Ako určiť, v akom uhle k brehu sa má loď pohybovať? Loď musí preplávať rieku so šírkou l 49

Loď musí preplávať rieku so šírkou \(L = 56\) m a aktuálnou rýchlosťou \(u =1\) m/s tak, aby pristála presne oproti východiskovému bodu. Môže sa pohybovať rôznymi rýchlosťami a čas jazdy meraný v sekundách je daný vzťahom \(t = \frac(L)(u)(\mathop(\rm ctg)\nolimits)\alpha\), kde \( \alpha \) - ostrý uhol, ktorý udáva smer jeho pohybu (merané od brehu). V akom minimálnom uhle \(\alpha \) (v stupňoch) by ste mali plávať, aby čas cesty nebol dlhší ako 56 s?
odpoveď:

Úloha č.: 43791. Číslo prototypu:
Loď musí preplávať rieku so šírkou \(L = 21\) ma aktuálnou rýchlosťou \(u =0,3\) m/s tak, aby pristála presne oproti východiskovému bodu. Môže sa pohybovať rôznymi rýchlosťami a čas jazdy meraný v sekundách je daný vzťahom \(t = \frac(L)(u)(\mathop(\rm ctg)\nolimits)\alpha\), kde \( \alpha \) - ostrý uhol, ktorý udáva smer jeho pohybu (merané od brehu). V akom minimálnom uhle \(\alpha \) (v stupňoch) by ste mali plávať, aby čas cesty nebol dlhší ako 70 s?
odpoveď:

Úloha č.: 43793. Číslo prototypu:
Loď musí preplávať rieku so šírkou \(L = 63\) ma aktuálnou rýchlosťou \(u =1\) m/s tak, aby pristála presne oproti východiskovému bodu. Môže sa pohybovať rôznymi rýchlosťami a čas jazdy meraný v sekundách je daný vzťahom \(t = \frac(L)(u)(\mathop(\rm ctg)\nolimits)\alpha\), kde \( \alpha \) - ostrý uhol, ktorý udáva smer jeho pohybu (merané od brehu). V akom minimálnom uhle \(\alpha \) (v stupňoch) by ste mali plávať, aby čas cesty nebol dlhší ako 63 s?
odpoveď:

Úloha č.: 43795. Číslo prototypu:
Loď musí preplávať rieku so šírkou \(L = 49\) ma aktuálnou rýchlosťou \(u =0,7\) m/s tak, aby pristála presne oproti východiskovému bodu. Môže sa pohybovať rôznymi rýchlosťami a čas jazdy meraný v sekundách je daný vzťahom \(t = \frac(L)(u)(\mathop(\rm ctg)\nolimits)\alpha\), kde \( \alpha \) - ostrý uhol, ktorý udáva smer jeho pohybu (merané od brehu). V akom minimálnom uhle \(\alpha \) (v stupňoch) by ste mali plávať, aby čas cesty nebol dlhší ako 70 s?
odpoveď:

Úloha č.: 43797. Číslo prototypu:
Skateboardista skočí na plošinu stojacu na koľajniciach rýchlosťou \(v = 3,2\) m/s v ostrom uhle \(\alpha \) ku koľajniciam. Od zatlačenia sa plošina začne pohybovať rýchlosťou \(u = \frac(m)((m + M))v\cos \alpha \) (m/s), kde \(m = 80\) kg je hmotnosť skateboardistu s korčuľou a \(M = 240\) kg je hmotnosť plošiny. V akom maximálnom uhle \(\alpha \) (v stupňoch) musíte skočiť, aby ste zrýchlili plošinu aspoň na 0,4 m/s?
odpoveď:

Úloha č.: 43799. Číslo prototypu:
Skateboardista skočí na plošinu stojacu na koľajniciach rýchlosťou \(v = 2,4\) m/s v ostrom uhle \(\alpha \) ku koľajniciam. Od zatlačenia sa plošina začne pohybovať rýchlosťou \(u = \frac(m)((m + M))v\cos \alpha \) (m/s), kde \(m = 70\) kg je hmotnosť skateboardistu s korčuľou a \(M = 210\) kg je hmotnosť plošiny. V akom maximálnom uhle \(\alpha \) (v stupňoch) musíte skočiť, aby ste zrýchlili plošinu aspoň na 0,3 m/s?
odpoveď:

Úloha č.: 43801. Číslo prototypu:
Skateboardista skočí na plošinu stojacu na koľajniciach rýchlosťou \(v = 2,4\) m/s v ostrom uhle \(\alpha \) ku koľajniciam. Od zatlačenia sa plošina začne pohybovať rýchlosťou \(u = \frac(m)((m + M))v\cos \alpha \) (m/s), kde \(m = 80\) kg je hmotnosť skateboardistu s korčuľou a \(M = 240\) kg je hmotnosť plošiny. V akom maximálnom uhle \(\alpha \) (v stupňoch) musíte skočiť, aby ste zrýchlili plošinu aspoň na 0,3 m/s?
odpoveď:

Úloha č.: 43803. Číslo prototypu:
Skateboardista skočí na plošinu stojacu na koľajniciach rýchlosťou \(v = 2,4\) m/s v ostrom uhle \(\alpha \) ku koľajniciam. Od zatlačenia sa plošina začne pohybovať rýchlosťou \(u = \frac(m)((m + M))v\cos \alpha \) (m/s), kde \(m = 75\) kg je hmotnosť skateboardistu s korčuľou a \(M = 225\) kg je hmotnosť plošiny. V akom maximálnom uhle \(\alpha \) (v stupňoch) musíte skočiť, aby ste zrýchlili plošinu aspoň na 0,3 m/s?
odpoveď:

Úloha č.: 43805. Číslo prototypu:
Skateboardista skočí na plošinu stojacu na koľajniciach rýchlosťou \(v = 2\) m/s v ostrom uhle \(\alpha \) ku koľajniciam. Od zatlačenia sa plošina začne pohybovať rýchlosťou \(u = \frac(m)((m + M))v\cos \alpha \) (m/s), kde \(m = 75\) kg je hmotnosť skateboardistu s korčuľou a \(M = 225\) kg je hmotnosť plošiny. V akom maximálnom uhle \(\alpha \) (v stupňoch) musíte skočiť, aby ste zrýchlili plošinu aspoň na 0,25 m/s?
odpoveď:

Riešenie verzie Larin Unified State Exam 227. Podrobné riešenie úloh 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15 tréningovej verzie Larinovej jednotnej štátnej skúšky č. 227 (alexlarin.com)

Riešenie verzie Larin Unified State Exam 227. Podrobné riešenie úloh 16,17,18,19 tréningovej verzie Larinovej jednotnej štátnej skúšky č. 227 (alexlarin.com)

Analógy k tejto úlohe:

Cvičenie 1

V škole č. 1 sa vyučovanie začína o 8:30, každá vyučovacia hodina trvá 45 minút, všetky prestávky okrem jednej trvajú 10 minút a prestávka medzi druhou a treťou vyučovacou hodinou trvá 20 minút. Teraz je 13:00. O koľko minút zazvoní ďalšia trieda?

Na vyriešenie tohto problému je najjednoduchšie vytvoriť rozvrh začiatku a konca lekcií:
1)8:30-9:15
1)9:25-10:10
1)10:30-11:15
1)11:25-12:10
1)12:20-13:05
To znamená, že o 5 minút zazvoní zvonček

Analógy k tejto úlohe:

Úloha 2

Obrázok znázorňuje priemerný mesačný výmenný kurz čínskeho jüanu od januára do augusta 2014 s tučnými bodkami. Mesiace sú uvedené horizontálne a cena jüanov v rubľoch je uvedená vertikálne. Pre prehľadnosť sú tučné body spojené čiarou. Z obrázku určte rozdiel vo výmennom kurze juanu v auguste a júli. Uveďte svoju odpoveď v rubľoch.

Odpoveď: 0,27

Ako môžeme vidieť na obrázku, uhol je založený na priemere kruhu, čo znamená, že trojuholník je pravouhlý, to znamená, že odpoveď je $$90^(\circ)$$

Analógy k tejto úlohe:

Úloha 4

Anya a Tanya si každá vyberú jedno prirodzené číslo od 1 do 9 nezávisle od seba. Nájdite pravdepodobnosť, že súčet týchto čísel je deliteľný 3. Znížte odpoveď na stotiny.

