කණ්ඩායමක් චක්රීය උප කණ්ඩායම් වලට වියෝජනය කිරීම. චක්රීය උප කණ්ඩායම්
- 1. කණ්ඩායම Zඑකතු කිරීමේ මෙහෙයුම සමඟ පූර්ණ සංඛ්යා.
- 2. උපාධියේ සියලුම සංකීර්ණ මූලයන් සමූහය nගුණ කිරීමේ මෙහෙයුම සහිත එකකින්. චක්රීය සංඛ්යාව සමස්ථානික බැවින්
සමූහය චක්රීය වන අතර මූලද්රව්යය උත්පාදක වේ.
චක්රීය කණ්ඩායම් පරිමිත හෝ අනන්ත විය හැකි බව අපට පෙනේ.
3. අත්තනෝමතික කණ්ඩායමක් සහ අත්තනෝමතික අංගයක් වෙමු. කට්ටලය යනු උත්පාදක මූලද්රව්ය g සමඟ චක්රීය කණ්ඩායමකි. එය g මූලද්රව්ය මගින් ජනනය වන චක්රීය උප සමූහය ලෙස හඳුන්වන අතර එහි අනුපිළිවෙල g මූලද්රව්යයේ අනුපිළිවෙල වේ. ලග්රංගේ ප්‍රමේයයට අනුව, මූලද්රව්යයක අනුපිළිවෙල කාණ්ඩයේ අනුපිළිවෙලෙහි බෙදුම්කරු වේ. ප්රදර්ශනය කරන්න
සූත්රය අනුව ක්රියාත්මක වේ:
පැහැදිලිවම සමලිංගිකත්වයක් වන අතර එහි රූපය සමපාත වේ. සිතියම්ගත කිරීමක් surjective වන්නේ කණ්ඩායම නම් සහ පමණි ජී- චක්රීය සහ gඑහි සංඝටක මූලද්රව්යය. මෙම අවස්ථාවෙහිදී අපි චක්රීය කණ්ඩායම සඳහා සම්මත සමලිංගිකත්වය ලෙස හඳුන්වමු ජීතෝරාගත් generatrix සමඟ g.
මෙම අවස්ථාවේ දී සමලිංගික ප්රමේයය යෙදීමෙන්, අපි චක්රීය කණ්ඩායම්වල වැදගත් දේපලක් ලබා ගනිමු: සෑම චක්රීය කණ්ඩායමක්ම සමූහයේ සමලිංගික රූපයකි. Z .
ඕනෑම කණ්ඩායමක ජීතීරණය කළ හැකිය උපාධිනිඛිල දර්ශක සහිත මූලද්රව්ය:
දේපල හිමිවේ
නම් මෙය පැහැදිලිය . අපි නඩුව සලකා බලමු . ඉන්පසු
ඉතිරි අවස්ථා සමාන ලෙස සලකනු ලැබේ.
(6) සිට එය පහත දැක්වේ
එපමණක් නොව, නිර්වචනය අනුව. මේ අනුව, මූලද්රව්යයක බලතල සමූහයේ උප සමූහයක් සාදයි ජී.එය හැඳින්වේ මූලද්රව්යයක් මගින් ජනනය කරන ලද චක්රීය උප සමූහයක්,සහ මගින් දැක්වේ .
මූලික වශයෙන් වෙනස් අවස්ථා දෙකක් විය හැකිය: එක් මූලද්රව්යයක සියලුම අංශක වෙනස් වේ, නැතහොත් නැත. පළමු අවස්ථාවේ දී, උප සමූහය අනන්තය. අපි දෙවන නඩුව වඩාත් විස්තරාත්මකව සලකා බලමු.
ඉඩ ,; ඉන්පසු. කුඩාම ස්වභාවික අංකය ටී,සඳහා, මෙම නඩුවේ කැඳවනු ලැබේ පිළිවෙළින්මූලද්රව්යය සහ මගින් දැක්වේ .
වාක්යය 1. නම් , එම
සාක්ෂි. 1) බෙදන්න එම්මත පීඉතිරිය සමඟ:
ඉන්පසුව, පිළිවෙලෙහි නිර්වචනය අනුව
පෙර නිසා
ප්රතිවිපාකය. mo උප සමූහයේ n මූලද්රව්ය අඩංගු නම්.
සාක්ෂි.ඇත්තටම,
සහ ලැයිස්තුගත කර ඇති සියලුම මූලද්රව්ය වෙනස් වේ.
එවැනි ස්වභාවික නොමැති අවස්ථාවක ටී,(එනම් ඉහත විස්තර කර ඇති පළමු අවස්ථාව සිදු වේ), එය විශ්වාස කෙරේ . එය සටහන් කර ගන්න; කණ්ඩායමේ අනෙකුත් සියලුම අංගවල ඇණවුම් 1 ට වඩා වැඩි ය.
ආකලන කාණ්ඩයේ අපි මූලද්රව්යයක බල ගැන කතා නොකරමු , සහ ඔහු ගැන ගුණාකාර,මගින් දක්වනු ලැබේ . මෙයට අනුකූලව, ආකලන කාණ්ඩයේ මූලද්රව්යයේ අනුපිළිවෙල වේ ජී-- කුඩාම ස්වභාවික අංකය වේ ටී(එවැනි පවතී නම්) ඒ සඳහා
උදාහරණ 1.ක්ෂේත්‍රයක ලක්ෂණය වන්නේ එහි ආකලන කාණ්ඩයේ ශුන්‍ය නොවන ඕනෑම මූලද්රව්යයක අනුපිළිවෙලයි.
උදාහරණ 2. පරිමිත කණ්ඩායමක ඕනෑම මූලද්රව්යයක අනුපිළිවෙල පරිමිත බව පැහැදිලිය. කණ්ඩායමක මූලද්‍රව්‍යවල ඇණවුම් ගණනය කරන්නේ කෙසේදැයි අපි පෙන්වමු චක්රයදිග සහ එය චක්‍රීයව නැවත සකස් කරන්නේ නම් එය දක්වනු ලැබේ
සහ අනෙකුත් සියලුම අංක තබයි. නිසැකවම, චක්රයේ දිග අනුපිළිවෙල සමාන වේ ආර්.චක්ර ලෙස හැඳින්වේ ස්වාධීන,ඔවුන් සැබවින්ම නැවත සකස් කරන සංඛ්යා අතර පොදු ඒවා නොමැත; මේ අවස්ථාවේ දී . සෑම ආදේශනයක්ම ස්වාධීන චක්‍රවල නිෂ්පාදනයක් බවට අද්විතීය ලෙස වියෝජනය කළ හැකිය. උදාහරණ වශයෙන්,
රූපයේ පැහැදිලිව පෙන්වා ඇති අතර, ආදේශන ක්‍රියාව ඊතල මගින් නිරූපණය කෙරේ. ආදේශනය දිග ස්වාධීන චක්‍රවල නිෂ්පාදනයක් බවට දිරාපත් වී ඇත්නම් , එම
උදාහරණ 3.සමූහයක c සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවක අනුපිළිවෙල සීමිත වන්නේ මෙම සංඛ්යාව යම් ඒකීය බලයක මූලයක් නම් සහ පමණක් නම්, එය සිදු වන්නේ a c ට අනුරූප නම් සහ පමණක් නම් පමණි, i.e. .
උදාහරණ 4.තලයේ චලිත සමූහයේ පරිමිත අනුපිළිවෙලෙහි මූලද්රව්ය සොයා ගනිමු. ඉඩ දෙන්න. ඕනෑම කරුණක් සඳහා
චලනය මගින් චක්‍රීයව නැවත සකස් කර ඇත , එබැවින් ඔවුන්ගේ ගුරුත්වාකර්ෂණ මධ්යස්ථානය ඕසාපේක්ෂව චලිත නොවේ. එබැවින්, - එක්කෝ ලක්ෂ්‍යය වටා දර්ශන කෝණයෙන් භ්‍රමණය වීම ඕ, හෝ හරහා ගමන් කරන යම් සරල රේඛාවකට සාපේක්ෂව පරාවර්තනය ඕ.
උදාහරණ 5. අපි matrix අනුපිළිවෙල සොයා ගනිමු
කණ්ඩායමේ අංගයක් ලෙස. අපිට තියෙනවා
ඒ නිසා. ඇත්ත වශයෙන්ම, මෙම උදාහරණය විශේෂයෙන් තෝරාගෙන ඇත: අහඹු ලෙස තෝරාගත් න්‍යාසයක අනුපිළිවෙල සීමිත වීමේ සම්භාවිතාව ශුන්‍ය වේ.
යෝජනාව 2. නම් , එම
සාක්ෂි.ඉඩ
ඒ නිසා. අපිට තියෙනවා
එබැවින්, .
අර්ථ දැක්වීම 1 . සමූහය ජීකියලා චක්රීය,එවැනි මූලද්රව්යයක් පවතී නම් , කුමක් ද . එවැනි ඕනෑම මූලද්රව්යයක් ලෙස හැඳින්වේ උත්පාදක මූලද්රව්යයකණ්ඩායම් ජී.
උදාහරණ 6.නිඛිලවල ආකලන සමූහය චක්රීය වන්නේ එය මූලද්රව්ය 1 මගින් ජනනය වන බැවිනි.
උදාහරණ 7.මොඩියුල අඩු කිරීම් වල ආකලන සමූහය nඑය චක්රීය වන්නේ එය මූලද්රව්ය මගින් ජනනය වන බැවිනි.
උදාහරණ 8. 1 හි සංකීර්ණ n වන මූලයන්ගේ ගුණ කිරීමේ කණ්ඩායම චක්රීය වේ. ඇත්ත වශයෙන්ම, මෙම මූලයන් සංඛ්යා වේ
ඒක පැහැදිලියි . එබැවින්, මූලද්රව්යය මගින් සමූහය උත්පාදනය වේ.
අසීමිත චක්රීය සමූහයක ඇති එකම මූලද්රව්ය සහ ඒවා බව දැකීම පහසුය. මේ අනුව, Z කාණ්ඩයේ එකම උත්පාදක මූලද්රව්ය වන්නේ 1 සහ -- 1 වේ.
අවසාන කණ්ඩායමේ මූලද්රව්ය සංඛ්යාව ජීඇය ඇමතුවා පිළිවෙළින්සහ මගින් දැක්වේ. සීමිත චක්රීය කාණ්ඩයක අනුපිළිවෙල එහි උත්පාදක මූලද්රව්යයේ අනුපිළිවෙලට සමාන වේ. එබැවින්, 2 වන යෝජනාවෙන් එය පහත දැක්වේ
වාක්යය 3 . චක්රීය කණ්ඩායම් මූලද්රව්යය n අනුපිළිවෙල නම් සහ if පමණක් ජනනය වේ
උදාහරණ 9.සමූහයක උත්පාදක මූලද්රව්ය ලෙස හැඳින්වේ ප්රාථමික මූලයන් n 1 හි බලය. මේවා විශේෂයේ මූලයන් වේ , කොහෙද. උදාහරණයක් ලෙස, 1 සිට 12 වන උපාධියේ ප්රාථමික මූලයන් වේ.
චක්රීය කණ්ඩායම් යනු සිතාගත හැකි සරලම කණ්ඩායම් වේ. (විශේෂයෙන්ම, ඔවුන් Abelian වේ.) පහත දැක්වෙන ප්රමේයය ඔවුන්ගේ සම්පූර්ණ විස්තරය සපයයි.
ප්රමේයය 1. සෑම අනන්ත චක්රීය කණ්ඩායමක්ම සමූහයකට සමරූපී වේ. n අනුපිළිවෙලෙහි සෑම පරිමිත චක්රීය කණ්ඩායමක්ම සමූහයකට සමරූපී වේ.
සාක්ෂි. අසීමිත චක්රීය කණ්ඩායමක් නම්, සූත්රය (4) මගින් සිතියම්ගත කිරීම සමාවයවිකතාවකි.
පරිමිත චක්රීය අනුපිළිවෙලක් වීමට ඉඩ දෙන්න පී.සිතියම්ගත කිරීම සලකා බලන්න
එවිට සිතියම්කරණය මනාව අර්ථ දක්වා ඇති අතර ද්විපාර්ශ්වික වේ. දේපල
එකම සූත්‍රයෙන් (1) පහත දැක්වේ. මේ අනුව, එය සමාවයවිකතාවකි.
ප්රමේයය ඔප්පු කර ඇත.
කණ්ඩායමක ව්‍යුහය අවබෝධ කර ගැනීම සඳහා එහි උප කණ්ඩායම් පිළිබඳ දැනුම වැදගත් කාර්යභාරයක් ඉටු කරයි. චක්රීය කාණ්ඩයේ සියලුම උප කණ්ඩායම් පහසුවෙන් විස්තර කළ හැකිය.
ප්රමේයය 2. 1) චක්රීය කණ්ඩායමක සෑම උප සමූහයක්ම චක්රීය වේ.
2) චක්රීය අනුපිළිවෙලක n ඕනෑම උප සමූහයක අනුපිළිවෙල බෙදේ n සහ අංකයේ ඕනෑම භාජක q සඳහා n q අනුපිළිවෙලෙහි හරියටම එක් උප සමූහයක් ඇත.
සාක්ෂි. 1) චක්රීය කණ්ඩායමක් වෙමු සහ එන්-- එහි උප සමූහය, ඊට වෙනස් (අනන්‍යතා උප සමූහය පැහැදිලිවම චක්රීය වේ.) යම් දෙයක් සඳහා නම්, පසුව සහ . ඉඩ ටී-- ස්වාභාවික සංඛ්‍යාවලින් කුඩාම සංඛ්යාව . ඒක ඔප්පු කරමු . ඉඩ . අපි බෙදමු දක්වාමත ටීඉතිරිය සමඟ:
එතැන් සිට, අංකයේ අර්ථ දැක්වීම අනුව ටීඑය අනුගමනය කරයි, එබැවින්, .
2) නම් , ඉන්පසු පෙර තර්කය අදාළ විය (මෙම අවස්ථාවෙහිදී ), කියලා පෙන්නනවා . එහි
සහ එන්අනුපිළිවෙලෙහි එකම උප සමූහය වේ qකණ්ඩායම තුළ ජී.ආපසු නම් q-- ඕනෑම සංඛ්යා බෙදීමක් පීසහ , පසුව උප කුලකයක් එන්,සමානාත්මතාවයෙන් අර්ථ දක්වා ඇත (9), යනු අනුපිළිවෙලෙහි උප සමූහයකි q. ප්රමේයය ඔප්පු කර ඇත.
ප්රතිවිපාකය . ප්‍රමුඛ අනුපිළිවෙලෙහි චක්රීය කණ්ඩායමක, ඕනෑම සුළු නොවන උප සමූහයක් සම්පූර්ණ කණ්ඩායම සමඟ සමපාත වේ.
උදාහරණ 10.කණ්ඩායමක් තුළ, සෑම උප සමූහයකටම පෝරමය ඇත.
උදාහරණ 11. 1 හි n වන මූල සමූහයක, ඕනෑම උප සමූහයක් මූල සමූහයකි q- 1 වන උපාධිය, කොහෙද.
O කාණ්ඩයේ සියලුම මූලද්රව්ය එකම මූලද්රව්යයේ බල නම් චක්රීය ලෙස හැඳින්වේ.
චක්රීය කණ්ඩායමක් යනු, උදාහරණයක් ලෙස, එකතු කිරීම මගින් පූර්ණ සංඛ්යා සමූහයකි. අපි මෙම කණ්ඩායම සංකේතය 2 මගින් දක්වන්නෙමු. එහි උත්පාදක යන්ත්රය අංක 1 (මෙන්ම අංකය - 1) වේ. චක්රීය කණ්ඩායමක් යනු එක් මූලද්‍රව්‍යයකින් (එකක්) පමණක් සමන්විත සමූහයකි.
අත්තනෝමතික කණ්ඩායමක O, ඕනෑම මූලද්රව්යයක බලය g උත්පාදක g සමඟ චක්රීය උප සමූහයක් සාදයි. මෙම උප සමූහයේ අනුපිළිවෙල පැහැදිලිවම g මූලද්රව්යයේ අනුපිළිවෙල සමඟ සමපාත වේ. මෙතැන් සිට, ලග්රංගේ ප්රමේයය අනුව (පිටුව 32 බලන්න), සමූහයේ ඕනෑම මූලද්රව්යයක අනුපිළිවෙල සමූහයේ අනුපිළිවෙල බෙදන බව අනුගමනය කරයි (සීමිත කණ්ඩායමක සියලුම මූලද්රව්ය පරිමිත අනුපිළිවෙලෙහි මූලද්රව්ය බව සලකන්න).
එබැවින්, පරිමිත අනුපිළිවෙලෙහි ඕනෑම මූලද්රව්ය g සඳහා සමානාත්මතාවය දරයි
මෙම සරල ප්රකාශය බොහෝ විට ප්රයෝජනවත් වේ.
ඇත්ත වශයෙන්ම, O කාණ්ඩය චක්රීය සහ එහි උත්පාදක නම්, මූලද්රව්යයේ අනුපිළිවෙල සමාන වේ. අනෙක් අතට, O කාණ්ඩයේ අනුපිළිවෙලෙහි මූලද්රව්යයක් තිබේ නම්, මෙම මූලද්රව්යයේ බල අතර විවිධ ඒවා ඇත, එබැවින් මෙම බලයන් O කාණ්ඩය සම්පූර්ණ කරයි.
එබැවින්, චක්රීය කණ්ඩායමකට විවිධ ජනක යන්ත්‍ර කිහිපයක් තිබිය හැකි බව අපි දකිමු (එනම්, අනුපිළිවෙලෙහි ඕනෑම අංගයක් උත්පාදකයකි).
කාර්ය. ප්‍රමුඛ පෙළේ ඕනෑම කණ්ඩායමක් චක්රීය කණ්ඩායමක් බව ඔප්පු කරන්න.
කාර්ය. අනුපිළිවෙලෙහි චක්රීය සමූහයක හරියටම ජනක යන්ත්‍ර ඇති බව ඔප්පු කරන්න, ධන සංඛ්යා සංඛ්යාව ට වඩා අඩු සහ සාපේක්ෂ වශයෙන් ප්‍රාථමිකය කොහෙද.
අනුපිළිවෙල සමඟ, ඕනෑම පරිමිත කණ්ඩායමක් අංකයකට ආරෝපණය කළ හැකිය - එහි සියලුම මූලද්‍රව්‍යවල අනුපිළිවෙලෙහි අවම පොදු ගුණකය.
කාර්ය. ඕනෑම සීමිත O කණ්ඩායමක් සඳහා සංඛ්යාව කාණ්ඩයේ අනුපිළිවෙල බෙදන බව ඔප්පු කරන්න.
නිසැකවම, චක්රීය කණ්ඩායමක් සඳහා අංකය අනුපිළිවෙල සමඟ සමපාත වේ. ප්රතිවිරුද්ධය, සාමාන්යයෙන් කථා කිරීම, සත්ය නොවේ. එසේ වුවද, සීමිත ඇබේලියන් කණ්ඩායම් පන්තියේ චක්රීය කණ්ඩායම් සංලක්ෂිත පහත ප්රකාශය දරයි:
සංඛ්යාව එහි අනුපිළිවෙලට සමාන වන සීමිත Abelian කණ්ඩායමක් චක්රීය කණ්ඩායමකි.
ඇත්ත වශයෙන්ම, ඉඩ දෙන්න
සීමිත Abelian කාණ්ඩයක O හි සියලු ඒකක නොවන මූලද්‍රව්‍යවල අනුපිළිවෙලවල් පිළිවෙලට ඇති අතර, ඒවායේ අවම පොදු ගුණාකාර විය යුතුය.
විවිධ ප්රාථමික සංඛ්‍යාවල බලවල ගුණිතයට සංඛ්යාව පුළුල් කරමු:
සංඛ්යාවක් නිර්වචනයට අනුව, සංඛ්යා වල අවම පොදු ගුණාකාරය (1) වන බැවින්, මෙම සංඛ්යා අතර අවම වශයෙන් එක් සංඛ්යාවක් ඇත, එය හරියටම බෙදිය හැකිය, එනම්, ආකෘති පත්‍රය ඇත, එහිදී b යනු . මෙම අංකය g මූලද්රව්යයේ අනුපිළිවෙලට ඉඩ දෙන්න. එවිට මූලද්‍රව්‍යයට අනුපිළිවෙලක් ඇත (29 පිටුවේ නිගමනය 1 බලන්න).
මේ අනුව, O කාණ්ඩයේ සිටින ඕනෑම කෙනෙකුට අවම වශයෙන් එක් එක් අංගයක් හෝ පිළිවෙලක් තිබේ නම්, අපි ඔවුන්ගේ නිෂ්පාදනය සලකා බලමු. 29-30 පිටුවල ඔප්පු කර ඇති ප්‍රකාශයට අනුව, මෙම නිෂ්පාදනයේ අනුපිළිවෙල ඇණවුම් නිෂ්පාදනයට සමාන වේ, එනම් සංඛ්‍යාවට සමාන වේ. කොන්දේසිය අනුව අවසාන අංකය සමාන වන බැවින්, O කාණ්ඩයේ n අනුපිළිවෙලෙහි මූලද්රව්යයක් ඇති බව එමගින් ඔප්පු වේ. ඒ අනුව, මෙම කණ්ඩායම චක්රීය කණ්ඩායමකි.
දැන් O ජනකයක් සහිත අත්තනෝමතික චක්රීය කණ්ඩායමක් වන අතර H එහි උප කණ්ඩායම් කිහිපයක් වීමට ඉඩ දෙන්න. H උප කාණ්ඩයේ ඕනෑම මූලද්රව්යයක් O කාණ්ඩයේ මූලද්රව්යයක් වන බැවින්, එය d යනු යම් ධන හෝ ඍණ පූර්ණ සංඛ්යාවක් (සාමාන්යයෙන් කථා කිරීම, එය අනන්‍ය ලෙස අර්ථ දක්වා නැත) ආකෘතියෙන් නිරූපණය කළ හැක. මූලද්රව්යය H උප සමූහයට අයත් වන සියලුම ධන සංඛ්යා කට්ටලය සලකා බලමු. මෙම කට්ටලය හිස් නොවන බැවින් (ඇයි?), එවිට එහි කුඩාම සංඛ්යාව අඩංගු වන්නේ H උප කාණ්ඩයේ ඕනෑම මූලද්රව්යයක් බවයි මූලද්රව්යයේ බලය. ඇත්ත වශයෙන්ම, නිර්වචනය අනුව, d අංකයක් ඇත (d අංකය සෘණ විය හැක). අංකය d අංකයෙන් (ඉතිරි සමග) බෙදන්න
සිට , එසේ නම්, අංකයේ අවම බව නිසා, ඉතිරිය බිංදුවට සමාන විය යුතුය. මේ අනුව, .
මෙම මූලද්රව්යය H කාණ්ඩයේ උත්පාදකයක් බව ඔප්පු කරයි, එනම් H කාණ්ඩය චක්රීය බව. එබැවින්, චක්රීය කණ්ඩායමක ඕනෑම උප සමූහයක් චක්රීය කණ්ඩායමකි.
කාර්ය. අංකය H උප කාණ්ඩයේ දර්ශකයට සමාන බව ඔප්පු කරන්න, එබැවින් O කාණ්ඩයේ අනුපිළිවෙල බෙදයි (O කාණ්ඩය සීමිත නම්).
O කාණ්ඩයේ Q කාණ්ඩයේ සීමිත චක්රීය කාණ්ඩයක ඕනෑම අනුපිළිවෙල භාජකයක් සඳහා ඇත්තේ අනුපිළිවෙලෙහි එක් උප සමූහයක් පමණක් බව සලකන්න (එනම්, උත්පාදක යන්ත්රය සහිත උප සමූහය
මෙයින් ඇඟවෙන්නේ සීමිත චක්රීය කණ්ඩායමක් සරල නම්, එහි අනුපිළිවෙල ප්‍රමුඛ (හෝ එකමුතු) වන බවයි.
Q චක්රීය කාණ්ඩයක ඕනෑම ප්‍රාග්ධන කණ්ඩායමක් (එබැවින් ඕනෑම සමලිංගික රූපයක්) චක්රීය කණ්ඩායමක් බව අපි අවසාන වශයෙන් සටහන් කරමු.
එය සනාථ කිරීම සඳහා, කණ්ඩායමේ උත්පාදක යන්ත්රය O කාණ්ඩයේ ජනකය අඩංගු කෝසෙට් බව සටහන් කිරීම ප්රමාණවත්ය.
විශේෂයෙන්ම, Z නිඛිල කාණ්ඩයේ ඕනෑම quotient කාණ්ඩයක් චක්රීය කණ්ඩායමකි. අපි මෙම චක්රීය කණ්ඩායම් වඩාත් විස්තරාත්මකව අධ්‍යයනය කරමු.
Z කාණ්ඩය Abelian බැවින්, එහි ඕනෑම උප කාණ්ඩයක් H සාමාන්ය බෙදුම්කරු වේ. අනෙක් අතට, ඉහත ඔප්පු කළ දෙයට අනුව, H උප සමූහය චක්රීය කණ්ඩායමකි. සුළු උප සමූහ මගින් quotient කණ්ඩායම් අප දන්නා බැවින්, අපට H උප සමූහය සුළු නොවන ලෙස සැලකිය හැකිය. සංඛ්යාව H උප කාණ්ඩයේ උත්පාදකයක් වීමට ඉඩ හරින්න. අපට මෙම සංඛ්යාව ධන (ඇයි?) ලෙස සැලකිය හැකි අතර, එබැවින් එකකට වඩා වැඩිය.
උප සමූහය N. පැහැදිලිවම කින් බෙදිය හැකි සියලුම නිඛිල වලින් සමන්විත වේ. එබැවින්, සංඛ්යා දෙකක් H උප කාණ්ඩයේ එකම කෝසෙට් එකකට අයත් වන්නේ ඒවායේ වෙනස බෙදිය හැකි නම් සහ එනම්, මාපාංකයෙන් සංසන්දනය කළ හැකි විට පමණි (පාඨමාලාව, p. 277 බලන්න). මේ අනුව, H උප කාණ්ඩයේ cosets යනු මාපාංකය තුළ එකිනෙකට සැසඳිය හැකි සංඛ්යා පන්තිවලට වඩා වැඩි දෙයක් නොවේ.
වෙනත් වචන වලින් කිවහොත්, H උප කාණ්ඩය අනුව Z කාණ්ඩයේ ප්‍රවර්ධක කණ්ඩායම යනු මාපාංකය තුළ එකිනෙකට සැසඳිය හැකි සංඛ්යා කාණ්ඩ සමූහයකි (එකතු කිරීම මගින්). අපි මෙම කණ්ඩායම එහි උත්පාදක යන්ත්‍රයෙන් දක්වන්නේ අංක 1 අඩංගු පන්තියයි.
ඕනෑම චක්රීය කණ්ඩායමක් Z කාණ්ඩයට (එය අනන්ත නම්) හෝ එක් කණ්ඩායමකට (එහි අනුපිළිවෙල සීමිත නම්) සමස්ථානික බව පෙනේ.
ඇත්ත වශයෙන්ම, O කාණ්ඩයේ උත්පාදකයක් වෙමු. අපි 2 කාණ්ඩයේ සිට O කාණ්ඩය දක්වා සිතියම්ගත කිරීමක් නිර්වචනය කරමු, සැකසීම
අර්ථ දැක්වීම 1.22. ඉඩ ආර්- අගමැති අංකය. සමූහය ජීකියලා p-කණ්ඩායම,සමූහයේ එක් එක් මූලද්රව්යයේ අනුපිළිවෙල ප්‍රථමික සංඛ්‍යාවක යම් බලයකට සමාන නම් ආර්.
අර්ථ දැක්වීම 1.23. Silovsky r-උප සමූහයසීමිත කණ්ඩායම ජීදී ඇති කණ්ඩායමක p-උප සමූහයක් දී ඇති කණ්ඩායමක විශාල p-උප සමූහයක අඩංගු නොවන බව හැඳින්වේ.
ප්රමේයය 1.25. සීමිත Abelian කණ්ඩායමක් එහි Sylow p-subgroups හි සෘජු නිෂ්පාදනයට සමාන වේ.
සාක්ෂි.සීමිත Abelian කණ්ඩායමක් සලකා බලන්න ජීඇණවුම n සහ ඉඩ n =ආර්"! පි 2 2 පි* 1 k - සංඛ්යා ප්රසාරණය පීවිවිධ ප්‍රථමක සංඛ්‍යාවල බලවල ගුණිතයට. 1 සඳහා, 2,..., දක්වාඅපි I, Sylow r උප සමූහය සහ I මගින්, සියලු I විසින් ජනනය කරන ලද උප සමූහය දක්වමු; සදහා; * මම. I, n I, = (e) බව ඔප්පු කිරීම පහසුය. එබැවින් අයි = (N 1,H 2,...,N k) = N 1 xN 2 x...xN k. g e මූලද්රව්යයක් ඇතැයි සිතමු G, g g Y : |g|. එය අනුගමනය කරයි
|g| = pf"pjf 2 Pk k > g D e Pi - a iඕනෑම i = 1, 2 සඳහා D, දක්වා.න්‍යාය 1.23 හි අනුප්‍රාප්තිය අනුව g 1 මූලද්රව්ය ඇත; g2, ..., gkඊ G,එවැනි = x x... x (g k) සහ | i = 1, 2, ..., /s සඳහා g,-1 = pf 1. අපි g, g I, සමහර g සඳහා යැයි උපකල්පනය කරන්නේ නම්, අපි p-subgroup එකක් ලබා ගනිමු (ගි,මම,) එෆ් I, Sylow p-subgroup හි නිර්වචනයට පටහැනි වේ. මේ අනුව, ඕනෑම i = 1, 2,..., / උදා, e ඊමම කොහෙන්ද? g e N.එබැවින්, එච් = ජීසහ ප්රමේයය ඔප්පු කර ඇත.
ප්රමේයය 1.26. සීමිත Abelian p-කණ්ඩායම චක්රීය උප සමූහවල සෘජු නිෂ්පාදනයට සමාන වේ.
සාක්ෂි.සීමිත Abelian p-group එකක් දෙන්න ජී.එහි ඇති අංගයක් තෝරා ගනිමු ඒඋපරිම අනුපිළිවෙලෙහි p", සහ H (a) n H = (e) වැනි උපරිම උප සමූහයක් වීමට ඉඩ හරින්න. එවිට (a, R) = (a) x R. අපි Gj = (a) x R සඳහන් කරමු.
අපි එහෙම මවාපාමු G Ф G y G x ට අයත් නොවන සියලුම මූලද්රව්ය වලින්, අපි අවම අනුපිළිවෙලෙහි g මූලද්රව්යයක් තෝරා ගනිමු рР. යැයි උපකල්පනය කරමින් gPg Gbඑතැන් සිට |gp| = рР- 1, අපි මූලද්රව්යය g තෝරාගැනීම සමඟ ප්රතිවිරෝධතාවකට පැමිණෙමු. ප්‍රතිඵලයක් ලෙස, gP e G x = (a) x I සහ පූර්ණ සංඛ්යාවක් /c සහ මූලද්රව්යයක් ඇත h e I, gP = a fc /i. මෙතැන් සිට කේ= gp/i -1 . gcd(/c, p) = 1 නම්, gcd(/c, p°9 = 1 සහ u, v වැනි නිඛිල පවතී නම් /c + p a v = 1. එවිට
උපරිමය නිසා | a = p aඅපට gP" = ඇත ඊසහ ඊ එෆ් ඒආර්“ _1 = = (gP"/i _u)P“ _1 =gP“h~ u P a ~ 1 =/i _u p““ 1 e I, කොන්දේසියට පටහැනි (a) p I = (e). එබැවින්, /s: ආර්.
ඉඩ දක්වා= r/s x. එවිට aP fc i = a k = gPh~ 1 ,කොහෙද h = a~P k igP == (a_fc ig)P. අපි gj=a _/c ig සඳහන් කරමු. එවිට gf -හෙඑච්. gj =ar fc "geG] යැයි උපකල්පනය කරමින් =(a)xN,එවිට g е G x , එය g මූලද්රව්ය තේරීමට පටහැනි වේ. ප්‍රතිඵලයක් ලෙස, g x g G x, සහ එම නිසා gj g I. මම කොන්දේසිය සහිත උපරිම උප සමූහයක් වන බැවින් (ඒ) n I = (e), පසුව (a) n (g x , I) ^ (e). ඒ නිසා තියෙනවා t, pඊ Zසහ මූලද්රව්යය hj e I, එවැනි e * හිදී= gf
කියලා උපකල්පනය කරනවා p:p,top=pp 1සමහර විට n,eZසහ e g a m = gf/ij = gf ni /ii e I, කොන්දේසියට පටහැනි (a) n I = = (e). එබැවින්, GCD(n,p) = 1 Hgf =a m /if 1 . නම් |g x | =pY, පසුව GCD(n, p'O = 1 සහ එහි පවතී u x , v x g Z,එවැනි gsh x -t-pYv x = 1. එබැවින් g, =gf u i + P Yv i = gf Ul gf Yvi = gf Ul =(a m /i 1 - 1) u i නැවතත් අපි පරස්පරයකට පැමිණියෙමු. එබැවින් එය පිළිගැනීමට ඉතිරිව ඇත G - (a)x R. දැන් R උප කාණ්ඩයේ අපි ඒ හා සමානව සෘජු සාධකයකින් උපරිම චක්රීය උප සමූහය තෝරා ගනිමු. එන්අපි කණ්ඩායමේ විසංයෝජනය ලබා ගන්නා තෙක් ඇණවුම, ආදිය ජීචක්‍රීය උප සමූහවල සෘජු නිෂ්පාදනයක් බවට. ප්රමේයය ඔප්පු කර ඇත.
ප්රමේයය 1.27. සීමිත Abelian කණ්ඩායමක් චක්රීය p-උප කාණ්ඩවල සෘජු නිෂ්පාදනයට සමාන වේ.
සාධනය න්‍යායන් 1.25 සහ 1.26 වෙතින් පහත දැක්වේ.
කණ්ඩායම් පිළිබඳ පරිච්ඡේදය අවසන් කිරීම සඳහා, කණ්ඩායමක් එක් ද්විමය මෙහෙයුමක් සහිත කට්ටලයක් ලෙස සැලකිය හැකි බව අපි සටහන් කරමු, එය සහායක සහ ඕනෑම අංගයක් සඳහා වේ. ඒසහ කොමර්සන්ට්සමීකරණ අද්විතීය ලෙස විසඳිය හැකිය ax = b uua-b.සමූහයේ මෙම මතය සාමාන්‍යකරණයන් දෙකකට මග පාදයි. එක් අතකින්, මෙහෙයුමක සහයෝගීතාවයේ අර්ථය අධ්‍යයනය කිරීම කෙරෙහි අවධානය යොමු කළ හැකි අතර, මෙය එක් ආශ්රිත මෙහෙයුමක් සහිත කට්ටලයක් ලෙස අර්ධ කණ්ඩායමක් යන සංකල්පයට මග පාදයි (වැඩ බලන්න). අනෙක් අතට, කෙනෙකුට ආශ්රිත අවශ්‍යතාවය නොසලකා හැරිය හැකි අතර, මෙය නම් කරන ලද සමීකරණ අද්විතීය ලෙස විසඳිය හැකි එක් ද්විමය ක්‍රියාවක් සහිත කට්ටලයක් ලෙස අර්ධ සමූහයක් යන සංකල්පයට මග පාදයි. අනන්යතාවය සහිත අර්ධ සමූහයක් ලූපයක් ලෙස හැඳින්වේ (වැඩ බලන්න). අර්ධ කණ්ඩායම් පිළිබඳ න්‍යාය සහ අර්ධ කණ්ඩායම් න්‍යාය ස්වාධීනව වර්ධනය වන සාරාංශ න්‍යායන් දෙකක් බවට පත්ව ඇත. "උපරිම හැකි අවම" පරිමාවේ හේතු නිසා අපි ඒවා ප්රධාන පෙළෙහි සඳහන් නොකරමු.
සීමිත කණ්ඩායම්
කණ්ඩායමක් (අර්ධ කණ්ඩායමක්) ලෙස හැඳින්වේ අවසාන, එය සීමිත මූලද්රව්ය සංඛ්යාවකින් සමන්විත නම්. සීමිත කාණ්ඩයක මූලද්රව්ය සංඛ්යාව එහි ලෙස හැඳින්වේ පිළිවෙළින්. සීමිත කණ්ඩායමක ඕනෑම උප සමූහයක් සීමිත වේ. සහ නම් එන්Í ජී- කණ්ඩායමේ උප සමූහය ජී, පසුව ඕනෑම මූලද්රව්යයක් සඳහා ඒÎ ජීපොකුරක් මත={x: x=h◦ඒ, ඕනෑම දෙයක් සඳහා hÎ එච්) ලෙස හැඳින්වේ වම් කෝසෙට්සදහා ජීසාපේක්ෂව එන්. තුළ ඇති මූලද්රව්ය සංඛ්යාව බව පැහැදිලිය මතඅනුපිළිවෙලට සමාන වේ එන්. (නිර්වචනය ඒ හා සමානව සකස් කළ හැකිය එන්- සම්බන්ධයෙන් නිවැරදි coset එන්).
වැදගත්ම දෙය නම් ඕනෑම උප සමූහයක් සඳහා ය එන්කණ්ඩායම් ජීඅනුව වම් (දකුණු) කොසෙට් දෙකක් එන්එක්කෝ සමපාත වේ හෝ ඡේදනය නොවන්න, එබැවින් ඕනෑම කණ්ඩායමක් විසින් අසංවිධිත වම් (දකුණු) සංයෝජනවල එකමුතුවක් ලෙස නියෝජනය කළ හැක එන්.
ඇත්ත වශයෙන්ම, පන්ති දෙකක් නම් එන් ඒසහ Hb, කොහෙද ඒ, බීÎ ජී, පොදු අංගයක් ඇත x, එහෙනම් තියෙනවා ටීÎ එච්එවැනි x = ටී◦ඒ. එතකොට වම් පන්තිය සඳහා x: N x={y: y=h◦x= h◦(ටී◦ඒ) = (h◦ටී)◦ඒ} Í එච් ඒ, එහෙත් ඒ=ටී ‑1 ◦xසහ එන් ඒ={y: y=h◦ඒ= h◦(ටී ‑1 ◦x) = (h◦ටී ‑1)◦x} Í එච් x. මෙතැන් සිට N x=එන් ඒ. ඒ හා සමානව, එය පෙන්විය හැකිය N x=එන් බී. ඒ නිසා එන් ඒ=එන් බී. පන්ති නම් එන් ඒසහ Hbපොදු මූලද්රව්ය නොමැත, එවිට ඒවා ඡේදනය නොවේ.
එවැනි කණ්ඩායමක් වම් (දකුණු) කොසෙට් වලට බෙදීම හැඳින්වේ කණ්ඩායම H උප කාණ්ඩයට වියෝජනය කිරීම.
ප්රමේයය 2.6.1. සීමිත කණ්ඩායමක අනුපිළිවෙල එහි ඕනෑම උප සමූහයක අනුපිළිවෙලින් බෙදනු ලැබේ.
සාක්ෂි. නිසා ජීපරිමිත කණ්ඩායමකි, එවිට එහි ඕනෑම උප සමූහයක් ද වේ එන්සීමිත පිළිවෙලක් ඇත. කණ්ඩායමක් උප සමූහයක් බවට වියෝජනය කිරීම සලකා බලන්න එන්. මෙම විසංයෝජනයේ එක් එක් කෝසෙට් එකෙහි මූලද්රව්ය ගණන සමාන වන අතර අනුපිළිවෙලට සමාන වේ එන්. එබැවින්, නම් n- කණ්ඩායම් අනුපිළිවෙල ජී, ඒ කේ- උප කණ්ඩායම් අනුපිළිවෙල එන්, එම n=එම්× කේ, කොහෙද එම්- අනුව කොසෙට් ගණන එන්කණ්ඩායම් විසංයෝජනය තුළ ජී.
කිසියම් අංගයක් සඳහා නම් ඒÎ ජී Þ එන් ඒ=එන්(උප සමූහය අනුව වම් සහ දකුණු සමූහ එන්සමපාත), පසුව එන්කියලා සාමාන්ය බෙදුම්කරුකණ්ඩායම් ජී.
ප්රකාශය: නම් ජීසංක්‍රමණික කණ්ඩායමක්, පසුව එහි ඕනෑම උප සමූහයක් එන්සාමාන්ය බෙදුම්කරු වේ ජී.
කණ්ඩායමක (අර්ධ සමූහය) ක්‍රියාවෙහි ආශ්රිත ස්වභාවය නිසා, අපට මූලද්රව්ය තුනක “නිෂ්පාදනය” ගැන කතා කළ හැකිය ( ඒ◦බී◦c) =(ඒ◦බී)◦c = ඒ◦(බී◦c) ඒ හා සමානව, සංකීර්ණ නිෂ්පාදනයක් පිළිබඳ සංකල්පය nමූලද්රව්ය: ඒ 1 ◦ඒ 2 ◦…◦a n = ◦ a n = = ◦.
කාර්යය nසමූහයක සමාන අංග ලෙස හැඳින්වේ මූලද්රව්ය උපාධියසහ නම් කර ඇත a n=. මෙම නිර්වචනය ඕනෑම ස්වභාවික සඳහා අර්ථවත් කරයි n. ඕනෑම කණ්ඩායම් අංගයක් සඳහා ඒÎ ජීදක්වන්න ඒ 0 =ඊ- කණ්ඩායමේ මධ්යස්ථ මූලද්රව්යය ජී. සහ මූලද්රව්යයක සෘණ බල ඒ ‑ nලෙස අර්ථ දක්වා ඇත ( ඒ ‑1)nහෝ ( a n) -1 , කොහෙද ඒ‑1 - ප්රතිලෝම මූලද්රව්ය වෙත ඒ. අර්ථ දැක්වීම් දෙකම ඒ ‑ nසමපාත වන නිසා a n◦(ඒ ‑1)n = (ඒ◦ඒ◦ ¼◦ ඒ)◦(ඒ ‑1 ◦ඒ‑1◦ ¼◦ ඒ ‑1) = ඒ◦ඒ◦¼◦( ඒ◦ඒ ‑1)◦ඒ‑1 ◦¼◦ ඒ ‑1 =ඊ එන් =ඊ. මේ අනුව, ( ඒ ‑1)n = (a n) ‑1 .
ආකලන සමූහයක, මූලද්රව්යයක උපාධියේ ප්‍රතිසමය වේ a nකැමැත්ත nඑහි බහු, සාමාන්යයෙන් දක්වනු ලැබේ na, කාර්යයක් ලෙස නොගත යුතු ය nමත ඒ, නිසා nÎℕ සහ සමහර විට nÏ ජී. එම. na⇋, කොහෙද nℕ, සහ 0 ඒ=ඊ⇋0, සහ (‑ n)ඒ = ‑(na) = n(‑ඒ) ඕනෑම ස්වභාවික සඳහා n, කොහෙද (- ඒ) - ප්රතිලෝම ඒÎ ජී.
ඕනෑම නිඛිල සඳහා තෝරාගත් අංකනය සමඟ බව පෙන්වීම පහසුය එම්සහ nසහ ඕනෑම කෙනෙකුට ඒÎ ජීදන්නා ගුණාංග සෑහීමකට පත්වේ: ඒ) ගුණ කිරීමේ අංකනය තුළ a n ◦එම් = a n + mසහ ( a n)එම් = nm; බී) ආකලන අංකනය තුළ na+ma = (n+එම්)ඒසහ n(ma)=(nm)ඒ.
කණ්ඩායමේ උප කුලකයක් සලකා බලන්න ජී, අත්තනෝමතික මූලද්රව්යයක සියලු බල වලින් සමන්විත වේ gÎ ජී. අපි එය සටහන් කරමු ඒ ජී. මේ අනුව, ඒ ජී ={g 0 , g 1 , g ‑1 , g 2 , g‑2,¼). පැහැදිලිවම, ඒ ජීසමූහයේ උප සමූහයකි ජී, නිසා ඕනෑම මූලද්රව්ය සඳහා x,හිදීÎ ඒ ජීඑය අනුගමනය කරයි ( x◦හිදී)Î ඒ ජී, සහ ඕනෑම අංගයක් සඳහා xÎ ඒ ජීතිබෙනු ඇත x‑1 ඕ ඒ ජී, අමතරව, g 0 =ඊÎ ඒ ජී.
උප සමූහය ඒ ජීකියලා චක්රීය උප සමූහයකණ්ඩායම් ජී, මූලද්රව්ය මගින් ජනනය කරන ලදී g. මෙම උප සමූහය එයම වුවද, සැමවිටම සංක්‍රමණික වේ ජීමාරු නොවන. කණ්ඩායම නම් ජීඑහි චක්රීය උප සමූහයක් සමඟ සමපාත වේ, පසුව එය හැඳින්වේ චක්රීය කණ්ඩායම, මූලද්රව්ය මගින් ජනනය කරන ලදී g.
මූලද්රව්යයක සියලු බලයන් නම් gවෙනස් වේ, පසුව කණ්ඩායම ජීකියලා නිමක් නැතිචක්රීය කණ්ඩායම, සහ මූලද්රව්යය g- මූලද්රව්යය අසීමිත අනුපිළිවෙල.
චක්රීය කාණ්ඩයක මූලද්රව්ය අතර සමාන නම්, උදාහරණයක් ලෙස, g k=ග්රෑම් එම්හිදී කේ>එම්, එම g k‑m=ඊ; සහ, නම් කිරීම k-mඔස්සේ n, අපිට ලැබෙනවා g n=ඊ, nÎℕ.
අඩුම ස්වභාවික දර්ශකය nඑවැනි g n=ඊ, නමින් g මූලද්රව්යයේ අනුපිළිවෙල, සහ මූලද්රව්යයම gකියලා සීමිත අනුපිළිවෙලෙහි මූලද්රව්යය.
එවැනි මූලද්රව්යයක් සෑම විටම සීමිත කණ්ඩායමක් තුළ දක්නට ලැබේ, නමුත් එය අසීමිත කණ්ඩායමක ද විය හැකිය.
සියලුම මූලද්රව්ය සීමිත අනුපිළිවෙලක් ඇති කණ්ඩායම් ලෙස හැඳින්වේ ආවර්තිතා.
පරිමිත කණ්ඩායමක ඕනෑම මූලද්රව්යයකට පරිමිත අනුපිළිවෙලක් ඇති බැවින්, සියලුම පරිමිත කණ්ඩායම් ආවර්තිතා වේ. එපමනක් නොව, පරිමිත කණ්ඩායමක සියලුම චක්රීය උප සමූහ ආවර්තිතා වේ, මන්ද ඒවා පරිමිත වන අතර, පරිමිත අනුපිළිවෙලෙහි සෑම අංගයක්ම nඑකම අනුපිළිවෙලෙහි චක්රීය කණ්ඩායමක් ජනනය කරයි n, මූලද්රව්ය වලින් සමන්විත ( g 0 , g 1 , g 2 ¼, g n-1 ). ඇත්ත වශයෙන්ම, මූලද්රව්ය සංඛ්යාව සමහරක් සමාන නම් කේ<n, ඉන්පසු g k=ඊ=g n, තේරීමට පටහැනියි n, එවැනි අවම උපාධියක් ලෙස g n=ඊ; අනෙක් අතට, කේ>nනොහැකි නිසා මෙම අවස්ථාවේ දී සමාන මූලද්රව්ය ඇති වනු ඇත.
ප්රකාශය: 1) සියලුම උපාධි g 0 , g 1 , g 2 ¼, g n-1 වෙනස් නිසා සමාන නම්, උදාහරණයක් ලෙස, g i=g j (මම>j), එම g i - j=ඊ, එහෙත් ( මම‑j)<n, සහ නිර්වචනය අනුව n -කුඩාම උපාධිය එවැනි ය g n=ඊ.
2) වෙනත් ඕනෑම උපාධියක් g, ධන හෝ සෘණ, එක් මූලද්රව්යයකට සමාන වේ g 0 , g 1 , g 2 ¼, g n-1, නිසා ඕනෑම පූර්ණ සංඛ්යාවක් කේප්රකාශනය මගින් නිරූපණය කළ හැක: කේ=nq+ආර්, කොහෙද q,ආර්Îℤ සහ 0£ ආර්<n, ආර්- ඉතිරි සහ g k=g nq + r= g nq° g ආර්= (g n)q° g ආර්= e q° g ආර්= g ආර්.
1) සෑම කණ්ඩායමකටම පළමු අනුපිළිවෙලෙහි අද්විතීය අංගයක් ඇත ( ඊ), එක් මූලද්‍රව්‍යයකින් සමන්විත පළමු අනුපිළිවෙලෙහි චක්රීය උප සමූහයක් උත්පාදනය කිරීම ඊ.
2) ආදේශන සමූහය සලකා බලන්න එස් 3, මූලද්රව්ය වලින් සමන්විත වේ: , , , , , . නියෝග එස් 3 =6. මූලද්රව්ය අනුපිළිවෙල ඒ 2 ට සමාන වේ, මන්ද . මූලද්රව්ය අනුපිළිවෙල බී 2 ට සමාන වේ, මන්ද . මූලද්රව්ය අනුපිළිවෙල සමග 3 ට සමාන වේ, මන්ද සහ . මූලද්රව්ය අනුපිළිවෙල f 3 ට සමාන වේ, මන්ද සහ . සහ අවසාන වශයෙන්, ඇණවුම් කරන්න ඈ 2 ට සමාන වේ, මන්ද . මේ අනුව, චක්රීය උප කණ්ඩායම් එස් 3 මූලද්රව්ය මගින් ජනනය වේ ඊ, ඒ, බී, ඈ, cසහ f, පිළිවෙලින් සමාන: ( ඊ}, {ඊ, ඒ}, {ඊ, බී}, {ඊ, ඈ}, {ඊ, c, f) සහ ( ඊ, f, c), එහිදී අවසාන දෙක සමපාත වේ. එක් එක් චක්රීය උප සමූහයේ අනුපිළිවෙල ඉතිරිව නොමැතිව කණ්ඩායමේ අනුපිළිවෙල බෙදන බව සලකන්න. පහත ප්රමේයය සත්ය වේ.
ප්රමේයය 2.7.1. (Lagrange) පරිමිත සමූහයක අනුපිළිවෙල එහි ඕනෑම මූලද්රව්යයක අනුපිළිවෙලින් බෙදනු ලැබේ (මූලද්රව්යයේ අනුපිළිවෙල සහ එයින් ජනනය වන චක්රීය උප සමූහයේ අනුපිළිවෙල සමපාත වන බැවින්).
පරිමිත කණ්ඩායමක ඕනෑම මූලද්රව්යයක්, සමූහයේ අනුපිළිවෙලෙහි බලයකට නැඟුණු විට, සමූහයේ ඒකකය ලබා දෙන බව ද එයින් කියැවේ. (නිසා ග්රෑම් එම්=g nk=ඊ කේ=ඊ, කොහෙද එම්- කණ්ඩායම් අනුපිළිවෙල, n- මූලද්රව්ය අනුපිළිවෙල g, කේ- පූර්ණ සංඛ්යාව).
S කාණ්ඩයේ උප කණ්ඩායම් 3ක් ඇත එන්={ඊ, c, f) යනු සාමාන්ය භාජකයකි, නමුත් 2 වන අනුපිළිවෙල උප සමූහ සාමාන්ය බෙදුම්කරුවන් නොවේ. වම සහ දකුණ යන දෙකෙන් මෙය පහසුවෙන් තහවුරු කර ගත හැක එන්එක් එක් කණ්ඩායම් අංග සඳහා. උදාහරණයක් ලෙස, මූලද්රව්යයක් සඳහා ඒවම් කෝසෙට් මත={e ◦ a, සමග◦ ඒ, f◦ ඒ} = {ඒ, බී, ඈ) සහ දකුණු කෝසෙට් එන්={a ◦ e, ඒ◦ c, ඒ◦ f} = {ඒ, ඈ, බී) ගැලපේ. එසේම අනෙකුත් සියලුම අංග සඳහා එස් 3 .
3) එකතු කිරීම සහිත සියලුම නිඛිලවල කුලකයක් ජනන මූලද්රව්ය 1 (හෝ –1) සමඟ අනන්ත චක්රීය කණ්ඩායමක් සාදයි, මන්ද ඕනෑම පූර්ණ සංඛ්යාවක් 1 හි ගුණාකාරයකි.
4) මුල් කට්ටලයක් සලකා බලන්න nඑක්සත්කමේ බලය: ඊ එන්=. මෙම කට්ටලය මූලයන් ගුණ කිරීමේ ක්රියාකාරිත්වය සම්බන්ධයෙන් කණ්ඩායමකි. ඇත්ත වශයෙන්ම, ඕනෑම මූලද්රව්ය දෙකක නිෂ්පාදනයක් ඊ කේසහ ඊ එම්සිට ඊ එන්, කොහෙද කේ, එම් £ n-1 ද මූලද්රව්යයක් වනු ඇත ඊ එන්, සිට = = , කොහෙද ආර්=(k+m) මාදිලිය nසහ ආර් £ n-1; ගුණ කිරීමේ ආශ්රිත, මධ්යස්ථ මූලද්රව්යය ඊ=ඊ 0 =1 සහ ඕනෑම මූලද්රව්යයක් සඳහා ඊ කේඑහි ප්රතිලෝම සහ . මෙම කණ්ඩායම චක්රීය වේ, එහි උත්පාදක මූලද්රව්යය ප්රාථමික මූලයකි. සියලුම බලතල එකිනෙකට වෙනස් බව දැකීම පහසුය: , තවදුරටත් සඳහා කේ³ nමූලයන් නැවත නැවත කිරීමට පටන් ගනී. සංකීර්ණ තලය මත, මූලයන් ඒකක අරය කවයක් මත පිහිටා ඇති අතර එය බෙදී යයි nරූප සටහන 11 හි පෙන්වා ඇති පරිදි සමාන චාප.
අවසාන උදාහරණ දෙක සාරභූතව සියලුම චක්රීය කන්ඩායම් වෙහෙසට පත් කරයි. පහත ප්රමේයය සත්ය බැවින්.
ප්රමේයය 2.7.2. සියලුම අසීමිත චක්රීය කන්ඩායම් එකිනෙකට සමස්ථානික වේ. සියලුම සීමිත චක්රීය අනුපිළිවෙල කණ්ඩායම් nඑකිනෙකාට සමාවයවික වේ.
සාක්ෂි. ඉඩ ( ජී, ∘) යනු උත්පාදක මූලද්රව්යයක් සහිත අනන්ත චක්රීය සමූහයකි g. එතකොට bijective mapping එකක් තියෙනවා f: ℤ ® ජීඕනෑම නිඛිල සඳහා එවැනි කේසහ එම්ඔවුන්ගේ රූප f(කේ) සහ f(එම්), පිළිවෙලින් සමාන g kසහ ග්රෑම් එම්, මූලද්රව්ය වේ ජී. සහ එහි f(කේ+එම්)=f(කේ)∘f(එම්), මන්ද g k + එම්=g k∘ ග්රෑම් එම්.
දැන් ඉඩ දෙන්න ( ජී, ∘) යනු සීමිත චක්රීය අනුපිළිවෙලකි nඋත්පාදක මූලද්රව්යයක් සමඟ g. එවිට එක් එක් මූලද්රව්යය g kÎ ජීමූලද්‍රව්‍යයක් ගැලපීමේ එකම ක්‍රමය වේ ඊ කේÎ ඊ එන්(0£ කේ<n), රීතියට අනුව f(g k)=ඊ කේ. ඒ සමඟම ඕනෑම කෙනෙකුට g kසහ ග්රෑම් එම්Î ජීඑය අනුගමනය කරයි f(g k∘ ග්රෑම් එම්)=f(g k) ∘f(ග්රෑම් එම්), මන්ද f(g k∘ ග්රෑම් එම්)=f(g k + එම්)=f(g ආර්), කොහෙද ආර්=(කේ+එම්) මාදිලිය n, සහ f(g ආර්)=ඊ ආර්=ඊ කේ× ඊ එම්. එවැනි සිතියම්කරණයක් ද්විවිධ සිතියම්ගත කිරීමක් බව පැහැදිලිය.