Ako počítať lichobežník s rôznymi stranami. Ako nájsť oblasť lichobežníka: vzorce a príklady

Táto kalkulačka vypočítala 2192 problémov na tému "Oblasť lichobežníka"

OBLASŤ LICHOČNÍKA

Vyberte vzorec na výpočet plochy lichobežníka, ktorý plánujete použiť na vyriešenie problému, ktorý vám bol pridelený:

Všeobecná teória na výpočet plochy lichobežníka.

Lichobežník - Je to plochá postava pozostávajúca zo štyroch bodov, z ktorých tri neležia na rovnakej čiare, a štyroch segmentov (strany), ktoré spájajú tieto štyri body do párov, v ktorých sú dve protiľahlé strany rovnobežné (ležia na rovnobežných čiarach) a ďalšie dve nie sú paralelné.

Body sú tzv vrcholy lichobežníka a sú označené veľkými latinskými písmenami.

Segmenty sú tzv lichobežníkové strany a sú označené dvojicou veľkých latinských písmen zodpovedajúcich vrcholom, ktoré spájajú segmenty.

Dve rovnobežné strany lichobežníka sa nazývajú trapézové základne .

Dve nerovnobežné strany lichobežníka sa nazývajú strany lichobežníka .

Obrázok č.1: Lichobežník ABCD

Na obrázku č.1 je znázornený lichobežník ABCD s vrcholmi A, B, C, D a stranami AB, BC, CD, DA.

AB ǁ DC - bázy lichobežníka ABCD.

AD, BC - laterálne strany lichobežníka ABCD.

Uhol tvorený lúčmi AB a AD sa nazýva uhol vo vrchole A. Označuje sa ako ÐA alebo ÐBAD, alebo ÐDAB.

Uhol, ktorý zvierajú lúče BA a BC, sa nazýva uhol vo vrchole B. Označuje sa ako ÐB alebo ÐABC, alebo ÐCBA.

Uhol tvorený lúčmi CB a CD sa nazýva vrcholový uhol C. Označuje sa ako ÐC alebo ÐDCB, alebo ÐBCD.

Uhol tvorený lúčmi AD a CD sa nazýva vrcholový uhol D. Označuje sa ako ÐD alebo ÐADC, alebo ÐCDA.

Obrázok č.2: Lichobežník ABCD

Na obrázku 2 sa nazýva segment MN spájajúci stredy bočných strán stredová čiara lichobežníka.

Stredová čiara lichobežníka rovnobežné so základňami a rovné ich polovičnému súčtu. teda .

Obrázok č.3: Rovnoramenný lichobežník ABCD

Na obrázku 3 AD=BC.

Lichobežník je tzv rovnoramenný (rovnoramenný), ak sú jeho strany rovnaké.

Obrázok č.4: Obdĺžnikový lichobežník ABCD

Na obrázku č. 4 je uhol D rovný (rovnajúci sa 90°).

Lichobežník je tzv obdĺžnikový, ak je uhol na boku rovný.

Plocha S rovina figúry, ktoré zahŕňajú lichobežník, sa nazývajú obmedzený uzavretý priestor v rovine. Plocha plochého obrázku ukazuje veľkosť tohto obrázku.

Oblasť má niekoľko vlastností:

1. Nemôže byť negatívny.

2. Ak je daná určitá uzavretá oblasť v rovine, ktorá je tvorená niekoľkými obrazcami, ktoré sa navzájom nepretínajú (to znamená, že obrazce nemajú spoločné vnútorné body, ale môžu sa navzájom dotýkať), potom plocha takejto plochy sa rovná súčtu plôch jej základných čísel.

3. Ak sú dve čísla rovnaké, potom sú ich plochy rovnaké.

4. Plocha štvorca, ktorý je postavený na jednotkovom segmente, sa rovná jednej.

vzadu jednotka merania oblasť vezmite plochu štvorca, ktorého strana sa rovná jednotka merania segmentov.

