자연수 집합의 질서. "추상 대수학" 분야의 자연수 집합에 대한 부등식
주문한 세트
정의 1.한 무리의 중~라고 불리는 주문하다, 해당 요소 간에 관계가 설정된 경우 ㅏ비(" ㅏ선행 비"), 다음 속성을 가집니다. 1) 임의의 두 요소 사이 ㅏ그리고 비세 가지 관계 중 하나만 있습니다. ㅏ = 비, ㅏ비, 비ㅏ; 2) 임의의 세 가지 요소에 대해 ㅏ, 비그리고 씨~에서 ㅏ비, 비 c가 팔로우한다 ㅏ씨.
빈 세트는 주문된 것으로 간주됩니다.
논평.우리는 항상 = 기호를 동일성, 요소의 일치라는 의미로 이해합니다. 기록 ㅏ = 비단순히 문자로 된 것을 의미합니다. ㅏ그리고 비세트의 동일한 요소를 나타냅니다. 중. 그러므로 속성 1)로부터 두 개의 서로 다른 요소 사이에 두 관계 중 하나만 성립한다는 결론이 나옵니다. ㅏ b 또는 비ㅏ.
만약에 ㅏ선행 비, 그러면 그들은 이렇게 말해요 비다음 ㅏ쓰기: 비 > ㅏ.
태도 ㅏ > 비쉽게 확인할 수 있듯이 1), 2)와 유사한 특성을 가지고 있습니다. 그것은 주된 것으로 취한 다음 그것을 통해 관계를 정의할 수 있습니다. ㅏ비.
세트로 주문한 경우 중관계의 역할을 변경하십시오. 즉, 대신 ㅏㄴ 쓰다 ㅏ > 비, 그 반대의 경우에는 새로 주문한 세트를 얻습니다. 중", 그 순서는 순서와 반대라고 합니다. 중. 예를 들어, 자연수 집합에서 위 순서의 경우 순서가 반대가 됩니다.
동일한 요소로 구성되어 있지만 순서가 다른 두 세트는 서로 다른 것으로 간주됩니다. 따라서 요소를 통해 순서 집합을 정의할 때 해당 요소의 순서를 표시해야 합니다. 왼쪽에서 오른쪽으로의 표기법이 요소의 순서에 해당한다고 가정하고 중괄호를 사용하여 이전 표기법을 유지하겠습니다. 동일한 세트를 다른 방식으로 정렬할 수 있습니다(최소 두 개의 요소가 포함된 경우). 따라서 자연수 집합은 일반적인 방법이나 반대 순서로 정렬될 수 있습니다. 홀수는 짝수 앞에 배치되거나 그 반대로 오름차순 또는 내림차순으로 정렬될 수 있습니다. 주문한 세트를 입수
우리는 자연수라고 말할 것입니다 그리고 더자연수보다 비(그리고 지정 a > b), a = b + k인 자연수 k가 있는 경우.
정리 1. 1은 자연수보다 크지 않습니다.
실제로 조건 1 > a는 1 = a + k를 수반하며 이는 불가능합니다. k = 1에 대해 우리는 1 = a /를 얻습니다. 이는 자연수의 첫 번째 공리와 모순됩니다. k 1 1에 대해 우리는 그것의 전임자를 찾고 다시 같은 모순에 도달합니다.
이 "더 많은" 관계는 반사 방지(a > a라는 것은 사실이 아닙니다) 그리고 전이적(a > b /\ b > c => a > c) 즉, 엄격한 질서의 관계. 게다가 이 관계는 선형 순서의 관계입니다. 즉, 자연수 집합에 대해 삼분법 정리가 유효합니다.
삼분법 정리:임의의 두 자연수에 대해 다음 세 가지 진술 중 하나만 참입니다.
증거: 먼저 세 가지 조건 중 두 가지가 동시에 충족되지 않음을 보여줍니다. 그러면 조건 1과 2가 충족된다고 가정해 보겠습니다.
a = b + k, b = a + n => a = a + (n + k) => a > a,
이는 "더 많은" 태도의 반성찰성과 모순됩니다. 마찬가지로 조건 2와 3, 조건 1과 3의 비호환성이 확립됩니다.
이제 우리는 임의의 수 a와 b에 대해 세 가지 조건 중 하나가 반드시 성립함을 증명할 것입니다. 우리는 b에 수학적 귀납법을 사용합니다. b = 1인 경우 a에 따라: a = 1 = b이거나 a의 경우 선행 항목이 있는 경우
a = c / = c + 1 = 1 + c = b + c => a > b.
따라서 b = 1인 경우 정리는 참입니다. 정리가 일부 x에 대해 유효하다는 귀납적 가정을 만들어 보겠습니다. 즉, x는 숫자 a와 비교할 수 있습니다. 즉, a > x 또는 x > a 또는 x = a의 세 가지 옵션이 가능합니다. 그런 다음 x/도 a와 유사하다는 것을 증명합니다. 첫 번째 경우에는 a > x, 즉 a = x + k입니다. 주어진 k가 1인지 아닌지에 따라 우리는 다음을 얻습니다.
a) a = x + 1 = x / (정리는 참입니다)
b) a = x + c / = x + c + 1 = x + 1 + c = x / + c => a > x / .
두 번째 경우에는 x > a이지만
x / = (a + m) +1 = a + (m + 1),
즉, x / > a입니다. 마찬가지로 x = a의 경우 x / = x + 1 = a + 1, 즉 다시 x / > a입니다. 정리는 완전히 입증되었습니다.
이제 개념을 소개할 수 있습니다.<, £, ³.
ㅏ< b ó b >ㅏ;
a £ b ó a< b \/ a = b
a ³ b ó a > b \/ a = b.
단조성 속성:
추가 작업의 경우:
1) a > b => a + c > b + c;
2) a + c > b + c => a > b;
3) a > b /\ c > d=> a + c > b + d.
<, £, ³.
곱셈 연산의 경우:
4) a > b => a×c > b×c;
5) 수축의 법칙: ac = bc => a = b
6) ac > bc => a > b;
7) a > b /\ c > d=> ac > bd.
다른 표지판에도 동일한 속성이 발생합니다.<, £, ³.
속성 4와 5의 증명을 예로 들어 보겠습니다. a > b이므로 정의에 따라 a = b + k이면 a×c = (b + k)×c = b×c + k×c입니다. a ×c > b×c이고 속성 4가 입증되었습니다. 우리는 모순으로 속성 5를 증명합니다. ac = bc라고 가정하고 a ≠ b라고 가정합니다. 그러나 삼분법 정리에 따라 a > b이거나 b > a입니다. 그러나 이는 속성 4에 따르면 ac > bc 또는 bc > ac를 의미합니다. 이는 조건(ac = bc)과 모순됩니다.
이산성 정리.인접한 두 자연수 사이에는 자연수를 삽입할 수 없습니다.
(" a, x О N) a는 사실이 아닙니다.< x < a /
증거(모순법에 따라). 하자< x < a / . Тогда х = а + k,
a / = x + n = a + k + n => a + 1 = a + k + n => 1 = k + n.
마지막 평등은 1이 어떤 자연수보다 크지 않다는 정리와 모순되기 때문에 불가능합니다.
아르키메데스의 탑.임의의 자연수 a와 b에 대해 a를 만족하는 자연수 n이 있습니다.< bn.
b에 대한 귀납법을 통해 증명을 수행합니다. b = 1인 경우 n = a / 입니다. b = k에 대해 필요한 n이 존재한다는 귀납적 가정을 해보자.< kn. Но тогда тем более a < k / n = kn + k. Теорема доказана.
집합 M의 가장 작은 요소모든 요소 m О M에 대해 다음 부등식이 유지되도록 О М를 사용하여 요소를 호출합니다. с ≤ m.
최소 요소 정리. 자연수 집합의 비어 있지 않은 부분 집합은 가장 작은 요소를 갖습니다.
증거: M이 1을 포함하는 N의 하위 집합인 경우 1이 원하는 가장 작은 요소가 됩니다. 1이 집합 M에 포함되지 않으면 집합 M의 모든 자연수보다 작은 모든 자연수로 구성된 보조 집합 A를 고려합니다.
A = (a О N| (" m О M)< m}.
특히 이 구성에서 집합 A와 M은 공통 요소를 갖지 않는다는 결론이 나옵니다. 또한 1 Î A이므로 A는 비어 있지 않습니다. A에는 b / Ï A와 같은 요소 b도 있습니다. 실제로 그러한 요소가 없다면 귀납법의 공리를 사용하여 다음을 증명할 수 있습니다. 그 A = N, 그러나 M은 비어 있을 것이며 이는 정리의 조건과 일치하지 않습니다. 요소 b / = c는 정확히 집합 M에서 가장 작은 요소가 될 것입니다. 실제로, 모든 m ОМ에 대해 c £ m입니다(그렇지 않은 경우, 부등식 c > m은 적어도 하나의 자연 m에 대해 참일 것입니다. 그러나 b О A , 그러니까 b< m < c = b / , что противоречит теореме о дискретности). Кроме того, с не может быть строго меньше всех элементов множества М, иначе с Î А, что противоречит его выбору. Таким образом, с равен хотя бы одному элементу из М, а значит с Î М, то есть действительно с – наименьший элемент множества М. Теорема доказана.
자연수 집합의 모든 하위 집합이 최대 요소를 갖는 것은 아니지만, 이 하위 집합이 유한한 경우에는 최대 요소도 갖습니다. 그 반대도 마찬가지입니다. 자연수 집합의 하위 집합이 가장 큰 요소를 갖는 경우 이 하위 집합은 유한합니다. 훨씬 더 일반적인 진술을 증명하는 것이 가능합니다. 즉, 자연수 집합의 비어 있지 않은 부분 집합은 유한한(가장 큰 요소를 가짐) 경우에만 위에서부터 제한됩니다.
독립적인 솔루션을 위한 과제
번호 1.8. "보다 많은" 관계가 자연수 집합에 대해 반반사적이고 추이적이라는 것을 증명하십시오.
번호 1.9. 이 섹션의 단조성 속성 1, 2, 3, 6, 7을 증명하십시오.
1.10호. 모든 자연수 n에 대한 부등식을 증명하세요.
a) 5n > 7n – 3;
b) 2n +2 > 2n + 5;
유효한 (진짜) 숫자는 학교 수학 과정에서 잘 알려져 있습니다. 우리 각자가 아주 쉽게 인식할 수 있는 속성에 대해 간략하게 살펴보겠습니다. 실수는 다음과 같은 속성을 갖는 요소 집합을 형성합니다.
주문 속성
임의의 두 숫자 %%a%% 및 %%b%%에 대해 순서 관계가 정의됩니다. 즉, 두 실수 %%a%% 및 %%b%%는 다음 관계 중 하나를 충족합니다. %%a< b, a = b%% или %%a >비%%; 게다가 만약 %%a< b%% и %%b < c%%, то %%a < c%%.
추가 작업의 속성
양%%a + b%%로 표시되며 다음 속성을 만족합니다.
- 교환성: %%a + b = b + a %%.
- 연관성: %%a + (b + c) = (a + b) + c%%(모든 숫자 %%a, b%% 및 %%c%%).
- 영%%0%% 로 표시됩니다. 이는 임의의 숫자 %%a%%에 대해 %%a + 0 = a%%를 의미합니다.
- 임의의 숫자 %%a%%에 대해 다음과 같은 숫자가 있습니다. 반대%%a%%이며 %%-a%%로 표시되며 이는 %%a + (-a) = 0%%입니다.
- 만약< b%%, то %%a + c < b + c%% для любого числа %%c%%. Нуль единственен, и для каждого числа единственно противоположное ему число. Для любой пары чисел %%a%% и %%b%% число %%a + (-b) %% называют 차이점숫자 %%a%% 및 %%b%%는 %%a - b%%를 나타냅니다.
곱셈 연산의 속성
%%a%% 및 %%b%% 숫자 쌍에는 해당 숫자라는 고유한 숫자가 있습니다. 일하다%%ab%%(또는 %%a \cdot b%%)로 표시되며 다음 속성이 충족됩니다.
- 교환성: %%ab = ba%%.
- 연관성: %%a(bc) = (ab)c%%(모든 숫자 %%a, b%% 및 %%c%%).
- 이라는 전화번호가 있어요 단위%%1%%로 표시되며, %%a \cdot 1 = 임의 숫자 %%a%%에 대해 a%%입니다.
- 0이 아닌 %%a%% 숫자에 대해 다음과 같은 숫자가 있습니다. 뒤집다이를 %%1 / a%%로 표시하며 이는 %%a \cdot (1 / a) = 1%%입니다.
- %%a%% 또는 %%b%%, 또는 %%a%% 및 %%b%%가 모두 0이면 %%ab = 0%%입니다.
- 만약< b%% и %%c >0%%, 그 다음에는 %%ac< bc%%. Единица единственна, и для каждого ненулевого числа существует единственное обратное к нему. Для любой пары чисел %%a%% и %%b (b \neq 0)%% число %%a \cdot (1/b)%% называют 사적인%%a%%를 %%b%%로 나누어 %%a/b%%로 표시합니다.
분배성 속성
숫자 %%a, b%% 및 %%c%%의 삼중 숫자에 대해 %%(a + b)c = ac + bc%% 등식이 성립합니다.
아르키메데스 속성
숫자 %%a%%가 무엇이든, %%n > a%%인 정수 %%n \in \mathbb(N)%%이 있습니다.
쌀. 1. 수직선
실수의 다음 속성을 공식화하기 전에 다음 직선이 주어졌음을 기억하세요. 참조 프레임, 이 선에 두 개의 다른 점이 고정되어 있는 경우(그림 1의 %%O%% 및 %%e%% 점). 왼쪽(%%O%% 지점)을 원점이라고 하며, %%Oe%% 세그먼트의 길이가 배율 단위를 지정합니다. 주어진 기준 시스템을 갖는 직선을 호출합니다. 좌표축. 일반적으로 %%Ox%%로 표시됩니다. %%O%% 점은 좌표 축을 두 부분, 즉 %%e%% 점이 있는 양의 반축과 음의 반축으로 나눕니다.
동등 어구%%Ox%% 축의 %%M%% 점은 %%M%% 점이 양수 반점에 있는 경우 %%+%% 기호로 표시한 %%OM%% 세그먼트의 길이입니다. 축, 그리고 %%M%% 점이 음의 반축에 있는 경우 %%-% % 기호가 표시됩니다.
분명히 %%Ox%% 축의 각 점 %%M%%은 실수 %%x%%, 즉 좌표에 해당합니다. 반대로, %%Ox%% 축의 각 실수는 이 실수가 좌표인 점에 해당합니다. 이것이 필요할 때마다 %%e = 1%%, %%O = 0%%로 실수와 특정 선의 점 사이에 이런 종류의 대응이 설정되었다고 가정합니다.
따라서 모든 실수의 집합은 다음과 같이 간주될 수 있습니다. 수직선. 때로는 수직선 대신에 "실선"이라는 용어도 사용됩니다. 수직선 위의 점으로 실수를 식별하는 것은 새로운 개념의 도입을 이해하고 동기를 부여하는 데 도움이 되기 때문에 미래에 매우 유용할 것입니다.
실수 집합의 부분 집합 %%X%%를 호출합니다. 사이, 두 숫자 %%x_1, x_2%%와 함께 이 하위 집합에 숫자 사이에 %%x%%가 포함되어 있는 경우. 다음 유형의 간격이 사용됩니다.
- %%(a, b) = \(x: a< x < b\}%% - 간격, 또는 오픈 스팬;
- %% = \(x: a \leq x \leq b\)%% - 선분, 또는 닫힌 간격(때때로 "세그먼트"라는 용어가 사용됨)
- %%(a, b] = \(x: a< x \leq b\}%% и %% \supseteq %%, то отрезок %%%% называют 중첩된%%%% 세그먼트로 이동합니다.
연속성 속성
중첩된 세그먼트 $$ \supseteq \supseteq \supseteq \ldots \supseteq \supseteq \ldots $$ 시스템의 경우 이 시스템의 모든 세그먼트에 속하는 점이 하나 이상 있습니다. 이 속성은 중첩된 세그먼트의 원리(Cantor의 원리)라고도 합니다.
나열된 실수 속성으로부터 유리 분수를 사용하는 규칙뿐만 아니라 1 > 0을 얻을 수 있습니다. 실수의 곱셈과 나눗셈을 위한 부호 규칙; 평등과 불평등을 변화시키는 규칙; 실수의 절대값의 속성.
절대값
절대값(또는 기준 치수) 실수 %%a%%의 %%|a|%%는 다음 조건을 충족하는 실수입니다. $$ |a| = \begin(cases) a, \text( if ) a \geq 0 \\ -a, \text( if ) a< 0 \end{cases} ~~~~~~~~~~(1) $$
실수의 절대값은 음수가 아닌 %%(|a| \geq 0)%% 및 $$ \begin(array)(l) |a| = |-a|, \\ |a| \geq a, \\ |a| \geq -a, \\ -|a| \leq a \leq |a|. \end(배열)~~~~~~~~~~(2) $$
기하학적으로 %%|a|%%는 숫자 %%0%%와 %%a%%를 나타내는 수직선 위의 점 사이의 거리에 해당합니다.
불평등 %%|a|< \varepsilon%%, где %%\varepsilon%% - некоторое положительное число (%%\varepsilon >0%%) . 그러면 이 부등식은 이중 부등식 $$ -\varepsilon과 동일합니다.< a < \varepsilon. $$ Равносильность рассмотренных неравенств будет сохранена, если строгие неравенства (%%<%%) заменить на нестрогие (%%\leq%%): %%|a| \leq \varepsilon%% равносильно %%-\varepsilon \leq a \leq \varepsilon%%.
실수 %%a%% 및 %%b%%의 경우 $$ |ab| = |a||b| ~~~~~~~~~~~(3) $$ 및 다음 부등식이 성립합니다: $$ \begin(array)(lr) |a + b| \leq |a| + |비| &~~~~~~~~~~(4),\\ |a - b| \geq \big||a| - |b|\big|&~~~~~~~~~~(5). \end(배열) $$
(1)과 (2)를 사용하여 부등식(4)을 증명합니다. 만약 %%a + b \geq 0%%이면 $$ |a + b| = a + b \leq |a| + |비| $$ 및 %%a + b인 경우< 0%%, то $$ |a + b| = -(a + b) = (-a) + (-b) < |a| + |b| $$
위의 속성은 모든 실수의 집합을 완전히 설명합니다.
모든 실수의 집합과 수직선 위의 점의 집합은 일반적으로 %%\mathbb R%%로 표시됩니다.
실수의 완전한 집합
보충됨(또는 퍼지는) 실수 집합은 모든 실수 %%x \in \mathbb R%%에 %%+\infty%%(“plus infinity”) 및 %%-\로 표시되는 두 요소를 추가하여 형성된 집합입니다. infty%% ( "마이너스 무한대") %%-\infty라고 믿어집니다< +\infty%% и для всех чисел %%x \in \mathbb R%% справедливо %%-\infty < x < +\infty%%. Пополненное множество обозначают %%\overline{\mathbb R}%%. Ему соответствует 펼친(또는 보충) 수직선. %%-\infty%% 및 %%+\infty%% 요소를 이러한 선의 무한점이라고 합니다.
실수의 집합 %%\mathbb R%%의 부분 집합
- 정수 세트$$ \mathbb Z = \(\ldots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \ldots \) $$는 집합 %%\mathbb R%%의 진부분집합입니다. (%%\mathbb Z\subset\mathbb R%%).
- 자연수의 집합$$ \mathbb N = \(1, 2, 3, \ldots \) $$는 집합 %%\mathbb Z %%와 집합 %%\mathbb R%% %%(의 진부분집합입니다. \mathbb N \ 부분집합 \mathbb Z \ 부분집합 \mathbb R)%%.
정수 %%m \in \mathbb Z%%를 자연수 %%n \in \mathbb N%%로 나눈 몫으로 나타낼 수 있는 모든 실수의 집합을 집합이라고 합니다. 유리수%%\mathbb Q%%를 나타냅니다. 즉, $$ \mathbb Q = \left\(\frac(m)(n): m \in \mathbb Z, n \in \mathbb N\right\) $$
%%\frac(m)(n)%% 및 %%\frac(m"))(n")%% 비율은 동일한 것으로 간주됩니다(동일한 유리수 %%r \in \mathbb Q%%를 나타냄). , %%mn" = nm"%%인 경우. 따라서 각 유리수 %%r = \frac(m)(n)%%는 무한히 많은 이미지 %%r = \frac(p m)(p n), p \in \mathbb N%%를 가질 수 있습니다.
%%\mathbb N \subset \mathbb Z \subset \mathbb Q \subset \mathbb R%%인 것은 명백합니다.
끝없는 간격
완성된 수직선에는 무한한 간격 $$ (b, +\infty) = \(x: x > b\), (-\infty, a) = \(x: x< a\} $$ и бесконечные полуинтервалы $$ = \{x: x \leq a\} $$ По аналогии с бесконечными интервалами множество всех точек на числовой прямой R обозначают часто %%(-\infty, +\infty)%% или просто %%(-\infty, \infty)%%.
쌀. 2. 점 주변
%%x_0%% 점을 포함하는 %%(a, b)%% 구간이 호출됩니다. 주위이 점을 %%\text(U)(x_0)%%로 표시합니다. 즉, %%\text(U)(x_0) = (a, b)%% if %%x_0 \in (a, b)%%. 이 경우 이웃 %%(a, b)%%의 중간에 위치한 %%x_0%% 점을 호출합니다. 동네의 중심, 거리 %%\varepsilon = \frac((b - a))(2)%% 는 이웃의 반경입니다. 그런 다음 %%\(x: |x - x_0|< \varepsilon\}%% называют %%\varepsilon%%-окрестностъю точки %%x_0%% и обозначают %%\text{U}(x_0, \varepsilon)%% или %%\text{U}_\varepsilon(x_0)%% (рис. 2).
확장 수직선에서는 무한 점 %%+\infty%% 및 %%-\infty%%에 대해 이웃 개념이 도입되어 많은 문제를 고려할 때 이러한 점을 유한 점과 동일시합니다. %%M%%를 양수로 둡니다. 그런 다음 %%\text(U)(+\infty) = \(x \in \mathbb(R): x > M\)%% 및 %%\text(U)(-\infty) = \(x \ in\mathbb(R): x< -M\}%%, а для объединения бесконечных точек %%\text{U}(\infty) = \{x \in \mathbb{R}: |x| >중\)%%. 모든 무한 포인트에 대해 %%M%%의 작은 값을 가진 이웃에는 %%M%%의 더 큰 값을 가진 이웃이 포함된다는 것이 분명합니다.
러시아 연방 교육과학부
연방교육청
니즈네캄스크 시립연구소
정보학, 수학 및 자연 과학과 -
과학 분야
그룹 561
추상적인
"추상 대수학" 분야에서
교육 전문가 수준
주제: 주문된 세트
머리 ___________________ R.M. 무니포프
학생 ___________________ A.V. 글라주노프
니즈네캄스크 2007
소개..........................................................................................................................3
1. 부분 주문 세트 ..............................5
2. 잘 정돈된 세트..........................................................20
3. 부분 그룹체와 그 속성.........................................23
결론..........................................................................................35
참고 자료.................................................................................36
소개
현재 대수학은 주로 대수적 연산과 관계에 대한 일반 이론으로 이해됩니다. 이는 초기 아이디어와 작업의 내부적 자연성, 방법의 통일성, 광범위한 기본 개념이 특징입니다. 그 영역은 명확하고 명확하게 묘사됩니다. 그러나 이론의 기존 경계는 확고하고 확실하게 확립된 것으로 간주될 수 없습니다. 한계를 뛰어넘고자 하는 욕구가 점점 더 자주 나타나기 시작합니다. 완전한 작업뿐만 아니라 부분적인 작업도 고려할 필요가 있습니다.
부분적 작용 이론은 당연히 완전한 작용 이론을 이어가야 합니다. 후자는 현재 매우 광범위하고 풍부하며 전성기입니다. 당연히 그곳에서 개발된 개념과 결과를 새로운 영역으로 옮기려는 생각이 떠오릅니다. 물론 이것은 필요하며 많은 경우 유익합니다. 그러나 이미 부분 행동 이론 개발의 첫 번째 단계부터 이 방향의 중요한 특이성이 느껴집니다. 완전한 행동 이론의 결과를 직접 전달하는 것이 어렵거나 심지어 불가능한 경우가 종종 있습니다. 일반적인 대수 자료는 상당한 처리나 재고를 거쳐야 하며, 또한 새로운 방향에 특정한 완전히 새로운 개념과 문제가 발생합니다. 그들만의 연구 방법론이 필요합니다.
부분 대수적 작용 이론에 대한 충분히 완전하고 일관된 제시는 아직 이루어지지 않았습니다. 초기 개념은 물론 표기법과 용어에도 불일치가 있습니다. 개별 작품 간의 연결이 충분하지 않습니다. 일반 이론을 구성하는 데 필요한 개별 질문 개발의 부적절함이 느껴집니다.
1 . 시간엄격하게 정렬된 세트
세트의 이진 관계 ㅏ~라고 불리는 반대칭 만약에:
(a,c ㅏ) ㅏ? V V? ㅏ
ㅏ~라고 불리는 반사적만약에:
( ㅏ ㅏ) ㅏ ㅏ
세트의 이진 관계 ㅏ~라고 불리는 전이적만약에:
(ㅏ,V,씨 ㅏ) ㅏ V V 씨>a 와 함께
예시 1.
자연수 집합에 대한 (완전히) 가분성 관계 N 반대칭. 사실 만약에 ㅏ V, V ㅏ, 그러면 자연스럽습니다. 큐1 ,큐 N, 그렇게 a=b큐1 , в=а큐 어디 a=a큐1 큐 , 그건 큐1 큐 = 1. 하지만,
큐1 ,큐 N,따라서 큐1 = 큐 = 1, 그로부터 다음과 같다 a = b.
집합에 대한 반사적 반대칭 전이 이진 관계 ㅏ~라고 불리는 순서 관계 (부분 주문) 세트에 ㅏ.
한 무리의 ㅏ부분적인 순서 관계가 부여되어 있습니까? 그들이 전화한다 부분적으로 주문된 세트 그리고 표시하다< ㅏ; ? >.
이하에서는 편의상 약어를 사용하겠습니다. 역병 , 부분적으로 정렬된 세트를 나타냅니다.
예시 2.
< N, ? > ? (학교 의미에서) 일반적이고 엄격하지 않은 숫자 불평등. 이 관계의 이행성, 반사성 및 반대칭성을 증명하는 것이 필요합니까?
ㅏ)ㅏ? ㅏ,(2 ? 2) - 반사성,
b) 만일 ㅏ? V , V? 와 함께,저것 ㅏ ? 씨, (3 ? 4, 4 ? 5 > 3 ? 5) - 전이성,
다) 만일 ㅏ ? V , V?ㅏ, 저것 ㅏ=에,(3 ? 3, 3 ? 3 > 3=3) - 반대칭.
그것은 다음과 같습니다 < N, ? > - 친구.
예시 3.
< N, > .
a) 자연수 집합의 가분성 관계 N반사적입니다. 모든 숫자는 자기 자신의 배수이기 때문입니다. 왜냐하면 누구에게나 ㅏ N언제나 ㅏ = ㅏ 1 (1 N), 이것은 관계의 의미에서 우리는 ㅏ ㅏ. 그러므로 반사적이다.
비)첫 번째 숫자가 두 번째 숫자로 나누어지고(즉, 두 번째 숫자의 배수) 두 번째 숫자가 세 번째 숫자의 배수이면 첫 번째 숫자는 세 번째 숫자의 배수입니다. 이는 관계가 전이적임을 의미합니다. 만약에 ㅏ V, V 와 함께, ㅏ,V,씨 N. 그래서 그런 것들이 있어요 큐 ,큐 N, 무엇
ㅏ= 에큐 ,
=에서씨 큐 ,
ㅏ = 씨 (큐 큐 ).
다음을 나타내자: 큐 = 큐 큐 N. 우리는
어디 큐 N, 즉. ㅏ 와 함께- 우선순위 . 따라서 관계는 전이적입니다.
c) 관계의 반대칭성은 서로 배수인 두 자연수가 서로 같다는 사실에서 비롯됩니다. 만약에 ㅏ V, V ㅏ, 그런 것이 있습니다 큐1 ,큐 N, 무엇
a=b큐1 ,
в=а큐 ,
a=a큐1 큐 ,
그건 큐1 큐 = 1. 하지만, 큐1 ,큐 N,따라서 큐1 = 큐 = 1, 그로부터 다음과 같다 a = b.그러므로 반대칭.
그러므로 부분적인 순서가 있으므로, < N, > - CHUM(부분 주문 세트).
강요 ㅏ,V 역병 ㅏ호출됩니다 비교할 수 없는기록되어 있다
ㅏ|| V, 만약에 ㅏ? V그리고 V? ㅏ.
강요 ㅏ,V역병 ㅏ호출됩니다 유사한만약에 ㅏ? V또는 V? ㅏ.
부분주문? ~에 ㅏ~라고 불리는 선의, 그러나 전염병 자체 선형적으로 - 순서대로또는 체인, 만약 두 개의 요소가 ㅏ비교할 수 있는, 즉 어떠한 것도 ㅏ,V ㅏ, 또는 ㅏ ? V, 또는 V? ㅏ.
예 4 .
< N, ? >, < R, ? > - 체인입니다. 하지만<В(중) ; > ,여기서 B( 중) - 집합의 모든 부분 집합의 집합 중또는 ( 중) 라고 한다 부울세트에 중, 체인이 아니기 때문에 두 개의 하위 집합이 아닌 집합 중하나는 다른 하나의 하위 집합입니다.
허락하다 < ㅏ, ? > - 임의의 전염병.
요소 중 ㅏ ~라고 불리는 최소한의, 만약 있다면 엑스 ㅏ에서 무엇을 엑스 ? 중 ~해야 한다 엑스 = 중.
이 개념의 의미는 다음과 같습니다. ㅏ이 요소보다 엄격하게 작은 요소를 포함하지 않습니다. 중. 그들은 말한다 엑스엄격하게 덜 중 그리고 적어보세요 엑스< 중, 만약에 엑스 ? 중, 하지만 동시에 엑스 ? 중. 이 전염병의 최대 요소는 비슷한 방식으로 결정됩니다. 다음과 같은 경우에는 분명합니다. 중 , 중 - 전염병의 최소(최대) 요소가 다른 경우 중 || 중 .
부분 정렬 이론에서는 조건을 설정합니다. ㅏ ? V때로는 다음과 같이 읽습니다. 요소ㅏ 요소에 포함된V 또는 요소V 요소를 포함합니다ㅏ .
보조정리.
유한한 전염병의 각 요소는 최소 요소를 포함하며 이 전염병의 최대 요소에 포함됩니다.
증거:
허락하다 ㅏ- 마지막 재앙의 임의적 요소 에스. 만약에 ㅏ -최소한의 요소이면 반사성으로 인해 보조정리가 입증됩니다. 만약에 ㅏ최소가 아닌 경우 요소가 있습니다. ㅏ 그렇게
ㅏ < ㅏ(1)
만약에 ㅏ 최소한이면 모든 것이 입증됩니다. 요소의 경우 ㅏ 아니다
최소한, 일부는 ㅏ 우리는 얻는다
ㅏ < а (2)
만약에 ㅏ 최소이면 (1), (2)로부터 전이성 덕분에 다음과 같은 결론을 내립니다. ㅏ최소한의 요소가 포함되어 있습니다. ㅏ . 만약에 ㅏ 최소한은 아니지, 그럼
ㅏ < ㅏ (3)
일부 ㅏ 에스. 등등. 이 과정은 집합 자체의 유한성으로 인해 무한할 수 없습니다. 에스.
그리하여 한동안 N- 추론의 세 번째 단계에서 프로세스가 종료됩니다. 이는 요소가 다음과 같다는 사실과 동일합니다. ㅏ 최소한. 여기서
ㅏ < а < < а < а < а
전이성으로 인해 요소는 다음과 같습니다. ㅏ최소한의 요소가 포함되어 있습니다. ㅏ . 마찬가지로 요소 ㅏ최대 요소에 포함됩니다. 보조정리는 증명되었습니다.
결과.
마지막 재앙에는 최소한 하나의 최소 요소가 포함되어 있습니다.
이제 추가 프레젠테이션에 중요한 개념을 소개합니다. 다이어그램궁극의 전염병 에스.
먼저 최소한의 요소를 모두 사용합니다. 중 , 중 , 중 V 에스. 조사에 따르면 그런 사람도 있을 것이다. 그런 다음 부분적으로 주문한 세트에서
에스 = 에스 \ {중 , 중 , 중 },
어느 것 에스는 유한하므로 최소한의 요소를 취합니다.
, , 그리고 세트를 고려
= 에스 \ {, , }
"첫 번째 행"의 요소 중 , 중 , 중 점으로 묘사됩니다. 조금 더 높게 "두 번째 행"의 요소를 점으로 표시합니다. , 해당 경우에만 점을 세그먼트와 연결합니다. 중 <
다음으로 전염병의 최소 요소를 찾아서 "세 번째 행"의 점으로 묘사하고 위에 표시된 방식으로 "두 번째 행"의 점과 연결합니다. 우리는 이 전염병의 모든 요소가 고갈될 때까지 이 과정을 계속합니다. 에스. 집합이 유한하기 때문에 프로세스도 유한합니다. 에스. 결과적인 점과 선분 집합을 호출합니다. 도표 PLAGUE S. 동시에 ㅏ < в "지점"으로부터만 가능하다면 ㅏ'포인트'로 이동하실 수 있습니다 V"오름차순" 파선을 따라. 이러한 상황으로 인해 유한한 전염병은 다이어그램으로 식별할 수 있습니다.
예 5 .
CHUM 다이어그램에 의해 주어진다. 에스 = {중 , 중 , , ), 여기서 중 < , 중 < , 중 < 중 < , 중 < 중 < , 중 < .
요소 중 ~라고 불리는 가장 작은누구든지 PLAGUE의 요소 엑스 ㅏ언제나 중 ? 엑스.
가장 작은 요소가 최소라는 것은 분명하지만 그 반대는 사실이 아닙니다. 모든 최소 요소가 가장 작은 것은 아닙니다. 가장 작은 요소는 하나만 있습니다(있는 경우). 가장 큰 요소도 비슷하게 결정됩니다.
예 6.
· · · ·
이것은 전염병이며 그 요소는 쌍으로 비교할 수 없습니다. 이들은 부분적으로
주문한 세트를 호출합니다. 사슬 방지제.
예 7 .
이것은 가장 작은 요소와 가장 큰 요소를 가진 체인입니다. 여기서 0은 가장 작은 요소이고 1은 가장 큰 요소입니다.
허락하다 중- 부분적으로 정렬된 집합의 부분 집합 ㅏ. 요소 ㅏ ㅏ~라고 불리는 하단 가장자리세트 중, 만약에 ㅏ? 엑스누구에게나 엑스 중.
세트의 모든 하층부 중 가장 큰 것 중, 존재하는 경우 호출됩니다. 정확한 하단 가장자리 세트 중 inf를 표시하고 중.
허락하다 < ㅏ, ? > - 임의의 전염병. 요소 와 함께 ㅏ ~라고 불리는 정확한 하단 가장자리강요 ㅏ,V ㅏ, 만약에 와 함께= INF( ㅏ,V}.
참고 1.
모든 재앙에 두 가지 요소에 대한 정확한 하한치가 있는 것은 아닙니다.
이를 예를 통해 보여드리겠습니다.
예 8 .
을 위한 ( ㅏ;씨},{디;이자형) 하단 가장자리가 없습니다.
inf( ㅏ;V}=디, inf( V;씨}=이자형.
예 9 .
모든 요소에 대해 정확한 하한선을 갖는 전염병의 예를 들어 보겠습니다.
inf( ㅏ;V}=디, inf( ㅏ;디}=디, inf( ㅏ;0 }=0 , inf( ㅏ;씨}=0 , inf( ㅏ;이자형}=0 ,
inf( V;씨}=이자형, inf( V;이자형}=이자형, inf( V;디}=디,
inf( 씨;이자형}=씨, inf( 씨;0 }=0 , inf( 씨;디}=0 ,
inf( 디;이자형}=0 , inf( 디;0 }=0 ,
inf( 이자형;0 }=0 .
정의: 임의의 두 요소에 대해 하한이 있는 부분 순서 집합을 호출합니다. 반격자.
예 10 .
반격자가 아닌 전염병의 예를 들어 보겠습니다.
허락하다 < N, ? > - 선형적으로 정렬된 자연수 집합 이자형 ,이자형 N. 세트장에서 N = N { 이자형 ,이자형 ) 이진 관계를 정의합니까? , 가정 엑스 ? 와이, 만약에 엑스, 와이 N, 어디 엑스 ? 와이, 또는 만약 엑스 N, 와이 { 이자형 ,이자형 ). 우리는 또한 정의에 따라 다음을 고려합니다. 이자형 ? 이자형 ,이자형 ? 이자형 .
이 전염병의 도표는 다음과 같습니다.
임의의 자연수 n ? 이자형 그리고 n? 이자형 , 하지만 N그러므로 가장 큰 요소는 없습니다. N - CHUM, 그러나 반 격자는 아닙니다.
따라서 정의에 따르면 반격자는 모델입니다(관계가 있는 집합과 같은가요?). 이제 살펴보겠지만, 반격자의 개념에 대한 또 다른 접근 방식이 가능합니다. 즉, 반격자는 특정 대수로 정의될 수 있습니다.
이를 위해 몇 가지 추가 대수 개념을 소개합니다. 알려진 바와 같이, 반그룹연관 이진 대수 연산이 정의된 비어 있지 않은 집합입니다.
임의의 세미그룹은 일반적으로 표시됩니다. 에스(반 그룹).
정의.요소 이자형에스~라고 불리는 멱등성, 만약에
이자형 = 이자형, 그건 이자형 · 이자형 = 이자형.
예 11 .
세미그룹< N; · > ? 멱등성 1이 하나만 있습니다.
세미그룹< 지; + > ? 단일 멱등성 0을 갖습니다.
세미그룹< N; + > ? 멱등성이 없기 때문에 0 N.
비어 있지 않은 집합 X의 경우 평소와 같이 집합 X의 모든 하위 집합 집합, 즉 집합 X의 부울을 나타냅니다.
세미그룹<В;>- 각 요소가 멱등성을 갖습니다.
ㅏ 안에, ㅏ = ㅏ ㅏ.
세미그룹은 다음과 같이 불린다. 멱등성 세미그룹또는 다발, 각 요소가 멱등성인 경우. 따라서 연결사의 예는 공용체와 관련된 모든 부울입니다.
예 12 .
허락하다 엑스- 임의의 집합.
B- 집합의 모든 부분 집합의 집합 엑스.
B-는 세트에서 불리언(Boolean)이라고 불립니다. 엑스.
만약에 엑스= (1,2,3) , 그런 다음
B = (O,(1),(2),(3),(1,2),(2,3),(1,3),(1,2,3)).
집합의 두 부분 집합이 교차하므로 엑스다시 의 하위 집합입니다. 엑스, 그러면 그룹형이 있습니다.< В;>, 게다가 그것은 반그룹이자 심지어 연결사이기도 합니다. ㅏ 에서 ㅏ = ㅏ ㅏ=ㅏ.
똑같은 방식으로 우리는 연결을 가지고 있습니다<; В > .
가환 접속사라고 합니다 반격자.
예 13 .
허락하다 엑스= (1,2,3), 다이어그램을 만들어 봅시다< В ; >.
재앙의 예를 들어보겠습니다. 그러나 반격자는 아닙니다.
예 14 .
아랫면이 2개인 CHUM 이자형그리고 디 , 서로 비교할 수 없습니다. 이자형|| 디. 그러므로 inf( ㅏ;와 함께) 존재하지 않는다.
실시예 15.
아랫면이 2개인 CHUM 와 함께그리고 디, 이는 비교할 수 없습니다. 와 함께|| 디. 그러므로 inf( ㅏ;V) 존재하지 않는다.
반격자의 예를 들어보겠습니다.
예 16 .
도표:
ㅏ
inf( ㅏ;V}=V, inf( ㅏ;와 함께}=와 함께, inf( ㅏ;디}=디,
inf( V;씨}=디, inf( V;디}=디,
inf( 씨;디}=디.
예 17 .
반격자형이기 때문에 임의의 두 요소에 대해 하한선이 있습니다. 즉
inf( ㅏ;V}=V, inf( ㅏ;와 함께}=와 함께, inf( V;씨}=와 함께.
정리 1.
허락하다<에스 ; ? > - 반격자. 그 다음에<에스 ; > 교환 연결, 여기서
ㅏ V=inf( ㅏ,V} (*).
증거:
에서 이를 증명할 필요가 있다.<에스 ; > 다음과 같은 신원이 유지됩니다:
(1) 엑스 와이 = 와이 엑스
(2) (엑스 와이) z = 엑스 (와이 지)
(3) 엑스 엑스 = 엑스
1) 평등에 따라(*)
엑스 y= inf( 엑스,와이) = INF ( 와이,엑스) = 와이 엑스
2) 우리가 나타내자 ㅏ = (엑스 와이) 지, =에서엑스 ( 와이 지)
그것을 증명해보자 ㅏ = V.
이를 위해서는 다음을 증명하는 것만으로도 충분합니다.
ㅏ ? V (4)
V ? ㅏ(5) (반대칭으로 인해)
나타내자
와 함께 = 엑스 와이 , 디 = 와이 지
의 의미 내에서, ㅏ사이의 정확한 하한 와 함께그리고 지
ㅏ? 와 함께 , ㅏ ? 지 , 씨 ? 엑스, 그러므로 전이성으로 인해 ㅏ ? 엑스.
비슷하게, ㅏ? 와이, 즉. ㅏ- 공통 하한 와이그리고 지. ㅏ 디- 정확한 하한.
따라서, ㅏ ? 디, 하지만 V=inf( 엑스, 디}.
불평등으로부터 ㅏ ? 엑스 , ㅏ ? 디 그 뒤를 따른다 ㅏ 엑스그리고 디, ㅏ V그러므로 그들의 정확한 극한은 입니다.
ㅏ? V(4) 입증되었습니다.
(5)도 비슷한 방식으로 증명된다.
(4)와 (5)로부터, 반대칭의 관점에서, 우리는 다음과 같은 결론을 내립니다.
a = b.
이를 통해 우리는 연산 ()의 연관성을 증명했습니다.
3) 우리는 엑스 엑스=inf( 엑스,엑스} = 엑스.
성찰을 통해 평등이 달성됩니다. 엑스? 엑스.
저것. 구성된 대수학<에스 ; > 교환 가능한 멱등성 세미 그룹이 됩니다. 교환 링크.
정리 2.
허락하다<에스 ; · >는 가환 멱등성 세미그룹이고 이진 관계인가요? ~에 에스, 평등으로 정의됨
? = ㅏ·в = а,
부분주문입니다. 동시에, PLAGUE<에스 ; ? > 반격자이다.
증거:
1) 반사성?.
조건별<에스 ; · >는 세 가지 항등식을 만족합니다:
(1) 엑스 = 엑스
(2) × y = yx
(3) (xy)· z = 엑스(와이· 지)
그 다음에 x x = x = 엑스 -(1)에 의해. 그렇기 때문에 엑스? 엑스.
2) 비대칭? .
허락하다 엑스? ~에그리고 와이? 엑스, 정의에 따르면
(4) 엑스와이 = 엑스
따라서 교환성 덕분에 우리는 x = y.
3) 전이성?.
허락하다 엑스? ~에그리고 와이?지 그러면 정의에 따르면
(6) 엑스와이 = 엑스
(7) 와 지=y
우리는 엑스· 지 = (엑스· 와이)· 지 엑스· (와이· 지) xy 엑스
그래서, 엑스· 지 = 엑스, 그건 엑스?지.
따라서 우리는 CHUM을 가지고 있습니다<에스 ; ? >. 어떤 경우에도 이를 보여주는 것이 남아 있습니다( ㅏ,V)에스존재합니다. a,c}.
우리는 임의로 취한다 ㅏ,V 에스그리고 그 요소가 c = a b inf( a,c), 즉. 와 함께= INF( a,c}.
물론,
ㄷ =(에이·씨)·ㅏ ㅏ·(에이·씨) (아·아)· V a·b = c,
저것. 와 함께? ㅏ.
비슷하게, с·в =(에이·씨)·V ㅏ·(~에) a·b = c,
저것들. 와 함께? V.
그래서, 와 함께- 공통 하한( a,c}.
그 정확성을 증명해 보겠습니다.
허락하다 디- 공통적인 하한값 ㅏ그리고 V:
(8) 디? ㅏ
(9)디? V
(10) 다 = 디
(11)d =에서디
디· 씨 = 디· (에이·씨) (디·ㅏ)· V 디·V 디,
디· 씨 = 디, 따라서, 디 ? 씨.
결론: c = inf( ㅏ,V}.
정리 1과 2는 두 가지 관점, 즉 CUM과 대수학(멱등 교환 반군)에서 반격자를 볼 수 있음을 입증했습니다.
2. 잘 정돈된 세트
순서 집합 이론은 G. 선창자 . 샤투노프스키 . 하우스도르프 (1914).
잘 정돈된 세트 -각 하위 집합에 첫 번째 요소가 있는 경우(즉, 한 요소 뒤에 다른 모든 요소가 있는 경우) 순서가 지정된 집합을 잘 정렬된 집합이라고 합니다. 모든 유한 주문 세트는 완전 주문입니다. 오름차순(다른 방식으로도)으로 정렬된 자연 계열은 완전히 정렬된 집합을 형성합니다. 완전히 정렬된 집합의 중요성은 주로 초한 귀납법이 해당 집합에 유효하다는 사실에 의해 결정됩니다.
동일한 순서 유형을 갖는 순서 집합도 동일한 카디널리티를 가지므로 주어진 순서 유형의 카디널리티에 대해 이야기할 수 있습니다. 반면, 동일한 카디널리티의 유한 순서 집합은 동일한 순서 유형을 가지므로 각 유한 카디널리티는 특정 유한 순서 유형에 해당합니다. 무한 세트로 이동하면 상황이 달라집니다. 두 개의 무한 순서 집합은 동일한 카디널리티를 가질 수 있지만 순서 유형은 다를 수 있습니다.
3. 부분 그룹형 및 해당 속성
알려진 바와 같이, 집합에 대한 이진 대수 연산 에스데카르트 정사각형의 매핑입니다. 에스?에스. 이 경우 작업이 다음과 같이 설정되었다고 합니다. 에스. 이 단락에서 우리는 그것을 부를 것입니다 완전한 효과.
하위 집합의 모든 매핑 에스?에스 V 에스~라고 불리는 부분 효과~에 에스. 즉, 부분적인 조치를 취하는 것입니다. 에스의 일부 기능입니다 에스?에스 > 에스.
에 있다고 할 수 있습니다 에스요소에 대해 부분 동작(부분 곱셈)이 지정됩니다. a,c 에스일하다 에이·씨정의되지 않았거나 모호하지 않게 정의되었습니다. 간단히 말해서 여기에 모든 요소가 곱해지는 것은 아닙니다.
한 무리의 에스부분 곱셈이 지정된 것을 호출합니다. 부분 그룹체는 ( 에스 ; · ) 완전한 그룹과 대조적으로< 에스 ; · >.
완전한 그룹형에 대해 Cayley 테이블에 대해 이야기할 수 있다면 부분 그룹형에 대해 Cayley 테이블의 일부 아날로그, 즉 일부 셀이 비어 있는 테이블에 대해 이야기할 수 있습니다. 이는 요소의 곱이 무한한 경우입니다.
예시 1.
ㅏ
ㅏ· 에 = 에, 하지만 V· ㅏ정의되지 않았습니다. 즉 V· ㅏ= 영형. 기호 " 영형" 속하지 않는 에스, 즉. 의 요소가 아니다 에스.
예시 2.
전염병을 고려하십시오 ( 에스 ; ? ).
에스 = {ㅏ,V,씨, 디), 어디 ㅏ? ㅏ, V? V, 와 함께? 와 함께, 디 ? 디, 와 함께? ㅏ, 와 함께? V, 디? ㅏ, 디? V.
임의의 전염병 ( 에스 ; ? ) 우리는 다음을 표시하는 데 동의합니다.
ㅏ V= INF( ㅏ,V}.
그렇다면 이 부분적 행동과 관련하여 예에서 나타난 재앙은 부분적 집단( 에스;) Cayley 테이블은 다음과 같습니다.
디
ㅏ
디
씨
-
이번 섹션에서는 강한 연관성, 중간 연관성, 약한 연관성이라는 세 가지 유형의 연관성을 살펴보겠습니다.
정의 1.
부분 그룹형( 에스 ; · ) 라고 한다 약한 연관 , 만약에
(엑스,y,z 에스) (엑스· 와이)· 지 영형 엑스·( 와이· 지) > (엑스· 와이)· 지= 엑스·( 와이· 지) (*)
정의 2.
부분 그룹형( 에스 ; · ) 라고 한다 적당히 연관됨 , 만약에
(엑스,y,z 에스) (엑스· 와이)· 지 영형 와이· 지 > (엑스· 와이)· 지= 엑스·( 와이· 지)
정의 3.
부분 그룹형( 에스 ; · ) 라고 한다 강한 연관성 , 만약에
(엑스,y,z 에스) [(엑스· 와이)· 지 영형 엑스·( 와이· 지) 영형> (엑스· 와이)· 지= 엑스·( 와이· 지)] (*)
강한 연관성을 지닌 부분 그룹형은 중간 연관성과 약한 연관성의 특성을 충족합니다. 그러나 그 반대는 결코 필요하지 않습니다.
예시 3.
주어진 ㅏ = {ㅏ, 에서, 와). 로 설정하자 ㅏ"부분 Cayley 테이블"에 의한 곱셈의 부분 연산.
우리는 부분적인 그룹형을 얻습니다. 그룹소이드가 강한 연관성을 갖고 있는지 확인해 봅시다.
허락하다 ( 엑스· 와이)· 지 영형 왜냐하면 엑스 ㅏ, 다음 중 하나 x = c x = b
1) 하자 x = c, 그 다음에 y = 에 와이 = c
a) 하자 y = 에, 그 다음에 지 = ㅏ
(와 함께· V)· ㅏ 영형 와 함께·( V· ㅏ) 정의
(와 함께· V)· a = c·( V· ㅏ) 평등이 만족됩니다
b) 하자 와이 = c, 그 다음에 지= 에 지=c
그리고 만약에 지= 에, 그 다음에
(와 함께· 와 함께)· V 영형 와 함께·( 와 함께· V) 정의
(와 함께· 와 함께)· 에서 = c·( 와 함께· V) 평등이 만족됩니다
b") 만약 지=c, 그 다음에
(와 함께· 와 함께)· 와 함께 영형 와 함께·( 와 함께· 와 함께) 정의
(와 함께· 와 함께)· c = c·( 와 함께· 와 함께) 평등이 만족됩니다
2) 하자 x = b, 그 다음에 와이=아, ㅏ 지= 에 지 = 씨
그리고 만약에 와이=아그리고 지= 에
(V· ㅏ)· V 영형= 에·( ㅏ· V) 한정되지 않은
(V· ㅏ)· V V·( ㅏ· V) 동등성이 만족되지 않음
b) 하자 와이=아그리고 지=c
(V· ㅏ)· 와 함께 영형= 에·( ㅏ· 와 함께) 한정되지 않은
(V· ㅏ)· 와 함께 V·( ㅏ· 와 함께) 동등성이 만족되지 않음
따라서 정의에 따르면 부분 그룹형은 강력한 연관성을 갖지 않습니다. 그러나 이것이 그런 의미는 아닙니다( 에스 ; · )은 약한 연관성이 없습니다.
알아 보자.
허락하다 (엑스· 와이)· 지 영형 엑스·( 와이· 지) 영형 .
~에 엑스 ㅏ, ~에 ㅏ, 즉 언제
x = b x = c
y = 에 와이 = c
이 부분 그룹체는 약한 결합성을 갖습니다.
예시 4.
허락하다 A ={ㅏ, 에서, 와)로 설정할 수 있습니다. ㅏ다음 Cayley 테이블. 우리는 부분적인 그룹형을 얻습니다. 이 그룹형이 적당한 연관성을 갖고 있는지 확인해 봅시다.
허락하다 ( 엑스· 와이)· 지 영형 왜냐하면 엑스 V, 그 다음에 x = 에이 x = c
1) 하자 x = 에이, 그 다음에 와이=아 y = 에
a) 하자 와이=아, 그 다음에 지 = ㅏ, 지= 에
그리고 만약에 지=a, 그 다음에
(ㅏ· ㅏ)· ㅏ 영형 ㅏ· ㅏ한정된
(ㅏ· ㅏ)· ㅏ ㅏ·( ㅏ· ㅏ) 동등성이 만족되지 않음
b") 만약 지= 에, 그 다음에
(ㅏ· ㅏ)· V 영형 ㅏ· V한정된
(ㅏ· ㅏ)· V ㅏ·( ㅏ· V) 동등성이 만족되지 않음
따라서 우리는 그룹형이 의미 연관이 아니라는 것을 알 수 있습니다. 약한 연관성이 있는지 알아보세요.
허락하다 ( 엑스· 와이)· 지 영형 엑스·( 와이· 지) 영형, 왜냐하면 엑스 V, 그 다음에 x = 에이 x = c
1) 하자 x = 에이, 그 다음에 와이=아 y = 에
a) 하자 와이=아, 그 다음에 지 = ㅏ, 지= 에
그리고 만약에 지=a, 그 다음에
(ㅏ· ㅏ)· ㅏ 영형=a·( ㅏ· ㅏ) 한정되지 않은
(ㅏ· ㅏ)· ㅏ ㅏ·( ㅏ· ㅏ)
b") 만약 지= 에, 그 다음에
(ㅏ· ㅏ)· V 영형 ㅏ·( ㅏ· V) 정의
(ㅏ· ㅏ)· =에·( ㅏ· V) 평등이 만족됩니다
b) 하자 y = 에, 그 다음에 지 = ㅏ, 지= 에
그리고 만약에 지=a, 그 다음에
(ㅏ· V)· ㅏ 영형=a·( V· ㅏ) 한정되지 않은
(ㅏ· V)· ㅏ ㅏ·( V· ㅏ)
b") 만약 지= 에, 그 다음에
(ㅏ· V)· V 영형 ㅏ·( V· V) 한정되지 않은
(ㅏ· V)· V ㅏ·( V· V) 동등성이 만족되지 않음
2) 하자 x = c, 그 다음에 와이=아,y = 에
a) 하자 와이=아, 그 다음에 지 = ㅏ, 지= 에
그리고 만약에 지=a, 그 다음에
(와 함께· ㅏ)· ㅏ 영형=c·( ㅏ· ㅏ) 한정되지 않은
(와 함께· ㅏ)· ㅏ 와 함께·( ㅏ· ㅏ) 동등성이 만족되지 않음
b") 만약 지= 에, 그 다음에
(와 함께· ㅏ)· V 영형 와 함께·( ㅏ· V) 정의
(와 함께· ㅏ)· 에서 = c·( ㅏ· V) 평등이 만족됩니다
따라서 우리는 부분 그룹형이 약하게 연관되어 있음을 알 수 있습니다. x = 에이그리고 지= 에아니면 언제 x = c만약에 와이=아그리고 지= 에.
정의 4.
부분 그룹형( 에스 ; · ) 라고 한다 교환적 , 만약에
(엑스,와이 에스) 엑스· 와이 = 와이· 엑스
정의 5.
부분 그룹형( 에스 ; · ) 라고 한다 쇠사슬 모양 , 만약에
(엑스,y,z 에스) (엑스· 와이 영형 와이· 지) > [(엑스· 와이)· 지 영형 엑스·( 와이· 지)]
정의 6.
부분 그룹형( 에스 ; · ) 라고 한다 멱등성 , 만약에
(엑스 에스) 엑스 = 엑스
현수선이 아닌 부분 그룹형의 예를 들어 보겠습니다.
실시예 5.
디
ㅏ
디
씨
-
우리는 와 함께 a = c 영형, ㅏ 디 = 디 영형. 하지만, ( 와 함께 ㅏ) 디 = 씨 디 영형. 따라서 주어진 CG는 전차선이 아닙니다.
요소의 "공통 상한"이라는 용어가 의미하는 바는 분명합니다. ㅏ그리고 V약간의 전염병.
정의 7.
전염병이라고 하네요 범주형 , 상한이 있는 요소 중 두 개가 정확한 하한을 갖는 경우.
실시예 6.
실시예 7.
Cayley 테이블에 의해 정의된 부분적으로 정렬된 집합:
실시예 8.
부분주문세트
다음과 같은 Cayley 테이블이 있습니다.
-
-
-
모든 반격자는 범주형 전염병이라는 것이 분명합니다(그러나 그 반대는 아님). 두 요소 모두 정확한 극한을 갖습니다. 즉, 모든 범주형 재앙의 부류는 모든 반격자의 부류를 포함하지만 그것과 일치하지는 않습니다. 저것. 범주형 재앙에 대해 입증된 모든 명제는 반격자에 관한 특정 정리를 명백한 결과로 수반합니다.
반격자의 예를 들어보겠습니다.
실시예 9.
도표:
~라고 불리는 다이아몬드
디
ㅏ
디
씨
실시예 10.
도표:
~라고 불리는 오각형이며 다음 Cayley 테이블을 갖는 반격자로 정의됩니다.
실시예 11.
Cayley 테이블에 의해 정의된 반격자는 다음과 같습니다.
다이어그램이 있습니다:
정리 1.
허락하다 ( 에스 ; ? ) - 범주형 전염병, 그러면 ( 에스;) - 현수선 멱등성 교환성 약 연관 부분 그룹형.
증거:
누구에게나 ㅏ 에스언제나
ㅏ ㅏ= INF( ㅏ, ㅏ} = ㅏ 따라서 부분 그룹체 에스멱등성.
우리는 ㅏ V= INF( ㅏ,V) = INF( V,ㅏ} = V ㅏ, 따라서 에스교환적
약한 연관성을 확인해 봅시다.
허락하다 ( ㅏ V) 와 함께 영형 ㅏ (V 와 함께) , 표시하다
ㅏ V = 디, V 와 함께 = 이자형, (ㅏ V) 와 함께= 디 와 함께 = 에프, ㅏ (V 와 함께) = ㅏ 이자형= g
그것을 증명해보자 에프 = g.
정의에 따르면 우리는 에프 ? 디 ? ㅏ 에프 ? ㅏ,
에프 ? 디? V 에프? V (1)
에프 ? 씨 (2)
왜냐하면 이자형= INF( ~와 함께), (1), (2)로부터 다음과 같습니다. 에프 ? 이자형. 저것. 에프 - 에 대한 몇 가지 공통 하한 ㅏ그리고 이자형, ㅏ g 그들의 정확한 극한이므로
에프 ? g (3)
비슷하게,
g ? 에프 (4)
불평등 (3), (4)와 관계의 반대칭? 제공하다 에프 = g. 약한 연관성이 입증되었습니다.
전차선을 확인해 봅시다 에스.
허락하다 ㅏ V 영형 V 와 함께, 표시하다 ㅏ b = x, V 와 함께 = 와이, 여기에서 엑스? V, 와이? V, 즉.
V- 공통 상한 엑스그리고 ~에. 왜냐하면 역병 에스범주적으로는 inf( x,y), 즉. 에 존재 에스 엑스 ~에. 나타내자 엑스 와이 = 지, 우리는 그것을 보여줄 것입니다
ㅏ (V 와 함께) = 엑스 와 함께= 지. 우리는 지 ? 엑스, 지 ? 와이 (왜냐하면 지 = inf( x,y}), 와이 ? 지 지 ? 엑스, 지 ? 씨,
지 - 하단 가장자리 엑스그리고 와 함께.
정확성을 보장해드리겠습니다.
허락하다 티 ? 엑스 , 티 ? 씨 (티- 임의의 하한), 왜냐하면 티 ? 엑스 , 저것 티 ? ㅏ, 티? V, 조건에 따라 티? 와 함께, 즉. 티- 공통 하한 V그리고 와 함께. 정의에 따르면 다음과 같습니다 ~에, 티 ? 와이.
그래서, 티 ? 엑스, 티? ~에따라서 티 ? 지 (우선순위 지).
전차선이 입증되었습니다.
정리 2.
만약에 ( 에스 ; · )는 현수선 멱등성 교환성 약 연관 부분 그룹형이고, 그러면 관계는 다음과 같습니다.
? = (a,c) 에스?에스 (2)
주문 관계입니다. 동시에, PLAGUE<에스 ; ? > - 전차선입니다.
증거:
관계의 성찰성을 증명해 볼까요? . 왜냐하면 부분 그룹형 에스 idempo-tenten, 그럼 ㅏ· ㅏ = ㅏ 따라서 정의에 따르면 (2) ㅏ? ㅏ.
비대칭성을 확인해 보겠습니다.
만약에 ㅏ? 에, 에? ㅏ,저것 а·в = а, в·а = в,교환성(commutativity)으로 인해 왼쪽 변이 동일합니다. 즉, 오른쪽 변이 동일하다는 의미입니다. a = b.
이행성을 증명하는 것이 남아 있습니다.
허락하다 ㅏ? V, V? 와 함께, 그 다음에 a·b = a, vs = 에, а·с =(에이·씨)· 와 함께. 전차선으로 인해 우리는 ( ㅏ· V)· 와 함께 영형 , ㅏ·( V· 와 함께) 영형, 따라서 약한 연관성으로 인해
(에이·씨)·c=a·(v 초), 따라서, 에이·씨 = 에이·(v 초) = a·b = a.
그래서, a·c = a, 즉. ㅏ? 와 함께.
저것. 우리에게 전염병이 생겼어요<에스 ; ? > .
허락하다 지- 공통 상한 엑스그리고 ~에. 따라서, 엑스?지, 와이 ? 지, 여기에서 엑스·지 = 엑스, 와이· 지 = 와이, 그 다음에 지· 와이 = 와이. 전차선으로 인해 ( 엑스· 와이)· 지 영형 엑스· 와이 영형.
나타내자 xy =에스, 그걸 증명해보자 에스정확한 하단 가장자리.
우리는 에스· 엑스 = (엑스· 와이)· 엑스 = 엑스· (엑스· 와이) = (엑스· 엑스)· 와이 = 엑스· 와이 = 에스 (전선 및 약한 연관성으로 인해) 따라서 에스 ? 엑스, 즉. 에스- 공통 하한.
반격자 이론에서 잘 알려진 두 가지 추론은 이러한 정리로부터 나옵니다.
결과 1.
만약에<에스 ; · > 멱등성 교환 반군이면 관계는 무엇입니까? 등식(2)으로 정의된 은 부분 순서입니다. 게다가, 임의의 두 요소에 대해 에스정확한 하한선이 있습니다.
결과 2.
만약에<에스 ; · >는 임의의 두 요소의 최소값이 있는 부분적으로 정렬된 집합입니다. 그러면 연산과 관련하여
ㅏ V= INF( ㅏ,V} (3)
한 무리의 에스멱등성 교환 세미그룹입니다.
결론
결론적으로, 순서집합이론은 G에 의해 창시되었다는 점을 알 수 있다. 선창자 . 1883년에 그는 완전 순서 집합과 서수라는 개념을 도입했고, 1895년에는 순서 집합과 서수 유형의 개념을 도입했습니다. 1906-07년 S.O. 샤투노프스키 방향 세트의 정의(Shatunovsky - 위치된 복합체)와 방향 세트에 대한 한계(미국 수학자 E에 의해)를 공식화했습니다. . G. Moore와 G. L. Smith는 Shatunovsky와 독립적으로 이러한 동일한 개념을 고려했지만 훨씬 나중에 1922년에 고려했습니다. 부분적으로 정렬된 집합의 일반적인 개념은 F에 속합니다. 하우스도르프 (1914).
따라서 부분 대수적 행동 이론은 완전한 행동 이론의 연속이며 대수학 외부의 응용 프로그램에 대한 아이디어 및 경험과 관련된 성과를 활용하여 여전히 광범위한 분야에서 독립적인 방향으로 형성되어야 합니다. 현대 대수학.
현재까지 부분 동작 연구에 특별히 전념하는 수백 개의 작품이 출판되었습니다. 연구 과정에서 특정 부분 작업이 발생하는 작품의 수는 추정할 수 없습니다. 부분 동작은 일부 일반 대수학 작업에서도 논의되지만 항상 매우 간략합니다.
서지
A.K. 클리포드, G. 프레스턴. 반군의 대수학 이론. 1972.
그라이처. 격자의 일반 이론.-284 p.
코제브니코프 O.B. 부분적으로 주문된 부분 그룹형 세트, 모스크바, 1998. - 680년대.
E.S. 랴핀. 세미그룹. 모스크바: Fizmat, 1960.- 354 p.
리아핀 E.S. 대수학과 정수론. 모스크바, 1980.-589 p.
상위 집합을 사용하는 연산을 도입할 때 집합 자체가 자체 내부 구조를 가질 수 있다는 점을 고려하지 않았습니다. 즉, 집합의 모든 요소가 동일하다고 가정했습니다. 그러나 수학에서 이러한 "순수한" 집합은 거의 관심이 없으며, 요소들 사이에 특정 요소가 있는 집합이 훨씬 더 자주 연구됩니다. 관계 . 집합의 요소들 사이의 가장 중요한 관계 중 하나는 다음과 같습니다. 순서 관계 .
주문 관계 일반적으로 집합 요소의 "순서" 순서를 설정하는 것 이상입니다.
허락하다 ㅏ- 어떤 세트, 세트 ㅏ~라고 불리는 주문한 세트 , 해당 요소 중 두 개가 있는 경우 에, 비다음 중 하나가 설치되어 있습니다. 주문 관계 :
또는 a ≤ b (ㅏ초과하지 않습니다 비),
또는 b ≤ a (비초과하지 않습니다 ㅏ),
다음과 같은 속성을 가지고 있습니다:
1) 반사성:
그 어떤 요소도 그 자체보다 우월하지 않습니다.
2) 비대칭성:
만약에 ㅏ초과하지 않습니다 비, ㅏ 비초과하지 않습니다 ㅏ, 요소 ㅏ그리고 비일치;
3) 이행성:
만약에 ㅏ초과하지 않습니다 비, ㅏ 비초과하지 않습니다 와 함께, 저것 ㅏ초과하지 않습니다 와 함께.
빈 세트는 주문한 것으로 간주되기로 합의되었습니다. 위의 순서 집합 정의에서 요소는 모든 성격의 객체가 될 수 있으며 기호 ≤는 "초과하지 않음"을 의미합니다. 이 기호(“작거나 같음” 기호)는 집합의 요소가 다음과 같은 경우에 일반적인 읽기와 의미를 얻습니다. ㅏ- 숫자.
동일한 요소로 구성되지만 순서 관계가 다른 두 집합은 서로 다른 순서 집합으로 간주됩니다.
동일한 세트를 다른 방식으로 주문할 수 있으므로 다른 순서의 세트를 얻을 수 있습니다.
예
요소가 다양한 볼록 다각형(삼각형, 사변형, 오각형, 육각형 등)인 집합을 생각해 보세요. 주어진 정렬되지 않은 집합에서 순서 집합을 구성하는 한 가지 방법은 예를 들어 삼각형을 순서 집합의 첫 번째 요소로 사용하는 것입니다. , 두 번째는 사각형, 세 번째는 오각형 등입니다. 즉, 다각형의 내각 수가 증가하는 순서로 집합을 배열합니다. 다각형 집합은 다른 방법으로 정렬할 수 있습니다. 예를 들어 면적이 큰 순서대로 다각형을 나열하면 가장 작은 면적을 가진 다각형을 첫 번째로 선택한 경우 전체 면적을 초과하지 않는 면적을 가진 다각형을 선택합니다. 이미 선택된 것을 제외한 나머지는 두 번째로 선택됩니다.
순서가 지정된(유한 또는 셀 수 있는) 집합은 종종 해당 요소를 괄호 안에 지정된 순서로 배열하여 작성됩니다.
예
표기법 (1; 2; 3)과 (2; 1; 3)은 동일한 집합(1; 2; 3)을 두 가지 다른 방식으로 정렬하여 얻을 수 있는 서로 다른 유한 순서 집합을 나타냅니다.
셀 수 있는 순서 집합을 작성하려면 순서 집합의 첫 번째 요소를 표시하고 후속 요소의 배열 순서(규칙)를 표시해야 합니다.