Aké čísla sa nazývajú celé čísla? Najväčší spoločný násobok a najmenší spoločný deliteľ. Kritériá deliteľnosti a metódy zoskupovania (2019)

Dôležité poznámky!
1. Ak sa namiesto vzorcov zobrazuje gobbledygook, vymažte vyrovnávaciu pamäť. Ako to urobiť vo vašom prehliadači je napísané tu:
2. Skôr ako začnete čítať článok, venujte pozornosť nášmu navigátoru, kde nájdete najužitočnejšie zdroje pre

Aby ste si uľahčili život, keď potrebujete niečo vypočítať, získať drahocenný čas na Jednotnej štátnej skúške alebo Jednotnej štátnej skúške, aby ste urobili menej hlúpych chýb – prečítajte si túto časť!

Tu je to, čo sa naučíte:

ako počítať rýchlejšie, jednoduchšie a presnejšie pomocouzoskupenie číselpri pridávaní a odčítaní,
ako rýchlo množiť a deliť bez chýb pomocou pravidlá násobenia a znaky deliteľnosti,
ako výrazne urýchliť výpočty pomocou najmenší spoločný násobok(NOK) a najväčší spoločný deliteľ(KÝVNUTIE).

Ovládanie techník v tejto sekcii môže nakloniť misky váh jedným alebo druhým smerom...či už sa dostanete na svoju vysnívanú univerzitu alebo nie, vy alebo vaši rodičia budete musieť zaplatiť veľa peňazí za vzdelanie alebo sa zapíšete na rozpočet .

Poďme sa ponoriť priamo do... (Poďme!)

P.S. POSLEDNÁ CENNÁ RADA...

Kopa celé čísla pozostáva z 3 častí:

celé čísla(podrobnejšie sa na ne pozrieme nižšie);
čísla opačné k prirodzeným číslam(všetko zapadne na svoje miesto hneď, ako budete vedieť, čo sú prirodzené čísla);
nula - " " (Kde by sme bez neho boli?)

písmeno Z.

Celé čísla

„Boh stvoril prirodzené čísla, všetko ostatné je dielom ľudských rúk“ (c) Nemecký matematik Kronecker.

Prirodzené čísla súčísla, ktoré používame na počítanie predmetov a od toho sa odvíja ich história vzniku - nutnosť počítať šípy, kože atď.

1, 2, 3, 4...n

písmeno N.

V súlade s tým táto definícia nezahŕňa (nemôžete spočítať niečo, čo tam nie je?) a najmä nezahŕňa záporné hodnoty (naozaj existuje jablko?).

Okrem toho nie sú zahrnuté všetky zlomkové čísla (tiež nemôžeme povedať „Mám notebook“ alebo „Predal som autá“).

akýkoľvek prirodzené číslo možno zapísať pomocou 10 číslic:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Takže 14 nie je číslo. Toto je číslo. Z akých čísel sa skladá? Presne tak, z čísel a...

Doplnenie. Zoskupovanie pri pridávaní, aby sa počítalo rýchlejšie a robilo menej chýb

Čo zaujímavé môžete povedať o tomto postupe? Samozrejme, teraz odpoviete „hodnota sumy sa nemení preskupením podmienok“. Zdalo by sa, že ide o primitívne pravidlo, známe z prvého ročníka, no pri riešení veľkých príkladov to okamžite zabudnuté!

Nezabudni na neho -použite zoskupovanie, aby ste si uľahčili proces počítania a znížili pravdepodobnosť omylov, pretože na Jednotnú štátnu skúšku nebudete mať kalkulačku.

Presvedčte sa sami, ktorý výraz sa ľahšie skladá?

4 + 5 + 3 + 6
4 + 6 + 5 + 3

Samozrejme ten druhý! Aj keď výsledok je rovnaký. Ale! Vzhľadom na druhú metódu máte menej šancí robiť chyby a všetko urobíte rýchlejšie!

Takže vo svojej hlave uvažujete takto:

4 + 5 + 3 + 6 = 4 + 6 + 5 + 3 = 10 + 5 + 3 = 18

Odčítanie. Zoskupovanie pri odčítaní na rýchlejšie počítanie a menej chýb

Pri odčítaní môžeme čísla, ktoré odčítavame, aj zoskupovať, napr.

32 - 5 - 2 - 6 = (32 - 2) - 5 - 6 = 30 - 5 - 6 = 19

Čo ak sa v príklade strieda odčítanie so sčítaním? Môžete tiež zoskupiť, odpovedať a to je správne. Len, prosím, nezabudnite na znaky pred číslami, napríklad: 32 - 5 - 2 - 6 = (32 - 2) - (6 + 5) = 30 - 11 = 19

Pamätajte: nesprávne umiestnené značky povedú k chybnému výsledku.

Násobenie. Ako sa množiť v hlave

Je zrejmé, že zmena miesta faktorov tiež nezmení hodnotu produktu:

2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ 5 = (2 ⋅ 5 ) ⋅ (4 ⋅ 6 ) = 1 0 ⋅ 2 4 = 2 4 0

Nepoviem vám „toto použite pri riešení príkladov“ (nápovedu ste pochopili sami, však?), ale skôr vám poviem, ako rýchlo vynásobiť nejaké čísla v hlave. Pozrite sa teda pozorne na tabuľku:

A ešte trochu o násobení. Samozrejme, pamätáte si dva špeciálne prípady... Uhádnete, čo tým myslím? Tu je o tom:

Ach áno, pozrime sa na to znova znaky deliteľnosti. Celkovo existuje 7 pravidiel založených na kritériách deliteľnosti, z ktorých prvé 3 už poznáte!

