ಆದೇಶಿಸಿದ ಸೆಟ್‌ಗಳು

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 1.ಒಂದು ಗೊಂಚಲು ಎಂಎಂದು ಕರೆದರು ಆದೇಶಿಸಿದರು, ಅದರ ಅಂಶಗಳ ನಡುವೆ ಕೆಲವು ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಿದರೆ ಎಬಿ(" ಎಮುಂದಾಗಿದೆ ಬಿ"), ಈ ಕೆಳಗಿನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ: 1) ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಅಂಶಗಳ ನಡುವೆ ಎಮತ್ತು ಬಿಮೂರು ಸಂಬಂಧಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಮತ್ತು ಒಂದೇ ಒಂದು ಇದೆ: ಎ = ಬಿ, ಎ b, ಬಿ a; 2) ಯಾವುದೇ ಮೂರು ಅಂಶಗಳಿಗೆ ಎ, ಬಿಮತ್ತು ಸಿನಿಂದ ಎ b, ಬಿಸಿ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ ಎಸಿ.

ಖಾಲಿ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಆದೇಶಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಕಾಮೆಂಟ್ ಮಾಡಿ.ನಾವು ಯಾವಾಗಲೂ = ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಗುರುತು, ಅಂಶಗಳ ಕಾಕತಾಳೀಯತೆಯ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ರೆಕಾರ್ಡ್ ಮಾಡಿ ಎ = ಬಿಸರಳವಾಗಿ ಅಕ್ಷರಗಳಲ್ಲಿ ಅರ್ಥ ಎಮತ್ತು ಬಿಸೆಟ್ನ ಅದೇ ಅಂಶವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಎಂ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಆಸ್ತಿ 1) ಇದು ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ಅಂಶಗಳ ನಡುವೆ ಒಂದು ಮತ್ತು ಎರಡು ಸಂಬಂಧಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಮಾತ್ರ ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ ಎಬಿ ಅಥವಾ ಬಿಎ.

ಒಂದು ವೇಳೆ ಎಮುಂದಾಗಿದೆ ಬಿ, ನಂತರ ಅವರು ಹೇಳುತ್ತಾರೆ ಬಿಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ ಎಮತ್ತು ಬರೆಯಿರಿ: ಬಿ > ಎ.

ವರ್ತನೆ ಎ > ಬಿಇದು ಸುಲಭವಾಗಿ ಪರಿಶೀಲಿಸಬಹುದಾದಂತೆ, 1) ಮತ್ತು 2) ನಂತಹ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಇದನ್ನು ಮುಖ್ಯವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು, ನಂತರ ಅದರ ಮೂಲಕ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು ಎಬಿ.

ಆದೇಶಿಸಿದ ಸೆಟ್‌ನಲ್ಲಿದ್ದರೆ ಎಂಸಂಬಂಧದ ಪಾತ್ರಗಳನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಿ, ಅಂದರೆ ಬದಲಾಗಿ ಎಬಿ ಬರೆಯಿರಿ ಎ > ಬಿ, ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯಾಗಿ, ನಾವು ಹೊಸ ಆದೇಶದ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ಎಂ", ಇದರ ಕ್ರಮವು ಕ್ರಮಕ್ಕೆ ವ್ಯತಿರಿಕ್ತವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪಿನ ಮೇಲಿನ ಕ್ರಮಕ್ಕಾಗಿ, ಕ್ರಮವನ್ನು ಹಿಂತಿರುಗಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಒಂದೇ ಅಂಶಗಳಿಂದ ಸಂಯೋಜಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ಎರಡು ಆದೇಶದ ಸೆಟ್‌ಗಳು, ಆದರೆ ವಿಭಿನ್ನ ಕ್ರಮಗಳಲ್ಲಿ ಜೋಡಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿರುತ್ತವೆ, ವಿಭಿನ್ನವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಅದರ ಅಂಶಗಳ ಮೂಲಕ ಆದೇಶಿಸಿದ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವಾಗ, ಅವರ ಕ್ರಮವನ್ನು ಸೂಚಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. ಎಡದಿಂದ ಬಲಕ್ಕೆ ಸಂಕೇತವು ಅಂಶಗಳ ಕ್ರಮಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಭಾವಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಹಿಂದಿನ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಸುರುಳಿಯಾಕಾರದ ಕಟ್ಟುಪಟ್ಟಿಗಳೊಂದಿಗೆ ನಾವು ಉಳಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಒಂದೇ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ವಿವಿಧ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಆದೇಶಿಸಬಹುದು (ಇದು ಕನಿಷ್ಠ ಎರಡು ಅಂಶಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ). ಹೀಗಾಗಿ, ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಅಥವಾ ಹಿಮ್ಮುಖ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಕ್ರಮಗೊಳಿಸಬಹುದು ಅಥವಾ ಸಮ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮುಂದೆ ಅಥವಾ ಪ್ರತಿಯಾಗಿ, ಆರೋಹಣ ಅಥವಾ ಅವರೋಹಣ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಜೋಡಿಸಬಹುದು. ನಾವು ಆದೇಶದ ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ ಇನ್ನೂ ಸ್ವಲ್ಪನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಿಂತ ಬಿ(ಮತ್ತು ಗೊತ್ತುಪಡಿಸಿ a > b), a = b + k ನಂತಹ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ k ಇದ್ದರೆ.

ಪ್ರಮೇಯ 1. ಒಂದು ಯಾವುದೇ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಿಂತ ದೊಡ್ಡದಲ್ಲ.

ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಷರತ್ತು 1 > a 1 = a + k ಅನ್ನು ಒಳಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಇದು ಅಸಾಧ್ಯವಾಗಿದೆ: k = 1 ಗಾಗಿ ನಾವು 1 = a / ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಇದು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊದಲ ಮೂಲತತ್ವವನ್ನು ವಿರೋಧಿಸುತ್ತದೆ; k ¹ 1 ಗಾಗಿ ನಾವು ಅದರ ಪೂರ್ವವರ್ತಿಯನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಮತ್ತೆ ಅದೇ ವಿರೋಧಾಭಾಸಕ್ಕೆ ಬರುತ್ತೇವೆ.

ಈ "ಹೆಚ್ಚು" ಸಂಬಂಧ ವಿರೋಧಿ ಪ್ರತಿಫಲಿತ(ಇದು ನಿಜವಲ್ಲ a > a) ಮತ್ತು ಸಕರ್ಮಕ(a > b /\ b > c => a > c), ಅಂದರೆ, ಆಗಿದೆ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ಆದೇಶದ ಸಂಬಂಧ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಈ ಸಂಬಂಧವು ರೇಖೀಯ ಕ್ರಮದ ಸಂಬಂಧವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ, ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪಿಗೆ ಟ್ರೈಕೊಟಮಿ ಪ್ರಮೇಯವು ಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ:

ಟ್ರೈಕೋಟಮಿ ಪ್ರಮೇಯ:ಯಾವುದೇ ಎರಡು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಮೂರು ಹೇಳಿಕೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಮತ್ತು ಕೇವಲ ಒಂದು ಮಾತ್ರ ನಿಜ:

ಪುರಾವೆ: ಮೊದಲಿಗೆ ನಾವು ಮೂರು ಷರತ್ತುಗಳಲ್ಲಿ ಎರಡನ್ನು ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತೇವೆ. ನಂತರ 1 ಮತ್ತು 2 ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ

a = b + k, b = a + n => a = a + (n + k) => a > a,

ಇದು "ಹೆಚ್ಚು" ವರ್ತನೆಯ ವಿರೋಧಿ ಪ್ರತಿಫಲಿತತೆಯನ್ನು ವಿರೋಧಿಸುತ್ತದೆ. ಅಂತೆಯೇ, ಷರತ್ತುಗಳು 2 ಮತ್ತು 3 ಮತ್ತು ಷರತ್ತುಗಳು 1 ಮತ್ತು 3 ರ ಅಸಾಮರಸ್ಯವನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಈಗ ನಾವು ಎ ಮತ್ತು ಬಿ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಮೂರು ಷರತ್ತುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕು ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ. ನಾವು b ನಲ್ಲಿ ಗಣಿತದ ಇಂಡಕ್ಷನ್ ಅನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ. b = 1 ಗಾಗಿ, a ಅನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ: a = 1 = b, ಅಥವಾ a ಗೆ ಪೂರ್ವವರ್ತಿ ಇರುತ್ತದೆ, ನಂತರ

a = c / = c + 1 = 1 + c = b + c => a > b.

ಹೀಗಾಗಿ, b = 1 ಪ್ರಮೇಯವು ನಿಜವಾಗಿದೆ. ಪ್ರಮೇಯವು ಕೆಲವು x ಗೆ ಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಇಂಡಕ್ಷನ್ ಊಹೆಯನ್ನು ಮಾಡೋಣ, ಅವುಗಳೆಂದರೆ, x ಸಂಖ್ಯೆ a ಗೆ ಹೋಲಿಸಬಹುದು, ಅಂದರೆ, ಮೂರು ಆಯ್ಕೆಗಳು ಸಾಧ್ಯ: a > x, ಅಥವಾ x > a, ಅಥವಾ x = a. ನಂತರ ನಾವು x/ ಅನ್ನು a ಗೆ ಹೋಲಿಸಬಹುದು ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ. ಮೊದಲ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, a > x, ಅಂದರೆ a = x + k. ಕೊಟ್ಟಿರುವ k 1 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿದೆಯೇ ಅಥವಾ ಇಲ್ಲವೇ ಎಂಬುದನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

a) a = x + 1 = x / (ಪ್ರಮೇಯವು ನಿಜ)

b) a = x + c / = x + c + 1 = x + 1 + c = x / + c => a > x / .

ಎರಡನೇ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ x > a, ಆದರೆ ನಂತರ

x / = (a + m) +1 = a + (m + 1),

ಅಂದರೆ, x /> a. ಅಂತೆಯೇ, x = a, x / = x + 1 = a + 1, ಅಂದರೆ ಮತ್ತೆ x / > a. ಪ್ರಮೇಯವು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ.

ಈಗ ನೀವು ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಬಹುದು<, £, ³.

ಎ< b ó b >a;

a £ b ó a< b \/ a = b

a ³ bó a > b \/ a = b.

ಏಕತಾನತೆಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು:

ಸೇರ್ಪಡೆ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಾಗಿ:

1) a > b => a + c > b + c;

2) a + c > b + c => a > b;

3) a > b /\ c > d=> a + c > b + d.

<, £, ³.

ಗುಣಾಕಾರ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಾಗಿ:

4) a > b => a×c > b×c;

5) ಸಂಕೋಚನದ ನಿಯಮ: ac = bc => a = b

6) ac > bc => a > b;

7) a > b /\ c > d=> ac > bd.

ಅದೇ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಇತರ ಚಿಹ್ನೆಗಳಿಗೆ ಸಂಭವಿಸುತ್ತವೆ<, £, ³.

ನಾವು 4 ಮತ್ತು 5 ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿ ನೀಡೋಣ. a > b, ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ a = b + k, ನಂತರ a×c = (b + k)×c = b×c + k×c, ಅಂದರೆ a ×c > b×c, ಮತ್ತು ಆಸ್ತಿ 4 ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ. ನಾವು ಆಸ್ತಿ 5 ಅನ್ನು ವಿರೋಧಾಭಾಸದಿಂದ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ. ac = bc ಆಗಿರಲಿ, ಆದರೆ a ≠ b ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ, ಆದರೆ ನಂತರ, ಟ್ರೈಕೋಟಮಿ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ, a > b, ಅಥವಾ b > a, ಆದರೆ ಇದರರ್ಥ, ಆಸ್ತಿ 4 ರ ಪ್ರಕಾರ, ac > bc, ಅಥವಾ bc > ac, ಇದು ಸ್ಥಿತಿಗೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿದೆ (ac = bc).

ವಿವೇಚನೆಯ ಪ್ರಮೇಯ.ನೀವು ಎರಡು ಪಕ್ಕದ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ನಡುವೆ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸೇರಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ:

(" a, x О N) ಇದು ನಿಜವಲ್ಲ a< x < a /

ಪುರಾವೆ(ವಿರೋಧಾಭಾಸ ವಿಧಾನದಿಂದ). ಅವಕಾಶ ಎ< x < a / . Тогда х = а + k,

a / = x + n = a + k + n => a + 1 = a + k + n => 1 = k + n.

ಕೊನೆಯ ಸಮಾನತೆ ಅಸಾಧ್ಯ, ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಯಾವುದೇ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಿಂತ ದೊಡ್ಡದಲ್ಲ ಎಂಬ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ವಿರೋಧಿಸುತ್ತದೆ.

ಆರ್ಕಿಮಿಡೀಸ್ ಗೋಪುರ.ಯಾವುದೇ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ a ಮತ್ತು b, ಒಂದು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ n ಇರುತ್ತದೆ ಅಂತಹ a< bn.

ನಾವು b ನಲ್ಲಿ ಇಂಡಕ್ಷನ್ ಮೂಲಕ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತೇವೆ. b = 1 ಗಾಗಿ, n = a / . b = k ಗೆ ಅಗತ್ಯವಿರುವ n ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಅನುಗಮನದ ಊಹೆಯನ್ನು ಮಾಡೋಣ, ಅಂದರೆ, a< kn. Но тогда тем более a < k / n = kn + k. Теорема доказана.

ಸೆಟ್ನ ಚಿಕ್ಕ ಅಂಶ ಎಂನಾವು О М ಯೊಂದಿಗೆ ಒಂದು ಅಂಶವನ್ನು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ ಅಂದರೆ ಯಾವುದೇ ಅಂಶಗಳಿಗೆ m О M ಕೆಳಗಿನ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ: с ≤ m.

ಕನಿಷ್ಠ ಅಂಶ ಪ್ರಮೇಯ. ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪಿನ ಯಾವುದೇ ಖಾಲಿ-ಅಲ್ಲದ ಉಪವಿಭಾಗವು ಚಿಕ್ಕ ಅಂಶವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ.

ಪುರಾವೆ: M 1 ಅನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ N ನ ಉಪವಿಭಾಗವಾಗಿದ್ದರೆ, 1 ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಚಿಕ್ಕ ಅಂಶವಾಗಿರುತ್ತದೆ. M ಸೆಟ್‌ನಲ್ಲಿ 1 ಅನ್ನು ಸೇರಿಸದಿದ್ದರೆ, M ಸೆಟ್‌ನಿಂದ ಎಲ್ಲಾ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗಿಂತ ಚಿಕ್ಕದಾದ ಎಲ್ಲಾ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಸಹಾಯಕ ಸೆಟ್ A ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ:

ಎ = (ಎ ಓ ಎನ್| (" m О M) a< m}.

ಈ ನಿರ್ಮಾಣದಿಂದ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, A ಮತ್ತು M ಸೆಟ್‌ಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, A ಖಾಲಿಯಾಗಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ 1 Î A. A ನಲ್ಲಿ b ಅಂಶವೂ ಇದೆ, ಅಂದರೆ b / Ï A. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಅಂತಹ ಯಾವುದೇ ಅಂಶವಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಪ್ರಚೋದನೆಯ ಮೂಲತತ್ವದಿಂದ ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು A = ಎನ್, ಆದರೆ ನಂತರ M ಖಾಲಿಯಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಇದು ಪ್ರಮೇಯದ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಬಿ / = ಸಿ ಅಂಶವು M ಸೆಟ್‌ನಲ್ಲಿ ನಿಖರವಾಗಿ ಚಿಕ್ಕ ಅಂಶವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಯಾವುದೇ m ОМ ಗೆ c £ m (ಇದು ಹಾಗಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಅಸಮಾನತೆ c > m ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ನೈಸರ್ಗಿಕ m ಗಾಗಿ ನಿಜವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಬಿ ಓ ಎ , ಆದ್ದರಿಂದ ಬಿ< m < c = b / , что противоречит теореме о дискретности). Кроме того, с не может быть строго меньше всех элементов множества М, иначе с Î А, что противоречит его выбору. Таким образом, с равен хотя бы одному элементу из М, а значит с Î М, то есть действительно с – наименьший элемент множества М. Теорема доказана.

ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಉಪವಿಭಾಗವು ಶ್ರೇಷ್ಠ ಅಂಶವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಈ ಉಪವಿಭಾಗವು ಪರಿಮಿತವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದು ಸಹ ಶ್ರೇಷ್ಠ ಅಂಶವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವೂ ನಿಜ. ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪಿನ ಉಪವಿಭಾಗವು ದೊಡ್ಡ ಅಂಶವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಈ ಉಪವಿಭಾಗವು ಸೀಮಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇನ್ನೂ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯ ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ: ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪಿನ ಖಾಲಿ-ಅಲ್ಲದ ಉಪವಿಭಾಗವು ಮೇಲಿನಿಂದ ಸೀಮಿತವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಅದು ಸೀಮಿತವಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ (ಅತಿದೊಡ್ಡ ಅಂಶವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ).

ಸ್ವತಂತ್ರ ಪರಿಹಾರಕ್ಕಾಗಿ ಕಾರ್ಯಗಳು

ಸಂಖ್ಯೆ 1.8. ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ "ಹೆಚ್ಚು" ಸಂಬಂಧವು ವಿರೋಧಿ ಪ್ರತಿಫಲಿತ ಮತ್ತು ಟ್ರಾನ್ಸಿಟಿವ್ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ.

ಸಂಖ್ಯೆ 1.9. ಈ ವಿಭಾಗದಿಂದ 1, 2, 3, 6, 7 ಏಕತಾನತೆಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ.

ಸಂಖ್ಯೆ 1.10. ಎಲ್ಲಾ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ n

a) 5 n > 7n - 3;

ಬಿ) 2n +2> 2n + 5;

ಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ (ನಿಜವಾದ) ಶಾಲಾ ಗಣಿತ ಕೋರ್ಸ್‌ಗಳಿಂದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಚೆನ್ನಾಗಿ ತಿಳಿದಿವೆ. ನಮ್ಮಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬರೂ ಸುಲಭವಾಗಿ ಗ್ರಹಿಸಬಹುದಾದ ಅವರ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಮೇಲೆ ನಾವು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ ವಾಸಿಸೋಣ. ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಅಂಶಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ.

ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಆದೇಶಿಸಿ

ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ %%a%% ಮತ್ತು %%b%% ಆದೇಶ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ. ಯಾವುದೇ ಎರಡು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು %%a%% ಮತ್ತು %%b%% ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಂಬಂಧಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತವೆ: %%a< b, a = b%% или %%a >b%%; ಮೇಲಾಗಿ, %%a ವೇಳೆ< b%% и %%b < c%%, то %%a < c%%.

ಸೇರ್ಪಡೆ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು

ಮೊತ್ತಮತ್ತು %%a + b%% ನಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ.

1. ಸಂವಹನಶೀಲತೆ: %%a + b = b + a %%.
2. ಸಹಭಾಗಿತ್ವ: %%a + (b + c) = (a + b) + c%% ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ %%a, b%% ಮತ್ತು %%c%%.
3. ಶೂನ್ಯಮತ್ತು %%0%% ನಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ %%a + 0 = a%% ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ %%a%%.
4. ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ %%a%% ಎಂಬ ಸಂಖ್ಯೆ ಇರುತ್ತದೆ ವಿರುದ್ದ%%a%% ಮತ್ತು %%-a%% ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು %%a + (-a) = 0%%.
5. ಒಂದು ವೇಳೆ< b%%, то %%a + c < b + c%% для любого числа %%c%%. Нуль единственен, и для каждого числа единственно противоположное ему число. Для любой пары чисел %%a%% и %%b%% число %%a + (-b) %% называют ವ್ಯತ್ಯಾಸಸಂಖ್ಯೆಗಳು %%a%% ಮತ್ತು %%b%% ಮತ್ತು %%a - b%% ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತವೆ.

ಗುಣಾಕಾರ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು

%%a%% ಮತ್ತು %%b%% ಯಾವುದೇ ಜೋಡಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಅವುಗಳ ಎಂಬ ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆ ಇರುತ್ತದೆ ಕೆಲಸಮತ್ತು %%ab%% (ಅಥವಾ %%a \cdot b%%) ನಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಕೆಳಗಿನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ.

1. ಸಂವಹನಶೀಲತೆ: %%ab = ba%%.
2. ಸಹಭಾಗಿತ್ವ: %%a(bc) = (ab)c%% ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ %%a, b%% ಮತ್ತು %%c%%.
3. ಎಂಬ ಸಂಖ್ಯೆ ಇದೆ ಘಟಕಮತ್ತು %%1%% ನಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗಿದೆ, %%a \cdot 1 = a%% ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ %%a%%.
4. ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗದ %%a%% ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ, ಎಂಬ ಸಂಖ್ಯೆ ಇರುತ್ತದೆ ಹಿಮ್ಮುಖಇದಕ್ಕೆ ಮತ್ತು %%1 / a%% ನಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು %%a \cdot (1 / a) = 1%%.
5. %%a%% ಅಥವಾ %%b%%, ಅಥವಾ %%a%% ಮತ್ತು %%b%% ಎರಡೂ ಶೂನ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ, ಆಗ %%ab = 0%%.
6. ಒಂದು ವೇಳೆ< b%% и %%c >0%%, ನಂತರ %%ac< bc%%. Единица единственна, и для каждого ненулевого числа существует единственное обратное к нему. Для любой пары чисел %%a%% и %%b (b \neq 0)%% число %%a \cdot (1/b)%% называют ಖಾಸಗಿ%%a%% ಅನ್ನು %%b%% ರಿಂದ ಭಾಗಿಸುವುದರಿಂದ ಮತ್ತು %%a/b%% ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ವಿತರಣಾ ಆಸ್ತಿ

ಯಾವುದೇ ಟ್ರಿಪಲ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ %%a, b%% ಮತ್ತು %%c%% ಸಮಾನತೆ %%(a + b)c = ac + bc%% ಹೊಂದಿದೆ.

ಆರ್ಕಿಮಿಡಿಯನ್ ಆಸ್ತಿ

%%a%% ಸಂಖ್ಯೆ ಏನೇ ಇರಲಿ, %%n \ in \mathbb(N)%% ಅಂದರೆ %%n > a%% ಒಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕವಿರುತ್ತದೆ.

ಅಕ್ಕಿ. 1. ಸಂಖ್ಯೆ ಸಾಲು

ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮುಂದಿನ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ರೂಪಿಸುವ ಮೊದಲು, ರೇಖೆಯನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ ಉಲ್ಲೇಖದ ಚೌಕಟ್ಟು, ಈ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ನಿಗದಿಪಡಿಸಿದರೆ (ಅಂಜೂರ 1 ರಲ್ಲಿ ಅಂಕಗಳು %% O%% ಮತ್ತು %%e%%). ಎಡಭಾಗವನ್ನು (ಪಾಯಿಂಟ್ %%O%%) ಮೂಲ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು %%Oe%% ವಿಭಾಗದ ಉದ್ದವು ಪ್ರಮಾಣದ ಘಟಕವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ನೀಡಿರುವ ಉಲ್ಲೇಖ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ನೇರ ರೇಖೆಯನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸಮನ್ವಯ ಅಕ್ಷ. ಇದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ %%Ox%% ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪಾಯಿಂಟ್ %%O%% ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಅಕ್ಷವನ್ನು ಎರಡು ಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುತ್ತದೆ: ಧನಾತ್ಮಕ ಅರೆ-ಅಕ್ಷ, ಅಲ್ಲಿ ಪಾಯಿಂಟ್ %%e%% ಇರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಋಣಾತ್ಮಕ ಅರೆ-ಅಕ್ಷ.

ಸಮನ್ವಯಗೊಳಿಸು%%Ox%% ಅಕ್ಷದ ಮೇಲಿನ %%M%% ಅಂಕಗಳು %% OM%% %% OM%% ನ ಉದ್ದವಾಗಿದ್ದು, %%+%% ಚಿಹ್ನೆಯೊಂದಿಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗಿದೆ, %%M%% ಬಿಂದುವು ಧನಾತ್ಮಕ ಅರೆ-ಮೇಲೆ ಇದ್ದರೆ ಅಕ್ಷ, ಮತ್ತು %%-% % ಚಿಹ್ನೆಯೊಂದಿಗೆ, ಪಾಯಿಂಟ್ %%M%% ಋಣಾತ್ಮಕ ಅರೆ-ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಇದ್ದರೆ.

ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, %%Ox%% ಅಕ್ಷದ ಪ್ರತಿ ಪಾಯಿಂಟ್ %%M%% ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆ %%x%% ಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ, ಅವುಗಳೆಂದರೆ ಅದರ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ. ಮತ್ತು ವ್ಯತಿರಿಕ್ತವಾಗಿ, %%Ox%% ಅಕ್ಷದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಈ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಅದರ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕವಾಗಿರುವ ಬಿಂದುವಿಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ. ಇದು ಅಗತ್ಯವಿದ್ದಾಗ, %%e = 1%%, %%O = 0%% ನೊಂದಿಗೆ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಕೆಲವು ಸಾಲಿನ ಬಿಂದುಗಳ ನಡುವೆ ಈ ರೀತಿಯ ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರವನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಭಾವಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಹೀಗಾಗಿ, ಎಲ್ಲಾ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಾಲು. ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ, ಸಂಖ್ಯಾ ರೇಖೆಯ ಬದಲಿಗೆ, "ನೈಜ ರೇಖೆ" ಎಂಬ ಪದವನ್ನು ಸಹ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಂಖ್ಯಾ ರೇಖೆಯ ಮೇಲಿನ ಅಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸುವುದು ಭವಿಷ್ಯದಲ್ಲಿ ಅತ್ಯಂತ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಹೊಸ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳ ಪರಿಚಯವನ್ನು ಪ್ರೇರೇಪಿಸುತ್ತದೆ.

ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪಿನ %%X%% ಉಪವಿಭಾಗವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಈ ಮಧ್ಯೇ, ಇದರ ಮಧ್ಯದಲ್ಲಿ, ಒಂದು ವೇಳೆ, ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳು %%x_1, x_2%% ಜೊತೆಗೆ, ಈ ಉಪವಿಭಾಗವು ಅವುಗಳ ನಡುವೆ ಯಾವುದೇ %%x%% ಅನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಕೆಳಗಿನ ರೀತಿಯ ಅಂತರವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

• %%(a, b) = \(x: a< x < b\}%% - ಮಧ್ಯಂತರ, ಅಥವಾ ತೆರೆದ ಹರವು;
• %% = \(x: a \leq x \leq b\)%% - ಸಾಲಿನ ವಿಭಾಗ, ಅಥವಾ ಮುಚ್ಚಿದ ಅಂತರ(ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ "ವಿಭಾಗ" ಎಂಬ ಪದವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ);
• %%(a, b] = \(x: a< x \leq b\}%% и %% \supseteq %%, то отрезок %%%% называют ಗೂಡುಕಟ್ಟಿದೆ%%%% ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ.

  ನಿರಂತರತೆಯ ಆಸ್ತಿ

  ನೆಸ್ಟೆಡ್ ವಿಭಾಗಗಳ ಯಾವುದೇ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ $$ \supseteq \supseteq \supseteq \ldots \supseteq \supseteq \ldots $$ ಈ ಸಿಸ್ಟಂನ ಎಲ್ಲಾ ವಿಭಾಗಗಳಿಗೆ ಸೇರಿದ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಪಾಯಿಂಟ್ ಇರುತ್ತದೆ. ಈ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ನೆಸ್ಟೆಡ್ ವಿಭಾಗಗಳ ತತ್ವ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ (ಕ್ಯಾಂಟರ್ ತತ್ವ).

  ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಲಾದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಿಂದ ಒಬ್ಬರು 1 > 0 ಅನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು, ಹಾಗೆಯೇ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು; ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸಲು ಮತ್ತು ಭಾಗಿಸಲು ಚಿಹ್ನೆಗಳ ನಿಯಮಗಳು; ಸಮಾನತೆಗಳು ಮತ್ತು ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸುವ ನಿಯಮಗಳು; ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು.

  ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯ

  ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯ(ಅಥವಾ ಘಟಕ) %%|a|%% ಯಾವುದೇ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಯ %%a%% ಒಂದು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದ್ದು ಅದು ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತದೆ: $$ |a| = \begin(ಪ್ರಕರಣಗಳು) a, \text( if ) a \geq 0 \\ -a, \text( if ) a< 0 \end{cases} ~~~~~~~~~~(1) $$

  ಯಾವುದೇ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯವು ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ %%(|a| \geq 0)%%, ಹಾಗೆಯೇ $$ \begin(array)(l) |a| = |-a|, \\ |a| \geq a, \\ |a| \geq -a, \\ -|a| \leq a \leq |a|. \ end(array)~~~~~~~~~~~ (2) $$

  ಜ್ಯಾಮಿತೀಯವಾಗಿ, %%|a|%% %%0%% ಮತ್ತು %%a%% ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿರುವ ಬಿಂದುಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ.

  ಅಸಮಾನತೆ %%|a|< \varepsilon%%, где %%\varepsilon%% - некоторое положительное число (%%\varepsilon >0%%) . ನಂತರ ಈ ಅಸಮಾನತೆಯು ಡಬಲ್ ಅಸಮಾನತೆ $$ -\varepsilon ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ< a < \varepsilon. $$ Равносильность рассмотренных неравенств будет сохранена, если строгие неравенства (%%<%%) заменить на нестрогие (%%\leq%%): %%|a| \leq \varepsilon%% равносильно %%-\varepsilon \leq a \leq \varepsilon%%.

  ಯಾವುದೇ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ %%a%% ಮತ್ತು %%b%% ಸಮಾನತೆ $$ |ab| = |ಎ||ಬಿ| ~~~~~~~~~~(3) $$ ಮತ್ತು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಅಸಮಾನತೆಗಳು ಹಿಡಿದಿವೆ: $$ \begin(array)(lr) |a + b| \leq |a| + |b| &~~~~~~~~~~(4),\\ |a - b| \geq \big||a| - |b|\bg|&~~~~~~~~~~~ (5). \end(ಅರೇ) $$

  (1) ಮತ್ತು (2) ಬಳಸಿ, ನಾವು ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು (4) ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ: %%a + b \geq 0%% ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ $$ |a + b| = a + b \leq |a| + |b| $$ ಮತ್ತು %%a + b ಆಗಿದ್ದರೆ< 0%%, то $$ |a + b| = -(a + b) = (-a) + (-b) < |a| + |b| $$

  ಮೇಲಿನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಎಲ್ಲಾ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ.

  ಎಲ್ಲಾ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸೆಟ್, ಹಾಗೆಯೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿರುವ ಬಿಂದುಗಳ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ %%\mathbb R%% ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

  ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ಸೆಟ್

  ಮರುಪೂರಣಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆ(ಅಥವಾ ವಿಸ್ತರಿಸಿದೆ) ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸೆಟ್ ಎಲ್ಲಾ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಂದ %%x \in \mathbb R%% ಎರಡು ಅಂಶಗಳ ಸೇರ್ಪಡೆಯೊಂದಿಗೆ ರೂಪುಗೊಂಡ ಸೆಟ್ ಆಗಿದೆ, %%+\infty%% (“ಜೊತೆಗೆ ಅನಂತ”) ಮತ್ತು %%-\ infty%% ( "ಮೈನಸ್ ಇನ್ಫಿನಿಟಿ") %%-\infty ಎಂದು ನಂಬಲಾಗಿದೆ< +\infty%% и для всех чисел %%x \in \mathbb R%% справедливо %%-\infty < x < +\infty%%. Пополненное множество обозначают %%\overline{\mathbb R}%%. Ему соответствует ವಿಸ್ತರಿಸಲಾಗಿದೆ(ಅಥವಾ ಮರುಪೂರಣಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆ) ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಾಲು. %%-\infty%% ಮತ್ತು %%+\infty%% ಅಂಶಗಳನ್ನು ಅಂತಹ ಸಾಲಿನ ಅನಂತ ಬಿಂದುಗಳೆಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

  ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ %%\mathbb R%% ಸೆಟ್‌ನ ಉಪವಿಭಾಗಗಳು

  1. ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಸೆಟ್$$ \mathbb Z = \(\ldots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \ldots \) ​​$$ ಎಂಬುದು %%\mathbb R%% ಸೆಟ್‌ನ ಸರಿಯಾದ ಉಪವಿಭಾಗವಾಗಿದೆ (%%\mathbb Z\subset\mathbb R%%).
  2. ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸೆಟ್$$ \mathbb N = \(1, 2, 3, \ldots \) ​​$$ ಸೆಟ್ %%\mathbb Z %% ಮತ್ತು ಸೆಟ್ %%\mathbb R%% %% ( \mathbb N \ ಉಪವಿಭಾಗ \mathbb Z \subset \mathbb R)%%.

  %%m \in \mathbb Z%% ದ ಪೂರ್ಣಾಂಕದ ಅಂಶವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದಾದ ಎಲ್ಲಾ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ %%n \in \mathbb N%% ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳುಮತ್ತು %%\mathbb Q%% ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸಿ, ಅಂದರೆ. $$ \mathbb Q = \left\(\frac(m)(n): m \in \mathbb Z, n \in \mathbb N\right\) $$

  %%\frac(m)(n)%% ಮತ್ತು %%\frac(m"))(n")%% ಅನುಪಾತಗಳನ್ನು ಸಮಾನವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ (ಅದೇ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ %%r \\mathbb Q%%) , %%mn" = nm"%% ಆಗಿದ್ದರೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಪ್ರತಿ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆ %%r = \frac(m)(n)%% ಅನಂತ ಅನೇಕ ಚಿತ್ರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಬಹುದು %%r = \frac(p m)(p n), p \in \mathbb N%%.

  %%\mathbb N \subset \mathbb Z \subset \mathbb Q \subset \mathbb R%% ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ.

  ಅಂತ್ಯವಿಲ್ಲದ ಮಧ್ಯಂತರಗಳು

  ಪೂರ್ಣಗೊಂಡ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಅನಂತ ಮಧ್ಯಂತರಗಳಿವೆ $$ (b, +\infty) = \(x: x > b\), (-\infty, a) = \(x: x< a\} $$ и бесконечные полуинтервалы $$ = \{x: x \leq a\} $$ По аналогии с бесконечными интервалами множество всех точек на числовой прямой R обозначают часто %%(-\infty, +\infty)%% или просто %%(-\infty, \infty)%%.

  

  ಅಕ್ಕಿ. 2. ಬಿಂದುವಿನ ನೆರೆಹೊರೆ

  ಯಾವುದೇ ಮಧ್ಯಂತರ %%(a, b)%% ಕೆಲವು ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ %%x_0%% ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸುತ್ತಮುತ್ತಲಿನಈ ಬಿಂದು ಮತ್ತು %%\text(U)(x_0)%% ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. %%\text(U)(x_0) = (a, b)%% ಆಗಿದ್ದರೆ %%x_0 \in (a, b)%%. ಪಾಯಿಂಟ್ %%x_0%%, ಅದರ ನೆರೆಹೊರೆಯ %%(a, b)%% ಮಧ್ಯದಲ್ಲಿ ಇದೆ, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ನೆರೆಹೊರೆಯ ಕೇಂದ್ರ, ಮತ್ತು ದೂರ %%\varepsilon = \frac((b - a))(2)%% ನೆರೆಹೊರೆಯ ತ್ರಿಜ್ಯವಾಗಿದೆ. ನಂತರ ಸೆಟ್ %%\(x: |x - x_0|< \varepsilon\}%% называют %%\varepsilon%%-окрестностъю точки %%x_0%% и обозначают %%\text{U}(x_0, \varepsilon)%% или %%\text{U}_\varepsilon(x_0)%% (рис. 2).

  ವಿಸ್ತೃತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ, %%+\infty%% ಮತ್ತು %%-\infty%% ಎಂಬ ಅನಂತ ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ ನೆರೆಹೊರೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇದರಿಂದಾಗಿ ಅನೇಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವಾಗ ಈ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಸೀಮಿತವಾದವುಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಮೀಕರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. %%M%% ಕೆಲವು ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರಲಿ. ನಂತರ %%\text(U)(+\infty) = \(x \in \mathbb(R): x > M\)%% ಮತ್ತು %%\text(U)(-\infty) = \(x \ in\mathbb(R): x< -M\}%%, а для объединения бесконечных точек %%\text{U}(\infty) = \{x \in \mathbb{R}: |x| >M\)%%. ಯಾವುದೇ ಅನಂತ ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ, %%M%% ನ ಸಣ್ಣ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ನೆರೆಹೊರೆಯು %%M%% ನ ದೊಡ್ಡ ಮೌಲ್ಯದೊಂದಿಗೆ ನೆರೆಹೊರೆಯನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ.

  ರಷ್ಯಾದ ಒಕ್ಕೂಟದ ಶಿಕ್ಷಣ ಮತ್ತು ವಿಜ್ಞಾನ ಸಚಿವಾಲಯ

  ಶಿಕ್ಷಣಕ್ಕಾಗಿ ಫೆಡರಲ್ ಏಜೆನ್ಸಿ

  ನಿಜ್ನೆಕಾಮ್ಸ್ಕ್ ಮುನ್ಸಿಪಲ್ ಇನ್ಸ್ಟಿಟ್ಯೂಟ್

  ಇನ್ಫರ್ಮ್ಯಾಟಿಕ್ಸ್, ಗಣಿತ ಮತ್ತು ನೈಸರ್ಗಿಕ ವಿಜ್ಞಾನ ವಿಭಾಗ -

  ವೈಜ್ಞಾನಿಕ ವಿಭಾಗಗಳು

  ಗುಂಪು 561

  ಅಮೂರ್ತ

  "ಅಮೂರ್ತ ಬೀಜಗಣಿತ" ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ

  ಶಿಕ್ಷಣ ತಜ್ಞರ ಮಟ್ಟ

  ವಿಷಯ: ಆದೇಶಿಸಿದ ಸೆಟ್‌ಗಳು

  ಮುಖ್ಯಸ್ಥ __________________ R.M. ಮುನಿಪೋವ್

  ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿ __________________ ಎ.ವಿ. ಗ್ಲಾಜುನೋವ್

  ನಿಜ್ನೆಕಾಮ್ಸ್ಕ್ 2007

  ಪೀಠಿಕೆ ……………………………………………………………………………………..3

  1. ಭಾಗಶಃ ಆರ್ಡರ್ ಮಾಡಿದ ಸೆಟ್‌ಗಳು………………………………5

  2. ಸುಸಜ್ಜಿತವಾದ ಸೆಟ್‌ಗಳು…………………………………… 20

  3. ಭಾಗಶಃ ಗ್ರೂಪಾಯ್ಡ್‌ಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು …………………………………..23

  ತೀರ್ಮಾನ …………………………………………………………………… 35

  ಉಲ್ಲೇಖಗಳು…………………………………………………….36

  ಪರಿಚಯ

  ಪ್ರಸ್ತುತ, ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ಮುಖ್ಯವಾಗಿ ಬೀಜಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಬಂಧಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಿದ್ಧಾಂತವೆಂದು ತಿಳಿಯಲಾಗಿದೆ. ಇದು ಆರಂಭಿಕ ಆಲೋಚನೆಗಳು ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ತಮ ಆಂತರಿಕ ನೈಸರ್ಗಿಕತೆ, ವಿಧಾನಗಳ ಏಕತೆ ಮತ್ತು ಮೂಲಭೂತ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳ ದೂರಗಾಮಿ ವಿಸ್ತಾರದಿಂದ ನಿರೂಪಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ. ಅದರ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಮತ್ತು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ನಿರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ. ಮತ್ತು ಇನ್ನೂ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರುವ ಗಡಿಗಳನ್ನು ದೃಢವಾಗಿ ಮತ್ತು ಖಚಿತವಾಗಿ ಸ್ಥಾಪಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ತನ್ನ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಮೀರಿ ಹೋಗುವ ಬಯಕೆಯು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಹೊರಹೊಮ್ಮಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತದೆ. ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಲ್ಲ, ಆದರೆ ಭಾಗಶಃ ಪರಿಗಣಿಸುವ ಅವಶ್ಯಕತೆಯಿದೆ.

  ಭಾಗಶಃ ಕ್ರಿಯೆಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಸ್ವಾಭಾವಿಕವಾಗಿ ಸಂಪೂರ್ಣ ಕ್ರಿಯೆಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಮುಂದುವರೆಸಬೇಕು. ಈ ಎರಡನೆಯದು ಪ್ರಸ್ತುತ ಅತ್ಯಂತ ವಿಸ್ತಾರವಾಗಿದೆ, ಶ್ರೀಮಂತವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಉಚ್ಛ್ರಾಯ ಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿದೆ. ಸ್ವಾಭಾವಿಕವಾಗಿ, ಅಲ್ಲಿ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು ಮತ್ತು ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಹೊಸ ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ವರ್ಗಾಯಿಸುವ ಚಿಂತನೆಯು ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು ಸಹಜವಾಗಿ, ಅಗತ್ಯ ಮತ್ತು ಅನೇಕ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಫಲಪ್ರದವಾಗಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಈಗಾಗಲೇ ಭಾಗಶಃ ಕ್ರಿಯೆಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಯ ಮೊದಲ ಹಂತಗಳಿಂದ, ಈ ದಿಕ್ಕಿನ ಗಮನಾರ್ಹ ನಿರ್ದಿಷ್ಟತೆಯು ಸ್ವತಃ ಭಾವನೆ ಮೂಡಿಸುತ್ತದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸಂಪೂರ್ಣ ಕ್ರಿಯೆಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ನೇರ ವರ್ಗಾವಣೆ ಕಷ್ಟ ಅಥವಾ ಅಸಾಧ್ಯವಾಗಿದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ವಸ್ತುವನ್ನು ಗಮನಾರ್ಹವಾದ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗೆ ಒಳಪಡಿಸಬೇಕು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ಹೊಸ ದಿಕ್ಕಿಗೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾದ ಹೊಸ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು ಮತ್ತು ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತವೆ. ಅವರಿಗೆ ತಮ್ಮದೇ ಆದ ಸಂಶೋಧನಾ ವಿಧಾನದ ಅಗತ್ಯವಿದೆ.

  ಭಾಗಶಃ ಬೀಜಗಣಿತ ಕ್ರಿಯೆಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಸಾಕಷ್ಟು ಸಂಪೂರ್ಣ ಮತ್ತು ಸುಸಂಬದ್ಧ ಪ್ರಸ್ತುತಿ ಇನ್ನೂ ಕಂಡುಬಂದಿಲ್ಲ. ಆರಂಭಿಕ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಸಂಕೇತಗಳು ಮತ್ತು ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಅಸಂಗತತೆ ಇದೆ. ವೈಯಕ್ತಿಕ ಕೃತಿಗಳ ನಡುವೆ ಸಾಕಷ್ಟು ಸಂಪರ್ಕಗಳಿಲ್ಲ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ನಿರ್ಮಾಣಕ್ಕೆ ಅಗತ್ಯವಾದ ವೈಯಕ್ತಿಕ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಯ ಅಸಮರ್ಪಕತೆಯು ಸ್ವತಃ ಭಾವಿಸುತ್ತದೆ.

  1 . ಎಚ್ಆಸ್ಟಿಕಲ್ ಆದೇಶ ಸೆಟ್

  ಒಂದು ಸೆಟ್ನಲ್ಲಿ ಬೈನರಿ ಸಂಬಂಧ ಎಎಂದು ಕರೆದರು ಆಂಟಿಸಮ್ಮಿತೀಯ ಒಂದು ವೇಳೆ:

  (a,c ಎ) ಎ? ವಿ ವಿ? ಎ

  ಎಎಂದು ಕರೆದರು ಪ್ರತಿಫಲಿತಒಂದು ವೇಳೆ:

  ( ಎ ಎ) ಎ ಎ

  ಒಂದು ಸೆಟ್ನಲ್ಲಿ ಬೈನರಿ ಸಂಬಂಧ ಎಎಂದು ಕರೆದರು ಸಕರ್ಮಕಒಂದು ವೇಳೆ:

  (ಎ,ವಿ,ಸಿ ಎ) ಎ ವಿ ವಿ ಸಿ>ಎ ಜೊತೆಗೆ

  ಉದಾಹರಣೆ 1.

  ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ ಭಾಗಾಕಾರ ಸಂಬಂಧ (ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ). ಎನ್ ಆಂಟಿಸಮ್ಮಿತೀಯ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ವೇಳೆ ಎ ವಿ, ವಿ ಎ, ನಂತರ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಇವೆ q1 ,q ಎನ್, ಅಂದರೆ a=bq1 , в=аq ಎಲ್ಲಿ a=aq1 q , ಅದು q1 q = 1. ಆದರೆ,

  q1 ,q ಎನ್, ಆದ್ದರಿಂದ q1 = q = 1, ಅದರಿಂದ ಅದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ a = b.

  ಒಂದು ಸೆಟ್ನಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಫಲಿತ ಆಂಟಿಸಿಮೆಟ್ರಿಕ್ ಟ್ರಾನ್ಸಿಟಿವ್ ಬೈನರಿ ಸಂಬಂಧ ಎಎಂದು ಕರೆದರು ಆದೇಶ ಸಂಬಂಧ (ಭಾಗಶಃ ಆದೇಶ) ಸೆಟ್ನಲ್ಲಿ ಎ.

  ಒಂದು ಗೊಂಚಲು ಎಅದರ ಮೇಲೆ ನೀಡಿದ ಭಾಗಶಃ ಆದೇಶ ಸಂಬಂಧದೊಂದಿಗೆ? ಅವರು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ ಭಾಗಶಃ ಆದೇಶ ಸೆಟ್ ಮತ್ತು ಸೂಚಿಸಿ< ಎ; ? >.

  ಕೆಳಗಿನವುಗಳಲ್ಲಿ, ಅನುಕೂಲಕ್ಕಾಗಿ, ನಾವು ಸಂಕ್ಷೇಪಣವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ ಪ್ಲೇಗ್ , ಭಾಗಶಃ ಆದೇಶಿಸಿದ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.

  ಉದಾಹರಣೆ 2.

  < ಎನ್, ? > ? ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ಅಸಮಾನತೆ (ಶಾಲಾ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ). ಈ ಸಂಬಂಧದ ಟ್ರಾನ್ಸಿಟಿವಿಟಿ, ರಿಫ್ಲೆಕ್ಸಿವಿಟಿ ಮತ್ತು ಆಂಟಿಸಿಮ್ಮೆಟ್ರಿಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವುದು ಅಗತ್ಯವೇ?

  a)ಎ? ಎ,(2 ? 2) - ಪ್ರತಿಫಲಿತತೆ,

  ಬಿ) ವೇಳೆ ಎ? ವಿ , ವಿ? ಜೊತೆಗೆ,ಅದು ಎ ? ಸಿ, (3 ? 4, 4 ? 5 > 3 ? 5) - ಟ್ರಾನ್ಸಿಟಿವಿಟಿ,

  ಸಿ) ವೇಳೆ ಎ ? ವಿ , ವಿ?ಎ, ಅದು ಎ=ಇನ್,(3 ? 3, 3 ? 3 > 3=3) - ಆಂಟಿಸಿಮ್ಮೆಟ್ರಿ.

  ಅದನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ < ಎನ್, ? > - ಚುಮ್.

  ಉದಾಹರಣೆ 3.

  < ಎನ್, > .

  ಎ) ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪಿನ ಮೇಲೆ ವಿಭಜನೆಯ ಸಂಬಂಧ ಎನ್ಪ್ರತಿಫಲಿತ, ಏಕೆಂದರೆ ಪ್ರತಿ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಸ್ವತಃ ಬಹುಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. ಏಕೆಂದರೆ ಯಾರಿಗಾದರೂ ಎ ಎನ್ಯಾವಾಗಲೂ ಎ = ಎ 1 (1 ಎನ್), ಇದು, ಸಂಬಂಧದ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಎ ಎ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಇದು ಪ್ರತಿಫಲಿತವಾಗಿದೆ.

  b)ಮೊದಲ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಎರಡನೆಯಿಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದಾದರೆ (ಅಂದರೆ, ಎರಡನೆಯ ಗುಣಾಕಾರ), ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದು ಮೂರನೇಯ ಬಹುಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದ್ದರೆ, ಮೊದಲನೆಯದು ಮೂರನೇಯ ಬಹುಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ ಸಂಬಂಧವು ಸಂಕ್ರಮಣವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. ಒಂದು ವೇಳೆ ಎ ವಿ, ವಿ ಜೊತೆಗೆ, ಎ,ವಿ,ಸಿ ಎನ್. ಆದ್ದರಿಂದ, ಅಂತಹವುಗಳಿವೆ q ,q ಎನ್, ಏನು

  ಎ= ರಲ್ಲಿq ,

  ರಲ್ಲಿ =ಸಿ q ,

  ಎ = ಸಿ (q q ).

  ನಾವು ಸೂಚಿಸೋಣ: q = q q ಎನ್. ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ

  ಎಲ್ಲಿ q ಎನ್, ಅಂದರೆ ಎ ಜೊತೆಗೆ- a-priory . ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಂಬಂಧವು ಸಂಕ್ರಮಣವಾಗಿದೆ.

  ಸಿ) ಪರಸ್ಪರ ಗುಣಾಕಾರವಾಗಿರುವ ಎರಡು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಎಂಬ ಅಂಶದಿಂದ ಸಂಬಂಧದ ಆಂಟಿಸಿಮ್ಮೆಟ್ರಿಯು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. ಒಂದು ವೇಳೆ ಎ ವಿ, ವಿ ಎ, ನಂತರ ಅಂತಹವುಗಳಿವೆ q1 ,q ಎನ್, ಏನು

  a=bq1 ,

  в=аq ,

  a=aq1 q ,

  ಅದು q1 q = 1. ಆದರೆ, q1 ,q ಎನ್, ಆದ್ದರಿಂದ q1 = q = 1, ಅದರಿಂದ ಅದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ a = b.ಆದ್ದರಿಂದ ಆಂಟಿಸಿಮೆಟ್ರಿಕ್.

  ಆದ್ದರಿಂದ ಭಾಗಶಃ ಆದೇಶವಿದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ, < ಎನ್, > - CHUM (ಭಾಗಶಃ ಆದೇಶದ ಸೆಟ್).

  ಅಂಶಗಳು ಎ,ವಿ ಪ್ಲೇಗ್ ಎಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ ಹೋಲಿಸಲಾಗದಬರೆಯಲಾಗಿದೆ

  ಎ|| ವಿ, ವೇಳೆ ಎ? ವಿಮತ್ತು ವಿ? ಎ.

  ಅಂಶಗಳು ಎ,ವಿಪ್ಲೇಗ್ ಎಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ ಹೋಲಿಸಬಹುದಾದಒಂದು ವೇಳೆ ಎ? ವಿಅಥವಾ ವಿ? ಎ.

  ಭಾಗಶಃ ಆದೇಶ? ಮೇಲೆ ಎಎಂದು ಕರೆದರು ರೇಖೀಯ, ಆದರೆ ಪ್ಲೇಗ್ ಸ್ವತಃ ರೇಖೀಯವಾಗಿ - ಆದೇಶಅಥವಾ ಸರಪಳಿ, ಯಾವುದಾದರೂ ಎರಡು ಅಂಶಗಳು ಇದ್ದಲ್ಲಿ ಎಹೋಲಿಸಬಹುದಾದ, ಅಂದರೆ. ಯಾವುದಕ್ಕಾದರೂ ಎ,ವಿ ಎ, ಅಥವಾ ಎ ? ವಿ, ಅಥವಾ ವಿ? ಎ.

  ಉದಾಹರಣೆ 4 .

  < ಎನ್, ? >, < ಆರ್,? > - ಒಂದು ಸರಪಳಿ. ಆದಾಗ್ಯೂ<В(ಎಂ); >, ಅಲ್ಲಿ ಬಿ( ಎಂ) - ಸೆಟ್‌ನ ಎಲ್ಲಾ ಉಪವಿಭಾಗಗಳ ಸೆಟ್ ಎಂಅಥವಾ ಒಳಗೆ ( ಎಂ) ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಬೂಲಿಯನ್ಒಂದು ಸೆಟ್ನಲ್ಲಿ ಎಂ, ಒಂದು ಸರಪಳಿ ಅಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಉಪವಿಭಾಗಗಳಿಗೆ ಅಲ್ಲ ಎಂಒಂದು ಇನ್ನೊಂದರ ಉಪವಿಭಾಗವಾಗಿದೆ.

  ಅವಕಾಶ < ಎ, ? > - ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಪ್ಲೇಗ್.

  ಅಂಶ ಮೀ ಎ ಎಂದು ಕರೆದರು ಕನಿಷ್ಠ, ಯಾವುದಾದರೂ ಇದ್ದರೆ X ಎಯಾವುದರಿಂದ X ? ಮೀ ಮಾಡಬೇಕು X = ಮೀ.

  ಈ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯ ಅರ್ಥವೇನೆಂದರೆ ಎಈ ಅಂಶಕ್ಕಿಂತ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಚಿಕ್ಕದಾದ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ ಮೀ. ಎಂದು ಅವರು ಹೇಳುತ್ತಾರೆ Xಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಕಡಿಮೆ ಮೀ ಮತ್ತು ಬರೆಯಿರಿ X< ಮೀ, ವೇಳೆ X ? ಮೀ, ಆದರೆ ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ X ? ಮೀ. ಈ ಪ್ಲೇಗ್ನ ಗರಿಷ್ಠ ಅಂಶವನ್ನು ಇದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ವೇಳೆ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ ಮೀ , ಮೀ - ಪ್ಲೇಗ್ನ ವಿಭಿನ್ನ ಕನಿಷ್ಠ (ಗರಿಷ್ಠ) ಅಂಶಗಳು, ನಂತರ ಮೀ || ಮೀ .

  ಭಾಗಶಃ ಆದೇಶದ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿಸುತ್ತದೆ ಎ ? ವಿಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಈ ರೀತಿ ಓದಿ: ಅಂಶಎ ಅಂಶದಲ್ಲಿ ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆವಿ ಅಥವಾ ಅಂಶವಿ ಒಂದು ಅಂಶವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆಎ .

  ಲೆಮ್ಮಾ.

  ಸೀಮಿತವಾದ ಪ್ಲೇಗ್‌ನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಂಶವು ಕನಿಷ್ಠ ಅಂಶವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಈ ಪ್ಲೇಗ್‌ನ ಗರಿಷ್ಠ ಅಂಶದಲ್ಲಿ ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ.

  ಪುರಾವೆ:

  ಅವಕಾಶ ಎ- ಅಂತಿಮ ಪ್ಲೇಗ್ನ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಅಂಶ ಎಸ್. ಒಂದು ವೇಳೆ ಎ -ಕನಿಷ್ಠ ಅಂಶ, ನಂತರ, ಪ್ರತಿಫಲಿತತೆಯಿಂದಾಗಿ, ಲೆಮ್ಮಾ ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ. ಒಂದು ವೇಳೆ ಎಕಡಿಮೆ ಅಲ್ಲ, ನಂತರ ಒಂದು ಅಂಶವಿದೆ ಎ ಅಂದರೆ

  ಎ < ಎ(1)

  ಒಂದು ವೇಳೆ ಎ ಕನಿಷ್ಠ, ನಂತರ ಎಲ್ಲವೂ ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ. ಅಂಶ ವೇಳೆ ಎ ಅಲ್ಲ

  ಕನಿಷ್ಠ, ನಂತರ ಕೆಲವರಿಗೆ ಎ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

  ಎ < а (2)

  ಒಂದು ವೇಳೆ ಎ ಕಡಿಮೆಯಾಗಿದೆ, ನಂತರ (1), (2), ಟ್ರಾನ್ಸಿಟಿವಿಟಿಗೆ ಧನ್ಯವಾದಗಳು, ನಾವು ಅದನ್ನು ತೀರ್ಮಾನಿಸುತ್ತೇವೆ ಎಕನಿಷ್ಠ ಅಂಶವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ ಎ . ಒಂದು ವೇಳೆ ಎ ಕಡಿಮೆ ಅಲ್ಲ, ನಂತರ

  ಎ < ಎ (3)

  ಕೆಲವರಿಗೆ ಎ ಎಸ್. ಮತ್ತು ಇತ್ಯಾದಿ. ಸೆಟ್‌ನ ಸೀಮಿತತೆಯ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ ಈ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ಅನಂತವಾಗಿರಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ ಎಸ್.

  ಹೀಗಾಗಿ, ಸ್ವಲ್ಪ ಸಮಯದವರೆಗೆ ಎನ್- ತಾರ್ಕಿಕ ಕ್ರಿಯೆಯ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ಕೊನೆಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಇದು ಅಂಶಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎ ಕನಿಷ್ಠ. ಇದರಲ್ಲಿ

  ಎ < а < < а < а < а

  ಟ್ರಾನ್ಸಿಟಿವಿಟಿ ಕಾರಣ, ಇದು ಅಂಶವನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ ಎಕನಿಷ್ಠ ಅಂಶವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ ಎ . ಅಂತೆಯೇ, ಅಂಶ ಎಗರಿಷ್ಠ ಅಂಶದಲ್ಲಿ ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. ಲೆಮ್ಮಾ ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ.

  ಪರಿಣಾಮ.

  ಅಂತಿಮ ಪ್ಲೇಗ್ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಕನಿಷ್ಠ ಅಂಶವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ.

  ಈಗ ನಾವು ಮತ್ತಷ್ಟು ಪ್ರಸ್ತುತಿಗೆ ಮುಖ್ಯವಾದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುತ್ತೇವೆ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳುಅಂತಿಮ ಪ್ಲೇಗ್ ಎಸ್.

  ಮೊದಲು ನಾವು ಎಲ್ಲಾ ಕನಿಷ್ಠ ಅಂಶಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಮೀ , ಮೀ , ಮೀ ವಿ ಎಸ್. ತನಿಖೆಯ ಪ್ರಕಾರ ಅಂತಹವರು ಇರುತ್ತಾರೆ. ನಂತರ ಭಾಗಶಃ ಆದೇಶದ ಸೆಟ್ನಲ್ಲಿ

  ಎಸ್ = ಎಸ್ \ {ಮೀ , ಮೀ , ಮೀ },

  ಇದು, ಹಾಗೆ ಎಸ್, ಸೀಮಿತವಾಗಿದೆ, ನಾವು ಕನಿಷ್ಟ ಅಂಶಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ,

  , , ಮತ್ತು ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ

  = ಎಸ್ \ {, , }

  "ಮೊದಲ ಸಾಲಿನ" ಅಂಶಗಳು ಮೀ , ಮೀ , ಮೀ ಚುಕ್ಕೆಗಳಿಂದ ಚಿತ್ರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಸ್ವಲ್ಪ ಹೆಚ್ಚು ನಾವು "ಎರಡನೇ ಸಾಲಿನ" ಅಂಶಗಳನ್ನು ಚುಕ್ಕೆಗಳಿಂದ ಗುರುತಿಸುತ್ತೇವೆ, , ಮತ್ತು ಅಂಕಗಳನ್ನು ಅದರಲ್ಲಿರುವ ವಿಭಾಗಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಪರ್ಕಿಸಿ ಮತ್ತು ಆ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಮೀ <

  ಮುಂದೆ, ನಾವು ಪ್ಲೇಗ್‌ನ ಕನಿಷ್ಠ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ, ಅವುಗಳನ್ನು "ಮೂರನೇ ಸಾಲು" ದ ಬಿಂದುಗಳೊಂದಿಗೆ ಚಿತ್ರಿಸಿ ಮತ್ತು ಮೇಲೆ ಸೂಚಿಸಿದ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ "ಎರಡನೇ ಸಾಲು" ಬಿಂದುಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಪರ್ಕಿಸುತ್ತೇವೆ. ಈ ಪ್ಲೇಗ್ನ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳು ಖಾಲಿಯಾಗುವವರೆಗೆ ನಾವು ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಮುಂದುವರಿಸುತ್ತೇವೆ ಎಸ್. ಸೆಟ್ನ ಸೀಮಿತತೆಯಿಂದಾಗಿ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ಸೀಮಿತವಾಗಿದೆ ಎಸ್. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಅಂಕಗಳು ಮತ್ತು ವಿಭಾಗಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ರೇಖಾಚಿತ್ರಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಪ್ಲೇಗ್ ಎಸ್ ಎ < в ಒಂದು ವೇಳೆ ಮತ್ತು "ಪಾಯಿಂಟ್" ನಿಂದ ಮಾತ್ರ ಎನೀವು "ಅಂಕಗಳು" ಗೆ ಹೋಗಬಹುದು ವಿಕೆಲವು "ಆರೋಹಣ" ಮುರಿದ ರೇಖೆಯ ಉದ್ದಕ್ಕೂ. ಈ ಸನ್ನಿವೇಶದಿಂದಾಗಿ, ಯಾವುದೇ ಸೀಮಿತ ಪ್ಲೇಗ್ ಅನ್ನು ಅದರ ರೇಖಾಚಿತ್ರದೊಂದಿಗೆ ಗುರುತಿಸಬಹುದು.

  ಉದಾಹರಣೆ 5 .

  ಇಲ್ಲಿ CHUM ರೇಖಾಚಿತ್ರದಿಂದ ನೀಡಲಾಗಿದೆ ಎಸ್ = {ಮೀ , ಮೀ , , ),ಅಲ್ಲಿ ಮೀ < , ಮೀ < , ಮೀ < ಮೀ < , ಮೀ < ಮೀ < , ಮೀ < .

  ಅಂಶ ಮೀ ಎಂದು ಕರೆದರು ಅತಿ ಚಿಕ್ಕ PLAGUE ನ ಅಂಶ, ಯಾರಿಗಾದರೂ ಇದ್ದರೆ X ಎಯಾವಾಗಲೂ ಮೀ ? X.

  ಚಿಕ್ಕ ಅಂಶವು ಕನಿಷ್ಠವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಸಂಭಾಷಣೆಯು ನಿಜವಲ್ಲ: ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಕನಿಷ್ಠ ಅಂಶವೂ ಚಿಕ್ಕದಲ್ಲ. ಒಂದೇ ಒಂದು ಚಿಕ್ಕ ಅಂಶವಿದೆ (ಯಾವುದಾದರೂ ಇದ್ದರೆ). ದೊಡ್ಡ ಅಂಶವನ್ನು ಇದೇ ರೀತಿ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

  ಉದಾಹರಣೆ 6.

  · · · ·

  ಇದು ಪ್ಲೇಗ್ ಆಗಿದೆ, ಇದರ ಅಂಶಗಳು ಜೋಡಿಯಾಗಿ ಹೋಲಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಇವು ಭಾಗಶಃ

  ಆದೇಶಿಸಿದ ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಆಂಟಿಚೈನ್‌ಗಳು.

  ಉದಾಹರಣೆ 7 .

  ಇದು ಚಿಕ್ಕ ಮತ್ತು ದೊಡ್ಡ ಅಂಶವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸರಪಳಿಯಾಗಿದೆ. ಅಲ್ಲಿ 0 ಚಿಕ್ಕ ಅಂಶವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು 1 ದೊಡ್ಡ ಅಂಶವಾಗಿದೆ.

  ಅವಕಾಶ ಎಂ- ಭಾಗಶಃ ಆದೇಶಿಸಿದ ಸೆಟ್‌ನ ಉಪವಿಭಾಗ ಎ. ಅಂಶ ಎ ಎಎಂದು ಕರೆದರು ಕೆಳಗಿನ ಅಂಚುಹೊಂದಿಸುತ್ತದೆ ಎಂ, ವೇಳೆ ಎ? Xಯಾರಿಗಾದರೂ X ಎಂ.

  ಸೆಟ್‌ನ ಎಲ್ಲಾ ಇನ್ಫಿಮಮ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ದೊಡ್ಡದು ಎಂ, ಅದು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ, ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ನಿಖರವಾದ ಕೆಳಭಾಗದ ಅಂಚು ಹೊಂದಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಮತ್ತು inf ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಎಂ.

  ಅವಕಾಶ < ಎ, ? > - ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಪ್ಲೇಗ್. ಅಂಶ ಜೊತೆಗೆ ಎ ಎಂದು ಕರೆದರು ನಿಖರವಾದ ಕೆಳಭಾಗದ ಅಂಚುಅಂಶಗಳು ಎ,ವಿ ಎ, ವೇಳೆ ಜೊತೆಗೆ= ಮಾಹಿತಿ ( ಎ,ವಿ}.

  ಗಮನಿಸಿ 1.

  ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪ್ಲೇಗ್‌ನಲ್ಲಿಯೂ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಅಂಶಗಳಿಗೆ ನಿಖರವಾದ ಇನ್ಫಿಮಮ್ ಇರುವುದಿಲ್ಲ.

  ಇದನ್ನು ಉದಾಹರಣೆಯೊಂದಿಗೆ ತೋರಿಸೋಣ.

  ಉದಾಹರಣೆ 8 .

  ಇದಕ್ಕಾಗಿ ( ಎ;ಸಿ},{ಡಿ;ಇ) ಯಾವುದೇ ಕೆಳಭಾಗದ ಅಂಚು ಇಲ್ಲ,

  inf( ಎ;ವಿ}=ಡಿ, inf( ವಿ;ಸಿ}=ಇ.

  ಉದಾಹರಣೆ 9 .

  ಯಾವುದೇ ಅಂಶಗಳಿಗೆ ನಿಖರವಾದ ಇನ್ಫಿಮಮ್ ಹೊಂದಿರುವ ಪ್ಲೇಗ್ನ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನಾವು ನೀಡೋಣ.

  inf( ಎ;ವಿ}=ಡಿ, inf( ಎ;ಡಿ}=ಡಿ, inf( ಎ;0 }=0 , inf( ಎ;ಸಿ}=0 , inf( ಎ;ಇ}=0 ,

  inf( ವಿ;ಸಿ}=ಇ, inf( ವಿ;ಇ}=ಇ, inf( ವಿ;ಡಿ}=ಡಿ,

  inf( ಸಿ;ಇ}=ಸಿ, inf( ಸಿ;0 }=0 , inf( ಸಿ;ಡಿ}=0 ,

  inf( ಡಿ;ಇ}=0 , inf( ಡಿ;0 }=0 ,

  inf( ಇ;0 }=0 .

  ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ: ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಅಂಶಗಳಿಗೆ ಇನ್ಫಿಮಮ್ ಇರುವ ಭಾಗಶಃ ಆದೇಶದ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಅರೆ ಜಾಲರಿ.

  ಉದಾಹರಣೆ 10 .

  ನಾವು ಪ್ಲೇಗ್ನ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನೀಡೋಣ, ಅದು ಸೆಮಿಲ್ಯಾಟಿಸ್ ಅಲ್ಲ.

  ಅವಕಾಶ < ಎನ್, ? > - ರೇಖೀಯವಾಗಿ ಆದೇಶಿಸಿದ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸೆಟ್ ಮತ್ತು ಇ ,ಇ ಎನ್. ಸೆಟ್ ನಲ್ಲಿ ಎನ್ = ಎನ್ { ಇ ,ಇ ) ಬೈನರಿ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ವಿವರಿಸುವುದೇ? , ಊಹಿಸಿಕೊಂಡು X ? ವೈ, ವೇಳೆ X, ವೈ ಎನ್, ಎಲ್ಲಿ X ? ವೈ, ಅಥವಾ ವೇಳೆ X ಎನ್, ವೈ { ಇ ,ಇ ) ನಾವು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ಕೂಡ ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ: ಇ ? ಇ ,ಇ ? ಇ .

  ಈ ಪ್ಲೇಗ್ನ ರೇಖಾಚಿತ್ರವು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿರುತ್ತದೆ:

  ಯಾವುದೇ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ n ? ಇ ಮತ್ತು ಎನ್? ಇ , ಆದರೆ ಇನ್ ಎನ್ಯಾವುದೇ ದೊಡ್ಡ ಅಂಶವಿಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ ಎನ್ - CHUM, ಆದರೆ ಅರ್ಧ ಲ್ಯಾಟಿಸ್ ಅಲ್ಲ.

  ಆದ್ದರಿಂದ, ಅದರ ಅತ್ಯಂತ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ, ಸೆಮಿಲ್ಯಾಟಿಸ್ ಒಂದು ಮಾದರಿಯಾಗಿದೆ (ಸಂಬಂಧದೊಂದಿಗೆ ಒಂದು ಸೆಟ್ನಂತೆ?). ನಾವು ಈಗ ನೋಡುವಂತೆ, ಸೆಮಿಲ್ಯಾಟಿಸ್ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗೆ ಮತ್ತೊಂದು ವಿಧಾನ ಸಾಧ್ಯ, ಅವುಗಳೆಂದರೆ, ಸೆಮಿಲ್ಯಾಟಿಸ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬೀಜಗಣಿತ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು.

  ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನಾವು ಕೆಲವು ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಬೀಜಗಣಿತ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುತ್ತೇವೆ. ತಿಳಿದಿರುವಂತೆ, ಅರೆಗುಂಪುಅಸೋಸಿಯೇಟಿವ್ ಬೈನರಿ ಬೀಜಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ಅದರ ಮೇಲೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಖಾಲಿ-ಅಲ್ಲದ ಸೆಟ್ ಆಗಿದೆ.

  ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸೆಮಿಗ್ರೂಪ್ ಅನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಸ್(ಅರೆ ಗುಂಪು).

  ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ.ಅಂಶ ಇಎಸ್ಎಂದು ಕರೆದರು ಬುದ್ಧಿಹೀನ, ವೇಳೆ

  ಇ = ಇ, ಅದು ಇ · ಇ = ಇ.

  ಉದಾಹರಣೆ 11 .

  ಅರೆ ಗುಂಪು< ಎನ್; · > ? ಕೇವಲ ಒಂದು ಐಡೆಮ್ಪೋಟೆಂಟ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ 1.

  ಅರೆ ಗುಂಪು< Z; + > ? ಒಂದೇ ಐಡೆಮ್ಪೋಟೆಂಟ್ 0 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.

  ಅರೆ ಗುಂಪು< ಎನ್; + > ? ಐಡೆಮ್ಪೋಟೆಂಟ್ ಹೊಂದಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ 0 ಎನ್.

  ಯಾವುದೇ ಖಾಲಿ-ಅಲ್ಲದ ಸೆಟ್ X ಗೆ, ಎಂದಿನಂತೆ, X ಸೆಟ್‌ನ ಎಲ್ಲಾ ಉಪವಿಭಾಗಗಳ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ - X ಸೆಟ್‌ನ ಬೂಲಿಯನ್.

  ಅರೆ ಗುಂಪು<В;>- ಅಂದರೆ ಅದರ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಂಶವು ಶಕ್ತಿಹೀನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

  ಎ IN, ಎ = ಎ ಎ.

  ಅರೆ ಗುಂಪು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ದುರ್ಬಲ ಅರೆಗುಂಪುಅಥವಾ ಗುಂಪನ್ನು, ಅದರ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಂಶಗಳು ಐಡೆಮ್ಪೋಟೆಂಟ್ ಆಗಿದ್ದರೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಕನೆಕ್ಟಿವ್‌ನ ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ ಯೂನಿಯನ್‌ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಯಾವುದೇ ಬೂಲಿಯನ್.

  ಉದಾಹರಣೆ 12 .

  ಅವಕಾಶ X- ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸೆಟ್.

  ಬಿ- ಸೆಟ್‌ನ ಎಲ್ಲಾ ಉಪವಿಭಾಗಗಳ ಸೆಟ್ X.

  B- ಅನ್ನು ಸೆಟ್‌ನಲ್ಲಿ ಬೂಲಿಯನ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ X.

  ಒಂದು ವೇಳೆ X= (1,2,3) , ನಂತರ

  B = (O,(1),(2),(3),(1,2),(2,3),(1,3),(1,2,3)).

  ಸೆಟ್ನ ಎರಡು ಉಪವಿಭಾಗಗಳ ಛೇದನದಿಂದ Xಮತ್ತೆ ಉಪವಿಭಾಗವಾಗಿದೆ X, ನಂತರ ನಾವು ಗ್ರೂಪಾಯ್ಡ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ< В;>, ಮೇಲಾಗಿ, ಇದು ಸೆಮಿಗ್ರೂಪ್ ಮತ್ತು ಕನೆಕ್ಟಿವ್ ಕೂಡ ಆಗಿದೆ ಎ ಇನ್ ಮತ್ತು ಎ = ಎ ಎ=ಎ.

  ನಿಖರವಾಗಿ ಅದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ, ನಾವು ಸಂಪರ್ಕವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ<; В > .

  ಕಮ್ಯುಟೇಟಿವ್ ಕನೆಕ್ಟಿವ್ ಅನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಅರೆ ಜಾಲರಿ.

  ಉದಾಹರಣೆ 13 .

  ಅವಕಾಶ X= (1,2,3), ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸೋಣ< В ; >.

  ನಾವು ಪ್ಲೇಗ್‌ಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೀಡೋಣ, ಆದರೆ ಸೆಮಿಲ್ಯಾಟಿಸ್‌ಗಳಲ್ಲ.

  ಉದಾಹರಣೆ 14 .

  ಎರಡು ಕೆಳಗಿನ ಮುಖಗಳೊಂದಿಗೆ CHUM ಇಮತ್ತು ಡಿ , ಇವುಗಳನ್ನು ಪರಸ್ಪರ ಹೋಲಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ: ಇ|| ಡಿ. ಆದ್ದರಿಂದ ಮಾಹಿತಿ ( ಎ;ಜೊತೆಗೆ) ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿ ಇಲ್ಲ.

  ಉದಾಹರಣೆ 15.

  ಎರಡು ಕೆಳಗಿನ ಮುಖಗಳೊಂದಿಗೆ CHUM ಜೊತೆಗೆಮತ್ತು ಡಿ, ಪರಸ್ಪರ ಹೋಲಿಸಲಾಗದವು: ಜೊತೆಗೆ|| ಡಿ. ಆದ್ದರಿಂದ ಮಾಹಿತಿ ( ಎ;ವಿ) ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿ ಇಲ್ಲ.

  ನಾವು ಸೆಮಿಲ್ಯಾಟಿಸ್‌ಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೀಡೋಣ.

  ಉದಾಹರಣೆ 16 .

  ರೇಖಾಚಿತ್ರ:

  ಎ

  inf( ಎ;ವಿ}=ವಿ, inf( ಎ;ಜೊತೆಗೆ}=ಜೊತೆಗೆ, inf( ಎ;ಡಿ}=ಡಿ,

  inf( ವಿ;ಸಿ}=ಡಿ, inf( ವಿ;ಡಿ}=ಡಿ,

  inf( ಸಿ;ಡಿ}=ಡಿ.

  ಉದಾಹರಣೆ 17 .

  ಇದು ಸೆಮಿಲ್ಯಾಟಿಸ್ ಆಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಅಂಶಗಳಿಗೆ ಅಸಮರ್ಥತೆ ಇರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ.

  inf( ಎ;ವಿ}=ವಿ, inf( ಎ;ಜೊತೆಗೆ}=ಜೊತೆಗೆ, inf( ವಿ;ಸಿ}=ಜೊತೆಗೆ.

  ಪ್ರಮೇಯ 1.

  ಅವಕಾಶ<ಎಸ್ ; ? > - ಸೆಮಿಲ್ಯಾಟಿಸ್. ನಂತರ<ಎಸ್ ; > ಕಮ್ಯುಟೇಟಿವ್ ಕನೆಕ್ಟಿವ್, ಅಲ್ಲಿ

  ಎ ವಿ=inf( ಎ,ವಿ} (*).

  ಪುರಾವೆ:

  ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ<ಎಸ್ ; > ಕೆಳಗಿನ ಗುರುತುಗಳನ್ನು ಹಿಡಿದಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ:

  (1) X y = y X

  (2) (X ವೈ) z = x (ವೈ z)

  (3) X X = X

  1) ಸಮಾನತೆಯ ಪ್ರಕಾರ (*)

  X y= inf( X,ವೈ) = inf ( ವೈ,X) = ವೈ X

  2) ನಾವು ಸೂಚಿಸೋಣ ಎ = (X ವೈ) z, ರಲ್ಲಿ =X ( ವೈ z)

  ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತು ಮಾಡೋಣ ಎ = ವಿ.

  ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಸಾಕು

  ಎ ? ವಿ (4)

  ವಿ ? ಎ(5) (ಆಂಟಿಸಿಮ್ಮೆಟ್ರಿಯ ಕಾರಣ)

  ಸೂಚಿಸೋಣ

  ಜೊತೆಗೆ = X ವೈ , ಡಿ = ವೈ z

  ಇದರ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ, ಎನಡುವಿನ ನಿಖರವಾದ ಕಡಿಮೆ ಮಿತಿ ಜೊತೆಗೆಮತ್ತು z

  ಎ? ಜೊತೆಗೆ , ಎ ? z , ಸಿ ? X, ಆದ್ದರಿಂದ, ಟ್ರಾನ್ಸಿಟಿವಿಟಿ ಕಾರಣ ಎ ? X.

  ಅಂತೆಯೇ, ಎ? ವೈ, ಅಂದರೆ ಎ- ಸಾಮಾನ್ಯ ಕಡಿಮೆ ಬೌಂಡ್ ವೈಮತ್ತು z. ಎ ಡಿ- ಅವರ ನಿಖರವಾದ ಕಡಿಮೆ ಮಿತಿ.

  ಆದ್ದರಿಂದ, ಎ ? ಡಿ, ಆದರೆ ವಿ=inf( X, ಡಿ}.

  ಅಸಮಾನತೆಯಿಂದ ಎ ? X , ಎ ? ಡಿ ಅದನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ ಎ Xಮತ್ತು ಡಿ, ಎ ವಿಅವರ ನಿಖರವಾದ ಮಾಹಿತಿಯಿಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ,

  ಎ? ವಿ(4) ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ.

  (5) ಇದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ.

  (4) ಮತ್ತು (5) ನಿಂದ, ಆಂಟಿಸಿಮ್ಮೆಟ್ರಿಯ ದೃಷ್ಟಿಯಿಂದ, ನಾವು ಅದನ್ನು ತೀರ್ಮಾನಿಸುತ್ತೇವೆ

  a = b.

  ಇದರೊಂದಿಗೆ ನಾವು ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯ ಸಹಯೋಗವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದ್ದೇವೆ ().

  3) ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ X X=inf( X,X} = X.

  ಪ್ರತಿಫಲಿತತೆಯ ಮೂಲಕ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸಾಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ: X? X.

  ಅದು. ನಿರ್ಮಿಸಿದ ಬೀಜಗಣಿತ<ಎಸ್ ; > ಒಂದು ಕಮ್ಯುಟೇಟಿವ್ ಐಡೆಮ್ಪೋಟೆಂಟ್ ಸೆಮಿ-ಗ್ರೂಪ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. ಪರಿವರ್ತಕ ಲಿಂಕ್.

  ಪ್ರಮೇಯ 2.

  ಅವಕಾಶ<ಎಸ್ ; · > ಒಂದು ಕಮ್ಯುಟೇಟಿವ್ ಐಡೆಂಪೋಟೆಂಟ್ ಸೆಮಿಗ್ರೂಪ್, ನಂತರ ಬೈನರಿ ರಿಲೇಶನ್? ಮೇಲೆ ಎಸ್, ಸಮಾನತೆಯಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ

  ? = ಎ·в = ಎ,

  ಭಾಗಶಃ ಆದೇಶವಾಗಿದೆ. ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ಪ್ಲೇಗ್<ಎಸ್ ; ? > ಒಂದು ಸೆಮಿಲ್ಯಾಟಿಸ್ ಆಗಿದೆ.

  ಪುರಾವೆ:

  1) ಪ್ರತಿಫಲಿತತೆ?.

  ಷರತ್ತಿನ ಪ್ರಕಾರ<ಎಸ್ ; · > ಮೂರು ಗುರುತುಗಳನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ:

  (1) X = X

  (2) x y = y x

  (3) (x ವೈ)· z = x(ವೈ· z)

  ನಂತರ x x = x = x -(1) ಗುಣದಿಂದ ಅದಕ್ಕೇ X? X.

  2) ಆಂಟಿಸಿಮ್ಮೆಟ್ರಿ? .

  ಅವಕಾಶ X? ನಲ್ಲಿಮತ್ತು ವೈ? X, ನಂತರ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ,

  (4) x y = x

  ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಂವಹನಕ್ಕೆ ಧನ್ಯವಾದಗಳು, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ x = y.

  3) ಟ್ರಾನ್ಸಿಟಿವಿಟಿ?.

  ಅವಕಾಶ X? ನಲ್ಲಿಮತ್ತು ವೈ?z ನಂತರ, ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ,

  (6) x y = x

  (7) ವೈ z= ವೈ

  ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ X· z = (X· ವೈ)· z X· (ವೈ· z) xy X

  ಆದ್ದರಿಂದ, X· z = X, ಅದು X?z.

  ಹೀಗಾಗಿ, ನಾವು CHUM ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ<ಎಸ್ ; ? >. ಯಾವುದಕ್ಕೂ ತೋರಿಸಲು ಇದು ಉಳಿದಿದೆ ( ಎ,ವಿ)ಎಸ್ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ inf ( a,c}.

  ನಾವು ಅನಿಯಂತ್ರಿತವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಎ,ವಿ ಎಸ್ಮತ್ತು ಅಂಶ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ c = a bಮಾಹಿತಿ a,c), ಅಂದರೆ. ಜೊತೆಗೆ= ಮಾಹಿತಿ ( a,c}.

  ವಾಸ್ತವವಾಗಿ,

  c a =(ಎಸಿ)·ಎ A·(ಎಸಿ) (a·a)· ವಿ a·b = c,

  ಅದು. ಜೊತೆ? ಎ.

  ಅಂತೆಯೇ, s·v =(ಎಸಿ)·ವಿ A·(ರಲ್ಲಿ · ರಲ್ಲಿ) a·b = c,

  ಆ. ಜೊತೆ? ವಿ.

  ಆದ್ದರಿಂದ, ಜೊತೆಗೆ- ಸಾಮಾನ್ಯ ಕಡಿಮೆ ಬೌಂಡ್ ( a,c}.

  ಅದರ ನಿಖರತೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ.

  ಅವಕಾಶ ಡಿ- ಕೆಲವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಕಡಿಮೆ ಬೌಂಡ್ ಎಮತ್ತು ವಿ:

  (8) d? ಎ

  (9) ಡಿ? ವಿ

  (10) d a = d

  (11) ಡಿ ರಲ್ಲಿ =ಡಿ

  ಡಿ· ಸಿ = ಡಿ· (ಎಸಿ) (ಡಿ·ಎ)· ವಿ ಡಿ·ವಿ ಡಿ,

  ಡಿ· ಸಿ = ಡಿ, ಆದ್ದರಿಂದ, ಡಿ ? ಸಿ.

  ತೀರ್ಮಾನ: c = inf( ಎ,ವಿ}.

  1 ಮತ್ತು 2 ಪ್ರಮೇಯಗಳು ಸೆಮಿಲ್ಯಾಟಿಸ್‌ಗಳನ್ನು ಎರಡು ದೃಷ್ಟಿಕೋನಗಳಿಂದ ನೋಡಲು ನಮಗೆ ಅವಕಾಶ ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತವೆ: CUM ಗಳಂತೆ ಮತ್ತು ಬೀಜಗಣಿತದಂತೆ (ಐಡೆಂಪೋಟೆಂಟ್ ಕಮ್ಯುಟೇಟಿವ್ ಸೆಮಿಗ್ರೂಪ್‌ಗಳು).

  2. ಉತ್ತಮವಾಗಿ ಆದೇಶಿಸಿದ ಸೆಟ್‌ಗಳು

  ಆರ್ಡರ್ ಸೆಟ್‌ಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಜಿ. ಕ್ಯಾಂಟರ್ . ಶತುನೋವ್ಸ್ಕಿ . ಹಾಸ್ಡಾರ್ಫ್ (1914).

  ಚೆನ್ನಾಗಿ ಆರ್ಡರ್ ಮಾಡಿದ ಸೆಟ್‌ಗಳು -ಅದರ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಉಪವಿಭಾಗವು ಮೊದಲ ಅಂಶವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ (ಅಂದರೆ, ಎಲ್ಲಾ ಇತರ ಅಂಶಗಳಿಂದ ಅನುಸರಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ಒಂದು ಅಂಶ) ಆರ್ಡರ್ ಮಾಡಿದ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಉತ್ತಮವಾಗಿ-ಕ್ರಮಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎಲ್ಲಾ ಸೀಮಿತ ಆದೇಶದ ಸೆಟ್‌ಗಳನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಆದೇಶಿಸಲಾಗಿದೆ. ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸರಣಿಗಳು, ಆರೋಹಣ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ (ಹಾಗೆಯೇ ಇತರ ಕೆಲವು ವಿಧಾನಗಳಲ್ಲಿ) ಆದೇಶಿಸಿದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ. ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಆದೇಶಿಸಿದ ಸೆಟ್‌ಗಳ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆಯನ್ನು ಮುಖ್ಯವಾಗಿ ಟ್ರಾನ್ಸ್‌ಫಿನೈಟ್ ಇಂಡಕ್ಷನ್ ತತ್ವವು ಅವರಿಗೆ ಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ ಎಂಬ ಅಂಶದಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

  ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಆರ್ಡಿನಲ್ ಪ್ರಕಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಆದೇಶದ ಸೆಟ್‌ಗಳು ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಕಾರ್ಡಿನಾಲಿಟಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ನೀಡಿದ ಆರ್ಡಿನಲ್ ಪ್ರಕಾರದ ಕಾರ್ಡಿನಾಲಿಟಿಯ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡಬಹುದು. ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ಒಂದೇ ಕಾರ್ಡಿನಾಲಿಟಿಯ ಸೀಮಿತ ಆದೇಶದ ಸೆಟ್‌ಗಳು ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಆರ್ಡಿನಲ್ ಪ್ರಕಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಪ್ರತಿ ಸೀಮಿತ ಕಾರ್ಡಿನಾಲಿಟಿಯು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸೀಮಿತ ಆರ್ಡಿನಲ್ ಪ್ರಕಾರಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ. ಅನಂತ ಸೆಟ್‌ಗಳಿಗೆ ಚಲಿಸುವಾಗ ಪರಿಸ್ಥಿತಿ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎರಡು ಅನಂತ ಆದೇಶದ ಸೆಟ್‌ಗಳು ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಕಾರ್ಡಿನಾಲಿಟಿಯನ್ನು ಹೊಂದಬಹುದು ಆದರೆ ವಿಭಿನ್ನ ಆರ್ಡರ್ ಪ್ರಕಾರಗಳು.

  3. ಭಾಗಶಃ ಗುಂಪುಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು

  ತಿಳಿದಿರುವಂತೆ, ಒಂದು ಸೆಟ್ನಲ್ಲಿ ಬೈನರಿ ಬೀಜಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆ ಎಸ್ಕಾರ್ಟೇಸಿಯನ್ ಚೌಕದಿಂದ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಆಗಿದೆ ಎಸ್?ಎಸ್. ಈ ವೇಳೆ ಕ್ರಮ ಕೈಗೊಳ್ಳಲಾಗುವುದು ಎನ್ನಲಾಗಿದೆ ಎಸ್. ಈ ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್ನಲ್ಲಿ ನಾವು ಅದನ್ನು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ ಪೂರ್ಣ ಪರಿಣಾಮ.

  ಉಪವಿಭಾಗದಿಂದ ಯಾವುದೇ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಎಸ್?ಎಸ್ವಿ ಎಸ್ಎಂದು ಕರೆದರು ಭಾಗಶಃ ಪರಿಣಾಮಮೇಲೆ ಎಸ್. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಭಾಗಶಃ ಕ್ರಮ ಎಸ್ನಿಂದ ಕೆಲವು ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ ಎಸ್?ಎಸ್ > ಎಸ್.

  ಎಂದು ಹೇಳಬಹುದು ಎಸ್ಯಾವುದೇ ಅಂಶಗಳಿಗೆ ಭಾಗಶಃ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು (ಭಾಗಶಃ ಗುಣಾಕಾರ) ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ a,c ಎಸ್ಕೆಲಸ ಎಸಿಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅಥವಾ ನಿಸ್ಸಂದಿಗ್ಧವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಸರಳವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಇಲ್ಲಿ ಗುಣಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ.

  ಒಂದು ಗೊಂಚಲು ಎಸ್ಅದರಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದ ಭಾಗಶಃ ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಭಾಗಶಃ ಗ್ರೂಪಾಯ್ಡ್ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಸೂಚಿಸಲಾಗಿದೆ ( ಎಸ್ ; · ) ಸಂಪೂರ್ಣ ಗ್ರೂಪಾಯ್ಡ್‌ಗೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ< ಎಸ್ ; · >.

  ಸಂಪೂರ್ಣ ಗ್ರೂಪಾಯ್ಡ್‌ಗಾಗಿ ನಾವು ಕೇಲಿ ಟೇಬಲ್ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡಬಹುದಾದರೆ, ಭಾಗಶಃ ಗ್ರೂಪಾಯ್ಡ್‌ಗಾಗಿ ನಾವು ಕೇಲಿ ಟೇಬಲ್‌ನ ಕೆಲವು ಅನಲಾಗ್‌ಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡಬಹುದು, ಅವುಗಳೆಂದರೆ ಕೆಲವು ಕೋಶಗಳು ಖಾಲಿಯಾಗಿರುವ ಟೇಬಲ್ - ಅಂಶಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವು ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿರುವಾಗ ಇದು ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ.

  ಉದಾಹರಣೆ 1.

  	ಎ

  ಎ· in = in, ಆದರೆ ವಿ· ಎವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ, ಅಂದರೆ. ವಿ· ಎ= ಓ. ಚಿಹ್ನೆ " ಓ" ಸೇರಿಲ್ಲ ಎಸ್, ಅಂದರೆ ಒಂದು ಅಂಶವಲ್ಲ ಎಸ್.

  ಉದಾಹರಣೆ 2.

  ಪ್ಲೇಗ್ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ ( ಎಸ್ ; ? ).

  ಎಸ್ = {ಎ,ವಿ,ಸಿ, ಡಿ), ಎಲ್ಲಿ ಎ? ಎ, ವಿ? ವಿ, ಜೊತೆ? ಜೊತೆಗೆ, ಡಿ ? ಡಿ, ಜೊತೆ? ಎ, ಜೊತೆ? ವಿ, ಡಿ? ಎ, ಡಿ? ವಿ.

  ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಪ್ಲೇಗ್‌ನಲ್ಲಿ ( ಎಸ್ ; ? ) ನಾವು ಸೂಚಿಸಲು ಒಪ್ಪುತ್ತೇವೆ:

  ಎ ವಿ= ಮಾಹಿತಿ ( ಎ,ವಿ}.

  ನಂತರ ಈ ಆಂಶಿಕ ಕ್ರಿಯೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ಸೂಚಿಸಲಾದ ಪ್ಲೇಗ್ ಭಾಗಶಃ ಗ್ರೂಪಾಯ್ಡ್ ಆಗಿದೆ ( ಎಸ್;), ಕೇಲಿ ಕೋಷ್ಟಕವು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿದೆ

  				ಡಿ
  ಎ
  				ಡಿ
  	ಸಿ
  			-

  ಈ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ನಾವು ಮೂರು ರೀತಿಯ ಸಹಭಾಗಿತ್ವವನ್ನು ನೋಡುತ್ತೇವೆ: ಬಲವಾದ ಸಹವಾಸ, ಮಧ್ಯಮ ಸಹವಾಸ, ದುರ್ಬಲ ಸಹವಾಸ.

  ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 1.

  ಭಾಗಶಃ ಗ್ರೂಪಾಯ್ಡ್ ( ಎಸ್ ; · ) ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ದುರ್ಬಲವಾಗಿ ಸಹವರ್ತಿ , ವೇಳೆ

  (X,y,z ಎಸ್) (X· ವೈ)· z ಓ X·( ವೈ· z) > (X· ವೈ)· z= X·( ವೈ· z) (*)

  ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 2.

  ಭಾಗಶಃ ಗ್ರೂಪಾಯ್ಡ್ ( ಎಸ್ ; · ) ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮಧ್ಯಮ ಸಹಾಯಕ , ವೇಳೆ

  (X,y,z ಎಸ್) (X· ವೈ)· z ಓ ವೈ· z > (X· ವೈ)· z= X·( ವೈ· z)

  ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 3.

  ಭಾಗಶಃ ಗ್ರೂಪಾಯ್ಡ್ ( ಎಸ್ ; · ) ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಬಲವಾಗಿ ಸಹವರ್ತಿ , ವೇಳೆ

  (X,y,z ಎಸ್) [(X· ವೈ)· z ಓ X·( ವೈ· z) ಓ> (X· ವೈ)· z= X·( ವೈ· z)] (*)

  ಬಲವಾಗಿ ಸಂಯೋಜಿತ ಭಾಗಶಃ ಗ್ರೂಪಾಯ್ಡ್ ಮಧ್ಯಮ ಮತ್ತು ದುರ್ಬಲ ಸಹಯೋಗದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ.

  ಉದಾಹರಣೆ 3.

  ನೀಡಿದ ಎ = {ಎ, ರಲ್ಲಿ, ಜೊತೆ) ಅದನ್ನು ಹೊಂದಿಸೋಣ ಎ"ಭಾಗಶಃ ಕೇಲಿ ಟೇಬಲ್" ಮೂಲಕ ಗುಣಾಕಾರದ ಭಾಗಶಃ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆ.

  ನಾವು ಕೆಲವು ಭಾಗಶಃ ಗ್ರೂಪಾಯ್ಡ್ ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಗ್ರೂಪಾಯ್ಡ್ ಬಲವಾಗಿ ಸಹಾಯಕವಾಗಿದೆಯೇ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ.

  ಅವಕಾಶ ( X· ವೈ)· z ಓ ಏಕೆಂದರೆ X ಎ, ನಂತರ ಒಂದೋ x = ಸಿ x = ಬಿ

  1) ಅವಕಾಶ x = ಸಿ, ನಂತರ y = in y = c

  a) ಅವಕಾಶ y = in, ನಂತರ z = ಎ

  (ಜೊತೆಗೆ· ವಿ)· ಎ ಓ ಜೊತೆಗೆ·( ವಿ· ಎ) ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ

  (ಜೊತೆಗೆ· ವಿ)· a = c·( ವಿ· ಎ) ಸಮಾನತೆ ತೃಪ್ತಿಗೊಂಡಿದೆ

  ಬಿ) ಅವಕಾಶ y = c, ನಂತರ z= ರಲ್ಲಿ z= ಸಿ

  ಮತ್ತು ವೇಳೆ z= ರಲ್ಲಿ, ನಂತರ

  (ಜೊತೆಗೆ· ಜೊತೆಗೆ)· ವಿ ಓ ಜೊತೆಗೆ·( ಜೊತೆಗೆ· ವಿ) ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ

  (ಜೊತೆಗೆ· ಜೊತೆಗೆ)· in = c·( ಜೊತೆಗೆ· ವಿ) ಸಮಾನತೆ ತೃಪ್ತಿಗೊಂಡಿದೆ

  ಬಿ") ವೇಳೆ z= ಸಿ, ನಂತರ

  (ಜೊತೆಗೆ· ಜೊತೆಗೆ)· ಜೊತೆಗೆ ಓ ಜೊತೆಗೆ·( ಜೊತೆಗೆ· ಜೊತೆಗೆ) ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ

  (ಜೊತೆಗೆ· ಜೊತೆಗೆ)· c = c·( ಜೊತೆಗೆ· ಜೊತೆಗೆ) ಸಮಾನತೆ ತೃಪ್ತಿಗೊಂಡಿದೆ

  2) ಅವಕಾಶ x = ಬಿ, ನಂತರ y = a, ಎ z= ರಲ್ಲಿ z = ಸಿ

  ಮತ್ತು ವೇಳೆ y = aಮತ್ತು z= ರಲ್ಲಿ

  (ವಿ· ಎ)· ವಿ ಓ= ರಲ್ಲಿ·( ಎ· ವಿ) ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ

  (ವಿ· ಎ)· ವಿ ವಿ·( ಎ· ವಿ) ಸಮಾನತೆ ತೃಪ್ತಿ ಹೊಂದಿಲ್ಲ

  ಬಿ) ಅವಕಾಶ y = aಮತ್ತು z= ಸಿ

  (ವಿ· ಎ)· ಜೊತೆಗೆ ಓ= ರಲ್ಲಿ·( ಎ· ಜೊತೆಗೆ) ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ

  (ವಿ· ಎ)· ಜೊತೆಗೆ ವಿ·( ಎ· ಜೊತೆಗೆ) ಸಮಾನತೆ ತೃಪ್ತಿ ಹೊಂದಿಲ್ಲ

  ಆದ್ದರಿಂದ, ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ, ಭಾಗಶಃ ಗ್ರೂಪಾಯ್ಡ್ ಬಲವಾಗಿ ಸಹವರ್ತಿಯಾಗಿಲ್ಲ. ಆದರೆ ಇದರ ಅರ್ಥವಲ್ಲ ( ಎಸ್ ; · ) ದುರ್ಬಲವಾಗಿ ಸಹವರ್ತಿಯಾಗಿಲ್ಲ.

  ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ.

  ಅವಕಾಶ (X· ವೈ)· z ಓ X·( ವೈ· z) ಓ .

  ನಲ್ಲಿ X ಎ, ನಲ್ಲಿ ಎ, ಅವುಗಳೆಂದರೆ, ಯಾವಾಗ

  x = ಬಿ x = ಸಿ

  y = in y = c

  ಈ ಆಂಶಿಕ ಗ್ರೂಪಾಯ್ಡ್ ದುರ್ಬಲವಾಗಿ ಸಹವರ್ತಿಯಾಗಿದೆ.

  ಉದಾಹರಣೆ 4.

  ಅವಕಾಶ ಎ ={ಎ, ರಲ್ಲಿ, ಜೊತೆ), ಗೆ ಹೊಂದಿಸಬಹುದು ಎಕೆಳಗಿನ ಕೇಲಿ ಟೇಬಲ್. ನಾವು ಕೆಲವು ಭಾಗಶಃ ಗ್ರೂಪಾಯ್ಡ್ ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಈ ಗ್ರೂಪಾಯ್ಡ್ ಮಧ್ಯಮ ಸಹಾಯಕವಾಗಿದೆಯೇ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ.

  ಅವಕಾಶ ( X· ವೈ)· z ಓ ಏಕೆಂದರೆ X ವಿ, ನಂತರ x = a x = ಸಿ

  1) ಅವಕಾಶ x = a, ನಂತರ y = a y = in

  a) ಅವಕಾಶ y = a, ನಂತರ z = ಎ, z= ರಲ್ಲಿ

  ಮತ್ತು ವೇಳೆ z= ಎ, ನಂತರ

  (ಎ· ಎ)· ಎ ಓ ಎ· ಎವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ

  (ಎ· ಎ)· ಎ ಎ·( ಎ· ಎ) ಸಮಾನತೆ ತೃಪ್ತಿ ಹೊಂದಿಲ್ಲ

  ಬಿ") ವೇಳೆ z= ರಲ್ಲಿ, ನಂತರ

  (ಎ· ಎ)· ವಿ ಓ ಎ· ವಿವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ

  (ಎ· ಎ)· ವಿ ಎ·( ಎ· ವಿ) ಸಮಾನತೆ ತೃಪ್ತಿ ಹೊಂದಿಲ್ಲ

  ಆದ್ದರಿಂದ, ಗ್ರೂಪಾಯ್ಡ್ ಅರ್ಥಪೂರ್ಣವಲ್ಲ ಎಂದು ನಾವು ನೋಡುತ್ತೇವೆ. ಇದು ದುರ್ಬಲವಾಗಿ ಸಹಾಯಕವಾಗಿದೆಯೇ ಎಂದು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

  ಅವಕಾಶ ( X· ವೈ)· z ಓ X·( ವೈ· z) ಓ, ಏಕೆಂದರೆ X ವಿ, ನಂತರ x = a x = ಸಿ

  1) ಅವಕಾಶ x = a, ನಂತರ y = a y = in

  a) ಅವಕಾಶ y = a, ನಂತರ z = ಎ, z= ರಲ್ಲಿ

  ಮತ್ತು ವೇಳೆ z= ಎ, ನಂತರ

  (ಎ· ಎ)· ಎ ಓ= ಎ·( ಎ· ಎ) ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ

  (ಎ· ಎ)· ಎ ಎ·( ಎ· ಎ)

  ಬಿ") ವೇಳೆ z= ರಲ್ಲಿ, ನಂತರ

  (ಎ· ಎ)· ವಿ ಓ ಎ·( ಎ· ವಿ) ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ

  (ಎ· ಎ)· in = a·( ಎ· ವಿ) ಸಮಾನತೆ ತೃಪ್ತಿಗೊಂಡಿದೆ

  ಬಿ) ಅವಕಾಶ y = in, ನಂತರ z = ಎ, z= ರಲ್ಲಿ

  ಮತ್ತು ವೇಳೆ z= ಎ, ನಂತರ

  (ಎ· ವಿ)· ಎ ಓ= ಎ·( ವಿ· ಎ) ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ

  (ಎ· ವಿ)· ಎ ಎ·( ವಿ· ಎ)

  ಬಿ") ವೇಳೆ z= ರಲ್ಲಿ, ನಂತರ

  (ಎ· ವಿ)· ವಿ ಓ ಎ·( ವಿ· ವಿ) ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ

  (ಎ· ವಿ)· ವಿ ಎ·( ವಿ· ವಿ) ಸಮಾನತೆ ತೃಪ್ತಿ ಹೊಂದಿಲ್ಲ

  2) ಅವಕಾಶ x = ಸಿ, ನಂತರ y = a,y = in

  a) ಅವಕಾಶ y = a, ನಂತರ z = ಎ, z= ರಲ್ಲಿ

  ಮತ್ತು ವೇಳೆ z= ಎ, ನಂತರ

  (ಜೊತೆಗೆ· ಎ)· ಎ ಓ= ಸಿ·( ಎ· ಎ) ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ

  (ಜೊತೆಗೆ· ಎ)· ಎ ಜೊತೆಗೆ·( ಎ· ಎ) ಸಮಾನತೆ ತೃಪ್ತಿ ಹೊಂದಿಲ್ಲ

  ಬಿ") ವೇಳೆ z= ರಲ್ಲಿ, ನಂತರ

  (ಜೊತೆಗೆ· ಎ)· ವಿ ಓ ಜೊತೆಗೆ·( ಎ· ವಿ) ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ

  (ಜೊತೆಗೆ· ಎ)· in = c·( ಎ· ವಿ) ಸಮಾನತೆ ತೃಪ್ತಿಗೊಂಡಿದೆ

  ಆದ್ದರಿಂದ, ಭಾಗಶಃ ಗ್ರೂಪಾಯ್ಡ್ ದುರ್ಬಲವಾಗಿ ಸಹವರ್ತಿಯಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ನೋಡುತ್ತೇವೆ x = aಮತ್ತು z= ರಲ್ಲಿಅಥವಾ ಯಾವಾಗ x = ಸಿಒಂದು ವೇಳೆ y = aಮತ್ತು z= ರಲ್ಲಿ.

  ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 4.

  ಭಾಗಶಃ ಗ್ರೂಪಾಯ್ಡ್ ( ಎಸ್ ; · ) ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಪರಿವರ್ತಕ , ವೇಳೆ

  (X,ವೈ ಎಸ್) X· ವೈ = ವೈ· X

  ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 5.

  ಭಾಗಶಃ ಗ್ರೂಪಾಯ್ಡ್ ( ಎಸ್ ; · ) ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಕ್ಯಾಟೆನರಿ , ವೇಳೆ

  (X,y,z ಎಸ್) (X· ವೈ ಓ ವೈ· z) > [(X· ವೈ)· z ಓ X·( ವೈ· z)]

  ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 6.

  ಭಾಗಶಃ ಗ್ರೂಪಾಯ್ಡ್ ( ಎಸ್ ; · ) ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಬುದ್ಧಿಹೀನ , ವೇಳೆ

  (X ಎಸ್) X = X

  ನಾನ್-ಕ್ಯಾಟೆನರಿ ಪಾರ್ಶಿಯಲ್ ಗ್ರೂಪಾಯ್ಡ್‌ನ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನೀಡೋಣ.

  ಉದಾಹರಣೆ 5.

  				ಡಿ
  ಎ
  				ಡಿ
  	ಸಿ
  			-

  ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಜೊತೆಗೆ a = c ಓ, ಎ ಡಿ = ಡಿ ಓ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ( ಜೊತೆಗೆ ಎ) ಡಿ = ಸಿ ಡಿ ಓ. ಆದ್ದರಿಂದ, ನೀಡಿದ CG ಕ್ಯಾಟನರಿ ಅಲ್ಲ.

  ಅಂಶಗಳ "ಸಾಮಾನ್ಯ ಮೇಲಿನ ಬೌಂಡ್" ಪದದಿಂದ ನಾವು ಏನು ಅರ್ಥೈಸುತ್ತೇವೆ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ ಎಮತ್ತು ವಿಕೆಲವು ಪ್ಲೇಗ್.

  ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 7.

  ಇದನ್ನು ಪ್ಲೇಗ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ವರ್ಗೀಯ , ಮೇಲಿನ ಬೌಂಡ್ ಹೊಂದಿರುವ ಅದರ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಅಂಶಗಳು ನಿಖರವಾದ ಕೆಳಗಿನ ಬೌಂಡ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ.

  ಉದಾಹರಣೆ 6.

  ಉದಾಹರಣೆ 7.

  ಕೇಲಿ ಟೇಬಲ್‌ನಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಭಾಗಶಃ ಆದೇಶದ ಸೆಟ್:

  ಉದಾಹರಣೆ 8.

  ಭಾಗಶಃ ಆದೇಶ ಸೆಟ್

  ಕೆಳಗಿನ ಕೇಲಿ ಟೇಬಲ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:

  				-
  				-
  				-

  ಪ್ರತಿ ಸೆಮಿಲ್ಯಾಟಿಸ್ ಒಂದು ವರ್ಗೀಯ ಪ್ಲೇಗ್ ಎಂದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ (ಆದರೆ ಪ್ರತಿಯಾಗಿ ಅಲ್ಲ), ಏಕೆಂದರೆ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಅಂಶಗಳು ನಿಖರವಾದ ಅಸ್ಪಷ್ಟತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಎಲ್ಲಾ ವರ್ಗೀಯ ಪ್ಲೇಗ್‌ಗಳ ವರ್ಗವು ಎಲ್ಲಾ ಸೆಮಿಲ್ಯಾಟಿಸ್‌ಗಳ ವರ್ಗವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಅದರೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಅದು. ವರ್ಗೀಯ ಪ್ಲೇಗ್‌ಗಳಿಗೆ ಸಾಬೀತಾಗಿರುವ ಯಾವುದೇ ಪ್ರತಿಪಾದನೆಯು ಸ್ಪಷ್ಟವಾದ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಸೆಮಿಲ್ಯಾಟಿಸ್‌ಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ.

  ನಾವು ಸೆಮಿಲ್ಯಾಟಿಸ್‌ಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೀಡೋಣ.

  ಉದಾಹರಣೆ 9.

  ರೇಖಾಚಿತ್ರ:

  ಎಂದು ಕರೆದರು ವಜ್ರ

  				ಡಿ
  ಎ
  			ಡಿ
  	ಸಿ

  ಉದಾಹರಣೆ 10.

  ರೇಖಾಚಿತ್ರ:

  ಎಂದು ಕರೆದರು ಪೆಂಟಗನ್, ಮತ್ತು ಕೆಳಗಿನ ಕೇಲಿ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸೆಮಿಲ್ಯಾಟಿಸ್‌ನಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ:

  ಉದಾಹರಣೆ 11.

  ಕೇಲಿ ಕೋಷ್ಟಕದಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಸೆಮಿಲ್ಯಾಟಿಸ್:

  ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:

  ಪ್ರಮೇಯ 1.

  ಅವಕಾಶ ( ಎಸ್ ; ? ) - ವರ್ಗೀಯ ಪ್ಲೇಗ್, ನಂತರ ( ಎಸ್;) - ಕ್ಯಾಟೆನರಿ ಐಡೆಂಪೋಟೆಂಟ್ ಕಮ್ಯುಟೇಟಿವ್ ದುರ್ಬಲವಾಗಿ ಅಸೋಸಿಯೇಟಿವ್ ಭಾಗಶಃ ಗ್ರೂಪಾಯ್ಡ್.

  ಪುರಾವೆ:

  ಯಾರಿಗಾದರೂ ಎ ಎಸ್ಯಾವಾಗಲೂ

  ಎ ಎ= ಮಾಹಿತಿ ( ಎ, ಎ} = ಎ ಆದ್ದರಿಂದ ಭಾಗಶಃ ಗ್ರೂಪಾಯ್ಡ್ ಎಸ್ಬುದ್ಧಿಹೀನ.

  ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಎ ವಿ= ಮಾಹಿತಿ ( ಎ,ವಿ) = ಮಾಹಿತಿ ( ವಿ,ಎ} = ವಿ ಎ, ಆದ್ದರಿಂದ ಎಸ್ಪರಿವರ್ತಕ

  ದುರ್ಬಲ ಸಹಭಾಗಿತ್ವವನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ.

  ಅವಕಾಶ ( ಎ ವಿ) ಜೊತೆಗೆ ಓ ಎ (ವಿ ಜೊತೆಗೆ), ಸೂಚಿಸಿ

  ಎ ವಿ = ಡಿ, ವಿ ಜೊತೆಗೆ = ಇ, (ಎ ವಿ) ಜೊತೆಗೆ= ಡಿ ಜೊತೆಗೆ = f, ಎ (ವಿ ಜೊತೆಗೆ) = ಎ ಇ= ಜಿ

  ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತು ಮಾಡೋಣ f = ಜಿ.

  ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ f ? ಡಿ ? ಎ f ? ಎ,

  f ? ಡಿ? ವಿ f? ವಿ (1)

  f ? ಸಿ (2)

  ಏಕೆಂದರೆ ಇ= ಮಾಹಿತಿ ( ರಲ್ಲಿ, ಜೊತೆ), ನಂತರ (1), (2) ನಿಂದ ಅದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ f ? ಇ. ಅದು. f - ಕೆಲವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಕಡಿಮೆ ಬೌಂಡ್ ಎಮತ್ತು ಇ, ಎ ಜಿ ಅವರ ನಿಖರವಾದ ಮಾಹಿತಿಯಿಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ

  f ? ಜಿ (3)

  ಅಂತೆಯೇ,

  ಜಿ ? f (4)

  ಅಸಮಾನತೆ (3), (4) ಮತ್ತು ಸಂಬಂಧದ ಆಂಟಿಸಿಮೆಟ್ರಿ? ಒದಗಿಸುತ್ತವೆ f = ಜಿ. ದುರ್ಬಲ ಸಹಯೋಗವು ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ.

  ಕ್ಯಾಟೆನರಿಯನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ ಎಸ್.

  ಅವಕಾಶ ಎ ವಿ ಓ ವಿ ಜೊತೆಗೆ, ಸೂಚಿಸಿ ಎ b = x, ವಿ ಜೊತೆಗೆ = ವೈ, ಇಲ್ಲಿಂದ X? ವಿ, ವೈ? ವಿ, ಅಂದರೆ

  ವಿ- ಸಾಮಾನ್ಯ ಮೇಲಿನ ಬೌಂಡ್ Xಮತ್ತು ನಲ್ಲಿ. ಏಕೆಂದರೆ ಪ್ಲೇಗ್ ಎಸ್ವರ್ಗೀಯವಾಗಿ, ನಂತರ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ inf ( x,y), ಅಂದರೆ. ನಲ್ಲಿ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ ಎಸ್ X ನಲ್ಲಿ. ಸೂಚಿಸೋಣ X y = z, ನಾವು ಅದನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತೇವೆ

  ಎ (ವಿ ಜೊತೆಗೆ) = X ಜೊತೆಗೆ= z. ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ z ? X, z ? ವೈ (ಏಕೆಂದರೆ z = inf( x,y}), ವೈ ? z z ? X, z ? ಸಿ,

  z - ಕೆಳಗಿನ ಅಂಚು Xಮತ್ತು ಜೊತೆಗೆ.

  ನಾವು ನಿಖರತೆಯನ್ನು ಖಚಿತಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ.

  ಅವಕಾಶ ಟಿ ? X , ಟಿ ? ಸಿ (ಟಿ- ಯಾವುದೇ ಕಡಿಮೆ ಬೌಂಡ್), ಏಕೆಂದರೆ ಟಿ ? X , ಅದು ಟಿ ? ಎ, ಟಿ? ವಿ, ಷರತ್ತಿನ ಮೂಲಕ ಟಿ? ಜೊತೆಗೆ, ಅಂದರೆ ಟಿ- ಸಾಮಾನ್ಯ ಕಡಿಮೆ ಬೌಂಡ್ ವಿಮತ್ತು ಜೊತೆಗೆ. ಇದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ ನಲ್ಲಿ, ಟಿ ? ವೈ.

  ಆದ್ದರಿಂದ, ಟಿ ? X, ಟಿ? ನಲ್ಲಿಆದ್ದರಿಂದ ಟಿ ? z (ಎ-ಪ್ರಿಯರಿ z).

  ಕ್ಯಾಟೆನರಿ ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ.

  ಪ್ರಮೇಯ 2.

  ಒಂದು ವೇಳೆ ( ಎಸ್ ; · ) ಒಂದು ಕ್ಯಾಟೆನರಿ ಐಡೆಂಪೋಟೆಂಟ್ ಕಮ್ಯುಟೇಟಿವ್ ದುರ್ಬಲವಾಗಿ ಅಸೋಸಿಯೇಟಿವ್ ಭಾಗಶಃ ಗ್ರೂಪಾಯ್ಡ್, ನಂತರ ಸಂಬಂಧ

  ? = (a,c) ಎಸ್?ಎಸ್ (2)

  ಆದೇಶ ಸಂಬಂಧವಾಗಿದೆ. ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ಪ್ಲೇಗ್<ಎಸ್ ; ? > - ಕ್ಯಾಟನರಿ ಆಗಿದೆ.

  ಪುರಾವೆ:

  ಸಂಬಂಧದ ಪ್ರತಿಫಲಿತತೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣವೇ? . ಏಕೆಂದರೆ ಭಾಗಶಃ ಗ್ರೂಪಾಯ್ಡ್ ಎಸ್ idempo-tenten, ನಂತರ ಎ· ಎ = ಎ ಆದ್ದರಿಂದ, ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ (2) ಎ? ಎ.

  ಆಂಟಿಸಿಮೆಟ್ರಿಯನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ.

  ಒಂದು ವೇಳೆ ಎ? ಒಳಗೆ, ಒಳಗೆ? ಎ,ಅದು а·в = а, в·а = в,ಕಮ್ಯುಟಾಟಿವಿಟಿಯಿಂದಾಗಿ ಎಡಭಾಗಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿವೆ, ಅಂದರೆ ಬಲಭಾಗಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ a = b.

  ಇದು ಟ್ರಾನ್ಸಿಟಿವಿಟಿಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಉಳಿದಿದೆ.

  ಅವಕಾಶ ಎ? ವಿ, ವಿ? ಜೊತೆಗೆ, ನಂತರ a·b = a, v s = in, а·с =(ಎಸಿ)· ಜೊತೆಗೆ. ಕ್ಯಾಟೆನರಿಯಿಂದಾಗಿ ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ( ಎ· ವಿ)· ಜೊತೆಗೆ ಓ , ಎ·( ವಿ· ಜೊತೆಗೆ) ಓ, ಆದ್ದರಿಂದ ದುರ್ಬಲ ಸಹವಾಸದಿಂದಾಗಿ

  (ಎಸಿ)· ಸಿ = ಎ ·(v s), ಆದ್ದರಿಂದ, a·c = a·(v s) = a·b = a.

  ಆದ್ದರಿಂದ, a·c = a, ಅಂದರೆ ಎ? ಜೊತೆಗೆ.

  ಅದು. ನಮಗೆ ಪ್ಲೇಗ್ ಇದೆ<ಎಸ್ ; ? > .

  ಅವಕಾಶ z- ಸಾಮಾನ್ಯ ಮೇಲಿನ ಬೌಂಡ್ Xಮತ್ತು ನಲ್ಲಿ. ಆದ್ದರಿಂದ, X?z, ವೈ ? z, ಇಲ್ಲಿಂದ X·z = X, ವೈ· z = ವೈ, ನಂತರ z· ವೈ = ವೈ. ಕ್ಯಾಟೆನರಿ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ ( X· ವೈ)· z ಓ X· ವೈ ಓ.

  ಸೂಚಿಸೋಣ x y =ರು, ನಾವು ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ ರುನಿಖರವಾದ ಕೆಳಭಾಗದ ಅಂಚು.

  ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ರು· X = (X· ವೈ)· X = X· (X· ವೈ) = (X· X)· ವೈ = X· ವೈ = ರು (ಕ್ಯಾಟೆನರಿ ಮತ್ತು ದುರ್ಬಲ ಸಹಯೋಗದಿಂದಾಗಿ), ಆದ್ದರಿಂದ, ರು ? X, ಅಂದರೆ ರು- ಸಾಮಾನ್ಯ ಕಡಿಮೆ ಬೌಂಡ್.

  ಸೆಮಿಲ್ಯಾಟಿಸ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಚೆನ್ನಾಗಿ ತಿಳಿದಿರುವ ಎರಡು ಅನುಬಂಧಗಳು ಈ ಪ್ರಮೇಯಗಳಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತವೆ.

  ಫಲಿತಾಂಶ 1.

  ಒಂದು ವೇಳೆ<ಎಸ್ ; · > ಒಂದು ಐಡೆಮ್ಪೋಟೆಂಟ್ ಕಮ್ಯುಟೇಟಿವ್ ಸೆಮಿಗ್ರೂಪ್, ನಂತರ ಸಂಬಂಧವೇ? , ಸಮಾನತೆ (2) ನಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇದು ಭಾಗಶಃ ಕ್ರಮವಾಗಿದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಅಂಶಗಳಿಗೆ ಎಸ್ನಿಖರವಾದ ಕಡಿಮೆ ಮಿತಿ ಇದೆ.

  ಫಲಿತಾಂಶ 2.

  ಒಂದು ವೇಳೆ<ಎಸ್ ; · > ಒಂದು ಭಾಗಶಃ ಆದೇಶಿಸಿದ ಸೆಟ್, ಇದರಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಅಂಶಗಳ ಇನ್ಫಿಮಮ್ ಇರುತ್ತದೆ, ನಂತರ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ

  ಎ ವಿ= ಮಾಹಿತಿ ( ಎ,ವಿ} (3)

  ಒಂದು ಗೊಂಚಲು ಎಸ್ಒಂದು ಐಡೆಮ್ಪೋಟೆಂಟ್ ಕಮ್ಯುಟೇಟಿವ್ ಸೆಮಿಗ್ರೂಪ್ ಆಗಿದೆ.

  ತೀರ್ಮಾನ

  ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ, ಆದೇಶಿಸಿದ ಸೆಟ್ಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಜಿ ರಚಿಸಿದ್ದಾರೆ ಎಂದು ಗಮನಿಸಬಹುದು. ಕ್ಯಾಂಟರ್ . 1883 ರಲ್ಲಿ ಅವರು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಆದೇಶಿಸಿದ ಸೆಟ್ ಮತ್ತು ಆರ್ಡಿನಲ್ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಿದರು, ಮತ್ತು 1895 ರಲ್ಲಿ - ಆರ್ಡರ್ ಸೆಟ್ ಮತ್ತು ಆರ್ಡಿನಲ್ ಪ್ರಕಾರದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ. 1906-07 ರಲ್ಲಿ S.O. ಶತುನೋವ್ಸ್ಕಿ ನಿರ್ದೇಶಿತ ಸೆಟ್‌ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳನ್ನು (ಶತುನೋವ್ಸ್ಕಿಯಲ್ಲಿ - ನೆಲೆಗೊಂಡಿರುವ ಸಂಕೀರ್ಣ) ಮತ್ತು ನಿರ್ದೇಶಿತ ಗುಂಪಿನ ಮೇಲಿನ ಮಿತಿಯನ್ನು ರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ (ಅಮೇರಿಕನ್ ಗಣಿತಜ್ಞರು ಇ. . G. ಮೂರ್ ಮತ್ತು G. L. ಸ್ಮಿತ್ ಇದೇ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ಶತುನೋವ್ಸ್ಕಿಯಿಂದ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಿದ್ದಾರೆ, ಆದರೆ ನಂತರ - 1922 ರಲ್ಲಿ). ಭಾಗಶಃ ಆದೇಶದ ಸೆಟ್ನ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು ಎಫ್ಗೆ ಸೇರಿದೆ. ಹಾಸ್ಡಾರ್ಫ್ (1914).

  ಆದ್ದರಿಂದ, ಭಾಗಶಃ ಬೀಜಗಣಿತ ಕ್ರಿಯೆಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಸಂಪೂರ್ಣ ಕ್ರಿಯೆಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಮುಂದುವರಿಕೆಯಾಗಿದ್ದು, ಅದರ ಸಾಧನೆಗಳ ಲಾಭವನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಳ್ಳುವುದು, ಅದರೊಂದಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಕಲ್ಪನೆಗಳು ಮತ್ತು ಬೀಜಗಣಿತದ ಹೊರಗಿನ ಅನ್ವಯಗಳ ಅನುಭವವು ಇನ್ನೂ ವಿಶಾಲವಾದ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ಸ್ವತಂತ್ರ ನಿರ್ದೇಶನವಾಗಿ ರೂಪುಗೊಳ್ಳಬೇಕು. ಆಧುನಿಕ ಬೀಜಗಣಿತ.

  ಇಲ್ಲಿಯವರೆಗೆ, ಭಾಗಶಃ ಕ್ರಿಯೆಗಳ ಅಧ್ಯಯನಕ್ಕೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಮೀಸಲಾಗಿರುವ ನೂರಾರು ಕೃತಿಗಳನ್ನು ಪ್ರಕಟಿಸಲಾಗಿದೆ. ಅಧ್ಯಯನದ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ಭಾಗಶಃ ಕ್ರಿಯೆಗಳು ಸಂಭವಿಸುವ ಕೃತಿಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ, ಅವುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಭಾಗಶಃ ಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಕೆಲವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಬೀಜಗಣಿತ ಕೃತಿಗಳಲ್ಲಿ ಚರ್ಚಿಸಲಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಯಾವಾಗಲೂ ಬಹಳ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ.

  ಗ್ರಂಥಸೂಚಿ

  ಎ.ಕೆ. ಕ್ಲಿಫರ್ಡ್, ಜಿ. ಪ್ರೆಸ್ಟನ್. ಅರೆ ಗುಂಪುಗಳ ಬೀಜಗಣಿತ ಸಿದ್ಧಾಂತ. 1972.

  ಗ್ರೀಟ್ಜರ್. ಲ್ಯಾಟಿಸ್ಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮಾಸ್ಕೋ.-284 ಪು.

  ಕೊಝೆವ್ನಿಕೋವ್ ಒ.ಬಿ. ಮಾಸ್ಕೋ, 1998 ರ ಭಾಗಶಃ ಗ್ರೂಪಾಯ್ಡ್‌ಗಳ ಭಾಗಶಃ ಆದೇಶ. - 680s.

  ಇ.ಎಸ್. ಲಿಯಾಪಿನ್. ಅರೆ ಗುಂಪುಗಳು. ಮಾಸ್ಕೋ: ಫಿಜ್ಮಾಟ್, 1960.- 354 ಪು.

  ಲಿಯಾಪಿನ್ ಇ.ಎಸ್. ಬೀಜಗಣಿತ ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯೆ ಸಿದ್ಧಾಂತ. ಮಾಸ್ಕೋ, 1980.-589 ಪು.

  ಸೂಪರ್‌ಸೆಟ್‌ಗಳೊಂದಿಗೆ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುವಾಗ, ಸೆಟ್‌ಗಳು ತಮ್ಮದೇ ಆದ ಆಂತರಿಕ ರಚನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಬಹುದು ಎಂದು ನಾವು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಿಲ್ಲ, ಅಂದರೆ, ಸೆಟ್‌ನ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿವೆ ಎಂದು ನಾವು ಭಾವಿಸಿದ್ದೇವೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಅಂತಹ "ಶುದ್ಧ" ಸೆಟ್‌ಗಳು ಕಡಿಮೆ ಆಸಕ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ, ಮತ್ತು ಕೆಲವು ಅಂಶಗಳ ನಡುವೆ ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಸೆಟ್‌ಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಂಬಂಧ . ಒಂದು ಗುಂಪಿನ ಅಂಶಗಳ ನಡುವಿನ ಪ್ರಮುಖ ಸಂಬಂಧಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ ಆದೇಶ ಸಂಬಂಧ .

  ಆದೇಶ ಸಂಬಂಧ ನಿಯಮದಂತೆ, ಸೆಟ್ನ ಅಂಶಗಳ "ಅನುಕ್ರಮ" ಕ್ರಮವನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸುವುದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚೇನೂ ಅಲ್ಲ.

  ಅವಕಾಶ ಎ- ಕೆಲವು ಸೆಟ್, ಸೆಟ್ ಎಎಂದು ಕರೆದರು ಆದೇಶ ಸೆಟ್ , ಅದರ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಅಂಶಗಳಿಗೆ a, bಕೆಳಗಿನವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಲಾಗಿದೆ ಆದೇಶ ಸಂಬಂಧಗಳು :

  ಅಥವಾ a ≤ b (ಎಮೀರುವುದಿಲ್ಲ ಬಿ),

  ಅಥವಾ b ≤ a (ಬಿಮೀರುವುದಿಲ್ಲ ಎ),

  ಕೆಳಗಿನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:

  1) ಪ್ರತಿಫಲಿತತೆ:

  ಯಾವುದೇ ಅಂಶವು ತನಗಿಂತ ಶ್ರೇಷ್ಠವಾಗಿಲ್ಲ;

  2) ಆಂಟಿಸಿಮೆಟ್ರಿ:

  ಒಂದು ವೇಳೆ ಎಮೀರುವುದಿಲ್ಲ ಬಿ, ಎ ಬಿಮೀರುವುದಿಲ್ಲ ಎ, ನಂತರ ಅಂಶಗಳು ಎಮತ್ತು ಬಿಸರಿಸಮವಾದ;

  3) ಟ್ರಾನ್ಸಿಟಿವಿಟಿ:

  ಒಂದು ವೇಳೆ ಎಮೀರುವುದಿಲ್ಲ ಬಿ, ಎ ಬಿಮೀರುವುದಿಲ್ಲ ಜೊತೆಗೆ, ಅದು ಎಮೀರುವುದಿಲ್ಲ ಜೊತೆಗೆ.

  ಖಾಲಿ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಆದೇಶಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳಲಾಗಿದೆ. ಆದೇಶಿಸಿದ ಸೆಟ್‌ನ ಮೇಲಿನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಲ್ಲಿ, ಅದರ ಅಂಶಗಳು ಯಾವುದೇ ಪ್ರಕೃತಿಯ ವಸ್ತುಗಳಾಗಿರಬಹುದು, ಚಿಹ್ನೆ ≤ "ಮೀರುವುದಿಲ್ಲ" ಎಂದು ಓದುತ್ತದೆ. ಈ ಚಿಹ್ನೆಯು ("ಕಡಿಮೆ ಅಥವಾ ಸಮಾನ" ಚಿಹ್ನೆಯಾಗಿ) ಸೆಟ್ನ ಅಂಶಗಳ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಅದರ ಸಾಮಾನ್ಯ ಓದುವಿಕೆ ಮತ್ತು ಅರ್ಥವನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಎ- ಸಂಖ್ಯೆಗಳು.

  ಒಂದೇ ಅಂಶಗಳಿಂದ ಕೂಡಿದ ಎರಡು ಸೆಟ್‌ಗಳು, ಆದರೆ ವಿಭಿನ್ನ ಕ್ರಮ ಸಂಬಂಧಗಳೊಂದಿಗೆ, ವಿಭಿನ್ನ ಆದೇಶದ ಸೆಟ್‌ಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

  ಒಂದೇ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ವಿಭಿನ್ನ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಆದೇಶಿಸಬಹುದು, ಇದರಿಂದಾಗಿ ವಿವಿಧ ಆದೇಶದ ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು.

  ಉದಾಹರಣೆ

  ವಿವಿಧ ಪೀನ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಒಂದು ಗುಂಪನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ: ತ್ರಿಕೋನ, ಚತುರ್ಭುಜ, ಪಂಚಭುಜಾಕೃತಿ, ಷಡ್ಭುಜಾಕೃತಿ, ಇತ್ಯಾದಿ. ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಕ್ರಮವಿಲ್ಲದ ಸೆಟ್‌ನಿಂದ ಆದೇಶಿಸಿದ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ರಚಿಸುವ ಒಂದು ವಿಧಾನ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ಆದೇಶಿಸಿದ ಗುಂಪಿನ ಮೊದಲ ಅಂಶವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು. , ಎರಡನೆಯದು ಚತುರ್ಭುಜ, ಮೂರನೆಯದು ಪೆಂಟಗನ್, ಇತ್ಯಾದಿ, ಅಂದರೆ, ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಗಳ ಆಂತರಿಕ ಕೋನಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸುವ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ನಾವು ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಜೋಡಿಸುತ್ತೇವೆ. ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಮತ್ತೊಂದು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಆದೇಶಿಸಬಹುದು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಗಳನ್ನು ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸುವ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ, ಚಿಕ್ಕದಾದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯನ್ನು ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿದಾಗ, ಎಲ್ಲಾ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಮೀರದ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿ ಈಗಾಗಲೇ ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿದ ಒಂದನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಇತರರು ಎರಡನೆಯದಾಗಿ ಆಯ್ಕೆಮಾಡಲಾಗಿದೆ, ಇತ್ಯಾದಿ.

  ಆರ್ಡರ್ಡ್ (ಸೀಮಿತ ಅಥವಾ ಎಣಿಕೆ ಮಾಡಬಹುದಾದ) ಸೆಟ್‌ಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಆವರಣಗಳಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಅವುಗಳ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಜೋಡಿಸುವ ಮೂಲಕ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

  ಉದಾಹರಣೆ

  ಸಂಕೇತಗಳು (1; 2; 3) ಮತ್ತು (2; 1; 3) ವಿಭಿನ್ನ ಸೀಮಿತ ಆದೇಶದ ಸೆಟ್‌ಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತವೆ, ಅದನ್ನು ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಆರ್ಡರ್ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ಒಂದೇ ಗುಂಪಿನಿಂದ (1; 2; 3) ಪಡೆಯಬಹುದು.

  ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಆದೇಶದ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಬರೆಯಲು, ನೀವು ಆದೇಶಿಸಿದ ಸೆಟ್ನ ಮೊದಲ ಅಂಶವನ್ನು ಸೂಚಿಸಬೇಕು ಮತ್ತು ನಂತರದ ಅಂಶಗಳ ಜೋಡಣೆಯ ಕ್ರಮವನ್ನು (ನಿಯಮ) ಸೂಚಿಸಬೇಕು.