivýsledkami transformácií.

a" 32 = a 32 + k×a 22 = 3 + (-3/7) × 7 = 3 + (-3) = 0

a" 33 = a 33 + k×a 23 = 6 + (-3/7)×11 = -9/7

b" 3 = b 3 + k × b 2 = 19 + (-3/7) × 24 = -61/7

Matica sa znova zapíše s novými hodnotami.

1	2	4	12
0	7	11	24
0	0	-9/7	-61/7

Teraz je všetko krásne. Zostáva len napísať maticu znova vo forme systému rovníc a vypočítať korene

x + 2y + 4z = 12 (1)

7r + 11z = 24 (2)

Algoritmus, ktorým sa teraz budú hľadať korene, sa v Gaussovej metóde nazýva spätný pohyb. Rovnica (3) obsahuje hodnotu z:

y = (24 - 11 x (61/9))/7 = -65/9

A prvá rovnica nám umožňuje nájsť x:

x = (12 - 4z - 2y)/1 = 12 - 4×(61/9) - 2×(-65/9) = -6/9 = -2/3

Máme právo nazývať takýto systém spoločným, a dokonca určitým, to znamená, že má jedinečné riešenie. Odpoveď je napísaná v nasledujúcom tvare:

x1 = -2/3, y = -65/9, z = 61/9.

Príklad neistého systému

Variant riešenia určitej sústavy Gaussovou metódou bol analyzovaný, teraz je potrebné zvážiť prípad, ak je sústava neistá, teda možno pre ňu nájsť nekonečne veľa riešení.

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 (1)

3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 = -2 (2)

x 2 + 2 x 3 + 2 x 4 + 6 x 5 = 23 (3)

5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 - x 5 = 12 (4)

Najprv sa ako obvykle zostaví rozšírená matica.

Postupným vynásobením prvkov prvého riadku každým z ich koeficientov a ich pridaním do požadovaných riadkov získame maticu nasledujúceho tvaru:

V druhej rovnici je len jedna základná premenná - x 2. To znamená, že sa odtiaľ dá vyjadriť zápisom cez premenné x 3 , x 4 , x 5 , ktoré sú voľné.

Výsledný výraz dosadíme do prvej rovnice.

Výsledkom je rovnica, v ktorej je jedinou základnou premennou x 1 . Urobme s tým to isté ako s x 2.

Všetky základné premenné, z ktorých sú dve, sú vyjadrené tromi voľnými, teraz môžeme odpoveď napísať vo všeobecnej forme.

Môžete tiež zadať jedno z konkrétnych riešení systému. V takýchto prípadoch sa ako hodnoty pre voľné premenné zvyčajne vyberajú nuly. Potom bude odpoveď:

16, 23, 0, 0, 0.

Príklad nespolupracujúceho systému

x + y - z = 0 (1)

2x - y - z = -2 (2)

4x + y - 3z = 5 (3)

Ako obvykle je matica zostavená:

1	1	-1	0
2	-1	-1	-2
4	1	-3	5

A je zredukovaný na stupňovitú formu:

k1 = -2k2 = -4

1	1	-1	0
0	-3	1	-2
0	0	0	7

Po prvej transformácii obsahuje tretí riadok rovnicu tvaru

bez riešenia. V dôsledku toho je systém nekonzistentný a odpoveďou bude prázdna množina.

Výhody a nevýhody metódy

Aplikácia

Dnes sa pozrieme na Gaussovu metódu riešenia sústav lineárnych algebraických rovníc. O tom, aké sú tieto systémy, si môžete prečítať v predchádzajúcom článku venovanom riešeniu rovnakých SLAE pomocou Cramerovej metódy. Gaussova metóda nevyžaduje žiadne špecifické znalosti, potrebujete len pozornosť a dôslednosť. Napriek tomu, že z matematického hľadiska je na jej aplikáciu postačujúca školská príprava, študenti túto metódu často zvládajú len ťažko. V tomto článku sa ich pokúsime zredukovať na nič!

Gaussova metóda

M Gaussova metóda– najuniverzálnejšia metóda riešenia SLAE (s výnimkou veľmi veľkých systémov). Na rozdiel od toho, čo bolo diskutované vyššie, je vhodný nielen pre systémy, ktoré majú jediné riešenie, ale aj pre systémy, ktoré majú nekonečný počet riešení. Tu sú tri možné možnosti.

