අනුකලිත කලනයේ යෙදීම් සලකා බැලීමට අපි ඉදිරියට යමු. මෙම පාඩමේදී අපි සාමාන්ය සහ වඩාත් පොදු කාර්යය විශ්ලේෂණය කරමු නිශ්චිත අනුකලනයක් භාවිතා කරමින් තල රූපයක වර්ගඵලය ගණනය කිරීම. අවසාන වශයෙන්, උසස් ගණිතයේ තේරුම සොයන සියල්ලන්ට එය සොයා ගැනීමට ඉඩ දෙන්න. ඔබ කවදාවත් දන්නේ නැහැ. සැබෑ ජීවිතයේ දී, ඔබ මූලික කාර්යයන් භාවිතා කරමින් dacha කුමන්ත්රණයක් ආසන්න කිරීමට සහ නිශ්චිත අනුකලනයක් භාවිතා කරමින් එහි ප්රදේශය සොයා ගැනීමට සිදු වනු ඇත.

ද්රව්යය සාර්ථකව ප්රගුණ කිරීම සඳහා, ඔබ කළ යුත්තේ:

1) අවිනිශ්චිත අනුකලනය අවම වශයෙන් අතරමැදි මට්ටමකින් තේරුම් ගන්න. මේ අනුව, ඩමිස් මුලින්ම පාඩම කියවිය යුතුය නැත.

2) Newton-Leibniz සූත්‍රය යෙදීමට සහ නිශ්චිත අනුකලනය ගණනය කිරීමට හැකි වීම. පිටුවේ ඇතැම් අනුකලනය සමඟ ඔබට උණුසුම් මිත්ර සබඳතා ඇති කර ගත හැකිය නිශ්චිත අනුකලනය. විසඳුම් සඳහා උදාහරණ. කර්තව්යය "නිශ්චිත අනුකලනයක් භාවිතා කරමින් ප්රදේශය ගණනය කිරීම" සෑම විටම චිත්රයක් තැනීම ඇතුළත් වේ, එබැවින් ඔබේ දැනුම සහ චිත්‍ර ඇඳීමේ කුසලතා ද අදාළ ගැටලුවක් වනු ඇත. අවම වශයෙන්, ඔබට සරල රේඛාවක්, පරාවලයක් සහ හයිපර්බෝලාවක් තැනීමට හැකි විය යුතුය.

වක්‍ර trapezoid එකකින් පටන් ගනිමු. වක්‍ර trapezoid යනු කිසියම් ශ්‍රිතයක ප්‍රස්ථාරයකින් සීමා වූ පැතලි රූපයකි වයි = f(x), අක්ෂය OXසහ රේඛා x = ඒ; x = බී.

Curvilinear trapezoid ප්‍රදේශය සංඛ්‍යාත්මකව නිශ්චිත අනුකලයකට සමාන වේ

ඕනෑම නිශ්චිත අනුකලනයකට (පවතින) ඉතා හොඳ ජ්‍යාමිතික අර්ථයක් ඇත. පාඩමේදී නිශ්චිත අනුකලනය. විසඳුම් සඳහා උදාහරණඅපි කිව්වේ නිශ්චිත අනුකලනයක් යනු සංඛ්‍යාවක් බවයි. දැන් තවත් ප්රයෝජනවත් කරුණක් ප්රකාශ කිරීමට කාලයයි. ජ්‍යාමිතියේ දෘෂ්ටි කෝණයෙන්, නිශ්චිත අනුකලනය AREA වේ. එනම්, නිශ්චිත අනුකලනය (එය පවතී නම්) ජ්යාමිතිකව යම් රූපයක ප්රදේශයට අනුරූප වේ. නිශ්චිත අනුකලනය සලකා බලන්න

ඒකාබද්ධ

තලයේ වක්‍රයක් නිර්වචනය කරයි (අවශ්‍ය නම් එය ඇද ගත හැක), සහ නිශ්චිත අනුකලනයම සංඛ්‍යාත්මකව අනුරූප curvilinear trapezoid ප්රදේශයට සමාන වේ.

උදාහරණ 1

, , , .

මෙය සාමාන්‍ය පැවරුම් ප්‍රකාශයකි. තීරණයෙහි වැදගත්ම කරුණ වන්නේ චිත්රය ඉදිකිරීමයි. එපමණක්ද නොව, චිත්රය ඉදි කළ යුතුය හරි.

චිත්රයක් තැනීමේදී, මම පහත අනුපිළිවෙල නිර්දේශ කරමි: පළමු අවස්ථාවේ දීසියලුම සරල රේඛා (ඒවා තිබේ නම්) සහ පමණක් ඉදිකිරීම වඩා හොඳය ඉන්පසු- parabolas, hyperbolas, අනෙකුත් ශ්රිතවල ප්රස්ථාර. ලක්ෂ්‍යයෙන් ලක්ෂ්‍ය ඉදිකිරීම් තාක්ෂණය යොමු ද්‍රව්‍යයේ සොයාගත හැකිය මූලික ශ්‍රිතවල ප්‍රස්තාර සහ ගුණ. එහිදී ඔබට අපගේ පාඩම සඳහා ඉතා ප්‍රයෝජනවත් ද්‍රව්‍ය ද සොයාගත හැකිය - ඉක්මනින් පැරබෝලාවක් සාදා ගන්නේ කෙසේද.

මෙම ගැටළුව තුළ, විසඳුම මේ ආකාරයෙන් පෙනෙනු ඇත.

අපි ඇඳීම කරමු (සමීකරණය බව සලකන්න වයි= 0 අක්ෂය නියම කරයි OX):

අපි වක්‍රාකාර trapezoid සෙවන නොකරන්නෙමු; මෙහිදී අප කතා කරන්නේ කුමන ප්‍රදේශය ගැනද යන්න පැහැදිලිය. විසඳුම මේ ආකාරයෙන් දිගටම පවතී:

කොටසේ [-2; 1] ශ්‍රිත ප්‍රස්ථාරය වයි = x 2 + 2 පිහිටා ඇත අක්ෂයට ඉහලින්OX, ඒක තමයි:

පිළිතුර: .

නිශ්චිත අනුකලනය ගණනය කිරීමේදී සහ නිව්ටන්-ලයිබ්නිස් සූත්‍රය යෙදීමේදී දුෂ්කරතා ඇති අය

,

දේශනය වෙත යොමු කරන්න නිශ්චිත අනුකලනය. විසඳුම් සඳහා උදාහරණ. කාර්යය අවසන් වූ පසු, ඇඳීම දෙස බැලීම සහ පිළිතුර සැබෑ දැයි සොයා බැලීම සැමවිටම ප්රයෝජනවත් වේ. මෙම අවස්ථාවේ දී, අපි “ඇසෙන්” චිත්‍රයේ ඇති සෛල ගණන ගණනය කරමු - හොඳයි, 9 ක් පමණ වනු ඇත, එය සත්‍ය බව පෙනේ. අපට පිළිතුර ලැබුනේ නම්, වර්ග ඒකක 20 ක් නම්, කොතැනක හෝ වැරැද්දක් සිදුවී ඇති බව පැහැදිලිය - සෛල 20 ක් පැහැදිලිවම ප්‍රශ්නගත රූපයට නොගැලපේ, උපරිම වශයෙන් දුසිමක්. පිළිතුර ඍණාත්මක නම්, කාර්යය ද වැරදි ලෙස විසඳා ඇත.

උදාහරණ 2

රේඛාවලින් මායිම් කරන ලද රූපයක ප්රදේශය ගණනය කරන්න xy = 4, x = 2, x= 4 සහ අක්ෂය OX.

මෙය ඔබටම විසඳා ගැනීමට ආදර්ශයකි. සම්පූර්ණ විසඳුම සහ පාඩම අවසානයේ පිළිතුර.

වක්ර trapezoid පිහිටා තිබේ නම් කුමක් කළ යුතුද? අක්ෂය යටතේOX?

උදාහරණය 3

රේඛාවලින් මායිම් කරන ලද රූපයක ප්රදේශය ගණනය කරන්න වයි = e-x, x= 1 සහ සම්බන්ධීකරණ අක්ෂ.

විසඳුම: අපි චිත්රයක් සාදන්න:

වක්ර trapezoid නම් සම්පූර්ණයෙන්ම අක්ෂය යටතේ පිහිටා ඇත OX , එවිට එහි ප්රදේශය සූත්රය භාවිතයෙන් සොයාගත හැකිය:

මේ අවස්ථාවේ දී:

.

අවධානය! කාර්යයන් වර්ග දෙක පටලවා නොගත යුතුය:

1) ජ්‍යාමිතික අර්ථයකින් තොරව සරලව නිශ්චිත අනුකලනයක් විසඳීමට ඔබෙන් ඉල්ලා සිටින්නේ නම්, එය සෘණාත්මක විය හැක.

2) නිශ්චිත අනුකලනයක් භාවිතා කරමින් රූපයක ප්‍රදේශය සොයා ගැනීමට ඔබෙන් ඉල්ලා සිටින්නේ නම්, එම ප්‍රදේශය සැමවිටම ධනාත්මක වේ! දැන් සාකච්ඡා කළ සූත්‍රයේ අඩුව පෙනෙන්නේ එබැවිනි.

ප්රායෝගිකව, බොහෝ විට රූපය ඉහළ සහ පහළ අර්ධ තලයෙහි පිහිටා ඇති අතර, එම නිසා, සරලම පාසල් ගැටළු වලින් අපි වඩාත් අර්ථවත් උදාහරණ වෙත ගමන් කරමු.

උදාහරණය 4

රේඛා වලින් සීමා වූ තල රූපයක ප්‍රදේශය සොයා ගන්න වයි = 2x – x 2 , වයි = -x.

විසඳුම: පළමුව ඔබ චිත්රයක් සෑදිය යුතුය. ප්‍රදේශයේ ගැටළු වල චිත්‍රයක් තැනීමේදී, අපි වඩාත් උනන්දු වන්නේ රේඛා ඡේදනය වන ස්ථාන කෙරෙහි ය. පැරබෝලා වල ඡේදනය වන ස්ථාන සොයා ගනිමු වයි = 2x – x 2 සහ කෙළින්ම වයි = -x. මෙය ආකාර දෙකකින් කළ හැකිය. පළමු ක්රමය විශ්ලේෂණාත්මක ය. අපි සමීකරණය විසඳන්නෙමු:

මෙයින් අදහස් කරන්නේ ඒකාබද්ධතාවයේ පහළ සීමාවයි ඒ= 0, ඒකාබද්ධ කිරීමේ ඉහළ සීමාව බී= 3. බොහෝ විට වඩා ලාභදායී සහ වේගවත් වන අතර ලක්ෂ්‍යයෙන් පේළි තැනීම, සහ ඒකාබද්ධ කිරීමේ සීමාවන් "තමන් විසින්ම" පැහැදිලි වේ. කෙසේ වෙතත්, උදාහරණයක් ලෙස, ප්‍රස්ථාරය ප්‍රමාණවත් තරම් විශාල නම් හෝ සවිස්තරාත්මක ඉදිකිරීම් ඒකාබද්ධ කිරීමේ සීමාවන් හෙළි නොකළේ නම් (ඒවා භාගික හෝ අතාර්කික විය හැකිය) සීමාවන් සෙවීමේ විශ්ලේෂණ ක්‍රමය සමහර විට භාවිතා කිරීමට සිදු වේ. අපි අපගේ කාර්යයට ආපසු යමු: පළමුව සරල රේඛාවක් තැනීම වඩාත් තාර්කික වන අතර පසුව පමණක් පැරබෝලා. අපි ඇඳීම සකස් කරමු:

ලක්ෂ්යයක් ඉදි කිරීමේදී, ඒකාබද්ධ කිරීමේ සීමාවන් බොහෝ විට "ස්වයංක්රීයව" තීරණය කරන බව අපි නැවත කියමු.

