Całkowanie najprostszych ułamków niewymiernych. Integracja wyrażeń irracjonalnych. Całkowanie ułamków złożonych

Definicja 1

Zbiór wszystkich funkcji pierwotnych danej funkcji $y=f(x)$, określony na pewnym odcinku, nazywany jest całką nieoznaczoną danej funkcji $y=f(x)$. Całkę nieoznaczoną oznaczamy symbolem $\int f(x)dx $.

Komentarz

Definicja 2 może być zapisana następująco:

\[\int f(x)dx =F(x)+C.\]

Nie każdą funkcję niewymierną można wyrazić jako całkę za pomocą funkcji elementarnych. Jednak większość tych całek można zredukować za pomocą podstawień do całek funkcji wymiernych, które można wyrazić w postaci funkcji elementarnych.

$\int R\left(x,x^(m/n) ,...,x^(r/s) \right)dx $;

$\int R\left(x,\left(\frac(ax+b)(cx+d) \right)^(m/n) ,...,\left(\frac(ax+b)(cx +d) \right)^(r/s) \right)dx $;

$\int R\left(x,\sqrt(ax^(2) +bx+c) \right)dx $.

I

Szukając całki w postaci $\int R\left(x,x^(m/n) ,...,x^(r/s) \right)dx $ należy dokonać następującego podstawienia:

Dzięki temu podstawieniu każda potęga ułamkowa zmiennej $x$ jest wyrażona przez całkowitą potęgę zmiennej $t$. W rezultacie funkcja całkowa zostaje przekształcona w funkcję wymierną zmiennej $t$.

Przykład 1

Wykonaj integrację:

\[\int \frac(x^(1/2) dx)(x^(3/4) +1) .\]

Rozwiązanie:

$k=4$ to wspólny mianownik ułamków $\frac(1)(2) ,\, \, \frac(3)(4) $.

\ \[\begin(array)(l) (\int \frac(x^(1/2) dx)(x^(3/4) +1) =4\int \frac(t^(2) ) (t^(3) +1) \cdot t^(3) dt =4\int \frac(t^(5) )(t^(3) +1) dt =4\int \left(t^( 2) -\frac(t^(2) )(t^(3) +1) \right)dt =4\int t^(2) dt -4\int \frac(t^(2) )(t ^(3) +1) dt =\frac(4)(3) \cdot t^(3) -) \\ (-\frac(4)(3) \cdot \ln |t^(3) +1 |+C)\end(tablica)\]

\[\int \frac(x^(1/2) dx)(x^(3/4) +1) =\frac(4)(3) \cdot \left+C\]

II

Przy znajdywaniu całki w postaci $\int R\left(x,\left(\frac(ax+b)(cx+d) \right)^(m/n) ,...,\left(\frac (ax+ b)(cx+d) \right)^(r/s) \right)dx $ należy wykonać następującą podstawienie:

gdzie $k$ jest wspólnym mianownikiem ułamków $\frac(m)(n) ,...,\frac(r)(s) $.

W wyniku tego podstawienia funkcja całkowa zostaje przekształcona w funkcję wymierną zmiennej $t$.

Przykład 2

Wykonaj integrację:

\[\int \frac(\sqrt(x+4) )(x) dx .\]

Rozwiązanie:

Dokonajmy następującego podstawienia:

\ \[\int \frac(\sqrt(x+4) )(x) dx =\int \frac(t^(2) )(t^(2) -4) dt =2\int \left(1 +\frac(4)(t^(2) -4) \right)dt =2\int dt +8\int \frac(dt)(t^(2) -4) =2t+2\ln \left |\frac(t-2)(t+2) \right|+C\]

Po dokonaniu odwrotnego podstawienia otrzymujemy wynik końcowy:

\[\int \frac(\sqrt(x+4) )(x) dx =2\sqrt(x+4) +2\ln \left|\frac(\sqrt(x+4) -2)(\ sqrt(x+4) +2) \prawo|+C.\]

III

Przy znajdywaniu całki w postaci $\int R\left(x,\sqrt(ax^(2) +bx+c) \right)dx $ dokonuje się tzw. podstawienia Eulera (jedno z trzech możliwych podstawień używany).

