සරලම ත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණ විසඳීමේ සාමාන්‍ය දැක්ම. ත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණ. ත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණ විසඳන්නේ කෙසේද?

ඔබගේ පෞද්ගලිකත්වය පවත්වා ගැනීම අපට වැදගත් වේ. මෙම හේතුව නිසා, අපි ඔබේ තොරතුරු භාවිතා කරන සහ ගබඩා කරන ආකාරය විස්තර කරන රහස්‍යතා ප්‍රතිපත්තියක් සකස් කර ඇත. කරුණාකර අපගේ රහස්‍යතා පරිචයන් සමාලෝචනය කර ඔබට කිසියම් ප්‍රශ්නයක් ඇත්නම් අපට දන්වන්න.

පුද්ගලික තොරතුරු රැස් කිරීම සහ භාවිතය

පුද්ගලික තොරතුරු යනු නිශ්චිත පුද්ගලයෙකු හඳුනා ගැනීමට හෝ සම්බන්ධ කර ගැනීමට භාවිතා කළ හැකි දත්ත වේ.

ඔබ අප හා සම්බන්ධ වන ඕනෑම අවස්ථාවක ඔබගේ පුද්ගලික තොරතුරු ලබා දෙන ලෙස ඔබෙන් ඉල්ලා සිටිය හැක.

පහත දැක්වෙන්නේ අප විසින් රැස් කළ හැකි පුද්ගලික තොරතුරු වර්ග සහ අප එම තොරතුරු භාවිතා කළ හැකි ආකාරය පිළිබඳ උදාහරණ කිහිපයකි.

අපි රැස් කරන පුද්ගලික තොරතුරු මොනවාද:

• ඔබ වෙබ් අඩවියේ අයදුම්පතක් ඉදිරිපත් කරන විට, අපි ඔබගේ නම, දුරකථන අංකය, ඊමේල් ලිපිනය යනාදිය ඇතුළු විවිධ තොරතුරු රැස්කර ගත හැක.

අපි ඔබේ පුද්ගලික තොරතුරු භාවිතා කරන ආකාරය:

• අප රැස් කරන පුද්ගලික තොරතුරු අද්විතීය දීමනා, ප්‍රවර්ධන සහ වෙනත් සිදුවීම් සහ ඉදිරියට එන සිදුවීම් සමඟ ඔබව සම්බන්ධ කර ගැනීමට අපට ඉඩ සලසයි.
• කලින් කලට, වැදගත් දැනුම්දීම් සහ සන්නිවේදනයන් යැවීමට අපි ඔබගේ පුද්ගලික තොරතුරු භාවිතා කළ හැක.
• අප සපයන සේවාවන් වැඩිදියුණු කිරීම සහ අපගේ සේවාවන් සම්බන්ධයෙන් ඔබට නිර්දේශ ලබා දීම සඳහා විගණන, දත්ත විශ්ලේෂණය සහ විවිධ පර්යේෂණ පැවැත්වීම වැනි අභ්‍යන්තර අරමුණු සඳහා අපි පුද්ගලික තොරතුරු භාවිතා කළ හැකිය.
• ඔබ ත්‍යාග දිනුම් ඇදීමට, තරඟයකට හෝ ඒ හා සමාන ප්‍රවර්ධනයකට සහභාගී වන්නේ නම්, එවැනි වැඩසටහන් පරිපාලනය කිරීමට ඔබ සපයන තොරතුරු අපට භාවිතා කළ හැක.

තෙවන පාර්ශවයන්ට තොරතුරු අනාවරණය කිරීම

අපි ඔබෙන් ලැබෙන තොරතුරු තෙවන පාර්ශවයකට හෙළි නොකරමු.

ව්යතිරේක:

• අවශ්ය නම් - නීතියට අනුකූලව, අධිකරණ ක්රියා පටිපාටිය, නීතිමය ක්රියා පටිපාටි, සහ / හෝ රුසියානු සමූහාණ්ඩුවේ භූමි ප්රදේශය තුළ රාජ්ය බලධාරීන්ගෙන් මහජන ඉල්ලීම් හෝ ඉල්ලීම් මත පදනම්ව - ඔබගේ පුද්ගලික තොරතුරු හෙළි කිරීමට. ආරක්‍ෂාව, නීතිය ක්‍රියාත්මක කිරීම හෝ වෙනත් පොදු වැදගත්කම සඳහා එවැනි හෙළිදරව් කිරීම අවශ්‍ය හෝ සුදුසු බව අප තීරණය කරන්නේ නම් අපි ඔබ පිළිබඳ තොරතුරු හෙළිදරව් කළ හැකිය.
• ප්‍රතිසංවිධානය කිරීම, ඒකාබද්ධ කිරීම හෝ විකිණීමකදී, අපි එකතු කරන පුද්ගලික තොරතුරු අදාළ අනුප්‍රාප්තික තෙවන පාර්ශවයට මාරු කළ හැකිය.

පුද්ගලික තොරතුරු ආරක්ෂා කිරීම

ඔබගේ පුද්ගලික තොරතුරු අලාභ, සොරකම් සහ අනිසි භාවිතය මෙන්ම අනවසරයෙන් ප්‍රවේශ වීම, හෙළිදරව් කිරීම, වෙනස් කිරීම් සහ විනාශ කිරීම් වලින් ආරක්ෂා කිරීමට - පරිපාලන, තාක්ෂණික සහ භෞතික ඇතුළු - අපි පූර්වාරක්ෂාවන් ගන්නෙමු.

සමාගම් මට්ටමින් ඔබේ පෞද්ගලිකත්වයට ගරු කිරීම

ඔබගේ පුද්ගලික තොරතුරු සුරක්ෂිත බව සහතික කිරීම සඳහා, අපි අපගේ සේවකයින්ට පුද්ගලිකත්වය සහ ආරක්ෂක ප්‍රමිතීන් සන්නිවේදනය කරන අතර පුද්ගලිකත්ව භාවිතයන් දැඩි ලෙස බලාත්මක කරන්නෙමු.

උදාහරණ:

\(2\sin(⁡x) = \sqrt(3)\)
tg\((3x)=-\) \(\frac(1)(\sqrt(3))\)
\(4\cos^2⁡x+4\sin⁡x-1=0\)
\(\cos⁡4x+3\cos⁡2x=1\)

ත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණ විසඳන්නේ කෙසේද:

ඕනෑම ත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණයක් පහත වර්ග වලින් එකකට අඩු කළ යුතුය:

\(\sin⁡t=a\), \(\cos⁡t=a\), tg\(t=a\), ctg\(t=a\)

මෙහි \(t\) යනු x සමඟ ප්‍රකාශනයකි, \(a\) යනු සංඛ්‍යාවකි. එවැනි ත්රිකෝණමිතික සමීකරණ ලෙස හැඳින්වේ සරලම. () හෝ විශේෂ සූත්‍ර භාවිතයෙන් ඒවා පහසුවෙන් විසඳා ගත හැකිය:

උදාහරණය . ත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණය \(\sin⁡x=-\)\(\frac(1)(2)\) විසඳන්න.
විසඳුම:

පිළිතුර: \(\වම[ \begin(එකතු කර)x=-\frac(π)(6)+2πk, \\ x=-\frac(5π)(6)+2πn, \end(එකතු)\දකුණ.\) \(k,n∈Z\)

ත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණවල මූලයන් සඳහා සූත්‍රයේ එක් එක් සංකේතය අදහස් කරන්නේ කුමක්ද, බලන්න.

අවධානය!\(\sin⁡x=a\) සහ \(\cos⁡x=a\) සමීකරණවලට \(a ϵ (-∞;-1)∪(1;∞)\) නම් විසඳුම් නොමැත. ඕනෑම x සඳහා සයින් සහ කොසයින් \(-1\) ට වඩා විශාල හෝ සමාන වන අතර \(1\) ට වඩා අඩු හෝ සමාන වන බැවිනි:

\(-1≤\sin x≤1\) \(-1≤\cos⁡x≤1\)

උදාහරණය . \(\cos⁡x=-1,1\) සමීකරණය විසඳන්න.
විසඳුම: \(-1,1<-1\), а значение косинуса не может быть меньше \(-1\). Значит у уравнения нет решения.
උත්තර දෙන්න : විසඳුම් නැත.

උදාහරණය . ත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණය tg\(⁡x=1\) විසඳන්න.
විසඳුම:

සංඛ්‍යා කවය භාවිතයෙන් සමීකරණය විසඳමු. මෙය සිදු කිරීම සඳහා: 1) කවයක් සාදන්න) 2) අක්ෂ \(x\) සහ \(y\) සහ ස්පර්ශක අක්ෂය (එය අක්ෂයට සමාන්තරව \(0;1)\) ලක්ෂ්‍යය හරහා ගමන් කරයි). 3) ස්පර්ශක අක්ෂය මත, ලක්ෂ්යය \(1\) සලකුණු කරන්න. 4) මෙම ලක්ෂ්යය සහ ඛණ්ඩාංකවල මූලාරම්භය සම්බන්ධ කරන්න - සරල රේඛාවක්. 5) මෙම රේඛාවේ ඡේදනය වන ලකුණු සහ සංඛ්යා කවය සලකුණු කරන්න. 6) මෙම ලක්ෂ්‍යවල අගයන් අත්සන් කරමු: \(\frac(π)(4)\) ,\(\frac(5π)(4)\) 7) මෙම කරුණු වල සියලුම අගයන් ලියන්න. ඒවා එකිනෙකට හරියටම \(π\) දුරින් පිහිටා ඇති බැවින්, සියලුම අගයන් එක් සූත්‍රයකින් ලිවිය හැකිය:

පිළිතුර: \(x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+πk\), \(k∈Z\).

උදාහරණය . ත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණය \(\cos⁡(3x+\frac(π)(4))=0\) විසඳන්න.
විසඳුම:

අපි නැවත අංක කවය භාවිතා කරමු. 1) කවයක්, අක්ෂ \(x\) සහ \(y\) සාදන්න. 2) කොසයින් අක්ෂය (\(x\) අක්ෂය), \(0\) සලකුණු කරන්න. 3) මෙම ලක්ෂ්‍යය හරහා කොසයින් අක්ෂයට ලම්බකයක් අඳින්න. 4) ලම්බක සහ රවුමේ ඡේදනය වන ස්ථාන සලකුණු කරන්න. 5) මෙම ලක්ෂ්‍යවල අගයන් අත්සන් කරමු: \(-\) \(\frac(π)(2)\),\(\frac(π)(2)\). 6) අපි මෙම ලක්ෂ්‍යවල සම්පූර්ණ වටිනාකම ලියා ඒවා කොසයිනයට (කොසයින් ඇතුළත ඇති දේට) සමාන කරමු. \(3x+\)\(\frac(π)(4)\) \(=±\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\), \(k∈Z\) \(3x+\)\(\frac(π)(4)\) \(=\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\) \(3x+\)\(\frac( π)(4)\) \(=-\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\) 8) සාමාන්‍ය පරිදි, අපි \(x\) සමීකරණ වලින් ප්‍රකාශ කරන්නෙමු. \(π\), මෙන්ම \(1\), \(2\), \(\frac(1)(4)\) ආදිය සමඟ අංක සැලකීමට අමතක නොකරන්න. මේවා අනෙක් සියලුම ඉලක්කම් වලට සමානයි. සංඛ්‍යාත්මක වෙනස්කම් නැත! \(3x=-\)\(\frac(π)(4)\) \(+\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\) \(3x=-\)\ (\frac(π)(4)\) \(+\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\) \(3x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+2πk\) \(|:3\) \(3x=-\)\(\frac(3π)(4)\) \(+2πk\) \(|:3\) \(x=\)\(\frac(π)(12)\) \(+\)\(\frac(2πk)(3)\) \(x=-\)\(\frac(π)( 4)\) \(+\)\(\frac(2πk)(3)\)

පිළිතුර: \(x=\)\(\frac(π)(12)\) \(+\)\(\frac(2πk)(3)\) \(x=-\)\(\frac(π)( 4)\) \(+\)\(\frac(2πk)(3)\) , \(k∈Z\).

ත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණ සරලම මට්ටමට අඩු කිරීම නිර්මාණාත්මක කාර්යයකි, මෙහිදී ඔබට සමීකරණ විසඳීම සඳහා විශේෂ ක්‍රම දෙකම භාවිතා කළ යුතුය:
- ක්රමය (ඒකාබද්ධ රාජ්ය විභාගයේ වඩාත්ම ජනප්රිය).
- ක්රමය.
- සහායක තර්ක ක්රමය.

චතුරස්‍ර ත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණය විසඳීමේ උදාහරණයක් සලකා බලමු

උදාහරණය . ත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණය විසඳන්න \(2\cos^2⁡x-5\cos⁡x+2=0\)
විසඳුම:

\(2\cos^2⁡x-5\cos⁡x+2=0\)	අපි \(t=\cos⁡x\) ආදේශනය කරමු.
	අපේ සමීකරණය සාමාන්‍ය දෙයක් වෙලා. භාවිතයෙන් ඔබට එය විසඳා ගත හැකිය.
\(D=25-4 \cdot 2 \cdot 2=25-16=9\)
\(t_1=\)\(\frac(5-3)(4)\) \(=\)\(\frac(1)(2)\) ; \(t_2=\)\(\frac(5+3)(4)\) \(=2\)	අපි ප්රතිලෝම ආදේශනයක් කරන්නෙමු.
\(\cos⁡x=\)\(\frac(1)(2)\); \(\cos⁡x=2\)	අංක රවුම භාවිතයෙන් අපි පළමු සමීකරණය විසඳන්නෙමු. දෙවන සමීකරණයට විසඳුම් නොමැති නිසා \(\cos⁡x∈[-1;1]\) සහ ඕනෑම x සඳහා දෙකකට සමාන විය නොහැක.
	මෙම ලක්ෂ්‍යවල ඇති සියලුම සංඛ්‍යා සටහන් කරමු.

පිළිතුර: \(x=±\)\(\frac(π)(3)\) \(+2πk\), \(k∈Z\).

ODZ අධ්‍යයනය සමඟ ත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණයක් විසඳීමේ උදාහරණයක්:

උදාහරණය (USE) . ත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණය විසඳන්න \(=0\)

\(\frac(2\cos^2⁡x-\sin(⁡2x))(ctg x)\)\(=0\)	භාගයක් ඇති අතර කෝටැන්ජන්ට් එකක් ඇත - ඒ කියන්නේ අපි එය ලිවිය යුතුයි. කෝටැන්ජන්ට් යනු ඇත්ත වශයෙන්ම භාගයක් බව මම ඔබට මතක් කරමි: ctg\(x=\)\(\frac(\cos⁡x)(\sin⁡x)\) එබැවින්, ctg\(x\): \(\sin⁡x≠0\) සඳහා ODZ.
ODZ: ctg\(x ≠0\); \(\sin⁡x≠0\) \(x≠±\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\); \(x≠πn\); \(k,n∈Z\)	අංක කවය මත "විසඳුම් නොවන" සලකුණු කරමු.
\(\frac(2\cos^2⁡x-\sin(⁡2x))(ctg x)\)\(=0\)	සමීකරණයේ ඇති හරය ctg\(x\) වලින් ගුණ කිරීමෙන් ඉවත් කරමු. අපි ඉහත ctg\(x ≠0\) ලියා ඇති බැවින් අපට මෙය කළ හැකිය.
\(2\cos^2⁡x-\sin⁡(2x)=0\)	සයින් සඳහා ද්විත්ව කෝණ සූත්‍රය යොදමු: \(\sin⁡(2x)=2\sin⁡x\cos⁡x\).
\(2\cos^2⁡x-2\sin⁡x\cos⁡x=0\)	කොසයිනයෙන් බෙදීමට ඔබේ දෑත් දිගු කරන්නේ නම්, ඒවා ආපසු අදින්න! එය නියත වශයෙන්ම ශුන්‍යයට සමාන නොවේ නම්, ඔබට විචල්‍යයක් සහිත ප්‍රකාශනයකින් බෙදිය හැක (උදාහරණයක් ලෙස, මේවා: \(x^2+1.5^x\)). ඒ වෙනුවට, අපි \(\cos⁡x\) වරහන් වලින් ඉවත් කරමු.
\(\cos⁡x (2\cos⁡x-2\sin⁡x)=0\)	අපි සමීකරණය දෙකට "බෙදීම" කරමු.
\(\cos⁡x=0\); \(2\cos⁡x-2\sin⁡x=0\)	අංක කවය භාවිතා කර පළමු සමීකරණය විසඳමු. දෙවන සමීකරණය \(2\) මගින් බෙදා \(\sin⁡x\) දකුණු පැත්තට ගෙන යන්න.
\(x=±\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\), \(k∈Z\). \(\cos⁡x=\sin⁡x\)	ප්රතිඵලයක් වශයෙන් මූලයන් ODZ හි ඇතුළත් නොවේ. ඒ නිසා අපි ඒවාට පිළිතුරු ලෙස ලියන්නේ නැහැ. දෙවන සමීකරණය සාමාන්යයි. අපි එය \(\sin⁡x\) (\(\sin⁡x=0\) මගින් බෙදමු සමීකරණයට විසඳුමක් විය නොහැක මන්ද මෙම අවස්ථාවේදී \(\cos⁡x=1\) හෝ \(\cos⁡ x=-1\)).
	අපි නැවතත් රවුමක් භාවිතා කරමු.
\(x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+πn\), \(n∈Z\)	මෙම මූලයන් ODZ මගින් බැහැර නොකෙරේ, එබැවින් ඔබට ඒවා පිළිතුරෙහි ලිවිය හැකිය.

පිළිතුර: \(x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+πn\), \(n∈Z\).

සරලම ත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණ රීතියක් ලෙස සූත්‍ර භාවිතයෙන් විසඳනු ලැබේ. සරලම ත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණ බව මම ඔබට මතක් කරමි:

sinx = a

cosx = a

tgx = a

ctgx = a

x යනු සොයා ගත යුතු කෝණයයි,
a යනු ඕනෑම අංකයකි.

මෙම සරලම සමීකරණ සඳහා ඔබට වහාම විසඳුම් ලිවිය හැකි සූත්‍ර මෙන්න.

සයින් සඳහා:

කොසයින් සඳහා:

x = ± arccos a + 2π n, n ∈ Z

ස්පර්ශක සඳහා:

x = ආක්ටාන් a + π n, n ∈ Z

කෝටැන්ජන්ට් සඳහා:

x = arcctg a + π n, n ∈ Z

ඇත්ත වශයෙන්ම, මෙය සරලම ත්රිකෝණමිතික සමීකරණ විසඳීමේ න්යායික කොටසයි. එපමණක්ද නොව, සියල්ල!) කිසිවක් නැත. කෙසේ වෙතත්, මෙම මාතෘකාවේ දෝෂ ගණන සරලව ප්‍රස්ථාරයෙන් බැහැර ය. විශේෂයෙන්ම උදාහරණය අච්චුවෙන් තරමක් අපගමනය වේ නම්. ඇයි?

ඔව්, ගොඩක් අය මේ ලිපි ලියන නිසා, ඒවායේ තේරුම කිසිසේත් තේරුම් නොගෙන!යමක් සිදු නොවීමට ඔහු ප්‍රවේශමෙන් ලියා ඇත ...) මෙය විසඳිය යුතුය. මිනිසුන් සඳහා ත්‍රිකෝණමිතිය, නැතහොත් ත්‍රිකෝණමිතිය සඳහා මිනිසුන්, සියල්ලට පසු!?)

අපි එය තේරුම් ගනිමු?

එක් කෝණයක් සමාන වනු ඇත ආර්කෝස් ඒ, දෙවන: -ආර්කෝස් ඒ.

තවද එය සැමවිටම මේ ආකාරයෙන් ක්‍රියාත්මක වනු ඇත.ඕනෑම දෙයක් සඳහා ඒ.

ඔබ මාව විශ්වාස නොකරන්නේ නම්, ඔබේ මූසිකය පින්තූරය මත තබා ගන්න, නැතහොත් ඔබේ ටැබ්ලටයේ පින්තූරය ස්පර්ශ කරන්න.) මම අංකය වෙනස් කළෙමි. ඒ ඍණාත්මක දෙයකට. කොහොම හරි අපිට එක කොනක් ආවා ආර්කෝස් ඒ, දෙවන: -ආර්කෝස් ඒ.

එමනිසා, පිළිතුර සෑම විටම මුල් මාලාවන් දෙකක් ලෙස ලිවිය හැකිය:

x 1 = ආර්කෝස් a + 2π n, n ∈ Z

x 2 = - arccos a + 2π n, n ∈ Z

අපි මෙම ශ්‍රේණි දෙක එකකට ඒකාබද්ධ කරමු:

x= ± ආර්කෝස් a + 2π n, n ∈ Z

හා එච්චරයි. අපි කොසයින් සමඟ සරලම ත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණය විසඳීම සඳහා සාමාන්‍ය සූත්‍රයක් ලබාගෙන ඇත.

මෙය යම් ආකාරයක මිථ්‍යාදෘෂ්ටික ප්‍රඥාවක් නොවන බව ඔබ තේරුම් ගන්නේ නම්, නමුත් පිළිතුරු මාලාවක කෙටි අනුවාදයක් පමණි,ඔබට "C" කාර්යයන් හැසිරවීමටද හැකි වනු ඇත. අසමානතාවයන් සමඟ, දී ඇති පරතරයකින් මූලයන් තෝරා ගැනීමත් සමඟ ... එහිදී වැඩි/අඩුම සහිත පිළිතුර ක්‍රියා නොකරයි. නමුත් ඔබ පිළිතුර ව්‍යාපාරික ආකාරයෙන් සලකා එය වෙනම පිළිතුරු දෙකකට බෙදුවහොත්, සියල්ල විසඳෙනු ඇත.) ඇත්ත වශයෙන්ම, අපි ඒ ගැන සොයා බලන්නේ එබැවිනි. කුමක්ද, කෙසේද සහ කොහේද.

සරලම ත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණයේ

sinx = a

අපට මූලයන් මාලාවක් ද ලැබේ. සෑම විටම. තවද මෙම ශ්‍රේණි දෙක ද පටිගත කළ හැකිය එක් පේළියකින්. මෙම රේඛාව පමණක් උපක්‍රමශීලී වනු ඇත:

x = (-1) n arcsin a + π n, n ∈ Z

නමුත් සාරය එලෙසම පවතී. ගණිතඥයන් සරලව මුල් ශ්‍රේණි සඳහා ඇතුළත් කිරීම් දෙකක් වෙනුවට එකක් සෑදීමට සූත්‍රයක් නිර්මාණය කර ඇත. එච්චරයි!

අපි ගණිතඥයන් පරීක්ෂා කරමු? ඒ වගේම ඔබ කවදාවත් දන්නේ නැහැ ...)

පෙර පාඩමේදී, සයින් සමඟ ත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණයක විසඳුම (කිසිදු සූත්‍රයක් නොමැතිව) විස්තරාත්මකව සාකච්ඡා කරන ලදී:

පිළිතුරේ ප්‍රතිඵලයක් ලෙස මුල් මාලාවන් දෙකක් ඇති විය:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

අපි සූත්‍රය භාවිතයෙන් එකම සමීකරණය විසඳුවහොත්, අපට පිළිතුර ලැබේ:

x = (-1) n arcsin 0.5 + π n, n ∈ Z

ඇත්ත වශයෙන්ම, මෙය නිම නොකළ පිළිතුරකි.) ශිෂ්යයා එය දැන සිටිය යුතුය arcsin 0.5 = π /6.සම්පූර්ණ පිළිතුර වනුයේ:

x = (-1) n π /6+ π n, n ∈ Z

මෙය සිත්ගන්නා ප්රශ්නයක් මතු කරයි. හරහා පිළිතුරු දෙන්න x 1; x 2 (මෙය නිවැරදි පිළිතුරයි!) සහ තනිකම හරහා X (සහ මෙය නිවැරදි පිළිතුරයි!) - ඒවා එකම දේද නැද්ද? අපි දැන් සොයා බලමු.)

අපි පිළිතුරේ ආදේශ කරමු x 1 අගයන් n =0; 1; 2; යනාදිය, අපි ගණන් කරමු, අපට මූල මාලාවක් ලැබේ:

x 1 = π/6; 13π/6; 25π/6 සහ යනාදි.

සමඟ ප්රතිචාර වශයෙන් එකම ආදේශනය සමඟ x 2 , අපට ලැබෙන්නේ:

x 2 = 5π/6; 17π/6; 29π/6 සහ යනාදි.

දැන් අපි අගයන් ආදේශ කරමු n (0; 1; 2; 3; 4...) තනි සඳහා පොදු සූත්‍රය තුළට X . එනම්, අපි සෘණ එක ශුන්‍ය බලයට, පසුව පළමු, දෙවන, යනාදියට ඔසවන්නෙමු. හොඳයි, ඇත්ත වශයෙන්ම, අපි 0 දෙවන පදයට ආදේශ කරමු; 1; 2 3; 4, ආදිය. ඒ වගේම අපි ගණන් කරනවා. අපි මාලාව ලබා ගනිමු:

x = π/6; 5π/6; 13π/6; 17π/6; 25π/6 සහ යනාදි.

ඔබට පෙනෙන්නේ එපමණයි.) සාමාන්‍ය සූත්‍රය අපට ලබා දෙයි හරියටම එකම ප්රතිඵලපිළිතුරු දෙක වෙන වෙනම ලෙස. සෑම දෙයක්ම එකවර, පිළිවෙලට. ගණිතඥයන් රැවටුනේ නැත.)

ස්පර්ශක සහ කෝටැන්ජන්ට් සමඟ ත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණ විසඳීම සඳහා සූත්‍ර ද පරීක්ෂා කළ හැකිය. නමුත් අපි එසේ නොකරමු.) ඔවුන් දැනටමත් සරලයි.

මම මේ සියලු ආදේශන ලියා විශේෂයෙන් පරීක්ෂා කර ඇත. මෙහිදී එක් සරල දෙයක් තේරුම් ගැනීම වැදගත් වේ: මූලික ත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණ විසඳීම සඳහා සූත්‍ර ඇත, පිළිතුරු වල කෙටි සාරාංශයක් පමණි.මෙම කෙටිකතාව සඳහා, අපට කොසයින් ද්‍රාවණයට plus/minus සහ සයින් ද්‍රාවණයට (-1) n ඇතුළු කිරීමට සිදු විය.

ප්‍රාථමික සමීකරණයකට පිළිතුර ලිවීමට අවශ්‍ය වන කාර්යයන් සඳහා මෙම ඇතුළු කිරීම් කිසිදු ආකාරයකින් බාධා නොකරයි. නමුත් ඔබට අසමානතාවයක් විසඳීමට අවශ්‍ය නම්, නැතහොත් ඔබට පිළිතුර සමඟ යමක් කිරීමට අවශ්‍ය නම්: පරතරයක් මත මූලයන් තෝරන්න, ODZ සඳහා පරීක්ෂා කරන්න, යනාදිය, මෙම ඇතුළත් කිරීම් මඟින් පුද්ගලයෙකු පහසුවෙන් නොසන්සුන් කළ හැකිය.

ඉතින් මා කුමක් කළ යුතුද? ඔව්, එක්කෝ උත්තර ශ්‍රේණි දෙකකින් ලියන්න, නැතිනම් ත්‍රිකෝණමිතික කවය භාවිතයෙන් සමීකරණය/අසමානතාවය විසඳන්න. එවිට මෙම ඇතුළත් කිරීම් අතුරුදහන් වී ජීවිතය පහසු වේ.)

අපට සාරාංශගත කළ හැකිය.

සරලම ත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණ විසඳීම සඳහා, සූදානම් කළ පිළිතුරු සූත්‍ර තිබේ. කෑලි හතරක්. සමීකරණයකට විසඳුම ක්ෂණිකව ලිවීමට ඒවා හොඳයි. උදාහරණයක් ලෙස, ඔබ සමීකරණ විසඳිය යුතුය:

sinx = 0.3

පහසුවෙන්: x = (-1) n arcsin 0.3 + π n, n ∈ Z

cosx = 0.2

ප්රශ්නයක් නැහැ: x = ± ආර්කෝස් 0.2 + 2π n, n ∈ Z

tgx = 1.2

පහසුවෙන්: x = ආක්ටාන් 1,2 + π n, n ∈ Z

ctgx = 3.7

එකක් ඉතිරිව ඇත: x= arcctg3,7 + π n, n ∈ Z

cos x = 1.8

ඔබ දැනුමෙන් බැබළෙන්නේ නම්, පිළිතුර ක්ෂණිකව ලියන්න:

x= ± ආර්කෝස් 1.8 + 2π n, n ∈ Z

එවිට ඔබ දැනටමත් දිලිසෙනවා, මේ... ඒ... පුඩිමකින්.) නිවැරදි පිළිතුර: විසඳුම් නැත. ඇයි කියලා තේරෙන්නේ නැද්ද? චාප කොසයින් යනු කුමක්දැයි කියවන්න. ඊට අමතරව, මුල් සමීකරණයේ දකුණු පැත්තේ සයින්, කෝසයින්, ස්පර්ශක, කෝටැන්ජන්ට්, - වගු අගයන් තිබේ නම් - 1; 0; √3; 1/2; √3/2 ආදිය - ආරුක්කු හරහා පිළිතුර අසම්පූර්ණ වනු ඇත. ආරුක්කු රේඩියන බවට පරිවර්තනය කළ යුතුය.

තවද ඔබට අසමානතාවය හමු වුවහොත්, කැමති වන්න

එවිට පිළිතුර:

x πn, n ∈ Z

දුර්ලභ විකාරයක් ඇත, ඔව්...) මෙහිදී ඔබට ත්‍රිකෝණමිතික කවය භාවිතයෙන් විසඳිය යුතුය. අනුරූප මාතෘකාව තුළ අපි කරන්නේ කුමක්ද?

වීරෝදාර ලෙස මෙම පේළි කියවන අයට. ඔබගේ ටයිටැනික් ප්‍රයත්නයන් අගය නොකර සිටීමට මට නොහැක. ඔබට බෝනස්.)

බෝනස්:

භයානක සටන් තත්වයකදී සූත්‍ර ලියා තබන විට, පළපුරුදු නර්ඩ්ස් පවා බොහෝ විට ව්‍යාකූල වේ πn, සහ කොහෙද 2π n. මෙන්න ඔබට සරල උපක්‍රමයක්. තුළ හැමෝමවටිනා සූත්‍ර πn. චාප කොසයින් සහිත එකම සූත්‍රය හැර. එය එහි සිටගෙන සිටියි 2πn. දෙකක්පීන. මූල පදය - දෙකක්.මේ සූත්‍රයේම තියෙනවා දෙකක්ආරම්භයේ අත්සන් කරන්න. ප්ලස් සහ අඩු. සහ එහි, සහ එහි - දෙකක්.

ඉතින් ඔබ ලිව්වා නම් දෙකක්චාප කොසයිනයට පෙර අත්සන් කරන්න, අවසානයේ කුමක් සිදුවේද යන්න මතක තබා ගැනීම පහසුය දෙකක්පීන. එමෙන්ම එය අනෙක් අතටද සිදුවේ. පුද්ගලයාට ලකුණ මග හැරෙනු ඇත ± , අවසානය දක්වා, නිවැරදිව ලියයි දෙකක් Pien, සහ ඔහු සිහියට එනු ඇත. ඉස්සරහට දෙයක් තියෙනවා දෙකක්ලකුණ! පුද්ගලයා නැවත මුලට පැමිණ වැරැද්ද නිවැරදි කරයි! මෙවැනි.)

ඔබ මෙම අඩවියට කැමති නම්...

මාර්ගය වන විට, මට ඔබ සඳහා තවත් රසවත් අඩවි කිහිපයක් තිබේ.)

ඔබට උදාහරණ විසඳීමට පුරුදු වී ඔබේ මට්ටම සොයා ගත හැකිය. ක්ෂණික සත්‍යාපනය සමඟ පරීක්ෂා කිරීම. අපි ඉගෙන ගනිමු - උනන්දුවෙන්!)

ඔබට කාර්යයන් සහ ව්‍යුත්පන්නයන් සමඟ දැන හඳුනා ගත හැකිය.

"A ලබා ගන්න" වීඩියෝ පාඨමාලාවට ලකුණු 60-65ක් සමඟ ගණිතයේ ඒකාබද්ධ රාජ්‍ය විභාගය සාර්ථකව සමත් වීමට අවශ්‍ය සියලුම මාතෘකා ඇතුළත් වේ. ගණිතයේ පැතිකඩ ඒකාබද්ධ රාජ්‍ය විභාගයේ 1-13 සියලු කාර්යයන් සම්පූර්ණ කරන්න. ගණිතයේ මූලික ඒකාබද්ධ රාජ්‍ය විභාගය සමත් වීමට ද සුදුසු ය. ඔබට ලකුණු 90-100ක් සමඟ ඒකාබද්ධ රාජ්‍ය විභාගය සමත් වීමට අවශ්‍ය නම්, ඔබට විනාඩි 30 කින් සහ වැරදි නොමැතිව 1 කොටස විසඳිය යුතුය!

10-11 ශ්‍රේණි සඳහා මෙන්ම ගුරුවරුන් සඳහා ඒකාබද්ධ රාජ්‍ය විභාගය සඳහා සූදානම් වීමේ පාඨමාලාව. ගණිතය (පළමු ගැටළු 12) සහ ගැටළු 13 (ත්‍රිකෝණමිතිය) හි ඒකාබද්ධ රාජ්‍ය විභාගයේ 1 කොටස විසඳීමට ඔබට අවශ්‍ය සියල්ල. මෙය ඒකාබද්ධ රාජ්‍ය විභාගයේ ලකුණු 70 කට වඩා වැඩි වන අතර ලකුණු 100 ක ශිෂ්‍යයෙකුට හෝ මානව ශාස්ත්‍ර ශිෂ්‍යයෙකුට ඔවුන් නොමැතිව කළ නොහැක.

අවශ්ය සියලු න්යාය. ඒකාබද්ධ රාජ්ය විභාගයේ ඉක්මන් විසඳුම්, අන්තරායන් සහ රහස්. FIPI කාර්ය බැංකුවේ 1 කොටසෙහි සියලුම වත්මන් කාර්යයන් විශ්ලේෂණය කර ඇත. පා course මාලාව 2018 ඒකාබද්ධ රාජ්‍ය විභාගයේ අවශ්‍යතා සමඟ සම්පුර්ණයෙන්ම අනුකූල වේ.

පාඨමාලාවේ විශාල මාතෘකා 5 ක්, පැය 2.5 බැගින් අඩංගු වේ. සෑම මාතෘකාවක්ම මුල සිට සරලව හා පැහැදිලිව දක්වා ඇත.

ඒකාබද්ධ රාජ්‍ය විභාග කාර්යයන් සිය ගණනක්. වචන ගැටළු සහ සම්භාවිතා න්යාය. ගැටළු විසඳීම සඳහා සරල සහ මතක තබා ගැනීමට පහසු ඇල්ගොරිතම. ජ්යාමිතිය. න්යාය, විමර්ශන ද්රව්ය, සියලු වර්ගවල ඒකාබද්ධ රාජ්ය විභාග කාර්යයන් විශ්ලේෂණය කිරීම. ස්ටීරියෝමිතිය. උපක්‍රමශීලී විසඳුම්, ප්‍රයෝජනවත් වංචා පත්‍ර, අවකාශීය පරිකල්පනය වර්ධනය කිරීම. මුල සිට ගැටලුව දක්වා ත්‍රිකෝණමිතිය 13. තදබදය වෙනුවට අවබෝධය. සංකීර්ණ සංකල්ප පිළිබඳ පැහැදිලි පැහැදිලි කිරීම්. වීජ ගණිතය. මූලයන්, බලතල සහ ලඝුගණක, ශ්‍රිතය සහ ව්‍යුත්පන්න. ඒකාබද්ධ රාජ්ය විභාගයේ 2 වන කොටසෙහි සංකීර්ණ ගැටළු විසඳීම සඳහා පදනමක්.

ඔබේ ගැටලුවට සවිස්තරාත්මක විසඳුමක් ඇණවුම් කළ හැකිය !!!

ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිතයක (`sin x, cos x, tan x` හෝ `ctg x`) ලකුණ යටතේ නොදන්නා සමානාත්මතාවක් ත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණයක් ලෙස හඳුන්වනු ලබන අතර, අපි තවදුරටත් සලකා බලන්නේ ඒවායේ සූත්‍ර වේ.

සරලම සමීකරණ වන්නේ `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`, මෙහි `x` යනු සොයා ගත යුතු කෝණය වන අතර, `a` යනු ඕනෑම අංකයකි. අපි ඒ එක් එක් මූල සූත්‍ර සටහන් කරමු.

1. සමීකරණය `sin x=a`.

`|a|>1` සඳහා එයට විසඳුම් නොමැත.

විට `|a| \leq 1` හි අසීමිත විසඳුම් ගණනක් ඇත.

මූල සූත්‍රය: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. සමීකරණය `cos x=a`

`|a|>1` සඳහා - සයින් සම්බන්ධයෙන් මෙන්, එයට තාත්වික සංඛ්‍යා අතර විසඳුම් නොමැත.

විට `|a| \leq 1` හි අසීමිත විසඳුම් ගණනක් ඇත.

මූල සූත්‍රය: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

ප්‍රස්ථාරවල සයින් සහ කොසයින් සඳහා විශේෂ අවස්ථා.

3. සමීකරණය `tg x=a`

`a` හි ඕනෑම අගයක් සඳහා අසීමිත විසඳුම් ගණනක් ඇත.

මූල සූත්‍රය: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. සමීකරණය `ctg x=a`

එසේම `a` හි ඕනෑම අගයක් සඳහා අසීමිත විසඳුම් ගණනක් ඇත.

මූල සූත්‍රය: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

වගුවේ ඇති ත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණවල මූලයන් සඳහා සූත්‍ර

සයින් සඳහා:
කොසයින් සඳහා:
ස්පර්ශක සහ කෝටැන්ජන්ට් සඳහා:
ප්‍රතිලෝම ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිත අඩංගු සමීකරණ විසඳීම සඳහා සූත්‍ර:

ත්රිකෝණමිතික සමීකරණ විසඳීම සඳහා ක්රම

ඕනෑම ත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණයක් විසඳීම අදියර දෙකකින් සමන්විත වේ:

• එය සරලම බවට පරිවර්තනය කිරීමේ ආධාරයෙන්;
• ඉහත ලියා ඇති මූල සූත්‍ර සහ වගු භාවිතයෙන් ලබාගත් සරලම සමීකරණය විසඳන්න.

උදාහරණ භාවිතා කරමින් ප්රධාන විසඳුම් ක්රම දෙස බලමු.

වීජ ගණිත ක්රමය.

මෙම ක්‍රමයට විචල්‍යයක් ප්‍රතිස්ථාපනය කිරීම සහ එය සමානාත්මතාවයට ආදේශ කිරීම ඇතුළත් වේ.

උදාහරණය. සමීකරණය විසඳන්න: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,

ආදේශකයක් කරන්න: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, ඉන්පසු `2y^2-3y+1=0`,

අපි මූලයන් සොයා ගනිමු: `y_1=1, y_2=1/2`, එයින් අවස්ථා දෙකක් අනුගමනය කරයි:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.

පිළිතුර: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

සාධකකරණය.

උදාහරණය. සමීකරණය විසඳන්න: `sin x+cos x=1`.

විසඳුම. අපි සමානාත්මතාවයේ සියලුම නියමයන් වමට ගෙන යමු: `sin x+cos x-1=0`. භාවිතා කරමින්, අපි වම් පස පරිවර්තනය කර සාධකකරණය කරමු:

`sin x — 2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,

1. `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
2. `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

පිළිතුර: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

සමජාතීය සමීකරණයකට අඩු කිරීම

පළමුව, ඔබ මෙම ත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණය ආකාර දෙකෙන් එකකට අඩු කළ යුතුය:

`a sin x+b cos x=0` (පළමු උපාධියේ සමජාතීය සමීකරණය) හෝ `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (දෙවන උපාධියේ සමජාතීය සමීකරණය).

ඉන්පසු පළමු අවස්ථාව සඳහා කොටස් දෙකම `cos x \ne 0` න් සහ දෙවැන්න සඳහා `cos^2 x \ne 0` මගින් බෙදන්න. අපි දන්නා ක්‍රම භාවිතයෙන් විසඳිය යුතු `tg x`: `a tg x+b=0` සහ `a tg^2 x + b tg x +c =0` සඳහා සමීකරණ ලබා ගනිමු.

උදාහරණය. සමීකරණය විසඳන්න: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.

විසඳුම. අපි දකුණු පැත්ත `1=sin^2 x+cos^2 x` ලෙස ලියමු:

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x -`` sin^2 x — cos^2 x=0`

`sin^2 x+sin x cos x — 2 cos^2 x=0`.

මෙය දෙවන උපාධියේ සමජාතීය ත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණයකි, අපි එහි වම් සහ දකුණු පැති `cos^2 x \ne 0` මගින් බෙදන්නෙමු, අපට ලැබෙන්නේ:

`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) — \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`

`tg^2 x+tg x — 2=0`. අපි `tg x=t` ආදේශනය හඳුන්වා දෙමු, එහි ප්‍රතිඵලයක් ලෙස `t^2 + t - 2=0`. මෙම සමීකරණයේ මූලයන් වන්නේ `t_1=-2` සහ `t_2=1`. එවිට:

1. `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
2. `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, ` n \in Z`.

උත්තර දෙන්න. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

අර්ධ කෝණයට ගමන් කිරීම

උදාහරණය. සමීකරණය විසඳන්න: `11 sin x - 2 cos x = 10`.

විසඳුම. අපි ද්විත්ව කෝණ සූත්‍ර යොදමු, ප්‍රතිඵලයක් ලෙස: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`

`4 tg^2 x/2 — 11 tg x/2 +6=0`

ඉහත විස්තර කර ඇති වීජීය ක්‍රමය යෙදීමෙන් අපට ලැබෙන්නේ:

1. `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z`,
2. `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

උත්තර දෙන්න. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

සහායක කෝණය හඳුන්වාදීම

ත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණයේ `a sin x + b cos x =c`, a,b,c සංගුණක වන අතර x යනු විචල්‍යයක් වන අතර, දෙපැත්තම `sqrt (a^2+b^2)` මගින් බෙදන්න:

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2) ) +b^2))`.

වම් පැත්තේ ඇති සංගුණකවලට සයින් සහ කෝසයින් ගුණ ඇත, එනම් ඒවායේ වර්ගවල එකතුව 1 ට සමාන වන අතර ඒවායේ මොඩියුල 1 ට වඩා වැඩි නොවේ. අපි ඒවා පහත පරිදි දක්වමු: `\frac a(sqrt (a^2) +b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2)) =C`, පසුව:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.

පහත උදාහරණය දෙස සමීපව බලමු:

උදාහරණය. සමීකරණය විසඳන්න: `3 sin x+4 cos x=2`.

විසඳුම. සමානාත්මතාවයේ දෙපැත්තම `sqrt (3^2+4^2)` ​​මගින් බෙදන්න, අපට ලැබෙන්නේ:

`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+``\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))`

`3/5 sin x+4/5 cos x=2/5`.

අපි `3/5 = cos \varphi` , `4/5= sin \varphi` සඳහන් කරමු. `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0` නිසා, අපි `\varphi=arcsin 4/5` සහායක කෝණයක් ලෙස ගනිමු. ඉන්පසු අපි අපගේ සමානාත්මතාවය ආකෘතියෙන් ලියන්නෙමු:

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

සයින් සඳහා කෝණ එකතුව සඳහා සූත්‍රය යෙදීමෙන්, අපි අපගේ සමානාත්මතාවය පහත ආකාරයෙන් ලියන්නෙමු:

`පව් (x+\varphi)=2/5`,

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

උත්තර දෙන්න. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

භාගික තාර්කික ත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණ

මේවා සංඛ්‍යා සහ හරවල ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිත අඩංගු භාග සහිත සමානතා වේ.

උදාහරණය. සමීකරණය විසඳන්න. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`.

විසඳුම. සමානාත්මතාවයේ දකුණු පැත්ත `(1+cos x)` මගින් ගුණ කර බෙදන්න. ප්රතිඵලයක් වශයෙන් අපට ලැබෙන්නේ:

`\frac (sin x)(1+cos x)=``\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=``\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=``\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)-``\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`

`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`

හරය බිංදුවට සමාන විය නොහැකි බව සලකන විට, අපට `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z` ලැබේ.

අපි භාගයේ සංඛ්‍යාව ශුන්‍යයට සම කරමු: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. ඉන්පසු `sin x=0` හෝ `1-sin x=0`.

1. `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
2. `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.

`x \ne \pi+2\pi n, n \in Z` ලෙස ලබා දී ඇති පරිදි, විසඳුම් වන්නේ `x=2\pi n, n \in Z` සහ `x=\pi /2+2\pi n` , `n \in Z`.

උත්තර දෙන්න. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.

විශේෂයෙන්ම ත්‍රිකෝණමිතිය සහ ත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණ ජ්‍යාමිතිය, භෞතික විද්‍යාව සහ ඉංජිනේරු විද්‍යාව යන සෑම අංශයකම පාහේ භාවිතා වේ. 10 වන ශ්‍රේණියේ ඉගෙනීම ආරම්භ වේ, ඒකාබද්ධ රාජ්‍ය විභාගය සඳහා සෑම විටම කාර්යයන් ඇත, එබැවින් ත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණවල සියලුම සූත්‍ර මතක තබා ගැනීමට උත්සාහ කරන්න - ඒවා අනිවාර්යයෙන්ම ඔබට ප්‍රයෝජනවත් වනු ඇත!

කෙසේ වෙතත්, ඔබට ඒවා කටපාඩම් කිරීමට පවා අවශ්ය නැත, ප්රධාන දෙය වන්නේ සාරය තේරුම් ගැනීම සහ එය ව්යුත්පන්න කිරීමට හැකි වීමයි. එය පෙනෙන තරම් අපහසු නැත. වීඩියෝව නැරඹීමෙන් ඔබම බලන්න.