MATRIXOVÝ PRÍDAVOK.

Operácia sčítania je zavedená len pre matice rovnakej veľkosti.

DEFINÍCIA Súčet dvoch matíc A = (a i j ) A B = (b i j) rovnaký veľkosť sa nazýva matica C = (c i j) rovnakej veľkosti, ktorej prvky sa rovnajú súčtom zodpovedajúcich prvkov členov matíc, t.j. pričom i j = a i j + b i j

Súčet matíc A + B je označený.

VYNÁSOBENIE MATICE REÁLNYM ČÍSLOM

DEFINÍCIA Ak chcete vynásobiť maticu číslom k, musíte vynásobiť každý prvok matice týmto číslom:

ak A= (a i j), potom

VLASTNOSTI MATICOVÉHO PRIDÁVANIA A NÁSOBENÍ ČÍSLOM

1. Komutatívna vlastnosť:

A + B = B + A

• 2. Kombinovaná vlastnosť:
  • (A + B) + C = A + (B + C)
• 3. Distribučný majetok:

k (A + B) = k A + k B,

kde k je číslo

MATICOVÉ NÁSOBENIE

Maticu A budeme nazývať konzistentnou s maticou B, ak sa počet stĺpcov matice A rovná počtu riadkov matice B, t.j. pre spárované matice má matica A veľkosť m n , matica B má veľkosť n k . Štvorcové matice sú konzistentné, ak sú rovnakého poriadku.

DEFINÍCIA Súčinom matice A veľkosti m n maticou B veľkosti n k je matica C veľkosti m k, ktorej prvok a i j nachádzajúci sa v i -tom riadku a j -tom stĺpci sa rovná súčtu súčinov r. prvky i -tého riadku matice A zodpovedajúcimi prvkami j - stĺpca matice B, t.j.

c i j = a i 1 b 1 j + a i 2 b 2 j +……+ a i n b n j

Označme: C = A B.

Produkt BA nemá zmysel, pretože matice nie sú konzistentné.

POZNÁMKA 1. Ak A B dáva zmysel, potom B A nemusí dávať zmysel.

POZNÁMKA 2. Ak A B a B A dávajú zmysel, potom vo všeobecnosti

tie. Maticové násobenie nemá komutatívny zákon.

POZNÁMKA 3. Ak A je štvorcová matica a E je matica identity rovnakého rádu, potom

A E = E A = A.

Z toho vyplýva, že matica identity hrá pri vynásobení úlohu jednotky.

PRÍKLADY. Nájdite, ak je to možné, A B a B A.

Riešenie: Štvorcové matice rovnakého druhého rádu sú konzistentné v tomto inom poradí, takže existujú A B a B A.

Riešenie: Matice A a B sú konzistentné

Matice B a A nie sú konzistentné, takže B A nedáva zmysel.

Všimnite si, že ako výsledok vynásobenia dvoch matíc sa získa matica obsahujúca toľko riadkov, koľko má multiplikačná matica, a toľko stĺpcov, koľko má multiplikačná matica.

V tomto článku pochopíme, ako sa vykonáva operácia sčítania na maticách rovnakého rádu, operácia násobenia matice číslom a operácia násobenia matíc vhodného rádu, axiomaticky nastavíme vlastnosti operácií a tiež diskutovať o priorite operácií na matriciach. Paralelne s teóriou uvedieme podrobné riešenia príkladov, v ktorých sa vykonávajú operácie s maticami.

Hneď si všimnime, že všetko nasledujúce platí pre matice, ktorých prvkami sú reálne (alebo komplexné) čísla.

Navigácia na stránke.

Operácia sčítania dvoch matíc.

Definícia operácie sčítania dvoch matíc.

Operácia sčítania je definovaná LEN PRE MATICE ROVNAKÉHO PORADIA. Inými slovami, je nemožné nájsť súčet matíc rôznych rozmerov a vo všeobecnosti nemožno hovoriť o sčítaní matíc rôznych rozmerov. Nemôžete tiež hovoriť o súčte matice a čísla alebo o súčte matice a nejakého iného prvku.

Definícia.