Systém má jedinečné riešenie (determinant hlavnej matice systému sa nerovná nule);
Systém má nekonečné množstvo riešení;
Neexistujú žiadne riešenia, systém je nekompatibilný.

Máme teda systém (nech má jedno riešenie) a ideme ho riešiť pomocou Gaussovej metódy. Ako to funguje?

Gaussova metóda pozostáva z dvoch etáp – doprednej a inverznej.

Priamy ťah Gaussovej metódy

Najprv si zapíšme rozšírenú maticu systému. Ak to chcete urobiť, pridajte stĺpec voľných členov do hlavnej matice.

Celá podstata Gaussovej metódy je priviesť túto maticu do stupňovitého (alebo, ako sa tiež hovorí, trojuholníkového) tvaru pomocou elementárnych transformácií. V tejto forme by pod (alebo nad) hlavnou uhlopriečkou matice mali byť iba nuly.

Čo môžeš urobiť:

Môžete zmeniť usporiadanie riadkov matice;
Ak sú v matici rovnaké (alebo proporcionálne) riadky, môžete odstrániť všetky okrem jedného;
Reťazec môžete násobiť alebo deliť ľubovoľným číslom (okrem nuly);
Nulové riadky sú odstránené;
K reťazcu môžete pripojiť reťazec vynásobený číslom iným ako nula.

Reverzná Gaussova metóda

Potom, čo takto transformujeme systém, jedna neznáma Xn sa stane známym a všetky zostávajúce neznáme môžete nájsť v opačnom poradí, dosadením už známych x do rovníc systému až po prvé.

Keď je internet vždy po ruke, môžete vyriešiť sústavu rovníc pomocou Gaussovej metódy online. Koeficienty stačí zadať do online kalkulačky. Ale musíte uznať, že je oveľa príjemnejšie uvedomiť si, že príklad nevyriešil počítačový program, ale váš vlastný mozog.

Príklad riešenia sústavy rovníc pomocou Gaussovej metódy

A teraz - príklad, aby bolo všetko jasné a zrozumiteľné. Nech je daný systém lineárnych rovníc a musíte ho vyriešiť pomocou Gaussovej metódy:

Najprv napíšeme rozšírenú maticu:

Teraz urobme premeny. Pamätáme si, že potrebujeme dosiahnuť trojuholníkový vzhľad matrice. Vynásobme 1. riadok (3). Vynásobte 2. riadok (-1). Pridajte 2. riadok k 1. a získajte:

Potom vynásobte 3. riadok (-1). Pridajme 3. riadok k 2.:

Vynásobme 1. riadok (6). Vynásobme 2. riadok (13). Pridajme 2. riadok k 1.:

Voila - systém je uvedený do vhodnej formy. Zostáva nájsť neznáme:

Systém v tomto príklade má jedinečné riešenie. Riešením systémov s nekonečným počtom riešení sa budeme venovať v samostatnom článku. Možno najskôr nebudete vedieť, kde začať s transformáciou matrice, ale po vhodnom precvičení to pochopíte a SLAE rozlúsknete Gaussovou metódou ako orechy. A ak zrazu narazíte na SLA, ktorá sa ukáže ako príliš tvrdý oriešok, kontaktujte našich autorov! môžete zanechať žiadosť v korešpondenčnom úrade. Spolu vyriešime akýkoľvek problém!

1. Systém lineárnych algebraických rovníc

1.1 Pojem sústavy lineárnych algebraických rovníc

Systém rovníc je stav pozostávajúci zo súčasného vykonávania niekoľkých rovníc vzhľadom na niekoľko premenných. Systém lineárnych algebraických rovníc (ďalej len SLAE) obsahujúci m rovníc a n neznámych sa nazýva systém v tvare:

kde čísla a ij sa nazývajú systémové koeficienty, čísla b i sa nazývajú voľné členy, a ij A b i(i=1,..., m; b=1,..., n) predstavujú niektoré známe čísla a x 1,…, x n– neznámy. V označení koeficientov a ij prvý index i označuje číslo rovnice a druhý j je číslo neznámej, pri ktorej tento koeficient stojí. Treba nájsť čísla x n. Je vhodné napísať takýto systém vo forme kompaktnej matice: AX=B. Tu je A matica systémových koeficientov, nazývaná hlavná matica;

– stĺpcový vektor neznámych xj.
je stĺpcový vektor voľných členov bi.