Pri riešení problémov sa často používajú nasledujúce vzorce na výpočet plochy lichobežníka:

1. Plocha lichobežníka sa rovná polovici súčtu jeho základov vynásobených jeho výškou:

2. Plocha lichobežníka sa rovná súčinu jeho stredovej čiary a jeho výšky:

3. Pri známych dĺžkach základov a strán lichobežníka možno jeho plochu vypočítať pomocou vzorca:

4. Plochu rovnoramenného lichobežníka so známou dĺžkou polomeru kružnice vpísanej do lichobežníka a známou hodnotou uhla v základni je možné vypočítať pomocou nasledujúceho vzorca:

Príklad 1: Vypočítajte obsah lichobežníka so základňami a=7, b=3 a výškou h=15.

Riešenie:

odpoveď:

Príklad 2: Nájdite stranu základne lichobežníka s plochou S = 35 cm 2, výškou h = 7 cm a druhou základňou b = 2 cm.

Riešenie:

Na nájdenie strany základne lichobežníka používame vzorec na výpočet plochy:

Vyjadrime z tohto vzorca stranu základne lichobežníka:

Máme teda nasledovné:

odpoveď:

Príklad 3: Nájdite výšku lichobežníka s plochou S = 17 cm 2 a základňami a = 30 cm, b = 4 cm.

Riešenie:

Na zistenie výšky lichobežníka používame vzorec na výpočet plochy:

Máme teda nasledovné:

odpoveď:

Príklad 4: Vypočítajte plochu lichobežníka s výškou h=24 a stredovou čiarou m=5.

Riešenie:

Na nájdenie plochy lichobežníka používame na výpočet plochy nasledujúci vzorec:

Máme teda nasledovné:

odpoveď:

Príklad 5: Nájdite výšku lichobežníka s plochou S = 48 cm 2 a stredovou čiarou m = 6 cm.

Riešenie:

Na zistenie výšky lichobežníka používame vzorec na výpočet plochy lichobežníka:

Vyjadrime výšku lichobežníka z tohto vzorca:

Máme teda nasledovné:

odpoveď:

Príklad 6: Nájdite stredovú čiaru lichobežníka s plochou S = 56 a výškou h=4.

Riešenie:

Na nájdenie stredovej čiary lichobežníka používame vzorec na výpočet plochy lichobežníka:

Vyjadrime strednú čiaru lichobežníka z tohto vzorca:

Máme teda nasledovné.

Lichobežník je špeciálny typ štvoruholníka, v ktorom sú dve protiľahlé strany navzájom rovnobežné, ale ostatné dve nie sú. Rôzne skutočné objekty majú lichobežníkový tvar, takže možno budete musieť vypočítať obvod takéhoto geometrického útvaru, aby ste vyriešili každodenné alebo školské problémy.

Lichobežníková geometria

Lichobežník (z gréckeho „lichobežníka“ - stôl) je postava v rovine ohraničená štyrmi segmentmi, z ktorých dva sú rovnobežné a dva nie. Paralelné segmenty sa nazývajú základne lichobežníka a nerovnobežné segmenty sa nazývajú strany obrázku. Strany a ich uhly sklonu určujú typ lichobežníka, ktorý môže byť šupinový, rovnoramenný alebo pravouhlý. Okrem základne a strán má lichobežník ďalšie dva prvky:

• výška - vzdialenosť medzi rovnobežnými základňami obrázku;
• stredná čiara - segment spájajúci stredy strán.

Táto geometrická postava je rozšírená v reálnom živote.

Lichobežník v skutočnosti

V každodennom živote má veľa skutočných predmetov lichobežníkový tvar. Lichobežníky môžete ľahko nájsť v nasledujúcich oblastiach ľudskej činnosti:

• interiérový dizajn a výzdoba - pohovky, stolové dosky, steny, koberce, zavesené stropy;
• krajinný dizajn - hranice trávnikov a umelých nádrží, formy dekoratívnych prvkov;
• móda - forma oblečenia, obuvi a doplnkov;
• architektúra - okná, steny, základy budov;
• výroba - rôzne výrobky a diely.

Pri takomto rozšírenom používaní lichobežníkov musia odborníci často vypočítať obvod geometrického útvaru.

