DODANIE MATRYCY.

Operację dodawania wprowadza się tylko dla macierzy o tej samej wielkości.

DEFINICJA Suma dwóch macierzy A = (a I J ) I B = (ur I J) ten sam rozmiar nazywa się macierzą C = (c i j) o tej samej wielkości, której elementy są równe sumie odpowiednich elementów wyrazów macierzy, tj. gdzie ja jot = za ja jot + b ja jot

Oznacza się sumę macierzy A + B.

MNOŻENIE MACIERZY PRZEZ LICZBĘ RZECZYWISTĄ

DEFINICJA Aby pomnożyć macierz przez liczbę k, należy pomnożyć każdy element macierzy przez tę liczbę:

jeśli A= (a i j), to

WŁAŚCIWOŚCI DODAWANIA I MNOŻENIA MACIERZY PRZEZ LICZBĘ

1. Własność przemienna:

A + B = B + A

• 2. Właściwość połączenia:
  • (A + B) + C = A + (B + C)
• 3. Własność rozdzielcza:

k (A + B) = k A + k B,

gdzie k jest liczbą

MNOŻENIE MACIERZY

Macierz A nazwiemy zgodną z macierzą B, jeśli liczba kolumn macierzy A będzie równa liczbie wierszy macierzy B, tj. dla dopasowanych macierzy macierz A ma rozmiar mn, macierz B ma rozmiar nk. Macierze kwadratowe są spójne, jeśli są tego samego rzędu.

DEFINICJA Iloczynem macierzy A o rozmiarze m n przez macierz B o rozmiarze n k jest macierz C o rozmiarze m k, której element a i j znajdujący się w i -tym wierszu i j -tej kolumnie jest równy sumie iloczynów elementy i -tego wiersza macierzy A przez odpowiadające im elementy j - kolumny macierzy B, tj.

do ja jot = za ja 1 b 1 jot + za ja 2 b 2 jot +……+ za ja n b n jot

Oznaczmy: C = A B.

Produkt BA nie ma sensu, ponieważ macierze nie są spójne.

UWAGA 1. Jeśli A B ma sens, to B A może nie mieć sensu.

UWAGA 2. Jeśli A B i B A mają sens, to ogólnie rzecz biorąc

te. Mnożenie macierzy nie ma prawa przemienności.

UWAGA 3. Jeśli A jest macierzą kwadratową, a E jest macierzą jednostkową tego samego rzędu, to

A mi = mi a = a.

Wynika z tego, że macierz jednostkowa po pomnożeniu pełni rolę jedynki.

PRZYKŁADY. Znajdź, jeśli to możliwe, A B i B A.

Rozwiązanie: Macierze kwadratowe tego samego drugiego rzędu są spójne w innym porządku, więc istnieją A B i B A.

Rozwiązanie: Macierze A i B są spójne

Macierze B i A nie są spójne, więc B A nie ma sensu.

Należy pamiętać, że w wyniku pomnożenia dwóch macierzy otrzymuje się macierz zawierającą tyle wierszy, ile ma macierz mnożników i tyle kolumn, ile ma macierz mnożników.

W tym artykule zrozumiemy, jak wykonywana jest operacja dodawania na macierzach tego samego rzędu, operacja mnożenia macierzy przez liczbę i operacja mnożenia macierzy odpowiedniego rzędu, aksjomatycznie ustalimy właściwości operacji, oraz omów także priorytety operacji na macierzach. Równolegle z teorią podamy szczegółowe rozwiązania przykładów, w których wykonywane są operacje na macierzach.

Zauważmy od razu, że wszystkie poniższe zasady dotyczą macierzy, których elementami są liczby rzeczywiste (lub zespolone).

Nawigacja strony.

Operacja dodawania dwóch macierzy.

Definicja operacji dodawania dwóch macierzy.

Operację dodawania definiuje się TYLKO DLA MACIERZY TEJ SAMEJ KOLEJNOŚCI. Innymi słowy, nie da się znaleźć sumy macierzy o różnych wymiarach i w ogóle nie da się mówić o dodawaniu macierzy o różnych wymiarach. Nie można też mówić o sumie macierzy i liczby lub sumie macierzy i jakiegoś innego elementu.

Definicja.

Suma dwóch macierzy i jest macierzą, której elementy są równe sumie odpowiednich elementów macierzy A i B, czyli .

Zatem wynikiem operacji dodawania dwóch macierzy jest macierz tego samego rzędu.