Súčin matíc A*X je definovaný, keďže v matici A je toľko stĺpcov, koľko je riadkov v matici X (n kusov).

Rozšírenou maticou systému je matica A systému doplnená o stĺpec voľných členov

1.2 Riešenie sústavy lineárnych algebraických rovníc

Riešením systému rovníc je usporiadaná množina čísel (hodnoty premenných), pri ich nahradení namiesto premenných sa každá z rovníc systému zmení na skutočnú rovnosť.

Riešením systému je n hodnôt neznámych x1=c1, x2=c2,…, xn=cn, po ktorých nahradení sa všetky rovnice systému stanú skutočnými rovnosťami. Akékoľvek riešenie systému možno zapísať ako stĺpcovú maticu

Systém rovníc sa nazýva konzistentný, ak má aspoň jedno riešenie, a nekonzistentný, ak nemá žiadne riešenie.

Konzistentný systém sa považuje za určitý, ak má jedno riešenie, a za neurčitý, ak má viac riešení. V druhom prípade sa každé z jeho riešení nazýva konkrétne riešenie systému. Množina všetkých partikulárnych riešení sa nazýva všeobecné riešenie.

Riešiť systém znamená zistiť, či je kompatibilný alebo nekonzistentný. Ak je systém konzistentný, nájdite jeho všeobecné riešenie.

Dva systémy sa nazývajú ekvivalentné (ekvivalentné), ak majú rovnaké všeobecné riešenie. Inými slovami, systémy sú ekvivalentné, ak každé riešenie jedného z nich je riešením druhého a naopak.

Transformácia, ktorej aplikáciou sa systém zmení na nový systém ekvivalentný pôvodnému, sa nazýva ekvivalentná alebo ekvivalentná transformácia. Príklady ekvivalentných transformácií zahŕňajú nasledujúce transformácie: zámena dvoch rovníc systému, zámena dvoch neznámych spolu s koeficientmi všetkých rovníc, násobenie oboch strán akejkoľvek rovnice systému nenulovým číslom.

Systém lineárnych rovníc sa nazýva homogénny, ak sa všetky voľné členy rovnajú nule:

Homogénny systém je vždy konzistentný, pretože x1=x2=x3=…=xn=0 je riešením systému. Toto riešenie sa nazýva nulové alebo triviálne.

2. Gaussova eliminačná metóda

2.1 Podstata Gaussovej eliminačnej metódy

Klasickou metódou riešenia sústav lineárnych algebraických rovníc je metóda postupnej eliminácie neznámych - Gaussova metóda(nazýva sa aj Gaussova eliminačná metóda). Ide o metódu sekvenčnej eliminácie premenných, kedy sa pomocou elementárnych transformácií redukuje sústava rovníc na ekvivalentnú sústavu stupňovitého (alebo trojuholníkového) tvaru, z ktorej sa postupne zisťujú všetky ostatné premenné, počnúc poslednou (podľa počet) premenné.

Proces riešenia pomocou Gaussovej metódy pozostáva z dvoch fáz: pohybu vpred a vzad.

1. Priamy zdvih.

V prvej fáze sa vykonáva takzvaný priamy ťah, keď sa elementárnymi transformáciami nad radmi systém dostane do stupňovitého alebo trojuholníkového tvaru, alebo sa zistí, že systém je nekompatibilný. Totiž, spomedzi prvkov prvého stĺpca matice vyberte nenulový jeden, presuňte ho na najvyššiu pozíciu preusporiadaním riadkov a po preusporiadaní odčítajte výsledný prvý riadok od zostávajúcich riadkov a vynásobte ho hodnotou. rovná pomeru prvého prvku každého z týchto riadkov k prvému prvku prvého riadku, čím sa vynuluje stĺpec pod ním.

Po dokončení týchto transformácií sa prvý riadok a prvý stĺpec v duchu prečiarknu a pokračuje sa, kým nezostane matica nulovej veľkosti. Ak v ktorejkoľvek iterácii nie je medzi prvkami prvého stĺpca žiadny nenulový prvok, prejdite na ďalší stĺpec a vykonajte podobnú operáciu.