Lichobežníkový obvod

Obvod obrazca je číselná charakteristika, ktorá sa vypočíta ako súčet dĺžok všetkých strán n-uholníka. Lichobežník je štvoruholník a vo všeobecnosti majú všetky jeho strany rôzne dĺžky, takže obvod sa vypočíta podľa vzorca:

P = a + b + c + d,

kde a a c sú základne obrazca, b a d sú jeho strany.

Aj keď pri výpočte obvodu lichobežníka nepotrebujeme poznať výšku, kód kalkulačky vyžaduje zadanie tejto premennej. Keďže výška nemá žiadny vplyv na výpočty, pri použití našej online kalkulačky môžete zadať akúkoľvek hodnotu výšky, ktorá je väčšia ako nula. Pozrime sa na pár príkladov.

Príklady zo života

Vreckovka

Povedzme, že máte šatku lichobežníkového tvaru a chcete ju ostrihať strapcami. Budete potrebovať poznať obvod šatky, aby ste nenakupovali materiál navyše alebo nešli dvakrát do obchodu. Nech má vaša rovnoramenná šatka parametre: a = 120 cm, b = 60 cm, c = 100 cm, d = 60 cm Tieto údaje zadáme do online formulára a dostaneme odpoveď vo formulári:

Obvod šatky je teda 340 cm a presne taká je dĺžka strapcového vrkoča na dokončenie.

Svahy

Napríklad ste sa rozhodli urobiť svahy pre neštandardné kovoplastové okná, ktoré majú lichobežníkový tvar. Takéto okná sú široko používané v stavebnom dizajne a vytvárajú kompozíciu niekoľkých krídel. Najčastejšie sa takéto okná vyrábajú vo forme obdĺžnikového lichobežníka. Poďme zistiť, koľko materiálu je potrebné na vytvorenie svahov takéhoto okna. Štandardné okno má parametre a = 140 cm, b = 20 cm, c = 180 cm, d = 50 cm. Tieto údaje použijeme a výsledok dostaneme vo forme

Obvod lichobežníkového okna je teda 390 cm a presne toľko plastových panelov budete potrebovať dokúpiť na vytvarovanie svahov.

Záver

Lichobežník je populárna postava v každodennom živote, ktorej určenie parametrov môže byť potrebné v najneočakávanejších situáciách. Výpočet lichobežníkových obvodov je potrebný pre mnohých odborníkov: od inžinierov a architektov až po dizajnérov a mechanikov. Náš katalóg online kalkulačiek vám umožní vykonávať výpočty pre akékoľvek geometrické tvary a telesá.

Existuje mnoho spôsobov, ako nájsť oblasť lichobežníka. Doučovateľ matematiky zvyčajne pozná niekoľko metód jej výpočtu, pozrime sa na ne podrobnejšie:
1) , kde AD a BC sú základne a BH je výška lichobežníka. Dôkaz: nakreslite uhlopriečku BD a vyjadrite obsah trojuholníkov ABD a CDB prostredníctvom polovičného súčinu ich základní a výšok:

, kde DP je vonkajšia výška v

Pridajme tieto rovnosti po členoch a berúc do úvahy, že výšky BH a DP sú rovnaké, dostaneme:

Vyložme to zo zátvoriek

Q.E.D.

Dôsledok vzorca pre oblasť lichobežníka:
Keďže polovičný súčet základov sa rovná MN - stredová čiara lichobežníka

2) Aplikácia všeobecného vzorca pre oblasť štvoruholníka.
Plocha štvoruholníka sa rovná polovici súčinu uhlopriečok vynásobených sínusom uhla medzi nimi
Aby sme to dokázali, stačí rozdeliť lichobežník na 4 trojuholníky, vyjadriť plochu každého z nich v zmysle „polovice súčinu uhlopriečok a sínusu uhla medzi nimi“ (berie sa ako uhol, pridajte výsledný výrazy, vyberte ich zo zátvorky a vynásobte túto zátvorku pomocou metódy zoskupovania, aby ste získali jej rovnosť s výrazom.

