ද්විමය සම්බන්ධතා, සම්බන්ධතා වල ගුණාංග. සමානාත්මතාවය, පිළිවෙල සහ ඉවසීමේ සබඳතා. ද්විමය සම්බන්ධතා - MT1102: රේඛීය වීජ ගණිතය (ගණිතය හැඳින්වීම) - ව්‍යාපාර පරිගණක විද්යාව යනු සම්බන්ධතාවයක් සමානතා සම්බන්ධතාවයකි
පාඨමාලා වැඩ
"සමාන සම්බන්ධතා"
හැදින්වීම
පරිච්ඡේදය 1. ආකල්ප පිළිබඳ සංකල්පය. අර්ථ දැක්වීම, වර්ග, සම්බන්ධතා උදාහරණ
පරිච්ඡේදය 2. පන්තිවලට බෙදීම. සාධක කට්ටලය. සමානාත්මතාවය සම්බන්ධය. සමානතා මත මෙහෙයුම්.
පරිච්ඡේදය 3. පාසල් ගණිතයේ සබඳතා
නිගමනය
භාවිතා කරන ලද මූලාශ්ර ලැයිස්තුව
හැදින්වීම
මෙම පාඨමාලා කාර්යය සාමාන්යයෙන් සබඳතා පිළිබඳ සංකල්පය සහ, විශේෂයෙන්ම, සමානතා සම්බන්ධතා අධ්යයනය කිරීම සඳහා කැප කර ඇත. මෙම සංකල්ප වීජ ගණිතය තුළ මූලික වන අතර ඒ සමඟම සමානාත්මතාවය, සමානත්වය සහ පිළිවෙල පිළිබඳ පොදුවේ පිළිගත් එදිනෙදා සංකල්පවලින් ඒවා ව්‍යුත්පන්න කළ හැකිය. පාසල් ගණිත පාඨමාලාවේ නිශ්චිත උදාහරණ භාවිතා කරමින් න්‍යාය තුලට නොගොස් වැඩිහිටි පාසල් සිසුන්ට ඔවුන්ව හඳුන්වා දීමට මෙය හැකි වේ.
පාඨමාලා කාර්යයේ පළමු පරිච්ඡේදය සාමාන්යයෙන් සබඳතා පිළිබඳ සංකල්පය, සබඳතා නියම කිරීමේ ක්රම, සබඳතා පිළිබඳ වීජීය සහ ජ්යාමිතික අර්ථ නිරූපණය සඳහා කැප කරනු ලැබේ. සබඳතා පිළිබඳ සමහර න්යායික මෙහෙයුම් හඳුන්වා දෙනු ඇත. සම්බන්ධතාවල මූලික ගුණාංග සහ සම්බන්ධතා නියම කිරීමේ ජ්යාමිතික සහ වීජීය ක්රම සඳහා මෙම ගුණාංගවල වැදගත්කම සලකා බලනු ලැබේ. පරිච්ඡේදය පත්රිකා 7 ක් මත තබා ඇත.
මෙම පාඨමාලා කාර්යයේ දෙවන පරිච්ඡේදය සමානතා සම්බන්ධතාවයේ අර්ථය හෙළි කරයි. අර්ථ දැක්වීම්වල සමානාත්මතාවය පිළිබඳ ප්රමේයයක් ඔප්පු කර ඇත. උදාහරණ ගණනාවක් දක්වා ඇත. පන්ති සහ සාධක කට්ටලවලට බෙදීමේ සංකල්ප හඳුන්වා දෙනු ලැබේ. තවත් වැදගත් සම්බන්ධතා කිහිපයක් ද අර්ථ දක්වා ඇත.
තෙවන පරිච්ඡේදය ඕනෑම උසස් පාසල් සිසුවෙකුට හුරුපුරුදු සහ තේරුම් ගත හැකි වස්තු කට්ටල මත හඳුන්වා දී ඇති සමහර සම්බන්ධතා සලකා බැලීම සඳහා කැප කර ඇත. සමානාත්මතාවය, ඉවසීම සහ පිළිවෙල යන සම්බන්ධතා වල ගුණාංග පැහැදිලිව නිදර්ශනය කර ඇත. ගණිතමය කවවල පන්ති කාමරය තුළ මෙම සංකල්ප හඳුන්වාදීමේ හැකියාව පිළිබඳව නිගමනයකට එළඹේ. පරිච්ඡේදයේ පත්රිකා 5 ක් අඩංගු වේ.
පරිච්ඡේදය 1. ආකල්ප පිළිබඳ සංකල්පය. අර්ථ දැක්වීම, වර්ග, සම්බන්ධතා උදාහරණ
ආකල්ප අර්ථ දැක්වීම. සබඳතා නිර්වචනය කිරීමේ ක්රම
අපි පාසල් දරුවෙකුට තේරුම් ගත හැකි භාෂාවකින් කතා කරන්නේ නම්, සම්බන්ධතාවයක් නිර්වචනය කිරීම යන්නෙන් අදහස් කරන්නේ එය ඉටු වන්නේ කුමන වස්තූන් අතරද යන්නයි.
උදාහරණයක් ලෙස, අපි සියලු යුගල ලැයිස්තුවක් සෑදුවොත්, "සහෝදරයෙකු වීම" යන සම්බන්ධය සම්පුර්ණයෙන්ම නිර්වචනය වනු ඇත, ඔවුන්ගෙන් එක් අයෙකු අනෙකාගේ සහෝදරයා වේ.
වස්තු යුගල (ද්විමය) සඳහා පමණක් නොව, ත්‍රිත්ව, හතර ගුණයන් සඳහාද සම්බන්ධතාවය අර්ථ දැක්විය හැක.
ස්ථාන තුනක (ත්‍රිත්ව) සම්බන්ධතා සඳහා උදාහරණ වීජීය මෙහෙයුම් වේ. උදාහරණයක් ලෙස, "මුදලක් සාදයි" යන සම්බන්ධය සංඛ්යා ත්‍රිත්ව (x, y, z) සඳහා අර්ථවත් වන අතර x + y = z අවස්ථාවෙහිදී තෘප්තිමත් වේ.
අපි වඩාත් දැඩි නිර්වචනයකට යමු.
A සහ B සමහර අත්තනෝමතික හිස් නොවන කට්ටල වීමට ඉඩ දෙන්න.
අර්ථ දැක්වීම 1.1. A කාණ්ඩයේ සහ B කාණ්ඩයේ කාටිසියානු නිෂ්පාදිතය A x B කට්ටලයක් වන අතර, එහි මූලද්රව්ය විය හැකි සියලුම යුගල (a, b) වන අතර එහිදී පළමු මූලද්රව්යය A කුලකයෙන් ද දෙවැන්න B කාණ්ඩයෙන් ද ගනු ලැබේ. දෙක එවැනි යුගල ඔවුන්ගේ සහ පළමු සහ දෙවන මූලද්රව්ය නම් සමාන ලෙස සලකනු ලැබේ: (a, b) = (c, d) a = c සහ b = d.
උදාහරණය 1.1. A = (0, 1, +) සහ B = (□, o, , +), එසේ නම්
A B - ((0, □), (0, o), (0. ), (0, +), (1, □), (1, o), (1, ), (1, +), ( +, □), (+, o), (+, ), (+, +)). සරල තර්කනය පහත සම්බන්ධතා වල වලංගු භාවය තහවුරු කරයි:
=
=
=
4) A යනු B හි උප කුලකයක් වන අතර C යනු D හි උප කුලකයකි, පසුව උප කුලකය
අර්ථ දැක්වීම 1.3. A සහ B කුලක අතර ද්විමය සම්බන්ධතාවයක් යනු A x B කාටිසියානු නිෂ්පාදනයේ ඕනෑම උප කුලකයකි, එනම් A x B කාණ්ඩයේ සියලුම උප කුලකවල P(A x B) කුලකයේ ඕනෑම මූලද්‍රව්‍යයකි.
නම් |A| = m, |B|=n, එවිට Cartesian නිෂ්පාදනය A x B විවිධ යුගල m වලින් සමන්විත වේ. මෙම අවස්ථාවේ දී | P(A x B) | = 2 mn, - මෙය A සහ B කට්ටල අතර ඇති විය හැකි සියලුම ද්විමය සම්බන්ධතා ගණනයි.
අපි ද්විමය සම්බන්ධතා කුඩා ග්‍රීක අකුරු සමඟින් දක්වන්නෙමු. (a, b) p නම්, a මූලද්රව්යය ρ සම්බන්ධයේ b මූලද්‍රව්‍යයට සාපේක්ෂව යැයි කියනු ලැබේ.
A සහ B කට්ටල අතර ඇති සියලුම සම්බන්ධතා අතර, පහත සඳහන් දෑ කැපී පෙනේ: තනි යුගලයක් අඩංගු නොවන හිස් සම්බන්ධතාවය Ø; ඕනෑම සම්බන්ධයක් සඳහා ρ P(A x B) ඇතුළත් කිරීම් සඳහා, හැකි සෑම යුගලයක්ම, එනම් A සහ B හි කාටිසියානු නිෂ්පාදනයක් අඩංගු විශ්වීය සම්බන්ධතාවයකි
ρ A x B
සීමිත කට්ටලවල මූලද්රව්ය අතර සම්බන්ධතා නියෝජනය කිරීමට පහසු ක්රම දෙකක් තිබේ:
) ද්විමය බූලියන් න්‍යාස භාවිතා කිරීම;
) ප්රස්තාර භාවිතා කිරීම.
A =(a 1, a 2, …a m), B=(b 1, b 2, …b m), ρ A x B ලෙස සලකමු
පහත පරිදි m x n මානයෙන් M(ρ) අනුකෘතියක් ගොඩනඟමු. අපි මෙම න්‍යාසයේ පේළි යම් ස්ථාවර අනුපිළිවෙලක පිහිටා ඇති A කාණ්ඩයේ මූලද්රව්ය සමඟ සලකුණු කරමු, ඒ හා සමානව B කාණ්ඩයේ මූලද්රව්ය සමඟ තීරු සලකුණු කරමු. ඉන්පසු අපි M(ρ) අනුකෘතියේ මූලද්රව්ය ලෙස තබමු:
මෙහි 0, 1 යනු ද්විමය බූලියන් වීජ ගණිතයේ B 2 හි මූලද්රව්ය වේ. මේ අනුව, මූලද්රව්යය "යුගලය සම්බන්ධය ρ" යන ප්රකාශයේ තාර්කික අර්ථය නියෝජනය කරයි.
A සහ B කට්ටල අතර විවිධ සම්බන්ධතා විවිධ ද්විමය බූලියන් න්‍යාසවලට අනුරූප වන බව පැහැදිලිය. A සහ B හි මූලද්රව්ය අනුපිළිවෙල එක් වරක් සහ සියල්ලටම සවි කර ඇති බව අපි අවධාරණය කරමු.
M-n-මූලද්රව්ය කට්ටලයක් සහ ρ එය මත සම්බන්ධතාවයක් වේවා. M මත සම්බන්ධතාවයක් n x n න්‍යාසයකින් දැක්විය හැක. න්‍යාසයක් සඳහා ij = 0 කිසිදු යුගලයක් සඳහා සෑහීමකට පත් නොවන හිස් සම්බන්ධතාවයක් Ø අර්ථ දක්වයි.
ij = 1 සඳහා න්‍යාසයක් මගින් සියලුම යුගල සඳහා තෘප්තිමත් වන M x M සම්පූර්ණ සම්බන්ධතාවය නියම කරයි.
න්‍යාසය මගින් ද විශේෂ කාර්යභාරයක් ඉටු කරයි ||δ i j ||, එහිදී
සංකේතය Kronecker සංකේතය ලෙස හැඳින්වේ. මෙම න්‍යාසය ඊනියා විකර්ණ සම්බන්ධය E හෝ සමානතා සම්බන්ධතාවයට අනුරූප වේ: (x, y), x සහ y කුලකයේ එකම මූලද්රව්යය නම්.
කොන්දේසිය මගින් ප්‍රතිවිකක සම්බන්ධතාවය හඳුන්වා දීම ද ප්‍රයෝජනවත් වේ:
හිස්, සම්පූර්ණ, විකර්ණ සහ ප්‍රතිවිකක සම්බන්ධතා සඳහා, කුතුහලය දනවන දේපලක් සිදු වේ - ඒවායේ න්‍යාසය M කට්ටලයේ මූලද්‍රව්‍යවල අංකනය තේරීම මත රඳා නොපවතී. වෙනත් වචන වලින් කිවහොත්, ρ සම්බන්ධතාවය M හි ඕනෑම තේරීමක් සඳහා නම් matrices || a ij || සමපාත වේ, එවිට ρ සම්පූර්ණ, හිස්, විකර්ණ හෝ ප්‍රතිවිකුණු වේ.
ඔබට වෙනත් ආකාරයකින් සම්බන්ධතාවය නියෝජනය කළ හැකිය:
නැවතත් ρ M x M. අපි (Oiented) G(ρ) ප්‍රස්ථාරය පහත පරිදි නිර්වචනය කරමු: මෙම ප්‍රස්ථාරයේ සිරස් කුලකය මෙම අවස්ථාවෙහිදී M කුලකය සෑදෙයි, a i සිට ශීර්ෂය b j දක්වා දාරයක් අඳිනු ලැබේ සහ නම් පමණි 
, සහ (a i, a i) නම්, a i ලක්ෂ්‍යයේ දී අපි එම ලක්ෂ්‍යයටම ඇතුළු වන ලූපයක් අඳින්නෙමු.
හිස් සම්බන්ධතාවයක් ඊතල සහ ලූප නොමැති ප්‍රස්ථාරයකට අනුරූප වේ, විකර්ණ සම්බන්ධතාවයක් ලූප පමණක් ඇති ප්‍රස්ථාරයකින් විස්තර කෙරේ (රූපය 1.1). සම්පූර්ණ සම්බන්ධතාවය සම්පූර්ණ ප්රස්ථාරයක් මගින් ලබා දී ඇත (සියලු සිරස් සියලු සිරස් වලට සම්බන්ධ වේ, Fig. 1.2).
සහල්. 1.1 
සහල්. 1.2
ප්රස්ථාරයක් යනු ශ්‍රිතයක ජ්යාමිතික නිරූපණයක් වන සේම, ප්රස්ථාරයක් යනු සම්බන්ධතාවයක ජ්යාමිතික නිරූපණයකි. ප්‍රස්ථාරය තරමක් සරල වන විට ජ්යාමිතික භාෂාව ප්‍රයෝජනවත් වේ. ඊට පටහැනිව, සම්බන්ධතා අනුව සිරස් විශාල සංඛ්‍යාවක් සහිත ප්‍රස්ථාර අධ්යයනය කිරීම සහ විස්තර කිරීම වඩාත් පහසු වේ.
II. සම්බන්ධතා ලෙස ක්‍රියා කරයි
කාර්යයන් සබඳතාවල විශේෂ අවස්ථාවක් ලෙසද සැලකිය හැකිය. M කට්ටලය මත ඇති සම්බන්ධතාවය සෑම xM සඳහාම (x, y) y M මූලද්රව්යයක් ඇති බව සලසන්න. මේ අනුව, එක් එක් මූලද්රව්ය xM මෙම කොන්දේසිය මගින් අර්ථ දක්වා ඇති සමහර y M සමඟ සම්බන්ධ වේ. මෙම සම්බන්ධතාවය ශ්‍රිතයක් හෝ සිතියම්කරණයක් ලෙස හැඳින්වේ. (x, y) සඳහා වන යුගල කට්ටලය ශ්‍රිතයේ ප්‍රස්ථාරය ලෙස හැඳින්වේ.
උදාහරණය: M යනු සංඛ්යා රේඛාවක් නම් සහ සම්බන්ධය සමානාත්මතාවය x = y නම්, ප්‍රස්ථාරය පෝරමයේ (x, x) සියලුම ලක්ෂ්‍ය වලින් සමන්විත වන අතර එය ඛණ්ඩාංක කෝණයේ (y = ශ්‍රිතයේ ප්‍රස්ථාරය වේ. x). y = sin x යුගල සඳහා සම්බන්ධතාවය තෘප්තිමත් නම්, මෙම ශ්‍රිතයේ ප්‍රස්ථාරය සාමාන්ය sinusoid වේ.
එබැවින්, ප්රස්ථාරයක් පිළිබඳ අපගේ අර්ථ දැක්වීම සංඛ්‍යාත්මක ශ්‍රිතවල සාමාන්ය ප්‍රස්ථාරයේ සාමාන්‍යකරණයකි.
III. සබඳතා මත මෙහෙයුම්.
A සහ B කුලක අතර සම්බන්ධතා A x B කුලකයේ උප කුලකවලට වඩා වැඩි යමක් නොවන බැවින්, සියලු කුලක-න්යායික මෙහෙයුම් ඒවා සඳහා අර්ථ දක්වා ඇත.
අර්ථ දැක්වීම 1.4. ρ සහ δ සම්බන්ධතා වල ඡේදනය යනු අනුරූප උප කුලකවල ඡේදනයයි. (x, y) නම් සහ එකවර නම් පමණක් බව පැහැදිලිය (x, y) 
.
අර්ථ දැක්වීම 1.5. සම්බන්ධතා ρ සහ δ යනු අනුරූප අනු කුලකවල එකතුවයි. (x, y) අවම වශයෙන් එක් සම්බන්ධතාවයක් (x, y) තෘප්තිමත් වන්නේ නම් සහ පමණක් බව පැහැදිලිය.
වැදගත් කාර්යභාරයක් ඉටු කරනු ලබන්නේ ρδ මගින් දක්වන ලද මෙහෙයුම විසිනි - සම්බන්ධතා වල නිෂ්පාදනය. මෙම මෙහෙයුම පහත පරිදි අර්ථ දක්වා ඇත: (x, y) සම්බන්ධතාවය (x, z) සඳහා z පවතින බවට සමාන වේ. 
IV. සම්බන්ධතා වල ගුණාංග.
අර්ථ දැක්වීම 1.6. වස්තුව සහ එය අතර සැමවිටම තෘප්තිමත් නම්, ρ සම්බන්ධතාවයක් ප්රත්යාවර්ත ලෙස හැඳින්වේ: (x, x).
ප්රත්යාවර්ත සම්බන්ධතා සෑම විටම ප්රධාන විකර්ණයේ ඇති න්‍යාස ස්වරූපයෙන් නිරූපණය කෙරේ. ප්‍රත්‍යාවර්තක සම්බන්ධතාවයක් නිරූපණය කරන ප්‍රස්ථාරයක, සෑම ශීර්ෂයකටම ලූපයක් ඇත.
අර්ථ දැක්වීම 1.7. (x, y) සිට එය සැමවිටම x ≠ y අනුගමනය කරන්නේ නම්, ρ සම්බන්ධතාවයක් ප්රති-ප්රත්යාවර්ත ලෙස හැඳින්වේ.
සම්බන්ධතාවය "සහෝදරයෙකු වීම", "වැඩිහිටි වීම" ප්රති-ප්රත්යාවර්ත වේ.
ප්රති-ප්රත්යාවර්ත සම්බන්ධය නියෝජනය කරන න්‍යාසයේ ප්රධාන විකර්ණයේ ශුන්‍ය ඇති අතර, අනුරූප ප්‍රස්ථාරයට නිසැකවම ලූප නොමැත.
අර්ථ දැක්වීම 1.8. (x, y) සැමවිටම (y, x) අදහස් කරන්නේ නම්, ρ සම්බන්ධතාවයක් සමමිතික ලෙස හැඳින්වේ.
සමමිතික සම්බන්ධතාවයක් නියෝජනය කරන න්‍යාසයක, ප්රධාන විකර්ණයට සාපේක්ෂව සමමිතිකව පිහිටා ඇති මූලද්රව්ය එකිනෙකට සමාන වේ a ij = a ji.
අනුරූප තීරුවේ, එක් එක් ඊතලය සමඟ ප්රතිවිරුද්ධ දිශාවට ඊතලයක් ඇත. සමමිතික සම්බන්ධතාවයක් නොපැහැදිලි ප්රස්ථාරයක් ලෙස දැක්විය හැක.
අර්ථ දැක්වීම 1.9. අඩුම තරමින් සම්බන්ධතා දෙකෙන් එකක් (x, y) හෝ (y, x) තෘප්තිමත් නොවන්නේ නම්, ρ සම්බන්ධයක් අසමමිතික ලෙස හැඳින්වේ.
න්‍යාස මූලද්රව්ය සඳහා මෙය සමානාත්මතාවයට මග පාදයි: a ij ∙a ji =0
අනුරූප ප්‍රස්ථාරයේ, ප්රතිවිරුද්ධ දිශාවට සිරස් දෙකක් සම්බන්ධ කරන ඊතල තිබිය නොහැක.
ප්රමේයය 1.1: සම්බන්ධතාවයක් අසමමිතික නම්, එය ප්රති-ප්‍රත්‍යාවර්තක වේ.
අර්ථ දැක්වීම 1.10. සම්බන්ධතා (x, y) සහ (y, x) x = y විට පමණක් එකවර තෘප්තිමත් වන්නේ නම්, ρ සම්බන්ධයක් ප්‍රතිසමමිතික ලෙස හැඳින්වේ.
න්‍යාස මූලද්රව්ය සඳහා මෙය සමානාත්මතාවයට මඟ පාදයි: a ij ∙a ji =0, i≠j විට
අර්ථ දැක්වීම 1.11. සම්බන්ධතා (x, z) සහ (z, y) රඳවාගෙන සිටීමෙන් එය (x, y) අනුගමනය කරන්නේ නම්, ρ සම්බන්ධතාවයක් සංක්‍රාන්ති ලෙස හැඳින්වේ. ප්‍රේරණය මගින්, මෙය පහත ගුණාංගය ඇඟවුම් කරයි: (x, z 1), (z 1, z 2) ... (z n -1, y) එසේ නම් (x, y).
මෙම ගුණාංගය ප්‍රස්ථාරයක හොඳින් අර්ථ දක්වා ඇත: x සහ y ලක්ෂ්‍ය ඊතල දිශාවට මාර්ගයකින් සම්බන්ධ කර ඇත්නම්, එවිට x ශීර්ෂයේ සිට y ශීර්ෂය දක්වා සෘජුවම ඊතලයක් ඇත.
සමානතා සම්බන්ධතා ගණිතය
පරිච්ඡේදය 2. පන්තිවලට බෙදීම. සමානාත්මතාවය සම්බන්ධය. සමානතා ගුණාංග. සාධක කට්ටලය
පන්ති වලට බෙදීම. සමානාත්මතාවය සම්බන්ධය
අර්ථ දැක්වීම 2.1. දී ඇති අවස්ථාවක අත්‍යවශ්‍ය එකම විධිමත් ලක්ෂණ සමූහයක් ඇති M කට්ටලයක වස්තු පමණක් එකිනෙකට හුවමාරු කළ හැකි ඒවා ලෙස හඳුන්වමු.
අපි x වස්තුව සමඟ හුවමාරු කළ හැකි සියලුම වස්තූන්ගේ කට්ටලය M x මගින් දක්වමු. x M x සහ සියලු M x (M සිට හැකි සියලුම x සඳහා) එකතුවීම M සම්පූර්ණ කට්ටලය සමඟ සමපාත වන බව පැහැදිලිය.
අපි එහෙම මවාපාමු 
. මෙයින් අදහස් කරන්නේ z යම් මූලද්රව්යයක් ඇති අතර එය සමගාමීව සහ සහ සහ ට අයත් වන බවයි. එබැවින් x යනු z සමඟ හුවමාරු වන අතර z යනු y සමඟ හුවමාරු වේ. එබැවින්, x y සමඟ හුවමාරු කළ හැකි අතර, එබැවින් ඕනෑම මූලද්රව්යයක් සමඟ. මෙසේ . ප්‍රතිලෝම මාරු කිරීම එකම ආකාරයකින් පෙන්වයි. මේ අනුව, සංගමයේ (2.1) ඇති වන කට්ටල එක්කෝ ඡේදනය නොවේ හෝ සම්පූර්ණයෙන්ම සමපාත නොවේ.
අර්ථ දැක්වීම 2.2. M කට්ටලයක හිස් නොවන උප කුලක පද්ධතියක් (M 1, M 2,....) අපි මෙම කට්ටලයේ කොටසක් ලෙස හඳුන්වමු.
මෙම කට්ටලම කොටස් පන්ති ලෙස හැඳින්වේ.
අර්ථ දැක්වීම 2.3. M කුලකයේ ρ සම්බන්ධයක් සමානතාවක් (හෝ සමානතා සම්බන්ධතාවයක්) ලෙස හඳුන්වනු ලබන්නේ M කාණ්ඩයේ කොටසක් (M 1, M 2,...) තිබේ නම් (x, y) තෘප්තිමත් වන්නේ නම් සහ x නම් පමණි. සහ y ලබා දී ඇති කොටසක සමහර සාමාන්ය පන්තියේ M i වලට අයත් වේ.
(M 1 , M 2 ,....) M කාණ්ඩයේ කොටසක් වෙමු. මෙම කොටස මත පදනම්ව, x සහ y M i හි සාමාන්ය පන්තියකට අයත් වන්නේ නම්, M: (x, y) මත ρ සම්බන්ධය නිර්වචනය කරමු. මෙම කොටස. පැහැදිලිවම, ρ සම්බන්ධය සමානතාවකි. දී ඇති කොටසකට අනුරූප වන සමානතා සම්බන්ධතාවය ρ ලෙස හඳුන්වමු.
අර්ථ දැක්වීම 2.4. එක් එක් උප කුලකයේ M i අපි එහි අඩංගු x i මූලද්රව්යය තෝරා ගන්නේ නම්, මෙම මූලද්රව්යය M i කුලකයේ ඇතුළත් සෑම මූලද්රව්යයක් සඳහාම සම්මතය ලෙස හැඳින්වේ. නිර්වචනය අනුව, ρ* “සම්මතයක් වීමට” (x i, y) සම්බන්ධය සම්පූර්ණ වී ඇතැයි උපකල්පනය කරමු.
දී ඇති කොටසකට අනුරූප වන ρ සමානාත්මතාවය පහත පරිදි අර්ථ දැක්විය හැකි බව දැකීම පහසුය: (z, y) z සහ y ට පොදු සම්මතයක් තිබේ නම් (x i, z) සහ (x i, y).
උදාහරණ 2.1: ඍණ නොවන පූර්ණ සංඛ්යා M ලෙස සලකා එහි කොටස ඉරට්ටේ සංඛ්යා M 0 සහ ඔත්තේ සංඛ්යා M 1 කුලකයට ගන්න. නිඛිල කුලකයේ අනුරූප සමානතා සම්බන්ධතාවය පහත පරිදි දැක්වේ:
සහ කියවෙන්නේ: n යනු m මොඩියුල 2 හා සැසඳිය හැකි ය. ඉරට්ටේ සංඛ්යා සඳහා 0 සහ ඔත්තේ සංඛ්යා සඳහා 1 සම්මතයන් ලෙස තෝරා ගැනීම ස්වාභාවිකය. ඒ හා සමානව, එකම M කට්ටලය k උප කුලක වලට බෙදීම M 0, M 1,... M k -1, M j සියලු සංඛ්යා වලින් සමන්විත වන අතර, k වලින් බෙදූ විට ඉතිරි j ලබා දෙන විට, අපි සමානතා සම්බන්ධතාවයට පැමිණෙමු:
k වලින් බෙදූ විට n සහ m එකම ඉතිරියක් තිබේ නම් එය රඳවා ගනී.
සෑම M j එකකම ප්‍රමිතියක් ලෙස අනුරූප ඉතිරි j තෝරා ගැනීම ස්වාභාවිකය.
II. සාධක කට්ටලය
සමානාත්මතා සම්බන්ධතාවයක් වේවා. ඉන්පසුව, ප්‍රමේයයට අනුව, M කට්ටලයේ කොටසක් (M 1, M 2,....) එකකට සමාන මූලද්රව්ය කාණ්ඩවලට - ඊනියා සමානතා පන්ති වලට ඇත.
අර්ථ දැක්වීම 2.5. සම්බන්ධතාවයකට අදාළව සමානතා පන්ති කට්ටලය M/ මගින් දක්වනු ලබන අතර, සම්බන්ධතාවයකට අදාළව M කට්ටලයේ කෝටන්ට් කට්ටලය ලෙස කියවනු ලැබේ.
φ: M → S යනු M කුලකයේ යම් S කුලකයක් මත surjective සිතියම්ගත කිරීමක් වේ.
ඕනෑම φ: M → S - surjective සිතියම්ගත කිරීම සඳහා M/ සහ S එකින් එක ලිපි හුවමාරුවකට යෙදිය හැකි වන පරිදි M කට්ටලය මත සමානතා සම්බන්ධයක් ඇත.
III. සමානතා ගුණ
අර්ථ දැක්වීම 2.6. M කට්ටලයක ρ සම්බන්ධයක් එය ප්‍රත්‍යාවර්තක, සමමිතික සහ සංක්‍රාන්ති නම් සමානතා සම්බන්ධතාවයක් ලෙස හැඳින්වේ.
ප්රමේයය 2.1: M කුලකයක ρ සම්බන්ධයක් ප්‍රත්‍යාවර්තක, සමමිතික සහ සංක්‍රාන්ති නම්, M කාණ්ඩයේ (M 1, M 2,....) කොටසක් පවතී නම් (x, y) x නම් සහ පමණක් නම් සහ දී ඇති කොටසක සමහර සාමාන්ය පන්තියේ M i ට අයත් වේ.
පරිවර්තනය: කොටසක් ලබා දී ඇත්නම් (M 1, M 2,....) සහ ද්විමය සම්බන්ධය ρ “සාමාන්ය බෙදීමේ පන්තියට අයත්” ලෙස ලබා දී ඇත්නම්, ρ යනු ප්‍රත්‍යාවර්තක, සමමිතික සහ සංක්‍රාන්ති වේ.
සාක්ෂි:
M මත ρ ප්‍රත්‍යාවර්තක, සමමිතික සහ සංක්‍රාන්ති සම්බන්ධයක් සලකා බලන්න. ඕනෑම දෙයක් සඳහා (x, z) ρ සඳහා සියලුම z වලින් සමන්විත වේ.
Lemma 2.1: ඕනෑම x සහ y සඳහා, එක්කෝ හෝ 
ρ සම්බන්ධතාවයේ ලෙම්මා සහ ප්‍රත්‍යාවර්තීතාවයෙන් එය අනුගමනය කරන්නේ පෝරමයේ කට්ටල M කාණ්ඩයේ කොටසක් සාදයි. (මෙම කොටස ස්වාභාවිකවම මුල් සම්බන්ධතාවයට අනුරූප වන කොටස ලෙස හැඳින්විය හැක). දැන් (x, y) ρ. මෙයින් අදහස් කරන්නේ y. නමුත් (x, x) ρ නිසාද x. එබැවින්, මූලද්රව්ය දෙකම ඇතුළත් වේ. එබැවින්, (x, y) ρ නම්, x සහ y කොටස් පොදු පන්තියට ඇතුළත් වේ. අනෙක් අතට, ඔබ සහ v. (u, v) ρ ඇත්ත වශයෙන්ම, අපට (x, u) ρ සහ (x, v) ρ ඇති බව පෙන්වමු. එබැවින්, සමමිතිය මගින් (u, x) ρ. සංක්‍රාන්තිය අනුව, (u, x) ρ සහ (x, v) ρ සිට එය (u, v) ρ ලෙසින් පහත දැක්වේ. ප්රමේයයේ පළමු කොටස ඔප්පු කර ඇත.
M කට්ටලයේ කොටසක් (M 1, M 2,....) ලබා දෙන්න. සියලුම කොටස් පන්තිවල එකමුතුව M සමඟ සමපාත වේ, එවිට ඕනෑම x සමහර පන්තියකට ඇතුළත් වේ. එය අනුගමනය කරන්නේ (x, x) ρ, i.e. ρ - reflexive. x සහ y කිසියම් පන්තියක නම්, y සහ x එකම පන්තියේ වේ. මෙයින් අදහස් කරන්නේ (x, y) ρ (y, x) ρ, i.e. සම්බන්ධතාවය සමමිතික වේ. දැන් (x, y) ρ සහ (y, z) ρ රඳවා ගැනීමට ඉඩ දෙන්න. මෙයින් අදහස් කරන්නේ x සහ y සමහර පන්තියක වන අතර y සහ z සමහර පන්තියක සිටින බවයි. පන්තිවල පොදු මූලද්රව්ය y ඇති අතර, එබැවින් සමපාත වේ. මෙයින් අදහස් කරන්නේ x සහ z පන්තියට ඇතුළත් කර ඇති බවයි, i.e. (x, z) ρ රඳවා ඇති අතර සම්බන්ධතාවය සංක්‍රාන්ති වේ. ප්රමේයය ඔප්පු කර ඇත.
IV. සමානතා මත මෙහෙයුම්.
මෙහිදී අපි සමානාත්මතා පිළිබඳ සමහර න්යායික මෙහෙයුම් නිර්වචනය කර ඒවායේ වැදගත් ගුණාංග ඔප්පු කිරීමකින් තොරව ඉදිරිපත් කරමු.
සම්බන්ධතාවයක් යනු යුගලයක් (), M යනු සම්බන්ධතාවයට ඇතුළු වන මූලද්රව්ය සමූහයක් වන අතර එය සම්බන්ධතාවය තෘප්තිමත් වන යුගල කට්ටලය බව මතක තබා ගන්න.
අර්ථ දැක්වීම 2.7. සම්බන්ධතාවල ඡේදනය (ρ 1, M) සහ (ρ 2, M) යනු අනුරූප උප කුලකවල ඡේදනය මගින් අර්ථ දක්වා ඇති සම්බන්ධතාවයකි. (x, y) ρ 1 ρ 2 නම් සහ (x, y) ρ 1 සහ (x, y) ρ 2 යන දෙකම නම් පමණි.
ප්රමේයය 2.2: ρ 1 ρ 2 සමානතා ρ 1 ρ 2 හි ඡේදනය සමානතා සම්බන්ධතාවයකි.
අර්ථ දැක්වීම 2.8. සම්බන්ධතා (ρ 1, එම්) සහ (ρ 2, එම්) යනු අනුරූප අනු කුලකවල එකතුව මගින් අර්ථ දක්වන ලද සම්බන්ධතාවයකි. (x, y) ρ 1 ρ 2 නම් සහ (x, y) ρ 1 හෝ (x, y) ρ 2 නම් පමණි.
ප්රමේයය 2.3: ρ 1 ρ 2 සමානතා ρ 1 ρ 2 සමතුලිත සම්බන්ධතාවයක් වීමට නම් එය අවශ්‍ය සහ ප්‍රමාණවත් වේ
ρ 1 ρ 2 =ρ 1 ρ 2
අර්ථ දැක්වීම 2.9. සම්බන්ධතා වල සෘජු එකතුව (ρ 1, M 1) සහ (ρ 2, M 2) අනුපාතය ලෙස හැඳින්වේ. සෘජු එකතුව (ρ 1, M 1) (ρ 2, M 2) දක්වා ඇත.
මේ අනුව, (ρ 1, M 1) (ρ 2, M 2)= () නම්, M=.
ප්රමේයය 2.4: , සහ සම්බන්ධතා සමානතා නම්, සම්බන්ධතාවල සෘජු එකතුව (ρ 1, M 1) (ρ 2, M 2) = (), ද සමානතාවයකි.
V. සම්බන්ධතා වර්ග
අපි තවත් වැදගත් සම්බන්ධතා වර්ග කිහිපයක් හඳුන්වා දෙමු. තුන්වන පරිච්ඡේදයේ උදාහරණ ලබා දෙනු ඇත.
අර්ථ දැක්වීම 2.10. M කට්ටලයක ρ සම්බන්ධතාවයක් එය ප්‍රත්‍යාවර්තී සහ සමමිතික නම් ඉවසීම ලෙස හැඳින්වේ.
අර්ථ දැක්වීම 2.11. M කට්ටලයක් මත ඇති ρ සම්බන්ධයක් එය ප්රති-ප්‍රත්‍යාවර්තක සහ සංක්‍රාන්ති නම් දැඩි අනුපිළිවෙලෙහි සම්බන්ධතාවයක් ලෙස හැඳින්වේ.
අර්ථ දැක්වීම 2.12. x සහ y මූලද්රව්ය යුගලයක් M වෙතින් (x, y) හෝ (y, x) සත්‍ය නම්, දැඩි අනුපිළිවෙල සම්බන්ධයක් ρ පරිපූර්ණ දැඩි අනුපිළිවෙලක් ලෙස හැඳින්වේ.
අර්ථ දැක්වීම 2.13. M කට්ටලයක ρ සම්බන්ධතාවයක් ආකෘතියෙන් නිරූපණය කළ හැකි නම් එය දැඩි නොවන අනුපිළිවෙලෙහි සම්බන්ධතාවයක් ලෙස හැඳින්වේ:
පරිච්ඡේදය 3. පාසල් ගණිතයේ සබඳතා
ජ්යාමිතික වස්තූන් අතර සම්බන්ධතා
පාසල් ගණිතයේ බොහෝ ප්‍රසිද්ධ සංකල්ප, සාරාංශයක් ලෙස, ද්විමය සම්බන්ධතා වල නම් වන අතර, ඒවාට සම්බන්ධ මූලික ප්‍රමේයයන් මෙම සම්බන්ධතා වල ගුණාංග ප්‍රකාශ කරයි.
උදාහරණ 3.1. M යනු තලයේ ඇති සියලුම රේඛා කට්ටලය වේ. X අනුපාතය || Y යනු X සහ Y රේඛා සමාන්තර වේ. අපි මෙම සම්බන්ධතාවයේ සමහර ගුණාංග ස්ථාපිත කරමු.
ආකල්ප || ප්රති-පරාවර්තක. ඇත්ත වශයෙන්ම, කිසිදු සරල රේඛාවක් තමාටම සමාන්තර නොවේ.
ආකල්ප || සමමිතිකව, සමාන්තරවාදයේ නිර්වචනයේ දී රේඛා දෙකම සමාන වන කාරනයෙන් මෙය පැහැදිලි වේ.
ආකල්ප || පාහේ සංක්‍රාන්ති. එනම්: X නම් || Y සහ Y || Z, පසුව එක්කෝ X || Z, හෝ කුළුබඩු සහිත X සහ Z සමාන වේ. ඇත්ත වශයෙන්ම, මෙය එසේ නොවේ නම්, X සහ Z රේඛා ඡේදනය වේ. නමුත්, ජ්‍යාමිතියෙන් දන්නා පරිදි, Z සරල රේඛාව සමාන්තර Xs වලින් එකක් සමඟ ඡේදනය වේ නම්, එය සමාන්තර Ys වලින් තවත් එකක් සමඟ ඡේදනය වේ, i.e. Y || සම්බන්ධතාවය ඇති කර ගැනීමට නොහැකි වනු ඇත Z.
මේ අනුව, සරල රේඛා අතර සමාන්තර සම්බන්ධතාව තවමත් හොඳ ගුණාංග නොමැත. නමුත් ඉහත කී දේ මගින් සමාන්තර සම්බන්ධතාවයක් වන්නේ කුමන ආකාරයේ සම්බන්ධයක්ද යන්න පහසුවෙන් සිතාගත හැකිය. එනම්, අපි සම්බන්ධතාවය නිර්වචනය කරමු
රේඛා සමාන්තර හෝ සමපාත වන විට සිදු කරනු ලැබේ. නිර්වචනය අනුව, X ||| X ඕනෑම සරල රේඛාවක් සඳහා X. සම්බන්ධතාවයේ සමමිතිය ||| යන්න ද පැහැදිලි ය. අවසාන වශයෙන්, X නම්|| Y සහ Y ||| Z, පසුව X ||| Z. ඇත්ත වශයෙන්ම, X නම් || Y සහ Y = Z, පසුව X || Z; X = Y සහ Y නම් || Z, පසුව X || Z. අවසාන වශයෙන් X නම් || Y සහ Y || Z, එහෙනම් කලින් කියපු විදියට එක්කෝ X = Z නැත්නම් X || Z. සෑම අවස්ථාවකදීම අපට X ||| Z.
ආකල්පය ||| රේඛා සමූහයක් මත වීජීය ස්වරූපයෙන් ඉතා ස්වාභාවික ලෙස පෙනේ. ඔබ තලය මත Cartesian ඛණ්ඩාංක x සහ y ඇතුළු කරන්නේ නම්, Ox අක්ෂයට ලම්බක නොවන (සිරස් නොවන) ඕනෑම සරල රේඛාවක් y=kx+b සමීකරණයෙන් ලබා දේ. වෙනත් වචන වලින් කිවහොත්, ඕනෑම (නිශ්චිත ව්‍යතිරේකයක් සහිත) රේඛාවක් සංඛ්යා යුගලයකින් (k, b) අර්ථ දක්වා ඇත. X සරල රේඛාව y=kx+b සමීකරණයෙන් ද, Y සරල රේඛාව y=k’x+b’ සමීකරණයෙන් ද ලබා දෙන්න. එවිට X|||Y සම්බන්ධය තෘප්තිමත් වන්නේ k=k’ නම් සහ පමණක් නම් (k යනු සරළ රේඛාවේ ආනතියේ කෝණයේ ස්පර්ශකයයි). X||Y සම්බන්ධය යන්නෙන් අදහස් වන්නේ k=k’ සහ ඒ සමගම b≠b’, i.e. සරල රේඛා වෙනස් වේ. සිරස් රේඛා සඳහා, අපට k=∞ () තැබිය හැකි අතර, k=k’ කොන්දේසිය තවමත් X|||Y යන්න අදහස් කරයි. කෙසේ වෙතත්, මෙම ගිවිසුම එතරම් හොඳ නැත, මන්ද k=∞ සඳහා අපට සමාන්තර රේඛා වෙන්කර හඳුනාගත හැකි දෙවන පරාමිතියක් නොමැත.
විශ්ලේෂණාත්මක ජ්‍යාමිතියේදී, සරල රේඛාවක් නියම කිරීමේ වඩාත් විශ්වීය (සාමාන්ය) ආකාරයක් ලබා දී ඇත: x cos α + y sin α - p = 0, එය ඕනෑම ආකාරයක සරල රේඛාවක් විස්තර කරයි. මෙහි p යනු මූලාරම්භයේ සිට සරල රේඛාව දක්වා පහත හෙලන ලද ලම්බකයේ දිග, α යනු abscissa අක්ෂයට ලම්බකව ඇති ආනතියේ කෝණයයි.
මේ අනුව, සෑම පේළියක්ම සංඛ්යා යුගලයකට (α, p) සම්බන්ධ වන අතර, 0 ≤ α< 2π и 0 ≤ р < +∞. Соотношение X|||Y означает, что для соответствующих прямых α = α’ или α = α’ + π. Каждой прямой соответствует точка на плоскости параметров α и р, лежащая в области, изображенной на рисунке 3.2. Пары вертикальных прямых α=const и α+ π=const (0 ≤ α < π) суть классы эквивалентности отношения |||.
උදාහරණ 3.2. තලයක සරල රේඛා කට්ටලය මත තවත් වැදගත් සම්බන්ධතාවයක් ඇත: X ┴Y (X Y ට ලම්බක වේ). ලම්බක සම්බන්ධතාවයට පහත වැදගත් ගුණාංග ඇත:
1. ප්රති-ප්රත්යාවර්තකත්වය. ඉම්පොසිබල් X ┴ X.
2. සමමිතිය. X ┴ Y නම්, Y ┴ X.
3. X ┴ Y සහ Y ┴ Z නම් එය X ┴ Z සඳහා කළ නොහැක්කකි. X ┴ Y සහ Y ┴ Z වලින් එය පැහැදිලිවම X බව අනුගමනය කරයි ||| Z. අනෙක් අතට, X නම් ||| Z, එවිට X සහ Z රේඛා සඳහා පොදු ලම්බක Y ඇත, i.e. එවැනි Y එවැනි X ┴ Y සහ Y ┴ Z.
අවසාන ප්‍රකාශ දෙකෙන්ම අදහස් වන්නේ ලම්බක අනුපාතයේ වර්ග අනුපාතය ||| යන්නයි - "වැඩිදියුණු කළ සමාන්තරකරණය":
┴ ┴ = ┴ 2 =|||.
උදාහරණය 3.3. අපි M හි තවත් එක් සම්බන්ධතාවයක් X Per Y වෙත හඳුන්වා දෙමු, එනම් රේඛා වලට අවම වශයෙන් එක් පොදු ලක්ෂ්‍යයක් හෝ ඇත, එනම්. ඡේදනය හෝ සමපාත වේ. Per සම්බන්ධය ප්‍රත්‍යාවර්තී, සමමිතික, නමුත් සංක්‍රාන්ති නොවන අතර එය ඉවසීමේ සම්බන්ධයක් බව පැහැදිලිය.
අපි තලයේ P නිශ්චිත ලක්ෂ්‍යයක් තෝරාගෙන මෙම ලක්ෂ්‍යය හරහා ගමන් කරන සියලුම රේඛාවල K p කට්ටලය සලකා බලමු. K p යනු ඉවසීමේ පන්තියක් බව දැකීම පහසුය. ඇත්ත වශයෙන්ම, K p සිට ඕනෑම සරල රේඛාවකට පොදු ලක්ෂ්‍යයක් ඇත, එනම්, P ලක්ෂ්‍යය ම අනෙක් අතට, K p හි ඇතුළත් නොවන ඕනෑම X රේඛාවක් K p හි යම් රේඛාවක් සමඟ ඡේදනය නොවේ, එනම් ලක්ෂ්‍යය හරහා ගමන් කරන රේඛාව. P X ට සමාන්තරව.
උදාහරණය 3.4. දැන් M තලයේ ඇති සියලුම ත්‍රිකෝණවල කට්ටලය වේ. ත්‍රිකෝණවල සමානාත්මතාවය සහ සමානතාවය සමානතා සම්බන්ධතා වේ.
උදාහරණය 3.5. අපි M k මගින් තලයේ ඇති කව කට්ටලය දක්වන්නෙමු සහ X |= Y සම්බන්ධය නිර්වචනය කරමු X වෘත්තය Y කවය තුළ ඇති කොන්දේසිය මගින්. මෙම සම්බන්ධතාවය ප්රති-ප්‍රත්‍යාවර්තක, සංක්‍රාන්ති, i.e. දැඩි නියෝගයකි. මෙම නියෝගය පරිපූර්ණ නොවේ, මන්ද කවයන් ඇත, ඒ කිසිවක් අනෙකා තුළ පිහිටා නැත.
උදාහරණය 3.6. අපි සියලුම සරල රේඛා කට්ටලයට M යන තනතුර ලබා දෙනවා එවිට අපට සරල රේඛා සහ කවයන් අතර සම්බන්ධය සලකා බැලිය හැකිය. එවැනි සම්බන්ධතාවයක් සඳහා උදාහරණයක් වන්නේ සම්බන්ධතාවය X Cas Y - සරල රේඛාව X කවය Y ස්පර්ශ කරයි.
II. සමීකරණ අතර සම්බන්ධතා.
දැන් M කට්ටලය පෝරමයේ සමීකරණ වලින් සමන්විත වේ:
f(x)=g(x) (α)
α සමීකරණයේ සියලුම මූලයන් සමූහය Rα මගින් දක්වනු ඇත.
උදාහරණයක් ලෙස, සමීකරණය සඳහා
x 2 =x 3 (α 1)
Rα 1 =(0,1).සමීකරණය සඳහා
cos x=sin x (α 2)
Rα 2 =(...).සමීකරණය සඳහා
X 2 =-1 (α 3)
Rα 3 =Ø. සමීකරණය සඳහා
(1+ x) 2 = x 2 +2x+1 (α 4)
Rα 4 =(-∞, +∞).
උදාහරණය 3.7. අපි දැන් සමීකරණ අතර සම්බන්ධතා හඳුන්වා දෙමු: අපි Rα = Rβ නම් සමීකරණ α සහ β සමාන α ≈ β ලෙස හඳුන්වමු.
කට්ටලවල සමානාත්මතාවය සමානතා සම්බන්ධතාවයක් වන බැවින්, එය පහසුවෙන්ම අනුගමනය කරන්නේ ≈ සම්බන්ධතාවය සමානතා සම්බන්ධතාවයක් බවයි. පාසල් පාඨමාලාවේදී, සමීකරණවල පරිවර්තනයන් අධ්යයනය කරනු ලබන අතර, සමීකරණය α සමාන සමීකරණය β බවට පරිවර්තනය කරයි.
උදාහරණය 3.8. α සමීකරණය β සමීකරණයට වඩා ශක්තිමත් නොවේ: α => β Rα Rβ හි අඩංගු වේ නම්. මෙම අවස්ථාවේ දී, ඔවුන් පවසන්නේ β සමීකරණය α ට වඩා දුර්වල නොවන බවයි.
සම්බන්ධතාවය => ප්‍රත්‍යාවර්තී සහ සංක්‍රාන්ති වේ, i.e. අර්ධ අනුපිළිවෙලකි. α => β සහ β => α සිට සමානතාව පහත දැක්වේ: α ≈ β. අනෙක් අතට, α ≈ β සමානාත්මතාවයෙන් α => β සහ β => α. මේ අනුව, ≈ = =>=> -1 .
උදාහරණය 3.9. අවම වශයෙන් එක් මූලයක් ඇති සමීකරණ කට්ටලයක් මත, ස්වාභාවික ඉවසීමේ සම්බන්ධතාවය තීරණය කිරීම පහසුය - පොදු මූලයන් තිබීම: Rα ∩ Rβ ≠ Ø.
උදාහරණය 3.10. ඵලදායී සමානාත්මතාවයේ සම්බන්ධතාවය ද අපට හඳුන්වා දිය හැකිය. α සහ β සමීකරණ ඵලදායි ලෙස සමාන ලෙස හඳුන්වනු ලැබේ, ඒ සෑම එකක්ම සමාන පරිවර්තන සීමිත සංඛ්‍යාවක් භාවිතා කරමින් අනෙක බවට පරිවර්තනය කළ හැකි නම් (ස්ථාවර ලැයිස්තුවකින් අවසර ලත් ශිල්පීය ක්රම).
සම්බන්ධතාවයේ සංක්‍රාන්ති බව හේතුවෙන්, එවැනි තාක්ෂණික ක්‍රමවල යෙදීම් සංඛ්‍යාව සමානතාව උල්ලංඝනය නොකරයි. එබැවින්, ඵලදායී ලෙස සමාන සමීකරණ සමාන වේ, එය එක් සම්බන්ධතාවයක් තවත් සම්බන්ධයක් ඇතුළත් කිරීම ලෙස හැඳින්විය හැක.
සබඳතා පිළිබඳ සලකා බලන ලද උදාහරණ මගින් සම්බන්ධතා පිළිබඳ සංකල්පය පැහැදිලිව විදහා දක්වයි, සමානාත්මතා සම්බන්ධතා ඇතුළුව, ඒවායේ ගුණාංග පාසල් ගණිතයේ මෙවලම මගින් පහසුවෙන් තහවුරු කර ගත හැකි අතර ඒවා ඉතා පැහැදිලිය. එබැවින්, ගණිත සමාජවල ඉගෙනුම ලබන වැඩිහිටි පාසල් දරුවන්ට සබඳතා පිළිබඳ සංකල්පය හඳුන්වා දිය හැකිය.
නිගමනය
ද්විමය සම්බන්ධතා යනු විවිධාකාර ගැටළු විසඳීම සඳහා ඉතා පහසු සහ සරල උපකරණයකි. ගණිතමය වාග් විද්යාව, ගණිතමය ජීව විද්යාව සහ වෙනත් ව්‍යවහාරික (ගණිතය සඳහා) ක්ෂේත්‍ර ගණනාවකට ද්විමය (සහ වඩාත් සාමාන්ය) සම්බන්ධතා භාෂාව ඉතා පහසු සහ ස්වාභාවිකය. ද්විමය සම්බන්ධතා න්‍යායේ ජ්යාමිතික පැතිකඩ සරලව ප්‍රස්ථාර න්‍යාය බව පවසමින් මෙය ඉතා පහසුවෙන් පැහැදිලි කළ හැකිය. නමුත් ප්‍රස්ථාරවල ජ්යාමිතික න්‍යාය දන්නා සහ සාහිත්‍යයේ හොඳින් ආවරණය වී ඇති තරමට, සම්බන්ධතා න්‍යායේ වීජීය අංශ එතරම් දුර්වල ලෙස ඉදිරිපත් කර ඇත.
මේ අතර, සබඳතාවල වීජ ගණිතය තරමක් ප්රසිද්ධියේ පැහැදිලි කළ හැකිය. ඒ නිසා එය ගණිත සමාජවල ඉගෙනුම ලබන වැඩිහිටි පාසල් දරුවන්ට ඉගෙන ගත හැකිය.
මෙම කාර්යයේදී, සම්බන්ධතාවය සහ සමානාත්මතාවය පිළිබඳ සංකල්ප පරීක්ෂා කර, ඒවායේ සමහර ගුණාංග විශ්ලේෂණය කර, ජ්යාමිතික අර්ථකථන සහ නිදර්ශන උදාහරණ ලබා දෙන ලදී.
භාවිතා කරන ලද මූලාශ්ර ලැයිස්තුව
1. Bogomolov A.M., Saliy V.N. විවික්ත පද්ධති පිළිබඳ සිද්ධාන්තයේ වීජීය පදනම්. - එම්.: විද්යාව. Fizmatlit, 1997. -368 පි.
2. Shrader Yu.A. සමානාත්මතාවය. සමානකම. නියෝග. - එම්.: Nauka, 1971.-256 පි.
Kostrikin A.I. වීජ ගණිතය හැඳින්වීම. - එම්.: Nauka, 1977.-334 පි.
බී.එල්. van der Waerden. නවීන වීජ ගණිතය. 2 වෙළුම් T.1.- M., OGIZ GOSTEKHIZDAT, 1947 -339 p.
බොහෝ ගණනය කිරීමේ ගැටළු වලදී, විශාල කට්ටල ලබාගෙන බෙදා හරිනු ලබන්නේ අපට උනන්දුවක් දක්වන සියලු තත්වයන් නිවැරදිව තෝරාගත් උදාහරණ කිහිපයක් භාවිතා කර අධ්යයනය කළ හැකි ආකාරයට ය.
අර්ථ දැක්වීම 1: A ¹ Æ සහ (A i ),i= A= වැනි උප කුලක එකතුවක් කරමු. එවිට මෙම උප කුලක එකතුව ලෙස හැඳින්වේ ආලේප කර ඇතකට්ටල A.
උදාහරණයක් ලෙස, (A, B) යනු AÈB හි ආවරණයකි; (A, AÈB, B, C) - AÈBÈC ආවරණය කරයි.
අදහස් දැක්වීම: සාමාන්ය නඩුවේදී, ආවරණය අසීමිත විය හැකිය. කෙසේ වෙතත්, නිශ්චිත ගුණාංග අධ්යයනය කිරීමේ දෘෂ්ටි කෝණයෙන්, මෙම තත්ත්වය උද්යෝගය ඇති නොකරයි.
අර්ථ දැක්වීම 2: බෙදීමෙනි හිස් නොවන කට්ටලයක A එහි ආවරණය ලෙස හැඳින්වේ, එනම් i¹ j නම්, A i ÇA j =Æ.
උදාහරණයක් ලෙස, (A, A') යනු කොටසකි යූ.
(AÇB, AÇB', A'ÇB, A'ÇB') - කොටස යූ,
(A\B, AÇB, B\A) - AÈB කොටස.
ඔබට අංක හෝ කට්ටලවල සමානාත්මතා සම්බන්ධතා ලෙස හැසිරෙන සම්බන්ධතා භාවිතයෙන් හිස් නොවන කට්ටලයක කොටස් සංවිධානය කළ හැකිය.
අර්ථ දැක්වීම 3:කට්ටලයක් මත ද්විමය සම්බන්ධතාවයක් ලෙස හැඳින්වේ සමානතා සම්බන්ධතාවය, එය reflexive, symmetrical සහ transitive නම්.
උදාහරණ:
1. සියලුම ත්‍රිකෝණවල කට්ටලය මත: ((x, y)| x සහ y ට ඇත්තේ එකම ප්‍රදේශයකි)
2. සියලුම වැඩසටහන් කට්ටලය මත: ((a, b)| a, b නිශ්චිත යන්ත්‍රයක එකම ශ්‍රිතය ගණනය කරන්න)
අර්ථ දැක්වීම 4: A සහ xOA කුලකයේ R සමානාත්මතා සම්බන්ධතාවයක් වේවා. x මගින් ජනනය කරන ලද සමානතා පන්තියකට්ටලය (y| xR y)=[x] R ලෙස හැඳින්වේ.
අර්ථ දැක්වීම 5:සමානතා පන්තියක ඕනෑම අංගයක් ලෙස හැඳින්වේ නියෝජිතයාමෙම පන්තිය. සම්පූර්ණ නියෝජිත පද්ධතියසෑම පන්තියකින්ම නියෝජිතයින් කට්ටලයක් කැඳවනු ලැබේ.
උදාහරණය 3:
එන්ස්වාභාවික සංඛ්යා වේ, s යනු ස්ථාවර මූලද්‍රව්‍යයකි. මත Zසම්බන්ධතාවය අර්ථ දක්වා ඇත: r s = ((x, y)| x-y=ns, nО Z) ආකල්පය සැසඳීම් මොඩියුලය s (සටහන්: xºy(mods)).
සැසඳීමේ සම්බන්ධතා මොඩියුලය කට්ටලයේ සමානතා සම්බන්ධතාවයක් දැයි පරීක්ෂා කිරීම පහසුය. Z.
උදාහරණයක් ලෙස, s=10 කරමු. ඉන්පසු:
= {11,21,-9,10 976 631,.... }
= {66,226,-24,... }
ඇත්ත වශයෙන්ම, මෙම සම්බන්ධතාවය සඳහා ඇත්තේ සමානතා පන්ති 10 ක් පමණක් වන අතර අංක 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ආකෘති පත්‍රය සම්පූර්ණ නියෝජිත පද්ධතිය. මෙම සමානතා සම්බන්ධතාවය මත පදනම් වූ සමානතා පන්ති ලෙස හැඳින්වේ අඩු කිරීම් පන්ති මොඩියුල එස්.
අර්ථ දැක්වීම 6: සාධක කට්ටලයසමානාත්මතා සම්බන්ධතාවකට අදාළව A කාණ්ඩයක R මෙම සම්බන්ධතාවයට අදාළව සියලුම සමානතා පන්ති සමූහය ලෙස හඳුන්වන අතර A/R ලෙස දැක්වේ.
මොඩියුල s හි අවශේෂ පන්ති කට්ටලය දක්වනු ලැබේ ඉසෙඩ් එස්.
සිදුවේ
ප්රමේයය (කොටස් කිරීම ගැන): R යනු හිස් නොවන A කුලකයක් මත සමානාත්මතා සම්බන්ධතාවයක් ලෙස සලකමු. එවිට A/R කුලකය A කුලකයේ කොටසක් වේ.
සාක්ෂි:
"xОA(xО[x] R). A කාණ්ඩයේ සෑම මූලද්‍රව්‍යයක්ම හරියටම එක් පන්තියකට අයත් බව අපි ඔප්පු කළ යුතුයි. එනම්, පන්තිවලට අවම වශයෙන් එක් පොදු මූලද්රව්යයක් හෝ තිබේ නම්, ඒවා සමපාත වන බව අපි ඔප්පු කරන්නෙමු. cО[ කරමු. a] සහ cО [b], නමුත් x R a, a R c, c R b Þ x R b (සංක්‍රමණ R) ට සමාන වේ ] එම් [අ].
Q.E.D.
සංවාදය ද පවත්වයි. S යනු A කට්ටලයක කොටසක් වන අතර R s යනු A මත ද්විමය සම්බන්ධතාවයක් වේ, එනම්: R=((x,y)ïx සහ y කොටසෙහි එකම මූලද්‍රව්‍යයට අයත් වේ), එවිට R, අපි අමතන්නෙමු - S කොටස මගින් තීරණය කරන ලද සම්බන්ධතාවය.
ප්රමේයය (ආපසු): S හි කොටස මගින් නිර්වචනය කරන ලද A මත R සම්බන්ධතාවය, A මත සමානතා සම්බන්ධතාවයක් වන අතර A/R s = S. (ස්වාධීනව)
අභ්යාස:
1. A පරිමිත කට්ටලයක් වේවා. කුමන සමානතා සම්බන්ධතා විශාලතම හා කුඩාම සමානතා පන්ති සංඛ්‍යාව ලබා දෙයි.
2. (A 1 , A 2 , ..., A n ) යනු A සහ A පරිමිත බෙදීමක් නම් .
ඇණවුම් සම්බන්ධය.
සමානාත්මතාවය පිළිබඳ සංකල්පයෙන් (උදාහරණයක් ලෙස, සංඛ්යා) සමානාත්මතාවයේ ගණිතමය සංකල්පය පැන නගී. අසමානතාවයේ සංකල්පයෙන් තවත් ආකාරයක සම්බන්ධතාවයක් පැන නගී, එය පිළිවෙල සම්බන්ධතා ලෙස හැඳින්වේ.
අර්ථ දැක්වීම 1: අර්ධ අනුපිළිවෙලකට්ටලය A යනු ප්‍රත්‍යාවර්තක, ප්‍රතිසමමිතික සහ සංක්‍රාන්ති ද්විමය සම්බන්ධතාවයකි.
අර්ධ අනුපිළිවෙල යනු R වෙත £ සම්බන්ධතාවයේ සාමාන්‍යකරණයකි. අපට සංකල්පය හඳුන්වා දිය හැකිය දැඩි නියෝගයක් , සම්බන්ධතාවයට අනුරූප වේ< на R. Отношение строгого порядка - только транзитивно(оно еще и антирефлексивно).
£ ලබා දෙනවා නම්, අපට නිර්වචනය කළ හැකිය<: a
අනුපිළිවෙල සම්බන්ධය ලබා දී ඇති කට්ටලය මගින් දක්වනු ලැබේ
(X, £) (හෝ (X,<), если порядок строгий).
අර්ථ දැක්වීම 2:ඇණවුම් සම්බන්ධතාවයක් ලබා දී ඇති කට්ටලයක් ලෙස හැඳින්වේ අර්ධ වශයෙන් ඇණවුම් කර ඇත.
උදාහරණයක්: A යනු කට්ටලයකි. ( පී (A),Í), සම්බන්ධතාවය පරීක්ෂා කිරීම පහසුය Í මත ඇණවුම් සම්බන්ධයක් වේ පී (ඒ).
අර්ථ දැක්වීම 3: A මත R අනුපිළිවෙලෙහි සම්බන්ධතාවයක් ලෙස හැඳින්වේ සම්පූර්ණ (රේඛීය ) පිළිවෙළින්, "x, yÎA (xR y Ú yR x) නම් කට්ටලය (A, R) රේඛීය ලෙස පිළිවෙළ ලෙස හැඳින්වේ.
උදාහරණ:
1. අනුපාතය £ සිට ආර්සම්පූර්ණ ඇණවුම් සම්බන්ධතාවයකි. මේ අනුව ( ආර්,£) - රේඛීයව ඇණවුම් කර ඇත.
2. සහ මෙහි ( පී (A),Í) රේඛීයව ඇණවුම් කර නැත
3. කට්ටලය මත x£y Û y x එන්සම්පූර්ණ පිළිවෙළකට නැත
අර්ථ දැක්වීම 4:ඉඩ දෙන්න (ඒ, £) අර්ධ වශයෙන් ඇණවුම් කළ කට්ටලයකි. මූලද්රව්යය AOA ලෙස හැඳින්වේ කුඩාම/විශාල/ A හි නම් "xОA (a£ x) /x £ a /. bОА මූලද්රව්යය ලෙස හැඳින්වේ අවම / උපරිම /"xÎA (x£ a Þ x=a) /a £ x Þ a=x / නම්.
කාර්ය:රේඛීයව අනුපිළිවෙලක් සඳහා විශාලතම (කුඩාම) සහ උපරිම (අවම) මූලද්‍රව්‍යවල සංකල්ප සමපාත වන බව ඔප්පු කරන්න. ඒවා නොගැලපෙන අර්ධ වශයෙන් ඇණවුම් කළ කට්ටලයක උදාහරණයක් දෙන්න.
සම්බන්ධතා සංයුතිය
A, B සහ C කට්ටල සහ A සහ B (එනම් SÌA´B) අතර S සම්බන්ධතා සහ B සහ C (RÌB´C) අතර R ලබා දෙන්න. A සහ C අතර නව සම්බන්ධතාවයක් පහත පරිදි නිර්වචනය කරමු:
අර්ථ දැක්වීම 1: zÎB පවතින සියලුම යුගල (x, y) කට්ටලය (x, z)O S සහ (z, y)О R ලෙස හැඳින්වේ සබඳතා සංයුතියඑස් සහ ආර්. නම් කරන ලද්දේ: R o S . මේ අනුව, Ro SÌ A´ C .
R oS = ((x, y)| $zÎB((x,z)ÎSÙ(z,y)ÎR)) හෝ x R o Sy Û $zÎB(xSzÙzRy).
උදාහරණ 1 : A=(1, 2, 3), B=(1, 2, 3, 4, 5, 6), C=(3, 6, 9, 12), s =((1,2), (2) ,4), (3,6)), r=((1,3), (2,6), (3,9), (4,12)). එවිට r o s=((1.6), (2.12)).
පින්තූරයේ ඇති තත්වය නිදර්ශනය කරමු:
උදාහරණය 2 : s සහ r සබඳතා මත යමු එන්එවැනි
S = ((x,x+1)ïxO එන්) සහ r = ((x 2 ,x)ïxO එන්) එවිට D r = (x 2 ïxО එන්)=(1,4,9,16,25,...), සහ D s = එන්.
D r o s =(xïxО එන්Ù x+1=y 2 )=(3,8,15,24,...).
කට්ටලයක් මත සම්බන්ධතාවයක් අර්ථ දක්වා ඇති අවස්ථාවක, එය එය සමඟ ඒකාබද්ධ කළ හැකිය:
sos = s 2 = ((x,x+2)½xO එන්) සහ ror = r 2 = ((x 4 ,x)½xО එන්}.
මෙම අංකනය භාවිතා කරමින්, අපට සම්බන්ධතාවයේ nth බලය නිර්වචනය කළ හැකිය:
, කොහෙද nО එන්, n>1.
උදාහරණයක් ලෙස, උදාහරණ 2 සිට සම්බන්ධතා සඳහා අපට ඇත්තේ:
, 
මම ගුණ කිරීම සමඟ සාදෘශ්‍යය සම්පූර්ණ කිරීමට කැමැත්තෙමි. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, අපි පහත ස්වාභාවික නිර්වචනය හඳුන්වා දෙන්නෙමු:
අර්ථ දැක්වීම 2:ද්විමය සම්බන්ධතා ලෙස හැඳින්වේ සමාන, ඒවා උප කුලක ලෙස සමාන නම්, එනම් R=S if"x,y((x,y)ÎRÛ(x,y)ÎS).
සබඳතා එකම කට්ටල මත අර්ථ දැක්විය යුතු බව පැහැදිලිය.
ප්රමේයය (සම්බන්ධතා සංයුතියේ ගුණාංග):ඕනෑම ද්විමය සම්බන්ධතාවක් සඳහා R, S, T, පහත සමානාත්මතා පවත්වයි:
1. (RoS)oT = Ro(SoT)
2. (RoS) -1 = S -1 o R -1
සාක්ෂි:
1) ඕනෑම x සහ y සඳහා අපට ඇත්තේ:
x(RoS)oTy º $z(xTzÙ(zRoSy)) º $z$t(xTzÙ(zStÙtRy)) º $z$t((xTzÙzSt)ÙtRy) º $t(($z(xTzÙzSt)) $t((xSoTt)ÙtRy) º xRo(SoT)y.
2) x(RoS) -1 y º yRoSx º $z(ySzÙzRx) º $z(xR -1 zÙzS -1 y) º xS -1 oR -1 y.
Q.E.D.
අදහස් දැක්වීම: R යනු A කුලකයේ සම්බන්ධතාවයක් නම්, I A oR=RoI A =R බව පැහැදිලිය. එනම් සංඛ්යා ගුණ කිරීමේදී I A එක ලෙස හැසිරේ. කෙසේ වෙතත්, සම්පූර්ණ ප්රතිසමයක් කළ නොහැකිය. උදාහරණයක් ලෙස, සාමාන්ය අවස්ථාවෙහි ප්‍රවාහකත්වයට තැනක් නොමැති බැවින්, RoS අර්ථ දැක්විය හැකි නමුත් SoR කළ නොහැක. සමානාත්මතාවය R -1 oR=RoR -1 = I A සෑම විටම අර්ථවත් නොවේ.
සම්බන්ධතාවය වසා දැමීම
වසා දැමීමේ සංකල්පය මූලික ගණිතමය සංකල්පයක් වන අතර එය ගණිතයේ බොහෝ ශාඛා වල භාවිතා වේ. අපි මෙම සංකල්පය සාමාන්ය උදාහරණයකින් නිදර්ශනය කරමු: වස්තුවක් x 0 සහ P ක්‍රියාවලියක් ගන්න, එය අනුක්‍රමිකව යෙදූ විට, යම් කට්ටලයක් ජනනය කරන අතර, එබැවින්, x 1 , x 2 , ..., x n , අනුපිළිවෙලක් නිර්වචනය කරයි. .. ඒ නිසා x 1 ÎP(x 0), x 2 ÎP(x 1),..., x n ÎP(x n -1),... 
අර්ථ දැක්වීම 1: P ක්රියාවලිය භාවිතයෙන් ලබා ගත හැකි සහ x 0 න් ආරම්භ වන සියලුම අනුපිළිවෙලෙහි සියලුම අංග අඩංගු කට්ටලය ලෙස හැඳින්වේ. ක්රියාවලිය වසා දැමීම x 0 ට සාපේක්ෂව P .
සමහරක් සඳහා P n (x 0) සොයා ගැනීම ප්රතිඵලය වනු ඇති බව පැහැදිලිය n.මෙය nඅපි කලින් දන්නේ නැහැ එය ක්රියාවලිය මත රඳා පවතී. එපමණක්ද නොව, අපි මූලද්රව්යය ගතහොත් yමෙම වසා දැමීමේ සිට අපි ක්රියාවලිය එයට යොදන්නෙමු ආර්,එවිට අපට අලුත් දෙයක් ලැබෙන්නේ නැත. එනම්, කට්ටලය මේ ආකාරයෙන් පුළුල් කළ නොහැක - එය වසා ඇත!
උදාහරණයක් : ABCD ලෙස දැක්වෙන S වර්ග S එකක් ගෙන, 90°කින් චතුරස්‍රය දක්ෂිණාවර්තව කරකැවීමෙන් සමන්විත r ක්රියාවලිය සලකා බලන්න:
| |
| |
| |
| |
| |
A සම්බන්ධයක් යම් කට්ටලයක අර්ථ දැක්වීමට ඉඩ දෙන්න. ඉන්පසු:
අර්ථ දැක්වීම 2: සංක්‍රාන්ති වසා දැමීම ලබා දී ඇති කට්ටලයක A සම්බන්ධය A + ලෙස හැඳින්වේ:
මේ අනුව, යම් කුලකයක් මත A සංක්‍රාන්ති නොවන සම්බන්ධතාවයකින් සංක්‍රාන්ති A + සෑදිය හැක.
උදාහරණ:
1. r - අනුපාතය මත එන්: r=((x, y)| y=x+1), ඉන්පසු r + =((x, y)| x 2.s on ප්‍රශ්නය: s=((x, y)| x 3.t මත ප්‍රශ්නය: t=((x, y)| x×y=1), ඉන්පසු r + =((x, x)| x¹0) 4. L ලන්ඩන් භූගත දුම්රිය ස්ථාන කුලකයට ඉඩ දෙන්න; L=(a, b, c) අඛණ්ඩ ස්ථාන. N=((x, y)| y x අනුගමනය කරයි.මෙයින් අදහස් වන්නේ (a, b), (b, c) ÎN; ඊට අමතරව (a, a), (b, b), (c, c), (a, c) О N 2 . මෙහි තේරුම N + =L´L සාමාන්යයෙන් කථා කරන විට, සංක්‍රාන්ති වසා දැමීම ප්‍රත්‍යාවර්තක නොවේ (උදාහරණ 2). A X මත සම්බන්ධයක් වේවා. A 0 =I X . අර්ථ දැක්වීම 3: reflexive closure A*සම්බන්ධතා A සම්බන්ධතාවයක් ලෙස හැඳින්වේ උදාහරණ:
1. r*=((x, y)| x£y) I. පන්තිවලට බෙදීම. සමානාත්මතාවය සම්බන්ධය අර්ථ දැක්වීම 2.1. දී ඇති අවස්ථාවක අත්‍යවශ්‍ය එකම විධිමත් ලක්ෂණ සමූහයක් ඇති M කට්ටලයක වස්තු පමණක් එකිනෙකට හුවමාරු කළ හැකි ඒවා ලෙස හඳුන්වමු. අපි x වස්තුව සමඟ හුවමාරු කළ හැකි සියලුම වස්තූන්ගේ කට්ටලය M x මගින් දක්වමු. x M x සහ සියලු M x (M සිට හැකි සියලුම x සඳහා) එකතුවීම M සම්පූර්ණ කට්ටලය සමඟ සමපාත වන බව පැහැදිලිය. අපි එහෙම මවාපාමු. මෙයින් අදහස් කරන්නේ z යම් මූලද්රව්යයක් ඇති අතර එය එකවර අයත් වන සහ සහ සහ. එබැවින් x යනු z සමඟ හුවමාරු වන අතර z යනු y සමඟ හුවමාරු වේ. එබැවින්, x y සමඟ හුවමාරු කළ හැකි අතර, එබැවින් ඕනෑම මූලද්රව්යයක් සමඟ. මේ අනුව. ප්‍රතිලෝම මාරු කිරීම එකම ආකාරයකින් පෙන්වයි. මේ අනුව, සංගමයේ (2.1) ඇති වන කට්ටල එක්කෝ ඡේදනය නොවේ හෝ සම්පූර්ණයෙන්ම සමපාත නොවේ. අර්ථ දැක්වීම 2.2. M කට්ටලයක හිස් නොවන උප කුලක පද්ධතියක් (M 1, M 2,....) අපි මෙම කට්ටලයේ කොටසක් ලෙස හඳුන්වමු. මෙම කට්ටලම කොටස් පන්ති ලෙස හැඳින්වේ. අර්ථ දැක්වීම 2.3. M කුලකයක් මත c සම්බන්ධතාවයක් සමානතාවයක් (හෝ සමානතා සම්බන්ධතාවයක්) ලෙස හැඳින්වේ M කට්ටලයේ කොටසක් (M 1 , M 2 ,….) තිබේ නම් (x, y) x සහ y නම් සහ පමණක් රඳවා ගනී. දී ඇති කොටසක සමහර සාමාන්ය පන්තියේ M i වලට අයත් වේ. (M 1 , M 2 ,....) M කාණ්ඩයේ කොටසක් බවට පත් කරමු. මෙම කොටස මත පදනම්ව, අපි c සිට M දක්වා සම්බන්ධතාවය තීරණය කරමු: (x, y), x සහ y සමහර සාමාන්ය පන්තියට M i අයත් වේ නම් මෙම කොටසේ. සමග ඇති සම්බන්ධය සමානාත්මතාවය බව පැහැදිලිය. දී ඇති කොටසට අනුරූප සමානතා සම්බන්ධතාවය සමඟ අපි අමතන්න. අර්ථ දැක්වීම 2.4. එක් එක් උප කුලකයේ M i අපි එහි අඩංගු x i මූලද්රව්යය තෝරා ගන්නේ නම්, මෙම මූලද්රව්යය M i කුලකයේ ඇතුළත් සෑම මූලද්රව්යයක් සඳහාම සම්මතය ලෙස හැඳින්වේ. නිර්වචනය අනුව, c* “සම්මතයක් වීමට” (x i, y) සම්බන්ධය සම්පූර්ණ වී ඇතැයි උපකල්පනය කරමු. දී ඇති කොටසකට අනුරූප වන c සමානාත්මතාවය පහත පරිදි අර්ථ දැක්විය හැකි බව දැකීම පහසුය: (z, y) z සහ y ට පොදු සම්මතයක් තිබේ නම් (x i, z) සහ (x i, y). උදාහරණ 2.1: ඍණ නොවන පූර්ණ සංඛ්යා M ලෙස සලකා එහි කොටස ඉරට්ටේ සංඛ්යා M 0 සහ ඔත්තේ සංඛ්යා M 1 කුලකයට ගන්න. නිඛිල කුලකයේ අනුරූප සමානතා සම්බන්ධතාවය පහත පරිදි දැක්වේ: සහ කියවෙන්නේ: n යනු m මොඩියුල 2 හා සැසඳිය හැකි ය. ඉරට්ටේ සංඛ්යා සඳහා 0 සහ ඔත්තේ සංඛ්යා සඳහා 1 සම්මතයන් ලෙස තෝරා ගැනීම ස්වාභාවිකය. ඒ හා සමානව, එකම M කට්ටලය k උප කුලක වලට බෙදීම M 0, M 1,... M k-1, M j යනු k වලින් බෙදූ විට ඉතිරි j ලබා දෙන සියලුම සංඛ්යා වලින් සමන්විත වේ, අපි සමානතා සම්බන්ධතාවයට පැමිණෙමු: k වලින් බෙදූ විට n සහ m එකම ඉතිරියක් තිබේ නම් එය රඳවා ගනී. සෑම M j එකකම ප්‍රමිතියක් ලෙස අනුරූප ඉතිරි j තෝරා ගැනීම ස්වාභාවිකය. II. සාධක කට්ටලය සමානාත්මතා සම්බන්ධතාවයක් වේවා. ඉන්පසුව, ප්‍රමේයයට අනුව, M කට්ටලයේ කොටසක් (M 1, M 2,....) එකකට සමාන මූලද්රව්ය කාණ්ඩවලට - ඊනියා සමානතා පන්ති වලට ඇත. අර්ථ දැක්වීම 2.5. සම්බන්ධතාවයකට අදාළව සමානතා පන්ති කට්ටලය M/ මගින් දක්වනු ලබන අතර, සම්බන්ධතාවයකට අදාළව M කට්ටලයේ කෝටන්ට් කට්ටලය ලෙස කියවනු ලැබේ. μ: M > S යනු M කුලකයේ යම් S කුලකයක් මත surjective සිතියම්ගත කිරීමක් වේ. ඕනෑම μ: M > S - surjective සිතියම්ගත කිරීම සඳහා M/ සහ S එකින් එක ලිපි හුවමාරුවකට යෙදිය හැකි වන පරිදි M කට්ටලයේ සමානතා සම්බන්ධයක් ඇත. III. සමානතා ගුණ අර්ථ දැක්වීම 2.6. M කට්ටලයක් මත c සම්බන්ධතාවයක් එය ප්‍රත්‍යාවර්තක, සමමිතික සහ සංක්‍රාන්ති නම් සමානතා සම්බන්ධතාවයක් ලෙස හැඳින්වේ. ප්රමේයය 2.1: M කට්ටලයක c සම්බන්ධතාවයක් ප්‍රත්‍යාවර්තක, සමමිතික සහ සංක්‍රාන්ති නම්, M කුලකයේ කොටසක් (M 1 , M 2 ,....) තිබේ නම් (x, y) x නම් සහ පමණක් නම් සහ දී ඇති කොටසක සමහර සාමාන්ය පන්තියේ M i ට අයත් වේ. ප්රතිවිරුද්ධ ලෙස: කොටසක් ලබා දී ඇත්නම් (M 1, M 2,....) සහ ද්විමය සම්බන්ධතාවය c ලබා දෙන්නේ “සාමාන්ය බෙදීමේ පන්තියට අයත්” ලෙස නම්, c යනු ප්‍රත්‍යාවර්තී, සමමිතික සහ සංක්‍රාන්ති වේ. සාක්ෂි: m වෙත ප්‍රත්‍යාවර්තක, සමමිතික සහ සංක්‍රාන්ති සම්බන්ධයක් සලකා බලන්න. ඕනෑම එකක් සඳහා (x, z) c සඳහා සියලුම z වලින් සමන්විත වේ Lemma 2.1: ඕනෑම x සහ y සඳහා, එක්කෝ හෝ ලෙම්මා සහ සම්බන්ධතාවයේ ප්‍රත්‍යාවර්තීතාවයෙන් එය අනුගමනය කරන්නේ පෝරමයේ කට්ටල M කාණ්ඩයේ කොටසක් සාදයි. (මෙම කොටස ස්වභාවිකව මුල් සම්බන්ධතාවයට අනුරූප වන කොටස ලෙස හැඳින්විය හැක). දැන් (x, y) c. මෙයින් අදහස් කරන්නේ y. නමුත් (x, x) c හි ගුණයෙන් x ද. එබැවින්, මූලද්රව්ය දෙකම ඇතුළත් වේ. එබැවින්, (x, y) c නම්, x සහ y සාමාන්ය කොටස් පන්තියට ඇතුළත් වේ. අනෙක් අතට, ඔබ සහ v. (u, v) c ඇත්ත වශයෙන්ම, අපට (x, u) c සහ (x, v) c ඇති බව පෙන්වමු. එබැවින්, සමමිතිය (u, x) c. සංක්‍රාන්තිය අනුව, (u, x) c සහ (x, v) c වලින් (u, v) c පහත දැක්වේ. ප්රමේයයේ පළමු කොටස ඔප්පු කර ඇත. M කට්ටලයේ කොටසක් (M 1, M 2,....) ලබා දෙන්න. කොටසේ සියලුම පන්තිවල එකමුතුව M සමඟ සමපාත වේ, එවිට ඕනෑම x යම් පන්තියකට ඇතුළත් වේ. එය අනුගමනය කරන්නේ (x, x) c, i.e. s - reflexively. x සහ y කිසියම් පන්තියක නම්, y සහ x එකම පන්තියේ වේ. මෙයින් අදහස් කරන්නේ (x, y) c යන්නෙන් අදහස් වන්නේ (y, x) c, i.e. සම්බන්ධතාවය සමමිතික වේ. දැන් (x, y) c සහ (y, z) c රඳවා ගැනීමට ඉඩ දෙන්න. මෙයින් අදහස් කරන්නේ x සහ y සමහර පන්තියක වන අතර y සහ z සමහර පන්තියක සිටින බවයි. පන්තිවල පොදු මූලද්රව්ය y ඇති අතර, එබැවින් සමපාත වේ. මෙයින් අදහස් කරන්නේ x සහ z පන්තියට ඇතුළත් කර ඇති බවයි, i.e. (x, z) රඳවා ඇති අතර සම්බන්ධතාවය සංක්‍රාන්ති වේ. ප්රමේයය ඔප්පු කර ඇත. IV. සමානතා මත මෙහෙයුම්. මෙහිදී අපි සමානාත්මතා පිළිබඳ සමහර න්යායික මෙහෙයුම් නිර්වචනය කර ඒවායේ වැදගත් ගුණාංග ඔප්පු කිරීමකින් තොරව ඉදිරිපත් කරමු. සම්බන්ධතාවයක් යනු යුගලයක් (), M යනු සම්බන්ධතාවයට ඇතුළු වන මූලද්රව්ය සමූහයක් වන අතර එය සම්බන්ධතාවය තෘප්තිමත් වන යුගල කට්ටලය බව මතක තබා ගන්න. අර්ථ දැක්වීම 2.7. සම්බන්ධතා වල ඡේදනය (c 1, M) සහ (c 2, M) යනු අනුරූප උප කුලකවල ඡේදනය මගින් අර්ථ දක්වා ඇති සම්බන්ධතාවයයි. (x, y) 1 සිට 2 නම් සහ (x, y) 1 සිට සහ (x, y) 2 සිට එකවර නම් පමණි. ප්රමේයය 2.2: 1 සමඟ 2 සමඟ 1 සමඟ 2 සමඟ සමානකම්වල ඡේදනය සමානතා සම්බන්ධතාවයකි. අර්ථ දැක්වීම 2.8. සම්බන්ධතා එකමුතුව (c 1, M) සහ (c 2, M) යනු අනුරූප උප කුලකවල එකතුව මගින් අර්ථ දක්වා ඇති සම්බන්ධතාවයකි. (x, y) 1 සමඟ 2 නම් සහ (x, y) 1 සමඟ හෝ (x, y) 2 සමඟ නම් පමණි. ප්රමේයය 2.3: 1 සමග 2 සමග සමානාත්මතා එකමුතු වීම තුලම සමානතා සම්බන්ධතාවයක් වීමට නම්, එය අවශ්‍ය සහ ප්‍රමාණවත් වේ 1 සිට 2 = 1 සිට 2 අර්ථ දැක්වීම 2.9. සම්බන්ධතා වල සෘජු එකතුව (c 1, M 1) සහ (c 2, M 2) අනුපාතය ලෙස හැඳින්වේ. සෘජු එකතුව (c 1, M 1) (c 2, M 2) දක්වා ඇත. මේ අනුව, (c 1, M 1) (c 2, M 2) = () නම්, M =. ප්රමේයය 2.4: සහ සම්බන්ධතා සමානතා නම්, සම්බන්ධතාවල සෘජු එකතුව (c 1, M 1) (c 2, M 2) = (), ද සමානතාවයකි. V. සම්බන්ධතා වර්ග අපි තවත් වැදගත් සම්බන්ධතා වර්ග කිහිපයක් හඳුන්වා දෙමු. තුන්වන පරිච්ඡේදයේ උදාහරණ ලබා දෙනු ඇත. අර්ථ දැක්වීම 2.10. M කට්ටලයක් මත c සම්බන්ධතාවයක් එය ප්‍රත්‍යාවර්තී සහ සමමිතික නම් ඉවසීම ලෙස හැඳින්වේ. අර්ථ දැක්වීම 2.11. M කට්ටලයක් මත c සම්බන්ධතාවයක් එය ප්රති-ප්‍රත්‍යාවර්තක සහ සංක්‍රාන්ති නම් දැඩි අනුපිළිවෙලෙහි සම්බන්ධතාවයක් ලෙස හැඳින්වේ. අර්ථ දැක්වීම 2.12. x සහ y මූලද්රව්ය යුගලයක් සඳහා M (x, y) හෝ (y, x) සත්‍ය නම් දැඩි අනුපිළිවෙල සම්බන්ධය c පරිපූර්ණ දැඩි අනුපිළිවෙලක් ලෙස හැඳින්වේ. අර්ථ දැක්වීම 2.13. M කට්ටලයක c සම්බන්ධතාවයක් ආකෘතියෙන් නිරූපණය කළ හැකි නම් එය දැඩි නොවන අනුපිළිවෙලෙහි සම්බන්ධතාවයක් ලෙස හැඳින්වේ: එහිදී M මත දැඩි අනුපිළිවෙලක් ඇති අතර E යනු විකර්ණ සම්බන්ධතාවයකි. දේශනය 22. කට්ටලයක් මත සමානාත්මතාවය සහ අනුපිළිවෙල සම්බන්ධතා 1. සමානාත්මතා සම්බන්ධතාවය. සමානතා සම්බන්ධතාවය සහ කට්ටලයක් පන්තිවලට බෙදීම අතර සම්බන්ධය. 2. ඇණවුම සම්බන්ධය. දැඩි හා දැඩි නොවන අනුපිළිවෙල සම්බන්ධතා, රේඛීය අනුපිළිවෙල සම්බන්ධතා. කට්ටල ඇණවුම් කිරීම. 3. ප්රධාන නිගමන අපි භාග කට්ටලය දෙස බලමු x= (1/2, 1/3, 1/4, 2/4, 2/6, 3/6) සමානාත්මතාවය සම්බන්ධය. මෙම සම්බන්ධය: ප්‍රත්‍යාවර්තීව, සෑම ඛණ්ඩයක්ම තමාටම සමාන බැවින්; සමමිතිකව, භාගය යන කාරනය සිට එම්/nකොටසකට සමාන වේ පි/q, එයින් කියවෙන්නේ එම කොටසයි පි/qකොටසකට සමාන වේ එම්/n; සංක්‍රාන්ති, භාග යන කාරනය සිට එම්/nකොටසකට සමාන වේ පි/qසහ භාගය පි/qකොටසකට සමාන වේ ආර්/s, එයින් කියවෙන්නේ එම කොටසයි එම්/nකොටසකට සමාන වේ ආර්/s. භාගවල සමානාත්මතාවයේ සම්බන්ධතාවය යැයි කියනු ලැබේ සමානතා සම්බන්ධතාවය. අර්ථ දැක්වීම. X කට්ටලයක් මත R සම්බන්ධතාවයක් සමකාලීනව ප්‍රත්‍යාවර්තීතාව, සමමිතිය සහ සංක්‍රාන්තිය යන ගුණාංග තිබේ නම් එය සමානතා සම්බන්ධතාවයක් ලෙස හැඳින්වේ.
සමානතා සම්බන්ධතා සඳහා උදාහරණ වන්නේ ජ්යාමිතික රූපවල සමානාත්මතා සම්බන්ධතා, රේඛාවල සමාන්තර සම්බන්ධතා (සමපාත රේඛා සමාන්තර ලෙස සලකනු ලැබේ නම්). මෙම ආකාරයේ සම්බන්ධතාවයක් ගණිතයේ දී වෙන් කර ඇත්තේ ඇයි? කට්ටලය මත අර්ථ දක්වා ඇති භාගවල සමානාත්මතාවයේ සම්බන්ධතාවය සලකා බලන්න x= (1/2, 1/3, 1/4, 2/4, 2/6, 3/6) (රූපය 106). කට්ටලය උප කුලක තුනකට බෙදා ඇති බව අපට පෙනේ: (1/2, 2/4, 3/6), (1/3, 2/6), (1/4). මෙම උප කුලක ඡේදනය නොවන අතර, ඔවුන්ගේ සමිතිය කට්ටලය සමග සමපාත වේ X,එම. අපට කට්ටලයේ කොටසක් තිබේ xපන්ති වලට. මෙය අහම්බයක් නොවේ. කිසිසේත්, X කට්ටලයක් මත සමානතා සම්බන්ධතාවයක් ලබා දී ඇත්නම්, එය මෙම කට්ටලයේ කොටසක් යුගල වශයෙන් විසංයෝජන උප කුලක (සමාන පන්ති) බවට ජනනය කරයි. මේ අනුව, භාග සමූහයක (1/2, 1/3, 1/4, 2/4, 2/6, 3/6) සමානාත්මතාවයේ සම්බන්ධතාවය මෙම කට්ටලය සමානතා පන්තිවලට බෙදීමට අනුරූප වන බව අපි තහවුරු කර ඇත්තෙමු. , ඒ සෑම එකක්ම තමන් අතර සමාන කොටස් වලින් සමන්විත වේ. ප්‍රතිලෝමය ද සත්‍ය ය: X කට්ටලයක් මත අර්ථ දක්වා ඇති කිසියම් සම්බන්ධතාවයක් මෙම කට්ටලයේ පන්ති වලට කොටසක් ජනනය කරන්නේ නම්, එය සමානතා සම්බන්ධතාවයකි. උදාහරණයක් ලෙස, කට්ටලය මත සලකා බලන්න X =(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10) සම්බන්ධතාවය "3 න් බෙදූ විට එකම ඉතිරිය තිබීම" එය කට්ටලයේ කොටසක් ජනනය කරයි xපන්ති වලට: එකක් 3 න් බෙදූ විට 0 හි ඉතිරියක් තබන සියලුම සංඛ්යා ඇතුළත් වේ (මේවා අංක 3, 6, 9), දෙවැන්න - 3 න් බෙදූ විට 1 හි ඉතිරියක් ඉතිරි වන සංඛ්යා (මේවා අංක 1, 4 වේ. , 7 , 10), සහ තුන්වන - සියලු සංඛ්යා, 3 න් බෙදූ විට ඉතිරිය 2 වේ (මේවා අංක 2, 5, 8). ඇත්ත වශයෙන්ම, ප්රතිඵලය වන උප කුලක ඡේදනය නොවන අතර ඔවුන්ගේ එකමුතුව කට්ටලය සමග සමපාත වේ X.එහි ප්‍රතිඵලයක් ලෙස, "3න් බෙදූ විට එකම ඉතිරිය ඇති" සම්බන්ධය කට්ටලය මත අර්ථ දක්වා ඇත. X,සමානතා සම්බන්ධතාවයකි. සමානතා සම්බන්ධය සහ කට්ටලයක් පන්තිවලට බෙදීම අතර සම්බන්ධය පිළිබඳ ප්‍රකාශයට සාක්ෂි අවශ්‍ය බව සලකන්න. අපි එය පහළට තබමු. අපි කියමු සමානාත්මතා සම්බන්ධතාවයකට නමක් තිබේ නම්, ඊට අනුරූප නම පන්තිවලට ලබා දී ඇත. උදාහරණයක් ලෙස, සමානාත්මතා සම්බන්ධතාවයක් කොටස් සමූහයක් මත නිශ්චිතව දක්වා තිබේ නම් (සහ එය සමානාත්මතා සම්බන්ධතාවයකි), එවිට එම කොටස් කට්ටලය සමාන කොටස්වල පන්තිවලට බෙදා ඇත (රූපය 99 බලන්න). සමානතා සම්බන්ධය ත්‍රිකෝණ කට්ටලයක් සමාන ත්‍රිකෝණවල පන්තිවලට බෙදීමට අනුරූප වේ. එබැවින්, යම් කට්ටලයක සමානතා සම්බන්ධතාවයක් තිබීම, අපට මෙම කට්ටලය පන්තිවලට බෙදිය හැකිය. නමුත් ඔබට ප්රතිවිරුද්ධ දෙයද කළ හැක: ප්‍රථමයෙන් කට්ටලය පන්තිවලට බෙදන්න, පසුව සමානතා සම්බන්ධයක් නිර්වචනය කරන්න, එම මූලද්රව්ය දෙකක් සමාන වන්නේ ඒවා අදාළ කොටසේ එකම පන්තියට අයත් වන්නේ නම් සහ ඒවා නම් පමණක් බව සලකා බලන්න. කිසියම් සමානතා සම්බන්ධතාවක් භාවිතා කරමින් කට්ටලයක් පන්තිවලට බෙදීමේ මූලධර්මය ගණිතයේ වැදගත් මූලධර්මයකි. ඇයි? මුලින්ම, equivalent - මෙයින් අදහස් කරන්නේ සමාන, හුවමාරු කළ හැකි යන්නයි. එබැවින්, එකම සමානතා පන්තියේ මූලද්රව්ය එකිනෙකට හුවමාරු වේ. මේ අනුව, සමානාත්මතා පන්තියේ (1/2, 2/4, 3/6) ඇති භාග සමානාත්මතා සම්බන්ධතාවයේ දෘෂ්ටි කෝණයෙන් වෙන් කොට හඳුනාගත නොහැකි අතර, 3/6 කොටස වෙනත් එකක් මගින් ප්රතිස්ථාපනය කළ හැකිය, උදාහරණයක් ලෙස 1 /2. තවද මෙම ආදේශනය ගණනය කිරීම්වල ප්රතිඵලය වෙනස් නොකරනු ඇත. දෙවනුව, සමානතා පන්තියේ යම් සම්බන්ධතාවයක දෘෂ්ටි කෝණයෙන් වෙන් කළ නොහැකි මූලද්රව්ය ඇති බැවින්, සමානතා පන්තිය එහි ඕනෑම නියෝජිතයෙකු විසින් තීරණය කරනු ලබන බව අපි විශ්වාස කරමු, i.e. මෙම පන්තියේ අත්තනෝමතික අංගයකි. මේ අනුව, මෙම පන්තියට අයත් ඕනෑම භාගයක් නියම කිරීමෙන් සමාන භාගවල ඕනෑම පන්තියක් නියම කළ හැක. එක් නියෝජිතයෙකු විසින් සමානාත්මතා පන්තියක් තීරණය කිරීම, කට්ටලයේ සියලුම අංග වෙනුවට, සමානාත්මතා පන්ති වලින් තනි නියෝජිතයන් කට්ටලයක් අධ්යයනය කිරීමට ඉඩ සලසයි. උදාහරණයක් ලෙස, බහුඅස්‍ර කට්ටලයක් මත අර්ථ දක්වා ඇති “එකම සිරස් සංඛ්‍යාවක් තිබීම” යන සමානතා සම්බන්ධය, මෙම කුලකයේ ත්‍රිකෝණ, හතරැස්, පෙන්ටගන යනාදී පන්තිවලට කොටසක් ජනනය කරයි. කිසියම් පන්තියකට ආවේණික වූ දේපල එහි නියෝජිතයෙකු මත සලකා බලනු ලැබේ. තුන්වන, සමානතා සම්බන්ධතාවයක් භාවිතා කරමින් කට්ටලයක් පන්තිවලට බෙදීම නව සංකල්ප හඳුන්වා දීමට භාවිතා කරයි. උදාහරණයක් ලෙස, "රේඛා මිටියක්" යන සංකල්පය සමාන්තර රේඛා සඳහා පොදු වූවක් ලෙස අර්ථ දැක්විය හැක. පොදුවේ ගත් කල, පුද්ගලයෙකු ක්‍රියාත්මක වන ඕනෑම සංකල්පයක් යම් සමානාත්මතාවයේ පන්තියක් නියෝජනය කරයි. "වගුව", "නිවස", "පොත" - මෙම සියලු සංකල්ප එකම අරමුණක් ඇති බොහෝ විශේෂිත වස්තූන් පිළිබඳ සාමාන්ය අදහස් වේ. තවත් වැදගත් ආකාරයේ සබඳතාවයකි ඇණවුම් සබඳතා. අර්ථ දැක්වීම. X කට්ටලයක R සම්බන්ධතාවයක් සමකාලීනව ප්‍රතිසමමිතිය සහ සංක්‍රාන්තිය යන ගුණාංග තිබේ නම් එය ඇණවුම් සම්බන්ධතාවයක් ලෙස හැඳින්වේ.
.
අනුපිළිවෙල සම්බන්ධතා සඳහා උදාහරණ ඇතුළත් වේ: ස්වභාවික සංඛ්යා කට්ටලය මත "ට වඩා අඩු" සම්බන්ධතාවය; ප්රති-සමමිතික සහ සංක්‍රාන්ති බැවින් සම්බන්ධය කොටස් සමූහයක “කෙටි” වේ. පර්යාය සම්බන්ධයක් ද සම්බන්ධ වීමේ ගුණය තිබේ නම්, එය සම්බන්ධතාවයක් යැයි කියනු ලැබේ රේඛීය අනුපිළිවෙල. නිදසුනක් ලෙස, ස්වාභාවික සංඛ්යා සමූහයේ “ට වඩා අඩු” සම්බන්ධය රේඛීය අනුපිළිවෙලෙහි සම්බන්ධතාවයකි, මන්ද එයට ප්‍රතිසමමිතිය, සංක්‍රාන්තිය සහ සම්බන්ධක ගුණ ඇත. අර්ථ දැක්වීම. X කට්ටලයක් ඇණවුම් සම්බන්ධයක් තිබේ නම් එය ඇණවුම් ලෙස හැඳින්වේ.
මේ අනුව, ස්වාභාවික සංඛ්‍යාවල N කට්ටලය එය මත "ට වඩා අඩු" සම්බන්ධතාවය නියම කිරීමෙන් ඇණවුම් කළ හැක. ඇණවුම සම්බන්ධයක් කට්ටලයක් මත අර්ථ දක්වා තිබේ නම් X,සම්බන්ධ වීමේ දේපල ඇත, එවිට අපි එය කියමු එය රේඛීයව ඇණවුම් කරයිපොකුරක් X. උදාහරණයක් ලෙස, ස්වාභාවික සංඛ්යා කට්ටලය "අඩු" සම්බන්ධතාවය සහ "බහු" සම්බන්ධතාවය යන දෙකම භාවිතා කර ඇණවුම් කළ හැක - ඒ දෙකම අනුපිළිවෙල සම්බන්ධතා වේ. නමුත් "බහු" සම්බන්ධතාවය මෙන් නොව "අඩු" සම්බන්ධතාවයට සම්බන්ධ වීමේ ගුණය ද ඇත. මෙයින් අදහස් කරන්නේ "ට වඩා අඩු" සම්බන්ධතාවය ස්වභාවික සංඛ්යා සමූහය රේඛීයව ඇණවුම් කරන බවයි. සියලු සම්බන්ධතා සමානාත්මතා සම්බන්ධතා සහ පිළිවෙල සම්බන්ධතා ලෙස බෙදී ඇති බව කිසිවෙකු නොසිතිය යුතුය. සමානාත්මතා සම්බන්ධතා හෝ පිළිවෙල සම්බන්ධතා නොවන සම්බන්ධතා විශාල ප්‍රමාණයක් ඇත. X = ( ) භාග කට්ටලයේ සමානාත්මතා සම්බන්ධතාවය අපි සලකා බලමු. මෙම සම්බන්ධය: ප්‍රත්‍යාවර්තීව, සෑම ඛණ්ඩයක්ම තමාටම සමාන බැවින්; සමමිතිකව, භාගයක් භාගයකට සමාන වන බැවින්, එම කොටස කොටසකට සමාන බව අනුගමනය කරයි; සංක්‍රාන්ති, භාගික කොටසකට සමාන වන නිසාත්, භාගික කොටසකට සමාන වන නිසාත්, එම කොටස කොටසකට සමාන බව අනුගමනය කරයි. භාගවල සමානාත්මතාවයේ සම්බන්ධතාවය සමානතා සම්බන්ධතාවයක් ලෙස කියනු ලැබේ. අර්ථ දැක්වීම. X කට්ටලයක් මත R සම්බන්ධතාවයක් සමකාලීනව ප්‍රත්‍යාවර්තීතාව, සමමිතිය සහ සංක්‍රාන්තිය යන ගුණාංග තිබේ නම් එය සමානතා සම්බන්ධතාවයක් ලෙස හැඳින්වේ.
. සමානතා සම්බන්ධතා සඳහා උදාහරණ වන්නේ ජ්යාමිතික රූපවල සමානාත්මතා සම්බන්ධතා, රේඛාවල සමාන්තර සම්බන්ධතා (සමපාත රේඛා සමාන්තර ලෙස සලකනු ලැබේ නම්). මෙම ආකාරයේ සම්බන්ධතාවයක් ගණිතයේ දී වෙන් කර ඇත්තේ ඇයි? X = ( ) කට්ටලය මත අර්ථ දක්වා ඇති භාගවල සමානාත්මතාවයේ සම්බන්ධතා අපි සලකා බලමු. (රූපය 7). කට්ටලය උප කුලක තුනකට බෙදා ඇති බව අපට පෙනේ: කොහෙත්ම X කට්ටලයක් මත සමානතා සම්බන්ධතාවයක් ලබා දී ඇත්නම්, එය මෙම කට්ටලයේ කොටසක් යුගල වශයෙන් විසංයෝජන උප කුලක (සමාන පන්ති) බවට ජනනය කරයි.
මේ අනුව, අපි භාග කට්ටලයක් මත සමානාත්මතාවය සම්බන්ධය තහවුරු කර ඇත X = ( ) මෙම කට්ටලයේ සමානතා පන්තිවලට බෙදීමට අනුරූප වන අතර, ඒ සෑම එකක්ම එකිනෙකට සමාන භාග වලින් සමන්විත වේ. ප්‍රතිලෝමය ද සත්‍ය ය: X කට්ටලයක් මත අර්ථ දක්වා ඇති කිසියම් සම්බන්ධතාවයක් මෙම කට්ටලයේ පන්ති වලට කොටසක් ජනනය කරන්නේ නම්, එය සමානතා සම්බන්ධතාවයකි.
උදාහරණයක් ලෙස, X = (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10) කුලකයේ “3 න් බෙදූ විට එකම ඉතිරියක් තිබීම” සලකා බලන්න. එය X කට්ටලයේ කොටසක් පන්තිවලට ජනනය කරයි: එකක් 3 න් බෙදූ විට ඉතිරි 0 වන සියලුම සංඛ්යා ඇතුළත් වේ (මෙය අංක 3, 6, 9), දෙවැන්න 3 න් බෙදූ විට 1 හි ඉතිරියක් ඉතිරි වන සංඛ්යා අඩංගු වේ ( මේවා අංක 1, 4, 7, 10), සහ තුන්වන - සියලුම සංඛ්යා, 3 න් බෙදූ විට ඉතිරිය 2 වේ (මේවා අංක 2, 5, 8). ඇත්ත වශයෙන්ම, ප්‍රතිඵලයක් ලෙස ලැබෙන උප කුලක ඡේදනය නොවන අතර ඒවායේ එකමුතුව X කුලකයට සමපාත වේ. එහි ප්‍රතිඵලයක් ලෙස, X කුලකයේ අර්ථ දක්වා ඇති "3 න් බෙදූ විට එකම ඉතිරිය තිබීම" සම්බන්ධය සමානතා සම්බන්ධතාවයකි. සමානතා සම්බන්ධය සහ කට්ටලයක් පන්තිවලට බෙදීම අතර සම්බන්ධය පිළිබඳ ප්‍රකාශයට සාක්ෂි අවශ්‍ය බව සලකන්න. අපි එය පහළට තබමු. අපි කියමු සමානාත්මතා සම්බන්ධතාවයකට නමක් තිබේ නම්, ඊට අනුරූප නම පන්තිවලට ලබා දී ඇත. උදාහරණයක් ලෙස, සමානාත්මතා සම්බන්ධතාවයක් කොටස් සමූහයක් මත නියම කර තිබේ නම් (සහ එය සමානතා සම්බන්ධතාවයකි), එවිට එම කොටස් සමූහය සමාන කොටස්වල පන්තිවලට බෙදා ඇත (රූපය 4 බලන්න). සමානතා සම්බන්ධය ත්‍රිකෝණ කට්ටලයක් සමාන ත්‍රිකෝණවල පන්තිවලට බෙදීමට අනුරූප වේ. එබැවින්, යම් කට්ටලයක සමානතා සම්බන්ධතාවයක් තිබීම, අපට මෙම කට්ටලය පන්තිවලට බෙදිය හැකිය. නමුත් ඔබට ප්රතිවිරුද්ධ දෙයද කළ හැක: ප්‍රථමයෙන් කට්ටලය පන්තිවලට බෙදන්න, පසුව සමානතා සම්බන්ධයක් නිර්වචනය කරන්න, එම මූලද්රව්ය දෙකක් සමාන වන්නේ ඒවා අදාළ කොටසේ එකම පන්තියට අයත් වන්නේ නම් සහ ඒවා නම් පමණක් බව සලකා බලන්න. කිසියම් සමානතා සම්බන්ධතාවක් භාවිතා කරමින් කට්ටලයක් පන්තිවලට බෙදීමේ මූලධර්මය ගණිතයේ වැදගත් මූලධර්මයකි. ඇයි? මුලින්ම, equivalent - මෙයින් අදහස් කරන්නේ සමාන, හුවමාරු කළ හැකි යන්නයි. එබැවින්, එකම සමානතා පන්තියේ මූලද්රව්ය එකිනෙකට හුවමාරු වේ. මේ අනුව, එකම සමානතා පන්තියේ සිටින භාග වෙන්කර හඳුනාගත නොහැක සමානාත්මතාවයේ සම්බන්ධතාවයේ දෘෂ්ටි කෝණයෙන්, සහ භාගය වෙනත් ආකාරයකින් ප්රතිස්ථාපනය කළ හැකිය, උදාහරණයක් ලෙස මෙම ආදේශනය ගණනය කිරීමේ ප්රතිඵලය වෙනස් නොවේ. දෙවනුව, සමානතා පන්තියේ යම් සම්බන්ධතාවයක දෘෂ්ටි කෝණයෙන් වෙන් කළ නොහැකි මූලද්රව්ය ඇති බැවින්, සමානතා පන්තිය එහි ඕනෑම නියෝජිතයෙකු විසින් තීරණය කරනු ලබන බව අපි විශ්වාස කරමු, i.e. මෙම පන්තියේ අත්තනෝමතික අංගයකි. මේ අනුව, මෙම පන්තියට අයත් ඕනෑම භාගයක් නියම කිරීමෙන් සමාන භාගවල ඕනෑම පන්තියක් නියම කළ හැක. එක් නියෝජිතයෙකු විසින් සමානාත්මතා පන්තියක් තීරණය කිරීම, කට්ටලයේ සියලුම අංග වෙනුවට, සමානාත්මතා පන්ති වලින් තනි නියෝජිතයන් කට්ටලයක් අධ්යයනය කිරීමට ඉඩ සලසයි. උදාහරණයක් ලෙස, බහුඅස්‍ර කට්ටලයක් මත අර්ථ දක්වා ඇති “එකම සිරස් සංඛ්‍යාවක් තිබීම” යන සමානතා සම්බන්ධය, මෙම කුලකයේ ත්‍රිකෝණ, හතරැස්, පෙන්ටගන යනාදී පන්තිවලට කොටසක් ජනනය කරයි. කිසියම් පන්තියකට ආවේණික වූ දේපල එහි නියෝජිතයෙකු මත සලකා බලනු ලැබේ. තුන්වන, සමානතා සම්බන්ධතාවයක් භාවිතා කරමින් කට්ටලයක් පන්තිවලට බෙදීම නව සංකල්ප හඳුන්වා දීමට භාවිතා කරයි. උදාහරණයක් ලෙස, "රේඛා මිටියක්" යන සංකල්පය සමාන්තර රේඛා සඳහා පොදු වූවක් ලෙස අර්ථ දැක්විය හැක. පොදුවේ ගත් කල, පුද්ගලයෙකු ක්‍රියාත්මක වන ඕනෑම සංකල්පයක් යම් සමානාත්මතාවයේ පන්තියක් නියෝජනය කරයි. "වගුව", "නිවස", "පොත" - මෙම සියලු සංකල්ප එකම අරමුණක් ඇති බොහෝ විශේෂිත වස්තූන් පිළිබඳ සාමාන්ය අදහස් වේ. තවත් වැදගත් ආකාරයේ සම්බන්ධතාවයක් වන්නේ පිළිවෙල සම්බන්ධතාවයයි. එය පහත පරිදි අර්ථ දක්වා ඇත. අර්ථ දැක්වීම. X කට්ටලයක R සම්බන්ධතාවයක් එකවර ප්‍රතිසමමිතිය සහ සංක්‍රාන්ති ගුණ ඇති නම් එය පිළිවෙල සම්බන්ධයක් ලෙස හැඳින්වේ.
අනුපිළිවෙල සම්බන්ධතා සඳහා උදාහරණ ඇතුළත් වේ: ස්වාභාවික සංඛ්යා කට්ටලය මත "ට වඩා අඩු" සම්බන්ධතා; සම්බන්ධතාවය ප්රති-සමමිතික සහ සංක්‍රාන්ති බැවින් කොටස් සමූහයේ “කෙටි”. අනුපිළිවෙල සම්බන්ධයක් සම්බන්ධ වීමේ ගුණය ද තිබේ නම්, එය රේඛීය අනුපිළිවෙල සම්බන්ධයක් යැයි කියනු ලැබේ. නිදසුනක් ලෙස, ස්වාභාවික සංඛ්යා සමූහයේ “ට වඩා අඩු” සම්බන්ධය රේඛීය අනුපිළිවෙලෙහි සම්බන්ධතාවයකි, මන්ද එයට ප්‍රතිසමමිතිය, සංක්‍රාන්තිය සහ සම්බන්ධක ගුණ ඇත. අර්ථ දැක්වීම. X කට්ටලයක් ඇණවුම් සම්බන්ධයක් තිබේ නම් එය ඇණවුම් ලෙස හැඳින්වේ.
මේ අනුව, ස්වාභාවික සංඛ්‍යාවල N කට්ටලය එය මත "ට වඩා අඩු" සම්බන්ධතාවය නියම කිරීමෙන් ඇණවුම් කළ හැක. X කුලකයක් මත අර්ථ දක්වා ඇති අනුපිළිවෙල සම්බන්ධයකට සම්බන්ධ වීමේ ගුණය තිබේ නම්, එය X කට්ටලය රේඛීයව ඇණවුම් කිරීමට කියනු ලැබේ. උදාහරණයක් ලෙස, ස්වාභාවික සංඛ්යා කට්ටලය "අඩු" සම්බන්ධතාවය සහ "බහු" සම්බන්ධතාවය යන දෙකම භාවිතා කර ඇණවුම් කළ හැක - ඒ දෙකම අනුපිළිවෙල සම්බන්ධතා වේ. නමුත් "බහු" සම්බන්ධතාවය මෙන් නොව "අඩු" සම්බන්ධතාවයට සම්බන්ධ වීමේ ගුණය ද ඇත. මෙයින් අදහස් කරන්නේ "ට වඩා අඩු" සම්බන්ධතාවය ස්වභාවික සංඛ්යා සමූහය රේඛීයව ඇණවුම් කරන බවයි. සියලු සම්බන්ධතා සමානාත්මතා සම්බන්ධතා සහ පිළිවෙල සම්බන්ධතා ලෙස බෙදී ඇති බව කිසිවෙකු නොසිතිය යුතුය. සමානාත්මතා සම්බන්ධතා හෝ පිළිවෙල සම්බන්ධතා නොවන සම්බන්ධතා විශාල ප්‍රමාණයක් ඇත.
. එනම් 
.
මෙම උප කුලක ඡේදනය නොවන අතර, ඔවුන්ගේ සමිතිය X කට්ටලය සමග සමපාත වේ, එනම්, අපට X කට්ටලය පන්තිවලට බෙදා ඇත. මෙය අහම්බයක් නොවේ.