V prvej fáze (priamy zdvih) je systém redukovaný na stupňovitý (najmä trojuholníkový) tvar.

Nižšie uvedený systém má stupňovitú formu:

Koeficienty aii sa nazývajú hlavné (vedúce) prvky systému.

(ak a11=0, preusporiadajte riadky matice tak, aby a 11 nebolo rovné 0. To je vždy možné, pretože inak matica obsahuje nulový stĺpec, jej determinant je rovný nule a systém je nekonzistentný).

Transformujme systém odstránením neznámej x1 vo všetkých rovniciach okrem prvej (pomocou elementárnych transformácií systému). Ak to chcete urobiť, vynásobte obe strany prvej rovnice

a pridajte člen po člene s druhou rovnicou systému (alebo od druhej rovnice odpočítajte člen po člene od prvého, vynásobte ). Potom obe strany prvej rovnice vynásobíme a pridáme do tretej rovnice sústavy (alebo od tretej odpočítame prvú vynásobenú ). Prvý riadok teda postupne vynásobíme číslom a pripočítame i riadok, pre i= 2, 3, …,n.

Pokračovaním v tomto procese získame ekvivalentný systém:

– nové hodnoty koeficientov pre neznáme a voľné členy v posledných m-1 rovniciach sústavy, ktoré sú určené vzorcami:

Takže v prvom kroku sú zničené všetky koeficienty ležiace pod prvým vodiacim prvkom a11

0, v druhom kroku sú zničené prvky ležiace pod druhým vodiacim prvkom a 22 (1) (ak je a 22 (1) 0) atď. Pokračujúc v tomto procese ďalej, nakoniec v kroku (m-1) zredukujeme pôvodný systém na trojuholníkový systém.

Ak sa v procese redukcie systému na stupňovitý tvar objavia nulové rovnice, t.j. rovnosti tvaru 0=0, sú vyradené. Ak sa objaví rovnica tvaru

potom to naznačuje nekompatibilitu systému.

Tu sa priamy postup Gaussovej metódy končí.

2. Reverzný zdvih.

V druhej fáze sa vykonáva takzvaný spätný ťah, ktorého podstatou je vyjadrenie všetkých výsledných základných premenných v pojmoch nebázických a vybudovanie fundamentálneho systému riešení, alebo ak sú všetky premenné základné , potom vyjadrite číselne jediné riešenie sústavy lineárnych rovníc.

Tento postup začína poslednou rovnicou, z ktorej je vyjadrená príslušná základná premenná (je v nej len jedna) a dosadená do predchádzajúcich rovníc atď.

Každý riadok zodpovedá presne jednej základnej premennej, takže v každom kroku okrem posledného (najvrchnejšieho) sa situácia presne opakuje ako prípad posledného riadku.

Poznámka: v praxi je pohodlnejšie pracovať nie so systémom, ale s jeho rozšírenou maticou, pričom sa na jeho riadkoch vykonávajú všetky elementárne transformácie. Je vhodné, aby sa koeficient a11 rovnal 1 (preusporiadajte rovnice alebo vydeľte obe strany rovnice a11).

2.2 Príklady riešenia SLAE pomocou Gaussovej metódy

V tejto časti si na troch rôznych príkladoch ukážeme, ako môže Gaussova metóda vyriešiť SLAE.

Príklad 1. Vyriešte SLAE 3. rádu.

Vynulujme koeficienty na

v druhom a treťom riadku. Ak to chcete urobiť, vynásobte ich 2/3 a 1 a pridajte ich do prvého riadku:

Od začiatku 16. – 18. storočia sa matematici intenzívne začali zaoberať funkciami, vďaka ktorým sa v našich životoch toľko zmenilo. Počítačová technika by bez týchto znalostí jednoducho neexistovala. Na riešenie zložitých problémov, lineárnych rovníc a funkcií boli vytvorené rôzne koncepty, vety a techniky riešenia. Jednou z takýchto univerzálnych a racionálnych metód a techník na riešenie lineárnych rovníc a ich sústav bola Gaussova metóda. Matice, ich poradie, determinant - všetko sa dá vypočítať bez použitia zložitých operácií.