3) Metóda diagonálneho posunu
Toto je moje meno. S takýmto nadpisom sa učiteľ matematiky v školských učebniciach nestretne. Popis techniky nájdete len v doplnkových učebniciach ako príklad riešenia problému. Chcel by som poznamenať, že väčšinu zaujímavých a užitočných faktov o planimetrii odhaľujú študenti matematiky v procese praktickej práce. To je extrémne suboptimálne, pretože študent ich potrebuje izolovať do samostatných teorémov a nazývať ich „veľkými menami“. Jedným z nich je „diagonálny posun“. O čom to je? Narysujme čiaru rovnobežnú s AC cez vrchol B, kým sa nepretne so spodnou základňou v bode E. V tomto prípade bude štvoruholník EBCA rovnobežník (podľa definície), a teda BC=EA a EB=AC. Teraz je pre nás dôležitá prvá rovnosť. Máme:

Všimnite si, že trojuholník BED, ktorého plocha sa rovná ploche lichobežníka, má niekoľko ďalších pozoruhodných vlastností:
1) Jeho plocha sa rovná ploche lichobežníka
2) Jeho rovnoramenný sa vyskytuje súčasne s rovnoramennými lichobežníkmi samotného
3) Jeho horný uhol vo vrchole B sa rovná uhlu medzi uhlopriečkami lichobežníka (ktorý sa veľmi často používa pri problémoch)
4) Jeho stredná hodnota BK sa rovná vzdialenosti QS medzi stredmi základov lichobežníka. Nedávno som sa stretol s využitím tejto vlastnosti pri príprave študenta na mechaniku a matematiku na Moskovskej štátnej univerzite pomocou Tkachukovej učebnice, verzia 1973 (problém je uvedený v spodnej časti stránky).

Špeciálne techniky pre učiteľa matematiky.

Niekedy navrhujem problémy pomocou veľmi zložitého spôsobu nájdenia oblasti lichobežníka. Zaraďujem to medzi špeciálnu techniku, pretože tútor ich v praxi používa veľmi zriedka. Ak potrebujete prípravu na Jednotnú štátnu skúšku z matematiky iba v časti B, nemusíte o nich čítať. Pre ostatných vám poviem ďalej. Ukazuje sa, že plocha lichobežníka je dvojnásobkom plochy trojuholníka s vrcholmi na koncoch jednej strany a v strede druhej strany, teda trojuholníka ABS na obrázku:
Dôkaz: nakreslite výšky SM a SN do trojuholníkov BCS a ADS a vyjadrite súčet obsahov týchto trojuholníkov:

Keďže bod S je stredom CD, potom (dokážte to sami) Nájdite súčet plôch trojuholníkov:

Pretože sa ukázalo, že táto suma sa rovná polovici plochy lichobežníka, potom jeho druhej polovici. Atď.

Do zbierky špeciálnych techník tútora by som zaradil formu výpočtu plochy rovnoramenného lichobežníka po jeho stranách: kde p je polobvod lichobežníka. Nebudem dávať dôkaz. Inak váš učiteľ matematiky zostane bez práce :). Poď do triedy!

Problémy v oblasti lichobežníka:

Poznámka učiteľa matematiky: Nižšie uvedený zoznam nie je metodologickým sprievodom k téme, je to len malý výber zaujímavých úloh založených na technikách diskutovaných vyššie.

1) Spodná základňa rovnoramenného lichobežníka je 13 a horná je 5. Nájdite oblasť lichobežníka, ak je jeho uhlopriečka kolmá na stranu.
2) Nájdite plochu lichobežníka, ak jeho základne sú 2 cm a 5 cm a jeho strany sú 2 cm a 3 cm.
3) V rovnoramennom lichobežníku je väčšia základňa 11, strana 5 a uhlopriečka je Nájdite oblasť lichobežníka.
4) Uhlopriečka rovnoramenného lichobežníka je 5 a stredová čiara je 4. Nájdite oblasť.
5) V rovnoramennom lichobežníku sú základne 12 a 20 a uhlopriečky sú navzájom kolmé. Vypočítajte plochu lichobežníka
6) Uhlopriečka rovnoramenného lichobežníka zviera uhol so spodnou základňou. Nájdite plochu lichobežníka, ak je jeho výška 6 cm.
7) Plocha lichobežníka je 20 a jedna z jeho strán je 4 cm. Nájdite vzdialenosť k nemu od stredu protiľahlej strany.
8) Uhlopriečka rovnoramenného lichobežníka ho rozdeľuje na trojuholníky s plochami 6 a 14. Zistite výšku, ak je bočná strana 4.
9) V lichobežníku sa uhlopriečky rovnajú 3 a 5 a segment spájajúci stredné body základne sa rovná 2. Nájdite oblasť lichobežníka (Mekhmat MSU, 1970).

