Gaussian ක්‍රමය උදාහරණ භාවිතා කරමින් slough විසඳීම. Gaussian ක්රමය (නොදන්නා අනුක්රමික ඉවත් කිරීම). ඩමි සඳහා විසඳුම් සඳහා උදාහරණ

අපි රේඛීය සමීකරණ පද්ධති දිගටම සලකා බලමු. මෙම පාඩම මාතෘකාව පිළිබඳ තුන්වන පාඩමයි. ඔබට සාමාන්‍යයෙන් රේඛීය සමීකරණ පද්ධතියක් යනු කුමක්ද යන්න පිළිබඳ නොපැහැදිලි අදහසක් තිබේ නම්, ඔබට තේ පෝච්චියක් ලෙස හැඟේ නම්, ඊළඟ පිටුවේ ඇති මූලික කරුණු සමඟ ආරම්භ කිරීමට මම නිර්දේශ කරමි, පාඩම අධ්‍යයනය කිරීම ප්‍රයෝජනවත් වේ.

Gaussian ක්රමය පහසුයි!ඇයි? සුප්‍රසිද්ධ ජර්මානු ගණිතඥයෙකු වූ ජොහාන් කාල් ෆ්‍රෙඩ්රික් ගවුස්, ඔහුගේ ජීවිත කාලය තුළ, සර්වකාලීන ශ්‍රේෂ්ඨතම ගණිතඥයා, ප්‍රතිභාව සහ “ගණිතයේ රජු” යන අන්වර්ථ නාමයෙන් පවා පිළිගැනීමට ලක් විය. ඔබ දන්නා පරිදි සෑම දෙයක්ම සරලයි!මාර්ගය වන විට, උරා බොන අයට මුදල් පමණක් නොව, දක්ෂයින් ද ලැබේ - ගවුස්ගේ පින්තූරය ඩොයිෂ්මාර්ක් 10 මුදල් නෝට්ටුවේ (යුරෝව හඳුන්වා දීමට පෙර) තිබූ අතර, ගවුස් තවමත් සාමාන්‍ය තැපැල් මුද්දර වලින් ජර්මානුවන් දෙස අභිරහස් ලෙස සිනාසෙයි.

Gauss ක්‍රමය සරල වන්නේ එය ප්‍රගුණ කිරීමට පස්වන ශ්‍රේණියේ සිසුවෙකුගේ දැනුම ප්‍රමාණවත් වන බැවිනි. එකතු කිරීම සහ ගුණ කිරීම ඔබ දැන සිටිය යුතුය!පාසල් ගණිතය තේරීම්වලදී නොදන්නා අය අනුක්‍රමිකව බැහැර කිරීමේ ක්‍රමය ගුරුවරුන් බොහෝ විට සලකා බැලීම අහම්බයක් නොවේ. එය විරුද්ධාභාසයකි, නමුත් සිසුන්ට වඩාත් දුෂ්කර වන්නේ Gaussian ක්රමයයි. පුදුම වීමට කිසිවක් නැත - ඒ සියල්ල ක්‍රමවේදය ගැන වන අතර, මම ක්‍රමයේ ඇල්ගොරිතම ගැන ප්‍රවේශ විය හැකි ආකාරයෙන් කතා කිරීමට උත්සාහ කරමි.

පළමුව, රේඛීය සමීකරණ පද්ධති පිළිබඳ කුඩා දැනුමක් ක්රමානුකූලව සකස් කරමු. රේඛීය සමීකරණ පද්ධතියකට කළ හැක්කේ:

1) අද්විතීය විසඳුමක් ඇත. 2) අසීමිත විසඳුම් ඇත. 3) විසඳුම් නැත (වෙන්න ඒකාබද්ධ නොවන).

Gauss ක්රමය විසඳුමක් සොයා ගැනීම සඳහා වඩාත්ම බලවත් හා විශ්වීය මෙවලම වේ ඕනෑමරේඛීය සමීකරණ පද්ධති. අපට මතක ඇති පරිදි, ක්‍රේමර්ගේ රීතිය සහ අනුකෘති ක්‍රමයපද්ධතියට අසීමිත විසඳුම් ඇති හෝ නොගැලපෙන අවස්ථාවන්හිදී නුසුදුසු වේ. සහ නොදන්නා දේ අනුක්‍රමිකව ඉවත් කිරීමේ ක්‍රමය කොහොම හරිපිළිතුර වෙත අපව යොමු කරනු ඇත! මෙම පාඩමේදී, අපි නැවතත් අංක 1 (පද්ධතියට ඇති එකම විසඳුම) සඳහා Gauss ක්රමය සලකා බලමු, අංක 2-3 ලක්ෂ්යවල තත්ත්වයන් සඳහා ලිපියක් කැප කර ඇත. මෙම ක්‍රමයේ ඇල්ගොරිතම අවස්ථා තුනේදීම එකම ලෙස ක්‍රියා කරන බව මම සටහන් කරමි.

පාඩමෙන් සරලම පද්ධතිය වෙත ආපසු යමු රේඛීය සමීකරණ පද්ධතියක් විසඳන්නේ කෙසේද?සහ Gaussian ක්රමය භාවිතයෙන් එය විසඳන්න.

පළමු පියවර වන්නේ ලිවීමයි දිගු පද්ධති අනුකෘතිය: . සංගුණක ලියා ඇත්තේ කුමන මූලධර්මයකින්ද යන්න සෑම කෙනෙකුටම දැකිය හැකි යැයි මම සිතමි. න්‍යාසය තුළ ඇති සිරස් රේඛාවට කිසිදු ගණිතමය අර්ථයක් නොමැත - එය සරලව සැලසුම් කිරීමේ පහසුව සඳහා වූ පහරකි.

යොමුව : ඔබ මතක තබා ගැනීමට මම නිර්දේශ කරමි කොන්දේසි රේඛීය වීජ ගණිතය. පද්ධති Matrix නොදන්නා අය සඳහා සංගුණක වලින් පමණක් සමන්විත න්‍යාසයකි, මෙම උදාහරණයේ පද්ධතියේ න්‍යාසය: . Extended System Matrix - මෙය පද්ධතියේ එකම න්‍යාසය සහ නිදහස් නියමවල තීරුවකි, මෙම අවස්ථාවේදී: . කෙටිකතාව සඳහා, ඕනෑම න්‍යාසයක් සරලව න්‍යාසයක් ලෙස හැඳින්විය හැක.

විස්තීරණ පද්ධති න්‍යාසය ලියා ඇති පසු, එය සමඟ ක්‍රියා කිහිපයක් සිදු කිරීම අවශ්‍ය වේ, ඒවා ද හැඳින්වේ මූලික පරිවර්තනයන්.

පහත සඳහන් මූලික පරිවර්තනයන් පවතී:

1) නූල් matrices පුළුවන් නැවත සකස් කරන්නසමහර තැන් වල. උදාහරණයක් ලෙස, සලකා බලනු ලබන අනුකෘතියේ, ඔබට පළමු සහ දෙවන පේළි වේදනා රහිතව නැවත සකස් කළ හැකිය:

2) අනුකෘතියේ සමානුපාතික (විශේෂ අවස්ථාවක් ලෙස - සමාන) පේළි තිබේ නම් (හෝ පෙනී ගොස් තිබේ නම්, ඔබ කළ යුත්තේ මකා දමන්නමෙම පේළි සියල්ලම න්‍යාසයෙන් එකක් හැර. උදාහරණයක් ලෙස, matrix සලකා බලන්න . මෙම න්‍යාසයේ, අවසාන පේළි තුන සමානුපාතික වේ, එබැවින් ඒවායින් එකක් පමණක් තැබීම ප්‍රමාණවත් වේ: .

3) පරිවර්තන අතරතුර අනුකෘතියේ ශුන්‍ය පේළියක් දිස්වන්නේ නම්, එය ද විය යුතුය මකා දමන්න. මම අඳින්නේ නැහැ, ඇත්ත වශයෙන්ම, ශුන්‍ය රේඛාව යනු රේඛාවයි සියලු බිංදු.

4) matrix පේළිය විය හැක ගුණ කරන්න (බෙදීම)ඕනෑම අංකයකට ශුන්ය නොවන. උදාහරණයක් ලෙස, matrix සලකා බලන්න. මෙහිදී පළමු පේළිය –3 න් බෙදීම සහ දෙවන පේළිය 2 න් ගුණ කිරීම සුදුසුය. . මෙම ක්‍රියාව ඉතා ප්‍රයෝජනවත් වන්නේ එය අනුකෘතියේ තවත් පරිවර්තනයන් සරල කරන බැවිනි.

5) මෙම පරිවර්තනය වඩාත් දුෂ්කරතා ඇති කරයි, නමුත් ඇත්ත වශයෙන්ම සංකීර්ණ කිසිවක් නොමැත. ඔබට හැකි අනුකෘතියක පේළියකට අංකයකින් ගුණ කළ තවත් තන්තුවක් එක් කරන්න, බිංදුවට වඩා වෙනස්. ප්‍රායෝගික උදාහරණයකින් අපගේ අනුකෘතිය දෙස බලමු: . මුලින්ම මම පරිවර්තනය ඉතා විස්තරාත්මකව විස්තර කරමි. පළමු පේළිය –2 න් ගුණ කරන්න: , සහ දෙවන පේළියට අපි පළමු පේළිය -2 න් ගුණ කරමු: . දැන් පළමු පේළිය "ආපසු" -2: න් බෙදිය හැකිය. ඔබට පෙනෙන පරිදි, එකතු කරන ලද රේඛාව LI – වෙනස් වී නැත. සෑම විටමඑකතු කරන ලද රේඛාව වෙනස් වේ යූ.ටී.

ප්රායෝගිකව, ඇත්ත වශයෙන්ම, ඔවුන් එය එතරම් විස්තරාත්මකව ලියන්නේ නැත, නමුත් එය කෙටියෙන් ලියන්න: නැවත වරක්: දෙවන පේළියට පළමු පේළිය -2 න් ගුණ කරන ලදී. රේඛාවක් සාමාන්‍යයෙන් වාචිකව හෝ කෙටුම්පතක් මත ගුණ කරනු ලැබේ, මානසික ගණනය කිරීමේ ක්‍රියාවලිය මේ වගේ දෙයක් සිදු වේ:

"මම අනුකෘතිය නැවත ලියන අතර පළමු පේළිය නැවත ලියන්නෙමි: »

"පළමු තීරුව. පතුලේ මට බිංදුව ලබා ගත යුතුය. එබැවින්, මම ඉහළින් ඇති එක –2: න් ගුණ කර, පළමු පේළියට පළමු එක එකතු කරමි: 2 + (–2) = 0. මම ප්‍රතිඵලය දෙවන පේළියේ ලියන්නෙමි: »

“දැන් දෙවන තීරුව. ඉහළින්, මම -1 න් -2: ගුණ කරමි. මම දෙවන පේළියට පළමුවැන්න එකතු කරමි: 1 + 2 = 3. මම දෙවන පේළියේ ප්රතිඵලය ලියන්නෙමි: »

“සහ තුන්වන තීරුව. ඉහළින් මම -5 -2 න් ගුණ කරමි. මම දෙවන පේළියට පළමු එක එකතු කරමි: –7 + 10 = 3. මම දෙවන පේළියේ ප්රතිඵලය ලියන්නෙමි: »

කරුණාකර මෙම උදාහරණය හොඳින් වටහාගෙන අනුක්‍රමික ගණනය කිරීමේ ඇල්ගොරිතම තේරුම් ගන්න, ඔබ මෙය තේරුම් ගන්නේ නම්, Gaussian ක්‍රමය ප්‍රායෝගිකව ඔබේ සාක්කුවේ ඇත. එහෙත්, ඇත්ත වශයෙන්ම, අපි තවමත් මෙම පරිවර්තනය මත වැඩ කරන්නෙමු.

