Równania

Jak rozwiązywać równania?

W tej części przypomnimy sobie (lub przestudiujemy, w zależności od tego, kogo wybierzesz) najbardziej elementarne równania. Jakie jest więc równanie? W języku ludzkim jest to pewnego rodzaju wyrażenie matematyczne, w którym występuje znak równości i niewiadoma. Co jest zwykle oznaczone literą "X". Rozwiązać równanie- polega to na znalezieniu takich wartości x, które po podstawieniu do oryginalny wyrażenie da nam poprawną tożsamość. Przypomnę, że tożsamość to wyraz nie budzący wątpliwości nawet dla osoby absolutnie nieobciążonej wiedzą matematyczną. Jak 2=2, 0=0, ab=ab itd. Jak zatem rozwiązywać równania? Rozwiążmy to.

Istnieje wiele rodzajów równań (jestem zaskoczony, prawda?). Ale całą ich nieskończoną różnorodność można podzielić tylko na cztery typy.

4. Inny.)

Cała reszta oczywiście przede wszystkim tak...) Obejmuje to sześcienne, wykładnicze, logarytmiczne, trygonometryczne i wszelkiego rodzaju inne. Będziemy z nimi ściśle współpracować w odpowiednich sekcjach.

Od razu powiem, że czasem równania trzech pierwszych typów są tak popierdolone, że nawet ich nie rozpoznacie… Nic. Dowiemy się jak je rozluźnić.

I dlaczego potrzebujemy tych czterech typów? I co wtedy równania liniowe rozwiązać w jeden sposób kwadrat inni, wymierne ułamkowe - trzecie, A odpoczynek Wcale się nie odważą! Cóż, to nie tak, że w ogóle nie mogą zdecydować, po prostu myliłem się co do matematyki.) Po prostu mają swoje własne specjalne techniki i metody.

Ale dla każdego (powtarzam - dla każdy!) równania zapewniają niezawodną i niezawodną podstawę do rozwiązywania. Działa wszędzie i zawsze. Ten podkład - Brzmi przerażająco, ale jest bardzo prosty. I bardzo (Bardzo!) ważny.

Właściwie rozwiązanie równania składa się z tych właśnie przekształceń. 99% Odpowiedz na pytanie: " Jak rozwiązywać równania?” leży właśnie w tych przekształceniach. Czy podpowiedź jest jasna?)

Identyczne przekształcenia równań.

W dowolne równania Aby znaleźć nieznane, musisz przekształcić i uprościć oryginalny przykład. I tak, gdy zmieni się wygląd istota równania nie uległa zmianie. Takie przekształcenia nazywane są identyczny lub odpowiednik.

Należy pamiętać, że te przekształcenia mają zastosowanie konkretnie do równań. Transformacje tożsamościowe występują także w matematyce wyrażenia. To jest inny temat.

Teraz powtórzymy wszystko, wszystko, wszystko podstawowe identyczne przekształcenia równań.

Podstawowe, bo można do nich zastosować każdy równania - liniowe, kwadratowe, ułamkowe, trygonometryczne, wykładnicze, logarytmiczne itp. i tak dalej.

Pierwsza transformacja tożsamości: możesz dodawać (odejmować) po obu stronach dowolnego równania każdy(ale jedna i ta sama!) liczba lub wyrażenie (w tym wyrażenie z niewiadomą!). Nie zmienia to istoty równania.

Nawiasem mówiąc, ciągle korzystałeś z tej transformacji, po prostu myślałeś, że przenosisz niektóre wyrazy z jednej części równania do drugiej poprzez zmianę znaku. Typ:

Sprawa jest znana, przesuwamy oba w prawo i otrzymujemy:

Właściwie ty zabrany z obu stron równania wynosi dwa. Wynik jest taki sam:

x+2 - 2 = 3 - 2

Przesuwanie terminów w lewo i w prawo wraz ze zmianą znaku jest po prostu skróconą wersją pierwszej transformacji tożsamości. I po co nam tak głęboka wiedza? - ty pytasz. Nic w równaniach. Na litość boską, wytrzymaj. Tylko nie zapomnij zmienić znaku. Ale w przypadku nierówności nawyk przenoszenia może prowadzić w ślepy zaułek...

Druga transformacja tożsamości: obie strony równania można pomnożyć (podzielić) przez to samo niezerowy liczba lub wyrażenie. Tutaj pojawia się już zrozumiałe ograniczenie: mnożenie przez zero jest głupie, a dzielenie jest całkowicie niemożliwe. To jest transformacja, której używasz, gdy rozwiązujesz coś fajnego

Oczywiście, X= 2. Jak to znalazłeś? Przez wybór? A może po prostu do ciebie dotarło? Aby nie wybierać i nie czekać na wgląd, musisz zrozumieć, że jesteś sprawiedliwy dzielimy obie strony równania przez 5. Dzieląc lewą stronę (5x), pięć zostało zmniejszone, pozostawiając czyste X. Właśnie tego potrzebowaliśmy. A dzieląc prawą stronę (10) przez pięć, otrzymamy, no wiesz, dwa.

To wszystko.

To zabawne, ale te dwie (tylko dwie!) identyczne transformacje są podstawą rozwiązania wszystkie równania matematyczne. Wow! Warto przyjrzeć się przykładom tego, co i jak, prawda?)

Przykłady identycznych przekształceń równań. Główne problemy.

Zacznijmy Pierwszy transformacja tożsamości. Przenieś lewo-prawo.

Przykład dla młodszych.)

Załóżmy, że musimy rozwiązać następujące równanie:

3-2x = 5-3x

Przypomnijmy zaklęcie: „z X – w lewo, bez X – w prawo!” To zaklęcie jest instrukcją użycia pierwszej transformacji tożsamości.) Jakie wyrażenie z X znajduje się po prawej stronie? 3x? Odpowiedź jest błędna! Po naszej prawej stronie - 3x! Minus trzy x! Dlatego podczas przesuwania się w lewo znak zmieni się na plus. Okaże się:

3-2x+3x=5

Zatem X zostały zebrane w stos. Przejdźmy do liczb. Po lewej stronie jest trójka. Z jakim znakiem? Odpowiedź „bez” nie jest akceptowana!) Przed trzema rzeczywiście nic nie jest rysowane. A to oznacza, że ​​przed trzema jest plus. Więc matematycy zgodzili się. Nic nie jest napisane, to znaczy plus. Dlatego potrójna zostanie przeniesiona na prawą stronę z minusem. Otrzymujemy:

-2x+3x=5-3

Pozostały już tylko drobnostki. Po lewej stronie - przynieś podobne, po prawej - policz. Odpowiedź przychodzi od razu:

W tym przykładzie wystarczyła jedna transformacja tożsamości. Drugi nie był już potrzebny. No cóż.)