Čo je SLAU

V matematike existuje pojem SLAE – systém lineárnych algebraických rovníc. Aká je? Ide o súbor m rovníc s požadovanými n neznámymi veličinami, ktoré sa zvyčajne označujú ako x, y, z alebo x 1, x 2 ... x n alebo iné symboly. Riešenie daného systému pomocou Gaussovej metódy znamená nájsť všetky neznáme. Ak má systém rovnaký počet neznámych a rovníc, potom sa nazýva systém n-tého rádu.

Najpopulárnejšie metódy riešenia SLAE

Vo vzdelávacích inštitúciách stredného vzdelávania sa študujú rôzne metódy riešenia takýchto systémov. Najčastejšie ide o jednoduché rovnice pozostávajúce z dvoch neznámych, takže akákoľvek existujúca metóda na nájdenie odpovede na ne nezaberie veľa času. Môže to byť ako substitučná metóda, keď je z jednej rovnice odvodená iná a dosadená do pôvodnej. Alebo metóda odčítania a sčítania po členoch. Ale Gaussova metóda je považovaná za najjednoduchšiu a najuniverzálnejšiu. Umožňuje riešiť rovnice s ľubovoľným počtom neznámych. Prečo sa táto konkrétna technika považuje za racionálnu? Je to jednoduché. Dobrá vec na maticovej metóde je, že nevyžaduje niekoľkokrát prepisovanie nepotrebných symbolov ako neznámych, stačí vykonať aritmetické operácie s koeficientmi - a dostanete spoľahlivý výsledok.

Kde sa SLAE používajú v praxi?

Riešením SLAE sú priesečníky čiar na grafoch funkcií. V našej high-tech počítačovej dobe ľudia, ktorí sú úzko spätí s vývojom hier a iných programov, potrebujú vedieť, ako takéto systémy riešiť, čo predstavujú a ako kontrolovať správnosť výsledného výsledku. Programátori najčastejšie vyvíjajú špeciálne programy na kalkulačky lineárnej algebry, ktoré obsahujú aj systém lineárnych rovníc. Gaussova metóda umožňuje vypočítať všetky existujúce riešenia. Používajú sa aj iné zjednodušené vzorce a techniky.

Kritérium kompatibility SLAU

Takýto systém je možné vyriešiť len vtedy, ak je kompatibilný. Pre prehľadnosť uvádzame SLAE v tvare Ax=b. Má riešenie, ak sa rang(A) rovná rang(A,b). V tomto prípade (A,b) je matica rozšíreného tvaru, ktorú možno získať z matice A jej prepísaním voľnými členmi. Ukazuje sa, že riešenie lineárnych rovníc pomocou Gaussovej metódy je celkom jednoduché.

Možno niektoré symboly nie sú úplne jasné, preto je potrebné všetko zvážiť na príklade. Povedzme, že existuje systém: x+y=1; 2x-3y=6. Pozostáva len z dvoch rovníc, v ktorých sú 2 neznáme. Systém bude mať riešenie iba vtedy, ak sa hodnosť jeho matice rovná hodnosti rozšírenej matice. čo je hodnosť? Toto je počet nezávislých riadkov systému. V našom prípade je poradie matice 2. Matica A bude pozostávať z koeficientov umiestnených v blízkosti neznámych a koeficienty umiestnené za znakom „=“ tiež zapadajú do rozšírenej matice.

Prečo môžu byť SLAE zastúpené v maticovej forme?

Na základe kritéria kompatibility podľa osvedčenej Kronecker-Capelliho vety je možné systém lineárnych algebraických rovníc reprezentovať v maticovej forme. Pomocou metódy Gaussovej kaskády môžete vyriešiť maticu a získať jedinú spoľahlivú odpoveď pre celý systém. Ak sa hodnosť obyčajnej matice rovná hodnosti jej rozšírenej matice, ale je menšia ako počet neznámych, potom má systém nekonečný počet odpovedí.

Maticové transformácie

Predtým, ako pristúpite k riešeniu matíc, musíte vedieť, aké akcie je možné vykonať s ich prvkami. Existuje niekoľko základných transformácií:

Prepísaním systému do maticového tvaru a jeho riešením môžete vynásobiť všetky prvky radu rovnakým koeficientom.
Ak chcete transformovať maticu do kanonickej formy, môžete vymeniť dva paralelné riadky. Kanonická forma znamená, že všetky prvky matice, ktoré sa nachádzajú pozdĺž hlavnej uhlopriečky, sa stanú jednotkami a zvyšné sa stanú nulami.
Zodpovedajúce prvky rovnobežných radov matice môžu byť navzájom sčítané.