මූලික පරිවර්තනයන් සමීකරණ පද්ධතියේ විසඳුම වෙනස් නොකරයි

! අවධානය: හැසිරවීම් ලෙස සැලකේ භාවිතා කළ නොහැක, න්‍යාස "තමන් විසින්ම" ලබා දෙන කාර්යයක් ඔබට පිරිනමන්නේ නම්. උදාහරණයක් ලෙස, "සම්භාව්ය" සමඟ matrices සමඟ මෙහෙයුම්කිසිම අවස්ථාවක ඔබ matrices තුළ කිසිවක් නැවත සකස් නොකළ යුතුය! අපි අපේ පද්ධතියට ආපසු යමු. එය ප්රායෝගිකව කෑලි වලට ගෙන ඇත.

අපි පද්ධතියේ විස්තීර්ණ න්‍යාසය ලියා ප්‍රාථමික පරිවර්තන භාවිතා කර එය අඩු කරමු පියවර දසුන:

(1) පළමු පේළිය දෙවන පේළියට එකතු කරන ලද අතර, එය –2 න් ගුණ කර ඇත. නැවතත්: අපි පළමු පේළිය –2 න් ගුණ කරන්නේ ඇයි? පහළින් බිංදුව ලබා ගැනීම සඳහා, එනම් දෙවන පේළියේ එක් විචල්‍යයක් ඉවත් කිරීම.

(2) දෙවන පේළිය 3න් බෙදන්න.

මූලික පරිවර්තනයන්හි අරමුණ – අනුකෘතිය පියවරෙන් පියවර ආකෘතියට අඩු කරන්න: . කාර්යය සැලසුම් කිරීමේදී, ඔවුන් සරල පැන්සලකින් “පඩිපෙළ” සලකුණු කරන අතර “පියවර” මත පිහිටා ඇති අංක රවුම් කරයි. "පියවර දැක්ම" යන පදය මුළුමනින්ම න්‍යායාත්මක නොවේ, එය බොහෝ විට විද්‍යාත්මක හා අධ්‍යාපනික සාහිත්‍යයේ හැඳින්වේ trapezoidal දර්ශනයහෝ ත්රිකෝණාකාර දර්ශනය.

මූලික පරිවර්තනවල ප්රතිඵලයක් වශයෙන්, අපි ලබා ගත්තා සමානමුල් සමීකරණ පද්ධතිය:

දැන් පද්ධතිය ප්‍රතිවිරුද්ධ දිශාවට “විසන්ධි” කළ යුතුය - පහළ සිට ඉහළට, මෙම ක්‍රියාවලිය ලෙස හැඳින්වේ Gaussian ක්රමයේ ප්රතිලෝම.

පහළ සමීකරණයේ දී අපට දැනටමත් සූදානම් කළ ප්රතිඵලය ඇත: .

පද්ධතියේ පළමු සමීකරණය සලකා බලා “y” හි දැනටමත් දන්නා අගය ආදේශ කරමු:

Gaussian ක්‍රමයට නොදන්නා කරුණු තුනක් සහිත රේඛීය සමීකරණ තුනක පද්ධතියක් විසඳීමට අවශ්‍ය වූ විට වඩාත් පොදු තත්ත්වය සලකා බලමු.

උදාහරණ 1

Gauss ක්‍රමය භාවිතා කරමින් සමීකරණ පද්ධතිය විසඳන්න:

අපි පද්ධතියේ විස්තීරණ අනුකෘතිය ලියන්නෙමු:

විසඳුම අතරතුර අප පැමිණෙන ප්‍රති result ලය දැන් මම වහාම අඳින්නෙමි: තවද මම නැවතත් කියමි, අපගේ ඉලක්කය වන්නේ මූලික පරිවර්තන භාවිතයෙන් අනුකෘතිය පියවරෙන් පියවර ආකෘතියකට ගෙන ඒමයි. ආරම්භ කළ යුත්තේ කොතැනින්ද?

පළමුව, ඉහළ වම්පස අංකය බලන්න: සෑම විටම පාහේ මෙහි සිටිය යුතුය ඒකකය. සාමාන්‍යයෙන් කිවහොත්, –1 (සහ සමහර විට වෙනත් සංඛ්‍යා) සිදු කරනු ඇත, නමුත් කෙසේ හෝ සම්ප්‍රදායිකව සිදුවී ඇත්තේ එකක් සාමාන්‍යයෙන් එහි තැබීමයි. ඒකකයක් සංවිධානය කරන්නේ කෙසේද? අපි පළමු තීරුව දෙස බලමු - අපට නිමි ඒකකයක් තිබේ! පරිවර්තනය එක: පළමු සහ තුන්වන පේළි මාරු කරන්න:

දැන් පළමු පේළිය විසඳුමේ අවසානය දක්වා නොවෙනස්ව පවතිනු ඇත. එය දැනටමත් පහසු ය.

ඉහළ වම් කෙළවරේ ඒකකය සංවිධානය කර ඇත. දැන් ඔබට මෙම ස්ථානවල බිංදු ලබා ගත යුතුය:

"දුෂ්කර" පරිවර්තනයක් භාවිතයෙන් අපි ශුන්ය ලබා ගනිමු. පළමුව අපි දෙවන පේළිය (2, -1, 3, 13) සමඟ කටයුතු කරමු. පළමු ස්ථානයේ බිංදුව ලබා ගැනීමට කුමක් කළ යුතුද? අවශ්යයි දෙවන පේළියට පළමු පේළිය -2 න් ගුණ කරන්න. මානසිකව හෝ කෙටුම්පතක් මත, පළමු පේළිය –2 න් ගුණ කරන්න: (-2, –4, 2, –18). තවද අපි අඛණ්ඩව (නැවත මානසිකව හෝ කෙටුම්පතක් මත) එකතු කිරීම සිදු කරන්නෙමු, දෙවන පේළියට අපි පළමු පේළිය එකතු කරමු, දැනටමත් -2 න් ගුණ කර ඇත:

අපි දෙවන පේළියේ ප්රතිඵලය ලියන්නෙමු:

අපි තුන්වන පේළිය සමඟ එකම ආකාරයකින් කටයුතු කරමු (3, 2, -5, -1). පළමු ස්ථානයේ ශුන්යයක් ලබා ගැනීමට, ඔබට අවශ්ය වේ තුන්වන පේළියට පළමු පේළිය -3 න් ගුණ කරන්න. මානසිකව හෝ කෙටුම්පතක් මත, පළමු පේළිය –3 න් ගුණ කරන්න: (–3, –6, 3, –27). සහ තුන්වන පේළියට අපි පළමු පේළිය -3 න් ගුණ කරමු:

අපි තුන්වන පේළියේ ප්රතිඵලය ලියන්නෙමු:

ප්රායෝගිකව, මෙම ක්රියාවන් සාමාන්යයෙන් වාචිකව සිදු කරනු ලබන අතර එක් පියවරක් තුළ ලියා ඇත:

සෑම දෙයක්ම එකවර සහ එකවර ගණන් කිරීම අවශ්ය නොවේ. ගණනය කිරීම් අනුපිළිවෙල සහ ප්රතිඵල "ඇතුල් කිරීම" ස්ථාවරසහ සාමාන්‍යයෙන් එය මේ වගේ ය: පළමුව අපි පළමු පේළිය නැවත ලියන්නෙමු, සහ සෙමින් අපවම පිම්බෙමු - අඛණ්ඩව සහ අවධානයෙන්:
ඉහත ගණනය කිරීම් වල මානසික ක්‍රියාවලිය මම දැනටමත් සාකච්ඡා කර ඇත.

මෙම උදාහරණයේ දී, අපි දෙවන පේළිය -5 න් බෙදන්නෙමු (සියලුම සංඛ්‍යා ඉතිරියක් නොමැතිව 5 න් බෙදිය හැකි බැවින්). ඒ අතරම, අපි තුන්වන පේළිය –2 න් බෙදන්නෙමු, මන්ද අංක කුඩා වන තරමට විසඳුම සරල ය:

මූලික පරිවර්තනයන්හි අවසාන අදියරේදී, ඔබට මෙහි තවත් ශුන්‍යයක් ලබා ගත යුතුය:

මේ වෙනුවෙන් තුන්වන පේළියට අපි දෙවන පේළිය -2 න් ගුණ කරමු:
මෙම ක්‍රියාව ඔබම හඳුනා ගැනීමට උත්සාහ කරන්න - මානසිකව දෙවන පේළිය –2 න් ගුණ කර එකතු කිරීම සිදු කරන්න.

සිදු කරන ලද අවසාන ක්රියාව ප්රතිඵලයේ කොණ්ඩා මෝස්තරය, තුන්වන පේළිය 3 න් බෙදන්න.

මූලික පරිවර්තනයන්හි ප්‍රතිඵලයක් ලෙස, රේඛීය සමීකරණවල සමාන පද්ධතියක් ලබා ගන්නා ලදී: සිසිල්.

දැන් ක්‍රියාත්මක වන්නේ Gaussian ක්‍රමයේ ප්‍රතිවිරුද්ධයයි. සමීකරණ පහළ සිට ඉහළට "විවරණය".

තුන්වන සමීකරණයේදී අපට දැනටමත් සූදානම් ප්රතිඵලය තිබේ:

අපි දෙවන සමීකරණය දෙස බලමු: . "zet" යන්නෙහි තේරුම දැනටමත් දැනගෙන ඇත, මේ අනුව:

අවසාන වශයෙන්, පළමු සමීකරණය: . "Igrek" සහ "zet" දන්නා අතර, එය කුඩා දේවල් පිළිබඳ කාරණයක් පමණි:

උත්තර දෙන්න:

නැවත නැවතත් සඳහන් කර ඇති පරිදි, ඕනෑම සමීකරණ පද්ධතියක් සඳහා, සොයාගත් විසඳුම පරීක්ෂා කිරීමට හැකි සහ අවශ්ය වේ, වාසනාවකට මෙන්, මෙය පහසු සහ ඉක්මන් වේ.

උදාහරණය 2

මෙය ස්වාධීන විසඳුමක් සඳහා උදාහරණයක්, අවසාන සැලසුමේ නියැදියක් සහ පාඩම අවසානයේ පිළිතුරකි.

ඔබගේ බව සඳහන් කළ යුතුය තීරණයේ ප්‍රගතියමගේ තීරණ ක්‍රියාවලිය සමග සමපාත නොවිය හැක, සහ මෙය Gauss ක්රමයේ ලක්ෂණයකි. නමුත් පිළිතුරු සමාන විය යුතුය!

