Integrácia najjednoduchších iracionálnych zlomkov. Integrácia iracionálnych výrazov. Integrácia komplexných zlomkov

Definícia 1

Množina všetkých primitívnych prvkov danej funkcie $y=f(x)$, definovaných na určitom segmente, sa nazýva neurčitý integrál danej funkcie $y=f(x)$. Neurčitý integrál označujeme symbolom $\int f(x)dx $.

Komentujte

Definícia 2 môže byť napísaná takto:

\[\int f(x)dx =F(x)+C.\]

Nie každá iracionálna funkcia môže byť vyjadrená ako integrál prostredníctvom elementárnych funkcií. Väčšinu týchto integrálov však možno pomocou substitúcií redukovať na integrály racionálnych funkcií, ktoré možno vyjadriť pomocou elementárnych funkcií.

$\int R\left(x,x^(m/n) ,...,x^(r/s) \right)dx $;

$\int R\left(x,\left(\frac(ax+b)(cx+d) \right)^(m/n) ,...,\left(\frac(ax+b)(cx +d) \right)^(r/s) \right)dx $;

$\int R\left(x,\sqrt(ax^(2) +bx+c) \right)dx $.

ja

Pri hľadaní integrálu v tvare $\int R\left(x,x^(m/n) ,...,x^(r/s) \right)dx $ je potrebné vykonať nasledujúcu substitúciu:

Pri tejto substitúcii je každá zlomková mocnina premennej $x$ vyjadrená prostredníctvom celého čísla premennej $t$. Výsledkom je, že integrandová funkcia sa transformuje na racionálnu funkciu premennej $t$.

Príklad 1

Vykonajte integráciu:

\[\int \frac(x^(1/2) dx)(x^(3/4) +1) .\]

Riešenie:

$k=4$ je spoločný menovateľ zlomkov $\frac(1)(2) ,\, \, \frac(3)(4) $.

\ \[\begin(pole)(l) (\int \frac(x^(1/2) dx)(x^(3/4) +1) =4\int \frac(t^(2) ) (t^(3) +1) \cdot t^(3) dt =4\int \frac(t^(5) )(t^(3) +1) dt =4\int \left(t^( 2) -\frac(t^(2) )(t^(3) +1) \right)dt =4\int t^(2) dt -4\int \frac(t^(2) )(t ^(3) +1) dt =\frac(4)(3) \cdot t^(3) -) \\ (-\frac(4)(3) \cdot \ln |t^(3) +1 |+C)\koniec(pole)\]

\[\int \frac(x^(1/2) dx)(x^(3/4) +1) =\frac(4)(3) \cdot \left+C\]

II

Pri hľadaní integrálu v tvare $\int R\left(x,\left(\frac(ax+b)(cx+d) \right)^(m/n) ,...,\left(\frac (ax+ b)(cx+d) \right)^(r/s) \right)dx $ je potrebné vykonať nasledujúcu substitúciu:

kde $k$ je spoločný menovateľ zlomkov $\frac(m)(n) ,...,\frac(r)(s) $.

Výsledkom tejto substitúcie je transformácia integrandovej funkcie na racionálnu funkciu premennej $t$.

Príklad 2

Vykonajte integráciu:

\[\int \frac(\sqrt(x+4) )(x) dx .\]

Riešenie:

Urobme nasledujúcu náhradu:

\ \[\int \frac(\sqrt(x+4) )(x) dx =\int \frac(t^(2) )(t^(2) -4) dt =2\int \left(1 +\frac(4)(t^(2) -4) \right)dt =2\int dt +8\int \frac(dt)(t^(2) -4) =2t+2\ln \left |\frac(t-2)(t+2) \right|+C\]

Po vykonaní spätnej substitúcie dostaneme konečný výsledok:

\[\int \frac(\sqrt(x+4) )(x) dx =2\sqrt(x+4) +2\ln \left|\frac(\sqrt(x+4) -2)(\ sqrt(x+4) +2) \right|+C.\]

III

Pri hľadaní integrálu v tvare $\int R\left(x,\sqrt(ax^(2) +bx+c) \right)dx $ sa vykoná takzvaná Eulerova substitúcia (jedna z troch možných substitúcií je používané).