Ale zvyšok nie je vôbec ťažké si zapamätať.

7 znakov deliteľnosti čísel, ktoré vám pomôžu rýchlo počítať v hlave!

Prvé tri pravidlá samozrejme poznáte.
Štvrtá a piata sú ľahko zapamätateľné - pri delení a pozeráme, či súčet číslic, ktoré tvoria číslo, je deliteľný týmto.
Pri delení podľa sa pozeráme na posledné dve číslice čísla – je číslo, ktoré robia, deliteľné?
Pri delení číslom musí byť číslo deliteľné súčasne. To je všetka múdrosť.

Premýšľate teraz: „Prečo to všetko potrebujem“?

Po prvé, prebieha jednotná štátna skúška bez kalkulačky a tieto pravidlá vám pomôžu orientovať sa v príkladoch.

A po druhé, počuli ste o problémoch GCD A NOC? Je vám táto skratka známa? Začnime si pamätať a chápať.

Najväčší spoločný deliteľ (GCD) – potrebný na redukciu zlomkov a rýchle výpočty

Povedzme, že máte dve čísla: a. Aké je najväčšie číslo, ktorým sú obe tieto čísla deliteľné? Bez váhania odpoviete, pretože viete, že:

12 = 4 * 3 = 2 * 2 * 3

8 = 4 * 2 = 2 * 2 * 2

Aké sú spoločné čísla v expanzii? Správne, 2 * 2 = 4. To bola vaša odpoveď. Pri zachovaní tohto jednoduchého príkladu nezabudnete na algoritmus hľadania GCD. Skúste si to „postaviť“ v hlave. Stalo?

Ak chcete nájsť GCD, musíte:

Rozdeľte čísla na prvočísla (tie čísla, ktoré nemožno deliť ničím iným, iba nimi samými alebo napríklad 3, 7, 11, 13 atď.).
Vynásobte ich.

Chápete, prečo sme potrebovali znaky deliteľnosti? Aby ste sa pozreli na číslo a mohli začať deliť bezo zvyšku.

Napríklad nájdime GCD čísel 290 a 485

Prvé číslo - .

Pri pohľade na to môžete okamžite povedať, že je deliteľné, zapíšme si to:

Nie je možné rozdeliť na čokoľvek iné, ale môžete - a dostaneme:

290 = 29 * 5 * 2

Zoberme si ďalšie číslo - 485.

Podľa kritérií deliteľnosti musí byť deliteľné bezo zvyšku, pretože končí na. Rozdeliť:

Analyzujme pôvodné číslo.

Nedá sa deliť (posledná číslica je nepárna),
- nie je deliteľné, čo znamená, že ani číslo nie je deliteľné,
nie je deliteľné ani (súčet číslic zahrnutých v čísle nie je deliteľný)
tiež nie je deliteľné, pretože nie je deliteľné a,
tiež nie je deliteľné, pretože nie je deliteľné a.
nemožno úplne rozdeliť

To znamená, že číslo možno rozložiť len na a.

Teraz poďme nájsť GCD tieto čísla. Čo je to za číslo? Správny, .

Zacvičíme si?

Úloha č.1. Nájdite gcd čísel 6240 a 6800

1) Delím okamžite, pretože obe čísla sú 100% deliteľné:

Úloha č.2. Nájdite gcd čísel 345 a 324

Nemôžem tu rýchlo nájsť aspoň jedného spoločného deliteľa, tak to rozdelím na hlavné faktory (čo najmenšie):

Najmenší spoločný násobok (LCM) – šetrí čas, pomáha riešiť problémy neštandardným spôsobom

Povedzme, že máte dve čísla – a. Aké je najmenšie číslo, ktorým sa dá deliť bez stopy(teda úplne)? Ťažko si to predstaviť? Tu je vizuálny tip pre vás:

Pamätáte si, čo to písmeno znamená? Presne tak, len celé čísla. Aké je teda najmenšie číslo, ktoré sa hodí na miesto x? :

V tomto prípade.

Z tohto jednoduchého príkladu vyplýva niekoľko pravidiel.

Pravidlá pre rýchle nájdenie NOC

Pravidlo 1: Ak je jedno z dvoch prirodzených čísel deliteľné iným číslom, potom väčšie z týchto dvoch čísel je ich najmenším spoločným násobkom.

Nájdite nasledujúce čísla:

NOC (7;21)
NOC (6;12)
NOC (5;15)
NOC (3;33)

Samozrejme, že ste sa s touto úlohou vyrovnali bez problémov a dostali ste odpovede - , a.

Upozorňujeme, že v pravidle hovoríme o DVOCH číslach, ak je čísel viac, potom pravidlo nefunguje.

Napríklad LCM (7;14;21) sa nerovná 21, pretože nie je deliteľné.

Pravidlo 2. Ak sú dve (alebo viac ako dve) čísla rovnaké, potom najmenší spoločný násobok sa rovná ich súčinu.

Nájsť NOC nasledujúce čísla:

NOC (1;3;7)
NOC (3;7;11)
NOC (2;3;7)
NOC (3;5;2)

Počítal si? Tu sú odpovede - , ; .

