සීමාවන් ගණනය කරන්නේ කෙසේද ගණිතමය විශ්ලේෂණය. ක්‍රියාකාරී සීමාවන් මාර්ගගතව ගණනය කරන්න
කාර්ය සීමාව- අංකය aඑහි වෙනස් වීමේ ක්‍රියාවලියේදී, මෙම විචල්ය ප්‍රමාණය දින නියමයක් නොමැතිව ළඟා වුවහොත්, යම් විචල්ය ප්‍රමාණයක සීමාව වනු ඇත a.
නැතහොත් වෙනත් වචන වලින් කිවහොත්, අංකය ඒශ්රිතයේ සීමාව වේ y = f(x)ලක්ෂ්යයේ x 0, ශ්රිතයේ නිර්වචන වසමෙන් කිසියම් ලකුණු අනුපිළිවෙලක් සඳහා නම්, සමාන නොවේ x 0, සහ කාරණයට අභිසාරී වේ x 0 (lim x n = x0), අනුරූප ශ්රිත අගයන්හි අනුපිළිවෙල සංඛ්‍යාවට අභිසාරී වේ ඒ.
අනන්තයට නැඹුරු වන තර්කයක් ලබා දී ඇති සීමාව සමාන වන ශ්රිතයක ප්‍රස්ථාරය එල්:
අර්ථය ඒවේ ශ්රිතයේ සීමාව (සීමා අගය). f(x)ලක්ෂ්යයේ x 0කිසියම් ලකුණු අනුපිළිවෙලක් සඳහා නම් 
, වෙත අභිසාරී වේ x 0, නමුත් අඩංගු නොවේ x 0එහි එක් අංගයක් ලෙස (එනම් සිදුරු වූ ආසන්නයේ x 0), ශ්රිත අගයන් අනුපිළිවෙල 
වෙත අභිසාරී වේ ඒ.
Cauchy අනුව ශ්රිතයක සීමාව.
අර්ථය ඒවනු ඇත කාර්යයේ සීමාව f(x)ලක්ෂ්යයේ x 0කිසියම් සෘණ නොවන අංකයක් සඳහා කල්තියා ගනු ලැබුවහොත් ε අනුරූප සෘණ නොවන අංකය සොයා ගනු ඇත δ = δ(ε) එක් එක් තර්ක සඳහා එවැනි x, කොන්දේසිය තෘප්තිමත් කිරීම 0 < | x - x0 | < δ , අසමානතාවය තෘප්තිමත් වනු ඇත | f(x)A |< ε .
ඔබ සීමාවෙහි සාරය සහ එය සොයා ගැනීම සඳහා මූලික නීති තේරුම් ගන්නේ නම් එය ඉතා සරල වනු ඇත. කාර්යයේ සීමාව කුමක්ද f (x)දී xසඳහා වෙහෙසෙමින් aසමාන වේ ඒ, මෙසේ ලියා ඇත:
එපමණක් නොව, විචල්යය නැඹුරු වන අගය x, සංඛ්‍යාවක් පමණක් නොව, අනන්තය (∞), සමහර විට +∞ හෝ -∞ ද විය හැකිය, නැතහොත් සීමාවක් නොතිබිය හැකිය.
කෙසේද යන්න තේරුම් ගැනීමට ශ්රිතයක සීමාවන් සොයන්න, විසඳුම් සඳහා උදාහරණ දෙස බැලීම වඩාත් සුදුසුය.
කාර්යයේ සීමාවන් සොයා ගැනීම අවශ්ය වේ f (x) = 1/xදී:
x→ 2, x→ 0, x→ ∞.
පළමු සීමාවට විසඳුමක් සොයමු. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, ඔබට සරලව ආදේශ කළ හැකිය xඑය නැඹුරු වන අංකය, i.e. 2, අපට ලැබෙන්නේ:
කාර්යයේ දෙවන සීමාව සොයා ගනිමු. මෙන්න ඒ වෙනුවට pure 0 ආදේශ කරන්න xඑය කළ නොහැක්කකි, මන්ද ඔබට 0 න් බෙදිය නොහැක. නමුත් අපට ශුන්‍යයට ආසන්න අගයන් ගත හැකිය, උදාහරණයක් ලෙස, 0.01; 0.001; 0.0001; 0.00001 සහ යනාදිය සහ ශ්රිතයේ අගය f (x)වැඩි වනු ඇත: 100; 1000; 10000; 100,000 සහ එසේ ය. මේ අනුව, එය කවදාදැයි තේරුම් ගත හැකිය x→ 0 සීමාව ලකුණ යටතේ ඇති ශ්රිතයේ අගය සීමාවකින් තොරව වැඩි වනු ඇත, i.e. අනන්තය කරා උත්සාහ කරන්න. එනම්:
තුන්වන සීමාව සම්බන්ධයෙන්. පෙර අවස්ථාවේ දී මෙන් ම තත්ත්වය, එය ආදේශ කිරීමට නොහැකි ය ∞ එහි පිරිසිදු ස්වරූපයෙන්. අසීමිත වැඩිවීමේ සිද්ධිය අපි සලකා බැලිය යුතුයි x. අපි 1000 එකින් එක ආදේශ කරමු; 10000; 100000 යනාදී වශයෙන්, අපි එම ශ්රිතයේ අගය ඇත f (x) = 1/xඅඩු වනු ඇත: 0.001; 0.0001; 0.00001; යනාදී වශයෙන් ශුන්‍යයට නැඹුරු වීම. ඒක තමයි:
කාර්යයේ සීමාව ගණනය කිරීම අවශ්ය වේ 
දෙවන උදාහරණය විසඳීමට පටන් ගත් විට, අපි අවිනිශ්චිතතාවයක් දකිමු. මෙතැන් සිට අපට අංකනයේ සහ හරයේ ඉහළම මට්ටම සොයාගත හැකිය - මෙයයි x 3, අපි එය numerator සහ denominator හි වරහන් වලින් ඉවත් කර එය අඩු කරන්නෙමු:
උත්තර දෙන්න 
පළමු පියවර මෙම සීමාව සොයා ගැනීම, ඒ වෙනුවට 1 අගය ආදේශ කරන්න x, අවිනිශ්චිතතාවයක් ඇති කරයි. එය විසඳීම සඳහා, අපි සංඛ්‍යාව සාධකකරණය කර චතුරස්‍ර සමීකරණයක මූලයන් සෙවීමේ ක්රමය භාවිතා කර මෙය කරමු. x 2 + 2x - 3:
D = 2 2 - 4*1*(-3) = 4 +12 = 16→ √ D=√16 = 4
x 1.2 = (-2±4)/2→ x 1 = -3;x 2= 1.
එබැවින් සංඛ්යාංකය වනු ඇත:
උත්තර දෙන්න 
මෙය එහි නිශ්චිත අගය හෝ ශ්රිතය වැටෙන යම් ප්රදේශයක නිර්වචනය වන අතර එය සීමාවෙන් සීමා වේ.
සීමාවන් විසඳීම සඳහා, නීති අනුගමනය කරන්න:
සාරය සහ ප්රධාන දේ අවබෝධ කර ගැනීමෙන් සීමාව විසඳීම සඳහා නීති, ඒවා විසඳන්නේ කෙසේද යන්න පිළිබඳ මූලික අවබෝධයක් ඔබට ලැබෙනු ඇත.
සිසුන්ට සහ පාසල් සිසුන්ට ඔවුන් ආවරණය කර ඇති ද්රව්ය සම්පූර්ණයෙන් ඒකාබද්ධ කිරීමට සහ ඔවුන්ගේ ප්‍රායෝගික කුසලතා පුහුණු කිරීමට වෙබ් අඩවියේ සබැඳි සීමා ගණක යන්ත්‍රයක්. අපගේ සම්පත මත මාර්ගගත සීමාව කැල්ක්යුලේටරය භාවිතා කරන්නේ කෙසේද? මෙය ඉතා පහසුවෙන් කළ හැකි අතර, ඔබට පවතින ක්ෂේත්‍රය තුළ මුල් ශ්රිතය ඇතුළත් කිරීමට අවශ්ය වේ, තේරීම්කාරකයෙන් විචල්‍යයට අවශ්ය සීමාව අගය තෝරා “විසඳුම” බොත්තම ක්ලික් කරන්න. යම් අවස්ථාවක දී ඔබට සීමිත අගය ගණනය කිරීමට අවශ්ය නම්, ඔබ මෙම ලක්ෂ්‍යයේම අගය ඇතුළත් කළ යුතුය - සංඛ්‍යාත්මක හෝ සංකේතාත්මක. සබැඳි සීමාව කැල්කියුලේටරය ඔබට ලබා දී ඇති ලක්ෂ්‍යයක දී, ශ්රිතයේ නිර්වචනයේ සීමාවේ සීමාව, සීමාවේ අගය සහ මෙම අගය සොයා ගැනීමට උපකාරී වනු ඇත, අධ්‍යයනයට ලක්ව ඇති ශ්රිතයේ තර්කය ලබා දී ඇති අවස්ථාවකට වේගයෙන් දිව යන විට. ලක්ෂ්යය යනු සීමාවේ විසඳුමයි. අපගේ වෙබ් අඩවියේ ඇති මාර්ගගත සීමාව කැල්කියුලේටරය මත පදනම්ව, අපට පහත සඳහන් දේ පැවසිය හැකිය - අන්තර්ජාලයේ විශාල ප්‍රතිසම ගණනක් තිබේ, ඔබට වටිනා ඒවා සොයාගත හැකිය, ඔබට ඒවා සඳහා වෙහෙස මහන්සි වී සෙවිය යුතුය. නමුත් මෙහිදී ඔබට එක් වෙබ් අඩවියක් තවත් වෙබ් අඩවියකට වඩා වෙනස් බව ඔබට මුහුණ දීමට සිදුවනු ඇත. ඔවුන්ගෙන් බොහෝ දෙනෙක් අප මෙන් නොව ඔන්ලයින් ලිමිට් කැල්කියුලේටරයක් ලබා නොදේ. ඕනෑම ප්‍රසිද්ධ සෙවුම් යන්ත්‍රයක, එය Yandex හෝ Google වේවා, ඔබ “Online limit calculator” යන වාක්‍ය ඛණ්ඩය භාවිතා කරමින් අඩවි සොයන්නේ නම්, එම වෙබ් අඩවිය සෙවුම් ප්‍රතිඵලවල ඉහළින්ම දිස්වනු ඇත. මෙයින් අදහස් කරන්නේ මෙම සෙවුම් යන්ත්‍ර අපව විශ්වාස කරන අතර අපගේ වෙබ් අඩවියේ ඇත්තේ උසස් තත්ත්වයේ අන්තර්ගතයක් පමණක් වන අතර වඩාත්ම වැදගත් වන්නේ පාසල් සහ විශ්ව විද්‍යාල සිසුන්ට ප්රයෝජනවත් බවයි! සීමා ගණක යන්ත්‍ර සහ සාමාන්‍යයෙන් සීමාවට ගමන් කිරීමේ න්යාය පිළිබඳ සංවාදය දිගටම කරගෙන යමු. බොහෝ විට, ශ්රිතයක සීමාව නිර්වචනය කිරීමේදී, අසල්වැසි සංකල්පය සකස් කර ඇත. මෙහිදී, ශ්‍රිතවල සීමාවන් මෙන්ම මෙම සීමාවන්ට විසඳුම ද අධ්යයනය කරනු ලබන්නේ ශ්රිත නිර්වචනය කිරීමේ වසම සඳහා සීමා වන ලක්ෂ්යවල පමණි, එවැනි ලක්ෂ්‍යයක සෑම අසල්වැසි ප්‍රදේශයකම අර්ථ දැක්වීමේ වසමේ කරුණු ඇති බව දැන සිටීම මෙම කාර්යය. විචල්ය ශ්‍රිතයක් දී ඇති ලක්ෂ්‍යයකට ඇති ප්‍රවණතාවය ගැන කතා කිරීමට මෙය අපට ඉඩ සලසයි. ශ්‍රිතයක් නිර්වචනය කිරීමේ වසමේ යම් අවස්ථාවක සීමාවක් තිබේ නම් සහ සබැඳි සීමාව කැල්කියුලේටරය මෙම ලක්ෂ්යයේ ශ්රිතයේ සවිස්තරාත්මක සීමා විසඳුමක් නිපදවන්නේ නම්, මෙම අවස්ථාවේදී ශ්රිතය අඛණ්ඩව පවතී. විසඳුම සමඟ අපගේ මාර්ගගත සීමා කැල්ක්යුලේටරය යම් ධනාත්මක ප්රතිඵලයක් ලබා දීමට ඉඩ දෙන්න, අපි වෙනත් වෙබ් අඩවිවල එය පරීක්ෂා කරන්නෙමු. මෙය අපගේ සම්පතේ ගුණාත්මක භාවය ඔප්පු කළ හැකි අතර, බොහෝ දෙනා දැනටමත් දන්නා පරිදි, එය හොඳම සහ ඉහළම ප්රශංසාව ලැබිය යුතුය. මේ සමඟම, ස්වාධීනව, නමුත් වෘත්තීය ගුරුවරයෙකුගේ සමීප අධීක්ෂණය යටතේ සවිස්තරාත්මක විසඳුමක් සමඟ මාර්ගගත කැල්කියුලේටරයක සීමාවන් අධ්යයනය කළ හැකිය. බොහෝ විට මෙම ක්රියාව අපේක්ෂිත ප්රතිඵලවලට තුඩු දෙනු ඇත. අධ්‍යයන වාරයේ ආරම්භයේදී ගුරුවරයා විසින් පවරන ලද ඔවුන්ගේ සංකීර්ණ ගැටළුව විසදුමක් සහිත මාර්ගගත සීමාවන් කැල්කියුලේටරය විස්තරාත්මකව විස්තර කරනු ඇතැයි සියලුම සිසුන් සිහින දකියි. නමුත් එය එතරම් සරල නැත. ඔබ මුලින්ම න්යාය අධ්යයනය කළ යුතු අතර පසුව නොමිලේ කැල්ක්යුලේටරයක් භාවිතා කළ යුතුය. සබැඳි සීමාවන් මෙන්, කැල්කියුලේටරය ඔබට අවශ්ය ඇතුළත් කිරීම් සවිස්තරාත්මකව ලබා දෙන අතර ප්‍රති result ලය සමඟ ඔබ සෑහීමකට පත්වේ. නමුත් අර්ථ දැක්වීමේ වසමේ සීමාකාරී ලක්ෂ්යය මෙම නිර්වචන වසමටම අයත් නොවිය හැකි අතර, මෙය මාර්ගගත සීමාවන් කැල්කියුලේටරය සවිස්තරාත්මක ගණනය කිරීමකින් සනාථ වේ. උදාහරණය: අපගේ ශ්රිතය නිර්වචනය කර ඇති විවෘත කොටසේ කෙළවරේ ඇති ශ්රිතයක සීමාව සලකා බැලිය හැක. මෙම අවස්ථාවෙහිදී, කොටසෙහි මායිම් නිර්වචනය කිරීමේ වසමෙහි ඇතුළත් නොවේ. මෙම අර්ථයෙන් ගත් කල, මෙම ලක්ෂ්යයේ අසල්වැසි පද්ධතිය එවැනි උප කුලකවල විශේෂ අවස්ථාවකි. සවිස්තරාත්මක විසඳුමක් සහිත මාර්ගගත සීමා ගණක යන්ත්‍රයක් තත්‍ය කාලීනව නිපදවනු ලබන අතර ලබා දී ඇති පැහැදිලි විශ්ලේෂණ ආකෘතියකින් එයට සූත්‍ර යොදනු ලැබේ. සවිස්තරාත්මක විසඳුමක් සහිත සබැඳි සීමාව කැල්කියුලේටරය භාවිතා කරන ශ්රිතයක සීමාව අනුක්‍රමයක සීමාවක් පිළිබඳ සංකල්පය සාමාන්‍යකරණය කිරීමකි: මුලදී, ලක්ෂ්‍යයක ශ්රිතයක සීමාව වසමේ මූලද්‍රව්‍ය අනුපිළිවෙලක සීමාව ලෙස වටහා ගන්නා ලදී. ශ්රිතයක අගයන්, දී ඇති ලක්ෂ්‍යයකට අභිසාරී වන ශ්රිතයක නිර්වචන වසමේ මූලද්‍රව්‍ය අනුපිළිවෙලක ලක්ෂ්යවල රූප වලින් සමන්විත වේ (සලකනු ලබන සීමාව); එවැනි සීමාවක් තිබේ නම්, ශ්රිතය නිශ්චිත අගයට අභිසාරී වන බව කියනු ලැබේ; එවැනි සීමාවක් නොමැති නම්, ශ්රිතය අපසරනය වන බව කියනු ලැබේ. පොදුවේ ගත් කල, කථා කිරීම, සීමාව දක්වා ගමන් කිරීමේ න්යාය සියලු ගණිතමය විශ්ලේෂණයන්හි මූලික සංකල්පයයි. සෑම දෙයක්ම නිශ්චිතවම පදනම් වී ඇත්තේ සීමාවන් වෙත ඡේද මත ය, එනම් සීමාවන් පිළිබඳ සවිස්තරාත්මක විසඳුමක් ගණිතමය විශ්ලේෂණයේ විද්‍යාවේ පදනම වන අතර මාර්ගගත සීමාව කැල්කියුලේටරය සිසුන්ගේ පුහුණුව සඳහා පදනම දමයි. වෙබ් අඩවියේ සවිස්තරාත්මක විසඳුමක් සහිත මාර්ගගත සීමාව කැල්ක්යුලේටරය සැබෑ කාලය තුළ නිවැරදි සහ ක්ෂණික පිළිතුරක් ලබා ගැනීම සඳහා අද්විතීය සේවාවකි. මුලදී ගණිතමය විශ්ලේෂණ අධ්යයනය කිරීමේදී සිසුන්ට සීමාවන් විසඳීමට වහාම අපහසු වීම සාමාන්‍ය දෙයක් නොවේ, නැතහොත් බොහෝ විට. අපගේ සේවාවෙහි ගණක යන්ත්‍රයක් සමඟින් සීමාවන් විසඳීම නිරවද්‍යතාවයට සහ උසස් තත්ත්වයේ පිළිතුරක් ලබා ගැනීමට යතුර බව අපි සහතික කරමු, තත්පර කිහිපයකින් ඔබට ගණක යන්ත්‍රයක් භාවිතයෙන් සවිස්තරාත්මක විසඳුමක් සඳහා පිළිතුරක් ලැබෙනු ඇත. ක්ෂණිකව. ඔබ වැරදි දත්ත ලබා දෙන්නේ නම්, එනම් පද්ධතිය විසින් පිළිගත නොහැකි අක්ෂර, එය කමක් නැත, සේවාව ස්වයංක්‍රීයව දෝෂය පිළිබඳව ඔබට දැනුම් දෙනු ඇත. කලින් ඇතුළත් කළ ශ්රිතය (හෝ සීමා ලක්ෂ්යය) නිවැරදි කර සබැඳි සීමාව කැල්කියුලේටරය භාවිතයෙන් නිවැරදි සවිස්තරාත්මක විසඳුම ලබා ගන්න. අපව විශ්වාස කරන්න, අපි ඔබව කිසි විටෙකත් පහත් නොකරමු. ඔබට පහසුවෙන් වෙබ් අඩවිය භාවිතා කළ හැකි අතර විසඳුම සමඟ සබැඳි සීමාව කැල්ක්යුලේටරය ගැටළුව ගණනය කිරීම සඳහා පියවරෙන් පියවර ක්රියාවන් විස්තරාත්මකව විස්තර කරනු ඇත. ඔබට තත්පර කිහිපයක් රැඳී සිටීමට අවශ්ය වන අතර ඔබට අවශ්ය පිළිතුර ලැබෙනු ඇත. සවිස්තරාත්මක විසඳුමක් සහිත මාර්ගගත කැල්කියුලේටරය සමඟ සීමාවන් විසඳීම සඳහා, හැකි සියලුම ශිල්පීය ක්රම භාවිතා කරනු ලැබේ, විශේෂයෙන් L'Hopital හි ක්රමය බොහෝ විට භාවිතා වේ, එය විශ්වීය වන අතර ශ්රිතයක සීමාව ගණනය කිරීමේ වෙනත් ක්‍රමවලට වඩා වේගයෙන් පිළිතුරක් ලබා දෙයි. බොහෝ විට සංඛ්යා අනුපිළිවෙලක එකතුව ගණනය කිරීම සඳහා සීමිත කැල්කියුලේටරයක් සහිත සබැඳි සවිස්තරාත්මක විසඳුමක් අවශ්ය වේ. ඔබ දන්නා පරිදි, සංඛ්‍යාත්මක අනුක්‍රමයක එකතුව සොයා ගැනීමට, ඔබට මෙම අනුක්‍රමයේ අර්ධ එකතුව නිවැරදිව ප්‍රකාශ කිරීමට අවශ්ය වේ, ඉන්පසු අපගේ නොමිලේ සේවා වෙබ් අඩවිය භාවිතා කරමින් සියල්ල සරලයි, මන්ද අපගේ මාර්ගගත සීමාවන් ගණක යන්ත්‍රය භාවිතා කර සීමාව ගණනය කිරීමෙනි. එකතුව සංඛ්‍යාත්මක අනුපිළිවෙලෙහි අවසාන එකතුව වනු ඇත. වෙබ් අඩවි සේවාව භාවිතා කරමින් මාර්ගගත සීමාව කැල්කියුලේටරයේ සවිස්තරාත්මක විසඳුමක් සිසුන්ට ගැටළු විසඳීමේ ප්‍රගතිය දැකීමට ඉඩ සලසයි, එමඟින් සීමාවන් පිළිබඳ න්යාය තේරුම් ගැනීම පහසු සහ සෑම කෙනෙකුටම පාහේ ප්‍රවේශ විය හැකිය. අවධානයෙන් සිටින්න සහ ඔබේ වැරදි ක්රියාවන් ශ්‍රේණි අසමත් වීමේ ස්වරූපයෙන් ඔබට කරදර ඇති කිරීමට ඉඩ නොදෙන්න. සීමිත කැල්කියුලේටරය සබැඳි සේවාවක් සහිත ඕනෑම සවිස්තරාත්මක විසඳුමක් මෙන්, ගැටළුව පහසු සහ තේරුම් ගත හැකි ආකාරයෙන්, සවිස්තරාත්මක විසඳුමක් සමඟින්, විසඳුමක් ලබා ගැනීම සඳහා සියලු නීති රීති වලට අනුකූලව ඉදිරිපත් කරනු ඇත.. ඒ සමඟම, ඔබට සුරැකිය හැක. කාලය සහ මුදල්, අපි මේ සඳහා කිසිසේත්ම කිසිවක් ඉල්ලා නොසිටින බැවිනි. අපගේ වෙබ් අඩවියේ, සබැඳි සීමා ගණක යන්ත්‍රවල සවිස්තරාත්මක විසඳුමක් සෑම විටම දිනකට පැය විසිහතර පුරාම පවතී. ඇත්ත වශයෙන්ම, විසඳුමක් සහිත සියලුම මාර්ගගත සීමා ගණක යන්ත්‍ර පියවරෙන් පියවර විසඳුමක ප්‍රගතිය පිළිබඳ සවිස්තරාත්මක තොරතුරු ලබා නොදෙනු ඇත; අපි මේ ගැන අමතක නොකළ යුතුයි. සවිස්තරාත්මක විසඳුමක් සහිත මාර්ගගත කැල්කියුලේටරයේ සීමාවන් "විසඳුම" බොත්තම ක්ලික් කිරීමට ඔබෙන් ඉල්ලා සිටින වහාම, කරුණාකර පළමුව සියල්ල පරීක්ෂා කරන්න. එනම්, ඇතුළත් කළ ශ්රිතය පරීක්ෂා කරන්න, සීමාව අගය ද, ඉන්පසු ක්රියාව දිගටම කරගෙන යන්න. මෙය අසාර්ථක ගණනය කිරීම් පිළිබඳ වේදනාකාරී කනස්සල්ලෙන් ඔබව ගලවා ගනු ඇත. ඉන්පසු සවිස්තරාත්මක නීතියක් සහිත මාර්ගගත කැල්කියුලේටරයේ සීමාවන් පියවරෙන් පියවර ක්‍රියාවෙහි නිවැරදි සාධක නිරූපණය ලබා දෙනු ඇත. මාර්ගගත සීමාව කැල්ක්යුලේටරය හදිසියේම සවිස්තරාත්මක විසඳුමක් ලබා නොදෙන්නේ නම්, මේ සඳහා හේතු කිහිපයක් තිබිය හැකිය. පළමුව, ලිඛිත ශ්රිත ප්‍රකාශනය පරීක්ෂා කරන්න. එහි "x" විචල්යය අඩංගු විය යුතුය, එසේ නොමැතිනම් සම්පූර්ණ ශ්‍රිතයම පද්ධතිය විසින් නියතයක් ලෙස සලකනු ලැබේ. ඊළඟට, ඔබ ලබා දී ඇති ලක්ෂ්‍යයක් හෝ සංකේතාත්මක අගයක් සඳහන් කළේ නම් සීමාවේ අගය පරීක්ෂා කරන්න. එහි ලතින් අකුරු පමණක් අඩංගු විය යුතුය - මෙය වැදගත් වේ! එවිට ඔබට අපගේ විශිෂ්ඨ සේවාව භාවිතා කරමින් මාර්ගගත සීමාවන් සඳහා සවිස්තරාත්මක විසඳුමක් සොයා ගැනීමට නැවත උත්සාහ කළ හැකි අතර, ප්රතිඵලය භාවිතා කරන්න. විස්තරාත්මකව සබැඳි විසඳුමේ සීමාවන් ඉතා අපහසු බව ඔවුන් පවසන වහාම - එය විශ්වාස නොකරන්න, සහ වඩාත්ම වැදගත් ලෙස කලබල නොවන්න, පුහුණු පාඨමාලාවේ රාමුව තුළ සියල්ල විසඳා ගත හැකිය. ඔබ කලබල නොවී, අපගේ සේවාව සඳහා මිනිත්තු කිහිපයක් පමණක් කැප කර ලබා දී ඇති අභ්‍යාසය පරීක්ෂා කරන ලෙස අපි නිර්දේශ කරමු. එසේ වුවද, මාර්ගගත විසඳුමේ සීමාවන් සවිස්තරාත්මකව විසඳා ගත නොහැකි නම්, ඔබ යතුරු ලියනයේ වැරැද්දක් කර ඇත, එසේ නොමැතිනම් වෙබ් අඩවිය ඕනෑම ගැටළුවක් බොහෝ දුෂ්කරතාවයකින් තොරව විසඳයි. නමුත් ඔබට අපහසුවකින් තොරව සහ ආයෝජන උත්සාහයකින් තොරව අපේක්ෂිත ප්රතිඵලය වහාම ලබා ගත හැකි බව සිතීම අවශ්ය නොවේ. ඕනෑම අවස්ථාවක, ඔබ ද්රව්යය අධ්යයනය කිරීමට ප්රමාණවත් කාලයක් කැප කළ යුතුය. නිරාවරණ විසඳුම තැනීමේ අදියරේදී සවිස්තරාත්මක විසඳුමක් සමඟින් එක් එක් සීමා කැල්කියුලේටරය මාර්ගගතව පෙන්විය හැකි අතර ප්‍රතිවිරුද්ධ දෙය උපකල්පනය කළ හැකිය. නමුත් අපි විද්යාත්මක ප්‍රවේශයේ ක්රියාවලිය ගැන සැලකිලිමත් වන බැවින් මෙය ප්‍රකාශ කරන්නේ කෙසේද යන්න ගැටළුවක් නොවේ. එහි ප්රතිඵලයක් වශයෙන්, විද්‍යාවක් ලෙස ගණිතයේ මූලික අංගය මත සබැඳි විසඳුම සහිත සීමා ගණක යන්ත්‍රය සවිස්තරාත්මකව පදනම් වන්නේ කෙසේදැයි අපි පෙන්වමු. මූලික මූලධර්ම පහක් ඉස්මතු කර ඉදිරි ක්‍රියාමාර්ග ආරම්භ කරන්න. සෑම කෙනෙකුටම සවිස්තරාත්මක විසඳුමක් සමඟින් සීමිත කැල්කියුලේටර විසඳුමක් මාර්ගගතව තිබේදැයි ඔබෙන් අසනු ඇති අතර, ඔබ පිළිතුරු දෙනු ඇත - ඔව්, එයයි! සමහර විට මෙම අර්ථයෙන් ප්රතිඵල කෙරෙහි විශේෂ අවධානයක් නැත, නමුත් සබැඳි සීමාව විනය අධ්යයනය කිරීමේදී මුලින්ම පෙනෙන ආකාරයට වඩා තරමක් වෙනස් අර්ථයක් ඇත. සමතුලිත ප්‍රවේශයකින්, නිසි බල තුලනය සමඟ, ඔබට හැකි කෙටිම කාලය තුළ, ඔබටම සබැඳි සීමාව විස්තරාත්මකව ප්‍රදර්ශනය කළ හැකිය.! යථාර්ථය නම්, විසඳුම සවිස්තරාත්මකව සමඟ අමුත්තන් සීමාව කැල්ක්යුලේටරය ඉක්මනින් සමානුපාතිකව පියවරෙන් පියවර ගණනය කිරීමේ සියලු පියවර නියෝජනය කිරීමට ආරම්භ වනු ඇත.
සීමාවන් සොයා ගන්නේ කෙසේදැයි ඉගෙන ගැනීමට කැමති අය සඳහා, මෙම ලිපියෙන් අපි මේ ගැන කතා කරමු. ගුරුවරුන් සාමාන්‍යයෙන් දේශන වලදී එය ලබා දෙන න්යාය ගැන අපි සොයා බලන්නේ නැත. එබැවින් "නීරස න්යාය" ඔබේ සටහන් පොත්වල සටහන් කළ යුතුය. මෙය එසේ නොවේ නම්, ඔබට අධ්‍යාපන ආයතනයේ පුස්තකාලයෙන් හෝ වෙනත් අන්තර්ජාල සම්පත් වලින් ලබාගත් පෙළපොත් කියවිය හැකිය.
එබැවින්, ඉහළ ගණිත පාඨමාලාවක් හැදෑරීමේදී සීමාවක් පිළිබඳ සංකල්පය බෙහෙවින් වැදගත් වේ, විශේෂයෙන් ඔබ අනුකලිත කලනය හමු වී සීමාව සහ අනුකලය අතර සම්බන්ධය තේරුම් ගන්නා විට. මෙම ද්රව්යය සරල උදාහරණ මෙන්ම ඒවා විසඳීමට ක්රම දෙස බලනු ඇත.
විසඳුම් සඳහා උදාහරණ
| උදාහරණ 1 |
| a) $ \lim_(x \to 0) \frac(1)(x) $ ගණනය කරන්න; b)$ \lim_(x \to \infty) \frac(1)(x) $ |
| විසඳුම |
|
අ) $$ \lim \limits_(x \to 0) \frac(1)(x) = \infty $$ b)$$ \lim_(x \to \infty) \frac(1)(x) = 0 $$ මිනිසුන් බොහෝ විට මෙම සීමාවන් අපට එවන්නේ ඒවා විසඳීමට උදව් කිරීමට ඉල්ලීමක් සමඟය. අපි ඒවා වෙනම උදාහරණයක් ලෙස ඉස්මතු කිරීමට තීරණය කළ අතර රීතියක් ලෙස මෙම සීමාවන් මතක තබා ගත යුතු බව පැහැදිලි කළෙමු. ඔබට ඔබේ ගැටලුව විසඳා ගත නොහැකි නම්, එය අප වෙත එවන්න. අපි සවිස්තරාත්මක විසඳුමක් ලබා දෙන්නෙමු. ගණනය කිරීමේ ප්‍රගතිය බැලීමට සහ තොරතුරු ලබා ගැනීමට ඔබට හැකි වනු ඇත. මෙය ඔබේ ගුරුවරයාගෙන් ඔබේ ශ්‍රේණිය නියමිත වේලාවට ලබා ගැනීමට උපකාරී වේ! |
| උත්තර දෙන්න |
| $$ \text(a)) \lim \limits_(x \to 0) \frac(1)(x) = \infty \text(b))\lim \limits_(x \to \infty) \frac(1 )(x) = 0 $$ |
පෝරමයේ අවිනිශ්චිතතාවයෙන් කුමක් කළ යුතුද: $ \bigg [\frac(0)(0) \bigg ] $
| උදාහරණය 3 |
| $ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) $ විසදන්න |
| විසඳුම |
|
සෑම විටම මෙන්, අපි $ x $ අගය සීමා ලකුණ යටතේ ප්‍රකාශනයට ආදේශ කිරීමෙන් ආරම්භ කරමු. $$ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) = \frac((-1)^2-1)(-1+1)=\frac( 0)(0) $$ දැන් ඊළඟට කුමක් ද? අවසානයේ සිදු විය යුත්තේ කුමක්ද? මෙය අවිනිශ්චිතතාවයක් බැවින්, මෙය තවමත් පිළිතුරක් නොවන අතර අපි ගණනය කිරීම දිගටම කරගෙන යන්නෙමු. අපට සංඛ්යා තුළ බහුපදයක් ඇති බැවින්, පාසලේ සිට සෑම කෙනෙකුටම හුරුපුරුදු $$ a^2-b^2=(a-b)(a+b) $$ සූත්‍රය භාවිතයෙන් අපි එය සාධකකරණය කරන්නෙමු. ඔයාට මතක ද? නියමයි! දැන් ඉදිරියට ගොස් එය ගීතය සමඟ භාවිතා කරන්න :) $ x^2-1=(x-1)(x+1) $ බව අපට හමු වේ ඉහත පරිවර්තනය සැලකිල්ලට ගනිමින් අපි දිගටම විසඳන්නෙමු: $$ \lim \limits_(x \to -1)\frac(x^2-1)(x+1) = \lim \limits_(x \to -1)\frac((x-1)(x+ 1 ))(x+1) = $$ $$ = \lim \limits_(x \to -1)(x-1)=-1-1=-2 $$ |
| උත්තර දෙන්න |
| $$ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) = -2 $$ |
අපි අවසාන උදාහරණ දෙකේ සීමාව අනන්තයට තල්ලු කර අවිනිශ්චිතතාවය සලකා බලමු: $ \big [\frac(\infty)(\infty) \bigg ] $
| උදාහරණ 5 |
| $ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) $ ගණනය කරන්න |
| විසඳුම |
|
$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) = \frac(\infty)(\infty) $ කුමක් කරන්න ද? මම කළ යුත්තේ කුමක් ද? කලබල නොවන්න, මන්ද කළ නොහැකි දේ හැකි ය. සංඛ්යාංකය සහ හරය යන දෙකෙහිම x ඉවත් කර එය අඩු කිරීම අවශ්ය වේ. මෙයින් පසු, සීමාව ගණනය කිරීමට උත්සාහ කරන්න. අපි උත්සාහ කරමු... $$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) =\lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2(1-\frac) (1)(x^2))(x(1+\frac(1)(x))) = $$ $$ = \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x(1-\frac(1)(x^2)))((1+\frac(1)(x))) = $$ උදාහරණ 2 හි අර්ථ දැක්වීම භාවිතා කර x සඳහා අනන්තය ආදේශ කිරීමෙන්, අපට ලැබෙන්නේ: $$ = \frac(\infty(1-\frac(1)(\infty)))((1+\frac(1)(\infty))) = \frac(\infty \cdot 1)(1+ 0) = \frac(\infty)(1) = \infty $$ |
| උත්තර දෙන්න |
| $$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) = \infty $$ |
සීමාවන් ගණනය කිරීම සඳහා ඇල්ගොරිතම
එබැවින්, අපි උදාහරණ කෙටියෙන් සාරාංශ කර සීමාවන් විසඳීම සඳහා ඇල්ගොරිතමයක් නිර්මාණය කරමු:
- සීමාව ලකුණෙන් පසුව ප්‍රකාශනයට ලක්ෂ්යය x ආදේශ කරන්න. නිශ්චිත අංකයක් හෝ අනන්තයක් ලබා ගන්නේ නම්, සීමාව සම්පූර්ණයෙන්ම විසඳනු ලැබේ. එසේ නොමැතිනම්, අපට අවිනිශ්චිතතාවයක් ඇත: "ශුන්‍යය බිංදුවෙන් බෙදීම" හෝ "අනන්තයෙන් බෙදීම අනන්තය" සහ උපදෙස් වල ඊළඟ කරුණු වෙත යන්න.
- "ශුන්‍යය බිංදුවෙන් බෙදූ විට" අවිනිශ්චිතතාවය ඉවත් කිරීම සඳහා, ඔබ සංඛ්‍යාව සහ හරය සාධක කළ යුතුය. සමාන ඒවා අඩු කරන්න. සීමාව ලකුණ යටතේ ප්‍රකාශනයට ලක්ෂ්යය x ආදේශ කරන්න.
- අවිනිශ්චිතතාවය “අනන්තය අනන්තයෙන් බෙදීම” නම්, අපි අංකනය සහ හරය x යන දෙකම උපරිම මට්ටමට ගෙන යන්නෙමු. අපි X කෙටි කරන්නෙමු. අපි x හි අගයන් සීමාවට යටින් ඉතිරි ප්‍රකාශනයට ආදේශ කරමු.
මෙම ලිපියෙන් ඔබ බොහෝ විට කැල්කියුලස් පාඨමාලාවේ භාවිතා කරන සීමාවන් විසඳීමේ මූලික කරුණු ඉගෙන ගත්තා. ඇත්ත වශයෙන්ම, මේවා පරීක්ෂකයින් විසින් පිරිනමනු ලබන සියලුම ආකාරයේ ගැටළු නොවේ, නමුත් සරලම සීමාවන් පමණි. අපි ඉදිරි ලිපි වලින් වෙනත් ආකාරයේ පැවරුම් ගැන කතා කරමු, නමුත් ඉදිරියට යාමට නම් පළමුව ඔබ මෙම පාඩම ඉගෙන ගත යුතුය. මූලයන්, උපාධි තිබේ නම්, අපරිමිත සමාන ශ්රිත අධ්යයනය කිරීම, කැපී පෙනෙන සීමාවන්, L'Hopital's නියමය තිබේ නම් කුමක් කළ යුතු දැයි සාකච්ඡා කරමු.
ඔබටම සීමාවන් හඳුනාගත නොහැකි නම්, කලබල නොවන්න. උදව් කිරීමට අපි සැමවිටම සතුටු වෙමු!
කාර්යය y = f (x) X කුලකයේ x එක් එක් මූලද්‍රව්‍ය Y කුලකයේ y එක් මූලද්‍රව්‍යයක් සමඟ පමණක් සම්බන්ධ වන නීතියක් (නීතිය) වේ.
මූලද්රව්යය x ∈ Xකියලා කාර්යය තර්කයහෝ ස්වාධීන විචල්යය.
මූලද්රව්යය y ∈ වයිකියලා කාර්යය අගයහෝ යැපෙන විචල්යය.
X කට්ටලය ලෙස හැඳින්වේ කාර්යයේ වසම.
මූලද්‍රව්‍ය කට්ටලය y ∈ වයි X කට්ටලයේ පූර්ව රූප ඇති , ලෙස හැඳින්වේ ප්රදේශය හෝ ශ්රිත අගයන් කට්ටලයක්.
සැබෑ ශ්රිතය ලෙස හැඳින්වේ ඉහලින් සීමා කර ඇත (පහළින්), අසමානතාවය සියල්ලන්ටම පවතින M අංකයක් තිබේ නම්:
.
සංඛ්යා ශ්රිතය ලෙස හැඳින්වේ සීමිතයි, සියල්ලන්ටම එවැනි M අංකයක් තිබේ නම්:
.
ඉහළ කෙළවරහෝ හරියටම ඉහළ සීමාවසැබෑ ශ්‍රිතයක් එහි ඉහල සිට අගයන් පරාසය සීමා කරන කුඩාම සංඛ්‍යාව ලෙස හැඳින්වේ. එනම්, මෙය සෑම කෙනෙකුටම සහ ඕනෑම කෙනෙකුට, ශ්රිත අගය s′: ඉක්මවන තර්කයක් පවතින සංඛ්යා වේ.
ශ්රිතයක ඉහල මායිම පහත පරිදි දැක්විය හැක.
.
පිළිවෙළින් පහළ කෙළවරහෝ හරියටම අඩු සීමාවසැබෑ ශ්‍රිතයක් එහි අගයන් පරාසය පහතින් සීමා කරන විශාලතම සංඛ්‍යාව ලෙස හැඳින්වේ. එනම්, මෙය i අංකයක් වන අතර, සෑම කෙනෙකුටම සහ ඕනෑම කෙනෙකුට, i′: ට වඩා අඩු ක්‍රියාකාරී අගයක් ඇති තර්කයක් ඇත.
ශ්රිතයක infimum පහත පරිදි දැක්විය හැක.
.
ශ්රිතයක සීමාව නිර්ණය කිරීම
Cauchy අනුව ශ්රිතයක සීමාව නිර්ණය කිරීම
අවසාන ලක්ෂ්යවල ශ්රිතයක පරිමිත සීමාවන්
ලක්ෂ්යය හැර, අවසාන ලක්ෂ්යයේ යම් අසල්වැසි ප්රදේශයක ශ්රිතය අර්ථ දැක්වීමට ඉඩ දෙන්න.
.
යම් අවස්ථාවක දී, ඕනෑම දෙයක් සඳහා එවැනි දෙයක් තිබේ නම්, මත පදනම්ව, සියලු x සඳහා අසමානතාවය පවතී
.
ශ්රිතයක සීමාව පහත පරිදි දැක්වේ.
පැවැත්මේ සහ විශ්වීයත්වයේ තාර්කික සංකේත භාවිතා කරමින්, ශ්රිතයක සීමාවේ නිර්වචනය පහත පරිදි ලිවිය හැකිය:
.
ඒකපාර්ශ්වික සීමාවන්.
ලක්ෂ්‍යයක වම් සීමාව (වම් පැත්තේ සීමාව):
.
ලක්ෂ්‍යයක දකුණු සීමාව (දකුණු අත සීමාව):
.
වම් සහ දකුණු සීමාවන් බොහෝ විට පහත පරිදි දැක්වේ:
;
.
අනන්තයේ ලක්ෂ්යවල ශ්රිතයක පරිමිත සීමාවන්
අනන්තයේ ලක්ෂ්යවල සීමාවන් සමාන ආකාරයකින් තීරණය වේ.
.
.
.
ඒවා බොහෝ විට හඳුන්වනු ලබන්නේ:
;
;
.
ලක්ෂ්‍යයක අසල්වැසි සංකල්පය භාවිතා කිරීම
අපි ලක්ෂ්‍යයක සිදුරු සහිත අසල්වැසි සංකල්පයක් හඳුන්වා දෙන්නේ නම්, අපට සීමිත හා අපරිමිත දුරස්ථ ලක්ෂ්යවල ශ්රිතයක සීමිත සීමාව පිළිබඳ ඒකාබද්ධ අර්ථ දැක්වීමක් ලබා දිය හැකිය:
.
මෙහි අවසාන ලක්ෂ්ය සඳහා
;
;
.
අනන්තයේ ඇති ඕනෑම අසල්වැසි ප්‍රදේශයක් සිදුරු කර ඇත:
;
;
.
අසීමිත කාර්ය සීමාවන්
අර්ථ දැක්වීම
ලක්ෂ්‍යයක යම් සිදුරු සහිත අසල්වැසි ප්රදේශයක ශ්රිතය අර්ථ දැක්වීමට ඉඩ දෙන්න (පරිමිත හෝ අනන්තය). ශ්රිතයේ සීමාව f (x) x → x ලෙස 0
අනන්තයට සමාන වේ, කිසියම් අත්තනෝමතික විශාල සංඛ්‍යාවක් සඳහා නම් M > 0
, δ M අංකයක් ඇත > 0
, M මත පදනම්ව, සිදුරු කරන ලද δ M - ලක්ෂ්යයේ අසල්වැසි සියලුම x සඳහා: , පහත අසමානතාවය පවතී:
.
අසීමිත සීමාව පහත පරිදි දැක්වේ:
.
ශ්රිතයක සීමාව පහත පරිදි දැක්වේ.
පැවැත්මේ සහ විශ්වීයත්වයේ තාර්කික සංකේත භාවිතා කරමින්, ශ්රිතයක අසීමිත සීමාවේ නිර්වචනය පහත පරිදි ලිවිය හැකිය:
.
ඔබට සමාන සමහර සලකුණු වල අනන්ත සීමාවන් පිළිබඳ අර්ථ දැක්වීම් හඳුන්වා දිය හැකිය:
.
.
ශ්රිතයක සීමාව පිළිබඳ විශ්වීය අර්ථ දැක්වීම
ලක්ෂ්‍යයක අසල්වැසි සංකල්පය භාවිතා කරමින්, අපට ශ්රිතයක පරිමිත සහ අසීමිත සීමාව පිළිබඳ විශ්වීය නිර්වචනයක් ලබා දිය හැකිය, එය සීමිත (ද්වි-පාර්ශ්වික සහ ඒකපාර්ශ්වික) සහ අසීමිත දුරස්ථ ලක්ෂ්ය සඳහා අදාළ වේ:
.
Heine අනුව ශ්රිතයක සීමාව නිර්ණය කිරීම
ශ්රිතය යම් X: කට්ටලයක අර්ථ දැක්වීමට ඉඩ දෙන්න.
a අංකය ශ්රිතයේ සීමාව ලෙස හැඳින්වේස්ථානයේ:
,
x වෙත අභිසාරී වන කිසියම් අනුපිළිවෙලක් සඳහා නම් 0
:
,
එහි මූලද්‍රව්‍ය X කාණ්ඩයට අයත් වේ: ,
.
පැවැත්මේ සහ විශ්වීයත්වයේ තාර්කික සංකේත භාවිතයෙන් අපි මෙම නිර්වචනය ලියන්නෙමු:
.
අපි x ලක්ෂ්යයේ වම් පැත්තේ අසල්වැසි X කට්ටලයක් ලෙස ගත්තොත් 0 , එවිට අපි වම් සීමාවේ නිර්වචනය ලබා ගනිමු. එය දකුණු අත නම්, අපට නිවැරදි සීමාව පිළිබඳ අර්ථ දැක්වීම ලැබේ. අපි අනන්තයේ ලක්ෂ්‍යයක අසල්වැසි X කට්ටලයක් ලෙස ගත්තොත්, අපි අනන්තයේ ශ්රිතයක සීමාවේ නිර්වචනය ලබා ගනිමු.
ප්රමේයය
ශ්රිතයක සීමාව පිළිබඳ Cauchy සහ Heine අර්ථ දැක්වීම් සමාන වේ.
සාධනය
ශ්රිතයක සීමාවේ ගුණ සහ ප්‍රමේය
තවද, අපි සලකා බලන කාර්යයන් පරිමිත අංකයක් හෝ සංකේත වලින් එකක් වන ලක්ෂ්යයේ අනුරූප අසල්වැසි ප්‍රදේශයේ අර්ථ දක්වා ඇති බව උපකල්පනය කරමු: .
එය ඒකපාර්ශ්වික සීමා ලක්ෂ්‍යයක් ද විය හැකිය, එනම් පෝරමය තිබීම හෝ .
අසල්වැසි සීමාව සඳහා ද්වි-පාර්ශ්වික සීමාව සඳහා ද්වි-පාර්ශ්වික සහ ඒක පාර්ශවීය සීමාව සඳහා එක් පැත්තකි. (x)මූලික ගුණාංග ශ්රිතයේ අගයන් f නම් x සීමිත ලකුණු සංඛ්‍යාවක් වෙනස් කරන්න (හෝ නිර්වචනය නොකළ කරන්න). 0 .
1, x 2, x 3, ... x n 0
, එවිට මෙම වෙනස අත්තනෝමතික ලක්ෂ්‍යයක ශ්රිතයේ සීමාවේ පැවැත්මට සහ අගයට බලපාන්නේ නැත x (x)සීමිත සීමාවක් තිබේ නම්, x ලක්ෂ්යයේ සිදුරු සහිත අසල්වැසි ප්‍රදේශයක් ඇත
.
, ශ්රිතය f 0
සීමිත:
.
ශ්රිතය x ලක්ෂයේ තිබෙන්නට හරින්න 0
පරිමිත-ශුන්‍ය නොවන සීමාව:
එවිට, අන්තරයේ සිට c ඕනෑම අංකයක් සඳහා, x ලක්ෂ්යයේ එවැනි සිදුරු සහිත අසල්වැසි ප්‍රදේශයක් ඇත.
, කුමක් සඳහා ද ,
, නම් ;
, නම් . 0
,
ලක්ෂ්යයේ යම් සිදුරු සහිත අසල්වැසි ප්රදේශයක, , නියතයක් නම්, එවිට .
x ලක්ෂ්යයේ සීමිත සීමාවන් සහ සමහර සිදුරු සහිත අසල්වැසි ප්‍රදේශයක් තිබේ නම්
,
ලක්ෂ්යයේ යම් සිදුරු සහිත අසල්වැසි ප්රදේශයක, , නියතයක් නම්, එවිට .
ඒ .
,
නම්, සහ ලක්ෂ්යයේ යම් අසල්වැසි ප්රදේශයක
විශේෂයෙන්ම, යම් ලක්ෂයක අසල්වැසි ප්රදේශයක නම්
එවිට නම්, එසේ නම් සහ; 0
:
,
එසේ නම් සහ .
x ලක්ෂ්‍යයක සිදුරු සහිත අසල්වැසි ප්රදේශයක නම්
.
සහ සීමිත (හෝ යම් ලකුණක අනන්ත) සමාන සීමාවන් ඇත:
, ඒ
ප්රධාන දේපල පිළිබඳ සාක්ෂි පිටුවේ දක්වා ඇත
"ශ්රිතයක සීමාවන්හි මූලික ගුණාංග."
ශ්රිතයක සීමාවේ අංක ගණිතමය ගුණ
ලක්ෂ්යයේ යම් සිදුරු සහිත අසල්වැසි ප්රදේශයක ශ්රිත සහ අර්ථ දැක්වීමට ඉඩ දෙන්න.
;
;
;
, කුමක් සඳහා ද ,
තවද සීමිත සීමාවන් තිබිය යුතුය:
සහ .
C නියතයක්, එනම් දී ඇති අංකයක් වීමට ඉඩ දෙන්න. එතකොට
එසේ නම්.
ප්රමේයය
අංක ගණිතමය ගුණාංග පිළිබඳ සාක්ෂි පිටුවේ දක්වා ඇත 0
"ශ්රිතයක සීමාවන්හි අංක ගණිතමය ගුණාංග". > 0
ශ්රිතයක සීමාවක පැවැත්ම සඳහා Cauchy නිර්ණායකය 0
පරිමිත හෝ අනන්ත ලක්ෂ්යයේ යම් සිදුරු සහිත අසල්වැසි ප්රදේශයක අර්ථ දක්වා ඇති ශ්‍රිතයක් සඳහා
.
, මෙම අවස්ථාවේදී සීමිත සීමාවක් තිබුණි, එය ඕනෑම ε සඳහා අවශ්ය සහ ප්රමාණවත් වේ
x ලක්ෂයේ එවැනි සිදුරු සහිත අසල්වැසි ප්‍රදේශයක් විය
, ඕනෑම ලක්ෂ්‍යයක් සඳහා සහ මෙම අසල්වැසි ප්‍රදේශයෙන් පහත අසමානතාවය පවතින බව:
සංකීර්ණ කාර්යයක සීමාව
සංකීර්ණ ශ්රිතයක සීමාව පිළිබඳ ප්රමේයය
.
සංකීර්ණ ශ්රිතයක සීමා ප්රමේයය අදාළ වන්නේ ශ්රිතය ලක්ෂ්‍යයක අර්ථ දක්වා නොමැති විට හෝ සීමාවට වඩා වෙනස් අගයක් ඇති විටය.
.
මෙම ප්රමේයය යෙදීම සඳහා, ශ්රිතයේ අගයන් සමූහයේ ලක්ෂ්යය අඩංගු නොවන ලක්ෂ්යයේ සිදුරු සහිත අසල්වැසි ප්‍රදේශයක් තිබිය යුතුය:
.
ලක්ෂ්යයේ දී ශ්රිතය අඛණ්ඩ නම්, අඛණ්ඩ ශ්රිතයේ තර්කයට සීමා ලකුණ යෙදිය හැක:
පහත දැක්වෙන්නේ මෙම අවස්ථාවට අනුරූප වන ප්‍රමේයයකි.
ශ්රිතයක අඛණ්ඩ ශ්රිතයක සීමාව පිළිබඳ ප්රමේයය g ශ්රිතයේ සීමාවක් තියමු(t) 0
t → t ලෙස 0
:
.
, සහ එය x ට සමාන වේ 0
මෙන්න ටී ලක්ෂ්යය
සීමිත හෝ අනන්ත දුරස්ථ විය හැක: . (x)සහ f ශ්‍රිතයට ඉඩ දෙන්න 0
.
x ලක්ෂයේ අඛණ්ඩ වේ එවිට f සංකීර්ණ ශ්රිතයේ සීමාවක් ඇත(g(t)) , සහ එය f ට සමාන වේ:
.
(x0)
ප්‍රමේයවල සාධනය පිටුවේ දක්වා ඇත
"සංකීර්ණ ශ්රිතයක සීමාව සහ අඛණ්ඩතාව".
අපරිමිත හා අසීමිත විශාල කාර්යයන්
අර්ථ දැක්වීම
අපරිමිත කාර්යයන්
.
ශ්‍රිතයක් නම් අනන්තයැයි කියනු ලැබේඑකතුව, වෙනස සහ නිෂ්පාදනය
හි අපරිමිත ශ්‍රිතවල සීමිත සංඛ්‍යාවක අපරිමිත ශ්‍රිතයක් වේ.සීමා වූ ශ්රිතයක නිෂ්පාදනයක්
ලක්ෂ්යයේ යම් සිදුරු සහිත අසල්වැසි ප්‍රදේශයක් මත, දී අපරිමිත සූත්‍රයකට අපරිමිත ශ්‍රිතයක් වේ.
,
ශ්‍රිතයකට සීමිත සීමාවක් තිබීම සඳහා, එය අවශ්ය සහ ප්රමාණවත් වේ
හි අපරිමිත ශ්‍රිතයක් කොහෙද.
"අපරිමිත ශ්‍රිතවල ගුණ".
අර්ථ දැක්වීම
අනන්ත විශාල කාර්යයන්
.
ශ්‍රිතයක් නම් අනන්තවත් විශාල යැයි කියනු ලැබේ
මායිම් වූ ශ්රිතයක එකතුව හෝ වෙනස, ලක්ෂ්යයේ යම් සිදුරු සහිත අසල්වැසි ප්රදේශයක, සහ හි අපරිමිත විශාල ශ්‍රිතයක් හි අසීමිත විශාල ශ්‍රිතයකි.
.
සඳහා ශ්රිතය අනන්තවත් විශාල නම් සහ ශ්රිතය ලක්ෂ්යයේ යම් සිදුරු සහිත අසල්වැසි ප්‍රදේශයකට සීමා වී තිබේ නම්, එවිට
,
ලක්ෂ්යයේ යම් සිදුරු සහිත අසල්වැසි ප්රදේශයක ශ්රිතය අසමානතාවය තෘප්තිමත් කරන්නේ නම්:
සහ ශ්රිතය අසීමිත වේ:
.
, සහ (ලක්ෂ්යයේ යම් සිදුරු සහිත අසල්වැසි ප්රදේශයක), පසුව
දේපල පිළිබඳ සාක්ෂි කොටසේ ඉදිරිපත් කර ඇත
"අසීමිත විශාල ශ්‍රිතවල ගුණ".
අසීමිත විශාල සහ අසීමිත ශ්රිත අතර සම්බන්ධය
පෙර ගුණාංග දෙකෙන් අපරිමිත විශාල සහ අසීමිත ශ්රිත අතර සම්බන්ධය අනුගමනය කරයි.
ශ්‍රිතයක් අසීමිත ලෙස විශාල නම්, එම ශ්රිතය හිදී අනන්තය.
සහ සඳහා ශ්‍රිතයක් අනන්තය නම්, ශ්රිතය සඳහා අනන්ත විශාල වේ.
,
.
අපරිමිත ශ්‍රිතයකට නිශ්චිත ලකුණක් තිබේ නම්, එනම්, ලක්ෂ්යයේ යම් සිදුරු සහිත අසල්වැසි ප්රදේශයක එය ධනාත්මක (හෝ සෘණ) වේ නම්, මෙම කරුණ පහත පරිදි ප්‍රකාශ කළ හැකිය:
.
එලෙසම, අසීමිත විශාල ශ්‍රිතයකට යම් ලකුණක් තිබේ නම්, ඔවුන් මෙසේ ලියයි.
.
එවිට අපරිමිත හා අසීමිත විශාල ශ්රිත අතර සංකේතාත්මක සම්බන්ධතාවය පහත සම්බන්ධතා සමඟ පරිපූරණය කළ හැකිය:
,
,
,
.
අනන්ත සංකේත සම්බන්ධ අමතර සූත්‍ර පිටුවෙන් සොයාගත හැකිය
"අනන්තයේ ලකුණු සහ ඒවායේ ගුණාංග."
ඒකාකාරී ක්රියාකාරිත්වයේ සීමාවන්
අර්ථ දැක්වීම
තාත්වික සංඛ්යා X කිහිපයක් මත අර්ථ දක්වා ඇති ශ්‍රිතයක් ලෙස හැඳින්වේ දැඩි ලෙස වැඩි කිරීම, එවැනි සියල්ල සඳහා පහත අසමානතාවය පවතින්නේ නම්:
.
ඒ අනුව, සඳහා දැඩි ලෙස අඩු කිරීමකාර්යය පහත අසමානතාවය පවත්වා ගනී:
.
සඳහා අඩු නොවන:
.
සඳහා වැඩි නොවන:
.
දැඩි ලෙස වැඩිවන කාර්යයක් ද අඩු නොවන බව එයින් කියවේ. දැඩි ලෙස අඩු වන ශ්‍රිතයක් ද නොවැඩි වේ.
කාර්යය ලෙස හැඳින්වේ ඒකාකාරී, එය අඩු නොවන හෝ වැඩි නොවන නම්.
ප්රමේයය
මෙහි ඇති පරතරය මත ශ්රිතය අඩු නොවීමට ඉඩ හරින්න.
එය M අංකයෙන් ඉහළින් මායිම් කර ඇත්නම්: සීමිත සීමාවක් ඇත.
ඉහත සිට සීමා නොවේ නම්, එසේ නම් .
එය m අංකයෙන් පහතින් සීමා කර ඇත්නම්: එවිට සීමිත සීමාවක් ඇත.
පහතින් සීමා නොවේ නම්, එසේ නම් .
ලක්ෂ්ය a සහ b අනන්තයේ නම්, ප්‍රකාශනවල සීමා සලකුණු වලින් අදහස් වන්නේ .
;
.
මෙම ප්රමේයය වඩාත් සංයුක්තව සකස් කළ හැක.
මෙහි ඇති පරතරය මත ශ්රිතය අඩු නොවීමට ඉඩ හරින්න.
;
.
එවිට a සහ b ලක්ෂ්යවල ඒකපාර්ශ්වික සීමාවන් ඇත:
වැඩි නොවන ශ්‍රිතයක් සඳහා සමාන ප්‍රමේයයක්.
මෙහි ඇති පරතරය මත ශ්රිතය වැඩි නොවීමට ඉඩ හරින්න.
එවිට ඒක පාර්ශවීය සීමාවන් ඇත:
ප්‍රමේයයේ සාක්ෂි පිටුවේ ඉදිරිපත් කර ඇත