Eulerovo prvé striedanie

Pre prípad $a>

Ak vezmeme znamienko „+“ pred $\sqrt(a) $, dostaneme

Príklad 3

Vykonajte integráciu:

\[\int \frac(dx)(\sqrt(x^(2) +c) ) .\]

Riešenie:

Urobme nasledujúcu substitúciu (prípad $a=1>0$):

\[\sqrt(x^(2) +c) =-x+t,\, \, x=\frac(t^(2) -c)(2t) ,\, \, dx=\frac(t ^(2) +c)(2t^(2) ) dt,\, \, \sqrt(x^(2) +c) =-\frac(t^(2) -c)(2t) +t= \frac(t^(2) +c)(2t) .\] \[\int \frac(dx)(\sqrt(x^(2) +c) ) =\int \frac(\frac(t^ (2) +c)(2t^(2) ) dt)(\frac(t^(2) +c)(2t) ) =\int \frac(dt)(t) =\ln |t|+C \]

Po vykonaní spätnej substitúcie dostaneme konečný výsledok:

\[\int \frac(dx)(\sqrt(x^(2) +c) ) =\ln |\sqrt(x^(2) +c) +x|+C.\]

Eulerovo druhé striedanie

Pre prípad $c>0$ je potrebné vykonať nasledujúcu substitúciu:

Ak vezmeme znamienko „+“ pred $\sqrt(c) $, dostaneme

Príklad 4

Vykonajte integráciu:

\[\int \frac((1-\sqrt(1+x+x^(2) ))^(2) )(x^(2) \sqrt(1+x+x^(2) ) ) dx .\]

Riešenie:

Urobme nasledujúcu náhradu:

\[\sqrt(1+x+x^(2) ) =xt+1.\]

\ \[\sqrt(1+x+x^(2) ) =xt+1=\frac(t^(2) -t+1)(1-t^(2) ) \] \

$\int \frac((1-\sqrt(1+x+x^(2) ))^(2) )(x^(2) \sqrt(1+x+x^(2) ) ) dx = \int \frac((-2t^(2) +t)^(2) (1-t)^(2) (1-t^(2))(2t^(2) -2t+2))( (1-t^(2))^(2) (2t-1)^(2) (t^(2) -t+1)(1-t^(2))^(2) ) dt =\ int \frac(t^(2) )(1-t^(2) ) dt =-2t+\ln \left|\frac(1+t)(1-t) \right|+C$ Po vykonaní opačne substitúciou, dostaneme konečný výsledok:

\[\begin(pole)(l) (\int \frac((1-\sqrt(1+x+x^(2) ))^(2) )(x^(2) \sqrt(1+x +x^(2) ) dx =-2\cdot \frac(\sqrt(1+x+x^(2) ) -1)(x) +\ln \left|\frac(x+\sqrt(1 + x+x^(2) ) -1)(x-\sqrt(1+x+x^(2) ) +1) \right|+C=-2\cdot \frac(\sqrt(1+x + x^(2) ) -1)(x) +) \\ (+\ln \left|2x+2\sqrt(1+x+x^(2) ) +1\right|+C) \end ( pole)\]

Eulerovo tretie striedanie

Pod iracionálne rozumieť výrazu, v ktorom je pod znakom zahrnutá nezávislá premenná %%x%% alebo polynóm %%P_n(x)%% stupňa %%n \in \mathbb(N)%% radikálny(z latinčiny radix- koreň), t.j. zvýšil na zlomkovú moc. Nahradením premennej možno niektoré triedy integrandov, ktoré sú iracionálne vzhľadom na %%x%%, zredukovať na racionálne výrazy vzhľadom na novú premennú.

