Rovnice

Ako riešiť rovnice?

V tejto časti si pripomenieme (alebo preštudujeme, podľa toho, koho si vyberiete) najelementárnejšie rovnice. Aká je teda rovnica? V ľudskom jazyku ide o nejaký druh matematického vyjadrenia, kde je znak rovnosti a neznáme. Čo sa zvyčajne označuje písmenom "X". Vyriešte rovnicu- to je nájsť také hodnoty x, ktoré pri dosadení do originálny výraz nám dá správnu identitu. Pripomínam, že identita je výraz, ktorý je nepochybný aj pre človeka absolútne nezaťaženého matematickými znalosťami. Napríklad 2=2, 0=0, ab=ab atď. Ako teda riešiť rovnice? Poďme na to.

Existujú všetky druhy rovníc (som prekvapený, však?). Ale celú ich nekonečnú rozmanitosť možno rozdeliť iba do štyroch typov.

4. Iné.)

Všetko ostatné, samozrejme, najviac áno...) To zahŕňa kubické, exponenciálne, logaritmické, trigonometrické a všetky druhy iných. Budeme s nimi úzko spolupracovať v príslušných sekciách.

Hneď poviem, že niekedy sú rovnice prvých troch typov také posraté, že ich ani nespoznáte... Nič. Naučíme sa, ako ich odreagovať.

A prečo potrebujeme tieto štyri typy? A potom čo lineárne rovnice vyriešené jedným spôsobom námestie iní, zlomkové racionality - tretie, A odpočinok Vôbec sa neodvážia! No nejde o to, že by sa vôbec nevedeli rozhodnúť, ide o to, že som sa mýlil s matematikou.) Ide len o to, že majú svoje špeciálne techniky a metódy.

Ale pre akékoľvek (opakujem - pre akýkoľvek!) rovnice poskytujú spoľahlivý a bezpečný základ pre riešenie. Funguje všade a vždy. Tento základ - Znie to strašidelne, ale je to veľmi jednoduché. A veľmi (Veľmi!) dôležité.

V skutočnosti riešenie rovnice pozostáva práve z týchto transformácií. 99 % Odpoveď na otázku: " Ako riešiť rovnice?“ spočíva práve v týchto premenách. Je náznak jasný?)

Identické transformácie rovníc.

IN akékoľvek rovnice Ak chcete nájsť neznáme, musíte pôvodný príklad transformovať a zjednodušiť. A to tak, že keď sa vzhľad zmení podstata rovnice sa nezmenila. Takéto premeny sa nazývajú identické alebo ekvivalent.

Všimnite si, že tieto transformácie platia konkrétne na rovnice. Aj v matematike existujú transformácie identity výrazov. Toto je iná téma.

Teraz zopakujeme všetky, všetky, všetky základné identické transformácie rovníc.

Základné, pretože sa na ne dá aplikovať akýkoľvek rovnice - lineárne, kvadratické, zlomkové, trigonometrické, exponenciálne, logaritmické atď. a tak ďalej.

Prvá transformácia identity: môžete pridať (odčítať) na obe strany akejkoľvek rovnice akýkoľvek(ale jedno a to isté!) číslo alebo výraz (vrátane výrazu s neznámou!). To nemení podstatu rovnice.

Mimochodom, túto transformáciu ste neustále používali, len ste si mysleli, že niektoré pojmy prenášate z jednej časti rovnice do druhej so zmenou znamienka. Typ:

Prípad je známy, presunieme dva doprava a dostaneme:

Vlastne ty odvezený z oboch strán rovnice sú dve. Výsledok je rovnaký:

x+2 - 2 = 3 - 2

Presúvanie pojmov doľava a doprava so zmenou znamienka je jednoducho skrátená verzia prvej transformácie identity. A prečo potrebujeme také hlboké znalosti? - pýtaš sa. Nič v rovniciach. Preboha, vydrž. Len nezabudnite zmeniť znamenie. Ale v nerovnostiach môže zvyk prenášať sa do slepej uličky...

Druhá transformácia identity: obe strany rovnice možno vynásobiť (vydeliť) tým istým nenulovéčíslo alebo výraz. Tu sa už objavuje pochopiteľné obmedzenie: násobenie nulou je hlúpe a delenie je úplne nemožné. Toto je transformácia, ktorú používate, keď riešite niečo skvelé

To je jasné X= 2. Ako ste to našli? Podľa výberu? Alebo ti to len svitlo? Aby ste neselektovali a nečakali na pochopenie, musíte pochopiť, že ste spravodliví rozdelil obe strany rovnice o 5. Pri delení ľavej strany (5x) sa päťka zmenšila a zostalo čisté X. Čo je presne to, čo sme potrebovali. A keď vydelíme pravú stranu (10) piatimi, dostaneme, viete, dve.

To je všetko.

Je to smiešne, ale tieto dve (iba dve!) totožné premeny sú základom riešenia všetky matematické rovnice. Wow! Má zmysel pozrieť sa na príklady toho, čo a ako, nie?)

Príklady identických transformácií rovníc. Hlavné problémy.

Začnime s najprv transformácia identity. Prevod vľavo-vpravo.

Príklad pre mladších.)

Povedzme, že potrebujeme vyriešiť nasledujúcu rovnicu:

3-2x=5-3x

Pripomeňme si kúzlo: "s X - vľavo, bez X - vpravo!" Toto kúzlo je návod na použitie prvej transformácie identity.) Aký výraz s X je napravo? 3x? Odpoveď je nesprávna! Po našej pravici - 3x! Mínus tri x! Preto pri pohybe doľava sa znamienko zmení na plus. Ukáže sa:

3-2x+3x=5

Takže X boli zhromaždené na hromade. Poďme k číslam. Naľavo je trojka. S akým znamením? Odpoveď „so žiadnym“ nie je akceptovaná!) Pred týmito tromi sa skutočne nič nekreslí. A to znamená, že pred tromi tam je plus. Matematici teda súhlasili. Nič nie je napísané, čo znamená plus. Preto sa trojka prenesie na pravú stranu s mínusom. Dostaneme:

-2x+3x=5-3

Zostávajú len maličkosti. Vľavo - prineste podobné, vpravo - počítajte. Odpoveď prichádza okamžite:

V tomto príklade stačila jedna transformácia identity. Druhý nebol potrebný. No dobre.)