Vybral som si nie najťažšie problémy (nebojte sa strojárstva!) s očakávaním, že ich budem vedieť riešiť samostatne. Rozhodnite sa pre svoje zdravie! Ak potrebujete prípravu na Jednotnú štátnu skúšku z matematiky, potom bez účasti na tomto procese vzorca pre oblasť lichobežníka môžu vzniknúť vážne problémy aj s problémom B6 a ešte viac s C4. Nezačínajte tému a v prípade akýchkoľvek ťažkostí požiadajte o pomoc. Doučovateľ matematiky vám vždy rád pomôže.

Kolpakov A.N.
Doučovateľ matematiky v Moskve, príprava na Jednotnú štátnu skúšku v Strogine.

Aby ste sa cítili sebaisto a úspešne riešili problémy na hodinách geometrie, nestačí sa naučiť vzorce. Najprv ich treba pochopiť. Báť sa a ešte viac nenávidieť vzorce je neproduktívne. Tento článok bude v prístupnom jazyku analyzovať rôzne spôsoby, ako nájsť oblasť lichobežníka. Pre lepšie pochopenie zodpovedajúcich pravidiel a teorém budeme venovať určitú pozornosť jeho vlastnostiam. To vám pomôže pochopiť, ako pravidlá fungujú a v akých prípadoch by sa mali použiť určité vzorce.

Definovanie lichobežníka

Čo je to celkovo za postavu? Lichobežník je mnohouholník so štyrmi rohmi a dvoma rovnobežnými stranami. Ďalšie dve strany lichobežníka môžu byť naklonené v rôznych uhloch. Jeho rovnobežné strany sa nazývajú základne a pre nerovnobežné strany sa používa názov „strany“ alebo „boky“. Takéto postavy sú v každodennom živote celkom bežné. Obrysy lichobežníka možno vidieť v siluetách oblečenia, interiérových predmetov, nábytku, riadu a mnohých ďalších. Existujú rôzne typy lichobežníka: skalnaté, rovnostranné a obdĺžnikové. Ich typy a vlastnosti podrobnejšie preskúmame neskôr v článku.

Vlastnosti lichobežníka

Zastavme sa krátko pri vlastnostiach tohto obrázku. Súčet uhlov susediacich s ktoroukoľvek stranou je vždy 180°. Treba poznamenať, že súčet všetkých uhlov lichobežníka je 360°. Lichobežník má koncepciu stredovej čiary. Ak spojíte stredy strán segmentom, bude to stredná čiara. Označuje sa m. Stredná čiara má dôležité vlastnosti: je vždy rovnobežná so základňami (pamätáme si, že základne sú tiež navzájom rovnobežné) a rovná sa ich polovičnému súčtu:

Túto definíciu si treba osvojiť a pochopiť, pretože je kľúčom k riešeniu mnohých problémov!

Pri lichobežníku môžete vždy znížiť výšku k základni. Nadmorská výška je kolmica, často označovaná symbolom h, ktorá je nakreslená z akéhokoľvek bodu jednej základne k inej základni alebo jej predĺženiu. Stredová čiara a výška vám pomôžu nájsť oblasť lichobežníka. Takéto problémy sú najčastejšie v kurze školskej geometrie a pravidelne sa objavujú medzi testovými a skúšobnými prácami.