Súčet dvoch matíc a je maticou, ktorej prvky sa rovnajú súčtu zodpovedajúcich prvkov matíc A a B, teda .

Výsledkom operácie sčítania dvoch matíc je teda matica rovnakého rádu.

Vlastnosti operácie sčítania matice.

Aké vlastnosti má operácia sčítania matice? Na túto otázku je celkom ľahké odpovedať, vychádzajúc z definície súčtu dvoch matíc daného rádu a zapamätania si vlastností operácie sčítania reálnych (alebo komplexných) čísel.

1. Matice A, B a C rovnakého rádu sú charakterizované vlastnosťou asociatívnosti sčítania A+(B+C)=(A+B)+C.
2. Pre matice daného rádu existuje neutrálny prvok vzhľadom na sčítanie, ktorým je nulová matica. To znamená, že vlastnosť A+O=A je pravdivá.
3. Pre nenulovú maticu A daného rádu existuje matica (–A), ich súčet je nulová matica: A+(-A)=O.
4. Pre matice A a B daného rádu platí komutatívna vlastnosť sčítania A+B=B+A.

V dôsledku toho množina matíc daného rádu generuje aditívnu Abelovu grupu (abelovskú grupu vzhľadom na algebraickú operáciu sčítania).

Maticové sčítanie - riešenia príkladov.

Pozrime sa na niekoľko príkladov sčítania matice.

Príklad.

Nájdite súčet matíc a .

Riešenie.

Porady matíc A a B sa zhodujú a sú rovné 4 x 2, takže môžeme vykonať operáciu sčítania matíc a ako výsledok by sme mali získať maticu rádu 4 x 2. Podľa definície operácie sčítania dvoch matíc vykonáme sčítanie prvok po prvku:

Príklad.

Nájdite súčet dvoch matíc A ktorých prvkami sú komplexné čísla.

Riešenie.

Keďže poradia matíc sú rovnaké, môžeme vykonať sčítanie.

Príklad.

Vykonajte tri sčítanie matrice .

Riešenie.

Najprv pridajte maticu A s B, potom pridajte C k výslednej matici:

Máme nulovú maticu.

Operácia násobenia matice číslom.

Definícia operácie násobenia matice číslom.

Operácia násobenia matice číslom je definovaná PRE MATICE AKÉHOKOĽVEK PORADIA.

Definícia.

Súčin matice a reálneho (alebo komplexného) čísla je matica, ktorej prvky sa získajú vynásobením zodpovedajúcich prvkov pôvodnej matice číslom, teda .

Výsledkom vynásobenia matice číslom je teda matica rovnakého rádu.

Vlastnosti operácie násobenia matice číslom.

Z vlastností operácie násobenia matice číslom vyplýva, že násobenie nulovej matice číslom nula poskytne nulovú maticu a súčin ľubovoľného čísla a nulovej matice je nulová matica.

Násobenie matice číslom - príklady a ich riešenie.

Pozrime sa na operáciu násobenia matice číslom na príkladoch.

Príklad.

Nájdite súčin čísla 2 a matice .

Riešenie.

Ak chcete vynásobiť maticu číslom, musíte vynásobiť každý jej prvok týmto číslom:

Príklad.

Vykonajte násobenie matice číslom.

Riešenie.

Každý prvok danej matice vynásobíme daným číslom:

Operácia násobenia dvoch matíc.

Definícia operácie násobenia dvoch matíc.

Operácia násobenia dvoch matíc A a B je definovaná len pre prípad, keď sa POČET STĹPCA MATICE A ROVNÁ POČTU RIADKOV MATICE B.

Definícia.

Súčin matice A rádu a matice B rádu- ide o maticu C rádu, ktorej každý prvok sa rovná súčtu súčinov prvkov i-tého riadku matice A zodpovedajúcimi prvkami j-tého stĺpca matice B, tj.

Výsledkom operácie násobenia matice objednávok maticou objednávok je teda matica objednávok.

Násobenie matice maticou - riešenia príkladov.

Pozrime sa na násobenie matice pomocou príkladov a potom prejdime k zoznamu vlastností operácie násobenia matice.