Pojem racionálnej funkcie jednej premennej možno rozšíriť na viacero argumentov. Ak sú pre každý argument %%u, v, \dotsc, w%% pri výpočte hodnoty funkcie poskytnuté iba aritmetické operácie a umocnenie na celé číslo, potom hovoríme o racionálnej funkcii týchto argumentov, ktorá je zvyčajne označené %%R(u, v, \ bodky, w)%%. Argumenty takejto funkcie môžu byť samy osebe funkciami nezávislej premennej %%x%%, vrátane radikálov v tvare %%\sqrt[n](x), n \in \mathbb(N)%%. Napríklad racionálna funkcia $$ R(u,v,w) = \frac(u + v^2)(w) $$ s %%u = x, v = \sqrt(x)%% a %% w = \sqrt(x^2 + 1)%% je racionálna funkcia $$ R\left(x, \sqrt(x), \sqrt(x^2+1)\right) = \frac(x + \sqrt(x ^2))(\sqrt(x^2 + 1)) = f(x) $$ z %%x%% a radikály %%\sqrt(x)%% a %%\sqrt(x ^2 + 1 )%%, pričom funkcia %%f(x)%% bude iracionálna (algebraická) funkcia jednej nezávislej premennej %%x%%.

Uvažujme integrály v tvare %%\int R(x, \sqrt[n](x)) \mathrm(d)x%%. Takéto integrály sa racionalizujú nahradením premennej %%t = \sqrt[n](x)%%, potom %%x = t^n, \mathrm(d)x = nt^(n-1)%%.

Príklad 1

Nájdite %%\displaystyle\int \frac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x) + \sqrt(x))%%.

Integrand požadovaného argumentu je zapísaný ako funkcia radikálov stupňa %%2%% a %%3%%. Keďže najmenší spoločný násobok %%2%% a %%3%% je %%6%%, tento integrál je integrálom typu %%\int R(x, \sqrt(x)) \mathrm(d) x %% a dá sa racionalizovať nahradením %%\sqrt(x) = t%%. Potom %%x = t^6, \mathrm(d)x = 6t \mathrm(d)t, \sqrt(x) = t^3, \sqrt(x) =t^2 %%. Preto $$ \int \frac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x) + \sqrt(x)) = \int \frac(6t^5 \mathrm(d)t)(t^3 + t^2) = 6\int\frac(t^3)(t+1)\mathrm(d)t. $$ Zoberme si %%t + 1 = z, \mathrm(d)t = \mathrm(d)z, z = t + 1 = \sqrt(x) + 1 %% a $$ \begin(pole)( ll ) \int \frac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x) + \sqrt(x)) &= 6\int\frac((z-1)^3)(z) \mathrm(d ) t = \\ &= 6\int z^2 dz -18 \int z \mathrm(d)z + 18\int \mathrm(d)z -6\int\frac(\mathrm(d)z)( z ) = \\ &= 2z^3 - 9 z^2 + 18z -6\ln|z| + C = \\ &= 2 \left(\sqrt(x) + 1\right)^3 - 9 \left(\sqrt(x) + 1\right)^2 + \\ &+~ 18 \left( \sqrt(x) + 1\vpravo) - 6 \ln\doľava|\sqrt(x) + 1\vpravo| + C \end(pole) $$

Integrály tvaru %%\int R(x, \sqrt[n](x)) \mathrm(d)x%% sú špeciálnym prípadom zlomkových lineárnych iracionalít, t.j. integrály v tvare %%\displaystyle\int R\left(x, \sqrt[n](\dfrac(ax+b)(cd+d))\right) \mathrm(d)x%%, kde %% ad - bc \neq 0%%, čo možno racionalizovať nahradením premennej %%t = \sqrt[n](\dfrac(ax+b)(cd+d))%%, potom %%x = \dfrac (dt^n - b)(a - ct^n)%%. Potom $$ \mathrm(d)x = \frac(n t^(n-1)(ad - bc))(\left(a - ct^n\right)^2)\mathrm(d)t. $$

Príklad 2

Nájdite %%\displaystyle\int \sqrt(\dfrac(1 -x)(1 + x))\dfrac(\mathrm(d)x)(x + 1)%%.

