සෘජු සහ නැඹුරු සිලින්ඩරයක අක්ෂීය කොටස. හරස්කඩ ප්රදේශය සහ එහි විකර්ණ සඳහා සූත්ර

සිලින්ඩරය (රවුම් සිලින්ඩරය) යනු සමාන්තර පරිවර්තන මගින් ඒකාබද්ධ කරන ලද කව දෙකකින් සහ මෙම කවවල අනුරූප ලක්ෂ්ය සම්බන්ධ කරන සියලුම කොටස් වලින් සමන්විත ශරීරයකි. කව සිලින්ඩරයේ පාද ලෙස හඳුන්වන අතර, රවුම් පරිධියේ අනුරූප ලක්ෂ්‍ය සම්බන්ධ කරන කොටස් සිලින්ඩරයේ උත්පාදක ලෙස හැඳින්වේ.

සිලින්ඩරයේ පාද සමාන වන අතර සමාන්තර තලවල පිහිටා ඇති අතර සිලින්ඩරයේ ජනක යන්ත්ර සමාන්තර හා සමාන වේ. සිලින්ඩරයේ මතුපිට පදනම සහ පැති මතුපිටින් සමන්විත වේ. පාර්ශ්වීය පෘෂ්ඨය සෑදී ඇත්තේ ජනක ද්රව්ය වලින්ය.

එහි ජනක යන්ත්‍ර පාදයේ තලවලට ලම්බක නම් සිලින්ඩරයක් කෙළින් ලෙස හැඳින්වේ. සිලින්ඩරයක් එහි එක් පැත්තක් වටා සෘජුකෝණාස්රයක් අක්ෂයක් ලෙස භ්රමණය කිරීමෙන් ලබාගත් ශරීරයක් ලෙස සැලකිය හැකිය. වෙනත් වර්ගවල සිලින්ඩර තිබේ - ඉලිප්සීය, අධිබල, පරාවලයික. ප්රිස්මයක් සිලින්ඩර වර්ගයක් ලෙස ද සැලකේ.

රූප සටහන 2 හි දැක්වෙන්නේ ආනත සිලින්ඩරයකි. O සහ O 1 කේන්ද්‍ර සහිත කව එහි පාද වේ.

සිලින්ඩරයක අරය එහි පාදයේ අරය වේ. සිලින්ඩරයේ උස යනු කඳවුරුවල ගුවන් යානා අතර දුර වේ. සිලින්ඩරයක අක්ෂය යනු කඳවුරුවල මධ්යස්ථාන හරහා ගමන් කරන සරල රේඛාවකි. එය උත්පාදක යන්ත්රවලට සමාන්තර වේ. සිලින්ඩර් අක්ෂය හරහා ගමන් කරන තලයක් සහිත සිලින්ඩරයක හරස්කඩ අක්ෂීය අංශයක් ලෙස හැඳින්වේ. සෘජු සිලින්ඩරයක ජෙනරේට්‍රික්ස් හරහා ගමන් කරන තලය සහ මෙම ජෙනට්‍රික්ස් හරහා ඇද ගන්නා අක්ෂීය කොටසට ලම්බකව සිලින්ඩරයේ ස්පර්ශක තලය ලෙස හැඳින්වේ.

සිලින්ඩරයේ අක්ෂයට ලම්බක තලයක් පාදයේ පරිධියට සමාන රවුමක් ඔස්සේ එහි පැති පෘෂ්ඨය ඡේදනය කරයි.

සිලින්ඩරයක කොටා ඇති ප්‍රිස්මයක් යනු සිලින්ඩරයේ පාදවල කොටා ඇති සමාන බහුඅස්‍ර වන ප්‍රිස්මයකි. එහි පාර්ශ්වීය ඉළ ඇට සිලින්ඩරය සාදයි. ප්‍රිස්මයක් සිලින්ඩරයක පාදවලට සමාන බහුඅස්‍ර නම් සිලින්ඩරයක් වටා වටවී ඇතැයි කියනු ලැබේ. එහි මුහුණුවල ගුවන් යානා සිලින්ඩරයේ පැති මතුපිට ස්පර්ශ කරයි.

සිලින්ඩරයක පාර්ශ්වීය පෘෂ්ඨ වර්ගඵලය ගණනය කළ හැක්කේ generatrix හි දිග සිලින්ඩරයේ කොටසෙහි පරිමිතිය මගින් generatrix වෙත ලම්බකව තලයකින් ගුණ කිරීමෙනි.

සෘජු සිලින්ඩරයක පාර්ශ්වීය මතුපිට ප්රදේශය එහි සංවර්ධනයෙන් සොයාගත හැකිය. සිලින්ඩරයක වර්ධනය උස h සහ දිග P සහිත සෘජුකෝණාස්රයක් වන අතර එය පාදයේ පරිමිතියට සමාන වේ. එබැවින්, සිලින්ඩරයේ පාර්ශ්වීය පෘෂ්ඨයේ ප්රදේශය එහි සංවර්ධන ප්රදේශයට සමාන වන අතර එය සූත්රය මගින් ගණනය කරනු ලැබේ:

විශේෂයෙන්, දකුණු රවුම් සිලින්ඩරයක් සඳහා:

P = 2πR, සහ S b = 2πRh.

සිලින්ඩරයක සම්පූර්ණ පෘෂ්ඨ වර්ගඵලය එහි පාර්ශ්වීය පෘෂ්ඨයේ සහ එහි පාදවල ප්‍රදේශ වල එකතුවට සමාන වේ.