Przykład dla starszych dzieci.)

Jeśli podoba Ci się ta strona...

Przy okazji, mam dla Ciebie jeszcze kilka ciekawych stron.)

Możesz poćwiczyć rozwiązywanie przykładów i sprawdzić swój poziom. Testowanie z natychmiastową weryfikacją. Uczmy się - z zainteresowaniem!)

Można zapoznać się z funkcjami i pochodnymi.

Zastępowanie wielomianu Lub. Oto wielomian stopnia, na przykład wyrażenie jest wielomianem stopnia.

Powiedzmy, że mamy przykład:

Zastosujmy metodę zastępowania zmiennych. Jak myślisz, za co należy brać? Prawidłowy, .

Równanie staje się:

Wykonujemy odwrotną zmianę zmiennych:

Rozwiążmy pierwsze równanie:

Zdecydujmy drugi równanie:

… Co to znaczy? Prawidłowy! Że nie ma rozwiązań.

Tym samym otrzymaliśmy dwie odpowiedzi -; .

Czy rozumiesz, jak używać metody zastępowania zmiennych w przypadku wielomianu? Poćwicz to samodzielnie:

Zdecydowany? Teraz sprawdźmy z tobą główne punkty.

Musisz to wziąć.

Otrzymujemy wyrażenie:

Rozwiązując równanie kwadratowe, okazuje się, że ma ono dwa pierwiastki: i.

Rozwiązaniem pierwszego równania kwadratowego są liczby i

Rozwiązywanie drugiego równania kwadratowego - liczby i.

Odpowiedź: ; ; ;

Podsumujmy to

Metoda zastępowania zmiennych ma główne typy zamiany zmiennych w równaniach i nierównościach:

1. Podstawienie potęgi, gdy przyjmiemy niewiadomą podniesioną do potęgi.

2. Zastąpienie wielomianu, gdy bierzemy za całe wyrażenie zawierające niewiadomą.

3. Zamiana ułamkowo-racjonalna, gdy bierzemy dowolną relację zawierającą nieznaną zmienną.

Ważny rada przy wprowadzaniu nowej zmiennej:

1. Zamiana zmiennych musi nastąpić niezwłocznie, przy pierwszej możliwej okazji.

2. Równanie nowej zmiennej należy rozwiązać do końca i dopiero potem powrócić do starej niewiadomej.

3. Wracając do pierwotnej nieznanej (a właściwie całego rozwiązania) nie zapomnij sprawdzić korzeni pod kątem ODZ.

W podobny sposób wprowadza się nową zmienną, zarówno w równaniach, jak i nierównościach.

Spójrzmy na 3 problemy

Odpowiedzi na 3 problemy

1. Niech wtedy wyrażenie przybierze formę.

Ponieważ może być zarówno pozytywny, jak i negatywny.

Odpowiedź:

2. Niech wtedy wyrażenie przybierze formę.

nie ma rozwiązania, bo...

Odpowiedź:

3. Grupując otrzymujemy:

Niech więc wyrażenie przyjmie formę
.

Odpowiedź:

ZAMIANA ZMIENNYCH. ŚREDNI POZIOM.

Zastępowanie zmiennych- jest to wprowadzenie nowej niewiadomej, względem której równanie lub nierówność ma prostszą postać.

Wymienię główne rodzaje zamienników.

Substytucja mocy

Substytucja mocy.

Na przykład, stosując podstawienie, równanie dwukwadratowe sprowadza się do równania kwadratowego: .

W nierównościach wszystko jest podobne.

Na przykład podstawiamy nierówność i otrzymujemy nierówność kwadratową: .

Przykład (zdecyduj sam):

Rozwiązanie:

Jest to równanie ułamkowo-wymierne (powtórz), ale rozwiązanie go zwykłą metodą (sprowadzenie do wspólnego mianownika) jest niewygodne, ponieważ otrzymamy równanie stopnia, dlatego stosuje się zmianę zmiennych.

Wszystko stanie się dużo prostsze po wymianie: . Następnie:

Teraz zróbmy to wymiana odwrotna:

Odpowiedź: ; .

Zastępowanie wielomianu

Zastąpienie wielomianu lub.

Oto wielomian stopnia, tj. wyraz formy

(na przykład wyrażenie jest wielomianem stopnia).

Najczęściej stosowanym podstawieniem trójmianu kwadratowego jest: lub.

Przykład:

Rozwiązać równanie.

Rozwiązanie:

I znowu zastosowano podstawienie zmiennych.

Wówczas równanie przyjmie postać:

Pierwiastkami tego równania kwadratowego są: i.

Mamy dwa przypadki. Dla każdego z nich dokonamy odwrotnego podstawienia:

Oznacza to, że to równanie nie ma pierwiastków.

Pierwiastkami tego równania są:

Odpowiedź. .

Podstawienie ułamkowo-racjonalne

Zamiana ułamkowo-racjonalna.

i są wielomianami stopni i, odpowiednio.

Na przykład przy rozwiązywaniu równań wzajemnych, czyli równań postaci

zwykle stosuje się zamiennik.

Teraz pokażę ci jak to działa.

Łatwo sprawdzić, co nie jest pierwiastkiem tego równania: wszak jeśli podstawimy to do równania, otrzymamy to, co jest sprzeczne z warunkiem.

Podzielmy równanie na:

Przegrupujmy:

Teraz dokonujemy zamiany: .

Piękno polega na tym, że podnosząc do kwadratu iloczyn podwójny wyrazów, x ulega redukcji:

Wynika, że.

Wróćmy do naszego równania:

Teraz wystarczy rozwiązać równanie kwadratowe i dokonać odwrotnego podstawienia.

Przykład:

Rozwiązać równanie: .

