සිලින්ඩරයක් යනු සමාන්තර තල දෙකකින් සහ සිලින්ඩරාකාර මතුපිටකින් සීමා වූ ජ්‍යාමිතික ශරීරයකි. ලිපියෙන් අපි සිලින්ඩරයක ප්රදේශය සොයා ගන්නේ කෙසේද යන්න ගැන කතා කරන අතර, සූත්රය භාවිතා කරමින්, අපි උදාහරණයක් ලෙස ගැටළු කිහිපයක් විසඳන්නෙමු.

සිලින්ඩරයක මතුපිට තුනක් ඇත: ඉහළ, පාදම සහ පැති මතුපිට.

සිලින්ඩරයක ඉහළ සහ පාදම රවුම් වන අතර ඒවා හඳුනා ගැනීමට පහසුය.

රවුමක වර්ගඵලය πr 2 ට සමාන බව දන්නා කරුණකි. එබැවින්, රවුම් දෙකක ප්රදේශය සඳහා (සිලින්ඩරයේ ඉහළ සහ පාදය) සූත්රය πr 2 + πr 2 = 2πr 2 වේ.

සිලින්ඩරයේ තුන්වන, පැත්තේ මතුපිට, සිලින්ඩරයේ වක්ර බිත්තිය වේ. මෙම මතුපිට වඩා හොඳින් පරිකල්පනය කිරීම සඳහා, හඳුනාගත හැකි හැඩයක් ලබා ගැනීම සඳහා එය පරිවර්තනය කිරීමට උත්සාහ කරමු. සිලින්ඩරය යනු ඉහළ පියනක් හෝ පහළක් නොමැති සාමාන්‍ය ටින් කෑන් එකක් යැයි සිතන්න. අපි කෑන් එකේ ඉහළ සිට පහළට පැති බිත්තියේ සිරස් කැපීමක් කරමු (රූපයේ 1 වන පියවර) සහ ලැබෙන රූපය හැකිතාක් (පියවර 2) විවෘත කිරීමට (සෘජු කිරීමට) උත්සාහ කරමු.

ප්රතිඵලයක් වශයෙන් භාජනය සම්පූර්ණයෙන්ම විවෘත කිරීමෙන් පසුව, අපි හුරුපුරුදු රූපයක් (පියවර 3) දකිනු ඇත, මෙය සෘජුකෝණාස්රයකි. සෘජුකෝණාස්රයක ප්රදේශය ගණනය කිරීම පහසුය. නමුත් ඊට පෙර, අපි මුල් සිලින්ඩරයට මොහොතකට ආපසු යමු. මුල් සිලින්ඩරයේ ශීර්ෂය කවයක් වන අතර, පරිධිය සූත්රය මගින් ගණනය කරන බව අපි දනිමු: L = 2πr. එය රූපයේ රතු පැහැයෙන් සලකුණු කර ඇත.

සිලින්ඩරයේ පැති බිත්තිය සම්පූර්ණයෙන්ම විවෘත කළ විට, පරිධිය ප්රතිඵලය වන සෘජුකෝණාස්රයේ දිග බවට පත් වන බව අපි දකිමු. මෙම සෘජුකෝණාස්රයේ පැති පරිධිය (L = 2πr) සහ සිලින්ඩරයේ උස (h) වනු ඇත. සෘජුකෝණාස්රයක ප්රදේශය එහි පැතිවල ගුණිතයට සමාන වේ - S = දිග x පළල = L x h = 2πr x h = 2πrh. ප්රතිඵලයක් වශයෙන්, අපි සිලින්ඩරයේ පාර්ශ්වීය පෘෂ්ඨයේ ප්රදේශය ගණනය කිරීම සඳහා සූත්රයක් ලබා ගත්තා.

සිලින්ඩරයක පාර්ශ්වීය මතුපිට ප්රදේශය සඳහා සූත්රය
එස් පැත්ත = 2πrh

සිලින්ඩරයක මුළු මතුපිට ප්‍රමාණය

අවසාන වශයෙන්, අපි මතුපිට තුනේම වර්ගඵලය එකතු කළහොත්, අපි සිලින්ඩරයක මුළු මතුපිට ප්රමාණය සඳහා සූත්රය ලබා ගනිමු. සිලින්ඩරයක මතුපිට වර්ග ප්රමාණය සිලින්ඩරයේ මුදුනේ ප්රදේශයට සමාන වේ + සිලින්ඩරයේ පාදයේ ප්රදේශය + සිලින්ඩරයේ පැති පෘෂ්ඨයේ ප්රදේශය හෝ S = πr 2 + πr 2 + 2πrh = 2πr 2 + 2πrh. සමහර විට මෙම ප්‍රකාශනය 2πr (r + h) සූත්‍රයට සමාන ලෙස ලියා ඇත.

සිලින්ඩරයක මුළු මතුපිට ප්‍රමාණය සඳහා සූත්‍රය
S = 2πr 2 + 2πrh = 2πr(r + h)
r - සිලින්ඩරයේ අරය, h - සිලින්ඩරයේ උස

සිලින්ඩරයක මතුපිට වර්ගඵලය ගණනය කිරීමේ උදාහරණ

ඉහත සූත්‍ර තේරුම් ගැනීමට, උදාහරණ භාවිතා කරමින් සිලින්ඩරයක මතුපිට ප්‍රමාණය ගණනය කිරීමට උත්සාහ කරමු.

1. සිලින්ඩරයේ පාදයේ අරය 2, උස 3. සිලින්ඩරයේ පාර්ශ්වීය පෘෂ්ඨයේ ප්රදේශය තීරණය කරන්න.

සම්පූර්ණ පෘෂ්ඨ වර්ගඵලය සූත්‍රය භාවිතයෙන් ගණනය කෙරේ: S පැත්ත. = 2πrh

එස් පැත්ත = 2 * 3.14 * 2 * 3

එස් පැත්ත = 6.28 * 6

එස් පැත්ත = 37.68

සිලින්ඩරයේ පාර්ශ්වීය පෘෂ්ඨය 37.68 කි.

2. උස 4 සහ අරය 6 නම් සිලින්ඩරයක මතුපිට වර්ගඵලය සොයා ගන්නේ කෙසේද?

සම්පූර්ණ මතුපිට වර්ගඵලය සූත්‍රය භාවිතයෙන් ගණනය කෙරේ: S = 2πr 2 + 2πrh

S = 2 * 3.14 * 6 2 + 2 * 3.14 * 6 * 4

S = 2 * 3.14 * 36 + 2 * 3.14 * 24

සිලින්ඩරයක මතුපිට වර්ගඵලය ගණනය කරන්නේ කෙසේද යන්න මෙම ලිපියේ මාතෘකාවයි. ඕනෑම ගණිතමය ගැටලුවකදී, ඔබ දත්ත ඇතුළත් කිරීමෙන් ආරම්භ කළ යුතුය, දන්නා දේ සහ අනාගතයේදී ක්‍රියා කළ යුතු දේ තීරණය කරන්න, පසුව පමණක් ගණනය කිරීමට කෙලින්ම ඉදිරියට යන්න.

මෙම පරිමාමිතික ශරීරය සිලින්ඩරාකාර ජ්යාමිතික රූපයක් වන අතර, සමාන්තර තල දෙකකින් ඉහළ සහ පහළ මායිම් වේ. ඔබ ටිකක් පරිකල්පනය යොදන්නේ නම්, අක්ෂය වටා සෘජුකෝණාස්රයක් කරකැවීමෙන් ජ්යාමිතික ශරීරයක් සෑදී ඇති බව ඔබට පෙනෙනු ඇත, අක්ෂය එහි එක් පැත්තක් වේ.

සිලින්ඩරයට ඉහළින් සහ පහළින් විස්තර කර ඇති වක්‍රය කවයක් වනු ඇති අතර එහි ප්‍රධාන දර්ශකය අරය හෝ විෂ්කම්භය වේ.

සිලින්ඩරයක මතුපිට ප්රදේශය - මාර්ගගත කැල්ක්යුලේටරය

මෙම ශ්‍රිතය අවසානයේ ගණනය කිරීමේ ක්‍රියාවලිය සරල කරන අතර, ඒ සියල්ල රූපයේ පාදයේ උස සහ අරය (විෂ්කම්භය) සඳහා නිශ්චිත අගයන් ස්වයංක්‍රීයව ආදේශ කිරීම දක්වා පැමිණේ. අවශ්ය වන එකම දෙය වන්නේ දත්ත නිවැරදිව නිර්ණය කිරීම සහ අංක ඇතුළත් කිරීමේදී වැරදි සිදු නොකිරීමයි.

සිලින්ඩර පැත්තේ මතුපිට ප්රදේශය

පළමුව ඔබ ද්විමාන අවකාශයේ ස්කෑන් එකක් පෙනෙන්නේ කෙසේදැයි සිතාගත යුතුය.

මෙය සෘජුකෝණාස්රයකට වඩා වැඩි දෙයක් නොවේ, එහි එක් පැත්තක් පරිධියට සමාන වේ. එහි සූත්‍රය අනාදිමත් කාලයක සිට ප්‍රසිද්ධ වී ඇත. 2π *ආර්, කොහෙද ආර්- රවුමේ අරය. සෘජුකෝණාස්රයේ අනෙක් පැත්ත උසට සමාන වේ h. ඔබ සොයන දේ සොයා ගැනීම අපහසු නොවනු ඇත.

එස්පැත්ත= 2π *r*h,

අංකය කොහෙද π = 3.14.

සිලින්ඩරයක මුළු මතුපිට ප්‍රමාණය

සිලින්ඩරයේ මුළු ප්රදේශය සොයා ගැනීමට, ඔබ ප්රතිඵලය භාවිතා කළ යුතුය එස් පැත්තසූත්‍රය භාවිතයෙන් ගණනය කරනු ලබන සිලින්ඩරයේ ඉහළ සහ පහළ කව දෙකක ප්‍රදේශ එකතු කරන්න S o =2π * ආර් 2 .

අවසාන සූත්රය මේ වගේ ය:

එස්බිම= 2π * ආර් 2+ 2π * r * h.

සිලින්ඩරයක ප්රදේශය - විෂ්කම්භය හරහා සූත්රය

ගණනය කිරීම් පහසු කිරීම සඳහා, සමහර විට විෂ්කම්භය හරහා ගණනය කිරීම් සිදු කිරීම අවශ්ය වේ. නිදසුනක් ලෙස, දන්නා විෂ්කම්භයකින් යුත් හිස් පයිප්ප කැබැල්ලක් තිබේ.

අනවශ්‍ය ගණනය කිරීම් වලින් කරදර නොවී, අපට සූදානම් කළ සූත්‍රයක් තිබේ. 5 වන ශ්‍රේණියේ වීජ ගණිතය ගලවා ගැනීමට පැමිණේ.

එස්ස්ත්‍රී පුරුෂ භාවය = 2π * ආර් 2 + 2 π * r * h= 2 π * ඩී 2 /4 + 2 π*h*d/2 = π *ඈ 2 /2 + π *d*h,

වෙනුවට ආර්ඔබ සම්පූර්ණ සූත්‍රයට අගය ඇතුළත් කළ යුතුය r =d/2.

සිලින්ඩරයක ප්රදේශය ගණනය කිරීමේ උදාහරණ

දැනුමෙන් සන්නද්ධව පුහුණුවීම් ආරම්භ කරමු.

උදාහරණ 1. කපන ලද නල කැබැල්ලක, එනම් සිලින්ඩරයක ප්රදේශය ගණනය කිරීම අවශ්ය වේ.

අපි r = 24 mm, h = 100 mm. ඔබ අරය හරහා සූත්රය භාවිතා කළ යුතුය:

S මහල = 2 * 3.14 * 24 2 + 2 * 3.14 * 24 * 100 = 3617.28 + 15072 = 18689.28 (mm 2).

අපි සුපුරුදු m2 වෙත පරිවර්තනය කර 0.01868928, ආසන්න වශයෙන් 0.02 m2 ලබා ගනිමු.

උදාහරණ 2. ඇස්බැස්ටෝස් උදුන පයිප්පයක අභ්‍යන්තර පෘෂ්ඨයේ ප්‍රදේශය සොයා ගැනීම අවශ්‍ය වන අතර එහි බිත්ති පරාවර්තක ගඩොල්වලින් ආවරණය කර ඇත.

දත්ත පහත පරිදි වේ: විෂ්කම්භය 0.2 m; උස මීටර් 2 අපි විෂ්කම්භය අනුව සූත්රය භාවිතා කරමු:

S මහල = 3.14 * 0.2 2 /2 + 3.14 * 0.2 * 2 = 0.0628 + 1.256 = 1.3188 m2.

උදාහරණය 3. r = 1 m සහ 1 m උසකින් යුත් බෑගයක් මැසීමට අවශ්ය ද්රව්ය කොපමණ දැයි සොයා ගන්නේ කෙසේද.

එක් මොහොතක, සූත්රයක් තිබේ:

S පැත්ත = 2 * 3.14 * 1 * 1 = 6.28 m2.

නිගමනය

ලිපිය අවසානයේ, ප්රශ්නය මතු විය: මෙම සියලු ගණනය කිරීම් සහ එක් අගයක් තවත් අගයකට පරිවර්තනය කිරීම සැබවින්ම අවශ්යද? මේ සියල්ල අවශ්ය වන්නේ ඇයි සහ වඩාත්ම වැදගත් වන්නේ කවුරුන් සඳහාද? නමුත් උසස් පාසලේ සිට සරල සූත්ර නොසලකා හැරීම හා අමතක නොකරන්න.

ගණිතය ඇතුළු ප්‍රාථමික දැනුම මත ලෝකය ස්ථාවර වී ඇති අතර පවතිනු ඇත. තවද, ඕනෑම වැදගත් කාර්යයක් ආරම්භ කරන විට, මෙම ගණනය කිරීම් පිළිබඳ ඔබේ මතකය ප්රබෝධමත් කිරීම, ඒවා ප්රායෝගිකව ක්රියාත්මක කිරීම නරක අදහසක් නොවේ. නිරවද්යතාව යනු රජුන්ගේ ආචාරශීලීත්වයයි.

සිලින්ඩරයේ පාදවලට ලම්බකව අක්ෂීය කොටසේ ප්රදේශය සොයා ගන්න. මෙම සෘජුකෝණාස්රයේ එක් පැත්තක් සිලින්ඩරයේ උසට සමාන වේ, දෙවන - මූලික රවුමේ විෂ්කම්භයට. ඒ අනුව, මෙම නඩුවේ හරස්කඩ ප්රදේශය සෘජුකෝණාස්රයේ පැතිවල නිෂ්පාදිතයට සමාන වනු ඇත. S=2R*h, මෙහි S යනු හරස්කඩ ප්‍රදේශය වන අතර, R යනු ගැටලුවේ කොන්දේසි මගින් නිශ්චිතව දක්වා ඇති පාදක කවයේ අරය වන අතර h යනු සිලින්ඩරයේ උස, ගැටලුවේ කොන්දේසි මගින්ද නියම කෙරේ.

කොටස පාදවලට ලම්බක නම්, නමුත් භ්රමණය වන අක්ෂය හරහා ගමන් නොකරන්නේ නම්, සෘජුකෝණාස්රය රවුමේ විෂ්කම්භයට සමාන නොවේ. එය ගණනය කිරීම අවශ්ය වේ. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, භ්‍රමණ අක්ෂයේ සිට කොටසේ තලය ගමන් කරන්නේ කුමන දුරකින්ද යන්න ගැටළුව පැවසිය යුතුය. ගණනය කිරීමේ පහසුව සඳහා, සිලින්ඩරයේ පාදයේ රවුමක් සාදන්න, අරයක් අඳින්න සහ රවුමේ මැද සිට කොටස පිහිටා ඇති දුර එය මත සැලසුම් කරන්න. මෙම ස්ථානයේ සිට, රවුම සමඟ ඔවුන්ගේ ඡේදනයට ලම්බක අඳින්න. ඡේදනය වන ස්ථාන කේන්ද්රය වෙත සම්බන්ධ කරන්න. ඔබ කෝඩ්ස් සොයා ගත යුතුය. පයිතගරස් ප්‍රමේයය භාවිතා කර ස්වර භාගයක ප්‍රමාණය සොයන්න. එය කේන්ද්‍රයේ සිට අංශ රේඛාව දක්වා රවුමේ අරයේ වර්ග අතර වෙනසෙහි වර්ගමූලයට සමාන වනු ඇත. a2=R2-b2. සම්පූර්ණ ස්වරය, ඒ අනුව, 2a ට සමාන වේ. සෘජුකෝණාස්‍රයේ පැතිවල ගුණිතයට සමාන හරස්කඩ ප්‍රදේශය ගණනය කරන්න, එනම් S=2a*h.

පාදයේ තලය හරහා ගමන් නොකර සිලින්ඩරය කපා ගත හැකිය. හරස්කඩ භ්රමණය වන අක්ෂයට ලම්බක නම්, එය රවුමක් වනු ඇත. මෙම නඩුවේ එහි ප්රදේශය පාදවල ප්රදේශයට සමාන වේ, එනම්, S = πR2 සූත්රය මගින් ගණනය කරනු ලැබේ.

ප්රයෝජනවත් උපදෙස්

කොටස වඩාත් නිවැරදිව පරිකල්පනය කිරීම සඳහා, එය සඳහා චිත්රයක් සහ අතිරේක ඉදිකිරීම් කරන්න.

මූලාශ්‍ර:

• සිලින්ඩර හරස්කඩ ප්රදේශය

තලයක් සහිත මතුපිටක ඡේදනය වීමේ රේඛාව මතුපිට හා කැපුම් තලය යන දෙකටම අයත් වේ. සෘජු උත්පාදකයට සමාන්තරව කැපුම් තලයක් සහිත සිලින්ඩරාකාර මතුපිටක ඡේදනය වීමේ රේඛාව සරල රේඛාවකි. කැපුම් තලය විප්ලවයේ පෘෂ්ඨයේ අක්ෂයට ලම්බක නම්, කොටස රවුමක් වනු ඇත. සාමාන්යයෙන්, කැපුම් තලයක් සහිත සිලින්ඩරාකාර පෘෂ්ඨයේ ඡේදනය වීමේ රේඛාව වක්ර රේඛාවකි.

ඔබට අවශ්ය වනු ඇත

• පැන්සල, පාලකය, ත්‍රිකෝණය, රටා, මාලිමා යන්ත්‍රය, මීටරය.

උපදෙස්

ප්රක්ෂේපණ П₂ හි ඉදිරිපස තලය මත, කොටස් රේඛාව සෘජු රේඛාවක් ආකාරයෙන් කැපුම් තලය Σ₂ ප්රක්ෂේපණය සමග සමපාත වේ.
ප්‍රක්ෂේපණය Σ₂ 1₂, 2₂, යනාදිය සමඟ සිලින්ඩරයේ ජනන යන්ත්‍රවල ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්‍ය නම් කරන්න. ලකුණු 10₂ සහ 11₂ දක්වා.

P₁ යානයේ රවුමක් ඇත. අංශ තලය මත ලකුණු 1₂, 2₂, ආදිය සලකුණු කර ඇත. ප්‍රක්ෂේපණ සම්බන්ධතා රේඛාවක් භාවිතයෙන් මෙම කවයේ දළ සටහනට ප්‍රක්ෂේපණය කෙරේ. රවුමේ තිරස් අක්ෂයට සාපේක්ෂව ඔවුන්ගේ තිරස් ප්රක්ෂේපණ සමමිතිකව සලකුණු කරන්න.

මේ අනුව, අපේක්ෂිත කොටසෙහි ප්රක්ෂේපණ තීරණය කරනු ලැබේ: P₂ තලය මත - සරල රේඛාවක් (ලකුණු 1₂, 2₂…10₂); P₁ තලය මත - කවයක් (ලකුණු 1₁, 2₁…10₁).

දෙකක් භාවිතා කරමින්, ඉදිරිපස ප්‍රක්ෂේපණ තලය Σ මගින් මෙම සිලින්ඩරයේ කොටසෙහි ස්වාභාවික ප්‍රමාණය ගොඩනඟන්න. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, ප්රක්ෂේපණ ක්රමය භාවිතා කරන්න.

ගුවන් යානයේ Σ₂ ප්‍රක්ෂේපණයට සමාන්තරව තලය අඳින්න. මෙම නව x₂₄ අක්ෂයේ, ලක්ෂ්‍යය 1₀ සලකුණු කරන්න. ලකුණු 1₂ - 2₂, 2₂ - 4₂, ආදිය අතර දුර. කොටසේ ඉදිරිපස ප්‍රක්ෂේපනයෙන්, එය x₂₄ අක්ෂය මත තබන්න, x₂₄ අක්ෂයට ලම්බකව ප්‍රක්ෂේපණ සම්බන්ධතාවයේ තුනී රේඛා අඳින්න.

මෙම ක්‍රමයේදී, P₄ තලය P₁ තලය මගින් ප්‍රතිස්ථාපනය වේ, එබැවින්, තිරස් ප්‍රක්ෂේපණයේ සිට, අක්ෂයේ සිට ලක්ෂ්‍ය දක්වා මානයන් P₄ තලයේ අක්ෂයට මාරු කරන්න.

උදාහරණයක් ලෙස, P₁ මත ලකුණු 2 සහ 3 සඳහා මෙය 2₁ සහ 3₁ සිට අක්ෂයට (A ලක්ෂ්‍යය) දුර වේ.

තිරස් ප්‍රක්ෂේපණයෙන් දක්වා ඇති දුර පසෙකින් තැබීමෙන්, ඔබට ලකුණු 2₀, 3₀, 6₀, 7₀, 10₀, 11₀ ලැබේ. ඉන්පසුව, ඉදිකිරීම් වල වැඩි නිරවද්යතාවයක් සඳහා, ඉතිරි අතරමැදි ලක්ෂ්ය තීරණය කරනු ලැබේ.

රටා වක්‍රයක් සහිත සියලුම ලක්ෂ්‍ය සම්බන්ධ කිරීමෙන්, ඔබ ඉදිරිපස ප්‍රක්ෂේපණ තලය මඟින් සිලින්ඩරයේ කොටසෙහි අවශ්‍ය ස්වාභාවික ප්‍රමාණය ලබා ගනී.

මූලාශ්‍ර:

• ගුවන් යානයක් ප්රතිස්ථාපනය කරන්නේ කෙසේද

ඉඟිය 3: කැපූ කේතුවක අක්ෂීය හරස්කඩ ප්‍රදේශය සොයා ගන්නේ කෙසේද

මෙම ගැටළුව විසඳීම සඳහා, කප්පාදු කරන ලද කේතුවක් යනු කුමක්ද සහ එහි ඇති ගුණාංග මොනවාදැයි ඔබ මතක තබා ගත යුතුය. චිත්රයක් සෑදීමට වග බලා ගන්න. මෙම කොටස නියෝජනය කරන ජ්යාමිතික රූපය තීරණය කිරීමට මෙය ඔබට ඉඩ සලසයි. මෙයින් පසු, ගැටළුව විසඳීම ඔබට තවදුරටත් අපහසු නොවනු ඇත.

උපදෙස්

රවුම් කේතුවක් යනු එහි එක් පාදයක් වටා ත්‍රිකෝණයක් කරකැවීමෙන් ලබාගත් ශරීරයකි. අග්‍රයෙන් නික්මෙන සරල රේඛා කේතුවක්සහ එහි පාදය ඡේදනය කිරීම උත්පාදක ලෙස හැඳින්වේ. සියලුම ජනක යන්ත්ර සමාන නම්, කේතුව කෙළින්ම වේ. වටයේ පාදයේ කේතුවක්රවුමකි. ශීර්ෂයේ සිට පාදයට වැටී ඇති ලම්බක උස වේ කේතුවක්. වටයේ කෙළින්ම කේතුවක්උස එහි අක්ෂය සමග සමපාත වේ. අක්ෂය යනු පාදයේ මැදට සම්බන්ධ වන සරල රේඛාවකි. චක්රලේඛයක තිරස් කැපුම් තලය නම් කේතුවක්, එවිට එහි ඉහළ පාදය රවුමකි.

මෙම නඩුවේදී ලබා දී ඇති කේතුව එය බව ගැටළු ප්‍රකාශයේ නිශ්චිතව දක්වා නොමැති බැවින්, මෙය සෘජු කප්පාදු කරන ලද කේතුවක් බව අපට නිගමනය කළ හැකිය, එහි තිරස් කොටස පාදයට සමාන්තර වේ. එහි අක්ෂීය කොටස, i.e. සිරස් තලය, වටයේ අක්ෂය හරහා කේතුවක්, යනු සමපාර්ශ්වික trapezoid වේ. සියලුම අක්ෂීය අංශරවුම් කෙළින්ම කේතුවක්එකිනෙකාට සමාන වේ. එබැවින්, සොයා ගැනීමට හතරැස්අක්ෂීය අංශ, ඔබ සොයා ගැනීමට අවශ්යයි හතරැස් trapezoid, එහි පාදයන් කපා හරින ලද පාදවල විෂ්කම්භය වේ කේතුවක්, සහ පාර්ශ්වීය පැති එහි සංඝටක වේ. Frustum උස කේතුවක් trapezoid හි උස ද වේ.

trapezoid වල ප්‍රදේශය සූත්‍රය මගින් තීරණය වේ: S = ½(a+b) h, මෙහි S - හතරැස් trapezoid a - trapezoid හි පහළ පාදයේ ප්රමාණය - h - trapezoid හි උස;

කොන්දේසිය ලබා දී ඇත්තේ කුමන ඒවාද යන්න නිශ්චිතව දක්වා නොමැති බැවින්, කපා දැමූ පාද දෙකෙහිම විෂ්කම්භය විය හැකිය. කේතුවක්දන්නා: AD = d1 - කප්පාදුවේ පහළ පාදයේ විෂ්කම්භය කේතුවක්;BC = d2 - එහි ඉහළ පාදයේ විෂ්කම්භය; EH = h1 - උස කේතුවක්.මෙසේ, හතරැස්අක්ෂීය අංශකප්පාදු කර ඇත කේතුවක්අර්ථ දක්වා ඇත: S1 = ½ (d1+d2) h1

මූලාශ්‍ර:

• කප්පාදු කරන ලද කේතුවක ප්රදේශය

සිලින්ඩරය අවකාශීය රූපයක් වන අතර එය සමාන පාද දෙකකින් සමන්විත වන අතර ඒවා කවයන් සහ පාද සීමා කරන රේඛා සම්බන්ධ කරන පැති මතුපිටකි. ගණනය කිරීමට හතරැස් සිලින්ඩරය, එහි සියලු පෘෂ්ඨයන්හි ප්රදේශ සොයාගෙන ඒවා එකතු කරන්න.

සිලින්ඩරය (රවුම් සිලින්ඩරය) යනු සමාන්තර පරිවර්තන මගින් ඒකාබද්ධ කරන ලද කව දෙකකින් සහ මෙම කවවල අනුරූප ලක්ෂ්ය සම්බන්ධ කරන සියලුම කොටස් වලින් සමන්විත ශරීරයකි. කව සිලින්ඩරයේ පාද ලෙස හඳුන්වන අතර, රවුම් පරිධියේ අනුරූප ලක්ෂ්‍ය සම්බන්ධ කරන කොටස් සිලින්ඩරයේ උත්පාදක ලෙස හැඳින්වේ.

සිලින්ඩරයේ පාද සමාන වන අතර සමාන්තර තලවල පිහිටා ඇති අතර සිලින්ඩරයේ ජනක යන්ත්ර සමාන්තර හා සමාන වේ. සිලින්ඩරයේ මතුපිට පදනම සහ පැති මතුපිටින් සමන්විත වේ. පාර්ශ්වීය පෘෂ්ඨය සෑදී ඇත්තේ ජනක ද්රව්ය වලින්ය.

එහි ජනක යන්ත්‍ර පාදයේ තලවලට ලම්බක නම් සිලින්ඩරයක් කෙළින් ලෙස හැඳින්වේ. සිලින්ඩරයක් එහි එක් පැත්තක් වටා සෘජුකෝණාස්රයක් අක්ෂයක් ලෙස කරකැවීමෙන් ලබාගත් ශරීරයක් ලෙස සැලකිය හැකිය. වෙනත් වර්ගවල සිලින්ඩර තිබේ - ඉලිප්සීය, අධිබල, පරාවලයික. ප්රිස්මයක් සිලින්ඩර වර්ගයක් ලෙස ද සැලකේ.

රූප සටහන 2 හි දැක්වෙන්නේ ආනත සිලින්ඩරයකි. O සහ O 1 කේන්ද්‍ර සහිත කව එහි පාද වේ.

සිලින්ඩරයක අරය එහි පාදයේ අරය වේ. සිලින්ඩරයේ උස යනු කඳවුරුවල ගුවන් යානා අතර දුර වේ. සිලින්ඩරයක අක්ෂය යනු කඳවුරුවල මධ්යස්ථාන හරහා ගමන් කරන සරල රේඛාවකි. එය ජනක යන්ත්රවලට සමාන්තර වේ. සිලින්ඩර් අක්ෂය හරහා ගමන් කරන තලයක් සහිත සිලින්ඩරයක හරස්කඩ අක්ෂීය අංශයක් ලෙස හැඳින්වේ. සෘජු සිලින්ඩරයක ජෙනරේට්‍රික්ස් හරහා ගමන් කරන තලය සහ මෙම ජෙනට්‍රික්ස් හරහා ඇද ගන්නා අක්ෂීය කොටසට ලම්බකව සිලින්ඩරයේ ස්පර්ශක තලය ලෙස හැඳින්වේ.

සිලින්ඩරයේ අක්ෂයට ලම්බකව තලයක් එහි පැති මතුපිට පාදයේ පරිධියට සමාන රවුමකින් ඡේදනය කරයි.

සිලින්ඩරයක කොටා ඇති ප්‍රිස්මයක් යනු සිලින්ඩරයේ පාදවල කොටා ඇති සමාන බහුඅස්‍ර වන ප්‍රිස්මයකි. එහි පාර්ශ්වීය ඉළ ඇට සිලින්ඩරය සාදයි. ප්‍රිස්මයක් සිලින්ඩරයක පාදවලට සමාන බහුඅස්‍ර නම් සිලින්ඩරයක් වටා වටවී ඇතැයි කියනු ලැබේ. එහි මුහුණුවල ගුවන් යානා සිලින්ඩරයේ පැති මතුපිට ස්පර්ශ කරයි.

සිලින්ඩරයක පාර්ශ්වීය පෘෂ්ඨ වර්ගඵලය ගණනය කළ හැක්කේ generatrix හි දිග සිලින්ඩරයේ කොටසෙහි පරිමිතිය මගින් generatrix වෙත ලම්බකව තලයකින් ගුණ කිරීමෙනි.

සෘජු සිලින්ඩරයක පාර්ශ්වීය මතුපිට ප්රදේශය එහි සංවර්ධනයෙන් සොයාගත හැකිය. සිලින්ඩරයක වර්ධනය උස h සහ දිග P සහිත සෘජුකෝණාස්රයක් වන අතර එය පාදයේ පරිමිතියට සමාන වේ. එබැවින්, සිලින්ඩරයේ පාර්ශ්වීය පෘෂ්ඨයේ ප්රදේශය එහි සංවර්ධන ප්රදේශයට සමාන වන අතර එය සූත්රය මගින් ගණනය කරනු ලැබේ:

විශේෂයෙන්, දකුණු රවුම් සිලින්ඩරයක් සඳහා:

P = 2πR, සහ S b = 2πRh.

සිලින්ඩරයක සම්පූර්ණ පෘෂ්ඨ වර්ගඵලය එහි පාර්ශ්වීය පෘෂ්ඨයේ සහ එහි පාදවල ප්‍රදේශ වල එකතුවට සමාන වේ.

සෘජු රවුම් සිලින්ඩරයක් සඳහා:

S p = 2πRh + 2πR 2 = 2πR(h + R)

ආනත සිලින්ඩරයක පරිමාව සොයා ගැනීම සඳහා සූත්ර දෙකක් තිබේ.

ජෙනරේට්‍රික්ස් හි දිග සිලින්ඩරයේ හරස්කඩ ප්‍රදේශයෙන් ජෙනරේට්‍රික්ස් වෙත ලම්බකව තලයකින් ගුණ කිරීමෙන් ඔබට පරිමාව සොයාගත හැකිය.

ආනත සිලින්ඩරයක පරිමාව පාදයේ ප්‍රදේශයේ නිෂ්පාදනයට සහ උසට සමාන වේ (පදනම් ඇති ගුවන් යානා අතර දුර):

V = Sh = S l sin α,

මෙහි l යනු generatrix හි දිග වන අතර α යනු generatrix සහ පාදයේ තලය අතර කෝණය වේ. සෘජු සිලින්ඩරයක් සඳහා h = l.

රවුම් සිලින්ඩරයක පරිමාව සොයා ගැනීමේ සූත්‍රය පහත පරිදි වේ:

V = π R 2 h = π (d 2 / 4)h,

මෙහි d යනු පාදයේ විෂ්කම්භය වේ.

blog.site, සම්පූර්ණයෙන් හෝ කොටස් වශයෙන් ද්‍රව්‍ය පිටපත් කිරීමේදී, මුල් මූලාශ්‍රය වෙත සබැඳියක් අවශ්‍ය වේ.

සිලින්ඩරයේ එක් එක් පාදයේ ප්රදේශය π වේ ආර් 2, පාද දෙකේම වර්ගඵලය 2π වේ ආර් 2 (රූපය).

සිලින්ඩරයක පාර්ශ්වීය පෘෂ්ඨයේ ප්රදේශය පාදම 2π වන සෘජුකෝණාස්රයක ප්රදේශයට සමාන වේ. ආර්, සහ උස සිලින්ඩරයේ උසට සමාන වේ h, එනම් 2π rh.

සිලින්ඩරයේ සම්පූර්ණ පෘෂ්ඨය වනුයේ: 2π ආර් 2 + 2π rh= 2π ආර්(ආර්+ h).

සිලින්ඩරයේ පාර්ශ්වීය පෘෂ්ඨයේ ප්රදේශය ලෙස ගනු ලැබේ අතුගා දැමීමේ ප්රදේශයඑහි පාර්ශ්වීය පෘෂ්ඨය.

එබැවින්, දකුණු රවුම් සිලින්ඩරයක පාර්ශ්වීය පෘෂ්ඨයේ ප්රදේශය අනුරූප සෘජුකෝණාස්රයේ ප්රදේශයට සමාන වේ (රූපය) සහ සූත්රය මගින් ගණනය කරනු ලැබේ.

එස් බී.සී. = 2πRH, (1)

අපි එහි පාද දෙකේ ප්‍රදේශය සිලින්ඩරයේ පාර්ශ්වීය පෘෂ්ඨයේ ප්‍රදේශයට එකතු කළහොත්, අපි සිලින්ඩරයේ මුළු මතුපිට ප්‍රමාණය ලබා ගනිමු.

S පිරී ඇත =2πRH + 2πR 2 = 2πR (H + R).

සෘජු සිලින්ඩරයක පරිමාව

ප්රමේයය. සෘජු සිලින්ඩරයක පරිමාව එහි පාදයේ ප්රදේශයේ සහ එහි උසෙහි නිෂ්පාදනයට සමාන වේ , i.e.

මෙහි Q යනු පාදයේ ප්‍රදේශය වන අතර H යනු සිලින්ඩරයේ උස වේ.

සිලින්ඩරයේ පාදයේ ප්‍රදේශය Q වන බැවින්, Q ප්‍රදේශ සහිත වටකුරු සහ සෙල්ලිපි කරන ලද බහුඅස්‍ර අනුපිළිවෙලක් ඇත. nසහ Q' nඑවැනි

\(\lim_(n \rightarrow \infty)\) Q n= \(\lim_(n \rightarrow \infty)\) Q’ n= Q.

ඉහත විස්තර කර ඇති සහ ශිලාලේඛනගත බහුඅස්‍ර ඇති ප්‍රිස්ම අනුපිළිවෙලක් අපි ගොඩනඟමු, සහ එහි පැති දාර ලබා දී ඇති සිලින්ඩරයේ ජනන යන්ත්‍රයට සමාන්තර වන අතර දිග H සහිත වේ. මෙම ප්‍රිස්ම ලබා දී ඇති සිලින්ඩරය සඳහා වට කර කොටා ඇත. ඒවායේ පරිමාව සූත්ර මගින් සොයා ගනී

වී n=Q nඑච් සහ වී' n= Q' nඑච්.

එබැවින්,

V= \(\lim_(n \rightarrow \infty)\) Q n H = \(\lim_(n \rightarrow \infty)\) Q’ n H = QH.

ප්රතිවිපාකය.
දකුණු රවුම් සිලින්ඩරයක පරිමාව සූත්‍රය මගින් ගණනය කෙරේ

V = π R 2 H

මෙහි R යනු පාදයේ අරය වන අතර H යනු සිලින්ඩරයේ උස වේ.

වෘත්තාකාර සිලින්ඩරයක පාදය R අරය කවයක් වන බැවින්, Q = π R 2, සහ ඒ නිසා