Zoberme si %%t = \sqrt(\dfrac(1 -x)(1 + x))%%, potom %%x = \dfrac(1 - t^2)(1 + t^2)%%, $ $ \begin(pole)(l) \mathrm(d)x = -\frac(4t\mathrm(d)t)(\left(1 + t^2\right)^2), \\ 1 + x = \ frac(2)(1 + t^2), \\ \frac(1)(x + 1) = \frac(1 + t^2)(2). \end(pole) $$ Preto $$ \begin(pole)(l) \int \sqrt(\dfrac(1 -x)(1 + x))\frac(\mathrm(d)x)(x + 1) = \\ = \frac(t(1 + t^2))(2)\left(-\frac(4t \mathrm(d)t)(\left(1 + t^2\right)^2 )\vpravo) = \\ = -2\int \frac(t^2\mathrm(d)t)(1 + t^2) = \\ = -2\int \mathrm(d)t + 2\int \frac(\mathrm(d)t)(1 + t^2) = \\ = -2t + \text(arctg)~t + C = \\ = -2\sqrt(\dfrac(1 -x)( 1 + x)) + \text(arctg)~\sqrt(\dfrac(1 -x)(1 + x)) + C. \end(pole) $$

Uvažujme integrály v tvare %%\int R\left(x, \sqrt(ax^2 + bx + c)\right) \mathrm(d)x%%. V najjednoduchších prípadoch sa takéto integrály redukujú na tabuľkové, ak po izolácii celého štvorca dôjde k zmene premenných.

Príklad 3

Nájdite integrál %%\displaystyle\int \dfrac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x^2 + 4x + 5))%%.

Vzhľadom na to, že %%x^2 + 4x + 5 = (x+2)^2 + 1 %%, vezmeme %%t = x + 2, \mathrm(d)x = \mathrm(d)t%%, potom $$ \begin(pole)(ll) \int \frac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x^2 + 4x + 5)) &= \int \frac(\mathrm(d)t) (\sqrt(t^2 + 1)) = \\ &= \ln\left|t + \sqrt(t^2 + 1)\right| + C = \\ &= \ln\left|x + 2 + \sqrt(x^2 + 4x + 5)\vpravo| + C. \end(pole) $$

V zložitejších prípadoch sa na nájdenie integrálov v tvare %%\int používa R\left(x, \sqrt(ax^2 + bx + c)\right) \mathrm(d)x%%

Trieda iracionálnych funkcií je veľmi široká, takže jednoducho nemôže existovať univerzálny spôsob, ako ich integrovať. V tomto článku sa pokúsime identifikovať najcharakteristickejšie typy iracionálnych integrandových funkcií a priradiť k nim integračnú metódu.

Sú prípady, kedy je vhodné použiť metódu prihlásenia sa na rozdielové znamienko. Napríklad pri hľadaní neurčitých integrálov tvaru, kde p– racionálny zlomok.

Príklad.

Nájdite neurčitý integrál .

Riešenie.

Nie je ťažké si to všimnúť. Preto to dáme pod diferenciálne znamienko a použijeme tabuľku primitív:

odpoveď:

.

13. Zlomková lineárna substitúcia

Integrály typu, kde a, b, c, d sú reálne čísla, a, b,..., d, g sú prirodzené čísla, sa substitúciou redukujú na integrály racionálnej funkcie, kde K je najmenší spoločný násobok menovateľov zlomkov

Zo substitúcie skutočne vyplýva, že

t.j. x a dx sú vyjadrené prostredníctvom racionálnych funkcií t. Okrem toho je každý stupeň zlomku vyjadrený prostredníctvom racionálnej funkcie t.

Príklad 33.4. Nájdite integrál

Riešenie: Najmenší spoločný násobok menovateľov zlomkov 2/3 a 1/2 je 6.