Jordan-Gaussova metóda

Podstatou riešenia sústav lineárnych homogénnych a nehomogénnych rovníc Gaussovou metódou je postupné odstraňovanie neznámych. Povedzme, že máme systém dvoch rovníc, v ktorých sú dve neznáme. Ak ich chcete nájsť, musíte skontrolovať kompatibilitu systému. Rovnica je riešená veľmi jednoducho Gaussovou metódou. Koeficienty nachádzajúce sa pri každej neznámej je potrebné zapísať v maticovom tvare. Na vyriešenie systému budete musieť vypísať rozšírenú maticu. Ak jedna z rovníc obsahuje menší počet neznámych, potom sa namiesto chýbajúceho prvku musí vložiť „0“. Na maticu sa aplikujú všetky známe transformačné metódy: násobenie, delenie číslom, sčítanie zodpovedajúcich prvkov radu k sebe a iné. Ukazuje sa, že v každom riadku je potrebné ponechať jednu premennú s hodnotou „1“, zvyšok by sa mal znížiť na nulu. Pre presnejšie pochopenie je potrebné zvážiť Gaussovu metódu s príkladmi.

Jednoduchý príklad riešenia systému 2x2

Na začiatok si zoberme jednoduchú sústavu algebraických rovníc, v ktorej budú 2 neznáme.

Prepíšme to do rozšírenej matice.

Na vyriešenie tohto systému lineárnych rovníc sú potrebné iba dve operácie. Potrebujeme priviesť maticu do kanonickej formy, aby na hlavnej diagonále boli jedničky. Takže prenesením z maticového tvaru späť do systému dostaneme rovnice: 1x+0y=b1 a 0x+1y=b2, kde b1 a b2 sú výsledné odpovede v procese riešenia.

Prvá akcia pri riešení rozšírenej matice bude takáto: prvý riadok treba vynásobiť -7 a do druhého riadku pridať zodpovedajúce prvky, aby sme sa zbavili jednej neznámej v druhej rovnici.
Keďže riešenie rovníc pomocou Gaussovej metódy zahŕňa redukciu matice na kanonickú formu, potom je potrebné vykonať rovnaké operácie s prvou rovnicou a odstrániť druhú premennú. Aby sme to urobili, odpočítame druhý riadok od prvého a získame požadovanú odpoveď - riešenie SLAE. Alebo, ako je znázornené na obrázku, vynásobíme druhý riadok koeficientom -1 a pripočítame prvky druhého riadku k prvému riadku. To je to isté.

Ako vidíme, náš systém bol vyriešený Jordan-Gaussovou metódou. Prepíšeme ho do požadovaného tvaru: x=-5, y=7.

Príklad riešenia 3x3 SLAE

Predpokladajme, že máme zložitejší systém lineárnych rovníc. Gaussova metóda umožňuje vypočítať odpoveď aj pre zdanlivo najprehľadnejší systém. Preto, aby ste sa hlbšie ponorili do metodiky výpočtu, môžete prejsť na zložitejší príklad s tromi neznámymi.

Rovnako ako v predchádzajúcom príklade prepíšeme systém do podoby rozšírenej matice a začneme ho uvádzať do kanonickej podoby.

Na vyriešenie tohto systému budete musieť vykonať oveľa viac akcií ako v predchádzajúcom príklade.

