그룹을 순환 하위 그룹으로 분해합니다. 순환 하위 그룹

• 1. 그룹 지덧셈 연산이 있는 정수.
• 2. 모든 복합 차수의 그룹 N곱셈 연산으로 하나에서. 순환수는 동형이므로

그룹은 순환적이며 요소는 생성 중입니다.

우리는 순환 그룹이 유한할 수도 있고 무한할 수도 있음을 알 수 있습니다.

3. 임의의 그룹과 임의의 요소라 하자. 집합은 생성 요소 g를 갖는 순환 그룹입니다. g 원소에 의해 생성된 순환 부분군이라 불리며, 그 차수는 g 원소의 차수이다. 라그랑주의 정리에 따르면 요소의 순서는 그룹 순서의 약수입니다. 표시하다

다음 공식에 따라 작동합니다.

는 분명히 동형이며 그 이미지는 다음과 일치합니다. 그룹이 다음과 같은 경우에만 매핑이 전사적입니다. G- 순환적이고 g그 구성 요소. 이 경우 순환 그룹에 대한 표준 동형을 호출합니다. G선택한 생성기로 g.

이 경우 동형 정리를 적용하면 순환 그룹의 중요한 속성을 얻을 수 있습니다. 모든 순환 그룹은 그룹의 동형 이미지입니다. 지 .

어느 그룹에서나 G결정될 수 있다 도정수 표시기가 있는 요소:

해당 부동산은

이는 다음과 같은 경우에 분명합니다. . 때의 경우를 생각해 보자. . 그 다음에

나머지 경우도 유사하게 처리됩니다.

(6)으로부터 다음과 같다.

게다가 정의에 따르면. 따라서 요소의 힘은 그룹의 하위 그룹을 형성합니다. G.그것은이라고 요소에 의해 생성된 순환 하위 그룹,그리고 다음과 같이 표시됩니다. .

근본적으로 다른 두 가지 경우가 가능합니다. 요소의 모든 정도가 다르거나 그렇지 않습니다. 첫 번째 경우 하위 그룹은 무한합니다. 두 번째 경우를 좀 더 자세히 살펴보겠습니다.

허락하다 ,; 그 다음에. 가장 작은 자연수 티,이 경우에는 가 호출됩니다. 순서대로요소는 다음과 같이 표시됩니다. .

문장 1. 만약에 , 저것

증거. 1) 나누기 중~에 피나머지:

그러면 순서의 정의에 따라

이전으로 인해

결과. mo 부분군에 n개의 요소가 포함된 경우.

증거.정말,

나열된 요소는 모두 다릅니다.

그러한 자연적인 현상이 없는 경우 티,(즉, 위에서 설명한 첫 번째 사례가 발생함) . 참고하세요; 그룹의 다른 모든 요소의 차수는 1보다 큽니다.

덧셈 그룹에서는 요소의 거듭제곱에 대해 말하는 것이 아닙니다. , 그리고 그에 대해 배수,이는 다음으로 표시됩니다. . 이에 따라 첨가군 원소의 순서는 다음과 같다. G-- 가장 작은 자연수 티(존재하는 경우)

예 1.필드의 특징은 추가 그룹에 있는 0이 아닌 요소의 순서입니다.

실시예 2. 유한군에서는 모든 원소의 순서가 유한하다는 것이 명백합니다. 그룹 요소의 순서가 어떻게 계산되는지 보여 드리겠습니다. 주기길이는 순환적으로 재배열되는 경우로 표시됩니다.

다른 모든 숫자는 그대로 둡니다. 분명히, 사이클 길이의 차수는 다음과 같습니다. 아르 자형.사이클이 호출됩니다. 독립적인,실제로 재배열된 숫자 중에 공통된 숫자가 없으면; 이 경우 . 모든 치환은 독립적인 순환의 산물로 고유하게 분해될 수 있습니다. 예를 들어,

대체 작업이 화살표로 표시되는 그림에 명확하게 표시되어 있습니다. 치환이 독립적인 길이의 순환의 곱으로 분해되는 경우 , 저것

예시 3.군에서 복소수 c의 차수는 유한하며 이 숫자가 어떤 단위 거듭제곱의 근인 경우에만 유한하며, 이는 a가 c에 상응하는 경우에만 발생합니다. 즉 .

실시예 4.평면의 운동군에서 유한차수 요소를 찾아보자. 하자. 어떤 지점에서든

움직임에 따라 주기적으로 재배열됨 , 그래서 그들의 무게중심은 영형상대적으로 움직이지 않습니다. 따라서 - 점 주위의 시야각만큼 회전하거나 영형, 또는 통과하는 일부 직선에 대한 반사 영형.

실시예 5. 행렬의 차수를 구해보자

그룹의 요소로. 우리는

그래서. 물론 이 예는 특별히 선택된 것입니다. 무작위로 선택된 행렬의 차수가 유한할 확률은 0입니다.

제안 2. 만약에 , 저것

증거.허락하다

그래서. 우리는

따라서, .

정의 1 . 그룹 G~라고 불리는 주기적,그러한 요소가 존재하는 경우 , 무엇 . 그러한 요소를 호출합니다. 생성 요소여러 떼 G.

실시예 6.정수의 덧셈 그룹은 요소 1에 의해 생성되므로 순환적입니다.

실시예 7.덧셈 모듈로 공제 그룹 N요소에 의해 생성되기 때문에 순환적입니다.

실시예 8. 1의 복소수 n제곱근의 곱셈 그룹은 순환적입니다. 실제로 이 뿌리는 숫자입니다.

분명하다 . 따라서 그룹은 요소에 의해 생성됩니다.

무한 순환 그룹에서 유일한 생성 요소는 and라는 것을 쉽게 알 수 있습니다. 따라서 그룹 Z에서 유일한 생성 요소는 1과 -1입니다.

최종 그룹의 요소 수 G그녀에게 전화했다 순서대로로 표시됩니다. 유한 순환 그룹의 차수는 생성 요소의 차수와 같습니다. 따라서 명제 2로부터 다음과 같다.

문장 3 . 순환그룹요소 n차가 생성되는 경우는 다음과 같습니다.

실시예 9.그룹의 생성 요소를 호출합니다. 원시 뿌리 N 1의 제곱. 이것이 종의 뿌리이다 , 어디. 예를 들어, 1에서 12차의 기본 근은 다음과 같습니다.

순환 그룹은 상상할 수 있는 가장 간단한 그룹입니다. (특히, 그들은 아벨리안입니다.) 다음 정리는 그들의 완전한 설명을 제공합니다.

정리 1. 모든 무한 순환 그룹은 그룹과 동형입니다. n차의 모든 유한 순환 그룹은 그룹과 동형입니다.

증거. 가 무한 순환 그룹인 경우 공식(4)에 따라 매핑은 동형입니다.

유한 순환 순서 그룹이라고 하자 피.매핑을 고려해보세요

그러면 매핑이 잘 정의되고 전단적입니다. 재산

동일한 공식 (1)에서 따릅니다. 따라서 이는 동형이다.

정리가 입증되었습니다.

그룹의 구조를 이해하려면 하위 그룹에 대한 지식이 중요한 역할을 합니다. 순환 그룹의 모든 하위 그룹은 쉽게 설명할 수 있습니다.

정리 2. 1) 순환 그룹의 모든 하위 그룹은 순환적입니다.

2) 순환 순서 그룹에서 N 부분군 분할 순서 N 그리고 숫자의 제수 q에 대해 N q차의 부분군이 정확히 하나 있습니다.

증거. 1) 순환 그룹이라고 하자. N-- 해당 하위 그룹은 (ID 하위 그룹은 분명히 순환적입니다.) 다른 하위 그룹입니다. . 허락하다 티-- 자연수 중 가장 작은 수 . 그것을 증명해보자 . 허락하다 . 나누어보자 에게~에 티나머지:

그렇다면 수의 정의 덕분에 티그것은 그에 따른다. 그러므로, .

2) 경우 , 그런 다음 이전 추론이 적용됩니다(이 경우 ), 것을 보여줍니다 . 여기서

그리고 N순서의 유일한 하위 그룹입니다. 큐그룹에서 G.다음 경우에는 뒤로 큐-- 임의의 숫자 제수 피그리고 , 그런 다음 하위 집합 N,등식(9)으로 정의되며 순서의 하위 그룹입니다. 큐. 정리가 입증되었습니다.

결과 . 소수 순서의 순환 그룹에서 중요하지 않은 하위 그룹은 전체 그룹과 일치합니다.

실시예 10.그룹에서 모든 하위 그룹은 where 형식을 갖습니다.

실시예 11. 1의 n번째 근 그룹에서 모든 하위 그룹은 근의 그룹입니다. 큐- 1급, 여기서.

모든 요소가 동일한 요소의 거듭제곱인 경우 그룹 O를 순환 그룹이라고 합니다. 이 요소를 순환 그룹 O의 생성자라고 합니다. 모든 순환 그룹은 분명히 아벨 그룹입니다.

순환 그룹은 예를 들어 덧셈에 의한 정수 그룹입니다. 이 그룹을 기호 2로 표시합니다. 생성자는 숫자 1(및 숫자 - 1)입니다. 순환군은 단 하나의 원소(하나)로만 구성된 군이기도 합니다.

임의의 그룹 O에서 임의의 요소 g의 거듭제곱은 생성기 g를 갖는 순환 하위 그룹을 형성합니다. 이 하위 그룹의 순서는 분명히 요소 g의 순서와 일치합니다. 여기에서 Lagrange의 정리(32페이지 참조)에 따라 그룹의 모든 요소의 순서가 그룹의 순서를 나눕니다(유한 그룹의 모든 요소는 유한 순서의 요소라는 점에 유의하세요).

그러므로 유한한 질서군의 임의의 요소 g에 대해 등식은 성립합니다

이 간단한 설명은 종종 도움이 됩니다.

실제로 그룹 O가 순환이고 생성자인 경우 요소의 차수는 와 같습니다. 반대로, 그룹 O에 질서 요소가 있는 경우 이 요소의 힘 중에는 다른 요소가 있으므로 이러한 힘은 그룹 O 전체를 소진시킵니다.

그러므로 우리는 순환 그룹이 여러 개의 서로 다른 생성자를 가질 수 있음을 알 수 있습니다(즉, 해당 차수의 모든 요소가 생성자입니다).

일. 임의의 소수차군이 순환군임을 증명하십시오.

일. 순서의 순환 그룹이 정확히 생성자를 가지고 있음을 증명하십시오. 여기서 는 보다 작고 서로소인 양수의 수입니다.

순서와 함께 모든 유한 그룹은 모든 요소 순서의 최소 공배수인 숫자에 귀속될 수 있습니다.

일. 임의의 유한 그룹 O에 대해 숫자가 그룹의 순서를 나눈다는 것을 증명하십시오.

분명히 순환 그룹의 경우 번호는 순서와 일치합니다. 그 반대는 일반적으로 사실이 아닙니다. 그럼에도 불구하고, 유한 아벨 그룹 클래스에서 순환 그룹을 특징짓는 다음 진술은 유지됩니다:

숫자가 그 차수와 동일한 유한 아벨 그룹 O는 순환 그룹입니다.

과연, 하자

유한 아벨 그룹 O의 모든 가능한 비단위 요소의 차수는 차수이며 최소 공배수라고 합니다.

숫자를 다양한 소수의 거듭제곱의 곱으로 확장해 보겠습니다.

Let 숫자는 정의에 따라 숫자(1)의 최소 공배수이므로 이 숫자 중에서 정확히 나누어지는 숫자가 하나 이상 있습니다. 즉, 형식은 입니다. 여기서 b는 와 서로소입니다. 이 숫자를 요소 g의 순서로 둡니다. 그런 다음 요소에는 순서가 있습니다(29페이지의 추론 1 참조).

따라서 그룹 O에 속한 사람에게는 적어도 하나의 순서 요소가 있습니다. 각 요소에 대해 하나의 요소를 선택하면 해당 제품을 고려합니다. 29-30페이지의 입증된 진술에 따르면 이 제품의 주문은 주문 제품과 동일합니다. 즉, 수량과 동일합니다. 조건에 따른 마지막 수는 와 같으므로 그룹 O에 n차 원소가 있음이 증명됩니다. 결과적으로 이 그룹은 순환 그룹입니다.

이제 O를 생성기가 있는 임의의 순환 그룹으로 만들고 H를 해당 하위 그룹의 일부로 둡니다. 하위 그룹 H의 모든 요소는 그룹 O의 요소이므로 형식으로 표시될 수 있습니다. 여기서 d는 양수 또는 음수 정수입니다(일반적으로 말해서 고유하게 정의되지 않습니다). 요소가 하위 그룹 H에 속하는 모든 양수 세트를 고려해 보겠습니다. 이 세트는 비어 있지 않기 때문에(왜?) 하위 그룹 H의 모든 요소 h는 a입니다. 요소의 힘. 실제로 정의에 따르면 다음과 같은 숫자 d가 있습니다(숫자 d는 음수가 될 수 있음). (나머지와 함께) 숫자 d를 숫자로 나눕니다.

이므로 숫자가 최소이므로 나머지는 0과 같아야 합니다. 따라서, .

이는 해당 원소가 그룹 H의 생성자임을 증명합니다. 즉, 그룹 H가 순환적이라는 것을 증명합니다. 따라서 순환 그룹의 모든 하위 그룹은 순환 그룹입니다.

일. 숫자가 부분군 H의 인덱스와 동일하므로 그룹 O의 순서를 나눕니다(그룹 O가 유한한 경우).

또한 그룹 O에 있는 유한 순환 그룹 Q의 임의의 차수 제수에 대해 단 하나의 차수 하위 그룹 H(즉, 생성자가 있는 하위 그룹)가 있다는 점에 유의하십시오.

이는 유한 순환 그룹이 단순하다면 그 순서가 소수(또는 단일)라는 것을 의미합니다.

마지막으로 순환 그룹 Q의 모든 몫 그룹(따라서 모든 동형 이미지)은 순환 그룹이라는 점에 유의하세요.

이를 증명하려면 그룹의 생성자가 그룹 O의 생성자를 포함하는 공동세트라는 점을 알아두는 것으로 충분합니다.

특히, 정수 그룹 Z의 임의의 몫 그룹은 순환 그룹입니다. 이러한 순환 그룹을 더 자세히 연구해 보겠습니다.

그룹 Z는 아벨식이므로 해당 하위 그룹 H 중 하나는 정규 약수입니다. 반면, 위에서 입증된 바에 따르면 하위 그룹 H는 순환 그룹입니다. 사소한 하위 그룹에 의한 몫 그룹이 우리에게 알려져 있으므로 하위 그룹 H가 중요하지 않은 것으로 간주할 수 있습니다. 숫자를 하위 그룹 H의 생성자로 둡니다. 이 숫자는 양수(왜?)이므로 1보다 크다고 생각할 수 있습니다.

하위 그룹 N은 분명히 로 나눌 수 있는 모든 정수로 구성됩니다. 따라서 두 숫자는 차이가 로 나누어지는 경우, 즉 모듈러스에서 비교할 수 있는 경우에만 하위 그룹 H의 동일한 coset에 속합니다(과정, p. 277 참조). 따라서 하위 그룹 H의 coset은 모듈러스에서 서로 비교할 수 있는 숫자 클래스에 지나지 않습니다.

즉, 하위 그룹 H에 의한 그룹 Z의 몫 그룹은 모듈러스에서 서로 비교할 수 있는 숫자 클래스의 그룹(추가에 의한)입니다. 우리는 이 그룹을 생성자로 숫자 1을 포함하는 클래스로 표시하겠습니다.

모든 순환 그룹은 그룹 Z(무한인 경우) 또는 그룹 중 하나(순서가 유한한 경우)와 동형인 것으로 나타났습니다.

실제로, 그룹 O의 생성자가 되자. 그룹 2에서 그룹 O로의 매핑을 정의하고,

정의 1.22. 허락하다 아르 자형- 소수. 그룹 G~라고 불리는 p 그룹,그룹의 각 요소의 순서가 소수의 거듭제곱과 같은 경우 아르 자형.

정의 1.23. Silovsky r-하위 그룹유한 그룹 G주어진 그룹의 p-하위 그룹은 주어진 그룹의 더 큰 p-하위 그룹에 포함되지 않은 그룹이라고 합니다.

정리 1.25. 유한 Abelian 그룹은 Sylow p-하위 그룹의 직접 곱과 같습니다.

증거.유한한 아벨 그룹을 고려해보세요 G차수 n이고 n = R" ! 피 2 2 피* 1 k - 숫자 확장 피서로 다른 소수의 거듭제곱의 곱으로 변환됩니다. 1인용, 2,..., 에게 Sylow r 하위 그룹인 I와 모든 I에 의해 생성된 하위 그룹인 I로 표시하겠습니다. 을 위한; * 나. I, n I, = (e)임을 증명하는 것은 쉽습니다. 그러므로, 나는 = (N 1,H 2,...,N k) = N 1 xN 2 x...xN k. g e 요소가 있다고 가정합니다. G, g g Y와 같습니다. 라그랑주 정리의 추론 2에 따라 |G| : |g|. 그것은 다음과 같습니다

|지| = pf"pjf 2 PK k > g D e Pi - 나는 i = 1, 2인 경우 D 에게.정리 1.23의 결과에 따르면 요소 g 1이 있습니다. g2, ..., gk이자형 G,= x x... x (g k) 및 | i = 1, 2, ..., /s인 경우 g,-1 = pf 1입니다. 일부 g에 대해 g, g I를 가정하면 p-하위군을 얻습니다. (미군 병사,나,) 에프이는 Sylow p-하위 그룹의 정의와 모순됩니다. 따라서 임의의 i = 1, 2,..., /eg, e에 대해 이자형나는 어디서 왔는가 ge N.따라서, H = G그리고 정리가 증명되었습니다.

정리 1.26. 유한 아벨 p-그룹은 순환 하위 그룹의 직접 곱과 같습니다.

증거.유한한 아벨 p-그룹이 주어지자 G.그 안에 있는 요소를 선택해 봅시다 ㅏ최대 차수 p"이고, H를 (a) n H = (e)를 만족하는 최대 부분군으로 둡니다. 그러면 (a, R) = (a) x R. Gj = (a) x R로 표시하겠습니다.

그런 척하자 G Ф G y G x 에 속하지 않는 모든 요소 중에서 최소 차수 рР의 요소 g를 선택합니다. gPg라고 가정하면 Gb그 이후 |gp| = рР- 1, 요소 g의 선택과 모순됩니다. 결과적으로, gP e G x = (a) x I이고 정수 /c와 요소가 있습니다. 시간 e I, gP = a fc /i. 여기에서 에이케이= gp/i -1 . gcd(/c, p) = 1이면 gcd(/c, p°9 = 1이고 /c + p a v = 1. 그런 다음

최대성으로 인해 | a = 파 gP가 있습니다." = 이자형그리고 전자 멀리“ _1 = = (gP"/i _u)P“ _1 =gP“h~ u P a ~ 1 =/i _u p““ 1 e I, 이는 조건 (a) p I = (e)와 모순됩니다. 따라서 /s: r입니다.

허락하다 에게= r/s x. 그럼 AP FC I = ak =gPh~ 1 ,어디 h = a~P k igP == (a_fcig)P. gj=a _/c ig로 표시하겠습니다. 그럼 여자친구 -ㅎ. gj =ar fc "geG]라고 가정합니다. =(a)xN,그런 다음 g е G x 이며 이는 요소 g의 선택과 모순됩니다. 결과적으로 g x g G x 이고 따라서 gj g I입니다. I는 다음 조건을 갖는 최대 부분군이므로 (ㅏ) n I = (e), 그러면 (a) n (g x , I) ^ (e). 따라서 티, 피이자형 지그리고 요소 hj e I, e * 에= 여자친구

가정하면 p:p,top=pp 1어느 정도 n,eZ그리고 e g a m = gf/ij = gf ni /ii e I, 이는 조건 (a) n I = = (e)와 모순됩니다. 따라서 GCD(n,p) = 1 Hgf =a m /if 1 입니다. |g x | =pY이면 GCD(n, p'O = 1이고 u x , v x g가 존재합니다. 지, gsh x -t-pYv x = 1입니다. 따라서 g, =gf u i + P Yv i = gf Ul gf Yvi = gf Ul =(a m /i 1 - 1) u i 또 다시 우리는 모순에 부딪혔습니다. 따라서, 그것을 받아들이는 것이 남아있다 G - (a) x R. 이제 하위 그룹 R에서 우리는 유사하게 직접 요소에 의해 최대값의 순환 하위 그룹을 선택합니다. N그룹의 분해를 얻을 때까지 순서 등 G순환 하위 그룹의 직접 곱으로 변환됩니다. 정리가 입증되었습니다.

정리 1.27. 유한 아벨 그룹은 순환 p-하위 그룹의 직접 곱과 같습니다.

증명은 정리 1.25와 1.26을 따릅니다.

그룹에 관한 장을 마무리하기 위해 그룹은 하나의 이진 연산(결합적)을 갖는 집합으로 간주될 수 있으며 모든 요소에 대해 간주될 수 있습니다. ㅏ그리고 코메르상트방정식은 유일하게 풀 수 있다 도끼 = b uua-b.그룹에 대한 이러한 견해는 두 가지 일반화로 이어집니다. 한편으로는 연산의 연관성의 의미를 연구하는 데 집중할 수 있으며, 이는 하나의 연관 연산이 있는 집합으로서의 반그룹 개념으로 이어집니다(작업 참조). 반면에 연관성 요구 사항을 무시할 수 있으며 이는 위에서 언급한 방정식을 고유하게 풀 수 있는 하나의 이진 연산이 있는 집합으로 준군(quasigroup) 개념으로 이어집니다. ID가 있는 준그룹을 루프라고 합니다(작업 참조). 반군 이론과 준군 이론은 독립적으로 발전하는 두 가지 실체 이론으로 바뀌었습니다. "최대 가능한 최소" 볼륨 때문에 본문에서는 언급하지 않습니다.

유한 그룹

그룹 (세미 그룹)이라고합니다 궁극적인, 유한한 수의 요소로 구성된 경우. 유한 그룹의 요소 수를 순서대로. 유한 그룹의 모든 하위 그룹은 유한합니다. 그리고 만약에 NÍ G– 그룹의 하위 그룹 G, 그런 다음 모든 요소에 대해 ㅏÎ G한 무리의 ~에={엑스: 엑스=시간◦ㅏ, 어떠한 것도 시간Î 시간) 라고 한다 왼쪽 코셋을 위한 G비교적 N. 요소의 개수가 분명합니다. ~에순서와 동일 N. (정의는 비슷하게 공식화될 수 있습니다. 엔– 관련하여 올바른 비용 N).

중요한 것은 모든 하위 그룹에 대해 N여러 떼 G에 따라 두 개의 왼쪽(오른쪽) 비용 세트 N일치하거나 교차하지 않으므로 모든 그룹은 다음과 같이 분리된 왼쪽(오른쪽) 코세트의 결합으로 표시될 수 있습니다. N.

실제로 두 클래스의 경우 해당 없음그리고 Hb, 어디 ㅏ, 비Î G, 공통 요소가 있음 엑스, 그럼 있어요 티Î 시간그렇게 엑스 = 티◦ㅏ. 그리고 왼쪽 클래스는 엑스: N x={와이: 와이=시간◦엑스= 시간◦(티◦ㅏ) = (시간◦티)◦ㅏ} Í 하, 하지만 ㅏ=티 ‑1 ◦엑스그리고 해당 없음={와이: 와이=시간◦ㅏ= 시간◦(티 ‑1 ◦엑스) = (시간◦티 ‑1)◦엑스} Í Hx. 여기에서 N x=해당 없음. 마찬가지로, 다음과 같이 표시될 수 있습니다. N x=Nb. 따라서 해당 없음=Nb. 수업이 해당 없음그리고 Hb공통 요소가 없으면 교차하지 않습니다.

그룹을 왼쪽(오른쪽) 코세트로 분할하는 것을 다음과 같이 부릅니다. 그룹을 하위 그룹 H로 분해.

정리 2.6.1. 유한 그룹의 순서는 해당 하위 그룹의 순서로 나뉩니다.

증거. 왜냐하면 G은 유한 그룹이므로 해당 하위 그룹도 마찬가지입니다. N유한한 순서를 가지고 있습니다. 그룹을 하위 그룹으로 분해하는 것을 고려하십시오. N. 이 분해의 각 coset에서 요소의 수는 동일하고 순서와 같습니다. N. 그러므로 만일 N– 단체 주문 G, ㅏ 케이– 하위 그룹 순서 N, 저것 N=중× 케이, 어디 중– 다음에 따른 비용의 수 N그룹 분해에서 G.

어떤 요소에 대해서라면 ㅏÎ G Þ 해당 없음=엔(하위군별 왼쪽 및 오른쪽 비용 세트 N일치) 그러면 N~라고 불리는 일반 제수여러 떼 G.

성명: 만약에 G는 교환 그룹이고 그 하위 그룹은 다음과 같습니다. N정규 제수이다 G.

그룹(반그룹) 내 작업의 연관 특성으로 인해 세 가지 요소의 "산물"에 대해 이야기할 수 있습니다( ㅏ◦비◦씨) =(ㅏ◦비)◦씨 = ㅏ◦(비◦씨). 마찬가지로, 복잡한 제품의 개념은 다음과 같습니다. N강요: ㅏ 1 ◦ㅏ 2 ◦…◦그리고 n = ◦ 그리고 n = = ◦.

일하다 N그룹의 동일한 요소를 호출합니다. 요소 정도지정되어 있으며 앤=. 이 정의는 모든 자연계에 적합합니다. N. 모든 그룹 요소의 경우 ㅏÎ G나타내다 ㅏ 0 =이자형– 그룹의 중립 요소 G. 그리고 요소의 부정적인 힘 ㅏ ‑ N로써 정의 된 ( ㅏ ‑1)N또는 ( 앤) -1 , 여기서 ㅏ‑1 – 반대 요소 ㅏ. 두 정의 모두 ㅏ ‑ N일치하다, 왜냐면 앤◦(ㅏ ‑1)N = (ㅏ◦ㅏ◦ ¼◦ ㅏ)◦(ㅏ ‑1 ◦ㅏ-1◦ ¼◦ ㅏ ‑1) = ㅏ◦ㅏ◦¼◦( ㅏ◦ㅏ ‑1)◦ㅏ-1 ◦¼◦ ㅏ ‑1 =엔 엔 =이자형. 따라서, ( ㅏ ‑1)N = (앤) ‑1 .

첨가물 그룹에서 요소의 정도에 대한 아날로그는 다음과 같습니다. 앤~ 할 것이다 N그 배수는 일반적으로 표시됩니다. 나, 작품으로 간주해서는 안 됩니다. N~에 ㅏ, 왜냐하면 Nℕ 그리고 아마도 NÏ G. 저것. 나⇋, 어디서 NОℕ 및 0 ㅏ=이자형⇋0 및 (- N)ㅏ = ‑(나) = N(‑ㅏ) 자연의 경우 N, 어디 (- ㅏ) – 반대 ㅏÎ G.

임의의 정수에 대해 선택한 표기법을 사용하면 쉽게 알 수 있습니다. 중그리고 N그리고 누구에게나 ㅏÎ G알려진 속성이 충족됩니다. ㅏ) 곱셈 표기법 앤 ◦오전 = 앤 + 엠그리고 ( 앤)중 = nm; 비) 덧셈 표기법 나+엄마 = (N+중)ㅏ그리고 N(엄마)=(nm)ㅏ.

그룹의 하위 집합을 고려하십시오. G, 임의 요소의 모든 거듭제곱으로 구성됨 gÎ G. 표기해보자 AG. 따라서, AG ={g 0 , g 1 , g ‑1 , g 2 , g-2,¼). 확실히, AG그룹의 하위 그룹입니다. G, 왜냐하면 어떤 요소에 대해서도 엑스,~에Î AG다음과 같습니다 ( 엑스◦~에)Î AG및 모든 요소에 대해 엑스Î AG있을 것이다 엑스-1 О AG, 게다가, g 0 =이자형Î AG.

하급 집단 AG~라고 불리는 순환 하위 그룹여러 떼 G, 요소에 의해 생성됨 g. 이 부분군은 그 자체인 경우에도 항상 교환 가능합니다. G교환적이지 않음. 그룹의 경우 G순환 하위 그룹 중 하나와 일치하면 호출됩니다. 순환 그룹, 요소에 의해 생성됨 g.

요소의 모든 힘이 g다르다면 그 그룹은 G~라고 불리는 끝없는순환 그룹 및 요소 g- 요소 무한한 질서.

예를 들어 순환 그룹의 요소 중에 동일한 요소가 있는 경우 지 케이=gm~에 케이>중, 저것 g k-m=이자형; 그리고, 지정 km~을 통해 N, 우리는 얻는다 g n=이자형, NÎℕ.

가장 낮은 자연 지표 N그렇게 g n=이자형, 라고 불리는 요소 g의 순서및 요소 자체 g~라고 불리는 유한 차수의 요소.

이러한 요소는 항상 유한군에 속하지만 무한군에 속할 수도 있습니다.

모든 요소가 유한한 순서를 갖는 그룹을 그룹이라고 합니다. 주기적.

유한군의 모든 요소는 유한한 순서를 가지므로 모든 유한군은 주기적입니다. 더욱이, 유한 그룹의 모든 순환 하위 그룹은 유한하고 유한 순서의 모든 요소가 주기이므로 주기적입니다. N동일한 순서의 순환 그룹을 생성합니다. N, 요소로 구성됨( g 0 , g 1 , g 2 ¼, g n-1 ). 실제로 요소의 수가 일부와 같다면 케이<N, 그 다음에 지 케이=이자형=g n, 이는 선택과 모순됩니다. N, 최소한의 정도로 g n=이자형; 반대편에는 케이>N또한 불가능하기 때문에 이 경우에는 동일한 요소가 있을 것입니다.

성명: 1) 모든 학위 g 0 , g 1 , g 2 ¼, g n-1은 다르기 때문에 예를 들어, 동등하다면 지 나=gj (나>제이), 저것 지 나는 - j=이자형, 하지만 ( 나‑제이)<N, 그리고 정의에 따르면 N -가장 작은 정도는 다음과 같습니다 g n=이자형.

2) 기타 학위 g, 양수 또는 음수, 요소 중 하나와 동일 g 0 , g 1 , g 2 ¼, g n-1, 왜냐면 임의의 정수 케이다음 표현식으로 표현할 수 있습니다. 케이=nq+아르 자형, 어디 큐,아르 자형Îℤ 및 0£ 아르 자형<N, 아르 자형– 나머지 및 지 케이=g nq + r= gnq° 그르= (g n)큐° 그르= 전자 q° 그르= 그르.

1) 모든 그룹에는 고유한 1차 요소가 있습니다( 이자형), 하나의 요소로 구성된 1차 순환 하위 그룹을 생성합니다. 이자형.

2) 대체 그룹을 고려하십시오. 에스 3, 요소로 구성: , , , , . 주문하다 에스 3=6. 요소 순서 ㅏ는 2와 같습니다. 왜냐하면 . 요소 순서 비는 또한 2와 같습니다. 왜냐하면 . 요소 순서 와 함께은 3과 같습니다. 왜냐하면 그리고 . 요소 순서 에프은 또한 3과 같습니다. 왜냐하면 그리고 . 그리고 드디어 주문 디는 2와 같습니다. 왜냐하면 . 따라서 순환 부분군 에스 3 요소에 의해 생성됨 이자형, ㅏ, 비, 디, 씨그리고 에프, 각각 같음: ( 이자형}, {이자형, ㅏ}, {이자형, 비}, {이자형, 디}, {이자형, 씨, 에프) 그리고 ( 이자형, 에프, 씨), 여기서 마지막 두 개가 일치합니다. 또한 각 순환 하위 그룹의 순서는 나머지 없이 그룹의 순서를 나눕니다. 다음 정리는 참입니다.

정리 2.7.1. (라그랑주) 유한 그룹의 순서는 해당 요소의 순서로 나뉩니다(요소의 순서와 이에 의해 생성된 순환 하위 그룹의 순서가 일치하기 때문).

또한 유한군의 모든 요소가 군의 질서로 거듭제곱될 때 군의 단위를 제공한다는 결론이 나옵니다. (왜냐하면 gm=gk=에케이=이자형, 어디 중– 그룹 주문, N– 요소 순서 g, 케이- 정수).

그룹 S에는 3개의 하위 그룹이 있습니다. N={이자형, 씨, 에프)는 정규 약수이지만 2차 부분군은 정규 약수가 아닙니다. 이는 왼쪽 및 오른쪽 코셋을 찾아 쉽게 확인할 수 있습니다. N각 그룹 요소에 대해. 예를 들어 요소의 경우 ㅏ왼쪽 코셋 ~에={이자형 ㅇ, 와 함께◦ ㅏ, 에프◦ ㅏ} = {ㅏ, 비, 디) 그리고 오른쪽 coset 엔={ㅇ ㅇ ㅇ, ㅏ◦ 씨, ㅏ◦ 에프} = {ㅏ, 디, 비) 일치합니다. 다른 모든 요소에도 마찬가지로 에스 3 .

3) 덧셈이 포함된 모든 정수의 집합은 생성 요소 1(또는 –1)을 갖는 무한 순환 그룹을 형성합니다. 모든 정수는 1의 배수입니다.

4) 뿌리 세트를 고려하십시오 N‑화합의 힘: 엔=. 이 집합은 근의 곱셈 연산에 관한 집합입니다. 실제로 두 요소의 곱은 에케이그리고 나~에서 엔, 어디 케이, 중 £ N-1도 요소가 됩니다. 엔, 이후 = = , 여기서 아르 자형=(k+m) 모드 N그리고 아르 자형 £ N-1; 곱셈 연관, 중립 요소 이자형=이자형 0 =1 및 모든 요소에 대해 에케이반전이 있고 . 이 그룹은 순환적이며 생성 요소는 기본 루트입니다. 모든 힘이 구별된다는 것을 쉽게 알 수 있습니다. 케이³ N뿌리가 반복되기 시작합니다. 복소 평면에서 뿌리는 단위 반경의 원에 위치하며 이를 다음과 같이 나눕니다. N그림 11과 같이 호가 동일합니다.

마지막 두 예는 본질적으로 모든 순환 그룹을 소진합니다. 다음 정리가 참이기 때문입니다.

정리 2.7.2. 모든 무한 순환 그룹은 서로 동형입니다. 모든 유한 순환 순서 그룹 N서로 동형이다.

증거. 허락하다 ( G, Ø)는 생성 요소가 있는 무한 순환 그룹입니다. g. 그런 다음 전단사 매핑이 있습니다. 에프: ℤ ® G모든 정수에 대해 케이그리고 중그들의 이미지 에프(케이) 그리고 에프(중), 각각 같음 지 케이그리고 gm, 요소입니다 G. 그리고 여기서 에프(케이+중)=에프(케이)∘에프(중) 왜냐하면 지 케이 + 중=지 케이∘ gm.

지금하자 ( G, Ø)은 유한 순환 순서 그룹입니다. N생성 요소가 있는 g. 그러면 각 요소 지 케이Î G요소를 일치시키는 유일한 방법은 에케이Î 엔(0£ 케이<N), 규칙에 따르면 에프(지 케이)=에케이. 그리고 동시에 어떤 경우에도 지 케이그리고 gmÎ G그 뒤를 따른다 에프(지 케이∘ gm)=에프(지 케이) ∘에프(gm) 왜냐하면 에프(지 케이∘ gm)=에프(지 케이 + 중)=에프(그르), 어디 아르 자형=(케이+중) 모드 N, 그리고 에프(그르)=어=에케이× 나. 이러한 매핑은 전단사 매핑임이 분명합니다.