Preto dáme x+2=t 6, x=t 6 -2, dx=6t 5 dt, Preto,

Príklad 33.5. Zadajte náhradu za hľadanie integrálov:

Riešenie: Za I 1 substitúcia x=t 2, za I 2 substitúcia

14. Trigonometrická substitúcia

Integrály typu sa redukujú na integrály funkcií, ktoré racionálne závisia od goniometrických funkcií pomocou nasledujúcich goniometrických substitúcií: x = a sint pre prvý integrál; x=a tgt pre druhý integrál;

Príklad 33.6. Nájdite integrál

Riešenie: Dajme x=2 sin t, dx=2 cos tdt, t=arcsin x/2. Potom

Tu je integrand racionálna funkcia vzhľadom na x a Výberom úplného štvorca pod radikálom a vykonaním substitúcie sa integrály uvedeného typu redukujú na integrály už uvažovaného typu, t. j. na integrály typu Tieto integrály možno vypočítať pomocou vhodných trigonometrických substitúcií.

Príklad 33.7. Nájdite integrál

Riešenie: Pretože x 2 +2x-4=(x+1) 2 -5, potom x+1=t, x=t-1, dx=dt. Preto Položme

Poznámka: Integrálny typ Je účelné nájsť pomocou substitúcie x=1/t.

15. Určitý integrál

Nech je funkcia definovaná na segmente a má na ňom primitívnu deriváciu. Rozdiel je tzv určitý integrál funkcie pozdĺž segmentu a označujú. takže,

Rozdiel je zapísaný vo forme . Volajú sa čísla hranice integrácie .

Napríklad jeden z primitívnych derivátov funkcie. Preto

16 . Ak c je konštantné číslo a funkcia ƒ(x) je integrovateľná na , potom

to znamená, že konštantný faktor c možno vyňať zo znamienka určitého integrálu.

▼Poďme zostaviť integrálny súčet funkcie s ƒ(x). Máme:

Potom z toho vyplýva, že funkcia c ƒ(x) je integrovateľná na [a; b] a vzorec (38.1) je platný.▲

2. Ak sú funkcie ƒ 1 (x) a ƒ 2 (x) integrovateľné na [a;b], potom integrovateľné na [a; b] ich súčet u

to znamená, že integrál súčtu sa rovná súčtu integrálov.

▼
▲

Vlastnosť 2 sa vzťahuje na súčet ľubovoľného konečného počtu členov.

3.

Táto vlastnosť môže byť akceptovaná podľa definície. Túto vlastnosť potvrdzuje aj Newtonov-Leibnizov vzorec.

4. Ak je funkcia ƒ(x) integrovateľná na [a; b] a a< с < b, то

to znamená, že integrál v celom segmente sa rovná súčtu integrálov v častiach tohto segmentu. Táto vlastnosť sa nazýva aditivita určitého integrálu (alebo vlastnosť aditivity).

Pri delení segmentu [a;b] na časti zahrnieme bod c do počtu deliacich bodov (možno to urobiť z dôvodu nezávislosti limity integrálneho súčtu od spôsobu delenia segmentu [a;b]). na časti). Ak c = x m, potom celý súčet možno rozdeliť na dva súčty:

Každý zo zapísaných súčtov je pre segmenty [a; b], [a; s] a [s; b]. Prechodom na limitu v poslednej rovnosti ako n → ∞ (λ → 0) dostaneme rovnosť (38.3).

Vlastnosť 4 platí pre ľubovoľné umiestnenie bodov a, b, c (predpokladáme, že funkcia ƒ (x) je integrovateľná na väčšom z výsledných segmentov).

Takže ak napríklad a< b < с, то

(boli použité vlastnosti 4 a 3).

5. „Veta o stredných hodnotách.“ Ak je funkcia ƒ(x) spojitá na intervale [a; b], potom je tonka s є [a; b] taký, že

▼ Podľa Newtonovho-Leibnizovho vzorca máme

kde F"(x) = ƒ(x). Aplikovaním Lagrangeovej vety (vety o konečnom prírastku funkcie) na rozdiel F(b)-F(a) dostaneme

F(b)-F(a) = F"(c) (b-a) = ƒ(c) (b-a).▲

Vlastnosť 5 („teorém o strednej hodnote“) pre ƒ (x) ≥ 0 má jednoduchý geometrický význam: hodnota určitého integrálu sa pre niektorých rovná c є (a; b) ploche obdĺžnika s výškou ƒ (c) a základňou b-a (pozri obr. 170). číslo

sa nazýva priemerná hodnota funkcie ƒ(x) na intervale [a; b].