Własności operacji dodawania macierzy.

Jakie właściwości ma operacja dodawania macierzy? Odpowiedź na to pytanie jest dość łatwa, zaczynając od zdefiniowania sumy dwóch macierzy danego rzędu i pamiętając o własnościach operacji dodawania liczb rzeczywistych (lub zespolonych).

1. Macierze A, B i C tego samego rzędu charakteryzują się właściwością asocjatywności dodawania A+(B+C)=(A+B)+C.
2. Dla macierzy danego rzędu istnieje element neutralny pod względem dodawania, którym jest macierz zerowa. Oznacza to, że własność A+O=A jest prawdziwa.
3. Dla niezerowej macierzy A danego rzędu istnieje macierz (–A), której suma jest macierzą zerową: A+(-A)=O.
4. Dla macierzy A i B danego rzędu prawdziwa jest przemienność dodawania A+B=B+A.

W konsekwencji zbiór macierzy danego rzędu generuje addytywną grupę Abla (grupę abelową ze względu na algebraiczną operację dodawania).

Dodawanie macierzy - rozwiązania przykładów.

Spójrzmy na kilka przykładów dodawania macierzy.

Przykład.

Znajdź sumę macierzy i .

Rozwiązanie.

Rzędy macierzy A i B są zbieżne i wynoszą 4 na 2, zatem możemy przeprowadzić operację dodawania macierzy i w rezultacie powinniśmy otrzymać macierz rzędu 4 na 2. Zgodnie z definicją operacji dodawania dwóch macierzy dodawanie wykonujemy element po elemencie:

Przykład.

Znajdź sumę dwóch macierzy I których elementami są liczby zespolone.

Rozwiązanie.

Ponieważ rzędy macierzy są równe, możemy wykonać dodawanie.

Przykład.

Wykonaj trzy dodawanie macierzy .

Rozwiązanie.

Najpierw dodaj macierz A z B, następnie dodaj C do powstałej macierzy:

Mamy macierz zerową.

Operacja mnożenia macierzy przez liczbę.

Definicja operacji mnożenia macierzy przez liczbę.

Operację mnożenia macierzy przez liczbę definiuje się DLA MATRYC DOWOLNEGO ZAMÓWIENIA.

Definicja.

Iloczyn macierzy i liczby rzeczywistej (lub zespolonej). jest macierzą, której elementy otrzymuje się poprzez pomnożenie odpowiednich elementów macierzy pierwotnej przez liczbę, czyli .

Zatem wynikiem pomnożenia macierzy przez liczbę jest macierz tego samego rzędu.

Własności operacji mnożenia macierzy przez liczbę.

Z właściwości operacji mnożenia macierzy przez liczbę wynika, że ​​pomnożenie macierzy zerowej przez liczbę zero da macierz zerową, a iloczyn dowolnej liczby i macierzy zerowej będzie macierzą zerową.

Mnożenie macierzy przez liczbę - przykłady i ich rozwiązanie.

Przyjrzyjmy się operacji mnożenia macierzy przez liczbę na przykładach.

Przykład.

Znajdź iloczyn liczby 2 i macierzy .

Rozwiązanie.

Aby pomnożyć macierz przez liczbę, należy pomnożyć każdy jej element przez tę liczbę:

Przykład.

Wykonaj mnożenie macierzy przez liczbę.

Rozwiązanie.

Mnożymy każdy element danej macierzy przez podaną liczbę:

Operacja mnożenia dwóch macierzy.

Definicja operacji mnożenia dwóch macierzy.

Operację mnożenia dwóch macierzy A i B definiuje się tylko dla przypadku, gdy LICZBA KOLUMNY MACIERZY A JEST RÓWNA LICZBIE WIERSZÓW MACIERZY B.

Definicja.

Iloczyn macierzy A rzędu i macierzy B rzędu- jest to macierz C rzędu, której każdy element jest równy sumie iloczynów elementów i-tego rzędu macierzy A przez odpowiednie elementy j-tej kolumny macierzy B, czyli

Zatem wynikiem operacji pomnożenia macierzy porządków przez macierz porządków jest macierz porządków.

Mnożenie macierzy przez macierz - rozwiązania przykładów.

Przyjrzyjmy się mnożeniu macierzy na przykładach, a następnie przejdźmy do wyszczególnienia właściwości operacji mnożenia macierzy.

Przykład.

Znajdź wszystkie elementy macierzy C, którą otrzymujemy przez pomnożenie macierzy I .

Rozwiązanie.

Rząd macierzy A to p=3 przez n=2, rząd macierzy B to n=2 przez q=4, zatem rząd iloczynu tych macierzy będzie wynosił p=3 przez q=4. Skorzystajmy ze wzoru

Przyjmujemy kolejno wartości i od 1 do 3 (ponieważ p=3) dla każdego j od 1 do 4 (ponieważ q=4), a w naszym przypadku n=2, wówczas

W ten sposób wyliczane są wszystkie elementy macierzy C, a macierz otrzymana poprzez pomnożenie dwóch danych macierzy ma postać .

Przykład.

Wykonaj mnożenie macierzy i .

Rozwiązanie.

Rzędy oryginalnych macierzy pozwalają na wykonanie operacji mnożenia. W rezultacie powinniśmy otrzymać macierz rzędu 2 na 3.

Przykład.

Dane macierze i . Znajdź iloczyn macierzy A i B oraz macierzy B i A.

Rozwiązanie.

Ponieważ rząd macierzy A wynosi 3 na 1, a macierz B na 1 na 3, to A⋅B będzie miało rząd 3 na 3, a iloczyn macierzy B i A będzie miał rząd 1 na 1.

Jak widzisz, . Jest to jedna z właściwości operacji mnożenia macierzy.

Własności operacji mnożenia macierzy.

Jeśli macierze A, B i C są odpowiedniego rzędu, wówczas spełnione są następujące warunki: właściwości operacji mnożenia macierzy.

Należy zauważyć, że przy odpowiednich rzędach iloczyn macierzy zerowej O i macierzy A daje macierz zerową. Iloczyn A i O również daje macierz zerową, jeśli rzędy pozwalają na mnożenie macierzy.

Wśród macierzy kwadratowych wyróżnia się tzw macierze permutacji, operacja mnożenia jest dla nich przemienna, to znaczy . Przykładem macierzy permutacji jest para macierzy tożsamości i dowolna inna macierz tego samego rzędu, ponieważ .

Priorytet operacji na macierzach.

Operacje mnożenia macierzy przez liczbę i mnożenia macierzy przez macierz mają równy priorytet. Jednocześnie operacje te mają wyższy priorytet niż operacja dodawania dwóch macierzy. Zatem macierz mnoży się przez liczbę i najpierw mnoży się macierz, a dopiero potem wykonuje się dodawanie macierzy. Można jednak jawnie określić kolejność wykonywania operacji na macierzach za pomocą nawiasów.

Zatem priorytet operacji na macierzach jest podobny do priorytetu przypisywanego operacjom dodawania i mnożenia liczb rzeczywistych.

Przykład.

Dane macierze . Wykonaj określone działania na podanych macierzach .

Rozwiązanie.

Zaczynamy od pomnożenia macierzy A przez macierz B:

Teraz mnożymy macierz tożsamości drugiego rzędu E przez dwa:

Dodajemy dwie powstałe macierze:

Pozostaje wykonać operację pomnożenia otrzymanej macierzy przez macierz A:

Należy zauważyć, że operacja odejmowania macierzy tego samego rzędu A i B jako taka nie istnieje. Różnica między dwiema macierzami jest zasadniczo sumą macierzy A i macierzy B, pomnożoną wcześniej przez minus jeden: .

Operacja podniesienia macierzy kwadratowej do potęgi naturalnej również nie jest niezależna, ponieważ jest to sekwencyjne mnożenie macierzy.

Podsumować.

Na zbiorze macierzy zdefiniowane są trzy operacje: dodawanie macierzy tego samego rzędu, mnożenie macierzy przez liczbę i mnożenie macierzy odpowiednich rzędów. Operacja dodawania na zbiorze macierzy danego rzędu generuje grupę Abla.

Po przestudiowaniu wstępnych tematów dotyczących macierzy, ich właściwości i operacji na nich, musimy zdobyć praktyczne doświadczenie, rozwiązując rzeczywiste przykłady dodawania i odejmowania macierzy. Po ugruntowaniu zdobytej wiedzy w praktyce można przejść do kolejnych tematów.

Zacznijmy naukę od prostszych problemów, stopniowo przechodząc do bardziej złożonych. Wszystkie działania będziemy komentować i w razie potrzeby zamieszczać przypisy wyjaśniające bardziej szczegółowo poszczególne przekształcenia.

Po ustaleniu celów tej lekcji przejdźmy do praktyki.

Dodawanie macierzy na przykładach:

1) Dodaj dwie macierze i zapisz wynik.

Pierwszą rzeczą do zrobienia jest ustalenie, czy problem ma rozwiązanie.

Wymiary obu macierzy pokrywają się, co oznacza, że ​​istnieje rozwiązanie.

Przystępujemy do dodawania bezpośredniego, sumując elementy macierzy. Ostateczne rozwiązanie będzie wyglądać następująco:

Jak widzimy, ten przykład wyraźnie pokazuje dodanie 2 macierzy.
Spróbujmy rozważyć nieco bardziej skomplikowany problem dodawania.

2) Dodaj 2 macierze „A” i „B”

Wymiary macierzy pokrywają się, co oznacza, że ​​możemy przystąpić do dodawania.
Wynikiem dodania będzie wynik pokazany na poniższym obrazku:

3) Dodaj macierze „A” i „B”

Tak jak to zrobiliśmy wcześniej, najpierw określamy wymiar. Wymiary macierzy „A” i „B” są takie same, możemy przystąpić do ich dodawania.

Elementy macierzy sumuje się dokładnie w taki sam sposób, jak w rozwiązanych powyżej przykładach.
Rozwiązanie przedstawionego problemu będzie wyglądać następująco:

4) Dodaj macierze i zapisz odpowiedź.

Najpierw sprawdźmy rozmiar. Widzimy, że wymiar macierzy „A” wynosi 3×2 (3 wiersze i 2 kolumny), a wymiar macierzy „B” wynosi 2×3, czyli nie są one równe, dlatego jest to niemożliwe aby dodać macierz „A” i „B”.
Odpowiedź: brak rozwiązań.

5) Udowodnij słuszność równości: A+B=B+A.
Macierze mają ten sam rozmiar i wyglądają następująco:

Najpierw dodajmy macierz A+B, a następnie B+A, a następnie porównajmy wynik.

Jak widzimy, wynik dodania jest dokładnie taki sam, tj. Zmiana położenia wyrazów nie powoduje zmiany wartości sumy.
Przyjrzeliśmy się temu w poprzednim temacie w dziale Właściwości akcji z macierzami.

Odejmowanie macierzy na przykładach:

Odejmowanie macierzy nie jest tak proste jak dodawanie, ale różnica jest bardzo mała.
Aby odjąć inną od jednej macierzy, po pierwsze muszą one mieć ten sam wymiar, a po drugie, odejmowanie wykonuje się według wzoru: A-B = A+(-1) B Należy dodać drugą do pierwszą macierz, która jest mnożona przez liczbę (-1).

Przyjrzyjmy się temu bardziej szczegółowo na przykładzie.

6) Znajdź różnicę między macierzami „C” i „D”

Wymiary obu macierzy pokrywają się, co oznacza, że ​​możemy przystąpić do odejmowania.
Aby to zrobić, odejmij drugą macierz od pierwszej macierzy i pomnóż ją przez liczbę (-1). Jak wiemy, aby pomnożyć jedną liczbę przez macierz, należy pomnożyć każdy jej element przez podaną liczbę. Kompletne rozwiązanie będzie wyglądać następująco:

Jak widać z tego rozwiązania, odejmowanie jest tą samą prostą operacją, co dodawanie macierzy i wymaga od uczniów jedynie wiedzy arytmetycznej, więc absolutnie każdy uczeń jest w stanie rozwiązać te problemy.

Na tym kończymy tę lekcję i mamy nadzieję, że po przeczytaniu tego materiału i szczegółowym rozwiązaniu przedstawionych problemów, będziesz teraz mógł łatwo dodawać i odejmować macierze, a ten temat jest dla Ciebie bardzo prosty.

1 rok, wyższa matematyka, studia matryce i podstawowe działania na nich. Tutaj usystematyzujemy podstawowe operacje, które można wykonać na macierzach. Od czego zacząć zapoznanie się z macierzami? Oczywiście od najprostszych rzeczy - definicji, podstawowych pojęć i prostych operacji. Zapewniamy, że matryce zrozumie każdy, kto poświęci im chociaż odrobinę czasu!

Definicja macierzy

Matryca jest prostokątną tabelą elementów. No cóż, najprościej – tabela liczb.

Zazwyczaj macierze są oznaczane dużymi literami łacińskimi. Na przykład matryca A , matryca B i tak dalej. Macierze mogą mieć różne rozmiary: prostokątne, kwadratowe, istnieją też macierze wierszowe i kolumnowe zwane wektorami. Rozmiar macierzy zależy od liczby wierszy i kolumn. Na przykład napiszmy prostokątną macierz o rozmiarze M NA N , Gdzie M – liczba linii oraz N - Liczba kolumn.

Przedmioty, dla których ja=j (a11, a22, .. ) tworzą główną przekątną macierzy i nazywane są przekątnymi.

Co można zrobić z macierzami? Dodaj/odejmij, pomnożyć przez liczbę, rozmnażać się między sobą, transponować. Teraz o tych wszystkich podstawowych operacjach na macierzach w kolejności.

Operacje dodawania i odejmowania na macierzach

Od razu ostrzegamy, że możesz dodawać tylko macierze o tym samym rozmiarze. Rezultatem będzie macierz o tym samym rozmiarze. Dodawanie (lub odejmowanie) macierzy jest proste - wystarczy dodać odpowiadające im elementy . Podajmy przykład. Wykonajmy dodanie dwóch macierzy A i B o wymiarach dwa na dwa.

Odejmowanie wykonuje się analogicznie, tylko z przeciwnym znakiem.

Każdą macierz można pomnożyć przez dowolną liczbę. Aby to zrobić, musisz pomnożyć każdy z jego elementów przez tę liczbę. Przykładowo pomnóżmy macierz A z pierwszego przykładu przez liczbę 5:

Operacja mnożenia macierzy

Nie wszystkie macierze można pomnożyć przez siebie. Przykładowo mamy dwie macierze - A i B. Można je pomnożyć przez siebie tylko wtedy, gdy liczba kolumn macierzy A jest równa liczbie wierszy macierzy B. W tym przypadku każdy element wynikowej macierzy, znajdujący się w i-tym wierszu i j-tej kolumnie, będzie równy sumie iloczynów odpowiednich elementów w i-tym rzędzie pierwszego czynnika i j-tej kolumnie drugi. Aby zrozumieć ten algorytm, napiszmy, jak mnożone są dwie macierze kwadratowe:

I przykład z liczbami rzeczywistymi. Pomnóżmy macierze:

Operacja transpozycji macierzy

Transpozycja macierzy to operacja polegająca na zamianie odpowiednich wierszy i kolumn. Na przykład przetransponujmy macierz A z pierwszego przykładu:

Wyznacznik macierzy

Wyznacznik lub wyznacznik jest jednym z podstawowych pojęć algebry liniowej. Dawno, dawno temu ludzie wymyślali równania liniowe, a po nich musieli wymyślić wyznacznik. Ostatecznie to Ty musisz sobie z tym wszystkim poradzić, więc ostatni impuls!

Wyznacznik to numeryczna charakterystyka macierzy kwadratowej, która jest potrzebna do rozwiązania wielu problemów.
Aby obliczyć wyznacznik najprostszej macierzy kwadratowej, należy obliczyć różnicę między iloczynami elementów przekątnych głównej i wtórnej.

Wyznacznik macierzy pierwszego rzędu, czyli składającej się z jednego elementu, jest równy temu elementowi.

A co jeśli macierz ma wymiary trzy na trzy? To jest trudniejsze, ale możesz sobie z tym poradzić.

Dla takiej macierzy wartość wyznacznika jest równa sumie iloczynów elementów głównej przekątnej i iloczynów elementów leżących na trójkątach o powierzchni równoległej do głównej przekątnej, z których iloczyn odejmuje się elementy drugiej przekątnej i iloczyn elementów leżących na trójkątach o powierzchni równoległej drugiej przekątnej.

Na szczęście w praktyce rzadko zdarza się konieczność obliczania wyznaczników macierzy o dużych rozmiarach.

Tutaj przyjrzeliśmy się podstawowym operacjom na macierzach. Oczywiście w prawdziwym życiu możesz nigdy nie spotkać choćby śladu macierzowego układu równań lub, wręcz przeciwnie, możesz napotkać znacznie bardziej złożone przypadki, w których naprawdę będziesz musiał się męczyć. Właśnie w takich przypadkach jest profesjonalista obsługa studentów. Poproś o pomoc, uzyskaj wysokiej jakości i szczegółowe rozwiązanie, ciesz się sukcesami w nauce i wolnym czasem.