Odpoveď: 0,33

Nech Anya vyberie 1, Tanya si môže vybrať 9 čísel. Podobne s 2, 3 a tak ďalej až do 9. To znamená, že celkové kombinácie budú 9*9=81.
Navyše v každých deviatich kombináciách bude 3 delené 3 (keďže v po sebe idúcich číslach je každá tretina deliteľná tromi). To je 9*3 = 27
Potom pravdepodobnosť: $$P=\frac(27)(81)=0,(3)$$
Ak zaokrúhlime na najbližšiu stotinu, dostaneme 0,33

Pretože existuje odmocnina párneho stupňa, radikálový výraz musí byť väčší alebo rovný nule. Keďže vpravo je premenná a vľavo odmocnina párneho stupňa, funkcia vpravo musí byť tiež nezáporná:
$$\vľavo\(\začiatok(matica)19+6x\geq 0\\ x+4\geq 0\koniec(matica)\vpravo.\Šípka doľava doprava $$$$\doľava\(\začiatok(matica)x\ geq -\frac(19)(6)\\ x\geq -4\end(matica)\right.$$
Ďalej urobíme štvorec na oboch stranách:
$$19+6x=x^(2)+8x+16 \Šípka doľava doprava $$$$x^(2)+2x-3=0 \Šípka doľava $$$$x_(1)= x_(2)=-3$ $.
Oba korene zapadajú do ODZ, preto vyberáme ten najmenší.

Ak vezmeme do úvahy trojuholník AOC, ukáže sa, že je rovnoramenný, pretože OA = OC sú polomery. V tomto prípade: $$\uhol AOC = 180 -2*37=106^(\circ)$$. Ale tento uhol je stredový, zatiaľ čo ∠ABC je vpísané, a potom sa jeho miera stupňa rovná polovici miery ∠AOC, to znamená 53

Derivácia je záporná tam, kde funkcia klesá. Na všetkých intervaloch má iba jeden bod (2;0) celú úsečku.

Analógy k tejto úlohe:

Úloha 8

Nájdite objem pyramídy znázornenej na obrázku. Jeho základňa je mnohouholník, ktorého susedné strany sú kolmé a jedna z bočných hrán je kolmá na rovinu základne a rovná sa 3.

Na vyriešenie tohto problému je najjednoduchšie doplniť chýbajúcu časť na pravidelnú štvorhrannú pyramídu, nájsť objem tejto pyramídy a odpočítať objem dokončenej časti:
$$ V=\frac(1)(3)*6*6*3 - \frac(1)(3)*3*3*3=27$$

Analógy k tejto úlohe:

Úloha 10

Loď musí preplávať rieku L=100 m širokú tak, aby pristála presne oproti východiskovému bodu. Rýchlosť toku rieky u=0,5 m/s. Čas cesty, meraný v sekundách, sa rovná $$t=\frac(L)(u)ctg \alpha$$, kde α je ostrý uhol medzi osou lode a čiarou pobrežia. V akom minimálnom uhle α k brehu by mal byť čln nasmerovaný, aby čas plavby nebol dlhší ako 200 s? Svoju odpoveď uveďte v stupňoch.

Dosadíme dostupné údaje do rovnice:
$$200=\frac(100)(0,5)ctg \alpha$$
$$ctg \alpha = 1$$
$$\alpha = 45^(\circ)+2\pi*n$$, vyberte najmenšiu, je to 45 stupňov

Analógy k tejto úlohe:

Úloha 11

Cyklista išiel prvú tretinu trasy rýchlosťou 12 km/h, druhú tretinu rýchlosťou 16 km/h a poslednú tretinu rýchlosťou 24 km/h. Zistite priemernú rýchlosť cyklistu počas celej cesty. Svoju odpoveď uveďte v km/h.

Nech 3S je celková vzdialenosť. Potom čas v prvej sekcii: $$t_(1)=\frac(S)(12)$$. V druhej časti: $$t_(2)=\frac(S)(16)$$. V tretej časti čas: $$t_(3)=\frac(S)(24)$$
Priemerná rýchlosť sa vypočíta ako pomer celej prejdenej vzdialenosti k celému strávenému času: $$v=\frac(3S)(\frac(S)(12)+\frac(S)(16)+\frac( S)(24)) =$$$$\frac(3S)(\frac(9S)(48))=\frac(3S*48)(9S)=16$$

Poďme nájsť deriváciu tejto funkcie: $$y"=\frac((2x+7)*x-(x^(2)+7x+49))(x^(2))=$$$$\frac (2x^ (2)+7x-x^(2)-7x-49)(x^(2))=$$$$\frac(x^(2)-49)(x^(2))= 0$$ Nakreslíme súradnicovú čiaru, označíme výsledné body a vyleptame derivačné znamienka:

Ako vidíme, -7 je maximálny bod, preto v intervale určenom podmienkou bude v tomto bode maximálna hodnota funkcie:

$$y(-7)=\frac((-7)^(2)+7*(-7)+49)(-7)=-7$$

Analógy k tejto úlohe:

Úloha 13

a) Vyriešte rovnicu: $$\cos 2x +3\sqrt(2)\sin x -3 =0$$
b) Označte korene tejto rovnice patriace do segmentu $$(\frac(\pi)(4); \pi]$$

Odpoveď: A) $$(-1)^(k)\frac(\pi)(4)+\pi k , k \in Z$$ B)$$\frac(3\pi)(4)$$

A) Použite kosínusový vzorec s dvojitým uhlom $$\cos 2x=1-2\sin^(2)x$$: $$\cos 2x+3\sqrt(2)\sin x-3=0\Šípka vľavo$$ $ $ 1-2\sin^(2)x+3\sqrt(2)\sin x-3=0\Leftrightarrow$$ $$2\sin^(2)x-3\sqrt(2)+2=0$ $

$$D=(3\sqrt(2))^(2)-4*4=18-16=2$$

Keďže $$-1\leq \sin x\leq 1$$, potom $$\sin x=\frac(\sqrt(2))(2)\Leftrightarrow$$ $$x=(-1)^(k )\frac(\pi)(4)+\pi k , k \in Z$$

$$\left[\begin(matica)\sin x=\frac(3\sqrt(2)+\sqrt(2))4(=\sqrt(2))\\\sin x=\frac(3\ sqrt(2)-\sqrt(2))(2)=\frac(\sqrt(2))(2)\end(matica)\right.$$

B) Nájdite korene rovnice na intervale $$(\frac(\pi)(4);\pi]$$ pomocou trigonometrickej kružnice: $$x=\frac(3\pi)(4)$$

Analógy k tejto úlohe:

Úloha 14

Základná strana pravidelného trojuholníkového hranola ABCA 1 B 1 C 1 sa rovná $$10\sqrt(3)$$ a výška CC 1 je 7,5. Na hrane B 1 C 1 bod P je vyznačený tak, že B 1 P:RS 1 =1:3. Body Q a M sú stredy strán AB a A 1 C 1, v tomto poradí. Rovina $$\alpha$$ je rovnobežná s priamkou AC a prechádza bodmi P a Q.

A) Dokážte, že priamka BM je kolmá na rovinu $$\alpha$$

B) Nájdite vzdialenosť od bodu M k rovine $$\alpha$$

Odpoveď: $$\frac(9\sqrt(5))(2)$$

A) 1) $$a\cap (ABC)=QT\vľavo |\vpravo |AC$$, $$a\cap (A_(1)B_(1)C_(1))=PN\vľavo |\vpravo |A_(1)C_(1)$$, pretože $$a\vľavo |\vpravo |AC. a\cap (BGM)=EF$$, $$BM\cap EF=S$$(E a F-stredy PN a QT). BM-šikmý, BG-jeho projekcia, $$BG\perp QT\Rightarrow$$ podľa pravidla troch kolmíc $$BM\perp QT(1)$$

2) $$\uhol SBF =\beta$$ , $$\uhol BFS=\gama$$ , $$\uhol BSF=\varphi$$; $$BG=AB*\sin 60=10\sqrt(3)*\frac(\sqrt(3))(2)=15$$; $$tg\beta =\frac(MG)(BG)=\frac(7,5)(15)=\frac(1)(2)$$; $$ctg\gamma =\frac(\frac(1)(2)BF)(BB_(1))=$$$$\frac(1)(4)*\frac(15)(7,5)= $$ $$\frac(1)(2)=tg\beta \Rightarrow$$ $$\beta +\gamma =90$$, potom $$\varphi =90$$, $$BM\perp EF(2)$ $ . Od (1) a (2) $$\Rightarrow$$ $$BM\perp \alpha$$

B) 1) z časti a) $$BM\perp \alpha \Rightarrow$$ $$p(Ma)=MS$$

2) $$\Delta ESM\sim \Delta FSB$$ v dvoch uhloch $$\Rightarrow$$ $$\frac(MS)(BS)=\frac(ME)(BF)=\frac(3)(2 )$$, potom $$MS=\frac(3)(5)BM$$; $$BM=\sqrt(BG^(2)+MG^(2))=\sqrt(225+\frac(225)(4))=\frac(15\sqrt(5))(2)$$ , $$MS=\frac(3)(5)*\frac(15\sqrt(5))(2)=\frac(9\sqrt(5))(2)$$

Rozsah prijateľných hodnôt nerovností je špecifikovaný systémom:

$$\left\(\začiatok(matica)10-x^(2)>0\\10-x^(2)\neq 1\\\frac(16)(5)x-x^(2)>0\ end(matica)\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\(\začiatok(matica)-\sqrt(10)

Riešenie: $$\log_(10-x^(2))(\frac(16)(5)x-x^(2))<1\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}10-x^{2}>1\\\frac(16)(5)x-x^(2)<10-x^{2}\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}0<10-x^{2}<1\\\frac{16}{5}x-x^{2}>10-x^(2)\koniec(matica)\vpravo.\koniec(matica)\vpravo.\Šípka doľavadoprava$$ $$\doľava[\začiatok(matica)\doľava\(\začiatok(matica)-3 3\\x<-3\end{matrix}\right.\\\frac{16}{5}x>10\koniec(matica)\vpravo.\koniec(matica)\vpravo.\Šípka doľavadoprava$$$$\doľava[\začiatok(matica)\doľava\(\začiatok(matica)-3 3\\x<-3\end{matrix}\right.\\x>\frac(25)(8)\koniec(matica)\vpravo.\koniec(matica)\vpravo.\Šípka doľavadoprava$$ $$\doľava[\začiatok(matica)-3

Ak vezmeme do úvahy rozsah prijateľných hodnôt nerovnosti, dostaneme $$x \in (0;3)\cup (\frac(25)(8);\sqrt(10))$$

Analógy k tejto úlohe:

Úloha 16

Cez vrcholy A a B trojuholníka ABC sa nakreslí kružnica s polomerom $$2\sqrt(5)$$, ktorá odreže segment $$4\sqrt(5)$$ z čiary BC a dotýka sa čiary AC v bode A. Z bodu B a kolmica na priamku BC je nakreslená, až kým sa nepretína s priamkou AC v bode F.

A) Dokážte AF=BF

B) Nájdite oblasť trojuholníka ABC, ak BF=2.

Odpoveď: $$\frac(5\sqrt(5))(3)$$

Podľa podmienky $$OA=R=2\sqrt(5); BK=4\sqrt(5)$$. Ryža. 2 možno použiť len na preukázanie položky a) pretože podľa podmienky $$BF=2$$, $$OA=2\sqrt(5)$$, t.j. B.F.

a) AC-tangens $$\Rightarrow$$ $$OA\perp AC, BF\perp OB, OB=R\Rightarrow$$ BF-tangens a podľa vlastnosti dotyčníc $$AF=BF$$

b) 1) Nech $$FC=x, BC=y$$, potom $$AC=x+2$$, $$OC=y+2\sqrt(5)$$

2) $$\Delta FBC\sim OAC$$ v dvoch uhloch $$\Rightarrow$$ $$\vľavo\(\začiatok(matica)\frac(BF)(OA)=\frac(BC)(AC)\ \\frac(BF)(OA)=\frac(FC)(OC)\koniec(matica)\vpravo.\Šípka vľavo$$$$\vľavo\(\začiatok(matica)\frac(2)(2\sqrt (5))=\frac(y)(x+2)\\\frac(2)(2\sqrt(5))=\frac(x)(y+2\sqrt(5))\end(matica )\vpravo.\Šípka vľavo$$$$\vľavo\(\začiatok(matica)y=\frac(x+2)(\sqrt(5))\\y=\sqrt(5)(x-2)\ koniec(matica)\vpravo.\Šípka doľavadoprava$$$$\doľava\(\začiatok(matica)x=3\\y=\sqrt(5)\koniec (matica)\doprava.$$

$$FC=3, BC=\sqrt(5), AC=5$$, $$\frac(S_(\Delta ABC))(s_(\Delta BFC))=\frac(AC)(FC)= \frac(5)(3)$$;

$$S_(\Delta BFC)=\frac(1)(2)BC*BF=\sqrt(5)$$ potom $$S_(\Delta ABC)=\frac(5)(3)$$, $$S_(\Delta BFC)=\frac(5\sqrt(5))(3)$$

Analógy k tejto úlohe:

Úloha 17

Vasya sníva o svojom vlastnom byte, ktorý stojí 3 milióny rubľov. Vasya si ho môže kúpiť na úver, zatiaľ čo banka je pripravená okamžite vydať túto sumu a Vasya bude musieť splácať úver 20 rokov v rovnakých mesačných splátkach a bude musieť zaplatiť sumu, ktorá je o 180% vyššia ako pôvodná jeden. Namiesto toho si Vasya môže na nejaký čas prenajať byt (nájomné je 15 000 rubľov mesačne), pričom každý mesiac vyčlení na kúpu bytu sumu, ktorá zostane z jeho možnej platby banke (podľa prvej schémy) po zaplatení nájomného za prenajatý byt . O koľko rokov si v tomto prípade bude môcť Vasya nasporiť na byt, za predpokladu, že sa jeho hodnota nezmení?

Odpoveď: 12.5

Byt stojí 3 (milión rubľov) = 3000 (tisíc rubľov), pôžička sa berie na 20 (rokov) = 240 (mesiacov). Vyriešme problém akciami:

1) 3000*2,8=8400 (tisíc rubľov) - celková suma platieb do banky;

2) 8400:240=35 (tisíc rubľov) - mesačná platba do banky;

3) 35-15=20 (tisíc rubľov) - suma, ktorú bude môcť Vasya ušetriť každý mesiac po zaplatení nájomného;

4) 3000:20=150(mesiacov)=12,5(rokov) - Vasya si bude musieť našetriť na byt.

Analógy k tejto úlohe:

Úloha 18

Nájdite všetky hodnoty parametra a, pre každú z nich systém $$\left\(\begin(matrix)1-\sqrt(|x-1|)=\sqrt(7|y|)\\49y^ (2)+x ^(2)+4a=2x-1\end(matica)\right.$$ má presne štyri rôzne riešenia.

Odpoveď: $$-\frac(1)(4); -\frac(1)(32)$$

Prepíšme systém v tvare $$\left\(\begin(matica)\sqrt(\left | x-1 \right |)+\sqrt(7\left | y \right |)=1\\\left | x- 1 \vpravo |^(2)+(7\vľavo | y \vpravo |)^(2)=-4a\koniec(matica)\vpravo.$$

Nech $$\sqrt(\left | x-1 \right |)=m\geq 0$$; $$\sqrt(7\vľavo | y \vpravo |)=n\geq 0$$

Potom bude mať systém tvar: $$\left\(\začiatok(matica)m+n=1\\m^(4)+n^(4)=-4a\koniec(matica)\vpravo.(* )$$ Ak je pár čísel $$(m_(0);n_(0))$$ riešením systému (*), potom pár $$(n_(0); m_(0))$$ je tiež jeho riešením:

1) Nech $$m_(0)\neq n_(0), m_(0), n_(0)>0$$. Potom $$\left[\begin(matica)\left\(\begin(matica)\left | x-1 \right |=m_(0)^(2)\\7\left | y \right |=n_ (0)^(2)\koniec(matica)\vpravo.\\\vľavo\(\začiatok(matica)\vľavo | x-1 \vpravo |=n_(0)^(2)\\7\vľavo | y \right |=m_(0)^(2)\end(matica)\right.\end(matica)\right.(**)$$ Každý populačný systém má štyri riešenia, potom tento systém má 8 rôznych riešení, ktoré nespĺňajú podmienky problému.