6. Ak si funkcia ƒ (x) zachová svoje znamienko na segmente [a; b], kde a< b, то интегралимеет тот же знак, что и функция. Так, если ƒ(х)≥0 на отрезке [а; b], то

▼Pomocou „teorému o strednej hodnote“ (vlastnosť 5)

kde c є [a; b]. A keďže ƒ(x) ≥ 0 pre všetky x О [a; b], potom

ƒ(с)≥0, b-а>0.

Preto ƒ(с) (b-а) ≥ 0, t.j. ▲

7. Nerovnosť medzi spojitými funkciami na intervale [a; b], (a

▼Keďže ƒ 2 (x)-ƒ 1 (x)≥0, potom keď a< b, согласно свойству 6, имеем

Alebo podľa vlastnosti 2,

Všimnite si, že nie je možné rozlíšiť nerovnosti.

8. Odhad integrálu. Ak m a M sú najmenšia a najväčšia hodnota funkcie y = ƒ (x) na segmente [a; b], (a< b), то

▼Keďže pre ľubovoľné x є [a;b] máme m≤ƒ(x)≤M, potom podľa vlastnosti 7 máme

Aplikovaním vlastnosti 5 na extrémne integrály dostaneme

▲

Ak ƒ(x)≥0, potom vlastnosť 8 je znázornená geometricky: plocha krivočiareho lichobežníka je uzavretá medzi oblasťami obdĺžnikov, ktorých základňa je , a ktorých výšky sú m a M (pozri obr. 171).

9. Modul určitého integrálu nepresahuje integrál modulu integrandu:

▼Aplikovaním vlastnosti 7 na zrejmé nerovnosti -|ƒ(x)|≤ƒ(x)≤|ƒ(x)| dostaneme

Z toho vyplýva

▲

10. Derivácia určitého integrálu vzhľadom na hornú hranicu premennej sa rovná integrandu, v ktorom je integračná premenná nahradená touto hranicou, t.j.

Výpočet plochy obrazca je jedným z najťažších problémov v teórii plochy. V školskom kurze geometrie sme sa naučili hľadať oblasti základných geometrických útvarov, napríklad kruh, trojuholník, kosoštvorec atď. Oveľa častejšie sa však musíte potýkať s výpočtom plôch zložitejších obrazcov. Pri riešení takýchto problémov sa treba uchýliť k integrálnemu počtu.

V tomto článku sa budeme zaoberať problémom výpočtu plochy krivočiareho lichobežníka a priblížime sa k nemu v geometrickom zmysle. To nám umožní zistiť priame spojenie medzi určitým integrálom a plochou krivočiareho lichobežníka.

Nechajte funkciu y = f(x) kontinuálne na segmente a nemení znamienko na ňom (teda nezáporné alebo nekladné). Obrázok G, ohraničený čiarami y = f(x), y = 0, x = a A x = b, volal zakrivený lichobežník. Označme jeho oblasť S(G).

Pristúpme k problému výpočtu plochy krivočiareho lichobežníka nasledovne. V časti o kvadratických obrazcoch sme zistili, že zakrivený lichobežník je kvadratický obrazec. Ak segment rozdelíte na nčasti s bodkami na označenie a vyberte body tak, aby pre , potom čísla zodpovedajúce dolným a horným Darbouxovým súčtom možno považovať za zahrnuté P a komplexné Q polygonálne tvary pre G.

Teda aj pri zvýšení počtu rozdeľovacích bodov n, dostaneme sa k nerovnosti , kde je ľubovoľne malé kladné číslo, a s A S– dolné a horné Darbouxove súčty pre danú časť segmentu . V inom príspevku . Preto, keď sa obrátime na koncept určitého Darbouxovho integrálu, dostaneme .