Najjednoduchšie vzorce pre oblasť lichobežníka

Pozrime sa na dva najpopulárnejšie a najjednoduchšie vzorce používané na nájdenie oblasti lichobežníka. Stačí vynásobiť výšku polovicou súčtu základov, aby ste ľahko našli to, čo hľadáte:

S = h*(a + b)/2.

V tomto vzorci a, b označujú základy lichobežníka, h - výšku. Pre uľahčenie vnímania sú v tomto článku znaky násobenia vo vzorcoch označené symbolom (*), hoci v oficiálnych referenčných knihách sa znak násobenia zvyčajne vynecháva.

Pozrime sa na príklad.

Dané: lichobežník s dvoma základňami rovnými 10 a 14 cm, výška 7 cm. Aká je plocha lichobežníka?

Pozrime sa na riešenie tohto problému. Pomocou tohto vzorca musíte najskôr nájsť polovičný súčet základov: (10+14)/2 = 12. Polovičný súčet sa teda rovná 12 cm. Teraz polovičný súčet vynásobíme výškou: 12*7 = 84. To, čo hľadáme, sa našlo. Odpoveď: Plocha lichobežníka je 84 metrov štvorcových. cm.

Druhý známy vzorec hovorí: plocha lichobežníka sa rovná súčinu stredovej čiary a výšky lichobežníka. To znamená, že to vlastne vyplýva z predchádzajúcej koncepcie strednej čiary: S=m*h.

Použitie uhlopriečok na výpočty

Ďalší spôsob, ako nájsť oblasť lichobežníka, nie je v skutočnosti taký zložitý. Je spojená s jej uhlopriečkami. Pomocou tohto vzorca, aby ste našli oblasť, musíte vynásobiť polovičný súčin jej uhlopriečok (d 1 d 2) sínusom uhla medzi nimi:

S = ½ d 1 d 2 sin a.

Uvažujme o probléme, ktorý ukazuje aplikáciu tejto metódy. Dané: lichobežník s dĺžkou uhlopriečok 8 a 13 cm, uhol a medzi uhlopriečkami je 30°. Nájdite oblasť lichobežníka.

Riešenie. Pomocou vyššie uvedeného vzorca je ľahké vypočítať, čo je potrebné. Ako viete, sin 30° je 0,5. Preto S = 8*13*0,5=52. Odpoveď: plocha je 52 metrov štvorcových. cm.

Nájdenie oblasti rovnoramenného lichobežníka

Lichobežník môže byť rovnoramenný (rovnoramenný). Jeho strany sú rovnaké a uhly na základniach sú rovnaké, čo je dobre znázornené na obrázku. Rovnoramenný lichobežník má rovnaké vlastnosti ako bežný, plus množstvo špeciálnych. Okolo rovnoramenného lichobežníka možno opísať kruh a do neho možno vpísať kruh.

Aké metódy existujú na výpočet plochy takejto postavy? Nižšie uvedená metóda bude vyžadovať veľa výpočtov. Aby ste ho mohli použiť, musíte poznať hodnoty sínusu (sin) a kosínusu (cos) uhla na základni lichobežníka. Na ich výpočet potrebujete buď Bradisove tabuľky, alebo inžiniersku kalkulačku. Tu je vzorec:

S= c*hriech a*(a - c*kos a),

Kde s- bočné stehno, a- uhol na spodnej základni.

Rovnostranný lichobežník má uhlopriečky rovnakej dĺžky. Platí to aj naopak: ak má lichobežník rovnaké uhlopriečky, potom je rovnoramenný. Preto nasledujúci vzorec, ktorý vám pomôže nájsť plochu lichobežníka - polovičný súčin štvorca uhlopriečok a sínus uhla medzi nimi: S = ½ d 2 sin a.

Nájdenie oblasti pravouhlého lichobežníka

Známy je špeciálny prípad pravouhlého lichobežníka. Ide o lichobežník, v ktorom jedna strana (jeho stehno) prilieha k základniam v pravom uhle. Má vlastnosti pravidelného lichobežníka. Okrem toho má veľmi zaujímavú vlastnosť. Rozdiel v štvorcoch uhlopriečok takéhoto lichobežníka sa rovná rozdielu v štvorcoch jeho základov. Používajú sa na to všetky predtým opísané metódy na výpočet plochy.