Príklad pre staršie deti.)

Ak sa vám táto stránka páči...

Mimochodom, mám pre vás niekoľko ďalších zaujímavých stránok.)

Môžete si precvičiť riešenie príkladov a zistiť svoju úroveň. Testovanie s okamžitým overením. Učme sa - so záujmom!)

Môžete sa zoznámiť s funkciami a derivátmi.

Nahradenie polynómu alebo. Tu je polynóm stupňa, napríklad výraz je polynóm stupňa.

Povedzme, že máme príklad:

Použime metódu nahradenia premenných. Za čo by sa podľa vás malo brať? Správny, .

Rovnica sa stáva:

Vykonávame opačnú zmenu premenných:

Poďme vyriešiť prvú rovnicu:

Rozhodnime sa druhý rovnica:

… Čo to znamená? Správny! Že neexistujú riešenia.

Dostali sme teda dve odpovede - ; .

Rozumiete, ako používať metódu nahradenia premenných pre polynóm? Nacvičte si to sami:

Rozhodnuté? Teraz s vami skontrolujeme hlavné body.

Treba si to zobrať.

Dostaneme výraz:

Pri riešení kvadratickej rovnice zistíme, že má dva korene: a.

Riešením prvej kvadratickej rovnice sú čísla a

Riešenie druhej kvadratickej rovnice - čísla a.

Odpoveď: ; ; ;

Poďme si to zhrnúť

Metóda nahradenia premenných má hlavné typy nahradenia premenných v rovniciach a nerovnostiach:

1. Náhrada moci, keď berieme nejaké neznáme, povýšené na moc.

2. Náhrada polynómu, keď za celý výraz berieme neznámu.

3. Zlomkovo-racionálne nahradenie, keď vezmeme akýkoľvek vzťah obsahujúci neznámu premennú.

Dôležité poradiť pri zavádzaní novej premennej:

1. Výmena premenných sa musí vykonať okamžite, pri prvej príležitosti.

2. Rovnicu pre novú premennú treba vyriešiť až do konca a až potom sa vrátiť k starej neznámej.

3. Pri návrate k pôvodnému neznámemu (a vlastne počas celého riešenia) nezabudnite skontrolovať korene na ODZ.

Podobným spôsobom sa zavádza nová premenná ako v rovniciach, tak aj v nerovniciach.

Pozrime sa na 3 problémy

Odpovede na 3 problémy

1. Nech, potom výraz nadobúda tvar.

Pretože môže byť pozitívny aj negatívny.

odpoveď:

2. Nech, potom výraz nadobúda tvar.

riešenie neexistuje, pretože...

odpoveď:

3. Zoskupením dostaneme:

Nech potom výraz nadobudne formu
.

odpoveď:

VÝMENA PREMENNÝCH. PRIEMERNÁ ÚROVEŇ.

Nahradenie premenných- ide o zavedenie novej neznámej, vzhľadom na ktorú má rovnica alebo nerovnica jednoduchší tvar.

Uvediem hlavné typy náhrad.

Náhrada moci

Náhrada moci.

Napríklad pomocou substitúcie sa bikvadratická rovnica redukuje na kvadratickú: .

V nerovnostiach je všetko podobné.

Napríklad urobíme náhradu v nerovnosti a dostaneme kvadratickú nerovnosť: .

Príklad (rozhodnite sa sami):

Riešenie:

Ide o zlomkovo-racionálnu rovnicu (opakovanie), ale riešenie pomocou bežnej metódy (redukcia na spoločného menovateľa) je nepohodlné, keďže dostaneme rovnicu stupňa, takže sa použije zmena premenných.

Po výmene bude všetko oveľa jednoduchšie: . potom:

Teraz poďme na to spätná výmena:

Odpoveď: ; .

Nahradenie polynómu

Nahradenie polynómu resp.

Tu je polynóm stupňa, t.j. vyjadrenie formy

(napríklad výraz je polynóm stupňa).

Najčastejšie používaná substitúcia za kvadratický trinom je: alebo.

Príklad:

Vyriešte rovnicu.

Riešenie:

A opäť sa používa substitúcia premenných.

Potom bude mať rovnica tvar:

Korene tejto kvadratickej rovnice sú: a.

Máme dva prípady. Urobme opačnú substitúciu pre každú z nich:

To znamená, že táto rovnica nemá korene.

Korene tejto rovnice sú: i.

Odpoveď.

.

Zlomkovo-racionálna substitúcia

Zlomkovo-racionálna náhrada.

a sú polynómy stupňov resp.

Napríklad pri riešení reciprokých rovníc, teda rovníc tvaru

zvyčajne sa používa náhrada.

Teraz vám ukážem, ako to funguje.

Je ľahké skontrolovať, čo nie je koreňom tejto rovnice: veď ak to dosadíme do rovnice, dostaneme to, čo je v rozpore s podmienkou.

Rozdeľme rovnicu na:

Poďme preskupiť:

Teraz urobíme náhradu: .

Krása je v tom, že pri kvadratúre dvojitého súčinu členov sa x zníži:

Z toho vyplýva.

Vráťme sa k našej rovnici:

Príklad:

Teraz stačí vyriešiť kvadratickú rovnicu a vykonať opačnú substitúciu.

Riešenie:

Vyriešte rovnicu: .

Keď teda neplatí rovnosť. Rozdeľme rovnicu na:

Rovnica bude mať tvar:

Jeho korene:

Urobme opačnú výmenu:

Odpoveď: ; .