Pierwsze podstawienie Eulera

Dla przypadku $a>

Biorąc znak „+” przed $\sqrt(a) $, otrzymujemy

Przykład 3

Wykonaj integrację:

\[\int \frac(dx)(\sqrt(x^(2) +c) ) .\]

Rozwiązanie:

Dokonajmy następującego podstawienia (przypadek $a=1>0$):

\[\sqrt(x^(2) +c) =-x+t,\, \, x=\frac(t^(2) -c)(2t) ,\, \, dx=\frac(t ^(2) +c)(2t^(2) ) dt,\, \, \sqrt(x^(2) +c) =-\frac(t^(2) -c)(2t) +t= \frac(t^(2) +c)(2t) .\] \[\int \frac(dx)(\sqrt(x^(2) +c) ) =\int \frac(\frac(t^ (2) +c)(2t^(2) ) dt)(\frac(t^(2) +c)(2t) ) =\int \frac(dt)(t) =\ln |t|+C \]

Po dokonaniu odwrotnego podstawienia otrzymujemy wynik końcowy:

\[\int \frac(dx)(\sqrt(x^(2) +c) ) =\ln |\sqrt(x^(2) +c) +x|+C.\]

Drugie podstawienie Eulera

Dla przypadku $c>0$ należy dokonać następującego podstawienia:

Biorąc znak „+” przed $\sqrt(c) $, otrzymujemy

Przykład 4

Wykonaj integrację:

\[\int \frac((1-\sqrt(1+x+x^(2) ))^(2) )(x^(2) \sqrt(1+x+x^(2) ) ) dx .\]

Rozwiązanie:

Dokonajmy następującego podstawienia:

\[\sqrt(1+x+x^(2) ) =xt+1.\]

\ \[\sqrt(1+x+x^(2) ) =xt+1=\frac(t^(2) -t+1)(1-t^(2) ) \] \

$\int \frac((1-\sqrt(1+x+x^(2) ))^(2) )(x^(2) \sqrt(1+x+x^(2) ) ) dx = \int \frac((-2t^(2) +t)^(2) (1-t)^(2) (1-t^(2))(2t^(2) -2t+2))( (1-t^(2))^(2) (2t-1)^(2) (t^(2) -t+1)(1-t^(2))^(2) ) dt =\ int \frac(t^(2) )(1-t^(2) ) dt =-2t+\ln \left|\frac(1+t)(1-t) \right|+C$ Po wykonaniu odwrotności podstawienia, otrzymujemy wynik końcowy:

\[\begin(tablica)(l) (\int \frac((1-\sqrt(1+x+x^(2) ))^(2) )(x^(2) \sqrt(1+x +x^(2) ) dx =-2\cdot \frac(\sqrt(1+x+x^(2) ) -1)(x) +\ln \left|\frac(x+\sqrt(1 + x+x^(2) ) -1)(x-\sqrt(1+x+x^(2) ) +1) \right|+C=-2\cdot \frac(\sqrt(1+x + x^(2) ) -1)(x) +) \\ (+\ln \left|2x+2\sqrt(1+x+x^(2) ) +1\right|+C) \end ( szyk)\]

Trzecie podstawienie Eulera

Pod irracjonalny zrozumieć wyrażenie, w którym pod znakiem zawarta jest zmienna niezależna %%x%% lub wielomian %%P_n(x)%% stopnia %%n \in \mathbb(N)%% rodnik(z łac źródło- korzeń), tj. podniesione do potęgi ułamkowej. Zastępując zmienną, niektóre klasy całek, które są niewymierne w odniesieniu do %%x%%, można sprowadzić do wyrażeń wymiernych w odniesieniu do nowej zmiennej.