Používame vynaliezavosť

Existuje jeden trik, ktorý vám môže pomôcť, ak zabudnete na konkrétne vzorce. Pozrime sa bližšie na to, čo je lichobežník. Ak to mentálne rozdelíme na časti, dostaneme známe a zrozumiteľné geometrické tvary: štvorec alebo obdĺžnik a trojuholník (jeden alebo dva). Ak sú výška a strany lichobežníka známe, môžete použiť vzorce pre oblasť trojuholníka a obdĺžnika a potom sčítať všetky výsledné hodnoty.

Ilustrujme si to na nasledujúcom príklade. Daný obdĺžnikový lichobežník. Uhol C = 45°, uhly A, D sú 90°. Horná základňa lichobežníka je 20 cm, výška je 16 cm. Musíte vypočítať plochu postavy.

Tento obrazec sa samozrejme skladá z obdĺžnika (ak sa dva uhly rovnajú 90°) a trojuholníka. Keďže je lichobežník pravouhlý, jeho výška sa rovná jeho strane, teda 16 cm, máme obdĺžnik so stranami 20 a 16 cm. Teraz uvažujme trojuholník, ktorého uhol je 45°. Vieme, že jedna jeho strana má 16 cm, keďže táto strana je zároveň výškou lichobežníka (a vieme, že výška klesá k základni v pravom uhle), preto je druhý uhol trojuholníka 90°. Zostávajúci uhol trojuholníka je teda 45°. Výsledkom toho je, že dostaneme pravouhlý rovnoramenný trojuholník s dvoma rovnakými stranami. To znamená, že druhá strana trojuholníka sa rovná výške, to znamená 16 cm. Zostáva vypočítať plochu trojuholníka a obdĺžnika a pridať výsledné hodnoty.

Plocha pravouhlého trojuholníka sa rovná polovici súčinu jeho nôh: S = (16*16)/2 = 128. Plocha obdĺžnika sa rovná súčinu jeho šírky a dĺžky: S = 20 * 16 = 320. Našli sme požadované: plocha lichobežníka S = 128 + 320 = 448 štvorcových. Môžete si to jednoducho overiť pomocou vyššie uvedených vzorcov, odpoveď bude identická.

Používame vzorec Pick

Nakoniec uvádzame ďalší originálny vzorec, ktorý pomáha nájsť oblasť lichobežníka. Nazýva sa Pick vzorec. Je vhodné použiť, keď je lichobežník nakreslený na kockovaný papier. Podobné problémy sa často vyskytujú v materiáloch GIA. Vyzerá to takto:

S = M/2 + N - 1,

v tomto vzorci M je počet uzlov, t.j. priesečníky čiar obrázku s čiarami bunky na hraniciach lichobežníka (oranžové bodky na obrázku), N je počet uzlov vo vnútri obrázku (modré bodky). Najvýhodnejšie je použiť ho pri hľadaní oblasti nepravidelného mnohouholníka. Čím väčší je však arzenál použitých techník, tým menej chýb a lepšie výsledky.

Samozrejme, uvedené informácie nevyčerpávajú typy a vlastnosti lichobežníka, ako aj metódy na zistenie jeho oblasti. Tento článok poskytuje prehľad jeho najdôležitejších charakteristík. Pri riešení geometrických úloh je dôležité konať postupne, začať s ľahkými vzorcami a problémami, dôsledne si upevniť svoje chápanie a prejsť na ďalšiu úroveň zložitosti.

Zhromaždené najbežnejšie vzorce pomôžu študentom orientovať sa v rôznych spôsoboch výpočtu plochy lichobežníka a lepšie sa pripraviť na testy a úlohy na túto tému.

A . Teraz môžeme začať uvažovať o otázke, ako nájsť oblasť lichobežníka. Táto úloha sa v každodennom živote vyskytuje veľmi zriedka, ale niekedy sa ukáže, že je potrebné napríklad nájsť plochu miestnosti v tvare lichobežníka, ktorý sa čoraz viac používa pri výstavbe moderných bytov, alebo v navrhovať projekty renovácie.