Poďme vyriešiť výsledné rovnice:

Ďalší príklad:

Riešenie:

Vyriešte nerovnosť.

Priamou substitúciou sme presvedčení, že nie je zahrnutá v riešení tejto nerovnosti. Rozdeľte čitateľa a menovateľa každého zlomku takto:

Teraz je nahradenie premennej zrejmé: .

Na nájdenie y používame intervalovú metódu:

pred všetkými, pretože

pred všetkými, pretože

Takže nerovnosť je ekvivalentná nasledovnému:

pred všetkými, pretože...

To znamená, že nerovnosť je ekvivalentná nasledujúcemu: .

Nerovnosť sa teda ukazuje ako ekvivalentná agregácii:

Odpoveď: .

Nahradenie premenných- jedna z najdôležitejších metód riešenia rovníc a nerovníc.

Na záver vám dám niekoľko dôležitých rád:

VÝMENA PREMENNÝCH. SÚHRN A ZÁKLADNÉ VZORCE.

Nahradenie premenných- metóda na riešenie zložitých rovníc a nerovníc, ktorá umožňuje zjednodušiť pôvodný výraz a uviesť ho do štandardnej podoby.

Typy nahradenia premenných:

1. Náhrada sily: sa považuje za nejaké neznáme, povýšené na moc - .
2. Zlomkovo-racionálne nahradenie: sa považuje za akýkoľvek vzťah obsahujúci neznámu premennú - , kde a sú polynómy stupňov n a m.
3. Nahradenie polynómu: celý výraz obsahujúci neznáme sa berie ako - alebo kde je polynóm stupňa.

Po vyriešení zjednodušenej rovnice/nerovnice je potrebné vykonať spätnú substitúciu.

V kurze matematiky 7. ročníka sa stretávame prvýkrát rovnice s dvoma premennými, ale skúmajú sa len v kontexte sústav rovníc s dvoma neznámymi. Preto celý rad problémov, v ktorých sa zavádzajú určité podmienky na koeficienty rovnice, ktoré ich obmedzujú, vypadáva z dohľadu. Okrem toho sa ignorujú aj metódy na riešenie problémov ako „Vyriešte rovnicu v prirodzených alebo celých číslach“, hoci problémy tohto druhu sa čoraz častejšie vyskytujú v materiáloch jednotných štátnych skúšok a pri prijímacích skúškach.

Ktorá rovnica sa bude nazývať rovnica s dvoma premennými?

Takže napríklad rovnice 5x + 2y = 10, x 2 + y 2 = 20 alebo xy = 12 sú rovnice v dvoch premenných.

Uvažujme rovnicu 2x – y = 1. Platí, keď x = 2 a y = 3, takže táto dvojica premenných hodnôt je riešením danej rovnice.

Riešením akejkoľvek rovnice s dvoma premennými je teda množina usporiadaných párov (x; y), hodnôt premenných, ktoré menia túto rovnicu na skutočnú číselnú rovnosť.

Rovnica s dvoma neznámymi môže:

A) mať jedno riešenie. Napríklad rovnica x 2 + 5y 2 = 0 má jedinečné riešenie (0; 0);

b) mať viacero riešení. Napríklad (5 -|x|) 2 + (|y| – 2) 2 = 0 má 4 riešenia: (5; 2), (-5; 2), (5; -2), (-5; - 2);

V) nemajú riešenia. Napríklad rovnica x 2 + y 2 + 1 = 0 nemá riešenia;

G) má nekonečne veľa riešení. Napríklad x + y = 3. Riešeniami tejto rovnice budú čísla, ktorých súčet sa rovná 3. Množinu riešení tejto rovnice môžeme zapísať v tvare (k; 3 – k), kde k je ľubovoľné reálne číslo.

Hlavnými metódami riešenia rovníc s dvoma premennými sú metódy založené na faktoringových výrazoch, izolácii úplného štvorca, využívajúce vlastnosti kvadratickej rovnice, obmedzené výrazy a metódy odhadu. Rovnica sa zvyčajne transformuje do tvaru, z ktorého možno získať systém na hľadanie neznámych.

Faktorizácia

Príklad 1

Vyriešte rovnicu: xy – 2 = 2x – y.

Riešenie.

Na účely faktorizácie zoskupujeme výrazy:

(xy + y) – (2x + 2) = 0. Z každej zátvorky vyberieme spoločný faktor:

y(x + 1) – 2 (x + 1) = 0;

(x + 1)(y – 2) = 0. Máme:

y = 2, x – ľubovoľné reálne číslo alebo x = -1, y – ľubovoľné reálne číslo.

teda odpoveďou sú všetky dvojice v tvare (x; 2), x € R a (-1; y), y € R.

Rovnosť nezáporných čísel s nulou

Príklad 2

Vyriešte rovnicu: 9x 2 + 4y 2 + 13 = 12(x + y).

Riešenie.

Zoskupenie:

(9x 2 – 12x + 4) + (4y 2 – 12y + 9) = 0. Teraz je možné každú zátvorku zložiť pomocou vzorca na druhú druhú.

(3x – 2) 2 + (2 roky – 3) 2 = 0.

Súčet dvoch nezáporných výrazov je nula, iba ak 3x – 2 = 0 a 2y – 3 = 0.

To znamená x = 2/3 a y = 3/2.

Odpoveď: (2/3; 3/2).

Metóda odhadu

Príklad 3

Vyriešte rovnicu: (x 2 + 2x + 2)(y 2 – 4y + 6) = 2.

Riešenie.

V každej zátvorke vyberieme celý štvorec:

((x + 1) 2 + 1)((y – 2) 2 + 2) = 2. Odhadnime význam výrazov v zátvorkách.

(x + 1) 2 + 1 ≥ 1 a (y – 2) 2 + 2 ≥ 2, potom je ľavá strana rovnice vždy aspoň 2. Rovnosť je možná, ak:

(x + 1) 2 + 1 = 1 a (y – 2) 2 + 2 = 2, čo znamená x = -1, y = 2.