උදාහරණය 3

Gauss ක්‍රමය භාවිතයෙන් රේඛීය සමීකරණ පද්ධතියක් විසඳන්න

අපි ඉහළ වම් "පියවර" දෙස බලමු. අපට එහි ඒකකයක් තිබිය යුතුය. ගැටළුව වන්නේ පළමු තීරුවේ ඒකක කිසිවක් නොමැති වීමයි, එබැවින් පේළි නැවත සකස් කිරීම කිසිවක් විසඳන්නේ නැත. එවැනි අවස්ථාවන්හිදී, ඒකකය මූලික පරිවර්තනයක් භාවිතයෙන් සංවිධානය කළ යුතුය. මෙය සාමාන්යයෙන් ක්රම කිහිපයකින් කළ හැකිය. මම මෙය කළෙමි: (1) පළමු පේළියට අපි දෙවන පේළිය එකතු කරමු, -1 න් ගුණ කරන්න. එනම්, අපි මානසිකව දෙවන පේළිය –1 න් ගුණ කර පළමු සහ දෙවන පේළි එකතු කළ අතර දෙවන පේළිය වෙනස් නොවීය.

දැන් ඉහළ වම් පසින් “අඩුම එකක්” ඇත, එය අපට හොඳින් ගැලපේ. +1 ලබා ගැනීමට කැමති ඕනෑම කෙනෙකුට අතිරේක චලනයක් සිදු කළ හැකිය: පළමු පේළිය –1 න් ගුණ කරන්න (එහි ලකුණ වෙනස් කරන්න).

(2) පළමු පේළිය 5 න් ගුණ කළ පේළිය දෙවන පේළියට එකතු කරන ලදී 3 න් ගුණ කළ පළමු පේළිය තුන්වන පේළියට.

(3) පළමු පේළිය -1 න් ගුණ කරන ලදී, ප්‍රතිපත්තිමය වශයෙන්, මෙය අලංකාරය සඳහා වේ. තුන්වන පේළියේ සලකුණ ද වෙනස් කරන ලද අතර එය දෙවන ස්ථානයට ගෙන යන ලද අතර, දෙවන "පියවර" මත අපට අවශ්ය ඒකකය තිබිණි.

(4) දෙවන පේළිය තුන්වන පේළියට එකතු කර, 2 න් ගුණ කරන ලදී.

(5) තුන්වන පේළිය 3 න් බෙදන ලදී.

ගණනය කිරීම් වල දෝෂයක් පෙන්නුම් කරන නරක ලකුණක් (වඩා කලාතුරකින්, ටයිප් කිරීම) "නරක" පහළ රේඛාවකි. එනම්, අපට , පහත, සහ, ඒ අනුව, වැනි දෙයක් ලැබුනේ නම්, , එවිට ඉහළ සම්භාවිතාවක් සහිතව අපට ප්‍රාථමික පරිවර්තන වලදී දෝෂයක් සිදු වූ බව පැවසිය හැකිය.

අපි ප්‍රතිලෝම ආරෝපණය කරමු, උදාහරණ සැලසුම් කිරීමේදී ඔවුන් බොහෝ විට පද්ධතියම නැවත ලියන්නේ නැත, නමුත් සමීකරණ "දී ඇති න්‍යාසයෙන් කෙලින්ම ගනු ලැබේ." ප්‍රතිලෝම පහර, මම ඔබට මතක් කරමි, පහළ සිට ඉහළට ක්‍රියා කරයි. ඔව්, මෙන්න තෑග්ගක්:

උත්තර දෙන්න: .

උදාහරණය 4

Gauss ක්‍රමය භාවිතයෙන් රේඛීය සමීකරණ පද්ධතියක් විසඳන්න

මෙය ඔබට තනිවම විසඳා ගැනීමට උදාහරණයක් වේ, එය තරමක් සංකීර්ණ වේ. කාට හරි අවුල් ගියාට කමක් නෑ. පාඩම අවසානයේ සම්පූර්ණ විසඳුම සහ නියැදි නිර්මාණය. ඔබේ විසඳුම මගේ විසඳුමට වඩා වෙනස් විය හැකිය.

පසුගිය කොටසින් අපි Gaussian ඇල්ගොරිතමයේ විශේෂාංග කිහිපයක් බලමු. පළමු ලක්ෂණය නම් සමහර විට පද්ධති සමීකරණ වලින් සමහර විචල්‍යයන් අතුරුදහන් වීමයි, උදාහරණයක් ලෙස: විස්තීරණ පද්ධති අනුකෘතිය නිවැරදිව ලියන්නේ කෙසේද? මම දැනටමත් පන්තියේදී මේ කාරණය ගැන කතා කළා. ක්රේමර්ගේ රීතිය. Matrix ක්රමය. පද්ධතියේ විස්තීරණ න්‍යාසය තුළ, නැතිවූ විචල්‍යයන් වෙනුවට අපි ශුන්‍ය තබමු: මාර්ගය වන විට, මෙය තරමක් පහසු උදාහරණයකි, මන්ද පළමු තීරුවේ දැනටමත් එක් බිංදුවක් ඇති අතර, ඉටු කිරීමට ප්‍රාථමික පරිවර්තනයන් අඩුය.

දෙවන ලක්ෂණය මෙයයි. සලකා බැලූ සියලුම උදාහරණ වලදී, අපි "පියවර" මත -1 හෝ +1 තැබුවෙමු. එහි වෙනත් අංක තිබිය හැකිද? සමහර අවස්ථාවලදී ඔවුන්ට පුළුවන්. පද්ධතිය සලකා බලන්න: .

මෙන්න ඉහළ වම් "පියවර" මත අපට දෙකක් තිබේ. නමුත් පළමු තීරුවේ ඇති සියලුම සංඛ්‍යා ඉතිරියකින් තොරව 2 න් බෙදිය හැකි බව අපි දකිමු - අනෙක දෙක සහ හය වේ. ඒවගේම වම් පැත්තේ උඩ තියෙන දෙක අපිට ගැලපෙනවා! පළමු පියවරේදී, ඔබ පහත පරිවර්තනයන් සිදු කළ යුතුය: පළමු පේළිය -1 න් ගුණ කළ දෙවන පේළියට එක් කරන්න; තුන්වන පේළියට පළමු පේළිය -3 න් ගුණ කරන්න. මේ ආකාරයට පළමු තීරුවෙන් අපට අවශ්‍ය බිංදු ලැබේ.

හෝ වෙනත් සාම්ප්රදායික උදාහරණයක්: . 12 (ශුන්‍යය ලබා ගැනීමට අවශ්‍ය ස්ථානය) ඉතිරියක් නොමැතිව 3 න් බෙදිය හැකි බැවින් මෙහි දෙවන “පියවරේ” තුනද අපට ගැලපේ. පහත දැක්වෙන පරිවර්තනය සිදු කිරීම අවශ්ය වේ: දෙවන පේළිය තුන්වන පේළියට එකතු කරන්න, -4 න් ගුණ කරන්න, එහි ප්රතිඵලයක් වශයෙන් අපට අවශ්ය ශුන්යය ලැබෙනු ඇත.

Gauss ගේ ක්‍රමය විශ්වීය ය, නමුත් එක් විශේෂත්වයක් ඇත. වෙනත් ක්‍රම භාවිතා කරමින් පද්ධති විසඳීමට ඔබට විශ්වාසයෙන් ඉගෙන ගත හැකිය (ක්‍රේමර්ගේ ක්‍රමය, අනුකෘති ක්‍රමය) වචනාර්ථයෙන් පළමු වරට - ඒවාට ඉතා දැඩි ඇල්ගොරිතමයක් ඇත. නමුත් Gaussian ක්රමය තුළ විශ්වාසයක් ඇති කර ගැනීම සඳහා, ඔබ "ඔබේ දත් ඇතුල්" සහ අවම වශයෙන් 5-10 පද්ධති දහයක් විසඳා ගත යුතුය. එමනිසා, මුලින්ම ගණනය කිරීම් වලදී ව්යාකූලත්වය හා දෝෂ ඇති විය හැකි අතර, මේ සම්බන්ධයෙන් අසාමාන්ය හෝ ඛේදජනක කිසිවක් නොමැත.

ජනේලයෙන් පිටත වැසි සහිත සරත් කාලගුණය .... එබැවින්, වඩාත් සංකීර්ණ උදාහරණයක් තමන් විසින්ම විසඳා ගැනීමට කැමති සෑම කෙනෙකුටම:

උදාහරණ 5

Gauss ක්‍රමය භාවිතයෙන් නොදන්නා හතරක් සමඟ රේඛීය සමීකරණ 4 ක පද්ධතියක් විසඳන්න.

එවැනි කාර්යයක් ප්රායෝගිකව එතරම් දුර්ලභ නොවේ. මෙම පිටුව හොඳින් අධ්‍යයනය කළ තේ පෝච්චියකට පවා එවැනි පද්ධතියක් බුද්ධිමත්ව විසඳීමේ ඇල්ගොරිතම වැටහෙනු ඇතැයි මම සිතමි. මූලික වශයෙන්, සියල්ල එක හා සමානයි - තවත් ක්රියාවන් ඇත.

පද්ධතියට විසඳුම් නොමැති (නොගැලපෙන) හෝ අසීමිත විසඳුම් ඇති අවස්ථා පාඩමේදී සාකච්ඡා කෙරේ. පොදු විසඳුමක් සහිත නොගැලපෙන පද්ධති සහ පද්ධති. එහිදී ඔබට Gaussian ක්‍රමයේ සලකා බැලූ ඇල්ගොරිතම සවි කළ හැකිය.

මම ඔබට සාර්ථක වේවා!

විසඳුම් සහ පිළිතුරු:

උදාහරණ 2: විසඳුම : අපි පද්ධතියේ විස්තීරණ න්‍යාසය ලියා ප්‍රාථමික පරිවර්තන භාවිතා කර එය පියවරෙන් පියවර ආකෘතියකට ගෙන එමු.
සිදු කරන ලද මූලික පරිවර්තනයන්: (1) පළමු පේළිය දෙවන පේළියට එකතු කරන ලද අතර, එය –2 න් ගුණ කර ඇත. පළමු පේළිය තුන්වන පේළියට එකතු කරන ලද අතර, එය –1 න් ගුණ කර ඇත. අවධානය! මෙහිදී ඔබ තුන්වන පේළියෙන් පළමුවැන්න අඩු කිරීමට පෙළඹෙනු ඇත; එය නවන්න! (2) දෙවන පේළියේ ලකුණ වෙනස් කරන ලදී (-1 න් ගුණ කිරීම). දෙවන සහ තෙවන පේළි මාරු කර ඇත. කරුණාකර සටහන් කර ගන්න , "පියවර" මත අපි එකකින් පමණක් නොව -1 සමඟද සෑහීමකට පත් වන අතර එය වඩාත් පහසු වේ. (3) දෙවන පේළිය තුන්වන පේළියට එකතු කරන ලදී, එය 5 න් ගුණ කරන ලදී. (4) දෙවන පේළියේ ලකුණ වෙනස් කරන ලදී (-1 න් ගුණ කිරීම). තුන්වන පේළිය 14 න් බෙදා ඇත.

ආපසු:

උත්තර දෙන්න : .

උදාහරණ 4: විසඳුම : අපි පද්ධතියේ විස්තීර්ණ න්‍යාසය ලියා ප්‍රාථමික පරිවර්තන භාවිතා කරමින් එය පියවරෙන් පියවර ආකෘතියකට ගෙන යමු:

සිදු කරන ලද පරිවර්තන: (1) පළමු පේළියට දෙවන පේළියක් එකතු කරන ලදී. මේ අනුව, අපේක්ෂිත ඒකකය ඉහළ වම් "පියවර" මත සංවිධානය කර ඇත. (2) 7 න් ගුණ කළ පළමු පේළිය දෙවන පේළියට එකතු කරන ලදී 6 න් ගුණ කළ පළමු පේළිය තුන්වන පේළියට.

දෙවන "පියවර" සමඟ සෑම දෙයක්ම නරක අතට හැරේ , ඒ සඳහා "අපේක්ෂකයින්" අංක 17 සහ 23 වන අතර, අපට එකක් හෝ -1 අවශ්‍ය වේ. පරිවර්තනයන් (3) සහ (4) අපේක්ෂිත ඒකකය ලබා ගැනීම අරමුණු කර ගනු ඇත (3) දෙවන පේළිය තුන්වන පේළියට එකතු කරන ලද අතර, එය –1 න් ගුණ කර ඇත. (4) තුන්වන පේළිය දෙවන පේළියට එකතු කරන ලද අතර, එය –3 න් ගුණ කරන ලදී. දෙවන පියවරේ අවශ්ය අයිතමය ලැබී ඇත. . (5) දෙවන පේළිය තුන්වන පේළියට එකතු කර, 6 න් ගුණ කරන ලදී. (6) දෙවන පේළිය –1 න් ගුණ කරන ලදී, තුන්වන පේළිය -83 න් බෙදන ලදී.

ආපසු:

උත්තර දෙන්න :

උදාහරණ 5: විසඳුම : අපි පද්ධතියේ න්‍යාසය ලියා ප්‍රාථමික පරිවර්තන භාවිතා කර එය පියවරෙන් පියවර ආකෘතියකට ගෙන යමු:

සිදු කරන ලද පරිවර්තන: (1) පළමු සහ දෙවන පේළි මාරු කර ඇත. (2) පළමු පේළිය දෙවන පේළියට එකතු කරන ලද අතර, එය –2 න් ගුණ කර ඇත. පළමු පේළිය තුන්වන පේළියට එකතු කරන ලද අතර, එය –2 න් ගුණ කර ඇත. පළමු පේළිය හතරවන පේළියට එකතු කරන ලද අතර, එය -3 න් ගුණ කර ඇත. (3) දෙවන පේළිය තුන්වන පේළියට එකතු කරන ලදී, 4 න් ගුණ කරන ලදී. දෙවන පේළිය සිව්වන පේළියට එකතු කරන ලදී, -1 න් ගුණ කරන ලදී. (4) දෙවන පේළියේ ලකුණ වෙනස් විය. සිව්වන පේළිය 3 න් බෙදූ අතර තුන්වන පේළිය වෙනුවට තබා ඇත. (5) තුන්වන පේළිය සිව්වන පේළියට එකතු කරන ලද අතර, එය –5 න් ගුණ කර ඇත.

ආපසු:

උත්තර දෙන්න :

රේඛීය වීජීය පද්ධති විසඳීම සඳහා විශ්වීය හා ඵලදායී ක්රමවලින් එකකි Gaussian ක්රමය , නොදන්නා දේ අනුක්‍රමිකව ඉවත් කිරීම සමන්විත වේ.

පද්ධති දෙක හැඳින්වෙන බව මතක තබා ගන්න සමාන (සමාන) ඒවායේ විසඳුම් කට්ටල සමපාත වන්නේ නම්. වෙනත් වචන වලින් කිවහොත්, ඒවායින් එකක සෑම විසඳුමක්ම අනෙකෙහි විසඳුමක් නම් සහ අනෙක් අතට පද්ධති සමාන වේ. සමාන පද්ධති ලබා ගන්නා විට මූලික පරිවර්තනයන් පද්ධතියේ සමීකරණ:

සමීකරණයේ දෙපැත්තම ශුන්‍ය නොවන සංඛ්‍යාවකින් ගුණ කිරීම;

ශුන්‍යයට වඩා වෙනත් සංඛ්‍යාවකින් ගුණ කළ තවත් සමීකරණයක අනුරූප කොටස් යම් සමීකරණයකට එකතු කිරීම;

සමීකරණ දෙකක් නැවත සකස් කිරීම.

සමීකරණ පද්ධතියක් ලබා දෙන්න

Gaussian ක්රමය භාවිතයෙන් මෙම පද්ධතිය විසඳීමේ ක්රියාවලිය අදියර දෙකකින් සමන්විත වේ. පළමු අදියරේදී (සෘජු චලිතය), පද්ධතිය, මූලික පරිවර්තන භාවිතා කරමින්, දක්වා අඩු වේ පියවරෙන් පියවර , හෝ ත්රිකෝණාකාර ආකෘතිය, සහ දෙවන අදියරේදී (ආපසු හැරවීම) අනුක්‍රමික, අවසාන විචල්‍ය සංඛ්‍යාවෙන් ආරම්භ වන අතර, ප්‍රතිඵලයක් ලෙස ලැබෙන පියවර පද්ධතියෙන් නොදන්නා දේ නිර්ණය කිරීම.

මෙම පද්ධතියේ සංගුණකය යැයි අපි උපකල්පනය කරමු
, එසේ නොමැති නම් පද්ධතියේ පළමු පේළිය වෙනත් ඕනෑම පේළියක් සමඟ මාරු කළ හැකි අතර එමඟින් සංගුණකය බිංදුවට වඩා වෙනස් විය.

නොදන්නා දේ ඉවත් කර පද්ධතිය පරිවර්තනය කරමු පළමු හැර අනෙකුත් සියලුම සමීකරණවල. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, පළමු සමීකරණයේ දෙපැත්තම ගුණ කරන්න සහ පද්ධතියේ දෙවන සමීකරණය සමඟින් පදය එක් කරන්න. ඉන්පසු පළමු සමීකරණයේ දෙපැත්තම ගුණ කරන්න සහ එය පද්ධතියේ තුන්වන සමීකරණයට එකතු කරන්න. මෙම ක්රියාවලිය දිගටම කරගෙන යාම, අපි සමාන පද්ධතියක් ලබා ගනිමු

මෙතන
- පළමු පියවරෙන් පසුව ලබා ගන්නා සංගුණකවල නව අගයන් සහ නිදහස් නියමයන්.

ඒ හා සමානව, ප්රධාන අංගය සලකා බැලීම
, නොදන්නා දේ බැහැර කරන්න පළමු සහ දෙවන හැර පද්ධතියේ සියලුම සමීකරණ වලින්. හැකි තාක් දුරට මෙම ක්‍රියාවලිය දිගටම කරගෙන යමු, එහි ප්‍රති result ලයක් ලෙස අපට පියවරෙන් පියවර ක්‍රමයක් ලැබෙනු ඇත

,

කොහෙද ,
,…,- පද්ධතියේ ප්රධාන අංග
.

පද්ධතිය පියවරෙන් පියවර ආකෘතියකට අඩු කිරීමේ ක්‍රියාවලියේදී, සමීකරණ දිස්වේ නම්, එනම්, පෝරමයේ සමානතා
, ඒවා ඕනෑම සංඛ්‍යා කට්ටලයකින් සෑහීමකට පත්වන බැවින් ඒවා ඉවත දමනු ලැබේ
.
දී නම්

විසඳුම් නොමැති පෝරමයේ සමීකරණයක් දිස්වන්නේ නම්, මෙය පද්ධතියේ නොගැලපීම පෙන්නුම් කරයි. ප්‍රතිලෝම ආඝාතයේදී, පළමු නොදන්නා දෙය පරිවර්තනය කරන ලද පියවර පද්ධතියේ අවසාන සමීකරණයෙන් ප්‍රකාශ වේ.
අනෙකුත් නොදන්නා සියල්ල හරහා යනුවෙන් හඳුන්වනු ලැබේ . නොමිලේ එවිට විචල්‍ය ප්‍රකාශනය
පද්ධතියේ අවසාන සමීකරණයෙන් අවසාන සමීකරණයට ආදේශ කර විචල්‍යය එයින් ප්‍රකාශ වේ
. විචල්‍යයන් සමාන ආකාරයකින් අනුක්‍රමිකව අර්ථ දක්වා ඇත
. විචල්යයන් , නිදහස් විචල්යයන් හරහා ප්රකාශිත, ලෙස හැඳින්වේ (යැපෙන). ප්රතිඵලය වන්නේ රේඛීය සමීකරණ පද්ධතියට පොදු විසඳුමකි.

සොයා ගැනීමට පුද්ගලික විසඳුම පද්ධති, නොමිලේ නොදන්නා
සාමාන්‍ය විසඳුමේදී අත්තනෝමතික අගයන් පවරනු ලබන අතර විචල්‍යවල අගයන් ගණනය කෙරේ.
.

තාක්ෂණික වශයෙන් වඩාත් පහසු වන්නේ පද්ධති සමීකරණවලට නොව, පද්ධතියේ විස්තීරණ අනුකෘතියට මූලික පරිවර්තනයන්ට යටත් වීමයි.

.

Gauss ක්‍රමය යනු විශ්වීය ක්‍රමයක් වන අතර එය හතරැස් පමණක් නොව හතරැස් පද්ධති ද විසඳා ගැනීමට ඉඩ සලසයි.
සමීකරණ ගණනට සමාන නොවේ
.

මෙම ක්‍රමයේ ඇති වාසිය නම්, විසඳීමේ ක්‍රියාවලියේදී අපි එකවරම විස්තීරණ අනුකෘතිය ලබා දී ඇති බැවින්, අනුකූලතාව සඳහා පද්ධතිය පරීක්ෂා කිරීමයි.
පියවරෙන් පියවර ආකෘතියට, අනුකෘතියේ ශ්රේණි තීරණය කිරීම පහසුය සහ විස්තීරණ අනුකෘතිය
සහ අයදුම් කරන්න Kronecker-Capelli theorem .

උදාහරණය 2.1 Gauss ක්රමය භාවිතයෙන් පද්ධතිය විසඳන්න

විසඳුම. සමීකරණ ගණන
සහ නොදන්නා සංඛ්යාව
.

න්‍යාසයේ දකුණට සංගුණක ලබා දීමෙන් පද්ධතියේ දිගු න්‍යාසයක් නිර්මාණය කරමු. නිදහස් සාමාජිකයින් තීරුව .

අපි matrix ඉදිරිපත් කරමු ත්රිකෝණාකාර දර්ශනයකට; මෙය සිදු කිරීම සඳහා, අපි මූලික පරිවර්තන භාවිතා කරමින් ප්‍රධාන විකර්ණයේ ඇති මූලද්‍රව්‍යවලට පහළින් “0” ලබා ගනිමු.

පළමු තීරුවේ දෙවන ස්ථානයේ "0" ලබා ගැනීමට, පළමු පේළිය (-1) න් ගුණ කර දෙවන පේළියට එක් කරන්න.

අපි මෙම පරිවර්තනය පළමු පේළියට එරෙහිව අංකය (-1) ලෙස ලියා පළමු පේළියේ සිට දෙවන පේළියට යන ඊතලයකින් එය දක්වන්නෙමු.

පළමු තීරුවේ තුන්වන ස්ථානයේ "0" ලබා ගැනීමට, පළමු පේළිය (-3) න් ගුණ කර තුන්වන පේළියට එක් කරන්න; පළමු පේළියේ සිට තුන්වන පේළියට යන ඊතලයක් භාවිතයෙන් මෙම ක්‍රියාව පෙන්වමු.

.

න්‍යාස දාමයේ දෙවනුව ලියා ඇති ප්‍රතිඵලයක් ලෙස ලැබෙන න්‍යාසයේ, අපට තුන්වන ස්ථානයේ දෙවන තීරුවේ "0" ලැබේ. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, අපි දෙවන පේළිය (-4) ගුණ කර එය තුන්වන එකට එකතු කරන්නෙමු. ලැබෙන න්‍යාසයේ, දෙවන පේළිය (-1) ගුණ කර, තෙවැන්න (-8) න් බෙදන්න. විකර්ණ මූලද්‍රව්‍යවලට පහළින් ඇති මෙම න්‍යාසයේ සියලුම මූලද්‍රව්‍ය ශුන්‍ය වේ.

මොකද , පද්ධතිය සහයෝගී සහ නිර්වචනය කර ඇත.

අවසාන න්‍යාසයට අනුරූප සමීකරණ පද්ධතියට ත්‍රිකෝණාකාර ආකාරයක් ඇත:

අවසාන (තුන්වන) සමීකරණයෙන්
. දෙවන සමීකරණයට ආදේශ කර ලබා ගන්න
.

අපි ආදේශ කරමු
සහ
පළමු සමීකරණය තුළ අපි සොයා ගනිමු


.

විසඳිය යුතු රේඛීය වීජීය සමීකරණ පද්ධතියක් ලබා දෙමු (පද්ධතියේ සෑම සමීකරණයක්ම සමානාත්මතාවයක් බවට පත් කරන නොදන්නා xi හි එවැනි අගයන් සොයා ගන්න).

රේඛීය වීජීය සමීකරණ පද්ධතියකට හැකි බව අපි දනිමු:

1) විසඳුම් නැත (වෙන්න ඒකාබද්ධ නොවන).
2) අසීමිත විසඳුම් ඇත.
3) තනි විසඳුමක් ඇත.

අපට මතක ඇති පරිදි, පද්ධතියට අසීමිත විසඳුම් ඇති හෝ නොගැලපෙන අවස්ථාවන්හිදී Cramer's rule සහ matrix ක්‍රමය සුදුසු නොවේ. Gauss ක්රමය – ඕනෑම රේඛීය සමීකරණ පද්ධතියකට විසඳුම් සෙවීම සඳහා වඩාත්ම බලගතු සහ බහුකාර්ය මෙවලම, කුමන සෑම අවස්ථාවකදීමපිළිතුර වෙත අපව යොමු කරනු ඇත! ක්‍රම ඇල්ගොරිතම අවස්ථා තුනේදීම ක්‍රියා කරයි. Cramer සහ matrix ක්‍රමවලට නිර්ණායක පිළිබඳ දැනුම අවශ්‍ය නම්, Gauss ක්‍රමය යෙදීම සඳහා ඔබට අවශ්‍ය වන්නේ අංක ගණිත මෙහෙයුම් පිළිබඳ දැනුමක් පමණක් වන අතර එමඟින් එය ප්‍රාථමික පාසල් සිසුන්ට පවා ප්‍රවේශ විය හැකිය.

වර්ධක අනුකෘති පරිවර්තනය ( මෙය පද්ධතියේ න්‍යාසයයි - නොදන්නා අයගේ සංගුණක වලින් පමණක් සමන්විත න්‍යාසයක් සහ නිදහස් පද තීරුවක්) Gauss ක්‍රමයේ රේඛීය වීජීය සමීකරණ පද්ධති:

1) සමඟ ට්රොකි matrices පුළුවන් නැවත සකස් කරන්නසමහර තැන් වල.

2) අනුකෘතියේ සමානුපාතික (විශේෂ අවස්ථාවක් ලෙස - සමාන) පේළි දිස්වන්නේ නම් (හෝ පවතී නම්), ඔබ කළ යුත්තේ මකා දමන්නමෙම පේළි සියල්ලම න්‍යාසයෙන් එකක් හැර.

3) පරිවර්තන අතරතුර අනුකෘතියේ ශුන්‍ය පේළියක් දිස්වන්නේ නම්, එය ද විය යුතුය මකා දමන්න.

4) අනුකෘතියේ පේළියක් විය හැක ගුණ කරන්න (බෙදීම)බිංදුව හැර වෙනත් ඕනෑම අංකයකට.

5) ඔබට හැකි matrix පේළියකට අංකයකින් ගුණ කළ තවත් තන්තුවක් එක් කරන්න, බිංදුවට වඩා වෙනස්.

Gauss ක්‍රමයේදී ප්‍රාථමික පරිවර්තනයන් සමීකරණ පද්ධතියේ විසඳුම වෙනස් නොකරයි.

Gauss ක්රමය අදියර දෙකකින් සමන්විත වේ:

1. "සෘජු චලනය" - මූලික පරිවර්තන භාවිතා කරමින්, රේඛීය වීජීය සමීකරණ පද්ධතියක දිගු න්‍යාසය "ත්‍රිකෝණාකාර" පියවර ආකාරයකට ගෙන එන්න: ප්‍රධාන විකර්ණයට පහළින් පිහිටා ඇති විස්තීරණ න්‍යාසයේ මූලද්‍රව්‍ය ශුන්‍යයට සමාන වේ (ඉහළ-පහළ චලනය). උදාහරණයක් ලෙස, මෙම වර්ගයට:

මෙය සිදු කිරීම සඳහා, පහත පියවර අනුගමනය කරන්න:

1) අපි රේඛීය වීජීය සමීකරණ පද්ධතියක පළමු සමීකරණය සලකා බලමු සහ x 1 සඳහා සංගුණකය K ට සමාන වේ. දෙවන, තෙවන, ආදිය. අපි සමීකරණ පහත පරිදි පරිවර්තනය කරමු: අපි එක් එක් සමීකරණය (නොදන්නා වූ සංගුණක, නිදහස් පද ඇතුළුව) එක් එක් සමීකරණයේ ඇති නොදන්නා x 1 හි සංගුණකයෙන් බෙදන්න, සහ K වලින් ගුණ කරන්න. මෙයින් පසු, අපි පළමු එක අඩු කරමු. දෙවන සමීකරණය (නොදන්නා සහ නිදහස් පදවල සංගුණක). දෙවන සමීකරණයේ x 1 සඳහා අපි සංගුණකය 0 ලබා ගනිමු. තුන්වන පරිවර්තන සමීකරණයෙන් අපි පළමු සමීකරණය හැර, නොදන්නා x 1 සඳහා සංගුණකය 0 වන තෙක් පළමු සමීකරණය අඩු කරමු.

2) අපි ඊළඟ සමීකරණයට යමු. M ට සමාන x 2 සඳහා වන දෙවන සමීකරණය සහ සංගුණකය මෙය වේවා. අපි ඉහත විස්තර කර ඇති පරිදි සියලුම "පහළ" සමීකරණ සමඟ ඉදිරියට යමු. මේ අනුව, නොදන්නා x 2 "යටින්" සියලු සමීකරණවල ශුන්ය වනු ඇත.

3) ඊළඟ සමීකරණය වෙත යන්න සහ අවසන් වරට නොදන්නා සහ පරිවර්තනය වූ නිදහස් පදය පවතින තුරු.

1. Gauss ක්‍රමයේ "ප්‍රතිලෝම චලනය" යනු රේඛීය වීජීය සමීකරණ පද්ධතියකට ("පහළ-ඉහළ" චලනය) විසඳුමක් ලබා ගැනීමයි.

අවසාන "පහළ" සමීකරණයෙන් අපි එක් පළමු විසඳුමක් ලබා ගනිමු - නොදන්නා x n. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, අපි A * x n = B යන මූලික සමීකරණය විසඳන්නෙමු. ඉහත දක්වා ඇති උදාහරණයේ, x 3 = 4. අපි සොයාගත් අගය "ඉහළ" ඊළඟ සමීකරණයට ආදේශ කර ඊළඟ නොදන්නා දේ සම්බන්ධයෙන් එය විසඳන්නෙමු. උදාහරණයක් ලෙස, x 2 - 4 = 1, i.e. x 2 = 5. අපි නොදන්නා සියල්ල සොයා ගන්නා තුරු.

උදාහරණය.

සමහර කතුවරුන් උපදෙස් දෙන පරිදි ගෝස් ක්‍රමය භාවිතයෙන් රේඛීය සමීකරණ පද්ධතිය විසඳමු:

අපි පද්ධතියේ විස්තීර්ණ න්‍යාසය ලියා ප්‍රාථමික පරිවර්තන භාවිතා කරමින් එය පියවරෙන් පියවර ආකෘතියකට ගෙන යමු:
අපි ඉහළ වම් "පියවර" දෙස බලමු. අපට එහි ඒකකයක් තිබිය යුතුය. ගැටළුව වන්නේ පළමු තීරුවේ ඒකක කිසිවක් නොමැති වීමයි, එබැවින් පේළි නැවත සකස් කිරීම කිසිවක් විසඳන්නේ නැත. එවැනි අවස්ථාවන්හිදී, ඒකකය මූලික පරිවර්තනයක් භාවිතයෙන් සංවිධානය කළ යුතුය. මෙය සාමාන්යයෙන් ක්රම කිහිපයකින් කළ හැකිය. අපි මෙහෙම කරමු. 1 පියවර

. පළමු පේළියට අපි දෙවන පේළිය එකතු කරමු, -1 න් ගුණ කරන්න. එනම්, අපි මානසිකව දෙවන පේළිය –1 න් ගුණ කර පළමු සහ දෙවන පේළි එකතු කළ අතර දෙවන පේළිය වෙනස් නොවීය.

දැන් ඉහළ වම් පසින් “අඩුම එකක්” ඇත, එය අපට හොඳින් ගැලපේ. +1 ලබා ගැනීමට කැමති ඕනෑම කෙනෙකුට අතිරේක ක්‍රියාවක් කළ හැකිය: පළමු පේළිය –1 න් ගුණ කරන්න (එහි ලකුණ වෙනස් කරන්න). පියවර 2

. පළමු පේළිය, 5 න් ගුණ කළ අතර, පළමු පේළිය, 3 න් ගුණ කළ, තුන්වන පේළියට එකතු කරන ලදී. පියවර 3

. පළමු පේළිය -1 මගින් ගුණ කරන ලදී, ප්‍රතිපත්තිමය වශයෙන්, මෙය අලංකාරය සඳහා වේ. තුන්වන පේළියේ සලකුණ ද වෙනස් කරන ලද අතර එය දෙවන ස්ථානයට ගෙන යන ලද අතර, දෙවන "පියවර" මත අපට අවශ්ය ඒකකය තිබිණි. පියවර 4

. තුන්වන පේළිය 2 න් ගුණ කළ දෙවන පේළියට එකතු කරන ලදී. පියවර 5

ගණනය කිරීම් වල දෝෂයක් පෙන්නුම් කරන ලකුණක් (වඩා කලාතුරකින්, අක්ෂර වින්යාසය) "නරක" පහළ රේඛාවකි. එනම්, අපට පහතින් (0 0 11 |23) වැනි දෙයක් ලැබී ඇති අතර, ඒ අනුව, 11x 3 = 23, x 3 = 23/11 නම්, ඉහළ සම්භාවිතාවකින් අපට ප්‍රාථමික අවධියේදී දෝෂයක් සිදු වූ බව පැවසිය හැකිය. පරිවර්තනයන්.

උදාහරණ සැලසුම් කිරීමේදී ප්‍රතිලෝම කරමු, පද්ධතියම බොහෝ විට නැවත ලියනු නොලැබේ, නමුත් සමීකරණ "දී ඇති න්‍යාසයෙන් සෘජුවම ගනු ලැබේ." ප්‍රතිලෝම චලනය, මම ඔබට මතක් කරමි, පහළ සිට ඉහළට ක්‍රියා කරයි. මෙම උදාහරණයේ දී, ප්රතිඵලය තෑග්ගක් විය:

x 3 = 1
x 2 = 3
x 1 + x 2 – x 3 = 1, එබැවින් x 1 + 3 – 1 = 1, x 1 = –1

උත්තර දෙන්න:x 1 = –1, x 2 = 3, x 3 = 1.

යෝජිත ඇල්ගොරිතම භාවිතයෙන් එකම පද්ධතිය විසඳා ගනිමු. අපිට ලැබෙනවා

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

දෙවන සමීකරණය 5 න් සහ තුන්වන සමීකරණය 3 න් බෙදන්න. අපට ලැබෙන්නේ:

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

දෙවන සහ තුන්වන සමීකරණ 4 න් ගුණ කිරීමෙන් අපට ලැබෙන්නේ:

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

දෙවන සහ තෙවන සමීකරණ වලින් පළමු සමීකරණය අඩු කරන්න, අපට ඇත්තේ:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

තුන්වන සමීකරණය 0.64 න් බෙදන්න:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

තුන්වන සමීකරණය 0.4 න් ගුණ කරන්න

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

තුන්වන සමීකරණයෙන් දෙවැන්න අඩු කිරීමෙන්, අපි “පියවර” දිගු කළ න්‍යාසයක් ලබා ගනිමු:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

මේ අනුව, ගණනය කිරීම් වලදී එකතු වූ දෝෂය නිසා, අපි x 3 = 0.96 හෝ ආසන්න වශයෙන් 1 ලබා ගනිමු.

x 2 = 3 සහ x 1 = –1.

මේ ආකාරයෙන් විසඳා ගැනීමෙන්, ඔබ කිසි විටෙකත් ගණනය කිරීම් වලදී ව්යාකූල නොවනු ඇති අතර, ගණනය කිරීමේ දෝෂ තිබියදීත්, ඔබට ප්රතිඵලය ලැබෙනු ඇත.

රේඛීය වීජීය සමීකරණ පද්ධතියක් විසඳීමේ මෙම ක්‍රමය ක්‍රමලේඛනය කිරීමට පහසු වන අතර නොදන්නා අය සඳහා සංගුණකවල විශේෂිත ලක්ෂණ සැලකිල්ලට නොගනී, මන්ද ප්‍රායෝගිකව (ආර්ථික හා තාක්ෂණික ගණනය කිරීම් වලදී) කෙනෙකුට පූර්ණ සංඛ්‍යා නොවන සංගුණක සමඟ කටයුතු කිරීමට සිදු වේ.

මම ඔබට සාර්ථක වේවා! පන්තියේදී හමුවෙමු! ටියුටර් දිමිත්‍රි අයිස්ට්‍රකානොව්.

වෙබ් අඩවිය, සම්පූර්ණ හෝ අර්ධ වශයෙන් ද්රව්ය පිටපත් කරන විට, මූලාශ්රය වෙත සබැඳියක් අවශ්ය වේ.

රේඛීය සමීකරණ පද්ධතියක් විසඳීමේ සරලම ක්‍රමයක් වන්නේ නිර්ණායක ගණනය කිරීම මත පදනම් වූ තාක්ෂණයකි ( ක්රේමර්ගේ රීතිය) එහි වාසිය නම්, එය ඔබට වහාම විසඳුම වාර්තා කිරීමට ඉඩ සලසයි, පද්ධතියේ සංගුණක අංක නොව සමහර පරාමිතීන් ඇති අවස්ථාවන්හිදී එය විශේෂයෙන් පහසු වේ. එහි අවාසිය නම් සමීකරණ විශාල සංඛ්‍යාවක ගණනය කිරීම් වල අවුල් සහගත භාවයයි, එපමනක් නොව, සමීකරණ ගණන නොදන්නා සංඛ්‍යාව සමඟ සමපාත නොවන පද්ධති සඳහා ක්‍රේමර්ගේ නියමය කෙලින්ම අදාළ නොවේ. එවැනි අවස්ථාවලදී, එය සාමාන්යයෙන් භාවිතා වේ Gaussian ක්රමය.

එකම විසඳුම් කට්ටලයක් සහිත රේඛීය සමීකරණ පද්ධති ලෙස හැඳින්වේ සමාන. පැහැදිලිවම, කිසියම් සමීකරණයක් මාරු කළහොත් හෝ එක් සමීකරණයක් ශුන්‍ය නොවන සංඛ්‍යාවකින් ගුණ කළහොත් හෝ එක් සමීකරණයක් තවත් සමීකරණයකට එකතු කළහොත් රේඛීය පද්ධතියක විසඳුම් සමූහය වෙනස් නොවේ.

Gauss ක්රමය (නොදන්නා දේ අනුක්‍රමිකව ඉවත් කිරීමේ ක්‍රමය) යනු මූලික පරිවර්තන ආධාරයෙන් පද්ධතිය පියවර වර්ගයක සමාන පද්ධතියකට අඩු කිරීමයි. පළමුව, 1 වන සමීකරණය භාවිතා කරමින්, අපි ඉවත් කරමු xපද්ධතියේ පසුකාලීන සමීකරණ වලින් 1. ඉන්පසුව, 2 වන සමීකරණය භාවිතා කරමින්, අපි ඉවත් කරමු x 3 වන සහ පසුව ඇති සියලුම සමීකරණ වලින් 2. මෙම ක්රියාවලිය, ලෙස හැඳින්වේ සෘජු Gaussian ක්රමය භාවිතා කිරීම, අවසාන සමීකරණයේ වම් පැත්තේ එක් නොදන්නා එකක් පමණක් ඉතිරි වන තෙක් දිගටම පවතී x n. මෙයින් පසු එය සිදු කෙරේ Gaussian ක්රමයේ ප්රතිලෝම- අවසාන සමීකරණය විසඳීම, අපි සොයා ගනිමු x n; ඊට පසු, මෙම අගය භාවිතා කරමින්, අපි ගණනය කරන අවසාන සමීකරණයෙන් x n-1, ආදිය. අපි අන්තිම එක හොයාගන්නවා xපළමු සමීකරණයෙන් 1.

සමීකරණ සමඟ නොව, ඒවායේ සංගුණකවල න්‍යාස සමඟ පරිවර්තනයන් සිදු කිරීමෙන් ගවුසියානු පරිවර්තනයන් සිදු කිරීම පහසුය. අනුකෘතිය සලකා බලන්න:

කියලා පද්ධතියේ විස්තීර්ණ අනුකෘතිය,මන්ද, පද්ධතියේ ප්‍රධාන න්‍යාසයට අමතරව, එයට නිදහස් කොන්දේසි තීරුවක් ඇතුළත් වේ. Gaussian ක්‍රමය පදනම් වී ඇත්තේ පද්ධතියේ ප්‍රධාන න්‍යාසය ත්‍රිකෝණාකාර ස්වරූපයකට (හෝ හතරැස් නොවන පද්ධති සම්බන්ධයෙන් trapezoidal ආකාරය) පද්ධතියේ විස්තීරණ න්‍යාසයේ ප්‍රාථමික පේළි පරිවර්තන (!) භාවිතා කිරීම මත ය.

උදාහරණය 5.1. Gaussian ක්‍රමය භාවිතයෙන් පද්ධතිය විසඳන්න:

විසඳුම. අපි පද්ධතියේ විස්තීරණ අනුකෘතිය ලියන්නෙමු, පළමු පේළිය භාවිතා කර, ඉන්පසු අපි ඉතිරි මූලද්රව්ය නැවත සකසන්නෙමු:

පළමු තීරුවේ 2, 3 සහ 4 පේළි වලින් අපට ශුන්‍ය ලැබේ:

දැන් අපට 2 වන පේළියට පහළින් දෙවන තීරුවේ ඇති සියලුම මූලද්රව්ය ශුන්යයට සමාන විය යුතුය. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, ඔබට දෙවන පේළිය –4/7 න් ගුණ කර එය 3 වන පේළියට එකතු කළ හැකිය. කෙසේ වෙතත්, භාග සමඟ කටයුතු නොකිරීමට, අපි දෙවන තීරුවේ 2 වන පේළියේ ඒකකයක් නිර්මාණය කරමු.

දැන්, ත්රිකෝණාකාර න්යාසයක් ලබා ගැනීම සඳහා, ඔබ 3 වන තීරුවේ සිව්වන පේළියේ මූලද්රව්යය නැවත සකස් කළ යුතුය, ඔබට තුන්වන පේළිය 8/54 කින් ගුණ කර එය හතරවන එකට එකතු කළ හැකිය. කෙසේ වෙතත්, භාග සමඟ කටයුතු නොකිරීමට, අපි 3 වන සහ 4 වන පේළි සහ 3 වන සහ 4 වන තීරු මාරු කරනු ලබන අතර ඉන් පසුව පමණක් අපි නිශ්චිත මූලද්රව්යය නැවත සකසන්නෙමු. තීරු නැවත සකස් කිරීමේදී, අනුරූප විචල්‍යයන් ස්ථාන වෙනස් කරන අතර මෙය මතක තබා ගත යුතු බව සලකන්න; තීරු සහිත අනෙකුත් මූලික පරිවර්තනයන් (සංඛ්‍යාවකින් එකතු කිරීම සහ ගුණ කිරීම) සිදු කළ නොහැක!

අවසාන සරල කළ න්‍යාසය මුල් එකට සමාන සමීකරණ පද්ධතියකට අනුරූප වේ:

මෙතැන් සිට, Gaussian ක්‍රමයේ ප්‍රතිලෝම භාවිතා කරමින්, අපි හතරවන සමීකරණයෙන් සොයා ගනිමු x 3 = –1; තුන්වන සිට x 4 = –2, දෙවන සිට x 2 = 2 සහ පළමු සමීකරණයෙන් x 1 = 1. matrix ආකාරයෙන්, පිළිතුර ලෙස ලියා ඇත

පද්ධතිය නිශ්චිත වන විට අපි නඩුව සලකා බැලුවෙමු, i.e. එකම විසඳුමක් ඇති විට. පද්ධතිය නොගැලපෙන හෝ අවිනිශ්චිත නම් කුමක් සිදුවේදැයි බලමු.

උදාහරණය 5.2. Gaussian ක්‍රමය භාවිතා කරමින් පද්ධතිය ගවේෂණය කරන්න:

විසඳුම. අපි පද්ධතියේ විස්තීරණ අනුකෘතිය ලියා පරිවර්තනය කරමු

අපි සරල කළ සමීකරණ පද්ධතියක් ලියන්නෙමු:

මෙන්න, අවසාන සමීකරණයේ 0=4, i.e. ප්රතිවිරෝධතාව. එහි ප්රතිඵලයක් වශයෙන්, පද්ධතියට විසඳුමක් නැත, i.e. ඇය නොගැලපෙන. à

උදාහරණය 5.3. Gaussian ක්‍රමය භාවිතයෙන් පද්ධතිය ගවේෂණය කර විසඳන්න:

විසඳුම. අපි පද්ධතියේ විස්තීරණ අනුකෘතිය ලියා පරිවර්තනය කරමු:

පරිවර්තනයන්හි ප්රතිඵලයක් වශයෙන්, අවසාන පේළියේ ශුන්ය පමණක් අඩංගු වේ. මෙයින් අදහස් කරන්නේ සමීකරණ ගණන එකකින් අඩු වී ඇති බවයි:

මේ අනුව, සරල කිරීමෙන් පසුව, සමීකරණ දෙකක් ඉතිරිව ඇති අතර, නොදන්නා හතරක්, i.e. නොදන්නා "අමතර" දෙකක්. ඔවුන් "අතිරික්ත" වීමට ඉඩ දෙන්න, නැතහොත්, ඔවුන් පවසන පරිදි, නිදහස් විචල්යයන්, කැමැත්ත x 3 සහ x 4. එතකොට

විශ්වාස කරනවා x 3 = 2aසහ x 4 = ආ, අපිට ලැබෙනවා x 2 = 1–aසහ x 1 = 2ආ–a; හෝ matrix ආකාරයෙන්

මේ ආකාරයෙන් ලියා ඇති විසඳුමක් ලෙස හැඳින්වේ සාමාන්ය, මන්ද, පරාමිති ලබා දීම aසහ ආවිවිධ අගයන්, පද්ධතියේ හැකි සියලු විසඳුම් විස්තර කළ හැකිය. a

Gaussian ක්රමයේ අර්ථ දැක්වීම සහ විස්තරය

රේඛීය සමීකරණ පද්ධති විසඳීම සඳහා Gaussian පරිවර්තන ක්‍රමය (සමීකරණයකින් හෝ න්‍යාසයකින් නොදන්නා විචල්‍යයන් අනුක්‍රමිකව ඉවත් කිරීමේ ක්‍රමය ලෙසද හැඳින්වේ) වීජීය සමීකරණ පද්ධති (SLAE) විසඳීම සඳහා සම්භාව්‍ය ක්‍රමයකි. මෙම සම්භාව්‍ය ක්‍රමය ප්‍රතිලෝම න්‍යාස ලබා ගැනීම සහ න්‍යාසයක ශ්‍රේණිය තීරණය කිරීම වැනි ගැටළු විසඳීම සඳහා ද භාවිතා වේ.

Gaussian ක්‍රමය භාවිතා කරන පරිවර්තනය සමන්විත වන්නේ රේඛීය වීජීය සමීකරණ පද්ධතියකට කුඩා (මූලික) අනුක්‍රමික වෙනස්කම් සිදු කිරීම, මුල් එකට සමාන වන නව ත්‍රිකෝණාකාර සමීකරණ පද්ධතියක් ගොඩනැගීමත් සමඟ ඉහළ සිට පහළට විචල්‍යයන් ඉවත් කිරීමට මග පාදයි. එකක්.

අර්ථ දැක්වීම 1

සමස්ත ක්‍රියාවලියම ඉහළ සිට පහළට සිදු කෙරෙන බැවින් විසඳුමේ මෙම කොටස ඉදිරි ගවුසියන් ද්‍රාවණය ලෙස හැඳින්වේ.

මුල් සමීකරණ පද්ධතිය ත්‍රිකෝණාකාර එකකට අඩු කිරීමෙන් පසු, පද්ධතියේ සියලුම විචල්‍යයන් පහළ සිට ඉහළට සොයාගත හැකිය (එනම්, සොයාගත් පළමු විචල්‍යයන් හරියටම පද්ධතියේ හෝ න්‍යාසයේ අවසාන පේළිවල පිහිටා ඇත). විසඳුමේ මෙම කොටස Gaussian විසඳුමේ ප්රතිලෝම ලෙසද හැඳින්වේ. ඔහුගේ ඇල්ගොරිතම පහත පරිදි වේ: පළමුව, සමීකරණ හෝ න්‍යාස පද්ධතියේ පතුලට ආසන්නතම විචල්‍ය ගණනය කරනු ලැබේ, එවිට ලැබෙන අගයන් ඉහළට ආදේශ කරනු ලබන අතර එමඟින් වෙනත් විචල්‍යයක් සොයා ගනී, යනාදිය.

Gaussian ක්‍රම ඇල්ගොරිතමයේ විස්තරය

Gaussian ක්‍රමය භාවිතා කරන සමීකරණ පද්ධතියක සාමාන්‍ය විසඳුම සඳහා වන ක්‍රියා අනුපිළිවෙල සමන්විත වන්නේ SLAE මත පදනම් වූ අනුකෘතියට ඉදිරි සහ පසුගාමී පහරවල් විකල්ප ලෙස යෙදීමෙනි. ආරම්භක සමීකරණ පද්ධතියට පහත පෝරමය තිබිය යුතුය:

$\begin(cases) a_(11) \cdot x_1 +...+ a_(1n) \cdot x_n = b_1 \\ ... \\ a_(m1) \cdot x_1 + a_(mn) \cdot x_n = b_m \end(cases)$

Gaussian ක්‍රමය භාවිතයෙන් SLAEs විසඳීම සඳහා, න්‍යාසයක ස්වරූපයෙන් මුල් සමීකරණ පද්ධතිය ලිවීම අවශ්‍ය වේ:

$A = \begin(pmatrix) a_(11) & … & a_(1n) \\ \vdots & … & \vdots \\ a_(m1) & … & a_(mn) \end(pmatrix)$, $b =\begin(pmatrix) b_1 \\ \vdots \\ b_m \end(pmatrix)$

$A$ න්‍යාසය ප්‍රධාන න්‍යාසය ලෙස හඳුන්වන අතර අනුපිළිවෙලින් ලියා ඇති විචල්‍යවල සංගුණක නියෝජනය කරන අතර $b$ එහි නිදහස් නියමවල තීරුව ලෙස හැඳින්වේ. නිදහස් නියමයන් සහිත තීරුවක් හරහා ලියා ඇති $A$ න්‍යාසය දිගු කළ න්‍යාසයක් ලෙස හැඳින්වේ.

$A = \begin(array)(ccc|c) a_(11) & … & a_(1n) & b_1 \\ \vdots & … & \vdots & ...\\ a_(m1) & … & a_( mn) & b_m \end(array)$

දැන් එය පහත පෝරමයට ගෙන ඒම සඳහා සමීකරණ පද්ධතියේ (හෝ න්‍යාසයේ, මෙය වඩාත් පහසු බැවින්) මූලික පරිවර්තනයන් භාවිතා කිරීම අවශ්‍ය වේ:

$\ආරම්භය(අවස්ථා) α_(1j_(1)) \cdot x_(j_(1)) + α_(1j_(2)) \cdot x_(j_(2))...+ α_(1j_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(1j_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_1 \\ α_(2j_(2)) \cdot x_(j_(2)). ..+ α_(2j_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(2j_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_2 \\ ...\\ α_( rj_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(rj_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_r \\ 0 = β_(r+1) \\ … \ \ 0 = β_m \ end(cases)$ (1)

පරිවර්තනය කරන ලද සමීකරණ පද්ධතියේ (1) සංගුණක වලින් ලබාගත් න්‍යාසය පියවර න්‍යාසයක් ලෙස හැඳින්වේ, පියවර න්‍යාස සාමාන්‍යයෙන් පෙනෙන්නේ මෙයයි:

$A = \begin(array)(ccc|c) a_(11) & a_(12) & a_(13) & b_1 \\ 0 & a_(22) & a_(23) & b_2\\ 0 & 0 & a_(33) & b_3 \end(array)$

මෙම න්‍යාස පහත ගුණාංග සමූහයකින් සංලක්ෂිත වේ:

1. එහි සියලුම ශුන්‍ය රේඛා පැමිණෙන්නේ ශුන්‍ය නොවන රේඛාවලට පසුවය
2. $k$ අංකය සහිත න්‍යාසයක සමහර පේළි ශුන්‍ය නොවන නම්, එම න්‍යාසයේ පෙර පේළියේ $k$ අංකය සහිත මෙම එකට වඩා අඩු බිංදු ඇත.

පියවර න්‍යාසය ලබා ගැනීමෙන් පසු, ලැබෙන විචල්‍යයන් ඉතිරි සමීකරණවලට ආදේශ කිරීම (අවසානයේ සිට ආරම්භ කිරීම) සහ විචල්‍යවල ඉතිරි අගයන් ලබා ගැනීම අවශ්‍ය වේ.

Gauss ක්රමය භාවිතා කරන විට මූලික නීති සහ අවසර ලත් පරිවර්තනයන්

මෙම ක්‍රමය භාවිතා කරමින් අනුකෘතියක් හෝ සමීකරණ පද්ධතියක් සරල කරන විට, ඔබ භාවිතා කළ යුත්තේ ප්‍රාථමික පරිවර්තනයන් පමණි.

එවැනි පරිවර්තනයන් එහි අර්ථය වෙනස් නොකර අනුකෘතියකට හෝ සමීකරණ පද්ධතියකට යෙදිය හැකි මෙහෙයුම් ලෙස සැලකේ:

• පේළි කිහිපයක් නැවත සකස් කිරීම,
• න්‍යාසයක එක් පේළියකින් තවත් පේළියක් එකතු කිරීම හෝ අඩු කිරීම,
• ශුන්‍යයට සමාන නොවන නියතයකින් තන්තුවක් ගුණ කිරීම හෝ බෙදීම,
• පද්ධතිය ගණනය කිරීමේ සහ සරල කිරීමේ ක්‍රියාවලියේදී ලබාගත් ශුන්‍ය වලින් පමණක් සමන්විත රේඛාවක් මකා දැමිය යුතුය,
• ඔබ අනවශ්‍ය සමානුපාතික රේඛා ඉවත් කළ යුතු අතර, පද්ධතිය සඳහා වඩාත් සුදුසු සහ වැඩිදුර ගණනය කිරීම් සඳහා පහසු සංගුණක ඇති එකම එක තෝරා ගත යුතුය.

සියලුම මූලික පරිවර්තනයන් ආපසු හැරවිය හැකිය.

සරල Gauss පරිවර්තන ක්‍රමය භාවිතා කරමින් රේඛීය සමීකරණ විසඳීමේදී පැන නගින ප්‍රධාන අවස්ථා තුන විශ්ලේෂණය කිරීම

පද්ධති විසඳීම සඳහා Gaussian ක්‍රමය භාවිතා කරන විට පැන නගින අවස්ථා තුනක් තිබේ:

1. පද්ධතියක් නොගැලපෙන විට, එනම් එයට විසඳුම් නොමැත
2. සමීකරණ පද්ධතියට විසඳුමක් සහ අද්විතීය එකක් ඇති අතර න්‍යාසයේ ඇති ශුන්‍ය නොවන පේළි සහ තීරු ගණන එකිනෙකට සමාන වේ.
3. පද්ධතියට නිශ්චිත සංඛ්යාවක් හෝ හැකි විසඳුම් කට්ටලයක් ඇති අතර, එහි ඇති පේළි ගණන තීරු ගණනට වඩා අඩුය.

නොගැලපෙන පද්ධතියක් සහිත විසඳුමක ප්රතිඵලය

මෙම විකල්පය සඳහා, Gaussian ක්‍රමය භාවිතයෙන් න්‍යාස සමීකරණයක් විසඳන විට, සමානාත්මතාවය සපුරාලීමේ නොහැකියාව සමඟ යම් රේඛාවක් ලබා ගැනීම සාමාන්‍ය දෙයකි. එබැවින්, අවම වශයෙන් එක් වැරදි සමානාත්මතාවයක් ඇති වුවහොත්, ඒවායේ අඩංගු අනෙකුත් සමීකරණ නොසලකා, ප්රතිඵල සහ මුල් පද්ධතිවලට විසඳුම් නොමැත. නොගැලපෙන අනුකෘතියක උදාහරණයක්:

$\begin(array)(ccc|c) 2 & -1 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end(array)$

අවසාන පේළියේ කළ නොහැකි සමානාත්මතාවයක් ඇත: $0 \cdot x_(31) + 0 \cdot x_(32) + 0 \cdot x_(33) = 1$.

එක් විසඳුමක් පමණක් ඇති සමීකරණ පද්ධතියකි

මෙම පද්ධති, පියවර න්‍යාසයකට අඩු කිරීමෙන් සහ ශුන්‍ය සහිත පේළි ඉවත් කිරීමෙන් පසුව, ප්‍රධාන න්‍යාසයේ පේළි සහ තීරු සමාන සංඛ්‍යාවක් ඇත. එවැනි පද්ධතියක සරලම උදාහරණය මෙන්න:

$\begin(cases) x_1 - x_2 = -5 \\ 2 \cdot x_1 + x_2 = -7 \end(cases)$

අපි එය matrix ආකාරයෙන් ලියන්නෙමු:

$\begin(array)(cc|c) 1 & -1 & -5 \\ 2 & 1 & -7 \end(array)$

දෙවන පේළියේ පළමු කොටුව බිංදුවට ගෙන ඒම සඳහා, අපි ඉහළ පේළිය $-2$ කින් ගුණ කර එය න්‍යාසයේ පහළ පේළියෙන් අඩු කර ඉහළ පේළිය එහි මුල් ස්වරූපයෙන් තබමු, එහි ප්‍රතිඵලයක් ලෙස අපට පහත දැක්වේ :

$\begin(array)(cc|c) 1 & -1 & -5 \\ 0 & 3 & 10 \end(array)$

මෙම උදාහරණය පද්ධතියක් ලෙස ලිවිය හැකිය:

$\begin(cases) x_1 - x_2 = -5 \\ 3 \cdot x_2 = 10 \end(cases)$

පහත සමීකරණය $x$ සඳහා පහත අගය ලබා දෙයි: $x_2 = 3 \frac(1)(3)$. මෙම අගය ඉහළ සමීකරණයට ආදේශ කරන්න: $x_1 – 3 \frac(1)(3)$, අපට $x_1 = 1 \frac(2)(3)$ ලැබේ.

බොහෝ විසඳුම් සහිත පද්ධතියකි

මෙම පද්ධතිය එහි ඇති තීරු ගණනට වඩා සැලකිය යුතු පේළි ගණනකින් සංලක්ෂිත වේ (ප්‍රධාන අනුකෘතියේ පේළි සැලකිල්ලට ගනී).

එවැනි පද්ධතියක විචල්යයන් වර්ග දෙකකට බෙදා ඇත: මූලික සහ නිදහස්. එවැනි පද්ධතියක් පරිවර්තනය කිරීමේදී, එහි අඩංගු ප්රධාන විචල්යයන් වම් ප්රදේශයෙහි "=" ලකුණ දක්වා තැබිය යුතු අතර, ඉතිරි විචල්යයන් සමානාත්මතාවයේ දකුණු පැත්තට ගෙන යා යුතුය.

එවැනි පද්ධතියකට ඇත්තේ නිශ්චිත පොදු විසඳුමක් පමණි.

අපි පහත සමීකරණ පද්ධතිය විශ්ලේෂණය කරමු:

$\begin(cases) 2y_1 + 3y_2 + x_4 = 1 \\ 5y_3 - 4y_4 = 1 \end(cases)$

අපි එය matrix ආකාරයෙන් ලියන්නෙමු:

$\begin(array)(cccc|c) 2 & 3 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 5 & 4 & 1 \\ \ end(array)$

අපගේ කාර්යය වන්නේ පද්ධතියට පොදු විසඳුමක් සොයා ගැනීමයි. මෙම න්‍යාසය සඳහා, පාදක විචල්‍ය $y_1$ සහ $y_3$ වනු ඇත ($y_1$ සඳහා - එය මුලින්ම එන බැවින් සහ $y_3$ නම් - එය බිංදුවලට පසුව පිහිටයි).

පදනම් විචල්‍යයන් ලෙස, අපි හරියටම පේළියේ පළමු සහ ශුන්‍යයට සමාන නොවන ඒවා තෝරා ගනිමු.

ඉතිරි විචල්යයන් නිදහස් ලෙස හැඳින්වේ; අපි ඒවා හරහා මූලික ඒවා ප්රකාශ කළ යුතුය.

ඊනියා ප්‍රතිලෝම ආඝාතය භාවිතා කරමින්, අපි පද්ධතිය පහළ සිට ඉහළට විශ්ලේෂණය කරමු, අපි මුලින්ම පද්ධතියේ පහළ පේළියේ සිට $y_3$ ප්‍රකාශ කරමු:

$5y_3 – 4y_4 = 1$

$5y_3 = 4y_4 + 1$

$y_3 = \frac(4/5)y_4 + \frac(1)(5)$.

දැන් අපි $2y_1 + 3y_2 + y_4 = 1$: $2y_1 + 3y_2 - (\frac(4)(5)y_4 + \frac(1)(5)) පද්ධතියේ ඉහළ සමීකරණයට ප්‍රකාශිත $y_3$ ආදේශ කරමු. + y_4 = 1$

අපි නිදහස් විචල්‍ය $y_2$ සහ $y_4$ අනුව $y_1$ ප්‍රකාශ කරන්නෙමු:

$2y_1 + 3y_2 - \frac(4)(5)y_4 - \frac(1)(5) + y_4 = 1$

$2y_1 = 1 – 3y_2 + \frac(4)(5)y_4 + \frac(1)(5) – y_4$

$2y_1 = -3y_2 - \frac(1)(5)y_4 + \frac(6)(5)$

$y_1 = -1.5x_2 – 0.1y_4 + 0.6$

විසඳුම සූදානම්.

උදාහරණ 1

Gaussian ක්‍රමය භාවිතා කරමින් slough විසඳන්න. උදාහරණ. Gaussian ක්‍රමය භාවිතයෙන් 3 by 3 matrix මගින් ලබා දෙන රේඛීය සමීකරණ පද්ධතියක් විසඳීමේ උදාහරණයක්

$\begin(cases) 4x_1 + 2x_2 – x_3 = 1 \\ 5x_1 + 3x_2 - 2x^3 = 2\\ 3x_1 + 2x_2 – 3x_3 = 0 \ end(cases)$

අපි අපේ පද්ධතිය දීර්ඝ න්‍යාසයක ආකාරයෙන් ලියන්නෙමු:

$\begin(array)(ccc|c) 4 & 2 & -1 & 1 \\ 5 & 3 & -2 & 2 \\ 3 & 2 & -3 & 0\\ \ end(array)$

දැන්, පහසුව සහ ප්‍රායෝගිකත්වය සඳහා, ඔබ $1$ පිටත තීරුවේ ඉහළ කෙළවරේ ඇති පරිදි අනුකෘතිය පරිවර්තනය කළ යුතුය.

මෙය සිදු කිරීම සඳහා, 1 වන පේළියට ඔබ මැද සිට රේඛාව එකතු කළ යුතුය, $-1$ කින් ගුණ කර, මැද රේඛාව එයම ලියන්න, එය හැරෙන්නේ:

$\begin(array)(ccc|c) -1 & -1 & 1 & -1 \\ 5 & 3 & -2 & 2 \\ 3 & 2 & -3 & 0\\ \ end(array)$

$\begin(array)(ccc|c) -1 & -1 & 1 & -1 \\ 0 & -2 & 3 & -3 \\ 0 & -1 & 0 & -3\\ \ end(array) $

ඉහළ සහ අවසාන පේළි $-1$ කින් ගුණ කරන්න, අවසාන සහ මැද පේළි මාරු කරන්න:

$\begin(array)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & -2 & 3 & -3\\ \ end(array)$

$\begin(array)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 3 & 3\\ \ end(array)$

අවසාන පේළිය $3$න් බෙදන්න:

$\begin(array)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 1\\ \ end(array)$

අපි පහත සමීකරණ පද්ධතිය ලබා ගනිමු, මුල් එකට සමාන:

$\begin(cases) x_1 + x_2 – x_3 = 1\\ x_2 = 3 \\ x_3 = 1 \end(cases)$

ඉහළ සමීකරණයෙන් අපි $x_1$ ප්‍රකාශ කරමු:

$x1 = 1 + x_3 – x_2 = 1 + 1 – 3 = -1$.

උදාහරණය 2

Gaussian ක්‍රමය භාවිතා කරමින් 4 by 4 matrix භාවිතයෙන් නිර්වචනය කරන ලද පද්ධතියක් විසඳීමේ උදාහරණයක්

$\begin(array)(cccc|c) 2 & 5 & 4 & 1 & 20 \\ 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 2 & 10 & 9 & 7 & 40\\ 3 & 8 & 9 & 2 සහ 37 \\ \ අන්ත(අරාව)$.

ආරම්භයේදී, ඉහළ වම් කෙළවරේ $1$ ලබා ගැනීම සඳහා අපි එය අනුගමනය කරන ඉහළ රේඛා මාරු කරමු:

$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 2 & 5 & 4 & 1 & 20 \\ 2 & 10 & 9 & 7 & 40\\ 3 & 8 & 9 & 2 සහ 37 \\ \ අන්ත(අරාව)$.

දැන් ඉහළ පේළිය $-2$ න් ගුණ කර 2 සහ 3 ට එකතු කරන්න. 4 වැන්නට අපි 1 වන පේළිය එකතු කරන්නෙමු, $-3$ කින් ගුණ කරන්න:

$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 4 & 5 & 5 & 18\\ 0 & - 1 & 3 & -1 සහ 4 \\ \ end(array)$

දැන් පේළි අංක 3 ට අපි පේළිය 2 $4$ න් ගුණ කරන අතර, 4 පේළියට අපි පේළිය 2 $-1$ කින් ගුණ කරමු.

$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 5 & 1 & 10\\ 0 & 0 & 3 සහ 0 සහ 6 \\ \ අන්ත(අරාව)$

අපි පේළිය 2 $-1$ න් ගුණ කර, 4 පේළිය $3$ න් බෙදන්න සහ පේළිය 3 ප්‍රතිස්ථාපනය කරන්න.

$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 5 & 1 සහ 10 \\ \ අන්ත(අරාව)$

දැන් අපි අවසාන පේළියට $-5$ කින් ගුණ කළ අවසාන පේළියට එකතු කරමු.

$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 0 & 1 සහ 0 \\ \ අන්ත(අරාව)$

ප්රතිඵලය වන සමීකරණ පද්ධතිය අපි විසඳන්නෙමු:

$\begin(cases) m = 0 \\ g = 2\\ y + m = 2\ \ x + 3y + 2g + m = 11\ end(cases)$