Бүлгийг мөчлөгийн дэд бүлгүүдэд задлах. Циклийн дэд бүлгүүд

• 1. Бүлэг Знэмэх үйлдэлтэй бүхэл тоо.
• 2. Зэрэглэлийн бүх цогц язгуурын бүлэг nүржүүлэх үйлдэлтэй нэгээс. Циклийн тоо нь изоморфизм учраас

бүлэг нь цикл бөгөөд элемент үүсгэж байна.

Циклийн бүлгүүд нь төгсгөлтэй эсвэл хязгааргүй байж болохыг бид харж байна.

3. Дурын бүлэг ба дурын элемент байя. Уг багц нь генератор g элементтэй цикл бүлэг юм. Үүнийг g элементийн үүсгэсэн циклийн дэд бүлэг гэж нэрлэдэг бөгөөд түүний дараалал нь g элементийн дараалал юм. Лагранжийн теоремоор элементийн дараалал нь бүлгийн дарааллын хуваагч юм. Дэлгэц

томъёоны дагуу ажиллана:

нь гомоморфизм бөгөөд түүний дүр төрхтэй давхцаж байгаа нь ойлгомжтой. Газрын зураглал нь зөвхөн тухайн бүлэгт хамаарах зүйл юм Г- цикл ба gтүүний бүрдүүлэгч элемент. Энэ тохиолдолд бид мөчлөгийн бүлгийн стандарт гомоморфизм гэж нэрлэнэ Гсонгосон generatrix-тай g.

Энэ тохиолдолд гомоморфизмын теоремыг ашигласнаар бид мөчлөгийн бүлгүүдийн чухал шинж чанарыг олж авдаг: мөчлөгийн бүлэг бүр нь бүлгийн гомоморф дүрс юм. З .

Аль ч бүлэгт Гтодорхойлж болно градусбүхэл тоон үзүүлэлт бүхий элемент:

Эд хөрөнгө эзэмшдэг

Хэрэв энэ нь ойлгомжтой . Хэзээ болсон тохиолдлыг авч үзье . Дараа нь

Үлдсэн тохиолдлуудыг ижил төстэй байдлаар эмчилдэг.

(6) -аас үүнийг дагаж мөрддөг

Түүнээс гадна, тодорхойлолтоор. Тиймээс элементийн хүч нь бүлэгт дэд бүлгийг бүрдүүлдэг Г.гэж нэрлэдэг элементээр үүсгэгдсэн мөчлөгийн дэд бүлэг,болон тэмдэглэгдсэн байна .

Үндсэндээ өөр хоёр тохиолдол байж болно: элементийн бүх зэрэг нь өөр, эсвэл үгүй. Эхний тохиолдолд дэд бүлэг нь хязгааргүй юм. Хоёр дахь тохиолдлыг илүү нарийвчлан авч үзье.

Болъё ,; Дараа нь. Хамгийн бага натурал тоо Т,үүний төлөө, энэ тохиолдолд гэж нэрлэдэг дарааллаарэлемент ба тэмдэглэгдсэн байна .

Өгүүлбэр 1. Хэрэв , Тэр

Баталгаа. 1) хуваах мдээр Пүлдэгдэлтэй:

Дараа нь, дарааллын тодорхойлолтоор

Өмнөхөөс болж

Үр дагавар. Хэрэв mo дэд бүлэг n элементтэй бол.

Баталгаа.Үнэхээр,

мөн жагсаасан бүх элементүүд өөр байна.

Ийм байгалийн зүйл байхгүй тохиолдолд Т,(өөрөөр хэлбэл дээр дурдсан тохиолдлуудын эхнийх нь тохиолддог) гэж үздэг . Тэрийг тэмдэглэ; бүлгийн бусад бүх элементүүдийн дараалал 1-ээс их байна.

Нэмэлт бүлэгт бид элементийн чадлын тухай яриагүй , мөн түүний тухай олон тоо,гэж тэмдэглэгдсэн байдаг . Үүний дагуу нэмэлт бүлгийн элементийн дараалал байна Г-- хамгийн бага натурал тоо Т(хэрэв байгаа бол) үүний төлөө

ЖИШЭЭ 1.Талбайн шинж чанар нь түүний нэмэлт бүлэгт ямар ч тэг биш элементийн дараалал юм.

ЖИШЭЭ 2. Төгсгөлийн бүлэгт аливаа элементийн дараалал төгсгөлтэй байх нь ойлгомжтой. Бүлгийн элементүүдийн дарааллыг хэрхэн тооцдогийг харуулъя мөчлөгурт бөгөөд хэрэв энэ нь мөчлөгөөр өөрчлөгдвөл гэж тэмдэглэнэ

мөн бусад бүх тоог байрандаа үлдээнэ. Мэдээжийн хэрэг, мөчлөгийн уртын дараалал нь тэнцүү байна Р.Циклүүдийг нэрлэдэг бие даасан,хэрэв тэдгээр нь үнэхээр дахин цэгцэлсэн тоонуудын дунд нийтлэг тоо байхгүй бол; энэ тохиолдолд . Орлуулах бүрийг бие даасан мөчлөгийн бүтээгдэхүүн болгон өвөрмөц байдлаар задалж болно. Жишээлбэл,

Энэ нь орлуулах үйлдлийг сумаар дүрсэлсэн зурагт тодорхой харагдаж байна. Хэрэв орлуулалт нь бие даасан мөчлөгийн уртын бүтээгдэхүүнд задарвал , Тэр

ЖИШЭЭ 3.Бүлэг дэх нийлмэл тооны c дараалал нь зөвхөн энэ тоо нь ямар нэг нэгдмэл хүчний үндэс байх тохиолдолд л төгсгөлтэй байдаг бөгөөд энэ нь эргээд а нь c-тэй тэнцүү байх тохиолдолд л тохиолддог, өөрөөр хэлбэл. .

