이진 관계, 관계의 속성. 동등성, 순서 및 관용의 관계. 이진 관계 - MT1102: 선형 대수학(수학 입문) - 비즈니스 컴퓨터 과학 관계는 등가 관계인가
코스 작업
"동등관계"
소개
1장. 태도의 개념. 관계의 정의, 유형, 예
제 2 장. 수업 구분. 요인 집합. 동등 관계. 동등성에 대한 작업.
3장. 학교 수학에서의 관계
결론
사용된 소스 목록
소개
이 과정은 일반적인 관계 개념, 특히 등가 관계에 대한 연구에 전념합니다. 이러한 개념은 대수학 과정의 기본이며 동시에 일반적으로 받아 들여지는 평등, 유사성 및 순서의 일상 개념에서 파생될 수 있습니다. 이를 통해 학교 수학 과정의 구체적인 예를 사용하여 이론을 탐구하지 않고도 나이가 많은 학생들에게 소개할 수 있습니다.
과정 작업의 첫 번째 장은 일반적인 관계의 개념, 관계를 지정하는 방법, 관계의 대수적 및 기하학적 해석을 다루게 됩니다. 관계에 대한 일부 집합 이론 연산이 소개됩니다. 관계의 기본 속성과 관계를 지정하는 기하학적 및 대수적 방법에 대한 이러한 속성의 중요성이 고려됩니다. 장은 7장으로 구성되어 있습니다.
이 과정의 두 번째 장에서는 등가 관계의 의미를 드러냅니다. 정의의 동등성에 관한 정리가 증명되었습니다. 많은 예가 제공됩니다. 클래스와 요소 집합으로 분할하는 개념이 소개됩니다. 몇 가지 다른 중요한 관계도 정의되어 있습니다.
세 번째 장은 고등학생이라면 누구나 친숙하고 이해할 수 있는 대상 집합에 도입된 일부 관계를 고려하는 데 전념합니다. 동등성, 관용, 질서 관계의 속성이 명확하게 설명됩니다. 수학계 교실에서 이러한 개념을 도입할 가능성에 대한 결론이 내려졌습니다. 이 장은 5개의 시트로 구성되어 있습니다.
1장. 태도의 개념. 관계의 정의, 유형, 예
태도의 정의. 관계를 정의하는 방법
학생이 이해할 수 있는 언어로 말한다면 관계를 정의한다는 것은 그것이 어떤 대상 사이에서 성취되는지를 나타내는 것을 의미합니다.
예를 들어, "형제"라는 관계는 한 사람이 다른 사람의 형제인 모든 쌍의 사람들의 목록을 만들면 완전히 정의됩니다.
관계는 개체 쌍(이진수)뿐만 아니라 삼중항, 사중항 등에 대해서도 정의할 수 있습니다.
3자리(삼항) 관계의 예로는 대수 연산이 있습니다. 예를 들어, "합을 형성한다"라는 관계는 세 개의 숫자(x, y, z)에 대해 의미가 있으며 x + y = z인 경우에 만족됩니다.
좀 더 엄격한 정의로 넘어가겠습니다.
A와 B를 임의의 비어 있지 않은 집합이라고 가정합니다.
정의 1.1. 집합 A와 집합 B의 데카르트 곱은 집합 A x B이며, 그 요소는 가능한 모든 쌍(a, b)입니다. 여기서 첫 번째 요소는 집합 A에서 가져오고 두 번째 요소는 집합 B에서 가져옵니다. 그러한 쌍은 첫 번째와 두 번째 요소가 다음과 같은 경우 동일한 것으로 간주됩니다: (a, b) = (c, d) a = c 및 b = d.
예제 1.1. A = (0, 1, +)이고 B = (□, o, , +)이면
A B - ((0, □), (0, o), (0. ), (0, +), (1, □), (1, o), (1, ), (1, +), ( +, □), (+, o), (+, ), (+, +)). 간단한 추론은 다음 관계의 타당성을 확립합니다.
=
=
=
4) A는 B의 부분집합이고 C는 D의 부분집합이고, 그러면 부분집합은
정의 1.3. 집합 A와 B 사이의 이진 관계는 데카르트 곱 A x B의 부분 집합, 즉 집합 A x B의 모든 부분 집합 중 집합 P(A x B)의 요소입니다.
만약 |A| = m, |B|=n이면 데카르트 곱 A x B는 m개의 서로 다른 쌍으로 구성됩니다. 이 경우 | P(A×B) | = 2mn, - 이는 세트 A와 B 사이에 가능한 모든 이진 관계의 총 개수입니다.
우리는 소문자 그리스 문자로 이항 관계를 표시할 것입니다. (a, b) p이면 요소 a는 ρ 관계에서 요소 b와 관련이 있다고 합니다.
집합 A와 B 사이의 모든 관계 중에서 다음이 눈에 띕니다: 단일 쌍을 포함하지 않는 빈 관계 Ø; 모든 가능한 쌍을 포함하는 보편적인 관계, 즉 A와 B 자체의 데카르트 곱 모든 관계에 대해 ρ P(A x B) 포함이 발생합니다.
ρ A x B
유한 집합의 요소들 사이의 관계를 표현하는 두 가지 편리한 방법이 있습니다:
) 이진 부울 행렬을 사용합니다.
) 그래프를 사용합니다.
A =(a 1, a 2, ...am m), B=(b 1, b 2, ...b m), ρ A x B
다음과 같이 m x n 차원의 행렬 M(ρ)을 구성해 보겠습니다. 이 행렬의 행을 특정 고정 순서로 위치한 집합 A의 요소로 표시하고 마찬가지로 열을 집합 B의 요소로 표시합니다. 그런 다음 행렬 M(ρ)의 요소로 넣습니다.
여기서 0, 1은 이진 부울 대수 B 2 의 요소입니다. 따라서 요소는 "쌍은 관계 ρ에 속한다"라는 진술의 논리적 의미를 나타냅니다.
세트 A와 B 사이의 서로 다른 관계가 서로 다른 이진 부울 행렬에 해당한다는 것은 명백합니다. A와 B의 요소 순서는 영원히 고정되어 있음을 강조합니다.
M-n-요소 집합과 ρ가 이에 대한 관계라고 가정합니다. M에 대한 관계는 n x n 행렬로 지정될 수 있습니다. aij = 0인 행렬은 어떤 쌍에도 만족되지 않는 빈 관계 Ø를 정의합니다.
aij = 1인 행렬은 모든 쌍에 대해 만족되는 완전한 관계 M x M을 지정합니다.
행렬 ||δ i j ||도 특별한 역할을 합니다.
이 기호를 크로네커 기호라고 합니다. 이 행렬은 x와 y가 집합의 동일한 요소인 경우 소위 대각 관계 E 또는 동등 관계: (x, y)에 해당합니다.
다음 조건에 따라 역대각선 관계를 도입하는 것도 유용합니다.
빈, 완전, 대각선 및 역대각선 관계의 경우 흥미로운 속성이 발생합니다. 해당 행렬은 집합 M의 요소 번호 매기기 선택에 의존하지 않습니다. 즉, 관계 ρ가 M에서 번호 매기기 선택에 대해 다음과 같은 경우입니다. 행렬 || 에이 ij || 일치하는 경우 ρ는 완전하거나 비어 있거나 대각선이거나 역대각선입니다.
다른 방법으로 관계를 표현할 수 있습니다.
다시 ρ M x M이라고 하자. 다음과 같이 (지향된) 그래프 G(ρ)를 정의하자: 이 그래프의 정점 집합은 이 경우 집합 M을 구성하며, 다음과 같은 경우 정점 a i에서 정점 b j로 모서리가 그려집니다. 그리고 만약에 
, 그리고 만약 (ai, a i)라면, a i 지점에서 같은 지점으로 들어가고 나가는 루프를 그릴 것입니다.
빈 관계는 화살표와 루프가 없는 그래프에 해당하고, 대각선 관계는 루프만 있는 그래프로 설명됩니다(그림 1.1). 완전한 관계는 완전한 그래프로 제공됩니다(모든 정점은 모든 정점에 연결됩니다, 그림 1.2).
쌀. 1.1 
쌀. 1.2
그래프가 함수의 기하학적 표현인 것처럼 그래프는 관계의 기하학적 표현입니다. 기하학적 언어는 그래프가 매우 단순할 때 유용합니다. 반대로, 관계 측면에서는 꼭지점 수가 많은 그래프를 연구하고 설명하는 것이 더 편리합니다.
II. 관계로서의 기능
함수는 관계의 특별한 경우로 간주될 수도 있습니다. 집합 M의 관계를 모든 xM에 대해 (x, y)에 대해 정확히 하나의 요소 y M이 있도록 설정합니다. 따라서 각 요소 xM은 이 조건에 의해 정의된 일부 yM과 연관됩니다. 이 관계를 함수 또는 매핑이라고 합니다. (x, y)에 대한 쌍의 집합을 함수 그래프라고 합니다.
예: M이 수직선이고 관계가 x = y인 경우 그래프는 (x, x) 형식의 모든 점으로 구성되며 좌표 각도의 이등분선입니다(함수 y =의 그래프). 엑스). y = sin x인 쌍에 대해 관계가 충족되면 이 함수의 그래프는 일반적인 정현파입니다.
따라서 그래프에 대한 우리의 정의는 일반적인 수치 함수 그래프를 일반화한 것입니다.
III. 관계에 대한 작업.
집합 A와 B 사이의 관계는 집합 A x B의 부분 집합에 불과하므로 모든 집합 이론 연산이 이에 대해 정의됩니다.
정의 1.4. 관계 ρ와 δ의 교차점은 해당 하위 집합의 교차점입니다. (x, y)가 동시에 (x, y)인 경우에만 해당된다는 것이 분명합니다. 
.
정의 1.5. 관계 ρ와 δ의 합집합은 해당 하위 집합의 합집합입니다. (x, y) 관계 중 적어도 하나가 만족되는 경우에만 (x, y)라는 것이 분명합니다.
중요한 역할은 관계의 곱인 ρδ로 표시된 연산에 의해 수행됩니다. 이 연산은 다음과 같이 정의됩니다. 관계 (x, y)는 (x, z)가 유지되는 z가 존재한다는 사실과 동일합니다. 
IV. 관계의 속성.
정의 1.6. 관계 ρ는 객체와 객체 자체 사이에서 항상 충족되는 경우(x, x)를 재귀적이라고 합니다.
재귀 관계는 항상 주대각선에 있는 행렬의 형태로 표현됩니다. 반사 관계를 나타내는 그래프에서 각 정점에는 루프가 있습니다.
정의 1.7. 관계 ρ는 (x, y)에서 항상 x ≠ y를 따르는 경우 역반사적이라고 합니다.
'형제', '나이' 관계는 반반사적입니다.
반반사 관계를 나타내는 행렬은 주대각선에 0이 있고 해당 그래프에는 확실히 루프가 없습니다.
정의 1.8. 관계 ρ는 (x, y)에서 항상 (y, x)를 따르는 경우 대칭이라고 합니다.
대칭 관계를 나타내는 행렬에서 주대각선을 기준으로 대칭적으로 위치한 요소는 a ij = a ji로 서로 같습니다.
해당 열에는 각 화살표와 함께 반대 방향의 화살표가 있습니다. 대칭 관계는 무방향 그래프로 표현될 수 있습니다.
정의 1.9. 두 관계 (x, y) 또는 (y, x) 중 적어도 하나가 만족되지 않으면 관계 ρ를 비대칭이라고 합니다.
행렬 요소의 경우 이는 동일성으로 이어집니다. a ij ∙a ji =0
해당 그래프에서는 반대 방향의 두 꼭지점을 연결하는 화살표가 있을 수 없습니다.
정리 1.1: 관계가 비대칭이면 반반사적입니다.
정의 1.10. 관계 ρ는 관계 (x, y)와 (y, x)가 x = y일 때만 동시에 충족되는 경우 반대칭이라고 합니다.
행렬 요소의 경우 이는 동일성으로 이어집니다. a ij ∙a ji =0, i≠j일 때
정의 1.11. 관계 ρ는 관계 (x, z)와 (z, y)가 유지된다는 사실로부터 (x, y)를 따르는 경우 전이적이라고 합니다. 유도에 의해 다음 속성이 따릅니다: if (x, z 1), (z 1, z 2) ... (z n -1, y) then (x, y).
이 속성은 그래프에서 잘 해석됩니다. 점 x와 y가 화살표 방향의 경로로 연결되면 정점 x에서 정점 y로 직접 이어지는 화살표가 있습니다.
등가 관계 수학
제 2 장. 수업 구분. 동등 관계. 동등 속성. 요인 세트
수업으로 나누기. 동등 관계
정의 2.1. 주어진 상황에서 필수적인 동일한 형식적 특징 세트를 갖는 주어진 세트 M의 객체만을 상호 교환 가능하다고 부르겠습니다.
객체 x와 상호 교환 가능한 모든 객체의 집합을 M x로 표시하겠습니다. x M x와 모든 M x의 합집합(M에서 가능한 모든 x에 대해)이 완전한 집합 M과 일치한다는 것은 명백합니다.
그런 척하자 
. 이는 동시에 및 및 에 속하는 일부 요소 z가 있음을 의미합니다. 따라서 x는 z와 상호 교환 가능하고 z는 y와 상호 교환 가능합니다. 따라서 x는 y와 상호교환 가능하므로 모든 요소와 호환됩니다. 따라서 . 역방향 스위칭도 같은 방식으로 표시됩니다. 따라서 합집합(2.1)에서 발생하는 집합은 교차하지 않거나 완전히 일치하지 않습니다.
정의 2.2. 다음과 같은 경우 집합 M의 비어 있지 않은 부분 집합(M 1, M 2,….)의 시스템을 이 집합의 파티션이라고 부릅니다.
세트 자체를 파티션 클래스라고 합니다.
정의 2.3. 집합 M의 관계 ρ는 x가 다음과 같은 경우에만 (x, y)가 충족되는 집합 M의 분할 (M 1, M 2,...)이 있는 경우 동치(또는 동치 관계)라고 합니다. 그리고 y는 주어진 파티션의 일반 클래스 Mi에 속합니다.
(M 1 , M 2 ,….)을 집합 M의 분할이라고 합니다. 이 분할을 기반으로 우리는 M: (x, y)에 대한 관계 ρ를 정의합니다. 단, x와 y가 다음의 일부 일반 클래스 M i에 속합니다. 이 파티션. 분명히 관계 ρ는 등가입니다. 주어진 분할에 해당하는 등가 관계를 ρ라고 부르겠습니다.
정의 2.4. 각 하위 집합 M i에서 여기에 포함된 요소 x i를 선택하면 이 요소는 동일한 집합 M i에 포함된 모든 요소 y에 대한 표준이라고 합니다. 정의에 따르면, "표준이 됨"(x i, y) 관계 ρ*가 충족된다고 가정합니다.
주어진 분할에 해당하는 등가 ρ는 다음과 같이 정의될 수 있음을 쉽게 알 수 있습니다: (z, y) z와 y가 공통 표준 (x i, z) 및 (x i, y)을 갖는 경우.
예제 2.1: 음이 아닌 정수의 집합을 M으로 간주하고 이를 짝수 집합 M 0과 홀수 집합 M 1로 분할합니다. 정수 집합에 해당하는 등가 관계는 다음과 같이 표시됩니다.
n은 m 모듈로 2와 비슷합니다. 표준으로 짝수에 대해 0, 홀수에 대해 1을 선택하는 것이 당연합니다. 마찬가지로, 동일한 집합 M을 k 부분 집합 M 0, M 1,...M k -1로 나눕니다. 여기서 M j는 k로 나눌 때 나머지 j가 되는 모든 숫자로 구성되며 등가 관계에 도달합니다.
이는 n과 m이 k로 나누어졌을 때 동일한 나머지를 가지면 유지됩니다.
각 Mj에서 해당 나머지 j를 기준으로 선택하는 것은 당연합니다.
II. 요인 세트
동치관계라 하자. 그런 다음 정리에 따르면 집합 M이 서로 동등한 요소 클래스, 즉 소위 동등 클래스로 분할(M 1, M 2,...)됩니다.
정의 2.5. 관계에 대한 등가 클래스의 집합은 M/으로 표시되고 관계에 대한 집합 M의 몫 집합으로 읽습니다.
ψ: M → S를 집합 M의 일부 집합 S에 대한 전사 매핑으로 설정합니다.
임의의 Φ: M → S - 전사 매핑에 대해 집합 M에는 M/과 S가 일대일 대응이 될 수 있는 등가 관계가 있습니다.
III. 동등성 속성
정의 2.6. 집합 M의 관계 ρ가 반사적, 대칭적, 추이적이면 동치 관계라고 합니다.
정리 2.1: 집합 M의 관계 ρ가 반사적, 대칭적, 추이적이라면, x와 y가 성립하는 경우에만 (x, y)가 유지되는 집합 M의 분할 (M 1 , M 2 ,….)이 존재합니다. y는 주어진 파티션의 일부 일반 클래스 M i에 속합니다.
역: 분할이 주어지고 (M 1, M 2,...) 이진 관계 ρ가 "분할의 일반 클래스에 속함"으로 주어지면 ρ는 반사적, 대칭적, 추이적입니다.
증거:
M에 대한 반사적, 대칭적, 추이적 관계 ρ를 고려합니다. 모든 z는 (x, z) ρ인 모든 z로 구성됩니다.
정리 2.1: x와 y에 대해 또는 
보조정리와 관계 ρ의 재귀성으로부터 형태의 집합은 집합 M의 분할을 형성합니다. (이 분할은 자연스럽게 원래 관계에 해당하는 분할이라고 불릴 수 있습니다). 이제 (x, y) ρ를 봅시다. 이는 y를 의미합니다. 그러나 (x, x) ρ로 인해 x도 발생합니다. 따라서 두 요소가 모두 에 포함됩니다. 따라서 (x, y) ρ이면 x와 y는 일반 분할 클래스에 포함됩니다. 반대로, u와 v를 보자. (u, v) ρ를 보여드리겠습니다. 실제로 (x, u) ρ와 (x, v) ρ가 있습니다. 따라서 대칭 (u, x) ρ에 의해. 전이성에 의해 (u, x) ρ와 (x, v) ρ로부터 (u, v) ρ를 따릅니다. 정리의 첫 번째 부분이 입증되었습니다.
집합 M의 분할(M 1, M 2,….)이 주어집니다. 모든 파티션 클래스의 결합이 M과 일치하면 모든 x가 일부 클래스에 포함됩니다. (x, x) ρ는 다음과 같습니다. 즉 ρ - 반사적. x와 y가 어떤 클래스에 있으면 y와 x도 같은 클래스에 있습니다. 이는 (x, y) ρ가 (y, x) ρ를 의미함을 의미합니다. 관계는 대칭이다. 이제 (x, y) ρ와 (y, z) ρ를 유지합니다. 이는 x와 y가 어떤 클래스에 있고 y와 z가 어떤 클래스에 있음을 의미합니다. 클래스에는 공통 요소 y가 있으므로 일치합니다. 이는 x와 z가 클래스에 포함됨을 의미합니다. (x, z) ρ는 유지되고 관계는 추이적입니다. 정리가 입증되었습니다.
IV. 동등성에 대한 작업.
여기서 우리는 등가성에 대한 몇 가지 집합론적 연산을 정의하고 증명 없이 중요한 속성을 제시합니다.
관계는 쌍()이라는 점을 기억하세요. 여기서 M은 관계에 들어가는 요소 집합이고 관계가 충족되는 쌍의 집합입니다.
정의 2.7. 관계 (ρ 1, M)과 (ρ 2, M)의 교집합은 해당 하위 집합의 교집합으로 정의되는 관계입니다. (x, y) ρ 1 ρ 2 (x, y) ρ 1 과 (x, y) ρ 2 모두인 경우에만 해당됩니다.
정리 2.2: ρ 1 ρ 2 등가의 교집합 ρ 1 ρ 2 그 자체가 등가 관계입니다.
정의 2.8. 관계 (ρ 1, M)과 (ρ 2, M)의 합집합은 해당 하위 집합의 합집합으로 정의되는 관계입니다. (x, y) ρ 1 ρ 2 (x, y) ρ 1 또는 (x, y) ρ 2 인 경우에만 해당됩니다.
정리 2.3: 등가 ρ 1 ρ 2의 합집합 ρ 1 ρ 2가 그 자체로 등가 관계가 되기 위해서는 다음이 필요하고 충분합니다.
ρ 1 ρ 2 = ρ 1 ρ 2
정의 2.9. 관계 (ρ 1, M 1)와 (ρ 2, M 2)의 직접적인 합을 비율이라고 합니다. 직접합은 (ρ 1, M 1) (ρ 2, M 2)로 표시됩니다.
따라서 (ρ 1, M 1) (ρ 2, M 2)= ()이면 M=입니다.
정리 2.4: , 및 관계가 등가이면 관계의 직접 합(ρ 1, M 1) (ρ 2, M 2) = ()도 등가입니다.
V. 관계 유형
몇 가지 더 중요한 관계 유형을 소개하겠습니다. 예제는 세 번째 장에서 제공됩니다.
정의 2.10. 집합 M의 관계 ρ가 반사적이고 대칭적인 경우 관용이라고 합니다.
정의 2.11. 집합 M의 관계 ρ가 반반사적이고 추이적인 경우 엄격한 순서 관계라고 합니다.
정의 2.12. 엄격한 순서 관계 ρ는 M의 요소 x와 y 쌍에 대해 (x, y) 또는 (y, x)가 참인 경우 완벽한 엄격한 순서라고 합니다.
정의 2.13. 집합 M의 관계 ρ는 다음 형식으로 표현될 수 있으면 엄격하지 않은 순서의 관계라고 합니다.
3장. 학교 수학에서의 관계
기하학적 개체 간의 관계
학교 수학에서 잘 알려진 많은 개념은 본질적으로 이진 관계의 이름이며, 이와 관련된 기본 정리는 이러한 관계의 속성을 표현합니다.
예제 3.1. M을 평면에 있는 모든 직선의 집합으로 둡니다. X 비율 || Y는 선 X와 Y가 평행하다는 것을 의미합니다. 이 관계의 몇 가지 속성을 설정해 보겠습니다.
태도 || 반사 방지. 실제로 어떤 직선도 자신과 평행하지 않습니다.
태도 || 대칭적으로 이는 평행성의 정의에서 두 선이 동일하다는 사실에서 분명합니다.
태도 || 거의 전이적이다. 즉: if X || Y와 Y || Z, 그다음 X || Z 또는 매운 X와 Z는 동일합니다. 실제로 그렇지 않다면 X선과 Z선이 교차할 것입니다. 그러나 기하학에서 알 수 있듯이 직선 Z가 평행 X 중 하나와 교차하면 다른 평행 Y와도 교차합니다. Y || 관계를 갖는 것은 불가능할 것입니다. 지.
따라서 직선 간의 평행 관계는 아직 좋은 특성을 갖지 않습니다. 그러나 위에서 말한 내용을 통해 병렬성과 유사한 어떤 종류의 관계가 등가 관계가 될 것인지 쉽게 상상할 수 있습니다. 즉, 우리는 관계를 정의합니다
선이 평행하거나 일치할 때 수행됩니다. 정의에 따르면 X ||| 임의의 직선 X에 대한 X. 관계의 대칭성 ||| 또한 분명하다. 마지막으로 X||| 와이와 와이 ||| Z, 그다음 X ||| Z. 실제로 만약 X || Y 및 Y = Z이면 X || 지; X = Y이고 Y인 경우 || Z, 그다음 X || Z. 마지막으로 X || Y와 Y || Z, 그러면 앞서 말한 내용에 따르면 X = Z 또는 X || Z. 모든 경우에 X ||| 지.
태도 ||| 일련의 선에서 대수적 형태로 보면 매우 자연스러워 보입니다. 평면에 직교 좌표 x 및 y를 입력하면 Ox 축에 수직이 아닌(수직이 아닌) 직선은 방정식 y=kx+b로 제공됩니다. 즉, 지정된 예외가 있는 모든 행은 숫자 쌍(k, b)으로 정의됩니다. 직선 X를 방정식 y=kx+b로 지정하고 직선 Y를 방정식 y=k'x+b'로 지정합니다. 그러면 관계식 X|||Y는 k=k'(k는 Ox 축에 대한 직선의 경사각의 접선)인 경우에만 충족됩니다. X||Y 관계는 k=k'이면서 동시에 b≠b'임을 의미합니다. 즉, 직선은 다릅니다. 수직선의 경우 k=π()를 넣을 수 있으며 k=k' 조건은 여전히 X|||Y를 의미합니다. 그러나 이 일치는 그리 좋지 않습니다. k=무엇에 대해 평행선을 구별하는 두 번째 매개변수가 없기 때문입니다.
분석 기하학에서는 직선을 정의하는 보다 보편적인(정규) 형식이 제공됩니다. x cos α + y sin α - p =0은 모든 종류의 직선을 설명합니다. 여기서 p는 원점에서 직선까지 내려간 수직선의 길이이고, α는 가로축에 대한 수직선의 경사각입니다.
따라서 각 선은 숫자 쌍(α, р)과 일대일로 연결됩니다. 여기서 0 ≤ α입니다.< 2π и 0 ≤ р < +∞. Соотношение X|||Y означает, что для соответствующих прямых α = α’ или α = α’ + π. Каждой прямой соответствует точка на плоскости параметров α и р, лежащая в области, изображенной на рисунке 3.2. Пары вертикальных прямых α=const и α+ π=const (0 ≤ α < π) суть классы эквивалентности отношения |||.
예제 3.2. 평면의 직선 집합에는 또 다른 중요한 관계인 X ┴Y(X가 Y에 수직임)가 있습니다. 직각 관계에는 다음과 같은 중요한 속성이 있습니다.
1. 반사 방지. 불가능X┴X.
2. 대칭. X ┴ Y이면 Y ┴ X입니다.
3. X ┴ Y 및 Y ┴ Z이면 X ┴ Z는 불가능합니다. X ┴ Y 및 Y ┴ Z에서는 분명히 X ||| Z. 반대로 X ||| Z이면 선 X와 Z에 공통 수직인 Y가 있습니다. X ┴ Y 및 Y ┴ Z와 같은 Y입니다.
두 마지막 진술은 모두 수직 비율의 제곱이 비율 ||| - "향상된 병렬성":
┴ ┴ = ┴ 2 =|||.
예제 3.3. M에 대해 Y당 X 관계를 하나 더 소개하겠습니다. 이는 선에 적어도 하나의 공통점이 있음을 의미합니다. 교차하거나 일치합니다. Per 관계는 반사적이고 대칭적이지만 추이적이지 않고 관용의 관계임이 분명합니다.
평면에서 특정 점 P를 선택하고 이 점을 통과하는 모든 선의 집합 Kp를 고려해 보겠습니다. Kp가 공차 등급임을 쉽게 알 수 있습니다. 실제로 K p의 모든 직선은 공통점, 즉 점 P 자체를 갖습니다. 반면에 K p에 포함되지 않은 선 X는 K p의 일부 선, 즉 점을 통과하는 선과 교차하지 않습니다. P는 X와 평행합니다.
예제 3.4. 이제 M을 평면 위의 모든 삼각형의 집합이라고 하겠습니다. 삼각형의 동등성과 유사성은 동등 관계입니다.
예제 3.5. 평면 위의 원 집합을 M k로 표시하고 원 X가 원 Y 내부에 있다는 조건으로 관계 X |= Y를 정의하겠습니다. 이 관계는 반반사적이고 추이적입니다. 엄격한 명령이다. 이 순서는 완벽하지 않습니다. 원이 있는데 그 중 어느 것도 다른 원 안에 있지 않습니다.
예제 3.6. 모든 직선의 집합에 M이라는 명칭을 할당해 보겠습니다. 그런 다음 직선과 원 사이의 관계를 고려해 보겠습니다. 이러한 관계의 예는 X Cas Y 관계입니다. 직선 X가 원 Y에 닿습니다.
II. 방정식 사이의 관계.
이제 집합 M은 다음 형식의 방정식으로 구성됩니다.
f(x)=g(x)(α)
방정식 α의 모든 근의 집합은 Rα로 표시됩니다.
예를 들어, 방정식의 경우
x 2 = x 3 (α 1)
Rα 1 =(0,1). 방정식의 경우
cos x=sin x (α 2)
Rα 2 =(…). 방정식의 경우
X2=-1(α3)
Rα3=Ø. 방정식의 경우
(1+ x) 2 = x 2 +2x+1 (α 4)
Rα 4 =(-무한대, +무한대).
예제 3.7. 이제 방정식 사이의 관계를 소개하겠습니다. Rα = Rβ인 경우 α 및 β 방정식을 α ≒ β라고 부릅니다.
집합의 동일성이 동치 관계라는 사실로부터 관계 ≒가 동치 관계라는 것이 쉽게 추론됩니다. 학교 과정에서는 방정식 α를 등가 방정식 β로 변환하는 방정식 변환을 연구합니다.
예제 3.8. 방정식 α는 방정식 β보다 강력하지 않습니다. α => β Rα가 Rβ에 포함된 경우. 이 경우 방정식 β가 α보다 약하지 않다고 말합니다.
=> 관계는 반사적이고 추이적입니다. 준주문이다. α => β 및 β => α로부터 동등성은 다음과 같습니다: α ≒ β. 반대로, 등가 α ≒ β로부터 α => β 및 β => α가 됩니다. 따라서 ≒ = =>=> -1 입니다.
예제 3.9. 근이 하나 이상 있는 일련의 방정식에서는 자연 공차 관계(공통근의 존재)를 쉽게 결정할 수 있습니다: Rα ∩ Rβ ≠ Ø.
예제 3.10. 우리는 또한 유효 동등 관계를 소개할 수 있습니다. 방정식 α와 β는 유한한 수의 등가 변환(고정 목록에서 허용되는 기술)을 사용하여 각각이 다른 방정식으로 변환될 수 있는 경우 실질적으로 등가라고 합니다.
관계의 전이성으로 인해 이러한 기술을 여러 번 적용해도 동등성을 위반하지 않습니다. 따라서 사실상 등가 방정식은 동일하며, 이는 하나의 관계를 다른 관계에 포함한다고 할 수 있습니다.
고려된 관계의 예는 동등 관계를 포함하여 관계의 개념을 명확하게 설명합니다. 해당 속성은 학교 수학 도구로 쉽게 검증되고 매우 명확합니다. 따라서 수학 동아리에 참여하는 고학년 학생들에게 관계 개념을 소개하는 것이 가능합니다.
결론
이진 관계는 매우 다양한 문제를 해결하는 데 매우 편리하고 간단한 장치입니다. 이진(그리고 보다 일반적인) 관계의 언어는 수리 언어학, 수리 생물학 및 기타 여러 응용(수학) 분야에 매우 편리하고 자연스럽습니다. 이는 이항 관계 이론의 기하학적 측면이 단순히 그래프 이론이라고 말하면 매우 쉽게 설명됩니다. 그러나 그래프의 기하학적 이론이 알려져 있고 문헌에서 잘 다루어지고 있는 반면, 관계 이론의 대수학적 측면은 매우 부족하게 제시되어 있습니다.
한편, 관계의 대수학은 상당히 공개적으로 설명될 수 있습니다. 수학 동아리에서 공부하는 고학년 학생들이 배울 수 있도록.
이 연구에서는 관계와 등가의 개념을 조사하고, 그 속성 중 일부를 분석하고, 기하학적 해석과 예시를 제시했습니다.
사용된 소스 목록
1. Bogomolov A.M., Saliy V.N. 이산 시스템 이론의 대수적 기초. -M .: 과학. Fizmatlit, 1997. -368 p.
2. 슈레이더 Yu.A. 평등. 유사성. 주문하다. -M .: Nauka, 1971.-256 p.
코스트리킨 A.I. 대수학 소개. -M .: Nauka, 1977.-334 p.
B.L. 반 데르 워덴. 현대 대수학. 2 권 T.1.- M., OGIZ GOSTEKHIZDAT, 1947 -339 p.
많은 계산 문제에서는 우리가 관심을 갖는 모든 상황을 올바르게 선택된 몇 가지 예를 사용하여 연구할 수 있도록 큰 세트를 선택하고 나눕니다.
정의 1: A 1 Æ 및 (A i ),i= A= 를 충족하는 하위 집합 모음이라고 가정합니다. 그런 다음 이러한 하위 집합의 컬렉션을 호출합니다. 코팅 A를 설정합니다.
예를 들어, (A, B)는 AÈB를 포함합니다. (A, AÈB, B, C) - AÈBÈC를 덮습니다.
논평: 일반적인 경우 적용 범위는 무한할 수 있습니다. 그러나 특정 특성을 연구하는 관점에서 볼 때 이러한 상황은 열의를 일으키지 않습니다.
정의 2: 분할하여 비어 있지 않은 집합 A를 i1 j이면 A i ÇA j =Æ로 덮는다고 합니다.
예를 들어 (A, A')는 파티션입니다. 유.
(AÇB, AÇB', A'ÇB, A'ÇB') – 파티션 유,
(A\B, AÇB, B\A) – 파티션 AÈB.
숫자 또는 집합 집합에 대한 등식 관계처럼 동작하는 관계를 사용하여 비어 있지 않은 집합의 분할을 구성할 수 있습니다.
정의 3:세트의 이진 관계를 호출합니다. 등가 관계, 반사적이고 대칭적이며 추이적인 경우.
예:
1. 모든 삼각형의 집합에서: ((x, y)| x와 y의 면적은 같습니다)
2. 모든 프로그램 세트에서: ((a, b)| a, b는 특정 기계에서 동일한 기능을 계산합니다.)
정의 4: R을 집합 A와 xОA에 대한 동치 관계로 설정합니다. x에 의해 생성된 동등 클래스집합 (y| xR y)=[x] R이 호출됩니다.
정의 5:동등 클래스의 모든 요소를 호출합니다. 대표이 수업. 전체 대표 시스템각 클래스에서 한 명씩 대표자가 호출됩니다.
실시예 3:
N는 자연수이고 s는 고정된 요소입니다. ~에 지관계는 다음과 같이 정의됩니다: r s = ((x, y)| x-y=ns, nО 지). 태도 비교 모듈로 s (표기법: xºy(mod s)).
모듈로 s의 비교 관계가 집합에 대한 동치 관계인지 확인하기 쉽습니다. 지.
예를 들어 s=10이라고 가정합니다. 그 다음에:
= {11,21,-9,10 976 631,.... }
= {66,226,-24,... }
실제로 이 관계에는 10개의 등가 클래스만 있으며 숫자 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9는 다음과 같습니다. 완전한 대표 시스템. 이 동등 관계를 기반으로 하는 동등 클래스를 호출합니다. 공제 종류 모듈로 s.
정의 6: 요인 세트동치 관계 R에 관한 집합 A의 집합을 이 관계에 관한 모든 동치 클래스의 집합이라고 하며 A/R로 표시합니다.
나머지 클래스 세트는 모듈로 s로 표시됩니다. Z 초.
발생
정리(분할에 관한): R을 비어 있지 않은 집합 A에 대한 동치 관계로 둡니다. 그러면 몫 집합 A/R은 집합 A의 분할입니다.
증거:
"xОA(xО[x] R). 집합 A의 각 요소가 정확히 하나의 클래스에 속한다는 것을 증명해야 합니다. 즉, 클래스에 하나 이상의 공통 요소가 있으면 두 요소가 일치한다는 것을 증명할 것입니다. cО[ a] 및 cО [b]라고 하면 x R a, a R c, c R b Þ x R b (이동성 R)이므로 [a] М [b]와 유사합니다. ] М [a].
Q.E.D.
그 반대도 성립합니다. S를 집합 A의 분할로 두고 R s를 A에 대한 이진 관계로 설정하면 다음과 같이 됩니다. R=((x,y)ïx와 y는 분할의 동일한 요소에 속함) 그러면 R을 다음과 같이 호출합니다. 파티션 S에 의해 결정되는 관계.
정리 (뒤집다): S의 분할로 정의된 A의 관계 R은 A의 등가 관계이고 A/R s = S입니다. (독립적으로)
수업 과정:
1. A를 유한 집합으로 둡니다. 어떤 동치 관계가 가장 큰 수와 가장 작은 수의 동치 클래스를 제공합니까?
2. (A 1 , A 2 , ..., An )이 A와 A 유한의 분할이면 입니다.
주문관계.
평등의 개념(예를 들어 숫자)에서 등가의 수학적 개념이 발생합니다. 그리고 불평등의 개념으로부터 질서 관계라고 불리는 또 다른 유형의 관계가 발생합니다.
정의 1: 부분 주문집합 A에서 반사적, 반대칭적, 추이적 이항 관계가 있습니다.
부분 순서는 R과 £의 관계를 일반화한 것입니다. 다음 개념을 소개할 수 있습니다. 엄격한 질서 , 관계에 해당< на R. Отношение строгого порядка - только транзитивно(оно еще и антирефлексивно).
£가 주어지면 다음을 정의할 수 있습니다.<: a
순서 관계가 주어진 집합은 다음과 같이 표시됩니다.
(X, £) (또는 (X,<), если порядок строгий).
정의 2:순서관계가 주어진 집합을 집합이라고 한다. 부분적으로 주문했습니다.
예: A는 집합이다. ( 피 (일체 포함), 관계를 확인하는 것은 쉽습니다. Í 에 대한 순서 관계이다 피 (ㅏ).
정의 3: A에 대한 순서 R의 관계가 호출됩니다. 완벽한 (선의 ) 순서대로, if " x, yÎA (xR y Ú yR x). 집합 (A, R)을 선형 순서라고 합니다.
예:
1. 비율 £ 대 아르 자형완전한 주문 관계입니다. 따라서 ( 아르 자형,£) - 선형으로 주문됩니다.
2. 그리고 여기 ( 피 (일체 포함)은 선형적으로 정렬되지 않습니다.
3. 세트의 x£y Û y x N완전한 순서가 아닙니다
정의 4:하자 (아, £) 부분적으로 주문한 세트입니다. AOA 요소는 다음과 같습니다. 가장 작은/가장 큰/ A if " xОA (a£ x) /x £ a /. 요소 bОА가 호출됩니다. 최소/최대/ if " xÎA (x£ a Þ x=a) /a £ x Þ a=x /.
일:선형 순서 집합의 경우 가장 큰(최소) 요소와 최대(최소) 요소의 개념이 일치함을 증명하십시오. 일치하지 않는 부분적으로 정렬된 집합의 예를 들어보세요.
관계의 구성
집합 A, B, C와 A와 B 사이의 관계 S(즉, SÌA'B)와 B와 C 사이의 R(RÌB'C)이 주어집니다. A와 C 사이의 새로운 관계를 다음과 같이 정의해 보겠습니다.
정의 1:(x, z)О S 및 (z, y)О R이 되도록 zÎB가 존재하는 모든 쌍 (x, y)의 집합을 호출합니다. 관계의 구성 S와 R. 지정 : R o S . 따라서 R o S Ì A `` C 입니다.
R oS = ((x, y)| $zÎB((x,z)ÎSÙ(z,y)ÎR)) 또는 x R o Sy Û $zÎB(xSzÙzRy).
실시예 1 : A=(1, 2, 3), B=(1, 2, 3, 4, 5, 6), C=(3, 6, 9, 12), s =((1,2), (2 ,4), (3,6)), r=((1,3), (2,6), (3,9), (4,12)). 그러면 r o s=((1.6), (2.12))입니다.
그림의 상황을 설명해 보겠습니다.
실시예 2 : s와 r을 관계로 두자 N그렇게
S = ((x,x+1)ïxО N) 및 r = ((x 2 ,x)ïxО N). 그러면 D r = (x 2 ïxО N)=(1,4,9,16,25,...) 및 D s = N.
D r o s =(xïxО NÙ x+1=y 2 )=(3,8,15,24,...).
관계가 집합에 정의된 경우 자체적으로 결합될 수 있습니다.
sos = s 2 = ((x,x+2)½xО N) 및 ror = r 2 = ((x 4 ,x)½xО N}.
이 표기법을 사용하여 관계의 n제곱을 정의할 수 있습니다.
, 여기서 nО N, n>1.
예를 들어, 예제 2의 관계는 다음과 같습니다.
, 
나는 곱셈으로 비유를 보완하고 싶습니다. 이를 위해 다음과 같은 자연 정의를 도입합니다.
정의 2:이진 관계가 호출됩니다. 동일한, 부분 집합과 동일한 경우, 즉 R=S if"x,y((x,y)ÎRÛ(x,y)ÎS)입니다.
관계가 동일한 집합에 정의되어야 한다는 것은 분명합니다.
정리 (관계 구성의 속성):임의의 이진 관계 R, S, T에 대해 다음과 같은 등식이 유지됩니다.
1. (RoS)oT = Ro(SoT)
2. (RoS) -1 = S -1 또는 R -1
증거:
1) 모든 x와 y에 대해 다음이 있습니다.
x(RoS)oTy º $z(xTzÙ(zRoSy)) º $z$t(xTzÙ(zStÙtRy)) º $z$t((xTzÙzSt)ÙtRy) º $t(($z(xTzÙzSt))ÙtRy) º $t((xSoTt)ÙtRy) º xRo(SoT)y.
2) x(RoS) -1 y º yRoSx º $z(ySzÙzRx) º $z(xR -1 zÙzS -1 y) º xS -1 oR -1 y.
Q.E.D.
논평: R이 집합 A의 관계라면 I A oR=RoI A =R임이 분명합니다. 즉, I A는 숫자를 곱할 때 1처럼 행동합니다. 그러나 완전한 비유는 불가능합니다. 예를 들어 RoS는 정의할 수 있지만 SoR은 정의할 수 없기 때문에 일반적인 경우 교환성은 존재하지 않습니다. R -1 oR=RoR -1 = I A가 항상 의미가 있는 것은 아닙니다.
관계 종료
폐쇄의 개념은 근본적인 수학적 개념이며 대부분의 수학 분야에서 사용됩니다. 일반적인 예를 통해 이 개념을 설명하겠습니다. 객체 x 0과 프로세스 P를 취합니다. 이 프로세스는 순차적으로 적용될 때 특정 집합을 생성하고 따라서 시퀀스 x 1 , x 2 , ..., x n , 을 정의합니다. .. 그래서 x 1 ÎP(x 0), x 2 ÎP(x 1),..., x n ÎP(x n -1),... 
정의 1:프로세스 P를 사용하여 얻을 수 있고 x 0으로 시작하는 모든 시퀀스의 모든 요소를 포함하는 집합을 호출합니다. 프로세스 종료 x 0에 상대적인 P .
결과는 일부에 대해 Pn(x0)을 찾는 것이 분명합니다. N.이것 N우리는 사전에 알 수 없으며 프로세스 자체에 따라 다릅니다. 게다가 요소를 취하면 와이이 종료부터 프로세스를 적용하겠습니다. 아르 자형,그러면 우리는 새로운 것을 얻지 못할 것입니다. 즉, 세트는 이런 방식으로 확장될 수 없습니다. 세트는 닫혀 있습니다!
예 : ABCD로 표시된 정사각형 S를 선택하고 이 정사각형을 시계 방향으로 90° 회전시키는 과정 r을 생각해 보세요.
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어떤 집합에 관계 A를 정의해보자. 그 다음에:
정의 2: 전이적 폐쇄 주어진 집합의 관계 A를 관계 A +라고 합니다.
따라서 특정 집합의 비전이적 관계 A로부터 추이적 A + 를 구성할 수 있습니다.
예:
1. r - 비율 켜짐 N: r=((x, y)| y=x+1), 그러면 r + =((x, y)| x 2. 켜짐 큐: s=((x, y)| x 3. 켜짐 큐: t=((x, y)| x×y=1), 그러면 r + =((x, x)| x10) 4. L을 런던 지하철 역의 집합이라고 하자. L=(a, b, c) 연속 스테이션. N=((x, y)| y는 x를 따릅니다. 따라서 (a, b), (b, c) ОN; 또한 (a, a), (b, b), (c, c), (a, c) О N 2 . 이는 N + =L'L을 의미합니다. 일반적으로 말해서 전이적 폐쇄는 반사적이지 않습니다(예제 2). A를 X에 대한 관계로 설정합니다. A 0 =I X 로 설정합니다. 정의 3: 반사 폐쇄 A*관계 A를 관계라고 합니다. 예:
1. r*=((x, y)| x£y) I. 학급으로 나누기. 동등 관계 정의 2.1. 주어진 상황에서 필수적인 동일한 형식적 특징 세트를 갖는 주어진 세트 M의 객체만을 상호 교환 가능하다고 부르겠습니다. 객체 x와 상호 교환 가능한 모든 객체의 집합을 M x로 표시하겠습니다. x M x와 모든 M x의 합집합(M에서 가능한 모든 x에 대해)이 완전한 집합 M과 일치한다는 것은 명백합니다. 그렇다고 가정해보자. 이는 동시에 and 및에 속하는 일부 요소 z가 있음을 의미합니다. 따라서 x는 z와 상호 교환 가능하고 z는 y와 상호 교환 가능합니다. 따라서 x는 y와 상호교환 가능하므로 모든 요소와 호환됩니다. 따라서. 역방향 스위칭도 같은 방식으로 표시됩니다. 따라서 합집합(2.1)에서 발생하는 집합은 교차하지 않거나 완전히 일치하지 않습니다. 정의 2.2. 다음과 같은 경우 집합 M의 비어 있지 않은 부분 집합(M 1, M 2,….)의 시스템을 이 집합의 파티션이라고 부릅니다. 세트 자체를 파티션 클래스라고 합니다. 정의 2.3. 집합 M의 관계 c는 x와 y가 성립하는 집합 M의 분할 (M 1, M 2,...)이 있는 경우 동치(또는 동치 관계)라고 합니다. y는 주어진 파티션의 일부 일반 클래스 M i에 속합니다. (M 1 , M 2 ,….)을 집합 M의 분할이라고 가정합니다. 이 분할을 기반으로 우리는 c에서 M까지의 관계를 결정합니다. x와 y가 일부 일반 클래스 M i에 속하는 경우 (x, y) 이 파티션의. 분명히 와의 관계는 동등합니다. 주어진 분할에 해당하는 등가 관계를 호출해 보겠습니다. 정의 2.4. 각 하위 집합 M i에서 여기에 포함된 요소 x i를 선택하면 이 요소는 동일한 집합 M i에 포함된 모든 요소 y에 대한 표준이라고 합니다. 정의에 따르면, "표준이 됨"(x i, y) 관계 c*가 충족된다고 가정해 보겠습니다. 주어진 분할에 해당하는 등가 c는 다음과 같이 정의될 수 있음을 쉽게 알 수 있습니다: (z, y) z와 y가 공통 표준 (x i, z) 및 (x i, y)을 갖는 경우. 예제 2.1: 음이 아닌 정수의 집합을 M으로 간주하고 이를 짝수 집합 M 0과 홀수 집합 M 1로 분할합니다. 정수 집합에 해당하는 등가 관계는 다음과 같이 표시됩니다. n은 m 모듈로 2와 비슷합니다. 표준으로 짝수에 대해 0, 홀수에 대해 1을 선택하는 것이 당연합니다. 마찬가지로, 동일한 집합 M을 k 부분 집합 M 0, M 1,...M k-1로 나눕니다. 여기서 M j는 k로 나눌 때 나머지 j를 제공하는 모든 숫자로 구성되며 등가 관계에 도달합니다. 이는 n과 m이 k로 나누어졌을 때 동일한 나머지를 가지면 유지됩니다. 각 Mj에서 해당 나머지 j를 기준으로 선택하는 것은 당연합니다. II. 요인 세트 동치관계라 하자. 그런 다음 정리에 따르면 집합 M이 서로 동등한 요소 클래스, 즉 소위 동등 클래스로 분할(M 1, M 2,...)됩니다. 정의 2.5. 관계에 대한 등가 클래스의 집합은 M/으로 표시되고 관계에 대한 집합 M의 몫 집합으로 읽습니다. μ: M > S를 집합 M을 어떤 집합 S에 대한 전사 매핑이라고 둡니다. 모든 μ: M > S - 전사 매핑에 대해 집합 M에는 M/과 S가 일대일 대응이 될 수 있는 등가 관계가 있습니다. III. 동등성 속성 정의 2.6. 집합 M의 관계 c가 반사적, 대칭적, 추이적이면 동치 관계라고 합니다. 정리 2.1: 집합 M의 관계 c가 재귀적, 대칭적, 추이적이면 집합 M의 분할 (M 1 , M 2 ,….)이 존재하며 (x, y)는 x와 y는 주어진 파티션의 일부 일반 클래스 M i에 속합니다. 반대로, 분할이 주어지고 (M 1, M 2,...) 이진 관계 c가 "분할의 일반 클래스에 속함"으로 주어지면 c는 반사적, 대칭적, 추이적입니다. 증거: M에 대한 반사적, 대칭적, 이행적 관계 c를 고려하십시오. 모든 z는 (x, z) c인 모든 z로 구성됩니다. 정리 2.1: x와 y에 대해 또는 관계 c의 보조정리와 재귀성으로부터 형식 집합은 집합 M의 분할을 형성합니다. (이 분할은 자연스럽게 원래 관계에 해당하는 분할이라고 불릴 수 있습니다) 이제 (x, y)를 보자. c. 이는 y를 의미합니다. 그러나 (x, x) c에 의한 x도 있습니다. 따라서 두 요소가 모두 포함됩니다. 따라서 (x, y) c이면 x와 y는 일반 파티션 클래스에 포함됩니다. 반대로, u와 v를 보자. (u, v) c를 보여드리겠습니다. 실제로 (x, u) c와 (x, v) c가 있습니다. 따라서 대칭 (u, x)에 의해 c. 전이성에 의해 (u, x) c와 (x, v) c로부터 (u, v) c가 나옵니다. 정리의 첫 번째 부분이 입증되었습니다. 집합 M의 분할(M 1, M 2,….)이 주어집니다. 파티션의 모든 클래스의 결합이 M과 일치하면 모든 x가 일부 클래스에 포함됩니다. 이는 (x, x) c를 따른다. 즉, s - 반사적으로. x와 y가 어떤 클래스에 있으면 y와 x도 같은 클래스에 있습니다. 이는 (x, y) c가 (y, x) c를 의미함을 의미합니다. 관계는 대칭이다. 이제 (x, y) c와 (y, z) c를 유지합니다. 이는 x와 y가 어떤 클래스에 있고 y와 z가 어떤 클래스에 있음을 의미합니다. 클래스에는 공통 요소 y가 있으므로 일치합니다. 이는 x와 z가 클래스에 포함됨을 의미합니다. (x, z)는 유지되고 관계는 추이적입니다. 정리가 입증되었습니다. IV. 동등성에 대한 작업. 여기서 우리는 등가성에 대한 몇 가지 집합론적 연산을 정의하고 증명 없이 중요한 속성을 제시합니다. 관계는 쌍()이라는 점을 기억하세요. 여기서 M은 관계에 들어가는 요소 집합이고 관계가 충족되는 쌍의 집합입니다. 정의 2.7. 관계 (c 1, M)과 (c 2, M)의 교집합은 해당 하위 집합의 교집합으로 정의되는 관계입니다. (x, y)에 1이 있고 2가 있는 경우에만 (x, y)에 1이 있고 (x, y)에 2가 동시에 있는 경우입니다. 정리 2.2: 1과 2와 1과 2의 등가의 교집합은 그 자체가 등가 관계입니다. 정의 2.8. 관계 (with 1, M) 및 (with 2, M)의 합집합은 해당 하위 집합의 합집합으로 정의되는 관계입니다. (x, y) 1과 2인 경우에만 (x, y) 1 또는 (x, y) 2입니다. 정리 2.3: 1과 2의 등가 결합이 그 자체로 등가 관계가 되기 위해서는 다음이 필요하고 충분합니다. 1에서 2로 = 1에서 2로 정의 2.9. 관계식 (c 1, M 1)과 (c 2, M 2)의 직접적인 합을 비율이라고 합니다. 직접합은 (c 1, M 1) (c 2, M 2)로 표시됩니다. 따라서 (c 1, M 1) (c 2, M 2) = ()이면 M =입니다. 정리 2.4: 와 관계가 등가이면 관계의 직접적인 합 (c 1, M 1) (c 2, M 2) = ()도 등가입니다. V. 관계 유형 몇 가지 더 중요한 관계 유형을 소개하겠습니다. 예제는 세 번째 장에서 제공됩니다. 정의 2.10. 집합 M의 관계 c가 반사적이고 대칭적인 경우 관용이라고 합니다. 정의 2.11. 집합 M의 관계 c가 반반사적이고 추이적인 경우 엄격한 순서 관계라고 합니다. 정의 2.12. M의 요소 x와 y 쌍에 대해 (x, y) 또는 (y, x)가 참인 경우 엄격한 순서 관계 c를 완전 엄격한 순서라고 합니다. 정의 2.13. 집합 M의 관계 c가 다음 형식으로 표현될 수 있다면 엄격하지 않은 순서의 관계라고 합니다. 여기서 M에는 엄격한 순서가 있고 E는 대각선 관계입니다. 강의 22. 집합의 등가관계와 순서관계 1. 동등 관계. 등가 관계와 집합을 클래스로 분할하는 것 사이의 연결입니다. 2. 주문 관계. 엄격한 순서 관계와 비엄격한 순서 관계, 선형 순서 관계. 세트 주문. 3. 주요 결론 분수의 집합을 살펴보자 엑스= (1/2, 1/3, 1/4, 2/4, 2/6, 3/6) 동등 관계. 이 관계: 반사적으로, 모든 분수는 그 자체와 동일하기 때문입니다. 대칭적으로, 분수가 중/N분수와 같다 피/큐, 분수는 다음과 같습니다 피/큐분수와 같다 중/N; 전이적이기 때문에 분수는 중/N분수와 같다 피/큐그리고 분수 피/큐분수와 같다 아르 자형/에스, 분수는 다음과 같습니다 중/N분수와 같다 아르 자형/에스. 분수의 평등 관계는 다음과 같습니다. 등가 관계. 정의. 집합 X의 관계 R이 반사성, 대칭성, 이행성의 속성을 동시에 갖는 경우 동치 관계라고 합니다.
등가 관계의 예로는 기하학적 도형의 동등 관계, 선의 평행 관계(단, 일치하는 선이 평행한 것으로 간주되는 경우)가 있습니다. 수학에서 이러한 유형의 관계가 선택되는 이유는 무엇입니까? 집합에 정의된 분수의 동등 관계를 고려하세요. 엑스= (1/2, 1/3, 1/4, 2/4, 2/6, 3/6) (그림 106). 집합이 (1/2, 2/4, 3/6), (1/3, 2/6), (1/4)의 세 부분 집합으로 나누어져 있음을 알 수 있습니다. 이 하위 집합은 교차하지 않으며 해당 합집합은 집합과 일치합니다. 엑스,저것들. 우리는 세트의 파티션을 가지고 있습니다 엑스수업에. 이것은 우연이 아닙니다. 조금도, 집합 X에 동치 관계가 주어지면 이 집합을 쌍별 서로소 부분 집합(동등 클래스)으로 분할합니다. 따라서 우리는 분수 집합(1/2, 1/3, 1/4, 2/4, 2/6, 3/6)에 대한 동등 관계가 이 집합을 동등 클래스로 분할하는 것에 해당한다는 것을 확인했습니다. , 각각은 서로 동일한 분수로 구성됩니다. 그 반대도 마찬가지입니다. 집합 X에 정의된 관계가 이 집합을 클래스로 분할하는 경우 이는 동치 관계입니다. 예를 들어 세트장을 생각해 보세요. 엑스 =(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10) “3으로 나누면 나머지가 같다”는 관계. 세트의 파티션을 생성합니다. 엑스클래스로 분류: 하나는 3으로 나눌 때 나머지가 0이 남는 모든 숫자(숫자 3, 6, 9)를 포함하고, 두 번째 - 3으로 나눌 때 나머지가 1이 남는 숫자(숫자 1, 4)를 포함합니다. , 7 , 10), 세 번째에서는 모든 숫자를 3으로 나누면 나머지는 2입니다(숫자 2, 5, 8). 실제로 결과 부분 집합은 교차하지 않으며 해당 합집합은 집합과 일치합니다. 엑스.결과적으로, 집합에 정의된 "3으로 나누면 나머지가 같다"라는 관계가 정의됩니다. 엑스,동치관계이다. 등가 관계와 집합을 클래스로 분할하는 관계에 대한 설명에는 증거가 필요합니다. 우리는 그것을 내려 놓을 것입니다. 동치 관계에 이름이 있으면 해당 이름이 클래스에 부여된다고 가정해 보겠습니다. 예를 들어, 세그먼트 세트에 대해 동등 관계가 지정되면(그리고 이는 동등 관계임) 세그먼트 세트는 동일한 세그먼트의 클래스로 나뉩니다(그림 99 참조). 유사성 관계는 삼각형 집합을 유사한 삼각형 클래스로 분할하는 것에 해당합니다. 따라서 특정 집합에 대해 등가 관계를 가지면 이 집합을 클래스로 나눌 수 있습니다. 그러나 반대의 경우도 있습니다. 먼저 세트를 클래스로 나눈 다음 두 요소가 해당 파티션의 동일한 클래스에 속하는 경우에만 동일하다는 점을 고려하여 동등 관계를 정의합니다. 등가 관계를 사용하여 집합을 클래스로 분할하는 원리는 수학의 중요한 원리입니다. 왜? 첫째로, 동등 - 이는 동등함, 상호 교환 가능함을 의미합니다. 따라서 동일한 동등 클래스의 요소는 상호 교환 가능합니다. 따라서 동일한 등가 클래스(1/2, 2/4, 3/6)에 속하는 분수는 동등 관계의 관점에서 구별할 수 없으며 분수 3/6은 다른 분수(예: 1)로 대체될 수 있습니다. /2. 그리고 이 교체는 계산 결과를 변경하지 않습니다. 둘째, 동등 클래스에는 일부 관계의 관점에서 구별할 수 없는 요소가 있기 때문에 동등 클래스는 해당 대표자 중 하나에 의해 결정된다고 믿습니다. 이 클래스의 임의 요소입니다. 따라서 동일한 분수의 모든 클래스는 이 클래스에 속하는 분수를 지정하여 지정할 수 있습니다. 하나의 대표로 동등 클래스를 결정하면 집합의 모든 요소 대신 동등 클래스의 개별 대표 집합을 연구할 수 있습니다. 예를 들어, 다각형 집합에 정의된 "동일한 수의 꼭짓점을 갖는" 등가 관계는 이 집합을 삼각형, 사각형, 오각형 등의 클래스로 분할합니다. 특정 클래스에 내재된 속성은 해당 클래스의 대표자 중 하나에서 고려됩니다. 제삼, 등가 관계를 사용하여 집합을 클래스로 분할하는 것은 새로운 개념을 도입하는 데 사용됩니다. 예를 들어, "선 묶음"이라는 개념은 평행선에 공통되는 개념으로 정의할 수 있습니다. 일반적으로 사람이 사용하는 모든 개념은 특정 클래스의 동등성을 나타냅니다. "테이블", "집", "책" - 이러한 모든 개념은 동일한 목적을 가진 많은 특정 개체에 대한 일반화된 아이디어입니다. 또 다른 중요한 관계 유형은 다음과 같습니다. 주문 관계. 정의. 집합 X의 관계 R이 반대칭성과 이행성의 특성을 동시에 갖는 경우 순서 관계라고 합니다.
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순서 관계의 예는 다음과 같습니다. 자연수 집합에 대한 "보다 작은" 관계; 세그먼트 세트에서는 비대칭적이고 추이적이므로 관계가 "더 짧습니다". 순서 관계가 연결성 속성도 갖는 경우 이를 관계라고 합니다. 선형 순서. 예를 들어, 자연수 집합의 "보다 작음" 관계는 선형 순서 관계입니다. 왜냐하면 이 관계는 비대칭성, 이행성 및 연결성의 특성을 갖기 때문입니다. 정의. 순서 관계가 있는 집합 X를 순서라고 합니다.
따라서 자연수의 집합 N은 "보다 작음" 관계를 지정하여 정렬될 수 있습니다. 집합에 정의된 순서 관계인 경우 엑스,연결성의 속성을 갖고 있다면 우리는 이렇게 말합니다. 선형적으로 주문합니다한 무리의 엑스. 예를 들어, 자연수 집합은 "보다 작음" 관계와 "다수" 관계를 모두 사용하여 정렬될 수 있습니다. 둘 다 순서 관계입니다. 그러나 "다중" 관계와 달리 "작음" 관계는 연결성의 속성도 갖습니다. 이는 "보다 작음" 관계가 자연수 집합을 선형적으로 정렬한다는 것을 의미합니다. 모든 관계가 등가관계와 질서관계로 나누어진다고 생각해서는 안 된다. 등가관계도 아니고 순서관계도 아닌 관계가 엄청나게 많습니다. 분수 집합 X = ( )에 대한 등식 관계를 생각해 봅시다. 이 관계: 반사적으로, 모든 분수는 그 자체와 동일하기 때문입니다. 대칭적으로, 분수가 분수와 같다는 사실로부터 분수는 분수와 같습니다. 전이적, 분수는 분수와 같고 분수는 분수와 같기 때문에 분수는 분수와 같습니다. 분수의 등식 관계를 등가 관계라고 합니다. 정의. 집합 X의 관계 R이 반사성, 대칭성, 이행성의 속성을 동시에 갖는 경우 동치 관계라고 합니다.
. 등가 관계의 예로는 기하학적 도형의 동등 관계, 선의 평행 관계(단, 일치하는 선이 평행한 것으로 간주되는 경우)가 있습니다. 수학에서 이러한 유형의 관계가 선택되는 이유는 무엇입니까? 집합 X = ( )에 정의된 분수의 동등 관계를 고려해 보겠습니다. (그림 7). 세트가 세 개의 하위 세트로 나누어져 있음을 알 수 있습니다. 조금도 집합 X에 동치 관계가 주어지면 이 집합을 쌍별 서로소 부분 집합(동등 클래스)으로 분할합니다.
따라서 우리는 분수 집합에 대한 동등 관계를 확립했습니다. X = ( )는 이 세트를 등가 클래스로 분할하는 것에 해당하며, 각 클래스는 서로 동일한 분수로 구성됩니다. 그 반대도 마찬가지입니다. 집합 X에 정의된 관계가 이 집합을 클래스로 분할하는 경우 이는 동치 관계입니다.
예를 들어 X = (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10) 집합에서 "3으로 나눌 때 나머지가 같은" 관계를 생각해 보세요. 이는 집합 X를 클래스로 분할합니다. 하나는 3으로 나눈 나머지가 0인 모든 숫자(숫자 3, 6, 9)를 포함하고, 두 번째 클래스는 3으로 나눈 나머지 1이 남는 숫자를 포함합니다( 이것은 숫자 1, 4, 7, 10입니다. 세 번째는 모든 숫자입니다. 3으로 나누면 나머지는 2입니다 (숫자 2, 5, 8). 실제로 결과 부분 집합은 교차하지 않으며 그 합집합은 집합 X와 일치합니다. 결과적으로 집합 X에 정의된 "3으로 나눌 때 나머지가 동일하다"는 관계는 동치 관계입니다. 등가 관계와 집합을 클래스로 분할하는 관계에 대한 설명에는 증거가 필요합니다. 우리는 그것을 내려 놓을 것입니다. 동치 관계에 이름이 있으면 해당 이름이 클래스에 부여된다고 가정해 보겠습니다. 예를 들어, 세그먼트 집합에 동등 관계가 지정되면(동등 관계인 경우) 세그먼트 집합은 동일한 세그먼트 클래스로 나뉩니다(그림 4 참조). 유사성 관계는 삼각형 집합을 유사한 삼각형 클래스로 분할하는 것에 해당합니다. 따라서 특정 집합에 대해 등가 관계를 가지면 이 집합을 클래스로 나눌 수 있습니다. 그러나 반대의 경우도 있습니다. 먼저 세트를 클래스로 나눈 다음 두 요소가 해당 파티션의 동일한 클래스에 속하는 경우에만 동일하다는 점을 고려하여 동등 관계를 정의합니다. 등가 관계를 사용하여 집합을 클래스로 분할하는 원리는 수학의 중요한 원리입니다. 왜? 첫째로, 동등 - 이는 동등함, 상호 교환 가능함을 의미합니다. 따라서 동일한 동등 클래스의 요소는 상호 교환 가능합니다. 따라서 동일한 등가 클래스에 있는 분수는 분수와 구별할 수 없습니다. 예를 들어 평등 관계의 관점에서 분수는 다른 분수로 대체될 수 있으며, 이러한 대체는 계산 결과를 변경하지 않습니다. 둘째, 동등 클래스에는 일부 관계의 관점에서 구별할 수 없는 요소가 있기 때문에 동등 클래스는 해당 대표자 중 하나에 의해 결정된다고 믿습니다. 이 클래스의 임의 요소입니다. 따라서 동일한 분수의 모든 클래스는 이 클래스에 속하는 분수를 지정하여 지정할 수 있습니다. 하나의 대표로 동등 클래스를 결정하면 집합의 모든 요소 대신 동등 클래스의 개별 대표 집합을 연구할 수 있습니다. 예를 들어, 다각형 집합에 정의된 "동일한 수의 꼭짓점을 갖는" 등가 관계는 이 집합을 삼각형, 사각형, 오각형 등의 클래스로 분할합니다. 특정 클래스에 내재된 속성은 해당 클래스의 대표자 중 하나에서 고려됩니다. 제삼, 등가 관계를 사용하여 집합을 클래스로 분할하는 것은 새로운 개념을 도입하는 데 사용됩니다. 예를 들어, "선 묶음"이라는 개념은 평행선에 공통되는 개념으로 정의할 수 있습니다. 일반적으로 사람이 사용하는 모든 개념은 특정 클래스의 동등성을 나타냅니다. "테이블", "집", "책" - 이러한 모든 개념은 동일한 목적을 가진 많은 특정 개체에 대한 일반화된 아이디어입니다. 또 다른 중요한 관계 유형은 순서 관계입니다. 이는 다음과 같이 정의됩니다. 정의. 집합 X의 관계 R이 반대칭성과 이행성의 특성을 동시에 갖는 경우 순서 관계라고 합니다.
순서 관계의 예에는 다음이 포함됩니다. 자연수 집합에 대한 "보다 작은" 관계; 관계 세그먼트 집합은 반대칭적이고 추이적이므로 "더 짧습니다". 순서 관계에 연결성 특성도 있으면 선형 순서 관계라고 합니다. 예를 들어, 자연수 집합의 "보다 작음" 관계는 선형 순서 관계입니다. 왜냐하면 이 관계는 비대칭성, 이행성 및 연결성의 특성을 갖기 때문입니다. 정의. 순서 관계가 있는 집합 X를 순서라고 합니다.
따라서 자연수의 집합 N은 "보다 작음" 관계를 지정하여 정렬될 수 있습니다. 집합 X에 정의된 순서 관계가 연결성의 속성을 갖는 경우 집합 X를 선형적으로 정렬한다고 합니다. 예를 들어, 자연수 집합은 "보다 작음" 관계와 "다수" 관계를 모두 사용하여 정렬될 수 있습니다. 둘 다 순서 관계입니다. 그러나 "다중" 관계와 달리 "작음" 관계는 연결성의 속성도 갖습니다. 이는 "보다 작음" 관계가 자연수 집합을 선형적으로 정렬한다는 것을 의미합니다. 모든 관계가 등가관계와 질서관계로 나누어진다고 생각해서는 안 된다. 등가관계도 아니고 순서관계도 아닌 관계가 엄청나게 많습니다.
. 그건 
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이러한 하위 집합은 교차하지 않으며 해당 집합은 X 집합과 일치합니다. 즉, 집합 X를 클래스로 분할합니다. 이것은 우연이 아닙니다.