Najprv musíte urobiť prvý stĺpec jedným jednotkovým prvkom a zvyšok nulami. Ak to chcete urobiť, vynásobte prvú rovnicu -1 a pridajte k nej druhú rovnicu. Je dôležité si zapamätať, že prvý riadok prepisujeme do pôvodnej podoby a druhý do upravenej podoby.
Ďalej odstránime tú istú prvú neznámu z tretej rovnice. Za týmto účelom vynásobte prvky prvého riadku -2 a pridajte ich do tretieho riadku. Teraz sú prvý a druhý riadok prepísané do pôvodnej podoby a tretí - so zmenami. Ako vidíte z výsledku, prvú sme dostali na začiatok hlavnej uhlopriečky matice a zvyšné nuly. Ešte pár krokov a systém rovníc Gaussovou metódou bude spoľahlivo vyriešený.
Teraz musíte vykonať operácie na iných prvkoch riadkov. Tretiu a štvrtú akciu je možné spojiť do jednej. Druhý a tretí riadok musíme vydeliť -1, aby sme sa zbavili mínusových na uhlopriečke. Tretí riadok sme už priviedli do požadovanej podoby.
Ďalej uvedieme druhý riadok do kanonickej podoby. Aby sme to urobili, vynásobíme prvky tretieho riadku -3 a pridáme ich do druhého riadku matice. Z výsledku je zrejmé, že aj druhý riadok je zredukovaný do podoby, akú potrebujeme. Zostáva vykonať niekoľko ďalších operácií a odstrániť koeficienty neznámych z prvého riadku.
Ak chcete vytvoriť 0 z druhého prvku v rade, musíte vynásobiť tretí riadok -3 a pridať ho do prvého riadku.
Ďalším rozhodujúcim krokom bude pridanie potrebných prvkov druhého radu do prvého radu. Takto dostaneme kanonickú formu matice, a teda aj odpoveď.

Ako vidíte, riešenie rovníc pomocou Gaussovej metódy je celkom jednoduché.

Príklad riešenia sústavy rovníc 4x4

Niektoré zložitejšie sústavy rovníc je možné riešiť pomocou Gaussovej metódy pomocou počítačových programov. Koeficienty pre neznáme je potrebné zadať do existujúcich prázdnych buniek a program sám krok za krokom vypočíta požadovaný výsledok s podrobným popisom každej akcie.

Pokyny krok za krokom na riešenie takéhoto príkladu sú popísané nižšie.

V prvom kroku sa do prázdnych buniek zadajú voľné koeficienty a čísla pre neznáme. Dostaneme teda rovnakú rozšírenú maticu, ktorú napíšeme ručne.

A vykonajú sa všetky potrebné aritmetické operácie, aby sa rozšírená matica dostala do jej kanonickej formy. Je potrebné pochopiť, že odpoveďou na systém rovníc nie sú vždy celé čísla. Niekedy môže byť riešenie zo zlomkových čísel.

Kontrola správnosti riešenia

Jordan-Gaussova metóda umožňuje kontrolu správnosti výsledku. Aby ste zistili, či sú koeficienty vypočítané správne, stačí výsledok dosadiť do pôvodnej sústavy rovníc. Ľavá strana rovnice sa musí zhodovať s pravou stranou za znamienkom rovnosti. Ak sa odpovede nezhodujú, musíte systém prepočítať alebo naň skúsiť použiť inú metódu riešenia SLAE, ktorú poznáte, ako je substitúcia alebo odčítanie a sčítanie po členoch. Matematika je predsa veda, ktorá má obrovské množstvo rôznych metód riešenia. Ale pamätajte: výsledok by mal byť vždy rovnaký, bez ohľadu na to, aký spôsob riešenia ste použili.

Gaussova metóda: najčastejšie chyby pri riešení SLAE

Pri riešení lineárnych sústav rovníc najčastejšie dochádza k chybám ako je nesprávny prenos koeficientov do maticového tvaru. Existujú systémy, v ktorých niektoré neznáme chýbajú v jednej z rovníc; potom sa pri prenose údajov do rozšírenej matice môžu stratiť. Výsledkom je, že pri riešení tohto systému nemusí výsledok zodpovedať skutočnosti.

Ďalšou veľkou chybou môže byť nesprávne vypísanie konečného výsledku. Je potrebné jasne pochopiť, že prvý koeficient bude zodpovedať prvému neznámemu zo systému, druhému - druhému atď.

Gaussova metóda podrobne popisuje riešenie lineárnych rovníc. Vďaka nemu je ľahké vykonať potrebné operácie a nájsť správny výsledok. Navyše ide o univerzálny nástroj na nájdenie spoľahlivej odpovede na rovnice akejkoľvek zložitosti. Možno aj preto sa tak často používa pri riešení SLAE.

Páčil sa vám článok? Zdieľaj to

Vytlačte si tento článok