දැන් වැඩ කරන සූත්‍රය:

කොටසේ නම් [ ඒ; බී] සමහර අඛණ්ඩ කාර්යයක් f(x) වඩා විශාල හෝ සමාන වේසමහර අඛණ්ඩ ක්රියාකාරිත්වය g(x), එවිට අනුරූප රූපයේ ප්රදේශය සූත්රය භාවිතයෙන් සොයාගත හැකිය:

මෙහිදී ඔබට තවදුරටත් රූපය පිහිටා ඇති ස්ථානය ගැන සිතීමට අවශ්‍ය නැත - අක්ෂයට ඉහළින් හෝ අක්ෂයට පහළින්, නමුත් කුමන ප්‍රස්ථාරය වැඩිද යන්න වැදගත් වේ(වෙනත් ප්‍රස්ථාරයකට සාපේක්ෂව) සහ පහත දැක්වෙන්නේ කුමන එකක්ද යන්න.

සලකා බලනු ලබන උදාහරණයේ දී, එම කොටසෙහි පැරබෝලා සරල රේඛාවට ඉහළින් පිහිටා ඇති බව පැහැදිලිය, එබැවින් 2 සිට x – x 2 අඩු කළ යුතුය - x.

සම්පුර්ණ කරන ලද විසඳුම මේ වගේ විය හැකිය:

අපේක්ෂිත රූපය පරාවලයකින් සීමා වේ වයි = 2x – x 2 උඩින් සහ කෙළින් වයි = -xපහත.

2 වන කොටසේ x – x 2 ≥ -x. අනුරූප සූත්රය අනුව:

පිළිතුර: .

ඇත්ත වශයෙන්ම, පහළ අර්ධ තලයේ curvilinear trapezoid ප්රදේශය සඳහා වන පාසල් සූත්රය (උදාහරණ අංක 3 බලන්න) සූත්රයේ විශේෂ අවස්ථාවකි.

.

අක්ෂය නිසා OXසමීකරණය මගින් ලබා දී ඇත වයි= 0, සහ ශ්‍රිතයේ ප්‍රස්ථාරය g(x) අක්ෂයට පහළින් පිහිටා ඇත OX, එම

.

දැන් ඔබේම විසඳුම සඳහා උදාහරණ කිහිපයක්

උදාහරණ 5

උදාහරණය 6

රේඛාවලින් මායිම් කරන ලද රූපයක ප්රදේශය සොයා ගන්න

නිශ්චිත අනුකලනයක් භාවිතා කරමින් ප්රදේශය ගණනය කිරීම සම්බන්ධ ගැටළු විසඳීමේදී, සමහර විට හාස්යජනක සිදුවීමක් සිදු වේ. චිත්‍රය නිවැරදිව සිදු කර ඇත, ගණනය කිරීම් නිවැරදි නමුත් නොසැලකිලිමත්කම නිසා ... වැරදි රූපයේ ප්රදේශය සොයා ගන්නා ලදී.

උදාහරණ 7

මුලින්ම අපි චිත්රයක් සාදන්න:

අපට සෙවිය යුතු ප්‍රදේශය නිල් පැහැයෙන් වර්ණාලේප කර ඇත(තත්ත්වය දෙස හොඳින් බලන්න - රූපය සීමිත වන්නේ කෙසේද!). නමුත් ප්‍රායෝගිකව, නොසැලකිල්ල නිසා, මිනිසුන් බොහෝ විට තීරණය කරන්නේ කොළ පැහැයෙන් සෙවන ලද රූපයේ ප්‍රදේශය සොයා ගැනීමට අවශ්‍ය බවයි!

මෙම උදාහරණය නිශ්චිත අනුකලන දෙකක් භාවිතා කරමින් රූපයක වර්ගඵලය ගණනය කිරීම සඳහා ද ප්‍රයෝජනවත් වේ. ඇත්තටම:

1) කොටසේ [-1; 1] අක්ෂයට ඉහළින් OXප්රස්ථාරය කෙළින්ම පිහිටා ඇත වයි = x+1;

2) අක්ෂයට ඉහලින් ඇති කොටසක OXහයිපර්බෝලාවක ප්‍රස්ථාරය පිහිටා ඇත වයි = (2/x).

ප්‍රදේශ එකතු කළ හැකි (සහ කළ යුතු) බව ඉතා පැහැදිලිය, එබැවින්:

පිළිතුර:

උදාහරණ 8

රේඛාවලින් මායිම් කරන ලද රූපයක ප්රදේශය ගණනය කරන්න

"පාසල්" ආකාරයෙන් සමීකරණ ඉදිරිපත් කරමු

සහ ලක්ෂ්‍යයෙන් ලක්ෂ්‍ය ඇඳීමක් සාදන්න:

චිත්‍රයෙන් අපගේ ඉහළ සීමාව “හොඳ” බව පැහැදිලිය: බී = 1.

නමුත් අඩු සීමාව කුමක්ද?! මෙය පූර්ණ සංඛ්‍යාවක් නොවන බව පැහැදිලිය, නමුත් එය කුමක්ද?

සමහර විට, ඒ=(-1/3)? නමුත් චිත්‍රය පරිපූර්ණ නිරවද්‍යතාවයකින් සාදා ඇති බවට සහතිකයක් කොහිද, එය එසේ විය හැකිය ඒ=(-1/4). අපි ප්‍රස්ථාරය වැරදි ලෙස ගොඩනඟා ඇත්නම් කුමක් කළ යුතුද?

එවැනි අවස්ථාවන්හිදී, ඔබට අමතර කාලයක් ගත කිරීමට සහ විශ්ලේෂණාත්මකව ඒකාබද්ධ කිරීමේ සීමාවන් පැහැදිලි කිරීමට සිදු වේ.

ප්‍රස්ථාරවල ඡේදනය වන ස්ථාන සොයා ගනිමු

මෙය සිදු කිරීම සඳහා, අපි සමීකරණය විසඳන්නෙමු:

.

එබැවින්, ඒ=(-1/3).

තව දුරටත් විසඳුම සුළුපටු ය. ප්රධාන දෙය වන්නේ ආදේශන සහ සංඥා තුළ ව්යාකූල නොවීමයි. මෙහි ගණනය කිරීම් සරලම නොවේ. කොටස මත

, ,

අනුරූප සූත්රය අනුව:

පිළිතුර:

පාඩම අවසන් කිරීම සඳහා, අපි තවත් දුෂ්කර කාර්යයන් දෙකක් දෙස බලමු.

උදාහරණ 9

රේඛාවලින් මායිම් කරන ලද රූපයක ප්රදේශය ගණනය කරන්න

විසඳුම: අපි මෙම රූපය චිත්‍රයේ නිරූපණය කරමු.

ලක්ෂ්‍යයෙන් ලක්ෂ්‍යයක් ඇඳීම සඳහා, ඔබ sinusoid වල පෙනුම දැන සිටිය යුතුය. පොදුවේ ගත් කල, සියලුම මූලික ශ්‍රිතවල ප්‍රස්ථාර මෙන්ම සමහර සයින් අගයන් දැන ගැනීම ප්‍රයෝජනවත් වේ. ඒවා අගයන් වගුවෙන් සොයාගත හැකිය ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිත. සමහර අවස්ථා වලදී (උදාහරණයක් ලෙස, මෙම අවස්ථාවෙහිදී), අනුකලනය කිරීමේ ප්‍රස්ථාර සහ සීමාවන් මූලික වශයෙන් නිවැරදිව ප්‍රදර්ශනය කළ යුතු ක්‍රමානුකූල චිත්‍රයක් තැනීමට හැකිය.

මෙහි ඒකාබද්ධ කිරීමේ සීමාවන් සමඟ ගැටළු නොමැත; ඒවා කොන්දේසියෙන් කෙලින්ම අනුගමනය කරයි:

- "x" ශුන්‍යයේ සිට "pi" දක්වා වෙනස් වේ. අපි තවත් තීරණයක් ගනිමු:

කොටසක, ශ්‍රිතයක ප්‍රස්ථාරය වයි= පාපය 3 xඅක්ෂයට ඉහලින් පිහිටා ඇත OX, ඒක තමයි:

(1) සයින් සහ කෝසයින ඔත්තේ බලයෙන් අනුකලනය වන ආකාරය පාඩමේදී ඔබට දැක ගත හැක. ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිතවල අනුකලනය. අපි එක් සයිනස් එකක් කපා දමමු.

(2) අපි ආකෘතියේ ප්‍රධාන ත්‍රිකෝණමිතික අනන්‍යතාවය භාවිතා කරමු

(3) විචල්‍යය වෙනස් කරමු ටී=කොස් x, එවිට: අක්ෂයට ඉහළින් පිහිටා ඇත, එබැවින්:

.

.

සටහන:ස්පර්ශක ඝනකයේ අනුකලනය ගන්නා ආකාරය සටහන් කරන්න; මූලික ත්‍රිකෝණමිතික අනන්‍යතාවයේ සහසම්බන්ධයක් මෙහි භාවිතා වේ

.

මෙම ලිපියෙන් ඔබ අනුකලිත ගණනය කිරීම් භාවිතයෙන් රේඛාවලින් මායිම් කරන ලද රූපයේ ප්රදේශය සොයා ගන්නේ කෙසේදැයි ඉගෙන ගනු ඇත. ප්‍රථම වරට උසස් පාසලේදී එවැනි ගැටලුවක් සැකසීමට අපට මුණගැසෙන්නේ, අපි නිශ්චිත අනුකලනය පිළිබඳ අධ්‍යයනය සම්පූර්ණ කර ඇති අතර ප්‍රායෝගිකව අත්පත් කරගත් දැනුමේ ජ්‍යාමිතික අර්ථ නිරූපණය ආරම්භ කිරීමට කාලයයි.

එබැවින්, අනුකලනය භාවිතයෙන් රූපයේ ප්රදේශය සොයා ගැනීමේ ගැටළුව සාර්ථකව විසඳීමට අවශ්ය වන්නේ කුමක්ද:

• දක්ෂ චිත්ර ඇඳීමේ හැකියාව;
• සුප්‍රසිද්ධ Newton-Leibniz සූත්‍රය භාවිතයෙන් නිශ්චිත අනුකලනයක් විසඳීමේ හැකියාව;
• වඩා ලාභදායී විසඳුම් විකල්පයක් "දැකීමේ" හැකියාව - i.e. එක් අවස්ථාවක හෝ වෙනත් අවස්ථාවක ඒකාබද්ධ කිරීම සිදු කිරීම වඩාත් පහසු වන්නේ කෙසේදැයි තේරුම් ගන්න. x-අක්ෂය (OX) හෝ y-අක්ෂය (OY) දිගේ?
• හොඳයි, නිවැරදි ගණනය කිරීම් නොමැතිව අප සිටින්නේ කොතැනද?) වෙනත් ආකාරයේ අනුකලනය සහ නිවැරදි සංඛ්‍යාත්මක ගණනය කිරීම් විසඳන ආකාරය අවබෝධ කර ගැනීම මෙයට ඇතුළත් වේ.