Odpoveď: (-1; 2).

Zoznámime sa s ďalšou metódou riešenia rovníc s dvoma premennými druhého stupňa. Táto metóda pozostáva zo spracovania rovnice ako štvorec vzhľadom na nejakú premennú.

Príklad 4.

Vyriešte rovnicu: x 2 – 6x + y – 4√y + 13 = 0.

Riešenie.

Riešime rovnicu ako kvadratickú rovnicu pre x. Poďme nájsť diskriminant:

D = 36 – 4(y – 4√y + 13) = -4y + 16√y – 16 = -4(√y – 2) 2 . Rovnica bude mať riešenie len vtedy, keď D = 0, teda ak y = 4. Hodnotu y dosadíme do pôvodnej rovnice a zistíme, že x = 3.

Odpoveď: (3; 4).

Často v rovniciach s dvoma neznámymi označujú obmedzenia premenných.

Príklad 5.

Riešte rovnicu celými číslami: x 2 + 5y 2 = 20x + 2.

Riešenie.

Prepíšme rovnicu v tvare x 2 = -5y 2 + 20x + 2. Pravá strana výslednej rovnice pri delení 5 dáva zvyšok 2. Preto x 2 nie je deliteľné 5. Ale druhá mocnina a číslo nedeliteľné 5 dáva zvyšok 1 alebo 4. Rovnosť teda nie je možná a neexistujú žiadne riešenia.

Odpoveď: žiadne korene.

Príklad 6.

Vyriešte rovnicu: (x 2 – 4|x| + 5)(y 2 + 6y + 12) = 3.

Riešenie.

Zvýraznime celé štvorce v každej zátvorke:

((|x| – 2) 2 + 1)((y + 3) 2 + 3) = 3. Ľavá strana rovnice je vždy väčšia alebo rovná 3. Rovnosť je možná za predpokladu, že |x| – 2 = 0 a y + 3 = 0. Teda x = ± 2, y = -3.

Odpoveď: (2; -3) a (-2; -3).

Príklad 7.

Pre každý pár záporných celých čísel (x;y), ktoré spĺňajú rovnicu
x 2 – 2xy + 2y 2 + 4y = 33, vypočítajte súčet (x + y). V odpovedi uveďte najmenšiu sumu.

Riešenie.

Vyberme celé štvorce:

(x2 – 2xy + y2) + (y2 + 4y + 4) = 37;

(x – y) 2 + (y + 2) 2 = 37. Keďže x a y sú celé čísla, ich druhé mocniny sú tiež celé čísla. Ak spočítame 1 + 36, dostaneme súčet druhých mocnín dvoch celých čísel rovný 37. Preto:

(x – y) 2 = 36 a (y + 2) 2 = 1

(x – y) 2 = 1 a (y + 2) 2 = 36.

Vyriešením týchto systémov a berúc do úvahy, že x a y sú záporné, nájdeme riešenia: (-7; -1), (-9; -3), (-7; -8), (-9; -8).

Odpoveď: -17.

Nezúfajte, ak máte problém vyriešiť rovnice s dvoma neznámymi. S trochou cviku zvládnete akúkoľvek rovnicu.

Stále máte otázky? Neviete, ako riešiť rovnice v dvoch premenných?
Ak chcete získať pomoc od tútora, zaregistrujte sa.
Prvá lekcia je zadarmo!

webová stránka, pri kopírovaní celého materiálu alebo jeho časti je potrebný odkaz na zdroj.

V tomto videu budeme analyzovať celý súbor lineárnych rovníc, ktoré sa riešia pomocou rovnakého algoritmu - preto sa nazývajú najjednoduchšie.

Najprv si definujme: čo je lineárna rovnica a ktorá sa nazýva najjednoduchšia?

Lineárna rovnica je taká, v ktorej existuje iba jedna premenná a iba do prvého stupňa.

Najjednoduchšia rovnica znamená konštrukciu:

Všetky ostatné lineárne rovnice sú redukované na najjednoduchšie pomocou algoritmu:

1. Rozbaľte zátvorky, ak existujú;
2. Presuňte výrazy obsahujúce premennú na jednu stranu znamienka rovnosti a výrazy bez premennej na druhú;
3. Uveďte podobné výrazy vľavo a vpravo od znamienka rovnosti;
4. Výslednú rovnicu vydeľte koeficientom premennej $x$.

Samozrejme, tento algoritmus nie vždy pomáha. Faktom je, že niekedy po všetkých týchto machináciách sa koeficient premennej $ x $ rovná nule. V tomto prípade sú možné dve možnosti:

1. Rovnica nemá vôbec žiadne riešenia. Keď napríklad vyjde niečo ako $0\cdot x=8$, t.j. vľavo je nula a vpravo je číslo iné ako nula. Vo videu nižšie sa pozrieme na niekoľko dôvodov, prečo je táto situácia možná.
2. Riešením sú všetky čísla. Jediný prípad, kedy je to možné, je, keď bola rovnica zredukovaná na konštrukciu $0\cdot x=0$. Je celkom logické, že nech dosadíme čokoľvek $x$, stále to vyjde „nula sa rovná nule“, t.j. správna číselná rovnosť.

Teraz sa pozrime, ako to všetko funguje na príkladoch zo skutočného života.

Príklady riešenia rovníc

Dnes sa zaoberáme lineárnymi rovnicami, a to len tými najjednoduchšími. Vo všeobecnosti lineárna rovnica znamená akúkoľvek rovnosť, ktorá obsahuje práve jednu premennú a ide len do prvého stupňa.

Takéto konštrukcie sú riešené približne rovnakým spôsobom:

1. Najprv musíte rozbaliť zátvorky, ak nejaké existujú (ako v našom poslednom príklade);
2. Potom prineste podobné
3. Nakoniec izolujte premennú, t.j. presunúť všetko, čo je spojené s premennou – pojmy, v ktorých je obsiahnutá – na jednu stranu a všetko, čo zostane bez nej, presunúť na druhú stranu.

Potom spravidla musíte dať podobné na každú stranu výslednej rovnosti a potom už zostáva len deliť koeficientom „x“ a dostaneme konečnú odpoveď.

Teoreticky to vyzerá pekne a jednoducho, ale v praxi môžu aj skúsení stredoškoláci robiť útočné chyby v celkom jednoduchých lineárnych rovniciach. Chyby sa zvyčajne robia buď pri otváraní zátvoriek alebo pri výpočte „plusov“ a „mínusov“.

Navyše sa stáva, že lineárna rovnica nemá vôbec žiadne riešenia, alebo že riešením je celá číselná os, t.j. akékoľvek číslo. Na tieto jemnosti sa pozrieme v dnešnej lekcii. Ale začneme, ako ste už pochopili, s najjednoduchšími úlohami.

Schéma riešenia jednoduchých lineárnych rovníc

Najprv mi dovoľte ešte raz napísať celú schému riešenia najjednoduchších lineárnych rovníc:

1. Ak existujú, rozbaľte zátvorky.
2. Izolujeme premenné, t.j. Všetko, čo obsahuje „X“ presunieme na jednu stranu a všetko bez „X“ na druhú stranu.
3. Uvádzame podobné pojmy.
4. Všetko vydelíme koeficientom „x“.

Samozrejme, táto schéma nie vždy funguje; sú v nej určité jemnosti a triky a teraz ich spoznáme.

Riešenie reálnych príkladov jednoduchých lineárnych rovníc

Úloha č.1

Prvý krok vyžaduje, aby sme otvorili zátvorky. Ale nie sú v tomto príklade, takže tento krok preskočíme. V druhom kroku musíme izolovať premenné. Pozor: hovoríme len o jednotlivých termínoch. Poďme si to zapísať:

Podobné výrazy uvádzame vľavo a vpravo, ale to tu už bolo urobené. Preto prejdeme na štvrtý krok: delenie koeficientom:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

Tak sme dostali odpoveď.

Úloha č.2

V tomto probléme vidíme zátvorky, tak ich rozviňme:

Naľavo aj napravo vidíme približne rovnaký dizajn, ale konajme podľa algoritmu, t.j. oddelenie premenných:

Tu sú niektoré podobné:

Na akých koreňoch to funguje? Odpoveď: pre akékoľvek. Preto môžeme napísať, že $x$ je ľubovoľné číslo.

Úloha č.3

Zaujímavejšia je tretia lineárna rovnica:

\[\vľavo(6-x \vpravo)+\vľavo(12+x \vpravo)-\vľavo(3-2x \vpravo)=15\]

Zátvoriek je tu niekoľko, ale nie sú ničím násobené, jednoducho sú pred nimi rôzne znamienka. Poďme si ich rozobrať:

Vykonávame druhý krok, ktorý je nám známy:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

Poďme si to spočítať:

Vykonáme posledný krok - všetko vydelíme koeficientom „x“:

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

Na čo treba pamätať pri riešení lineárnych rovníc

Ak ignorujeme príliš jednoduché úlohy, rád by som povedal nasledovné:

• Ako som povedal vyššie, nie každá lineárna rovnica má riešenie - niekedy jednoducho neexistujú žiadne korene;
• Aj keď sú korene, môže byť medzi nimi nula – na tom nie je nič zlé.

Nula je rovnaké číslo ako ostatné, nemali by ste ho nijako diskriminovať ani predpokladať, že ak dostanete nulu, urobili ste niečo zle.

Ďalšia funkcia súvisí s otváraním zátvoriek. Upozornenie: keď je pred nimi „mínus“, odstránime ho, ale v zátvorkách zmeníme znamienka na opak. A potom ho môžeme otvoriť pomocou štandardných algoritmov: dostaneme to, čo sme videli vo výpočtoch vyššie.

Pochopenie tohto jednoduchého faktu vám pomôže vyhnúť sa hlúpym a zraňujúcim chybám na strednej škole, keď sa takéto veci považujú za samozrejmosť.

Riešenie zložitých lineárnych rovníc

Prejdime k zložitejším rovniciam. Teraz budú konštrukcie zložitejšie a pri rôznych transformáciách sa objaví kvadratická funkcia. Nemali by sme sa toho však báť, pretože ak podľa plánu autora riešime lineárnu rovnicu, potom sa počas transformačného procesu nevyhnutne zrušia všetky monomály obsahujúce kvadratickú funkciu.

Príklad č.1

Je zrejmé, že prvým krokom je otvorenie zátvoriek. Urobme to veľmi opatrne:

Teraz sa pozrime na súkromie:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

Tu sú niektoré podobné:

Je zrejmé, že táto rovnica nemá žiadne riešenia, takže to napíšeme do odpovede:

\[\varnothing\]

alebo tam nie sú korene.

Príklad č.2

Vykonávame rovnaké akcie. Prvý krok:

Presuňme všetko s premennou doľava a bez nej - doprava:

Tu sú niektoré podobné:

Je zrejmé, že táto lineárna rovnica nemá riešenie, takže ju napíšeme takto:

\[\varnothing\],

alebo tam nie sú korene.

Nuansy riešenia

Obe rovnice sú úplne vyriešené. Na príklade týchto dvoch výrazov sme sa opäť presvedčili, že ani v najjednoduchších lineárnych rovniciach nemusí byť všetko také jednoduché: môže byť buď jeden, alebo žiadny, alebo nekonečne veľa koreňov. V našom prípade sme zvažovali dve rovnice, z ktorých obe jednoducho nemajú korene.

Chcel by som vás však upozorniť na inú skutočnosť: ako pracovať so zátvorkami a ako ich otvárať, ak je pred nimi znamienko mínus. Zvážte tento výraz:

Pred otvorením musíte všetko vynásobiť „X“. Poznámka: násobí sa každý jednotlivý termín. Vo vnútri sú dva termíny – respektíve dva termíny a násobené.

A až po dokončení týchto zdanlivo elementárnych, no veľmi dôležitých a nebezpečných premien, môžete zátvorku otvárať z pohľadu toho, že je za ňou znamienko mínus. Áno, áno: až teraz, keď sú transformácie dokončené, si pamätáme, že pred zátvorkami je znamienko mínus, čo znamená, že všetko nižšie jednoducho mení znamienka. Zároveň zmiznú samotné zátvorky a čo je najdôležitejšie, zmizne aj predné „mínus“.

To isté urobíme s druhou rovnicou:

Nie náhodou venujem pozornosť týmto malým, zdanlivo bezvýznamným skutočnostiam. Pretože riešenie rovníc je vždy sled elementárnych transformácií, kde neschopnosť jasne a kompetentne vykonávať jednoduché úkony vedie k tomu, že za mnou chodia stredoškoláci a opäť sa učia riešiť takéto jednoduché rovnice.

Samozrejme, príde deň, keď tieto zručnosti vycibríte až do automatizácie. Už nebudete musieť zakaždým vykonávať toľko transformácií, všetko napíšete na jeden riadok. Ale kým sa len učíte, musíte si každú akciu napísať zvlášť.

Riešenie aj zložitejších lineárnych rovníc

To, čo teraz vyriešime, možno len ťažko nazvať najjednoduchšou úlohou, no význam zostáva rovnaký.

Úloha č.1

\[\left(7x+1 \right)\left(3x-1 \right)-21((x)^(2))=3\]

Vynásobme všetky prvky v prvej časti:

Urobme si trochu súkromia:

Tu sú niektoré podobné:

Dokončime posledný krok:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

Tu je naša konečná odpoveď. A napriek tomu, že v procese riešenia sme mali koeficienty s kvadratickou funkciou, navzájom sa rušili, čím je rovnica lineárna a nie kvadratická.

Úloha č.2

\[\vľavo(1-4x \vpravo)\vľavo(1-3x \vpravo)=6x\vľavo(2x-1 \vpravo)\]

Opatrne vykonajte prvý krok: vynásobte každý prvok z prvej zátvorky každým prvkom z druhej. Po transformáciách by mali byť celkom štyri nové termíny:

Teraz opatrne vykonajte násobenie v každom výraze:

Presuňme výrazy s „X“ doľava a výrazy bez – doprava:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

Tu sú podobné výrazy:

Opäť sme dostali konečnú odpoveď.

Nuansy riešenia

Najdôležitejšia poznámka o týchto dvoch rovniciach je nasledujúca: akonáhle začneme násobiť zátvorky, ktoré obsahujú viac ako jeden člen, robíme to podľa nasledujúceho pravidla: vezmeme prvý člen z prvého a násobíme každým prvkom z druhy; potom vezmeme druhý prvok z prvého a podobne vynásobíme každým prvkom z druhého. V dôsledku toho budeme mať štyri volebné obdobia.

O algebraickom súčte

Týmto posledným príkladom by som chcel žiakom pripomenúť, čo je to algebraický súčet. V klasickej matematike pod pojmom $1-7$ rozumieme jednoduchú konštrukciu: odpočítajte sedem od jednej. V algebre tým myslíme nasledovné: k číslu „jedna“ pridáme ďalšie číslo, a to „mínus sedem“. Týmto sa algebraický súčet líši od obyčajného aritmetického súčtu.

Akonáhle pri vykonávaní všetkých transformácií, každého sčítania a násobenia, začnete vidieť konštrukcie podobné tým, ktoré sú popísané vyššie, jednoducho nebudete mať problémy v algebre pri práci s polynómami a rovnicami.

Nakoniec sa pozrime na niekoľko ďalších príkladov, ktoré budú ešte zložitejšie ako tie, na ktoré sme sa práve pozreli, a na ich vyriešenie budeme musieť mierne rozšíriť náš štandardný algoritmus.

Riešenie rovníc so zlomkami

Na vyriešenie takýchto úloh budeme musieť do nášho algoritmu pridať ešte jeden krok. Najprv mi však dovoľte pripomenúť náš algoritmus:

1. Otvorte zátvorky.
2. Samostatné premenné.
3. Prineste podobné.
4. Vydeliť pomerom.

Bohužiaľ, tento úžasný algoritmus sa pri všetkej svojej účinnosti ukazuje ako nie úplne vhodný, keď máme pred sebou zlomky. A v tom, čo uvidíme nižšie, máme zlomok vľavo aj vpravo v oboch rovniciach.

Ako v tomto prípade pracovať? Áno, je to veľmi jednoduché! Aby ste to dosiahli, musíte do algoritmu pridať ešte jeden krok, ktorý je možné vykonať pred aj po prvej akcii, konkrétne zbaviť sa zlomkov. Algoritmus bude teda nasledujúci:

1. Zbavte sa zlomkov.
2. Otvorte zátvorky.
3. Samostatné premenné.
4. Prineste podobné.
5. Vydeliť pomerom.

Čo to znamená „zbaviť sa zlomkov“? A prečo sa to dá urobiť aj po, aj pred prvým štandardným krokom? V skutočnosti sú v našom prípade všetky zlomky vo svojom menovateli číselné, t.j. Všade je menovateľom len číslo. Ak teda vynásobíme obe strany rovnice týmto číslom, zbavíme sa zlomkov.

Príklad č.1

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]

Zbavme sa zlomkov v tejto rovnici:

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Pozor: všetko sa násobí „štyri“ raz, t.j. to, že máte dve zátvorky, neznamená, že musíte každú z nich vynásobiť „štyri“. Píšme:

\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Teraz rozšírime:

Vylúčime premennú:

Vykonávame redukciu podobných výrazov:

\[-4x=-1\vľavo| :\vľavo(-4 \vpravo) \vpravo.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

Dostali sme konečné riešenie, prejdime k druhej rovnici.