2) Nech sa jedna z hodnôt $$m_(0)$$ alebo $$n_(0)$$ rovná nule, potom dvojice (0;1) a (1;0)-riešenia systému (*), -4a=1 , odkiaľ $$a=-\frac(1)(4)$$ . V tomto prípade bude súbor (**) mať tvar:

$$\vľavo[\začiatok(matica)\vľavo\(\začiatok(matica)\vľavo | x-1 \vpravo |=0\\7\vľavo | y \vpravo |=1\koniec (matica)\vpravo. \\\vľavo\(\začiatok(matica)\vľavo | x-1 \vpravo |=1\\7\vľavo | y \vpravo | =0\koniec (matica)\vpravo.\koniec (matica)\vpravo. $$, z ktorých získame 4 riešenia tohto systému: $$(1; \frac(1)(7))$$, $$(1; -\frac(1)(7))$$, $$ (2; 0)$$, $$(0;0)$$

3) Nech $$m_(1)=n_(0)$$, potom $$\left\(\begin(matica)m_(0)+m_(0)=1\\m_(0)^(4) +m_(0)^(4)=-4a\end(matica)\right.$$., odkiaľ

$$m_(0)=\frac(1)(2)$$, $$a=-\frac(1)(32)$$ a systém (*) má jedno riešenie $$(\frac(1)( 2);\frac(1)(2))$$. V tomto prípade bude súbor (**) mať tvar:

$$\left\(\begin(matica)\left | x-1 \right |=\frac(1)(4)\\7\left | y \right |=\frac(1)(4)\koniec (matica)\right.$$, z ktorej získame 4 riešenia tejto sústavy: $$(1\frac(1)(4) ;\frac(1)(28))$$, $$(1\frac (1) (4); -\frac(1)(28))$$, $$(\frac(3)(4); \frac(1)(28))$$, $$(\frac( 3)(4);-\frac(1)(28))$$.

Dokážme, že pre $$a=-\frac(1)(4)$$ a $$a=-\frac(1)(32)$$ tento systém nemá iné riešenia okrem nájdených.

1. Pre $$a=-\frac(1)(4)$$ systém (*) má tvar: $$\left\(\begin(matica)m+n=1\\m^(4)+ n ^(4)=1\koniec(matica)\vpravo.$$ Ak $$m\neq 0$$, $$n\neq 0$$, potom $$m,n \in (0;1)$ $ a $$\left\(\začiatok(matica)m^(4)

Potom $$m^(4)+n^(4)

2. Pre $$a=-\frac(1)(32)$$ systém (*) má tvar: $$\left\(\begin(matica)m+n=1\\m^(4)+ n ^(4)=\frac(1)(8)\koniec(matica)\vpravo.$$ Nech $$\vľavo\(\začiatok(matica)m=\frac(1)(2)+t\\ n=\frac(1)(2)-t\koniec(matica)\vpravo.$$ , potom $$\vľavo\(\začiatok(matica)m^(4)=(\frac(1)(2) +t)^(2)=\frac(1)(16)+4*\frac(1)(8)t+6*\frac(1)(4)t^(2)+4*\frac( 1)(2)t^(3)+t^(4)\\n^(4)=(\frac(1)(2)-t)^(4)=\frac(1)(16)- 4*\frac(1)(8)t+6*\frac(1)(4)t^(2)-4*\frac(1)(2)t^(3)+t^(4)\ koniec(matica)\vpravo.$$. A $$m^(4)+n^(4)=\frac(1)(8)+3t^(2)+2t^(4)$$. Máme : $$\frac(1)(8)+3t^(2)+2t^(2)=\frac(1)(8)$$, odkiaľ $$t=0$$, $$m =n= \ frac(1)(2)\Rightarrow$$ neexistujú žiadne iné riešenia a $$a=-\frac(1)(32)$$ podmienku spĺňa.