Príklad.

Nájdite všetky prvky matice C, ktorá sa získa vynásobením matíc A .

Riešenie.

Poradie matice A je p=3 x n=2, poradie matice B je n=2 x q=4, preto poradie súčinu týchto matíc bude p=3 x q=4. Použime vzorec

Postupne berieme hodnoty i od 1 do 3 (keďže p=3) pre každé j od 1 do 4 (keďže q=4) a n=2 v našom prípade, potom

Takto sa vypočítajú všetky prvky matice C a matica získaná vynásobením dvoch daných matíc má tvar .

Príklad.

Vykonajte násobenie matice a .

Riešenie.

Poradie pôvodných matíc umožňuje vykonať operáciu násobenia. V dôsledku toho by sme mali dostať maticu poradia 2 x 3.

Príklad.

Dané matice a . Nájdite súčin matíc A a B, ako aj matíc B a A.

Riešenie.

Keďže poradie matice A je 3 x 1 a matice B je 1 x 3, potom A⋅B bude mať poradie 3 x 3 a súčin matíc B a A bude mať poradie 1 x 1.

Ako môžeš vidieť, . Toto je jedna z vlastností operácie násobenia matice.

Vlastnosti operácie násobenia matíc.

Ak sú matice A, B a C vhodného poradia, potom platí nasledovné: vlastnosti operácie násobenia matíc.

Treba poznamenať, že pri vhodnom usporiadaní súčin nulovej matice O a matice A dáva nulovú maticu. Súčin A a O tiež dáva nulovú maticu, ak objednávky umožňujú násobenie matice.

Medzi štvorcovými maticami sa nachádzajú tzv permutačné matice, operácia násobenia pre nich je komutatívna, to znamená . Príkladom permutačných matíc je pár matice identity a akejkoľvek inej matice rovnakého rádu, pretože .

Priorita operácií na matriciach.

Operácie násobenia matice číslom a násobenia matice maticou majú rovnakú prioritu. Zároveň majú tieto operácie vyššiu prioritu ako operácia sčítania dvoch matíc. Matica sa teda vynásobí číslom a matica sa najprv vynásobí a až potom sa vykoná sčítanie matice. Poradie vykonávania operácií s maticami však možno špecifikovať explicitne pomocou zátvoriek.

Takže priorita operácií s maticami je podobná priorite priradenej operáciám sčítania a násobenia reálnych čísel.

Príklad.

Dané matice . Vykonajte zadané akcie s danými maticami .

Riešenie.

Začneme vynásobením matice A maticou B:

Teraz vynásobíme maticu identity E druhého rádu dvoma:

Pridáme dve výsledné matice:

Zostáva vykonať operáciu vynásobenia výslednej matice maticou A:

Treba poznamenať, že operácia odčítania matíc rovnakého rádu A a B ako taká neexistuje. Rozdiel medzi dvoma maticami je v podstate súčtom matice A a matice B, predtým vynásobených mínusom jedna: .

Operácia zvýšenia štvorcovej matice na prirodzenú mocninu tiež nie je nezávislá, pretože ide o postupné násobenie matíc.

Zhrnúť.

Na množine matíc sú definované tri operácie: sčítanie matíc rovnakého rádu, násobenie matice číslom a násobenie matíc vhodných rádov. Operácia sčítania na množine matíc daného rádu generuje Abelovu skupinu.

Po preštudovaní úvodných tém o maticách, ich vlastnostiach a operáciách na nich potrebujeme získať praktické skúsenosti riešením reálnych príkladov sčítania a odčítania matíc. Po konsolidácii získaných vedomostí v praxi môžete prejsť na ďalšie témy.

Začnime študovať s jednoduchšími problémami, postupne prejdeme k zložitejším. Všetky akcie budeme komentovať a v prípade potreby poskytneme niekoľko poznámok pod čiarou, ktoré podrobnejšie vysvetľujú určité transformácie.

Po určení cieľov tejto lekcie prejdime k praxi.

Sčítanie matice pomocou príkladov:

1) Pridajte dve matice a zapíšte výsledok.

