අභ්‍යවකාශයේ ඇති රේඛාවක කැනොනිකල් සමීකරණ යනු දිශා දෛශිකයට දී ඇති ලක්ෂ්‍යයක් හරහා ගමන් කරන රේඛාවක් නිර්වචනය කරන සමීකරණ වේ.

ලක්ෂ්‍යයක් සහ දිශා දෛශිකයක් ලබා දෙන්න. අත්තනෝමතික ලක්ෂ්‍යයක් රේඛාවක් මත පිහිටා ඇත එල්දෛශික සහ collinear නම් පමණි, එනම්, කොන්දේසිය ඔවුන් සඳහා තෘප්තිමත් වේ:

.

ඉහත සමීකරණ සරල රේඛාවේ කැනොනිකල් සමීකරණ වේ.

අංක මීටර් , nසහ පිඛණ්ඩාංක අක්ෂ මත දිශා දෛශිකයේ ප්රක්ෂේපණ වේ. දෛශිකය ශුන්‍ය නොවන බැවින්, සියලු සංඛ්‍යා මීටර් , nසහ පිඑකවර බිංදුවට සමාන විය නොහැක. නමුත් ඒවායින් එකක් හෝ දෙකක් බිංදුව බවට පත් විය හැකිය. උදාහරණයක් ලෙස, විශ්ලේෂණාත්මක ජ්‍යාමිතිය තුළ, පහත ප්‍රවේශයට අවසර ඇත:

,

එනම් අක්ෂය මත දෛශිකයේ ප්රක්ෂේපණ බවයි ඔයිසහ Ozශුන්යයට සමාන වේ. එබැවින්, කැනොනිකල් සමීකරණ මගින් අර්ථ දක්වා ඇති දෛශිකය සහ රේඛාව යන දෙකම අක්ෂවලට ලම්බක වේ. ඔයිසහ Oz, එනම් ගුවන් යානා yOz .

උදාහරණ 1.තලයකට ලම්බකව අවකාශයේ රේඛාවක් සඳහා සමීකරණ ලියන්න සහ අක්ෂය සමඟ මෙම තලයේ ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්යය හරහා ගමන් කිරීම Oz .

විසඳුම. මෙම තලය අක්ෂය සමඟ ඡේදනය වන ස්ථානය සොයා ගනිමු Oz. අක්ෂය මත වැතිර සිටින ඕනෑම ලක්ෂ්යයක් සිට Oz, ඛණ්ඩාංක ඇත , එසේ නම්, තලයේ දී ඇති සමීකරණයේ උපකල්පනය කරයි x = y = 0, අපට 4 ලැබේ z- 8 = 0 හෝ z= 2 . එබැවින්, අක්ෂය සමඟ මෙම තලයේ ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්යය Ozඛණ්ඩාංක ඇත (0; 0; 2) . අපේක්ෂිත රේඛාව තලයට ලම්බක වන බැවින්, එය එහි සාමාන්‍ය දෛශිකයට සමාන්තර වේ. එබැවින් සරල රේඛාවේ දිශානත දෛශිකය සාමාන්‍ය දෛශිකය විය හැක ලබා දුන් ගුවන් යානය.

දැන් අපි ලක්ෂ්‍යයක් හරහා ගමන් කරන සරල රේඛාවක අවශ්‍ය සමීකරණ ලියන්නෙමු ඒ= (0; 0; 2) දෛශිකයේ දිශාවට:

ලබා දී ඇති ලක්ෂ්‍ය දෙකක් හරහා ගමන් කරන රේඛාවක සමීකරණ

සරල රේඛාවක් එය මත ඇති ස්ථාන දෙකකින් අර්ථ දැක්විය හැක සහ මෙම අවස්ථාවේදී, සරල රේඛාවේ දිශානත දෛශිකය දෛශිකය විය හැක. එවිට රේඛාවේ කැනොනිකල් සමීකරණ ස්වරූපය ගනී

.

ඉහත සමීකරණ මඟින් ලබා දී ඇති ලක්ෂ්‍ය දෙකක් හරහා ගමන් කරන රේඛාවක් තීරණය කරයි.

උදාහරණ 2.ලක්ෂ්‍ය හරහා ගමන් කරන අවකාශයේ රේඛාවක් සඳහා සමීකරණයක් ලියන්න සහ .

විසඳුම. න්‍යායික සඳහනෙහි ඉහත දක්වා ඇති ආකාරයට අවශ්‍ය සරල රේඛා සමීකරණ ලියා ගනිමු:

.

සිට , එවිට අපේක්ෂිත සරල රේඛාව අක්ෂයට ලම්බක වේ ඔයි .

