ප්රතිලෝම න්‍යාසයේ නිර්ණායකය සොයන්න. ප්‍රාථමික පරිවර්තන ක්රමය (ප්රතිලෝම න්යාස සෙවීම සඳහා Gauss සහ Gauss-Jordan ක්රම)
මෙම මාතෘකාව සිසුන් අතර වඩාත්ම පිළිකුල් කරන එකකි. වඩාත් නරක, බොහෝ විට, සුදුසුකම් ලබා ඇත.
උපක්‍රමය නම් ප්රතිලෝම මූලද්‍රව්‍යයක් පිළිබඳ සංකල්පය (සහ මම න්යාස ගැන පමණක් කතා නොකරමි) අපව ගුණ කිරීමේ ක්‍රියාකාරිත්වයට යොමු කරයි. පාසල් විෂය මාලාවේ පවා, ගුණ කිරීම සංකීර්ණ මෙහෙයුමක් ලෙස සලකනු ලබන අතර, න්යාස ගුණ කිරීම සාමාන්යයෙන් වෙනම මාතෘකාවක් වන අතර, ඒ සඳහා මා විසින් සම්පූර්ණ ඡේදයක් සහ වීඩියෝ පාඩමක් කැප කර ඇත.
අද අපි matrix ගණනය කිරීම් පිළිබඳ විස්තර වෙත නොයන්නෙමු. අපි මතක තබා ගනිමු: න්යාස නම් කරන්නේ කෙසේද, ඒවා ගුණ කරන්නේ කෙසේද සහ මෙයින් පහත දේ.
සමාලෝචනය: Matrix ගුණ කිරීම
මුලින්ම, අංකනය ගැන එකඟ වෙමු. $\left[ m\times n \right]$ ප්‍රමාණයේ $A$ න්‍යාසයක් යනු හරියටම $m$ පේළි සහ $n$ තීරු සහිත සංඛ්යා වගුවකි:
\=\යටි වරහන(\වම[ \begin(matrix) ((a)_(11)) & ((a)_(12)) & ... & ((a)_(1n)) \\ (( a)_(21)) & ((a)_(22)) & ... & ((a)_(2n)) \\ ... & ... & ... & ... \\ ((a)_(m1)) & ((a)_(m2)) & ... & ((a)_(mn)) \\\ end(matrix) \right])_(n)\]
අහම්බෙන් පේළි සහ තීරු මිශ්‍ර වීම වළක්වා ගැනීම සඳහා (මාව විශ්වාස කරන්න, විභාගයකදී ඔබට එකක් දෙකක් සමඟ පටලවා ගත හැකිය, පේළි කිහිපයක් හැර), පින්තූරය දෙස බලන්න:
matrix සෛල සඳහා දර්ශක නිර්ණය කිරීම සිද්ධවන්නේ කුමක් ද? ඔබ සම්මත ඛණ්ඩාංක පද්ධතිය $OXY$ ඉහළ වම් කෙළවරේ තබා සම්පූර්ණ න්‍යාසයම ආවරණය වන පරිදි අක්ෂ මෙහෙයවන්නේ නම්, මෙම න්‍යාසයේ සෑම කොටුවක්ම $\left(x;y \right)$ ඛණ්ඩාංක සමඟ අනන්‍යව සම්බන්ධ කළ හැක. - මෙය පේළි අංකය සහ තීරු අංකය වනු ඇත.
ඛණ්ඩාංක පද්ධතිය ඉහළ වම් කෙළවරේ තබා ඇත්තේ ඇයි? ඔව්, අපි ඕනෑම පෙළක් කියවීමට පටන් ගන්නේ එතැන් සිට බැවිනි. මතක තියාගන්න හරිම ලේසියි.
$x$ අක්ෂය දකුණට නොව පහළට යොමු කරන්නේ ඇයි? නැවතත්, එය සරලයි: සම්මත ඛණ්ඩාංක පද්ධතියක් ගෙන ($x$ අක්ෂය දකුණට යයි, $y$ අක්ෂය ඉහළ යයි) සහ එය අනුකෘතිය ආවරණය වන පරිදි කරකවන්න. මෙය අංශක 90 දක්ෂිණාවර්තව භ්රමණය වේ - අපි පින්තූරයේ ප්රතිඵලය දකිමු.
සාමාන්යයෙන්, අපි matrix මූලද්රව්යවල දර්ශක තීරණය කරන්නේ කෙසේදැයි සොයාගෙන ඇත. දැන් අපි බලමු ගුණ කිරීම.
අර්ථ දැක්වීම. න්යාස $A=\left[ m\times n \right]$ සහ $B=\left[ n\times k \right]$, පළමු තීරුවේ තීරු ගණන දෙවෙනි පේළි ගණන සමඟ සමපාත වන විට, ස්ථාවර ලෙස හැඳින්වේ.
හරියටම ඒ පිළිවෙලට. කෙනෙකුට ව්යාකූල විය හැකි අතර $A$ සහ $B$ න්යාස යුගලය $\left(A;B \right)$ සාදයි: ඒවා මෙම අනුපිළිවෙලට අනුකූල නම්, $B බව කිසිසේත්ම අවශ්ය නොවේ. $ සහ $A$ ඒවා. $\left(B;A \right)$ යුගලයද ස්ථාවර වේ.
ගැළපෙන matrices පමණක් ගුණ කළ හැක.
අර්ථ දැක්වීම. ගැළපෙන න්‍යාසවල ගුණිතය $A=\left[ m\times n \right]$ සහ $B=\left[ n\times k \right]$ නව න්යාසය $C=\left[ m\times k \right ]$ , $((c)_(ij))$ සූත්‍රයට අනුව ගණනය කරනු ලබන මූලද්රව්ය:
\[((c)_(ij))=\sum\limits_(k=1)^(n)(((a)_(ik)))\cdot ((b)_(kj))\]
වෙනත් වචන වලින් කිවහොත්: $C=A\cdot B$ න්‍යාසයේ $((c)_(ij))$ මූලද්රව්යය ලබා ගැනීමට, ඔබ පළමු න්‍යාසයේ $i$-පේළිය, $j$ ගත යුතුය. දෙවන න්‍යාසයේ -වන තීරුව, ඉන්පසු මෙම පේළියේ සහ තීරුවේ මූලද්රව්ය යුගල වශයෙන් ගුණ කරන්න. ප්රතිඵල එකතු කරන්න.
ඔව්, එය එතරම් දරුණු නිර්වචනයකි. කරුණු කිහිපයක් වහාම එයින් අනුගමනය කරයි:
- න්යාස ගුණ කිරීම, සාමාන්යයෙන් කථා කිරීම, සංක්‍රමණ නොවන ය: $A\cdot B\ne B\cdot A$;
- කෙසේ වෙතත්, ගුණ කිරීම ආශ්‍රිත වේ: $\left(A\cdot B \right)\cdot C=A\cdot \left(B\cdot C \right)$;
- සහ බෙදා හැරීමට පවා: $\left(A+B \right)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C$;
- සහ නැවත වරක් බෙදා හැරීම: $A\cdot \left(B+C \right)=A\cdot B+A\cdot C$.
ගුණ කිරීමේ ව්‍යාප්තිය වම සහ දකුණු එකතුව සඳහා වෙන වෙනම විස්තර කිරීමට සිදු වූයේ නිශ්චිතවම ගුණ කිරීමේ මෙහෙයුමේ සංක්‍රමණ නොවන බව නිසාය.
$A\cdot B=B\cdot A$ බව පෙනී ගියහොත්, එවැනි න්යාස සංක්‍රමණ ලෙස හැඳින්වේ.
එහි ඇති යම් දෙයකින් ගුණ කරන සියලුම න්යාස අතර, විශේෂ ඒවා තිබේ - ඕනෑම න්‍යාසයක් $A$ මගින් ගුණ කළ විට, නැවත $A$ ලබා දෙන ඒවා:
අර්ථ දැක්වීම. $A\cdot E=A$ හෝ $E\cdot A=A$ නම් $E$ අනුකෘතියක් අනන්‍යතාවය ලෙස හැඳින්වේ. $A$ වර්ග න්‍යාසයක දී අපට ලිවිය හැක:
අනුකෘති සමීකරණ විසඳන විට අනන්යතා න්යාසය නිතර ආගන්තුකයෙකි. පොදුවේ ගත් කල, matrices ලෝකයේ නිතර ආගන්තුකයෙක්. :)
අනික මේ $E$ නිසා ඊලගට ලියන්න යන හැම විකාරයක්ම එක්කෙනෙක් ආවා.
ප්රතිලෝම අනුකෘතියක් යනු කුමක්ද?
න්යාස ගුණ කිරීම ඉතා ශ්‍රම-දැඩි මෙහෙයුමක් බැවින් (ඔබට පේළි සහ තීරු පොකුරක් ගුණ කළ යුතුය), ප්රතිලෝම න්යාසය පිළිබඳ සංකල්පය ද ඉතා සුළු දෙයක් නොවේ. සහ යම් පැහැදිලි කිරීමක් අවශ්ය වේ.
ප්රධාන අර්ථ දැක්වීම
හොඳයි, ඇත්ත දැන ගැනීමට කාලයයි.
අර්ථ දැක්වීම. $B$ න්‍යාසයක් $A$ නම් න්‍යාසයක ප්රතිලෝම ලෙස හැඳින්වේ
ප්රතිලෝම න්යාසය $((A)^(-1))$ මගින් දැක්වේ (උපාධිය සමඟ පටලවා නොගත යුතුය!), එබැවින් අර්ථ දැක්වීම පහත පරිදි නැවත ලිවිය හැක:
සෑම දෙයක්ම අතිශයින්ම සරල හා පැහැදිලි බව පෙනේ. නමුත් මෙම නිර්වචනය විශ්ලේෂණය කරන විට, ප්රශ්න කිහිපයක් වහාම පැන නගී:
- ප්රතිලෝම න්‍යාසයක් සැමවිටම පවතීද? සෑම විටම නොවේ නම්, තීරණය කරන්නේ කෙසේද: එය පවතින විට සහ එය නොමැති විට?
- හරියටම එවැනි එක් අනුකෘතියක් ඇති බව කීවේ කවුද? සමහර ආරම්භක න්යාස $A$ සඳහා ප්රතිලෝම සමූහයක් තිබේ නම් කුමක් කළ යුතුද?
- මෙම "ප්රතිලෝම" සියල්ල පෙනෙන්නේ කෙසේද? සහ හරියටම, අපි ඒවා ගණන් කළ යුත්තේ කෙසේද?
ගණනය කිරීමේ ඇල්ගොරිතම සම්බන්ධයෙන් ගත් කල, අපි මේ ගැන ටිකක් පසුව කතා කරමු. නමුත් අපි දැන් ඉතිරි ප්‍රශ්නවලට පිළිතුරු දෙන්නෙමු. අපි ඒවා වෙනම ප්‍රකාශ-ලෙම්මා ආකාරයෙන් සකස් කරමු.
මූලික ගුණාංග
$A$ න්යාසය, ප්‍රතිපත්තිමය වශයෙන්, $((A)^(-1))$ සඳහා පවතින ආකාරය දෙස බලමු. දැන් අපි මෙම න්යාස දෙකම හතරැස් සහ එකම ප්‍රමාණයෙන් විය යුතු බවට වග බලා ගන්නෙමු: $\left[ n\times n \right]$.
ලෙමා 1. $A$ න්‍යාසයක් සහ එහි ප්රතිලෝම $((A)^(-1))$ ලබා දී ඇත. එවිට මෙම න්යාස දෙකම හතරැස් වන අතර එකම අනුපිළිවෙල $n$ වේ.
සාක්ෂි. ඒක සරලයි. $A=\left[ m\times n \right]$, $(A)^(-1))=\left[ a\times b \right]$ න්‍යාසයට ඉඩ දෙන්න. $A\cdot ((A)^(-1))=E$ නිර්වචනය අනුව පවතින බැවින්, $A$ සහ $((A)^(-1))$ න්‍යාසයන් පෙන්වා ඇති අනුපිළිවෙලට අනුකූල වේ:
\[\begin(align) & \left[ m\times n \right]\cdot \left[ a\times b \right]=\left[ m\times b \right] \\ & n=a \end( පෙළගස්වන්න)\]
මෙය න්යාස ගුණ කිරීමේ ඇල්ගොරිතමයේ සෘජු ප්‍රතිවිපාකයකි: $n$ සහ $a$ සංගුණක "සංක්‍රමණ" වන අතර සමාන විය යුතුය.
ඒ සමගම, ප්රතිලෝම ගුණ කිරීම ද අර්ථ දක්වා ඇත: $((A)^(-1))\cdot A=E$, එබැවින් න්යාස $((A)^(-1))$ සහ $A$ වේ. නිශ්චිත අනුපිළිවෙලෙහි ද අනුකූල වේ:
\[\begin(align) & \left[ a\times b \right]\cdot \left[ m\times n \right]=\left[ a\times n \right] \\ & b=m \end( පෙළගස්වන්න)\]
මේ අනුව, සාමාන්ය බව නැති වීමකින් තොරව, අපට $A=\left[ m\times n \right]$, $(A)^(-1))=\left[ n\times m \right]$ යැයි උපකල්පනය කළ හැක. කෙසේ වෙතත්, $A\cdot ((A)^(-1))=((A)^(-1))\cdot A$ හි නිර්වචනයට අනුව, එබැවින් න්‍යාසවල ප්‍රමාණයන් තදින්ම සමපාත වේ:
\[\begin(align) & \left[ m\times n \right]=\left[ n\times m \right] \\ & m=n \end(align)\]
එබැවින් න්යාස තුනම - $A$, $(A)^(-1))$ සහ $E$ - $\left[ n\times n \right]$ ප්‍රමාණයේ වර්ග න්යාස බව පෙනේ. ලෙම්මා ඔප්පු කර ඇත.
හොඳයි, එය දැනටමත් හොඳයි. අපි දකින්නේ හතරැස් න්යාස පමණක් පෙරලිය නොහැකි බවයි. දැන් අපි ප්රතිලෝම න්යාසය සැමවිටම සමාන බව සහතික කර ගනිමු.
ලෙමා 2. $A$ න්‍යාසයක් සහ එහි ප්රතිලෝම $((A)^(-1))$ ලබා දී ඇත. එවිට මෙම ප්රතිලෝම න්යාසය එකම එකකි.
සාක්ෂි. අපි පරස්පර විරෝධී ලෙස යමු: $A$ න්‍යාසයට අවම වශයෙන් ප්රතිලෝම දෙකක් තිබිය යුතුය - $B$ සහ $C$. එවිට, නිර්වචනයට අනුව, පහත සමානාත්මතා සත්ය වේ:
\[\begin(align) & A\cdot B=B\cdot A=E; \\ & A\cdot C=C\cdot A=E. \\ \අවසන්(පෙළගැසෙන්න)\]
Lemma 1 සිට අපි න්යාස හතරම - $A$, $B$, $C$ සහ $E$ - එකම අනුපිළිවෙලෙහි වර්ග බව නිගමනය කරමු: $\left[ n\times n \right]$. එබැවින්, නිෂ්පාදිතය අර්ථ දක්වා ඇත:
න්යාස ගුණ කිරීම ආශ්‍රිත (නමුත් සංක්‍රමික නොවේ!), අපට ලිවිය හැක:
\[\begin(align) & B\cdot A\cdot C=\left(B\cdot A \right)\cdot C=E\cdot C=C; \\ & B\cdot A\cdot C=B\cdot \left(A\cdot C \right)=B\cdot E=B; \\ & B\cdot A\cdot C=C=B\Rightarrow B=C. \\ \අවසන්(පෙළගැසෙන්න)\]
අපට හැකි එකම විකල්පය ලැබුණි: ප්රතිලෝම න්‍යාසයේ පිටපත් දෙකක් සමාන වේ. ලෙම්මා ඔප්පු කර ඇත.
ඉහත තර්ක සියලු තාත්වික සංඛ්යා $b\ne 0$ සඳහා ප්රතිලෝම මූලද්රව්යයේ සුවිශේෂත්වය පිළිබඳ සාක්ෂි වාචිකව වාගේ පුනරාවර්තනය කරයි. එකම වැදගත් එකතු කිරීම න්‍යාසවල මානය සැලකිල්ලට ගැනීමයි.
කෙසේ වෙතත්, සෑම හතරැස් න්‍යාසයක්ම ආපසු හැරවිය නොහැකිද යන්න පිළිබඳව අපි තවමත් කිසිවක් නොදනිමු. මෙහිදී නිර්ණායකය අපගේ ආධාරයට පැමිණේ - මෙය සියලු වර්ග න්යාස සඳහා ප්රධාන ලක්ෂණයකි.
ලෙමා 3. $A$ අනුකෘතියක් ලබා දී ඇත. එහි ප්රතිලෝම න්යාසය $((A)^(-1))$ පවතී නම්, මුල් න්‍යාසයේ නිර්ණායකය ශුන්ය නොවේ:
\[\වම| A\right|\ne 0\]
සාක්ෂි. $A$ සහ $(A)^(-1))$ යනු $\left[ n\times n \right]$ ප්‍රමාණයේ වර්ග න්යාස බව අපි දැනටමත් දනිමු. එබැවින්, ඒ සෑම එකක් සඳහාම අපට නිර්ණායකය ගණනය කළ හැකිය: $\left| A\දකුණ|$ සහ $\වම| ((A)^(-1)) \right|$. කෙසේ වෙතත්, නිෂ්පාදනයේ නිර්ණායකය නිර්ණායකවල නිෂ්පාදිතයට සමාන වේ:
\[\වම| A\cdot B \right|=\left| A \right|\cdot \left| B \right|\rightarrow \left| A\cdot ((A)^(-1)) \right|=\left| A \right|\cdot \left| ((A)^(-1)) \right|\]
නමුත් නිර්වචනයට අනුව, $A\cdot ((A)^(-1))=E$, සහ $E$ හි නිර්ණායකය සෑම විටම 1 ට සමාන වේ.
\[\begin(align) & A\cdot ((A)^(-1))=E; \\ & \වම| A\cdot ((A)^(-1)) \right|=\left| E\right|; \\ & \වම| A \right|\cdot \left| ((A)^(-1)) \right|=1. \\ \අවසන්(පෙළගැසෙන්න)\]
සංඛ්යා දෙකක ගුණිතය එකකට සමාන වන්නේ මෙම එක් එක් සංඛ්යා ශුන්ය නොවන නම් පමණි:
\[\වම| A \right|\ne 0;\quad \left| ((A)^(-1)) \right|\ne 0.\]
ඒ නිසා $\left| A \right|\ne 0$. ලෙම්මා ඔප්පු කර ඇත.
ඇත්ත වශයෙන්ම, මෙම අවශ්යතාව තරමක් තාර්කික ය. දැන් අපි ප්රතිලෝම න්යාසය සොයා ගැනීමේ ඇල්ගොරිතම විශ්ලේෂණය කරන්නෙමු - සහ ශුන්ය නිර්ණායකයක් සමඟ ප්‍රතිපත්තිමය වශයෙන් ප්රතිලෝම න්‍යාසයක් පැවතිය නොහැක්කේ මන්දැයි සම්පූර්ණයෙන්ම පැහැදිලි වනු ඇත.
නමුත් පළමුව, අපි "සහායක" අර්ථ දැක්වීමක් සකස් කරමු:
අර්ථ දැක්වීම. ඒකීය න්‍යාසයක් යනු $\වම[ n\times n \right]$ ප්‍රමාණයේ වර්ග න්‍යාසයක් වන අතර එහි නිර්ණායකය ශුන්ය වේ.
මේ අනුව, සෑම පෙරලිය නොහැකි න්‍යාසයක්ම ඒකීය නොවන බව අපට ප්‍රකාශ කළ හැකිය.
න්‍යාසයක ප්‍රතිලෝමය සොයා ගන්නේ කෙසේද
දැන් අපි ප්රතිලෝම න්යාස සොයා ගැනීම සඳහා විශ්වීය ඇල්ගොරිතමයක් සලකා බලමු. පොදුවේ ගත් කල, පොදුවේ පිළිගත් ඇල්ගොරිතම දෙකක් ඇති අතර, අපි අද දෙවැන්න සලකා බලමු.
දැන් සාකච්ඡා කෙරෙන එක $\left[ 2\times 2 \right]$ සහ - අර්ධ වශයෙන් - $\left[ 3\time 3 \right]$ ප්‍රමාණයේ matrices සඳහා ඉතා ඵලදායී වේ. නමුත් $\left[ 4\times 4 \right]$ ප්‍රමාණයෙන් පටන් ගෙන එය භාවිතා නොකිරීම හොඳය. ඇයි - දැන් ඔබම සියල්ල තේරුම් ගනීවි.
වීජීය එකතු කිරීම්
සුදානම් වන්න. දැන් වේදනාවක් ඇති වේවි. නැත, කරදර නොවන්න: සායක් සහිත ලස්සන හෙදියක්, ලේස් සහිත මේස් ඔබ වෙත නොපැමිණෙන අතර ඔබට තට්ටම් එන්නත් ලබා දෙනු ඇත. සෑම දෙයක්ම වඩා ප්‍රායෝගිකයි: වීජීය එකතු කිරීම් සහ “යුනියන් මැට්‍රික්ස්” මහිමය ඔබ වෙත පැමිණේ.
ප්රධාන දෙය සමඟ ආරම්භ කරමු. $A=\left[ n\times n \right]$ ප්‍රමාණයේ වර්ග න්‍යාසයක් තිබිය යුතු අතර, එහි මූලද්රව්ය $((a)_(ij))$ ලෙස හැඳින්වේ. එවිට එවැනි සෑම මූලද්‍රව්‍යයක් සඳහාම අපට වීජීය අනුපූරකයක් නිර්වචනය කළ හැකිය:
අර්ථ දැක්වීම. වීජීය අනුපූරකය $((A)_(ij))$ මූලද්රව්ය $((a)_(ij))$ $A=\වමේ න්‍යාසයේ $i$th පේළියේ සහ $j$th තීරුවේ පිහිටා ඇත[ n \times n \right]$ යනු පෝරමයේ ගොඩනැගීමකි
\[((A)_(ij))=((\left(-1 \right))^(i+j))\cdot M_(ij)^(*)\]
$M_(ij)^(*)$ යනු එකම $i$th පේළිය සහ $j$th තීරුව මකා දැමීමෙන් මුල් $A$ වෙතින් ලබාගත් න්‍යාසයේ නිර්ණායකය වේ.
නැවතත්. $\left(i;j \right)$ ඛණ්ඩාංක සහිත න්යාස මූලද්‍රව්‍යයකට වීජීය අනුපූරකය $((A)_(ij))$ ලෙස දැක්වෙන අතර යෝජනා ක්‍රමයට අනුව ගණනය කෙරේ:
- පළමුව, අපි මුල් න්‍යාසයෙන් $i$-පේළිය සහ $j$-th තීරුව මකා දමමු. අපි නව වර්ග න්‍යාසයක් ලබා ගන්නා අතර, අපි එහි නිර්ණායකය $M_(ij)^(*)$ ලෙස දක්වන්නෙමු.
- ඉන්පසුව අපි මෙම නිර්ණායකය $((\left(-1 \right))^(i+j))$ වලින් ගුණ කරමු - මුලදී මෙම ප්‍රකාශය මනස්කාන්ත ලෙස පෙනුනත්, සාරාංශයක් ලෙස අපි සරලව සිතන්නේ ඉදිරියෙන් ඇති ලකුණයි. $M_(ij)^(*) $.
- අපි ගණන් කර නිශ්චිත අංකයක් ලබා ගනිමු. එම. වීජීය එකතු කිරීම නිශ්චිතවම අංකයක් මිස නව අනුකෘතියක් නොවේ.
$M_(ij)^(*)$ න්යාසය $((a)_(ij))$ මූලද්‍රව්‍යයට අමතර සුළු ලෙස හැඳින්වේ. මෙම අර්ථයෙන් ගත් කල, වීජීය අනුපූරකයේ ඉහත නිර්වචනය වඩාත් සංකීර්ණ නිර්වචනයක විශේෂ අවස්ථාවකි - අපි නිර්ණායකය පිළිබඳ පාඩමෙන් බැලූ දේ.
වැදගත් සටහනක්. ඇත්ත වශයෙන්ම, "වැඩිහිටි" ගණිතයේ, වීජීය එකතු කිරීම් පහත පරිදි අර්ථ දැක්වේ:
- අපි වර්ග න්‍යාසයක $k$ පේළි සහ $k$ තීරු ගන්නවා. ඒවායේ මංසන්ධියේදී අපට $\left[ k\times k \right]$ ප්‍රමාණයේ න්‍යාසයක් ලැබේ - එහි නිර්ණායකය $k$ අනුපිළිවෙලෙහි සුළු අගයක් ලෙස හැඳින්වෙන අතර $((M)_(k))$ ලෙස දැක්වේ.
- එවිට අපි මෙම "තෝරාගත්" $k$ පේළි සහ $k$ තීරු හරස් කරමු. නැවත වරක් ඔබට වර්ග න්‍යාසයක් ලැබේ - එහි නිර්ණායකය අතිරේක මයිනර් ලෙස හඳුන්වනු ලබන අතර $M_(k)^(*)$ ලෙස දැක්වේ.
- $M_(k)^(*)$ $(\වම(-1 \දකුණ))^(t))$ මගින් ගුණ කරන්න, එහිදී $t$ යනු (දැන් අවධානය යොමු කරන්න!) තෝරාගත් සියලුම පේළිවල සංඛ්යා එකතුව සහ තීරු . මෙය වීජීය එකතු කිරීම වනු ඇත.
තුන්වන පියවර දෙස බලන්න: ඇත්ත වශයෙන්ම $2k$ කොන්දේසි එකතුවක් තිබේ! තවත් දෙයක් නම් $k=1$ සඳහා අපට ලැබෙන්නේ පද 2ක් පමණි - මේවා එකම $i+j$ වේ - අපි සිටින $((a)_(ij))$ මූලද්රව්යයේ “ඛණ්ඩාංක” වීජීය අනුපූරකයක් සොයමින්.
ඉතින් අද අපි භාවිතා කරන්නේ තරමක් සරල කළ නිර්වචනයක්. නමුත් අපි පසුව දකින පරිදි, එය ප්රමාණවත් තරම් වැඩි වනු ඇත. පහත සඳහන් කරුණ වඩාත් වැදගත් ය:
අර්ථ දැක්වීම. $S$ සිට වර්ග න්යාසය $A=\left[ n\times n \right]$ යනු $\left[ n\times n \right]$ ප්‍රමාණයේ නව න්‍යාසයකි, එය $A$ වෙතින් ලබා ගනී. $((a)_(ij))$ වීජීය එකතු කිරීම් මගින් $((A)_(ij))$ ප්‍රතිස්ථාපනය කිරීමෙන්:
\\ Rightarrow S=\left[ \begin(matrix) ((A)_(11)) & ((A)_(12)) & ... & ((A)_(1n)) \\ (( A)_(21)) & ((A)_(22)) & ... & (A)_(2n)) \\ ... & ... & ... & ... \\ ((A)_(n1)) & ((A)_(n2)) & ... & ((A)_(nn)) \\\ end(matrix) \right]\]
මෙම නිර්වචනය සාක්ෂාත් කර ගන්නා මොහොතේ පැන නගින පළමු සිතුවිල්ල වන්නේ "කොපමණ ගණන් කළ යුතුද!" විවේක ගන්න: ඔබට ගණන් කිරීමට සිදුවනු ඇත, නමුත් එතරම් නොවේ. :)
හොඳයි, මේ සියල්ල ඉතා හොඳයි, නමුත් එය අවශ්ය වන්නේ ඇයි? නමුත් ඇයි.
ප්රධාන ප්රමේයය
අපි ටිකක් ආපසු යමු. මතක තබා ගන්න, Lemma 3 හි ප්‍රතිවර්ත කළ නොහැකි න්යාසය $A$ සැමවිටම ඒකීය නොවන බව ප්‍රකාශ කර ඇත (එනම්, එහි නිර්ණායකය ශුන්ය නොවන: $\left| A \right|\ne 0$).
එබැවින්, ප්රතිවිරුද්ධ දෙයද සත්ය වේ: $A$ න්යාසය ඒකීය නොවේ නම්, එය සැමවිටම පෙරලිය නොහැක. තවද $((A)^(-1))$ සඳහා සෙවුම් ක්‍රමයක් පවා ඇත. එය පරික්ෂා කරන්න:
ප්රතිලෝම න්යාස ප්රමේයය. වර්ග න්‍යාසයක් $A=\left[ n\times n \right]$ ලබා දීමට ඉඩ දෙන්න, සහ එහි නිර්ණායකය ශුන්ය නොවන: $\left| A \right|\ne 0$. එවිට ප්රතිලෝම න්යාසය $((A)^(-1))$ පවතින අතර එය සූත්රය මගින් ගණනය කෙරේ:
\[((A)^(-1))=\frac(1)(\left| A \right|)\cdot ((S)^(T))\]
දැන් - සෑම දෙයක්ම එක හා සමානයි, නමුත් පැහැදිලිව පෙනෙන අත් අකුරින්. ප්රතිලෝම න්යාසය සොයා ගැනීමට, ඔබට අවශ්ය වන්නේ:
- $\වම| නිර්ණායකය ගණනය කරන්න A \right|$ සහ එය ශුන්ය නොවන බව සහතික කර ගන්න.
- $S$ සමිති න්යාසය ගොඩනඟන්න, i.e. වීජීය එකතු කිරීම් 100500 ගණන් කරන්න $((A)_(ij))$ සහ $((a)_(ij))$ ස්ථානයේ තබන්න.
- මෙම න්යාසය $S$ මාරු කරන්න, ඉන්පසු එය යම් අංකයකින් ගුණ කරන්න $q=(1)/(\left| A \right|)\;$.
එච්චරයි! $((A)^(-1))$ ප්රතිලෝම න්යාසය සොයාගෙන ඇත. උදාහරණ දෙස බලමු:
\[\left[ \begin(matrix) 3 & 1 \\ 5 & 2 \\\ end(matrix) \right]\]
විසඳුමක්. අපි ආපසු හැරවීමේ හැකියාව පරීක්ෂා කරමු. අපි නිර්ණායකය ගණනය කරමු:
\[\වම| A\right|=\වම| \begin(matrix) 3 & 1 \\ 5 & 2 \\\ end(matrix) \right|=3\cdot 2-1\cdot 5=6-5=1\]
නිර්ණායකය ශුන්යයට වඩා වෙනස් වේ. මෙයින් අදහස් කරන්නේ අනුකෘතිය පෙරලිය නොහැකි බවයි. අපි යුනියන් න්‍යාසයක් නිර්මාණය කරමු:
වීජීය එකතු කිරීම් ගණනය කරමු:
\[\begin(align) & ((A)_(11))=((\left(-1 \right))^(1+1))\cdot \left| 2 \right|=2; \\ & ((A)_(12))=((\left(-1 \right))^(1+2))\cdot \left| 5 \right|=-5; \\ & ((A)_(21))=((\වම(-1 \දකුණ))^(2+1))\cdot \left| 1 \right|=-1; \\ & ((A)_(22))=((\වම(-1 \දකුණ))^(2+2))\cdot \left| 3\right|=3. \\ \අවසන්(පෙළගැසෙන්න)\]
කරුණාකර සටහන් කරන්න: නිර්ණායක |2|, |5|, |1| සහ |3| $\left[ 1\times 1 \right]$ ප්‍රමාණයේ න්යාස වල නිර්ණායක වන අතර, මොඩියුල නොවේ. එම. නිර්ණායකවල සෘණ සංඛ්යා තිබුනේ නම්, "අඩු" ඉවත් කිරීම අවශ්ය නොවේ.
සමස්තයක් වශයෙන්, අපගේ වෘත්තීය සමිති අනුකෘතිය මේ ආකාරයෙන් පෙනේ:
\[((A)^(-1))=\frac(1)(\left| A \right|)\cdot ((S)^(T))=\frac(1)(1)\cdot ( (\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & -5 \\ -1 & 3 \\\ end(array) \right])^(T))=\left[ \begin (array)(*(35)(r)) 2 & -1 \\ -5 & 3 \\\ end(array) \right]\]
හරි දැන් ඔක්කොම ඉවරයි. ගැටලුව විසඳී ඇත.
පිළිතුර. $\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & -1 \\ -5 & 3 \\\ end(array) \ right]$
කාර්ය. ප්රතිලෝම න්යාසය සොයන්න:
\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\\ end(array) \right] \]
විසඳුමක්. අපි නැවතත් නිර්ණායකය ගණනය කරමු:
\[\begin(align) & \left| \begin(array)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\\ end(array) \right|=\begin(matrix ) \left(1\cdot 2\cdot 1+\left(-1 \right)\cdot \left(-1 \right)\cdot 1+2\cdot 0\cdot 0 \right)- \\ -\වම (2\cdot 2\cdot 1+\left(-1 \right)\cdot 0\cdot 1+1\cdot \left(-1 \right)\cdot 0 \right) \\\end(matrix)= \ \ & =\left(2+1+0 \right)-\left(4+0+0 \right)=-1\ne 0. \\ \end(align)\]
නිර්ණායකය ශුන්ය නොවේ - න්යාසය පෙරලිය නොහැකි ය. නමුත් දැන් එය ඇත්තෙන්ම දැඩි වනු ඇත: අපි වීජීය එකතු කිරීම් 9 (නවය, මව් පියන්!) ලෙස ගණන් කළ යුතුය. තවද ඒවායින් එක් එක් නිර්ණායකය $\වම[ 2\time 2 \right]$ අඩංගු වේ. පියාසර කළා:
\[\begin(matrix) ((A)_(11))=((\left(-1 \right))^(1+1))\cdot \left| \begin(matrix) 2 & -1 \\ 0 & 1 \\\ end(matrix) \right|=2; \\ ((A)_(12))=((\left(-1 \right))^(1+2))\cdot \left| \begin(matrix) 0 & -1 \\ 1 & 1 \\\ end(matrix) \right|=-1; \\ ((A)_(13))=((\left(-1 \right))^(1+3))\cdot \left| \begin(matrix) 0 & 2 \\ 1 & 0 \\\ end(matrix) \right|=-2; \\ ... \\ ((A)_(33))=((\වම(-1 \දකුණ))^(3+3))\cdot \left| \begin(matrix) 1 & -1 \\ 0 & 2 \\\ end(matrix) \right|=2; \\ \end(matrix)\]
කෙටියෙන් කිවහොත්, වෘත්තීය සමිති අනුකෘතිය මේ ආකාරයෙන් පෙනෙනු ඇත:
එබැවින්, ප්රතිලෝම න්යාසය වනුයේ:
\[((A)^(-1))=\frac(1)(-1)\cdot \left[ \begin(matrix) 2 & -1 & -2 \\ 1 & -1 & -1 \\ -3 සහ 1 සහ 2 \\\ end(matrix) \right]=\left[ \begin(array)(*(35)(r))-2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \ \2 සහ 1 සහ -2 \\\ end(array) \right]\]
ඒක තමයි. මෙන්න උත්තරේ.
පිළිතුර. $\left[ \begin(array)(*(35)(r)) -2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & -2 \\\ end(array) \right ]$
ඔබට පෙනෙන පරිදි, එක් එක් උදාහරණයේ අවසානයේ අපි චෙක්පතක් සිදු කළෙමු. මේ සම්බන්ධයෙන්, වැදගත් සටහනක්:
පරීක්ෂා කිරීමට කම්මැලි නොවන්න. මුල් න්යාසය සොයාගත් ප්රතිලෝම න්‍යාසයෙන් ගුණ කරන්න - ඔබට $E$ ලැබිය යුතුය.
උදාහරණයක් ලෙස, ඔබ න්යාස සමීකරණයක් විසඳන විට වැඩිදුර ගණනය කිරීම් වල දෝෂයක් සෙවීමට වඩා මෙම චෙක්පත සිදු කිරීම ඉතා පහසු සහ වේගවත් වේ.
විකල්ප මාර්ගය
මා කී පරිදි, ප්රතිලෝම න්යාස ප්රමේයය $\left[ 2\times 2 \right]$ සහ $\left[ 3\times 3 \right]$ සඳහා විශිෂ්ට ලෙස ක්‍රියා කරයි (අවසාන අවස්ථාවේ දී, එය එතරම් "විශිෂ්ට" නොවේ " ), නමුත් විශාල matrices සඳහා දුක ආරම්භ වේ.
නමුත් කරදර නොවන්න: $\left[ 10\times 10 \right]$ න්යාසය සඳහා පවා ඔබට සන්සුන්ව ප්රතිලෝම සොයා ගත හැකි විකල්ප ඇල්ගොරිතමයක් ඇත. එහෙත්, බොහෝ විට සිදු වන පරිදි, මෙම ඇල්ගොරිතම සලකා බැලීමට අපට කුඩා න්යායික හැඳින්වීමක් අවශ්ය වේ.
මූලික පරිවර්තනයන්
හැකි සියලුම අනුකෘති පරිවර්තනයන් අතර, විශේෂ කිහිපයක් තිබේ - ඒවා මූලික ලෙස හැඳින්වේ. හරියටම එවැනි පරිවර්තනයන් තුනක් තිබේ:
- ගුණ කිරීම. ඔබට $i$th පේළිය (තීරුව) ගෙන එය ඕනෑම අංකයකින් $k\ne 0$ ගුණ කළ හැක;
- ඊට අමතරව. $i$-වන පේළියට (තීරුව) වෙනත් ඕනෑම $j$-වන පේළියකට (තීරුව) එක් කරන්න, ඕනෑම අංකයකින් ගුණ කළ $k\ne 0$ (ඔබට, ඇත්ත වශයෙන්ම, $k=0$ කළ හැක, නමුත් කුමක්ද? කාරණය? කිසිවක් වෙනස් නොවනු ඇත).
- නැවත සකස් කිරීම. $i$th සහ $j$th පේළි (තීරු) ගෙන ස්ථාන මාරු කරන්න.
මෙම පරිවර්තනයන් ප්‍රාථමික ලෙස හඳුන්වන්නේ ඇයි (විශාල න්යාස සඳහා ඒවා එතරම් ප්‍රාථමික ලෙස නොපෙනේ) සහ ඒවායින් තුනක් පමණක් ඇත්තේ ඇයි - මෙම ප්රශ්න අද පාඩමේ විෂය පථයෙන් ඔබ්බට ය. ඒ නිසා අපි විස්තර කරන්න යන්නේ නැහැ.
තවත් දෙයක් වැදගත් ය: අපි මෙම සියලු විකෘති කිරීම් යාබද අනුකෘතිය මත සිදු කළ යුතුය. ඔව්, ඔව්: ඔබ ඇසුවා හරි. දැන් තවත් එක් අර්ථ දැක්වීමක් ඇත - අද පාඩමේ අවසාන එක.
අනුබද්ධ අනුකෘතිය
නිසැකවම පාසලේදී ඔබ එකතු කිරීමේ ක්රමය භාවිතා කරමින් සමීකරණ පද්ධති විසඳා ඇත. හොඳයි, එහිදී, එක් පේළියකින් තවත් රේඛාවක් අඩු කරන්න, යම් රේඛාවක් අංකයකින් ගුණ කරන්න - එපමණයි.
ඉතින්: දැන් සෑම දෙයක්ම සමාන වනු ඇත, නමුත් "වැඩිහිටි" ආකාරයෙන්. සූදානම්ද?
අර්ථ දැක්වීම. $A=\left[ n\times n \right]$ න්‍යාසයක් සහ $n$ එකම ප්‍රමාණයේ $E$ අනන්යතා න්‍යාසයක් ලබා දීමට ඉඩ දෙන්න. එවිට $\left[ A\left| adjoint matrix ඊ\ හරි. \right]$ යනු මේ ආකාරයට පෙනෙන $\left[ n\times 2n \right]$ ප්‍රමාණයේ නව න්‍යාසයකි:
\[\left[ A\left| ඊ\ හරි. \right]=\left[ \begin(array)(rrrr|rrrr)((a)_(11)) & ((a)_(12)) & ... & ((a)_(1n)) & 1 & 0 & ... & 0 \\((a)_(21)) & ((a)_(22)) & ... & ((a)_(2n)) & 0 & 1 & ... & 0 \\... & ... & ... & ... & ... & ... ... ((a)_(n2)) & ... & ((a)_(nn)) & 0 & 0 & ... & 1 \\\ end(array) \right]\]
කෙටියෙන් කිවහොත්, අපි $A$ න්යාසය ගනිමු, දකුණු පසින් අපි එයට අවශ්ය ප්‍රමාණයේ $E$ අනන්යතා න්යාසය පවරමු, අපි ඒවා අලංකාරය සඳහා සිරස් තීරුවකින් වෙන් කරමු - මෙන්න ඔබට යාබදව. :)
අල්ලා ගැනීම කුමක්ද? මෙන්න දේ:
ප්රමේයය. $A$ න්යාසය පෙරලිය නොහැකි වීමට ඉඩ දෙන්න. $\left[ A\left| adjoint matrix සලකා බලන්න ඊ\ හරි. \right]$. භාවිතා කරන්නේ නම් මූලික තන්තු පරිවර්තනයඑය $\left[ E\left| පෝරමයට ගෙන එන්න B\ හරි. \right]$, i.e. දකුණු පස ඇති $E$ න්යාසය $A$ වෙතින් ලබා ගැනීම සඳහා පේළි ගුණ කිරීම, අඩු කිරීම සහ නැවත සකස් කිරීම මගින්, වම් පස ඇති $B$ න්යාසය $A$ හි ප්‍රතිලෝමය වේ:
\[\left[ A\left| ඊ\ හරි. \right]\ සිට \වමට[ E\left| B\ හරි. \right]\Rightarrow B=((A)^(-1))\]
එය ඉතා සරලයි! කෙටියෙන් කිවහොත්, ප්රතිලෝම න්යාසය සොයා ගැනීමේ ඇල්ගොරිතම මේ ආකාරයට පෙනේ:
- $\left[ A\left| adjoint matrix ලියන්න ඊ\ හරි. \දකුණ]$;
- $A$ වෙනුවට $E$ දිස්වන තුරු මූලික තන්තු පරිවර්තන සිදු කරන්න;
- ඇත්ත වශයෙන්ම, වම් පසින් යමක් දිස්වනු ඇත - නිශ්චිත අනුකෘතියක් $B$. මෙය ප්රතිවිරුද්ධ වනු ඇත;
- ලාභයක්!:)
ඇත්ත වශයෙන්ම, මෙය පැවසීමට වඩා පහසුය. එබැවින් අපි උදාහරණ කිහිපයක් බලමු: $\left[ 3\times 3 \right]$ සහ $\left[ 4\time 4 \right]$ ප්‍රමාණ සඳහා.
කාර්ය. ප්රතිලෝම න්යාසය සොයන්න:
\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 5 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \\ 6 & -2 & 1 \\\ end(array) \right]\ ]
විසඳුමක්. අපි යාබද අනුකෘතිය සාදන්නෙමු:
\[\left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 6 & -2 & 1 & 0 & 0 සහ 1 \\\ end(array) \right]\]
මුල් අනුකෘතියේ අවසාන තීරුව ඒවායින් පුරවා ඇති බැවින්, පළමු පේළිය ඉතිරි කොටසෙන් අඩු කරන්න:
\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 6 & - 2 & 1 & 0 & 0 & 1 \\\ end(array) \ right]\begin(matrix) \\ downarrow \\ -1 \\ -1 \\\ end(matrix)\ to \\ & \ to \ to left [ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 5 & -7 & 0 & -1 & 0 සහ 1 \\\ end(array) \right] \\ \end(align)\]
පළමු පේළිය හැර තවත් ඒකක නොමැත. නමුත් අපි එය ස්පර්ශ නොකරන්නෙමු, එසේ නොමැති නම් අලුතින් ඉවත් කරන ලද ඒකක තුන්වන තීරුවේ "ගුණ කිරීම" ආරම්භ වනු ඇත.
නමුත් අපට දෙවන පේළිය අන්තිමට වඩා දෙවරක් අඩු කළ හැකිය - අපට පහළ වම් කෙළවරේ එකක් ලැබේ:
\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 5 & -7 & 0 & -1 & 0 & 1 \\\ end(array) \ right]\begin(matrix) \ \\ \ downarrow \\ -2 \\\ end(matrix)\ to \\ & \left [ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 සහ 1 \\\ end(array) \right] \\ \end(align)\]
දැන් අපට අවසාන පේළිය පළමු පේළියෙන් සහ දෙවැන්නෙන් දෙවරක් අඩු කළ හැකිය - මේ ආකාරයෙන් අපි පළමු තීරුව “ශුන්ය” කරමු:
\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\ end(array) \ right]\begin(matrix) -1 \\ -2 \\ \uparrow \\\ end(matrix)\ to \\ & \ \ වමට[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & -3 & 5 & -2 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 සහ 1 \\\ end(array) \right] \\ \end(align)\]
දෙවන පේළිය −1 න් ගුණ කරන්න, ඉන්පසු එය පළමු සිට 6 වතාවක් අඩු කර අන්තිමට 1 වරක් එක් කරන්න:
\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & -3 & 5 & -2 \ \ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\ end(array) \ right]\begin(matrix) \ \\ \left| \cdot \left (-1 \right) \ right. \\ \ \\\ end(matrix)\to \\ & \ to \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\ end(array) \right]\begin(matrix) -6 \\ \updownarrow \\ +1 \\\ end (matrix)\ to \\ & \ to \ left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 0 & 1 & -18 & 32 & -13 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 1 & 0 & 0 & 4 & -7 & 3 \\\ end(array) \right] \\ \end(align)\]
ඉතිරිව ඇත්තේ පේළි 1 සහ 3 මාරු කිරීම පමණි:
\[\left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 0 & 0 & 4 & -7 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & - 18 සහ 32 සහ -13 \\\ අන්ත(අරාව) \දකුණ]\]
සූදානම්! දකුණු පසින් අවශ්ය ප්රතිලෝම න්යාසය ඇත.
පිළිතුර. $\left[ \begin(array)(*(35)(r))4 & -7 & 3 \\ 3 & -5 & 2 \\ -18 & 32 & -13 \\\ end(array) \right ]$
කාර්ය. ප්රතිලෝම න්යාසය සොයන්න:
\[\left[ \begin(matrix) 1 & 4 & 2 & 3 \\ 1 & -2 & 1 & -2 \\ 1 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & -10 & -2 & -5 \\\ end(matrix) \දකුණ]\]
විසඳුමක්. අපි නැවතත් යාබදව සම්පාදනය කරමු:
\[\left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \ \ 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\ end(array) \right]\]
අපි ටිකක් අඬමු, දැන් කොච්චර ගණන් කරන්න වෙලාද කියලා දුක් වෙන්න... ගණන් කරන්න පටන් ගන්න. පළමුව, 2 සහ 3 පේළි වලින් 1 පේළිය අඩු කිරීමෙන් පළමු තීරුව "ශුන්ය" කරමු:
\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\ end(array) \right]\begin(matrix) \downarrow \\ -1 \\ -1 \\ \ \\\ end(matrix)\ to \\ & \ to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -6 & -1 & -5 & -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -5 & -1 & -2 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\ end(array) \right] \\ \end(align)\]
අපි පේළි 2-4 හි බොහෝ "අඩුපාඩු" දකිමු. පේළි තුනම −1 න් ගුණ කරන්න, ඉන්පසු තුන්වන තීරුව ඉතිරියෙන් 3 අඩු කිරීමෙන් ඉවත් කරන්න:
\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -6 & -1 & -5 & - 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -5 & -1 & -2 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end(array) \right]\begin(matrix) \\\ \left| \cdot \left (-1 \right) \ right. \\ \වම| \cdot \left (-1 \right) \ right. \\ \වම| \cdot \left (-1 \right) \ right. \\\ end(matrix)\ to \\ & \ to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 1 & 5 & 1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 10 & 2 & 5 & 0 & 0 & 0 & -1 \\ \end (array) \right]\begin(matrix) -2 \\ -1 \\ \ updownarrow \\ -2 \\\ end(matrix)\ to \\ & \ to \ left[ \begin(array)( rrrr| rrrr) 1 & -6 & 0 & -1 & -1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\ end(array) \right] \\ \ end(align)\]
දැන් මුල් න්‍යාසයේ අවසාන තීරුව “ෆ්‍රයි” කිරීමට කාලයයි: ඉතිරියෙන් 4 පේළිය අඩු කරන්න:
\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & -1 & -1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\ end(අරාව ) \right]\begin(matrix) +1 \\ -3 \\ -2 \\ \uparrow \\\ end(matrix)\ to \\ & \ to \ left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & 0 & -3 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 5 & 1 & 0 & 5 සහ 0 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\ end(array) \right] \\ \ end(align)\]
අවසාන විසි කිරීම: 1 සහ 3 පේළි වලින් 2 පේළිය අඩු කිරීමෙන් දෙවන තීරුව "පිළිස්සීම":
\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & 0 & -3 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 5 & 1 & 0 & 5 & 0 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\ end( array) \right]\begin(matrix) 6 \\ \ updownarrow \\ -5 \\ \ \\\ end(matrix)\ to \\ & \ to \ left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 0 & 0 & 0 & 33 & -6 & -26 & -17 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & -25 සහ 5 & 20 & -13 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\ end(array) \right] \\ \end(align)\]
නැවතත් අනන්යතා අනුකෘතිය වම් පසින් ඇත, එයින් අදහස් වන්නේ ප්රතිලෝම දකුණේ ය. :)
පිළිතුර. $\left[ \begin(matrix) 33 & -6 & -26 & 17 \\ 6 & -1 & -5 & 3 \\ -25 & 5 & 20 & -13 \\ -2 & 0 & 2 & - 1 \\\ end(matrix) \right]$
අපට වර්ග න්‍යාසයක් ලබා දෙමු. ඔබ ප්රතිලෝම අනුකෘතිය සොයා ගත යුතුය.
පළමු මාර්ගය. ප්රතිලෝම න්‍යාසයක පැවැත්ම සහ සුවිශේෂත්වය පිළිබඳ ප්රමේයය 4.1 එය සොයා ගැනීමට එක් ක්‍රමයක් දක්වයි.
1. මෙම න්‍යාසයේ නිර්ණායකය ගණනය කරන්න. ප්රතිලෝම න්යාසය නොපවතී නම් (න්යාසය ඒකීය වේ).
2. න්යාස මූලද්රව්යවල වීජීය අනුපූරක වලින් න්‍යාසයක් සාදන්න.
3.
අනුකෘතිය ලබා ගැනීම සඳහා අනුකෘතිය මාරු කරන්න 
.
4. යාබද න්‍යාසයේ සියලුම මූලද්රව්ය නිර්ණායකයෙන් බෙදීමෙන් ප්රතිලෝම න්යාසය (4.1) සොයන්න
දෙවන මාර්ගය. ප්රතිලෝම න්යාසය සොයා ගැනීමට, ඔබට මූලික පරිවර්තන භාවිතා කළ හැකිය.
1. දී ඇති න්‍යාසයකට එම අනුපිළිවෙලෙහි අනන්යතා න්‍යාසයක් පැවරීමෙන් බ්ලොක් න්‍යාසයක් සාදන්න.
2. අනුකෘතියේ පේළි මත සිදු කරන ලද මූලික පරිවර්තන භාවිතා කරමින්, එහි වම් කොටස එහි සරලම ස්වරූපයට ගෙන එන්න. මෙම අවස්ථාවෙහිදී, වාරණ න්යාසය අනන්යතා න්‍යාසයෙන් පරිවර්තනය වීමේ ප්රතිඵලයක් ලෙස ලබාගත් හතරැස් න්‍යාසයක් වන ස්වරූපයට අඩු කරනු ලැබේ.
3. නම් , එවිට වාරණ න්‍යාසයේ ප්‍රතිලෝමයට සමාන වේ, එනම් නම්, න්‍යාසයට ප්‍රතිලෝමයක් නොමැත.
ඇත්ත වශයෙන්ම, අනුකෘතියේ පේළිවල මූලික පරිවර්තනයන් ආධාරයෙන්, එහි වම් කොටස සරල කළ ආකෘතියකට අඩු කළ හැකිය (රූපය 1.5 බලන්න). මෙම අවස්ථාවෙහිදී, වාරණ න්යාසය සමානාත්මතාවය තෘප්තිමත් කරන මූලික අනුකෘතියක් වන ආකෘතියට පරිවර්තනය වේ. න්යාසය පරිහානියට පත් නොවන්නේ නම්, සටහන් 3.3 හි 2 වන ඡේදයට අනුව එහි සරල කළ ස්වරූපය අනන්යතා අනුකෘතිය සමඟ සමපාත වේ. එවිට සමානාත්මතාවයෙන් එය අනුගමනය කරයි. න්යාසය ඒකීය නම්, එහි සරල කළ ස්වරූපය අනන්යතා අනුකෘතියට වඩා වෙනස් වන අතර න්‍යාසයට ප්‍රතිලෝමයක් නොමැත.
11. අනුකෘති සමීකරණ සහ ඒවායේ විසඳුම. SLAE පටිගත කිරීමේ Matrix ආකාරය. SLAEs විසඳීම සඳහා Matrix ක්රමය (ප්රතිලෝම න්යාස ක්රමය) සහ එහි අදාළත්වය සඳහා කොන්දේසි.
න්යාස සමීකරණ යනු පෝරමයේ සමීකරණ වේ: A*X=C; X*A=C; A*X*B=C න්යාසය A, B, C දන්නා, X න්යාසය නොදන්නා, A සහ B න්යාස පරිහානියට පත් නොවන්නේ නම්, මුල් න්යාස සඳහා විසඳුම් සුදුසු ආකාරයෙන් ලියා ඇත: X = A -1 * C; X=C*A -1 ; X=A -1 *C*B -1 රේඛීය වීජීය සමීකරණවල ලේඛන පද්ධතිවල අනුකෘති ආකාරය.එක් එක් SLAE සමඟ න්යාස කිහිපයක් සම්බන්ධ කළ හැක; තව ද, SLAE ම න්යාස සමීකරණයක ආකාරයෙන් ලිවිය හැකිය. SLAE (1) සඳහා පහත න්යාස සලකා බලන්න:
Matrix A ලෙස හැඳින්වේ පද්ධතියේ matrix. මෙම න්‍යාසයේ මූලද්රව්ය මඟින් ලබා දී ඇති SLAE එකක සංගුණක නියෝජනය කරයි.
න්යාසය A˜ ලෙස හැඳින්වේ විස්තීරණ matrix පද්ධතිය. එය ලබාගන්නේ පද්ධති න්‍යාසයට b1,b2,...,bm යන නිදහස් පද අඩංගු තීරුවක් එකතු කිරීමෙනි. සාමාන්යයෙන් මෙම තීරුව පැහැදිලිකම සඳහා සිරස් රේඛාවකින් වෙන් කරනු ලැබේ.
තීරු අනුකෘතිය B ලෙස හැඳින්වේ නිදහස් සාමාජිකයින්ගේ matrix, සහ තීරු අනුකෘතිය X වේ නොදන්නා අයගේ matrix.
ඉහත හඳුන්වා දුන් අංකනය භාවිතා කරමින්, SLAE (1) අනුකෘති සමීකරණයක ආකාරයෙන් ලිවිය හැක: A⋅X=B.
සටහන
පද්ධතිය හා සම්බන්ධ න්යාස විවිධ ආකාරවලින් ලිවිය හැක: සියල්ල සලකා බලනු ලබන SLAE හි විචල්‍යයන් සහ සමීකරණවල අනුපිළිවෙල මත රඳා පවතී. නමුත් ඕනෑම අවස්ථාවක, දී ඇති SLAE එකක එක් එක් සමීකරණයේ ඇති නොදන්නා අනුපිළිවෙල සමාන විය යුතුය.
න්යාස ක්රමය SLAE විසඳීම සඳහා සුදුසු වන අතර එහි සමීකරණ ගණන නොදන්නා විචල්‍ය ගණන සමඟ සමපාත වන අතර පද්ධතියේ ප්රධාන න්‍යාසයේ නිර්ණායකය ශුන්යයට වඩා වෙනස් වේ. පද්ධතියේ සමීකරණ තුනකට වඩා තිබේ නම්, ප්රතිලෝම න්යාසය සොයා ගැනීම සඳහා සැලකිය යුතු ගණනය කිරීමේ උත්සාහයක් අවශ්ය වේ, එබැවින් මෙම අවස්ථාවෙහිදී එය භාවිතා කිරීම සුදුසුය. Gaussian ක්රමය.
12. සමජාතීය SLAEs, ඔවුන්ගේ ශුන්ය නොවන විසඳුම්වල පැවැත්ම සඳහා කොන්දේසි. සමජාතීය SLAE වල අර්ධ විසඳුම්වල ගුණ.
රේඛීය සමීකරණයක් එහි නිදහස් පදය ශුන්යයට සමාන නම් සමජාතීය ලෙසත්, එසේ නොමැති නම් සමජාතීය ලෙසත් හැඳින්වේ. සමජාතීය සමීකරණ වලින් සමන්විත පද්ධතියක් සමජාතීය ලෙස හඳුන්වනු ලබන අතර සාමාන්ය ස්වරූපය ඇත:
13 .සමජාතීය SLAE එකක රේඛීය ස්වාධීනත්වය සහ අර්ධ විසඳුම් මත යැපීම පිළිබඳ සංකල්පය. මූලික විසඳුම් පද්ධතිය (FSD) සහ එහි නිර්ණය. FSR හරහා සමජාතීය SLAE හි පොදු විසඳුම නියෝජනය කිරීම.
ක්රියාකාරී පද්ධතිය වයි 1 (x ), වයි 2 (x ), …, වයි n (x ) ලෙස හැඳින්වේ රේඛීයව රඳා පවතීපරතරය මත ( ඒ , බී ), එම අවස්ථාවේදීම ශුන්යයට සමාන නොවන නියත සංගුණක කට්ටලයක් තිබේ නම්, මෙම ශ්‍රිතවල රේඛීය සංයෝජනය ශුන්යයට සමාන වේ ( ඒ , බී ): සදහා . සඳහා සමානාත්මතාවය හැකි වන්නේ , ශ්රිත පද්ධතිය සඳහා පමණි වයි 1 (x ), වයි 2 (x ), …, වයි n (x ) ලෙස හැඳින්වේ රේඛීයව ස්වාධීනපරතරය මත ( ඒ , බී ) වෙනත් වචන වලින් කිවහොත්, කාර්යයන් වයි 1 (x ), වයි 2 (x ), …, වයි n (x ) රේඛීයව රඳා පවතීපරතරය මත ( ඒ , බී ), ශුන්යයට සමාන නම් ( ඒ , බී ) ඔවුන්ගේ සුළු නොවන රේඛීය සංයෝජනය. කාර්යයන් වයි 1 (x ),වයි 2 (x ), …, වයි n (x ) රේඛීයව ස්වාධීනපරතරය මත ( ඒ , බී ), ඒවායේ සුළු රේඛීය සංයෝජනය පමණක් ශුන්යයට සමාන නම් ( ඒ , බී ).
මූලික තීරණ පද්ධතිය (FSR)සමජාතීය SLAE මෙම තීරු පද්ධතියේ පදනම වේ.
FSR හි ඇති මූලද්රව්ය සංඛ්‍යාව පද්ධතියේ න්‍යාසයේ ශ්රේණිය අඩු කිරීමෙන් පද්ධතියේ නොදන්නා සංඛ්‍යාවට සමාන වේ. මුල් පද්ධතියේ ඕනෑම විසඳුමක් FSR හි විසඳුම්වල රේඛීය සංයෝජනයකි.
ප්රමේයය
සමජාතීය නොවන SLAE එකක සාමාන්ය විසඳුම සමජාතීය නොවන SLAE එකක විශේෂිත ද්‍රාවණයක එකතුවට සහ ඊට අනුරූප සමජාතීය SLAE හි සාමාන්ය විසඳුමට සමාන වේ.
1 . තීරු සමජාතීය සමීකරණ පද්ධතියකට විසඳුම් නම්, ඒවායේ ඕනෑම රේඛීය සංයෝජනයක් ද සමජාතීය පද්ධතියට විසඳුමකි.
ඇත්ත වශයෙන්ම, සමානාත්මතාවයෙන් එය අනුගමනය කරයි
එම. විසඳුම්වල රේඛීය සංයෝජනයක් සමජාතීය පද්ධතියකට විසඳුමකි.
2. සමජාතීය පද්ධතියක අනුකෘතියේ ශ්රේණිය සමාන නම්, පද්ධතියට රේඛීය ස්වාධීන විසඳුම් ඇත.
ඇත්ත වශයෙන්ම, සමජාතීය පද්ධතියක සාමාන්ය විසඳුම සඳහා සූත්‍ර (5.13) භාවිතා කරමින්, නිදහස් විචල්‍යයන් සඳහා පහත සඳහන් දේ ලබා දෙමින් අපි විශේෂිත විසඳුම් සොයා ගනිමු. සම්මත අගය කට්ටල (සෑම අවස්ථාවකම නිදහස් විචල්‍ය වලින් එකක් එකකට සමාන වන අතර ඉතිරිය බිංදුවට සමාන යැයි උපකල්පනය කරයි):
රේඛීයව ස්වාධීන වන. ඇත්ත වශයෙන්ම, ඔබ මෙම තීරු වලින් න්‍යාසයක් නිර්මාණය කරන්නේ නම්, එහි අවසාන පේළි අනන්යතා න්යාසය සාදයි. එහි ප්රතිඵලයක් වශයෙන්, අවසාන පේළිවල පිහිටා ඇති බාලවය ශුන්යයට සමාන නොවේ (එය එකකට සමාන වේ), i.e. මූලික වේ. එබැවින්, අනුකෘතියේ ශ්රේණිය සමාන වනු ඇත. මෙයින් අදහස් කරන්නේ මෙම න්‍යාසයේ සියලුම තීරු රේඛීයව ස්වාධීන වන බවයි (ප්රමේයය 3.4 බලන්න).
සමජාතීය පද්ධතියක රේඛීය ස්වාධීන විසඳුම් එකතුවක් ලෙස හැඳින්වේ මූලික විසඳුම් පද්ධතිය (කට්ටලය). .
14 වෙනි අනුපිළිවෙලෙහි සුළු, මූලික සුළු, අනුකෘතියේ ශ්රේණිය. අනුකෘතියක ශ්රේණිය ගණනය කිරීම.
A න්‍යාසයක k සුළු අනුපිළිවෙල k අනුපිළිවෙලෙහි එහි වර්ග උපමාතෘකයේ නිර්ණය වේ.
m x n මානයන්හි A න්‍යාසයක, r අනුපිළිවෙලෙහි සුළු අගයක් එය ශුන්ය නොවන නම් මූලික ලෙස හඳුන්වනු ලබන අතර, ඉහළ අනුපිළිවෙලෙහි සියලුම බාලවයස් ඒවා පවතී නම්, ශුන්යයට සමාන වේ.
A න්‍යාසයේ තීරු සහ පේළි, කුඩා පදනමක් ඇති මංසන්ධියේදී, A හි පාදක තීරු සහ පේළි ලෙස හැඳින්වේ.
ප්රමේයය 1. (න්‍යාසයේ ශ්රේණිය මත). ඕනෑම න්‍යාසයක් සඳහා, සුළු ශ්රේණිය පේළි ශ්‍රේණියට සමාන වන අතර තීරු ශ්‍රේණියට සමාන වේ.
න්‍යාය 2. (අඩු පදනම මත). සෑම න්යාස තීරුවක්ම එහි පාදක තීරුවල රේඛීය සංයෝජනයකට වියෝජනය වේ.
න්‍යාසයක ශ්රේණිය (හෝ සුළු ශ්රේණිය) යනු කුඩා පදනමේ අනුපිළිවෙලයි, නැතහොත් වෙනත් වචන වලින් කිවහොත්, ශුන්ය නොවන බාලවයස්කරුවන් පවතින විශාලතම අනුපිළිවෙලයි. ශුන්ය න්‍යාසයක ශ්රේණිය අර්ථ දැක්වීම අනුව 0 ලෙස සැලකේ.
සුළු ශ්‍රේණියේ පැහැදිලි ගුණාංග දෙකක් අපි සටහන් කරමු.
1) න්‍යාසයක ශ්රේණිය මාරු කිරීමේදී වෙනස් නොවේ, මන්ද න්‍යාසයක් මාරු කළ විට එහි සියලුම උපමාත්‍ර මාරු වන අතර බාලවයස්කරුවන් වෙනස් නොවේ.
2) A’ යනු A න්‍යාසයේ උපමාත්‍රයක් නම්, A’ හි ඇතුළත් ශුන්ය නොවන බාලවයස්කාරයෙක් A හි ද ඇතුළත් වන බැවින් A’ හි ශ්රේණිය A ශ්රේණිය ඉක්මවා නොයයි.
15. -මාන ගණිත දෛශික සංකල්පය. දෛශික සමානාත්මතාවය. දෛශික මත මෙහෙයුම් (එකතු කිරීම, අඩු කිරීම, අංකයකින් ගුණ කිරීම, අනුකෘතියකින් ගුණ කිරීම). දෛශිකවල රේඛීය සංයෝජනය.
ඇණවුම් කළ එකතුව nසැබෑ හෝ සංකීර්ණ සංඛ්යා ලෙස හැඳින්වේ n-මාන දෛශිකය. අංක කැඳවනු ලැබේ දෛශික ඛණ්ඩාංක.
(ශුන්ය නොවන) දෛශික දෙකක් ඒසහ බීසමාන ලෙස යොමු කර ඇති අතර එකම මොඩියුලය තිබේ නම් සමාන වේ. සියලුම ශුන්ය දෛශික සමාන ලෙස සැලකේ. අනෙක් සෑම අවස්ථාවකදීම, දෛශික සමාන නොවේ.
දෛශික එකතු කිරීම. දෛශික එකතු කිරීමට ක්රම දෙකක් තිබේ: 1. සමාන්තර චලිත රීතිය. දෛශික එකතු කිරීමට සහ, අපි දෙකේම මූලාරම්භය එකම ස්ථානයේ තබමු. අපි සමාන්තර චලිතයක් දක්වා ගොඩනඟා එම ස්ථානයේ සිටම අපි සමාන්තර චලිතයේ විකර්ණයක් අඳින්නෙමු. මෙය දෛශිකයන්ගේ එකතුව වනු ඇත.
2. දෛශික එකතු කිරීමේ දෙවන ක්රමය ත්රිකෝණ රීතියයි. අපි එම දෛශික හා ගනිමු. අපි පළමු දෛශිකයේ අවසානයට දෙවැන්නේ ආරම්භය එකතු කරමු. දැන් අපි පළමුවැන්නෙහි ආරම්භය සහ දෙවැන්නෙහි අවසානය සම්බන්ධ කරමු. මෙය දෛශිකවල එකතුව සහ . එකම රීතිය භාවිතා කරමින්, ඔබට දෛශික කිහිපයක් එකතු කළ හැකිය. අපි ඒවා එකින් එක සකසන්නෙමු, ඉන්පසු පළමුවැන්න ආරම්භයේ අවසානයට සම්බන්ධ කරමු.
දෛශික අඩු කිරීම. දෛශිකය දෛශිකයට ප්රතිවිරුද්ධව යොමු කෙරේ. දෛශිකවල දිග සමාන වේ. දෛශික අඩු කිරීම යනු කුමක්දැයි දැන් පැහැදිලිය. දෛශික වෙනස සහ දෛශිකයේ සහ දෛශිකයේ එකතුවයි.
දෛශිකයක් අංකයකින් ගුණ කිරීම
දෛශිකයක් k අංකයකින් ගුණ කිරීමෙන් දිග k ගුණයක් දිග දෛශිකයක් නිපදවයි. k ශුන්යයට වඩා වැඩි නම් එය දෛශිකය සමඟ සහයෝගී වන අතර k ශුන්යයට වඩා අඩු නම් ප්රතිවිරුද්ධ ලෙස යොමු කෙරේ.
දෛශිකවල අදිශ ගුණිතය යනු දෛශිකවල දිග සහ ඒවා අතර කෝණයේ කෝසයින් වල ගුණිතයයි.දෛශික ලම්බක නම්, ඒවායේ අදිශ නිෂ්පාදන ශුන්ය වේ. තවද දෛශික සහ ඛණ්ඩාංක හරහා අදිශ නිෂ්පාදනය ප්‍රකාශ වන ආකාරය මෙයයි.
දෛශිකවල රේඛීය සංයෝජනය
දෛශිකවල රේඛීය සංයෝජනය 
දෛශිකයක් ලෙස හැඳින්වේ
කොහෙද 
- රේඛීය සංයෝජන සංගුණක. නම් 
සංයෝජන සුළු නොවේ නම් එය ත්‍රිත්ව නම් වේ.
16 .ගණිත දෛශික වල පරිමාණ නිෂ්පාදනය. දෛශික දිග සහ දෛශික අතර කෝණය. දෛශික විකලාංග සංකල්පය.
a සහ b දෛශිකවල අදිශ ගුණිතය සංඛ්‍යාව වේ
අදිශ නිෂ්පාදනය ගණනය කිරීමට භාවිතා කරයි: 1) ඒවා අතර කෝණය සොයා ගැනීම; 2) දෛශික ප්රක්ෂේපණය සොයා ගැනීම; 3) දෛශිකයේ දිග ගණනය කිරීම; 4) දෛශිකවල ලම්බක කොන්දේසි.
AB කොටසේ දිග A සහ B ලකුණු අතර දුර ලෙස හැඳින්වේ. දෛශික A සහ B අතර කෝණය α = (a, b), 0≤ α ≤P ලෙස හැඳින්වේ. එහි දිශාව වෙනත් දෛශිකයක් සමඟ සමපාත වන පරිදි ඔබ දෛශික 1 ක් කරකැවිය යුතුය. ඔවුන්ගේ මූලාරම්භය සමපාත වන බව සපයා ඇත.
ortom a යනු ඒකක දිග සහ දිශාව a සහිත දෛශිකයකි.
17. දෛශික පද්ධතිය සහ එහි රේඛීය සංයෝජනය. දෛශික පද්ධතියක රේඛීය යැපීම සහ ස්වාධීනත්වය පිළිබඳ සංකල්පය. දෛශික පද්ධතියක රේඛීය යැපීම සඳහා අවශ්ය සහ ප්රමාණවත් කොන්දේසි පිළිබඳ ප්රමේයය.
දෛශික පද්ධතියක් a1,a2,...,an λ1,λ2,...,λn සංඛ්යා තිබේ නම් රේඛීයව පරායත්ත ලෙස හැඳින්වේ, එනම් ඒවායින් එකක් වත් ශුන්ය නොවන අතර λ1a1+λ2a2+...+λnan=0 . එසේ නොමැති නම්, පද්ධතිය රේඛීය ස්වාධීන ලෙස හැඳින්වේ.
දෛශික දෙකක් a1 සහ a2 ඒවායේ දිශාවන් සමාන හෝ ප්රතිවිරුද්ධ නම් collinear ලෙස හැඳින්වේ.
දෛශික තුනක් a1, a2 සහ a3 සමහර තලයකට සමාන්තර නම් coplanar ලෙස හැඳින්වේ.
රේඛීය යැපීම සඳහා ජ්යාමිතික නිර්ණායක:
a) පද්ධතිය (a1,a2) රේඛීයව රඳා පවතී නම් සහ දෛශික a1 සහ a2 collinear නම් පමණි.
b) පද්ධතිය (a1,a2,a3) රේඛීයව රඳා පවතින්නේ දෛශික a1,a2 සහ a3 coplanar නම් සහ පමණි.
ප්රමේයය. (රේඛීය යැපීම සඳහා අවශ්ය සහ ප්රමාණවත් කොන්දේසි පද්ධතිදෛශික.)
දෛශික පද්ධතිය දෛශිකය අවකාශයවේ රේඛීයපද්ධතියේ එක් දෛශිකයක් අනෙක් ඒවා අනුව රේඛීයව ප්‍රකාශ වන්නේ නම් සහ පමණක් රඳා පවතී දෛශිකයමෙම පද්ධතිය.
නිගමනය 1. දෛශික අවකාශයක ඇති දෛශික පද්ධතියක් රේඛීයව ස්වාධීන වන්නේ පද්ධතියේ දෛශික කිසිවක් මෙම පද්ධතියේ අනෙකුත් දෛශික අනුව රේඛීයව ප්‍රකාශ නොකළහොත් පමණි.2. ශුන්ය දෛශිකයක් හෝ සමාන දෛශික දෙකක් අඩංගු දෛශික පද්ධතියක් රේඛීයව රඳා පවතී.
අන්තර්ජාලයෙන් ප්රතිලෝම න්යාසය සොයා ගැනීම සඳහා, ඔබ න්‍යාසයේ ප්‍රමාණයම දැක්වීමට අවශ්ය වනු ඇත. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, ඔබ තීරු සහ පේළි ගණනින් සෑහීමකට පත් වන තෙක් "+" හෝ "-" අයිකන මත ක්ලික් කරන්න. ඊළඟට, ක්ෂේත්රවල අවශ්ය අංග ඇතුළත් කරන්න. පහත දැක්වෙන්නේ “ගණනය කරන්න” බොත්තමයි - එය ක්ලික් කිරීමෙන් ඔබට සවිස්තරාත්මක විසඳුමක් සමඟ තිරය මත පිළිතුරක් ලැබෙනු ඇත.
රේඛීය වීජ ගණිතයේදී, බොහෝ විට කෙනෙකුට ප්රතිලෝම න්යාසය ගණනය කිරීමේ ක්රියාවලිය සමඟ කටයුතු කිරීමට සිදුවේ. එය පවතින්නේ ප්‍රකාශ නොකළ න්යාස සඳහා සහ නිර්ණය ශුන්ය නොවන බව සපයා ඇති වර්ග න්යාස සඳහා පමණි. මූලධර්මය අනුව, එය ගණනය කිරීම විශේෂයෙන් දුෂ්කර නොවේ, විශේෂයෙන් ඔබ කුඩා matrix සමඟ කටයුතු කරන්නේ නම්. නමුත් ඔබට වඩාත් සංකීර්ණ ගණනය කිරීම් හෝ ඔබේ තීරණය පිළිබඳ සවිස්තරාත්මක දෙවරක් පරීක්ෂා කිරීමට අවශ්ය නම්, මෙම මාර්ගගත කැල්ක්යුලේටරය භාවිතා කිරීම වඩා හොඳය. එහි ආධාරයෙන්, ඔබට ඉක්මනින් හා නිවැරදිව ප්රතිලෝම අනුකෘතියක් විසඳා ගත හැකිය.
මෙම මාර්ගගත කැල්කියුලේටරය භාවිතා කිරීමෙන් ඔබට ඔබේ ගණනය කිරීම් වඩාත් පහසු කර ගත හැක. ඊට අමතරව, එය න්‍යායාත්මකව ලබාගත් ද්රව්ය ඒකාබද්ධ කිරීමට උපකාරී වේ - එය මොළය සඳහා වන සිමියුලේටරයකි. එය අතින් ගණනය කිරීම් සඳහා ආදේශකයක් ලෙස නොසැලකිය යුතුය; එය ඔබට තවත් බොහෝ දේ ලබා දිය හැකි අතර, ඇල්ගොරිතම තේරුම් ගැනීම පහසු කරයි. ඊට අමතරව, ඔබ ගැන දෙවරක් පරීක්ෂා කිරීම කිසි විටෙකත් රිදවන්නේ නැත.
න්යාස සමඟ ක්‍රියා පිළිබඳ සංවාදය දිගටම කරගෙන යමු. එනම්, මෙම දේශනය අධ්යයනය කිරීමේදී ඔබ ප්රතිලෝම න්යාසය සොයා ගන්නේ කෙසේදැයි ඉගෙන ගනු ඇත. ඉගෙන ගන්න. ගණන් අමාරු උනත්.
ප්රතිලෝම අනුකෘතියක් යනු කුමක්ද? මෙහිදී අපට ප්රතිලෝම සංඛ්යා සමඟ ප්‍රතිසමයක් ඇඳිය හැකිය: උදාහරණයක් ලෙස, ශුභවාදී අංකය 5 සහ එහි ප්රතිලෝම අංකය සලකා බලන්න. මෙම සංඛ්‍යාවල ගුණිතය එකකට සමාන වේ: . matrices සමඟ සෑම දෙයක්ම සමාන වේ! න්‍යාසයක ගුණිතය සහ එහි ප්රතිලෝම න්යාසය සමාන වේ - අනන්යතා අනුකෘතිය, එය සංඛ්‍යාත්මක ඒකකයේ අනුකෘති ප්‍රතිසමය වේ. කෙසේ වෙතත්, පළමු දේ පළමුව - අපි මුලින්ම වැදගත් ප්‍රායෝගික ගැටළුවක් විසඳමු, එනම්, මෙම ප්රතිලෝම න්යාසය සොයා ගන්නේ කෙසේදැයි ඉගෙන ගනිමු.
ප්රතිලෝම න්යාසය සොයා ගැනීමට ඔබ දැනගත යුතු සහ කළ හැකි වන්නේ කුමක්ද? ඔබට තීරණය කිරීමට හැකි විය යුතුය සුදුසුකම්. එය කුමක්දැයි ඔබ තේරුම් ගත යුතුය matrixසහ ඔවුන් සමඟ යම් ක්රියාවන් සිදු කිරීමට හැකි වේ.
ප්රතිලෝම න්යාසය සොයා ගැනීම සඳහා ප්රධාන ක්රම දෙකක් තිබේ:
භාවිතා කිරීම මගින් වීජීය එකතු කිරීම්සහ මූලික පරිවර්තනයන් භාවිතා කිරීම.
අද අපි පළමු, සරල ක්රමය අධ්යයනය කරමු.
වඩාත්ම භයානක හා තේරුම්ගත නොහැකි දේ සමඟ ආරම්භ කරමු. අපි සලකා බලමු හතරැස් matrix. පහත සූත්රය භාවිතයෙන් ප්රතිලෝම න්යාසය සොයාගත හැක:
න්‍යාසයේ නිර්ණායකය කොහිද, න්‍යාසයේ අනුරූප මූලද්රව්යවල වීජීය අනුපූරකවල ප්‍රතිවර්තිත න්‍යාසයයි.
ප්රතිලෝම න්‍යාසයක සංකල්පය පවතින්නේ වර්ග න්යාස සඳහා පමණි, න්යාස "දෙකෙන් දෙක", "තුනෙන් තුන", ආදිය.
තනතුරු: ඔබ දැනටමත් දැක ඇති පරිදි, ප්රතිලෝම න්යාසය උපරි අකුරකින් දැක්වේ
අපි සරලම නඩුවෙන් පටන් ගනිමු - දෙකෙන් දෙකක අනුකෘතියක්. බොහෝ විට, ඇත්ත වශයෙන්ම, "තුනෙන් තුනෙන්" අවශ්ය වේ, නමුත්, කෙසේ වෙතත්, විසඳුමේ පොදු මූලධර්මය අවබෝධ කර ගැනීම සඳහා සරල කාර්යයක් අධ්යයනය කිරීමට මම තරයේ නිර්දේශ කරමි.
උදාහරණයක්:
න්‍යාසයක ප්‍රතිලෝමය සොයන්න
අපි තීරණය කරමු. ලක්ෂ්‍යයෙන් ක්‍රියා අනුපිළිවෙල බිඳ දැමීම පහසුය.
1) මුලින්ම අපි න්‍යාසයේ නිර්ණායකය සොයා ගනිමු.
මෙම ක්රියාව පිළිබඳ ඔබේ අවබෝධය හොඳ නොවේ නම්, ද්රව්ය කියවන්න නිර්ණායකය ගණනය කරන්නේ කෙසේද?
වැදගත්!අනුකෘතියේ නිර්ණායකය සමාන නම් ZERO- ප්රතිලෝම න්යාසය නොපවතී.
සලකා බලනු ලබන උදාහරණයේ, එය සිදු වූ පරිදි, , එයින් අදහස් වන්නේ සෑම දෙයක්ම පිළිවෙලට ඇති බවයි.
2) බාල වයස්කරුවන්ගේ අනුකෘතිය සොයා ගන්න.
අපගේ ගැටළුව විසඳීම සඳහා, බාල වයස්කරුවෙකු යනු කුමක්දැයි දැන ගැනීම අවශ්ය නොවේ, කෙසේ වෙතත්, ලිපිය කියවීමට යෝග්ය වේ නිර්ණායකය ගණනය කරන්නේ කෙසේද.
බාල වයස්කරුවන්ගේ න්‍යාසයට අනුකෘතියට සමාන මානයන් ඇත, එනම් මෙම අවස්ථාවෙහිදී.
ඉතිරිව ඇත්තේ අංක හතරක් සොයාගෙන තරු ලකුණු වෙනුවට ඒවා තැබීමයි.
අපි අපේ matrix වෙත ආපසු යමු
අපි මුලින්ම වම්පස ඉහළම අංගය දෙස බලමු:
එය සොයා ගන්නේ කෙසේද සුළු?
මෙය සිදු කරනු ලබන්නේ මේ ආකාරයට ය: මෙම මූලද්රව්යය පිහිටා ඇති පේළිය සහ තීරුව මානසිකව හරස් කරන්න:
ඉතිරි අංකය වේ මෙම මූලද්රව්යයේ සුළු, අපි අපගේ බාල වයස්කරුවන්ගේ අනුකෘතියේ ලියන්නෙමු:
පහත න්යාස මූලද්රව්යය සලකා බලන්න:
මෙම මූලද්රව්යය දිස්වන පේළිය සහ තීරුව මානසිකව හරස් කරන්න:
අපගේ අනුකෘතියේ අප ලියන මෙම මූලද්රව්යයේ සුළු කොටස ඉතිරිව ඇත:
ඒ හා සමානව, අපි දෙවන පේළියේ මූලද්රව්ය සලකා බලා ඔවුන්ගේ බාලවයස්කරුවන් සොයා ගනිමු:
සූදානම්.
ඒක සරලයි. ඔබට අවශ්ය බාල වයස්කරුවන්ගේ අනුකෘතියේ සංඥා වෙනස් කරන්නඉලක්කම් දෙකක්:
මේ මම රවුම් කළ අංක!
- අනුකෘතියේ අනුරූප මූලද්රව්යවල වීජීය එකතු කිරීම් න්යාසය.
සහ නිකම්...
4) වීජීය එකතු කිරීම් වල ප්‍රතිවර්තිත අනුකෘතිය සොයන්න.
- න්‍යාසයේ අනුරූප මූලද්රව්යවල වීජීය අනුපූරකවල මාරු කළ න්යාසය.
5) පිළිතුර.
අපි අපේ සූත්රය මතක තබා ගනිමු
සෑම දෙයක්ම සොයාගෙන ඇත!
එබැවින් ප්රතිලෝම අනුකෘතිය වන්නේ: 
පිළිතුර එලෙසම තැබීම වඩා හොඳය. අවශ්ය නැහැන්‍යාසයේ එක් එක් මූලද්රව්ය 2න් බෙදන්න, ප්රතිඵලය භාගික සංඛ්යා වන බැවින්. මෙම සූක්ෂ්මතාවය එම ලිපියේම වඩාත් විස්තරාත්මකව සාකච්ඡා කෙරේ. න්යාස සහිත ක්‍රියා.
විසඳුම පරීක්ෂා කරන්නේ කෙසේද?
ඔබ matrix ගුණ කිරීම හෝ සිදු කළ යුතුය
විභාගය: 
ලැබී ඇති බව දැනටමත් සඳහන් කර ඇත අනන්යතා අනුකෘතියවිසින් ඒවා සහිත matrix වේ ප්රධාන විකර්ණසහ වෙනත් ස්ථානවල බිංදු.
මේ අනුව, ප්රතිලෝම න්යාසය නිවැරදිව සොයාගත හැකිය.
ඔබ ක්රියාව සිදු කරන්නේ නම්, ප්රතිඵලය අනන්යතා අනුකෘතියක් ද වනු ඇත. මෙය අනුකෘති ගුණ කිරීම සංක්‍රමණික වන අවස්ථා කිහිපයෙන් එකකි, වැඩි විස්තර ලිපියෙන් සොයාගත හැකිය matrices මත මෙහෙයුම් වල ගුණ. Matrix ප්රකාශනයන්. චෙක්පත අතරතුර, නියත (භාගය) ඉදිරියට ගෙනැවිත් අවසානයේ සකසනු ලැබේ - අනුකෘති ගුණ කිරීමෙන් පසුව. මෙය සම්මත තාක්ෂණයකි.
අපි ප්‍රායෝගිකව වඩාත් පොදු නඩුවකට යමු - තුනෙන් තුනේ අනුකෘතිය:
උදාහරණයක්:
න්‍යාසයක ප්‍රතිලෝමය සොයන්න 
ඇල්ගොරිතම "දෙකෙන් දෙක" නඩුව සඳහා හරියටම සමාන වේ.
අපි සූත්රය භාවිතයෙන් ප්රතිලෝම න්යාසය සොයා ගනිමු: , න්‍යාසයේ අනුරූප මූලද්රව්යවල වීජීය අනුපූරකවල ප්රතිලෝම න්යාසය කොහෙද.
1) න්‍යාසයේ නිර්ණායකය සොයන්න.
මෙහිදී නිර්ණායකය අනාවරණය වේ පළමු පේළියේ.
එසේම, එය අමතක නොකරන්න, එයින් අදහස් කරන්නේ සියල්ල හොඳින් - ප්රතිලෝම matrix පවතී.
2) බාල වයස්කරුවන්ගේ අනුකෘතිය සොයා ගන්න.
බාල වයස්කරුවන්ගේ න්‍යාසයට "තුනෙන් තුන" මානයක් ඇත 
, සහ අපි අංක නවයක් සොයා ගත යුතුයි.
මම බාලවයස්කරුවන් කිහිප දෙනෙකු විස්තරාත්මකව බලන්නම්:
පහත න්යාස මූලද්රව්යය සලකා බලන්න: 
මෙම මූලද්රව්යය පිහිටා ඇති පේළිය සහ තීරුව මානසිකව හරස් කරන්න: 
අපි "දෙකෙන් දෙක" නිර්ණායකයේ ඉතිරි අංක හතර ලියන්නෙමු. 
මෙම දෙකෙන් දෙකේ නිර්ණායකය සහ මෙම මූලද්රව්යයේ සුළු වේ. එය ගණනය කිරීම අවශ්ය වේ: 
එපමණයි, බාලවයස්කාරයා සොයාගෙන ඇත, අපි එය අපගේ බාල වයස්කරුවන්ගේ අනුකෘතියේ ලියන්නෙමු: 
ඔබ බොහෝ විට අනුමාන කළ පරිදි, ඔබ දෙකෙන් දෙකක නිර්ණායක නවයක් ගණනය කළ යුතුය. ක්රියාවලිය, ඇත්ත වශයෙන්ම, වෙහෙසකරයි, නමුත් නඩුව වඩාත් දරුණු නොවේ, එය වඩාත් නරක විය හැක.
හොඳයි, ඒකාබද්ධ කිරීමට - පින්තූරවල තවත් බාල වයස්කරුවෙකු සොයා ගැනීම: 
ඉතිරි බාලවයස්කරුවන් ඔබම ගණනය කිරීමට උත්සාහ කරන්න.
අවසාන ප්රතිඵලය: 
- අනුකෘතියේ අනුරූප මූලද්රව්යවල බාල වයස්කරුවන්ගේ අනුකෘතිය.
සියලුම බාලවයස්කරුවන් ඍණාත්මක බවට පත් වීම තනිකරම හදිසි අනතුරකි.
3) වීජීය එකතු කිරීම් වල න්යාසය සොයන්න.
බාල වයස්කරුවන්ගේ අනුකෘතියේ එය අවශ්ය වේ සංඥා වෙනස් කරන්නපහත සඳහන් අංග සඳහා දැඩි ලෙස: 
මේ අවස්ථාවේ දී:
“හතරෙන් හතරෙන්” න්‍යාසයක් සඳහා ප්රතිලෝම න්යාසය සොයා ගැනීම අපි සලකා බලන්නේ නැත, මන්ද එවැනි කාර්යයක් ලබා දිය හැක්කේ දුක්ඛිත ගුරුවරයෙකුට පමණි (ශිෂ්‍යයාට “හතරෙන් හතරක්” නිර්ණායකයක් සහ 16 “තුනෙන් තුන” නිර්ණායක ගණනය කිරීමට. ) මගේ භාවිතයේ දී, එවැනි එක් අවස්ථාවක් පමණක් ඇති අතර, පරීක්ෂණයේ පාරිභෝගිකයා මගේ වධහිංසා සඳහා බෙහෙවින් ගෙවා ඇත =).
පෙළපොත් සහ අත්පොත් ගණනාවකින් ඔබට ප්රතිලෝම න්යාසය සෙවීමට තරමක් වෙනස් ප්‍රවේශයක් සොයාගත හැකි නමුත් ඉහත දක්වා ඇති විසඳුම් ඇල්ගොරිතම භාවිතා කිරීමට මම නිර්දේශ කරමි. ඇයි? මක්නිසාද යත්, ගණනය කිරීම් සහ සංඥා තුළ ව්යාකූල වීමේ සම්භාවිතාව බෙහෙවින් අඩු ය.
අර්ථ දැක්වීම 1:න්‍යාසයක් එහි නිර්ණායකය ශුන්ය නම් ඒකීය ලෙස හැඳින්වේ.
අර්ථ දැක්වීම 2:න්‍යාසයක් එහි නිර්ණායකය ශුන්යයට සමාන නොවේ නම් එය ඒකීය නොවන ලෙස හැඳින්වේ.
Matrix "A" ලෙස හැඳින්වේ ප්රතිලෝම න්යාසය, කොන්දේසිය A*A-1 = A-1 *A = E (ඒකක අනුකෘතිය) තෘප්තිමත් නම්.
හතරැස් න්‍යාසයක් පෙරලිය නොහැකි වන්නේ එය ඒකීය නොවන නම් පමණි.
ප්රතිලෝම අනුකෘතිය ගණනය කිරීමේ යෝජනා ක්රමය:
1) "A" නම් න්‍යාසයේ නිර්ණායකය ගණනය කරන්න ∆ A = 0, එවිට ප්රතිලෝම න්යාසය නොපවතී.
2) "A" න්‍යාසයේ සියලුම වීජීය අනුපූරක සොයන්න.
3) වීජීය එකතු කිරීම් අනුකෘතියක් සාදන්න (Aij)
4) වීජීය අනුපූරක අනුකෘතිය මාරු කරන්න (Aij )T
5) මෙම න්‍යාසයේ නිර්ණායකයේ ප්‍රතිලෝමයෙන් ප්‍රතිවර්තිත න්යාසය ගුණ කරන්න.
6) පරීක්ෂා කරන්න:
මුලින්ම බැලූ බැල්මට එය සංකීර්ණ බව පෙනේ, නමුත් ඇත්ත වශයෙන්ම සෑම දෙයක්ම ඉතා සරල ය. සියලුම විසඳුම් සරල ගණිතමය මෙහෙයුම් මත පදනම් වේ, විසඳන විට ප්රධාන දෙය වන්නේ "-" සහ "+" ලකුණු සමඟ පටලවා නොගැනීම සහ ඒවා නැති කර නොගැනීමයි.
දැන් අපි ප්රතිලෝම න්යාසය ගණනය කිරීමෙන් ප්‍රායෝගික කාර්යයක් විසඳමු.
කාර්යය: පහත පින්තූරයේ පෙන්වා ඇති "A" ප්රතිලෝම අනුකෘතිය සොයා ගන්න:
1. කළ යුතු පළමු දෙය නම් "A" න්‍යාසයේ නිර්ණායකය සොයා ගැනීමයි:
පැහැදිලි කිරීම:
අපි එහි මූලික කාර්යයන් භාවිතා කරමින් අපගේ නිර්ණායකය සරල කර ඇත. පළමුව, අපි 2 වන සහ 3 වන පේළි වලට පළමු පේළියේ මූලද්රව්ය එක් අංකයකින් ගුණ කළෙමු.
දෙවනුව, අපි නිර්ණායකයේ 2 වන සහ 3 වන තීරු වෙනස් කළ අතර, එහි ගුණාංග අනුව, අපි එය ඉදිරිපිට ලකුණ වෙනස් කළෙමු.
තෙවනුව, අපි දෙවන පේළියේ පොදු සාධකය (-1) ඉවත් කර, එමඟින් ලකුණ නැවත වෙනස් කළ අතර එය ධනාත්මක විය. අපි උදාහරණයේ ආරම්භයේදීම 3 වන පේළිය සරල කළෙමු.
අපට විකර්ණයට පහළින් ඇති මූලද්රව්ය ශුන්යයට සමාන වන ත්‍රිකෝණාකාර නිර්ණායකයක් ඇති අතර 7 ගුණයෙන් එය විකර්ණ මූලද්රව්යවල ගුණිතයට සමාන වේ. අවසානයේ අපට ලැබුණා ∆ A = 26, එබැවින් ප්රතිලෝම න්යාසය පවතී.
A11 = 1*(3+1) = 4
A12 = -1*(9+2) = -11
A13 = 1*1 = 1
A21 = -1*(-6) = 6
A22 = 1*(3-0) = 3
A23 = -1*(1+4) = -5
A31 = 1*2 = 2
A32 = -1*(-1) = -1
A33 = 1+(1+6) = 7
3. ඊළඟ පියවර වන්නේ එකතු කිරීම් වලින් අනුකෘතියක් සම්පාදනය කිරීමයි:
5. මෙම න්යාසය නිර්ණායකයේ ප්‍රතිලෝමයෙන්, එනම් 1/26 න් ගුණ කරන්න:
6. දැන් අපි පරීක්ෂා කළ යුත්තේ:
පරීක්ෂණය අතරතුර, අපට අනන්යතා අනුකෘතියක් ලැබුණි, එබැවින් විසඳුම සම්පූර්ණයෙන්ම නිවැරදිව සිදු කරන ලදී.
ප්රතිලෝම න්යාසය ගණනය කිරීමට ක්රම 2ක්.
1. මූලික අනුකෘති පරිවර්තනය
2. ප්‍රාථමික පරිවර්තකයක් හරහා ප්රතිලෝම න්යාසය.
මූලික අනුකෘති පරිවර්තනයට ඇතුළත් වන්නේ:
1. ශුන්යයට සමාන නොවන සංඛ්‍යාවකින් තන්තුවක් ගුණ කිරීම.
2. ඕනෑම පේළියකට තවත් රේඛාවක් එකතු කිරීම අංකයකින් ගුණ කිරීම.
3. අනුකෘතියේ පේළි මාරු කරන්න.
4. මූලික පරිවර්තන දාමයක් යෙදීම, අපි තවත් අනුකෘතියක් ලබා ගනිමු.
ඒ -1 = ?
1. (A|E) ~ (E|A -1 )
2.ඒ -1 * A = E
අපි තාත්වික සංඛ්යා සහිත ප්‍රායෝගික උදාහරණයක් භාවිතා කරමින් මෙය බලමු.
අභ්යාස:ප්රතිලෝම න්යාසය සොයන්න.
විසඳුමක්:
අපි පරීක්ෂා කරමු:
විසඳුම පිළිබඳ කුඩා පැහැදිලි කිරීමක්:
පළමුව, අපි අනුකෘතියේ 1 සහ 2 පේළි නැවත සකස් කර, පසුව පළමු පේළිය (-1) ගුණ කළෙමු.
ඊට පසු, අපි පළමු පේළිය (-2) ගුණ කර එය අනුකෘතියේ දෙවන පේළිය සමඟ එකතු කරන්නෙමු. ඊට පස්සේ අපි 2 පේළිය 1/4 න් ගුණ කළා.
පරිවර්තනයේ අවසාන අදියර වූයේ දෙවන පේළිය 2 න් ගුණ කිරීම සහ පළමු පේළිය සමඟ එය එකතු කිරීමයි. එහි ප්රතිඵලයක් වශයෙන්, අපට වම් පසින් අනන්යතා න්යාසය ඇත, එබැවින් ප්රතිලෝම න්යාසය යනු දකුණු පස ඇති න්‍යාසයයි.
පරීක්ෂා කිරීමෙන් පසු, තීරණය නිවැරදි බව අපට ඒත්තු ගියේය.
ඔබට පෙනෙන පරිදි, ප්රතිලෝම අනුකෘතිය ගණනය කිරීම ඉතා සරල ය.
මෙම දේශනය අවසානයේ එවැනි න්‍යාසයක ගුණ ගැන පොඩි වෙලාවක් ගත කිරීමට ද කැමැත්තෙමි.