රේඛාවලින් මායිම් කරන ලද රූපයක ප්රදේශය ගණනය කිරීමේ ගැටළුව විසඳීම සඳහා ඇල්ගොරිතම:

1. අපි චිත්රයක් ගොඩනඟනවා. මෙය විශාල පරිමාණයෙන් පිරික්සුම් කඩදාසි කැබැල්ලක සිදු කිරීම සුදුසුය. අපි එක් එක් ප්‍රස්ථාරයට ඉහළින් පැන්සලකින් මෙම ශ්‍රිතයේ නම අත්සන් කරමු. ප්‍රස්ථාර අත්සන් කිරීම සිදු කරනු ලබන්නේ වැඩිදුර ගණනය කිරීමේ පහසුව සඳහා පමණි. අපේක්ෂිත රූපයේ ප්‍රස්ථාරයක් ලැබීමෙන් පසු, බොහෝ අවස්ථාවන්හිදී ඒකාබද්ධ කිරීමේ සීමාවන් භාවිතා කරන්නේද යන්න වහාම පැහැදිලි වේ. මේ අනුව, අපි ගැටලුව චිත්රක ලෙස විසඳන්නෙමු. කෙසේ වෙතත්, සීමාවන්ගේ අගයන් භාගික හෝ අතාර්කික බව සිදු වේ. එමනිසා, ඔබට අතිරේක ගණනය කිරීම් කළ හැකිය, දෙවන පියවර වෙත යන්න.

2. ඒකාබද්ධ කිරීමේ සීමාවන් පැහැදිලිව දක්වා නොමැති නම්, අපි ප්‍රස්ථාර එකිනෙක ඡේදනය වන ස්ථාන සොයාගෙන අපගේ චිත්‍රක විසඳුම විශ්ලේෂණාත්මක විසඳුම සමඟ සමපාත වේදැයි බලමු.

3. ඊළඟට, ඔබ චිත්රය විශ්ලේෂණය කළ යුතුය. ශ්‍රිත ප්‍රස්ථාර සකසා ඇති ආකාරය අනුව, රූපයක ප්‍රදේශය සොයා ගැනීමට විවිධ ප්‍රවේශයන් ඇත. අනුකලනය භාවිතයෙන් රූපයක වර්ගඵලය සෙවීමේ විවිධ උදාහරණ බලමු.

3.1. ගැටලුවේ වඩාත්ම සම්භාව්‍ය හා සරලම අනුවාදය වන්නේ ඔබට වක්‍ර trapezoid ප්‍රදේශය සොයා ගැනීමට අවශ්‍ය වූ විටය. වක්‍ර trapezoid යනු කුමක්ද? මෙය x-අක්ෂයෙන් සීමා වූ පැතලි රූපයකි (y = 0), කෙලින්ම x = a, x = bසහ සිට පරතරය මත ඕනෑම වක්රයක් අඛණ්ඩව ඒකලින් බී. එපමණක් නොව, මෙම අගය ඍණාත්මක නොවන අතර x-අක්ෂයට පහළින් පිහිටා නොමැත. මෙම අවස්ථාවේ දී, වක්‍ර රේඛීය ට්‍රැපෙසොයිඩ් ප්‍රදේශය සංඛ්‍යාත්මකව නිශ්චිත අනුකලනයකට සමාන වේ, එය නිව්ටන්-ලයිබ්නිස් සූත්‍රය භාවිතයෙන් ගණනය කෙරේ:

උදාහරණ 1 y = x2 – 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.

රූපය මායිම් කර ඇති රේඛා මොනවාද? අපිට පැරබෝලා තියෙනවා y = x2 – 3x + 3, අක්ෂයට ඉහලින් පිහිටා ඇත ඔහ්, එය ඍණාත්මක නොවන නිසා මෙම පැරබෝලාවේ සියලුම ලක්ෂ්‍ය ධනාත්මක අගයන් ඇත. ඊළඟට, සරල රේඛා ලබා දී ඇත x = 1සහ x = 3, අක්ෂයට සමාන්තරව දිවෙන OU, වම් සහ දකුණු පස ඇති රූපයේ මායිම් රේඛා වේ. හොඳින් y = 0, එය ද x-අක්ෂය වන අතර, එය රූපය පහතින් සීමා කරයි. වම් පැත්තේ රූපයෙන් පෙනෙන පරිදි, ප්රතිඵලයක් වශයෙන් රූපය සෙවනැලි වේ. මෙම අවස්ථාවේදී, ඔබට වහාම ගැටළුව විසඳීම ආරම්භ කළ හැකිය. අපට පෙර වක්‍ර trapezoid සඳහා සරල උදාහරණයක් වන අතර, පසුව අපි Newton-Leibniz සූත්‍රය භාවිතයෙන් විසඳන්නෙමු.

3.2. පෙර ඡේදයේ 3.1 හි, වක්‍රාකාර trapezoid x-අක්ෂයට ඉහළින් පිහිටා ඇති විට අපි නඩුව පරීක්ෂා කළෙමු. කාර්යය x-අක්ෂය යටතේ පවතිනවා හැර, ගැටලුවේ කොන්දේසි සමාන වන විට දැන් සලකා බලන්න. සම්මත Newton-Leibniz සූත්‍රයට අඩුවක් එකතු වේ. එවැනි ගැටළුවක් විසඳන්නේ කෙසේදැයි අපි පහත සලකා බලමු.

උදාහරණ 2 . රේඛාවලින් මායිම් කරන ලද රූපයක ප්රදේශය ගණනය කරන්න y = x2 + 6x + 2, x = -4, x = -1, y = 0.

මෙම උදාහරණයේදී අපට පැරබෝලාවක් ඇත y = x2 + 6x + 2, අක්ෂයෙන් ආරම්භ වන ඔහ්, කෙලින්ම x = -4, x = -1, y = 0. මෙතන y = 0ඉහත සිට අපේක්ෂිත රූපය සීමා කරයි. සෘජු x = -4සහ x = -1නිශ්චිත අනුකලනය ගණනය කරනු ලබන සීමාවන් මේවාය. රූපයක ප්‍රදේශය සෙවීමේ ගැටළුව විසඳීමේ මූලධර්මය උදාහරණ අංක 1 සමඟ සම්පුර්ණයෙන්ම පාහේ සමපාත වේ. එකම වෙනස නම් ලබා දී ඇති ශ්‍රිතය ධනාත්මක නොවන අතර පරතරය මත අඛණ්ඩව පැවතීමයි. [-4; -1] . ධනාත්මක නොවන බව ඔබ අදහස් කරන්නේ කුමක්ද? රූපයෙන් පෙනෙන පරිදි, ලබා දී ඇති x හි ඇති රූපයට තනිකරම “සෘණ” ඛණ්ඩාංක ඇත, ගැටලුව විසඳීමේදී අප දැකීමට සහ මතක තබා ගැනීමට අවශ්‍ය වන්නේ එයයි. අපි රූපයේ ප්‍රදේශය සොයන්නේ නිව්ටන්-ලයිබ්නිස් සූත්‍රය භාවිතා කර, ආරම්භයේ අඩු ලකුණක් සමඟ පමණි.

ලිපිය සම්පූර්ණ කර නැත.

නිශ්චිත අනුකලනයක ජ්‍යාමිතික අර්ථය විශ්ලේෂණය කිරීම සඳහා කැප වූ පෙර කොටසේ, වක්‍ර රේඛීය ට්‍රැපෙසොයිඩ් ප්‍රදේශය ගණනය කිරීම සඳහා අපට සූත්‍ර ගණනාවක් ලැබුණි:

Yandex.RTB R-A-339285-1

S (G) = ∫ a b f (x) d x අඛණ්ඩ සහ සෘණ නොවන ශ්‍රිතයක් සඳහා y = f (x) පරතරය මත [ a ; බී ] ,

S (G) = - ∫ a b f (x) d x අඛණ්ඩ සහ ධනාත්මක නොවන ශ්‍රිතයක් සඳහා y = f (x) පරතරය මත [ a ; බී ] .

සාපේක්ෂ සරල ගැටළු විසඳීම සඳහා මෙම සූත්‍ර අදාළ වේ. යථාර්ථය නම්, අපට බොහෝ විට වඩාත් සංකීර්ණ රූප සමඟ වැඩ කිරීමට සිදුවනු ඇත. මේ සම්බන්ධයෙන්, අපි මෙම කොටස පැහැදිලි ස්වරූපයෙන් ශ්‍රිත මගින් සීමා කර ඇති සංඛ්‍යා ප්‍රදේශය ගණනය කිරීම සඳහා ඇල්ගොරිතම විශ්ලේෂණයක් සඳහා කැප කරන්නෙමු, එනම්. y = f(x) හෝ x = g(y) වගේ.

ප්රමේයය

y = f 1 (x) සහ y = f 2 (x) යන ශ්‍රිතයන් [ a ; b ] , සහ f 1 (x) ≤ f 2 (x) ඕනෑම අගයක් සඳහා x [a ; බී ] . එවිට x = a, x = b, y = f 1 (x) සහ y = f 2 (x) යන රේඛා වලින් සීමා වූ G රූපයේ වර්ගඵලය ගණනය කිරීමේ සූත්‍රය S (G) = ∫ ලෙස පෙනෙනු ඇත. a b f 2 (x) - f 1 (x) d x .

y = c, y = d, x = g 1 (y) සහ x = g 2 (y): S (G) = ∫ c d( g 2 (y) - g 1 (y) d y .

සාක්ෂි

සූත්‍රය වලංගු වන අවස්ථා තුනක් බලමු.

පළමු අවස්ථාවේ දී, ප්‍රදේශයේ ආකලන ගුණය සැලකිල්ලට ගනිමින්, මුල් රූපයේ G සහ curvilinear trapezoid G 1 හි ප්‍රදේශ වල එකතුව G 2 රූපයේ ප්‍රදේශයට සමාන වේ. එහි තේරුම එයයි

එබැවින්, S (G) = S (G 2) - S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) dx

නිශ්චිත අනුකලනයේ තුන්වන ගුණය භාවිතයෙන් අපට අවසාන සංක්‍රාන්තිය සිදු කළ හැක.

දෙවන අවස්ථාවෙහි, සමානාත්මතාවය සත්‍ය වේ: S (G) = S (G 2) + S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x + - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 ( x) - f 1 (x)) d x

ග්‍රැෆික් නිදර්ශනය මේ ආකාරයෙන් පෙනෙනු ඇත:

ශ්‍රිත දෙකම ධනාත්මක නොවේ නම්, අපට ලැබෙන්නේ: S (G) = S (G 2) - S (G 1) = - ∫ a b f 2 (x) d x - - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) d x . ග්‍රැෆික් නිදර්ශනය මේ ආකාරයෙන් පෙනෙනු ඇත:

y = f 1 (x) සහ y = f 2 (x) O x අක්ෂය ඡේදනය වන විට සාමාන්‍ය අවස්ථාව සලකා බැලීමට අපි ඉදිරියට යමු.

අපි ඡේදනය වන ලකුණු x i, i = 1, 2, ලෙස දක්වන්නෙමු. . . , n - 1 . මෙම ලක්ෂ්‍ය ඛණ්ඩය [a; b ] n කොටස් වලට x i - 1 ; x i, i = 1, 2, . . . , n, මෙහි α = x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Фигуру G можно представить объединением фигур G i , i = 1 , 2 , . . . , n . Очевидно, что на своем интервале G i попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как S (G i) = ∫ x i - 1 x i (f 2 (x) - f 1 (x)) d x , i = 1 , 2 , . . . , n

එබැවින්,

S (G) = ∑ i = 1 n S (G i) = ∑ i = 1 n ∫ x i x i f 2 (x) - f 1 (x)) d x = = ∫ x 0 x n (f 2 (x) - f ( x)) d x = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x

නිශ්චිත අනුකලනයේ පස්වන ගුණය භාවිතයෙන් අපට අවසාන සංක්‍රාන්තිය සිදු කළ හැක.