Lichobežník je geometrický útvar tvorený štyrmi pretínajúcimi sa segmentmi, z ktorých dva sú navzájom rovnobežné a nazývajú sa základne lichobežníka. Ďalšie dva segmenty sa nazývajú strany lichobežníka. Okrem toho budeme neskôr potrebovať ďalšiu definíciu. Toto je stredná čiara lichobežníka, čo je segment spájajúci stredy strán a výšku lichobežníka, ktorá sa rovná vzdialenosti medzi základňami.
Podobne ako trojuholníky, aj lichobežníky majú špeciálne typy v podobe rovnoramenného (rovnakostranného) lichobežníka, v ktorom sú dĺžky strán rovnaké, a pravouhlého lichobežníka, v ktorom jedna zo strán zviera so základňami pravý uhol.

Trapézy majú niekoľko zaujímavých vlastností:

1. Stredová čiara lichobežníka sa rovná polovici súčtu základní a je s nimi rovnobežná.
   
2. Rovnoramenné lichobežníky majú rovnaké strany a uhly, ktoré zvierajú so základňami.
   
3. Stredy uhlopriečok lichobežníka a priesečník jeho uhlopriečok sú na tej istej priamke.
   
4. Ak sa súčet strán lichobežníka rovná súčtu základov, potom do neho možno vpísať kruh
   
5. Ak je súčet uhlov vytvorených stranami lichobežníka na niektorej z jeho základov 90, potom sa dĺžka segmentu spájajúceho stredné body základne rovná ich polovičnému rozdielu.
   
6. Rovnoramenný lichobežník možno opísať kružnicou. A naopak. Ak lichobežník zapadá do kruhu, potom je rovnoramenný.
   
7. Úsek prechádzajúci stredmi základov rovnoramenného lichobežníka bude kolmý na jeho základne a predstavuje os symetrie.
   

Ako nájsť oblasť lichobežníka.

Plocha lichobežníka sa bude rovnať polovici súčtu jeho základov vynásobených jeho výškou. Vo forme vzorca je to napísané ako výraz:

kde S je plocha lichobežníka, a, b je dĺžka každej zo základov lichobežníka, h je výška lichobežníka.

Tento vzorec môžete pochopiť a zapamätať si ho nasledovne. Ako vyplýva z obrázku nižšie, pomocou stredovej čiary je možné lichobežník premeniť na obdĺžnik, ktorého dĺžka sa bude rovnať polovici súčtu základov.

Akýkoľvek lichobežník môžete tiež rozložiť na jednoduchšie obrazce: obdĺžnik a jeden alebo dva trojuholníky, a ak je to pre vás jednoduchšie, nájdite plochu lichobežníka ako súčet plôch jeho základných obrazcov.

Existuje ďalší jednoduchý vzorec na výpočet jeho plochy. Podľa nej sa plocha lichobežníka rovná súčinu jeho stredovej čiary výškou lichobežníka a zapisuje sa v tvare: S = m*h, kde S je plocha, m je dĺžka lichobežníka. stredová čiara, h je výška lichobežníka. Tento vzorec je vhodnejší pre matematické úlohy ako pre každodenné úlohy, pretože v reálnych podmienkach nepoznáte dĺžku stredovej čiary bez predbežných výpočtov. A poznáte len dĺžky základov a strán.

V tomto prípade možno plochu lichobežníka nájsť pomocou vzorca:

S = ((a+b)/2)*√c 2 -((b-a) 2 +c 2 -d 2 /2(b-a)) 2

kde S je plocha, a, b sú základne, c, d sú strany lichobežníka.

Existuje niekoľko ďalších spôsobov, ako nájsť oblasť lichobežníka. Ale sú asi také nepohodlné ako posledný vzorec, čo znamená, že nemá zmysel sa nimi zaoberať. Preto vám odporúčame použiť prvý vzorec z článku a želáme si, aby ste vždy dosiahli presné výsledky.