Prvá vec, ktorú musíte urobiť, je zistiť, či problém má riešenie.

Rozmery oboch matíc sa zhodujú, čo znamená, že existuje riešenie.

Pristúpime k priamemu sčítaniu sčítaním prvkov matice. Konečné riešenie bude vyzerať takto:

Ako vidíme, tento príklad jasne demonštruje sčítanie 2 matíc.
Skúsme zvážiť trochu komplikovanejší problém sčítania.

2) Pridajte 2 matice "A" a "B"

Rozmery matíc sa zhodujú, čo znamená, že môžeme pristúpiť k sčítaniu.
Výsledkom sčítania bude výsledok zobrazený na obrázku nižšie:

3) Pridajte matice "A" a "B"

Ako sme to urobili predtým, najprv určíme rozmer. Rozmery matíc „A“ a „B“ sú rovnaké, môžeme pristúpiť k ich sčítaniu.

Prvky matice sa sčítavajú presne rovnakým spôsobom ako v príkladoch riešených vyššie.
Riešenie prezentovaného problému bude vyzerať takto:

4) Doplňte matice a zapíšte odpoveď.

Najprv skontrolujeme veľkosť. Vidíme, že rozmer matice „A“ je 3×2 (3 riadky a 2 stĺpce) a rozmer matice „B“ je 2×3, to znamená, že nie sú rovnaké, preto je nemožné pridať maticu „A“ a „B“ .
Odpoveď: žiadne riešenia.

5) Dokážte platnosť rovnosti: A+B=B+A.
Matice majú rovnakú veľkosť a vyzerajú takto:

Najprv pridajme maticu A+B a potom B+A a potom porovnajme výsledok.

Ako vidíme, výsledok sčítania je úplne rovnaký, t.j. Preskupenie pozícií podmienok nemení hodnotu súčtu.
Pozreli sme sa na to v predchádzajúcej téme v časti vlastnosti akcií s maticami.

Odčítanie matíc pomocou príkladov:

Odčítanie matice nie je také jednoduché ako sčítanie, ale rozdiel je veľmi malý.
Aby bolo možné odčítať ďalšiu z jednej matice, musia mať po prvé rovnaký rozmer a po druhé, odčítanie sa vykonáva podľa vzorca: A-B = A+(-1) B Je potrebné pridať druhú k prvá matica, ktorá sa vynásobí číslom (-1).

Pozrime sa na to podrobnejšie pomocou príkladu.

6) Nájdite rozdiel medzi maticami "C" a "D"

Rozmery dvoch matíc sa zhodujú, čo znamená, že môžeme začať odčítať.
Ak to chcete urobiť, odčítajte druhú maticu od prvej matice, ktorá sa vynásobí číslom (-1). Ako vy a ja vieme, aby ste vynásobili jedno číslo maticou, musíte vynásobiť každý jej prvok daným číslom. Kompletné riešenie bude vyzerať takto:

Ako je zrejmé z tohto riešenia, odčítanie je rovnako jednoduchá operácia ako sčítanie matíc a vyžaduje od študentov iba aritmetické znalosti, takže tieto problémy môže vyriešiť úplne každý študent.

Tu končíme túto lekciu a dúfame, že po prečítaní tohto materiálu a podrobnom vyriešení prezentovaných problémov môžete teraz ľahko sčítať a odčítať matice a táto téma je pre vás veľmi jednoduchá.

1. ročník, vyššia matematika, štúdium matice a základné úkony na nich. Tu systematizujeme základné operácie, ktoré možno vykonávať s maticami. Kde začať so zoznamovaním sa s matrikami? Samozrejme, od tých najjednoduchších vecí – definície, základné pojmy a jednoduché operácie. Uisťujeme vás, že matrikám bude rozumieť každý, kto sa im aspoň trochu venuje!

Definícia matice

Matrix je obdĺžniková tabuľka prvkov. Jednoducho povedané – číselná tabuľka.