අපි ප්‍රස්ථාරයේ සාමාන්‍ය නඩුව නිදර්ශනය කරමු.

S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x සූත්‍රය ඔප්පු කළ හැකි ය.

දැන් අපි y = f (x) සහ x = g (y) රේඛාවලින් සීමා කර ඇති සංඛ්‍යා ප්‍රදේශය ගණනය කිරීමේ උදාහරණ විශ්ලේෂණය කිරීමට ඉදිරියට යමු.

ප්‍රස්ථාරයක් තැනීමෙන් අපි ඕනෑම උදාහරණයක් සලකා බැලීම ආරම්භ කරමු. රූපය සරල හැඩතලවල සමිති ලෙස සංකීර්ණ හැඩතල නිරූපණය කිරීමට අපට ඉඩ සලසයි. ඒවා මත ප්‍රස්ථාර සහ සංඛ්‍යා තැනීම ඔබට අපහසු නම්, ඔබට මූලික ප්‍රාථමික ශ්‍රිත, ශ්‍රිතවල ප්‍රස්ථාරවල ජ්‍යාමිතික පරිවර්තනය මෙන්ම ශ්‍රිතයක් අධ්‍යයනය කිරීමේදී ප්‍රස්ථාර තැනීම යන කොටස අධ්‍යයනය කළ හැකිය.

උදාහරණ 1

පරාවලය y = - x 2 + 6 x - 5 සහ සරල රේඛා y = - 1 3 x - 1 2, x = 1, x = 4 මගින් සීමා කරන ලද රූපයේ ප්රදේශය තීරණය කිරීම අවශ්ය වේ.

විසඳුමක්

Cartesian ඛණ්ඩාංක පද්ධතියේ ප්‍රස්ථාරයේ රේඛා අඳිමු.

කොටසේ [1; 4 ] පැරබෝලා y = - x 2 + 6 x - 5 හි ප්‍රස්ථාරය y = - 1 3 x - 1 2 සරල රේඛාවට ඉහළින් පිහිටා ඇත. මේ සම්බන්ධයෙන්, පිළිතුර ලබා ගැනීම සඳහා අපි කලින් ලබාගත් සූත්‍රය මෙන්ම නිව්ටන්-ලයිබ්නිස් සූත්‍රය භාවිතයෙන් නිශ්චිත අනුකලනය ගණනය කිරීමේ ක්‍රමය භාවිතා කරමු:

S (G) = ∫ 1 4 - x 2 + 6 x - 5 - - 1 3 x - 1 2 d x = = ∫ 1 4 - x 2 + 19 3 x - 9 2 d x = - 1 3 x 3 + 19 6 x 2 - 9 2 x 1 4 = = - 1 3 4 3 + 19 6 4 2 - 9 2 4 - - 1 3 1 3 + 19 6 1 2 - 9 2 1 = = - 64 3 + 152 3 - 18 + 1 3 - 19 6 + 9 2 = 13

පිළිතුර: S(G) = 13

අපි වඩාත් සංකීර්ණ උදාහරණයක් බලමු.

උදාහරණ 2

y = x + 2, y = x, x = 7 රේඛා මගින් සීමා කරන ලද රූපයේ ප්රදේශය ගණනය කිරීම අවශ්ය වේ.

විසඳුමක්

මෙම අවස්ථාවෙහිදී, අපට ඇත්තේ x-අක්ෂයට සමාන්තරව පිහිටා ඇති එක් සරල රේඛාවක් පමණි. මෙය x = 7 වේ. මේ සඳහා අප විසින්ම ඒකාබද්ධ වීමේ දෙවන සීමාව සොයා ගැනීම අවශ්‍ය වේ.

අපි ප්‍රස්ථාරයක් ගොඩනඟා එය මත ගැටලු ප්‍රකාශයේ දක්වා ඇති රේඛා සැලසුම් කරමු.

අපගේ ඇස් ඉදිරිපිට ප්‍රස්ථාරය තිබීම, අනුකලනයේ පහළ සීමාව y = x සහ අර්ධ-පරාබෝල y = x + 2 යන සරල රේඛාවේ ප්‍රස්ථාරයේ ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්‍යයේ abscissa බව අපට පහසුවෙන් තීරණය කළ හැකිය. abscissa සොයා ගැනීමට අපි සමානතා භාවිතා කරමු:

y = x + 2 O DZ: x ≥ - 2 x 2 = x + 2 2 x 2 - x - 2 = 0 D = (- 1) 2 - 4 1 (- 2) = 9 x 1 = 1 + 9 2 = 2 ∈ O DZ x 2 = 1 - 9 2 = - 1 ∉ O DZ

ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්‍යයේ abscissa x = 2 බව පෙනේ.

චිත්‍රයේ ඇති සාමාන්‍ය උදාහරණයේ දී, y = x + 2, y = x යන රේඛා ලක්ෂ්‍යයෙන් (2; 2) ඡේදනය වන බව අපි ඔබේ අවධානයට යොමු කරමු, එබැවින් එවැනි සවිස්තරාත්මක ගණනය කිරීම් අනවශ්‍ය බව පෙනේ. අපි මෙහි එවැනි සවිස්තරාත්මක විසඳුමක් ලබා දුන්නේ වඩාත් සංකීර්ණ අවස්ථාවන්හිදී විසඳුම එතරම් පැහැදිලි නොවිය හැකි බැවිනි. මෙයින් අදහස් කරන්නේ රේඛා ඡේදනය වීමේ ඛණ්ඩාංක විශ්ලේෂණාත්මකව ගණනය කිරීම සැමවිටම වඩා හොඳ බවයි.

පරතරය මත [2; 7] y = x ශ්‍රිතයේ ප්‍රස්ථාරය y = x + 2 ශ්‍රිතයේ ප්‍රස්ථාරයට ඉහළින් පිහිටා ඇත. ප්රදේශය ගණනය කිරීම සඳහා සූත්රය භාවිතා කරමු:

S (G) = ∫ 2 7 (x - x + 2) d x = x 2 2 - 2 3 · (x + 2) 3 2 2 7 = = 7 2 2 - 2 3 · (7 + 2) 3 2 - 2 2 2 - 2 3 2 + 2 3 2 = = 49 2 - 18 - 2 + 16 3 = 59 6

පිළිතුර: S (G) = 59 6

උදාහරණය 3

y = 1 x සහ y = - x 2 + 4 x - 2 ශ්‍රිතවල ප්‍රස්ථාර මගින් සීමා කරන ලද රූපයේ ප්‍රදේශය ගණනය කිරීම අවශ්‍ය වේ.

විසඳුමක්

අපි ප්‍රස්ථාරයේ රේඛා සැලසුම් කරමු.

ඒකාබද්ධ කිරීමේ සීමාවන් නිර්වචනය කරමු. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, අපි 1 x සහ - x 2 + 4 x - 2 යන ප්‍රකාශන සමාන කිරීමෙන් රේඛාවල ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්‍යවල ඛණ්ඩාංක තීරණය කරමු. x ශුන්‍ය නොවන බව සපයා ඇත්නම්, සමානාත්මතාවය 1 x = - x 2 + 4 x - 2 තුන්වන අංශක සමීකරණයට සමාන වේ - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 = 0 නිඛිල සංගුණක සමඟ. එවැනි සමීකරණ විසඳීම සඳහා ඇල්ගොරිතම පිළිබඳ ඔබේ මතකය අලුත් කිරීම සඳහා, අපට "ඝනක සමීකරණ විසඳීම" යන කොටස වෙත යොමු විය හැක.

මෙම සමීකරණයේ මූලය x = 1: - 1 3 + 4 1 2 - 2 1 - 1 = 0 වේ.

ප්‍රකාශනය - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ද්විපද x - 1 මගින් බෙදීම, අපට ලැබෙන්නේ: - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ⇔ - (x - 1) (x 2 - 3 x - 1) = 0

අපට ඉතිරි මූලයන් x 2 - 3 x - 1 = 0 සමීකරණයෙන් සොයාගත හැකිය:

x 2 - 3 x - 1 = 0 D = (- 3) 2 - 4 · 1 · (- 1) = 13 x 1 = 3 + 13 2 ≈ 3 . 3; x 2 = 3 - 13 2 ≈ - 0 . 3

අපි x ∈ 1 පරතරය සොයා ගත්තෙමු; 3 + 13 2, එහි G රූපය නිල් පැහැයට ඉහළින් සහ රතු රේඛාවට පහළින් අඩංගු වේ. රූපයේ ප්රදේශය තීරණය කිරීමට මෙය අපට උපකාර කරයි:

S (G) = ∫ 1 3 + 13 2 - x 2 + 4 x - 2 - 1 x d x = - x 3 3 + 2 x 2 - 2 x - ln x 1 3 + 13 2 = = - 3 + 13 2 3 3 + 2 3 + 13 2 2 - 2 3 + 13 2 - ln 3 + 13 2 - - - 1 3 3 + 2 1 2 - 2 1 - ln 1 = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

පිළිතුර: S (G) = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

උදාහරණය 4

වක්‍ර y = x 3, y = - log 2 x + 1 සහ abscissa අක්ෂය මගින් සීමා කරන ලද රූපයේ ප්‍රදේශය ගණනය කිරීම අවශ්‍ය වේ.

විසඳුමක්

අපි ප්‍රස්ථාරයේ සියලුම රේඛා සැලසුම් කරමු. y = - log 2 x + 1 ශ්‍රිතයේ ප්‍රස්ථාරය y = log 2 x ප්‍රස්ථාරයෙන් ලබා ගත හැක, අපි එය x-අක්ෂයේ සමමිතිකව ස්ථානගත කර එය එක ඒකකයක් ඉහළට ගෙන ගියහොත්. x අක්ෂයේ සමීකරණය y = 0 වේ.

අපි රේඛාවල ඡේදනය වීමේ ස්ථාන සලකුණු කරමු.

රූපයෙන් පෙනෙන පරිදි, y = x 3 සහ y = 0 යන ශ්‍රිතවල ප්‍රස්ථාර ලක්ෂ්‍යයේදී (0; 0) ඡේදනය වේ. මෙය සිදු වන්නේ x 3 = 0 සමීකරණයේ එකම සැබෑ මූලය x = 0 වන බැවිනි.

x = 2 සමීකරණයේ එකම මූලය - log 2 x + 1 = 0, එබැවින් y = - log 2 x + 1 සහ y = 0 යන ශ්‍රිතවල ප්‍රස්ථාර (2; 0) ඡේදනය වේ.

x = 1 යනු x 3 = - ලඝු 2 x + 1 සමීකරණයේ එකම මූලයයි. මේ සම්බන්ධයෙන්, y = x 3 සහ y = - log 2 x + 1 යන ශ්‍රිතවල ප්‍රස්ථාර (1; 1) ඡේදනය වේ. අවසාන ප්‍රකාශය පැහැදිලි නොවිය හැක, නමුත් x 3 = - log 2 x + 1 සමීකරණයට මූල එකකට වඩා තිබිය නොහැක, මන්ද y = x 3 ශ්‍රිතය දැඩි ලෙස වැඩි වන අතර ශ්‍රිතය y = - log 2 x + 1 වේ. දැඩි ලෙස අඩු කිරීම.

වැඩිදුර විසඳුම විකල්ප කිහිපයක් ඇතුළත් වේ.

විකල්ප 1

G රූපය x අක්ෂයට ඉහලින් පිහිටන ලද curvilinear trapezoids දෙකක එකතුවක් ලෙස අපට සිතාගත හැක, ඉන් පළමුවැන්න x ∈ 0 කොටසේ මැද රේඛාවට පහළින් පිහිටා ඇත; 1, සහ දෙවැන්න x ∈ 1 කොටසේ රතු රේඛාවට පහළින්; 2. මෙයින් අදහස් කරන්නේ ප්‍රදේශය S (G) = ∫ 0 1 x 3 d x + ∫ 1 2 (- log 2 x + 1) d x ට සමාන වන බවයි.

විකල්ප අංක 2

G රූපය රූප දෙකක වෙනස ලෙස නිරූපණය කළ හැකි අතර, ඉන් පළමුවැන්න x-අක්ෂයට ඉහළින් සහ x ∈ 0 කොටසේ නිල් රේඛාවට පහළින් පිහිටා ඇත; 2, සහ x ∈ 1 කොටසේ රතු සහ නිල් රේඛා අතර දෙවැන්න; 2. මෙය පහත පරිදි ප්රදේශය සොයා ගැනීමට අපට ඉඩ සලසයි:

S (G) = ∫ 0 2 x 3 d x - ∫ 1 2 x 3 - (- log 2 x + 1) d x

මෙම අවස්ථාවේදී, ප්‍රදේශය සොයා ගැනීමට ඔබට S (G) = ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y)) d y ආකාරයේ සූත්‍රයක් භාවිතා කිරීමට සිදුවේ. ඇත්ත වශයෙන්ම, රූපය බැඳ ඇති රේඛා y තර්කයේ කාර්යයන් ලෙස නිරූපණය කළ හැකිය.

x සම්බන්ධයෙන් y = x 3 සහ - log 2 x + 1 සමීකරණ විසඳමු:

y = x 3 ⇒ x = y 3 y = - log 2 x + 1 ⇒ log 2 x = 1 - y ⇒ x = 2 1 - y

අපට අවශ්‍ය ප්‍රදේශය ලැබේ:

S (G) = ∫ 0 1 (2 1 - y - y 3) d y = - 2 1 - y ln 2 - y 4 4 0 1 = = - 2 1 - 1 ln 2 - 1 4 4 - - 2 1 - 0 ln 2 - 0 4 4 = - 1 ln 2 - 1 4 + 2 ln 2 = 1 ln 2 - 1 4

පිළිතුර: S (G) = 1 ln 2 - 1 4

උදාහරණ 5

y = x, y = 2 3 x - 3, y = - 1 2 x + 4 රේඛා මගින් සීමා කරන ලද රූපයේ ප්රදේශය ගණනය කිරීම අවශ්ය වේ.

විසඳුමක්

රතු රේඛාවක් සමඟ අපි y = x ශ්රිතය මගින් අර්ථ දක්වා ඇති රේඛාව සැලසුම් කරමු. අපි y = - 1 2 x + 4 රේඛාව නිල් පැහැයෙන් ද, y = 2 3 x - 3 රේඛාව කළු පැහැයෙන් ද අඳින්නෙමු.

ඡේදනය වන ස්ථාන සලකුණු කරමු.

y = x සහ y = - 1 2 x + 4 යන ශ්‍රිතවල ප්‍රස්ථාරවල ඡේදනය වන ස්ථාන සොයා ගනිමු:

x = - 1 2 x + 4 O DZ: x ≥ 0 x = - 1 2 x + 4 2 ⇒ x = 1 4 x 2 - 4 x + 16 ⇔ x 2 - 20 x + 64 = 0 D = (- 20 ) 2 - 4 1 64 = 144 x 1 = 20 + 144 2 = 16 ; x 2 = 20 - 144 2 = 4 පරීක්ෂා කරන්න: x 1 = 16 = 4, - 1 2 x 1 + 4 = - 1 2 16 + 4 = - 4 ⇒ x 1 = 16 නොවේ x 2 = සමීකරණයට විසඳුම 4 = 2, - 1 2 x 2 + 4 = - 1 2 4 + 4 = 2 ⇒ x 2 = 4 සමීකරණයට විසඳුම ⇒ (4; 2) ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්‍යය i y = x සහ y = - 1 2 x + 4

y = x සහ y = 2 3 x - 3 ශ්‍රිතවල ප්‍රස්ථාරවල ඡේදනය ලක්ෂ්‍යය සොයා ගනිමු:

x = 2 3 x - 3 O DZ: x ≥ 0 x = 2 3 x - 3 2 ⇔ x = 4 9 x 2 - 4 x + 9 ⇔ 4 x 2 - 45 x + 81 = 0 D = (- 45 ) 2 - 4 4 81 = 729 x 1 = 45 + 729 8 = 9, x 2 45 - 729 8 = 9 4 පරීක්ෂා කරන්න: x 1 = 9 = 3, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 - 3 = 3 ⇒ x 1 = 9 යනු සමීකරණයට විසඳුමයි = - 3 2 ⇒ x 2 = 9 4 සමීකරණයට විසඳුමක් නැත

y = - 1 2 x + 4 සහ y = 2 3 x - 3 රේඛාවල ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්‍යය සොයා ගනිමු:

1 2 x + 4 = 2 3 x - 3 ⇔ - 3 x + 24 = 4 x - 18 ⇔ 7 x = 42 ⇔ x = 6 - 1 2 6 + 4 = 2 3 6 - 3 = 1 ⇒ (6 ; 1 ) ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්‍යය y = - 1 2 x + 4 සහ y = 2 3 x - 3

ක්රමය අංක 1

අපේක්ෂිත රූපයේ ප්‍රදේශය තනි රූපවල ප්‍රදේශ වල එකතුව ලෙස සිතමු.

එවිට රූපයේ ප්රදේශය:

S (G) = ∫ 4 6 x - - 1 2 x + 4 d x + ∫ 6 9 x - 2 3 x - 3 d x = = 2 3 x 3 2 + x 2 4 - 4 x 4 6 + 2 3 x 3 2 - x 2 3 + 3 x 6 9 = = 2 3 6 3 2 + 6 2 4 - 4 6 - 2 3 4 3 2 + 4 2 4 - 4 4 + + 2 3 9 3 2 - 9 2 3 + 3 9 - 2 3 6 3 2 - 6 2 3 + 3 6 = = - 25 3 + 4 6 + - 4 6 + 12 = 11 3

ක්රමය අංක 2

මුල් රූපයේ ප්‍රදේශය වෙනත් රූප දෙකක එකතුවක් ලෙස දැක්විය හැක.

එවිට අපි x ට සාපේක්ෂව රේඛාවේ සමීකරණය විසඳා, පසුව පමණක් අපි රූපයේ ප්රදේශය ගණනය කිරීම සඳහා සූත්රය යොදන්නෙමු.

y = x ⇒ x = y 2 රතු රේඛාව y = 2 3 x - 3 ⇒ x = 3 2 y + 9 2 කළු රේඛාව y = - 1 2 x + 4 ⇒ x = - 2 y + 8 s i n i a l i n e

එබැවින් ප්රදේශය:

S (G) = ∫ 1 2 3 2 y + 9 2 - - 2 y + 8 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = ∫ 1 2 7 2 y - 7 2 d 2 + ∫ 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = 7 4 y 2 - 7 4 y 1 2 + - y 3 3 + 3 y 2 4 + 9 2 y 2 3 = 7 4 2 2 - 7 4 2 - 7 4 1 2 - 7 4 1 + + - 3 3 3 + 3 3 2 4 + 9 2 3 - - 2 3 3 + 3 2 2 4 + 9 2 2 = = 7 4 + 23 12 = 11 3

ඔබට පෙනෙන පරිදි, අගයන් සමාන වේ.

පිළිතුර: S (G) = 11 3

ප්රතිපල

ලබා දී ඇති රේඛා මගින් සීමා කරන ලද රූපයක ප්රදේශය සොයා ගැනීම සඳහා, අපි තලයක රේඛා තැනීම, ඒවායේ ඡේදනය වන ස්ථාන සොයා ගැනීම සහ ප්රදේශය සොයා ගැනීම සඳහා සූත්රය යෙදිය යුතුය. මෙම කොටසේදී, අපි කාර්යයන්හි වඩාත් පොදු ප්රභේදයන් පරීක්ෂා කළෙමු.

ඔබ පෙළෙහි දෝෂයක් දුටුවහොත්, කරුණාකර එය උද්දීපනය කර Ctrl+Enter ඔබන්න

ද්විත්ව අනුකලනය ගණනය කිරීමේ සැබෑ ක්‍රියාවලිය සලකා බැලීමට සහ එහි ජ්‍යාමිතික අර්ථය දැන ගැනීමට අපි පටන් ගනිමු.

ද්විත්ව අනුකලනය සංඛ්‍යාත්මකව තල රූපයේ ප්‍රදේශයට (ඒකාබද්ධ කලාපය) සමාන වේ. විචල්‍ය දෙකක ශ්‍රිතය එකකට සමාන වන විට ද්විත්ව අනුකලනයේ සරලම ආකාරය මෙයයි: .

පළමුව, ගැටළුව පොදු ස්වරූපයෙන් බලමු. දැන් ඔබ පුදුමයට පත් වනු ඇත, සෑම දෙයක්ම ඇත්තෙන්ම සරලයි! රේඛා වලින් සීමා වූ පැතලි රූපයක ප්රදේශය ගණනය කරමු. නිශ්චිතභාවය සඳහා, අපි එය කොටසෙහි උපකල්පනය කරමු. මෙම රූපයේ ප්රදේශය සංඛ්යාත්මකව සමාන වේ:

චිත්‍රයේ ඇති ප්‍රදේශය නිරූපණය කරමු:

ප්රදේශය හරහා ගමන් කිරීමට පළමු මාර්ගය තෝරා ගනිමු:

මේ අනුව:

වහාම වැදගත් තාක්ෂණික තාක්ෂණයක්: පුනරාවර්තන අනුකලනයන් වෙන වෙනම ගණනය කළ හැක. පළමුව අභ්යන්තර අනුකලනය, පසුව පිටත අනුකලනය. විෂයයෙහි ආරම්භකයින් සඳහා මම මෙම ක්රමය බෙහෙවින් නිර්දේශ කරමි.

1) අභ්‍යන්තර අනුකලනය ගණනය කරමු, සහ අනුකලනය "y" විචල්‍යය හරහා සිදු කෙරේ:

මෙහි ඇති අවිනිශ්චිත අනුකලනය සරලම වන අතර, එකම වෙනස සමඟින් නිවුටන්-ලයිබ්නිස් සූත්‍රය භාවිතා වේ. අනුකලනයෙහි සීමාවන් සංඛ්‍යා නොව ශ්‍රිත වේ. පළමුව, අපි ඉහළ සීමාව “y” (ප්‍රතිව්‍යුත්පන්න ශ්‍රිතය) වෙත ආදේශ කළෙමු, පසුව පහළ සීමාව

2) පළමු ඡේදයේ ලබාගත් ප්රතිඵලය බාහිර අනුකලනයට ආදේශ කළ යුතුය:

සම්පූර්ණ විසඳුමේ වඩාත් සංයුක්ත නිරූපණයක් මේ වගේ ය:

ප්රතිඵලය සූත්රය "සාමාන්‍ය" නිශ්චිත අනුකලනය භාවිතයෙන් තල රූපයක ප්‍රදේශය ගණනය කිරීම සඳහා හරියටම ක්‍රියාකාරී සූත්‍රය වේ! පාඩම නරඹන්න නිශ්චිත අනුකලනයක් භාවිතා කරමින් ප්රදේශය ගණනය කිරීම, ඇය සෑම පියවරකදීම සිටී!

එනම්, ද්විත්ව අනුකලනය භාවිතයෙන් ප්රදේශය ගණනය කිරීමේ ගැටළුව බොහෝ වෙනස් නොවේනිශ්චිත අනුකලනයක් භාවිතා කරමින් ප්රදේශය සොයා ගැනීමේ ගැටලුවෙන්!ඇත්ත වශයෙන්ම, එය එකම දෙයකි!

ඒ අනුව, දුෂ්කරතා මතු නොවිය යුතුය! ඇත්ත වශයෙන්ම, ඔබ මෙම කාර්යයට නැවත නැවතත් මුහුණ දී ඇති බැවින් මම බොහෝ උදාහරණ දෙස නොබලමි.

උදාහරණ 9

විසඳුමක්:චිත්‍රයේ ඇති ප්‍රදේශය නිරූපණය කරමු:

ප්‍රදේශයේ ගමන් කිරීමේ පහත අනුපිළිවෙල අපි තෝරා ගනිමු:

පළමු ඡේදයේ ඉතා සවිස්තරාත්මක පැහැදිලි කිරීම් ලබා දී ඇති බැවින්, ප්‍රදේශය හරහා ගමන් කරන්නේ කෙසේද යන්න පිළිබඳව මම මෙහි සහ තවදුරටත් කතා නොකරමි.

මේ අනුව:

මා දැනටමත් සඳහන් කර ඇති පරිදි, ආරම්භකයින් සඳහා පුනරාවර්තන අනුකලනය වෙන වෙනම ගණනය කිරීම වඩා හොඳය, මම එකම ක්‍රමයට ඇලී සිටිමි:

1) පළමුව, නිව්ටන්-ලයිබ්නිස් සූත්‍රය භාවිතා කරමින්, අපි අභ්‍යන්තර අනුකලනය සමඟ කටයුතු කරමු:

2) පළමු පියවරේදී ලබාගත් ප්රතිඵලය බාහිර අනුකලනයට ආදේශ කරනු ලැබේ:

Point 2 යනු නිශ්චිත අනුකලනයක් භාවිතයෙන් තල රූපයක ප්‍රදේශය සොයා ගැනීමයි.

පිළිතුර:

මෙය එතරම් මෝඩ හා බොළඳ කාර්යයකි.

ස්වාධීන විසඳුමක් සඳහා සිත්ගන්නා උදාහරණයක්:

උදාහරණ 10

ද්විත්ව අනුකලනයක් භාවිතා කරමින්, රේඛා වලින් මායිම් කරන ලද තල රූපයක ප්රදේශය ගණනය කරන්න, ,

පාඩම අවසානයේ අවසාන විසඳුම සඳහා ආසන්න උදාහරණයක්.

උදාහරණ 9-10 හි, ප්‍රදේශය හරහා ගමන් කිරීමේ පළමු ක්‍රමය භාවිතා කිරීම වඩා ලාභදායී වේ; කුතුහලයෙන් සිටින පාඨකයන්ට, මාර්ගයෙන්, ගමන් කිරීමේ අනුපිළිවෙල වෙනස් කර දෙවන ක්‍රමය භාවිතා කර ප්‍රදේශ ගණනය කළ හැකිය. ඔබ වැරැද්දක් නොකරන්නේ නම්, ස්වාභාවිකවම, ඔබට එකම ප්‍රදේශ අගයන් ලැබෙනු ඇත.

නමුත් සමහර අවස්ථාවලදී, ප්රදේශය හරහා ගමන් කිරීමේ දෙවන ක්රමය වඩාත් ඵලදායී වන අතර, තරුණ නර්ඩ්ගේ පාඨමාලාව අවසානයේ, මෙම මාතෘකාව පිළිබඳ තවත් උදාහරණ කිහිපයක් දෙස බලමු:

උදාහරණ 11

ද්විත්ව අනුකලනයක් භාවිතා කරමින්, රේඛා වලින් මායිම් කරන ලද තල රූපයක ප්රදේශය ගණනය කරන්න,

විසඳුමක්:පැරබෝලා දෙකක් ඔවුන්ගේ පැතිවලින් වැතිර සිටින විකාරයක් සමඟ අපි බලා සිටිමු. සිනහ වීමට අවශ්‍ය නැත; බොහෝ අනුකලනයන්හි සමාන දේවල් බොහෝ විට සිදු වේ.

චිත්රයක් සෑදීමට පහසුම ක්රමය කුමක්ද?

ශ්‍රිත දෙකක ස්වරූපයෙන් පරාබෝලාවක් සිතමු:
- ඉහළ ශාඛාව සහ - පහළ ශාඛාව.

ඒ හා සමානව, ඉහළ සහ පහළ ස්වරූපයෙන් පරාවලයක් සිතන්න ශාඛා.

ඊළඟට, ප්‍රස්ථාර රීතිවල ලක්ෂ්‍යමය වශයෙන් සැලසුම් කිරීම, එවැනි විකාර රූපයක් ඇති කරයි:

අපි සූත්‍රයට අනුව ද්විත්ව අනුකලනය භාවිතා කරමින් රූපයේ ප්‍රදේශය ගණනය කරමු:

අපි ප්රදේශය හරහා ගමන් කිරීමේ පළමු ක්රමය තෝරා ගන්නේ නම් කුමක් සිදුවේද? පළමුව, මෙම ප්රදේශය කොටස් දෙකකට බෙදිය යුතුය. දෙවනුව, අපි මෙම දුක්බර පින්තූරය නිරීක්ෂණය කරමු: . අනුකලනය, ඇත්ත වශයෙන්ම, සුපිරි සංකීර්ණ මට්ටමේ නොවේ, නමුත් ... පැරණි ගණිතමය කියමනක් තිබේ: ඔවුන්ගේ මූලයන් සමීපව සිටින අයට පරීක්ෂණයක් අවශ්ය නොවේ.

එබැවින්, කොන්දේසියේ දී ඇති වැරදි අවබෝධයෙන්, අපි ප්රතිලෝම ශ්රිතයන් ප්රකාශ කරමු:

මෙම උදාහරණයේ ඇති ප්‍රතිලෝම ශ්‍රිතවලට වාසියක් වන්නේ ඒවා කිසිදු කොළ, acorns, අතු සහ මුල් නොමැතිව සම්පූර්ණ පරාවලම එකවර සඳහන් කිරීමයි.

දෙවන ක්රමයට අනුව, ප්රදේශයේ ගමන් කිරීම පහත පරිදි වේ:

මේ අනුව:

ඔවුන් පවසන පරිදි, වෙනස දැනෙන්න.

1) අපි අභ්යන්තර අනුකලනය සමඟ කටයුතු කරන්නෙමු:

අපි ප්රතිඵලය බාහිර අනුකලනයට ආදේශ කරමු:

"y" විචල්‍යය මත අනුකලනය ව්‍යාකූල නොවිය යුතුය; "zy" අකුරක් තිබේ නම්, එය මත අනුකලනය කිරීම ඉතා හොඳ වනු ඇත. පාඩමේ දෙවෙනි ඡේදය කියෙව්වත් විප්ලවයේ සිරුරේ පරිමාව ගණනය කරන්නේ කෙසේද?, ඔහු තවදුරටත් "Y" ක්රමයට අනුව අනුකලනය සමග සුළු අපහසුතාවයක් අත්විඳින්නේ නැත.

පළමු පියවර කෙරෙහි ද අවධානය යොමු කරන්න: අනුකලනය ඒකාකාර වන අතර අනුකලනයෙහි පරතරය ශුන්‍යයට සමමිතික වේ. එමනිසා, කොටස අඩකින් අඩු කළ හැකි අතර, ප්රතිඵලය දෙගුණ කළ හැක. මෙම තාක්ෂණය පාඩමෙහි විස්තරාත්මකව අදහස් කෙරේ. නිශ්චිත අනුකලනය ගණනය කිරීම සඳහා කාර්යක්ෂම ක්රම.

මොනවා එකතු කරන්නද.... සෑම!

පිළිතුර:

ඔබේ ඒකාබද්ධ කිරීමේ තාක්ෂණය පරීක්ෂා කිරීම සඳහා, ඔබට ගණනය කිරීමට උත්සාහ කළ හැකිය . පිළිතුර හරියටම සමාන විය යුතුය.

උදාහරණ 12

ද්විත්ව අනුකලනයක් භාවිතා කරමින්, රේඛා වලින් මායිම් කරන ලද තල රූපයක ප්රදේශය ගණනය කරන්න

මෙය ඔබටම විසඳා ගැනීමට ආදර්ශයකි. ඔබ ප්‍රදේශය තරණය කිරීමේ පළමු ක්‍රමය භාවිතා කිරීමට උත්සාහ කරන්නේ නම්, රූපය තවදුරටත් දෙකකට නොව කොටස් තුනකට බෙදීමට සිදුවනු ඇති බව සටහන් කිරීම සිත්ගන්නා කරුණකි! තවද, ඒ අනුව, අපට නැවත නැවතත් අනුකලන යුගල තුනක් ලැබේ. සමහර විට එය සිදු වේ.

මාස්ටර් පන්තිය අවසන් වී ඇති අතර ග්‍රෑන්ඩ්මාස්ටර් මට්ටමට යාමට කාලයයි - ද්විත්ව අනුකලනය ගණනය කරන්නේ කෙසේද? විසඳුම් සඳහා උදාහරණ. මම දෙවන ලිපියෙන් එතරම් උමතු නොවී සිටීමට උත්සාහ කරමි =)

මම ඔබට සාර්ථක වේවා!

විසඳුම් සහ පිළිතුරු:

උදාහරණ 2:විසඳුමක්: අපි ප්රදේශය නිරූපණය කරමු ඇඳීම මත:

ප්‍රදේශයේ ගමන් කිරීමේ පහත අනුපිළිවෙල අපි තෝරා ගනිමු:

මේ අනුව:
අපි ප්‍රතිලෝම ශ්‍රිත වෙත යමු:


මේ අනුව:
පිළිතුර:

උදාහරණ 4:විසඳුමක්: අපි සෘජු කාර්යයන් වෙත යමු:


අපි ඇඳීම සකස් කරමු:

ප්‍රදේශය හරහා ගමන් කිරීමේ අනුපිළිවෙල වෙනස් කරමු:

පිළිතුර:

නිශ්චිත අනුකලනය. රූපයක ප්රදේශය ගණනය කරන්නේ කෙසේද

අනුකලිත කලනයේ යෙදීම් සලකා බැලීමට අපි ඉදිරියට යමු. මෙම පාඩමේදී අපි සාමාන්ය සහ වඩාත් පොදු කාර්යය විශ්ලේෂණය කරමු - තල රූපයක ප්රදේශය ගණනය කිරීම සඳහා නිශ්චිත අනුකලනයක් භාවිතා කරන්නේ කෙසේද. අවසාන වශයෙන්, උසස් ගණිතයේ අර්ථය සොයන අයට - ඔවුන්ට එය සොයාගත හැකිය. ඔබ කවදාවත් දන්නේ නැහැ. සැබෑ ජීවිතයේ දී, ඔබ මූලික කාර්යයන් භාවිතා කරමින් dacha කුමන්ත්රණයක් ආසන්න කිරීමට සහ නිශ්චිත අනුකලනයක් භාවිතා කරමින් එහි ප්රදේශය සොයා ගැනීමට සිදු වනු ඇත.