Posledná rovnosť znamená, že určitý integrál pre spojitú a nezápornú funkciu y = f(x) predstavuje v geometrickom zmysle oblasť zodpovedajúceho zakriveného lichobežníka. To je čo geometrický význam určitého integrálu.

To znamená, že výpočtom určitého integrálu nájdeme plochu obrázku ohraničenú čiarami y = f(x), y = 0, x = a A x = b.

Komentujte.

Ak je funkcia y = f(x) nepozitívne v segmente , potom oblasť zakriveného lichobežníka možno nájsť ako .

Príklad.

Vypočítajte plochu obrázku ohraničenú čiarami .

Riešenie.

Postavme postavu na rovine: priamka y = 0 sa zhoduje s osou x, rovné čiary x = -2 A x = 3 sú rovnobežné so zvislou osou a krivku možno zostrojiť pomocou geometrických transformácií grafu funkcie.

Preto musíme nájsť oblasť zakriveného lichobežníka. Geometrický význam určitého integrálu nám naznačuje, že požadovaná plocha je vyjadrená určitým integrálom. teda . Tento určitý integrál možno vypočítať pomocou Newtonovho-Leibnizovho vzorca.

Integrály tvaru (m 1, n 1, m 2, n 2, ... - celé čísla). V týchto integráloch je integrand racionálny vzhľadom na integračnú premennú a radikály x. Vypočítajú sa dosadením x=t s, kde s je spoločný menovateľ zlomkov, ... Pri takomto nahradení premennej sú všetky vzťahy = r 1, = r 2, ... celé čísla, t.j. integrál je zredukované na racionálnu funkciu premennej t:

Integrály tvaru (m 1, n 1, m 2, n 2, ... - celé čísla). Tieto integrály sú substitúciou:

kde s je spoločný menovateľ zlomkov, ..., sú redukované na racionálnu funkciu premennej t.

Integrály tvaru Na výpočet integrálu I 1 vyberte úplný štvorec pod znamienkom radikálu:

a použije sa náhrada:

V dôsledku toho sa tento integrál zredukuje na tabuľkový:

V čitateli integrálu I 2 sa rozlišuje diferenciál výrazu pod radikálovým znamienkom a tento integrál je reprezentovaný ako súčet dvoch integrálov:

kde I 1 je vyššie vypočítaný integrál.

Výpočet integrálu I 3 je redukovaný na výpočet integrálu I 1 substitúciou:

Integrál tvaru Špeciálne prípady výpočtu integrálov tohto typu sú uvedené v predchádzajúcom odseku. Existuje niekoľko rôznych metód na ich výpočet. Uvažujme o jednej z týchto techník, založenej na použití trigonometrických substitúcií.

Štvorcová trinomická os 2 +bx+c izoláciou úplného štvorca a zmenou premennej môže byť reprezentovaná v tvare Stačí sa teda obmedziť na tri typy integrálov:

Integrál substitúciou

u=ksint (alebo u=kcost)

redukuje na integrál racionálnej funkcie s ohľadom na sint a náklady.

Integrály tvaru (m, n, p є Q, a, b є R). Uvažované integrály, nazývané integrály diferenciálneho binomu, sú vyjadrené prostredníctvom elementárnych funkcií iba v nasledujúcich troch prípadoch:

1) ak p є Z, potom sa použije substitúcia:

kde s je spoločný menovateľ zlomkov m a n;

2) ak Z, potom sa použije náhrada:

kde s je menovateľ zlomku

3) ak Z, potom sa použije náhrada:

kde s je menovateľ zlomku

Sú uvedené základné metódy integrácie iracionálnych funkcií (korene). Patria sem: integrácia lineárnej zlomkovej iracionality, diferenciálny binom, integrály s druhou odmocninou štvorcového trinomu. Uvádzajú sa trigonometrické substitúcie a Eulerove substitúcie. Uvažuje sa o niektorých eliptických integráloch vyjadrených prostredníctvom elementárnych funkcií.