Matice sa zvyčajne označujú veľkými latinskými písmenami. Napríklad matica A , matica B a tak ďalej. Matice môžu mať rôznu veľkosť: obdĺžnikové, štvorcové a existujú aj riadkové a stĺpcové matice nazývané vektory. Veľkosť matice je určená počtom riadkov a stĺpcov. Napíšme napríklad obdĺžnikovú maticu veľkosti m na n , Kde m – počet riadkov a n – počet stĺpcov.

Položky, pre ktoré i=j (a11, a22, .. ) tvoria hlavnú uhlopriečku matice a nazývajú sa uhlopriečka.

Čo môžete robiť s matrikami? Pridať/Odčítať, vynásobiť číslom, množiť sa medzi sebou, transponovať. Teraz o všetkých týchto základných operáciách s maticami v poradí.

Operácie sčítania a odčítania matice

Okamžite vás upozorňujeme, že môžete pridať iba matice rovnakej veľkosti. Výsledkom bude matica rovnakej veľkosti. Pridávanie (alebo odčítanie) matíc je jednoduché - stačí pridať ich zodpovedajúce prvky . Uveďme si príklad. Urobme sčítanie dvoch matíc A a B veľkosti dva krát dva.

Odčítanie sa vykonáva analogicky, iba s opačným znamienkom.

Každá matica môže byť vynásobená ľubovoľným číslom. Robiť to, musíte vynásobiť každý jeho prvok týmto číslom. Napríklad vynásobme maticu A z prvého príkladu číslom 5:

Operácia násobenia matice

Nie všetky matice sa dajú spolu násobiť. Napríklad máme dve matice - A a B. Vzájomne ich možno vynásobiť len vtedy, ak sa počet stĺpcov matice A rovná počtu riadkov matice B. V tomto prípade každý prvok výslednej matice, ktorý sa nachádza v i-tom riadku a j-tom stĺpci, sa bude rovnať súčtu súčinov zodpovedajúcich prvkov v i-tom riadku prvého faktora a j-tom stĺpci druhy. Aby sme pochopili tento algoritmus, napíšme si, ako sa násobia dve štvorcové matice:

A príklad s reálnymi číslami. Vynásobme matice:

Operácia maticovej transpozície

Maticová transpozícia je operácia, pri ktorej sa vymenia zodpovedajúce riadky a stĺpce. Napríklad transponujme maticu A z prvého príkladu:

Maticový determinant

Determinant alebo determinant je jedným zo základných pojmov lineárnej algebry. Kedysi ľudia vymýšľali lineárne rovnice a po nich mali prísť s determinantom. Nakoniec je len na vás, ako sa s tým všetkým vysporiadate, takže posledný tlak!

Determinant je numerická charakteristika štvorcovej matice, ktorá je potrebná na riešenie mnohých problémov.
Ak chcete vypočítať determinant najjednoduchšej štvorcovej matice, musíte vypočítať rozdiel medzi produktmi prvkov hlavnej a sekundárnej uhlopriečky.

Determinant matice prvého rádu, ktorá pozostáva z jedného prvku, sa rovná tomuto prvku.

Čo ak je matica tri krát tri? Je to náročnejšie, ale dá sa to zvládnuť.

Pre takúto maticu sa hodnota determinantu rovná súčtu súčinov prvkov hlavnej uhlopriečky a súčinov prvkov ležiacich na trojuholníkoch s plochou rovnobežnou s hlavnou uhlopriečkou, z ktorých je súčin prvky vedľajšej uhlopriečky a súčin prvkov ležiacich na trojuholníkoch s plochou rovnobežnej vedľajšej uhlopriečky sa odčítajú.

Našťastie v praxi je zriedka potrebné vypočítať determinanty matíc veľkých veľkostí.

Tu sme sa pozreli na základné operácie s maticami. Samozrejme, v reálnom živote sa možno nikdy nestretnete ani s náznakom maticového systému rovníc, alebo naopak, môžete sa stretnúť s oveľa zložitejšími prípadmi, kedy si budete musieť poriadne polámať hlavu. Práve na takéto prípady je tu profesionál študentská služba. Požiadajte o pomoc, získajte kvalitné a podrobné riešenie, užívajte si akademické úspechy a voľný čas.