Rozwiązanie:

Kiedy zatem równość nie zachodzi. Podzielmy równanie na:

Równanie będzie miało postać:

Jego korzenie:

Dokonajmy odwrotnej zamiany:

Rozwiążmy powstałe równania:

Odpowiedź: ; .

Inny przykład:

Rozwiąż nierówność.

Rozwiązanie:

Przez bezpośrednie podstawienie jesteśmy przekonani, że nie jest ono uwzględnione w rozwiązaniu tej nierówności. Podziel licznik i mianownik każdego ułamka przez:

Teraz zamiana zmiennej jest oczywista: .

Wtedy nierówność będzie miała postać:

Aby znaleźć y, używamy metody przedziałowej:

na oczach wszystkich, ponieważ

na oczach wszystkich, ponieważ

Zatem nierówność jest równoważna następującej zależności:

na oczach wszystkich, bo...

Oznacza to, że nierówność jest równoważna: .

Zatem nierówność okazuje się równoważna agregatowi:

Odpowiedź: .

Zastępowanie zmiennych- jedna z najważniejszych metod rozwiązywania równań i nierówności.

Na koniec dam Ci kilka ważnych wskazówek:

ZAMIANA ZMIENNYCH. PODSUMOWANIE I PODSTAWOWE FORMUŁY.

Zastępowanie zmiennych- metoda rozwiązywania złożonych równań i nierówności, która pozwala uprościć oryginalne wyrażenie i doprowadzić je do standardowej postaci.

Rodzaje zamiany zmiennych:

1. Zastąpienie mocy: jest uważany za jakąś nieznaną, podniesioną do potęgi - .
2. Zamiana ułamkowo-racjonalna: każda relacja zawierająca nieznaną zmienną jest traktowana jako - , gdzie i są odpowiednio wielomianami stopni n i m.
3. Zastępowanie wielomianu: całe wyrażenie zawierające niewiadomą przyjmuje się jako - lub gdzie jest wielomianem stopnia.

Po rozwiązaniu uproszczonego równania/nierówności należy dokonać odwrotnego podstawienia.

Na lekcjach matematyki w klasie 7 spotykamy się po raz pierwszy równania z dwiema zmiennymi, ale bada się je tylko w kontekście układów równań z dwiema niewiadomymi. Dlatego też znika z pola widzenia cały szereg problemów, w których na współczynniki równania wprowadzane są pewne warunki ograniczające je. Ponadto ignorowane są również metody rozwiązywania problemów typu „Rozwiąż równanie na liczbach naturalnych lub całkowitych”, choć problemy tego rodzaju coraz częściej spotykane są w materiałach Unified State Examination i na egzaminach wstępnych.

Które równanie nazwiemy równaniem z dwiema zmiennymi?

Na przykład równania 5x + 2y = 10, x 2 + y 2 = 20 lub xy = 12 są równaniami z dwiema zmiennymi.

Rozważmy równanie 2x – y = 1. Staje się prawdziwe, gdy x = 2 i y = 3, więc ta para wartości zmiennych jest rozwiązaniem omawianego równania.

Zatem rozwiązaniem dowolnego równania z dwiema zmiennymi jest zbiór uporządkowanych par (x; y), wartości zmiennych, które zamieniają to równanie w prawdziwą równość liczbową.

Równanie z dwiema niewiadomymi może:

A) mieć jedno rozwiązanie. Na przykład równanie x 2 + 5y 2 = 0 ma unikalne rozwiązanie (0; 0);

B) mieć wiele rozwiązań. Na przykład (5 -|x|) 2 + (|y| – 2) 2 = 0 ma 4 rozwiązania: (5; 2), (-5; 2), (5; -2), (-5; - 2);

V) nie mają rozwiązań. Na przykład równanie x 2 + y 2 + 1 = 0 nie ma rozwiązań;

G) mają nieskończenie wiele rozwiązań. Np. x + y = 3. Rozwiązaniem tego równania będą liczby, których suma jest równa 3. Zbiór rozwiązań tego równania można zapisać w postaci (k; 3 – k), gdzie k jest dowolną wartością rzeczywistą numer.

Głównymi metodami rozwiązywania równań z dwiema zmiennymi są metody oparte na rozkładaniu wyrażeń na czynniki, izolowaniu pełnego kwadratu, wykorzystaniu właściwości równania kwadratowego, wyrażeniach ograniczonych i metodach estymacji. Równanie zwykle przekształca się do postaci, z której można uzyskać układ znajdowania niewiadomych.

Faktoryzacja

Przykład 1.

Rozwiąż równanie: xy – 2 = 2x – y.

Rozwiązanie.

Grupujemy terminy w celu faktoryzacji:

(xy + y) – (2x + 2) = 0. Z każdego nawiasu wyciągamy wspólny czynnik:

y(x + 1) – 2(x + 1) = 0;

(x + 1)(y – 2) = 0. Mamy:

y = 2, x – dowolna liczba rzeczywista lub x = -1, y – dowolna liczba rzeczywista.

Zatem, odpowiedzią są wszystkie pary postaci (x; 2), x € R i (-1; y), y € R.

Równość liczb nieujemnych do zera

Przykład 2.

Rozwiąż równanie: 9x 2 + 4y 2 + 13 = 12(x + y).

Rozwiązanie.

Grupowanie:

(9x 2 – 12x + 4) + (4y 2 – 12y + 9) = 0. Teraz każdy nawias można złożyć, korzystając ze wzoru na różnicę kwadratów.

(3x – 2) 2 + (2y – 3) 2 = 0.

Suma dwóch wyrażeń nieujemnych wynosi zero tylko wtedy, gdy 3x – 2 = 0 i 2y – 3 = 0.

Oznacza to x = 2/3 i y = 3/2.

Odpowiedź: (2/3; 3/2).

Metoda szacowania

Przykład 3.

Rozwiąż równanie: (x 2 + 2x + 2)(y 2 – 4y + 6) = 2.

Rozwiązanie.

W każdym nawiasie wybieramy cały kwadrat:

((x + 1) 2 + 1)((y – 2) 2 + 2) = 2. Oszacujmy znaczenie wyrażeń w nawiasach.