Pojęcie racjonalnej funkcji jednej zmiennej można rozszerzyć na wiele argumentów. Jeśli dla każdego argumentu %%u, v, \dotsc, w%% przy obliczaniu wartości funkcji podane są tylko działania arytmetyczne i podniesienie do potęgi całkowitej, to mówimy o funkcji wymiernej tych argumentów, która zwykle jest oznaczone jako %%R(u, v, \ kropki, w)%%. Argumenty takiej funkcji mogą same być funkcjami zmiennej niezależnej %%x%%, łącznie z pierwiastkami w postaci %%\sqrt[n](x), n \in \mathbb(N)%%. Na przykład funkcja wymierna $$ R(u,v,w) = \frac(u + v^2)(w) $$ gdzie %%u = x, v = \sqrt(x)%% i %% w = \sqrt(x^2 + 1)%% jest funkcją wymierną $$ R\left(x, \sqrt(x), \sqrt(x^2+1)\right) = \frac(x + \sqrt(x ^2))(\sqrt(x^2 + 1)) = f(x) $$ z %%x%% i rodniki %%\sqrt(x)%% i %%\sqrt(x ^2 + 1 )%%, natomiast funkcja %%f(x)%% będzie funkcją niewymierną (algebraiczną) jednej zmiennej niezależnej %%x%%.

Rozważmy całki w postaci %%\int R(x, \sqrt[n](x)) \mathrm(d)x%%. Takie całki racjonalizuje się poprzez zastąpienie zmiennej %%t = \sqrt[n](x)%%, a następnie %%x = t^n, \mathrm(d)x = nt^(n-1)%%.

Przykład 1

Znajdź %%\displaystyle\int \frac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x) + \sqrt(x))%%.

Całkę żądanego argumentu zapisuje się jako funkcję pierwiastków stopnia %%2%% i %%3%%. Ponieważ najmniejsza wspólna wielokrotność %%2%% i %%3%% wynosi %%6%%, całka ta jest całką typu %%\int R(x, \sqrt(x)) \mathrm(d) x %% i można to zracjonalizować, zastępując %%\sqrt(x) = t%%. Następnie %%x = t^6, \mathrm(d)x = 6t \mathrm(d)t, \sqrt(x) = t^3, \sqrt(x) =t^2%%. Zatem $$ \int \frac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x) + \sqrt(x)) = \int \frac(6t^5 \mathrm(d)t)(t^3 + t^2) = 6\int\frac(t^3)(t+1)\mathrm(d)t. $$ Weźmy %%t + 1 = z, \mathrm(d)t = \mathrm(d)z, z = t + 1 = \sqrt(x) + 1%% i $$ \begin(array)( ll ) \int \frac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x) + \sqrt(x)) &= 6\int\frac((z-1)^3)(z) \mathrm(d ) t = \\ &= 6\int z^2 dz -18 \int z \mathrm(d)z + 18\int \mathrm(d)z -6\int\frac(\mathrm(d)z)( z ) = \\ &= 2z^3 - 9 z^2 + 18z -6\ln|z| + C = \\ &= 2 \left(\sqrt(x) + 1\right)^3 - 9 \left(\sqrt(x) + 1\right)^2 + \\ &+~ 18 \left( \sqrt(x) + 1\prawo) - 6 \ln\lewo|\sqrt(x) + 1\prawo| + C \end(tablica) $$

Całki postaci %%\int R(x, \sqrt[n](x)) \mathrm(d)x%% są szczególnym przypadkiem ułamkowej niewymierności liniowej, tj. całki postaci %%\displaystyle\int R\left(x, \sqrt[n](\dfrac(ax+b)(cd+d))\right) \mathrm(d)x%%, gdzie %% ad - bc \neq 0%%, co można zracjonalizować zastępując zmienną %%t = \sqrt[n](\dfrac(ax+b)(cd+d))%%, wtedy %%x = \dfrac (dt^n - b)(a - ct^n)%%. Następnie $$ \mathrm(d)x = \frac(n t^(n-1)(ad - bc))(\left(a - ct^n\right)^2)\mathrm(d)t. $$

Przykład 2

Znajdź %%\displaystyle\int \sqrt(\dfrac(1 -x)(1 + x))\dfrac(\mathrm(d)x)(x + 1)%%.

Weźmy %%t = \sqrt(\dfrac(1 -x)(1 + x))%%, następnie %%x = \dfrac(1 - t^2)(1 + t^2)%%, $ $ \begin(array)(l) \mathrm(d)x = -\frac(4t\mathrm(d)t)(\left(1 + t^2\right)^2), \\ 1 + x = \ frac(2)(1 + t^2), \\ \frac(1)(x + 1) = \frac(1 + t^2)(2). \end(array) $$ Zatem $$ \begin(array)(l) \int \sqrt(\dfrac(1 -x)(1 + x))\frac(\mathrm(d)x)(x + 1) = \\ = \frac(t(1 + t^2))(2)\left(-\frac(4t \mathrm(d)t)(\left(1 + t^2\right)^2 )\right) = \\ = -2\int \frac(t^2\mathrm(d)t)(1 + t^2) = \\ = -2\int \mathrm(d)t + 2\int \frac(\mathrm(d)t)(1 + t^2) = \\ = -2t + \text(arctg)~t + C = \\ = -2\sqrt(\dfrac(1 -x)( 1 + x)) + \text(arctg)~\sqrt(\dfrac(1 -x)(1 + x)) + C. \end(array) $$

Rozważmy całki w postaci %%\int R\left(x, \sqrt(ax^2 + bx + c)\right) \mathrm(d)x%%. W najprostszych przypadkach całki takie sprowadza się do tabelarycznych, jeśli po wyodrębnieniu pełnego kwadratu dokona się zmiany zmiennych.

Przykład 3

Znajdź całkę %%\displaystyle\int \dfrac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x^2 + 4x + 5))%%.

Biorąc pod uwagę, że %%x^2 + 4x + 5 = (x+2)^2 + 1%%, bierzemy %%t = x + 2, \mathrm(d)x = \mathrm(d)t%%, następnie $$ \begin(array)(ll) \int \frac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x^2 + 4x + 5)) &= \int \frac(\mathrm(d)t) (\sqrt(t^2 + 1)) = \\ &= \ln\left|t + \sqrt(t^2 + 1)\right| + C = \\ &= \ln\lewo|x + 2 + \sqrt(x^2 + 4x + 5)\prawo| + C. \end(tablica) $$

W bardziej skomplikowanych przypadkach do znalezienia całek w postaci %%\int R\left(x, \sqrt(ax^2 + bx + c)\right) \mathrm(d)x%% stosuje się

Klasa funkcji niewymiernych jest bardzo szeroka, więc po prostu nie może być uniwersalnego sposobu ich całkowania. W tym artykule postaramy się zidentyfikować najbardziej charakterystyczne typy funkcji całkowych niewymiernych i powiązać z nimi metodę całkowania.

Istnieją przypadki, w których właściwe jest zastosowanie metody subskrybowania znaku różniczkowego. Na przykład przy znajdowaniu całek nieoznaczonych w formie, gdzie P– ułamek wymierny.

Przykład.

Znajdź całkę nieoznaczoną .

Rozwiązanie.

Nietrudno to zauważyć. Dlatego umieszczamy to pod znakiem różniczkowym i korzystamy z tabeli funkcji pierwotnych:

Odpowiedź:

.

13. Ułamkowe podstawienie liniowe

Całki typu, gdzie a, b, c, d są liczbami rzeczywistymi, a, b,..., d, g są liczbami naturalnymi, sprowadzamy do całek funkcji wymiernej przez podstawienie, gdzie K jest najmniejszą wspólną wielokrotnością mianowniki ułamków

Rzeczywiście z podstawienia wynika, że

tj. x i dx są wyrażone poprzez wymierne funkcje t. Co więcej, każdy stopień ułamka wyraża się poprzez wymierną funkcję t.

Przykład 33.4. Znajdź całkę

Rozwiązanie: Najmniejsza wspólna wielokrotność mianowników ułamków 2/3 i 1/2 wynosi 6.

Dlatego dodajemy x+2=t 6, x=t 6 -2, dx=6t 5 dt, Zatem

Przykład 33.5. Określ podstawienie przy znajdowaniu całek:

Rozwiązanie: Dla podstawienia I 1 x=t 2, dla podstawienia I 2

14. Podstawienie trygonometryczne

Całki typu sprowadza się do całek funkcji, które racjonalnie zależą od funkcji trygonometrycznych, stosując następujące podstawienia trygonometryczne: x = sint dla pierwszej całki; x=a tgt dla drugiej całki, dla trzeciej całki.