ЖИШЭЭ 4.Хавтгайн хөдөлгөөний бүлэгт хязгаарлагдмал эрэмбийн элементүүдийг олъё. Байцгаая. Ямар ч цэгийн хувьд

хөдөлгөөнөөр мөчлөгөөр өөрчлөгддөг , Тиймээс тэдний хүндийн төв Охарьцангуй хөдөлгөөнгүй. Тиймээс - цэгийн эргэн тойронд харах өнцгөөр эргүүлэх О, эсвэл ямар нэгэн шулуун шугамыг дайран өнгөрөхтэй харьцуулахад тусгал О.

ЖИШЭЭ 5. Матрицын дарааллыг олъё

бүлгийн элемент болгон. Бидэнд байгаа

Тэгэхээр. Мэдээжийн хэрэг, энэ жишээг тусгайлан сонгосон: санамсаргүй байдлаар сонгосон матрицын дараалал нь төгсгөлтэй байх магадлал нь тэг юм.

Санал 2. Хэрэв , Тэр

Баталгаа.Болъё

Тэгэхээр. Бидэнд байгаа

Тиймээс, .

Тодорхойлолт 1 . Бүлэг Гдуудсан мөчлөгийн,Хэрэв ийм элемент байгаа бол , Юу . Аливаа ийм элементийг дууддаг үүсгэгч элементбүлгүүд Г.

ЖИШЭЭ 6.Бүхэл тоонуудын нэмэлт бүлэг нь 1-р элементээр үүсгэгддэг тул мөчлөгтэй байдаг.

ЖИШЭЭ 7.Нэмэлт модулийн суутгалын бүлэг nэлементээр үүсгэгддэг тул мөчлөгтэй .

ЖИШЭЭ 8. 1-ийн нийлмэл n-р язгуурын үржүүлэх бүлэг нь мөчлөгтэй. Үнэндээ эдгээр үндэс нь тоо юм

Энэ нь ойлгомжтой . Тиймээс бүлэг нь элементээр үүсгэгддэг.

Хязгааргүй мөчлөгт бүлэгт зөвхөн үүсгэгч элементүүд нь ба гэдгийг харахад хялбар байдаг. Тиймээс Z бүлгийн цорын ганц үүсгэгч элементүүд нь 1 ба -- 1 байна.

Эцсийн бүлгийн элементүүдийн тоо Гтүүнийг дуудсан дарааллаарболон тэмдэглэгдсэн байна. Хязгаарлагдмал циклийн бүлгийн дараалал нь түүнийг үүсгэгч элементийн дараалалтай тэнцүү байна. Тиймээс 2-р саналаас дараах зүйл гарч ирнэ

Өгүүлбэр 3 . Цикл бүлгийн элемент n эрэмбэтэй бол зөвхөн, хэрэв л үүснэ

ЖИШЭЭ 9.Бүлгийн үүсгэгч элементүүдийг нэрлэдэг анхдагч үндэс n th хүч 1. Эдгээр нь зүйлийн үндэс юм , Хаана. Жишээлбэл, 1-ээс 12-р зэргийн анхдагч үндэс.

Циклийн бүлгүүд нь төсөөлж болох хамгийн энгийн бүлгүүд юм. (Ялангуяа тэд Абелийнх.) Дараах теорем нь тэдгээрийн бүрэн тайлбарыг өгдөг.

Теорем 1. Хязгааргүй мөчлөгийн бүлэг бүр бүлэгт изоморф байдаг. n дарааллын төгсгөлтэй мөчлөгийн бүлэг бүр нь бүлэгт изоморф байна.

Баталгаа. Хэрэв хязгааргүй мөчлөгийн бүлэг бол (4) томъёогоор зураглал нь изоморфизм болно.

Хязгаарлагдмал мөчлөгт дарааллын бүлэг байцгаая П.Зураглалыг анхаарч үзээрэй

дараа нь зураглал нь сайн тодорхойлогдсон бөгөөд хоёрдмол утгатай. Өмч

ижил томъёоноос (1) дагалддаг. Тиймээс энэ нь изоморфизм юм.

Теорем нь батлагдсан.

Бүлгийн бүтцийг ойлгохын тулд түүний дэд бүлгүүдийн талаархи мэдлэг чухал үүрэг гүйцэтгэдэг. Циклийн бүлгийн бүх дэд бүлгүүдийг хялбархан дүрсэлж болно.

Теорем 2. 1) Циклийн бүлгийн дэд бүлэг бүр мөчлөгтэй байдаг.

2)Циклийн бүлгийн дарааллаар n аливаа дэд бүлгийн дараалал хуваагдана n мөн тооны аль ч хуваагч q n q эрэмбийн яг нэг дэд бүлэг байдаг.

Баталгаа. 1) Цикл бүлэг ба байг Н-- түүний дэд бүлэг, үүнээс ялгаатай (Нэгж дэд бүлэг нь тодорхой мөчлөгтэй байдаг.) ​​Хэрэв байгаа бол гэдгийг анхаарна уу. . Болъё Т-- натурал тоонуудын хамгийн бага нь . Үүнийг баталцгаая . Болъё . Хуваацгаая руудээр Түлдэгдэлтэй:

эндээс, тооны тодорхойлолтын ачаар Түүнийг дагадаг бөгөөд иймээс .