(x + 1) 2 + 1 ≥ 1 i (y – 2) 2 + 2 ≥ 2, to lewa strona równania zawsze wynosi co najmniej 2. Równość jest możliwa, jeśli:

(x + 1) 2 + 1 = 1 i (y – 2) 2 + 2 = 2, co oznacza x = -1, y = 2.

Odpowiedź: (-1; 2).

Zapoznajmy się z inną metodą rozwiązywania równań z dwiema zmiennymi drugiego stopnia. Metoda ta polega na traktowaniu równania jako kwadrat w odniesieniu do jakiejś zmiennej.

Przykład 4.

Rozwiąż równanie: x 2 – 6x + y – 4√y + 13 = 0.

Rozwiązanie.

Rozwiążmy to równanie jako równanie kwadratowe dla x. Znajdźmy dyskryminator:

re = 36 – 4(y – 4√y + 13) = -4y + 16√y – 16 = -4(√y – 2) 2 . Równanie będzie miało rozwiązanie tylko wtedy, gdy D = 0, to znaczy, jeśli y = 4. Podstawiamy wartość y do pierwotnego równania i stwierdzamy, że x = 3.

Odpowiedź: (3; 4).

Często w równaniach z dwiema niewiadomymi wskazują ograniczenia dotyczące zmiennych.

Przykład 5.

Rozwiąż równanie w liczbach całkowitych: x 2 + 5y 2 = 20x + 2.

Rozwiązanie.

Zapiszmy równanie w postaci x 2 = -5y 2 + 20x + 2. Prawa strona otrzymanego równania przy dzieleniu przez 5 daje resztę 2. Zatem x 2 nie jest podzielne przez 5. Ale kwadrat liczba niepodzielna przez 5 daje resztę 1 lub 4. Zatem równość jest niemożliwa i nie ma rozwiązań.

Odpowiedź: brak korzeni.

Przykład 6.

Rozwiąż równanie: (x 2 – 4|x| + 5)(y 2 + 6y + 12) = 3.

Rozwiązanie.

Zaznaczmy całe kwadraty w każdym nawiasie:

((|x| – 2) 2 + 1)((y + 3) 2 + 3) = 3. Lewa strona równania jest zawsze większa lub równa 3. Równość jest możliwa pod warunkiem, że |x| – 2 = 0 i y + 3 = 0. Zatem x = ± 2, y = -3.

Odpowiedź: (2; -3) i (-2; -3).

Przykład 7.

Dla każdej pary ujemnych liczb całkowitych (x;y) spełniających równanie
x 2 – 2xy + 2y 2 + 4y = 33, oblicz sumę (x + y). W odpowiedzi proszę wskazać najmniejszą kwotę.

Rozwiązanie.

Wybierzmy całe kwadraty:

(x 2 – 2xy + y 2) + (y 2 + 4y + 4) = 37;

(x – y) 2 + (y + 2) 2 = 37. Ponieważ x i y są liczbami całkowitymi, ich kwadraty również są liczbami całkowitymi. Otrzymamy sumę kwadratów dwóch liczb całkowitych równą 37, jeśli dodamy 1 + 36. Zatem:

(x – y) 2 = 36 i (y + 2) 2 = 1

(x – y) 2 = 1 i (y + 2) 2 = 36.

Rozwiązując te układy i biorąc pod uwagę, że x i y są ujemne, znajdujemy rozwiązania: (-7; -1), (-9; -3), (-7; -8), (-9; -8).

Odpowiedź: -17.

Nie rozpaczaj, jeśli masz trudności z rozwiązywaniem równań z dwiema niewiadomymi. Przy odrobinie praktyki poradzisz sobie z każdym równaniem.

Nadal masz pytania? Nie wiesz, jak rozwiązywać równania z dwiema zmiennymi?
Aby uzyskać pomoc korepetytora zarejestruj się.
Pierwsza lekcja jest bezpłatna!

stronie internetowej, przy kopiowaniu materiału w całości lub w części wymagany jest link do źródła.

W tym filmie przeanalizujemy cały zestaw równań liniowych rozwiązywanych przy użyciu tego samego algorytmu - dlatego nazywane są one najprostszymi.

Najpierw zdefiniujmy: co to jest równanie liniowe i które nazywa się najprostszym?

Równanie liniowe to takie, w którym występuje tylko jedna zmienna i tylko do pierwszego stopnia.

Najprostsze równanie oznacza konstrukcję:

Wszystkie pozostałe równania liniowe sprowadzamy do najprostszych za pomocą algorytmu:

1. Rozwiń nawiasy, jeśli istnieją;
2. Przenieś terminy zawierające zmienną na jedną stronę znaku równości, a terminy bez zmiennej na drugą;
3. Podaj podobne wyrazy po lewej i prawej stronie znaku równości;
4. Podziel powstałe równanie przez współczynnik zmiennej $x$.

Oczywiście ten algorytm nie zawsze pomaga. Faktem jest, że czasem po tych wszystkich zabiegach współczynnik zmiennej $x$ okazuje się równy zeru. W takim przypadku możliwe są dwie opcje:

1. Równanie nie ma w ogóle rozwiązań. Na przykład, gdy okaże się, że $0\cdot x=8$, tj. po lewej stronie jest zero, a po prawej liczba różna od zera. W poniższym filmie przyjrzymy się kilku powodom, dla których taka sytuacja jest możliwa.
2. Rozwiązaniem są wszystkie liczby. Jest to możliwe tylko wtedy, gdy równanie zostało sprowadzone do konstrukcji $0\cdot x=0$. Jest całkiem logiczne, że niezależnie od tego, jakie $x$ podstawimy, i tak okaże się, że „zero jest równe zeru”, tj. poprawna równość liczbowa.

Zobaczmy teraz, jak to wszystko działa na przykładach z życia wziętych.

Przykłady rozwiązywania równań

Dziś mamy do czynienia z równaniami liniowymi i to tylko najprostszymi. Ogólnie równanie liniowe oznacza dowolną równość, która zawiera dokładnie jedną zmienną i dotyczy tylko pierwszego stopnia.

Takie konstrukcje rozwiązuje się w przybliżeniu w ten sam sposób:

1. Przede wszystkim należy rozwinąć nawiasy, jeśli takie istnieją (jak w naszym ostatnim przykładzie);
2. Następnie połącz podobnie
3. Na koniec wyizoluj zmienną, tj. przesuń wszystko, co jest związane ze zmienną – terminy, w jakich jest ona zawarta – na jedną stronę, a wszystko, co pozostaje bez niej, na drugą stronę.

Następnie z reguły trzeba przynieść podobne po każdej stronie powstałej równości, a potem pozostaje tylko podzielić przez współczynnik „x” i otrzymamy ostateczną odpowiedź.

W teorii wygląda to ładnie i prosto, ale w praktyce nawet doświadczeni uczniowie szkół średnich mogą popełniać obraźliwe błędy w dość prostych równaniach liniowych. Zazwyczaj błędy popełniane są podczas otwierania nawiasów lub przy obliczaniu „plusów” i „minusów”.

Ponadto zdarza się, że równanie liniowe w ogóle nie ma rozwiązań lub że rozwiązaniem jest cała oś liczbowa, tj. Jakikolwiek numer. Przyjrzymy się tym subtelnościom podczas dzisiejszej lekcji. Ale zaczniemy, jak już zrozumiałeś, od najprostszych zadań.

Schemat rozwiązywania prostych równań liniowych

Najpierw napiszę jeszcze raz cały schemat rozwiązywania najprostszych równań liniowych:

1. Rozwiń nawiasy, jeśli występują.
2. Izolujemy zmienne, tj. Przenosimy wszystko, co zawiera „X” na jedną stronę, a wszystko bez „X” na drugą.
3. Przedstawiamy podobne terminy.
4. Wszystko dzielimy przez współczynnik „x”.

Oczywiście ten schemat nie zawsze działa; są w nim pewne subtelności i sztuczki, a teraz je poznamy.

Rozwiązywanie rzeczywistych przykładów prostych równań liniowych

Zadanie nr 1

Pierwszy krok wymaga od nas otwarcia nawiasów. Ale nie ma ich w tym przykładzie, więc pomijamy ten krok. W drugim kroku musimy wyizolować zmienne. Uwaga: mówimy tylko o warunkach indywidualnych. Zapiszmy to:

Podobne terminy prezentujemy po lewej i prawej stronie, ale tutaj zostało to już zrobione. Dlatego przechodzimy do czwartego kroku: podziel przez współczynnik:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

Więc otrzymaliśmy odpowiedź.

Zadanie nr 2

W tym zadaniu widzimy nawiasy, więc rozwińmy je:

Zarówno po lewej, jak i po prawej stronie widzimy mniej więcej ten sam projekt, ale postępujmy zgodnie z algorytmem, tj. oddzielanie zmiennych:

Oto kilka podobnych:

U jakich korzeni to działa? Odpowiedź: dla każdego. Zatem możemy napisać, że $x$ jest dowolną liczbą.

Zadanie nr 3

Trzecie równanie liniowe jest bardziej interesujące:

\[\lewo(6-x \prawo)+\lewo(12+x \prawo)-\lewo(3-2x \prawo)=15\]

Jest tu kilka nawiasów, ale nie są one przez nic mnożone, są po prostu poprzedzone różnymi znakami. Podzielmy je:

Wykonujemy drugi znany nam już krok:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

Zróbmy matematykę:

Wykonujemy ostatni krok - dzielimy wszystko przez współczynnik „x”:

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

O czym należy pamiętać przy rozwiązywaniu równań liniowych

Jeśli pominiemy zbyt proste zadania, chciałbym powiedzieć, co następuje:

• Jak powiedziałem powyżej, nie każde równanie liniowe ma rozwiązanie - czasami po prostu nie ma pierwiastków;
• Nawet jeśli są korzenie, może być wśród nich zero - nie ma w tym nic złego.

Zero to taka sama liczba jak pozostałe; nie powinieneś go w żaden sposób dyskryminować ani zakładać, że jeśli otrzymasz zero, oznacza to, że zrobiłeś coś złego.

Kolejna funkcja związana jest z otwieraniem nawiasów. Uwaga: gdy przed nimi znajduje się „minus”, usuwamy go, ale w nawiasach zmieniamy znaki na naprzeciwko. A potem możemy go otworzyć za pomocą standardowych algorytmów: otrzymamy to, co widzieliśmy w powyższych obliczeniach.

Zrozumienie tego prostego faktu pomoże ci uniknąć popełniania głupich i bolesnych błędów w szkole średniej, gdy robienie takich rzeczy jest oczywiste.

Rozwiązywanie złożonych równań liniowych

Przejdźmy do bardziej złożonych równań. Teraz konstrukcje staną się bardziej złożone i przy wykonywaniu różnych przekształceń pojawi się funkcja kwadratowa. Nie powinniśmy się jednak tego bać, gdyż jeśli zgodnie z planem autora rozwiązujemy równanie liniowe, to w procesie transformacji wszystkie jednomiany zawierające funkcję kwadratową koniecznie się zniosą.

Przykład nr 1

Oczywiście pierwszym krokiem jest otwarcie nawiasów. Zróbmy to bardzo ostrożnie:

Przyjrzyjmy się teraz prywatności:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

Oto kilka podobnych:

Oczywiście to równanie nie ma rozwiązań, więc napiszemy to w odpowiedzi:

\[\varnic\]

albo nie ma korzeni.

Przykład nr 2

Wykonujemy te same czynności. Pierwszy krok:

Przesuńmy wszystko ze zmienną w lewo, a bez niej - w prawo:

Oto kilka podobnych:

Oczywiście to równanie liniowe nie ma rozwiązania, więc zapiszemy je w ten sposób:

\[\varnic\],

albo nie ma korzeni.

Niuanse rozwiązania

Obydwa równania są całkowicie rozwiązane. Na przykładzie tych dwóch wyrażeń po raz kolejny przekonaliśmy się, że nawet w najprostszych równaniach liniowych wszystko może nie być takie proste: pierwiastków może być albo jeden, albo żaden, albo nieskończenie wiele pierwiastków. W naszym przypadku rozważaliśmy dwa równania, z których oba po prostu nie mają pierwiastków.

Chciałbym jednak zwrócić uwagę na inny fakt: jak pracować z nawiasami i jak je otwierać, jeśli przed nimi znajduje się znak minus. Rozważ to wyrażenie:

Przed otwarciem musisz pomnożyć wszystko przez „X”. Uwaga: mnoży się każdy indywidualny termin. Wewnątrz znajdują się dwa terminy - odpowiednio dwa terminy i pomnożone.

I dopiero po dokonaniu tych pozornie elementarnych, ale bardzo ważnych i niebezpiecznych przekształceń, można otworzyć nawias z punktu widzenia tego, że po nim znajduje się znak minus. Tak, tak: dopiero teraz, gdy przekształcenia zostaną zakończone, pamiętamy, że przed nawiasem jest znak minus, co oznacza, że ​​wszystko poniżej po prostu zmienia znaki. Jednocześnie znikają same nawiasy i, co najważniejsze, znika również przedni „minus”.

To samo robimy z drugim równaniem:

To nie przypadek, że zwracam uwagę na te drobne, pozornie nieistotne fakty. Bo rozwiązywanie równań to zawsze ciąg elementarnych przekształceń, gdzie nieumiejętność jasnego i kompetentnego wykonania prostych czynności powoduje, że licealiści przychodzą do mnie i na nowo uczą się rozwiązywać takie proste równania.

Oczywiście nadejdzie dzień, kiedy udoskonalisz te umiejętności do punktu automatyzmu. Nie będziesz już musiał za każdym razem wykonywać tylu przekształceń; zapiszesz wszystko w jednej linii. Ale kiedy dopiero się uczysz, musisz napisać każdą akcję osobno.

Rozwiązywanie jeszcze bardziej złożonych równań liniowych

To, co teraz rozwiążemy, trudno nazwać najprostszym zadaniem, ale znaczenie pozostaje takie samo.

Zadanie nr 1

\[\lewo(7x+1 \prawo)\lewo(3x-1 \prawo)-21((x)^(2))=3\]

Pomnóżmy wszystkie elementy w pierwszej części:

Zadbajmy o prywatność:

Oto kilka podobnych:

Dokończmy ostatni krok:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

Oto nasza ostateczna odpowiedź. I mimo że w rozwiązywaniu mieliśmy współczynniki z funkcją kwadratową, to znosiły się one nawzajem, przez co równanie było liniowe, a nie kwadratowe.

Zadanie nr 2

\[\lewo(1-4x \prawo)\lewo(1-3x \prawo)=6x\lewo(2x-1 \prawo)\]

Wykonajmy ostrożnie pierwszy krok: pomnóż każdy element z pierwszego nawiasu przez każdy element z drugiego. Po przekształceniach powinny powstać w sumie cztery nowe terminy:

Teraz ostrożnie wykonajmy mnożenie w każdym wyrazie:

Przesuńmy terminy z „X” w lewo, a te bez – w prawo:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

Oto podobne terminy:

Po raz kolejny otrzymaliśmy ostateczną odpowiedź.

Niuanse rozwiązania

Najważniejsza uwaga dotycząca tych dwóch równań jest następująca: gdy tylko zaczniemy mnożyć nawiasy zawierające więcej niż jeden wyraz, robimy to według następującej zasady: pierwszy wyraz bierzemy z pierwszego i mnożymy przez każdy element z drugi; następnie bierzemy drugi element z pierwszego i podobnie mnożymy przez każdy element drugiego. W rezultacie będziemy mieli cztery kadencje.

O sumie algebraicznej

W tym ostatnim przykładzie chciałbym przypomnieć uczniom, czym jest suma algebraiczna. W matematyce klasycznej przez 1-7 dolarów rozumiemy prostą konstrukcję: odejmij siedem od jednego. W algebrze rozumiemy przez to: do liczby „jeden” dodajemy kolejną liczbę, a mianowicie „minus siedem”. Tym właśnie różni się suma algebraiczna od zwykłej sumy arytmetycznej.

Gdy tylko podczas wykonywania wszystkich przekształceń, każdego dodawania i mnożenia zaczniesz widzieć konstrukcje podobne do opisanych powyżej, po prostu nie będziesz mieć żadnych problemów z algebrą podczas pracy z wielomianami i równaniami.

Na koniec spójrzmy na jeszcze kilka przykładów, które będą jeszcze bardziej złożone niż te, które właśnie sprawdziliśmy, i aby je rozwiązać, będziemy musieli nieco rozszerzyć nasz standardowy algorytm.

Rozwiązywanie równań z ułamkami

Aby rozwiązać takie zadania, będziemy musieli dodać do naszego algorytmu jeszcze jeden krok. Ale najpierw przypomnę Ci nasz algorytm:

1. Otwórz nawiasy.
2. Oddzielne zmienne.
3. Przynieś podobne.
4. Podziel przez stosunek.

Niestety, ten wspaniały algorytm, przy całej swojej skuteczności, okazuje się nie do końca odpowiedni, gdy mamy przed sobą ułamki. Jak zobaczymy poniżej, w obu równaniach mamy ułamek zarówno po lewej, jak i po prawej stronie.

Jak pracować w tym przypadku? Tak, to bardzo proste! Aby to zrobić, należy dodać do algorytmu jeszcze jeden krok, który można wykonać zarówno przed, jak i po pierwszej akcji, a mianowicie pozbycie się ułamków. Zatem algorytm będzie następujący:

1. Pozbądź się ułamków.
2. Otwórz nawiasy.
3. Oddzielne zmienne.
4. Przynieś podobne.
5. Podziel przez stosunek.

Co to znaczy „pozbyć się ułamków”? Dlaczego można to zrobić zarówno po, jak i przed pierwszym standardowym krokiem? W rzeczywistości w naszym przypadku wszystkie ułamki są liczbowe w swoim mianowniku, tj. Wszędzie mianownik jest po prostu liczbą. Dlatego jeśli pomnożymy obie strony równania przez tę liczbę, pozbędziemy się ułamków.

Przykład nr 1

\[\frac(\lewo(2x+1 \prawo)\lewo(2x-3 \prawo))(4)=((x)^(2))-1\]

Pozbądźmy się ułamków w tym równaniu:

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Uwaga: wszystko jest mnożone raz przez „cztery”, tj. to, że masz dwa nawiasy, nie oznacza, że ​​musisz pomnożyć każdy z nich przez „cztery”. Napiszmy:

\[\lewo(2x+1 \prawo)\lewo(2x-3 \prawo)=\lewo(((x)^(2))-1 \prawo)\cdot 4\]

Teraz rozwińmy:

Wykluczamy zmienną:

Dokonujemy redukcji wyrazów podobnych:

\[-4x=-1\lewo| :\lewo(-4 \prawo) \prawo.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

Otrzymaliśmy ostateczne rozwiązanie, przejdźmy do drugiego równania.

Przykład nr 2

\[\frac(\lewo(1-x \prawo)\lewo(1+5x \prawo))(5)+((x)^(2))=1\]

Tutaj wykonujemy te same czynności:

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

Problem jest rozwiązany.

Właściwie to wszystko, co chciałem wam dzisiaj powiedzieć.

Kluczowe punkty

Kluczowe ustalenia to:

• Znać algorytm rozwiązywania równań liniowych.
• Możliwość otwierania nawiasów.
• Nie martw się, jeśli masz gdzieś funkcje kwadratowe, najprawdopodobniej zostaną one zredukowane w procesie dalszych przekształceń.
• Istnieją trzy rodzaje pierwiastków w równaniach liniowych, nawet najprostszych: jeden pojedynczy pierwiastek, cała oś liczbowa jest pierwiastkiem i nie ma żadnych pierwiastków.

Mam nadzieję, że ta lekcja pomoże ci opanować prosty, ale bardzo ważny temat dla dalszego zrozumienia całej matematyki. Jeśli coś nie jest jasne, wejdź na stronę i rozwiąż przedstawione tam przykłady. Bądź na bieżąco, czeka Cię jeszcze wiele ciekawych rzeczy!

Podejście autora do tego tematu nie jest przypadkowe. Równania z dwiema zmiennymi po raz pierwszy spotykamy na zajęciach w siódmej klasie. Jedno równanie z dwiema zmiennymi ma nieskończoną liczbę rozwiązań. Widać to wyraźnie na wykresie funkcji liniowej wyrażonej jako ax + by=c. W ramach zajęć szkolnych uczniowie uczą się układów dwóch równań z dwiema zmiennymi. W rezultacie cała seria problemów z ograniczonymi warunkami na współczynniku równania, a także metody ich rozwiązywania, wypadają z pola widzenia nauczyciela, a tym samym ucznia.

Mówimy o rozwiązaniu równania z dwiema niewiadomymi w liczbach całkowitych lub naturalnych.

W szkole w klasach 4-6 uczy się liczb naturalnych i całkowitych. Zanim ukończą szkołę, nie wszyscy uczniowie pamiętają różnice między zbiorami tych liczb.

Jednak problem typu „rozwiązać równanie w postaci ax + by=c w liczbach całkowitych” coraz częściej pojawia się na egzaminach wstępnych na uniwersytety i w materiałach Unified State Examination.

Rozwiązywanie niepewnych równań rozwija logiczne myślenie, inteligencję i umiejętność analizy.

Proponuję rozwinąć kilka lekcji na ten temat. Nie mam jasnych zaleceń co do harmonogramu tych zajęć. Niektóre elementy można wykorzystać także w klasie 7 (dla mocnej klasy). Lekcje te można wykorzystać jako podstawę i opracować mały kurs do wyboru w zakresie szkolenia przedzawodowego w klasie 9. I oczywiście materiał ten można wykorzystać w klasach 10–11 w celu przygotowania się do egzaminów.

Cel lekcji:

• powtórzenie i uogólnienie wiedzy na temat „Równania pierwszego i drugiego rzędu”
• rozwijanie zainteresowania poznawczego tematem
• rozwijanie umiejętności analizowania, dokonywania uogólnień, przenoszenia wiedzy do nowej sytuacji

Lekcja 1.

Podczas zajęć.

1) Org. za chwilę.

2) Aktualizacja podstawowej wiedzy.

Definicja. Równanie liniowe dwóch zmiennych jest równaniem postaci

mx + ny = k, gdzie m, n, k to liczby, x, y to zmienne.

Przykład: 5x+2y=10

Definicja. Rozwiązaniem równania z dwiema zmiennymi jest para wartości zmiennych, która zamienia równanie w prawdziwą równość.

Równania z dwiema zmiennymi, które mają takie same rozwiązania, nazywane są równoważnymi.

1. 5x+2y=12 (2)y = -2,5x+6

Równanie to może mieć dowolną liczbę rozwiązań. Aby to zrobić, wystarczy wziąć dowolną wartość x i znaleźć odpowiednią wartość y.

Niech x = 2, y = -2,5 2+6 = 1

x = 4, y = -2,5 4+6 =- 4

Pary liczb (2;1); (4;-4) – rozwiązania równania (1).

Równanie to ma nieskończenie wiele rozwiązań.

3) Tło historyczne

Równania nieokreślone (diofantyny) to równania zawierające więcej niż jedną zmienną.

W III wieku. OGŁOSZENIE – Diofant z Aleksandrii napisał „Arytmetykę”, w której rozszerzył zbiór liczb do wymiernych i wprowadził symbolikę algebraiczną.

Diofant rozważał także problematykę rozwiązywania równań nieokreślonych i podał metody rozwiązywania równań nieokreślonych drugiego i trzeciego stopnia.

4) Studiowanie nowego materiału.

Definicja: Niejednorodne równanie diofantyny pierwszego rzędu z dwiema niewiadomymi x, y jest równaniem w postaci mx + ny = k, gdzie m, n, k, x, y Z k0

Oświadczenie 1.

Jeżeli wolny wyraz k w równaniu (1) nie jest podzielny przez największy wspólny dzielnik (NWD) liczb m i n, to równanie (1) nie ma rozwiązań całkowitych.

Przykład: 34x – 17 lat = 3.

NWD (34; 17) = 17, 3 nie jest podzielne równomiernie przez 17, w liczbach całkowitych nie ma rozwiązania.

Niech k będzie podzielone przez gcd (m, n). Dzieląc wszystkie współczynniki, możemy zapewnić, że m i n staną się względnie pierwsze.

Oświadczenie 2.

Jeśli m i n równania (1) są liczbami względnie pierwszymi, to równanie to ma co najmniej jedno rozwiązanie.

Oświadczenie 3.

Jeżeli współczynniki m i n równania (1) są liczbami względnie pierwszymi, to równanie to ma nieskończenie wiele rozwiązań:

Gdzie (; ) jest dowolnym rozwiązaniem równania (1), t Z

Definicja. Jednorodne równanie diofantyny pierwszego rzędu z dwiema niewiadomymi x, y jest równaniem w postaci mx + ny = 0, gdzie (2)

Oświadczenie 4.

Jeśli m i n są liczbami względnie pierwszymi, to każde rozwiązanie równania (2) ma postać

5) Praca domowa. Rozwiąż równanie w liczbach całkowitych:

1. 9x – 18 lat = 5
2. x + y= xy
3. Kilkoro dzieci zbierało jabłka. Każdy chłopiec zebrał 21 kg, a dziewczynka 15 kg. W sumie zebrali 174 kg. Ilu chłopców i ile dziewcząt zbierało jabłka?

Komentarz. W tej lekcji nie podano przykładów rozwiązywania równań w liczbach całkowitych. Dlatego dzieci rozwiązują zadanie domowe w oparciu o stwierdzenie 1 i selekcję.

Lekcja 2.

1) Moment organizacyjny

2) Sprawdzanie pracy domowej

1) 9x – 18 lat = 5

Liczba 5 nie jest podzielna przez 9; w liczbach całkowitych nie ma rozwiązań.

Korzystając z metody selekcji, możesz znaleźć rozwiązanie

Odpowiedź: (0;0), (2;2)

3) Zróbmy równanie:

Niech chłopcy będą x, x Z, a dziewczynki y, y Z, wtedy możemy utworzyć równanie 21x + 15y = 174

Wielu uczniów po napisaniu równania nie będzie w stanie go rozwiązać.

Odpowiedź: 4 chłopców, 6 dziewcząt.

3) Nauka nowego materiału

Po napotkaniu trudności w odrabianiu zadań domowych uczniowie byli przekonani o konieczności poznania własnych metod rozwiązywania równań niepewnych. Przyjrzyjmy się niektórym z nich.

I. Metoda uwzględniania reszt z dzielenia.

Przykład. Rozwiąż równanie w liczbach całkowitych 3x – 4y = 1.

Lewa strona równania jest podzielna przez 3, zatem prawa strona musi być podzielna. Rozważmy trzy przypadki.

Odpowiedź: gdzie m Z.

Opisana metoda jest wygodna w użyciu, jeśli liczby m i n nie są małe, ale można je rozłożyć na proste czynniki.

Przykład: rozwiązuj równania w liczbach całkowitych.

Niech y = 4n, wtedy 16 - 7y = 16 – 7 4n = 16 – 28n = 4*(4-7n) dzieli się przez 4.

y = 4n+1, wtedy 16 – 7y = 16 – 7 (4n + 1) = 16 – 28n – 7 = 9 – 28n nie jest podzielne przez 4.

y = 4n+2, wtedy 16 – 7y = 16 – 7 (4n + 2) = 16 – 28n – 14 = 2 – 28n nie jest podzielne przez 4.

y = 4n+3, wtedy 16 – 7y = 16 – 7 (4n + 3) = 16 – 28n – 21 = -5 – 28n nie jest podzielne przez 4.

Zatem y = 4n

4x = 16 – 7 4n = 16 – 28n, x = 4 – 7n

Odpowiedź: , gdzie n Z.

II. Równania niepewne drugiego stopnia

Dzisiaj na lekcji zajmiemy się tylko rozwiązywaniem równań diofantyny drugiego rzędu.

Ze wszystkich typów równań rozważymy przypadek, w którym możemy zastosować wzór na różnicę kwadratów lub inną metodę faktoryzacji.

Przykład: Rozwiąż równanie w liczbach całkowitych.

Liczba 13 jest liczbą pierwszą, zatem można ją rozłożyć na czynniki tylko na cztery sposoby: 13 = 13 1 = 1 13 = (-1)(-13) = (-13)(-1)

Rozważmy te przypadki

Odpowiedź: (7;-3), (7;3), (-7;3), (-7;-3).

4) Praca domowa.

Przykłady. Rozwiąż równanie w liczbach całkowitych:

(x - y)(x + y)=4

2x = 4	2x = 5	2x = 5
x = 2	x = 5/2	x = 5/2
y = 0	nie pasuje	nie pasuje
2x = -4	nie pasuje	nie pasuje
x = -2
y = 0

Odpowiedź: (-2;0), (2;0).

Odpowiedzi: (-10;9), (-5;3), (-2;-3), (-1;-9), (1;9), (2;3), (5;-3) , (10;-9).

V)

Odpowiedź: (2;-3), (-1;-1), (-4;0), (2;2), (-1;3), (-4;5).

Wyniki. Co to znaczy rozwiązać równanie w liczbach całkowitych?

Jakie znasz metody rozwiązywania równań niepewnych?

Aplikacja:

Ćwiczenia na trening.

1) Rozwiąż liczby całkowite.

a) 8x + 12 lat = 32	x = 1 + 3n, y = 2 - 2n, n Z
b) 7x + 5 lat = 29	x = 2 + 5n, y = 3 – 7n, n Z
c) 4x + 7 lat = 75	x = 3 + 7n, y = 9 – 4n, n Z
d) 9x – 2y = 1	x = 1 – 2m, y = 4 + 9m, m Z
e) 9x – 11 lat = 36	x = 4 + 11n, y = 9n, n Z
e) 7x – 4y = 29	x = 3 + 4n, y = -2 + 7n, n Z
g) 19x – 5 lat = 119	x = 1 + 5 p, y = -20 + 19 p, p Z
h) 28x – 40 lat = 60	x = 45 + 10t, y = 30 + 7t, t Z

2) Znajdź całkowite nieujemne rozwiązania równania:

Rozwiązanie:Z (2; -1)

Literatura.

1. Encyklopedia dla dzieci „Pedagogika”, Moskwa, 1972.
2. Algebra-8, N.Ya. Vilenkin, VO „Nauka”, Nowosybirsk, 1992
3. Problemy konkurencji oparte na teorii liczb. V.Ya. Galkin, D.Yu. Sychugow. MSU, VMK, Moskwa, 2005.
4. Zagadnienia o podwyższonym stopniu trudności w kursie algebry dla klas 7-9. N.P. Kosrykina. „Oświecenie”, Moskwa, 1991
5. Algebra 7, Makarychev Yu.N., „Oświecenie”.