Obsah

Integrály z diferenciálnych dvojčlenov

Integrály z diferenciálnych binomických prvkov majú tvar:
,
kde m, n, p sú racionálne čísla, a, b sú reálne čísla.
Takéto integrály sa v troch prípadoch redukujú na integrály racionálnych funkcií.

1) Ak p je celé číslo. Substitúcia x = t N, kde N je spoločný menovateľ zlomkov m a n.
2) Ak - celé číslo. Substitúcia a x n + b = t M, kde M je menovateľ čísla p.
3) Ak - celé číslo. Substitúcia a + b x - n = t M, kde M je menovateľ čísla p.

V iných prípadoch sa takéto integrály nevyjadrujú prostredníctvom elementárnych funkcií.

Niekedy je možné takéto integrály zjednodušiť pomocou redukčných vzorcov:
;
.

Integrály obsahujúce druhú odmocninu štvorcového trojčlenu

Takéto integrály majú tvar:
,
kde R je racionálna funkcia. Pre každý takýto integrál existuje niekoľko metód na jeho riešenie.
1) Použitie transformácií vedie k jednoduchším integrálom.
2) Použite trigonometrické alebo hyperbolické substitúcie.
3) Použiť Eulerove substitúcie.

Pozrime sa na tieto metódy podrobnejšie.

1) Transformácia integrandovej funkcie

Použitím vzorca a vykonaním algebraických transformácií zredukujeme funkciu integrandu na tvar:
,
kde φ(x), ω(x) sú racionálne funkcie.

Typ I

Integrál formulára:
,
kde P n (x) je polynóm stupňa n.

Takéto integrály sa nachádzajú metódou neurčitých koeficientov pomocou identity:

.
Diferencovaním tejto rovnice a prirovnaním ľavej a pravej strany nájdeme koeficienty A i.

Typ II

Integrál formulára:
,
kde P m (x) je polynóm stupňa m.

Substitúcia t = (x - a) -1 tento integrál je redukovaný na predchádzajúci typ. Ak m ≥ n, zlomok by mal mať celočíselnú časť.

III typ

Tu vykonáme náhradu:
.
Potom bude mať integrál tvar:
.
Ďalej je potrebné zvoliť konštanty α, β tak, aby v menovateli boli koeficienty pre t nulové:
B = 0, B1 = 0.
Potom sa integrál rozloží na súčet integrálov dvoch typov:
,
,
ktoré sú integrované substitúciami:
u2 = A1t2 + C1,
v2 = Ai + Cit-2.

2) Trigonometrické a hyperbolické substitúcie

Pre integrály tvaru a > 0 ,
máme tri hlavné substitúcie:
;
;
;

Pre integrály, a > 0 ,
máme nasledujúce náhrady:
;
;
;

A nakoniec, pre integrály, a > 0 ,
náhrady sú nasledovné:
;
;
;

3) Eulerove substitúcie

Integrály možno tiež zredukovať na integrály racionálnych funkcií jednej z troch Eulerových substitúcií:
pre a > 0;
, pre c > 0;
, kde x 1 je koreň rovnice a x 2 + b x + c = 0. Ak má táto rovnica skutočné korene.

Eliptické integrály

Na záver zvážte integrály tvaru:
,
kde R je racionálna funkcia, . Takéto integrály sa nazývajú eliptické. Vo všeobecnosti nie sú vyjadrené prostredníctvom elementárnych funkcií. Sú však prípady, keď medzi koeficientmi A, B, C, D, E existujú vzťahy, v ktorých sú takéto integrály vyjadrené prostredníctvom elementárnych funkcií.

Nižšie je uvedený príklad súvisiaci s reflexnými polynómami. Výpočet takýchto integrálov sa vykonáva pomocou substitúcií:
.

Príklad

Vypočítajte integrál:
.

Urobme náhradu.

.
Tu na x > 0 (u > 0 ) použite horné znamienko ′+ ′. Pri x< 0 (u< 0 ) - nižšie "-".

.

Referencie:
N.M. Gunter, R.O. Kuzmin, Zbierka úloh z vyššej matematiky, „Lan“, 2003.

Pozri tiež: