방정식을 2가지 방식으로 푸는 방법. 변수가 하나인 방정식. 방정식을 사용하여 문제 해결
방정식
방정식을 푸는 방법?
이 섹션에서는 가장 기본적인 방정식을 기억해 보겠습니다(또는 선택하는 사람에 따라 연구). 그렇다면 방정식은 무엇입니까? 인간의 언어에서 이것은 등호와 미지수가 있는 일종의 수학적 표현입니다. 일반적으로 문자로 표시되는 것은 "엑스". 방정식을 풀어보세요- 이것은 대체될 때 x의 값을 찾는 것입니다. 원래의표현은 우리에게 올바른 정체성을 알려줄 것입니다. 정체성은 수학적 지식에 전혀 부담이 없는 사람에게도 의심할 여지가 없는 표현임을 상기시켜드리겠습니다. 2=2, 0=0, ab=ab 등과 같습니다. 그렇다면 방정식을 어떻게 푸나요?그것을 알아 봅시다.
온갖 종류의 방정식이 있습니다(놀랍죠?). 그러나 그 모든 무한한 다양성은 네 가지 유형으로만 나눌 수 있습니다.
4. 다른.)
물론 나머지는 모두 그렇습니다...) 여기에는 3차, 지수, 로그, 삼각법 및 기타 모든 종류가 포함됩니다. 우리는 관련 섹션에서 그들과 긴밀히 협력할 것입니다.
처음 세 가지 유형의 방정식이 너무 엉망이어서 인식조차 못할 때도 있다는 점을 바로 말씀드리겠습니다. 아무것도 아닙니다. 긴장을 푸는 방법을 배우겠습니다.
그리고 왜 이 네 가지 유형이 필요한가요? 그 다음엔 선형 방정식한 가지 방법으로 해결 정사각형다른 사람, 분수 유리수 - 세 번째,ㅏ 나머지그들은 감히 전혀 감히하지 않습니다! 뭐, 전혀 결정을 못하는 게 아니라 제가 수학을 틀렸다는 거죠.) 단지 그들만의 특별한 기술과 방식이 있을 뿐입니다.
그러나 어떤 경우에도 (반복합니다. 어느!) 방정식은 해결을 위한 신뢰할 수 있고 안전한 기반을 제공합니다. 언제 어디서나 작동합니다. 이 기초는 - 무섭게 들리지만 매우 간단합니다. 그리고 매우 (매우!)중요한.
실제로 방정식의 해법은 바로 이러한 변환으로 구성됩니다. 99% 질문에 대한 답변: " 방정식을 푸는 방법?"는 바로 이러한 변환에 있습니다. 힌트가 명확합니까?)
방정식의 동일한 변환.
안에 모든 방정식미지의 것을 찾으려면 원래 예제를 변환하고 단순화해야 합니다. 그래서 외모가 바뀔 때 방정식의 본질은 변하지 않았습니다.이러한 변환을 호출합니다. 동일한또는 그에 상응하는 것.
이러한 변환이 적용됩니다. 특히 방정식에 대해.수학에도 항등변환이 있다 표현.이것은 또 다른 주제입니다.
이제 우리는 모두, 모두, 모든 기본을 반복하겠습니다 방정식의 동일한 변환.
기본적으로 적용할 수 있기 때문에 어느방정식 - 선형, 2차, 분수, 삼각, 지수, 로그 등 등등.
첫 번째 신원 변환: 방정식의 양쪽에 더하기(뺄기)가 가능합니다. 어느(그러나 하나이고 동일합니다!) 숫자 또는 표현식(알 수 없는 표현식 포함!). 이것은 방정식의 본질을 바꾸지 않습니다.
그건 그렇고, 당신은 이 변환을 지속적으로 사용했으며 부호 변경을 통해 방정식의 한 부분에서 다른 부분으로 일부 용어를 전송한다고 생각했습니다. 유형:
이 사례는 익숙합니다. 두 사례를 오른쪽으로 이동하면 다음과 같은 결과를 얻습니다.
사실 당신은 날라방정식의 양쪽에서 2가 됩니다. 결과는 동일합니다.
x+2 - 2 = 3 - 2
부호를 변경하여 용어를 왼쪽과 오른쪽으로 이동하는 것은 단순히 첫 번째 정체성 변환의 단축 버전입니다. 그리고 왜 그렇게 깊은 지식이 필요한가요? - 물어. 방정식에는 아무것도 없습니다. 제발, 참아주세요. 표지판을 바꾸는 것을 잊지 마세요. 하지만 불평등 속에서 전이의 습관은 막다른 골목으로 이어질 수 있습니다.
두 번째 정체성 변화: 방정식의 양변에 같은 것을 곱(나누)할 수 있습니다. 0이 아닌숫자나 표현. 여기에는 이미 이해할 수 있는 한계가 있습니다. 0을 곱하는 것은 어리석은 일이고 나누는 것은 완전히 불가능합니다. 이것은 다음과 같은 멋진 문제를 해결할 때 사용하는 변환입니다.
알았습니다 엑스= 2. 어떻게 찾았나요? 선택으로? 아니면 방금 떠올랐나요? 선택하지 않고 통찰력을 기다리지 않으려면 자신이 단지 방정식의 양쪽을 나눕니다. 5로 나누었습니다. 좌변(5x)을 나누면 5가 줄어들고 순수한 X가 남습니다. 이것이 바로 우리에게 필요한 것입니다. 그리고 (10)의 우변을 5로 나누면 2가 됩니다.
그게 다야.
웃기지만 이 두 가지(단 두 가지!) 동일한 변환이 솔루션의 기초입니다. 수학의 모든 방정식.우와! 무엇과 어떻게의 예를 살펴 보는 것이 합리적입니다. 그렇죠?)
방정식의 동일한 변환의 예. 주요 문제.
시작해보자 첫 번째정체성 변화. 왼쪽에서 오른쪽으로 옮깁니다.
어린아이들을 위한 예입니다.)
다음 방정식을 풀어야 한다고 가정해 보겠습니다.
3-2x=5-3x
주문을 기억합시다 : "X가 있으면 왼쪽으로, X가 없으면 오른쪽으로!"이 주문은 첫 번째 항등 변환을 사용하기 위한 지침입니다.) 오른쪽에 X가 있는 표현은 무엇입니까? 3배? 대답이 잘못되었습니다! 우리 오른쪽에 - 3배! 마이너스세 x! 따라서 왼쪽으로 이동하면 부호가 플러스로 변경됩니다. 결과는 다음과 같습니다.
3-2x+3x=5
그래서 X는 더미로 수집되었습니다. 숫자를 살펴 보겠습니다. 왼쪽에 3개가 있습니다. 어떤 표시로? "없음"이라는 대답은 받아들여지지 않습니다!) 세 개 앞에는 실제로 아무것도 그려지지 않습니다. 그리고 이는 3개 이전에 다음이 있다는 것을 의미합니다. 을 더한.그래서 수학자들은 동의했습니다. 아무 것도 쓰여 있지 않다는 뜻이다. 을 더한.따라서 트리플은 오른쪽으로 이동됩니다. 마이너스로.우리는 다음을 얻습니다:
-2x+3x=5-3
사소한 일만 남았습니다. 왼쪽에는 비슷한 것을 가져오고 오른쪽에는 계산합니다. 대답은 바로 나옵니다.
이 예에서는 한 번의 ID 변환으로 충분했습니다. 두 번째는 필요하지 않았습니다. 글쎄요.)
나이가 많은 어린이의 예입니다.)
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다항식 바꾸기또는. 여기에 차수 다항식이 있습니다. 예를 들어, 표현은 차수 다항식입니다.
예를 들어보겠습니다.
변수 교체 방법을 사용해 보겠습니다. 무엇을 위해 취해야 한다고 생각합니까? 오른쪽, .
방정식은 다음과 같습니다.
변수의 역변경을 수행합니다.
첫 번째 방정식을 풀어보겠습니다.
결정하자 두번째방정식:
… 이것은 무엇을 의미 하는가? 오른쪽! 해결책이 없다는 것입니다.
따라서 우리는 두 가지 답변을 받았습니다. .
다항식에 대한 변수 대체 방법을 사용하는 방법을 이해합니까? 직접 연습해 보세요.
결정했다? 이제 주요 사항을 함께 확인해 보겠습니다.
당신은 그것을 가져 가야합니다.
우리는 다음과 같은 표현을 얻습니다.
이차 방정식을 풀면 두 개의 근이 있음을 알 수 있습니다.
첫 번째 이차 방정식의 해는 숫자와
두 번째 이차 방정식 풀기 - 숫자와.
답변: ; ; ;
요약하자면
변수 대체 방법에는 방정식 및 부등식의 주요 변수 대체 유형이 있습니다.
1. 권력 대체, 우리가 알려지지 않은 어떤 것을 권력으로 끌어올릴 때.
2. 미지수를 포함하는 전체 표현식을 취하는 경우 다항식 대체.
3. 분수-유리 치환(Fractional-rational replacement), 알려지지 않은 변수를 포함하는 관계를 취할 때.
중요한 조언새 변수를 도입할 때:
1. 변수 교체는 가능한 한 즉시 이루어져야 합니다.
2. 새로운 변수에 대한 방정식은 끝까지 풀린 다음 이전 미지수로 돌아가야 합니다.
3. 원래의 알 수 없는 부분으로 돌아갈 때(실제로 전체 솔루션 전체에서) ODZ의 루트를 확인하는 것을 잊지 마십시오.
방정식과 부등식 모두에서 비슷한 방식으로 새로운 변수가 도입됩니다.
3가지 문제를 살펴보겠습니다
3가지 문제에 대한 답변
1. Let, 그러면 표현이 형식을 취합니다.
왜냐하면 그것은 긍정적일 수도 있고 부정적일 수도 있기 때문입니다.
답변:
2. Let, 그러면 표현은 다음과 같은 형식을 취합니다.
해결책이 없으니까...
답변:
3. 그룹화를 통해 다음을 얻습니다.
그러면 표현의 형식을 취하겠습니다.
.
답변:
변수 교체. 평균 수준.
변수 교체- 이것은 방정식이나 부등식이 더 단순한 형태를 갖는 새로운 미지수의 도입입니다.
주요 교체 유형을 나열하겠습니다.
전력 대체
전력 대체.
예를 들어 대체를 사용하면 2차 방정식이 2차 방정식으로 줄어듭니다.
불평등에서는 모든 것이 비슷합니다.
예를 들어, 부등식을 대체하여 2차 부등식을 얻습니다.
예(직접 결정):
해결책:
이는 분수-유리 방정식(반복)이지만 일반적인 방법(공통 분모로의 환원)을 사용하여 풀면 정도의 방정식을 얻을 것이므로 변수 변경을 사용하므로 불편합니다.
다음을 교체하면 모든 것이 훨씬 쉬워집니다. 그 다음에:
이제 해보자 역 교체:
답변: ; .
다항식 바꾸기
다항식을 대체하거나.
다음은 차수의 다항식입니다. 형태의 표현
(예를 들어, 표현은 차수의 다항식입니다. 즉).
이차 삼항식에 대해 가장 일반적으로 사용되는 대체는 다음과 같습니다. 또는.
예:
방정식을 풀어보세요.
해결책:
그리고 다시 변수 대체가 사용됩니다.
그러면 방정식은 다음과 같은 형식을 취합니다.
이 이차 방정식의 근은 다음과 같습니다.
두 가지 경우가 있습니다. 각각을 역으로 치환해 보겠습니다.
이는 이 방정식에 근이 없음을 의미합니다.
이 방정식의 근은 다음과 같습니다. i.
답변. .
분수-합리적 치환
분수-합리적 대체.
그리고 는 각각 과 의 다항식입니다.
예를 들어, 역 방정식, 즉 다음 형식의 방정식을 풀 때
교체가 일반적으로 사용됩니다.
이제 어떻게 작동하는지 보여드리겠습니다.
이 방정식의 근본이 아닌 것이 무엇인지 확인하는 것은 쉽습니다. 결국 이를 방정식에 대입하면 조건에 모순되는 것을 얻게 됩니다.
방정식을 다음과 같이 나누어 보겠습니다.
다시 정리해보자:
이제 교체 작업을 수행합니다.
그것의 장점은 항의 이중 곱을 제곱할 때 x가 감소한다는 것입니다.
그것은 다음과 같습니다.
방정식으로 돌아가 보겠습니다.
이제 이차방정식을 풀고 역대입을 하면 충분합니다.
예:
방정식을 푼다: .
해결책:
따라서 평등이 유지되지 않을 때. 방정식을 다음과 같이 나누어 보겠습니다.
방정식은 다음과 같은 형식을 취합니다.
그 뿌리:
역치환을 해보자:
결과 방정식을 풀어 보겠습니다.
답변: ; .
다른 예시:
불평등을 해결하십시오.
해결책:
직접 대체를 통해 우리는 그것이 이러한 불평등의 해결책에 포함되지 않는다고 확신합니다. 각 분수의 분자와 분모를 다음과 같이 나눕니다.
이제 변수의 교체는 명백합니다: .
그러면 불평등은 다음과 같은 형태를 취합니다.
y를 찾기 위해 간격 방법을 사용합니다.
왜냐하면 모두들 앞에서
왜냐하면 모두들 앞에서
따라서 부등식은 다음과 동일합니다.
모두들 앞에서, 왜냐면...
즉, 부등식은 다음과 동일합니다.
따라서 불평등은 집계와 동일합니다.
답변: .
변수 교체- 방정식과 부등식을 해결하는 가장 중요한 방법 중 하나입니다.
마지막으로 몇 가지 중요한 팁을 알려드리겠습니다.
변수 교체. 요약 및 기본 공식.
변수 교체- 원래 표현을 단순화하고 표준 형식으로 가져올 수 있는 복잡한 방정식과 부등식을 해결하는 방법입니다.
변수 대체 유형:
- 전원 대체:는 알려지지 않은 것으로 간주되어 거듭제곱됩니다.
- 분수-유리 대체:알 수 없는 변수를 포함하는 모든 관계는 다음과 같이 간주됩니다. , 여기서 및 는 각각 n차와 m차의 다항식입니다.
- 다항식 바꾸기:미지수를 포함하는 전체 표현식은 다음과 같이 간주됩니다. 또는 정도의 다항식은 어디에 있습니까?
단순화된 방정식/부등식을 푼 후에는 역대입을 해야 합니다.
7학년 수학시간에 우리는 처음으로 마주하게 됩니다. 변수가 두 개인 방정식, 그러나 두 개의 미지수가 있는 방정식 시스템의 맥락에서만 연구됩니다. 그렇기 때문에 특정 조건을 제한하는 방정식의 계수에 특정 조건이 도입되는 일련의 문제가 시야에서 사라지는 것입니다. 또한 이러한 종류의 문제는 통합 국가 시험 자료 및 입학 시험에서 점점 더 자주 발견되지만 "자연수 또는 정수로 방정식 풀기"와 같은 문제 해결 방법도 무시됩니다.
어떤 방정식을 변수가 두 개인 방정식이라고 부를까요?
예를 들어 방정식 5x + 2y = 10, x 2 + y 2 = 20 또는 xy = 12는 두 변수의 방정식입니다.
방정식 2x – y = 1을 생각해 보세요. x = 2이고 y = 3일 때 참이 되므로 이 변수 값 쌍은 문제의 방정식에 대한 해입니다.
따라서 두 개의 변수가 있는 방정식의 해는 이 방정식을 진정한 수치 동등성으로 바꾸는 변수 값인 순서쌍(x; y)의 집합입니다.
두 개의 미지수가 있는 방정식은 다음과 같습니다.
ㅏ) 하나의 해결책을 가지고 있습니다.예를 들어, 방정식 x 2 + 5y 2 = 0에는 고유한 해(0; 0)가 있습니다.
비) 여러 가지 솔루션을 가지고 있습니다.예를 들어 (5 -|x|) 2 + (|y| – 2) 2 = 0에는 (5; 2), (-5; 2), (5; -2), (-5; - 2);
V) 해결책이 없습니다.예를 들어, 방정식 x 2 + y 2 + 1 = 0에는 해가 없습니다.
G) 무한히 많은 솔루션을 가지고 있습니다.예를 들어, x + y = 3입니다. 이 방정식의 해는 합이 3인 숫자입니다. 이 방정식의 해 집합은 (k; 3 – k) 형식으로 작성할 수 있습니다. 여기서 k는 실수입니다. 숫자.
변수가 2개인 방정식을 푸는 주요 방법으로는 인수분해식을 기반으로 한 방법, 완전제곱식을 분리하는 방법, 2차 방정식의 성질을 이용한 유한식, 추정방법 등이 있다. 방정식은 일반적으로 미지수를 찾는 시스템을 얻을 수 있는 형식으로 변환됩니다.
채권 차압 통고
예시 1.
방정식을 푼다: xy – 2 = 2x – y.
해결책.
인수분해를 위해 용어를 그룹화합니다.
(xy + y) – (2x + 2) = 0. 각 괄호에서 공통 요소를 꺼냅니다.
y(x + 1) – 2(x + 1) = 0;
(x + 1)(y – 2) = 0. 우리는 다음을 가집니다:
y = 2, x – 임의의 실수 또는 x = -1, y – 임의의 실수.
따라서, 답은 (x; 2), x € R 및 (-1; y), y € R 형식의 모든 쌍입니다.
음수가 아닌 숫자를 0으로 동일화
예시 2.
방정식을 푼다: 9x 2 + 4y 2 + 13 = 12(x + y).
해결책.
그룹화:
(9x 2 – 12x + 4) + (4y 2 – 12y + 9) = 0. 이제 차이 제곱 공식을 사용하여 각 괄호를 접을 수 있습니다.
(3x – 2) 2 + (2y – 3) 2 = 0.
음수가 아닌 두 표현식의 합은 3x – 2 = 0 및 2y – 3 = 0인 경우에만 0입니다.
이는 x = 2/3 및 y = 3/2를 의미합니다.
답: (2/3; 3/2).
추정방법
예시 3.
방정식을 푼다: (x 2 + 2x + 2)(y 2 – 4y + 6) = 2.
해결책.
각 괄호에서 완전한 정사각형을 선택합니다.
((x + 1) 2 + 1)((y – 2) 2 + 2) = 2. 추정해보자 
괄호 안의 표현의 의미.
(x + 1) 2 + 1 ≥ 1 및 (y – 2) 2 + 2 ≥ 2이면 방정식의 좌변은 항상 2 이상입니다. 다음과 같은 경우 등식이 가능합니다.
(x + 1) 2 + 1 = 1 및 (y – 2) 2 + 2 = 2, 이는 x = -1, y = 2를 의미합니다.
답: (-1; 2).
2차 변수 두 개를 사용하여 방정식을 푸는 또 다른 방법에 대해 알아봅시다. 이 방법은 방정식을 다음과 같이 처리하는 것으로 구성됩니다. 어떤 변수에 대한 정사각형.
예시 4.
방정식을 푼다: x 2 – 6x + y – 4√y + 13 = 0.
해결책.
방정식을 x에 대한 이차방정식으로 풀어봅시다. 판별식을 찾아봅시다:
D = 36 – 4(y – 4√y + 13) = -4y + 16√y – 16 = -4(√y – 2) 2 . 방정식은 D = 0, 즉 y = 4인 경우에만 해를 갖게 됩니다. 원래 방정식에 y 값을 대입하여 x = 3임을 알아냅니다.
답: (3; 4).
종종 두 개의 미지수가 있는 방정식에서 다음을 나타냅니다. 변수에 대한 제한.
실시예 5.
방정식을 정수로 풀어보세요: x 2 + 5y 2 = 20x + 2.
해결책.
x 2 = -5y 2 + 20x + 2 형식으로 방정식을 다시 작성해 보겠습니다. 5로 나눈 결과 방정식의 우변은 나머지 2가 됩니다. 따라서 x 2는 5로 나누어지지 않습니다. 그러나 a의 제곱은 5로 나눌 수 없는 숫자는 나머지가 1 또는 4가 됩니다. 따라서 평등은 불가능하며 해결책이 없습니다.
답: 뿌리가 없습니다.
실시예 6.
방정식을 푼다: (x 2 – 4|x| + 5)(y 2 + 6y + 12) = 3.
해결책.
각 괄호 안의 완전한 사각형을 강조해 보겠습니다.
((|x| – 2) 2 + 1)((y + 3) 2 + 3) = 3. 방정식의 좌변은 항상 3보다 크거나 같습니다. |x|가 제공되면 동등이 가능합니다. – 2 = 0 및 y + 3 = 0. 따라서 x = ± 2, y = -3입니다.
답: (2; -3) 및 (-2; -3).
실시예 7.
방정식을 만족하는 모든 음의 정수 쌍(x;y)에 대해
x 2 – 2xy + 2y 2 + 4y = 33, 합(x + y)을 계산합니다. 귀하의 답변에 가장 적은 금액을 표시해 주십시오.
해결책.
완전한 정사각형을 선택해 보겠습니다.
(x 2 – 2xy + y 2) + (y 2 + 4y + 4) = 37;
(x – y) 2 + (y + 2) 2 = 37. x와 y는 정수이므로 이들의 제곱도 정수입니다. 1 + 36을 더하면 두 정수의 제곱의 합은 37이 됩니다. 따라서:
(x – y) 2 = 36 및 (y + 2) 2 = 1 
(x – y) 2 = 1 및 (y + 2) 2 = 36.
이러한 시스템을 풀고 x와 y가 음수라는 점을 고려하여 (-7; -1), (-9; -3), (-7; -8), (-9; -8) 솔루션을 찾습니다.
답: -17.
두 개의 미지수가 있는 방정식을 푸는 데 어려움이 있더라도 절망하지 마십시오. 약간의 연습만 하면 어떤 방정식도 다룰 수 있습니다.
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이 비디오에서 우리는 동일한 알고리즘을 사용하여 풀 수 있는 전체 선형 방정식 세트를 분석할 것입니다. 이것이 바로 이 방정식이 가장 단순하다고 불리는 이유입니다.
먼저 정의해 보겠습니다. 선형 방정식은 무엇이며 가장 간단한 방정식은 무엇입니까?
선형 방정식은 단 하나의 변수만 있고 1차까지만 있는 방정식입니다.
가장 간단한 방정식은 구성을 의미합니다.
다른 모든 선형 방정식은 알고리즘을 사용하여 가장 간단한 것으로 축소됩니다.
- 괄호가 있으면 확장하세요.
- 변수가 포함된 용어를 등호의 한쪽으로 이동하고, 변수가 없는 용어를 다른 쪽으로 이동합니다.
- 등호의 왼쪽과 오른쪽에 유사한 용어를 지정하십시오.
- 결과 방정식을 변수 $x$의 계수로 나눕니다.
물론 이 알고리즘이 항상 도움이 되는 것은 아닙니다. 사실은 때때로 이러한 모든 기계 작업 후에 변수 $x$의 계수가 0과 같은 것으로 판명된다는 것입니다. 이 경우 두 가지 옵션이 가능합니다.
- 방정식에는 해가 전혀 없습니다. 예를 들어, $0\cdot x=8$과 같은 결과가 나올 때, 즉 왼쪽은 0이고 오른쪽은 0이 아닌 숫자입니다. 아래 영상에서는 이러한 상황이 가능한 몇 가지 이유를 살펴보겠습니다.
- 해결책은 모두 숫자입니다. 이것이 가능한 유일한 경우는 방정식이 $0\cdot x=0$ 구조로 축소된 경우입니다. 우리가 무엇을 $x$로 대체하더라도 여전히 "0은 0과 같습니다"라는 결과가 나올 것이라는 점은 매우 논리적입니다. 올바른 수치 평등.
이제 실제 사례를 사용하여 이 모든 것이 어떻게 작동하는지 살펴보겠습니다.
방정식 풀기의 예
오늘 우리는 선형 방정식을 다루고 있으며 가장 간단한 방정식만 다루고 있습니다. 일반적으로 선형 방정식은 정확히 하나의 변수를 포함하는 등식을 의미하며 1차까지만 진행됩니다.
이러한 구성은 거의 같은 방식으로 해결됩니다.
- 우선, 괄호가 있으면 확장해야 합니다(마지막 예에서와 같이).
- 그럼 비슷한거 가져와
- 마지막으로 변수를 분리합니다. 즉, 변수와 연결된 모든 것, 즉 변수가 포함된 용어를 한쪽으로 옮기고 변수 없이 남아 있는 모든 것을 다른 쪽으로 옮깁니다.
그런 다음 원칙적으로 결과 평등의 양쪽에 비슷한 것을 제공해야하며 그 후에 남은 것은 "x"계수로 나누는 것뿐입니다. 그러면 최종 답을 얻을 수 있습니다.
이론적으로는 멋지고 단순해 보이지만 실제로는 경험이 풍부한 고등학생이라도 매우 간단한 선형 방정식에서 공격적인 실수를 할 수 있습니다. 일반적으로 괄호를 열거나 "플러스"와 "마이너스"를 계산할 때 오류가 발생합니다.
또한 선형 방정식에는 해가 전혀 없거나 해가 전체 수직선인 경우도 있습니다. 어떤 숫자라도. 오늘 수업에서 이러한 미묘함을 살펴 보겠습니다. 하지만 이미 이해하셨듯이 가장 간단한 작업부터 시작하겠습니다.
간단한 선형 방정식을 푸는 방식
먼저, 가장 간단한 선형 방정식을 풀기 위한 전체 체계를 다시 한 번 작성하겠습니다.
- 대괄호가 있으면 확장합니다.
- 우리는 변수를 분리합니다. 즉, "X"가 포함된 모든 항목을 한쪽으로 이동하고 "X"가 포함되지 않은 모든 항목을 다른 쪽으로 이동합니다.
- 비슷한 용어를 제시합니다.
- 모든 것을 "x" 계수로 나눕니다.
물론 이 계획이 항상 작동하는 것은 아닙니다. 여기에는 특정 미묘함과 트릭이 있으며 이제 우리는 이에 대해 알게 될 것입니다.
간단한 선형 방정식의 실제 예 풀기
과제 1번
첫 번째 단계에서는 괄호를 열어야 합니다. 하지만 이 예에는 없으므로 이 단계를 건너뜁니다. 두 번째 단계에서는 변수를 분리해야 합니다. 참고: 우리는 개별 용어에 대해서만 이야기하고 있습니다. 적어 봅시다:
우리는 왼쪽과 오른쪽에 비슷한 용어를 제시하지만 여기서는 이미 수행되었습니다. 따라서 우리는 네 번째 단계인 계수로 나눕니다.
\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]
그래서 우리는 답을 얻었습니다.
작업 번호 2
이 문제에서 괄호를 볼 수 있으므로 확장해 보겠습니다.
왼쪽과 오른쪽 모두 거의 동일한 디자인을 볼 수 있지만 알고리즘에 따라 행동해 보겠습니다. 변수 분리:
다음은 유사한 것들입니다:
이것은 어떤 뿌리에서 작동합니까? 답변 : 무엇이든. 따라서 $x$는 임의의 숫자라고 쓸 수 있습니다.
작업 번호 3
세 번째 선형 방정식이 더 흥미롭습니다.
\[\왼쪽(6-x \오른쪽)+\왼쪽(12+x \오른쪽)-\왼쪽(3-2x \오른쪽)=15\]
여기에는 여러 개의 괄호가 있지만 어떤 것도 곱해지지 않고 단순히 다른 기호가 앞에 붙습니다. 그것들을 분석해보자:
우리는 이미 알려진 두 번째 단계를 수행합니다.
\[-x+x+2x=15-6-12+3\]
수학을 해보자:
마지막 단계를 수행합니다. 모든 것을 "x"계수로 나눕니다.
\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]
선형 방정식을 풀 때 기억해야 할 사항
너무 단순한 작업을 무시한다면 다음과 같이 말하고 싶습니다.
- 위에서 말했듯이 모든 선형 방정식에 해가 있는 것은 아닙니다. 때로는 단순히 근이 없는 경우도 있습니다.
- 뿌리가 있더라도 그 중 0이 있을 수 있습니다. 이는 아무런 문제가 없습니다.
0은 다른 숫자와 동일합니다. 어떤 식으로든 차별해서는 안 되며, 0이 나온다면 뭔가 잘못했다고 가정해서는 안 됩니다.
또 다른 기능은 괄호 열기와 관련이 있습니다. 참고: 앞에 "마이너스"가 있으면 이를 제거하지만 괄호 안의 기호는 다음과 같이 변경됩니다. 반대. 그런 다음 표준 알고리즘을 사용하여 열 수 있습니다. 위의 계산에서 본 내용을 얻게 됩니다.
이 간단한 사실을 이해하면 고등학교에서 그런 일을 당연하게 여기는 어리석고 해로운 실수를 피하는 데 도움이 될 것입니다.
복잡한 선형 방정식 풀기
더 복잡한 방정식으로 넘어 갑시다. 이제 구성이 더욱 복잡해지고 다양한 변환을 수행할 때 이차 함수가 나타납니다. 그러나 저자의 계획에 따라 선형 방정식을 풀면 변환 과정에서 이차 함수를 포함하는 모든 단항식이 반드시 취소되기 때문에 이것을 두려워해서는 안됩니다.
예 1
분명히 첫 번째 단계는 괄호를 여는 것입니다. 이 작업을 매우 신중하게 수행해 보겠습니다.
이제 개인 정보 보호에 대해 살펴보겠습니다.
\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]
다음은 유사한 것들입니다:
분명히 이 방정식에는 해가 없으므로 답에 다음과 같이 쓸 것입니다.
\[\varnothing\]
아니면 뿌리가 없습니다.
예 2
우리는 동일한 작업을 수행합니다. 첫 번째 단계:
변수가 있는 모든 것을 왼쪽으로 이동하고 변수가 없는 경우 오른쪽으로 이동해 보겠습니다.
다음은 유사한 것들입니다:
분명히 이 선형 방정식에는 해가 없으므로 다음과 같이 작성하겠습니다.
\[\varnothing\],
아니면 뿌리가 없습니다.
솔루션의 뉘앙스
두 방정식 모두 완전히 풀렸습니다. 이 두 표현을 예로 사용하여 우리는 가장 단순한 선형 방정식에서도 모든 것이 그렇게 단순하지 않을 수 있다는 것을 다시 한 번 확신했습니다. 근은 하나일 수도 있고 없을 수도 있고 무한히 많을 수도 있습니다. 우리의 경우 두 개의 방정식을 고려했는데 둘 다 단순히 뿌리가 없습니다.
그러나 저는 또 다른 사실, 즉 괄호를 사용하여 작업하는 방법과 그 앞에 빼기 기호가 있는 경우 여는 방법에 주목하고 싶습니다. 다음 표현을 고려해보세요.
개봉하기 전에 모든 항목에 "X"를 곱해야 합니다. 참고: 곱하기 각 개별 용어. 내부에는 두 개의 용어가 있습니다. 각각 두 개의 용어와 곱셈입니다.
그리고 이러한 겉보기에는 기본적이지만 매우 중요하고 위험한 변환이 완료된 후에야 그 뒤에 빼기 기호가 있다는 관점에서 괄호를 열 수 있습니다. 예, 예: 이제 변환이 완료되면 괄호 앞에 빼기 기호가 있다는 것을 기억합니다. 이는 아래의 모든 것이 단순히 기호를 변경한다는 것을 의미합니다. 동시에 괄호 자체가 사라지고 가장 중요한 것은 전면 "마이너스"도 사라진다는 것입니다.
두 번째 방정식에서도 동일한 작업을 수행합니다.
내가 이 사소하고 사소해 보이는 사실들에 주의를 기울이는 것은 우연이 아니다. 방정식을 푸는 것은 항상 간단한 작업을 명확하고 유능하게 수행할 수 없기 때문에 고등학생이 나에게 와서 그러한 간단한 방정식을 푸는 방법을 다시 배우게 되는 일련의 기본 변환이기 때문입니다.
물론, 이러한 기술을 자동으로 연마할 날이 올 것입니다. 더 이상 매번 변환을 너무 많이 수행할 필요가 없으며 모든 것을 한 줄에 작성하게 됩니다. 하지만 배우는 동안 각 작업을 별도로 작성해야 합니다.
훨씬 더 복잡한 선형 방정식 풀기
지금 우리가 해결하려는 작업은 가장 간단한 작업이라고 할 수는 없지만 의미는 동일합니다.
과제 1번
\[\left(7x+1 \right)\left(3x-1 \right)-21((x)^(2))=3\]
첫 번째 부분의 모든 요소를 곱해 보겠습니다.
개인정보 보호를 좀 해보자:
다음은 유사한 것들입니다:
마지막 단계를 완료해 보겠습니다.
\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]
여기에 우리의 최종 답변이 있습니다. 그리고 문제를 푸는 과정에서 2차 함수를 갖는 계수가 있다는 사실에도 불구하고 서로 상쇄되어 방정식이 2차 함수가 아닌 선형이 됩니다.
작업 번호 2
\[\왼쪽(1-4x \오른쪽)\왼쪽(1-3x \오른쪽)=6x\왼쪽(2x-1 \오른쪽)\]
첫 번째 단계를 주의 깊게 수행해 보겠습니다. 첫 번째 대괄호의 각 요소에 두 번째 대괄호의 각 요소를 곱합니다. 변환 후에는 총 4개의 새로운 용어가 있어야 합니다.
이제 각 항에서 곱셈을 주의 깊게 수행해 보겠습니다.
"X"가 있는 용어는 왼쪽으로, -가 없는 용어는 오른쪽으로 이동해 보겠습니다.
\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]
비슷한 용어는 다음과 같습니다.
다시 한번 최종 답변을 받았습니다.
솔루션의 뉘앙스
이 두 방정식에 대한 가장 중요한 참고 사항은 다음과 같습니다. 두 개 이상의 항을 포함하는 괄호를 곱하기 시작하자마자 이는 다음 규칙에 따라 수행됩니다. 첫 번째 항에서 첫 번째 항을 취하고 다음의 각 요소를 곱합니다. 두번째; 그런 다음 첫 번째 요소에서 두 번째 요소를 가져와 유사하게 두 번째 요소의 각 요소와 곱합니다. 결과적으로 우리는 4개의 용어를 가지게 됩니다.
대수합에 대하여
이 마지막 예를 통해 나는 학생들에게 대수적 합이 무엇인지 상기시키고 싶습니다. 고전 수학에서 $1-7$은 간단한 구조를 의미합니다. 즉, 1에서 7을 빼는 것입니다. 대수학에서 이는 다음을 의미합니다. 숫자 "1"에 "마이너스 7"이라는 다른 숫자를 추가합니다. 이것이 대수합이 일반적인 산술합과 다른 점입니다.
모든 변환, 각 덧셈 및 곱셈을 수행할 때 위에서 설명한 것과 유사한 구성이 표시되기 시작하면 다항식 및 방정식으로 작업할 때 대수학에 아무런 문제가 없을 것입니다.
마지막으로 방금 살펴본 것보다 훨씬 더 복잡한 몇 가지 예를 더 살펴보겠습니다. 이 문제를 해결하려면 표준 알고리즘을 약간 확장해야 합니다.
분수로 방정식 풀기
이러한 작업을 해결하려면 알고리즘에 한 단계를 더 추가해야 합니다. 하지만 먼저 우리의 알고리즘을 상기시켜 드리겠습니다.
- 괄호를 엽니다.
- 별도의 변수.
- 비슷한 것을 가져오세요.
- 비율로 나누어 보세요.
아아, 이 놀라운 알고리즘은 모든 효율성에도 불구하고 우리 앞에 분수가 있을 때 완전히 적절하지 않은 것으로 밝혀졌습니다. 그리고 아래에서 볼 수 있듯이 두 방정식 모두 왼쪽과 오른쪽에 분수가 있습니다.
이 경우 어떻게 일합니까? 예, 매우 간단합니다! 이렇게 하려면 첫 번째 작업 전후에 수행할 수 있는 단계, 즉 분수 제거를 알고리즘에 한 단계 더 추가해야 합니다. 따라서 알고리즘은 다음과 같습니다.
- 분수를 제거하십시오.
- 괄호를 엽니다.
- 별도의 변수.
- 비슷한 것을 가져오세요.
- 비율로 나누어 보세요.
"분수를 제거한다"는 것은 무엇을 의미합니까? 그리고 이것이 첫 번째 표준 단계 이후와 이전에 모두 수행될 수 있는 이유는 무엇입니까? 사실, 우리의 경우 모든 분수는 분모가 숫자입니다. 어디에서나 분모는 숫자일 뿐입니다. 따라서 방정식의 양변에 이 숫자를 곱하면 분수가 제거됩니다.
예 1
\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]
이 방정식에서 분수를 제거해 보겠습니다.
\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]
참고: 모든 항목에 "4"가 한 번 곱해집니다. 단지 두 개의 괄호가 있다고 해서 각 괄호에 "4"를 곱해야 한다는 의미는 아닙니다. 글을 쓰자:
\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]
이제 확장해 보겠습니다.
변수를 격리합니다.
유사한 용어의 축소를 수행합니다.
\[-4x=-1\왼쪽| :\왼쪽(-4 \오른쪽) \오른쪽.\]
\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]
최종 솔루션을 얻었으니 두 번째 방정식으로 넘어가겠습니다.
예 2
\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right))(5)+((x)^(2))=1\]
여기서는 동일한 작업을 모두 수행합니다.
\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]
\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]
문제가 해결되었습니다.
사실 그게 제가 오늘 여러분에게 말하고 싶은 전부입니다.
키 포인트
주요 결과는 다음과 같습니다.
- 선형 방정식을 푸는 알고리즘을 알아보세요.
- 괄호를 여는 기능.
- 어딘가에 2차 함수가 있더라도 걱정하지 마십시오. 추가 변환 과정에서 해당 함수가 줄어들 것입니다.
- 일차방정식에는 세 가지 유형의 근이 있으며, 심지어 가장 단순한 근도 있습니다. 하나의 단일근, 전체 수직선이 근이고 근이 전혀 없습니다.
이 수업이 모든 수학을 더 깊이 이해하기 위해 간단하지만 매우 중요한 주제를 익히는 데 도움이 되기를 바랍니다. 명확하지 않은 부분이 있으면 사이트에 가서 거기에 제시된 예제를 풀어보세요. 계속 지켜봐 주시기 바랍니다. 더 많은 흥미로운 것들이 여러분을 기다리고 있습니다!
이 주제에 대한 저자의 접근 방식은 우연이 아닙니다. 두 개의 변수가 있는 방정식은 7학년 과정에서 처음 접하게 됩니다. 두 개의 변수가 있는 하나의 방정식에는 무한한 수의 해가 있습니다. 이는 ax + by=c로 제공되는 선형 함수 그래프로 명확하게 입증됩니다. 학교 과정에서 학생들은 두 개의 변수가 있는 두 개의 방정식 시스템을 공부합니다. 결과적으로 방정식 계수에 대한 제한된 조건을 가진 일련의 문제와 해결 방법은 교사와 학생의 시야에서 벗어납니다.
우리는 정수나 자연수에서 두 개의 미지수가 있는 방정식을 푸는 것에 대해 이야기하고 있습니다.
학교에서는 4~6학년 때 자연수와 정수를 공부합니다. 학교를 졸업할 때쯤이면 모든 학생들이 이 숫자 집합의 차이점을 기억하는 것은 아닙니다.
그러나 "정수로 ax + by=c 형식의 방정식을 풀다"와 같은 문제는 대학 입학 시험 및 통합 상태 시험 자료에서 점점 더 많이 발견됩니다.
불확실한 방정식을 풀면 논리적 사고, 지능, 분석에 대한 주의력이 발달합니다.
나는 이 주제에 관해 몇 가지 교훈을 개발할 것을 제안합니다. 나는 이 수업의 시기에 대해 명확한 권장 사항을 가지고 있지 않습니다. 일부 요소는 7학년에서도 사용할 수 있습니다(강력한 수업의 경우). 이 수업을 기초로 삼아 9학년 예비 직업 교육에 대한 소규모 선택 과정을 개발할 수 있습니다. 그리고 물론 이 자료는 10~11학년 시험 준비에 사용될 수 있습니다.
수업의 목적:
- "1차 및 2차 방정식" 주제에 대한 지식의 반복 및 일반화
- 주제에 대한 인지적 관심을 키우는 것
- 분석, 일반화, 지식을 새로운 상황으로 전달하는 능력 개발
레슨 1.
수업 중.
1) 조직 순간.
2) 기본 지식을 업데이트합니다.
정의. 두 변수의 선형 방정식은 다음 형식의 방정식입니다.
mx + ny = k, 여기서 m, n, k는 숫자이고 x, y는 변수입니다.
예: 5x+2y=10
정의. 두 개의 변수가 있는 방정식의 해법은 방정식을 진정한 평등으로 바꾸는 변수 값 쌍입니다.
동일한 해를 갖는 두 변수가 있는 방정식을 등가라고 합니다.
1. 5x+2y=12 (2)y = -2.5x+6
이 방정식은 다양한 해를 가질 수 있습니다. 이렇게 하려면 x 값을 가져와 해당 y 값을 찾는 것으로 충분합니다.
x = 2, y = -2.5 2+6 = 1이라고 가정
x = 4, y = -2.5 4+6 =- 4
숫자 쌍(2;1); (4;-4) – 방정식 (1)에 대한 해.
이 방정식에는 무한히 많은 해가 있습니다.
3) 역사적 배경
부정(디오판토스) 방정식은 둘 이상의 변수를 포함하는 방정식입니다.
3세기에. 기원 후 – 알렉산드리아의 디오판토스는 "산수"를 썼는데, 여기서 그는 수의 집합을 합리적인 수로 확장하고 대수적 상징을 도입했습니다.
Diophantus는 또한 부정 방정식을 푸는 문제를 고려했으며 2차 및 3차 부정 방정식을 푸는 방법을 제시했습니다.
4) 새로운 자료를 연구합니다.
정의: 두 개의 미지수 x, y를 갖는 1차 비균질 디오판토스 방정식은 mx + ny = k 형식의 방정식입니다. 여기서 m, n, k, x, y Z k0
진술 1.
방정식(1)의 자유 항 k가 숫자 m과 n의 최대 공약수(GCD)로 나누어지지 않으면 방정식(1)에는 정수 해가 없습니다.
예: 34x – 17y = 3.
GCD (34; 17) = 17, 3은 17로 균등하게 나눌 수 없으며 정수에는 해가 없습니다.
k를 gcd(m,n)로 나눌 수 있다고 가정합니다. 모든 계수를 나눔으로써 m과 n이 상대적으로 소수가 되도록 보장할 수 있습니다.
진술 2.
방정식 (1)의 m과 n이 상대적으로 소수인 경우 이 방정식에는 적어도 하나의 해가 있습니다.
진술 3.
방정식 (1)의 계수 m과 n이 서로소인 경우 이 방정식에는 무한히 많은 해가 있습니다.
여기서 (; )는 방정식 (1), t Z에 대한 해입니다.
정의. 두 개의 미지수 x, y를 갖는 1차 동차 디오판토스 방정식은 mx + ny = 0 형식의 방정식입니다. 여기서 (2)
진술 4.
m과 n이 서로소인 경우 방정식 (2)에 대한 모든 해는 다음 형식을 갖습니다. 
5) 숙제. 방정식을 정수로 풀어보세요:
- 9x – 18y = 5
- x + y= xy
- 몇몇 아이들이 사과를 따고 있었습니다. 남자아이는 각각 21kg, 여자아이는 15kg을 모았습니다. 총 174kg을 모았습니다. 사과를 따는 남자아이와 여자아이는 몇 명입니까?
논평. 이 수업에서는 정수 방정식을 푸는 예를 제공하지 않습니다. 따라서 아이들은 진술 1과 선택을 바탕으로 숙제를 해결하게 됩니다.
레슨 2.
1) 조직적 순간
2) 숙제 확인
1) 9x – 18y = 5
5는 9로 나눌 수 없습니다. 정수에는 해가 없습니다.
선택 방법을 사용하면 해결책을 찾을 수 있습니다
답: (0;0), (2;2)
3) 방정식을 만들어 봅시다:
남자아이는 x, x Z, 여자아이는 y, y Z라고 하면 방정식 21x + 15y = 174를 만들 수 있습니다.
방정식을 작성한 많은 학생들은 방정식을 풀 수 없습니다.
답: 남자 4명, 여자 6명.
3) 새로운 자료 학습
숙제를 마치는 데 어려움을 겪은 학생들은 불확실한 방정식을 푸는 방법을 배워야 한다고 확신했습니다. 그 중 일부를 살펴보겠습니다.
I. 나눗셈 나머지를 고려하는 방법.
예. 방정식을 정수 3x – 4y = 1로 풀어보세요.
방정식의 왼쪽은 3으로 나누어 떨어지므로 오른쪽도 나누어져야 합니다. 세 가지 경우를 고려해 보겠습니다.
답: m Z는 어디입니까?
설명된 방법은 숫자 m과 n이 작지 않은 경우 사용하기 편리하지만 간단한 인수로 분해할 수 있습니다.
예: 정수로 방정식을 푼다.
y = 4n이라고 하면 16 - 7y = 16 - 7 4n = 16 - 28n = 4*(4-7n)을 4로 나눕니다.
y = 4n+1이면 16 – 7y = 16 – 7 (4n + 1) = 16 – 28n – 7 = 9 – 28n은 4로 나누어지지 않습니다.
y = 4n+2이면 16 – 7y = 16 – 7 (4n + 2) = 16 – 28n – 14 = 2 – 28n은 4로 나누어지지 않습니다.
y = 4n+3이면 16 – 7y = 16 – 7 (4n + 3) = 16 – 28n – 21 = -5 – 28n은 4로 나누어지지 않습니다.
그러므로 y = 4n이면
4x = 16 – 7 4n = 16 – 28n, x = 4 – 7n
답: , 여기서 n Z입니다.
II. 2차 불확실한 방정식
오늘 수업에서는 2차 디오판토스 방정식의 해법만 다룰 것입니다.
그리고 모든 유형의 방정식 중에서 제곱의 차 공식이나 다른 인수분해 방법을 적용할 수 있는 경우를 고려해 보겠습니다.
예: 방정식을 정수로 푼다.
13은 소수이므로 네 가지 방법으로만 인수분해할 수 있습니다: 13 = 13 1 = 1 13 = (-1)(-13) = (-13)(-1)
이러한 경우를 고려해 봅시다
답: (7;-3), (7;3), (-7;3), (-7;-3).
4) 숙제.
예. 방정식을 정수로 풀어보세요:
(x - y)(x + y)=4
| 2x = 4 | 2x = 5 | 2x = 5 |
| 엑스 = 2 | 엑스 = 5/2 | 엑스 = 5/2 |
| 와이 = 0 | 맞지 않는다 | 맞지 않는다 |
| 2x = -4 | 맞지 않는다 | 맞지 않는다 |
| x = -2 | ||
| 와이 = 0 |
답: (-2;0), (2;0).
정답: (-10;9), (-5;3), (-2;-3), (-1;-9), (1;9), (2;3), (5;-3) , (10;-9).
V) 
답: (2;-3), (-1;-1), (-4;0), (2;2), (-1;3), (-4;5).
결과. 정수로 방정식을 푼다는 것은 무엇을 의미합니까?
불확실한 방정식을 풀기 위한 어떤 방법을 알고 있습니까?
애플리케이션:
훈련을 위한 연습.
1) 정수로 푼다.
| a) 8x + 12y = 32 | x = 1 + 3n, y = 2 - 2n, n Z |
| b) 7x + 5y = 29 | x = 2 + 5n, y = 3 – 7n, n Z |
| c) 4x + 7y = 75 | x = 3 + 7n, y = 9 – 4n, n Z |
| d) 9x – 2y = 1 | x = 1 – 2m, y = 4 + 9m, m Z |
| e) 9x – 11y = 36 | x = 4 + 11n, y = 9n, n Z |
| e) 7x – 4y = 29 | x = 3 + 4n, y = -2 + 7n, n Z |
| g) 19x – 5y = 119 | x = 1 + 5p, y = -20 + 19p, p Z |
| h) 28x – 40y = 60 | x = 45 + 10t, y = 30 + 7t, tZ |
2) 방정식에 대한 음이 아닌 정수 해를 구합니다.
해결책:Z (2; -1)
문학.
- 어린이 백과사전 "교육학", 모스크바, 1972년.
- 대수-8, N.Ya. Vilenkin, VO "과학", 노보시비르스크, 1992
- 수론에 기초한 경쟁 문제. V.Ya. Galkin, D.Yu. Sychugov. MSU, VMK, 모스크바, 2005.
- 7-9학년 대수학 과정의 난이도가 증가하는 문제. N.P. 코스리키나. 계몽주의, 모스크바, 1991
- 대수학 7, Makarychev Yu.N., “계몽”.