ද්රව්යය සාර්ථකව ප්රගුණ කිරීම සඳහා, ඔබ කළ යුත්තේ:

1) අවිනිශ්චිත අනුකලනය අවම වශයෙන් අතරමැදි මට්ටමකින් තේරුම් ගන්න. මේ අනුව, ඩමිස් මුලින්ම පාඩම කියවිය යුතුය නැත.

2) Newton-Leibniz සූත්‍රය යෙදීමට සහ නිශ්චිත අනුකලනය ගණනය කිරීමට හැකි වීම. පිටුවේ ඇතැම් අනුකලනය සමඟ ඔබට උණුසුම් මිත්ර සබඳතා ඇති කර ගත හැකිය නිශ්චිත අනුකලනය. විසඳුම් සඳහා උදාහරණ.

ඇත්ත වශයෙන්ම, රූපයක ප්රදේශය සොයා ගැනීම සඳහා, ඔබට අවිනිශ්චිත හා නිශ්චිත අනුකලනය පිළිබඳ එතරම් දැනුමක් අවශ්ය නොවේ. කර්තව්යය "නිශ්චිත අනුකලනයක් භාවිතා කරමින් ප්රදේශය ගණනය කිරීම" සෑම විටම චිත්රයක් තැනීම ඇතුළත් වේ, ඒ නිසා ඔබේ දැනුම සහ චිත්‍ර ඇඳීමේ කුසලතාව වඩාත් වැදගත් ප්‍රශ්නයක් වනු ඇත. මේ සම්බන්ධයෙන්, මූලික ප්‍රාථමික ශ්‍රිතවල ප්‍රස්ථාර පිළිබඳ ඔබේ මතකය නැවුම් කිරීම ප්‍රයෝජනවත් වන අතර, අවම වශයෙන්, සරල රේඛාවක්, පැරබෝලා සහ හයිපර්බෝලා තැනීමට හැකි වේ. ක්‍රමවේද ද්‍රව්‍ය සහ ප්‍රස්ථාරවල ජ්‍යාමිතික පරිවර්තනයන් පිළිබඳ ලිපියක් ආධාරයෙන් මෙය සිදු කළ හැකිය (බොහෝ දෙනෙකුට එය අවශ්‍ය වේ).

ඇත්ත වශයෙන්ම, පාසලේ සිටම නිශ්චිත අනුකලනයක් භාවිතා කරමින් ප්‍රදේශය සෙවීමේ කාර්යය සෑම කෙනෙකුටම හුරුපුරුදු වී ඇති අතර අපි පාසල් විෂය මාලාවට වඩා වැඩි දුරක් නොයන්නෙමු. මෙම ලිපිය කිසිසේත්ම නොතිබෙන්නට ඇත, නමුත් කාරණය නම්, ශිෂ්‍යයෙකු වෛරයට පාත්‍ර වූ පාසලකින් පීඩා විඳිමින් සහ උසස් ගණිතය පිළිබඳ පා course මාලාවක් උද්යෝගයෙන් ප්‍රගුණ කරන විට, 100 න් 99 කම ගැටලුව ඇති වේ.

මෙම වැඩමුළුවේ ද්‍රව්‍ය සරලව, විස්තරාත්මකව සහ අවම න්‍යායකින් ඉදිරිපත් කෙරේ.

වක්‍ර trapezoid එකකින් පටන් ගනිමු.

Curvilinear trapezoidයනු අක්ෂයකින් සීමා වූ පැතලි රූපයක්, සරල රේඛා සහ ශ්‍රිතයක ප්‍රස්ථාරය මෙම අන්තරයේ ලකුණ වෙනස් නොවන අන්තරයක අඛණ්ඩව පවතී. මෙම රූපය ස්ථානගත කිරීමට ඉඩ දෙන්න අඩු නොවේ x අක්ෂය:

ඉන්පසු Curvilinear trapezoid ප්‍රදේශය සංඛ්‍යාත්මකව නිශ්චිත අනුකලයකට සමාන වේ. ඕනෑම නිශ්චිත අනුකලනයකට (පවතින) ඉතා හොඳ ජ්‍යාමිතික අර්ථයක් ඇත. පාඩමේදී නිශ්චිත අනුකලනය. විසඳුම් සඳහා උදාහරණමම කීවේ නිශ්චිත අනුකලනයක් යනු සංඛ්‍යාවක් බවයි. දැන් තවත් ප්රයෝජනවත් කරුණක් ප්රකාශ කිරීමට කාලයයි. ජ්‍යාමිතියේ දෘෂ්ටි කෝණයෙන්, නිශ්චිත අනුකලනය AREA වේ.

එනම්, නිශ්චිත අනුකලනය (එය පවතී නම්) ජ්යාමිතිකව යම් රූපයක ප්රදේශයට අනුරූප වේ. උදාහරණයක් ලෙස, නිශ්චිත අනුකලනය සලකා බලන්න. අනුකලනය අක්ෂයට ඉහළින් පිහිටා ඇති තලයේ වක්‍රයක් නිර්වචනය කරයි (අවශ්‍ය අයට චිත්‍රයක් සෑදිය හැකිය), සහ නිශ්චිත අනුකලනය සංඛ්‍යාත්මකව අනුරූප වක්‍ර රේඛීය trapezoid ප්‍රදේශයට සමාන වේ.

උදාහරණ 1

මෙය සාමාන්‍ය පැවරුම් ප්‍රකාශයකි. තීරණයේ පළමු හා වැදගත්ම කරුණ වන්නේ චිත්රයක් තැනීමයි. එපමණක්ද නොව, චිත්රය ඉදි කළ යුතුය හරි.

චිත්රයක් තැනීමේදී, මම පහත අනුපිළිවෙල නිර්දේශ කරමි: පළමු අවස්ථාවේ දීසියලුම සරල රේඛා (ඒවා තිබේ නම්) සහ පමණක් ඉදිකිරීම වඩා හොඳය ඉන්පසු- parabolas, hyperbolas, අනෙකුත් ශ්රිතවල ප්රස්ථාර. ශ්‍රිතවල ප්‍රස්ථාර තැනීම වඩා ලාභදායී වේ ලක්ෂ්යය, ලක්ෂ්‍යයෙන් ලක්ෂ්‍ය ඉදිකිරීම් තාක්ෂණය යොමු ද්‍රව්‍ය වලින් සොයාගත හැකිය මූලික ශ්‍රිතවල ප්‍රස්තාර සහ ගුණ. එහිදී ඔබට අපගේ පාඩම සඳහා ඉතා ප්‍රයෝජනවත් ද්‍රව්‍ය ද සොයාගත හැකිය - ඉක්මනින් පැරබෝලාවක් සාදා ගන්නේ කෙසේද.

මෙම ගැටළුව තුළ, විසඳුම මේ ආකාරයෙන් පෙනෙනු ඇත.
අපි චිත්‍රය අඳිමු (සමීකරණය අක්ෂය නිර්වචනය කරන බව සලකන්න):

මම වක්‍රාකාර trapezoid සෙවනැලි නොකරමි; අප කතා කරන්නේ කුමන ප්‍රදේශය ගැනද යන්න මෙහි පැහැදිලිය. විසඳුම මේ ආකාරයෙන් දිගටම පවතී:

කොටසෙහි, ශ්රිතයේ ප්රස්ථාරය පිහිටා ඇත අක්ෂයට ඉහලින්, ඒක තමයි:

පිළිතුර:

නිශ්චිත අනුකලනය ගණනය කිරීමේදී සහ නිව්ටන්-ලයිබ්නිස් සූත්‍රය යෙදීමේදී දුෂ්කරතා ඇති අය , දේශනය වෙත යොමු වන්න නිශ්චිත අනුකලනය. විසඳුම් සඳහා උදාහරණ.

කාර්යය අවසන් වූ පසු, ඇඳීම දෙස බැලීම සහ පිළිතුර සැබෑ දැයි සොයා බැලීම සැමවිටම ප්රයෝජනවත් වේ. මෙම අවස්ථාවේ දී, අපි “ඇසෙන්” චිත්‍රයේ ඇති සෛල ගණන ගණනය කරමු - හොඳයි, 9 ක් පමණ වනු ඇත, එය සත්‍ය බව පෙනේ. අපට පිළිතුර ලැබුනේ නම්, වර්ග ඒකක 20 ක් නම්, කොතැනක හෝ වැරැද්දක් සිදුවී ඇති බව පැහැදිලිය - සෛල 20 ක් පැහැදිලිවම ප්‍රශ්නගත රූපයට නොගැලපේ, උපරිම වශයෙන් දුසිමක්. පිළිතුර ඍණාත්මක නම්, කාර්යය ද වැරදි ලෙස විසඳා ඇත.

උදාහරණ 2

රේඛා, , සහ අක්ෂ වලින් මායිම් කරන ලද රූපයක ප්රදේශය ගණනය කරන්න

මෙය ඔබටම විසඳා ගැනීමට ආදර්ශයකි. සම්පූර්ණ විසඳුම සහ පාඩම අවසානයේ පිළිතුර.

වක්ර trapezoid පිහිටා තිබේ නම් කුමක් කළ යුතුද? අක්ෂය යටතේ?

උදාහරණය 3

රේඛා සහ සම්බන්ධීකරණ අක්ෂ වලින් මායිම් කර ඇති රූපයේ ප්රදේශය ගණනය කරන්න.

විසඳුමක්: අපි චිත්රයක් කරමු:

වක්ර trapezoid පිහිටා තිබේ නම් අක්ෂය යටතේ(හෝ අවම වශයෙන් උසස් නොවේලබා දී ඇති අක්ෂය), එවිට එහි ප්‍රදේශය සූත්‍රය භාවිතයෙන් සොයාගත හැකිය:
මේ අවස්ථාවේ දී:

අවධානය! කාර්යයන් දෙක ව්යාකූල නොවිය යුතුය:

1) ජ්‍යාමිතික අර්ථයකින් තොරව සරලව නිශ්චිත අනුකලනයක් විසඳීමට ඔබෙන් ඉල්ලා සිටින්නේ නම්, එය සෘණාත්මක විය හැක.

2) නිශ්චිත අනුකලනයක් භාවිතා කරමින් රූපයක ප්‍රදේශය සොයා ගැනීමට ඔබෙන් ඉල්ලා සිටින්නේ නම්, එම ප්‍රදේශය සැමවිටම ධනාත්මක වේ! දැන් සාකච්ඡා කළ සූත්‍රයේ අඩුව පෙනෙන්නේ එබැවිනි.

ප්රායෝගිකව, බොහෝ විට රූපය ඉහළ සහ පහළ අර්ධ තලයෙහි පිහිටා ඇති අතර, එම නිසා, සරලම පාසල් ගැටළු වලින් අපි වඩාත් අර්ථවත් උදාහරණ වෙත ගමන් කරමු.

උදාහරණය 4

රේඛා වලින් සීමා වූ තල රූපයක ප්‍රදේශය සොයා ගන්න.

විසඳුමක්: පළමුව ඔබ චිත්රය සම්පූර්ණ කළ යුතුය. පොදුවේ ගත් කල, ප්‍රදේශයේ ගැටළු වල චිත්‍රයක් තැනීමේදී, අපි වඩාත් උනන්දු වන්නේ රේඛා ඡේදනය වන ස්ථාන කෙරෙහි ය. පැරබෝලා සහ සරල රේඛාවේ ඡේදනය වන ස්ථාන සොයා ගනිමු. මෙය ආකාර දෙකකින් කළ හැකිය. පළමු ක්රමය විශ්ලේෂණාත්මක ය. අපි සමීකරණය විසඳන්නෙමු:

මෙයින් අදහස් කරන්නේ අනුකලනයේ පහළ සීමාව වන්නේ, ඒකාබද්ධයේ ඉහළ සීමාව බවයි.
හැකි නම්, මෙම ක්රමය භාවිතා නොකිරීමට වඩා හොඳය..

ලක්ෂ්‍යයෙන් රේඛා තැනීම වඩා ලාභදායී සහ වේගවත් වන අතර ඒකාබද්ධ කිරීමේ සීමාවන් "තමන් විසින්ම" පැහැදිලි වේ. විවිධ ප්‍රස්ථාර සඳහා ලක්ෂ්‍යයෙන් ලක්ෂ්‍ය ඉදිකිරීම් තාක්ෂණය උපකාරයෙන් විස්තරාත්මකව සාකච්ඡා කෙරේ මූලික ශ්‍රිතවල ප්‍රස්තාර සහ ගුණ. කෙසේ වෙතත්, උදාහරණයක් ලෙස, ප්‍රස්ථාරය ප්‍රමාණවත් තරම් විශාල නම් හෝ සවිස්තරාත්මක ඉදිකිරීම් ඒකාබද්ධ කිරීමේ සීමාවන් හෙළි නොකළේ නම් (ඒවා භාගික හෝ අතාර්කික විය හැකිය) සීමාවන් සෙවීමේ විශ්ලේෂණ ක්‍රමය සමහර විට භාවිතා කිරීමට සිදු වේ. තවද අපි එවැනි උදාහරණයක් සලකා බලමු.

අපි අපගේ කාර්යයට ආපසු යමු: පළමුව සරල රේඛාවක් තැනීම වඩාත් තාර්කික වන අතර පසුව පමණක් පැරබෝලා. අපි ඇඳීම සකස් කරමු:

ලක්ෂ්‍යමය වශයෙන් ගොඩනඟන විට, ඒකාබද්ධ කිරීමේ සීමාවන් බොහෝ විට “ස්වයංක්‍රීයව” සොයා ගන්නා බව මම නැවත කියමි.

දැන් වැඩ සූත්‍රය: කොටසෙහි යම් අඛණ්ඩ කාර්යයක් තිබේ නම් වඩා විශාල හෝ සමාන වේයම් අඛණ්ඩ ශ්‍රිතයක්, එවිට මෙම ශ්‍රිතවල ප්‍රස්ථාර සහ රේඛා වලින් සීමා වූ රූපයේ ප්‍රදේශය සූත්‍රය භාවිතයෙන් සොයාගත හැකිය:

මෙහිදී ඔබට තවදුරටත් රූපය පිහිටා ඇති ස්ථානය ගැන සිතීමට අවශ්‍ය නැත - අක්ෂයට ඉහළින් හෝ අක්ෂයට පහළින්, සහ දළ වශයෙන් කිවහොත්, කුමන ප්‍රස්ථාරය වැඩිද යන්න වැදගත් වේ(වෙනත් ප්‍රස්ථාරයකට සාපේක්ෂව) සහ පහත දැක්වෙන්නේ කුමන එකක්ද යන්න.

සලකා බලනු ලබන උදාහරණයේ දී, ඛණ්ඩයේ පැරබෝලා සරල රේඛාවට ඉහළින් පිහිටා ඇති බව පැහැදිලිය, එබැවින් එය අඩු කිරීම අවශ්ය වේ.

සම්පුර්ණ කරන ලද විසඳුම මේ වගේ විය හැකිය:

අපේක්ෂිත රූපය ඉහළින් පරාවලයකින් සහ පහළ සරල රේඛාවකින් සීමා වේ.
අනුරූප සූත්‍රය අනුව කොටසෙහි:

පිළිතුර:

ඇත්ත වශයෙන්ම, පහළ අර්ධ තලයේ curvilinear trapezoid ප්රදේශය සඳහා වන පාසල් සූත්රය (සරල උදාහරණ අංක 3 බලන්න) සූත්රයේ විශේෂ අවස්ථාවකි. . අක්ෂය සමීකරණය මගින් නියම කර ඇති අතර, ශ්රිතයේ ප්රස්ථාරය පිහිටා ඇත උසස් නොවේඅක්ෂ, පසුව

දැන් ඔබේම විසඳුම සඳහා උදාහරණ කිහිපයක්

උදාහරණ 5

උදාහරණය 6

රේඛාවලින් මායිම් කර ඇති රූපයේ ප්රදේශය සොයා ගන්න.

නිශ්චිත අනුකලනයක් භාවිතා කරමින් ප්රදේශය ගණනය කිරීම සම්බන්ධ ගැටළු විසඳීමේදී, සමහර විට හාස්යජනක සිදුවීමක් සිදු වේ. චිත්‍රය නිවැරදිව සිදු කර ඇත, ගණනය කිරීම් නිවැරදි නමුත් නොසැලකිලිමත්කම නිසා ... වැරදි රූපයේ ප්රදේශය සොයා ගන්නා ලදී, ඔබේ නිහතමානී සේවකයා කිහිප වතාවක්ම කෙළෙසා ගත් ආකාරය මෙයයි. මෙන්න සැබෑ ජීවිතයේ නඩුවක්:

උදාහරණ 7

රේඛාවලින් මායිම් කරන ලද රූපයේ ප්රදේශය ගණනය කරන්න, , , .

විසඳුමක්: පළමුව, අපි ඇඳීමක් කරමු:

...ඔහ්, චිත්‍රය ජරාවක් වුනා, නමුත් හැම දෙයක්ම පැහැදිලිව පෙනෙනවා වගේ.

අපට සෙවිය යුතු ප්‍රදේශය නිල් පැහැයෙන් වර්ණාලේප කර ඇත(තත්ත්වය දෙස හොඳින් බලන්න - රූපය සීමිත වන්නේ කෙසේද!). නමුත් ප්‍රායෝගිකව, නොසැලකිලිමත්කම හේතුවෙන්, කොළ පැහැයෙන් වර්ණාලේප කර ඇති රූපයක ප්‍රදේශය සොයා ගැනීමට අවශ්‍ය “ගැටළුවක්” බොහෝ විට සිදු වේ!

මෙම උදාහරණය නිශ්චිත අනුකලන දෙකක් භාවිතා කරමින් රූපයක වර්ගඵලය ගණනය කිරීම සඳහා ද ප්‍රයෝජනවත් වේ. ඇත්තටම:

1) අක්ෂයට ඉහලින් ඇති කොටසෙහි සරල රේඛාවක ප්රස්ථාරයක් ඇත;

2) අක්ෂයට ඉහලින් ඇති කොටසෙහි හයිපර්බෝලා ප්‍රස්ථාරයක් ඇත.

ප්‍රදේශ එකතු කළ හැකි (සහ කළ යුතු) බව ඉතා පැහැදිලිය, එබැවින්:

පිළිතුර:

අපි තවත් අර්ථවත් කාර්යයකට යමු.

උදාහරණ 8

රේඛාවලින් මායිම් කරන ලද රූපයක ප්රදේශය ගණනය කරන්න,
අපි "පාසල්" ආකාරයෙන් සමීකරණ ඉදිරිපත් කර ලක්ෂ්‍යයෙන් ලක්ෂ්‍ය ඇඳීමක් කරමු:

චිත්රයෙන් අපගේ ඉහළ සීමාව "හොඳ" බව පැහැදිලිය: .
නමුත් අඩු සීමාව කුමක්ද?! මෙය පූර්ණ සංඛ්‍යාවක් නොවන බව පැහැදිලිය, නමුත් එය කුමක්ද? සමහර විට ? නමුත් චිත්‍රය පරිපූර්ණ නිරවද්‍යතාවයකින් සාදා ඇති බවට සහතිකයක් කොහිද, එය එසේ විය හැකිය ... නැත්නම් මුල. අපි ප්‍රස්ථාරය වැරදි ලෙස ගොඩනඟා ඇත්නම් කුමක් කළ යුතුද?

එවැනි අවස්ථාවන්හිදී, ඔබට අමතර කාලයක් ගත කිරීමට සහ විශ්ලේෂණාත්මකව ඒකාබද්ධ කිරීමේ සීමාවන් පැහැදිලි කිරීමට සිදු වේ.

සරල රේඛාවක සහ පරාවලයක ඡේදනය වන ස්ථාන සොයා ගනිමු.
මෙය සිදු කිරීම සඳහා, අපි සමීකරණය විසඳන්නෙමු:


,

ඇත්තටම, .

වැඩිදුර විසඳුම සුළුපටු ය, ප්රධාන දෙය වන්නේ ආදේශන සහ සංඥා තුළ ව්යාකූල නොවීමයි; මෙහි ගණනය කිරීම් සරලම නොවේ.

කොටස මත , අනුරූප සූත්රය අනුව:

පිළිතුර:

හොඳයි, පාඩම අවසන් කිරීමට, අපි තවත් දුෂ්කර කාර්යයන් දෙකක් දෙස බලමු.

උදාහරණ 9

රේඛාවලින් මායිම් කර ඇති රූපයේ ප්රදේශය ගණනය කරන්න, ,

විසඳුමක්: අපි මෙම රූපය චිත්‍රයේ නිරූපණය කරමු.

අපොයි, මට කාලසටහන අත්සන් කිරීමට අමතක වූ අතර, සමාවන්න, මට පින්තූරය නැවත කිරීමට අවශ්‍ය නොවීය. චිත්‍ර අඳින දිනයක් නොවේ, කෙටියෙන් කිවහොත්, අද දිනයයි =)

ලක්ෂ්‍යයෙන් ලක්ෂ්‍ය ඉදිකිරීම සඳහා, sinusoid වල පෙනුම දැන ගැනීම අවශ්‍ය වේ (සහ සාමාන්‍යයෙන් එය දැන ගැනීම ප්‍රයෝජනවත් වේ. සියලුම මූලික ශ්‍රිතවල ප්‍රස්ථාර), මෙන්ම සමහර සයින් අගයන්, ඒවා සොයා ගත හැක ත්රිකෝණමිතික වගුව. සමහර අවස්ථාවලදී (මෙම අවස්ථාවෙහිදී මෙන්), ක්රමානුරූප චිත්රයක් තැනීමට හැකි වන අතර, ප්රස්තාර සහ ඒකාබද්ධ කිරීමේ සීමාවන් මූලික වශයෙන් නිවැරදිව ප්රදර්ශනය කළ යුතුය.

මෙහි ඒකාබද්ධ කිරීමේ සීමාවන් සමඟ ගැටළු නොමැත; ඔවුන් කොන්දේසියෙන් සෘජුවම අනුගමනය කරයි: "x" ශුන්ය සිට "pi" දක්වා වෙනස් වේ. අපි තවත් තීරණයක් ගනිමු:

කොටසෙහි, ශ්‍රිතයේ ප්‍රස්ථාරය අක්ෂයට ඉහළින් පිහිටා ඇත, එබැවින්: