Ako vyriešiť Gaussovu metódu. Opačná metóda Gaussovej metódy
Jedným z najjednoduchších spôsobov riešenia sústavy lineárnych rovníc je technika založená na výpočte determinantov ( Cramerovo pravidlo). Jeho výhodou je, že umožňuje okamžite zaznamenať riešenie, čo je výhodné najmä v prípadoch, keď koeficienty systému nie sú čísla, ale nejaké parametre. Jeho nevýhodou je ťažkopádnosť výpočtov v prípade veľkého množstva rovníc, navyše Cramerovo pravidlo nie je priamo aplikovateľné na systémy, v ktorých sa počet rovníc nezhoduje s počtom neznámych. V takýchto prípadoch sa zvyčajne používa Gaussova metóda.
Nazývajú sa sústavy lineárnych rovníc s rovnakou množinou riešení ekvivalent. Je zrejmé, že množina riešení lineárneho systému sa nezmení, ak dôjde k zámene rovníc, alebo ak sa jedna z rovníc vynásobí nejakým nenulovým číslom, alebo ak sa jedna rovnica pridá k druhej.
Gaussova metóda (metóda sekvenčnej eliminácie neznámych) je, že pomocou elementárnych transformácií sa systém redukuje na ekvivalentný systém stupňovitého typu. Najprv pomocou 1. rovnice eliminujeme X 1 všetkých nasledujúcich rovníc systému. Potom pomocou 2. rovnice eliminujeme X 2 z 3. a všetkých nasledujúcich rovníc. Tento proces, tzv priama Gaussova metóda, pokračuje, kým na ľavej strane poslednej rovnice nezostane iba jedna neznáma x n. Po tomto je hotovo inverzná ku Gaussovej metóde– riešenie poslednej rovnice, nájdeme x n; potom pomocou tejto hodnoty vypočítame z predposlednej rovnice x n-1 atď. Nájdeme posledného X 1 z prvej rovnice.
Je vhodné vykonávať gaussovské transformácie vykonávaním transformácií nie so samotnými rovnicami, ale s maticami ich koeficientov. Zvážte maticu:
volal rozšírená matica systému, pretože okrem hlavnej matice systému obsahuje stĺpec voľných výrazov. Gaussova metóda je založená na redukcii hlavnej matice systému do trojuholníkového tvaru (alebo lichobežníkového tvaru v prípade neštvorcových systémov) pomocou elementárnych riadkových transformácií (!) rozšírenej matice systému.
Príklad 5.1. Vyriešte systém pomocou Gaussovej metódy:
Riešenie. Vypíšme rozšírenú maticu systému a pomocou prvého riadku potom vynulujeme zostávajúce prvky:
dostaneme nuly v 2., 3. a 4. riadku prvého stĺpca:
Teraz potrebujeme, aby sa všetky prvky v druhom stĺpci pod 2. riadkom rovnali nule. Ak to chcete urobiť, môžete vynásobiť druhý riadok -4/7 a pridať ho k tretiemu riadku. Aby sme sa však nezaoberali zlomkami, vytvorme jednotku v 2. riadku druhého stĺpca a len
Teraz, aby ste získali trojuholníkovú maticu, musíte resetovať prvok štvrtého riadku 3. stĺpca; na to môžete vynásobiť tretí riadok 8/54 a pridať ho do štvrtého. Aby sme sa však nezaoberali zlomkami, prehodíme 3. a 4. riadok a 3. a 4. stĺpec a až potom vynulujeme zadaný prvok. Všimnite si, že pri preusporiadaní stĺpcov menia príslušné premenné miesta a to je potrebné mať na pamäti; iné elementárne transformácie so stĺpcami (sčítanie a násobenie číslom) nie je možné vykonať!
Posledná zjednodušená matica zodpovedá sústave rovníc ekvivalentnej tej pôvodnej:
Odtiaľto pomocou inverznej Gaussovej metódy zistíme zo štvrtej rovnice X 3 = -1; z tretieho X 4 = –2, od druhého X 2 = 2 az prvej rovnice X 1 = 1. V maticovom tvare sa odpoveď zapíše ako
Uvažovali sme o prípade, keď je systém určitý, t.j. keď je len jedno riešenie. Pozrime sa, čo sa stane, ak je systém nekonzistentný alebo neistý.
Príklad 5.2. Preskúmajte systém pomocou Gaussovej metódy:
Riešenie. Vypíšeme a transformujeme rozšírenú maticu systému
Napíšeme zjednodušený systém rovníc:
Tu v poslednej rovnici vychádza, že 0=4, t.j. rozpor. Systém následne nemá riešenie, t.j. ona nezlučiteľné. à
Príklad 5.3. Preskúmajte a vyriešte systém pomocou Gaussovej metódy:
Riešenie. Vypíšeme a transformujeme rozšírenú maticu systému:
V dôsledku transformácií obsahuje posledný riadok iba nuly. To znamená, že počet rovníc sa znížil o jednu:
Po zjednodušeniach teda zostali dve rovnice a štyri neznáme, t.j. dve neznáme „navyše“. Nech sú „nadbytočné“, alebo, ako sa hovorí, voľné premenné, bude X 3 a X 4. Potom
Veriaci X 3 = 2a A X 4 = b, dostaneme X 2 = 1–a A X 1 = 2b–a; alebo v matricovej forme
Takto napísané riešenie sa nazýva všeobecný, pretože, dávať parametre a A b rôzne hodnoty, možno popísať všetky možné riešenia systému. a
Carl Friedrich Gauss, najväčší matematik, dlho váhal a rozhodoval sa medzi filozofiou a matematikou. Možno to bolo práve toto myslenie, ktoré mu umožnilo vytvoriť také výrazné „dedičstvo“ vo svetovej vede. Najmä vytvorením „Gaussovej metódy“ ...
Články na tejto stránke sa takmer 4 roky zaoberali školskou výchovou hlavne z pohľadu filozofie, princípov (ne)pochopenia vnášaných do myslí detí. Prichádza čas na ďalšie špecifiká, príklady a metódy... Verím, že práve toto je prístup k známemu, neprehľadnému a dôležité oblasti života prinášajú lepšie výsledky.
My ľudia sme navrhnutí tak, že bez ohľadu na to, o čom veľa hovoríme abstraktné myslenie, Ale pochopenie Vždy sa deje prostredníctvom príkladov. Ak nie sú žiadne príklady, potom nie je možné pochopiť princípy... Tak, ako sa na vrchol hory nedá dostať inak ako prejdením celého svahu od úpätia.
To isté so školou: zatiaľ živé príbehy Nestačí, že ho inštinktívne naďalej považujeme za miesto, kde sa deti učia chápať.
Napríklad výučba Gaussovej metódy...
Gaussova metóda v 5. ročníku školy
Hneď urobím rezerváciu: Gaussova metóda má oveľa širšie uplatnenie napríklad pri riešení sústavy lineárnych rovníc. Čo si budeme rozprávať, odohráva sa v 5. ročníku. Toto začala, keď pochopíte, ktoré, je oveľa jednoduchšie pochopiť viac „pokročilých možností“. V tomto článku hovoríme o Gaussova metóda (metóda) na nájdenie súčtu radu
Tu je príklad, ktorý si môj najmladší syn, ktorý navštevuje 5. ročník moskovského gymnázia, priniesol zo školy.
Školská ukážka Gaussovej metódy
Učiteľka matematiky na interaktívnej tabuli (moderné vyučovacie metódy) ukázala deťom prezentáciu histórie „tvorby metódy“ od malého Gaussa.
Učiteľka malého Karla bičovala (zastaraná metóda, ktorá sa dnes v školách nepoužíva), pretože on
namiesto postupného sčítania čísel od 1 do 100 nájdite ich súčet všimolže dvojice čísel, ktoré sú rovnako vzdialené od okrajov aritmetickej postupnosti, tvoria rovnaké číslo. napríklad 100 a 1, 99 a 2. Po spočítaní počtu takýchto párov malý Gauss takmer okamžite vyriešil problém navrhnutý učiteľom. Za čo ho pred užasnutou verejnosťou popravili. Aby ostatní boli odrádzaní od rozmýšľania.
Čo urobil malý Gauss? vyvinuté zmysel pre čísla? Všimol som si nejakú vlastnosťčíselný rad s konštantným krokom (aritmetická progresia). A presne toto neskôr z neho urobil veľkého vedca, tí, ktorí si vedia všimnúť, majúce pocit, inštinkt porozumenia.
Preto je matematika cenná, rozvíja sa schopnosť vidieť najmä všeobecne - abstraktné myslenie. Preto väčšina rodičov a zamestnávateľov inštinktívne považovať matematiku za dôležitú disciplínu ...
„Potom sa musíte naučiť matematiku, pretože tá vám dáva do poriadku myseľ.
M.V.Lomonosov“.
Stúpenci tých, ktorí bičovali budúcich géniov prútmi, však z Metoda urobili niečo opačné. Ako povedal môj nadriadený pred 35 rokmi: "Otázka bola naučená." Alebo ako včera povedal môj najmladší syn o Gaussovej metóde: „Možno z toho nemá cenu robiť veľkú vedu, však?
Dôsledky kreativity „vedcov“ sú viditeľné na úrovni súčasnej školskej matematiky, úrovni jej vyučovania a chápaní „kráľovnej vied“ väčšinou.
Pokračujme však...
Metódy na vysvetlenie Gaussovej metódy v 5. ročníku školy
Učiteľ matematiky na moskovskom gymnáziu, vysvetľujúci Gaussovu metódu podľa Vilenkina, skomplikoval úlohu.
Čo ak rozdiel (krok) aritmetickej progresie nie je jedno, ale iné číslo? Napríklad 20.
Problém, ktorý dal piatakom:
20+40+60+80+ ... +460+480+500
Predtým, ako sa zoznámime s gymnaziálnou metódou, pozrime sa na internet: ako to robia učitelia škôl a učitelia matematiky?...
Gaussova metóda: vysvetlenie č.1
Známy lektor na svojom kanáli YOUTUBE uvádza nasledujúce dôvody:
„Zapíšme si čísla od 1 do 100 takto:
najprv séria čísel od 1 do 50 a presne pod ňou ďalšia séria čísel od 50 do 100, ale v opačnom poradí“
1, 2, 3, ... 48, 49, 50
100, 99, 98 ... 53, 52, 51
"Upozorňujeme, že súčet každého páru čísel z horného a spodného radu je rovnaký a rovná sa 101! Spočítajme počet párov, je to 50 a vynásobte súčet jedného páru počtom párov! Voila: odpoveď je pripravená!"
"Ak ste nerozumeli, nehnevajte sa!" zopakoval učiteľ trikrát počas vysvetľovania. "Túto metódu budeš mať v 9. ročníku!"
Gaussova metóda: vysvetlenie č.2
Ďalší tútor, menej známy (súdiac podľa počtu zobrazení), má vedeckejší prístup a ponúka algoritmus riešenia s 5 bodmi, ktorý je potrebné dokončiť postupne.
Pre nezasvätených je 5 jedno z Fibonacciho čísel tradične považovaných za magické. 5-kroková metóda je vždy vedeckejšia ako napríklad 6-kroková metóda. ...A to nie je náhoda, s najväčšou pravdepodobnosťou je autor skrytým zástancom Fibonacciho teórie
Vzhľadom na aritmetický postup: 4, 10, 16 ... 244, 250, 256 .
Algoritmus na nájdenie súčtu čísel v rade pomocou Gaussovej metódy:
4, 10, 16 ... 244, 250, 256
256, 250, 244 ... 16, 10, 4
Zároveň si treba pamätať plus jedno pravidlo : k výslednému kvocientu musíme pridať jednotku: inak dostaneme výsledok, ktorý je o jednu menší ako skutočný počet párov: 42 + 1 = 43.
Toto je požadovaný súčet aritmetického postupu od 4 do 256 s rozdielom 6!
Gaussova metóda: vysvetlenie v 5. ročníku na moskovskom gymnáziu
Tu je návod, ako vyriešiť problém s nájdením súčtu radu:
20+40+60+ ... +460+480+500
v 5. ročníku moskovského gymnázia, Vilenkinova učebnica (podľa môjho syna).
Po predvedení prezentácie učiteľ matematiky ukázal niekoľko príkladov pomocou Gaussovej metódy a dal triede za úlohu nájsť súčet čísel v sérii v krokoch po 20.
To si vyžadovalo nasledovné:
Ako vidíte, toto je kompaktnejšia a efektívnejšia technika: číslo 3 je tiež členom Fibonacciho postupnosti
Moje pripomienky k školskej verzii Gaussovej metódy
Veľký matematik by si určite vybral filozofiu, keby predvídal, na čo jeho „metódu“ premenia jeho nasledovníci. učiteľ nemčiny, ktorý Karla bičoval prútmi. Videl by symboliku, dialektickú špirálu a nehynúcu hlúposť „učiteľov“, snažiac sa zmerať harmóniu živého matematického myslenia s algebrou nepochopenia ....
Mimochodom: vedeli ste. že naše školstvo má korene v nemeckej škole 18. a 19. storočia?
Ale Gauss si vybral matematiku.
Čo je podstatou jeho metódy?
IN zjednodušenie. IN pozorovanie a uchopenie jednoduché vzory čísel. IN premeniť aritmetiku na suchú školu na zaujímavá a vzrušujúca aktivita , aktivujúc v mozgu túžbu pokračovať, skôr ako blokovať duševnú aktivitu s vysokými nákladmi.
Je možné použiť jednu z uvedených „modifikácia Gaussovej metódy“ na výpočet súčtu čísel aritmetickej progresie takmer okamžite? Podľa „algoritmov“ by sa mal malý Karl zaručene vyhnúť výprasku, vypestovať si averziu k matematike a v zárodku potlačiť svoje tvorivé impulzy.
Prečo učiteľ tak vytrvalo radil piatakom „nebáť sa nepochopenia“ metódy a presviedčal ich, že „takéto“ problémy budú riešiť už v 9. ročníku? Psychologicky negramotné jednanie. Bol to dobrý ťah, ktorý treba poznamenať: "Maj sa už v 5. ročníku môžeš riešte problémy, ktoré dokončíte až za 4 roky! Aký si skvelý chlapík!“
Na použitie Gaussovej metódy postačuje úroveň triedy 3, keď normálne deti už vedia sčítať, násobiť a deliť 2-3 ciferné čísla. Problémy vznikajú pre neschopnosť dospelých učiteľov, ktorí sú „mimo kontakt“ vysvetliť tie najjednoduchšie veci normálnym ľudským jazykom, nehovoriac o matematickom... Nedokážu ľudí zaujať matematikou a úplne odradia aj tých, ktorí sú „ schopný.”
Alebo, ako povedal môj syn: „urobiť z toho veľkú vedu“.
Gaussova metóda, moje vysvetlenia
S manželkou sme túto „metódu“ vysvetlili nášmu dieťaťu, zdá sa, ešte pred školou...
Jednoduchosť namiesto zložitosti alebo hra otázok a odpovedí
"Pozri, tu sú čísla od 1 do 100. Čo vidíš?"
Nejde o to, čo dieťa presne vidí. Trik je prinútiť ho, aby sa pozrel.
"Ako ich môžeš dať dokopy?" Syn si uvedomil, že takéto otázky sa nekladú „len tak“ a na otázku sa treba pozerať „nejak inak, inak ako on“
Nevadí, ak dieťa hneď vidí riešenie, je to málo pravdepodobné. Je dôležité, aby on prestal sa báť pozrieť, alebo ako ja hovorím: „presunul úlohu“. Toto je začiatok cesty k porozumeniu
"Čo je jednoduchšie: pridať napríklad 5 a 6 alebo 5 a 95?" Hlavná otázka... Ale každé školenie spočíva v „navedení“ človeka k „odpovedi“ – akýmkoľvek spôsobom, ktorý je pre neho prijateľný.
V tejto fáze už môžu vzniknúť dohady o tom, ako „ušetriť“ na výpočtoch.
Urobili sme len náznak: „frontálny, lineárny“ spôsob počítania nie je jediný možný. Ak to dieťa pochopí, neskôr príde na oveľa viac takýchto metód, lebo je to zaujímavé!!! A určite sa vyhne „nepochopeniu“ matematiky a nebude sa ňou cítiť znechutený. Dostal výhru!
Ak objavené dieťaže sčítanie dvojíc čísel, ktorých súčet je sto, je hračka "aritmetický postup s rozdielom 1"- pre dieťa dosť ponurá a nezaujímavá vec - zrazu našiel pre neho život . Poriadok vznikol z chaosu, a to vždy vyvoláva nadšenie: takí sme stvorení!
Otázka na zodpovedanie: prečo by malo byť po tom, čo dieťa získalo vhľad, opäť zahnané do rámca suchých algoritmov, ktoré sú v tomto prípade tiež funkčne zbytočné?!
Prečo vynucovať hlúpe prepisy? poradové čísla v zošite: aby ani schopní nemali jedinú šancu porozumieť? Štatisticky, samozrejme, ale masové vzdelávanie je zamerané na „štatistiku“...
Kam sa podela nula?
A predsa, sčítanie čísel, ktorých súčet je 100, je pre myseľ oveľa prijateľnejšie ako tie, ktorých súčet je 101...
„Metóda Gaussovej školy“ vyžaduje presne toto: bezmyšlienkovite zložiť dvojice čísel rovnako vzdialené od stredu progresie, Napriek všetkému.
Čo ak sa pozrieš?
Napriek tomu je nula najväčším vynálezom ľudstva, ktorý má viac ako 2000 rokov. A učitelia matematiky ho naďalej ignorujú.
Je oveľa jednoduchšie transformovať sériu čísel začínajúcu 1 na sériu začínajúcu 0. Súčet sa nezmení, však? Treba prestať „myslieť v učebniciach“ a začať hľadať... A uvidíte, že páry so súčtom 101 môžu byť úplne nahradené pármi so súčtom 100!
0 + 100, 1 + 99, 2 + 98 ... 49 + 51
Ako zrušiť „pravidlo plus 1“?
Aby som bol úprimný, prvýkrát som o takomto pravidle počul od tohto lektora YouTube...
Čo mám robiť, keď potrebujem určiť počet členov série?
Pozerám na postupnosť:
1, 2, 3, .. 8, 9, 10
a keď ste úplne unavení, prejdite na jednoduchší riadok:
1, 2, 3, 4, 5
a myslím si: ak odpočítate jednu od 5, dostanete 4, ale mám to úplne jasné vidím 5 čísel! Preto musíte jednu pridať! Číselný zmysel vyvinutý na základnej škole naznačuje: aj keď existuje celý Google členov série (od 10 do stotiny), vzor zostane rovnaký.
Aké sú sakra pravidlá?...
Aby ste za pár-tri roky zaplnili celý priestor medzi čelom a zátylkom a prestali myslieť? Ako si zarobiť na chlieb a maslo? Koniec koncov, posúvame sa v rovnakých radoch do éry digitálnej ekonomiky!
Viac o Gaussovej školskej metóde: „prečo z toho robiť vedu?...“
Nie nadarmo som zverejnil snímku obrazovky zo synovho notebooku...
"Čo sa stalo v triede?"
"No, hneď som počítal, zdvihol ruku, ale ona sa nepýtala. Preto, kým ostatní počítali, začal som si robiť domáce úlohy v ruštine, aby som nestrácal čas. Potom, keď ostatní dopísali (? ??), zavolala ma k tabuli. Povedal som odpoveď."
"Správne, ukáž mi, ako si to vyriešil," povedal učiteľ. Ukázal som to. Povedala: "Omyl, musíte počítať, ako som ukázal!"
"Je dobré, že nedala zlú známku. A donútila ma napísať im do zošita "priebeh riešenia" ich vlastným spôsobom. Prečo z toho robiť veľkú vedu?..."
Hlavný zločin učiteľa matematiky
Sotva potom ten incident Carl Gauss pociťoval vysoký pocit rešpektu voči svojmu školskému učiteľovi matematiky. Ale keby vedel ako nasledovníci tohto učiteľa skreslí samotnú podstatu metódy... zareval by rozhorčením a prostredníctvom Svetovej organizácie duševného vlastníctva WIPO dosiahol zákaz používania jeho dobrého mena v školských učebniciach!..
V čom hlavná chyba školského prístupu? Alebo, ako som to povedal, zločin školských učiteľov matematiky na deťoch?
Algoritmus nedorozumenia
Čo robia školskí metodici, z ktorých drvivá väčšina nevie myslieť?
Vytvárajú metódy a algoritmy (pozri). Toto obranná reakcia, ktorá chráni učiteľov pred kritikou („Všetko sa robí podľa...“) a deti pred porozumením. A teda - z túžby kritizovať učiteľov!(Druhý derivát byrokratickej „múdrosti“, vedecký prístup k problému). Človek, ktorý nechápe zmysel, bude viniť skôr svoje nepochopenie, ako hlúposť školského systému.
Toto sa stáva: rodičia obviňujú svoje deti a učitelia... robia to isté pre deti, ktoré „nerozumejú matematike!“
si šikovný?
Čo urobil malý Karl?
Úplne nekonvenčný prístup k vzorovej úlohe. Toto je podstata Jeho prístupu. Toto hlavná vec, ktorá by sa mala v škole učiť, je myslieť nie učebnicami, ale hlavou. Samozrejme je tu aj inštrumentálna zložka, ktorá sa dá použiť... pri hľadaní jednoduchšie a efektívnejšie metódy počítania.
Gaussova metóda podľa Vilenkina
V škole učia, že Gaussova metóda je
Čo, ak je počet prvkov série nepárny, ako v probléme, ktorý bol pridelený môjmu synovi?...
"Háčik" je v tomto prípade v sérii by ste mali nájsť „extra“ číslo a pridajte ho k súčtu dvojíc. V našom príklade je toto číslo 260.
Ako zistiť? Prepis všetkých dvojíc čísel do zošita!(To je dôvod, prečo učiteľ prinútil deti, aby robili túto hlúpu prácu, keď sa pokúšali učiť „kreatívu“ pomocou Gaussovej metódy... A to je dôvod, prečo je takáto „metóda“ prakticky nepoužiteľná pri veľkých radoch údajov, A preto je nie Gaussova metóda.)
Trocha kreativity v školskej rutine...
Syn konal inak.
(20 + 500, 40 + 480 ...).
0+500, 20+480, 40+460 ...
Nie je to ťažké, však?
V praxi je to však ešte jednoduchšie, čo vám umožňuje vyčleniť 2-3 minúty na diaľkové snímanie v ruštine, zatiaľ čo zvyšok sa „počíta“. Okrem toho zachováva počet krokov metódy: 5, čo neumožňuje kritizovať prístup ako nevedecký.
Je zrejmé, že tento prístup je jednoduchší, rýchlejší a univerzálnejší v štýle metódy. Ale... učiteľ nielenže nechválil, ale ma aj prinútil prepísať to „správnym spôsobom“ (pozri screenshot). To znamená, že sa zúfalo pokúsila potlačiť tvorivý impulz a schopnosť porozumieť matematike v koreni! Vraj preto, aby ju neskôr prijali za tútora... Napadla nesprávneho človeka...
Všetko, čo som tak zdĺhavo a zdĺhavo popisovala, sa dá normálnemu dieťaťu vysvetliť maximálne za pol hodinu. Spolu s príkladmi.
A to tak, že na to nikdy nezabudne.
A bude krok k pochopeniu...nielen matematici.
Priznajte sa: koľkokrát v živote ste pridali pomocou Gaussovej metódy? A nikdy som to neurobil!
ale inštinkt porozumenia, ktorá sa rozvíja (alebo zaniká) v procese štúdia matematických metód v škole... Ach!.. Toto je skutočne nenahraditeľná vec!
Najmä v dobe univerzálnej digitalizácie, do ktorej sme pod prísnym vedením strany a vlády potichu vstúpili.
Pár slov na obranu učiteľov...
Je nespravodlivé a nesprávne hádzať všetku zodpovednosť za tento štýl výučby výlučne na učiteľov školy. Systém je v platnosti.
Niektorí učitelia chápu absurdnosť toho, čo sa deje, ale čo robiť? Zákon o vzdelávaní, federálne štátne vzdelávacie štandardy, metódy, plány hodín... Všetko sa musí robiť „v súlade a na základe“ a všetko musí byť zdokumentované. Odstúpiť - stál v rade na vyhodenie. Nebuďme pokrytci: platy moskovských učiteľov sú veľmi dobré... Ak ťa vyhodia, kam ísť?...
Preto táto stránka nie o vzdelaní. On je o individuálne vzdelávanie, jediný možný spôsob, ako sa dostať z davu generácia Z ...
V tomto článku je metóda považovaná za metódu riešenia systémov lineárnych rovníc (SLAE). Metóda je analytická, to znamená, že vám umožňuje napísať algoritmus riešenia vo všeobecnej forme a potom tam nahradiť hodnoty z konkrétnych príkladov. Na rozdiel od maticovej metódy alebo Cramerových vzorcov sa pri riešení sústavy lineárnych rovníc pomocou Gaussovej metódy dá pracovať aj s takými, ktoré majú nekonečný počet riešení. Alebo ho nemajú vôbec.
Čo znamená riešiť pomocou Gaussovej metódy?
Najprv musíme napísať náš systém rovníc do Vyzerá to takto. Vezmite systém:
Koeficienty sa zapisujú vo forme tabuľky a voľné termíny sa zapisujú do samostatného stĺpca vpravo. Stĺpec s voľnými výrazmi je pre pohodlie oddelený. Matica, ktorá obsahuje tento stĺpec, sa nazýva rozšírená.
Ďalej je potrebné zredukovať hlavnú maticu s koeficientmi na horný trojuholníkový tvar. Toto je hlavný bod riešenia systému pomocou Gaussovej metódy. Jednoducho povedané, po určitých manipuláciách by matica mala vyzerať tak, že jej ľavá spodná časť obsahuje iba nuly:
Ak potom novú maticu napíšete znova ako sústavu rovníc, všimnete si, že posledný riadok už obsahuje hodnotu jedného z koreňov, ktorá sa potom dosadí do vyššie uvedenej rovnice, nájde sa ďalší koreň atď.
Toto je najvšeobecnejší popis riešenia Gaussovou metódou. Čo sa stane, ak systém zrazu nemá riešenie? Alebo ich je nekonečne veľa? Na zodpovedanie týchto a mnohých ďalších otázok je potrebné samostatne zvážiť všetky prvky použité pri riešení Gaussovej metódy.
Matrice, ich vlastnosti
V matrici nie je skrytý význam. Je to jednoducho pohodlný spôsob zaznamenávania údajov pre následné operácie s ním. Nemusia sa ich báť ani školáci.
Matica je vždy obdĺžniková, pretože je pohodlnejšia. Dokonca aj v Gaussovej metóde, kde všetko spočíva v zostrojení matice trojuholníkového tvaru, sa v položke objaví obdĺžnik, len s nulami na mieste, kde nie sú žiadne čísla. Nuly sa nemusia písať, ale sú implikované.
Matica má veľkosť. Jeho „šírka“ je počet riadkov (m), „dĺžka“ je počet stĺpcov (n). Potom veľkosť matice A (na ich označenie sa zvyčajne používajú veľké latinské písmená) označíme ako A m×n. Ak m=n, potom je táto matica štvorcová a m=n je jej poradie. Podľa toho môže byť ľubovoľný prvok matice A označený číslami riadkov a stĺpcov: a xy; x - číslo riadku, zmeny, y - číslo stĺpca, zmeny.
B nie je hlavným bodom rozhodnutia. V zásade možno všetky operácie vykonávať priamo so samotnými rovnicami, no zápis bude oveľa ťažkopádnejší a bude sa v ňom oveľa ľahšie zmiasť.
Determinant
Matica má tiež determinant. Toto je veľmi dôležitá vlastnosť. Teraz nie je potrebné zisťovať jeho význam, môžete jednoducho ukázať, ako sa vypočítava, a potom povedať, aké vlastnosti matice určuje. Najjednoduchší spôsob, ako nájsť determinant, je cez uhlopriečky. V matici sú nakreslené imaginárne uhlopriečky; prvky umiestnené na každom z nich sa vynásobia a potom sa pridajú výsledné produkty: uhlopriečky so sklonom doprava - so znamienkom plus, so sklonom doľava - so znamienkom mínus.
Je mimoriadne dôležité poznamenať, že determinant možno vypočítať iba pre štvorcovú maticu. Pre obdĺžnikovú maticu môžete urobiť nasledovné: vybrať najmenší z počtu riadkov a počtu stĺpcov (nech je k) a potom náhodne označiť k stĺpcov a k riadkov v matici. Prvky v priesečníku vybratých stĺpcov a riadkov vytvoria novú štvorcovú maticu. Ak je determinantom takejto matice nenulové číslo, nazýva sa základná minor pôvodnej pravouhlej matice.
Predtým, ako začnete riešiť sústavu rovníc pomocou Gaussovej metódy, nezaškodí vypočítať determinant. Ak sa ukáže, že je nula, potom môžeme okamžite povedať, že matica má buď nekonečný počet riešení, alebo žiadne. V takomto smutnom prípade treba ísť ďalej a informovať sa o hodnosti matice.
Klasifikácia systému
Existuje niečo ako hodnosť matice. Toto je maximálne poradie jej nenulového determinantu (ak si pamätáme na základnú minoritu, môžeme povedať, že hodnosť matice je poradie základne minor).
Na základe situácie s hodnosťou možno SLAE rozdeliť na:
- Spoločný. U V spoločných systémoch sa hodnosť hlavnej matice (pozostávajúcej len z koeficientov) zhoduje s hodnosťou rozšírenej matice (so stĺpcom voľných členov). Takéto systémy majú riešenie, ale nie nevyhnutne jedno, preto sa navyše kĺbové systémy delia na:
- - istý- majúci jediné riešenie. V určitých systémoch sú poradie matice a počet neznámych (alebo počet stĺpcov, čo je to isté) rovnaké;
- - nedefinované - s nekonečným množstvom riešení. Poradie matíc v takýchto systémoch je menšie ako počet neznámych.
- Nekompatibilné. U V takýchto systémoch sa poradie hlavnej a rozšírenej matice nezhoduje. Nekompatibilné systémy nemajú riešenie.
Gaussova metóda je dobrá, pretože pri riešení umožňuje získať buď jednoznačný dôkaz nekonzistentnosti sústavy (bez výpočtu determinantov veľkých matíc), alebo riešenie vo všeobecnej forme pre sústavu s nekonečným počtom riešení.
Elementárne transformácie
Predtým, ako pristúpite priamo k riešeniu systému, môžete ho urobiť menej ťažkopádnym a pohodlnejším pre výpočty. Dosahuje sa to elementárnymi transformáciami – takými, že ich implementácia nijako nemení konečnú odpoveď. Treba poznamenať, že niektoré z uvedených elementárnych transformácií sú platné len pre matice, ktorých zdrojom bol SLAE. Tu je zoznam týchto transformácií:
- Preskupenie liniek. Je zrejmé, že ak zmeníte poradie rovníc v systémovom zázname, riešenie to nijako neovplyvní. Riadky v matici tohto systému je teda možné aj prehadzovať, samozrejme, netreba zabúdať ani na stĺpec voľných výrazov.
- Násobenie všetkých prvkov reťazca určitým koeficientom. Veľmi nápomocný! Môže sa použiť na zmenšenie veľkých čísel v matici alebo odstránenie núl. Mnohé rozhodnutia sa ako obvykle nezmenia, ale ďalšie operácie budú pohodlnejšie. Hlavná vec je, že koeficient sa nerovná nule.
- Odstránenie riadkov s proporcionálnymi faktormi. To čiastočne vyplýva z predchádzajúceho odseku. Ak majú dva alebo viac riadkov v matici proporcionálne koeficienty, potom keď sa jeden z riadkov vynásobí/vydelí koeficientom proporcionality, získajú sa dva (alebo opäť viac) absolútne identické riadky a ďalšie riadky sa dajú odstrániť, čím zostane len jeden.
- Odstránenie nulového riadku. Ak sa pri transformácii niekde získa riadok, v ktorom sú všetky prvky vrátane voľného člena nulové, potom sa takýto riadok môže nazvať nula a vyhodiť z matice.
- Pridanie prvkov v jednom riadku prvkov druhého (v zodpovedajúcich stĺpcoch), vynásobených určitým koeficientom. Najnezrejmejšia a najdôležitejšia premena zo všetkých. Stojí za to venovať sa tomu podrobnejšie.
Pridanie reťazca vynásobeného faktorom
Pre ľahšie pochopenie stojí za to rozobrať tento proces krok za krokom. Z matice sú prevzaté dva riadky:
a 11 a 12 ... a 1n | b1
a 21 a 22 ... a 2n | b 2
Povedzme, že musíte pridať prvý k druhému, vynásobený koeficientom "-2".
a" 21 = a 21 + -2xa 11
a" 22 = a 22 + -2 x a 12
a" 2n = a 2n + -2xa 1n
Potom sa druhý riadok v matici nahradí novým a prvý zostane nezmenený.
a 11 a 12 ... a 1n | b1
a" 21 a" 22 ... a" 2n | b 2
Treba poznamenať, že koeficient násobenia možno zvoliť tak, že v dôsledku pridania dvoch riadkov sa jeden z prvkov nového riadku rovná nule. Preto je možné získať rovnicu v systéme, kde bude o jednu neznámu menej. A ak dostanete dve takéto rovnice, potom je možné operáciu vykonať znova a získať rovnicu, ktorá bude obsahovať o dve neznáme menej. A ak zakaždým otočíte jeden koeficient zo všetkých riadkov, ktoré sú pod pôvodným, na nulu, potom môžete, ako po schodoch, zísť na úplný spodok matice a získať rovnicu s jednou neznámou. Toto sa nazýva riešenie systému pomocou Gaussovej metódy.
Všeobecne
Nech existuje systém. Má m rovníc a n neznámych koreňov. Môžete to napísať nasledovne:
Hlavná matica je zostavená zo systémových koeficientov. Stĺpec voľných výrazov sa pridá do rozšírenej matice a pre pohodlie je oddelený čiarou.
- prvý riadok matice sa vynásobí koeficientom k = (-a 21 /a 11);
- pridá sa prvý upravený riadok a druhý riadok matice;
- namiesto druhého riadku sa do matice vloží výsledok doplnenia z predchádzajúceho odseku;
- teraz je prvý koeficient v novom druhom riadku a 11 × (-a 21 /a 11) + a 21 = -a 21 + a 21 = 0.
Teraz sa vykoná rovnaká séria transformácií, je zahrnutý iba prvý a tretí riadok. V súlade s tým je v každom kroku algoritmu prvok a 21 nahradený prvkom 31. Potom sa všetko opakuje pre 41, ... a m1. Výsledkom je matica, kde prvý prvok v riadkoch je nula. Teraz musíte zabudnúť na riadok číslo jedna a vykonať rovnaký algoritmus, počnúc riadkom dva:
- koeficient k = (-a 32 /a 22);
- druhý upravený riadok sa pridá k „aktuálnemu“ riadku;
- výsledok sčítania sa dosadí do tretieho, štvrtého atď. riadku, pričom prvý a druhý zostanú nezmenené;
- v riadkoch matice sú prvé dva prvky už rovné nule.
Algoritmus sa musí opakovať, kým sa neobjaví koeficient k = (-a m,m-1 /a mm). To znamená, že poslednýkrát bol algoritmus vykonaný iba pre nižšiu rovnicu. Teraz matica vyzerá ako trojuholník alebo má stupňovitý tvar. V spodnom riadku je rovnosť a mn × x n = b m. Koeficient a voľný člen sú známe a pomocou nich sa vyjadruje koreň: x n = b m /a mn. Výsledný koreň sa dosadí do horného riadku, aby sa zistilo x n-1 = (b m-1 - a m-1,n ×(b m /a mn))÷a m-1,n-1. A tak ďalej analogicky: v každom ďalšom riadku je nový koreň a po dosiahnutí „vrcholu“ systému môžete nájsť veľa riešení. Bude to jediné.
Keď neexistujú riešenia
Ak sa v jednom z riadkov matice všetky prvky okrem voľného člena rovnajú nule, potom rovnica zodpovedajúca tomuto riadku vyzerá ako 0 = b. Nemá to riešenie. A keďže takáto rovnica je v systéme zahrnutá, potom je množina riešení celého systému prázdna, teda degenerovaná.
Keď existuje nekonečné množstvo riešení
Môže sa stať, že v danej trojuholníkovej matici nie sú riadky s jedným koeficientovým prvkom rovnice a jedným voľným členom. Existujú iba riadky, ktoré by po prepísaní vyzerali ako rovnica s dvoma alebo viacerými premennými. To znamená, že systém má nekonečné množstvo riešení. V tomto prípade môže byť odpoveď daná vo forme všeobecného riešenia. Ako to spraviť?
Všetky premenné v matici sú rozdelené na základné a voľné. Základné sú tie, ktoré stoja „na okraji“ riadkov v matici krokov. Ostatné sú zadarmo. Vo všeobecnom riešení sa základné premenné zapisujú cez voľné.
Pre pohodlie je matica najprv prepísaná späť do systému rovníc. Potom v poslednej z nich, kde presne ostala len jedna základná premenná, zostane na jednej strane a všetko ostatné sa prenesie na druhú. Toto sa robí pre každú rovnicu s jednou základnou premennou. Potom v zostávajúcich rovniciach, kde je to možné, sa namiesto základnej premennej dosadí pre ňu získaný výraz. Ak je výsledkom opäť výraz obsahujúci iba jednu základnú premennú, je opäť vyjadrený odtiaľ atď., kým sa každá základná premenná nezapíše ako výraz s voľnými premennými. Toto je všeobecné riešenie SLAE.
Môžete tiež nájsť základné riešenie systému - zadajte voľným premenným ľubovoľné hodnoty a potom pre tento konkrétny prípad vypočítajte hodnoty základných premenných. Existuje nekonečné množstvo konkrétnych riešení, ktoré možno poskytnúť.
Riešenie s konkrétnymi príkladmi
Tu je systém rovníc.
Pre pohodlie je lepšie okamžite vytvoriť maticu
Je známe, že pri riešení Gaussovou metódou zostane rovnica zodpovedajúca prvému riadku na konci transformácií nezmenená. Preto bude výhodnejšie, ak bude ľavý horný prvok matice najmenší - potom sa prvé prvky zostávajúcich riadkov po operáciách zmenia na nulu. To znamená, že v zostavenej matici bude výhodné umiestniť druhý riadok na miesto prvého.
druhý riadok: k = (-a21/a11) = (-3/1) = -3
a" 21 = a 21 + k×a 11 = 3 + (-3)×1 = 0
a" 22 = a 22 + k×a 12 = -1 + (-3)×2 = -7
a" 23 = a 23 + k×a 13 = 1 + (-3)×4 = -11
b" 2 = b 2 + k × b 1 = 12 + (-3) × 12 = -24
tretí riadok: k = (-a 3 1 /a 11) = (-5/1) = -5
a" 3 1 = a 3 1 + k×a 11 = 5 + (-5)×1 = 0
a" 3 2 = a 3 2 + k×a 12 = 1 + (-5)×2 = -9
a" 3 3 = a 33 + k×a 13 = 2 + (-5)×4 = -18
b" 3 = b 3 + k × b 1 = 3 + (-5) × 12 = -57
Teraz, aby ste sa nenechali zmiasť, musíte napísať maticu s medzivýsledkami transformácií.
Je zrejmé, že takáto matica môže byť pohodlnejšia na vnímanie pomocou určitých operácií. Môžete napríklad odstrániť všetky „mínusy“ z druhého riadku vynásobením každého prvku „-1“.
Za zmienku tiež stojí, že v treťom riadku sú všetky prvky násobkami troch. Potom môžete reťazec skrátiť o toto číslo vynásobením každého prvku "-1/3" (mínus - súčasne, aby sa odstránili záporné hodnoty).
Vyzerá oveľa krajšie. Teraz musíme nechať prvý riadok na pokoji a pracovať s druhým a tretím. Úlohou je pridať druhý riadok k tretiemu riadku, vynásobený takým koeficientom, aby sa prvok a 32 rovnal nule.
k = (-a 32 /a 22) = (-3/7) = -3/7 (ak sa pri niektorých transformáciách odpoveď neukáže ako celé číslo, odporúča sa zachovať presnosť výpočtov ponechať je „tak ako je“, vo forme obyčajných zlomkov a až potom, keď dostanete odpovede, sa rozhodnite, či sa má zaokrúhliť a previesť na inú formu záznamu)
a" 32 = a 32 + k×a 22 = 3 + (-3/7) × 7 = 3 + (-3) = 0
a" 33 = a 33 + k×a 23 = 6 + (-3/7)×11 = -9/7
b" 3 = b 3 + k × b 2 = 19 + (-3/7) × 24 = -61/7
Matica sa znova zapíše s novými hodnotami.
| 1 | 2 | 4 | 12 |
| 0 | 7 | 11 | 24 |
| 0 | 0 | -9/7 | -61/7 |
Ako vidíte, výsledná matica už má stupňovitý tvar. Preto nie sú potrebné ďalšie transformácie systému pomocou Gaussovej metódy. Tu môžete odstrániť celkový koeficient "-1/7" z tretieho riadku.
Teraz je všetko krásne. Zostáva len napísať maticu znova vo forme systému rovníc a vypočítať korene
x + 2y + 4z = 12 (1)
7r + 11z = 24 (2)
Algoritmus, ktorým sa teraz budú hľadať korene, sa v Gaussovej metóde nazýva spätný pohyb. Rovnica (3) obsahuje hodnotu z:
y = (24 - 11 x (61/9))/7 = -65/9
A prvá rovnica nám umožňuje nájsť x:
x = (12 - 4z - 2y)/1 = 12 - 4×(61/9) - 2×(-65/9) = -6/9 = -2/3
Máme právo nazývať takýto systém spoločným, a dokonca určitým, to znamená, že má jedinečné riešenie. Odpoveď je napísaná v nasledujúcom tvare:
x1 = -2/3, y = -65/9, z = 61/9.
Príklad neistého systému
Variant riešenia určitej sústavy Gaussovou metódou bol analyzovaný, teraz je potrebné zvážiť prípad, ak je sústava neistá, teda možno pre ňu nájsť nekonečne veľa riešení.
x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 (1)
3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 = -2 (2)
x 2 + 2 x 3 + 2 x 4 + 6 x 5 = 23 (3)
5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 - x 5 = 12 (4)
Už samotný vzhľad systému je alarmujúci, pretože počet neznámych je n = 5 a poradie matice systému je už presne menšie ako toto číslo, pretože počet riadkov je m = 4, tj. najväčšie poradie determinant-štvorca je 4. To znamená, že existuje nekonečné množstvo riešení a musíte hľadať jeho všeobecný vzhľad. Umožňuje vám to Gaussova metóda pre lineárne rovnice.
Najprv sa ako obvykle zostaví rozšírená matica.
Druhý riadok: koeficient k = (-a 21 /a 11) = -3. V treťom riadku je prvý prvok pred transformáciami, takže sa nemusíte ničoho dotýkať, musíte to nechať tak, ako je. Štvrtý riadok: k = (-a 4 1 /a 11) = -5
Postupným vynásobením prvkov prvého riadku každým z ich koeficientov a ich pridaním do požadovaných riadkov získame maticu nasledujúceho tvaru:
Ako vidíte, druhý, tretí a štvrtý riadok pozostávajú z prvkov, ktoré sú navzájom proporcionálne. Druhý a štvrtý sú vo všeobecnosti identické, takže jeden z nich je možné okamžite odstrániť a zvyšný vynásobiť koeficientom „-1“ a získať riadok číslo 3. A opäť z dvoch rovnakých riadkov ponechajte jeden.
Výsledkom je takáto matica. Zatiaľ čo systém ešte nie je zapísaný, je tu potrebné určiť základné premenné - tie, ktoré stoja pri koeficientoch a 11 = 1 a a 22 = 1, a voľné - všetky ostatné.
V druhej rovnici je len jedna základná premenná - x 2. To znamená, že sa odtiaľ dá vyjadriť zápisom cez premenné x 3 , x 4 , x 5 , ktoré sú voľné.
Výsledný výraz dosadíme do prvej rovnice.
Výsledkom je rovnica, v ktorej je jedinou základnou premennou x 1 . Urobme s tým to isté ako s x 2.
Všetky základné premenné, z ktorých sú dve, sú vyjadrené tromi voľnými, teraz môžeme odpoveď napísať vo všeobecnej forme.
Môžete tiež zadať jedno z konkrétnych riešení systému. V takýchto prípadoch sa ako hodnoty pre voľné premenné zvyčajne vyberajú nuly. Potom bude odpoveď:
16, 23, 0, 0, 0.
Príklad nespolupracujúceho systému
Riešenie nekompatibilných sústav rovníc pomocou Gaussovej metódy je najrýchlejšie. Okamžite končí, akonáhle sa v niektorej z fáz získa rovnica, ktorá nemá riešenie. To znamená, že fáza výpočtu koreňov, ktorá je dosť dlhá a únavná, odpadá. Do úvahy prichádza nasledujúci systém:
x + y - z = 0 (1)
2x - y - z = -2 (2)
4x + y - 3z = 5 (3)
Ako obvykle je matica zostavená:
| 1 | 1 | -1 | 0 |
| 2 | -1 | -1 | -2 |
| 4 | 1 | -3 | 5 |
A je zredukovaný na stupňovitú formu:
k1 = -2k2 = -4
| 1 | 1 | -1 | 0 |
| 0 | -3 | 1 | -2 |
| 0 | 0 | 0 | 7 |
Po prvej transformácii obsahuje tretí riadok rovnicu tvaru
bez riešenia. V dôsledku toho je systém nekonzistentný a odpoveďou bude prázdna množina.
Výhody a nevýhody metódy
Ak si vyberiete metódu riešenia SLAE na papieri perom, metóda, o ktorej sa hovorí v tomto článku, vyzerá najatraktívnejšie. Je oveľa ťažšie zmiasť sa v elementárnych transformáciách, ako keď musíte manuálne hľadať determinant alebo nejakú záludnú inverznú maticu. Ak však používate programy na prácu s údajmi tohto typu, napríklad tabuľky, potom sa ukazuje, že takéto programy už obsahujú algoritmy na výpočet hlavných parametrov matíc - determinant, vedľajšie, inverzné atď. A ak ste si istí, že stroj tieto hodnoty vypočíta sám a nebude robiť chyby, je vhodnejšie použiť maticovú metódu alebo Cramerove vzorce, pretože ich aplikácia začína a končí výpočtom determinantov a inverzných matíc. .
Aplikácia
Keďže Gaussovo riešenie je algoritmus a matica je v skutočnosti dvojrozmerné pole, možno ho použiť pri programovaní. Ale keďže sa článok stavia ako návod „pre figuríny“, malo by sa povedať, že najjednoduchšie miesto na vloženie metódy sú tabuľky, napríklad Excel. Opäť platí, že každý SLAE zadaný do tabuľky vo forme matice bude Excel považovať za dvojrozmerné pole. A na operácie s nimi existuje veľa pekných príkazov: sčítanie (môžete sčítať iba matice rovnakej veľkosti!), násobenie číslom, násobenie matíc (aj s určitými obmedzeniami), hľadanie inverzných a transponovaných matíc a hlavne , výpočet determinantu. Ak je táto časovo náročná úloha nahradená jediným príkazom, je možné určiť hodnosť matice oveľa rýchlejšie, a teda určiť jej kompatibilitu alebo nekompatibilitu.
Od začiatku 16. – 18. storočia sa matematici intenzívne začali zaoberať funkciami, vďaka ktorým sa v našich životoch toľko zmenilo. Počítačová technika by bez týchto znalostí jednoducho neexistovala. Na riešenie zložitých problémov, lineárnych rovníc a funkcií boli vytvorené rôzne koncepty, vety a techniky riešenia. Jednou z takýchto univerzálnych a racionálnych metód a techník na riešenie lineárnych rovníc a ich sústav bola Gaussova metóda. Matice, ich poradie, determinant - všetko sa dá vypočítať bez použitia zložitých operácií.
Čo je SLAU
V matematike existuje pojem SLAE – systém lineárnych algebraických rovníc. Aká je? Ide o súbor m rovníc s požadovanými n neznámymi veličinami, ktoré sa zvyčajne označujú ako x, y, z alebo x 1, x 2 ... x n alebo iné symboly. Riešenie daného systému pomocou Gaussovej metódy znamená nájsť všetky neznáme. Ak má systém rovnaký počet neznámych a rovníc, potom sa nazýva systém n-tého rádu.
Najpopulárnejšie metódy riešenia SLAE
Vo vzdelávacích inštitúciách stredného vzdelávania sa študujú rôzne metódy riešenia takýchto systémov. Najčastejšie ide o jednoduché rovnice pozostávajúce z dvoch neznámych, takže akákoľvek existujúca metóda na nájdenie odpovede na ne nezaberie veľa času. Môže to byť ako substitučná metóda, keď je z jednej rovnice odvodená iná a dosadená do pôvodnej. Alebo metóda odčítania a sčítania po členoch. Ale Gaussova metóda je považovaná za najjednoduchšiu a najuniverzálnejšiu. Umožňuje riešiť rovnice s ľubovoľným počtom neznámych. Prečo sa táto konkrétna technika považuje za racionálnu? Je to jednoduché. Dobrá vec na maticovej metóde je, že nevyžaduje niekoľkokrát prepisovanie nepotrebných symbolov ako neznámych, stačí vykonať aritmetické operácie s koeficientmi - a dostanete spoľahlivý výsledok.
Kde sa SLAE používajú v praxi?
Riešením SLAE sú priesečníky čiar na grafoch funkcií. V našej high-tech počítačovej dobe ľudia, ktorí sú úzko spätí s vývojom hier a iných programov, potrebujú vedieť, ako takéto systémy riešiť, čo predstavujú a ako kontrolovať správnosť výsledného výsledku. Programátori najčastejšie vyvíjajú špeciálne programy na kalkulačky lineárnej algebry, ktoré obsahujú aj systém lineárnych rovníc. Gaussova metóda umožňuje vypočítať všetky existujúce riešenia. Používajú sa aj iné zjednodušené vzorce a techniky.
Kritérium kompatibility SLAU
Takýto systém je možné vyriešiť len vtedy, ak je kompatibilný. Pre prehľadnosť uvádzame SLAE v tvare Ax=b. Má riešenie, ak sa rang(A) rovná rang(A,b). V tomto prípade (A,b) je matica rozšíreného tvaru, ktorú možno získať z matice A jej prepísaním voľnými členmi. Ukazuje sa, že riešenie lineárnych rovníc pomocou Gaussovej metódy je celkom jednoduché.
Možno niektoré symboly nie sú úplne jasné, preto je potrebné všetko zvážiť na príklade. Povedzme, že existuje systém: x+y=1; 2x-3y=6. Pozostáva len z dvoch rovníc, v ktorých sú 2 neznáme. Systém bude mať riešenie iba vtedy, ak sa hodnosť jeho matice rovná hodnosti rozšírenej matice. čo je hodnosť? Toto je počet nezávislých riadkov systému. V našom prípade je poradie matice 2. Matica A bude pozostávať z koeficientov umiestnených v blízkosti neznámych a koeficienty umiestnené za znakom „=“ tiež zapadajú do rozšírenej matice.
Prečo môžu byť SLAE zastúpené v maticovej forme?
Na základe kritéria kompatibility podľa osvedčenej Kronecker-Capelliho vety je možné systém lineárnych algebraických rovníc reprezentovať v maticovej forme. Pomocou metódy Gaussovej kaskády môžete vyriešiť maticu a získať jedinú spoľahlivú odpoveď pre celý systém. Ak sa hodnosť obyčajnej matice rovná hodnosti jej rozšírenej matice, ale je menšia ako počet neznámych, potom má systém nekonečný počet odpovedí.
Maticové transformácie
Predtým, ako pristúpite k riešeniu matíc, musíte vedieť, aké akcie je možné vykonať s ich prvkami. Existuje niekoľko základných transformácií:
- Prepísaním systému do maticového tvaru a jeho riešením môžete vynásobiť všetky prvky radu rovnakým koeficientom.
- Ak chcete transformovať maticu do kanonickej formy, môžete vymeniť dva paralelné riadky. Kanonická forma znamená, že všetky prvky matice, ktoré sa nachádzajú pozdĺž hlavnej uhlopriečky, sa stanú jednotkami a zvyšné sa stanú nulami.
- Zodpovedajúce prvky rovnobežných radov matice môžu byť navzájom sčítané.
Jordan-Gaussova metóda
Podstatou riešenia sústav lineárnych homogénnych a nehomogénnych rovníc Gaussovou metódou je postupné odstraňovanie neznámych. Povedzme, že máme systém dvoch rovníc, v ktorých sú dve neznáme. Ak ich chcete nájsť, musíte skontrolovať kompatibilitu systému. Rovnica je riešená veľmi jednoducho Gaussovou metódou. Koeficienty nachádzajúce sa pri každej neznámej je potrebné zapísať v maticovom tvare. Na vyriešenie systému budete musieť vypísať rozšírenú maticu. Ak jedna z rovníc obsahuje menší počet neznámych, potom sa namiesto chýbajúceho prvku musí vložiť „0“. Na maticu sa aplikujú všetky známe transformačné metódy: násobenie, delenie číslom, sčítanie zodpovedajúcich prvkov radu k sebe a iné. Ukazuje sa, že v každom riadku je potrebné ponechať jednu premennú s hodnotou „1“, zvyšok by sa mal znížiť na nulu. Pre presnejšie pochopenie je potrebné zvážiť Gaussovu metódu s príkladmi.
Jednoduchý príklad riešenia systému 2x2
Na začiatok si zoberme jednoduchú sústavu algebraických rovníc, v ktorej budú 2 neznáme.
Prepíšme to do rozšírenej matice.
Na vyriešenie tohto systému lineárnych rovníc sú potrebné iba dve operácie. Potrebujeme priviesť maticu do kanonickej formy, aby na hlavnej diagonále boli jedničky. Takže prenesením z maticového tvaru späť do systému dostaneme rovnice: 1x+0y=b1 a 0x+1y=b2, kde b1 a b2 sú výsledné odpovede v procese riešenia.
- Prvá akcia pri riešení rozšírenej matice bude takáto: prvý riadok treba vynásobiť -7 a do druhého riadku pridať zodpovedajúce prvky, aby sme sa zbavili jednej neznámej v druhej rovnici.
- Keďže riešenie rovníc pomocou Gaussovej metódy zahŕňa redukciu matice na kanonickú formu, potom je potrebné vykonať rovnaké operácie s prvou rovnicou a odstrániť druhú premennú. Aby sme to urobili, odpočítame druhý riadok od prvého a získame požadovanú odpoveď - riešenie SLAE. Alebo, ako je znázornené na obrázku, vynásobíme druhý riadok koeficientom -1 a pripočítame prvky druhého riadku k prvému riadku. To je to isté.
Ako vidíme, náš systém bol vyriešený Jordan-Gaussovou metódou. Prepíšeme ho do požadovaného tvaru: x=-5, y=7.
Príklad riešenia 3x3 SLAE
Predpokladajme, že máme zložitejší systém lineárnych rovníc. Gaussova metóda umožňuje vypočítať odpoveď aj pre zdanlivo najprehľadnejší systém. Preto, aby ste sa hlbšie ponorili do metodiky výpočtu, môžete prejsť na zložitejší príklad s tromi neznámymi.
Rovnako ako v predchádzajúcom príklade prepíšeme systém do podoby rozšírenej matice a začneme ho uvádzať do kanonickej podoby.
Na vyriešenie tohto systému budete musieť vykonať oveľa viac akcií ako v predchádzajúcom príklade.
- Najprv musíte urobiť prvý stĺpec jedným jednotkovým prvkom a zvyšok nulami. Ak to chcete urobiť, vynásobte prvú rovnicu -1 a pridajte k nej druhú rovnicu. Je dôležité si zapamätať, že prvý riadok prepisujeme do pôvodnej podoby a druhý do upravenej podoby.
- Ďalej odstránime tú istú prvú neznámu z tretej rovnice. Za týmto účelom vynásobte prvky prvého riadku -2 a pridajte ich do tretieho riadku. Teraz sú prvý a druhý riadok prepísané do pôvodnej podoby a tretí - so zmenami. Ako vidíte z výsledku, prvú sme dostali na začiatok hlavnej uhlopriečky matice a zvyšné nuly. Ešte pár krokov a systém rovníc Gaussovou metódou bude spoľahlivo vyriešený.
- Teraz musíte vykonať operácie na iných prvkoch riadkov. Tretiu a štvrtú akciu je možné spojiť do jednej. Druhý a tretí riadok musíme vydeliť -1, aby sme sa zbavili mínusových na uhlopriečke. Tretí riadok sme už priviedli do požadovanej podoby.
- Ďalej uvedieme druhý riadok do kanonickej podoby. Aby sme to urobili, vynásobíme prvky tretieho riadku -3 a pridáme ich do druhého riadku matice. Z výsledku je zrejmé, že aj druhý riadok je zredukovaný do podoby, akú potrebujeme. Zostáva vykonať niekoľko ďalších operácií a odstrániť koeficienty neznámych z prvého riadku.
- Ak chcete vytvoriť 0 z druhého prvku v rade, musíte vynásobiť tretí riadok -3 a pridať ho do prvého riadku.
- Ďalším rozhodujúcim krokom bude pridanie potrebných prvkov druhého radu do prvého radu. Takto dostaneme kanonickú formu matice, a teda aj odpoveď.
Ako vidíte, riešenie rovníc pomocou Gaussovej metódy je celkom jednoduché.
Príklad riešenia sústavy rovníc 4x4
Niektoré zložitejšie sústavy rovníc je možné riešiť pomocou Gaussovej metódy pomocou počítačových programov. Koeficienty pre neznáme je potrebné zadať do existujúcich prázdnych buniek a program sám krok za krokom vypočíta požadovaný výsledok s podrobným popisom každej akcie.
Pokyny krok za krokom na riešenie takéhoto príkladu sú popísané nižšie.
V prvom kroku sa do prázdnych buniek zadajú voľné koeficienty a čísla pre neznáme. Dostaneme teda rovnakú rozšírenú maticu, ktorú napíšeme ručne.
A vykonajú sa všetky potrebné aritmetické operácie, aby sa rozšírená matica dostala do jej kanonickej formy. Je potrebné pochopiť, že odpoveďou na systém rovníc nie sú vždy celé čísla. Niekedy môže byť riešenie zo zlomkových čísel.
Kontrola správnosti riešenia
Jordan-Gaussova metóda umožňuje kontrolu správnosti výsledku. Aby ste zistili, či sú koeficienty vypočítané správne, stačí výsledok dosadiť do pôvodnej sústavy rovníc. Ľavá strana rovnice sa musí zhodovať s pravou stranou za znamienkom rovnosti. Ak sa odpovede nezhodujú, musíte systém prepočítať alebo naň skúsiť použiť inú metódu riešenia SLAE, ktorú poznáte, ako je substitúcia alebo odčítanie a sčítanie po členoch. Matematika je predsa veda, ktorá má obrovské množstvo rôznych metód riešenia. Ale pamätajte: výsledok by mal byť vždy rovnaký, bez ohľadu na to, aký spôsob riešenia ste použili.
Gaussova metóda: najčastejšie chyby pri riešení SLAE
Pri riešení lineárnych sústav rovníc najčastejšie dochádza k chybám ako je nesprávny prenos koeficientov do maticového tvaru. Existujú systémy, v ktorých niektoré neznáme chýbajú v jednej z rovníc; potom sa pri prenose údajov do rozšírenej matice môžu stratiť. Výsledkom je, že pri riešení tohto systému nemusí výsledok zodpovedať skutočnosti.
Ďalšou veľkou chybou môže byť nesprávne vypísanie konečného výsledku. Je potrebné jasne pochopiť, že prvý koeficient bude zodpovedať prvému neznámemu zo systému, druhému - druhému atď.
Gaussova metóda podrobne popisuje riešenie lineárnych rovníc. Vďaka nemu je ľahké vykonať potrebné operácie a nájsť správny výsledok. Navyše ide o univerzálny nástroj na nájdenie spoľahlivej odpovede na rovnice akejkoľvek zložitosti. Možno aj preto sa tak často používa pri riešení SLAE.
Gaussova metóda ideálne na riešenie systémov lineárnych algebraických rovníc (SLAE). V porovnaní s inými metódami má niekoľko výhod:
- po prvé, nie je potrebné najprv skúmať konzistenciu systému rovníc;
- po druhé, Gaussova metóda dokáže riešiť nielen SLAE, v ktorých sa počet rovníc zhoduje s počtom neznámych premenných a hlavná matica systému je nesingulárna, ale aj sústavy rovníc, v ktorých sa počet rovníc nezhoduje s počet neznámych premenných alebo determinant hlavnej matice sa rovná nule;
- po tretie, Gaussova metóda vedie k výsledkom s relatívne malým počtom výpočtových operácií.
Stručný prehľad článku.
Najprv uvedieme potrebné definície a zavedieme notácie.
Ďalej popíšeme algoritmus Gaussovej metódy pre najjednoduchší prípad, teda pre sústavy lineárnych algebraických rovníc, počet rovníc, v ktorých sa zhoduje s počtom neznámych premenných a determinantom hlavnej matice sústavy je nerovná sa nule. Pri riešení takýchto sústav rovníc je najzreteľnejšie viditeľná podstata Gaussovej metódy, ktorou je postupná eliminácia neznámych premenných. Preto sa Gaussova metóda nazýva aj metóda postupnej eliminácie neznámych. Ukážeme si podrobné riešenia niekoľkých príkladov.
Na záver zvážime riešenie Gaussovou metódou systémov lineárnych algebraických rovníc, ktorých hlavná matica je buď pravouhlá alebo singulárna. Riešenie takýchto systémov má niektoré vlastnosti, ktoré podrobne preskúmame na príkladoch.
Navigácia na stránke.
Základné definície a zápisy.
Uvažujme sústavu p lineárnych rovníc s n neznámymi (p sa môže rovnať n):
Kde sú neznáme premenné, sú čísla (reálne alebo komplexné) a sú voľné pojmy.
Ak 
, potom sa nazýva sústava lineárnych algebraických rovníc homogénne, inak - heterogénne.
Nazýva sa množina hodnôt neznámych premenných, pre ktoré sa všetky rovnice systému stávajú identitami rozhodnutie SLAU.
Ak existuje aspoň jedno riešenie systému lineárnych algebraických rovníc, potom sa nazýva kĺb, inak - nekĺbové.
Ak má SLAE jedinečné riešenie, potom sa nazýva istý. Ak existuje viac riešení, potom sa volá systém neistý.
Hovoria, že systém je napísaný v súradnicový formulár, ak má formu
.
Tento systém v matricový formulár záznamov má tvar , kde 
- hlavná matica SLAE, - matica stĺpca neznámych premenných, - matica voľných členov.
Ak k matici A pridáme maticu-stĺpec voľných členov ako (n+1)-tý stĺpec, dostaneme tzv. rozšírená matica sústavy lineárnych rovníc. Rozšírená matica je zvyčajne označená písmenom T a stĺpec voľných výrazov je oddelený zvislou čiarou od zostávajúcich stĺpcov, tj. 
Štvorcová matica A sa nazýva degenerovať, ak je jeho determinant nula. Ak , potom sa volá matica A nedegenerované.
Treba poznamenať nasledujúci bod.
Ak vykonáte nasledujúce akcie so systémom lineárnych algebraických rovníc
- vymeniť dve rovnice,
- vynásobte obe strany akejkoľvek rovnice ľubovoľným a nenulovým reálnym (alebo komplexným) číslom k,
- k obom stranám akejkoľvek rovnice pridajte zodpovedajúce časti inej rovnice vynásobené ľubovoľným číslom k,
potom dostanete ekvivalentný systém, ktorý má rovnaké riešenia (alebo rovnako ako ten pôvodný nemá žiadne riešenia).
Pre rozšírenú maticu systému lineárnych algebraických rovníc budú tieto akcie znamenať vykonanie elementárnych transformácií s riadkami:
- výmena dvoch riadkov,
- vynásobením všetkých prvkov ľubovoľného radu matice T nenulovým číslom k,
- pridanie k prvkom ľubovoľného riadku matice zodpovedajúcich prvkov iného riadku, vynásobené ľubovoľným číslom k.
Teraz môžeme pristúpiť k popisu Gaussovej metódy.
Riešenie sústav lineárnych algebraických rovníc, v ktorých sa počet rovníc rovná počtu neznámych a hlavná matica sústavy je nesingulárna, pomocou Gaussovej metódy.
Čo by sme robili v škole, keby sme dostali za úlohu nájsť riešenie sústavy rovníc? 
.
Niektorí by to urobili.
Všimnite si, že pridaním ľavej strany prvej k ľavej strane druhej rovnice a pravej strany k pravej strane sa môžete zbaviť neznámych premenných x 2 a x 3 a okamžite nájsť x 1: 
Nájdenú hodnotu x 1 =1 dosadíme do prvej a tretej rovnice sústavy: 
Ak obe strany tretej rovnice sústavy vynásobíme -1 a pripočítame ich k príslušným častiam prvej rovnice, zbavíme sa neznámej premennej x 3 a môžeme nájsť x 2: 
Výslednú hodnotu x 2 = 2 dosadíme do tretej rovnice a nájdeme zvyšnú neznámu premennú x 3: 
Iní by postupovali inak.
Vyriešme prvú rovnicu systému vzhľadom na neznámu premennú x 1 a výsledný výraz dosadíme do druhej a tretej rovnice systému, aby sme z nich túto premennú vylúčili: 
Teraz vyriešme druhú rovnicu systému pre x 2 a získaný výsledok dosadíme do tretej rovnice, aby sme z nej odstránili neznámu premennú x 2: 
Z tretej rovnice sústavy je zrejmé, že x 3 =3. Z druhej rovnice zistíme 
a z prvej rovnice dostaneme .
Známe riešenia, však?
Najzaujímavejšie tu je, že druhá metóda riešenia je v podstate metóda postupnej eliminácie neznámych, teda Gaussova metóda. Keď sme vyjadrili neznáme premenné (najprv x 1, v ďalšom štádiu x 2) a dosadili ich do zvyšných rovníc systému, tým sme ich vylúčili. Eliminovali sme dovtedy, kým v poslednej rovnici nezostala iba jedna neznáma premenná. Proces postupného odstraňovania neznámych sa nazýva priama Gaussova metóda. Po dokončení pohybu vpred máme možnosť vypočítať neznámu premennú zistenú v poslednej rovnici. S jeho pomocou nájdeme ďalšiu neznámu premennú z predposlednej rovnice atď. Proces postupného hľadania neznámych premenných pri prechode od poslednej rovnice k prvej sa nazýva inverzná ku Gaussovej metóde.
Je potrebné poznamenať, že keď vyjadríme x 1 ako x 2 a x 3 v prvej rovnici a potom dosadíme výsledný výraz do druhej a tretej rovnice, nasledujúce akcie vedú k rovnakému výsledku:
Takýto postup tiež umožňuje eliminovať neznámu premennú x 1 z druhej a tretej rovnice systému: 
Nuansy s elimináciou neznámych premenných pomocou Gaussovej metódy vznikajú vtedy, keď rovnice systému neobsahujú nejaké premenné.
Napríklad v SLAU 
v prvej rovnici nie je neznáma premenná x 1 (inými slovami, koeficient pred ňou je nula). Preto nemôžeme vyriešiť prvú rovnicu systému pre x 1, aby sme túto neznámu premennú odstránili zo zostávajúcich rovníc. Východiskom z tejto situácie je výmena rovníc systému. Keďže uvažujeme o sústavách lineárnych rovníc, ktorých determinanty hlavných matíc sú odlišné od nuly, vždy existuje rovnica, v ktorej je prítomná premenná, ktorú potrebujeme, a túto rovnicu môžeme preusporiadať do polohy, ktorú potrebujeme. Pre náš príklad stačí prehodiť prvú a druhú rovnicu sústavy 
, potom môžete vyriešiť prvú rovnicu pre x 1 a vylúčiť ju zo zostávajúcich rovníc systému (hoci x 1 už nie je prítomný v druhej rovnici).
Dúfame, že pochopíte podstatu.
Poďme popísať Algoritmus Gaussovej metódy.
Predpokladajme, že potrebujeme vyriešiť systém n lineárnych algebraických rovníc s n neznámymi premennými tvaru 
, a nech je determinant jeho hlavnej matice odlišný od nuly.
Budeme predpokladať, že , pretože to môžeme vždy dosiahnuť preskupením rovníc systému. Vylúčme neznámu premennú x 1 zo všetkých rovníc systému, počnúc druhou. Aby sme to dosiahli, do druhej rovnice systému pridáme prvú, vynásobenú , do tretej rovnice pridáme prvú, vynásobenú , atď., K n-tej rovnici pridáme prvú, vynásobenú . Systém rovníc po takýchto transformáciách nadobudne tvar 
kde a 
.
K rovnakému výsledku by sme dospeli, ak by sme x 1 vyjadrili pomocou iných neznámych premenných v prvej rovnici systému a výsledný výraz dosadili do všetkých ostatných rovníc. Premenná x 1 je teda vylúčená zo všetkých rovníc, počnúc druhou.
Ďalej postupujeme podobne, ale len s časťou výslednej sústavy, ktorá je vyznačená na obrázku 
Aby sme to dosiahli, do tretej rovnice systému pridáme druhú, vynásobenú , do štvrtej rovnice pridáme druhú, vynásobenú , atď., K n-tej rovnici pridáme druhú, vynásobenú . Systém rovníc po takýchto transformáciách nadobudne tvar 
kde a 
. Premenná x 2 je teda vylúčená zo všetkých rovníc, počnúc treťou.
Ďalej pristúpime k eliminácii neznámeho x 3, pričom podobne postupujeme aj s časťou systému označenou na obr. 
Pokračujeme teda v priamom postupe Gaussovej metódy, kým systém nezíska formu 
Od tohto momentu začíname obrátene Gaussovej metódy: x n vypočítame z poslednej rovnice ako , pomocou získanej hodnoty x n nájdeme x n-1 z predposlednej rovnice atď., Z prvej rovnice nájdeme x 1 .
Pozrime sa na algoritmus na príklade.
Príklad.
Gaussova metóda.
Riešenie.
Koeficient a 11 je nenulový, takže pristúpme k priamej progresii Gaussovej metódy, teda k vylúčeniu neznámej premennej x 1 zo všetkých rovníc systému okrem prvej. Ak to chcete urobiť, na ľavú a pravú stranu druhej, tretej a štvrtej rovnice pridajte ľavú a pravú stranu prvej rovnice vynásobené , resp. 
a: 
Neznáma premenná x 1 bola eliminovaná, prejdime k eliminácii x 2 . K ľavej a pravej strane tretej a štvrtej rovnice systému pridáme ľavú a pravú stranu druhej rovnice, vynásobené 
A 
:
Aby sme dokončili doprednú progresiu Gaussovej metódy, musíme z poslednej rovnice systému vylúčiť neznámu premennú x 3. Pridajme k ľavej a pravej strane štvrtej rovnice, respektíve k ľavej a pravej strane tretej rovnice, vynásobené 
:
Môžete začať naopak Gaussovej metódy.
Z poslednej rovnice, ktorú máme 
,
z tretej rovnice dostaneme,
z druhej,
z toho prvého.
Pre kontrolu môžete získané hodnoty neznámych premenných dosadiť do pôvodného systému rovníc. Všetky rovnice sa menia na identity, čo naznačuje, že riešenie pomocou Gaussovej metódy bolo nájdené správne.
odpoveď:
Teraz dajme riešenie rovnakého príkladu pomocou Gaussovej metódy v maticovom zápise.
Príklad.
Nájdite riešenie sústavy rovníc Gaussova metóda.
Riešenie.
Rozšírená matica systému má tvar 
. V hornej časti každého stĺpca sú neznáme premenné, ktoré zodpovedajú prvkom matice.
Priamy prístup Gaussovej metódy tu zahŕňa redukciu rozšírenej matice systému do lichobežníkového tvaru pomocou elementárnych transformácií. Tento proces je podobný eliminácii neznámych premenných, ktoré sme robili so systémom v súradnicovej forme. Teraz to uvidíte.
Transformujme maticu tak, aby všetky prvky v prvom stĺpci, počnúc druhým, boli nulové. Aby sme to dosiahli, k prvkom druhého, tretieho a štvrtého riadku pridáme zodpovedajúce prvky prvého riadku vynásobené , a podľa toho: 
Potom transformujeme výslednú maticu tak, aby sa v druhom stĺpci všetky prvky, počnúc tretím, stali nulovými. To by zodpovedalo eliminácii neznámej premennej x 2 . Aby sme to dosiahli, k prvkom tretieho a štvrtého riadku pridáme zodpovedajúce prvky prvého riadku matice, vynásobené resp. A :
Zostáva vylúčiť neznámu premennú x 3 z poslednej rovnice systému. Aby sme to dosiahli, k prvkom posledného riadku výslednej matice pridáme zodpovedajúce prvky predposledného riadku, vynásobené :
Treba poznamenať, že táto matica zodpovedá systému lineárnych rovníc 
ktorý bol získaný skôr po pohybe vpred.
Je čas obrátiť sa späť. V maticovom zápise inverzná metóda ku Gaussovej metóde zahŕňa transformáciu výslednej matice tak, aby matica označená na obrázku 
sa stal diagonálnym, to znamená, že nadobudol formu 
kde sú nejaké čísla.
Tieto transformácie sú podobné dopredným transformáciám Gaussovej metódy, ale nevykonávajú sa od prvého riadku po posledný, ale od posledného po prvý.
Pridajte k prvkom tretieho, druhého a prvého riadku zodpovedajúce prvky posledného riadku, vynásobené 
, ďalej a ďalej 
v tomto poradí: 
Teraz pridajte k prvkom druhého a prvého riadku zodpovedajúce prvky tretieho riadku, vynásobené, resp. 
V poslednom kroku reverznej Gaussovej metódy k prvkom prvého riadku pridáme zodpovedajúce prvky druhého radu, vynásobené: 
Výsledná matica zodpovedá sústave rovníc 
, odkiaľ nájdeme neznáme premenné.
odpoveď:
POZNÁMKA.
Pri použití Gaussovej metódy na riešenie systémov lineárnych algebraických rovníc sa treba vyhnúť približným výpočtom, pretože to môže viesť k úplne nesprávnym výsledkom. Odporúčame nezaokrúhľovať desatinné miesta. Je lepšie prejsť z desatinných zlomkov na bežné zlomky.
Príklad.
Riešte sústavu troch rovníc pomocou Gaussovej metódy 
.
Riešenie.
Všimnite si, že v tomto príklade majú neznáme premenné iné označenie (nie x 1, x 2, x 3, ale x, y, z). Prejdime k obyčajným zlomkom: 
Vylúčme neznáme x z druhej a tretej rovnice systému: 
Vo výslednom systéme neznáma premenná y chýba v druhej rovnici, ale y je prítomná v tretej rovnici, preto prehoďme druhú a tretiu rovnicu: 
Tým sa dokončí priamy postup Gaussovej metódy (nie je potrebné vylúčiť y z tretej rovnice, pretože táto neznáma premenná už neexistuje).
Začnime spätný pohyb.
Z poslednej rovnice zistíme 
,
od predposledného 
z prvej rovnice, ktorú máme 
odpoveď:
X = 10, y = 5, z = -20.
Riešenie sústav lineárnych algebraických rovníc, v ktorých sa počet rovníc nezhoduje s počtom neznámych alebo hlavná matica sústavy je singulárna, pomocou Gaussovej metódy.
Sústavy rovníc, ktorých hlavná matica je pravouhlá alebo štvorcová singulárna, nemusia mať žiadne riešenia, môžu mať jediné riešenie alebo môžu mať nekonečný počet riešení.
Teraz pochopíme, ako nám Gaussova metóda umožňuje stanoviť kompatibilitu alebo nekonzistenciu sústavy lineárnych rovníc av prípade jej kompatibility určiť všetky riešenia (alebo jedno riešenie).
Proces eliminácie neznámych premenných v prípade takýchto SLAE zostáva v zásade rovnaký. Je však potrebné podrobne uviesť niektoré situácie, ktoré môžu nastať.
Prejdime k najdôležitejšej fáze.
Predpokladajme teda, že systém lineárnych algebraických rovníc po dokončení doprednej progresie Gaussovej metódy nadobudne tvar 
a ani jedna rovnica nebola zredukovaná (v tomto prípade by sme dospeli k záveru, že systém je nekompatibilný). Vynára sa logická otázka: „Čo ďalej“?
Zapíšme si neznáme premenné, ktoré sú na prvom mieste vo všetkých rovniciach výsledného systému: 
V našom príklade sú to x 1, x 4 a x 5. Na ľavých stranách rovníc sústavy necháme len tie členy, ktoré obsahujú zapísané neznáme premenné x 1, x 4 a x 5, zvyšné členy sa prenesú na pravú stranu rovníc s opačným znamienkom: 
Neznámym premenným, ktoré sú na pravej strane rovníc, dajme ľubovoľné hodnoty, kde 
- ľubovoľné čísla: 
Potom pravé strany všetkých rovníc našej SLAE obsahujú čísla a môžeme pristúpiť k obrátenej Gaussovej metóde.
Z poslednej rovnice sústavy, ktorú máme, z predposlednej rovnice, ktorú nájdeme, z prvej rovnice dostaneme 
Riešením systému rovníc je množina hodnôt neznámych premenných 
Dávať čísla rôzne hodnoty, získame rôzne riešenia sústavy rovníc. To znamená, že náš systém rovníc má nekonečne veľa riešení.
odpoveď:
Kde - ľubovoľné čísla.
Na konsolidáciu materiálu podrobne rozoberieme riešenia niekoľkých ďalších príkladov.
Príklad.
Vyriešte homogénnu sústavu lineárnych algebraických rovníc 
Gaussova metóda.
Riešenie.
Vylúčme neznámu premennú x z druhej a tretej rovnice systému. Aby sme to dosiahli, na ľavú a pravú stranu druhej rovnice pridáme ľavú a pravú stranu prvej rovnice, vynásobené , a na ľavú a pravú stranu tretej rovnice pridáme ľavú a pravé strany prvej rovnice, vynásobené: 
Teraz vylúčme y z tretej rovnice výsledného systému rovníc: 
Výsledný SLAE je ekvivalentný systému 
.
Na ľavej strane systémových rovníc ponecháme len členy obsahujúce neznáme premenné x a y a členy s neznámou premennou z presunieme na pravú stranu: 