Gaussian ක්රමය විසඳන්නේ කෙසේද? Gaussian ක්රමයේ ප්රතිලෝම
රේඛීය සමීකරණ පද්ධතියක් විසඳීමේ සරලම ක්රමයක් වන්නේ නිර්ණායක ගණනය කිරීම මත පදනම් වූ තාක්ෂණයකි ( ක්රේමර්ගේ රීතිය) එහි වාසිය නම් විසඳුම වහාම පටිගත කිරීමට එය ඔබට ඉඩ සලසයි; පද්ධතියේ සංගුණක සංඛ්යා නොවන නමුත් සමහර පරාමිතීන් වන අවස්ථාවන්හිදී එය විශේෂයෙන් පහසු වේ. එහි අවාසිය නම් සමීකරණ විශාල සංඛ්‍යාවක් සම්බන්ධයෙන් ගණනය කිරීම් වල අවුල් සහගත බව ය; එපමනක් නොව, සමීකරණ ගණන නොදන්නා සංඛ්‍යාව සමඟ සමපාත නොවන පද්ධති සඳහා ක්රේමර්ගේ නියමය කෙලින්ම අදාළ නොවේ. එවැනි අවස්ථාවලදී, එය සාමාන්යයෙන් භාවිතා වේ Gaussian ක්රමය.
එකම විසඳුම් කට්ටලයක් සහිත රේඛීය සමීකරණ පද්ධති ලෙස හැඳින්වේ සමාන. පැහැදිලිවම, කිසියම් සමීකරණයක් මාරු කළහොත් හෝ එක් සමීකරණයක් ශුන්ය නොවන සංඛ්‍යාවකින් ගුණ කළහොත් හෝ එක් සමීකරණයක් තවත් සමීකරණයකට එකතු කළහොත් රේඛීය පද්ධතියක විසඳුම් සමූහය වෙනස් නොවේ.
Gauss ක්රමය (නොදන්නා දේ අනුක්‍රමිකව ඉවත් කිරීමේ ක්රමය) යනු මූලික පරිවර්තන ආධාරයෙන් පද්ධතිය පියවර වර්ගයක සමාන පද්ධතියකට අඩු කිරීමයි. පළමුව, 1 වන සමීකරණය භාවිතා කරමින්, අපි ඉවත් කරමු xපද්ධතියේ පසුකාලීන සමීකරණ වලින් 1. ඉන්පසුව, 2 වන සමීකරණය භාවිතා කරමින්, අපි ඉවත් කරමු x 3 වන සහ පසුව ඇති සියලුම සමීකරණ වලින් 2. මෙම ක්රියාවලිය, ලෙස හැඳින්වේ සෘජු Gaussian ක්රමය, අවසාන සමීකරණයේ වම් පැත්තේ එක් නොදන්නා එකක් පමණක් ඉතිරි වන තෙක් දිගටම පවතී x n. මෙයින් පසු එය සිදු කෙරේ Gaussian ක්රමයේ ප්රතිලෝම- අවසාන සමීකරණය විසඳීම, අපි සොයා ගනිමු x n; ඊට පසු, මෙම අගය භාවිතා කරමින්, අපි ගණනය කරන අවසාන සමීකරණයෙන් x n-1, ආදිය. අපි අන්තිම එක හොයාගන්නවා xපළමු සමීකරණයෙන් 1.
සමීකරණ සමඟ නොව, ඒවායේ සංගුණකවල න්‍යාස සමඟ පරිවර්තනයන් සිදු කිරීමෙන් ගවුසියානු පරිවර්තනයන් සිදු කිරීම පහසුය. අනුකෘතිය සලකා බලන්න:
කියලා පද්ධතියේ විස්තීරණ අනුකෘතිය,මන්ද, පද්ධතියේ ප්රධාන න්‍යාසයට අමතරව, එයට නිදහස් කොන්දේසි තීරුවක් ඇතුළත් වේ. Gaussian ක්රමය පදනම් වී ඇත්තේ පද්ධතියේ ප්රධාන න්යාසය ත්රිකෝණාකාර ස්වරූපයකට (හෝ හතරැස් නොවන පද්ධති සම්බන්ධයෙන් trapezoidal ආකාරය) පද්ධතියේ විස්තීරණ න්‍යාසයේ ප්‍රාථමික පේළි පරිවර්තන (!) භාවිතා කිරීම මත ය.
උදාහරණය 5.1. Gaussian ක්රමය භාවිතයෙන් පද්ධතිය විසඳන්න:
විසඳුමක්. අපි පද්ධතියේ විස්තීරණ අනුකෘතිය ලියන්නෙමු, පළමු පේළිය භාවිතා කර, ඉන්පසු අපි ඉතිරි මූලද්රව්ය නැවත සකසන්නෙමු:
පළමු තීරුවේ 2, 3 සහ 4 පේළි වලින් අපට ශුන්ය ලැබේ:
දැන් අපට 2 වන පේළියට පහළින් දෙවන තීරුවේ ඇති සියලුම මූලද්රව්ය ශුන්යයට සමාන විය යුතුය. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, ඔබට දෙවන පේළිය –4/7 න් ගුණ කර එය 3 වන පේළියට එකතු කළ හැකිය. කෙසේ වෙතත්, භාග සමඟ කටයුතු නොකිරීමට, අපි දෙවන තීරුවේ 2 වන පේළියේ ඒකකයක් නිර්මාණය කරමු.
දැන්, ත්රිකෝණාකාර න්යාසයක් ලබා ගැනීම සඳහා, ඔබ 3 වන තීරුවේ සිව්වන පේළියේ මූලද්රව්යය නැවත සකස් කළ යුතුය; මෙය සිදු කිරීම සඳහා, ඔබට තුන්වන පේළිය 8/54 කින් ගුණ කර එය හතරවන එකට එකතු කළ හැකිය. කෙසේ වෙතත්, භාග සමඟ කටයුතු නොකිරීමට, අපි 3 වන සහ 4 වන පේළි සහ 3 වන සහ 4 වන තීරු මාරු කරනු ලබන අතර ඉන් පසුව පමණක් අපි නිශ්චිත මූලද්රව්යය නැවත සකසන්නෙමු. තීරු නැවත සකස් කිරීමේදී, අනුරූප විචල්යයන් ස්ථාන වෙනස් කරන අතර මෙය මතක තබා ගත යුතු බව සලකන්න; තීරු සහිත අනෙකුත් මූලික පරිවර්තනයන් (සංඛ්‍යාවකින් එකතු කිරීම සහ ගුණ කිරීම) සිදු කළ නොහැක!
අවසාන සරල කළ න්යාසය මුල් එකට සමාන සමීකරණ පද්ධතියකට අනුරූප වේ:
මෙතැන් සිට, Gaussian ක්රමයේ ප්රතිලෝම භාවිතා කරමින්, අපි හතරවන සමීකරණයෙන් සොයා ගනිමු x 3 = –1; තුන්වන සිට x 4 = –2, දෙවන සිට x 2 = 2 සහ පළමු සමීකරණයෙන් x 1 = 1. matrix ආකාරයෙන්, පිළිතුර ලෙස ලියා ඇත
පද්ධතිය නිශ්චිත වන විට අපි නඩුව සලකා බැලුවෙමු, i.e. එකම විසඳුමක් ඇති විට. පද්ධතිය නොගැලපෙන හෝ අවිනිශ්චිත නම් කුමක් සිදුවේදැයි බලමු.
උදාහරණය 5.2. Gaussian ක්රමය භාවිතයෙන් පද්ධතිය ගවේෂණය කරන්න:
විසඳුමක්. අපි පද්ධතියේ විස්තීරණ අනුකෘතිය ලියා පරිවර්තනය කරමු
අපි සරල කළ සමීකරණ පද්ධතියක් ලියන්නෙමු:
මෙන්න, අවසාන සමීකරණයේ දී 0=4, i.e. ප්රතිවිරෝධතාව. එහි ප්රතිඵලයක් වශයෙන්, පද්ධතියට විසඳුමක් නැත, i.e. ඇය නොගැලපෙන. à
උදාහරණය 5.3. Gaussian ක්රමය භාවිතයෙන් පද්ධතිය ගවේෂණය කර විසඳන්න:
විසඳුමක්. අපි පද්ධතියේ විස්තීරණ අනුකෘතිය ලියා පරිවර්තනය කරමු:
පරිවර්තනයන්හි ප්රතිඵලයක් වශයෙන්, අවසාන පේළියේ ශුන්ය පමණක් අඩංගු වේ. මෙයින් අදහස් කරන්නේ සමීකරණ ගණන එකකින් අඩු වී ඇති බවයි:
මේ අනුව, සරල කිරීමෙන් පසුව, සමීකරණ දෙකක් ඉතිරිව ඇති අතර, නොදන්නා හතරක්, i.e. නොදන්නා "අමතර" දෙකක්. ඔවුන් "අතිරික්ත" වීමට ඉඩ දෙන්න, නැතහොත්, ඔවුන් පවසන පරිදි, නිදහස් විචල්යයන්, කැමැත්ත x 3 සහ x 4 . ඉන්පසු
විශ්වාස කරනවා x 3 = 2ඒසහ x 4 = බී, අපිට ලැබෙනවා x 2 = 1–ඒසහ x 1 = 2බී–ඒ; හෝ matrix ආකාරයෙන්
මේ ආකාරයෙන් ලියා ඇති විසඳුමක් ලෙස හැඳින්වේ ජනරාල්, මන්ද, පරාමිති ලබා දීම ඒසහ බීවිවිධ අගයන්, පද්ධතියේ හැකි සියලු විසඳුම් විස්තර කළ හැකිය. ඒ
ශ්‍රේෂ්ඨතම ගණිතඥයා වූ Carl Friedrich Gauss, දර්ශනය සහ ගණිතය යන දෙකෙන් එකක් තෝරා ගැනීමට බොහෝ කාලයක් පසුබට විය. සමහර විට ලෝක විද්‍යාවේ මෙතරම් කැපී පෙනෙන “උරුමයක්” කිරීමට ඔහුට ඉඩ දුන්නේ හරියටම මෙම මානසිකත්වය විය හැකිය. විශේෂයෙන්ම, "Gauss Method" නිර්මාණය කිරීමෙන් ...
වසර 4 කට ආසන්න කාලයක්, මෙම වෙබ් අඩවියේ ලිපි පාසල් අධ්යාපනය සමඟ කටයුතු කරන ලදී, ප්රධාන වශයෙන් දර්ශනයේ දෘෂ්ටි කෝණයෙන්, දරුවන්ගේ මනසට හඳුන්වා දුන් (වැරදි) අවබෝධය පිළිබඳ මූලධර්ම. වඩාත් නිශ්චිත, උදාහරණ සහ ක්රම සඳහා කාලය පැමිණේ... මෙය හරියටම හුරුපුරුදු, ව්යාකූල සහ ප්රවේශය බව මම විශ්වාස කරමි. වැදගත්ජීවිතයේ ක්ෂේත්ර වඩා හොඳ ප්රතිඵල ලබා දෙයි.
අපි මිනිස්සු කොච්චර කතා කළත් වැඩක් නැති විදියට තමයි නිර්මාණය වෙලා තියෙන්නේ වියුක්ත චින්තනය, එහෙත් අවබෝධය සැමවිටමඋදාහරණ හරහා සිදු වේ. උදාහරණ නැත්නම් ප්‍රතිපත්ති ග්‍රහණය කර ගන්නත් බෑ... පාමුල සිට මුළු බෑවුමම ඇවිදගෙන මිස කන්දක් මුදුනට යන්න බෑ.
පාසල හා සමානයි: දැනට ජීවමාන කතාඑය දරුවන්ට තේරුම් ගැනීමට උගන්වන ස්ථානයක් ලෙස අප සහජයෙන්ම දිගටම සැලකීම පමණක් ප්රමාණවත් නොවේ.
උදාහරණයක් ලෙස, Gaussian ක්රමය ඉගැන්වීම ...
5 වන ශ්රේණියේ පාසලේ ගවුස් ක්රමය
මම වහාම වෙන් කිරීමක් කරන්නම්: Gauss ක්රමයට වඩා පුළුල් යෙදුමක් ඇත, උදාහරණයක් ලෙස, විසඳන විට රේඛීය සමීකරණ පද්ධති. අපි කතා කරන දේ සිදු වන්නේ 5 වන ශ්රේණියේ දී ය. මෙය පටන් ගත්තා, එය තේරුම් ගැනීමෙන්, වඩාත් "උසස් විකල්ප" තේරුම් ගැනීම වඩාත් පහසු වේ. මෙම ලිපියෙන් අපි කතා කරන්නේ ශ්‍රේණියක එකතුව සෙවීම සඳහා Gauss ගේ ක්රමය (ක්රමය).
මොස්කව් ව්‍යායාම ශාලාවක 5 වන ශ්රේණියේ ඉගෙනුම ලබන මගේ බාල පුතා පාසලෙන් ගෙන ආ උදාහරණයක් මෙන්න.
Gauss ක්රමයේ පාසල් නිරූපණය
අන්තර්ක්‍රියාකාරී වයිට්බෝඩ් (නූතන ඉගැන්වීමේ ක්රම) භාවිතා කරන ගණිත ගුරුවරයෙකු කුඩා ගවුස් විසින් "ක්රමය නිර්මාණය කිරීමේ" ඉතිහාසය පිළිබඳ ඉදිරිපත් කිරීමක් දරුවන්ට පෙන්වීය.
ඉස්කෝලේ ටීචර් පොඩි කාල්ට කසයෙන් ගැහුවා (මේ දවස්වල ඉස්කෝලවල පාවිච්චි නොකරන යල් පැන ගිය ක්රමයක්) එයා නිසා
1 සිට 100 දක්වා සංඛ්යා අනුපිළිවෙලින් එකතු කරනවා වෙනුවට, ඒවායේ එකතුව සොයා ගන්න අවධානයට ලක් වියඅංක ගණිත ප්‍රගතියක දාරවල සිට සමාන පරතරයකින් යුත් සංඛ්යා යුගල එකම සංඛ්‍යාවට එකතු වන බව. උදාහරණයක් ලෙස, 100 සහ 1, 99 සහ 2. එවැනි යුගල ගණන ගණනය කිරීමෙන් පසු, කුඩා ගවුස් ගුරුවරයා විසින් යෝජනා කරන ලද ගැටළුව ක්ෂණිකව පාහේ විසඳා ඇත. ඒ සඳහා විස්මිත මහජනතාව ඉදිරියේ ඔහුව මරා දමන ලදී. ඒ නිසා අන් අය සිතීමට අධෛර්යමත් වනු ඇත.
පුංචි ගවුස් මොකද කළේ? සංවර්ධිත සංඛ්යා හැඟීම? අවධානයට ලක් වියසමහර විශේෂාංගනියත පියවරක් සහිත සංඛ්යා ශ්‍රේණි (අංක ගණිත ප්රගතිය). සහ හරියටම මේකපසුව ඔහු විශිෂ්ට විද්‍යාඥයෙකු බවට පත් කළේය. බලන්න දන්න අය, ඇති හැඟීම, අවබෝධයේ සහජ බුද්ධිය.
මේ නිසා ගණිතය වටිනා, දියුණු වෙමින් පවතී දැකීමේ හැකියාවපොදුවේ විශේෂයෙන් - වියුක්ත චින්තනය. එමනිසා, බොහෝ දෙමාපියන් සහ සේවා යෝජකයන් සහජයෙන්ම ගණිතය වැදගත් විෂයයක් ලෙස සලකන්න ...
“එහෙනම් ඔබ ගණිතය ඉගෙන ගත යුතුයි, මන්ද එය ඔබේ මනස පිළිවෙලට තබන බැවිනි.
M.V.Lomonosov".
කෙසේ වෙතත්, අනාගත දක්ෂයින්ට පොලුවලින් පහර දුන් අයගේ අනුගාමිකයින් ක්රමය ප්‍රතිවිරුද්ධ දෙයක් බවට පත් කළහ. මගේ අධීක්ෂකවරයා මීට වසර 35 කට පෙර පැවසූ පරිදි: "ප්‍රශ්නය ඉගෙන ගෙන ඇත." නැත්නම් මගේ බාල පුතා ඊයේ ගවුස්ගේ ක්රමය ගැන කිව්වා වගේ: "සමහරවිට මේකෙන් ලොකු විද්යාවක් හදන්න වටින්නේ නෑ නේද?"
"විද්යාඥයින්ගේ" නිර්මාණශීලීත්වයේ ප්රතිවිපාක වර්තමාන පාසල් ගණිතයේ මට්ටම, එහි ඉගැන්වීමේ මට්ටම සහ බහුතරය විසින් "විද්යා රැජින" පිළිබඳ අවබෝධය තුළ දෘශ්යමාන වේ.
කෙසේ වෙතත්, අපි දිගටම කරගෙන යමු ...
5 වන ශ්රේණියේ පාසලේ Gauss ක්රමය පැහැදිලි කිරීම සඳහා ක්රම
මොස්කව් ජිම්නාසියක ගණිත ගුරුවරයෙකු, Vilenkin අනුව Gauss ක්රමය පැහැදිලි කිරීම, කාර්යය සංකීර්ණ කළේය.
අංක ගණිත ප්‍රගමනයක වෙනස (පියවර) එකක් නොව තවත් සංඛ්‍යාවක් නම් කුමක් කළ යුතුද? උදාහරණයක් ලෙස, 20.
ඔහු පහේ පන්තියේ දරුවන්ට දුන් ගැටලුව:
20+40+60+80+ ... +460+480+500
ජිම්නාස්ටික් ක්රමය ගැන දැන ගැනීමට පෙර, අපි අන්තර්ජාලය දෙස බලමු: පාසල් ගුරුවරුන් සහ ගණිත උපදේශකයින් එය කරන්නේ කෙසේද?..
Gaussian ක්රමය: පැහැදිලි කිරීම අංක 1
ඔහුගේ YOUTUBE නාලිකාවේ ප්‍රසිද්ධ උපදේශකයෙක් පහත තර්ක ඉදිරිපත් කරයි:
"අපි 1 සිට 100 දක්වා සංඛ්යා පහත පරිදි ලියන්නෙමු:
පළමුව 1 සිට 50 දක්වා සංඛ්යා මාලාවක් සහ ඊට තදින්ම පහළින් 50 සිට 100 දක්වා තවත් සංඛ්යා මාලාවක්, නමුත් ප්රතිලෝම අනුපිළිවෙලින්"
1, 2, 3, ... 48, 49, 50
100, 99, 98 ... 53, 52, 51
"කරුණාකර සලකන්න: ඉහළ සහ පහළ පේළි වලින් එක් එක් සංඛ්යා යුගලයේ එකතුව සමාන වන අතර 101 ට සමාන වේ! අපි යුගල ගණන ගණන් කරමු, එය 50 ක් වන අතර එක් යුගලයක එකතුව යුගල ගණනින් ගුණ කරමු! Voila: The පිළිතුර සූදානම්!"
“ඔබට තේරුම් ගැනීමට නොහැකි නම්, කලබල නොවන්න!” ගුරුවරයා පැහැදිලි කිරීමේදී තුන් වතාවක් නැවත නැවතත් කීවේය. "ඔබ 9 වන ශ්රේණියේ දී මෙම ක්රමය ගනු ඇත!"
Gaussian ක්රමය: පැහැදිලි කිරීම අංක 2
තවත් ටියුටර්, අඩු ප්‍රසිද්ධියක් (දර්ශන ගණන අනුව විනිශ්චය කිරීම), වඩාත් විද්‍යාත්මක ප්‍රවේශයක් ගන්නා අතර, අනුපිළිවෙලින් සම්පූර්ණ කළ යුතු කරුණු 5ක විසඳුම් ඇල්ගොරිතමයක් ඉදිරිපත් කරයි.
නොදන්නා අය සඳහා, 5 යනු සාම්ප්‍රදායිකව ඉන්ද්‍රජාලික ලෙස සලකනු ලබන ෆිබොනාච්චි සංඛ්යා වලින් එකකි. උදාහරණයක් ලෙස, පියවර 6 ක්‍රමයකට වඩා පියවර 5 ක්රමයක් සෑම විටම විද්‍යාත්මක වේ. ...මෙය අහම්බයක් නොවේ, බොහෝ විට, කර්තෘ ෆිබොනාච්චි න්‍යායේ සැඟවුණු ආධාරකරුවෙකු විය හැකිය.
අංක ගණිතමය ප්‍රගතියක් ලබා දී ඇත: 4, 10, 16 ... 244, 250, 256 .
Gauss ක්රමය භාවිතා කරමින් ශ්‍රේණියක සංඛ්යා එකතුව සෙවීම සඳහා ඇල්ගොරිතම:
4, 10, 16 ... 244, 250, 256
256, 250, 244 ... 16, 10, 4
ඒ සමඟම, ඔබ මතක තබා ගත යුතුය ප්ලස් එක රීතියක් : අපි ප්රතිඵලයක් ලෙස ලැබෙන ප්‍රමාණයට එකක් එකතු කළ යුතුයි: එසේ නොමැතිනම් සැබෑ යුගල ගණනට වඩා එකකින් අඩු ප්රතිඵලයක් අපට ලැබෙනු ඇත: 42 + 1 = 43.
6 ක වෙනසක් සහිතව 4 සිට 256 දක්වා වූ අංක ගණිතමය ප්‍රගමනයේ අවශ්ය එකතුව මෙයයි!
Gauss ක්රමය: මොස්කව් ජිම්නාසියකදී 5 වන ශ්රේණියේ පැහැදිලි කිරීම
මාලාවක එකතුව සෙවීමේ ගැටලුව විසඳන්නේ කෙසේද යන්න මෙන්න:
20+40+60+ ... +460+480+500
මොස්කව් ව්‍යායාම ශාලාවක 5 වන ශ්රේණියේ, විලෙන්කින්ගේ පෙළ පොත (මගේ පුතාට අනුව).
ඉදිරිපත් කිරීම පෙන්වීමෙන් පසු, ගණිත ගුරුවරයා Gaussian ක්රමය භාවිතා කර උදාහරණ කිහිපයක් පෙන්වූ අතර, ශ්‍රේණියක සංඛ්යා වල එකතුව 20 වර්ධක වලින් සෙවීමේ කාර්යයක් පන්තියට ලබා දුන්නේය.
මේ සඳහා පහත සඳහන් දෑ අවශ්ය විය.
ඔබට පෙනෙන පරිදි, මෙය වඩාත් සංයුක්ත හා ඵලදායී තාක්ෂණයකි: අංක 3 ද Fibonacci අනුපිළිවෙලෙහි සාමාජිකයෙකි.
Gauss ක්රමයේ පාසල් අනුවාදය පිළිබඳ මගේ අදහස්
ඔහුගේ අනුගාමිකයින් විසින් ඔහුගේ “ක්රමය” කුමක් බවට පත් කරනු ඇත්දැයි ඔහු පුරෝකථනය කළේ නම් ශ්‍රේෂ්ඨ ගණිතඥයා නියත වශයෙන්ම දර්ශනය තෝරා ගනු ඇත. ජර්මානු ගුරුවරයා, කාල්ට පොලුවලින් පහර දුන්. "ගුරුවරුන්ගේ" සංකේතවාදය, අපෝහක සර්පිලාකාරය සහ නොනැසී පවතින මෝඩකම ඔහු දකින්නට ඇත. වැරදි අවබෝධයේ වීජ ගණිතය සමඟ ජීවත්වන ගණිතමය චින්තනයේ සංහිඳියාව මැනීමට උත්සාහ කිරීම ....
මාර්ගය වන විට: ඔබ දැන සිටියාද. අපගේ අධ්‍යාපන ක්රමය 18 වැනි සහ 19 වැනි සියවස්වල ජර්මානු පාසල තුළ මුල් බැස ඇති බව?
නමුත් ගවුස් තෝරා ගත්තේ ගණිතය.
ඔහුගේ ක්රමයේ හරය කුමක්ද?
තුල සරල කිරීම. තුල නිරීක්ෂණය සහ ග්රහණයසරල සංඛ්යා රටා. තුල වියළි පාසල් අංක ගණිතය බවට පත් කිරීම රසවත් හා උද්යෝගිමත් ක්රියාකාරිත්වය , අධික වියදම් මානසික ක්‍රියාකාරකම් අවහිර කරනවාට වඩා දිගටම කරගෙන යාමට ඇති ආශාව මොළයේ සක්‍රීය කිරීම.
ගණිත ප්‍රගතියක සංඛ්‍යාවල එකතුව ආසන්න වශයෙන් ගණනය කිරීම සඳහා ලබා දී ඇති “ගවුස් ක්රමයේ වෙනස් කිරීම්” වලින් එකක් භාවිතා කළ හැකිද? ක්ෂණිකව? “ඇල්ගොරිතම” වලට අනුව, කුඩා කාල්ට පහර දීමෙන් වැළකී සිටීමටත්, ගණිතයට අකමැත්තක් ඇති කර ගැනීමටත්, ඔහුගේ නිර්මාණාත්මක ආවේගයන් අංකුරයේ යටපත් කිරීමටත් සහතික වනු ඇත.
9 වන ශ්රේණියේ සිටම "එවැනි" ගැටලු විසඳන බව ඔවුන්ට ඒත්තු ගන්වමින්, ක්රමය පිළිබඳ “වරදවා වටහා ගැනීමට බිය නොවන්න” යැයි උපදේශකයා පස්වන ශ්රේණියේ ළමයින්ට දැඩි ලෙස උපදෙස් දුන්නේ ඇයි? මනෝවිද්‍යාත්මක නූගත් ක්‍රියාව. එය සටහන් කිරීමට හොඳ පියවරක් විය: "නැවත හමුවෙන්නම් දැනටමත් 5 වන ශ්රේණියේ ඔබට පුළුවන්ඔබ වසර 4 කින් පමණක් සම්පූර්ණ කරන ගැටළු විසඳන්න! ඔයා කොච්චර හොඳ කෙනෙක්ද!
Gaussian ක්රමය භාවිතා කිරීම සඳහා, 3 පන්තියේ මට්ටම ප්රමාණවත් වේ, සාමාන්ය දරුවන් දැනටමත් සංඛ්යා 2-3 ක් එකතු කිරීම, ගුණ කිරීම සහ බෙදීම කරන්නේ කෙසේදැයි දන්නා විට. සාමාන්ය මනුෂ්‍ය භාෂාවෙන් සරලම දේ පහදා දෙන්නට “ස්පර්ශයෙන් තොර” වැඩිහිටි ගුරුවරුන්ට ගණිතය ගැන සඳහන් කළ නොහැකි වීම නිසා ගැටලු මතු වේ... ඔවුන් ගණිතයට මිනිසුන් උනන්දු කරවීමට නොහැකි වන අතර “” සිටින අය පවා සම්පූර්ණයෙන්ම අධෛර්යමත් කරයි. හැකියාව ඇති.”
නැත්නම්, මගේ පුතා අදහස් දැක්වූ පරිදි: "එයින් විශාල විද්යාවක් සෑදීම."
Gauss ක්රමය, මගේ පැහැදිලි කිරීම්
මමයි මගේ බිරිඳයි මේ “ක්රමය” අපේ දරුවාට පැහැදිලි කළා, පෙනෙන විදිහට, පාසලට පෙර සිටම ...
සංකීර්ණත්වය වෙනුවට සරල බව හෝ ප්රශ්න සහ පිළිතුරු ක්රීඩාවක්
"බලන්න, මෙන්න 1 සිට 100 දක්වා ඉලක්කම්. ඔබට පෙනෙන්නේ කුමක්ද?"
කාරණය වන්නේ දරුවා හරියටම දකින දේ නොවේ. උපක්‍රමය නම් ඔහුව බලා ගැනීමයි.
"ඔයා කොහොමද ඒවා එකට දාන්නේ?" එවැනි ප්රශ්න "එසේම" අසන්නේ නැති බව පුතාට වැටහුණු අතර ඔබ "ඔහු සාමාන්යයෙන් කරනවාට වඩා කෙසේ හෝ වෙනස් ලෙස, වෙනස් ලෙස" යන ප්‍රශ්නය දෙස බැලිය යුතුය.
දරුවා වහාම විසඳුම දුටුවත් කමක් නැත, එය කළ නොහැක්කකි. ඔහු බව වැදගත් ය බැලීමට බිය වීම නැවැත්තුවා, නැතහොත් මා පවසන පරිදි: "කාර්යය මාරු කළා". අවබෝධය කරා යන ගමනේ ආරම්භය මෙයයි
"වඩා පහසු කුමක්ද: උදාහරණයක් ලෙස, 5 සහ 6 හෝ 5 සහ 95 එකතු කිරීම?" ප්‍රමුඛ ප්රශ්නයක් ... නමුත් ඕනෑම පුහුණුවක් පැමිණෙන්නේ පුද්ගලයෙකුට "පිළිතුර" වෙත "මඟ පෙන්වීම" - ඔහුට ඕනෑම ආකාරයකින් පිළිගත හැකිය.
මෙම අදියරේදී, ගණනය කිරීම් මත "සුරකින්න" කෙසේද යන්න පිළිබඳව දැනටමත් අනුමාන කළ හැකිය.
අපි කළේ ඉඟි පමණි: "ඉදිරිපස, රේඛීය" ගණන් කිරීමේ ක්රමය හැකි එකම එක නොවේ. දරුවෙකුට මෙය වැටහෙන්නේ නම්, පසුව ඔහු තවත් එවැනි ක්රම රාශියක් ඉදිරිපත් කරයි, එය රසවත් නිසා!!!තවද ඔහු නියත වශයෙන්ම ගණිතය "වරදවා වටහා ගැනීම" මග හරිනු ඇති අතර එය පිළිකුලක් දැනෙන්නේ නැත. ඔහු දිනුවා!
නම් දරුවා සොයා ගන්නා ලදීසියයක් දක්වා එකතු කරන ඉලක්කම් යුගල එකතු කිරීම කේක් කෑල්ලක් බව "වෙනස 1 සමඟ අංක ගණිතමය ප්රගතිය"- දරුවෙකු සඳහා තරමක් අඳුරු සහ උනන්දුවක් නොදක්වන දෙයක් - හදිසියේම ඔහු වෙනුවෙන් ජීවිතය සොයා ගත්තා . අවුල් සහගත තත්වයෙන් පිළිවෙල මතු වූ අතර මෙය සැමවිටම උද්යෝගය ඇති කරයි: අපිව හැදුවේ එහෙමයි!
පිළිතුරු දිය යුතු ප්රශ්නයක්: දරුවෙකුට ලැබුණු තීක්ෂ්ණ බුද්ධියෙන් පසුව, මෙම නඩුවේ ක්‍රියාකාරීව නිෂ්ඵල වන වියළි ඇල්ගොරිතමවල රාමුවට ඔහුව නැවත බල කළ යුත්තේ ඇයි?!
මෝඩ නැවත ලියන්න බල කරන්නේ ඇයි?සටහන් පොතක ඇති අනුක්‍රමික සංඛ්යා: හැකියාව ඇති අයට පවා තේරුම් ගැනීමට එකදු අවස්ථාවක් නොලැබෙන පරිදිද? සංඛ්‍යානමය වශයෙන්, ඇත්ත වශයෙන්ම, නමුත් මහා අධ්යාපනය "සංඛ්‍යාලේඛන" වෙත යොමු කර ඇත...
බිංදුව කොහෙද ගියේ?
එසේ වුවද, 101 දක්වා එකතු කරන සංඛ්යා වලට වඩා 100 දක්වා එකතු කරන සංඛ්යා එකතු කිරීම මනසට බෙහෙවින් පිළිගත හැකිය.
"ගවුස් පාසල් ක්රමය" සඳහා මෙය හරියටම අවශ්ය වේ: මනසකින් තොරව නවනුප්‍රගතියේ මධ්‍යයේ සිට සමාන දුර සංඛ්යා යුගල, සෑම දෙයක්ම තිබියදීත්.
බැලුවොත්?
කෙසේ වෙතත්, ශුන්‍යය යනු වසර 2,000 කට වඩා පැරණි මානව වර්ගයාගේ ශ්‍රේෂ්ඨතම සොයාගැනීමයි. තවද ගණිත ගුරුවරුන් ඔහුව නොසලකා හරිති.
1 න් පටන් ගන්නා සංඛ්යා ශ්‍රේණියක් 0 න් පටන් ගන්නා ශ්‍රේණියක් බවට පරිවර්තනය කිරීම වඩාත් පහසු ය. එකතුව වෙනස් නොවේ ද? ඔබ "පෙළපොත් තුළ සිතීම" නතර කර බැලීමට පටන් ගත යුතුය... 101 ක එකතුවක් සහිත යුගල 100 ක මුදලක් සහිත යුගල මගින් සම්පූර්ණයෙන්ම ප්රතිස්ථාපනය කළ හැකි බව බලන්න!
0 + 100, 1 + 99, 2 + 98 ... 49 + 51
"ප්ලස් 1 රීතිය" අහෝසි කරන්නේ කෙසේද?
ඇත්තම කියනවනම් මම මුලින්ම මේ වගේ නීතියක් ගැන ඇහුවේ ඔය YouTube ටියුටර්ගෙන්...
මාලාවක සාමාජිකයින් සංඛ්‍යාව තීරණය කිරීමට අවශ්ය වූ විට මා තවමත් කුමක් කළ යුතුද?
මම අනුපිළිවෙල දෙස බලමි:
1, 2, 3, .. 8, 9, 10
ඔබ සම්පූර්ණයෙන්ම වෙහෙසට පත් වූ විට, සරල පේළියකට යන්න:
1, 2, 3, 4, 5
සහ මම හිතන්නේ: ඔබ 5 න් එකක් අඩු කළහොත්, ඔබට 4 ලැබේ, නමුත් මට සම්පූර්ණයෙන්ම පැහැදිලිය මම දකියිඅංක 5ක්! එමනිසා, ඔබ එකක් එකතු කළ යුතුය! ප්‍රාථමික පාසලේ වර්ධනය වූ සංඛ්යා සංවේදය යෝජනා කරන්නේ: ශ්රේණියේ (10 සිට සියවන බලය දක්වා) සාමාජිකයින්ගේ සම්පූර්ණ Google එකක් තිබුණත්, රටාව එලෙසම පවතිනු ඇත.
මොන මගුලක්ද නීති..
ඉතින් අවුරුදු දෙක තුනකින් ඔබේ නළල සහ හිස පිටුපස ඇති සියලුම ඉඩ පුරවා සිතීම නැවැත්විය හැකිද? ඔබේ පාන් සහ බටර් උපයා ගන්නේ කෙසේද? සියල්ලට පසු, අපි ඩිජිටල් ආර්ථිකයේ යුගයට ඒකාකාරව ගමන් කරමින් සිටිමු!
ගවුස්ගේ පාසල් ක්රමය ගැන වැඩි විස්තර: "ඇයි මේකෙන් විද්‍යාව හදන්නේ?.."
මම මගේ පුතාගේ සටහන් පොතෙන් තිර රුවක් පළ කළේ නිකම්ම නොවේ...
"පංතියේ මොකද උනේ?"
“හොඳයි, මම වහාම ගණන් කළා, මගේ අත එසෙව්වා, නමුත් ඇය ඇහුවේ නැහැ, ඒ නිසා, අනිත් අය ගණන් කරන අතරේ, මම කාලය නාස්ති නොකිරීමට රුසියානු භාෂාවෙන් ගෙදර වැඩ කරන්න පටන් ගත්තා, අනිත් අය ලියලා ඉවර වුණාම (? ??), ඇය මට මණ්ඩලයට කතා කළා. මම උත්තරේ කිව්වා."
"ඒක හරි, ඔබ එය විසඳූ ආකාරය මට පෙන්වන්න" ගුරුවරයා පැවසීය. මම ඒක පෙන්නුවා. ඇය මෙසේ පැවසුවාය: "වැරදියි, මම පෙන්වූ පරිදි ඔබ ගණන් කළ යුතුයි!"
"ඇය නරක ශ්‍රේණියක් ලබා නොදීම හොඳය. තවද ඇය ඔවුන්ගේ සටහන් පොතේ "විසඳුමේ පාඨමාලාව" ඔවුන්ගේම ආකාරයෙන් ලිවීමට මා සැලැස්සුවාය. ඇයි මේකෙන් ලොකු විද්යාවක් හදන්නේ?.."
ගණිත ගුරුවරයෙකුගේ ප්රධාන අපරාධය
අමාරුවෙන් පස්සේ එම සිද්ධියකාල් ගවුස් තම පාසලේ ගණිත ගුරුවරයා කෙරෙහි ඉහළ ගෞරවයක් අත්විඳින ලදී. නමුත් ඔහු කොහොමද දන්නේ නම් ඒ ගුරුවරයාගේ අනුගාමිකයෝ ක්රමයේ සාරයම විකෘති කරනු ඇත... ඔහු කෝපයෙන් ගොරවන අතර, ලෝක බුද්ධිමය දේපළ සංවිධානයේ WIPO හරහා පාසල් පෙළපොත්වල ඔහුගේ හොඳ නම භාවිතා කිරීම තහනම් කරයි!
කුමක් තුළ පාසල් ප්රවේශයේ ප්රධාන වැරැද්ද? එසේත් නැතිනම් මා කී පරිදි පාසල් ගණිත ගුරුවරුන් දරුවන්ට කරන අපරාධයක් ද?
වරදවා වටහාගැනීමේ ඇල්ගොරිතම
පාසල් ක්‍රමවේදයන් කරන්නේ කුමක්ද, ඔවුන්ගෙන් බහුතරයක් සිතන්නේ කෙසේදැයි නොදන්නේද?
ඔවුන් ක්රම සහ ඇල්ගොරිතම නිර්මාණය කරයි (බලන්න). මෙය විවේචන වලින් ගුරුවරුන් ආරක්ෂා කරන ආරක්ෂක ප්රතික්රියාවක් ("සියල්ල සිදු කරනු ලබන්නේ ...") සහ දරුවන් අවබෝධයෙන්. ඒ අනුව - ගුරුවරුන් විවේචනය කිරීමේ ආශාවෙන්!(නිලධාරී "ප්‍රඥාවේ" දෙවන ව්‍යුත්පන්නය, ගැටලුවට විද්‍යාත්මක ප්‍රවේශයකි). අර්ථය නොතේරෙන පුද්ගලයා පාසල් පද්ධතියේ මෝඩකමට වඩා තමාගේම වැරදි වැටහීම ගැන දොස් පවරනු ඇත.
මෙය සිදු වන්නේ මෙයයි: දෙමාපියන් තම දරුවන්ට දොස් පවරයි, සහ ගුරුවරුන් ... "ගණිතය නොතේරෙන" දරුවන්ට ද එසේ කරන්න.
ඔබ බුද්ධිමත්ද?
කුඩා කාල් කළේ කුමක්ද?
සූත්‍ර කාර්යයක් සඳහා සම්පූර්ණයෙන්ම සාම්ප්‍රදායික නොවන ප්‍රවේශයක්. උන්වහන්සේගේ ප්රවේශයේ හරය මෙයයි. මෙය පාසැලේදී ඉගැන්විය යුතු ප්‍රධානම දෙය නම් පෙළපොත් සමඟ නොව ඔබේ හිසෙන් සිතීමයි. ඇත්ත වශයෙන්ම, සෙවීමේදී භාවිතා කළ හැකි උපකරණ සංරචකයක් ද තිබේ සරල හා වඩා කාර්යක්ෂම ගණන් කිරීමේ ක්රම.
Vilenkin අනුව Gauss ක්රමය
පාසැලේදී ඔවුන් උගන්වන්නේ ගවුස්ගේ ක්රමය බවයි
කුමක් ද, ශ්රේණියේ මූලද්රව්ය ගණන ඔත්තේ නම්, මගේ පුතාට පැවරුණු ගැටලුවේ වගේ?
"අල්ලා ගැනීම" යනු මෙම නඩුවේදීය ඔබ මාලාවේ "අමතර" අංකයක් සොයාගත යුතුයසහ එය යුගල එකතුවට එකතු කරන්න. අපගේ උදාහරණයේ මෙම අංකය 260 කි.
හඳුනා ගන්නේ කෙසේද? සියලුම අංක යුගල සටහන් පොතකට පිටපත් කිරීම!(ගෑස්සියන් ක්රමය භාවිතා කර "නිර්මාණශීලිත්වය" ඉගැන්වීමට උත්සාහ කරන මේ මෝඩ වැඩේ ගුරුවරයා ලවා ලවා ලවා කළේ එබැවිනි... තවද මෙවැනි "ක්රමයක්" විශාල දත්ත මාලාවකට ප්‍රායෝගිකව අදාළ නොවන්නේ එබැවිනි. Gaussian ක්රමය නොවේ.)
පාසල් දින චර්යාවේ පොඩි නිර්මාණශීලීත්වයක්...
පුතා වෙනස් විදිහට හැසිරුණා.
(20 + 500, 40 + 480 ...).
0+500, 20+480, 40+460 ...
අමාරු නෑ නේද?
නමුත් ප්‍රායෝගිකව එය වඩාත් පහසු කර ඇත, එමඟින් ඔබට රුසියානු භාෂාවෙන් දුරස්ථ සංවේදනය සඳහා මිනිත්තු 2-3 ක් කැටයම් කිරීමට ඉඩ සලසයි, ඉතිරිය “ගණන්” වේ. ඊට අමතරව, එය ක්රමයේ පියවර ගණන රඳවා තබා ගනී: 5, එය විද්‍යාත්මක නොවන බවට ප්රවේශය විවේචනය කිරීමට ඉඩ නොදේ.
පැහැදිලිවම මෙම ප්රවේශය ක්රමයේ ශෛලිය තුල සරල, වේගවත් හා වඩා විශ්වීය වේ. නමුත් ... ගුරුවරයා ප්රශංසා නොකළා පමණක් නොව, එය "නිවැරදි ආකාරයෙන්" නැවත ලිවීමට මට බල කළේය (තිර රුව බලන්න). එනම්, ඇය නිර්මාණාත්මක ආවේගය සහ මුලදී ගණිතය තේරුම් ගැනීමට ඇති හැකියාව යටපත් කිරීමට මංමුලා සහගත උත්සාහයක් ගත්තාය! පෙනෙන විදිහට, පසුව ඇයව උපදේශකයෙකු ලෙස බඳවා ගැනීමට හැකි වන පරිදි ... ඇය වැරදි පුද්ගලයාට පහර දුන්නා ...
මම මෙච්චර වෙලා කම්මැලි විදියට විස්තර කරපු හැම දෙයක්ම සාමාන්ය ළමයෙකුට උපරිම පැය බාගයකින් පැහැදිලි කරන්න පුළුවන්. උදාහරණ සමඟින්.
ඒ වගේම ඔහුට එය කිසිදා අමතක නොවන ආකාරයෙන්.
සහ එය වනු ඇත අවබෝධය කරා පියවර... ගණිතඥයන් පමණක් නොවේ.
එය පිළිගන්න: ඔබ Gaussian ක්රමය භාවිතයෙන් ඔබේ ජීවිතයේ කී වතාවක් එකතු කර තිබේද? ඒ වගේම මම කවදාවත් කළේ නැහැ!
එහෙත් අවබෝධයේ සහජ බුද්ධිය, පාසලේ ගණිතමය ක්රම අධ්යයනය කිරීමේ ක්‍රියාවලියේදී වර්ධනය වන (හෝ නිවී යයි) ... ඔහ්!.. මෙය සැබවින්ම ප්රතිස්ථාපනය කළ නොහැකි දෙයකි!
විශේෂයෙන්ම පක්‍ෂයේ සහ රජයේ දැඩි නායකත්වය යටතේ අපි නිහඬව පිවිසි විශ්ව ඩිජිටල්කරණ යුගයේ.
ගුරුවරුන් ආරක්ෂා කිරීමට වචන කිහිපයක් ...
මෙම ඉගැන්වීමේ විලාසයේ සියලු වගකීම් පාසල් ගුරුවරුන් මත පමණක් පැටවීම අසාධාරණ සහ වැරදිය. පද්ධතිය ක්රියාත්මක වේ.
ඇතැම්සිදුවෙමින් පවතින දේවල විකාර බව ගුරුවරුන් තේරුම් ගනී, නමුත් කුමක් කළ යුතුද? අධ්යාපනය පිළිබඳ නීතිය, ෆෙඩරල් රාජ්ය අධ්යාපනික ප්රමිති, ක්රම, පාඩම් සැලසුම් ... සෑම දෙයක්ම "අනුකූලව සහ පදනම මත" සිදු කළ යුතු අතර සෑම දෙයක්ම ලේඛනගත කළ යුතුය. පැත්තකට වෙන්න - වෙඩි තියන්න පෝලිමේ හිටියා. අපි කුහක නොවන්නෙමු: මොස්කව් ගුරුවරුන්ගේ වැටුප් ඉතා හොඳයි ... ඔවුන් ඔබව නෙරපා හරින්නේ නම්, කොහේ යන්නද?..
එබැවින් මෙම වෙබ් අඩවිය අධ්යාපනය ගැන නොවේ. ඔහු ගැන තනි අධ්යාපනය, සමූහයාගෙන් මිදීමට හැකි එකම මාර්ගය පරම්පරාව Z ...
මෙම ලිපියෙහි, ක්රමය රේඛීය සමීකරණ (SLAEs) පද්ධති විසඳීමේ ක්රමයක් ලෙස සැලකේ. ක්රමය විශ්ලේෂණාත්මක ය, එනම්, එය ඔබට සාමාන්ය ස්වරූපයෙන් විසඳුම් ඇල්ගොරිතමයක් ලිවීමට ඉඩ සලසයි, ඉන්පසු එහි නිශ්චිත උදාහරණ වලින් අගයන් ආදේශ කරන්න. matrix ක්රමය හෝ Cramer's සූත්‍ර මෙන් නොව, Gauss ක්රමය භාවිතයෙන් රේඛීය සමීකරණ පද්ධතියක් විසඳන විට, ඔබට අනන්ත විසඳුම් ඇති ඒවා සමඟද වැඩ කළ හැකිය. නැත්නම් එයාලට ඒක කොහෙත්ම නැහැ.
Gaussian ක්රමය භාවිතා කර විසඳීම යන්නෙන් අදහස් කරන්නේ කුමක්ද?
මුලින්ම අපි අපේ සමීකරණ පද්ධතිය ලියන්න ඕන මෙහෙමයි. පද්ධතිය ගන්න:
සංගුණක වගුවක ආකාරයෙන් ලියා ඇති අතර, නිදහස් නියමයන් දකුණු පසින් වෙනම තීරුවක ලියා ඇත. නිදහස් නියමයන් සහිත තීරුව පහසුව සඳහා වෙන් කර ඇත.මෙම තීරුව ඇතුළත් න්යාසය දිගු ලෙස හැඳින්වේ.
ඊළඟට, සංගුණක සහිත ප්රධාන න්යාසය ඉහළ ත්රිකෝණාකාර ආකෘතියකට අඩු කළ යුතුය. Gaussian ක්රමය භාවිතයෙන් පද්ධතිය විසඳීමේ ප්රධාන කරුණ මෙයයි. සරලව කිවහොත්, ඇතැම් උපාමාරු වලින් පසුව, න්යාසය එහි පහළ වම් කොටසේ ශුන්ය පමණක් අඩංගු වන පරිදි බැලිය යුතුය:
එවිට, ඔබ නැවත සමීකරණ පද්ධතියක් ලෙස නව න්යාසය ලියන්නේ නම්, අවසාන පේළියේ දැනටමත් එක් මූලයක අගය අඩංගු බව ඔබට පෙනෙනු ඇත, එය ඉහත සමීකරණයට ආදේශ කරනු ලැබේ, තවත් මූලයක් හමු වේ, යනාදිය.
මෙය වඩාත් පොදු වචන වලින් Gaussian ක්රමය මගින් විසඳුම පිළිබඳ විස්තරයකි. හදිසියේම පද්ධතියට විසඳුමක් නොමැති නම් කුමක් සිදුවේද? එසේත් නැතිනම් ඒවායින් අනන්තවත් තිබේද? මෙම සහ තවත් බොහෝ ප්රශ්න වලට පිළිතුරු සැපයීම සඳහා, Gaussian ක්රමය විසඳීමේදී භාවිතා කරන සියලුම මූලද්රව්ය වෙන වෙනම සලකා බැලීම අවශ්ය වේ.
න්‍යාස, ඒවායේ ගුණාංග
matrix හි සැඟවුණු අර්ථයක් නොමැත. මෙය හුදෙක් එය සමඟ පසුකාලීන මෙහෙයුම් සඳහා දත්ත වාර්තා කිරීමට පහසු ක්රමයකි. පාසල් සිසුන් පවා ඔවුන්ට බිය විය යුතු නැත.
අනුකෘතිය සෑම විටම සෘජුකෝණාස්රාකාර වේ, මන්ද එය වඩාත් පහසු වේ. ත්රිකෝණාකාර ආකෘතියක න්යාසයක් තැනීමට සෑම දෙයක්ම පහළ වන Gauss ක්‍රමයේදී පවා, ප්‍රවේශයේදී සෘජුකෝණාස්‍රයක් දිස්වේ, සංඛ්යා නොමැති ස්ථානයේ ශුන්ය සමඟ පමණි. ශුන්ය ලියා නොතිබිය හැකි නමුත් ඒවා ඇඟවුම් කර ඇත.
න්‍යාසයට විශාලත්වයක් ඇත. එහි "පළල" යනු පේළි ගණන (m), "දිග" යනු තීරු ගණන (n) වේ. එවිට A න්‍යාසයේ ප්රමාණය (ප්‍රාග්ධන ලතින් අක්ෂර සාමාන්යයෙන් ඒවා දැක්වීමට භාවිතා කරයි) A m×n ලෙස දක්වනු ලැබේ. m=n නම්, මෙම න්යාසය හතරැස් වන අතර m=n යනු එහි අනුපිළිවෙලයි. ඒ අනුව, න්‍යාස A හි ඕනෑම මූලද්රව්යයක් එහි පේළි සහ තීරු අංක වලින් දැක්විය හැක: a xy ; x - පේළි අංකය, වෙනස්කම්, y - තීරු අංකය, වෙනස්කම්.
B තීරණයේ ප්රධාන කරුණ නොවේ. ප්‍රතිපත්තිමය වශයෙන්, සියලුම මෙහෙයුම් සමීකරණ සමඟ කෙලින්ම සිදු කළ හැකිය, නමුත් අංකනය වඩාත් කරදරකාරී වනු ඇති අතර එය තුළ ව්යාකූල වීම වඩාත් පහසු වනු ඇත.
නිර්ණය කරන්නා
න්‍යාසයට ද නිර්ණායකයක් ඇත. මෙය ඉතා වැදගත් ලක්ෂණයකි. එහි තේරුම දැන් සොයා ගැනීමට අවශ්ය නැත; ඔබට එය ගණනය කරන්නේ කෙසේදැයි පෙන්විය හැකිය, ඉන්පසු එය තීරණය කරන අනුකෘතියේ ගුණාංග මොනවාදැයි කියන්න. නිර්ණායකය සොයා ගැනීමට ඇති පහසුම ක්රමය විකර්ණ හරහාය. මනඃකල්පිත විකර්ණ අනුකෘතියේ ඇද ඇත; ඒ සෑම එකක් මත පිහිටා ඇති මූලද්රව්ය ගුණ කරනු ලැබේ, ඉන්පසු ලැබෙන නිෂ්පාදන එකතු කරනු ලැබේ: දකුණට බෑවුමක් සහිත විකර්ණ - ප්ලස් ලකුණක් සමඟ, වමට බෑවුමක් සමඟ - අඩු ලකුණක් සමඟ.
නිර්ණායකය ගණනය කළ හැක්කේ වර්ග අනුකෘතියක් සඳහා පමණක් බව සැලකිල්ලට ගැනීම අතිශයින්ම වැදගත්ය. සෘජුකෝණාස්රාකාර න්යාසයක් සඳහා, ඔබට පහත දෑ කළ හැක: පේළි ගණනින් සහ තීරු ගණනින් කුඩාම එක තෝරන්න (එය k වීමට ඉඩ දෙන්න), ඉන්පසු අහඹු ලෙස න්යාසය තුළ k තීරු සහ k පේළි සලකුණු කරන්න. තෝරාගත් තීරු සහ පේළිවල මංසන්ධියේ ඇති මූලද්රව්ය නව වර්ග න්යාසයක් සාදනු ඇත. එවැනි න්යාසයක නිර්ණායකය ශුන්ය නොවන සංඛ්‍යාවක් නම්, එය මුල් සෘජුකෝණාස්රාකාර න්‍යාසයේ මූලික සුළු ලෙස හැඳින්වේ.
ඔබ Gaussian ක්රමය භාවිතා කරමින් සමීකරණ පද්ධතියක් විසඳීම ආරම්භ කිරීමට පෙර, නිර්ණායකය ගණනය කිරීම හානියක් නොවේ. එය ශුන්ය බවට පත් වුවහොත්, න්‍යාසයේ අසීමිත විසඳුම් සංඛ්‍යාවක් හෝ කිසිවක් නොමැති බව අපට වහාම පැවසිය හැකිය. එවැනි කණගාටුදායක අවස්ථාවක, ඔබ තව දුරටත් ගොස් matrix හි ශ්රේණිය ගැන සොයා බැලිය යුතුය.
පද්ධති වර්ගීකරණය
අනුකෘතියක ශ්රේණිය වැනි දෙයක් තිබේ. මෙය එහි ශුන්ය නොවන නිර්ණායකයේ උපරිම අනුපිළිවෙලයි (අපි කුඩා පදනම ගැන මතක තබා ගන්නේ නම්, න්යාසයක ශ්රේණිය කුඩා පදනමේ අනුපිළිවෙල බව අපට පැවසිය හැකිය).
තරාතිරම මත පදනම්ව, SLAE පහත පරිදි බෙදිය හැකිය:
- ඒකාබද්ධ. යූඒකාබද්ධ පද්ධතිවල, ප්රධාන න්‍යාසයේ ශ්රේණිය (සංගුණක වලින් පමණක් සමන්විත) දිගු කළ න්‍යාසයේ ශ්රේණිය (නිදහස් නියමයන් සහිත තීරුවක් සමඟ) සමපාත වේ. එවැනි පද්ධතිවලට විසඳුමක් ඇත, නමුත් අනිවාර්යයෙන්ම එකක් නොවේ, එබැවින්, අතිරේකව ඒකාබද්ධ පද්ධති බෙදා ඇත:
- - සමහර- තනි විසඳුමක් තිබීම. ඇතැම් පද්ධතිවල, න්‍යාසයේ ශ්රේණිය සහ නොදන්නා සංඛ්‍යාව (හෝ තීරු ගණන, එය එකම දෙය) සමාන වේ;
- - නිර්වචනය නොකළ -අසීමිත විසඳුම් සමඟ. එවැනි පද්ධතිවල න්‍යාස ශ්රේණිය නොදන්නා සංඛ්‍යාවට වඩා අඩුය.
- නොගැලපේ. යූඑවැනි පද්ධතිවල, ප්රධාන සහ දිගු න්‍යාසවල ශ්‍රේණි සමපාත නොවේ. නොගැලපෙන පද්ධතිවලට විසඳුමක් නැත.
Gauss ක්රමය හොඳයි, මන්ද විසඳුම අතරතුර එය පද්ධතියේ නොගැලපීම පිළිබඳ පැහැදිලි සාක්ෂියක් (විශාල න්‍යාසවල නිර්ණායක ගණනය නොකර) හෝ අසීමිත විසඳුම් සහිත පද්ධතියක් සඳහා සාමාන්ය ආකාරයෙන් විසඳුමක් ලබා ගැනීමට ඉඩ සලසයි.
මූලික පරිවර්තනයන්
පද්ධතිය විසඳීමට කෙලින්ම ඉදිරියට යාමට පෙර, ඔබට එය අඩු කරදරකාරී සහ ගණනය කිරීම් සඳහා වඩාත් පහසු කළ හැකිය. මෙය සාක්ෂාත් කරගනු ලබන්නේ මූලික පරිවර්තනයන් මගිනි - එනම් ඒවා ක්රියාත්මක කිරීම අවසාන පිළිතුර කිසිඳු ආකාරයකින් වෙනස් නොකරනු ඇත. ලබා දී ඇති සමහර මූලික පරිවර්තන වලංගු වන්නේ න්‍යාස සඳහා පමණක් බව සටහන් කළ යුතුය, එහි මූලාශ්‍රය SLAE විය. මෙන්න මෙම පරිවර්තනයන් ලැයිස්තුවක්:
- රේඛා නැවත සකස් කිරීම. පැහැදිලිවම, ඔබ පද්ධති වාර්තාවේ සමීකරණ අනුපිළිවෙල වෙනස් කරන්නේ නම්, මෙය විසඳුමට කිසිදු ආකාරයකින් බලපාන්නේ නැත. එහි ප්රතිඵලයක් ලෙස, මෙම පද්ධතියේ න්‍යාසයේ පේළි ද හුවමාරු කළ හැක, ඇත්ත වශයෙන්ම, නිදහස් නියමයන් තීරුව අමතක නොකර.
- තන්තුවක සියලුම මූලද්රව්ය යම් සංගුණකයකින් ගුණ කිරීම. ඉතා ප්රයෝජනවත්! න්යාසයක විශාල සංඛ්යා අඩු කිරීමට හෝ ශුන්ය ඉවත් කිරීමට එය භාවිතා කළ හැක. බොහෝ තීරණ, සුපුරුදු පරිදි, වෙනස් නොවනු ඇත, නමුත් වැඩිදුර මෙහෙයුම් වඩාත් පහසු වනු ඇත. ප්රධාන දෙය නම් සංගුණකය ශුන්යයට සමාන නොවේ.
- සමානුපාතික සාධක සහිත පේළි ඉවත් කිරීම. මෙය අර්ධ වශයෙන් පෙර ඡේදයෙන් පහත දැක්වේ. අනුකෘතියක පේළි දෙකක් හෝ වැඩි ගණනකට සමානුපාතික සංගුණක තිබේ නම්, එක් පේළියක් සමානුපාතික සංගුණකයෙන් ගුණ කළ විට / බෙදූ විට, පරම සමාන පේළි දෙකක් (හෝ, නැවතත්, වැඩි) ලබා ගන්නා අතර, අමතර ඒවා ඉවත් කර ඉවත් කළ හැකිය. එකක් පමණයි.
- ශුන්ය රේඛාවක් ඉවත් කිරීම. පරිවර්තනය අතරතුර, නිදහස් පදය ඇතුළුව සියලුම මූලද්රව්ය ශුන්ය වන පේළියක් කොතැනක හෝ ලබා ගන්නේ නම්, එවැනි පේළියක් ශුන්ය ලෙස හැඳින්විය හැකි අතර න්‍යාසයෙන් ඉවතට විසි කළ හැකිය.
- එක් පේළියක මූලද්රව්යවලට තවත් එක් පේළියක මූලද්රව්ය එකතු කිරීම (අනුරූප තීරු වල), යම් සංගුණකයකින් ගුණ කිරීම. සියල්ලටම වඩා නොපැහැදිලි සහ වැදගත්ම පරිවර්තනය. එය වඩාත් විස්තරාත්මකව වාසය කිරීම වටී.
සාධකයකින් ගුණ කරන ලද තන්තුවක් එකතු කිරීම
තේරුම් ගැනීමේ පහසුව සඳහා, මෙම ක්රියාවලිය පියවරෙන් පියවර බිඳ දැමීම වටී. අනුකෘතියෙන් පේළි දෙකක් ගනු ලැබේ:
a 11 a 12 ... a 1n | b1
a 21 a 22 ... a 2n | b 2
"-2" සංගුණකයෙන් ගුණ කළ විට, ඔබ පළමුවැන්න දෙවැන්නට එකතු කළ යුතු යැයි සිතමු.
a" 21 = a 21 + -2×a 11
a" 22 = a 22 + -2×a 12
a" 2n = a 2n + -2×a 1n
එවිට න්‍යාසයේ දෙවන පේළිය නව එකක් සමඟ ප්රතිස්ථාපනය වන අතර පළමුවැන්න නොවෙනස්ව පවතී.
a 11 a 12 ... a 1n | b1
a" 21 a" 22 ... a" 2n | b 2
පේළි දෙකක් එකතු කිරීමේ ප්රතිඵලයක් ලෙස, නව පේළියේ එක් මූලද්රව්යයක් ශුන්යයට සමාන වන පරිදි ගුණ කිරීමේ සංගුණකය තෝරා ගත හැකි බව සැලකිල්ලට ගත යුතුය. එබැවින්, අඩු නොදන්නා එකක් ඇති පද්ධතියක සමීකරණයක් ලබා ගත හැකිය. ඔබ එවැනි සමීකරණ දෙකක් ලබා ගන්නේ නම්, මෙහෙයුම නැවත සිදු කර නොදන්නා කරුණු දෙකක් අඩංගු සමීකරණයක් ලබා ගත හැකිය. සෑම අවස්ථාවකදීම ඔබ මුල් පේළියට පහළින් ඇති සියලුම පේළිවල එක් සංගුණකය බිංදුවට හරවන්නේ නම්, ඔබට පඩිපෙළ මෙන්, න්‍යාසයේ පහළට ගොස් නොදන්නා එකක් සමඟ සමීකරණයක් ලබා ගත හැකිය. මෙය Gaussian ක්රමය භාවිතයෙන් පද්ධතිය විසඳීම ලෙස හැඳින්වේ.
සාමාන්යයෙන්
ක්රමයක් ඇති වේවා. එයට m සමීකරණ සහ n නොදන්නා මූලයන් ඇත. ඔබට එය පහත පරිදි ලිවිය හැකිය:
ප්රධාන න්යාසය පද්ධති සංගුණක වලින් සම්පාදනය කර ඇත. දිගු කළ න්‍යාසයට නිදහස් නියමවල තීරුවක් එකතු කරන අතර පහසුව සඳහා රේඛාවකින් වෙන් කරනු ලැබේ.
- න්‍යාසයේ පළමු පේළිය k = (-a 21 /a 11) සංගුණකය මගින් ගුණ කරනු ලැබේ;
- පළමු වෙනස් කරන ලද පේළිය සහ අනුකෘතියේ දෙවන පේළිය එකතු කරනු ලැබේ;
- දෙවන පේළිය වෙනුවට, පෙර ඡේදයේ එකතු කිරීමේ ප්රතිඵලය අනුකෘතියට ඇතුල් කරනු ලැබේ;
- දැන් නව දෙවන පේළියේ පළමු සංගුණකය 11 × (-a 21 /a 11) + a 21 = -a 21 + a 21 = 0 වේ.
දැන් එකම පරිවර්තන මාලාවක් සිදු කරනු ලැබේ, පළමු සහ තෙවන පේළි පමණක් සම්බන්ධ වේ. ඒ අනුව, ඇල්ගොරිතමයේ සෑම පියවරකදීම, මූලද්රව්යය 21 වෙනුවට 31 මගින් ප්රතිස්ථාපනය වේ. එවිට සෑම දෙයක්ම 41, ... m1 සඳහා නැවත නැවතත් සිදු කෙරේ. ප්රතිඵලය වන්නේ පේළිවල පළමු මූලද්රව්යය ශුන්ය වන න්යාසයකි. දැන් ඔබට අංක එක පේළිය අමතක කර දෙවන පේළියේ සිට එකම ඇල්ගොරිතමයක් සිදු කළ යුතුය:
- සංගුණකය k = (-a 32 / a 22);
- දෙවන වෙනස් කරන ලද පේළිය "වත්මන්" රේඛාවට එකතු කරනු ලැබේ;
- එකතු කිරීමේ ප්‍රති result ලය තුන්වන, හතරවන සහ වෙනත් රේඛාවලට ආදේශ කරනු ලැබේ, පළමු සහ දෙවන නොවෙනස්ව පවතී;
- අනුකෘතියේ පේළිවල පළමු මූලද්රව්ය දෙක දැනටමත් ශුන්යයට සමාන වේ.
සංගුණකය k = (-a m,m-1 /a mm) දිස්වන තුරු ඇල්ගොරිතම නැවත නැවතත් කළ යුතුය. මෙයින් අදහස් කරන්නේ ඇල්ගොරිතම අවසන් වරට ක්රියාත්මක කර ඇත්තේ පහළ සමීකරණය සඳහා පමණක් බවයි. දැන් න්යාසය ත්‍රිකෝණයක් මෙන් පෙනේ, නැතහොත් පියවර හැඩයක් ඇත. පහළ රේඛාවේ සමානාත්මතාවය a mn × x n = b m වේ. සංගුණකය සහ නිදහස් පදය දන්නා අතර මූලය ඒවා හරහා ප්‍රකාශ වේ: x n = b m /a mn. ප්රතිඵලයක් ලෙස ලැබෙන මූලය x n-1 = (b m-1 - a m-1,n ×(b m /a mn))÷a m-1,n-1 සෙවීමට ඉහළ පේළියට ආදේශ කරනු ලැබේ. ප්‍රතිසමයෙන් එසේ ය: සෑම ඊළඟ පේළියකම නව මූලයක් ඇති අතර, පද්ධතියේ “ඉහළට” ළඟා වූ පසු ඔබට බොහෝ විසඳුම් සොයාගත හැකිය. එය එකම එකක් වනු ඇත.
විසඳුම් නොමැති විට
එක් අනුකෘති පේළියක නිදහස් පදය හැර අනෙකුත් සියලුම මූලද්රව්ය ශුන්යයට සමාන නම්, මෙම පේළියට අනුරූප සමීකරණය 0 = b ලෙස පෙනේ. එයට විසඳුමක් නැත. එවැනි සමීකරණයක් පද්ධතියට ඇතුළත් කර ඇති බැවින්, සමස්ත පද්ධතියේ විසඳුම් සමූහය හිස් ය, එනම් එය පිරිහී ඇත.
විසඳුම් අනන්ත ගණනක් ඇති විට
ලබා දී ඇති ත්රිකෝණාකාර න්‍යාසයේ සමීකරණයේ එක් සංගුණක මූලද්රව්යයක් සහ එක් නිදහස් පදයක් සහිත පේළි නොමැති වීම සිදුවිය හැක. නැවත ලියන විට, විචල්‍ය දෙකක් හෝ වැඩි ගණනක් සහිත සමීකරණයක් මෙන් පෙනෙන රේඛා පමණක් ඇත. මෙයින් අදහස් කරන්නේ පද්ධතියට අසීමිත විසඳුම් ඇති බවයි. මෙම අවස්ථාවෙහිදී, පිළිතුර සාමාන්ය විසඳුමක් ආකාරයෙන් ලබා දිය හැකිය. එය කරන්නේ කෙසේද?
matrix හි ඇති සියලුම විචල්යයන් මූලික සහ නිදහස් ලෙස බෙදා ඇත. මූලික ඒවා වන්නේ පියවර අනුකෘතියේ පේළිවල "අද්දර" නැගී සිටින අයයි. ඉතිරිය නොමිලේ. සාමාන්ය විසඳුමේ දී මූලික විචල්යයන් ලියා ඇත්තේ නිදහස් ඒවා හරහා ය.
පහසුව සඳහා, න්යාසය මුලින්ම නැවත සමීකරණ පද්ධතියකට නැවත ලියා ඇත. ඉන්පසුව ඒවායින් අවසාන කොටසෙහි, හරියටම එක් මූලික විචල්‍යයක් පමණක් ඉතිරිව ඇති අතර, එය එක් පැත්තක පවතින අතර අනෙක් සියල්ල අනෙක් අතට මාරු වේ. මෙය එක් මූලික විචල්‍යයක් සහිත සෑම සමීකරණයක් සඳහාම සිදු කෙරේ. එවිට, ඉතිරි සමීකරණවල, හැකි සෑම විටම, මූලික විචල්යය වෙනුවට ඒ සඳහා ලබාගත් ප්රකාශනය ආදේශ කරනු ලැබේ. ප්රතිඵලය නැවතත් එක් මූලික විචල්‍යයක් පමණක් අඩංගු ප්‍රකාශනයක් නම්, එය නැවත එහි සිට ප්‍රකාශ වේ, සහ එසේ ය, සෑම මූලික විචල්‍යයක්ම නිදහස් විචල්යයන් සහිත ප්‍රකාශනයක් ලෙස ලියන තෙක්. SLAE හි සාමාන්ය විසඳුම මෙයයි.
ඔබට පද්ධතියේ මූලික විසඳුම ද සොයාගත හැකිය - නිදහස් විචල්‍යයන්ට ඕනෑම අගයක් ලබා දෙන්න, ඉන්පසු මෙම විශේෂිත අවස්ථාව සඳහා මූලික විචල්‍යවල අගයන් ගණනය කරන්න. ලබා දිය හැකි විශේෂිත විසඳුම් අනන්ත ගණනක් ඇත.
නිශ්චිත උදාහරණ සමඟ විසඳුම
මෙන්න සමීකරණ පද්ධතියක්.
පහසුව සඳහා, වහාම එහි අනුකෘතිය නිර්මාණය කිරීම වඩා හොඳය
Gaussian ක්රමය මගින් විසඳන විට, පළමු පේළියට අනුරූප වන සමීකරණය පරිවර්තනයන් අවසානයේ නොවෙනස්ව පවතින බව දන්නා කරුණකි. එබැවින්, න්‍යාසයේ ඉහළ වම් මූලද්රව්යය කුඩාම නම් එය වඩාත් ලාභදායී වනු ඇත - එවිට මෙහෙයුම් වලින් පසු ඉතිරි පේළිවල පළමු මූලද්රව්ය ශුන්යයට හැරේ. මෙයින් අදහස් කරන්නේ සම්පාදනය කරන ලද අනුකෘතියේ පළමු පේළිය වෙනුවට දෙවන පේළිය තැබීම වාසිදායක වනු ඇති බවයි.
දෙවන පේළිය: k = (-a 21 /a 11) = (-3/1) = -3
a" 21 = a 21 + k×a 11 = 3 + (-3)×1 = 0
a" 22 = a 22 + k×a 12 = -1 + (-3)×2 = -7
a" 23 = a 23 + k×a 13 = 1 + (-3)×4 = -11
b" 2 = b 2 + k×b 1 = 12 + (-3)×12 = -24
තුන්වන පේළිය: k = (-a 3 1 /a 11) = (-5/1) = -5
a" 3 1 = a 3 1 + k×a 11 = 5 + (-5)×1 = 0
a" 3 2 = a 3 2 + k×a 12 = 1 + (-5)×2 = -9
a" 3 3 = a 33 + k×a 13 = 2 + (-5)×4 = -18
b" 3 = b 3 + k×b 1 = 3 + (-5)×12 = -57
දැන්, ව්යාකූල නොවීම සඳහා, ඔබ පරිවර්තනයන්හි අතරමැදි ප්රතිඵල සමඟ අනුකෘතියක් ලිවිය යුතුය.
නිසැකවම, එවැනි අනුකෘතියක් ඇතැම් මෙහෙයුම් භාවිතයෙන් සංජානනය සඳහා වඩාත් පහසු කළ හැකිය. උදාහරණයක් ලෙස, එක් එක් මූලද්රව්යය "-1" මගින් ගුණ කිරීමෙන් ඔබට දෙවන පේළියේ සිට සියලුම "අඩුපාඩු" ඉවත් කළ හැකිය.
තුන්වන පේළියේ සියලුම මූලද්රව්ය තුනේ ගුණාකාර බව ද සඳහන් කිරීම වටී. එවිට ඔබට මෙම අංකයෙන් නූල් කෙටි කළ හැකිය, එක් එක් මූලද්රව්යය "-1/3" මගින් ගුණ කිරීම (ඍණ - එම අවස්ථාවේදීම, සෘණ අගයන් ඉවත් කිරීමට).
වඩා ලස්සනයි වගේ. දැන් අපි පළමු පේළිය තනිවම තබා දෙවන හා තුන්වන සමඟ වැඩ කළ යුතුයි. කාර්යය වන්නේ 32 මූලද්රව්යය ශුන්යයට සමාන වන පරිදි එවැනි සංගුණකයකින් ගුණ කළ තුන්වන පේළියට දෙවන පේළිය එකතු කිරීමයි.
k = (-a 32 /a 22) = (-3/7) = -3/7 (සමහර පරිවර්තන වලදී පිළිතුර පූර්ණ සංඛ්‍යාවක් බවට පත් නොවන්නේ නම්, පිටවීම සඳහා ගණනය කිරීම් වල නිරවද්‍යතාවය පවත්වා ගැනීම රෙකමදාරු කරනු ලැබේ එය "පවතින පරිදි", සාමාන්ය භාග ස්වරූපයෙන්, පසුව පමණක්, පිළිතුරු ලැබුණු විට, වට කර වෙනත් පටිගත කිරීමේ ආකාරයකට පරිවර්තනය කළ යුතුද යන්න තීරණය කරන්න)
a" 32 = a 32 + k×a 22 = 3 + (-3/7)×7 = 3 + (-3) = 0
a" 33 = a 33 + k×a 23 = 6 + (-3/7)×11 = -9/7
b" 3 = b 3 + k×b 2 = 19 + (-3/7)×24 = -61/7
න්යාසය නව අගයන් සමඟ නැවත ලියා ඇත.
| 1 | 2 | 4 | 12 |
| 0 | 7 | 11 | 24 |
| 0 | 0 | -9/7 | -61/7 |
ඔබට පෙනෙන පරිදි, ප්රතිඵලය වන matrix දැනටමත් පියවර ආකෘතියක් ඇත. එබැවින්, Gaussian ක්රමය භාවිතයෙන් පද්ධතියේ තවදුරටත් පරිවර්තනයන් අවශ්ය නොවේ. ඔබට මෙහි කළ හැක්කේ තුන්වන පේළියේ සමස්ත සංගුණකය "-1/7" ඉවත් කිරීමයි.
දැන් හැම දෙයක්ම ලස්සනයි. කිරීමට ඉතිරිව ඇත්තේ න්යාසය නැවත සමීකරණ පද්ධතියක ආකාරයෙන් ලිවීම සහ මූලයන් ගණනය කිරීම පමණි.
x + 2y + 4z = 12 (1)
7y + 11z = 24 (2)
දැන් මූලයන් සොයා ගන්නා ඇල්ගොරිතම ගවුසියන් ක්රමයේ ප්රතිලෝම චලනය ලෙස හැඳින්වේ. සමීකරණය (3) හි z අගය අඩංගු වේ:
y = (24 - 11×(61/9))/7 = -65/9
පළමු සමීකරණය අපට x සොයා ගැනීමට ඉඩ දෙයි:
x = (12 - 4z - 2y)/1 = 12 - 4×(61/9) - 2×(-65/9) = -6/9 = -2/3
එවැනි පද්ධතියක් ඒකාබද්ධ ලෙස හැඳින්වීමට අපට අයිතියක් ඇත, සහ නිශ්චිතවම, එනම් අද්විතීය විසඳුමක් ඇත. පිළිතුර පහත ආකාරයෙන් ලියා ඇත:
x 1 = -2/3, y = -65/9, z = 61/9.
අවිනිශ්චිත පද්ධතියක උදාහරණයක්
Gauss ක්රමය භාවිතයෙන් යම් පද්ධතියක් විසඳීමේ ප්‍රභේදය විශ්ලේෂණය කර ඇත; පද්ධතිය අවිනිශ්චිත නම්, ඒ සඳහා අපරිමිත විසඳුම් සොයාගත හැකි නම් දැන් එය සලකා බැලිය යුතුය.
x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 (1)
3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 = -2 (2)
x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 = 23 (3)
5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 - x 5 = 12 (4)
පද්ධතියේ පෙනුම දැනටමත් තැතිගන්වන සුළුය, මන්ද නොදන්නා සංඛ්‍යාව n = 5 වන අතර පද්ධති න්‍යාසයේ ශ්රේණිය දැනටමත් මෙම සංඛ්‍යාවට වඩා හරියටම අඩුය, මන්ද පේළි ගණන m = 4, එනම්, නිර්ණායක-චතුරශ්‍රයේ විශාලතම අනුපිළිවෙල 4. මෙයින් අදහස් කරන්නේ අසීමිත විසඳුම් සංඛ්‍යාවක් ඇති අතර ඔබ එහි සාමාන්ය පෙනුම සොයා බැලිය යුතු බවයි. රේඛීය සමීකරණ සඳහා Gauss ක්රමය ඔබට මෙය කිරීමට ඉඩ සලසයි.
පළමුව, සුපුරුදු පරිදි, දිගු කළ අනුකෘතියක් සම්පාදනය කරනු ලැබේ.
දෙවන පේළිය: සංගුණකය k = (-a 21 /a 11) = -3. තුන්වන පේළියේ, පළමු මූලද්රව්යය පරිවර්තනයන්ට පෙර වේ, එබැවින් ඔබට කිසිවක් ස්පර්ශ කිරීමට අවශ්ය නැත, ඔබ එය එලෙසම තැබිය යුතුය. හතරවන පේළිය: k = (-a 4 1 /a 11) = -5
පළමු පේළියේ මූලද්රව්ය ඒවායේ එක් එක් සංගුණකයෙන් ගුණ කිරීමෙන් සහ ඒවා අවශ්ය පේළිවලට එකතු කිරීමෙන්, අපි පහත පෝරමයේ න්යාසයක් ලබා ගනිමු:
ඔබට පෙනෙන පරිදි, දෙවන, තෙවන සහ සිව්වන පේළි එකිනෙකට සමානුපාතික මූලද්රව්ය වලින් සමන්විත වේ. දෙවන සහ සිව්වන සාමාන්යයෙන් සමාන වේ, එබැවින් ඒවායින් එකක් වහාම ඉවත් කළ හැකි අතර, ඉතිරි එක "-1" සංගුණකයෙන් ගුණ කළ හැකි අතර පේළි අංක 3 ලබා ගන්න. නැවතත්, සමාන රේඛා දෙකෙන් එකක් තබන්න.
එහි ප්රතිඵලය වන්නේ මෙවන් අනුකෘතියකි. පද්ධතිය තවමත් ලියා නොමැති අතර, මෙහි මූලික විචල්යයන් තීරණය කිරීම අවශ්ය වේ - සංගුණකවල 11 = 1 සහ 22 = 1, සහ නිදහස් ඒවා - ඉතිරි සියල්ල.
දෙවන සමීකරණයේ ඇත්තේ එක් මූලික විචල්‍යයක් පමණි - x 2. මෙයින් අදහස් කරන්නේ එය නිදහස් වන x 3 , x 4 , x 5 යන විචල්යයන් හරහා ලිවීමෙන් එහි සිට ප්‍රකාශ කළ හැකි බවයි.
අපි පළමු සමීකරණයට ප්රතිඵල ප්රකාශනය ආදේශ කරමු.
ප්රතිඵලය වන්නේ එකම මූලික විචල්යය x 1 වන සමීකරණයකි. අපි ඒකෙන් x 2 වගේ කරමු.
දෙකක් ඇති සියලුම මූලික විචල්යයන් නිදහස් ඒවා තුනකින් ප්‍රකාශ වේ; දැන් අපට පිළිතුර සාමාන්ය ආකාරයෙන් ලිවිය හැකිය.
ඔබට පද්ධතියේ විශේෂිත විසඳුම් වලින් එකක් ද සඳහන් කළ හැකිය. එවැනි අවස්ථාවන් සඳහා, ශුන්ය සාමාන්යයෙන් නිදහස් විචල්‍ය සඳහා අගයන් ලෙස තෝරා ගනු ලැබේ. එවිට පිළිතුර වනු ඇත:
16, 23, 0, 0, 0.
සමුපකාර නොවන පද්ධතියක උදාහරණයක්
Gauss ක්රමය භාවිතයෙන් නොගැලපෙන සමීකරණ පද්ධති විසඳීම වේගවත්ම වේ. එක් අදියරකදී විසඳුමක් නොමැති සමීකරණයක් ලබා ගත් වහාම එය අවසන් වේ. එනම්, තරමක් දිගු හා වෙහෙසකර මූලයන් ගණනය කිරීමේ අදියර ඉවත් කරනු ලැබේ. පහත සඳහන් පද්ධතිය සලකා බලනු ලැබේ:
x + y - z = 0 (1)
2x - y - z = -2 (2)
4x + y - 3z = 5 (3)
සුපුරුදු පරිදි, අනුකෘතිය සම්පාදනය කර ඇත:
| 1 | 1 | -1 | 0 |
| 2 | -1 | -1 | -2 |
| 4 | 1 | -3 | 5 |
එය පියවරෙන් පියවර ආකෘතියකට අඩු කර ඇත:
k 1 = -2k 2 = -4
| 1 | 1 | -1 | 0 |
| 0 | -3 | 1 | -2 |
| 0 | 0 | 0 | 7 |
පළමු පරිවර්තනයෙන් පසුව, තුන්වන පේළියේ ආකෘතියේ සමීකරණයක් අඩංගු වේ
විසඳුමක් නොමැතිව. එහි ප්රතිඵලයක් වශයෙන්, පද්ධතිය නොගැලපෙන අතර, පිළිතුර හිස් කට්ටලය වනු ඇත.
ක්රමයේ වාසි සහ අවාසි
පෑනක් සමඟ කඩදාසි මත SLAEs විසඳිය යුතු ක්රමය ඔබ තෝරා ගන්නේ නම්, මෙම ලිපියේ සාකච්ඡා කළ ක්රමය වඩාත් ආකර්ශනීය බව පෙනේ. ඔබට නිර්ණායකයක් හෝ යම් උපක්‍රමශීලී ප්රතිලෝම න්යාසයක් අතින් සෙවීමට සිදු වෙනවාට වඩා ප්‍රාථමික පරිවර්තන වලදී ව්යාකූල වීම ඉතා අපහසුය. කෙසේ වෙතත්, ඔබ මෙම වර්ගයේ දත්ත සමඟ වැඩ කිරීම සඳහා වැඩසටහන් භාවිතා කරන්නේ නම්, උදාහරණයක් ලෙස, පැතුරුම්පත්, එවැනි වැඩසටහන් වල දැනටමත් න්‍යාසවල ප්රධාන පරාමිතීන් ගණනය කිරීම සඳහා ඇල්ගොරිතම අඩංගු බව පෙනේ - නිර්ණායක, බාල වයස්කරුවන්, ප්රතිලෝම සහ යනාදිය. යන්ත්‍රය විසින්ම මෙම අගයන් ගණනය කර වැරදි සිදු නොවන බව ඔබට විශ්වාස නම්, අනුකෘති ක්රමය හෝ ක්‍රේමර් සූත්‍ර භාවිතා කිරීම වඩාත් සුදුසුය, මන්ද ඒවායේ යෙදුම ආරම්භ වන්නේ සහ අවසන් වන්නේ නිර්ණායක සහ ප්රතිලෝම න්‍යාස ගණනය කිරීමෙනි. .
අයදුම්පත
Gaussian විසඳුම ඇල්ගොරිතමයක් වන අතර න්යාසය ඇත්ත වශයෙන්ම ද්විමාන අරාවක් බැවින් එය ක්‍රමලේඛනයේදී භාවිතා කළ හැක. නමුත් ලිපිය “ඩමීස් සඳහා” මාර්ගෝපදේශයක් ලෙස ස්ථානගත කර ඇති බැවින්, ක්රමය ඇතුළත් කිරීමට පහසුම ස්ථානය පැතුරුම්පත් බව පැවසිය යුතුය, උදාහරණයක් ලෙස, එක්සෙල්. නැවතත්, න්යාසයක ආකාරයෙන් වගුවකට ඇතුල් කරන ඕනෑම SLAE එකක් Excel විසින් ද්විමාන අරාවක් ලෙස සලකනු ලැබේ. ඒවා සමඟ ක්රියා කිරීම සඳහා බොහෝ හොඳ විධාන තිබේ: එකතු කිරීම (ඔබට එකම ප්‍රමාණයේ න්‍යාස පමණක් එකතු කළ හැකිය!), සංඛ්‍යාවකින් ගුණ කිරීම, න්‍යාස ගුණ කිරීම (සමහර සීමාවන් සමඟ), ප්රතිලෝම සහ ප්‍රතිවර්තිත න්‍යාස සොයා ගැනීම සහ, වඩාත්ම වැදගත් , නිර්ණායකය ගණනය කිරීම. මෙම කාලය ගතවන කාර්යය තනි විධානයකින් ප්රතිස්ථාපනය කරන්නේ නම්, න්‍යාසයේ ශ්රේණිය වඩා ඉක්මනින් තීරණය කළ හැකි අතර, එම නිසා, එහි අනුකූලතාව හෝ නොගැලපීම ස්ථාපිත කළ හැකිය.
16-18 වන ශතවර්ෂයේ ආරම්භයේ සිට, ගණිතඥයින් කාර්යයන් දැඩි ලෙස අධ්යයනය කිරීමට පටන් ගෙන ඇති අතර, අපගේ ජීවිතයේ බොහෝ දේ වෙනස් වී ඇත. මෙම දැනුම නොමැතිව පරිගණක තාක්ෂණය සරලව පවතින්නේ නැත. සංකීර්ණ ගැටළු, රේඛීය සමීකරණ සහ කාර්යයන් විසඳීම සඳහා විවිධ සංකල්ප, ප්රමේය සහ විසඳුම් ශිල්පීය ක්රම නිර්මාණය කර ඇත. රේඛීය සමීකරණ සහ ඒවායේ පද්ධති විසඳීම සඳහා එවැනි විශ්වීය සහ තාර්කික ක්රම සහ ශිල්පීය ක්රමවලින් එකක් වූයේ Gauss ක්රමයයි. න්‍යාස, ඒවායේ ශ්රේණිය, නිර්ණායකය - සංකීර්ණ මෙහෙයුම් භාවිතා නොකර සියල්ල ගණනය කළ හැකිය.
SLAU යනු කුමක්ද?
ගණිතයේ, SLAE සංකල්පය ඇත - රේඛීය වීජීය සමීකරණ පද්ධතියකි. ඇය මොන වගේද? මෙය සාමාන්යයෙන් x, y, z, හෝ x 1, x 2... x n, හෝ වෙනත් සංකේත ලෙස දැක්වෙන, අවශ්ය n නොදන්නා ප්‍රමාණ සහිත m සමීකරණ සමූහයකි. Gaussian ක්රමය භාවිතයෙන් ලබා දී ඇති පද්ධතියක් විසඳීම යනු නොදන්නා නොදන්නා සියල්ල සොයා ගැනීමයි. පද්ධතියක එකම නොදන්නා සහ සමීකරණ සංඛ්‍යාවක් තිබේ නම්, එය nth order system ලෙස හැඳින්වේ.
SLAEs විසඳීම සඳහා වඩාත් ජනප්රිය ක්රම
ද්විතීයික අධ්‍යාපන ආයතනවල එවැනි පද්ධති විසඳීම සඳහා විවිධ ක්රම අධ්යයනය කරනු ලැබේ. බොහෝ විට මේවා නොදන්නා දෙකකින් සමන්විත සරල සමීකරණ වේ, එබැවින් ඒවාට පිළිතුරු සෙවීම සඳහා පවතින ඕනෑම ක්රමයක් බොහෝ කාලයක් ගත නොවනු ඇත. එක් සමීකරණයකින් තවත් සමීකරණයක් ලබාගෙන මුල් එකට ආදේශ කළ විට මෙය ආදේශන ක්රමයක් වැනි විය හැක. නැතහොත් පදයෙන් කාලීනව අඩු කිරීම සහ එකතු කිරීමේ ක්රමය. නමුත් Gauss ක්රමය පහසුම හා වඩාත්ම විශ්වීය ලෙස සැලකේ. එය නොදන්නා ඕනෑම සංඛ්‍යාවක් සමඟ සමීකරණ විසඳීමට හැකි වේ. මෙම විශේෂිත තාක්ෂණය තාර්කික ලෙස සලකන්නේ ඇයි? ඒක සරලයි. matrix ක්රමයේ ඇති හොඳ දෙය නම් එයට අනවශ්‍ය සංකේත නොදන්නා ලෙස කිහිප වතාවක් නැවත ලිවීම අවශ්ය නොවන බවයි; සංගුණක මත ගණිතමය මෙහෙයුම් සිදු කිරීමට එය ප්රමාණවත් වේ - එවිට ඔබට විශ්වාසදායක ප්‍රති result ලයක් ලැබෙනු ඇත.
ප්‍රායෝගිකව SLAE භාවිතා කරන්නේ කොහේද?
SLAEs සඳහා විසඳුම ශ්‍රිතවල ප්‍රස්ථාරවල රේඛා ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්‍ය වේ. අපගේ අධි තාක්‍ෂණික පරිගණක යුගයේදී, ක්‍රීඩා සහ වෙනත් වැඩසටහන් සංවර්ධනය කිරීම සමඟ සමීපව සම්බන්ධ වී සිටින පුද්ගලයින් එවැනි පද්ධති විසඳන්නේ කෙසේද, ඔවුන් නියෝජනය කරන දේ සහ එහි ප්‍රති result ලය නිවැරදිව පරීක්ෂා කරන්නේ කෙසේද යන්න දැන සිටිය යුතුය. බොහෝ විට, ක්‍රමලේඛකයින් විශේෂ රේඛීය වීජ ගණිත ගණක වැඩසටහන් සංවර්ධනය කරයි, එයට රේඛීය සමීකරණ පද්ධතියක් ද ඇතුළත් වේ. Gauss ක්රමය මඟින් දැනට පවතින සියලුම විසඳුම් ගණනය කිරීමට ඔබට ඉඩ සලසයි. වෙනත් සරල කළ සූත්‍ර සහ ශිල්පීය ක්රම ද භාවිතා වේ.
SLAU අනුකූලතා නිර්ණායකය
එවැනි පද්ධතියක් විසඳිය හැක්කේ එය අනුකූල නම් පමණි. පැහැදිලිකම සඳහා, අපි Ax=b ආකෘතියෙන් SLAE නියෝජනය කරමු. rang(A) rang(A,b) ට සමාන නම් එයට විසඳුමක් ඇත. මෙම අවස්ථාවෙහිදී, (A,b) යනු නිදහස් නියමයන් සමඟ නැවත ලිවීමෙන් A matrix වෙතින් ලබා ගත හැකි දිගු ආකෘති න්යාසයකි. Gaussian ක්රමය භාවිතයෙන් රේඛීය සමීකරණ විසඳීම තරමක් පහසු බව පෙනේ.
සමහර විට සමහර සංකේත සම්පූර්ණයෙන්ම පැහැදිලි නැත, එබැවින් සෑම දෙයක්ම උදාහරණයක් සමඟ සලකා බැලීම අවශ්ය වේ. පද්ධතියක් ඇතැයි කියමු: x+y=1; 2x-3y=6. එය සමන්විත වන්නේ සමීකරණ දෙකකින් පමණක් වන අතර එහි නොදන්නා 2 ක් ඇත. පද්ධතියට විසඳුමක් ඇත්තේ එහි න්‍යාසයේ ශ්රේණිය දිගු කළ න්‍යාසයේ ශ්‍රේණියට සමාන නම් පමණි. නිලය යනු කුමක්ද? පද්ධතියේ ස්වාධීන රේඛා ගණන මෙයයි. අපගේ නඩුවේදී, න්‍යාසයේ ශ්රේණිය 2 වේ. Matrix A නොදන්නා ඒවා අසල ඇති සංගුණක වලින් සමන්විත වන අතර “=” ලකුණ පිටුපස ඇති සංගුණක ද විස්තීරණ න්‍යාසයට ගැලපේ.
SLAEs matrix ආකාරයෙන් නියෝජනය කළ හැක්කේ ඇයි?
ඔප්පු කර ඇති ක්‍රොනෙකර්-කැපෙලි ප්‍රමේයය අනුව අනුකූලතා නිර්ණායකය මත පදනම්ව, රේඛීය වීජීය සමීකරණ පද්ධතියක් අනුකෘති ආකාරයෙන් නිරූපණය කළ හැක. Gaussian cascade ක්රමය භාවිතා කිරීමෙන්, ඔබට matrix විසඳා ගත හැකි අතර සම්පූර්ණ පද්ධතිය සඳහා තනි විශ්වසනීය පිළිතුරක් ලබා ගත හැකිය. සාමාන්ය න්යාසයක ශ්රේණිය එහි විස්තීර්ණ න්‍යාසයේ ශ්‍රේණියට සමාන නම්, නමුත් නොදන්නා සංඛ්‍යාවට වඩා අඩු නම්, පද්ධතියට පිළිතුරු අනන්ත ගණනක් ඇත.
අනුකෘති පරිවර්තනය
න්‍යාස විසඳීමට යාමට පෙර, ඒවායේ මූලද්රව්ය මත සිදු කළ හැකි ක්රියා මොනවාදැයි ඔබ දැනගත යුතුය. මූලික පරිවර්තනයන් කිහිපයක් තිබේ:
- පද්ධතිය අනුකෘති ආකාරයෙන් නැවත ලිවීමෙන් සහ එය විසඳීමෙන්, ඔබට ශ්රේණියේ සියලුම අංග එකම සංගුණකයකින් ගුණ කළ හැකිය.
- අනුකෘතිය කැනොනිකල් ආකාරයෙන් පරිවර්තනය කිරීම සඳහා, ඔබට සමාන්තර පේළි දෙකක් මාරු කළ හැකිය. කැනොනිකල් ආකෘතියෙන් ඇඟවෙන්නේ ප්රධාන විකර්ණය දිගේ පිහිටා ඇති සියලුම න්‍යාස මූලද්රව්ය එකක් බවට පත්වන අතර ඉතිරි ඒවා ශුන්ය බවට පත්වන බවයි.
- අනුකෘතියේ සමාන්තර පේළිවල අනුරූප මූලද්රව්ය එකිනෙකට එකතු කළ හැක.
ජෝර්දාන්-ගවුස් ක්රමය
Gaussian ක්රමය භාවිතා කරමින් රේඛීය සමජාතීය සහ සමජාතීය නොවන සමීකරණ පද්ධති විසඳීමේ සාරය නම් නොදන්නා දේ ක්‍රමයෙන් ඉවත් කිරීමයි. අපි හිතමු අප සතුව නොදන්නා සමීකරණ දෙකක පද්ධතියක් ඇති බව. ඒවා සොයා ගැනීමට, ඔබ අනුකූලතාව සඳහා පද්ධතිය පරීක්ෂා කළ යුතුය. Gauss ක්රමය මගින් සමීකරණය ඉතා සරලව විසඳනු ලැබේ. එක් එක් නොදන්නා ආසන්නයේ ඇති සංගුණක අනුකෘති ආකාරයෙන් ලිවීමට අවශ්ය වේ. පද්ධතිය විසඳීම සඳහා, ඔබ දිගු කළ අනුකෘතිය ලිවිය යුතුය. එක් සමීකරණයක නොදන්නා කුඩා සංඛ්‍යාවක් තිබේ නම්, අතුරුදහන් වූ මූලද්රව්යය වෙනුවට “0” යෙදිය යුතුය. දන්නා සියලුම පරිවර්තන ක්රම අනුකෘතියට යොදනු ලැබේ: ගුණ කිරීම, සංඛ්‍යාවකින් බෙදීම, ශ්රේණියේ අනුරූප මූලද්රව්ය එකිනෙක එකතු කිරීම සහ වෙනත් ය. සෑම පේළියකම “1” අගය සමඟ එක් විචල්‍යයක් තැබීම අවශ්ය බව පෙනේ, ඉතිරිය ශුන්යයට අඩු කළ යුතුය. වඩාත් නිවැරදි අවබෝධයක් සඳහා, උදාහරණ සමඟ Gauss ක්රමය සලකා බැලීම අවශ්ය වේ.
2x2 පද්ධතියක් විසඳීම සඳහා සරල උදාහරණයක්
ආරම්භ කිරීම සඳහා, අපි සරල වීජීය සමීකරණ පද්ධතියක් ගනිමු, එහි නොදන්නා කරුණු 2 ක් ඇත.
අපි එය දිගු න්‍යාසයකට නැවත ලියමු.
මෙම රේඛීය සමීකරණ පද්ධතිය විසඳීම සඳහා, මෙහෙයුම් දෙකක් පමණක් අවශ්ය වේ. ප්රධාන විකර්ණය දිගේ ඒවා ඇති වන පරිදි අපි අනුකෘතිය කැනොනිකල් ස්වරූපයට ගෙන ආ යුතුය. එබැවින්, matrix ආකෘතියෙන් පද්ධතිය වෙත ආපසු මාරු කිරීම, අපි සමීකරණ ලබා ගනිමු: 1x+0y=b1 සහ 0x+1y=b2, විසඳුම් ක්රියාවලියේ ප්රතිඵලය වන්නේ b1 සහ b2 පිළිතුරු වේ.
- දිගු කළ න්යාසයක් විසඳන විට පළමු ක්‍රියාව මෙය වනු ඇත: දෙවන සමීකරණයේ නොදන්නා එකක් ඉවත් කිරීම සඳහා පළමු පේළිය -7 න් ගුණ කළ යුතු අතර දෙවන පේළියට අනුරූප මූලද්රව්ය එකතු කළ යුතුය.
- Gauss ක්රමය භාවිතා කරමින් සමීකරණ විසඳීමේදී න්යාසය කැනොනිකල් ස්වරූපයට අඩු කිරීම ඇතුළත් වන බැවින්, පළමු සමීකරණය සමඟ එකම මෙහෙයුම් සිදු කිරීම සහ දෙවන විචල්යය ඉවත් කිරීම අවශ්ය වේ. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, අපි පළමු පේළියෙන් දෙවන පේළිය අඩු කර අවශ්ය පිළිතුර ලබා ගනිමු - SLAE හි විසඳුම. නැතහොත්, රූපයේ දැක්වෙන පරිදි, අපි දෙවන පේළිය -1 ගුණයකින් ගුණ කර දෙවන පේළියේ මූලද්රව්ය පළමු පේළියට එකතු කරමු. එය එසේමය.
අපට පෙනෙන පරිදි, අපගේ පද්ධතිය ජෝර්දාන්-ගවුස් ක්රමය මගින් විසඳා ඇත. අපි එය අවශ්ය ආකෘතියෙන් නැවත ලියන්නෙමු: x=-5, y=7.
3x3 SLAE විසඳුමක උදාහරණයක්
අපට වඩා සංකීර්ණ රේඛීය සමීකරණ පද්ධතියක් ඇතැයි සිතමු. Gauss ක්රමය මඟින් වඩාත් පැහැදිලිව පෙනෙන ව්යාකූල පද්ධතිය සඳහා පවා පිළිතුර ගණනය කිරීමට හැකි වේ. එමනිසා, ගණනය කිරීමේ ක්‍රමවේදය ගැඹුරින් සොයා බැලීම සඳහා, ඔබට නොදන්නා කරුණු තුනක් සමඟ වඩාත් සංකීර්ණ උදාහරණයකට යා හැකිය.
පෙර උදාහරණයේ දී මෙන්, අපි දිගු කළ න්යාසයක ආකාරයෙන් පද්ධතිය නැවත ලියන අතර එය එහි කැනොනිකල් ආකෘතියට ගෙන ඒමට පටන් ගනිමු.
මෙම පද්ධතිය විසඳීම සඳහා, ඔබ පෙර උදාහරණයට වඩා බොහෝ ක්රියා සිදු කිරීමට අවශ්ය වනු ඇත.
- පළමුව ඔබ පළමු තීරුව එක් ඒකක මූලද්රව්යයක් සහ ඉතිරි ශුන්යයන් සෑදිය යුතුය. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, පළමු සමීකරණය -1 න් ගුණ කර දෙවන සමීකරණය එයට එක් කරන්න. අපි පළමු පේළිය එහි මුල් ස්වරූපයෙන් නැවත ලියන බවත්, දෙවැන්න නවීකරණය කළ ආකාරයෙන් බවත් මතක තබා ගැනීම වැදගත්ය.
- ඊළඟට, අපි තුන්වන සමීකරණයෙන් මෙම පළමු නොදන්නා දේ ඉවත් කරමු. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, පළමු පේළියේ මූලද්රව්ය -2 න් ගුණ කර තුන්වන පේළියට එකතු කරන්න. දැන් පළමු සහ දෙවන පේළි ඒවායේ මුල් ස්වරූපයෙන් නැවත ලියා ඇති අතර තුන්වන - වෙනස්කම් සහිතව. ප්රතිඵලයෙන් ඔබට පෙනෙන පරිදි, අපි matrix හි ප්රධාන විකර්ණය සහ ඉතිරි ශුන්ය ආරම්භයේ පළමු එක ලබා ගත්තෙමු. තවත් පියවර කිහිපයක්, සහ Gaussian ක්රමය මගින් සමීකරණ පද්ධතිය විශ්වසනීයව විසඳනු ඇත.
- දැන් ඔබට පේළි වල අනෙකුත් මූලද්රව්ය මත මෙහෙයුම් සිදු කිරීමට අවශ්ය වේ. තුන්වන සහ සිව්වන ක්රියාවන් එකකට ඒකාබද්ධ කළ හැකිය. විකර්ණයේ ඇති අඩුපාඩු ඉවත් කිරීම සඳහා අපි දෙවන සහ තුන්වන පේළි -1 න් බෙදිය යුතුය. අපි දැනටමත් තුන්වන පේළිය අවශ්ය පෝරමයට ගෙන ඇත.
- ඊළඟට අපි දෙවන පේළිය කැනොනිකල් ආකෘතියට ගෙන එන්නෙමු. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, අපි තුන්වන පේළියේ මූලද්රව්ය -3 න් ගුණ කර ඒවා matrix හි දෙවන පේළියට එකතු කරන්නෙමු. ප්රතිඵලයෙන් පැහැදිලි වන්නේ දෙවන පේළිය ද අපට අවශ්ය ආකෘතියට අඩු කර ඇති බවයි. තවත් මෙහෙයුම් කිහිපයක් සිදු කිරීමට සහ පළමු පේළියේ සිට නොදන්නා අයගේ සංගුණක ඉවත් කිරීමට ඉතිරිව ඇත.
- පේළියක දෙවන අංගයෙන් 0 සෑදීමට, ඔබ තුන්වන පේළිය -3 න් ගුණ කර එය පළමු පේළියට එකතු කළ යුතුය.
- ඊළඟ තීරණාත්මක පියවර වනුයේ පළමු පේළියට දෙවන පේළියේ අවශ්ය අංග එකතු කිරීමයි. මේ ආකාරයෙන් අපි අනුකෘතියේ කැනොනිකල් ස්වරූපය ලබා ගනිමු, ඒ අනුව, පිළිතුර.
ඔබට පෙනෙන පරිදි, Gauss ක්රමය භාවිතයෙන් සමීකරණ විසඳීම තරමක් සරල ය.
4x4 සමීකරණ පද්ධතියක් විසඳීමේ උදාහරණයක්
පරිගණක වැඩසටහන් භාවිතයෙන් Gaussian ක්රමය භාවිතයෙන් වඩාත් සංකීර්ණ සමීකරණ පද්ධති කිහිපයක් විසඳා ගත හැක. පවතින හිස් සෛල තුළට නොදන්නා අය සඳහා සංගුණක ඇතුළත් කිරීම අවශ්ය වන අතර, වැඩසටහන විසින්ම පියවරෙන් පියවර අවශ්ය ප්‍රති result ලය ගණනය කරනු ඇත, එක් එක් ක්‍රියාව විස්තරාත්මකව විස්තර කරයි.
එවැනි උදාහරණයක් විසඳීම සඳහා පියවරෙන් පියවර උපදෙස් පහත විස්තර කෙරේ.
පළමු පියවරේදී, නොදන්නා අය සඳහා නිදහස් සංගුණක සහ අංක හිස් සෛල තුළට ඇතුල් කරනු ලැබේ. මේ අනුව, අපි අතින් ලියන එකම දිගු න්යාසය අපට ලැබේ.
විස්තීරණ අනුකෘතිය එහි කැනොනිකල් ස්වරූපයට ගෙන ඒම සඳහා අවශ්ය සියලුම ගණිතමය මෙහෙයුම් සිදු කරනු ලැබේ. සමීකරණ පද්ධතියකට පිළිතුර සෑම විටම පූර්ණ සංඛ්යා නොවන බව තේරුම් ගත යුතුය. සමහර විට විසඳුම භාගික සංඛ්යා වලින් විය හැක.
විසඳුමේ නිවැරදි බව පරීක්ෂා කිරීම
Jordan-Gauss ක්රමය ප්රතිඵලයේ නිවැරදි බව පරීක්ෂා කිරීම සඳහා සපයයි. සංගුණක නිවැරදිව ගණනය කර ඇත්දැයි සොයා බැලීම සඳහා, ඔබ ප්‍රති result ලය මුල් සමීකරණ පද්ධතියට ආදේශ කළ යුතුය. සමීකරණයේ වම් පැත්ත සමාන ලකුණ පිටුපස දකුණු පැත්තට ගැලපේ. පිළිතුරු නොගැලපේ නම්, ඔබ පද්ධතිය නැවත ගණනය කිරීම හෝ ආදේශ කිරීම හෝ වාරයෙන් වාරය අඩු කිරීම සහ එකතු කිරීම වැනි ඔබ දන්නා SLAE විසඳීමේ වෙනත් ක්රමයක් යෙදීමට උත්සාහ කළ යුතුය. සියල්ලට පසු, ගණිතය යනු විවිධ විසඳුම් ක්රම විශාල සංඛ්‍යාවක් ඇති විද්‍යාවකි. නමුත් මතක තබා ගන්න: ඔබ භාවිතා කළ විසඳුම කුමක් වුවත් ප්රතිඵලය සෑම විටම සමාන විය යුතුය.
Gauss ක්රමය: SLAEs විසඳන විට බහුලවම සිදුවන දෝෂ
සමීකරණ රේඛීය පද්ධති විසඳන විට, බොහෝ විට දෝෂ සිදු වන්නේ සංගුණක වැරදි ලෙස න්‍යාසයට මාරු කිරීම වැනි ය. එක් සමීකරණයකින් සමහර නොදන්නා අය අතුරුදහන් වූ පද්ධති තිබේ; එවිට, දිගු කළ න්‍යාසයකට දත්ත මාරු කිරීමේදී, ඒවා නැති විය හැක. ප්රතිඵලයක් වශයෙන්, මෙම පද්ධතිය විසඳන විට, ප්රතිඵලය සැබෑ එකට අනුරූප නොවිය හැක.
අවසාන ප්රතිඵලය වැරදි ලෙස ලිවීම තවත් ප්රධාන වරදක් විය හැක. පළමු සංගුණකය පද්ධතියෙන් පළමු නොදන්නා දෙයට අනුරූප වන බව පැහැදිලිව තේරුම් ගත යුතුය, දෙවැන්න - දෙවැන්නට යනාදිය.
Gauss ක්රමය රේඛීය සමීකරණවල විසඳුම විස්තරාත්මකව විස්තර කරයි. එයට ස්තූතියි, අවශ්ය මෙහෙයුම් සිදු කිරීම සහ නිවැරදි ප්රතිඵලය සොයා ගැනීම පහසුය. මීට අමතරව, මෙය ඕනෑම සංකීර්ණතාවයක සමීකරණ සඳහා විශ්වසනීය පිළිතුරක් සොයා ගැනීම සඳහා විශ්වීය මෙවලමකි. SLAEs විසඳීමේදී එය බොහෝ විට භාවිතා වන්නේ ඒ නිසා විය හැකිය.
Gauss ක්රමයරේඛීය වීජීය සමීකරණ (SLAEs) පද්ධති විසඳීම සඳහා පරිපූර්ණයි. වෙනත් ක්රම හා සසඳන විට එය වාසි ගණනාවක් ඇත:
- පළමුව, අනුකූලතාව සඳහා සමීකරණ පද්ධතිය පළමුව පරීක්ෂා කිරීම අවශ්ය නොවේ;
- දෙවනුව, Gauss ක්රමයට SLAEs සංඛ්‍යාව නොදන්නා විචල්‍ය ගණන සමඟ සමපාත වන අතර පද්ධතියේ ප්රධාන න්යාසය ඒකීය නොවන නමුත් සමීකරණ ගණන නොගැලපෙන සමීකරණ පද්ධති ද විසඳිය හැකිය. නොදන්නා විචල්‍ය ගණන හෝ ප්රධාන න්‍යාසයේ නිර්ණායකය ශුන්යයට සමාන වේ;
- තෙවනුව, Gaussian ක්රමය සාපේක්ෂව කුඩා පරිගණක මෙහෙයුම් සංඛ්‍යාවක් සමඟින් ප්රතිඵල ඇති කරයි.
ලිපියේ කෙටි දළ විශ්ලේෂණය.
පළමුව, අපි අවශ්ය නිර්වචන ලබා දී අංකනය හඳුන්වා දෙන්නෙමු.
ඊළඟට, අපි සරලම අවස්ථාව සඳහා Gauss ක්රමයේ ඇල්ගොරිතම විස්තර කරමු, එනම්, රේඛීය වීජීය සමීකරණ පද්ධති සඳහා, නොදන්නා විචල්‍ය ගණන හා සමපාත වන සමීකරණ ගණන සහ පද්ධතියේ ප්රධාන න්‍යාසයේ නිර්ණායකය වේ. බිංදුවට සමාන නොවේ. එවැනි සමීකරණ පද්ධති විසඳන විට, Gauss ක්රමයේ සාරය වඩාත් පැහැදිලිව පෙනෙන අතර, එය නොදන්නා විචල්යයන් අනුක්රමයෙන් ඉවත් කිරීම වේ. එබැවින්, Gaussian ක්රමය නොදන්නා දේ අනුක්‍රමික ඉවත් කිරීමේ ක්රමය ලෙසද හැඳින්වේ. අපි උදාහරණ කිහිපයක සවිස්තරාත්මක විසඳුම් පෙන්වන්නෙමු.
අවසාන වශයෙන්, අපි රේඛීය වීජීය සමීකරණ පද්ධතිවල Gauss ක්රමය මගින් විසඳුම සලකා බලමු, එහි ප්රධාන අනුකෘතිය සෘජුකෝණාස්රාකාර හෝ ඒකීය වේ. එවැනි පද්ධති සඳහා විසඳුම සමහර විශේෂාංග ඇත, අපි උදාහරණ භාවිතා කරමින් විස්තරාත්මකව විමසා බලමු.
පිටු සංචලනය.
මූලික අර්ථ දැක්වීම් සහ අංකනය.
n නොදන්නා n සමග p රේඛීය සමීකරණ පද්ධතියක් සලකා බලන්න (p n ට සමාන විය හැක):
නොදන්නා විචල්යයන් කොහිද, සංඛ්යා (සැබෑ හෝ සංකීර්ණ) සහ නිදහස් පද වේ.
නම් 
, එවිට රේඛීය වීජීය සමීකරණ පද්ධතිය ලෙස හැඳින්වේ සමජාතීය, එසේ නොමැතිනම් - විෂමජාතීය.
පද්ධතියේ සියලුම සමීකරණ අනන්‍යතා බවට පත්වන නොදන්නා විචල්‍යවල අගයන් සමූහය ලෙස හැඳින්වේ. SLAU හි තීරණය.
රේඛීය වීජීය සමීකරණ පද්ධතියකට අවම වශයෙන් එක් විසඳුමක් තිබේ නම්, එය හැඳින්වේ ඒකාබද්ධ, එසේ නොමැතිනම් - ඒකාබද්ධ නොවන.
SLAE හි අද්විතීය විසඳුමක් තිබේ නම්, එය හැඳින්වේ සමහර. විසඳුම් එකකට වඩා තිබේ නම්, පද්ධතිය ලෙස හැඳින්වේ අවිනිශ්චිත.
ඔවුන් පවසන්නේ පද්ධතිය ලියා ඇති බවයි ඛණ්ඩාංක ආකෘතිය, එය පෝරමය තිබේ නම්
.
මෙම පද්ධතිය තුළ matrix ආකෘතියවාර්තා වල පෝරමය ඇත, එහිදී 
- SLAE හි ප්රධාන න්යාසය, - නොදන්නා විචල්‍යවල තීරුවේ න්යාසය, - නිදහස් පදවල න්යාසය.
අපි (n+1) වැනි තීරුව ලෙස න්‍යාස A වෙත නිදහස් පදවල න්‍යාස-තීරුවක් එකතු කළහොත්, අපට ලැබෙන්නේ ඊනියා විස්තීරණ matrixරේඛීය සමීකරණ පද්ධති. සාමාන්යයෙන්, විස්තීරණ න්යාසයක් T අකුරෙන් දක්වනු ලබන අතර, නිදහස් පදවල තීරුව ඉතිරි තීරු වලින් සිරස් රේඛාවකින් වෙන් කරනු ලැබේ, එනම්, 
වර්ග අනුකෘතිය A ලෙස හැඳින්වේ පිරිහෙනවා, එහි නිර්ණායකය ශුන්ය නම්. නම්, matrix A ලෙස හැඳින්වේ නොපිරිහුණු.
පහත කරුණ සටහන් කළ යුතුය.
ඔබ රේඛීය වීජීය සමීකරණ පද්ධතියක් සමඟ පහත ක්රියා සිදු කරන්නේ නම්
- සමීකරණ දෙකක් මාරු කරන්න,
- ඕනෑම සමීකරණයක දෙපැත්තම අත්තනෝමතික සහ ශුන්ය නොවන තාත්වික (හෝ සංකීර්ණ) අංකයකින් ගුණ කරන්න,
- ඕනෑම සමීකරණයක දෙපැත්තටම වෙනත් සමීකරණයක අනුරූප කොටස් එකතු කරන්න, අත්තනෝමතික අංකයකින් ගුණ කරන්න,
එවිට ඔබට සමාන විසඳුම් ඇති (හෝ, මුල් එකට මෙන්, විසඳුම් නොමැත) සමාන පද්ධතියක් ලැබේ.
රේඛීය වීජීය සමීකරණ පද්ධතියක විස්තීරණ න්යාසයක් සඳහා, මෙම ක්‍රියාවලින් අදහස් වන්නේ පේළි සමඟ මූලික පරිවර්තනයන් සිදු කිරීමයි:
- පේළි දෙකක් මාරු කිරීම,
- න්‍යාස T හි ඕනෑම පේළියක සියලුම මූලද්රව්ය ශුන්ය නොවන අංකයකින් ගුණ කිරීම,
- න්යාසයක ඕනෑම පේළියක මූලද්රව්යවලට වෙනත් පේළියක අනුරූප මූලද්රව්ය එකතු කිරීම, අත්තනෝමතික අංකයකින් ගුණ කිරීම k.
දැන් අපි Gauss ක්රමයේ විස්තරය වෙත යා හැකිය.
ගවුස් ක්රමය භාවිතයෙන් සමීකරණ ගණන නොදන්නා සංඛ්‍යාවට සමාන වන අතර පද්ධතියේ ප්රධාන න්යාසය ඒකීය නොවන රේඛීය වීජීය සමීකරණ පද්ධති විසඳීම.
සමීකරණ පද්ධතියකට විසඳුමක් සෙවීමේ කාර්යය අපට පැවරුවහොත් අපි පාසලේදී කරන්නේ කුමක්ද? 
.
සමහරු එහෙම කරයි.
පළමු එකේ වම් පැත්ත දෙවන සමීකරණයේ වම් පැත්තටත්, දකුණු පැත්ත දකුණු පැත්තටත් එකතු කිරීමෙන් ඔබට x 2 සහ x 3 යන නොදන්නා විචල්යයන් ඉවත් කර වහාම x 1 සොයා ගත හැකි බව සලකන්න. 
අපි සොයාගත් අගය x 1 =1 පද්ධතියේ පළමු සහ තුන්වන සමීකරණවලට ආදේශ කරමු: 
අපි පද්ධතියේ තුන්වන සමීකරණයේ දෙපැත්තම -1 න් ගුණ කර පළමු සමීකරණයේ අනුරූප කොටස් වලට එකතු කළහොත්, අපි නොදන්නා විචල්‍ය x 3 ඉවත් කර x 2 සොයාගත හැකිය: 
අපි x 2 = 2 යන අගය තුන්වන සමීකරණයට ආදේශ කර ඉතිරි නොදන්නා විචල්යය x 3 සොයා ගනිමු: 
අනිත් අය මීට වඩා වෙනස් විදියට කරන්න තිබුණා.
අපි නොදන්නා විචල්‍ය x 1 සම්බන්ධයෙන් පද්ධතියේ පළමු සමීකරණය නිරාකරණය කර, මෙම විචල්යය ඒවායින් බැහැර කිරීම සඳහා ප්රතිඵලයක් ලෙස ලැබෙන ප්රකාශනය පද්ධතියේ දෙවන සහ තුන්වන සමීකරණවලට ආදේශ කරමු: 
දැන් අපි x 2 සඳහා පද්ධතියේ දෙවන සමීකරණය විසඳා එහි නොදන්නා විචල්යය x 2 ඉවත් කිරීම සඳහා ලබාගත් ප්රතිඵලය තුන්වන සමීකරණයට ආදේශ කරමු: 
පද්ධතියේ තුන්වන සමීකරණයෙන් x 3 =3 බව පැහැදිලිය. දෙවන සමීකරණයෙන් අපි සොයා ගනිමු 
, සහ පළමු සමීකරණයෙන් අපට ලැබේ.
හුරුපුරුදු විසඳුම් නේද?
මෙහි ඇති වඩාත්ම සිත්ගන්නා කරුණ නම් දෙවන විසඳුම් ක්රමය අවශ්‍යයෙන්ම නොදන්නා දේ අනුක්‍රමිකව ඉවත් කිරීමේ ක්රමයයි, එනම් ගවුසියන් ක්රමයයි. අපි නොදන්නා විචල්යයන් ප්‍රකාශ කළ විට (පළමු x 1, ඊළඟ අදියරේදී x 2) සහ ඒවා පද්ධතියේ ඉතිරි සමීකරණවලට ආදේශ කළ විට, එමඟින් අපි ඒවා බැහැර කළෙමු. අවසාන සමීකරණයේ එක් නොදන්නා විචල්‍යයක් පමණක් ඉතිරි වන තෙක් අපි ඉවත් කිරීම සිදු කළෙමු. නොදන්නා දේ අනුක්‍රමිකව ඉවත් කිරීමේ ක්රියාවලිය ලෙස හැඳින්වේ සෘජු Gaussian ක්රමය. ඉදිරි ගමන සම්පූර්ණ කිරීමෙන් පසු, අවසාන සමීකරණයේ සොයාගත් නොදන්නා විචල්යය ගණනය කිරීමට අපට අවස්ථාව තිබේ. එහි ආධාරයෙන්, අපි අවසාන සමීකරණයෙන් ඊළඟ නොදන්නා විචල්යය සොයා ගනිමු, යනාදිය. අවසාන සමීකරණයේ සිට පළමු සමීකරණයට ගමන් කරන විට නොදන්නා විචල්යයන් අනුක්‍රමිකව සොයා ගැනීමේ ක්රියාවලිය ලෙස හැඳින්වේ. Gaussian ක්රමයේ ප්රතිලෝම.
අපි පළමු සමීකරණයේ x 2 සහ x 3 අනුව x 1 ප්‍රකාශ කර, පසුව ලැබෙන ප්රකාශනය දෙවන සහ තුන්වන සමීකරණවලට ආදේශ කරන විට, පහත ක්රියාවන් එකම ප්‍රතිඵලයකට තුඩු දෙන බව සැලකිල්ලට ගත යුතුය:
ඇත්ත වශයෙන්ම, එවැනි ක්රියා පටිපාටියක් මඟින් පද්ධතියේ දෙවන සහ තෙවන සමීකරණ වලින් නොදන්නා විචල්යය x 1 ඉවත් කිරීමට ද හැකි වේ: 
පද්ධතියේ සමීකරණවල සමහර විචල්යයන් අඩංගු නොවන විට Gaussian ක්රමය භාවිතා කරමින් නොදන්නා විචල්යයන් ඉවත් කිරීමේ සූක්ෂ්මතාවයන් පැන නගී.
උදාහරණයක් ලෙස, SLAU හි 
පළමු සමීකරණයේ x 1 නොදන්නා විචල්‍යයක් නොමැත (වෙනත් වචන වලින් කිවහොත්, එය ඉදිරියෙන් ඇති සංගුණකය ශුන්ය වේ). එබැවින්, ඉතිරි සමීකරණවලින් මෙම නොදන්නා විචල්යය ඉවත් කිරීම සඳහා අපට x 1 සඳහා පද්ධතියේ පළමු සමීකරණය විසඳිය නොහැක. මෙම තත්වයෙන් මිදීමේ මාර්ගය වන්නේ පද්ධතියේ සමීකරණ හුවමාරු කිරීමයි. ප්රධාන න්‍යාසවල නිර්ණායක ශුන්යයට වඩා වෙනස් වන රේඛීය සමීකරණ පද්ධති අප සලකා බලන බැවින්, අපට අවශ්ය විචල්යය පවතින සමීකරණයක් සෑම විටම පවතින අතර, අපට මෙම සමීකරණය අපට අවශ්ය ස්ථානයට නැවත සකස් කළ හැකිය. අපගේ උදාහරණය සඳහා, පද්ධතියේ පළමු සහ දෙවන සමීකරණ හුවමාරු කිරීම ප්රමාණවත්ය 
, එවිට ඔබට x 1 සඳහා පළමු සමීකරණය නිරාකරණය කර පද්ධතියේ ඉතිරි සමීකරණවලින් එය බැහැර කළ හැකිය (දෙවන සමීකරණයේ x 1 තවදුරටත් නොපවතින නමුත්).
ඔබට සාරාංශය ලැබෙනු ඇතැයි අපි බලාපොරොත්තු වෙමු.
අපි විස්තර කරමු Gaussian ක්රම ඇල්ගොරිතම.
ආකෘතියේ n නොදන්නා විචල්යයන් සමඟ n රේඛීය වීජීය සමීකරණ පද්ධතියක් විසඳීමට අපට අවශ්ය යැයි සිතමු. 
, සහ එහි ප්රධාන න්‍යාසයේ නිර්ණායකය ශුන්යයට වඩා වෙනස් වීමට ඉඩ හරින්න.
පද්ධතියේ සමීකරණ නැවත සකස් කිරීමෙන් අපට මෙය සැමවිටම සාක්ෂාත් කරගත හැකි බැවින් අපි එය උපකල්පනය කරමු. නොදන්න විචල්යය x 1 පද්ධතියේ සියලුම සමීකරණ වලින් ඉවත් කරමු, දෙවැන්නෙන් පටන් ගන්න. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, පද්ධතියේ දෙවන සමීකරණයට අපි පළමු, ගුණ කිරීම, තුන්වන සමීකරණයට අපි පළමු, ගුණ කිරීම, සහ යනාදිය, n වන සමීකරණයට අපි පළමු, ගුණ කිරීම එකතු කරමු. එවැනි පරිවර්තනයකින් පසු සමීකරණ පද්ධතිය ස්වරූපය ගනී 
කොහෙද සහ 
.
පද්ධතියේ පළමු සමීකරණයේ වෙනත් නොදන්නා විචල්යයන් අනුව x 1 ප්‍රකාශ කර එහි ප්රතිඵල ප්රකාශනය අනෙකුත් සියලුම සමීකරණවලට ආදේශ කළේ නම් අපි එම ප්‍රතිඵලයටම පැමිණෙන්නෙමු. මේ අනුව, x 1 විචල්යය දෙවන සිට ආරම්භ වන සියලුම සමීකරණ වලින් බැහැර කරනු ලැබේ.
ඊළඟට, අපි සමාන ආකාරයකින් ඉදිරියට යනවා, නමුත් රූපයේ සලකුණු කර ඇති ප්රතිඵල පද්ධතියේ කොටසක් සමඟ පමණි 
මෙය සිදු කිරීම සඳහා, පද්ධතියේ තුන්වන සමීකරණයට අපි දෙවැන්න එකතු කරමු, ගුණ කළ විට, හතරවන සමීකරණයට අපි දෙවැන්න එකතු කරමු, ගුණ කළ විට , සහ එසේ ය, n වන සමීකරණයට අපි දෙවැන්න එකතු කරමු, ගුණනය කරමු. එවැනි පරිවර්තනයකින් පසු සමීකරණ පද්ධතිය ස්වරූපය ගනී 
කොහෙද සහ 
. මේ අනුව, x 2 විචල්යය තුන්වන සිට ආරම්භ වන සියලුම සමීකරණ වලින් බැහැර කරනු ලැබේ.
ඊළඟට, අපි නොදන්නා x 3 ඉවත් කිරීමට ඉදිරියට යමු, අපි රූපයේ සලකුණු කර ඇති පද්ධතියේ කොටස සමඟ සමානව ක්රියා කරමු. 
එබැවින් පද්ධතිය ස්වරූපය ගන්නා තෙක් අපි ගවුසියන් ක්රමයේ සෘජු ප්රගතිය දිගටම කරගෙන යන්නෙමු 
මේ මොහොතේ සිට අපි Gaussian ක්රමයේ ප්රතිලෝම ආරම්භය ආරම්භ කරමු: අපි අවසාන සමීකරණයෙන් x n ගණනය කරන්නෙමු, x n හි ලබාගත් අගය භාවිතා කරමින් අපි අවසාන සමීකරණයෙන් x n-1 සොයා ගනිමු, සහ යනාදිය, අපි පළමු සමීකරණයෙන් x 1 සොයා ගනිමු. .
අපි උදාහරණයක් භාවිතා කරමින් ඇල්ගොරිතම බලමු.
උදාහරණයක්.
Gauss ක්රමය.
විසඳුමක්.
සංගුණකය a 11 ශුන්ය නොවේ, එබැවින් අපි Gaussian ක්රමයේ සෘජු ප්රගතිය වෙත යමු, එනම්, නොදන්නා විචල්යය x 1 පළමු හැර පද්ධතියේ සියලුම සමීකරණ වලින් බැහැර කිරීම. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, දෙවන, තුන්වන සහ සිව්වන සමීකරණවල වම් සහ දකුණු පැතිවලට, පළමු සමීකරණයේ වම් සහ දකුණු පැති එකතු කරන්න, පිළිවෙලින් ගුණ කරන්න. 
සහ : 
නොදන්නා විචල්යය x 1 ඉවත් කර ඇත, අපි x 2 ඉවත් කිරීමට යමු. පද්ධතියේ තුන්වන සහ හතරවන සමීකරණවල වම් සහ දකුණු පැතිවලට අපි පිළිවෙලින් ගුණ කළ දෙවන සමීකරණයේ වම් සහ දකුණු පැති එකතු කරමු. 
සහ 
:
Gaussian ක්රමයේ ඉදිරි ප්රගතිය සම්පූර්ණ කිරීම සඳහා, අපි පද්ධතියේ අවසාන සමීකරණයෙන් නොදන්නා විචල්යය x 3 ඉවත් කළ යුතුය. අපි පිළිවෙලින් හතරවන සමීකරණයේ වම් සහ දකුණු පැතිවලට එකතු කරමු, තුන්වන සමීකරණයේ වම් සහ දකුණු පැති, ගුණ කිරීම 
:
ඔබට Gaussian ක්රමයේ ප්රතිලෝම ආරම්භ කළ හැකිය.
අපට ඇති අවසාන සමීකරණයෙන් 
,
අපට ලැබෙන තුන්වන සමීකරණයෙන්,
දෙවන සිට,
පළමු එකෙන්.
පරීක්ෂා කිරීම සඳහා, ඔබට නොදන්නා විචල්‍යවල ලබාගත් අගයන් මුල් සමීකරණ පද්ධතියට ආදේශ කළ හැකිය. සියලුම සමීකරණ අනන්‍යතා බවට පත්වන අතර එයින් පෙන්නුම් කරන්නේ Gauss ක්රමය භාවිතා කරන විසඳුම නිවැරදිව සොයාගත් බවයි.
පිළිතුර:
දැන් අපි matrix notation හි Gaussian ක්රමය භාවිතා කර එම උදාහරණයටම විසඳුමක් දෙමු.
උදාහරණයක්.
සමීකරණ පද්ධතියට විසඳුම සොයන්න Gauss ක්රමය.
විසඳුමක්.
පද්ධතියේ විස්තීරණ අනුකෘතියට ආකෘතිය ඇත 
. එක් එක් තීරුවේ මුදුනේ ඇත්තේ න්‍යාසයේ මූලද්රව්යවලට අනුරූප වන නොදන්නා විචල්‍යයන්ය.
මෙහි Gaussian ක්රමයේ සෘජු ප්රවේශය මූලික පරිවර්තන භාවිතයෙන් පද්ධතියේ විස්තීරණ අනුකෘතිය trapezoidal ආකාරයකට අඩු කිරීම ඇතුළත් වේ. මෙම ක්රියාවලිය අප පද්ධතිය සමඟ සම්බන්ධීකරණ ආකාරයෙන් කළ නොදන්නා විචල්යයන් ඉවත් කිරීම හා සමාන වේ. දැන් ඔබට මෙය පෙනෙනු ඇත.
දෙවන තීරුවේ සිට පළමු තීරුවේ ඇති සියලුම මූලද්රව්ය ශුන්ය වන පරිදි අනුකෘතිය පරිවර්තනය කරමු. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, දෙවන, තෙවන සහ සිව්වන පේළිවල මූලද්රව්යවලට අපි පළමු පේළියේ අනුරූප මූලද්රව්ය එකතු කරන්නෙමු , සහ ඒ අනුව: 
ඊළඟට, අපි ප්රතිඵලය වන න්යාසය පරිවර්තනය කරන්නෙමු, එවිට දෙවන තීරුවේ, තුන්වන සිට ආරම්භ වන සියලුම මූලද්රව්ය ශුන්ය වේ. මෙය නොදන්නා විචල්යය x 2 ඉවත් කිරීමට අනුරූප වේ. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, තුන්වන සහ සිව්වන පේළිවල මූලද්රව්යවලට අපි අනුකෘතියේ පළමු පේළියේ අනුරූප මූලද්රව්ය එකතු කරමු, පිළිවෙලින් ගුණ කරන්න සහ :
පද්ධතියේ අවසාන සමීකරණයෙන් නොදන්නා විචල්යය x 3 බැහැර කිරීමට ඉතිරිව ඇත. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, ලැබෙන න්‍යාසයේ අවසාන පේළියේ මූලද්රව්යවලට අපි අවසාන පේළියේ අනුරූප මූලද්රව්ය එකතු කරමු, ගුණ කිරීම :
මෙම අනුකෘතිය රේඛීය සමීකරණ පද්ධතියකට අනුරූප වන බව සැලකිල්ලට ගත යුතුය 
ඉදිරි ගමනකින් පසු කලින් ලබාගත්.
ආපසු හැරවීමට කාලයයි. න්‍යාස අංකනයේදී, Gaussian ක්රමයේ ප්‍රතිලෝමයට ප්රතිඵලයක් ලෙස ලැබෙන න්යාසය රූපයේ සලකුණු කර ඇති පරිදි පරිවර්තනය කිරීම ඇතුළත් වේ. 
විකර්ණ බවට පත් විය, එනම් ස්වරූපය ගත්තේය 
සමහර අංක කොහෙද.
මෙම පරිවර්තනයන් Gaussian ක්රමයේ ඉදිරි පරිවර්තන වලට සමාන වේ, නමුත් සිදු කරනු ලබන්නේ පළමු පේළියේ සිට අන්තිම දක්වා නොව, අවසාන සිට පළමු දක්වා ය.
තුන්වන, දෙවන සහ පළමු පේළිවල මූලද්රව්යවලට අවසාන පේළියේ අනුරූප මූලද්රව්ය එකතු කරන්න, ගුණ කරන්න 
, සහ මත 
පිළිවෙලින්: 
දැන් දෙවන සහ පළමු පේළිවල මූලද්රව්යවලට තුන්වන පේළියේ අනුරූප මූලද්රව්ය පිළිවෙලින් ගුණ කිරීම සහ ගුණ කිරීම එක් කරන්න: 
ප්රතිලෝම Gaussian ක්රමයේ අවසාන පියවරේදී, පළමු පේළියේ මූලද්රව්යවලට අපි දෙවන පේළියේ අනුරූප මූලද්රව්ය එකතු කරන්නෙමු, ගුණ කිරීම: 
ප්රතිඵලය වන න්යාසය සමීකරණ පද්ධතියට අනුරූප වේ 
, අපි නොදන්නා විචල්යයන් සොයා ගන්නේ කොහෙන්ද.
පිළිතුර:
සටහන.
රේඛීය වීජීය සමීකරණ පද්ධති විසඳීම සඳහා Gauss ක්රමය භාවිතා කරන විට, මෙය සම්පූර්ණයෙන්ම වැරදි ප්රතිඵලවලට තුඩු දිය හැකි බැවින්, ආසන්න ගණනය කිරීම් වැළැක්විය යුතුය. අපි නිර්දේශ කරන්නේ දශමයන් වට නොකරන ලෙසයි. දශම භාගයේ සිට සාමාන්ය භාග දක්වා ගමන් කිරීම වඩා හොඳය.
උදාහරණයක්.
Gauss ක්රමය භාවිතයෙන් සමීකරණ තුනක පද්ධතියක් විසඳන්න 
.
විසඳුමක්.
මෙම උදාහරණයේ නොදන්නා විචල්‍යයන්ට වෙනස් තනතුරක් ඇති බව සලකන්න (x 1, x 2, x 3 නොව x, y, z). අපි සාමාන්ය භාග වෙත යමු: 
පද්ධතියේ දෙවන සහ තෙවන සමීකරණ වලින් අපි නොදන්නා x බැහැර කරමු: 
ප්රතිඵලයක් ලෙස ක්රියාත්මක වන පද්ධතියේ, නොදන්නා විචල්‍ය y දෙවන සමීකරණයේ නොමැත, නමුත් y තුන්වන සමීකරණයේ ඇත, එබැවින් අපි දෙවන සහ තෙවන සමීකරණ හුවමාරු කර ගනිමු: 
මෙය Gauss ක්රමයේ සෘජු ප්රගතිය සම්පූර්ණ කරයි (මෙම නොදන්නා විචල්යය තවදුරටත් නොපවතින බැවින්, තුන්වන සමීකරණයෙන් y බැහැර කිරීමට අවශ්ය නොවේ).
අපි ප්රතිලෝම චලනය ආරම්භ කරමු.
අවසාන සමීකරණයෙන් අපි සොයා ගනිමු 
,
අවසාන භාගයේ සිට 
අපට ඇති පළමු සමීකරණයෙන් 
පිළිතුර:
X = 10, y = 5, z = -20.
ගවුස් ක්රමය භාවිතා කරමින් සමීකරණ සංඛ්‍යාව නොදන්නා සංඛ්‍යාව හෝ පද්ධතියේ ප්රධාන න්යාසය සමග සමපාත නොවන රේඛීය වීජීය සමීකරණ පද්ධති විසඳීම.
සමීකරණ පද්ධති, එහි ප්රධාන න්යාසය සෘජුකෝණාස්රාකාර හෝ හතරැස් ඒකීය, විසඳුම් නොමැති විය හැකිය, තනි විසඳුමක් තිබිය හැකිය, හෝ අනන්‍ය විසඳුම් සංඛ්‍යාවක් තිබිය හැක.
රේඛීය සමීකරණ පද්ධතියක ගැළපුම හෝ නොගැලපීම තහවුරු කිරීමට Gauss ක්රමය අපට ඉඩ දෙන්නේ කෙසේදැයි දැන් අපි තේරුම් ගනිමු, සහ එහි ගැළපුම සම්බන්ධයෙන්, සියලු විසඳුම් (හෝ එක් විසඳුමක්) තීරණය කරන්න.
ප්‍රතිපත්තිමය වශයෙන්, එවැනි SLAEs සම්බන්ධයෙන් නොදන්නා විචල්යයන් ඉවත් කිරීමේ ක්රියාවලිය එලෙසම පවතී. කෙසේ වෙතත්, ඇතිවිය හැකි සමහර තත්වයන් ගැන විස්තරාත්මකව බැලීම වටී.
අපි වඩාත් වැදගත් අදියර වෙත යමු.
ඉතින්, අපි උපකල්පනය කරමු රේඛීය වීජීය සමීකරණ පද්ධතිය, Gauss ක්රමයේ ඉදිරි ප්රගතිය සම්පූර්ණ කිරීමෙන් පසුව, ස්වරූපය ගනී. 
සහ එක සමීකරණයක්වත් අඩු කර නැත (මෙම අවස්ථාවේදී අපි පද්ධතිය නොගැලපෙන බව නිගමනය කරමු). තර්කානුකූල ප්රශ්නයක් පැන නගී: "ඊළඟට කුමක් කළ යුතුද"?
ප්රතිඵලයක් ලෙස ලැබෙන පද්ධතියේ සියලුම සමීකරණවල මුලින්ම එන නොදන්නා විචල්යයන් අපි ලියන්නෙමු: 
අපගේ උදාහරණයේ මේවා x 1, x 4 සහ x 5 වේ. පද්ධතියේ සමීකරණවල වම් පැත්තේ අපි ලිඛිත නොදන්නා විචල්‍ය x 1, x 4 සහ x 5 අඩංගු නියමයන් පමණක් තබමු, ඉතිරි නියමයන් ප්‍රතිවිරුද්ධ ලකුණ සමඟ සමීකරණවල දකුණු පැත්තට මාරු කරනු ලැබේ: 
සමීකරණවල දකුණු පස ඇති නොදන්නා විචල්යයන් අත්තනෝමතික අගයන් දෙමු, එහිදී 
- අත්තනෝමතික අංක: 
මෙයින් පසු, අපගේ SLAE හි සියලුම සමීකරණවල දකුණු පසෙහි සංඛ්යා අඩංගු වන අතර අපට Gaussian ක්රමයේ ප්‍රතිලෝමයට යා හැක.
අප සතුව ඇති පද්ධතියේ අවසාන සමීකරණයෙන්, අපි සොයා ගන්නා අවසාන සමීකරණයෙන්, අපට ලැබෙන පළමු සමීකරණයෙන් 
සමීකරණ පද්ධතියකට විසඳුම නොදන්නා විචල්‍යවල අගයන් සමූහයකි 
අංක ලබා දීම විවිධ අගයන්, අපි සමීකරණ පද්ධතියට විවිධ විසඳුම් ලබා ගනිමු. එනම්, අපගේ සමීකරණ පද්ධතියට අසීමිත විසඳුම් ඇත.
පිළිතුර:
කොහෙද - අත්තනෝමතික සංඛ්යා.
ද්රව්යය තහවුරු කිරීම සඳහා, අපි තවත් උදාහරණ කිහිපයක විසඳුම් විස්තරාත්මකව විශ්ලේෂණය කරන්නෙමු.
උදාහරණයක්.
රේඛීය වීජීය සමීකරණවල සමජාතීය පද්ධතියක් විසඳන්න 
Gauss ක්රමය.
විසඳුමක්.
අපි නොදන්නා විචල්යය x පද්ධතියේ දෙවන සහ තුන්වන සමීකරණ වලින් බැහැර කරමු. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, දෙවන සමීකරණයේ වම් සහ දකුණු පැත්තට, අපි පිළිවෙලින්, පළමු සමීකරණයේ වම් සහ දකුණු පැති එකතු කරන්නෙමු, ගුණ කිරීමෙන්, සහ තුන්වන සමීකරණයේ වම් සහ දකුණු පැතිවලට, අපි වම් සහ පළමු සමීකරණයේ දකුණු පැති, ගුණ කිරීම: 
දැන් ලැබෙන සමීකරණ පද්ධතියේ තුන්වන සමීකරණයෙන් y බැහැර කරමු: 
ප්රතිඵලය වන SLAE පද්ධතියට සමාන වේ 
.
අපි පද්ධති සමීකරණවල වම් පැත්තේ නොදන්නා විචල්‍ය x සහ y අඩංගු නියමයන් පමණක් තබමු, සහ නොදන්නා විචල්‍ය z සමඟ නියමයන් දකුණු පැත්තට ගෙනයමු: 