ගුවන් යානා ඡේදනය වන රේඛාව ලෙස කෙළින්ම

අභ්‍යවකාශයේ සරල රේඛාවක් සමාන්තර නොවන තල දෙකක ඡේදනය වීමේ රේඛාව ලෙසත්, එනම් රේඛීය සමීකරණ දෙකක පද්ධතියක් තෘප්තිමත් කරන ලක්ෂ්‍ය සමූහයක් ලෙසත් අර්ථ දැක්විය හැක.

පද්ධතියේ සමීකරණ අවකාශයේ සරල රේඛාවක පොදු සමීකරණ ලෙසද හැඳින්වේ.

උදාහරණය 3.සාමාන්‍ය සමීකරණ මගින් ලබා දී ඇති අවකාශයේ රේඛාවක කැනොනිකල් සමීකරණ සම්පාදනය කරන්න

විසඳුම. රේඛාවක කැනොනිකල් සමීකරණ ලිවීමට හෝ, එකම දෙය, දී ඇති ලක්ෂ්‍ය දෙකක් හරහා ගමන් කරන රේඛාවක සමීකරණ ලිවීමට, ඔබ රේඛාවේ ඕනෑම ලක්ෂ්‍ය දෙකක ඛණ්ඩාංක සොයාගත යුතුය. උදාහරණයක් ලෙස, ඒවා ඕනෑම ඛණ්ඩාංක තල දෙකක් සමඟ සරල රේඛාවක ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්‍ය විය හැකිය yOzසහ xOz .

රේඛාවක් සහ ගුවන් යානයක ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්‍යය yOz abscissa ඇත x= 0 . එබැවින්, මෙම සමීකරණ පද්ධතියේ උපකල්පනය කිරීම x= 0, අපට විචල්‍ය දෙකක් සහිත පද්ධතියක් ලැබේ:

ඇගේ තීරණය y = 2 , z= 6 එකට x= 0 ලක්ෂ්‍යයක් අර්ථ දක්වයි ඒ(0; 2; 6) අපේක්ෂිත රේඛාව. එවිට ලබා දී ඇති සමීකරණ පද්ධතිය තුළ උපකල්පනය කිරීම y= 0, අපි පද්ධතිය ලබා ගනිමු

ඇගේ තීරණය x = -2 , z= 0 එකට y= 0 ලක්ෂ්‍යයක් අර්ථ දක්වයි බී(-2; 0; 0) තලයක් සහිත රේඛාවක ඡේදනය xOz .

දැන් අපි ලකුණු හරහා ගමන් කරන රේඛාවේ සමීකරණ ලියන්නෙමු ඒ(0; 2; 6) සහ බී (-2; 0; 0) :

,

හෝ හරය -2 න් බෙදීමෙන් පසු:

,

ලක්ෂ්‍යය හරහා ගමන් කරන රේඛාව K(x 0 ; y 0) සහ y = kx + a රේඛාවට සමාන්තරව සූත්‍රයෙන් සොයා ගනී:

y - y 0 = k(x - x 0) (1)

මෙහි k යනු රේඛාවේ බෑවුමයි.

විකල්ප සූත්‍රය:
M 1 (x 1 ; y 1) ලක්ෂ්‍යය හරහා ගමන් කරන සහ Ax+By+C=0 රේඛාවට සමාන්තරව යන රේඛාවක් සමීකරණයෙන් නිරූපණය කෙරේ.

A(x-x 1)+B(y-y 1)=0 . (2)

ලක්ෂ්‍යය K() හරහා ගමන් කරන රේඛාවක් සඳහා සමීකරණයක් ලියන්න ;y = සරල රේඛාවට සමාන්තරව x+ .

උදාහරණ අංක 1. M 0 (-2,1) ලක්ෂ්‍යය හරහා ගමන් කරන සරල රේඛාවක් සඳහා සමීකරණයක් ලියන්න සහ ඒ සමඟම:
a) සරල රේඛාවට සමාන්තරව 2x+3y -7 = 0;
b) සරල රේඛාවට ලම්බකව 2x+3y -7 = 0.
විසඳුම . y = kx + a ආකාරයෙන් බෑවුම සමඟ සමීකරණය සිතමු. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, y හැර අනෙකුත් සියලුම අගයන් දකුණු පැත්තට ගෙන යන්න: 3y = -2x + 7 . ඉන්පසු දකුණු පස 3 ගුණයකින් බෙදන්න. අපට ලැබෙන්නේ: y = -2/3x + 7/3
y = -2 / 3 x + 7 / 3 සරල රේඛාවට සමාන්තරව K(-2;1) ලක්ෂ්‍යය හරහා ගමන් කරන NK සමීකරණය සොයා ගනිමු.
x 0 = -2, k = -2 / 3, y 0 = 1 ආදේශ කිරීමෙන් අපට ලැබෙන්නේ:
y-1 = -2 / 3 (x-(-2))
හෝ
y = -2 / 3 x - 1 / 3 හෝ 3y + 2x +1 = 0

උදාහරණ අංක 2. 2x + 5y = 0 රේඛාවට සමාන්තරව රේඛාවක සමීකරණය ලියන්න සහ ඛණ්ඩාංක අක්ෂ සමඟ එක්ව, ප්‍රදේශය 5 වන ත්‍රිකෝණයක් සාදන්න.
විසඳුම . රේඛා සමාන්තර බැවින්, අපේක්ෂිත රේඛාවේ සමීකරණය 2x + 5y + C = 0 වේ. සෘජුකෝණාස්‍රයක ප්‍රදේශය, a සහ b යනු එහි පාද වේ. ඛණ්ඩාංක අක්ෂ සමඟ අපේක්ෂිත රේඛාවේ ඡේදනය වීමේ ස්ථාන සොයා ගනිමු:
;
.
ඉතින්, A(-C/2,0), B(0,-C/5). අපි එය ප්‍රදේශය සඳහා සූත්‍රයට ආදේශ කරමු: . අපට විසඳුම් දෙකක් ලැබේ: 2x + 5y + 10 = 0 සහ 2x + 5y - 10 = 0.

උදාහරණ අංක 3. ලක්ෂ්‍යය (-2; 5) හරහා සහ 5x-7y-4=0 රේඛාවට සමාන්තරව ගමන් කරන රේඛාවක් සඳහා සමීකරණයක් ලියන්න.
විසඳුම. මෙම සරල රේඛාව y = 5 / 7 x – 4 / 7 (මෙහි a = 5 / 7) සමීකරණයෙන් නිරූපණය කළ හැක. අපේක්ෂිත රේඛාවේ සමීකරණය y - 5 = 5 / 7 (x - (-2)), i.e. 7(y-5)=5(x+2) හෝ 5x-7y+45=0 .

උදාහරණ අංක 4. උදාහරණය 3 (A=5, B=-7) (2) සූත්‍රය භාවිතයෙන් විසඳා ගැනීමෙන් අපට 5(x+2)-7(y-5)=0 හමු වේ.

උදාහරණ අංක 5. ලක්ෂ්‍යය (-2;5) හරහා සහ 7x+10=0 රේඛාවට සමාන්තරව ගමන් කරන රේඛාවක් සඳහා සමීකරණයක් ලියන්න.
විසඳුම. මෙහි A=7, B=0. සූත්‍රය (2) 7(x+2)=0 ලබා දෙයි, i.e. x+2=0. මෙම සමීකරණය y සම්බන්ධයෙන් විසඳිය නොහැකි බැවින් (මෙම සරල රේඛාව ඕඩිනේට් අක්ෂයට සමාන්තර වේ) සූත්‍රය (1) අදාළ නොවේ.

"ජ්යාමිතික ඇල්ගොරිතම" මාලාවෙන් පාඩම

ආයුබෝවන් හිතවත් පාඨකයා!

අද අපි ජ්‍යාමිතිය සම්බන්ධ ඇල්ගොරිතම ඉගෙන ගැනීමට පටන් ගනිමු. කාරණය නම් පරිගණක විද්‍යාවේ පරිගණක ජ්‍යාමිතිය හා සම්බන්ධ ඔලිම්පියාඩ් ගැටලු රාශියක් ඇති අතර එවැනි ගැටළු විසඳීම බොහෝ විට දුෂ්කරතා ඇති කරයි.

පාඩම් කිහිපයක් අතරතුර, පරිගණක ජ්‍යාමිතියේ බොහෝ ගැටලු විසඳීමට පදනම් වන මූලික උප කාර්යයන් ගණනාවක් අපි සලකා බලමු.

මෙම පාඩමේදී අපි වැඩසටහනක් නිර්මාණය කරමු රේඛාවක සමීකරණය සොයා ගැනීම, ලබා දී ඇත හරහා ගමන් කරුණු දෙකක්. ජ්යාමිතික ගැටළු විසඳීම සඳහා, අපට පරිගණක ජ්යාමිතිය පිළිබඳ යම් දැනුමක් අවශ්ය වේ. අපි පාඩමේ කොටසක් ඔවුන්ව දැන හඳුනා ගැනීමට කැප කරන්නෙමු.

පරිගණන ජ්‍යාමිතිය වෙතින් තීක්ෂ්ණ බුද්ධිය

පරිගණක ජ්‍යාමිතිය යනු ජ්‍යාමිතික ගැටළු විසඳීම සඳහා ඇල්ගොරිතම අධ්‍යයනය කරන පරිගණක විද්‍යාවේ ශාඛාවකි.

එවැනි ගැටළු සඳහා ආරම්භක දත්ත තලයක ඇති ලක්ෂ්‍ය සමූහයක්, කොටස් සමූහයක්, බහුඅස්‍රයක් (උදාහරණයක් ලෙස, දක්ෂිණාවර්තව එහි සිරස් ලැයිස්තුවක් මගින් නිශ්චිතව දක්වා ඇත) යනාදිය විය හැකිය.

ප්‍රතිඵලය කිසියම් ප්‍රශ්නයකට පිළිතුරක් විය හැකිය (ලක්ෂ්‍යයක් කොටසකට අයත්ද, කොටස් දෙකක් ඡේදනයද, ...) හෝ යම් ජ්‍යාමිතික වස්තුවක් (උදාහරණයක් ලෙස, දී ඇති ලක්ෂ්‍ය සම්බන්ධ කරන කුඩාම උත්තල බහුඅස්‍රය, ප්‍රදේශය බහුඅස්ර, ආදිය) .

අපි තලය මත පමණක් සහ Cartesian ඛණ්ඩාංක පද්ධතියේ පමණක් පරිගණක ජ්යාමිතිය පිළිබඳ ගැටළු සලකා බලමු.

දෛශික සහ ඛණ්ඩාංක

පරිගණක ජ්‍යාමිතිය ක්‍රම භාවිතා කිරීම සඳහා, ජ්‍යාමිතික රූප සංඛ්‍යා භාෂාවට පරිවර්තනය කිරීම අවශ්‍ය වේ. යානයට කාටිසියානු ඛණ්ඩාංක පද්ධතියක් ලබා දී ඇති බව අපි උපකල්පනය කරමු, එහි වාමාවර්තව භ්‍රමණය වන දිශාව ධනාත්මක ලෙස හැඳින්වේ.

දැන් ජ්යාමිතික වස්තූන්ට විශ්ලේෂණාත්මක ප්රකාශනයක් ලැබේ. එබැවින්, ලක්ෂ්යයක් නියම කිරීම සඳහා, එහි ඛණ්ඩාංක දැක්වීමට ප්රමාණවත් වේ: සංඛ්යා යුගලයක් (x; y). ඛණ්ඩයක් එහි කෙළවරේ ඛණ්ඩාංක දැක්වීමෙන් නියම කළ හැක;

නමුත් ගැටළු විසඳීම සඳහා අපගේ ප්රධාන මෙවලම දෛශික වනු ඇත. ඒ නිසා ඔවුන් ගැන තොරතුරු ටිකක් මතක් කරන්නම්.

කොටස AB, කරුණක් ඇති ඒආරම්භය (යෙදුමේ ලක්ෂ්යය) සහ ලක්ෂ්යය ලෙස සැලකේ IN- අවසානය, දෛශිකයක් ලෙස හැඳින්වේ ABසහ උදාහරණයක් ලෙස තද කුඩා අකුරකින් හෝ දක්වන්නේ ඒ .

දෛශිකයක දිග දැක්වීමට (එනම්, අනුරූප කොටසේ දිග), අපි මාපාංක සංකේතය භාවිතා කරමු (උදාහරණයක් ලෙස, ).

අත්තනෝමතික දෛශිකයකට එහි අවසානය සහ ආරම්භයේ අනුරූප ඛණ්ඩාංක අතර වෙනසට සමාන ඛණ්ඩාංක ඇත:

,

මෙන්න කරුණු ඒසහ බී ඛණ්ඩාංක ඇත පිළිවෙලින්.

ගණනය කිරීම් සඳහා අපි සංකල්පය භාවිතා කරමු දිශානුගත කෝණය, එනම්, දෛශිකයන්ගේ සාපේක්ෂ පිහිටීම සැලකිල්ලට ගන්නා කෝණයකි.

දෛශික අතර දිශානුගත කෝණය a සහ ආ භ්රමණය දෛශිකයෙන් නම් ධනාත්මක වේ a දෛශිකයට ආ ධනාත්මක දිශාවකින් (වාමාවර්තව) සහ අනෙක් අවස්ථාවෙහි ඍණාත්මකව සිදු කරනු ලැබේ. Fig.1a, Fig.1b බලන්න. දෛශික යුගලයක් බවද පැවසේ a සහ ආ ධනාත්මකව (සෘණාත්මකව) නැඹුරු.

මේ අනුව, දිශානුගත කෝණයෙහි අගය දෛශික ලැයිස්තුගත කර ඇති අනුපිළිවෙල මත රඳා පවතින අතර පරතරය තුළ අගයන් ගත හැකිය.

පරිගණක ජ්‍යාමිතියෙහි ඇති බොහෝ ගැටලු දෛශිකවල දෛශික නිෂ්පාදන සංකල්පය භාවිතා කරයි.

දෛශිකවල දෛශික ගුණිතය a සහ b යනු මෙම දෛශිකවල දිග සහ ඒවා අතර කෝණයේ සයින් වල ගුණිතයයි:

.

ඛණ්ඩාංකවල දෛශිකවල හරස් නිෂ්පාදනය:

දකුණු පස ඇති ප්‍රකාශනය දෙවන පෙළ නිර්ණායකයකි:

විශ්ලේෂණාත්මක ජ්‍යාමිතියෙහි දක්වා ඇති නිර්වචනය මෙන් නොව, එය අදිශයකි.

දෛශික නිෂ්පාදනයේ ලකුණ එකිනෙකට සාපේක්ෂව දෛශිකවල පිහිටීම තීරණය කරයි:

a සහ ආ ධනාත්මකව නැඹුරු.

අගය නම්, දෛශික යුගලයක් a සහ ආ සෘණාත්මකව නැඹුරු.

ශුන්‍ය නොවන දෛශිකවල හරස් ගුණිතය ශුන්‍ය වේ නම් සහ ඒවා collinear නම් පමණි ( ) මෙයින් අදහස් කරන්නේ ඔවුන් එකම රේඛාවක හෝ සමාන්තර රේඛාවල පිහිටා ඇති බවයි.

වඩාත් සංකීර්ණ ගැටළු විසඳීමේදී අවශ්ය වන සරල ගැටළු කිහිපයක් දෙස බලමු.

ලක්ෂ්‍ය දෙකක ඛණ්ඩාංක වලින් සරල රේඛාවක සමීකරණය තීරණය කරමු.

ඒවායේ ඛණ්ඩාංක මගින් නිශ්චිතව දක්වා ඇති විවිධ ලක්ෂ්‍ය දෙකක් හරහා ගමන් කරන රේඛාවක සමීකරණය.

ඛණ්ඩාංක (x1; y1) සහ ඛණ්ඩාංක සමඟ (x2; y2) සමග සමපාත නොවන ලක්ෂ්‍ය දෙකක් සරල රේඛාවක් මත ලබා දෙමු. ඒ අනුව, ලක්ෂ්‍යයක ආරම්භයක් සහ ලක්ෂ්‍යයක අවසානයක් සහිත දෛශිකයකට ඛණ්ඩාංක ඇත (x2-x1, y2-y1). P(x, y) අපගේ රේඛාවේ අත්තනෝමතික ලක්ෂ්‍යයක් නම්, දෛශිකයේ ඛණ්ඩාංක සමාන වේ (x-x1, y - y1).

දෛශික නිෂ්පාදිතය භාවිතා කරමින්, දෛශිකවල සහසම්බන්ධතාවය සඳහා කොන්දේසිය සහ පහත පරිදි ලිවිය හැකිය:

ඒ. (x-x1)(y2-y1)-(y-y1)(x2-x1)=0

(y2-y1)x + (x1-x2)y + x1(y1-y2) + y1(x2-x1) = 0

අපි අවසාන සමීකරණය පහත පරිදි නැවත ලියන්නෙමු:

ax + by + c = 0, (1)

c = x1(y1-y2) + y1(x2-x1)

එබැවින්, සරල රේඛාව පෝරමයේ (1) සමීකරණයකින් නියම කළ හැක.

ගැටළුව 1. කරුණු දෙකක ඛණ්ඩාංක ලබා දී ඇත. එහි නිරූපණය ax + by + c = 0 ආකාරයෙන් සොයන්න.

මෙම පාඩමේදී අපි පරිගණක ජ්‍යාමිතිය පිළිබඳ තොරතුරු කිහිපයක් ඉගෙන ගත්තෙමු. ලක්ෂ්‍ය දෙකක ඛණ්ඩාංක වලින් රේඛාවක සමීකරණය සොයා ගැනීමේ ගැටලුව අපි විසඳා ගත්තෙමු.

මීළඟ පාඩමේදී අපි අපේ සමීකරණ මගින් ලබා දී ඇති රේඛා දෙකක ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්‍යය සොයා ගැනීමට වැඩසටහනක් සාදන්නෙමු.

දී ඇති දිශාවකට දී ඇති ලක්ෂ්‍යයක් හරහා ගමන් කරන රේඛාවක සමීකරණය. ලබා දී ඇති ලක්ෂ්‍ය දෙකක් හරහා ගමන් කරන රේඛාවක සමීකරණය. සරල රේඛා දෙකක් අතර කෝණය. සරල රේඛා දෙකක සමාන්තර සහ ලම්බක තත්ත්වය. පේළි දෙකක ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්යය තීරණය කිරීම

1. දී ඇති ලක්ෂ්‍යයක් හරහා ගමන් කරන රේඛාවක සමීකරණය ඒ(x 1 , y 1) දී ඇති දිශාවට, බෑවුම මගින් තීරණය වේ කේ,

y - y 1 = කේ(x - x 1). (1)

මෙම සමීකරණය ලක්ෂ්‍යයක් හරහා ගමන් කරන රේඛා පැන්සලක් අර්ථ දක්වයි ඒ(x 1 , y 1), එය කදම්භ මධ්‍යස්ථානය ලෙස හැඳින්වේ.

2. ලක්ෂ්‍ය දෙකක් හරහා ගමන් කරන රේඛාවක සමීකරණය: ඒ(x 1 , y 1) සහ බී(x 2 , y 2), මෙසේ ලියා ඇත:

ලබා දී ඇති ලක්ෂ්‍ය දෙකක් හරහා ගමන් කරන සරල රේඛාවක කෝණික සංගුණකය තීරණය වන්නේ සූත්‍රය මගිනි

3. සරල රේඛා අතර කෝණය ඒසහ බීපළමු සරල රේඛාව කරකැවිය යුතු කෝණය වේ ඒමෙම රේඛා ඡේදනය වන ස්ථානය වටා එය දෙවන පේළිය සමග සමපාත වන තෙක් වාමාවර්තව බී. බෑවුමක් සහිත සමීකරණ මගින් සරල රේඛා දෙකක් ලබා දෙන්නේ නම්

y = කේ 1 x + බී 1 ,

යුක්ලීඩීය ජ්‍යාමිතියේ සරල රේඛාවක ගුණ.

ඕනෑම ලක්ෂ්‍යයක් හරහා අසීමිත සරල රේඛා සංඛ්‍යාවක් ඇද ගත හැක.

ඕනෑම සමපාත නොවන ලක්ෂ්‍ය දෙකක් හරහා තනි සරල රේඛාවක් ඇඳිය ​​හැකිය.

තලයක ඇති අපසාරී රේඛා දෙකක් එක් ලක්ෂ්‍යයකින් හෝ ඡේදනය වේ

සමාන්තර (පෙර සිට අනුගමනය කරයි).

ත්රිමාණ අවකාශය තුළ, පේළි දෙකක සාපේක්ෂ පිහිටීම සඳහා විකල්ප තුනක් තිබේ:

• රේඛා ඡේදනය;

• රේඛා සමාන්තර වේ;

• සරල රේඛා ඡේදනය වේ.

කෙලින්ම රේඛාව— පළමු අනුපිළිවෙලෙහි වීජීය වක්‍රය: කාටිසියානු ඛණ්ඩාංක පද්ධතියේ සරල රේඛාවක්

පළමු උපාධියේ (රේඛීය සමීකරණය) සමීකරණයක් මගින් තලය මත ලබා දී ඇත.

සරල රේඛාවක පොදු සමීකරණය.

අර්ථ දැක්වීම. ගුවන් යානයේ ඕනෑම සරල රේඛාවක් පළමු අනුපිළිවෙල සමීකරණයක් මගින් නියම කළ හැක

Ax + Wu + C = 0,

සහ නියත ඒ, බීඑකවර බිංදුවට සමාන නොවේ. මෙම පළමු අනුපිළිවෙල සමීකරණය ලෙස හැඳින්වේ සාමාන්ය

සරල රේඛාවක සමීකරණය.නියත අගයන් මත රඳා පවතී ඒ, බීසහ සමඟපහත සඳහන් විශේෂ අවස්ථා හැකි ය:

. C = 0, A ≠0, B ≠ 0- සරල රේඛාවක් මූලාරම්භය හරහා ගමන් කරයි

. A = 0, B ≠0, C ≠0 (By + C = 0)- අක්ෂයට සමාන්තරව සරල රේඛාව ඔහ්

. B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0)- අක්ෂයට සමාන්තරව සරල රේඛාව ඔහ්

. B = C = 0, A ≠0- සරල රේඛාව අක්ෂය සමඟ සමපාත වේ ඔහ්

. A = C = 0, B ≠0- සරල රේඛාව අක්ෂය සමඟ සමපාත වේ ඔහ්

සරල රේඛාවක සමීකරණය ඕනෑම දෙයක් මත පදනම්ව විවිධ ආකාරවලින් ඉදිරිපත් කළ හැකිය

ආරම්භක කොන්දේසි.

ලක්ෂ්‍යයකින් සහ සාමාන්‍ය දෛශිකයකින් සරල රේඛාවක සමීකරණය.

අර්ථ දැක්වීම. කාටිසියානු සෘජුකෝණාස්රාකාර ඛණ්ඩාංක පද්ධතියක, සංරචක සහිත දෛශිකයක් (A, B)

සමීකරණය මගින් ලබා දෙන රේඛාවට ලම්බකව

Ax + Wu + C = 0.

උදාහරණය. ලක්ෂ්‍යයක් හරහා ගමන් කරන රේඛාවක සමීකරණය සොයන්න A(1, 2)දෛශිකයට ලම්බකව (3, -1).

විසඳුම. A = 3 සහ B = -1 සමඟ, අපි සරල රේඛාවේ සමීකරණය සම්පාදනය කරමු: 3x - y + C = 0. සංගුණකය C සොයා ගැනීමට

ලබා දී ඇති ලක්ෂ්‍යයේ A හි ඛණ්ඩාංක ප්‍රතිඵලයක් ලෙස ප්‍රකාශනයට ආදේශ කරමු: 3 - 2 + C = 0, එබැවින්

C = -1. එකතුව: අවශ්‍ය සමීකරණය: 3x - y - 1 = 0.

ලක්ෂ්‍ය දෙකක් හරහා ගමන් කරන රේඛාවක සමීකරණය.

අවකාශයේ කරුණු දෙකක් ලබා දෙන්න M 1 (x 1, y 1, z 1)සහ M2 (x 2, y 2, z 2),එතකොට රේඛාවක සමීකරණය,

මෙම කරුණු හරහා ගමන් කිරීම:

කිසියම් හරයක් ශුන්‍ය නම්, අදාළ සංඛ්‍යාව බිංදුවට සමාන ලෙස සැකසිය යුතුය. ක්‍රියාත්මකයි

තලය, ඉහත ලියා ඇති සරල රේඛාවේ සමීකරණය සරල කර ඇත:

නම් x 1 ≠ x 2සහ x = x 1, නම් x 1 = x 2 .

භාගය = කිකියලා බෑවුම සෘජු.

උදාහරණය. A(1, 2) සහ B(3, 4) ලක්ෂ්‍ය හරහා ගමන් කරන රේඛාවේ සමීකරණය සොයා ගන්න.

විසඳුම. ඉහත ලියා ඇති සූත්‍රය යෙදීමෙන් අපට ලැබෙන්නේ:

ලක්ෂ්‍යයක් සහ බෑවුමක් භාවිතා කරමින් සරල රේඛාවක සමීකරණය.

රේඛාවේ පොදු සමීකරණය නම් Ax + Wu + C = 0තුඩු:

සහ නම් කරන්න , එවිට ලැබෙන සමීකරණය ලෙස හැඳින්වේ

බෑවුම k සමග සරල රේඛාවක සමීකරණය.

ලක්ෂ්‍යයකින් සහ දිශා දෛශිකයකින් සරල රේඛාවක සමීකරණය.

සාමාන්‍ය දෛශිකය හරහා සරල රේඛාවක සමීකරණය සලකා බලන ලක්ෂ්‍යය සමඟ ප්‍රතිසමයෙන්, ඔබට කාර්යයට ඇතුළු විය හැකිය.

ලක්ෂ්‍යයක් හරහා සරල රේඛාවක් සහ සරල රේඛාවක දිශානති දෛශිකයක්.

අර්ථ දැක්වීම. ශුන්‍ය නොවන සෑම දෛශිකයක්ම (α 1, α 2), එහි සංරචක තත්ත්වය තෘප්තිමත් කරයි

Aα 1 + Bα 2 = 0කියලා සරල රේඛාවක දෛශිකය මෙහෙයවීම.

Ax + Wu + C = 0.

උදාහරණය. දිශා දෛශිකයක් (1, -1) සහ A (1, 2) ලක්ෂ්‍යය හරහා ගමන් කරන සරල රේඛාවක සමීකරණය සොයා ගන්න.

විසඳුම. අපි පෝරමයේ අපේක්ෂිත රේඛාවේ සමීකරණය සොයන්නෙමු: Ax + By + C = 0.අර්ථ දැක්වීමට අනුව,

සංගුණක පහත සඳහන් කොන්දේසි සපුරාලිය යුතුය:

1 * A + (-1) * B = 0, i.e. A = B.

එවිට සරල රේඛාවේ සමීකරණයේ ස්වරූපය ඇත: Ax + Ay + C = 0,හෝ x + y + C / A = 0.

දී x = 1, y = 2අපට ලැබෙනවා C/A = -3, i.e. අවශ්ය සමීකරණය:

x + y - 3 = 0

කොටස්වල සරල රේඛාවක සමීකරණය.

සරල රේඛාවේ සාමාන්‍ය සමීකරණයේ Ах + Ву + С = 0 С≠0 නම්, -С මගින් බෙදීම, අපට ලැබෙන්නේ:

නැත්නම් කොහෙද

සංගුණකවල ජ්‍යාමිතික අර්ථය නම් සංගුණකය a යනු ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්‍යයේ ඛණ්ඩාංකයයි.

අක්ෂය සමඟ කෙළින්ම ඔහ්,ඒ ආ- අක්ෂය සමඟ රේඛාවේ ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්යය සම්බන්ධීකරණය කරන්න ඔහ්.

උදාහරණය. සරල රේඛාවක පොදු සමීකරණය ලබා දී ඇත x - y + 1 = 0.මෙම රේඛාවේ සමීකරණය කොටස් වලින් සොයා ගන්න.

C = 1, a = -1, b = 1.

රේඛාවක සාමාන්‍ය සමීකරණය.

සමීකරණයේ දෙපැත්ත නම් Ax + Wu + C = 0අංකයෙන් බෙදන්න යනුවෙන් හැඳින්වේ

සාමාන්යකරණ සාධකය, එතකොට අපිට ලැබෙනවා

xcosφ + ysinφ - p = 0 -රේඛාවක සාමාන්‍ය සමීකරණය.

සාමාන්‍යකරණ සාධකයේ ± ලකුණ තෝරාගත යුතුය μ*සී< 0.

ආර්- මූලාරම්භයේ සිට සරල රේඛාව දක්වා පහත වැටී ඇති ලම්බක දිග,

ඒ φ - අක්ෂයේ ධනාත්මක දිශාව සමඟ මෙම ලම්බකව පිහිටුවා ඇති කෝණය ඔහ්.

උදාහරණය. රේඛාවේ පොදු සමීකරණය ලබා දී ඇත 12x - 5y - 65 = 0. විවිධ ආකාරයේ සමීකරණ ලිවීමට අවශ්‍ය වේ

මෙම සරල රේඛාව.

කොටස්වල මෙම රේඛාවේ සමීකරණය:

බෑවුම සමඟ මෙම රේඛාවේ සමීකරණය: (5 න් බෙදන්න)

රේඛාවක සමීකරණය:

cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p = 5.

සෑම සරල රේඛාවක්ම කොටස්වල සමීකරණයකින් නිරූපණය කළ නොහැකි බව සැලකිල්ලට ගත යුතුය, උදාහරණයක් ලෙස සරල රේඛා,

අක්ෂවලට සමාන්තරව හෝ සම්භවය හරහා ගමන් කරයි.

ගුවන් යානයක සරල රේඛා අතර කෝණය.

අර්ථ දැක්වීම. පේලි දෙකක් දුන්නොත් y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2, එවිට මෙම රේඛා අතර තියුණු කෝණය

ලෙස අර්ථ දක්වනු ඇත

රේඛා දෙකක් නම් සමාන්තර වේ k 1 = k 2. රේඛා දෙකක් ලම්බක වේ

නම් k 1 = -1/ k 2 .

ප්රමේයය.

සෘජු Ax + Wu + C = 0සහ A 1 x + B 1 y + C 1 = 0සංගුණක සමානුපාතික වන විට සමාන්තරව

A 1 = λA, B 1 = λB. එසේම නම් С 1 = λС, එවිට රේඛා සමපාත වේ. පේළි දෙකක ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්යයේ ඛණ්ඩාංක

මෙම රේඛාවල සමීකරණ පද්ධතියට විසඳුමක් ලෙස සොයාගෙන ඇත.

දී ඇති රේඛාවකට ලම්බකව දී ඇති ලක්ෂ්‍යයක් හරහා ගමන් කරන රේඛාවක සමීකරණය.

අර්ථ දැක්වීම. ලක්ෂ්‍යයක් හරහා ගමන් කරන රේඛාව M 1 (x 1, y 1)සහ රේඛාවට ලම්බකව y = kx + b

සමීකරණය මගින් නිරූපණය කෙරේ:

ලක්ෂ්‍යයක සිට රේඛාවකට ඇති දුර.

ප්රමේයය. පොයින්ට් එකක් දුන්නොත් M(x 0, y 0),එවිට සරල රේඛාවට ඇති දුර Ax + Wu + C = 0ලෙස අර්ථ දක්වා ඇත:

සාක්ෂි. කාරණයට ඉඩ දෙන්න M 1 (x 1, y 1)- ලක්ෂ්‍යයක සිට පහත වැටුණු ලම්බක පාදය එම්දී ඇති එකක් සඳහා

සෘජු. එවිට ලකුණු අතර දුර එම්සහ එම් 1:

(1)

ඛණ්ඩාංක x 1සහ 1 ටසමීකරණ පද්ධතියට විසඳුමක් ලෙස සොයාගත හැකිය:

පද්ධතියේ දෙවන සමීකරණය වන්නේ ලබා දී ඇති ලක්ෂ්‍යයක් හරහා M 0 ලම්බකව ගමන් කරන සරල රේඛාවක සමීකරණයයි.

සරල රේඛාවක් ලබා දී ඇත. අපි පද්ධතියේ පළමු සමීකරණය ආකෘතියට පරිවර්තනය කරන්නේ නම්:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

එවිට, විසඳා, අපට ලැබෙන්නේ:

මෙම ප්‍රකාශන (1) සමීකරණයට ආදේශ කිරීමෙන් අපට හමු වන්නේ:

ප්රමේයය ඔප්පු කර ඇත.