Przykład 33.6. Znajdź całkę

Rozwiązanie: załóżmy, że x=2 sin t, dx=2 cos tdt, t=arcsin x/2. Następnie

Tutaj całka jest funkcją wymierną względem x i Wybierając pełny kwadrat pod pierwiastkiem i dokonując podstawienia, całki wskazanego typu są redukowane do całek typu już rozważanego, tj. Do całek typu Całki te można obliczyć za pomocą odpowiednich podstawień trygonometrycznych.

Przykład 33.7. Znajdź całkę

Rozwiązanie: Ponieważ x 2 +2x-4=(x+1) 2 -5, to x+1=t, x=t-1, dx=dt. Dlatego Włóżmy

Uwaga: typ integralny Celowe jest znalezienie za pomocą podstawienia x=1/t.

15. Całka oznaczona

Niech funkcja będzie zdefiniowana na segmencie i będzie miała na niej funkcję pierwotną. Różnica nazywa się określona całka funkcje wzdłuż odcinka i oznaczają. Więc,

Różnicę zapisuje się zatem w formie . Numery są wywoływane granice integracji .

Na przykład jedna z funkcji pierwotnych funkcji. Dlatego

16 . Jeśli c jest liczbą stałą i funkcja ƒ(x) jest całkowalna na , to

to znaczy stały współczynnik c można wyjąć ze znaku całki oznaczonej.

▼Ułóżmy sumę całkową dla funkcji z ƒ(x). Mamy:

Wynika z tego, że funkcja c ƒ(x) jest całkowalna na [a; b] i wzór (38.1) jest ważny.▲

2. Jeżeli funkcje ƒ 1 (x) i ƒ 2 (x) są całkowalne na [a;b], to są całkowalne na [a; b] ich suma u

to znaczy całka sumy jest równa sumie całek.

▼
▲

Własność 2 dotyczy sumy dowolnej skończonej liczby terminów.

3.

Właściwość tę można przyjąć z definicji. Właściwość tę potwierdza także wzór Newtona-Leibniza.

4. Jeśli funkcja ƒ(x) jest całkowalna na [a; b] i a< с < b, то

to znaczy całka po całym segmencie jest równa sumie całek po częściach tego segmentu. Ta właściwość nazywa się addytywnością całki oznaczonej (lub właściwością addytywności).

Dzieląc odcinek [a;b] na części, uwzględniamy punkt c w liczbie punktów podziału (można to zrobić ze względu na niezależność granicy sumy całkowej od sposobu dzielenia odcinka [a;b] na części). Jeżeli c = x m, to sumę całkową można podzielić na dwie sumy:

Każda z zapisanych sum jest odpowiednio całkowa dla segmentów [a; b], [a; s] i [s; B]. Przechodząc do granicy w ostatniej równości jako n → ∞ (λ → 0), otrzymujemy równość (38,3).

Własność 4 obowiązuje dla dowolnego położenia punktów a, b, c (zakładamy, że funkcja ƒ (x) jest całkowalna na większym z otrzymanych odcinków).

Jeśli więc np< b < с, то

(wykorzystano właściwości 4 i 3).

5. „Twierdzenie o wartościach średnich”. Jeżeli funkcja ƒ(x) jest ciągła na przedziale [a; b], wtedy jest tonka z є [a; b] tak, że

▼Ze wzoru Newtona-Leibniza mamy

gdzie F"(x) = ƒ(x). Stosując twierdzenie Lagrange'a (twierdzenie o skończonym przyroście funkcji) do różnicy F(b)-F(a) otrzymujemy

F(b)-F(a) = F"(c) (b-a) = ƒ(c) (b-a).▲

Właściwość 5 („twierdzenie o wartości średniej”) dla ƒ (x) ≥ 0 ma proste znaczenie geometryczne: wartość całki oznaczonej jest równa dla niektórych c є (a; b) polu prostokąta o wysokości ƒ (c) i podstawie b-a (patrz ryc. 170). Numer

nazywa się średnią wartością funkcji ƒ(x) w przedziale [a; B].

6. Jeżeli funkcja ƒ (x) zachowuje swój znak na odcinku [a; b], gdzie a< b, то интегралимеет тот же знак, что и функция. Так, если ƒ(х)≥0 на отрезке [а; b], то

▼Na podstawie „twierdzenia o wartości średniej” (właściwość 5)

gdzie c є [a; B]. A ponieważ ƒ(x) ≥ 0 dla wszystkich x О [a; b], zatem

ƒ(с)≥0, b-а>0.

Zatem ƒ(с) (b-а) ≥ 0, tj. ▲

7. Nierówność funkcji ciągłych na przedziale [a; b], (a

▼Ponieważ ƒ 2 (x)-ƒ 1 (x) ≥0, to gdy a< b, согласно свойству 6, имеем

Lub, zgodnie z właściwością 2,

Należy pamiętać, że nierówności nie można różnicować.

8. Estymacja całki. Jeżeli m i M są odpowiednio najmniejszymi i największymi wartościami funkcji y = ƒ (x) na odcinku [a; b], (a< b), то

▼Skoro dla dowolnego x є [a;b] mamy m≤ƒ(x)≤М, to zgodnie z własnością 7 mamy

Stosując właściwość 5 do całek skrajnych, otrzymujemy

▲

Jeśli ƒ(x)≥0, to własność 8 jest zilustrowana geometrycznie: obszar krzywoliniowego trapezu jest zawarty pomiędzy obszarami prostokątów, których podstawa wynosi , a których wysokości wynoszą m i M (patrz ryc. 171).

9. Moduł całki oznaczonej nie przekracza całki modułu całki oznaczonej:

▼ Stosując własność 7 do oczywistych nierówności -|ƒ(x)|≤ƒ(x)≤|ƒ(x)|, otrzymujemy

Wynika, że

▲

10. Pochodna całki oznaczonej po górnej granicy zmiennej jest równa całce, w której zmienna całkująca zostaje zastąpiona przez tę granicę, tj.

Obliczanie pola figury jest jednym z najtrudniejszych problemów teorii obszaru. Na szkolnym kursie geometrii nauczyliśmy się znajdować obszary podstawowych kształtów geometrycznych, na przykład koła, trójkąta, rombu itp. Jednak znacznie częściej masz do czynienia z obliczaniem pól figur bardziej skomplikowanych. Rozwiązując takie problemy, należy uciekać się do rachunku całkowego.

W tym artykule rozważymy problem obliczania pola trapezu krzywoliniowego i podchodzimy do niego w sensie geometrycznym. Pozwoli nam to znaleźć bezpośredni związek między całką oznaczoną a polem trapezu krzywoliniowego.

Niech funkcja y = f(x) ciągły w segmencie i nie zmienia znajdującego się na nim znaku (to znaczy nieujemnego lub dodatniego). Postać G, ograniczone liniami y = f(x), y = 0, x = a I x = b, zwany zakrzywiony trapez. Oznaczmy jego pole S(G).

Podejdźmy do problemu obliczania pola trapezu krzywoliniowego w następujący sposób. W części poświęconej figurom kwadratowym dowiedzieliśmy się, że zakrzywiony trapez jest figurą kwadratową. Jeśli podzielisz segment NA N części oznaczone kropkami i wybierz punkty w taki sposób, aby dla , liczby odpowiadające dolnej i górnej sumie Darboux można było uznać za uwzględnione P i kompleksowe Q wielokątne kształty dla G.

Zatem nawet przy wzroście liczby punktów podziału N, dochodzimy do nierówności , gdzie jest dowolnie mała liczba dodatnia, i S I S– dolna i górna suma Darboux dla danego podziału segmentu . W innym poście . Dlatego przechodząc do koncepcji całki oznaczonej Darboux, otrzymujemy .

Ostatnia równość oznacza całkę oznaczoną dla funkcji ciągłej i nieujemnej y = f(x) reprezentuje w sensie geometrycznym obszar odpowiedniego zakrzywionego trapezu. Co to jest geometryczne znaczenie całki oznaczonej.

Oznacza to, że obliczając całkę oznaczoną, znajdziemy obszar figury ograniczony liniami y = f(x), y = 0, x = a I x = b.

Komentarz.

Jeśli funkcja y = f(x) niekorzystny dla segmentu , wówczas obszar zakrzywionego trapezu można znaleźć jako .

Przykład.

Oblicz pole figury ograniczone liniami .

Rozwiązanie.

Zbudujmy figurę na płaszczyźnie: linia prosta y = 0 pokrywa się z osią x, liniami prostymi x = -2 I x = 3 są równoległe do osi rzędnych, a krzywą można skonstruować wykorzystując przekształcenia geometryczne wykresu funkcji.

Dlatego musimy znaleźć obszar zakrzywionego trapezu. Geometryczne znaczenie całki oznaczonej wskazuje nam, że żądane pole wyraża się całką oznaczoną. Stąd, . Tę całkę oznaczoną można obliczyć za pomocą wzoru Newtona-Leibniza.

Całki postaci (m 1, n 1, m 2, n 2, ... - liczby całkowite). W tych całekach całka jest wymierna w odniesieniu do zmiennej całkującej i rodników x. Oblicza się je poprzez podstawienie x=t s, gdzie s jest wspólnym mianownikiem ułamków, ... Przy takim zastąpieniu zmiennej wszystkie relacje = r 1, = r 2, ... są liczbami całkowitymi, tj. całka wynosi zredukowane do wymiernej funkcji zmiennej t:

Całki postaci (m 1, n 1, m 2, n 2, ... - liczby całkowite). Całki te powstają poprzez podstawienie:

gdzie s jest wspólnym mianownikiem ułamków, ..., sprowadza się do wymiernej funkcji zmiennej t.

Całki postaci Aby obliczyć całkę I 1, wybierz pełny kwadrat pod znakiem pierwiastka:

i stosuje się podstawienie:

W rezultacie całka ta zostaje zredukowana do całki tabelarycznej:

W liczniku całki I 2 rozróżnia się różnicę wyrażenia pod znakiem pierwiastka, a całkę tę przedstawia się jako sumę dwóch całek:

gdzie I 1 jest całką obliczoną powyżej.

Obliczenie całki I 3 sprowadza się do obliczenia całki I 1 poprzez podstawienie:

Całka postaci Szczególne przypadki obliczania całek tego typu omówiono w poprzednim akapicie. Istnieje kilka różnych metod ich obliczania. Rozważmy jedną z tych technik, opartą na zastosowaniu podstawień trygonometrycznych.

Kwadratową oś trójmianu 2 +bx+c poprzez wyodrębnienie całego kwadratu i zmianę zmiennej można przedstawić w postaci Zatem wystarczy ograniczyć się do rozważenia trzech rodzajów całek:

Całka przez podstawienie

u=ksint (lub u=kkoszt)

sprowadza się do całki funkcji wymiernej w odniesieniu do grzechu i kosztu.

Całki postaci (m, n, p є Q, a, b є R). Rozważane całki, zwane całkami dwumianu różniczkowego, wyrażane są za pomocą funkcji elementarnych tylko w trzech następujących przypadkach:

1) jeśli p є Z, wówczas stosuje się podstawienie:

gdzie s jest wspólnym mianownikiem ułamków m i n;

2) jeśli Z, to stosuje się podstawienie:

gdzie s jest mianownikiem ułamka

3) jeżeli Z, to stosuje się podstawienie:

gdzie s jest mianownikiem ułamka

Podano podstawowe metody całkowania funkcji niewymiernych (pierwiastków). Należą do nich: całkowanie liniowej irracjonalności ułamkowej, dwumian różniczkowy, całki z pierwiastkiem kwadratowym z trójmianu kwadratowego. Podano podstawienia trygonometryczne i podstawienia Eulera. Rozważane są pewne całki eliptyczne wyrażone za pomocą funkcji elementarnych.

Treść

Całki z dwumianów różniczkowych

Całki z dwumianów różniczkowych mają postać:
,
gdzie m, n, p to liczby wymierne, a, b to liczby rzeczywiste.
Takie całki sprowadzają się do całek funkcji wymiernych w trzech przypadkach.

1) Jeśli p jest liczbą całkowitą. Podstawienie x = t N, gdzie N jest wspólnym mianownikiem ułamków m i n.
2) Jeśli - liczba całkowita. Podstawienie a x n + b = t M, gdzie M jest mianownikiem liczby p.
3) Jeśli - liczba całkowita. Podstawienie a + b x - n = t M, gdzie M jest mianownikiem liczby p.

W innych przypadkach takich całek nie wyraża się za pomocą funkcji elementarnych.

Czasami takie całki można uprościć za pomocą wzorów redukcyjnych:
;
.

Całki zawierające pierwiastek kwadratowy z trójmianu kwadratowego

Całki takie mają postać:
,
gdzie R jest funkcją wymierną. Dla każdej takiej całki istnieje kilka metod jej rozwiązania.
1) Stosowanie przekształceń prowadzi do prostszych całek.
2) Zastosuj podstawienia trygonometryczne lub hiperboliczne.
3) Zastosuj podstawienia Eulera.

Przyjrzyjmy się tym metodom bardziej szczegółowo.

1) Transformacja funkcji całkowej

Stosując wzór i wykonując przekształcenia algebraiczne, funkcję całkową sprowadzamy do postaci:
,
gdzie φ(x), ω(x) są funkcjami wymiernymi.

Typ I

Całka postaci:
,
gdzie P n (x) jest wielomianem stopnia n.

Całki takie wyznacza się metodą współczynników nieoznaczonych wykorzystując tożsamość:

.
Różniczkując to równanie i przyrównując lewą i prawą stronę, znajdujemy współczynniki A i.

Typ II

Całka postaci:
,
gdzie P m (x) jest wielomianem stopnia m.

Podstawienie t = (x - α) -1 całka ta jest zredukowana do poprzedniego typu. Jeśli m ≥ n, to ułamek powinien mieć część całkowitą.

Typ III

Tutaj dokonujemy podstawienia:
.
Po czym całka przyjmie postać:
.
Następnie stałe α, β należy dobrać tak, aby współczynniki t w mianowniku wyniosły zero:
B = 0, B 1 = 0.
Następnie całka rozkłada się na sumę całek dwóch typów:
,
,
które są całkowane przez podstawienia:
u 2 = ZA 1 t 2 + do 1,
v 2 = ZA 1 + do 1 t -2 .

2) Podstawienia trygonometryczne i hiperboliczne

Dla całek postaci , a > 0 ,
mamy trzy główne podstawienia:
;
;
;

Dla całek, a > 0 ,
mamy następujące podstawienia:
;
;
;

I wreszcie, dla całek, a > 0 ,
podstawienia są następujące:
;
;
;

3) Podstawienia Eulera

Całki można również sprowadzić do całek funkcji wymiernych jednego z trzech podstawień Eulera:
, dla > 0;
, dla c > 0;
, gdzie x 1 jest pierwiastkiem równania a x 2 + b x + c = 0. Jeśli to równanie ma rzeczywiste pierwiastki.

Całki eliptyczne

Podsumowując, rozważ całki postaci:
,
gdzie R jest funkcją wymierną, . Takie całki nazywane są eliptycznymi. Generalnie nie wyraża się ich za pomocą funkcji elementarnych. Zdarzają się jednak przypadki, gdy między współczynnikami A, B, C, D, E istnieją zależności, w których takie całki wyraża się za pomocą funkcji elementarnych.

Poniżej znajduje się przykład związany z wielomianami zwrotnymi. Obliczanie takich całek przeprowadza się za pomocą podstawień:
.

Przykład

Oblicz całkę:
.

Dokonajmy zamiany.

.
Tutaj o x > 0 (u> 0 ) weź górny znak ′+ ′. O godzinie x< 0 (wy< 0 ) - niżej '- '.

.

Bibliografia:
N.M. Gunter, RO Kuźmin, Zbiór problemów matematyki wyższej, „Lan”, 2003.

Zobacz też: