රේඛීය සමීකරණවල සමජාතීය පද්ධති විසඳීම. මූලික තීරණ පද්ධතිය (විශේෂිත උදාහරණය)

ඔබේ ගැටලුවට සවිස්තරාත්මක විසඳුමක් ඇණවුම් කළ හැකිය !!!

එය කුමක්ද යන්න තේරුම් ගැනීමට මූලික තීරණ පද්ධතියක්ලික් කිරීමෙන් ඔබට එම උදාහරණය සඳහා වීඩියෝ නිබන්ධනයක් නැරඹිය හැකිය. දැන් අපි අවශ්ය සියලු කාර්යයන් පිළිබඳ සැබෑ විස්තරය වෙත යමු. මෙම ගැටලුවේ සාරය වඩාත් විස්තරාත්මකව තේරුම් ගැනීමට මෙය ඔබට උපකාර කරනු ඇත.

රේඛීය සමීකරණයකට විසඳුම්වල මූලික පද්ධතිය සොයා ගන්නේ කෙසේද?

උදාහරණයක් ලෙස පහත රේඛීය සමීකරණ පද්ධතිය ගනිමු.

මෙම රේඛීය සමීකරණ පද්ධතියට විසඳුම සොයා ගනිමු. ආරම්භ කිරීමට, අපි ඔබ පද්ධතියේ සංගුණක අනුකෘතිය ලිවිය යුතුය.

අපි මේ න්‍යාසය ත්‍රිකෝණාකාර එකකට පරිවර්තනය කරමු.අපි වෙනස්කම් නොමැතිව පළමු පේළිය නැවත ලියන්නෙමු. තවද $a_(11)$ යටතේ ඇති සියලුම මූලද්‍රව්‍ය ශුන්‍ය කළ යුතුය. $a_(21)$ මූලද්‍රව්‍යය වෙනුවට ශුන්‍යයක් කිරීමට, ඔබ දෙවන පේළියෙන් පළමුවැන්න අඩු කර දෙවන පේළියේ වෙනස ලිවිය යුතුය. $a_(31)$ මූලද්‍රව්‍යය වෙනුවට ශුන්‍යයක් කිරීමට, ඔබ තුන්වන පේළියෙන් පළමුවැන්න අඩු කර තුන්වන පේළියේ වෙනස ලිවිය යුතුය. $a_(41)$ මූලද්‍රව්‍යය වෙනුවට ශුන්‍යයක් කිරීමට, ඔබ හතරවන පේළියෙන් 2 න් ගුණ කළ පළමු අගය අඩු කර හතරවන පේළියේ වෙනස ලිවිය යුතුය. $a_(31)$ මූලද්‍රව්‍යය වෙනුවට ශුන්‍යයක් කිරීමට, ඔබ පස්වන පේළියේ සිට 2 න් ගුණ කළ පළමු අගය අඩු කර පස්වන පේළියේ වෙනස ලිවිය යුතුය.

අපි පළමු සහ දෙවන පේළි වෙනස්කම් නොමැතිව නැවත ලියන්නෙමු. තවද $a_(22)$ යටතේ ඇති සියලුම මූලද්‍රව්‍ය ශුන්‍ය කළ යුතුය. $a_(32)$ මූලද්‍රව්‍යය වෙනුවට බිංදුවක් සෑදීමට, ඔබ තුන්වන පේළියෙන් 2 න් ගුණ කළ දෙවැන්න අඩු කර තුන්වන පේළියේ වෙනස ලිවිය යුතුය. $a_(42)$ මූලද්‍රව්‍යය වෙනුවට ශුන්‍යයක් සෑදීමට, ඔබ සිව්වන පේළියෙන් 2 න් ගුණ කළ දෙවැන්න අඩු කර හතරවන පේළියේ වෙනස ලිවිය යුතුය. $a_(52)$ මූලද්‍රව්‍යය වෙනුවට ශුන්‍යයක් කිරීමට, ඔබ පස්වන පේළියෙන් 3 න් ගුණ කළ දෙවැන්න අඩු කර පස්වන පේළියේ වෙනස ලිවිය යුතුය.

අපි ඒක දකිනවා අවසාන පේළි තුනම සමාන වේ, එබැවින් ඔබ සිව්වන සහ පස්වන වලින් තුන්වන අගය අඩු කළහොත් ඒවා ශුන්‍ය බවට පත්වේ.

මෙම matrix අනුව නව සමීකරණ පද්ධතියක් ලියන්න.

අපට ඇත්තේ රේඛීයව ස්වාධීන සමීකරණ තුනක් පමණක් බවත්, නොදන්නා සමීකරණ පහක් පමණක් බවත් අපට පෙනේ, එබැවින් විසඳුම්වල මූලික පද්ධතිය දෛශික දෙකකින් සමන්විත වේ. ඉතින් අපි අපි අන්තිම නොදන්නා දෙක දකුණට ගෙන යා යුතුයි.

දැන්, අපි වම් පැත්තේ ඇති නොදන්නා දේ දකුණු පැත්තේ ඇති ඒවා හරහා ප්‍රකාශ කිරීමට පටන් ගනිමු. අපි අවසාන සමීකරණයෙන් පටන් ගනිමු, පළමුව අපි $x_3$ ප්‍රකාශ කරමු, පසුව ලැබෙන ප්‍රතිඵලය දෙවන සමීකරණයට ආදේශ කර $x_2$ ප්‍රකාශ කරමු, ඉන්පසු පළමු සමීකරණයට සහ මෙහිදී අපි $x_1$ ප්‍රකාශ කරමු. මෙලෙස වම් පැත්තේ ඇති සියලුම නොදන්නා දේ දකුණු පැත්තේ ඇති නොදන්නා දේ හරහා අපි ප්‍රකාශ කළෙමු.

එවිට, $x_4$ සහ $x_5$ වෙනුවට, අපට ඕනෑම අංකයක් ආදේශ කර $x_1$, $x_2$ සහ $x_3$ සොයා ගත හැක. මෙම සෑම සංඛ්‍යා පහක්ම අපගේ මුල් සමීකරණ පද්ධතියේ මූලයන් වේ. ඇතුළත් කර ඇති දෛශික සොයා ගැනීමට FSRඅපට $x_4$ වෙනුවට 1 ආදේශ කිරීමටත්, $x_5$ වෙනුවට 0 ආදේශ කිරීමටත්, $x_1$, $x_2$ සහ $x_3$ සොයා ගැනීමටත්, පසුව $x_4=0$ සහ $x_5=1$ සොයා ගැනීමටත් අවශ්‍ය වේ.

න්‍යාස ලබා දී ඇත

සොයන්න: 1) aA - bB,

විසඳුම: 1) අපි එය අනුක්‍රමිකව සොයා ගනිමු, න්‍යාසයක් සංඛ්‍යාවකින් ගුණ කිරීමේ සහ න්‍යාස එකතු කිරීමේ නීති භාවිතා කරමින්..


2. A*B නම් සොයන්න

විසඳුම: අපි matrix ගුණ කිරීමේ රීතිය භාවිතා කරමු

පිළිතුර:

3. ලබා දී ඇති න්‍යාසයක් සඳහා, කුඩා M 31 සොයාගෙන නිර්ණායකය ගණනය කරන්න.

විසඳුම: Minor M 31 යනු A වෙතින් ලබා ගන්නා න්‍යාසයේ නිර්ණායකයයි

පේළිය 3 සහ තීරුව 1 ඉක්මවා ගිය පසු. අපි සොයා ගනිමු

1*10*3+4*4*4+1*1*2-2*4*10-1*1*4-1*4*3 = 0.

න්‍යාස A එහි නිර්ණායකය වෙනස් නොකර පරිවර්තනය කරමු (1 පේළියේ ශුන්‍ය කරමු)

-3*, -, -4*
-10 -15
-20 -25
-4 -5

දැන් අපි න්‍යාස A හි නිර්ණායකය 1 පේළිය දිගේ ප්‍රසාරණය කිරීමෙන් ගණනය කරමු


පිළිතුර: M 31 = 0, detA = 0

Gauss ගේ ක්‍රමය සහ Cramer ගේ ක්‍රමය භාවිතා කර විසඳන්න.

2x 1 + x 2 + x 3 = 2

x 1 + x 2 + 3x 3 = 6

2x 1 + x 2 + 2x 3 = 5

විසඳුම: අපි පරීක්ෂා කරමු


ඔබට Cramer ගේ ක්රමය භාවිතා කළ හැකිය


පද්ධතියේ විසඳුම: x 1 = D 1 / D = 2, x 2 = D 2 / D = -5, x 3 = D 3 / D = 3

අපි Gaussian ක්රමය භාවිතා කරමු.

පද්ධතියේ විස්තීරණ අනුකෘතිය ත්‍රිකෝණාකාර ලෙස අඩු කරමු.

ගණනය කිරීමේ පහසුව සඳහා, අපි රේඛා මාරු කරමු:

2 වන පේළිය ගුණ කරන්න (k = -1 / 2 = -1 / 2 ) සහ 3 වෙනි එකට එකතු කරන්න:

1 / 2 7 / 2

1 වන පේළිය ගුණ කරන්න (k = -2 / 2 = -1 ) සහ 2 වෙනි එකට එකතු කරන්න:

දැන් මුල් පද්ධතිය මෙසේ ලිවිය හැක.

x 1 = 1 - (1/2 x 2 + 1/2 x 3)

x 2 = 13 - (6x 3)

2 වන පේළියේ සිට අපි ප්රකාශ කරමු

1 වන පේළියේ සිට අපි ප්රකාශ කරමු

විසඳුම සමාන වේ.

පිළිතුර: (2; -5; 3)

පද්ධතියේ සහ FSR හි පොදු විසඳුම සොයා ගන්න

13x 1 – 4x 2 – x 3 - 4x 4 - 6x 5 = 0

11x 1 – 2x 2 + x 3 - 2x 4 - 3x 5 = 0

5x 1 + 4x 2 + 7x 3 + 4x 4 + 6x 5 = 0

7x 1 + 2x 2 + 5x 3 + 2x 4 + 3x 5 = 0

විසඳුම: Gaussian ක්‍රමය යොදමු. පද්ධතියේ විස්තීරණ අනුකෘතිය ත්‍රිකෝණාකාර ලෙස අඩු කරමු.