Príklad č.2

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right))(5)+((x)^(2))=1\]

Tu vykonávame všetky rovnaké akcie:

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

Problém je vyriešený.

To je vlastne všetko, čo som vám dnes chcel povedať.

Kľúčové body

Kľúčové zistenia sú:

• Poznať algoritmus na riešenie lineárnych rovníc.
• Možnosť otvárania zátvoriek.
• Nerobte si starosti, ak máte niekde kvadratické funkcie, s najväčšou pravdepodobnosťou sa znížia v procese ďalších transformácií.
• V lineárnych rovniciach existujú tri typy koreňov, dokonca aj tie najjednoduchšie: jeden jediný koreň, celá číselná os je koreň a žiadne korene.

Dúfam, že vám táto lekcia pomôže zvládnuť jednoduchú, no veľmi dôležitú tému pre ďalšie pochopenie celej matematiky. Ak niečo nie je jasné, prejdite na stránku a vyriešte príklady, ktoré sú tam uvedené. Zostaňte naladení, čaká na vás ešte veľa zaujímavých vecí!

Autorov prístup k tejto téme nie je náhodný. S rovnicami s dvoma premennými sa prvýkrát stretávame v kurze 7. ročníka. Jedna rovnica s dvoma premennými má nekonečný počet riešení. Jasne to demonštruje graf lineárnej funkcie, ktorý je daný ako ax + by=c. V školskom kurze študenti študujú sústavy dvoch rovníc s dvoma premennými. Výsledkom je, že učiteľovi, a teda aj študentovi, z oka vypadne celý rad úloh s obmedzenými podmienkami na koeficiente rovnice, ako aj metódy na ich riešenie.

Hovoríme o riešení rovnice s dvoma neznámymi v celých alebo prirodzených číslach.

V škole sa prirodzené čísla a celé čísla učia v ročníkoch 4-6. V čase, keď ukončia školu, nie všetci študenti si pamätajú rozdiely medzi súbormi týchto čísel.

Problém ako „vyriešiť rovnicu v tvare ax + by=c v celých číslach“ sa však čoraz častejšie vyskytuje na prijímacích skúškach na univerzity a v materiáloch pre jednotné štátne skúšky.

Riešenie neistých rovníc rozvíja logické myslenie, inteligenciu a pozornosť k analýze.

Navrhujem vypracovať niekoľko lekcií na túto tému. Nemám jasné odporúčania týkajúce sa načasovania týchto lekcií. Niektoré prvky sa dajú použiť aj v 7. ročníku (pre silnú triedu). Tieto lekcie je možné vziať ako základ a vytvoriť z nich malý voliteľný kurz predprofesijnej prípravy v 9. ročníku. A, samozrejme, tento materiál možno použiť v ročníkoch 10-11 na prípravu na skúšky.

Účel lekcie:

• zopakovanie a zovšeobecnenie poznatkov na tému „Rovnice prvého a druhého rádu“
• pestovanie kognitívneho záujmu o predmet
• rozvíjanie schopnosti analyzovať, zovšeobecňovať, prenášať poznatky do novej situácie

Lekcia 1.

Počas vyučovania.

1) Org. moment.

2) Aktualizácia základných vedomostí.

Definícia. Lineárna rovnica v dvoch premenných je rovnica tvaru

mx + ny = k, kde m, n, k sú čísla, x, y sú premenné.

Príklad: 5x+2y=10

Definícia. Riešením rovnice s dvoma premennými je dvojica hodnôt premenných, ktorá mení rovnicu na skutočnú rovnosť.

Rovnice s dvoma premennými, ktoré majú rovnaké riešenia, sa nazývajú ekvivalentné.

1. 5x+2y=12 (2)y= -2,5x+6

Táto rovnica môže mať ľubovoľný počet riešení. Na to stačí vziať ľubovoľnú hodnotu x a nájsť zodpovedajúcu hodnotu y.

Nech x = 2, y = -2,5 2+6 = 1

x = 4, y = -2,5 4+6 = - 4

Dvojice čísel (2;1); (4;-4) – riešenia rovnice (1).

Táto rovnica má nekonečne veľa riešení.

3) Historické pozadie

Neurčité (diofantínové) rovnice sú rovnice obsahujúce viac ako jednu premennú.

V 3. stor. AD – Diophantus Alexandrijský napísal „Aritmetiku“, v ktorej rozšíril množinu čísel na racionálne a zaviedol algebraickú symboliku.

Diophantus sa zaoberal aj problémami riešenia neurčitých rovníc a dal metódy na riešenie neurčitých rovníc druhého a tretieho stupňa.

4) Štúdium nového materiálu.

Definícia: Nehomogénna diofantická rovnica prvého rádu s dvoma neznámymi x, y je rovnica tvaru mx + ny = k, kde m, n, k, x, y Z k0

Vyhlásenie 1.

Ak voľný člen k v rovnici (1) nie je deliteľný najväčším spoločným deliteľom (GCD) čísel m a n, potom rovnica (1) nemá celočíselné riešenia.

Príklad: 34x – 17r = 3.

GCD (34; 17) = 17, 3 nie je rovnomerne deliteľné 17, neexistuje riešenie v celých číslach.

Nech sa k delí gcd (m, n). Delením všetkých koeficientov môžeme zabezpečiť, že m a n budú relatívne prvočísla.

Vyhlásenie 2.

Ak m a n rovnice (1) sú relatívne prvočísla, potom táto rovnica má aspoň jedno riešenie.

Vyhlásenie 3.

Ak sú koeficienty m a n rovnice (1) prvočísla, potom táto rovnica má nekonečne veľa riešení:

Kde (; ) je akékoľvek riešenie rovnice (1), t Z

Definícia. Homogénna diofantická rovnica prvého rádu s dvoma neznámymi x, y je rovnica tvaru mx + ny = 0, kde (2)

Vyhlásenie 4.

Ak m a n sú prvočísla, potom každé riešenie rovnice (2) má tvar

5) Domáce úlohy. Riešte rovnicu celými číslami:

1. 9x – 18r = 5
2. x + y = xy
3. Niekoľko detí zbieralo jablká. Každý chlapec nazbieral 21 kg a dievča 15 kg. Celkovo nazbierali 174 kg. Koľko chlapcov a koľko dievčat zbieralo jablká?

Komentujte. Táto lekcia neposkytuje príklady riešenia rovníc v celých číslach. Deti preto riešia domáce úlohy na základe tvrdenia 1 a výberu.

Lekcia 2.

1) Organizačný moment

2) Kontrola domácich úloh

1) 9x – 18r = 5

5 nie je deliteľné 9; neexistujú žiadne riešenia v celých číslach.

Pomocou metódy výberu môžete nájsť riešenie

Odpoveď: (0;0), (2;2)

3) Urobme rovnicu:

Nech sú chlapci x, x Z a dievčatá y, y Z, potom môžeme vytvoriť rovnicu 21x + 15y = 174

Mnoho študentov, ktorí napísali rovnicu, ju nebude vedieť vyriešiť.

Odpoveď: 4 chlapci, 6 dievčat.

3) Učenie sa nového materiálu

Keď sa študenti stretli s ťažkosťami pri dokončovaní domácich úloh, boli presvedčení o potrebe naučiť sa svoje metódy riešenia neistých rovníc. Pozrime sa na niektoré z nich.

I. Metóda posudzovania zvyškov delenia.

Príklad. Riešte rovnicu celými číslami 3x – 4y = 1.

Ľavá strana rovnice je deliteľná 3, preto musí byť deliteľná aj pravá strana. Zoberme si tri prípady.

Odpoveď: kde m Z.

Opísaná metóda je vhodná na použitie, ak čísla m a n nie sú malé, ale možno ich rozložiť na jednoduché faktory.

Príklad: Riešte rovnice v celých číslach.

Nech y = 4n, potom 16 - 7y = 16 – 7 4n = 16 – 28n = 4*(4-7n) delíme 4.

y = 4n+1, potom 16 – 7y = 16 – 7 (4n + 1) = 16 – 28n – 7 = 9 – 28n nie je deliteľné 4.

y = 4n+2, potom 16 – 7y = 16 – 7 (4n + 2) = 16 – 28n – 14 = 2 – 28n nie je deliteľné 4.

y = 4n+3, potom 16 – 7y = 16 – 7 (4n + 3) = 16 – 28n – 21 = -5 – 28n nie je deliteľné 4.

Preto y = 4n

4x = 16 – 7 4n = 16 – 28n, x = 4 – 7n

Odpoveď: , kde n Z.

II. Neisté rovnice 2. stupňa

Dnes sa v lekcii dotkneme len riešenia diofantických rovníc druhého rádu.

A zo všetkých typov rovníc zvážime prípad, keď môžeme použiť vzorec rozdielu štvorcov alebo inú metódu faktorizácie.

Príklad: Riešte rovnicu v celých číslach.

13 je prvočíslo, takže ho možno rozdeliť iba štyrmi spôsobmi: 13 = 13 1 = 1 13 = (-1) (-13) = (-13) (-1)

Zoberme si tieto prípady

Odpoveď: (7;-3), (7;3), (-7;3), (-7;-3).

4) Domáce úlohy.

Príklady. Riešte rovnicu celými číslami:

(x - y) (x + y) = 4

2x = 4	2x = 5	2x = 5
x = 2	x = 5/2	x = 5/2
y = 0	nesedí	nesedí
2x = -4	nesedí	nesedí
x = -2
y = 0

Odpoveď: (-2;0), (2;0).

Odpovede: (-10;9), (-5;3), (-2;-3), (-1;-9), (1;9), (2;3), (5;-3) (10;-9).

V)

Odpoveď: (2;-3), (-1;-1), (-4;0), (2;2), (-1;3), (-4;5).

Výsledky. Čo znamená riešiť rovnicu v celých číslach?

Aké metódy riešenia neistých rovníc poznáte?

Aplikácia:

Cvičenia na tréning.

1) Riešte v celých číslach.

a) 8x + 12r = 32	x = 1 + 3n, y = 2 - 2n, n Z
b) 7x + 5r = 29	x = 2 + 5n, y = 3 – 7n, n Z
c) 4x + 7r = 75	x = 3 + 7n, y = 9 – 4n, n Z
d) 9x – 2y = 1	x = 1 – 2 m, y = 4 + 9 m, m Z
e) 9x – 11r = 36	x = 4 + 11 n, y = 9 n, n Z
e) 7x – 4r = 29	x = 3 + 4n, y = -2 + 7n, nZ
g) 19x – 5r = 119	x = 1 + 5 p, y = -20 + 19 p, p Z
h) 28x – 40r = 60	x = 45 + 10 t, y = 30 + 7 t, t Z

2) Nájdite celočíselné nezáporné riešenia rovnice:

Riešenie: Z (2; -1)

Literatúra.

1. Detská encyklopédia „Pedagogika“, Moskva, 1972.
2. Algebra-8, N.Ya. Vilenkin, VO „Veda“, Novosibirsk, 1992
3. Súťažné problémy založené na teórii čísel. V.Ya. Galkin, D.Yu. Sychugov. MSU, VMK, Moskva, 2005.
4. Problémy so zvýšenou náročnosťou v kurze algebry pre ročníky 7-9. N.P. Kosrykina. "Osvietenie", Moskva, 1991
5. Algebra 7, Makarychev Yu.N., „Osvietenie“.