Ako viete, nie je vždy možné získať to isté x tak ľahko, takže pre trochu zložitejšie čísla existuje nasledujúci algoritmus:

Zacvičíme si?

Nájdite najmenší spoločný násobok - LCM (345; 234)

Nájdite najmenší spoločný násobok (LCM) sami

Aké odpovede ste dostali?

Tu je to, čo som dostal:

Koľko času ste strávili hľadaním NOC? Môj čas je 2 minúty, naozaj viem jeden trik, ktorú navrhujem otvoriť hneď teraz!

Ak ste veľmi pozorní, tak ste si zrejme všimli, že dané čísla sme už vyhľadali GCD a z tohto príkladu by ste mohli vziať faktorizáciu týchto čísel, čím si svoju úlohu zjednodušíte, ale to nie je všetko.

Pozrite sa na obrázok, možno vás napadnú iné myšlienky:

dobre? Dám vám tip: skúste násobiť NOC A GCD medzi sebou a zapíšte si všetky faktory, ktoré sa objavia pri násobení. Zvládli ste to? Mali by ste skončiť s reťazou takto:

Pozrite sa na to bližšie: porovnajte multiplikátory s tým, ako a sú usporiadané.

Aký záver z toho môžete vyvodiť? Správny! Ak hodnoty vynásobíme NOC A GCD medzi sebou, potom dostaneme súčin týchto čísel.

Podľa toho mať čísla a význam GCD(alebo NOC), môžeme nájsť NOC(alebo GCD) podľa tejto schémy:

1. Nájdite súčin čísel:

2. Výsledný produkt rozdeľte našim GCD (6240; 6800) = 80:

To je všetko.

Napíšme pravidlo vo všeobecnej forme:

Pokúsiť sa nájsť GCD, ak je známe, že:

Zvládli ste to? .

Záporné čísla sú „falošné čísla“ a ich rozpoznanie ľudstvom.

Ako ste už pochopili, ide o čísla opačné k prirodzeným číslam, to znamená:

Záporné čísla možno sčítať, odčítať, násobiť a deliť – rovnako ako v prirodzených číslach. Zdalo by sa, čo je na nich také zvláštne? Faktom však je, že záporné čísla si „vydobyli“ svoje právoplatné miesto v matematike až do 19. storočia (do toho momentu sa viedli veľké polemiky o tom, či existujú alebo nie).

Samotné záporné číslo vzniklo v dôsledku takejto operácie s prirodzenými číslami, ako je „odčítanie“. Skutočne, odčítajte a dostanete záporné číslo. Preto sa množina záporných čísel často nazýva „rozšírením množiny“. prirodzené čísla».

Záporné čísla ľudia dlho nepoznali. Staroveký Egypt, Babylon a staroveké Grécko - svetlá svojej doby, teda nepoznali záporné čísla a v prípade záporných koreňov v rovnici (napríklad ako u nás) boli korene odmietnuté ako nemožné.

Záporné čísla najskôr získali právo na existenciu v Číne a potom v 7. storočí v Indii. Čo je podľa vás dôvodom tohto uznania? Je to tak, záporné čísla začali označovať dlhy (inak manká). Verilo sa, že záporné čísla sú dočasnou hodnotou, ktorá sa v dôsledku toho zmení na kladnú (to znamená, že peniaze sa stále vrátia veriteľovi). Avšak už indický matematik Brahmagupta považoval záporné čísla za rovnocenné s kladnými.

V Európe bola užitočnosť záporných čísel, ako aj to, že môžu označovať dlhy, objavená oveľa neskôr, možno o tisícročie. Prvá zmienka bola zaznamenaná v roku 1202 v „Knihe počítadla“ od Leonarda z Pisy (hneď poviem, že autor knihy nemá nič spoločné so šikmou vežou v Pise, ale Fibonacciho čísla sú jeho dielom (prezývka Leonarda z Pisy je Fibonacci)). Ďalej Európania dospeli k záveru, že záporné čísla môžu znamenať nielen dlhy, ale aj nedostatok čohokoľvek, hoci nie každý si to uvedomoval.

Takže v 17. storočí tomu Pascal veril. Ako to podľa vás zdôvodnil? Je pravda, že „nič nemôže byť menšie ako NIČ“. Ozvenou týchto časov zostáva skutočnosť, že záporné číslo a operácia odčítania sú označené rovnakým symbolom - mínus „-“. A pravda: . Je číslo „ “ kladné, od ktorého sa odčítava, alebo záporné číslo, do ktorého sa sčítava?... Niečo zo série „čo je skôr: kura alebo vajce?“ Toto je taká zvláštna matematická filozofia.

Záporné čísla im zabezpečili právo na existenciu s príchodom analytickej geometrie, inými slovami, keď matematici zaviedli taký koncept ako číselná os.

Od tohto momentu prišla rovnosť. Stále však bolo viac otázok ako odpovedí, napr.

pomer

Tento pomer sa nazýva „Arnaudov paradox“. Premýšľajte o tom, čo je na tom pochybné?

Poďme sa spolu hádať "" je viac ako "" nie? Podľa logiky by teda mala byť ľavá strana podielu väčšia ako pravá, ale sú si rovné... To je ten paradox.