Odpoveď: 1,3, (5);nie;8

Označme rozdiely od výroku o probléme $$s_(1)$$ a $$s_(2)$$, n-tý člen postupu $$x_(n)$$, súčet prvých n podmienky podľa $$S_ (n)$$. Ako je známe, druhá mocnina súčtu ľubovoľného počtu členov sa rovná súčtu druhých mocnín a rôznych dvojitých súčinov členov. Preto: $$s_(1)=2(x_(1)x_(2)+...+x_(n-1)x_(n))$$, $$s_(2)=2(x_(1) )x_(2)+..+x_(n)x_(n+1))$$. $$s_(2)$$ zahŕňa všetky výrazy od $$s_(1)$$ a dvojité produkty $$x_(n+1)$$ podľa všetkých podmienok postupu od $$x_(1)$$ do $$ x_(n)$$. Takže $$s_(2)-s_(1)=2x_(n+1)(x_(1)+..x_(n))=2x_(n+1)S_(n)(1)$$

A) Odpoveď: 1,3, (5). Ak $$s_(2)-s_(1)=40, x_(n+1)S_(n)=20$$. Posledná rovnosť platí napríklad pre postupnosť 1,3,(5).

B) Odpoveď: Nemohla som. V podmienkach problému je najmenšia hodnota v (1) pre n=13 $$2*13(0+1+..+12)=2028>1768$$

B) Odpoveď: 8. Zo vzorca (1) dostaneme: $$s_(2)-s_(1)=2x_(n+1)\frac((x_(1)+x_(n))n)(2 ) =x_(n+1)(x_(1)+x_(n))n=1768 $$. Preto $$1768=2^(3)*13*17$$ je delené n. Z bodu B) $$n<13$$ ; наибольший из таких делителей равен 8 . Проверим это значение. Если $$n=8$$, $$x_{9}(x_{1}+x_{8})=13*17$$. Возможны следующие два варианта

1. $$x_(9)=17\Rightarrow$$ $$x_(8)\leq 13\Rightarrow$$ rozdiel postupu $$d\geq 4\Rightarrow$$ $$x_(1)=x_(9) -8d\leq 17-32<0$$

2. $$x_(9)=13\Rightarrow$$ s $$d\geq 2$$ budeme mať: $$x_(1)=x_(9)-8d\leq 13-16<0$$. Значит, $$d=1$$. Конечная прогрессия 5,6,7,8,9,10,11,12 удовлетворяет условию задачи.

28010. Loď musí preplávať rieku so šírkou L = 100 ma aktuálnou rýchlosťou u = 0,5 m/s tak, aby pristála presne oproti východiskovému bodu. Môže sa pohybovať rôznymi rýchlosťami a čas jazdy, meraný v sekundách, je daný:

α je ostrý uhol, ktorý udáva smer jeho pohybu (meraný od brehu). V akom minimálnom uhle α (v stupňoch) by ste mali plávať, aby čas cesty nebol dlhší ako 200 s?

Aby sme si predstavili proces pohybu, zostavme náčrt:

Ak loď ide do cieľa pod uhlom 90 stupňov k brehu, nechá sa uniesť prúdom a do cieľa nepríde. Preto je potrebné nasmerovať ho pod určitým uhlom α k brehu smerom k toku rieky. Musíme určiť najmenší uhol α, pri ktorom je t ≤ 200.

Problém spočíva v riešení nerovnosti:

Od 0 0< α < 90 0 , то рассматриваем решение неравенства только для первой четверти (то есть, периодичность котангенса не учитываем). Изобразим решение неравенства графически:

Definícia kotangensu: Kotangens ostrého uhla v pravouhlom trojuholníku je pomer priľahlej strany k protiľahlej strane.

Zvážte trojuholník AOB. Kotangens uhla AOB je rovný jednej pri 45 stupňoch a bude menší ako jedna, keď je strana AO menšia ako strana OB. To sa stane, keď sa uhol AOB zvýši zo 45 na 90 stupňov, čo znamená 45 0< α < 90 0 .

Takže musíte plávať pod minimálnym uhlom 45 stupňov vzhľadom na breh (vyberte najmenší uhol z intervalu).

odpoveď: 45