සෘජු රවුම් සිලින්ඩරයක් සඳහා:

S p = 2πRh + 2πR 2 = 2πR(h + R)

ආනත සිලින්ඩරයක පරිමාව සොයා ගැනීම සඳහා සූත්ර දෙකක් තිබේ.

ජෙනරේට්‍රික්ස් හි දිග සිලින්ඩරයේ හරස්කඩ ප්‍රදේශයෙන් ජෙනරේට්‍රික්ස් වෙත ලම්බකව තලයකින් ගුණ කිරීමෙන් ඔබට පරිමාව සොයාගත හැකිය.

ආනත සිලින්ඩරයක පරිමාව පාදයේ ප්‍රදේශයේ නිෂ්පාදනයට සහ උසට සමාන වේ (පදනම් ඇති ගුවන් යානා අතර දුර):

V = Sh = S l sin α,

මෙහි l යනු generatrix හි දිග වන අතර α යනු generatrix සහ පාදයේ තලය අතර කෝණය වේ. සෘජු සිලින්ඩරයක් සඳහා h = l.

රවුම් සිලින්ඩරයක පරිමාව සොයා ගැනීමේ සූත්‍රය පහත පරිදි වේ:

V = π R 2 h = π (d 2 / 4)h,

මෙහි d යනු පාදයේ විෂ්කම්භය වේ.

blog.site, සම්පූර්ණයෙන් හෝ කොටස් වශයෙන් ද්‍රව්‍ය පිටපත් කිරීමේදී, මුල් මූලාශ්‍රය වෙත සබැඳියක් අවශ්‍ය වේ.

සිලින්ඩරය සමඟ සම්බන්ධ ගැටළු විශාල සංඛ්යාවක් තිබේ. ඔවුන් තුළ ඔබ ශරීරයේ අරය සහ උස හෝ එහි කොටසේ වර්ගය සොයා ගත යුතුය. ඊට අමතරව, සමහර විට ඔබ සිලින්ඩරයක ප්රදේශය සහ එහි පරිමාව ගණනය කළ යුතුය.

සිලින්ඩරයක් යනු කුමන ශරීරයද?

පාසල් විෂයමාලාව තුළ චක්‍රලේඛ සිලින්ඩරයක්, එනම් පාදමේ සිලින්ඩරයක් අධ්‍යයනය කෙරේ. නමුත් මෙම රූපයේ ඉලිප්සාකාර පෙනුම ද කැපී පෙනේ. නමෙන් පැහැදිලි වන්නේ එහි පාදය ඉලිප්සයක් හෝ ඉලිප්සාකාරයක් වනු ඇති බවයි.

සිලින්ඩරයට පාද දෙකක් ඇත. ඒවා එකිනෙකට සමාන වන අතර පාදවල අනුරූප ලක්ෂ්යයන් ඒකාබද්ධ කරන කොටස් මගින් සම්බන්ධ වේ. ඒවා සිලින්ඩරයේ උත්පාදක ලෙස හැඳින්වේ. සියලුම ජනක යන්ත්ර එකිනෙකට සමාන්තර හා සමාන වේ. ඔවුන් ශරීරයේ පාර්ශ්වීය මතුපිට සාදයි.

පොදුවේ ගත් කල, සිලින්ඩරයක් යනු නැඹුරු ශරීරයකි. ජනක යන්ත්‍ර පාදම සමඟ සෘජු කෝණයක් සාදන්නේ නම්, අපි කෙළින්ම රූපයක් ගැන කතා කරමු.

සිත්ගන්නා කරුණ නම්, රවුම් සිලින්ඩරයක් යනු විප්ලවයේ ශරීරයකි. එය එහි එක් පැත්තක් වටා සෘජුකෝණාස්රයක් කරකැවීමෙන් ලබා ගනී.

සිලින්ඩරයේ ප්රධාන අංග

සිලින්ඩරයේ ප්රධාන මූලද්රව්ය මේ ආකාරයෙන් පෙනේ.

1. උස. එය සිලින්ඩරයේ පාද අතර කෙටිම දුර වේ. එය කෙළින් නම්, උස generatrix සමඟ සමපාත වේ.
2. අරය. පාදයේ ඇද ගත හැකි එක සමග සමපාත වේ.
3. අක්ෂය. මෙය පාද දෙකේම කේන්ද්‍ර අඩංගු සරල රේඛාවකි. අක්ෂය සෑම විටම සියලු ජනක යන්ත්රවලට සමාන්තර වේ. සෘජු සිලින්ඩරයක එය පාදවලට ලම්බක වේ.
4. අක්ෂීය අංශය. සිලින්ඩරයක් අක්ෂයක් අඩංගු තලයක් ඡේදනය වන විට එය සෑදී ඇත.
5. ස්පර්ශක තලය. එය එක් ජනකයක් හරහා ගමන් කරන අතර මෙම generatrix හරහා ඇද ගන්නා අක්ෂීය කොටසට ලම්බක වේ.

ප්රිස්මයකට සිලින්ඩරයක් සම්බන්ධ කර ඇති හෝ එය වටා විස්තර කර ඇත්තේ කෙසේද?

සමහර විට ඔබට සිලින්ඩරයක ප්රදේශය ගණනය කිරීමට අවශ්ය ගැටළු තිබේ, නමුත් ආශ්රිත ප්රිස්මයේ සමහර මූලද්රව්ය දනී. මෙම සංඛ්යා සම්බන්ධ වන්නේ කෙසේද?

ප්රිස්මයක් සිලින්ඩරයක සටහන් කර ඇත්නම්, එහි පාද සමාන බහුඅස්ර වේ. එපමණක්ද නොව, ඒවා සිලින්ඩරයේ අනුරූප පාදවල සටහන් කර ඇත. ප්රිස්මයේ පාර්ශ්වීය දාර උත්පාදක යන්ත්ර සමඟ සමපාත වේ.

විස්තර කරන ලද ප්රිස්මයේ පාදයේ නිත්ය බහුඅස්ර ඇත. ඒවා සිලින්ඩරයේ කවයන් වටා විස්තර කර ඇති අතර ඒවා එහි පදනම වේ. ප්රිස්මයේ මුහුණු අඩංගු ගුවන් යානා ඔවුන්ගේ ජනක යන්ත්ර ඔස්සේ සිලින්ඩරය ස්පර්ශ කරයි.

දකුණු රවුම් සිලින්ඩරයක් සඳහා පාර්ශ්වීය පෘෂ්ඨයේ සහ පාදයේ ප්රදේශය මත

ඔබ පැත්තේ මතුපිට දිග හැරියහොත්, ඔබට සෘජුකෝණාස්රයක් ලැබෙනු ඇත. එහි පැති ජෙනරේට්‍රික්ස් සහ පාදයේ පරිධිය සමඟ සමපාත වේ. එබැවින්, සිලින්ඩරයේ පාර්ශ්වීය ප්රදේශය මෙම ප්රමාණ දෙකෙහි නිෂ්පාදනයට සමාන වේ. ඔබ සූත්‍රය ලියා ඇත්නම්, ඔබට පහත දේ ලැබේ:

S පැත්ත = l * n,

මෙහි n යනු ජනකය, l යනු පරිධිය වේ.

එපමණක් නොව, අවසාන පරාමිතිය ගණනය කරනු ලබන්නේ සූත්රය භාවිතා කරමිනි:

l = 2 π * r,

මෙහි r යනු රවුමේ අරය වේ, π යනු 3.14 ට සමාන "pi" අංකයයි.

පාදය වෘත්තයක් බැවින්, එහි ප්‍රදේශය පහත ප්‍රකාශනය භාවිතයෙන් ගණනය කෙරේ:

S ප්රධාන = π * r 2 .

දකුණු රවුම් සිලින්ඩරයක සම්පූර්ණ පෘෂ්ඨයේ ප්රදේශය මත

එය පදනම් දෙකකින් සහ පැති මතුපිටකින් සෑදී ඇති බැවින්, ඔබ මෙම ප්රමාණ තුන එකතු කළ යුතුය. එනම්, සිලින්ඩරයේ මුළු ප්රදේශය සූත්රය මගින් ගණනය කරනු ලැබේ:

S මහල = 2 π * r * n + 2 π * ආර් 2 .

එය බොහෝ විට වෙනත් ආකාරයකින් ලියා ඇත:

S මහල = 2 π * r (n + r).

ආනත චක්රලේඛ සිලින්ඩරයක ප්රදේශ මත

පාදයන් සම්බන්ධයෙන් ගත් කල, සියලුම සූත්‍ර සමාන වේ, මන්ද ඒවා තවමත් කවයන් වේ. නමුත් පැත්තේ මතුපිට තවදුරටත් සෘජුකෝණාස්රයක් ලබා නොදේ.

ආනත සිලින්ඩරයක පාර්ශ්වීය පෘෂ්ඨයේ ප්රදේශය ගණනය කිරීම සඳහා, ඔබ විසින් තෝරාගත් generatrix වෙත ලම්බක වන generatrix සහ කොටසෙහි පරිමිතියෙහි අගයන් ගුණ කිරීමට අවශ්ය වනු ඇත.

සූත්රය මේ වගේ ය:

S පැත්ත = x * P,

මෙහි x යනු සිලින්ඩර ජෙනට්‍රික්ස් හි දිග, P යනු කොටසේ පරිමිතියයි.

මාර්ගය වන විට, එය ඉලිප්සයක් සාදනු ලබන කොටසක් තෝරා ගැනීම වඩා හොඳය. එවිට එහි පරිමිතියෙහි ගණනය කිරීම් සරල වනු ඇත. ඉලිප්සයේ දිග ගණනය කරනු ලබන්නේ ආසන්න පිළිතුරක් ලබා දෙන සූත්‍රයක් භාවිතා කරමිනි. නමුත් එය බොහෝ විට පාසල් පාඨමාලාවේ කාර්යයන් සඳහා ප්රමාණවත් වේ:

l = π * (a + b),

මෙහි "a" සහ "b" යනු ඉලිප්සයේ අර්ධ අක්ෂ වේ, එනම් මධ්‍යයේ සිට එහි ආසන්නතම සහ දුරස්ථ ස්ථාන දක්වා ඇති දුරයි.

සම්පූර්ණ පෘෂ්ඨයේ ප්රදේශය පහත ප්රකාශනය භාවිතයෙන් ගණනය කළ යුතුය:

S මහල = 2 π * r 2 + x * R.

දකුණු රවුම් සිලින්ඩරයක සමහර කොටස් මොනවාද?

අංශයක් අක්ෂයක් හරහා ගමන් කරන විට, එහි ප්රදේශය ජනකයේ නිෂ්පාදිතය සහ පාදයේ විෂ්කම්භය ලෙස තීරණය වේ. එය සෘජුකෝණාස්රයක හැඩයක් ඇති අතර, එහි පැති නම් කරන ලද මූලද්රව්ය සමඟ සමපාත වේ.

අක්ෂයට සමාන්තර වන සිලින්ඩරයක හරස්කඩ ප්රදේශය සොයා ගැනීමට, ඔබට සෘජුකෝණාස්රයක් සඳහා සූත්රයක් ද අවශ්ය වනු ඇත. මෙම තත්වය තුළ, එහි එක් පැත්තක් තවමත් උස සමඟ සමපාත වන අතර අනෙක පාදයේ යතුරු පුවරුවට සමාන වේ. දෙවැන්න පාදම දිගේ කොටස් රේඛාව සමඟ සමපාත වේ.

කොටස අක්ෂයට ලම්බක වූ විට, එය රවුමක් මෙන් පෙනේ. එපමණක්ද නොව, එහි ප්රදේශය රූපයේ පදනමට සමාන වේ.

අක්ෂයට යම් කෝණයකින් ඡේදනය වීමට ද හැකිය. එවිට හරස්කඩේ ප්රතිඵලය ඕවලාකාර හෝ එහි කොටසකි.

ආදර්ශ ගැටළු

කාර්ය අංක 1.පාදක වර්ගඵලය 12.56 cm 2 වන සෘජු සිලින්ඩරයක් ලබා දී ඇත. එහි උස සෙන්ටිමීටර 3 ක් නම් සිලින්ඩරයේ මුළු ප්රදේශය ගණනය කිරීම අවශ්ය වේ.

විසඳුම. රවුම් සෘජු සිලින්ඩරයක මුළු ප්රදේශය සඳහා සූත්රය භාවිතා කිරීම අවශ්ය වේ. නමුත් එහි දත්ත නොමැත, එනම් පාදයේ අරය. නමුත් රවුමේ ප්රදේශය දනී. මෙයින් අරය ගණනය කිරීම පහසුය.

එය පාදයේ ප්‍රදේශය pi මගින් බෙදීමෙන් ලබා ගන්නා ප්‍රමාණයේ වර්ගමූලයට සමාන වේ. 12.56 න් 3.14 න් බෙදූ පසු ප්‍රතිඵලය 4 වේ. 4 හි වර්ගමූලය 2 වේ. එම නිසා අරයට මෙම අගය ලැබේ.

පිළිතුර: S තට්ටුව = 50.24 cm 2.

කාර්ය අංක 2.සෙන්ටිමීටර 5 ක අරයක් සහිත සිලින්ඩරයක් අක්ෂයට සමාන්තරව තලයකින් කපා ඇත. කොටසේ සිට අක්ෂයට ඇති දුර ප්රමාණය සෙන්ටිමීටර 3 කි.

විසඳුම. හරස්කඩ හැඩය සෘජුකෝණාස්රාකාර වේ. එහි එක් පැත්තක් සිලින්ඩරයේ උස සමඟ සමපාත වන අතර අනෙක යතුරු පුවරුවට සමාන වේ. පළමු ප්‍රමාණය දන්නේ නම්, දෙවැන්න සොයාගත යුතුය.

මෙය සිදු කිරීම සඳහා අතිරේක ඉදිකිරීම් සිදු කළ යුතුය. පාමුල අපි කොටස් දෙකක් අඳින්නෙමු. ඔවුන් දෙදෙනාම රවුමේ මැදින් ආරම්භ වනු ඇත. පළමුවැන්න ස්වරයෙහි කේන්ද්‍රයෙන් අවසන් වන අතර අක්ෂයට දන්නා දුර ප්‍රමාණයට සමාන වේ. දෙවැන්න ස්වරය අවසානයේ ය.

ඔබට සෘජුකෝණාස්රාකාර ත්රිකෝණයක් ලැබෙනු ඇත. එහි කර්ණය සහ එක් පාදයක් දනී. කර්ණය අරය සමග සමපාත වේ. දෙවන පාදය ස්වරයෙන් අඩකට සමාන වේ. නොදන්නා කකුල 2 න් ගුණ කළ විට අපේක්ෂිත ස්වර දිග ලබා දෙනු ඇත. අපි එහි වටිනාකම ගණනය කරමු.

නොදන්නා පාදය සොයා ගැනීම සඳහා, ඔබට කර්ණය සහ දන්නා පාදය වර්ග කිරීමට අවශ්‍ය වනු ඇත, දෙවැන්න පළමුවැන්නෙන් අඩු කර වර්ග මූලය ගන්න. වර්ග 25 සහ 9. ඒවායේ වෙනස 16. වර්ගමූලය ගත් පසු, 4 ඉතිරි වේ.

ස්වරය 4 * 2 = 8 (cm) ට සමාන වේ. දැන් ඔබට හරස්කඩ ප්රදේශය ගණනය කළ හැකිය: 8 * 4 = 32 (cm 2).

පිළිතුර: S හරස් 32 cm 2 ට සමාන වේ.

කාර්යය අංක 3.සිලින්ඩරයේ අක්ෂීය හරස්කඩ ප්රදේශය ගණනය කිරීම අවශ්ය වේ. සෙන්ටිමීටර 10 ක දාරයක් සහිත ඝනකයක් එහි කොටා ඇති බව දන්නා කරුණකි.

විසඳුම. සිලින්ඩරයේ අක්ෂීය කොටස ඝනකයේ සිරස් හතර හරහා ගමන් කරන සෘජුකෝණාස්රයක් සමඟ සමපාත වන අතර එහි පාදවල විකර්ණ අඩංගු වේ. ඝනකයේ පැත්ත සිලින්ඩරයේ ජනකය වන අතර, පාදයේ විකර්ණය විෂ්කම්භය සමඟ සමපාත වේ. මෙම ප්‍රමාණ දෙකේ නිෂ්පාදිතය ඔබට ගැටලුව තුළ සොයා ගැනීමට අවශ්‍ය ප්‍රදේශය ලබා දෙනු ඇත.

විෂ්කම්භය සොයා ගැනීම සඳහා, ඝනකයේ පාදය චතුරස්රයක් වන අතර එහි විකර්ණය සමපාර්ශ්වික සෘජුකෝණාස්රාකාර ත්රිකෝණයක් බවට දැනුම භාවිතා කිරීමට අවශ්ය වනු ඇත. එහි කර්ණය රූපයේ අපේක්ෂිත විකර්ණය වේ.

එය ගණනය කිරීම සඳහා, ඔබට පයිතගරස් ප්රමේයයේ සූත්රය අවශ්ය වනු ඇත. ඔබ ඝනකයේ පැත්ත වර්ග කළ යුතුය, එය 2 න් ගුණ කර වර්ග මූලය ගන්න. දහයේ සිට දෙවන බලයට සියය. 2න් ගුණ කළොත් දෙසියයි. 200 හි වර්ගමූලය 10√2 වේ.

කොටස නැවතත් 10 සහ 10√2 පැති සහිත සෘජුකෝණාස්රය වේ. මෙම අගයන් ගුණ කිරීමෙන් එහි ප්රදේශය පහසුවෙන් ගණනය කළ හැකිය.

උත්තර දෙන්න. S කොටස = 100√2 cm 2.

එය සමාන්තර තල දෙකකින් සහ සිලින්ඩරාකාර පෘෂ්ඨයකින් සීමා වූ ජ්‍යාමිතික ශරීරයකි.

සිලින්ඩරය පැති මතුපිටකින් සහ පාද දෙකකින් සමන්විත වේ. සිලින්ඩරයක මතුපිට වර්ගඵලය සඳහා වන සූත්‍රයට පාදයේ ප්‍රදේශය සහ පැති මතුපිට වෙනම ගණනය කිරීමක් ඇතුළත් වේ. සිලින්ඩරයේ පාද සමාන වන බැවින්, එහි සම්පූර්ණ ප්රදේශය සූත්රය මගින් ගණනය කරනු ලැබේ:

අවශ්‍ය සියලුම සූත්‍ර දැනගත් පසු සිලින්ඩරයක ප්‍රදේශය ගණනය කිරීමේ උදාහරණයක් අපි සලකා බලමු. මුලින්ම අපට සිලින්ඩරයක පාදයේ ප්රදේශය සඳහා සූත්රය අවශ්ය වේ. සිලින්ඩරයේ පාදය කවයක් බැවින්, අපි අයදුම් කිරීමට අවශ්ය වනු ඇත:
මෙම ගණනය කිරීම් වලදී නියත අංකය Π = 3.1415926 භාවිතා කරන බව අපට මතකයි, එය රවුමක පරිධියේ විෂ්කම්භයට අනුපාතය ලෙස ගණනය කෙරේ. මෙම අංකය ගණිතමය නියතයකි. මඳ වේලාවකට පසුව සිලින්ඩරයක පාදයේ ප්රදේශය ගණනය කිරීමේ උදාහරණයක් ද අපි බලමු.

සිලින්ඩර පැත්තේ මතුපිට ප්රදේශය

සිලින්ඩරයක පාර්ශ්වීය පෘෂ්ඨයේ ප්රදේශය සඳහා වන සූත්රය පාදයේ දිග සහ එහි උසෙහි නිෂ්පාදිතය වේ:

දැන් අපි සිලින්ඩරයක මුළු ප්රදේශය ගණනය කිරීමට අවශ්ය වන ගැටළුවක් දෙස බලමු. ලබා දී ඇති රූපයේ, උස h = 4 cm, r = 2 cm අපි සිලින්ඩරයේ මුළු ප්රදේශය සොයා ගනිමු.
පළමුව, අපි පදනමේ ප්රදේශය ගණනය කරමු:
දැන් අපි සිලින්ඩරයක පාර්ශ්වීය පෘෂ්ඨයේ ප්රදේශය ගණනය කිරීමේ උදාහරණයක් බලමු. පුළුල් කළ විට එය සෘජුකෝණාස්රයක් නියෝජනය කරයි. එහි වර්ගඵලය ගණනය කරනු ලබන්නේ ඉහත සූත්‍රය භාවිතා කරමිනි. අපි සියලු දත්ත එයට ආදේශ කරමු:
රවුමක මුළු වර්ගඵලය යනු පාදයේ සහ පැත්තේ වර්ගඵලය මෙන් දෙගුණයක එකතුවකි.

මේ අනුව, පාදවල ප්‍රදේශය සහ රූපයේ පාර්ශ්වීය මතුපිට සඳහා සූත්‍ර භාවිතා කරමින්, සිලින්ඩරයේ මුළු මතුපිට ප්‍රමාණය සොයා ගැනීමට අපට හැකි විය.
සිලින්ඩරයේ අක්ෂීය කොටස සෘජුකෝණාස්රය වන අතර එහි පැති සිලින්ඩරයේ උස හා විෂ්කම්භයට සමාන වේ.

සිලින්ඩරයක අක්ෂීය හරස්කඩ ප්‍රදේශය සඳහා වන සූත්‍රය ගණනය සූත්‍රයෙන් ව්‍යුත්පන්න කර ඇත:

සිලින්ඩරයක් (ග්‍රීක භාෂාවෙන් පැමිණෙන්නේ, "රෝලර්", "රෝලර්" යන වචන වලින්) යනු සිලින්ඩරාකාර ලෙස හැඳින්වෙන මතුපිටක් සහ ගුවන් යානා දෙකකින් පිටතින් සීමා වූ ජ්‍යාමිතික ශරීරයකි. මෙම ගුවන් යානා රූපයේ මතුපිට ඡේදනය වන අතර එකිනෙකට සමාන්තර වේ.

සිලින්ඩරාකාර පෘෂ්ඨයක් යනු අභ්‍යවකාශයේ සරල රේඛාවකින් සෑදෙන මතුපිටකි. මෙම චලනයන් මෙම සරල රේඛාවේ තෝරාගත් ලක්ෂ්යය තල ආකාරයේ වක්රයක් ඔස්සේ ගමන් කරයි. එවැනි සරල රේඛාවක් generatrix ලෙසද, වක්‍ර රේඛාවක් මාර්ගෝපදේශයක් ලෙසද හැඳින්වේ.

සිලින්ඩරය පදනම් යුගලයකින් සහ පාර්ශ්වීය සිලින්ඩරාකාර මතුපිටකින් සමන්විත වේ. සිලින්ඩර වර්ග කිහිපයක් තිබේ:

1. චක්රලේඛය, සෘජු සිලින්ඩරය. එවැනි සිලින්ඩරයක් උත්පාදක රේඛාවට ලම්බකව පදනමක් සහ මාර්ගෝපදේශයක් ඇති අතර, එහි ඇත

2. නැඹුරු සිලින්ඩරය. උත්පාදක රේඛාව සහ පාදය අතර එහි කෝණය සෘජු නොවේ.

3. වෙනස් හැඩයකින් යුත් සිලින්ඩරයක්. Hyperbolic, elliptic, parabolic සහ වෙනත් අය.

මෙම රූපයේ පාදවල ප්‍රදේශ සහ පාර්ශ්වීය පෘෂ්ඨයේ ප්‍රදේශය එකතු කිරීමෙන් සිලින්ඩරයක ප්‍රදේශය මෙන්ම ඕනෑම සිලින්ඩරයක සම්පූර්ණ මතුපිට ප්‍රමාණය සොයා ගනී.

රවුම්, සෘජු සිලින්ඩරයක් සඳහා සිලින්ඩරයේ මුළු වර්ගඵලය ගණනය කිරීමේ සූත්‍රය:

Sp = 2p Rh + 2p R2 = 2p R (h+R).

පාර්ශ්වීය පෘෂ්ඨයේ ප්රදේශය සම්පූර්ණ සිලින්ඩරයේ ප්රදේශයට වඩා ටිකක් සංකීර්ණ බව සොයාගෙන ඇත, එය ලම්බක තලයකින් සාදන ලද කොටසෙහි පරිමිතිය මගින් ජෙනරේට්රික් රේඛාවේ දිග ගුණ කිරීම මගින් ගණනය කරනු ලැබේ; generatrix රේඛාවට.

රවුම්, සෘජු සිලින්ඩරයක් සඳහා ලබා දී ඇති සිලින්ඩරය මෙම වස්තුවේ වර්ධනය මගින් හඳුනා ගැනේ.

සංවර්ධනයක් යනු පාදයේ පරිමිතියට සමාන උස h සහ දිග P ඇති සෘජුකෝණාස්‍රයකි.

සිලින්ඩරයේ පාර්ශ්වීය ප්‍රදේශය අතුගා දැමීමේ ප්‍රදේශයට සමාන වන අතර මෙම සූත්‍රය භාවිතයෙන් ගණනය කළ හැකිය:

අපි රවුම්, සෘජු සිලින්ඩරයක් ගන්නේ නම්, ඒ සඳහා:

P = 2p R, සහ Sb = 2p Rh.

සිලින්ඩරය නැඹුරු නම්, පාර්ශ්වීය පෘෂ්ඨයේ ප්රදේශය එහි උත්පාදක රේඛාවේ දිග සහ මෙම උත්පාදක රේඛාවට ලම්බක වන කොටසෙහි පරිමිතියෙහි නිෂ්පාදනයට සමාන විය යුතුය.

අවාසනාවකට මෙන්, එහි උස සහ එහි පාදයේ පරාමිතීන් අනුව ආනත සිලින්ඩරයක පාර්ශ්වීය මතුපිට ප්රදේශය ප්රකාශ කිරීම සඳහා සරල සූත්රයක් නොමැත.

සිලින්ඩරයක් ගණනය කිරීම සඳහා, ඔබ කරුණු කිහිපයක් දැන සිටිය යුතුය. එහි තලය සහිත කොටසක් කඳවුරු ඡේදනය කරන්නේ නම්, එවැනි කොටසක් සෑම විටම සෘජුකෝණාස්රයක් වේ. නමුත් මෙම සෘජුකෝණාස්රයේ කොටසෙහි පිහිටීම අනුව වෙනස් වනු ඇත. පාදවලට ලම්බකව ඇති රූපයේ අක්ෂීය කොටසේ එක් පැත්තක් උසට සමාන වන අතර අනෙක සිලින්ඩරයේ පාදයේ විෂ්කම්භයට සමාන වේ. එවැනි කොටසක ප්‍රදේශය, ඒ අනුව, සෘජුකෝණාස්‍රයේ එක් පැත්තක අනෙක් පැත්තේ නිෂ්පාදිතයට සමාන වේ, පළමු එකට ලම්බකව, හෝ දී ඇති රූපයේ උස සහ එහි පාදයේ විෂ්කම්භයේ ගුණිතය.

කොටස රූපයේ පාදවලට ලම්බක නම්, නමුත් භ්‍රමණ අක්ෂය හරහා නොයන්නේ නම්, මෙම කොටසේ ප්‍රදේශය මෙම සිලින්ඩරයේ උස සහ නිශ්චිත යතුරු පුවරුවක ගුණිතයට සමාන වේ. යතුරු පුවරුවක් ලබා ගැනීම සඳහා, ඔබ සිලින්ඩරයේ පාදයේ රවුමක් තැනිය යුතුය, අරයක් අඳින්න සහ කොටස පිහිටා ඇති දුර එය මත සැලසුම් කරන්න. මෙම ස්ථානයේ සිට ඔබ රවුම සමඟ ඡේදනය වීමේ සිට අරයට ලම්බක අඳින්න අවශ්යයි. ඡේදනය වන ස්ථාන මධ්යයට සම්බන්ධ වේ. ත්‍රිකෝණයේ පාදය අපේක්ෂිත එක වන අතර එය මෙවැනි ශබ්ද මගින් සොයනු ලැබේ: “පාද දෙකක වර්ගවල එකතුව කර්ණය වර්ගීකරණයට සමාන වේ”:

C2 = A2 + B2.

කොටස සිලින්ඩරයේ පාදයට බලපාන්නේ නැතිනම් සහ සිලින්ඩරයම රවුම් සහ කෙළින් නම්, මෙම කොටසේ ප්‍රදේශය රවුමේ ප්‍රදේශය ලෙස දක්නට ලැබේ.

රවුමේ ප්රදේශය:

S env = 2п R2.

R සොයා ගැනීමට, ඔබ එහි දිග C 2n න් බෙදිය යුතුය:

R = C\2n, මෙහි n යනු pi, ගණිතමය නියතයක් රවුම් දත්ත සමඟ ක්‍රියා කිරීමට සහ 3.14 ට සමාන වේ.

සිලින්ඩරයක් යනු සමමිතික අවකාශීය රූපයක් වන අතර, එහි ගුණාංග උසස් පාසලේදී ඒකාකෘතික පාඨමාලාවේදී සලකා බලනු ලැබේ. එය විස්තර කිරීම සඳහා, පාදයේ උස සහ අරය වැනි රේඛීය ලක්ෂණ භාවිතා වේ. මෙම ලිපියෙන් අපි සිලින්ඩරයක අක්ෂීය කොටස කුමක්ද සහ රූපයේ මූලික රේඛීය ලක්ෂණ හරහා එහි පරාමිතීන් ගණනය කරන්නේ කෙසේද යන්න පිළිබඳ ප්රශ්න සලකා බලමු.

ජ්යාමිතික රූපය

පළමුව, ලිපියේ සාකච්ඡා කෙරෙන රූපය නිර්වචනය කරමු. සිලින්ඩරයක් යනු යම් වක්‍රයක් දිගේ ස්ථාවර දිග කොටසක සමාන්තර චලනයකින් සාදන ලද මතුපිටකි. මෙම චලනය සඳහා ප්රධාන කොන්දේසිය වන්නේ කොටස වක්රයේ තලයට අයත් නොවිය යුතුය.

පහත රූපයේ දැක්වෙන්නේ වක්‍රය (මාර්ගෝපදේශය) ඉලිප්සයක් වන සිලින්ඩරයකි.

මෙහි h දිග කොටස එහි උත්පාදක සහ උස වේ.

සිලින්ඩරය සමාන පාද දෙකකින් (මෙම නඩුවේ ඉලිප්සාකාර) සමාන්තර තලවල සහ පැති මතුපිටකින් සමන්විත වන බව දැකිය හැකිය. දෙවැන්න සාදන රේඛාවල සියලුම ලක්ෂ්‍යවලට අයත් වේ.

සිලින්ඩරවල අක්ෂීය කොටස සලකා බැලීමට පෙර, මෙම සංඛ්යා වර්ග මොනවාදැයි අපි ඔබට කියන්නෙමු.

උත්පාදක රේඛාව රූපයේ පාදවලට ලම්බක නම්, අපි කෙළින්ම සිලින්ඩරයක් ගැන කතා කරමු. එසේ නොමැතිනම් සිලින්ඩරය නැඹුරු වේ. ඔබ පාද දෙකක කේන්ද්‍රීය ලක්ෂ්‍ය සම්බන්ධ කරන්නේ නම්, ලැබෙන සරල රේඛාව රූපයේ අක්ෂය ලෙස හැඳින්වේ. පහත රූපයේ දැක්වෙන්නේ සෘජු සහ නැඹුරු සිලින්ඩර අතර වෙනසයි.

සෘජු රූපයක් සඳහා, උත්පාදක කොටසෙහි දිග උස h හි අගය සමඟ සමපාත වන බව දැකිය හැකිය. ආනත සිලින්ඩරයක් සඳහා, උස, එනම්, කඳවුරු අතර දුර, සෑම විටම generatrix රේඛාවේ දිගට වඩා අඩුය.

සෘජු සිලින්ඩරයක අක්ෂීය කොටස

Axial යනු එහි අක්ෂය අඩංගු සිලින්ඩරයේ ඕනෑම කොටසකි. මෙම අර්ථ දැක්වීමෙන් අදහස් වන්නේ අක්ෂීය කොටස සැමවිටම generatrix ට සමාන්තර වන බවයි.

සෘජු සිලින්ඩරයක දී, අක්ෂය රවුමේ කේන්ද්රය හරහා ගමන් කරන අතර එහි තලයට ලම්බක වේ. මෙයින් අදහස් කරන්නේ සලකා බලනු ලබන කවය එහි විෂ්කම්භය දිගේ ඡේදනය වන බවයි. රූපයේ දැක්වෙන්නේ අර්ධ සිලින්ඩරයක් වන අතර එය අක්ෂය හරහා ගමන් කරන තලයක් සහිත රූපයේ ඡේදනය වීමේ ප්රතිඵලයයි.

සෘජු චක්රලේඛ සිලින්ඩරයක අක්ෂීය කොටස සෘජුකෝණාස්රයක් බව තේරුම් ගැනීම අපහසු නැත. එහි පැති පාදයේ විෂ්කම්භය d සහ රූපයේ උස h වේ.

අපි සිලින්ඩරයේ අක්ෂීය හරස්කඩ ප්‍රදේශය සහ එහි විකර්ණයේ දිග h d සඳහා සූත්‍ර ලියන්නෙමු:

සෘජුකෝණාස්රයක විකර්ණ දෙකක් ඇත, නමුත් දෙකම එකිනෙකට සමාන වේ. පාදයේ අරය දන්නේ නම්, එය විෂ්කම්භයෙන් අඩක් බව ලබා දී එය හරහා මෙම සූත්‍ර නැවත ලිවීම අපහසු නැත.

නැඹුරු සිලින්ඩරයක අක්ෂීය කොටස

ඉහත පින්තූරයේ දැක්වෙන්නේ කඩදාසි වලින් සාදන ලද බෑවුම් සහිත සිලින්ඩරයකි. ඔබ එහි අක්ෂීය කොටස සාදන්නේ නම්, ඔබට තවදුරටත් සෘජුකෝණාස්රයක් නොලැබේ, නමුත් සමාන්තර චලිතයක්. එහි පැති දන්නා ප්රමාණ වේ. ඒවායින් එකක්, සෘජු සිලින්ඩරයක හරස්කඩේ මෙන්, පාදයේ විෂ්කම්භය d ට සමාන වේ, අනෙක සාදන කොටසේ දිග වේ. අපි එය b ලෙස දක්වමු.

සමාන්තර චලිතයක පරාමිතීන් නිසැකවම තීරණය කිරීම සඳහා, එහි පැති දිග දැන ගැනීම ප්රමාණවත් නොවේ. ඔවුන් අතර තවත් කෝණයක් අවශ්ය වේ. මාර්ගෝපදේශය සහ පාදය අතර තියුණු කෝණය α යැයි උපකල්පනය කරමු. මෙය සමාන්තර චලිතයේ පැති අතර කෝණය ද වනු ඇත. එවිට ආනත සිලින්ඩරයක අක්ෂීය හරස්කඩ ප්‍රදේශය සඳහා සූත්‍රය පහත පරිදි ලිවිය හැකිය:

ආනත සිලින්ඩරයක අක්ෂීය කොටසෙහි විකර්ණ ගණනය කිරීම තරමක් අපහසු වේ. සමාන්තර චලිතයක විවිධ දිග විකර්ණ දෙකක් ඇත. දන්නා පැති සහ ඒවා අතර තියුණු කෝණය භාවිතා කරමින් සමාන්තර චලිතයක විකර්ණ ගණනය කිරීමට අපට ඉඩ සලසන ව්‍යුත්පන්නයකින් තොරව අපි ප්‍රකාශන ඉදිරිපත් කරමු:

l 1 = √(d 2 + b 2 - 2*b*d*cos(α));

l 2 = √(d 2 + b 2 + 2*b*d*cos(α))

මෙහි l 1 සහ l 2 පිළිවෙලින් කුඩා සහ විශාල විකර්ණවල දිග වේ. තලය මත සෘජුකෝණාස්රාකාර ඛණ්ඩාංක පද්ධතියක් හඳුන්වා දීමෙන් අපි එක් එක් විකර්ණ දෛශිකයක් ලෙස සලකන්නේ නම් මෙම සූත්ර ස්වාධීනව ලබා ගත හැකිය.

සෘජු සිලින්ඩර ගැටළුව

පහත ගැටලුව විසඳීම සඳහා ලබාගත් දැනුම භාවිතා කරන්නේ කෙසේදැයි අපි ඔබට පෙන්වන්නෙමු. අපට රවුම් සෘජු සිලින්ඩරයක් ලබා දෙමු. සිලින්ඩරයක අක්ෂීය හරස්කඩ හතරැස් බව දන්නා කරුණකි. සම්පූර්ණ රූපය 100 cm 2 නම් මෙම කොටසේ ප්රදේශය කුමක්ද?

අවශ්ය ප්රදේශය ගණනය කිරීම සඳහා, ඔබ සිලින්ඩරයේ පාදයේ අරය හෝ විෂ්කම්භය සොයා ගත යුතුය. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, අපි රූපයේ මුළු ප්රදේශය S f සඳහා සූත්රය භාවිතා කරමු:

අක්ෂීය කොටස චතුරස්රයක් වන බැවින්, මෙයින් අදහස් කරන්නේ පාදයේ අරය r උස h වලින් අඩක් බවයි. මෙය සැලකිල්ලට ගනිමින්, අපට ඉහත සමානාත්මතාවය නැවත ලිවිය හැකිය:

S f = 2*pi*r*(r + 2*r) = 6*pi*r 2

දැන් අපට r අරය ප්‍රකාශ කළ හැකිය, අපට ඇත්තේ:

හතරැස් කොටසක පැත්ත රූපයේ පාදයේ විෂ්කම්භයට සමාන බැවින්, එහි වර්ගඵලය S ගණනය කිරීමට පහත සූත්‍රය වලංගු වේ:

S = (2*r) 2 = 4*r 2 = 2*S f / (3*pi)

අවශ්‍ය ප්‍රදේශය සිලින්ඩරයේ මතුපිට ප්‍රමාණය අනුව අනන්‍ය ලෙස තීරණය වන බව අපට පෙනේ. දත්ත සමානාත්මතාවයට ආදේශ කිරීම, අපි පිළිතුර වෙත පැමිණෙමු: S = 21.23 cm 2.