Výsledkom bolo, že matematici súhlasili do tej miery, že Karl Gauss (áno, áno, je to ten istý, kto vypočítal súčet (alebo) čísla) to ukončil v roku 1831 - povedal, že záporné čísla majú rovnaké práva ako kladné jedničky a to, že sa netýkajú všetkých vecí nič neznamená, keďže zlomky tiež na veľa vecí neplatia (nestane sa, že by kopáč vykopal jamu, nedá sa kúpiť lístok do kina atď. .).

Matematici sa upokojili až v 19. storočí, keď teóriu záporných čísel vytvorili William Hamilton a Hermann Grassmann.

Sú také kontroverzné, tieto záporné čísla.

Vznik „prázdnoty“ alebo biografia nuly.

V matematike je to špeciálne číslo. Na prvý pohľad to nie je nič: pridať alebo odčítať - nič sa nezmení, ale stačí to pridať doprava k „ “ a výsledné číslo bude niekoľkonásobne väčšie ako pôvodné. Vynásobením nulou zmeníme všetko na nič, ale delením „ničím“ to nedokážeme. Jedným slovom magické číslo)

História nuly je dlhá a komplikovaná. Stopa nuly sa našla v spisoch Číňanov v 2. tisícročí nášho letopočtu. a ešte skôr medzi Maymi. Prvé použitie symbolu nuly, ako je to dnes, bolo zaznamenané medzi gréckymi astronómami.

Existuje mnoho verzií, prečo bolo zvolené toto označenie „nič“. Niektorí historici sa prikláňajú k názoru, že ide o omikrón, t.j. Prvé písmeno gréckeho slova pre nič je ouden. Podľa inej verzie slovo „obol“ (minca takmer bez hodnoty) dalo život symbolu nuly.

Nula (alebo nula) ako matematický symbol sa prvýkrát objavuje medzi Indmi (všimnite si, že sa tam začali „vyvíjať“ záporné čísla). Prvý spoľahlivý dôkaz o zaznamenaní nuly pochádza z roku 876 a v nich je „ “ súčasťou čísla.

Aj nula prišla do Európy neskoro – až v roku 1600 a rovnako ako záporné čísla narazila na odpor (čo narobíte, takí sú, Európania).

„Nula bola často nenávidená, dlho sa obávala alebo dokonca bola zakázaná,“ píše americký matematik Charles Safe. Tak turecký sultán Abdul Hamid II na konci 19. storočia. nariadil svojim cenzorom, aby vymazali vzorec vody H2O zo všetkých učebníc chémie, pričom písmeno „O“ považovali za nulu a nechceli, aby jeho iniciály boli zdiskreditované blízkosťou opovrhovanej nuly.

Na internete nájdete vetu: „Nula je najmocnejšia sila vo vesmíre, dokáže čokoľvek! Nula vytvára poriadok v matematike a tiež do nej vnáša chaos.“ Úplne správna pointa :)

Zhrnutie sekcie a základné vzorce

Sada celých čísel pozostáva z 3 častí:

prirodzené čísla (podrobnejšie sa na ne pozrieme nižšie);
čísla opačné k prirodzeným číslam;
nula - " "

Označuje sa množina celých čísel písmeno Z.

1. Prirodzené čísla

Prirodzené čísla sú čísla, ktoré používame na počítanie predmetov.

Množina prirodzených čísel je označená písmeno N.

Pri operáciách s celými číslami budete potrebovať schopnosť nájsť GCD a LCM.

Najväčší spoločný deliteľ (GCD)

Ak chcete nájsť GCD, musíte:

Rozložte čísla na prvočiniteľa (tie čísla, ktoré nemožno deliť ničím iným okrem seba samých alebo napr. atď.).
Zapíšte si faktory, ktoré sú súčasťou oboch čísel.
Vynásobte ich.

Najmenší spoločný násobok (LCM)

Na nájdenie NOC potrebujete:

Rozdeľte čísla na prvočísla (toto už veľmi dobre viete).
Zapíšte si faktory zahrnuté do rozšírenia jedného z čísel (je lepšie vziať najdlhší reťazec).
Pridajte k nim chýbajúce faktory z expanzií zostávajúcich čísel.
Nájdite súčin výsledných faktorov.

2. Záporné čísla

Toto sú čísla opačné k prirodzeným, to znamená:

Teraz ťa chcem počuť...

Dúfam, že ste ocenili super užitočné „triky“ v tejto časti a pochopili, ako vám pomôžu pri skúške.

A čo je dôležitejšie – v živote. Nehovorím o tom, ale verte mi, toto je pravda. Schopnosť počítať rýchlo a bez chýb vás zachráni v mnohých životných situáciách.

Teraz si na rade ty!

Napíšte, budete pri výpočtoch používať metódy zoskupovania, testy deliteľnosti, GCD a LCM?

Možno ste ich už použili? kde a ako?

Možno máte otázky. Alebo návrhy.

Napíšte do komentárov, ako sa vám článok páči.

A veľa šťastia na skúškach!

No, téma je ukončená. Ak čítate tieto riadky, znamená to, že ste veľmi cool.

Pretože len 5% ľudí je schopných niečo zvládnuť sami. A ak dočítate až do konca, tak ste v týchto 5%!

Teraz to najdôležitejšie.

Pochopili ste teóriu na túto tému. A opakujem, toto... toto je proste super! Už teraz ste lepší ako drvivá väčšina vašich rovesníkov.

Problém je, že to nemusí stačiť...

Prečo?

Za úspešné absolvovanie Jednotnej štátnej skúšky, za vstup na vysokú školu s obmedzeným rozpočtom a HLAVNE, na celý život.

nebudem ta o nicom presviedcat, poviem len jedno...

Ľudia, ktorí získali dobré vzdelanie, zarábajú oveľa viac ako tí, ktorí ho nezískali. Toto je štatistika.

Ale to nie je to hlavné.

Hlavne, že sú ŠŤASTNEJŠÍ (existujú také štúdie). Možno preto, že sa pred nimi otvára oveľa viac príležitostí a život sa stáva jasnejším? neviem...

Ale zamysli sa nad sebou...

Čo je potrebné na to, aby ste boli na jednotnej štátnej skúške lepší ako ostatní a nakoniec boli... šťastnejší?

ZÍSKAJTE SI RUKU RIEŠENÍM PROBLÉMOV V TEJTO TÉME.

Na skúške od vás nebudú žiadať teóriu.

Budete potrebovať riešiť problémy s časom.

A ak ste ich nevyriešili (VEĽA!), určite niekde urobíte hlúpu chybu alebo jednoducho nebudete mať čas.

Je to ako v športe – treba to veľakrát zopakovať, aby ste vyhrali.

Nájdite kolekciu kdekoľvek chcete, nutne s riešeniami, podrobnou analýzou a rozhodni sa, rozhodni sa, rozhodni sa!

Môžete využiť naše úlohy (voliteľné) a my ich, samozrejme, odporúčame.

Aby ste mohli lepšie využívať naše úlohy, musíte pomôcť predĺžiť životnosť učebnice YouClever, ktorú práve čítate.

Ako? Sú dve možnosti:

Odomknite všetky skryté úlohy v tomto článku -
Odomknite prístup ku všetkým skrytým úlohám vo všetkých 99 článkoch učebnice - Kúpte si učebnicu - 499 RUR

Áno, takýchto článkov máme v našej učebnici 99 a prístup ku všetkým úlohám a všetkým skrytým textom v nich je možné okamžite otvoriť.

Prístup ku všetkým skrytým úlohám je poskytovaný po CELÚ životnosť stránky.

Na záver...

Ak sa vám nepáčia naše úlohy, nájdite si iné. Len neostávajte pri teórii.

„Rozumiem“ a „Viem vyriešiť“ sú úplne odlišné zručnosti. Potrebujete oboje.

Nájdite problémy a riešte ich!

TO celé čísla zahŕňajú prirodzené čísla, nulu a čísla opačné k prirodzeným číslam.

Celé čísla sú kladné celé čísla.

Napríklad: 1, 3, 7, 19, 23 atď. Takéto čísla používame na počítanie (na stole je 5 jabĺk, auto má 4 kolesá atď.)

Latinské písmeno \mathbb(N) - označené množina prirodzených čísel.

Prirodzené čísla nemôžu zahŕňať záporné čísla (stolička nemôže mať záporný počet nôh) a zlomkové čísla (Ivan nedokázal predať 3,5 bicykla).

Opakom prirodzených čísel sú záporné celé čísla: −8, −148, −981, ….

Aritmetické operácie s celými číslami

Čo môžete robiť s celými číslami? Dajú sa navzájom násobiť, sčítať a odčítať. Pozrime sa na každú operáciu na konkrétnom príklade.

Sčítanie celých čísel

Dve celé čísla s rovnakými znamienkami sa sčítajú takto: sčítajú sa moduly týchto čísel a výslednému súčtu predchádza koncové znamienko:

(+11) + (+9) = +20

Odčítanie celých čísel

Dve celé čísla s rôznymi znamienkami sa sčítajú takto: od modulu väčšieho čísla sa odpočíta modul menšieho čísla a pred výslednú odpoveď sa umiestni znamienko väčšieho modulového čísla:

(-7) + (+8) = +1

Násobenie celých čísel

Ak chcete vynásobiť jedno celé číslo druhým, musíte vynásobiť moduly týchto čísel a vložiť znamienko „+“ pred výslednú odpoveď, ak pôvodné čísla mali rovnaké znamienka, a znamienko „-“, ak mali pôvodné čísla iné znaky:

(-5)\cdot (+3) = -15

(-3)\cdot (-4) = +12

Malo by sa pamätať na nasledujúce pravidlo pre násobenie celých čísel:

+ \cdot + = +

+ \cdot - = -

- \cdot + = -

- \cdot - = +

Existuje pravidlo pre násobenie viacerých celých čísel. Pripomeňme si to:

Znamienko súčinu bude „+“, ak je počet faktorov so záporným znamienkom párny a „–“, ak je počet faktorov so záporným znamienkom nepárny.

(-5) \cdot (-4) \cdot (+1) \cdot (+6) \cdot (+1) = +120

Celočíselné delenie

Delenie dvoch celých čísel sa vykonáva takto: modul jedného čísla sa vydelí modulom druhého a ak sú znamienka čísel rovnaké, pred výsledný kvocient sa umiestni znamienko „+“. a ak sú znamienka pôvodných čísel odlišné, umiestni sa znamienko „-“.

(-25) : (+5) = -5

Vlastnosti sčítania a násobenia celých čísel

Pozrime sa na základné vlastnosti sčítania a násobenia pre ľubovoľné celé čísla a, b a c:

a + b = b + a - komutatívna vlastnosť sčítania;
(a + b) + c = a + (b + c) - kombinatívna vlastnosť sčítania;
a \cdot b = b \cdot a - komutatívna vlastnosť násobenia;
(a \cdot c) \cdot b = a \cdot (b \cdot c)- asociatívne vlastnosti násobenia;
a \cdot (b \cdot c) = a \cdot b + a \cdot c- distributívna vlastnosť násobenia.

Existuje mnoho typov čísel, jedným z nich sú celé čísla. Objavili sa celé čísla, aby sa uľahčilo počítanie nielen v pozitívnom, ale aj v negatívnom smere.

Pozrime sa na príklad:
Cez deň bola vonkajšia teplota 3 stupne. K večeru teplota klesla o 3 stupne.
3-3=0
Vonku bolo 0 stupňov. A v noci teplota klesla o 4 stupne a teplomer začal ukazovať -4 stupne.
0-4=-4

Séria celých čísel.

Takýto problém nemôžeme opísať pomocou prirodzených čísel, tento problém budeme uvažovať na súradnicovej čiare.

Dostali sme sériu čísel:
…, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …

Tento rad čísel sa nazýva rad celých čísel.

Kladné celé čísla. Záporné celé čísla.

Séria celých čísel pozostáva z kladných a záporných čísel. Napravo od nuly sú prirodzené čísla, alebo sa tiež nazývajú kladné celé čísla. A idú vľavo od nuly záporné celé čísla.

Nula nie je ani kladné, ani záporné číslo. Je to hranica medzi kladnými a zápornými číslami.

je množina čísel pozostávajúca z prirodzených čísel, záporných celých čísel a nuly.

Rad celých čísel v kladnom a zápornom smere je nekonečné číslo.

Ak vezmeme akékoľvek dve celé čísla, potom sa budú volať čísla medzi týmito celými číslami konečná množina.

Napríklad:
Zoberme si celé čísla od -2 do 4. Všetky čísla medzi týmito číslami sú zahrnuté v konečnej množine. Naša konečná množina čísel vyzerá takto:
-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4.

Prirodzené čísla sa označujú latinským písmenom N.
Celé čísla sa označujú latinským písmenom Z. Celá množina prirodzených čísel a celých čísel môže byť znázornená na obrázku.

Nekladné celé čísla inými slovami, sú to záporné celé čísla.
Nezáporné celé čísla sú kladné celé čísla.

Kopa je množina ľubovoľných objektov, ktoré sa nazývajú prvky tejto množiny.

Napríklad: veľa školákov, veľa áut, veľa čísel .

V matematike sa množina považuje za oveľa širšie. Nebudeme sa tejto téme venovať príliš hlboko, pretože súvisí s vyššou matematikou a spočiatku môže spôsobovať ťažkosti pri učení. Budeme brať do úvahy iba tú časť témy, ktorej sme sa už venovali.

Obsah lekcie

Označenia

Množina sa najčastejšie označuje veľkými písmenami latinskej abecedy a jej prvky malými písmenami. V tomto prípade sú prvky uzavreté v kučeravých zátvorkách.

Napríklad, ak sa volajú naši priatelia Tom, John a Leo , potom môžeme definovať množinu priateľov, ktorých prvky budú Tom, John a Leo.

Označme mnohých našich priateľov veľkým latinským písmenom F(priatelia), potom vložte znak rovnosti a uveďte našich priateľov v zložených zátvorkách:

F = (Tom, John, Leo)

Príklad 2. Zapíšme si množinu deliteľov čísla 6.

Označme túto množinu ľubovoľným veľkým latinským písmenom, napríklad písmenom D

potom dáme znamienko rovnosti a uvedieme prvky tejto množiny do zložených zátvoriek, to znamená, že uvedieme deliteľa čísla 6

D = (1, 2, 3, 6)

Ak niektorý prvok patrí do danej množiny, potom je toto členstvo označené znakom členstva ∈. Napríklad deliteľ 2 patrí do množiny deliteľov čísla 6 (množina D). Píše sa to takto:

Číta sa ako: „2 patrí do množiny deliteľov čísla 6“

Ak niektorý prvok nepatrí do danej množiny, potom je toto nečlenstvo označené preškrtnutým znakom členstva ∉. Napríklad deliteľ 5 do množiny nepatrí D. Píše sa to takto:

Číta sa ako: "5 nepatrí sada deliteľov čísla 6″

Okrem toho je možné zostavu napísať priamym výpisom prvkov bez veľkých písmen. To môže byť výhodné, ak súprava pozostáva z malého počtu prvkov. Napríklad definujme množinu jedného prvku. Nech je tento prvok naším priateľom Objem:

( objem )

Definujme množinu, ktorá pozostáva z jedného čísla 2

{ 2 }

Definujme množinu, ktorá sa skladá z dvoch čísel: 2 a 5

{ 2, 5 }

Množina prirodzených čísel

Toto je prvý set, s ktorým sme začali pracovať. Prirodzené čísla sú čísla 1, 2, 3 atď.

Prirodzené čísla sa objavili kvôli potrebe ľudí počítať tie ostatné objekty. Napríklad spočítajte počet kurčiat, kráv, koní. Prirodzené čísla vznikajú prirodzene pri počítaní.

V predchádzajúcich lekciách, keď sme používali slovo "číslo", najčastejšie to bolo prirodzené číslo, ktoré bolo myslené.

V matematike sa množina prirodzených čísel označuje veľkým písmenom N.

Napríklad upozorníme, že číslo 1 patrí do množiny prirodzených čísel. Za týmto účelom si zapíšeme číslo 1, potom pomocou znaku členstva ∈ označíme, že jednotka patrí do množiny N

1 ∈ N

Číta sa ako: „jedno patrí do množiny prirodzených čísel“

Množina celých čísel

Sada celých čísel zahŕňa všetky kladné a , ako aj číslo 0.

Množina celých čísel je označená veľkým písmenom Z .

Uveďme napríklad, že číslo −5 patrí do množiny celých čísel:

−5 ∈ Z

Pripomeňme, že 10 patrí do množiny celých čísel:

10 ∈ Z

Dovoľte nám zdôrazniť, že 0 patrí do množiny celých čísel:

V budúcnosti budeme všetky kladné a záporné čísla nazývať jednou frázou - celé čísla.

Množina racionálnych čísel

Racionálne čísla sú tie isté obyčajné zlomky, ktoré študujeme dodnes.

Racionálne číslo je číslo, ktoré možno znázorniť ako zlomok, kde a- čitateľ zlomku, b- menovateľ.

Čitateľ a menovateľ môžu byť ľubovoľné čísla vrátane celých (s výnimkou nuly, pretože nulou sa deliť nedá).

Predstavte si napríklad, že namiesto a je číslo 10, ale namiesto toho b- číslo 2

10 delené 2 sa rovná 5. Vidíme, že číslo 5 môže byť vyjadrené ako zlomok, čo znamená, že číslo 5 je zahrnuté v množine racionálnych čísel.

Je ľahké vidieť, že číslo 5 platí aj pre množinu celých čísel. Preto je množina celých čísel zahrnutá do množiny racionálnych čísel. To znamená, že množina racionálnych čísel zahŕňa nielen obyčajné zlomky, ale aj celé čísla v tvare −2, −1, 0, 1, 2.

Teraz si predstavme, že namiesto toho ačíslo je 12, ale namiesto toho b- číslo 5.

12 delené 5 sa rovná 2,4. Vidíme, že desatinný zlomok 2,4 môže byť reprezentovaný ako zlomok, čo znamená, že je zahrnutý v množine racionálnych čísel. Z toho usudzujeme, že množina racionálnych čísel zahŕňa nielen obyčajné zlomky a celé čísla, ale aj desatinné zlomky.

Vypočítali sme zlomok a dostali sme odpoveď 2,4. Ale mohli by sme izolovať celú časť tohto zlomku:

Keď izolujete celú časť zlomku, dostanete zmiešané číslo. Vidíme, že zmiešané číslo môže byť vyjadrené aj ako zlomok. To znamená, že množina racionálnych čísel zahŕňa aj zmiešané čísla.

V dôsledku toho dospejeme k záveru, že množina racionálnych čísel obsahuje:

celé čísla
bežné zlomky
desatinné miesta
zmiešané čísla

Množina racionálnych čísel sa označuje veľkým písmenom Q.

Napríklad poukážeme na to, že zlomok patrí do množiny racionálnych čísel. Za týmto účelom zapíšeme samotný zlomok, potom pomocou znaku členstva ∈ označíme, že zlomok patrí do množiny racionálnych čísel:

∈ Q

Pripomeňme, že desatinný zlomok 4,5 patrí do množiny racionálnych čísel:

4,5 ∈ Q

Pripomeňme, že zmiešané číslo patrí do množiny racionálnych čísel:

∈ Q

Úvodná lekcia o zostavách je hotová. V budúcnosti sa na zostavy pozrieme oveľa lepšie, ale zatiaľ nám postačí to, čo je uvedené v tejto lekcii.

Páčila sa vám lekcia?
Pripojte sa k našej novej skupine VKontakte a začnite dostávať upozornenia na nové lekcie

V tomto článku definujeme množinu celých čísel, zvážime, ktoré celé čísla sa nazývajú kladné a ktoré záporné. Ukážeme si tiež, ako sa celé čísla používajú na popis zmien v určitých množstvách. Začnime s definíciou a príkladmi celých čísel.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Celé čísla. Definícia, príklady

Najprv si spomeňme na prirodzené čísla ℕ. Už samotný názov napovedá, že ide o čísla, ktoré sa prirodzene používajú na počítanie už od nepamäti. Aby sme pokryli pojem celých čísel, musíme rozšíriť definíciu prirodzených čísel.

Definícia 1. Celé čísla

Celé čísla sú prirodzené čísla, ich protiklady a číslo nula.

Množina celých čísel je označená písmenom ℤ.

Množina prirodzených čísel ℕ je podmnožinou celých čísel ℤ. Každé prirodzené číslo je celé číslo, ale nie každé celé číslo je prirodzené číslo.

Z definície vyplýva, že ktorékoľvek z čísel 1, 2, 3 je celé číslo. . , číslo 0, ako aj čísla - 1, - 2, - 3, . .

V súlade s tým uvedieme príklady. Čísla 39, - 589, 10000000, - 1596, 0 sú celé čísla.

Nechajte čiaru súradníc nakresliť vodorovne a nasmerovať ju doprava. Poďme sa na to pozrieť, aby sme si vizualizovali umiestnenie celých čísel na riadku.

Počiatok na súradnicovej čiare zodpovedá číslu 0 a body ležiace na oboch stranách nuly zodpovedajú kladným a záporným celým číslam. Každý bod zodpovedá jednému celému číslu.

Do ľubovoľného bodu na priamke, ktorej súradnica je celé číslo, sa môžete dostať vyčlenením určitého počtu segmentov jednotiek z počiatku.

Kladné a záporné celé čísla

Zo všetkých celých čísel je logické rozlišovať kladné a záporné celé čísla. Uveďme ich definície.

Definícia 2: Kladné celé čísla

Kladné celé čísla sú celé čísla so znamienkom plus.

Napríklad číslo 7 je celé číslo so znamienkom plus, teda kladné celé číslo. Na súradnicovej čiare toto číslo leží napravo od referenčného bodu, ktorý sa považuje za číslo 0. Ďalšie príklady kladných celých čísel: 12, 502, 42, 33, 100500.

Definícia 3: Záporné celé čísla

Záporné celé čísla sú celé čísla so znamienkom mínus.

Príklady záporných celých čísel: - 528, - 2568, - 1.

Číslo 0 oddeľuje kladné a záporné celé čísla a samo o sebe nie je ani kladné, ani záporné.

Každé číslo, ktoré je opakom kladného celého čísla, je podľa definície záporné celé číslo. Platí to aj naopak. Prevrátená hodnota akéhokoľvek záporného celého čísla je kladné celé číslo.

Je možné poskytnúť iné formulácie definícií záporných a kladných celých čísel pomocou ich porovnania s nulou.

Definícia 4: Kladné celé čísla

Kladné celé čísla sú celé čísla väčšie ako nula.

Definícia 5: Záporné celé čísla

Záporné celé čísla sú celé čísla, ktoré sú menšie ako nula.

V súlade s tým kladné čísla ležia napravo od začiatku na súradnicovej čiare a záporné celé čísla ležia naľavo od nuly.

Už sme povedali, že prirodzené čísla sú podmnožinou celých čísel. Ujasnime si tento bod. Množina prirodzených čísel pozostáva z kladných celých čísel. Na druhej strane, množina záporných celých čísel je množina čísel opačných k prirodzeným.

Dôležité!

Akékoľvek prirodzené číslo možno nazvať celým číslom, ale akékoľvek celé číslo nemožno nazvať prirodzeným číslom. Pri odpovedi na otázku, či záporné čísla sú prirodzené čísla, musíme smelo povedať – nie, nie sú.

Nekladné a nezáporné celé čísla

Uveďme niekoľko definícií.

Definícia 6. Nezáporné celé čísla

Nezáporné celé čísla sú kladné celé čísla a číslo nula.

Definícia 7. Nekladné celé čísla

Nekladné celé čísla sú záporné celé čísla a číslo nula.

Ako vidíte, číslo nula nie je ani kladné, ani záporné.

Príklady nezáporných celých čísel: 52, 128, 0.

Príklady nekladných celých čísel: - 52, - 128, 0.

Nezáporné číslo je číslo väčšie alebo rovné nule. Nekladné celé číslo je teda číslo menšie alebo rovné nule.

Pre stručnosť sa používajú výrazy „nekladné číslo“ a „nezáporné číslo“. Napríklad namiesto toho, aby ste povedali, že číslo a je celé číslo, ktoré je väčšie alebo rovné nule, môžete povedať: a je nezáporné celé číslo.

Použitie celých čísel na popis zmien veličín

Na čo sa používajú celé čísla? Po prvé, s ich pomocou je vhodné opísať a určiť zmeny v množstve akýchkoľvek objektov. Uveďme si príklad.

Nechajte určitý počet kľukových hriadeľov uskladniť v sklade. Ak sa do skladu privezie ďalších 500 kľukových hriadeľov, ich počet sa zvýši. Číslo 500 presne vyjadruje zmenu (zvýšenie) počtu dielov. Ak sa potom zo skladu odoberie 200 dielov, potom toto číslo bude charakterizovať aj zmenu počtu kľukových hriadeľov. Tentoraz smerom nadol.

Ak sa zo skladu nič neodoberie a nič nedodá, potom číslo 0 znamená, že počet dielov zostáva nezmenený.

Zrejmé pohodlie používania celých čísel na rozdiel od prirodzených čísel spočíva v tom, že ich znamienko jasne ukazuje smer zmeny hodnoty (zvýšenie alebo zníženie).

Pokles teploty o 30 stupňov možno charakterizovať ako záporné celé číslo - 30 a zvýšenie o 2 stupne - kladné celé číslo 2.

Uveďme ďalší príklad s použitím celých čísel. Tentokrát si predstavme, že máme niekomu darovať 5 mincí. Potom môžeme povedať, že máme - 5 mincí. Číslo 5 popisuje veľkosť dlhu a znamienko mínus znamená, že musíme rozdať mince.

Ak dlhujeme 2 mince jednej osobe a 3 inej osobe, celkový dlh (5 mincí) možno vypočítať pomocou pravidla sčítania záporných čísel:

2 + (- 3) = - 5

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter

Páčil sa vám článok? Zdieľaj to

Vytlačte si tento článok