2) Хэрэв , Дараа нь өмнөх үндэслэлийг ашигласан (энэ тохиолдолд ), гэдгийг харуулж байна . Хаана

Тэгээд Нзахиалгын цорын ганц дэд бүлэг юм qбүлэгт Г.Буцах бол q-- дурын тооны хуваагч ПТэгээд , дараа нь дэд олонлог Н,тэгш эрхээр тодорхойлогддог (9) нь эрэмбийн дэд бүлэг юм q. Теорем нь батлагдсан.

Үр дагавар . Анхдагч эрэмбийн мөчлөгийн бүлэгт ямар ч ач холбогдолгүй дэд бүлэг бүхэл бүтэн бүлэгтэй давхцдаг.

ЖИШЭЭ 10.Бүлэгт дэд бүлэг бүр хаана гэсэн хэлбэртэй байна.

ЖИШЭЭ 11. 1-ийн n-р үндэстэй бүлэгт ямар ч дэд бүлэг нь язгуурын бүлэг юм q- 1-ийн зэрэг, хаана.

Бүх элементүүд нь ижил элементийн хүчин чадалтай бол О бүлгийг цикл гэж нэрлэдэг. Энэ элементийг циклийн бүлгийн генератор гэнэ.

Цикл бүлэг нь жишээлбэл, нэмэх замаар бүхэл тоонуудын бүлэг юм. Бид энэ бүлгийг 2 гэсэн тэмдгээр тэмдэглэх болно. Түүний үүсгэгч нь 1-р тоо (түүнчлэн тоо - 1) юм. Цикл бүлэг нь зөвхөн нэг элементээс (нэг) бүрдэх бүлэг юм.

Дурын бүлгийн O бүлэгт ямар ч g элементийн хүч нь g генератортой циклийн дэд бүлгийг үүсгэдэг. Энэ дэд бүлгийн дараалал нь g элементийн дараалалтай давхцаж байгаа нь ойлгомжтой. Эндээс Лагранжийн теоремийн дагуу (32-р хуудсыг үз) бүлгийн аль ч элементийн дараалал нь бүлгийн дарааллыг хуваадаг (хөгцөгтэй бүлгийн бүх элементүүд нь төгсгөлтэй эрэмбийн элементүүд гэдгийг анхаарна уу).

Иймээс төгсгөлөг эрэмбийн бүлгийн аль ч g элементийн хувьд тэгш байдал биелнэ

Энэхүү энгийн ажиглалт нь ихэвчлэн тустай байдаг.

Үнэн хэрэгтээ, хэрэв O бүлэг нь цикл ба түүний үүсгэгч бол элементийн дараалал нь -тэй тэнцүү байна. Эсрэгээр, хэрэв О бүлэг нь дарааллын элементтэй бол энэ элементийн хүчнүүдийн дунд өөр өөр хүчнүүд байдаг тул эдгээр хүч нь О бүлгийг бүхэлд нь шавхдаг.

Тиймээс бид мөчлөгийн бүлэг нь хэд хэдэн өөр генератортой байж болохыг харж байна (жишээлбэл, захиалгын аль ч элемент нь генератор).

Даалгавар. Анхдагч эрэмбийн аль ч бүлэг мөчлөгт бүлэг гэдгийг батал.

Даалгавар. Цикл эрэмбийн бүлэг яг генераторуудтай болохыг батална уу, эндээс бага ба харьцангуй анхны эерэг тоо байна.

Захиалгатай хамт аливаа төгсгөлтэй бүлгийг тоонд хамааруулж болно - түүний бүх элементүүдийн дарааллын хамгийн бага нийтлэг үржвэр.

Даалгавар. Аливаа хязгаарлагдмал O бүлгийн хувьд тоо нь бүлгийн дарааллыг хуваадаг болохыг батал.

Мэдээжийн хэрэг, мөчлөгийн бүлгийн хувьд тоо нь дараалалтай давхцдаг. Үүний эсрэгээр бол ерөнхийдөө үнэн биш юм. Гэсэн хэдий ч, төгсгөлтэй Абелийн бүлгүүдийн ангилалд циклийн бүлгүүдийг тодорхойлсон дараах мэдэгдлийг баримтална.

Тоо нь дараалалтайгаа тэнцүү байх хязгаарлагдмал Абелийн бүлэг О нь цикл бүлэг юм.

Нээрээ л байя

Хязгаарлагдмал Абелийн О бүлгийн бүх боломжит нэгж бус элементүүдийн эрэмбэ дараалалтай ба тэдгээрийн хамгийн бага нийтлэг үржвэр байг.

Энэ тоог өөр анхны тоонуудын зэрэглэлийн үржвэр болгон өргөжүүлье.

Тодорхойлолтоор тоо нь (1) тоонуудын хамгийн бага нийтлэг үржвэр тул эдгээр тоонуудын дунд яг хуваагддаг, өөрөөр хэлбэл, b нь -тэй харьцуулах хэлбэртэй, ядаж нэг тоо байна. Энэ тоог g элементийн дараалал гэж үзье. Дараа нь элемент дараалалтай байна (Үндсэн 1-ийг үзнэ үү) хуудас 29).

Тиймээс, O бүлгийн хүн бүрийн хувьд дор хаяж нэг ийм элементийг сонгосноор бид тэдний бүтээгдэхүүнийг авч үздэг. 29-30-р хуудсанд нотлогдсон мэдэгдлийн дагуу энэ бүтээгдэхүүний дараалал нь захиалгын бүтээгдэхүүнтэй тэнцүү, өөрөөр хэлбэл тоотой тэнцүү байна. Нөхцөлийн сүүлийн тоо нь -тэй тэнцүү тул O бүлэгт n дарааллын элемент байгаа нь батлагдсан. Иймээс энэ бүлэг нь мөчлөгт бүлэг юм.

Одоо O нь генератортой дурын циклийн бүлэг, H нь түүний зарим дэд бүлгүүд байг. H дэд бүлгийн аль ч элемент нь O бүлгийн элемент тул үүнийг хэлбэрээр илэрхийлж болно, энд d нь эерэг эсвэл сөрөг бүхэл тоо (ерөнхийдөө, өвөрмөц байдлаар тодорхойлогдоогүй). Элемент нь H дэд бүлэгт хамаарах бүх эерэг тоонуудын олонлогийг авч үзье. Энэ олонлог нь хоосон биш (яагаад?) тул H дэд бүлгийн аль ч элемент h нь a болно элементийн хүч. Үнэн хэрэгтээ, тодорхойлолтоор бол d тоо байдаг (d тоо сөрөг байж болно). d тоог (үлдэгдэлтэй) тоонд хуваана

, тэгвэл тоо нь хамгийн бага учраас үлдэгдэл нь тэгтэй тэнцүү байх ёстой. Ийнхүү, .

Энэ нь элемент нь H бүлгийн генератор, өөрөөр хэлбэл H бүлэг нь мөчлөгтэй болохыг баталж байна. Тиймээс циклийн бүлгийн аль ч дэд бүлэг нь мөчлөгт бүлэг юм.

Даалгавар. Тоо нь H дэд бүлгийн индекстэй тэнцүү байх ба иймээс О бүлгийн дарааллыг хуваана (хэрэв O бүлэг төгсгөлтэй бол).

Мөн O бүлэгт хязгаарлагдмал мөчлөгт Q бүлгийн аль ч эрэмбийн хуваагчийн хувьд нэг бөгөөд зөвхөн нэг Н эрэмбийн дэд бүлэг (өөрөөр хэлбэл генератор бүхий дэд бүлэг) байгааг анхаарна уу.

Энэ нь хэрэв хязгаарлагдмал циклийн бүлэг энгийн бол түүний дараалал нь анхны (эсвэл нэгдмэл) байна гэсэн үг юм.

Циклийн бүлгийн Q-ийн аливаа категори бүлэг (тиймээс дурын гомоморф дүрс) нь мөчлөгт бүлэг гэдгийг эцэст нь тэмдэглэе.

Үүнийг батлахын тулд бүлгийн генератор нь О бүлгийн генераторыг агуулсан косет гэдгийг тэмдэглэхэд хангалттай.

Ялангуяа Z бүхэл тоонуудын бүлгийн дурын бүлэг нь цикл бүлэг юм. Эдгээр мөчлөгийн бүлгүүдийг илүү нарийвчлан судалцгаая.

Z бүлэг нь Абелийнх тул түүний H дэд бүлгүүдийн аль нэг нь хэвийн хуваагч юм. Нөгөөтэйгүүр, дээр дурдсанчлан H дэд бүлэг нь мөчлөгт бүлэг юм. Өчүүхэн дэд бүлгүүдээр хуваах бүлгүүд бидэнд мэдэгдэж байгаа тул бид H дэд бүлгийг ач холбогдолгүй гэж үзэж болно. Тоо нь H дэд бүлгийн генератор байг. Бид энэ тоог эерэг (яагаад?) гэж үзэж болно, тиймээс нэгээс их байна.

N. дэд бүлэг нь -д хуваагдах бүх бүхэл тооноос бүрдэх нь ойлгомжтой. Иймээс хоёр тоо нь зөвхөн тэдгээрийн ялгаа нь -д хуваагдах, өөрөөр хэлбэл модулийн хувьд харьцуулах боломжтой тохиолдолд л H дэд бүлгийн нэг косетт хамаарна (Хичээл, х. 277). Тиймээс H дэд бүлгийн косетууд нь модулийн хувьд өөр хоорондоо харьцуулах боломжтой тооны ангиудаас өөр зүйл биш юм.

Өөрөөр хэлбэл, H дэд бүлгээр Z бүлгийн хуваах бүлэг нь модулийн хувьд өөр хоорондоо харьцуулах боломжтой тооны ангиллын бүлэг (нэмжээр) юм. Бид энэ бүлгийг үүсгэгч нь 1-ийн тоог агуулсан анги гэж тэмдэглэнэ.

Аливаа цикл бүлэг нь Z бүлэгт (хэрэв энэ нь хязгааргүй бол) эсвэл бүлгүүдийн аль нэгэнд (хэрэв дараалал нь төгсгөлтэй бол) изоморф байдаг.

Үнэхээр О бүлгийн генератор байцгаая. 2-р бүлгээс О бүлэг хүртэлх зураглалыг тохируулъя

Тодорхойлолт 1.22. Болъё Р- Анхны тоо. Бүлэг Гдуудсан p-бүлэг,бүлгийн элемент бүрийн дараалал нь анхны тооны зарим зэрэгтэй тэнцүү бол Р.

Тодорхойлолт 1.23. Силовский r-дэд бүлэгхязгаарлагдмал бүлэг ГТухайн бүлгийн р дэд бүлгийг тухайн бүлгийн том p дэд бүлэгт агуулаагүй бүлэг гэнэ.

Теорем 1.25. Хязгаарлагдмал Абелийн бүлэг нь түүний Sylow p-дэд бүлгүүдийн шууд үржвэртэй тэнцүү байна.

Баталгаа.Хязгаарлагдмал Абелийн бүлгийг авч үзье Гдарааллын n ба let n = R"! х 2 2 p* 1 k - тооны өргөтгөл Пөөр анхны тоонуудын зэрэглэлийн үржвэр болгон. 1-ийн хувьд, 2,..., руу I, Sylow r дэд бүлгийг, I-ээр бүх I-ээр үүсгэгдсэн дэд бүлгийг тэмдэглэе; Учир нь; * би. I, n I, = (e) гэдгийг батлахад амархан. Тиймээс би = (N 1,H 2,...,N k) = N 1 xN 2 x...xN k. g e элемент байна гэж бодъё Г, g g Y. Лагранжийн теоремын 2-р дүгнэлтээр |G| : |g|. Үүнийг дагадаг

|g| = pf"pjf 2 Pk k > g D e Pi - a i D нь ямар ч i = 1, 2, руу.Теорем 1.23-ын үр дүнд g 1 элементүүд байна; g2, ..., gkд Г,тэгвэл = x x... x (г к) ба | i = 1, 2, ..., /s-ийн хувьд g,-1 = pf 1. Хэрэв бид зарим g-ийн хувьд g, g I гэж үзвэл p-дэд бүлгийг авна (gi,би,) Ф I, энэ нь Sylow p-дэд бүлгийн тодорхойлолттой зөрчилдөж байна. Тиймээс дурын i = 1, 2,..., /жишээ нь, e дБи хаанаас ирсэн г Н.Тиймээс, H = Gмөн теорем нь батлагдсан.

Теорем 1.26. Хязгаарлагдмал Абелийн p-бүлэг нь мөчлөгийн дэд бүлгүүдийн шууд үржвэртэй тэнцүү байна.

Баталгаа.Хязгаарлагдмал Абелийн p бүлгийг өгье Г.Үүний нэг элементийг сонгоцгооё Ахамгийн дээд эрэмбийн p" ба H нь (a) n H = (e) байх хамгийн дээд дэд бүлэг байг. Дараа нь (a, R) = (a) x R. Gj = (a) x R гэж тэмдэглэе.

Ингэж жүжиглэе G Ф G y G x-д хамаарахгүй бүх элементүүдээс бид хамгийн бага рР эрэмбийн g элементийг сонгоно. Энэ gPg гэж үзвэл Г бдараа нь |gp| = рР- 1, бид g элементийн сонголттой зөрчилдөж байна. Үүний үр дүнд, gP e G x = (a) x I ба бүхэл тоо /c ба элемент байна h e I, ийм байдлаар gP = a fc /i. Эндээс a k= gp/i -1 . Хэрэв gcd(/c, p) = 1 бол gcd(/c, p°9 = 1 ба /c + гэсэн u, v бүхэл тоонууд байдаг. p a v = 1. Дараа нь

Дээд зэргийн улмаас | a = p aбидэнд gP“ = байна дмөн e F aR“ _1 = = (gP"/i _u)P“ _1 =gP“h~ u P a ~ 1 =/i _u p““ 1 e I, энэ нь (a) p I = (e) нөхцөлтэй зөрчилдөж байна. Тиймээс /s: r.

Болъё руу= r/s x. Дараа нь aP fc i = a k =gPh~ 1,хаана h = a~P k igP == (a _fc ig)P. gj=a _/c ig гэж тэмдэглэе. Дараа нь gf -хэхэ. gj =ar fc "geG] гэж үзвэл =(a)xN,дараа нь g элементийн сонголттой зөрчилддөг g е G x . Үүний үр дүнд, g x g G x, тиймээс gj g I. Учир нь I бол нөхцөл бүхий хамгийн дээд дэд бүлэг юм. (A) n I = (e), дараа нь (a) n (g x , I) ^ (e). Тиймээс, байдаг т, хд Зба hj e I элемент нь e * а т= gf

Ингэж бодвол p:p, дээд=хх 1заримд нь n,eZба (a) n I = = (e) нөхцөлтэй зөрчилддөг e g a m = gf/ij = gf ni /ii e I. Тиймээс GCD(n,p) = 1 Hgf =a m /хэрэв 1 . Хэрэв |g x | =pY, дараа нь GCD(n, p’O = 1 ба u x , v x g байна З,иймээс gsh x -t-pYv x = 1. Эндээс g, =gf u i + P Yv i = gf Ul gf Yvi = gf Ul =(a m /i 1 - 1) u i Бид дахиад л зөрчилдөөнтэй тулгарлаа. Тиймээс үүнийг хүлээн зөвшөөрөх нь хэвээр байна G - (a)x R. Одоо R дэд бүлэгт бид үүнтэй адилаар хамгийн их циклийн дэд бүлгийг шууд хүчин зүйлээр сонгоно. Нзахиалга гэх мэт, бид бүлгийн задралыг олж авах хүртэл Гмөчлөгийн дэд бүлгүүдийн шууд бүтээгдэхүүн болж хувирна. Теорем нь батлагдсан.

Теорем 1.27. Хязгаарлагдмал Абелийн бүлэг нь мөчлөгт p-дэд бүлгүүдийн шууд үржвэртэй тэнцүү байна.

Нотолгоо нь 1.25 ба 1.26 теоремуудаас гардаг.

Бүлгүүдийн тухай бүлгийг дуусгахын тулд бүлгийг аль ч элементийн хувьд ассоциатив нэг хоёртын үйлдэлтэй олонлог гэж үзэж болно гэдгийг тэмдэглэв. АТэгээд Коммерсанттэгшитгэл нь өвөрмөц шийдэгддэг ax = b uua-b.Бүлгийн талаарх энэ үзэл нь хоёр ерөнхий дүгнэлтэд хүргэдэг. Нэг талаас, үйл ажиллагааны нэгдлийн утгыг судлахад анхаарлаа төвлөрүүлж болох бөгөөд энэ нь хагас бүлгийг нэг ассоциатив үйлдэлтэй олонлог гэж ойлгоход хүргэдэг (ажил харна уу). Нөгөөтэйгүүр, ассоциацийн шаардлагыг үл тоомсорлож болох бөгөөд энэ нь нэрлэгдсэн тэгшитгэлүүд нь өвөрмөц шийдэгддэг нэг хоёртын үйлдэлтэй олонлог гэж квазигрупп гэсэн ойлголтод хүргэдэг. Баримтлал бүхий хагас бүлгийг гогцоо гэж нэрлэдэг (ажил харна уу). Хагас бүлгийн онол ба квази группын онол нь бие даан хөгжиж буй хоёр үндсэн онол болж хувирав. Бид "хамгийн их боломжит доод хэмжээ" гэсэн шалтгаанаар тэдгээрийг үндсэн бичвэрт дурдаагүй.

Хязгаарлагдмал бүлгүүд

Бүлэг (хагас бүлэг) гэж нэрлэдэг эцсийн, хэрэв энэ нь хязгаарлагдмал тооны элементүүдээс бүрддэг бол. Хязгаарлагдмал бүлгийн элементүүдийн тоог түүний гэж нэрлэдэг дарааллаар. Төгсгөлтэй бүлгийн аливаа дэд бүлэг нь төгсгөлтэй байдаг. Тэгээд хэрэв НÍ Г- бүлгийн дэд бүлэг Г, дараа нь дурын элементийн хувьд АÎ Гбөөн Асаалттай={X: x=h◦а, дурын хувьд hÎ Х) гэж нэрлэдэг зүүн косетУчир нь Гхарьцангуй Н. Элементүүдийн тоо нь тодорхой байна Асаалттайзахиалгатай тэнцүү байна Н. (Тодорхойлолтыг үүнтэй адил томъёолж болно а Н– талаар баруун coset Н).

Хамгийн чухал зүйл бол аль ч дэд бүлгийн хувьд Нбүлгүүд Гдагуу дурын хоёр зүүн (баруун) cosets Ндавхцдаг эсвэл огтлолцдоггүй тул дурын бүлгийг салангид зүүн (баруун) косетуудын нэгдэл хэлбэрээр илэрхийлж болно. Н.

Үнэхээр хоёр ангитай бол Н аТэгээд Hb, Хаана а, бÎ Г, нийтлэг элементтэй байна X, тэгвэл байна тÎ Хтиймэрхүү x = т◦а. Тэгээд дараа нь зүүн анги нь зориулагдсан X: Н х={y: y=h◦x= h◦(т◦а) = (h◦т)◦а} Í H a, Гэхдээ а=т ‑1 ◦xТэгээд Н а={y: y=h◦а= h◦(т ‑1 ◦x) = (h◦т ‑1)◦x} Í Hx. Эндээс Н х=Н а. Үүнтэй адилаар үүнийг харуулж болно Н х=Н б. Тиймээс Н а=Н б. Хэрэв ангиуд Н аТэгээд Hbнийтлэг элементүүд байхгүй бол огтлолцохгүй.

Бүлгийг зүүн (баруун) косетуудад хуваахыг нэрлэдэг бүлгийг H дэд бүлэгт задлах.

Теорем 2.6.1. Хязгаарлагдмал бүлгийн дарааллыг түүний аль нэг дэд бүлгүүдийн дарааллаар хуваана.

Баталгаа. Учир нь Гнь хязгаарлагдмал бүлэг бол түүний дэд бүлгүүдийн аль нэг нь мөн адил байна Нхязгаарлагдмал дараалалтай. Бүлгийг дэд бүлэг болгон задлах талаар авч үзье Н. Энэ задрал дахь косет бүрт элементүүдийн тоо ижил бөгөөд дараалалтай тэнцүү байна Н. Тиймээс хэрэв n- бүлгийн захиалга Г, А к- дэд бүлгийн дараалал Н, Тэр n=м× к, Хаана м– дагуу cosets тоо Нбүлгийн задралд Г.

Хэрэв ямар нэгэн элементийн хувьд аÎ Г Þ Н а=а Н(дэд бүлгээр зүүн ба баруун косетууд Ндавхцах), тэгвэл Ндуудсан хэвийн хуваагчбүлгүүд Г.

Мэдэгдэл: Хэрэв Гнь шилжих бүлэг, дараа нь түүний аль нэг дэд бүлэг Ннь ердийн хуваагч юм Г.

Бүлэг (хагас бүлэг) дэх үйл ажиллагааны ассоциатив шинж чанараас шалтгаалан бид гурван элементийн "бүтээгдэхүүн" тухай ярьж болно ( А◦б◦в) =(А◦б)◦в = А◦(б◦в). Үүний нэгэн адил цогц бүтээгдэхүүний тухай ойлголт nэлементүүд: А 1 ◦А 2 ◦…◦a n = ◦ a n = = ◦.

Ажил nбүлгийн ижил элементүүдийг нэрлэдэг элементийн зэрэгболон томилогдсон a n=. Энэ тодорхойлолт нь аливаа байгалийн хувьд утга учиртай n. Аливаа бүлгийн элементийн хувьд аÎ Гтэмдэглэнэ А 0 =д- бүлгийн төвийг сахисан элемент Г. Мөн элементийн сөрөг хүч а ‑ nгэж тодорхойлсон ( а ‑1)nэсвэл ( a n) -1 , хаана а‑1 – урвуу элемент А. Хоёр тодорхойлолт а ‑ nдавхцдаг, учир нь a n◦(а ‑1)n = (А◦А◦ ¼◦ А)◦(а ‑1 ◦а‑1◦ ¼◦ а ‑1) = А◦А◦¼◦( А◦а ‑1)◦а‑1 ◦¼◦ а ‑1 =e n =д. Тиймээс, ( а ‑1)n = (a n) ‑1 .

Нэмэлт бүлгийн хувьд элементийн зэрэглэлийн аналог юм a nболно nтүүний олон, ихэвчлэн тэмдэглэдэг на, үүнийг ажил гэж ойлгож болохгүй nдээр А, учир нь nÎℕ, магадгүй nÏ Г. Тэр. на⇋, хаана nОℕ ба 0 А=д⇋0 ба (‑ n)а = ‑(на) = n(‑а) аливаа байгалийн хувьд n, Хаана (- а) – урвуу аÎ Г.

Бүхэл тоонуудын сонгосон тэмдэглэгээгээр үүнийг харуулахад хялбар байдаг мТэгээд nмөн хэнд ч зориулсан аÎ Гмэдэгдэж байгаа шинж чанаруудыг хангасан байна: А) үржүүлэх тэмдэглэгээнд a n ◦а м = a n + mТэгээд ( a n)м = a nm; б) нэмэлт тэмдэглэгээнд на+ма = (n+м)аТэгээд n(ма)=(nm)а.

Бүлгийн дэд бүлгийг авч үзье Г, дурын элементийн бүх хүчнээс бүрддэг gÎ Г. Үүнийг тэмдэглэе А Г. Тиймээс, А Г ={g 0 , g 1 , g ‑1 , g 2 , g-2,¼). Мэдээжийн хэрэг, А Гбүлгийн дэд бүлэг юм Г, учир нь аливаа элементийн хувьд X,цагтÎ А Гүүнийг дагадаг ( X◦цагт)Î А Г, аль ч элементийн хувьд XÎ А Гтэнд байх болно X-1 О А Г, Түүнээс гадна, g 0 =дÎ А Г.

Дэд бүлэг А Гдуудсан мөчлөгийн дэд бүлэгбүлгүүд Г, элементээр үүсгэгдсэн g. Энэ дэд бүлэг нь өөрөө ч гэсэн үргэлж солигддог Гсолигддоггүй. Хэрэв бүлэг Гтүүний мөчлөгийн дэд бүлгүүдийн аль нэгтэй давхцаж байвал түүнийг дуудна мөчлөгийн бүлэг, элементээр үүсгэгдсэн g.

Хэрэв элементийн бүх хүч gялгаатай, дараа нь бүлэг Гдуудсан эцэс төгсгөлгүймөчлөгийн бүлэг ба элемент g- бүрэлдэхүүн хязгааргүй дараалал.

Хэрэв мөчлөгийн бүлгийн элементүүдийн дунд тэнцүү байвал, жишээлбэл, г к=г мцагт к>м, Тэр g k‑m=д; болон, тодорхойлох к-мдамжуулан n, бид авдаг g n=д, nÎℕ.

Байгалийн хамгийн бага үзүүлэлт nтиймэрхүү g n=д, дуудсан g элементийн дараалал, мөн элемент өөрөө gдуудсан хязгаарлагдмал эрэмбийн элемент.

Ийм элемент нь үргэлж хязгаарлагдмал бүлэгт байх болно, гэхдээ энэ нь бас хязгааргүй бүлэгт байж болно.

Элементүүд нь бүгд хязгаарлагдмал дараалалтай бүлгүүдийг нэрлэдэг үе үе.

Төгсгөлийн бүлгийн аль ч элемент нь төгсгөлтэй дараалалтай байдаг тул бүх төгсгөлтэй бүлгүүд үе үе байдаг. Түүнчлэн, төгсгөлтэй бүлгийн бүх мөчлөгийн дэд бүлгүүд нь үе үе байдаг, учир нь тэдгээр нь төгсгөлтэй бөгөөд төгсгөлтэй эрэмбийн элемент бүр байдаг. nижил дарааллын циклийн бүлгийг үүсгэдэг n, элементүүдээс бүрдэх ( g 0 , g 1 , g 2 ¼, g n-1). Үнэхээр, хэрэв элементүүдийн тоо заримтай тэнцүү байсан бол к<n, Дараа нь г к=д=g n, энэ нь сонголттой зөрчилдөж байна n, хамгийн бага зэрэг нь ийм g n=д; нөгөө талаар, к>nбас боломжгүй, учир нь Энэ тохиолдолд ижил элементүүд байх болно.

Мэдэгдэл: 1) бүх зэрэг g 0 , g 1 , g 2 ¼, g n-1 өөр, учир нь хэрэв тэнцүү байсан бол, жишээ нь, g i=g j (би>j), Тэр g i - j=д, Гэхдээ ( би‑j)<n, мөн тодорхойлолтоор n -хамгийн бага зэрэг нь ийм юм g n=д.

2) Бусад зэрэг g, эерэг эсвэл сөрөг, аль нэг элементтэй тэнцүү g 0 , g 1 , g 2 ¼, g n-1, учир нь дурын бүхэл тоо килэрхийллээр илэрхийлж болно: к=nq+r, Хаана q,rÎℤ ба 0£ r<n, r– үлдэгдэл ба г к=g nq + r= g nq° g r= (g n)q° g r= e q° g r= g r.

1) Бүлэг бүр өвөрмөц нэгдүгээр эрэмбийн элементтэй ( д), нэг элементээс бүрдэх эхний эрэмбийн мөчлөгийн дэд бүлгийг үүсгэх д.

2) Орлуулах бүлгийг авч үзье С 3, элементүүдээс бүрдэнэ: , , , , , . Захиалга С 3 =6. Элементийн дараалал А 2-той тэнцүү, учир нь . Элементийн дараалал бмөн 2-той тэнцүү, учир нь . Элементийн дараалал -тай 3-тай тэнцүү, учир нь Мөн . Элементийн дараалал емөн 3-тай тэнцүү, учир нь Мөн . Тэгээд эцэст нь захиалга г 2-той тэнцүү, учир нь . Тиймээс мөчлөгийн дэд бүлгүүд С 3 элементүүдээр үүсгэгдсэн д, а, б, г, вТэгээд е, тус тус тэнцүү: ( д}, {д, а}, {д, б}, {д, г}, {д, в, е) ба ( д, е, в), сүүлийн хоёр нь давхцаж байна. Циклийн дэд бүлэг бүрийн дараалал нь бүлгийн дарааллыг үлдэгдэлгүйгээр хуваадаг болохыг анхаарна уу. Дараах теорем үнэн.

Теорем 2.7.1. (Лагранж) Хязгаарлагдмал бүлгийн дарааллыг түүний аль нэг элементийн дарааллаар хуваана (учир нь элементийн дараалал ба түүнээс үүссэн мөчлөгийн дэд бүлгийн дараалал давхцдаг).

Үүнээс гадна төгсгөлтэй бүлгийн аль ч элемент нь бүлгийн эрэмбийн зэрэглэлд хүрэхэд тухайн бүлгийн нэгжийг өгдөг. (Учир нь г м=gk=э к=д, Хаана м- бүлгийн захиалга, n- элементийн дараалал g, к- бүхэл тоо).

S бүлэгт 3 дэд бүлэг байдаг Н={д, в, е) нь ердийн хуваагч боловч 2-р эрэмбийн дэд бүлгүүд нь ердийн хуваагч биш юм. Үүнийг зүүн болон баруун косетийг олох замаар хялбархан шалгаж болно Нбүлгийн элемент бүрийн хувьд. Жишээлбэл, элементийн хувьд Азүүн косет Асаалттай={e ◦ a, -тай◦ А, е◦ а} = {А, б, г) ба баруун косет а Н={a ◦ e, А◦ в, А◦ е} = {А, г, б) тааруулна. Бусад бүх элементүүдийн хувьд ч мөн адил С 3 .

3) Нэмэлт бүхий бүх бүхэл тоонуудын олонлог нь үүсгэгч элемент 1 (эсвэл –1) бүхий хязгааргүй цикл бүлэг үүсгэдэг, учир нь аливаа бүхэл тоо нь 1-ийн үржвэр юм.

4) Үндэсний багцыг авч үзье n- эв нэгдлийн хүч: Э н=. Энэ багц нь үндэс үржүүлэх үйл ажиллагааны хувьд бүлэг юм. Үнэхээр ямар ч хоёр элементийн бүтээгдэхүүн э кТэгээд э м-аас Э н, Хаана к, м £ n-1 нь мөн элемент байх болно Э н, учир нь = =, хаана r=(к+м)mod nТэгээд r £ n-1; үржүүлэх ассоциатив, төвийг сахисан элемент д=д 0 =1 ба дурын элементийн хувьд э курвуу байдаг ба . Энэ бүлэг нь мөчлөгтэй, түүний үүсгэгч элемент нь анхдагч үндэс юм. Бүх эрх мэдэл нь ялгаатай гэдгийг харахад хялбар байдаг: , цаашилбал к³ nүндэс нь өөрсдийгөө давтаж эхэлдэг. Нарийн төвөгтэй хавтгай дээр үндэс нь нэгж радиусын тойрог дээр байрладаг бөгөөд үүнийг хуваана n 11-р зурагт үзүүлсэн шиг тэнцүү нумууд.

Сүүлийн хоёр жишээ нь үндсэндээ бүх мөчлөгийн бүлгүүдийг шавхаж байна. Дараах теорем үнэн учраас.

Теорем 2.7.2. Бүх хязгааргүй мөчлөгийн бүлгүүд бие биенээсээ изоморф байдаг. Бүх төгсгөлтэй мөчлөгийн бүлгүүд nбие биедээ изоморф байдаг.

Баталгаа. зөвшөөрөх ( Г, ∘) нь үүсгэгч элемент бүхий хязгааргүй цикл бүлэг юм g. Дараа нь биектив зураглал байдаг е: ℤ ® Гямар ч бүхэл тоонуудын хувьд кТэгээд мтэдний зургууд е(к) Мөн е(м), тэнцүү байна г кТэгээд г м, элементүүд юм Г. Тэгээд тэнд е(к+м)=е(к)∘е(м), учир нь г к + м=г к∘ г м.

Одоо зөвшөөр ( Г, ∘) нь захиалгын төгсгөлтэй цикл бүлэг юм nүүсгэгч элементтэй g. Дараа нь элемент бүр г кÎ Гэлементийг тааруулах цорын ганц арга зам юм э кÎ Э н(0£ к<n), дүрмийн дагуу е(г к)=э к. Мөн нэгэн зэрэг ямар ч тохиолдолд г кТэгээд г мÎ Гүүнийг дагадаг е(г к∘ г м)=е(г к) ∘е(г м), учир нь е(г к∘ г м)=е(г к + м)=е(g r), Хаана r=(к+м)mod n, Мөн е(g r)=e r=э к× э м. Ийм зураглал нь хоёрдмол утгатай зураглал болох нь ойлгомжтой.