-4 -1 -4 -6
-2 -2 -3
x 1 x 2 x 3 x 4 x 5

1 වන පේළිය (-11) මගින් ගුණ කරන්න. අපි 2 වන පේළිය (13) ගුණ කරමු. අපි 2 වන පේළිය 1 ට එකතු කරමු:

-2 -2 -3

2 වන පේළිය (-5) න් ගුණ කරන්න. 3 වන පේළිය (11) න් ගුණ කරමු. අපි 3 වන පේළිය 2 වෙනි එකට එකතු කරමු:

3 වන පේළිය (-7) න් ගුණ කරන්න. 4 වන පේළිය (5) න් ගුණ කරමු. අපි 4 වන පේළිය 3 වෙනි එකට එකතු කරමු:

දෙවන සමීකරණය අනෙක් අයගේ රේඛීය සංයෝජනයකි

න්‍යාසයේ ශ්‍රේණිය සොයා ගනිමු.

-18 -24 -18 -27
x 1 x 2 x 3 x 4 x 5

තෝරාගත් බාල වයස්කාරයාට ඉහළම අනුපිළිවෙල (හැකි බාලවයස්කරුවන්ගෙන්) ඇති අතර එය ශුන්‍ය නොවන (එය ප්‍රතිලෝම විකර්ණයේ ඇති මූලද්‍රව්‍යවල ගුණිතයට සමාන වේ), එබැවින් rang(A) = 2.

මෙම බාලවය මූලික වේ. එය නොදන්නා x 1 , x 2 සඳහා සංගුණක ඇතුළත් වේ, එයින් අදහස් කරන්නේ නොදන්නා x 1 , x 2 රඳා පවතින (මූලික) සහ x 3 , x 4 , x 5 නිදහස් බවයි.

මෙම න්‍යාසයේ සංගුණක සහිත පද්ධතිය මුල් පද්ධතියට සමාන වන අතර පෝරමය ඇත:

18x 2 = 24x 3 + 18x 4 + 27x 5

7x 1 + 2x 2 = - 5x 3 - 2x 4 - 3x 5

නොදන්නා දේ ඉවත් කිරීමේ ක්‍රමය භාවිතා කරමින්, අපි සොයා ගනිමු සාමාන්ය විසඳුම:

x 2 = - 4 / 3 x 3 - x 4 - 3 / 2 x 5

x 1 = - 1/3 x 3

(n-r) විසඳුම් වලින් සමන්විත මූලික විසඳුම් පද්ධතියක් (FSD) අපට හමු වේ. අපගේ නඩුවේදී, n=5, r=2, එබැවින්, විසඳුම්වල මූලික පද්ධතිය විසඳුම් 3 කින් සමන්විත වන අතර, මෙම විසඳුම් රේඛීයව ස්වාධීන විය යුතුය.

පේළි රේඛීයව ස්වාධීන වීමට නම්, පේළි මූලද්‍රව්‍ය වලින් සමන්විත න්‍යාසයේ ශ්‍රේණිය පේළි ගණනට, එනම් 3ට සමාන වීම අවශ්‍ය සහ ප්‍රමාණවත් වේ.

3 වන අනුපිළිවෙල නිර්ණායකයේ ශුන්‍ය නොවන රේඛා වලින් නොමිලේ නොදන්නා x 3 , x 4 , x 5 අගයන් ලබා දීම සහ x 1 , x 2 ගණනය කිරීම ප්‍රමාණවත් වේ.

සරලම ශුන්‍ය නොවන නිර්ණායකය වන්නේ අනන්‍යතා අනුකෘතියයි.

නමුත් මෙහි ගැනීම වඩාත් පහසු වේ

අපි පොදු විසඳුම භාවිතා කරන්නේ:

a) x 3 = 6, x 4 = 0, x 5 = 0 Þ x 1 = - 1 / 3 x 3 = -2, x 2 = - 4 / 3 x 3 - x 4 - 3 / 2 x 5 = - 4 Þ

FSR හි I තීරණය: (-2; -4; 6; 0;0)

b) x 3 = 0, x 4 = 6, x 5 = 0 Þ x 1 = - 1 / 3 x 3 = 0, x 2 = - 4 / 3 x 3 - x 4 - 3 / 2 x 5 = - 6 Þ

II FSR විසඳුම: (0; -6; 0; 6;0)

c) x 3 = 0, x 4 = 0, x 5 = 6 Þ x 1 = - 1 / 3 x 3 = 0, x 2 = - 4 / 3 x 3 - x 4 - 3 / 2 x 5 = -9 Þ

FSR හි III තීරණය: (0; - 9; 0; 0;6)

Þ FSR: (-2; -4; 6; 0;0), (0; -6; 0; 6;0), (0; - 9; 0; 0;6)

6. ලබා දී ඇත: z 1 = -4 + 5i, z 2 = 2 – 4i. සොයන්න: a) z 1 – 2z 2 b) z 1 z 2 c) z 1 /z 2

විසඳුම: a) z 1 – 2z 2 = -4+5i+2(2-4i) = -4+5i+4-8i = -3i

b) z 1 z 2 = (-4+5i)(2-4i) = -8+10i+16i-20i 2 = (i 2 = -1) = 12 + 26i


පිළිතුර: a) -3i b) 12+26i c) -1.4 – 0.3i

උදාහරණ 1. පද්ධතිය සඳහා පොදු විසඳුමක් සහ විසඳුම් කිහිපයක් සොයා ගන්න

විසඳුමකැල්කියුලේටරය භාවිතයෙන් සොයා ගන්න. විසඳුම් ඇල්ගොරිතම රේඛීය සමජාතීය සමීකරණ පද්ධති සඳහා සමාන වේ.
පේළි සමඟ පමණක් ක්‍රියාත්මක වන විට, අපි කුඩා පදනම වන න්‍යාසයේ ශ්‍රේණිය සොයා ගනිමු; අපි යැපෙන සහ නිදහස් නොදන්නා අය ප්‍රකාශ කර සාමාන්‍ය විසඳුමක් සොයා ගනිමු.


පළමු සහ දෙවන පේළි සමානුපාතික වේ, අපි ඒවායින් එකක් හරස් කරමු:

.
යැපෙන විචල්යයන් - x 2, x 3, x 5, නිදහස් - x 1, x 4. පළමු සමීකරණයෙන් 10x 5 = 0 අපි x 5 = 0 සොයා ගනිමු
; .
පොදු විසඳුම වන්නේ:

(n-r) විසඳුම් වලින් සමන්විත මූලික විසඳුම් පද්ධතියක් අපට හමු වේ. අපගේ නඩුවේදී, n=5, r=3, එබැවින්, විසඳුම්වල මූලික පද්ධතිය විසඳුම් දෙකකින් සමන්විත වන අතර, මෙම විසඳුම් රේඛීයව ස්වාධීන විය යුතුය. පේළි රේඛීයව ස්වාධීන වීමට නම්, පේළිවල මූලද්‍රව්‍යවලින් සමන්විත න්‍යාසයේ ශ්‍රේණිය පේළි ගණනට සමාන වීම අවශ්‍ය සහ ප්‍රමාණවත් වේ, එනම් 2. නොමිලේ නොදන්නා x 1 සහ x 4 අගයන් දෙවන පෙළ නිර්ණායකයේ පේළි වලින්, ශුන්‍ය නොවන අතර x 2, x 3, x 5 ගණනය කරන්න. සරලම ශුන්‍ය නොවන නිර්ණායකය වේ.
එබැවින් පළමු විසඳුම වන්නේ: , දෙවන - .
මෙම තීරණ දෙක මූලික තීරණ පද්ධතියක් සාදයි. මූලික පද්ධතිය අද්විතීය නොවන බව සලකන්න (ඔබට කැමති තරම් ශුන්‍ය නොවන නිර්ණායක සෑදිය හැක).

උදාහරණ 2. පද්ධතියේ පොදු විසඳුම සහ මූලික විසඳුම් පද්ධතිය සොයා ගන්න
විසඳුම.



,
න්‍යාසයේ ශ්‍රේණිය 3 වන අතර නොදන්නා සංඛ්‍යාවට සමාන වේ. මෙයින් අදහස් කරන්නේ පද්ධතියට නොමිලේ නොදන්නා කරුණු නොමැති බවත්, එබැවින් අද්විතීය විසඳුමක් ඇති බවත්ය - සුළු එකක්.

ව්යායාම . රේඛීය සමීකරණ පද්ධතියක් ගවේෂණය කර විසඳන්න.
උදාහරණය 4

ව්යායාම . එක් එක් පද්ධතියේ පොදු සහ විශේෂිත විසඳුම් සොයන්න.
විසඳුම.පද්ධතියේ ප්‍රධාන අනුකෘතිය ලියා තබමු:

5 -2 9 -4 -1
1 4 2 2 -5
6 2 11 -2 -6
x 1x 2x 3x 4x 5

න්‍යාසය ත්‍රිකෝණාකාර ලෙස අඩු කරමු. න්‍යාස පේළියක් බිංදුව හැර වෙනත් සංඛ්‍යාවකින් ගුණ කිරීම සහ පද්ධතිය සඳහා එය වෙනත් පේළියකට එකතු කිරීම යනු සමීකරණය එම සංඛ්‍යාවෙන් ගුණ කිරීම සහ වෙනත් සමීකරණයකින් එය එකතු කිරීම වන බැවින් අපි පේළි සමඟ පමණක් වැඩ කරන්නෙමු. පද්ධතිය.
2 වන පේළිය (-5) න් ගුණ කරන්න. අපි 2 වන පේළිය 1 ට එකතු කරමු:
0 -22 -1 -14 24
1 4 2 2 -5
6 2 11 -2 -6

2 වන පේළිය (6) න් ගුණ කරමු. 3 වන පේළිය (-1) න් ගුණ කරන්න. අපි 3 වන පේළිය 2 වෙනි එකට එකතු කරමු:
න්‍යාසයේ ශ්‍රේණිය සොයා ගනිමු.
0 22 1 14 -24
6 2 11 -2 -6
x 1x 2x 3x 4x 5

තෝරාගත් බාල වයස්කාරයාට ඉහළම අනුපිළිවෙල (හැකි බාලවයස්කරුවන්ගෙන්) ඇති අතර එය ශුන්‍ය නොවන (එය ප්‍රතිලෝම විකර්ණයේ ඇති මූලද්‍රව්‍යවල ගුණිතයට සමාන වේ), එබැවින් rang(A) = 2.
මෙම බාලවය මූලික වේ. එය නොදන්නා x 1 , x 2 සඳහා සංගුණක ඇතුළත් වේ, එයින් අදහස් කරන්නේ නොදන්නා x 1 , x 2 රඳා පවතින (මූලික) සහ x 3 , x 4 , x 5 නිදහස් බවයි.
කුඩා පදනම පමණක් වම් පසින් තබා අනුකෘතිය පරිවර්තනය කරමු.
0 22 14 -1 -24
6 2 -2 -11 -6
x 1x 2x 4x 3x 5

මෙම න්‍යාසයේ සංගුණක සහිත පද්ධතිය මුල් පද්ධතියට සමාන වන අතර පෝරමය ඇත:
22x 2 = 14x 4 - x 3 - 24x 5
6x 1 + 2x 2 = - 2x 4 - 11x 3 - 6x 5
නොදන්නා දේ ඉවත් කිරීමේ ක්‍රමය භාවිතා කරමින්, අපි සොයා ගනිමු සුළු නොවන විසඳුමක්:
අපි x 1 , x 2 යන පරායත්ත විචල්‍ය ප්‍රකාශ කරන සම්බන්ධතා ලබා ගත්තේ නිදහස් ඒවා හරහා x 3 , x 4 , x 5 , එනම් අපට හමු විය සාමාන්ය විසඳුම:
x 2 = 0.64x 4 - 0.0455x 3 - 1.09x 5
x 1 = - 0.55x 4 - 1.82x 3 - 0.64x 5
(n-r) විසඳුම් වලින් සමන්විත මූලික විසඳුම් පද්ධතියක් අපට හමු වේ.
අපගේ නඩුවේදී, n=5, r=2, එබැවින්, විසඳුම්වල මූලික පද්ධතිය විසඳුම් 3 කින් සමන්විත වන අතර, මෙම විසඳුම් රේඛීයව ස්වාධීන විය යුතුය.
පේළි රේඛීයව ස්වාධීන වීමට නම්, පේළි මූලද්‍රව්‍ය වලින් සමන්විත න්‍යාසයේ ශ්‍රේණිය පේළි ගණනට, එනම් 3ට සමාන වීම අවශ්‍ය සහ ප්‍රමාණවත් වේ.
3 වන අනුපිළිවෙල නිර්ණායකයේ ශුන්‍ය නොවන රේඛා වලින් නොමිලේ නොදන්නා x 3 , x 4 , x 5 අගයන් ලබා දීම සහ x 1 , x 2 ගණනය කිරීම ප්‍රමාණවත් වේ.
සරලම ශුන්‍ය නොවන නිර්ණායකය වන්නේ අනන්‍යතා අනුකෘතියයි.
1 0 0
0 1 0
0 0 1

කාර්යය . සමජාතීය රේඛීය සමීකරණ පද්ධතියකට මූලික විසඳුම් සමූහයක් සොයන්න.

Gaussian ක්‍රමයට අවාසි ගණනාවක් ඇත: Gaussian ක්‍රමයේ අවශ්‍ය සියලුම පරිවර්තනයන් සිදු කරන තුරු පද්ධතිය ස්ථාවරද නැද්ද යන්න දැනගත නොහැක; අකුරු සංගුණක සහිත පද්ධති සඳහා Gauss ගේ ක්රමය සුදුසු නොවේ.

රේඛීය සමීකරණ පද්ධති විසඳීම සඳහා වෙනත් ක්රම සලකා බලමු. මෙම ක්‍රම මගින් matrix ශ්‍රේණියේ සංකල්පය භාවිතා කරන අතර Cramer's රීතිය අදාළ වන පද්ධතියක විසඳුම සඳහා ඕනෑම ස්ථාවර පද්ධතියක විසඳුම අඩු කරයි.

උදාහරණ 1.පහත දැක්වෙන රේඛීය සමීකරණ පද්ධතියට සාමාන්‍ය විසඳුමක් සොයන්න, අඩු කරන ලද සමජාතීය පද්ධතියට විසඳුම්වල මූලික පද්ධතිය සහ සමජාතීය පද්ධතියට විශේෂිත විසඳුමක් භාවිතා කරන්න.

1. අනුකෘතියක් සෑදීම ඒසහ දිගු පද්ධති අනුකෘතිය (1)

2. පද්ධතිය ගවේෂණය කරන්න (1) සමගිය සඳහා. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, අපි matrices වල ශ්රේණි සොයා ගනිමු ඒසහ https://pandia.ru/text/78/176/images/image006_90.gif" width="17" height="26 src=">).එය හැරෙන්නේ නම්, එවිට පද්ධතිය (1) නොගැලපෙන. ඒක අපිට ලැබුනොත් , එවිට මෙම පද්ධතිය ස්ථාවර වන අතර අපි එය විසඳන්නෙමු. (ගැළපෙන අධ්‍යයනය ක්‍රොනෙකර්-කැපෙලි ප්‍රමේයය මත පදනම් වේ).

a. අපි හොයාගන්නවා rA.

සොයා ගැනීමට rA, අපි අනුකෘතියේ පළමු, දෙවන, යනාදී ඇණවුම්වල ශුන්‍ය නොවන බාලවයස් අනුපිළිවෙලින් සලකා බලමු. ඒසහ ඔවුන් වටා සිටින බාලවයස්කරුවන්.

M1=1≠0 (අපි න්‍යාසයේ ඉහළ වම් කෙළවරේ සිට 1 ගනිමු ඒ).

අපි මායිම් M1මෙම අනුකෘතියේ දෙවන පේළිය සහ දෙවන තීරුව. . අපි දිගටම මායිම් කරනවා M1දෙවන පේළිය සහ තුන්වන තීරුව..gif" width="37" height="20 src=">. දැන් අපි බිංදු නොවන සුළු සීමාවට මායිම් කරමු M2′දෙවන නියෝගය.

අපිට තියෙනවා: (පළමු තීරු දෙක සමාන බැවින්)

(දෙවන සහ තුන්වන පේළි සමානුපාතික බැවින්).

අපි ඒක දකිනවා rA=2, a යනු න්‍යාසයේ කුඩා පදනමයි ඒ.

ආ. අපි හොයාගන්නවා.

තරමක් මූලික සුළු M2′ matrices ඒනිදහස් නියමයන් සහ සියලුම පේළි තීරුවක් සමඟ මායිම (අපට ඇත්තේ අවසාන පේළිය පමණි).

. එය අනුගමනය කරයි M3′′න්‍යාසයේ මූලික සුළු ලෙස පවතී https://pandia.ru/text/78/176/images/image019_33.gif" width="168 height=75" height="75"> (2)

මොකද M2′- අනුකෘතියේ කුඩා පදනම ඒපද්ධති (2) , එවිට මෙම පද්ධතිය පද්ධතියට සමාන වේ (3) , පද්ධතියේ පළමු සමීකරණ දෙකෙන් සමන්විත වේ (2) (සඳහා M2′න්‍යාස A) හි පළමු පේළි දෙකෙහි ඇත.

(3)

මූලික සුළු https://pandia.ru/text/78/176/images/image021_29.gif" width="153" height="51"> (4)

මෙම පද්ධතිය තුළ නොමිලේ නොදන්නා දෙකක් ඇත ( x2 සහ x4 ) ඒක තමයි FSR පද්ධති (4) විසඳුම් දෙකකින් සමන්විත වේ. ඒවා සොයා ගැනීමට, අපි නොමිලේ නොදන්නා අය පවරමු (4) අගයන් පළමුව x2=1 , x4=0 , ඊළගට - x2=0 , x4=1 .

දී x2=1 , x4=0 අපට ලැබෙන්නේ:

.

මෙම පද්ධතිය දැනටමත් ඇත එකම දෙය විසඳුම (එය Cramer's rule හෝ වෙනත් ඕනෑම ක්රමයක් භාවිතයෙන් සොයාගත හැකිය). දෙවන සමීකරණයෙන් පළමුවැන්න අඩු කිරීමෙන් අපට ලැබෙන්නේ:

ඇගේ විසඳුම වනු ඇත x1= -1 , x3=0 . වටිනාකම් ලබා දී ඇත x2 සහ x4 , අපි එකතු කළ, අපි පද්ධතියේ පළමු මූලික විසඳුම ලබා ගනිමු (2) : .

දැන් අපි විශ්වාස කරනවා (4) x2=0 , x4=1 . අපට ලැබෙන්නේ:

.

අපි ක්‍රේමර් ප්‍රමේයය භාවිතයෙන් මෙම පද්ධතිය විසඳන්නෙමු:

.

අපි පද්ධතියේ දෙවන මූලික විසඳුම ලබා ගනිමු (2) : .

විසඳුම් β1 , β2 සහ මේකප් FSR පද්ධති (2) . එවිට එහි පොදු විසඳුම වනු ඇත

γ= C1 β1+С2β2=С1(‑1, 1, 0, 0)+С2(5, 0, 4, 1)=(‑С1+5С2, С1, 4С2, С2)

මෙතන C1 , C2 - අත්තනෝමතික නියතයන්.

4. අපි එකක් සොයා ගනිමු පුද්ගලික විසඳුම විෂම පද්ධතිය(1) . ඡේදයේ මෙන් 3 , පද්ධතිය වෙනුවට (1) සමාන පද්ධතියක් සලකා බලමු (5) , පද්ධතියේ පළමු සමීකරණ දෙකෙන් සමන්විත වේ (1) .

(5)

අපි නිදහස් නොදන්නා දේ දකුණු පැත්තට ගෙන යමු x2සහ x4.

(6)

නොදන්න දේවල් නොමිලේ දෙමු x2 සහ x4 අත්තනෝමතික අගයන්, උදාහරණයක් ලෙස, x2=2 , x4=1 ඒවා ඇතුලට දාන්න (6) . අපි පද්ධතිය ලබා ගනිමු

මෙම පද්ධතියට අද්විතීය විසඳුමක් ඇත (එහි නිර්ණායකය බැවින් M2′0) එය විසඳීම (ක්රේමර්ගේ ප්රමේයය හෝ ගවුස්ගේ ක්රමය භාවිතා කිරීම), අපි ලබා ගනිමු x1=3 , x3=3 . නොමිලේ නොදන්නා අගයන් ලබා දී ඇත x2 සහ x4 , අපිට ලැබෙනවා සමජාතීය පද්ධතියක විශේෂිත විසඳුමක්(1)α1=(3,2,3,1).

5. දැන් ඉතිරිව ඇත්තේ එය ලිවීමට පමණි සමජාතීය පද්ධතියක පොදු විසඳුම α(1) : එය එකතුවට සමාන වේ පුද්ගලික විසඳුමමෙම පද්ධතිය සහ එහි අඩු වූ සමජාතීය පද්ධතියේ සාමාන්ය විසඳුම (2) :

α=α1+γ=(3, 2, 3, 1)+(‑С1+5С2, С1, 4С2, С2).

මෙයින් අදහස් වන්නේ: (7)

6. විභාගය.ඔබ පද්ධතිය නිවැරදිව විසඳා ඇත්දැයි පරීක්ෂා කිරීමට (1) , අපට පොදු විසඳුමක් අවශ්යයි (7) ආදේශක (1) . සෑම සමීකරණයක්ම අනන්‍යතාවයට හැරෙන්නේ නම් ( C1 සහ C2 විනාශ කළ යුතුය), එවිට විසඳුම නිවැරදිව සොයාගත හැකිය.

අපි ආදේශ කරන්නෙමු (7) උදාහරණයක් ලෙස, පද්ධතියේ අවසාන සමීකරණය පමණි (1) (x1 + x2 + x3 ‑9 x4 =‑1) .

අපට ලැබෙන්නේ: (3–С1+5С2)+(2+С1)+(3+4С2)–9(1+С2)=–1

(С1–С1)+(5С2+4С2–9С2)+(3+2+3–9)=–1

කොහෙද –1=–1. අපිට අනන්‍යතාවක් ලැබුණා. පද්ධතියේ අනෙකුත් සියලුම සමීකරණ සමඟ අපි මෙය කරන්නෙමු (1) .

අදහස් දක්වන්න.චෙක්පත සාමාන්යයෙන් තරමක් අපහසුයි. පහත දැක්වෙන "අර්ධ පරීක්ෂාව" නිර්දේශ කළ හැක: පද්ධතියේ පොදු විසඳුමෙහි (1) අත්තනෝමතික නියතයන් සඳහා සමහර අගයන් පවරන්න සහ ප්රතිඵලය වන අර්ධ විසඳුම ඉවතලන සමීකරණවලට (එනම්, එම සමීකරණවලට පමණක් ආදේශ කරන්න. (1) , ඇතුළත් නොවූ (5) ) ඔබට හැඳුනුම්පත් ලැබෙන්නේ නම්, එවිට බොහෝ දුරට ඉඩ ඇත, පද්ධති විසඳුම (1) නිවැරදිව සොයා ගන්නා ලදී (නමුත් එවැනි චෙක්පතක් නිවැරදි බව පිළිබඳ සම්පූර්ණ සහතිකයක් ලබා නොදේ!). උදාහරණයක් ලෙස, ඇතුලේ නම් (7) දැම්මා C2=- 1 , C1=1, එවිට අපට ලැබෙන්නේ: x1=-3, x2=3, x3=-1, x4=0. පද්ධතියේ (1) අවසාන සමීකරණයට ආදේශ කිරීම, අපට ඇත්තේ: - 3+3 - 1 - 9∙0= - 1 , එනම් –1=-1. අපිට අනන්‍යතාවක් ලැබුණා.

උදාහරණ 2.රේඛීය සමීකරණ පද්ධතියකට පොදු විසඳුමක් සොයන්න (1) , නිදහස් ඒවා අනුව මූලික නොදන්නා දේ ප්රකාශ කිරීම.

විසඳුම.ලෙස උදාහරණ 1, න්‍යාස රචනා කරන්න ඒසහ මෙම න්‍යාස වල https://pandia.ru/text/78/176/images/image010_57.gif" width="156" height="50"> දැන් අපි ඉතිරි කරන්නේ පද්ධතියේ එම සමීකරණ පමණි (1) , මෙම මූලික සුළු (එනම්, අපට පළමු සමීකරණ දෙක ඇත) ඇතුළත් වන සංගුණක සහ පද්ධතිය (1) ට සමාන ඒවා සමන්විත පද්ධතියක් සලකා බලන්න.

අපි මෙම සමීකරණවල දකුණු පසට නොමිලේ නොදන්නා දේ මාරු කරමු.

පද්ධතිය (9) අපි දකුණු පස නිදහස් නියමයන් ලෙස සලකමින් Gaussian ක්රමය මගින් විසඳන්නෙමු.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image035_21.gif" width="202 height=106" height="106">

විකල්ප 2.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image039_16.gif" width="192" height="106 src=">

විකල්ප 4.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image042_14.gif" width="172" height="80">

විකල්ප 5.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image044_12.gif" width="179 height=106" height="106">

විකල්ප 6.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image046_11.gif" width="195" height="106">

රේඛීය සමජාතීය සමීකරණ පද්ධති- ∑a k i x i = 0 ආකෘතිය ඇත. එහිදී m > n හෝ m රේඛීය සමීකරණවල සමජාතීය පද්ධතියක් rangA = rangB බැවින් සෑම විටම අනුකූල වේ. එය පැහැදිලිවම ශුන්‍ය වලින් සමන්විත විසඳුමක් ඇත, එය හැඳින්වේ සුළු සුළුය.

සේවාවේ අරමුණ. ඔන්ලයින් කැල්කියුලේටරය නිර්මාණය කර ඇත්තේ SLAE සඳහා සුළු නොවන සහ මූලික විසඳුමක් සෙවීමටය. ලැබෙන විසඳුම Word ගොනුවක සුරකිනු ලැබේ (උදාහරණ විසඳුම බලන්න).

උපදෙස්. අනුකෘති මානය තෝරන්න:

විචල්ය සංඛ්යාව: 2 3 4 5 6 7 8 සහ පේළි ගණන 2 3 4 5 6

රේඛීය සමජාතීය සමීකරණ පද්ධතිවල ගුණ

පද්ධතිය ඇති කිරීම සඳහා සුළු නොවන විසඳුම්, එහි අනුකෘතියේ ශ්‍රේණිය නොදන්නා සංඛ්‍යාවට වඩා අඩු වීම අවශ්‍ය සහ ප්‍රමාණවත් වේ.

ප්රමේයය. m=n නඩුවේ පද්ධතියකට සුළු නොවන විසඳුමක් ඇත්තේ මෙම පද්ධතියේ නිර්ණායකය ශුන්‍යයට සමාන නම් පමණි.

ප්රමේයය. පද්ධතියකට විසඳුම්වල ඕනෑම රේඛීය සංයෝජනයක් ද එම පද්ධතියට විසඳුමකි.
අර්ථ දැක්වීම. රේඛීය සමජාතීය සමීකරණ පද්ධතියකට විසඳුම් මාලාවක් ලෙස හැඳින්වේ මූලික විසඳුම් පද්ධතිය, මෙම කට්ටලය රේඛීය ස්වාධීන විසඳුම් වලින් සමන්විත නම් සහ පද්ධතියට ඕනෑම විසඳුමක් මෙම විසඳුම්වල රේඛීය සංයෝජනයකි.

ප්රමේයය. පද්ධති න්‍යාසයේ r ශ්‍රේණිය නොදන්නා සංඛ්‍යාව n ට වඩා අඩු නම්, (n-r) විසඳුම් වලින් සමන්විත මූලික විසඳුම් පද්ධතියක් පවතී.

රේඛීය සමජාතීය සමීකරණ පද්ධති විසඳීම සඳහා ඇල්ගොරිතම

  1. අනුකෘතියේ ශ්‍රේණිය සොයා ගැනීම.
  2. අපි මූලික බාලවය තෝරා ගනිමු. අපි යැපෙන (මූලික) සහ නිදහස් නොදන්නා දේ වෙන්කර හඳුනා ගනිමු.
  3. පාදක සුළු ප්‍රමාණයේ සංගුණක ඇතුළත් නොවන පද්ධතියේ සමීකරණ අපි හරස් කරමු, මන්ද ඒවා අනෙක් ඒවායේ ප්‍රතිවිපාක වන බැවිනි (අඩු පදනම මත ප්‍රමේයයට අනුව).
  4. අපි නිදහස් නොදන්නා කරුණු අඩංගු සමීකරණවල නියමයන් දකුණු පැත්තට ගෙන යන්නෙමු. එහි ප්‍රතිඵලයක් වශයෙන්, අපි ලබා දී ඇති එකට සමාන r නොදන්නා r සමීකරණ පද්ධතියක් ලබා ගනිමු, එහි නිර්ණායකය ශුන්‍ය නොවේ.
  5. අපි නොදන්නා දේ ඉවත් කිරීමෙන් ඇතිවන පද්ධතිය විසඳන්නෙමු. නිදහස් ඒවා හරහා යැපෙන විචල්‍යයන් ප්‍රකාශ කරන සම්බන්ධතා අපට හමු වේ.
  6. අනුකෘතියේ ශ්‍රේණිය විචල්‍ය ගණනට සමාන නොවේ නම්, අපි පද්ධතියේ මූලික විසඳුම සොයා ගනිමු.
  7. rang = n නඩුවේදී අපට සුළු විසඳුමක් ඇත.

උදාහරණය. දෛශික පද්ධතියේ පදනම සොයන්න (a 1, a 2,...,a m), පාදම මත පදනම්ව දෛශික ශ්‍රේණිගත කර ප්‍රකාශ කරන්න. නම් 1 =(0,0,1,-1), සහ 2 =(1,1,2,0), සහ 3 =(1,1,1,1), සහ 4 =(3,2,1 ,4), සහ 5 =(2,1,0,3).
පද්ධතියේ ප්‍රධාන අනුකෘතිය ලියා තබමු:


3 වන පේළිය (-3) න් ගුණ කරන්න. අපි 4 වන පේළිය 3 වෙනි එකට එකතු කරමු:
0 0 1 -1
0 0 -1 1
0 -1 -2 1
3 2 1 4
2 1 0 3

4 වන පේළිය (-2) මගින් ගුණ කරන්න. 5 වන පේළිය (3) න් ගුණ කරමු. අපි 5 වන පේළිය 4 වැන්නට එකතු කරමු:
අපි 2 වන පේළිය 1 ට එකතු කරමු:
න්‍යාසයේ ශ්‍රේණිය සොයා ගනිමු.
මෙම න්‍යාසයේ සංගුණක සහිත පද්ධතිය මුල් පද්ධතියට සමාන වන අතර පෝරමය ඇත:
- x 3 = - x 4
- x 2 - 2x 3 = - x 4
2x 1 + x 2 = - 3x 4
නොදන්නා දේ ඉවත් කිරීමේ ක්‍රමය භාවිතා කරමින්, අපි සුළු නොවන විසඳුමක් සොයා ගනිමු:
අපි x 1 , x 2 , x 3 යන පරායත්ත විචල්‍යයන් ප්‍රකාශ කරන සම්බන්ධතා x 4 නිදහස් ඒවා හරහා ලබා ගත්තෙමු, එනම් අපි සාමාන්‍ය විසඳුමක් සොයා ගත්තෙමු:
x 3 = x 4
x 2 = - x 4
x 1 = - x 4

ඔබ ලිපියට කැමතිද? එය හුවමාරු කරගන්න
මෙම ලිපිය මුද්‍රණය කරන්න
ඉහළ