ಬೈನರಿ ಸಂಬಂಧಗಳು, ಸಂಬಂಧಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು. ಸಮಾನತೆ, ಕ್ರಮ ಮತ್ತು ಸಹಿಷ್ಣುತೆಯ ಸಂಬಂಧಗಳು. ಬೈನರಿ ಸಂಬಂಧಗಳು - MT1102: ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತ (ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಪರಿಚಯ) - ವ್ಯಾಪಾರ ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ವಿಜ್ಞಾನವು ಒಂದು ಸಂಬಂಧವಾಗಿದೆ ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧ
ಕೋರ್ಸ್ ಕೆಲಸ
"ಸಮಾನ ಸಂಬಂಧ"
ಪರಿಚಯ
ಅಧ್ಯಾಯ 1. ವರ್ತನೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ, ಪ್ರಕಾರಗಳು, ಸಂಬಂಧಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು
ಅಧ್ಯಾಯ 2. ವರ್ಗಗಳಾಗಿ ವಿಭಾಗ. ಫ್ಯಾಕ್ಟರ್-ಸೆಟ್. ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧ. ಸಮಾನತೆಗಳ ಮೇಲಿನ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು.
ಅಧ್ಯಾಯ 3. ಶಾಲಾ ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಸಂಬಂಧಗಳು
ತೀರ್ಮಾನ
ಬಳಸಿದ ಮೂಲಗಳ ಪಟ್ಟಿ
ಪರಿಚಯ
ಈ ಕೋರ್ಸ್ ಕೆಲಸವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸಂಬಂಧಗಳ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ ಮತ್ತು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧಗಳ ಅಧ್ಯಯನಕ್ಕೆ ಮೀಸಲಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು ಬೀಜಗಣಿತದ ಹಾದಿಯಲ್ಲಿ ಮೂಲಭೂತವಾಗಿವೆ ಮತ್ತು ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಸಮಾನತೆ, ಹೋಲಿಕೆ ಮತ್ತು ಕ್ರಮದ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸ್ವೀಕರಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ದೈನಂದಿನ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳಿಂದ ಅವುಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು. ಶಾಲೆಯ ಗಣಿತ ಕೋರ್ಸ್‌ನಿಂದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸದೆ, ಹಳೆಯ ಶಾಲಾ ಮಕ್ಕಳಿಗೆ ಅವರನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಲು ಇದು ಸಾಧ್ಯವಾಗಿಸುತ್ತದೆ.
ಕೋರ್ಸ್ ಕೆಲಸದ ಮೊದಲ ಅಧ್ಯಾಯವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸಂಬಂಧಗಳ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ, ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುವ ವಿಧಾನಗಳು, ಸಂಬಂಧಗಳ ಬೀಜಗಣಿತ ಮತ್ತು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಕ್ಕೆ ಮೀಸಲಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಸಂಬಂಧಗಳ ಮೇಲೆ ಕೆಲವು ಸೆಟ್-ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಲಾಗುವುದು. ಸಂಬಂಧಗಳ ಮೂಲ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುವ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಮತ್ತು ಬೀಜಗಣಿತ ವಿಧಾನಗಳಿಗೆ ಈ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಮಹತ್ವವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಧ್ಯಾಯವನ್ನು 7 ಹಾಳೆಗಳಲ್ಲಿ ಇರಿಸಲಾಗಿದೆ.
ಈ ಕೋರ್ಸ್ ಕೆಲಸದ ಎರಡನೇ ಅಧ್ಯಾಯವು ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧದ ಅರ್ಥವನ್ನು ತಿಳಿಸುತ್ತದೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳ ಸಮಾನತೆಯ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಹಲವಾರು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ವರ್ಗಗಳು ಮತ್ತು ಫ್ಯಾಕ್ಟರ್ ಸೆಟ್‌ಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುವ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಲಾಗಿದೆ. ಹಲವಾರು ಇತರ ಪ್ರಮುಖ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಸಹ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ.
ಮೂರನೆಯ ಅಧ್ಯಾಯವು ಯಾವುದೇ ಪ್ರೌಢಶಾಲಾ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗೆ ಪರಿಚಿತ ಮತ್ತು ಅರ್ಥವಾಗುವ ವಸ್ತುಗಳ ಸೆಟ್ಗಳಲ್ಲಿ ಪರಿಚಯಿಸಲಾದ ಕೆಲವು ಸಂಬಂಧಗಳ ಪರಿಗಣನೆಗೆ ಮೀಸಲಾಗಿದೆ. ಸಮಾನತೆ, ಸಹಿಷ್ಣುತೆ ಮತ್ತು ಕ್ರಮದ ಸಂಬಂಧಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಗಣಿತದ ವಲಯಗಳ ತರಗತಿಯಲ್ಲಿ ಈ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುವ ಸಾಧ್ಯತೆಯ ಬಗ್ಗೆ ತೀರ್ಮಾನವನ್ನು ಮಾಡಲಾಗಿದೆ. ಅಧ್ಯಾಯವು 5 ಹಾಳೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ.
ಅಧ್ಯಾಯ 1. ವರ್ತನೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ, ಪ್ರಕಾರಗಳು, ಸಂಬಂಧಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು
ವರ್ತನೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ವಿಧಾನಗಳು
ನಾವು ಶಾಲಾ ಮಕ್ಕಳಿಗೆ ಅರ್ಥವಾಗುವ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಮಾತನಾಡಿದರೆ, ಸಂಬಂಧವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವುದು ಎಂದರೆ ಅದು ಯಾವ ವಸ್ತುಗಳ ನಡುವೆ ಈಡೇರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.
ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನಾವು ಎಲ್ಲಾ ಜೋಡಿ ಜನರ ಪಟ್ಟಿಯನ್ನು ಮಾಡಿದರೆ "ಸಹೋದರನಾಗಿರುವುದು" ಎಂಬ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅವರಲ್ಲಿ ಒಬ್ಬರು ಇನ್ನೊಬ್ಬರ ಸಹೋದರರು.
ಸಂಬಂಧವನ್ನು ವಸ್ತುಗಳ ಜೋಡಿಗಳಿಗೆ (ಬೈನರಿ) ಮಾತ್ರವಲ್ಲದೆ ತ್ರಿವಳಿಗಳು, ಚತುರ್ಭುಜಗಳು ಇತ್ಯಾದಿಗಳಿಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು.
ಮೂರು-ಸ್ಥಳದ (ತ್ರಯಾತ್ಮಕ) ಸಂಬಂಧಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಬೀಜಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳಾಗಿವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, "ಒಂದು ಮೊತ್ತವನ್ನು ರೂಪಿಸುವುದು" ಎಂಬ ಸಂಬಂಧವು ತ್ರಿವಳಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ (x, y, z) ಸಮಂಜಸವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು x + y = z ಆಗಿರುವ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ತೃಪ್ತವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ಹೆಚ್ಚು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಕ್ಕೆ ಹೋಗೋಣ.
A ಮತ್ತು B ಕೆಲವು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಖಾಲಿ-ಅಲ್ಲದ ಸೆಟ್‌ಗಳಾಗಿರಲಿ.
ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 1.1. ಒಂದು ಸೆಟ್ A ಮತ್ತು ಒಂದು ಸೆಟ್ B ಯ ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಒಂದು ಸೆಟ್ A x B ಆಗಿದೆ, ಅದರ ಅಂಶಗಳು ಸಾಧ್ಯವಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಜೋಡಿಗಳು (a, b), ಅಲ್ಲಿ ಮೊದಲ ಅಂಶವನ್ನು ಸೆಟ್ A ನಿಂದ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದು B. ಎರಡು ಅಂತಹ ಜೋಡಿಗಳನ್ನು ಅವುಗಳ ಮತ್ತು ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯ ಅಂಶಗಳು ಸಮಾನವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ: (a, b) = (c, d) a = c ಮತ್ತು b = d.
ಉದಾಹರಣೆ 1.1. A = (0, 1, +) ಮತ್ತು B = (□, o, , +), ಆಗ
A B - ((0, □), (0, o), (0. ), (0, +), (1, □), (1, o), (1, ), (1, +), ( +, □), (+, ಒ), (+, ), (+, +)). ಸರಳವಾದ ತರ್ಕವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಂಬಂಧಗಳ ಸಿಂಧುತ್ವವನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸುತ್ತದೆ:
=
=
=
4) A ಎಂಬುದು B ಯ ಉಪವಿಭಾಗವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು C D ಯ ಉಪವಿಭಾಗವಾಗಿದೆ, ನಂತರ ಉಪವಿಭಾಗವಾಗಿದೆ
ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 1.3. A ಮತ್ತು B ಸೆಟ್ಗಳ ನಡುವಿನ ದ್ವಿಮಾನ ಸಂಬಂಧವು ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ಉತ್ಪನ್ನ A x B ಯ ಯಾವುದೇ ಉಪವಿಭಾಗವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ A x B ಸೆಟ್ನ ಎಲ್ಲಾ ಉಪವಿಭಾಗಗಳ P (A x B) ಸೆಟ್ನ ಯಾವುದೇ ಅಂಶವಾಗಿದೆ.
ಒಂದು ವೇಳೆ |A| = m, |B|=n, ನಂತರ ಕಾರ್ಟೀಸಿಯನ್ ಉತ್ಪನ್ನ A x B m ವಿಭಿನ್ನ ಜೋಡಿಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ | P(A x B) | = 2 mn, - ಇದು A ಮತ್ತು B ಸೆಟ್ಗಳ ನಡುವಿನ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭವನೀಯ ಬೈನರಿ ಸಂಬಂಧಗಳ ಒಟ್ಟು ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ.
ನಾವು ಬೈನರಿ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಸಣ್ಣ ಗ್ರೀಕ್ ಅಕ್ಷರಗಳೊಂದಿಗೆ ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ. (a, b) p ಆಗಿದ್ದರೆ, a ಅಂಶವು ρ ಸಂಬಂಧದಲ್ಲಿ b ಅಂಶಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ.
A ಮತ್ತು B ಸೆಟ್ಗಳ ನಡುವಿನ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಬಂಧಗಳಲ್ಲಿ, ಕೆಳಗಿನವುಗಳು ಎದ್ದು ಕಾಣುತ್ತವೆ: ಖಾಲಿ ಸಂಬಂಧ Ø, ಇದು ಒಂದೇ ಜೋಡಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ; ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭಾವ್ಯ ಜೋಡಿಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಸಂಬಂಧ, ಅಂದರೆ A ಮತ್ತು B ಯ ಕಾರ್ಟೀಸಿಯನ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಯಾವುದೇ ಸಂಬಂಧಕ್ಕಾಗಿ ρ P(A x B) ಸೇರ್ಪಡೆಗಳು ನಡೆಯುತ್ತವೆ
ρ ಎ x ಬಿ
ಸೀಮಿತ ಸೆಟ್ಗಳ ಅಂಶಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲು ಎರಡು ಅನುಕೂಲಕರ ಮಾರ್ಗಗಳಿವೆ:
) ಬೈನರಿ ಬೂಲಿಯನ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಬಳಸುವುದು;
) ಗ್ರಾಫ್ಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದು.
A =(a 1, a 2, …a m), B=(b 1, b 2, …b m), ρ A x B ಎಂದು ಬಿಡಿ
ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ m x n ಆಯಾಮದ M(ρ) ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸೋಣ. ನಾವು ಈ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಸಾಲುಗಳನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸ್ಥಿರ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ನೆಲೆಗೊಂಡಿರುವ ಸೆಟ್ A ಯ ಅಂಶಗಳೊಂದಿಗೆ ಗುರುತಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಅದೇ ರೀತಿ B ಸೆಟ್ ಅಂಶಗಳೊಂದಿಗೆ ಕಾಲಮ್‌ಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸುತ್ತೇವೆ. ನಂತರ ನಾವು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ M(ρ):
ಇಲ್ಲಿ 0, 1 ಬೈನರಿ ಬೂಲಿಯನ್ ಬೀಜಗಣಿತ B 2 ನ ಅಂಶಗಳು. ಹೀಗಾಗಿ, ಅಂಶವು "ಜೋಡಿ ಸಂಬಂಧ ρ" ಎಂಬ ಹೇಳಿಕೆಯ ತಾರ್ಕಿಕ ಅರ್ಥವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ.
A ಮತ್ತು B ಸೆಟ್ಗಳ ನಡುವಿನ ವಿಭಿನ್ನ ಸಂಬಂಧಗಳು ವಿಭಿನ್ನ ಬೈನರಿ ಬೂಲಿಯನ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ಗಳಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತವೆ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ. ಎ ಮತ್ತು ಬಿ ಯಲ್ಲಿನ ಅಂಶಗಳ ಕ್ರಮವನ್ನು ಒಮ್ಮೆ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲರಿಗೂ ನಿಗದಿಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಒತ್ತಿಹೇಳುತ್ತೇವೆ.
M-n-ಎಲಿಮೆಂಟ್ ಸೆಟ್ ಮತ್ತು ρ ಅದರ ಮೇಲೆ ಸಂಬಂಧವಾಗಿರಲಿ. M ಮೇಲಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು n x n ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನಿಂದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಬಹುದು. ಒಂದು ij = 0 ಖಾಲಿ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ Ø, ಇದು ಯಾವುದೇ ಜೋಡಿಗೆ ತೃಪ್ತಿಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ.
ಒಂದು ij = 1 ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಸೂಚಿಸುವ ಒಂದು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ M x M, ಇದು ಎಲ್ಲಾ ಜೋಡಿಗಳಿಗೆ ತೃಪ್ತಿಯಾಗುತ್ತದೆ.
ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ||δ i j ||, ಅಲ್ಲಿ ವಿಶೇಷ ಪಾತ್ರವನ್ನು ಸಹ ನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ
ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಕ್ರೋನೆಕರ್ ಚಿಹ್ನೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಕರ್ಣೀಯ ಸಂಬಂಧ E ಅಥವಾ ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುತ್ತದೆ: (x, y), x ಮತ್ತು y ಸೆಟ್ನ ಒಂದೇ ಅಂಶವಾಗಿದ್ದರೆ.
ಷರತ್ತಿನ ಮೂಲಕ ವಿರೋಧಿ ಕರ್ಣೀಯ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಲು ಸಹ ಇದು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ:
ಖಾಲಿ, ಸಂಪೂರ್ಣ, ಕರ್ಣೀಯ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಕರ್ಣೀಯ ಸಂಬಂಧಗಳಿಗೆ, ಒಂದು ಕುತೂಹಲಕಾರಿ ಆಸ್ತಿ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ - ಅವುಗಳ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಸಸ್ M ಸೆಟ್ನ ಅಂಶಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಆಯ್ಕೆಯ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿಲ್ಲ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ρ ಸಂಬಂಧವು ಎಂನಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಆಯ್ಕೆಗೆ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ || ಒಂದು ij || ಸೇರಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ನಂತರ ρ ಸಂಪೂರ್ಣ, ಖಾಲಿ, ಕರ್ಣ, ಅಥವಾ ಪ್ರತಿಕರ್ಣ.
ನೀವು ಇನ್ನೊಂದು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು:
ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ρ M x M. ನಾವು (ಆಧಾರಿತ) ಗ್ರಾಫ್ G(ρ) ಅನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸೋಣ: ಈ ಗ್ರಾಫ್ನ ಶೃಂಗಗಳ ಸೆಟ್ ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ M ಅನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ, ಒಂದು ಅಂಚನ್ನು a i ನಿಂದ ಶೃಂಗ b j ಗೆ ಎಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಮಾತ್ರ 
, ಮತ್ತು ವೇಳೆ (a i, a i), ನಂತರ ಪಾಯಿಂಟ್ a i ನಲ್ಲಿ ನಾವು ಲೂಪ್ ಅನ್ನು ಬಿಡುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಅದೇ ಬಿಂದುವನ್ನು ನಮೂದಿಸುತ್ತೇವೆ.
ಖಾಲಿ ಸಂಬಂಧವು ಬಾಣಗಳು ಮತ್ತು ಕುಣಿಕೆಗಳಿಲ್ಲದ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ, ಕರ್ಣೀಯ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಗ್ರಾಫ್ನಿಂದ ವಿವರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಲೂಪ್‌ಗಳು ಮಾತ್ರ ಇವೆ (ಚಿತ್ರ 1.1). ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣ ಗ್ರಾಫ್ನಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ (ಎಲ್ಲಾ ಶೃಂಗಗಳು ಎಲ್ಲಾ ಶೃಂಗಗಳಿಗೆ ಸಂಪರ್ಕ ಹೊಂದಿವೆ, ಚಿತ್ರ 1.2).
ಅಕ್ಕಿ. 1.1 
ಅಕ್ಕಿ. 1.2
ಗ್ರಾಫ್ ಒಂದು ಕ್ರಿಯೆಯ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ನಿರೂಪಣೆಯಂತೆಯೇ, ಗ್ರಾಫ್ ಸಂಬಂಧದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ನಿರೂಪಣೆಯಾಗಿದೆ. ಗ್ರಾಫ್ ತುಂಬಾ ಸರಳವಾದಾಗ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಭಾಷೆ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ. ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, ಸಂಬಂಧಗಳ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಶೃಂಗಗಳೊಂದಿಗೆ ಗ್ರಾಫ್ಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಮತ್ತು ವಿವರಿಸಲು ಇದು ಹೆಚ್ಚು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ.
II. ಸಂಬಂಧಗಳಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ
ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಸಂಬಂಧಗಳ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. M ಸೆಟ್‌ನಲ್ಲಿನ ಸಂಬಂಧವು ಪ್ರತಿ xM ಗೆ ನಿಖರವಾಗಿ ಒಂದು ಅಂಶ y M ಇರುತ್ತದೆ ಅದಕ್ಕಾಗಿ (x, y) . ಹೀಗಾಗಿ, ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಂಶ xM ಕೆಲವು y M ನೊಂದಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ, ಈ ಸ್ಥಿತಿಯಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಈ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಫಂಕ್ಷನ್ ಅಥವಾ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಜೋಡಿಗಳ ಗುಂಪನ್ನು (x, y) ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಉದಾಹರಣೆ: M ಎಂಬುದು ಸಂಖ್ಯಾ ರೇಖೆಯಾಗಿದ್ದರೆ, ಮತ್ತು ಸಂಬಂಧವು ಸಮಾನತೆ x = y ಆಗಿದ್ದರೆ, ಗ್ರಾಫ್ ರೂಪದ ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು (x, x) ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಕೋನದ ದ್ವಿಭಾಜಕವಾಗಿದೆ (y = ಕ್ರಿಯೆಯ ಗ್ರಾಫ್ X). y = sin x ಇರುವ ಜೋಡಿಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧವು ತೃಪ್ತಿಗೊಂಡಿದ್ದರೆ, ಈ ಕ್ರಿಯೆಯ ಗ್ರಾಫ್ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸೈನುಸಾಯ್ಡ್ ಆಗಿದೆ.
ಆದ್ದರಿಂದ, ಗ್ರಾಫ್ನ ನಮ್ಮ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಕಾರ್ಯಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ಗ್ರಾಫ್ನ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವಾಗಿದೆ.
III. ಸಂಬಂಧಗಳ ಮೇಲಿನ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು.
A ಮತ್ತು B ಸೆಟ್ಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧಗಳು A x B ಸೆಟ್ನ ಉಪವಿಭಾಗಗಳಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚೇನೂ ಅಲ್ಲ, ನಂತರ ಎಲ್ಲಾ ಸೆಟ್-ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಅವರಿಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ.
ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 1.4. ρ ಮತ್ತು δ ಸಂಬಂಧಗಳ ಛೇದಕವು ಅನುಗುಣವಾದ ಉಪವಿಭಾಗಗಳ ಛೇದಕವಾಗಿದೆ. ಇದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ (x, y) ವೇಳೆ ಮತ್ತು ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ (x, y) 
.
ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 1.5. ρ ಮತ್ತು δ ಸಂಬಂಧಗಳ ಒಕ್ಕೂಟವು ಅನುಗುಣವಾದ ಉಪವಿಭಾಗಗಳ ಒಕ್ಕೂಟವಾಗಿದೆ. (x, y) ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಸಂಬಂಧವು (x, y) ತೃಪ್ತವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಮಾತ್ರ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ.
ρδ ಸೂಚಿಸಿದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯಿಂದ ಪ್ರಮುಖ ಪಾತ್ರವನ್ನು ವಹಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ - ಸಂಬಂಧಗಳ ಉತ್ಪನ್ನ. ಈ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ: (x, y) ಸಂಬಂಧವು (x, z) ಹೊಂದಿರುವ z ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ ಎಂಬ ಅಂಶಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ 
IV. ಸಂಬಂಧಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು.
ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 1.6. ವಸ್ತು ಮತ್ತು ಅದರ ನಡುವೆ ಯಾವಾಗಲೂ ತೃಪ್ತವಾಗಿದ್ದರೆ ρ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಪ್ರತಿಫಲಿತ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ: (x, x).
ಪ್ರತಿಫಲಿತ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಯಾವಾಗಲೂ ಮುಖ್ಯ ಕರ್ಣೀಯದೊಂದಿಗೆ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿಫಲಿತ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಗ್ರಾಫ್ನಲ್ಲಿ, ಪ್ರತಿ ಶೃಂಗವು ಲೂಪ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ.
ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 1.7. (x, y) ನಿಂದ ಯಾವಾಗಲೂ x ≠ y ಅನ್ನು ಅನುಸರಿಸಿದರೆ ρ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ವಿರೋಧಿ ಪ್ರತಿಫಲಿತ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಸಂಬಂಧವು "ಸಹೋದರನಾಗಿರುವುದು", "ಹಿರಿಯನಾಗಿರುವುದು" ವಿರೋಧಿ ಪ್ರತಿಫಲಿತವಾಗಿದೆ.
ವಿರೋಧಿ ಪ್ರತಿಫಲಿತ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಮುಖ್ಯ ಕರ್ಣದಲ್ಲಿ ಸೊನ್ನೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅನುಗುಣವಾದ ಗ್ರಾಫ್ ಖಂಡಿತವಾಗಿಯೂ ಯಾವುದೇ ಕುಣಿಕೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ.
ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 1.8. (x, y) ನಿಂದ ಅದು ಯಾವಾಗಲೂ (y, x) ಅನುಸರಿಸಿದರೆ ρ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನಲ್ಲಿ, ಮುಖ್ಯ ಕರ್ಣಕ್ಕೆ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿ ಇರುವ ಅಂಶಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ a ij = a ji.
ಅನುಗುಣವಾದ ಕಾಲಮ್ನಲ್ಲಿ, ಪ್ರತಿ ಬಾಣದ ಜೊತೆಗೆ ವಿರುದ್ಧ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಬಾಣವಿದೆ. ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ನಿರ್ದೇಶಿತ ಗ್ರಾಫ್ ಆಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು.
ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 1.9. ಎರಡು ಸಂಬಂಧಗಳಲ್ಲಿ (x, y) ಅಥವಾ (y, x) ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸದಿದ್ದರೆ ρ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಅಸಮ್ಮಿತ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅಂಶಗಳಿಗೆ ಇದು ಸಮಾನತೆಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ: a ij ∙a ji =0
ಅನುಗುಣವಾದ ಗ್ರಾಫ್ನಲ್ಲಿ, ವಿರುದ್ಧ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಎರಡು ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸುವ ಬಾಣಗಳು ಇರುವಂತಿಲ್ಲ.
ಪ್ರಮೇಯ 1.1: ಸಂಬಂಧವು ಅಸಮಪಾರ್ಶ್ವವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದು ವಿರೋಧಿ ಪ್ರತಿಫಲಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 1.10. x = y ಆಗಿರುವಾಗ ಮಾತ್ರ ಸಂಬಂಧಗಳು (x, y) ಮತ್ತು (y, x) ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ತೃಪ್ತಿಗೊಂಡರೆ ρ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಆಂಟಿಸಿಮೆಟ್ರಿಕ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅಂಶಗಳಿಗೆ ಇದು ಸಮಾನತೆಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ: a ij ∙a ji =0, ಯಾವಾಗ i≠j
ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 1.11. ಸಂಬಂಧಗಳು (x, z) ಮತ್ತು (z, y) ಹಿಡಿದಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುವುದರಿಂದ, ಅದು (x, y) ಅನ್ನು ಅನುಸರಿಸಿದರೆ ρ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಟ್ರಾನ್ಸಿಟಿವ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇಂಡಕ್ಷನ್ ಮೂಲಕ, ಇದು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ: (x, z 1), (z 1, z 2) ... (z n -1, y) ನಂತರ (x, y).
ಈ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಗ್ರಾಫ್ನಲ್ಲಿ ಚೆನ್ನಾಗಿ ಅರ್ಥೈಸಲಾಗಿದೆ: x ಮತ್ತು y ಅಂಕಗಳನ್ನು ಬಾಣಗಳ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಒಂದು ಮಾರ್ಗದಿಂದ ಸಂಪರ್ಕಿಸಿದರೆ, ನಂತರ x ಶೃಂಗದಿಂದ y ಶೃಂಗಕ್ಕೆ ನೇರವಾಗಿ ಬಾಣವಿದೆ.
ಸಮಾನತೆ ಸಂಬಂಧ ಗಣಿತ
ಅಧ್ಯಾಯ 2. ವರ್ಗಗಳಾಗಿ ವಿಭಾಗ. ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧ. ಸಮಾನತೆಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು. ಫ್ಯಾಕ್ಟರ್ ಸೆಟ್
ವರ್ಗಗಳಾಗಿ ವಿಭಜನೆ. ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧ
ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 2.1. ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸನ್ನಿವೇಶದಲ್ಲಿ ಅತ್ಯಗತ್ಯವಾಗಿರುವ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಔಪಚಾರಿಕ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸೆಟ್ M ನ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಬದಲಾಯಿಸಬಹುದಾದವು ಎಂದು ಕರೆಯೋಣ.
x ವಸ್ತುವಿನೊಂದಿಗೆ ಪರಸ್ಪರ ಬದಲಾಯಿಸಬಹುದಾದ ಎಲ್ಲಾ ವಸ್ತುಗಳ ಗುಂಪನ್ನು M x ನಿಂದ ಸೂಚಿಸೋಣ. x M x ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ M x (M ನಿಂದ ಸಾಧ್ಯವಿರುವ ಎಲ್ಲಾ x ಗೆ) ಯೂನಿಯನ್ ಸಂಪೂರ್ಣ M ನೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ:
ಹಾಗೆ ನಟಿಸೋಣ 
. ಇದರರ್ಥ ಕೆಲವು ಅಂಶ z ಇದೆ ಅಂದರೆ ಅದು ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ಸೇರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಮತ್ತು . ಆದ್ದರಿಂದ x ಅನ್ನು z ನೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸಬಹುದಾಗಿದೆ ಮತ್ತು z y ಯೊಂದಿಗೆ ಪರಸ್ಪರ ಬದಲಾಯಿಸಬಹುದಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, x y ಯೊಂದಿಗೆ ಪರಸ್ಪರ ಬದಲಾಯಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಯಾವುದೇ ಅಂಶದೊಂದಿಗೆ. ಹೀಗಾಗಿ . ರಿವರ್ಸ್ ಸ್ವಿಚಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಅದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಒಕ್ಕೂಟದಲ್ಲಿ ಸಂಭವಿಸುವ ಸೆಟ್‌ಗಳು (2.1) ಛೇದಿಸುವುದಿಲ್ಲ ಅಥವಾ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ.
ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 2.2. M ಸೆಟ್ನ ಖಾಲಿ-ಅಲ್ಲದ ಉಪವಿಭಾಗಗಳ (M 1, M 2,....) ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ನಾವು ಈ ಗುಂಪಿನ ವಿಭಾಗ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ
ಸೆಟ್‌ಗಳನ್ನು ವಿಭಜನಾ ತರಗತಿಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.
ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 2.3. M ಸೆಟ್‌ನಲ್ಲಿನ ρ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಸಮಾನತೆ (ಅಥವಾ ಸಮಾನ ಸಂಬಂಧ) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, M ಸೆಟ್ನ (M 1, M 2,...) ವಿಭಾಗವಿದ್ದರೆ (x, y) x ಆಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಮಾತ್ರ ತೃಪ್ತಿಯಾಗುತ್ತದೆ. ಮತ್ತು y ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವಿಭಾಗದ ಕೆಲವು ಸಾಮಾನ್ಯ ವರ್ಗ M i ಗೆ ಸೇರಿದೆ.
(M 1 , M 2 ,....) M ಸೆಟ್ನ ವಿಭಜನೆಯಾಗಿರಲಿ. ಈ ವಿಭಾಗದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ, x ಮತ್ತು y ಕೆಲವು ಸಾಮಾನ್ಯ ವರ್ಗ M i ಗೆ ಸೇರಿದ್ದರೆ, M: (x, y) ಮೇಲೆ ನಾವು ρ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತೇವೆ. ಈ ವಿಭಜನೆ. ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ρ ಸಂಬಂಧವು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಕೊಟ್ಟಿರುವ ವಿಭಾಗಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ನಾವು ρ ಎಂದು ಕರೆಯೋಣ.
ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 2.4. ಪ್ರತಿ ಉಪವಿಭಾಗ M i ನಲ್ಲಿ ನಾವು ಅದರಲ್ಲಿ ಒಳಗೊಂಡಿರುವ x i ಅಂಶವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿದರೆ, ಈ ಅಂಶವು ಅದೇ ಸೆಟ್ M i ನಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಲಾದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಂಶ y ಗೆ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುತ್ತದೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ, ρ* "ಒಂದು ಪ್ರಮಾಣಿತವಾಗಿರಲು" (x i, y) ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಪೂರೈಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಭಾವಿಸೋಣ
ಕೊಟ್ಟಿರುವ ವಿಭಾಗಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾದ ρ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು ಎಂದು ನೋಡುವುದು ಸುಲಭ: (z, y) z ಮತ್ತು y ಸಾಮಾನ್ಯ ಮಾನದಂಡವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ (x i, z) ಮತ್ತು (x i, y).
ಉದಾಹರಣೆ 2.1: ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಗುಂಪನ್ನು M ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಿ ಮತ್ತು ಅದರ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ಸಮ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ M 0 ಮತ್ತು ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸೆಟ್ M 1 ಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ. ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ ಅನುಗುಣವಾದ ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:
ಮತ್ತು ಓದುತ್ತದೆ: n ಅನ್ನು m ಮಾಡ್ಯೂಲೋ 2 ಗೆ ಹೋಲಿಸಬಹುದು. ಸಮ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ 0 ಮತ್ತು ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ 1 ಅನ್ನು ಮಾನದಂಡವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವುದು ಸಹಜ. ಅದೇ ರೀತಿಯಾಗಿ, ಅದೇ ಸೆಟ್ M ಅನ್ನು k ಉಪವಿಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುವುದು M 0, M 1,... M k -1, ಅಲ್ಲಿ M j ಎಲ್ಲಾ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ, ಅದು k ನಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದಾಗ ಉಳಿದ j ಅನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ, ನಾವು ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ತಲುಪುತ್ತೇವೆ:
k ನಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದಾಗ n ಮತ್ತು m ಒಂದೇ ಶೇಷವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಅದು ಹೊಂದಿದೆ.
ಪ್ರತಿ M j ನಲ್ಲಿ ಅನುಗುಣವಾದ ಶೇಷ j ಅನ್ನು ಮಾನದಂಡವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವುದು ಸಹಜ.
II. ಫ್ಯಾಕ್ಟರ್ ಸೆಟ್
ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧವಿರಲಿ. ನಂತರ, ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ, ಸೆಟ್ M ನ ವಿಭಾಗವು (M 1, M 2,....) ಪರಸ್ಪರ ಸಮಾನವಾದ ಅಂಶಗಳ ವರ್ಗಗಳಾಗಿ - ಸಮಾನತೆಯ ವರ್ಗಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುತ್ತದೆ.
ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 2.5. ಸಂಬಂಧಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಸಮಾನತೆಯ ವರ್ಗಗಳ ಗುಂಪನ್ನು M/ ನಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸಂಬಂಧಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ M ಸೆಟ್ನ ಅಂಶಗಳ ಗುಂಪಾಗಿ ಓದಲಾಗುತ್ತದೆ.
φ: M → S ಕೆಲವು ಸೆಟ್ S ಗೆ M ಸೆಟ್ನ ಸರ್ಜೆಕ್ಟಿವ್ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಆಗಿರಲಿ.
ಯಾವುದೇ φ: M → S - ಸರ್ಜೆಕ್ಟಿವ್ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ M ಸೆಟ್ನಲ್ಲಿ ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧವಿದೆ, ಅಂದರೆ M/ ಮತ್ತು S ಅನ್ನು ಒಂದರಿಂದ ಒಂದು ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರದಲ್ಲಿ ಇರಿಸಬಹುದು.
III. ಸಮಾನತೆಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು
ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 2.6. M ಸೆಟ್‌ನಲ್ಲಿರುವ ρ ಸಂಬಂಧವು ಪ್ರತಿಫಲಿತ, ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಮತ್ತು ಸಂಕ್ರಮಣವಾಗಿದ್ದರೆ ಸಮಾನ ಸಂಬಂಧ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಪ್ರಮೇಯ 2.1: M ಸೆಟ್‌ನಲ್ಲಿನ ρ ಸಂಬಂಧವು ಪ್ರತಿಫಲಿತ, ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಮತ್ತು ಟ್ರಾನ್ಸಿಟಿವ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, M ಸೆಟ್ನ (M 1 , M 2 ,….) ಒಂದು ವಿಭಾಗವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ ಅಂದರೆ (x, y) x ವೇಳೆ ಮತ್ತು ಮಾತ್ರ ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು y ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವಿಭಾಗದ ಕೆಲವು ಸಾಮಾನ್ಯ ವರ್ಗ M i ಗೆ ಸೇರಿದೆ.
ಸಂಭಾಷಣೆ: ಒಂದು ವಿಭಾಗವನ್ನು ನೀಡಿದರೆ (M 1, M 2,....) ಮತ್ತು ಬೈನರಿ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ρ "ವಿಭಜನೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಸೇರಿದೆ" ಎಂದು ನೀಡಿದರೆ, ನಂತರ ρ ಪ್ರತಿಫಲಿತ, ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಮತ್ತು ಟ್ರಾನ್ಸಿಟಿವ್ ಆಗಿದೆ.
ಪುರಾವೆ:
M ಮೇಲೆ ಪ್ರತಿಫಲಿತ, ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಮತ್ತು ಸಂಕ್ರಮಣ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಯಾವುದಾದರೂ (x, z) ρ ಎಲ್ಲಾ z ಅನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ.
ಲೆಮ್ಮಾ 2.1: ಯಾವುದೇ x ಮತ್ತು y ಗೆ, ಅಥವಾ 
ಲೆಮ್ಮಾ ಮತ್ತು ಸಂಬಂಧದ ಪ್ರತಿಫಲಿತದಿಂದ ρ ಇದು ರೂಪದ ಸೆಟ್‌ಗಳು M. ಸೆಟ್ನ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ (ಈ ವಿಭಾಗವನ್ನು ಸ್ವಾಭಾವಿಕವಾಗಿ ಮೂಲ ಸಂಬಂಧಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ವಿಭಾಗ ಎಂದು ಕರೆಯಬಹುದು). ಈಗ ಬಿಡಿ (x, y) ρ. ಇದರರ್ಥ ವೈ. ಆದರೆ x ಕಾರಣ (x, x) ρ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಎರಡೂ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, (x, y) ρ ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ x ಮತ್ತು y ಅನ್ನು ವಿಭಜನೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ವರ್ಗದಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, ಯು ಮತ್ತು ವಿ. ನಾವು (u, v) ρ ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ನಾವು (x, u) ρ ಮತ್ತು (x, v) ρ ಎಂದು ತೋರಿಸೋಣ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಮ್ಮಿತಿಯ ಮೂಲಕ (u, x) ρ. ಟ್ರಾನ್ಸಿಟಿವಿಟಿಯಿಂದ, (u, x) ρ ಮತ್ತು (x, v) ρ ಇದು (u, v) ρ ಅನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಪ್ರಮೇಯದ ಮೊದಲ ಭಾಗವು ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ.
M ಸೆಟ್ನ ಒಂದು ವಿಭಾಗವನ್ನು (M 1, M 2,....) ನೀಡಲಿ. ಎಲ್ಲಾ ವಿಭಜನಾ ವರ್ಗಗಳ ಒಕ್ಕೂಟವು M ನೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ, ನಂತರ ಯಾವುದೇ x ಅನ್ನು ಕೆಲವು ವರ್ಗದಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ (x, x) ρ, ಅಂದರೆ. ρ - ಪ್ರತಿಫಲಿತ. x ಮತ್ತು y ಕೆಲವು ವರ್ಗದಲ್ಲಿದ್ದರೆ, y ಮತ್ತು x ಒಂದೇ ವರ್ಗದಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ. ಇದರರ್ಥ (x, y) ρ ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ (y, x) ρ, ಅಂದರೆ. ಸಂಬಂಧವು ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿದೆ. ಈಗ (x, y) ρ ಮತ್ತು (y, z) ρ ಹಿಡಿದುಕೊಳ್ಳಿ. ಇದರರ್ಥ x ಮತ್ತು y ಕೆಲವು ವರ್ಗದಲ್ಲಿವೆ ಮತ್ತು y ಮತ್ತು z ಕೆಲವು ವರ್ಗದಲ್ಲಿವೆ. ತರಗತಿಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಂಶ y ಅನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಇದರರ್ಥ x ಮತ್ತು z ಅನ್ನು ವರ್ಗದಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ. (x, z) ρ ಹಿಡಿದಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸಂಬಂಧವು ಟ್ರಾನ್ಸಿಟಿವ್ ಆಗಿದೆ. ಪ್ರಮೇಯವು ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ.
IV. ಸಮಾನತೆಗಳ ಮೇಲಿನ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು.
ಇಲ್ಲಿ ನಾವು ಸಮಾನತೆಗಳ ಮೇಲೆ ಕೆಲವು ಸೆಟ್-ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಪುರಾವೆಗಳಿಲ್ಲದೆ ಅವುಗಳ ಪ್ರಮುಖ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ.
ಸಂಬಂಧವು ಒಂದು ಜೋಡಿ () ಎಂದು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ, ಇಲ್ಲಿ M ಎಂಬುದು ಸಂಬಂಧಕ್ಕೆ ಪ್ರವೇಶಿಸುವ ಅಂಶಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಸಂಬಂಧವನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ಜೋಡಿಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದೆ.
ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 2.7. ಸಂಬಂಧಗಳ ಛೇದಕ (ρ 1, M) ಮತ್ತು (ρ 2, M) ಅನುಗುಣವಾದ ಉಪವಿಭಾಗಗಳ ಛೇದಕದಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಸಂಬಂಧವಾಗಿದೆ. (x, y) ρ 1 ρ 2 ಮತ್ತು ಎರಡೂ (x, y) ρ 1 ಮತ್ತು (x, y) ρ 2 ಆಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ.
ಪ್ರಮೇಯ 2.2: ρ 1 ρ 2 ಸಮಾನತೆಗಳ ಛೇದಕವು ρ 1 ρ 2 ಸ್ವತಃ ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧವಾಗಿದೆ.
ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 2.8. ಸಂಬಂಧಗಳ ಒಕ್ಕೂಟ (ρ 1, M) ಮತ್ತು (ρ 2, M) ಅನುಗುಣವಾದ ಉಪವಿಭಾಗಗಳ ಒಕ್ಕೂಟದಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಸಂಬಂಧವಾಗಿದೆ. (x, y) ρ 1 ρ 2 ವೇಳೆ ಮತ್ತು ಮಾತ್ರ (x, y) ρ 1 ಅಥವಾ (x, y) ρ 2 .
ಪ್ರಮೇಯ 2.3: ρ 1 ρ 2 ಸಮಾನತೆಗಳ ಒಕ್ಕೂಟ ρ 1 ρ 2 ಸ್ವತಃ ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧವಾಗಲು ಇದು ಅವಶ್ಯಕ ಮತ್ತು ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ
ρ 1 ρ 2 =ρ 1 ρ 2
ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 2.9. ಸಂಬಂಧಗಳ ನೇರ ಮೊತ್ತ (ρ 1, M 1) ಮತ್ತು (ρ 2, M 2) ಅನುಪಾತ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ನೇರ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ (ρ 1, M 1) (ρ 2, M 2).
ಹೀಗಾಗಿ, (ρ 1, M 1) (ρ 2, M 2)= (), ಆಗ M=.
ಪ್ರಮೇಯ 2.4: , ಮತ್ತು ಸಂಬಂಧಗಳು ಸಮಾನತೆಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, ಸಂಬಂಧಗಳ ನೇರ ಮೊತ್ತ (ρ 1, M 1) (ρ 2, M 2) = (), ಸಹ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
V. ಸಂಬಂಧಗಳ ವಿಧಗಳು
ನಾವು ಇನ್ನೂ ಹಲವಾರು ಪ್ರಮುಖ ರೀತಿಯ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸೋಣ. ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಮೂರನೇ ಅಧ್ಯಾಯದಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗುವುದು.
ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 2.10. M ಸೆಟ್‌ನಲ್ಲಿರುವ ρ ಸಂಬಂಧವು ಪ್ರತಿಫಲಿತ ಮತ್ತು ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿದ್ದರೆ ಅದನ್ನು ಸಹಿಷ್ಣುತೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.
ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 2.11. ಒಂದು ಸೆಟ್ M ನಲ್ಲಿನ ρ ಸಂಬಂಧವು ವಿರೋಧಿ ಪ್ರತಿಫಲಿತ ಮತ್ತು ಟ್ರಾನ್ಸಿಟಿವ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಅದನ್ನು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ಕ್ರಮದ ಸಂಬಂಧ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.
ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 2.12. M ನಿಂದ x ಮತ್ತು y ಅಂಶಗಳ ಯಾವುದೇ ಜೋಡಿಗೆ (x, y) ಅಥವಾ (y, x) ನಿಜವಾಗಿದ್ದರೆ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ಕ್ರಮ ಸಂಬಂಧ ρ ಅನ್ನು ಪರಿಪೂರ್ಣ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ಕ್ರಮ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.
ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 2.13. M ಸೆಟ್‌ನಲ್ಲಿರುವ ρ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಈ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದಾದರೆ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ಕ್ರಮದ ಸಂಬಂಧ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ:
ಅಧ್ಯಾಯ 3. ಶಾಲಾ ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಸಂಬಂಧಗಳು
ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವಸ್ತುಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧಗಳು
ಶಾಲಾ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಿಂದ ಅನೇಕ ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು, ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ, ಬೈನರಿ ಸಂಬಂಧಗಳ ಹೆಸರುಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಮೂಲಭೂತ ಪ್ರಮೇಯಗಳು ಈ ಸಂಬಂಧಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತವೆ.
ಉದಾಹರಣೆ 3.1. M ಸಮತಲದಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಸಾಲುಗಳ ಸೆಟ್ ಆಗಿರಲಿ. X ಅನುಪಾತ || Y ಎಂದರೆ X ಮತ್ತು Y ರೇಖೆಗಳು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಈ ಸಂಬಂಧದ ಕೆಲವು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ನಾವು ಸ್ಥಾಪಿಸೋಣ.
ವರ್ತನೆ || ವಿರೋಧಿ ಪ್ರತಿಫಲಿತ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಯಾವುದೇ ಸರಳ ರೇಖೆಯು ಸ್ವತಃ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿಲ್ಲ.
ವರ್ತನೆ || ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿ, ಸಮಾನಾಂತರತೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಲ್ಲಿ ಎರಡೂ ಸಾಲುಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿವೆ ಎಂಬ ಅಂಶದಿಂದ ಇದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ.
ವರ್ತನೆ || ಬಹುತೇಕ ಸಂಕ್ರಮಣ. ಅವುಗಳೆಂದರೆ: X ವೇಳೆ || ವೈ ಮತ್ತು ವೈ || Z, ನಂತರ X || Z, ಅಥವಾ ಮಸಾಲೆ X ಮತ್ತು Z ಒಂದೇ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಇದು ಹಾಗಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, X ಮತ್ತು Z ಸಾಲುಗಳು ಛೇದಿಸುತ್ತವೆ. ಆದರೆ, ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಿಂದ ತಿಳಿದಿರುವಂತೆ, ನೇರ ರೇಖೆ Z ಸಮಾನಾಂತರ X ಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಛೇದಿಸಿದರೆ, ಅದು ಸಮಾನಾಂತರವಾದ Ys ನೊಂದಿಗೆ ಛೇದಿಸುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. Y || ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಹೊಂದಲು ಅಸಾಧ್ಯವಾಗಿದೆ Z.
ಹೀಗಾಗಿ, ನೇರ ರೇಖೆಗಳ ನಡುವಿನ ಸಮಾನಾಂತರ ಸಂಬಂಧವು ಇನ್ನೂ ಉತ್ತಮ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ. ಆದರೆ ಮೇಲೆ ಹೇಳಿರುವ ವಿಷಯವು ಸಮಾನಾಂತರತೆಯ ರೀತಿಯ ಸಂಬಂಧವು ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಊಹಿಸಲು ಸುಲಭವಾಗುತ್ತದೆ. ಅವುಗಳೆಂದರೆ, ನಾವು ಸಂಬಂಧವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತೇವೆ
ರೇಖೆಗಳು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುವಾಗ ಅಥವಾ ಹೊಂದಿಕೆಯಾದಾಗ ಇದನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಂತೆ, X || X ಯಾವುದೇ ಸರಳ ರೇಖೆಗೆ X. ಸಂಬಂಧದ ಸಮ್ಮಿತೀಯತೆ ||| ಸಹ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ. ಅಂತಿಮವಾಗಿ, X|| ವೈ ಮತ್ತು ವೈ || Z, ನಂತರ X || Z. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, X || Y ಮತ್ತು Y = Z, ನಂತರ X || Z; X = Y ಮತ್ತು Y || Z, ನಂತರ X || Z. ಅಂತಿಮವಾಗಿ, X ವೇಳೆ || ವೈ ಮತ್ತು ವೈ || Z, ಹಾಗಾದರೆ, ಹಿಂದೆ ಹೇಳಿದ ಪ್ರಕಾರ, X = Z ಅಥವಾ X || Z. ಎಲ್ಲಾ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ನಾವು X || Z.
ವರ್ತನೆ || ರೇಖೆಗಳ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ ಬೀಜಗಣಿತದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬಹಳ ನೈಸರ್ಗಿಕವಾಗಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ. ನೀವು ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಟಿಸಿಯನ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು x ಮತ್ತು y ಅನ್ನು ನಮೂದಿಸಿದರೆ, ಆಕ್ಸ್ ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿರದ (ಲಂಬವಾಗಿರದ) ಯಾವುದೇ ಸರಳ ರೇಖೆಯನ್ನು y=kx+b ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಯಾವುದೇ (ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದ ವಿನಾಯಿತಿಯೊಂದಿಗೆ) ರೇಖೆಯನ್ನು ಒಂದು ಜೋಡಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಂದ (k, b) ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಸರಳ ರೇಖೆ X ಅನ್ನು y=kx+b ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಮತ್ತು ನೇರ ರೇಖೆ Y ಅನ್ನು y=k'x+b' ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ನೀಡೋಣ. ನಂತರ X|||Y ಸಂಬಂಧವು k=k’ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಮಾತ್ರ ತೃಪ್ತಿಯಾಗುತ್ತದೆ (k ಎಂಬುದು ಎತ್ತು ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಇಳಿಜಾರಿನ ಕೋನದ ಸ್ಪರ್ಶಕ). ಸಂಬಂಧ X||Y ಎಂದರೆ k=k’ ಮತ್ತು ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ b≠b’, ಅಂದರೆ. ನೇರ ರೇಖೆಗಳು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿವೆ. ಲಂಬ ರೇಖೆಗಳಿಗಾಗಿ, ನಾವು k=∞ () ಅನ್ನು ಹಾಕಬಹುದು ಮತ್ತು k=k’ ಸ್ಥಿತಿಯು ಇನ್ನೂ X|||Y ಎಂದರ್ಥ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಈ ಒಪ್ಪಂದವು ತುಂಬಾ ಒಳ್ಳೆಯದಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ k=∞ ಗಾಗಿ ನಾವು ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುವ ಎರಡನೇ ನಿಯತಾಂಕವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ.
ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿ, ಸರಳ ರೇಖೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುವ ಹೆಚ್ಚು ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ (ಸಾಮಾನ್ಯ) ರೂಪವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ: x cos α + y sin α - p = 0, ಇದು ಯಾವುದೇ ರೀತಿಯ ನೇರ ರೇಖೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ. ಇಲ್ಲಿ p ಎಂಬುದು ಮೂಲದಿಂದ ನೇರ ರೇಖೆಗೆ ಇಳಿಸಲಾದ ಲಂಬದ ಉದ್ದವಾಗಿದೆ, α ಎಂಬುದು ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ಇಳಿಜಾರಿನ ಕೋನವಾಗಿದೆ.
ಹೀಗಾಗಿ, ಪ್ರತಿ ಸಾಲು ಒಂದರಿಂದ ಒಂದಕ್ಕೆ ಒಂದು ಜೋಡಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೊಂದಿಗೆ (α, p), ಅಲ್ಲಿ 0 ≤ α< 2π и 0 ≤ р < +∞. Соотношение X|||Y означает, что для соответствующих прямых α = α’ или α = α’ + π. Каждой прямой соответствует точка на плоскости параметров α и р, лежащая в области, изображенной на рисунке 3.2. Пары вертикальных прямых α=const и α+ π=const (0 ≤ α < π) суть классы эквивалентности отношения |||.
ಉದಾಹರಣೆ 3.2. ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ನೇರ ರೇಖೆಗಳ ಸೆಟ್ನಲ್ಲಿ, ಮತ್ತೊಂದು ಪ್ರಮುಖ ಸಂಬಂಧವಿದೆ: X ┴Y (X Y ಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತದೆ). ಲಂಬವಾದ ಸಂಬಂಧವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರಮುಖ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:
1. ವಿರೋಧಿ ಪ್ರತಿಫಲಿತ. ಇಂಪಾಸಿಬಲ್ ಎಕ್ಸ್ ┴ ಎಕ್ಸ್.
2. ಸಮ್ಮಿತಿ. X ┴ Y ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ Y ┴ X.
3. X ┴ Y ಮತ್ತು Y ┴ Z ಆಗಿದ್ದರೆ ಅದು X ┴ Z ಗೆ ಅಸಾಧ್ಯವಾಗಿದೆ. X ┴ Y ಮತ್ತು Y ┴ Z ನಿಂದ ಅದು ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ X ||| Z. ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, X ವೇಳೆ || Z, ನಂತರ X ಮತ್ತು Z ರೇಖೆಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಲಂಬವಾದ Y ಇರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. ಅಂತಹ Y ಅಂದರೆ X ┴ Y ಮತ್ತು Y ┴ Z.
ಕೊನೆಯ ಎರಡೂ ಹೇಳಿಕೆಗಳು ಲಂಬವಾಗಿರುವ ಸಂಬಂಧದ ವರ್ಗವು ಸಂಬಂಧವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಅರ್ಥ || - "ವರ್ಧಿತ ಸಮಾನಾಂತರತೆ":
┴ ┴ = ┴ 2 =||.
ಉದಾಹರಣೆ 3.3. ನಾವು M ನಲ್ಲಿ X ಪ್ರತಿ Y ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸೋಣ, ಅಂದರೆ ಸಾಲುಗಳು ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಿಂದುವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ, ಅಂದರೆ. ಛೇದಿಸಿ ಅಥವಾ ಸೇರಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ. ಪ್ರತಿ ಸಂಬಂಧವು ಪ್ರತಿಫಲಿತ, ಸಮ್ಮಿತೀಯ, ಆದರೆ ಸಂಕ್ರಮಣವಲ್ಲ ಮತ್ತು ಸಹಿಷ್ಣುತೆಯ ಸಂಬಂಧವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ.
ನಾವು ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಿಂದು P ಅನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡೋಣ ಮತ್ತು ಈ ಹಂತದ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ಎಲ್ಲಾ ಸಾಲುಗಳ ಸೆಟ್ K p ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ. ಕೆ ಪಿ ಒಂದು ಸಹಿಷ್ಣುತೆಯ ವರ್ಗ ಎಂದು ನೋಡುವುದು ಸುಲಭ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, K p ಯಿಂದ ಯಾವುದೇ ಸರಳ ರೇಖೆಗಳು ಒಂದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಿಂದುವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ, ಅವುಗಳೆಂದರೆ, P ಬಿಂದುವು K p ನಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸದ ಯಾವುದೇ ರೇಖೆಯು K p ಯಿಂದ ಕೆಲವು ರೇಖೆಯೊಂದಿಗೆ ಛೇದಿಸುವುದಿಲ್ಲ, ಅವುಗಳೆಂದರೆ ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ರೇಖೆ. X ಗೆ ಸಮಾನಾಂತರ P.
ಉದಾಹರಣೆ 3.4. ಈಗ M ಸಮತಲದಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಸೆಟ್ ಆಗಿರಲಿ. ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಸಮಾನತೆ ಮತ್ತು ಹೋಲಿಕೆಗಳು ಸಮಾನ ಸಂಬಂಧಗಳಾಗಿವೆ.
ಉದಾಹರಣೆ 3.5. ನಾವು ಸಮತಲದಲ್ಲಿರುವ ವೃತ್ತಗಳ ಗುಂಪನ್ನು M k ಯಿಂದ ಸೂಚಿಸೋಣ ಮತ್ತು X |= Y ಸಂಬಂಧವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸೋಣ, X ವೃತ್ತವು Y ವೃತ್ತದ ಒಳಗಿದೆ ಎಂಬ ಷರತ್ತಿನ ಮೂಲಕ ಈ ಸಂಬಂಧವು ವಿರೋಧಿ ಪ್ರತಿಫಲಿತ, ಸಂಕ್ರಮಣ, ಅಂದರೆ. ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಿನ ಆದೇಶವಾಗಿದೆ. ಈ ಆದೇಶವು ಪರಿಪೂರ್ಣವಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ವಲಯಗಳಿವೆ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದೂ ಇನ್ನೊಂದರೊಳಗೆ ಇರುವುದಿಲ್ಲ.
ಉದಾಹರಣೆ 3.6. ನಾವು ಎಲ್ಲಾ ಸರಳ ರೇಖೆಗಳ ಗುಂಪಿಗೆ M ಅನ್ನು ನಿಯೋಜಿಸುತ್ತೇವೆ ನಂತರ ನಾವು ಸರಳ ರೇಖೆಗಳು ಮತ್ತು ವಲಯಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. ಅಂತಹ ಸಂಬಂಧದ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ ಸಂಬಂಧ X Cas Y - ನೇರ ರೇಖೆ X ವೃತ್ತ Y ಅನ್ನು ಸ್ಪರ್ಶಿಸುತ್ತದೆ.
II. ಸಮೀಕರಣಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧಗಳು.
ಈಗ M ಸೆಟ್ ರೂಪದ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ:
f(x)=g(x) (α)
α ಸಮೀಕರಣದ ಎಲ್ಲಾ ಬೇರುಗಳ ಗುಂಪನ್ನು Rα ನಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಮೀಕರಣಕ್ಕಾಗಿ
x 2 =x 3 (α 1)
Rα 1 =(0,1).ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ
cos x=sin x (α 2)
Rα 2 =(...).ಸಮೀಕರಣಕ್ಕಾಗಿ
X 2 =-1 (α 3)
Rα 3 =Ø. ಸಮೀಕರಣಕ್ಕಾಗಿ
(1+ x) 2 = x 2 +2x+1 (α 4)
Rα 4 =(-∞, +∞).
ಉದಾಹರಣೆ 3.7. ನಾವು ಈಗ ಸಮೀಕರಣಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸೋಣ: ನಾವು ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು α ಮತ್ತು β ಸಮಾನ α ≈ β ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ Rα = Rβ.
ಸೆಟ್ಗಳ ಸಮಾನತೆಯು ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧವಾಗಿದೆ ಎಂಬ ಅಂಶದಿಂದ, ಸಂಬಂಧ ≈ ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಅದು ಸುಲಭವಾಗಿ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಶಾಲಾ ಪಠ್ಯದಲ್ಲಿ, ಸಮೀಕರಣಗಳ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅದು ಸಮೀಕರಣ α ಅನ್ನು ಸಮಾನ ಸಮೀಕರಣ β ಆಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸುತ್ತದೆ.
ಉದಾಹರಣೆ 3.8. α ಸಮೀಕರಣವು β ಸಮೀಕರಣಕ್ಕಿಂತ ಬಲವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ: α => β Rα Rβ ನಲ್ಲಿದ್ದರೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, β ಸಮೀಕರಣವು α ಗಿಂತ ದುರ್ಬಲವಾಗಿಲ್ಲ ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ.
ಸಂಬಂಧ => ಪ್ರತಿಫಲಿತ ಮತ್ತು ಟ್ರಾನ್ಸಿಟಿವ್ ಆಗಿದೆ, ಅಂದರೆ. ಅರೆ ಆದೇಶವಾಗಿದೆ. α => β ಮತ್ತು β => α ನಿಂದ ಸಮಾನತೆಯು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ: α ≈ β. ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, α ≈ β ಸಮಾನತೆಯಿಂದ α => β ಮತ್ತು β => α ಎಂದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ≈ = =>=> -1 .
ಉದಾಹರಣೆ 3.9. ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಮೂಲವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ, ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಹಿಷ್ಣುತೆಯ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು ಸುಲಭ - ಸಾಮಾನ್ಯ ಬೇರುಗಳ ಉಪಸ್ಥಿತಿ: Rα ∩ Rβ ≠ Ø.
ಉದಾಹರಣೆ 3.10. ನಾವು ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಸಹ ಪರಿಚಯಿಸಬಹುದು. ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು α ಮತ್ತು β ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯಾಗಿ ಸಮಾನವೆಂದು ಕರೆಯಲಾಗುವುದು, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಮಾನ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು (ಸ್ಥಿರ ಪಟ್ಟಿಯಿಂದ ಅನುಮತಿಸಲಾದ ತಂತ್ರಗಳು) ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಇನ್ನೊಂದಕ್ಕೆ ರೂಪಾಂತರಗೊಳ್ಳಬಹುದು.
ಸಂಬಂಧದ ಟ್ರಾನ್ಸಿಟಿವಿಟಿಯಿಂದಾಗಿ, ಅಂತಹ ತಂತ್ರಗಳ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅನ್ವಯಗಳು ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಉಲ್ಲಂಘಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯಾಗಿ ಸಮಾನವಾದ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಒಂದು ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಇನ್ನೊಂದರಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸುವುದು ಎಂದು ಕರೆಯಬಹುದು.
ಸಂಬಂಧಗಳ ಪರಿಗಣಿತ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಸಮಾನ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ ಸಂಬಂಧಗಳ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ವಿವರಿಸುತ್ತವೆ, ಅವುಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಶಾಲಾ ಗಣಿತದ ಸಾಧನದಿಂದ ಸುಲಭವಾಗಿ ಪರಿಶೀಲಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸಾಕಷ್ಟು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಗಣಿತ ಕ್ಲಬ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವ ಹಳೆಯ ಶಾಲಾ ಮಕ್ಕಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಗಳ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ.
ತೀರ್ಮಾನ
ಬೈನರಿ ಸಂಬಂಧಗಳು ವೈವಿಧ್ಯಮಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಅತ್ಯಂತ ಅನುಕೂಲಕರ ಮತ್ತು ಸರಳವಾದ ಸಾಧನವಾಗಿದೆ. ಬೈನರಿ (ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯ) ಸಂಬಂಧಗಳ ಭಾಷೆ ಗಣಿತದ ಭಾಷಾಶಾಸ್ತ್ರ, ಗಣಿತದ ಜೀವಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ಹಲವಾರು ಇತರ ಅನ್ವಯಿಕ (ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಕ್ಕೆ) ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಿಗೆ ತುಂಬಾ ಅನುಕೂಲಕರ ಮತ್ತು ನೈಸರ್ಗಿಕವಾಗಿದೆ. ಬೈನರಿ ಸಂಬಂಧಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅಂಶವು ಸರಳವಾಗಿ ಗ್ರಾಫ್ ಸಿದ್ಧಾಂತವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳುವ ಮೂಲಕ ಇದನ್ನು ಬಹಳ ಸುಲಭವಾಗಿ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಆದರೆ ಗ್ರಾಫ್‌ಗಳ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ತಿಳಿದಿರುವಂತೆ ಮತ್ತು ಸಾಹಿತ್ಯದಲ್ಲಿ ಚೆನ್ನಾಗಿ ಆವರಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ, ಸಂಬಂಧಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಬೀಜಗಣಿತದ ಅಂಶಗಳನ್ನು ತುಂಬಾ ಕಳಪೆಯಾಗಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ.
ಏತನ್ಮಧ್ಯೆ, ಸಂಬಂಧಗಳ ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ಸಾಕಷ್ಟು ಸಾರ್ವಜನಿಕವಾಗಿ ವಿವರಿಸಬಹುದು. ಆದ್ದರಿಂದ ಇದನ್ನು ಗಣಿತ ವಲಯಗಳಲ್ಲಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವ ಹಳೆಯ ಶಾಲಾ ಮಕ್ಕಳು ಕಲಿಯಬಹುದು.
ಈ ಕೆಲಸದಲ್ಲಿ, ಸಂಬಂಧ ಮತ್ತು ಸಮಾನತೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅವುಗಳ ಕೆಲವು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಲಾಗಿದೆ, ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ಮತ್ತು ವಿವರಣಾತ್ಮಕ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ.
ಬಳಸಿದ ಮೂಲಗಳ ಪಟ್ಟಿ
1. ಬೊಗೊಮೊಲೊವ್ ಎ.ಎಂ., ಸಲಿ ವಿ.ಎನ್. ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಸಿಸ್ಟಮ್ಸ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಬೀಜಗಣಿತದ ಅಡಿಪಾಯ. - ಎಂ.: ವಿಜ್ಞಾನ. ಫಿಜ್ಮಾಟ್ಲಿಟ್, 1997. -368 ಪು.
2. ಶ್ರಾಡರ್ ಯು.ಎ. ಸಮಾನತೆ. ಹೋಲಿಕೆ. ಆದೇಶ. - ಎಂ.: ನೌಕಾ, 1971.-256 ಪು.
ಕೋಸ್ಟ್ರಿಕಿನ್ A.I. ಬೀಜಗಣಿತದ ಪರಿಚಯ. - ಎಂ.: ನೌಕಾ, 1977.-334 ಪು.
ಬಿ.ಎಲ್. ವ್ಯಾನ್ ಡೆರ್ ವಾರ್ಡನ್. ಆಧುನಿಕ ಬೀಜಗಣಿತ. 2 ಸಂಪುಟಗಳಲ್ಲಿ T.1.- M., OGIZ GOSTEKHIZDAT, 1947 -339 ಪು.
ಅನೇಕ ಕಂಪ್ಯೂಟೇಶನಲ್ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ, ದೊಡ್ಡ ಸೆಟ್‌ಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ನಮಗೆ ಆಸಕ್ತಿಯ ಎಲ್ಲಾ ಸಂದರ್ಭಗಳನ್ನು ಸರಿಯಾಗಿ ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿದ ಹಲವಾರು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಬಹುದಾದ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆ.
ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 1: A ¹ Æ ಮತ್ತು (A i ),i= A= ನಂತಹ ಉಪವಿಭಾಗಗಳ ಸಂಗ್ರಹವಾಗಲಿ. ನಂತರ ಈ ಉಪವಿಭಾಗಗಳ ಸಂಗ್ರಹವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಲೇಪಿತಎ ಹೊಂದಿಸುತ್ತದೆ.
ಉದಾಹರಣೆಗೆ, (A, B) AÈB ಯ ಹೊದಿಕೆಯಾಗಿದೆ; (A, AÈB, B, C) - AÈBÈC ಅನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ.
ಕಾಮೆಂಟ್: ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ವ್ಯಾಪ್ತಿಯು ಅನಂತವಾಗಿರಬಹುದು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ, ಈ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯು ಉತ್ಸಾಹವನ್ನು ಉಂಟುಮಾಡುವುದಿಲ್ಲ.
ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 2: ವಿಭಜಿಸುವ ಮೂಲಕ ಖಾಲಿ-ಅಲ್ಲದ ಸೆಟ್ A ಅನ್ನು ಅದರ ಹೊದಿಕೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ i¹ j ಆಗಿದ್ದರೆ, A i ÇA j =Æ.
ಉದಾಹರಣೆಗೆ, (A, A') ಒಂದು ವಿಭಜನೆಯಾಗಿದೆ ಯು.
(AÇB, AÇB', A'ÇB, A'ÇB') - ವಿಭಜನೆ ಯು,
(A\B, AÇB, B\A) - ವಿಭಾಗ AÈB.
ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಅಥವಾ ಸೆಟ್ಗಳ ಸೆಟ್ನಲ್ಲಿ ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧಗಳಂತೆ ವರ್ತಿಸುವ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನೀವು ಖಾಲಿ-ಅಲ್ಲದ ಸೆಟ್ನ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ಆಯೋಜಿಸಬಹುದು.
ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 3:ಒಂದು ಸೆಟ್ನಲ್ಲಿ ಬೈನರಿ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧ, ಇದು ಪ್ರತಿಫಲಿತ, ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಮತ್ತು ಟ್ರಾನ್ಸಿಟಿವ್ ಆಗಿದ್ದರೆ.
ಉದಾಹರಣೆಗಳು:
1. ಎಲ್ಲಾ ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಸೆಟ್ನಲ್ಲಿ: ((x, y)| x ಮತ್ತು y ಒಂದೇ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ)
2. ಎಲ್ಲಾ ಪ್ರೋಗ್ರಾಂಗಳ ಸೆಟ್ನಲ್ಲಿ: ((a, b)| a, b ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಯಂತ್ರದಲ್ಲಿ ಅದೇ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ)
ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 4: A ಮತ್ತು xОA ಸೆಟ್ನಲ್ಲಿ R ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧವಾಗಿರಲಿ. x ನಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಸಮಾನತೆಯ ವರ್ಗಸೆಟ್ (y| xR y)=[x] R ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.
ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 5:ಸಮಾನತೆಯ ವರ್ಗದ ಯಾವುದೇ ಅಂಶವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಪ್ರತಿನಿಧಿಈ ವರ್ಗ. ಪ್ರತಿನಿಧಿಗಳ ಪೂರ್ಣ ವ್ಯವಸ್ಥೆಪ್ರತಿನಿಧಿಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಪ್ರತಿ ವರ್ಗದಿಂದ ಒಬ್ಬರು.
ಉದಾಹರಣೆ 3:
ಎನ್ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, s ಒಂದು ಸ್ಥಿರ ಅಂಶವಾಗಿದೆ. ಆನ್ Zಸಂಬಂಧವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ: r s = ((x, y)| x-y=ns, nО Z) ವರ್ತನೆ ಹೋಲಿಕೆಗಳು ಮಾಡ್ಯೂಲೋ ಎಸ್ (ಸಂಕೇತ: xºy(mod s)).
ಹೋಲಿಕೆ ಸಂಬಂಧ ಮಾಡ್ಯುಲೋ s ಸೆಟ್ನಲ್ಲಿ ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧವಾಗಿದೆಯೇ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸುವುದು ಸುಲಭ Z.
ಉದಾಹರಣೆಗೆ, s=10. ನಂತರ:
= {11,21,-9,10 976 631,.... }
= {66,226,-24,... }
ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಈ ಸಂಬಂಧಕ್ಕೆ ಕೇವಲ 10 ಸಮಾನತೆಯ ವರ್ಗಗಳಿವೆ, ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯೆಗಳು 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ರೂಪ ಪ್ರತಿನಿಧಿಗಳ ಪೂರ್ಣ ವ್ಯವಸ್ಥೆ. ಈ ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಸಮಾನತೆಯ ವರ್ಗಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಕಡಿತಗಳ ವರ್ಗಗಳು ಮಾಡ್ಯೂಲೋ ಎಸ್.
ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 6: ಫ್ಯಾಕ್ಟರ್-ಸೆಟ್ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧ R ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಒಂದು ಸೆಟ್ A ಅನ್ನು ಈ ಸಂಬಂಧಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಎಲ್ಲಾ ಸಮಾನತೆಯ ವರ್ಗಗಳ ಸೆಟ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು A/R ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಶೇಷ ವರ್ಗಗಳ ಸೆಟ್ ಮಾಡ್ಯುಲೋ s ನಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಝಡ್ ಎಸ್.
ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ
ಪ್ರಮೇಯ (ವಿಭಜನೆಯ ಬಗ್ಗೆ):ಖಾಲಿ-ಅಲ್ಲದ A ಸೆಟ್ನಲ್ಲಿ R ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧವಾಗಿರಲಿ. ನಂತರ ಅಂಶದ ಸೆಟ್ A/R ಸೆಟ್ A ಯ ವಿಭಜನೆಯಾಗಿದೆ.
ಪುರಾವೆ:
"xОA(xО[x] R). A ಸೆಟ್ನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಂಶವು ನಿಖರವಾಗಿ ಒಂದು ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಸೇರಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬೇಕು. ಅಂದರೆ, ತರಗತಿಗಳು ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಂಶವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಅವು ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತವೆ ಎಂದು ನಾವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ. a] ಮತ್ತು cО [b], ಆದರೆ x R a, a R c, c R b Þ x R b (ಟ್ರಾನ್ಸಿಟಿವಿಟಿ R) ಗೆ ಹೋಲುತ್ತದೆ ] ಎಂ [ಎ].
ಕ್ಯೂ.ಇ.ಡಿ.
ಸಂವಾದವೂ ಇದೆ. S ಒಂದು ಸೆಟ್ A ನ ವಿಭಜನೆಯಾಗಿರಲಿ ಮತ್ತು R ಗಳು A ಮೇಲೆ ಬೈನರಿ ಸಂಬಂಧವಾಗಿರಲಿ, ಅಂದರೆ: R=((x,y)ïx ಮತ್ತು y ವಿಭಾಗದ ಒಂದೇ ಅಂಶಕ್ಕೆ ಸೇರಿದ್ದು), ನಂತರ R, ನಾವು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ - ಎಸ್ ವಿಭಾಗದಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ಸಂಬಂಧ.
ಪ್ರಮೇಯ (ಹಿಮ್ಮುಖ): S ನ ವಿಭಜನೆಯಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ A ಮೇಲಿನ ಸಂಬಂಧ R, A ಮೇಲೆ ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು A/R s = S. (ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ)
ವ್ಯಾಯಾಮಗಳು:
1. A ಸೀಮಿತವಾದ ಸೆಟ್ ಆಗಿರಲಿ. ಯಾವ ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧಗಳು ದೊಡ್ಡ ಮತ್ತು ಚಿಕ್ಕ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಮಾನತೆಯ ವರ್ಗಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತವೆ.
2. (A 1 , A 2 , ..., A n ) A ಮತ್ತು A ಪರಿಮಿತ ವಿಭಜನೆಯಾಗಿದ್ದರೆ, ಆಗ .
ಆದೇಶ ಸಂಬಂಧ.
ಸಮಾನತೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯಿಂದ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಂಖ್ಯೆಗಳ) ಸಮಾನತೆಯ ಗಣಿತದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತದೆ. ಮತ್ತು ಅಸಮಾನತೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯಿಂದ ಮತ್ತೊಂದು ರೀತಿಯ ಸಂಬಂಧವು ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಕ್ರಮದ ಸಂಬಂಧಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.
ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 1: ಭಾಗಶಃ ಆದೇಶಸೆಟ್ನಲ್ಲಿ A ದ್ವಿಮಾನ ಸಂಬಂಧವಾಗಿದ್ದು ಅದು ಪ್ರತಿಫಲಿತ, ಆಂಟಿಸಿಮೆಟ್ರಿಕ್ ಮತ್ತು ಟ್ರಾನ್ಸಿಟಿವ್ ಆಗಿದೆ.
ಭಾಗಶಃ ಕ್ರಮವು R ಗೆ £ ಸಂಬಂಧದ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವಾಗಿದೆ. ನಾವು ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಬಹುದು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ಆದೇಶ , ಸಂಬಂಧಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ< на R. Отношение строгого порядка - только транзитивно(оно еще и антирефлексивно).
£ ನೀಡಿದರೆ, ನಾವು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು<: a
ಆದೇಶದ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ನೀಡಿದ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸಲಾಗುವುದು
(X, £) (ಅಥವಾ (X,<), если порядок строгий).
ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 2:ಆದೇಶದ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ನೀಡುವ ಒಂದು ಗುಂಪನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಭಾಗಶಃ ಆದೇಶ.
ಉದಾಹರಣೆ: ಎ ಒಂದು ಸೆಟ್ ಆಗಿದೆ. ( ಪ (ಎ),Í), ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸುವುದು ಸುಲಭ Í ಆದೇಶದ ಸಂಬಂಧವಾಗಿದೆ ಪ (ಎ)
ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 3: A ನಲ್ಲಿ R ಕ್ರಮದ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸಂಪೂರ್ಣ (ರೇಖೀಯ ) ಕ್ರಮವಾಗಿ, ವೇಳೆ "x, yÎA (xR y Ú yR x). ಸೆಟ್ (A, R) ಅನ್ನು ರೇಖೀಯವಾಗಿ ಆದೇಶ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಉದಾಹರಣೆಗಳು:
1. ಅನುಪಾತ £ ಗೆ ಆರ್ಸಂಪೂರ್ಣ ಆದೇಶ ಸಂಬಂಧವಾಗಿದೆ. ಹೀಗಾಗಿ ( ಆರ್,£) - ರೇಖೀಯವಾಗಿ ಆದೇಶಿಸಲಾಗಿದೆ.
2. ಮತ್ತು ಇಲ್ಲಿ ( ಪ (ಎ),Í) ರೇಖೀಯವಾಗಿ ಆದೇಶಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ
3. ಸೆಟ್ನಲ್ಲಿ x£y Û y x ಎನ್ಸಂಪೂರ್ಣ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿಲ್ಲ
ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 4:ಅವಕಾಶ (ಎ, £) ಭಾಗಶಃ ಆದೇಶದ ಸೆಟ್ ಆಗಿದೆ. ಅಂಶ AOA ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಚಿಕ್ಕ/ದೊಡ್ಡ/ A ನಲ್ಲಿ " xОA (a£ x) /x £ a /. ಅಂಶ bОА ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಕನಿಷ್ಠ / ಗರಿಷ್ಠ /ಒಂದು ವೇಳೆ "xÎA (x£ a Þ x=a) /a £ x Þ a=x /.
ಕಾರ್ಯ:ರೇಖೀಯವಾಗಿ ಆದೇಶಿಸಲಾದ ದೊಡ್ಡ (ಚಿಕ್ಕ) ಮತ್ತು ಗರಿಷ್ಠ (ಕನಿಷ್ಠ) ಅಂಶಗಳ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತವೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ. ಅವು ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗದ ಭಾಗಶಃ ಆದೇಶದ ಸೆಟ್ನ ಉದಾಹರಣೆ ನೀಡಿ.
ಸಂಬಂಧಗಳ ಸಂಯೋಜನೆ
A, B ಮತ್ತು C ಸೆಟ್‌ಗಳು ಮತ್ತು A ಮತ್ತು B (ಅಂದರೆ SÌA´B) ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧಗಳು ಮತ್ತು B ಮತ್ತು C (RÌB´C) ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ನೀಡೋಣ. A ಮತ್ತು C ನಡುವಿನ ಹೊಸ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸೋಣ:
ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 1:ಎಲ್ಲಾ ಜೋಡಿಗಳ ಸೆಟ್ (x, y) zÎB ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ ಅಂದರೆ (x, z)О S ಮತ್ತು (z, y)О R ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸಂಬಂಧಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಎಸ್ ಮತ್ತು ಆರ್. ಗೊತ್ತುಪಡಿಸಿದ: ಆರ್ ಒ ಎಸ್. ಹೀಗಾಗಿ, R o SÌ A´ C .
R oS = ((x, y)| $zÎB((x,z)ÎSÙ(z,y)ÎR)) ಅಥವಾ x R o Sy Û $zÎB(xSzÙzRy).
ಉದಾಹರಣೆ 1 : A=(1, 2, 3), B=(1, 2, 3, 4, 5, 6), C=(3, 6, 9, 12), s =((1,2), (2 ,4), (3,6)), r=((1,3), (2,6), (3,9), (4,12)). ನಂತರ r o s=((1.6), (2.12)).
ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿನ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ವಿವರಿಸೋಣ:
ಉದಾಹರಣೆ 2 : s ಮತ್ತು r ಸಂಬಂಧಗಳಾಗಿರೋಣ ಎನ್ಅಂದರೆ
ಎಸ್ = ((x,x+1)ïxО ಎನ್) ಮತ್ತು r = ((x 2 ,x)ïxО ಎನ್) ನಂತರ D r = (x 2 ïxО ಎನ್)=(1,4,9,16,25,...), ಮತ್ತು D s = ಎನ್.
D r o s =(xïxО ಎನ್Ù x+1=y 2 )=(3,8,15,24,...).
ಒಂದು ಸೆಟ್ನಲ್ಲಿ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಅದನ್ನು ಸ್ವತಃ ಸಂಯೋಜಿಸಬಹುದು:
sos = s 2 = ((x,x+2)½xО ಎನ್) ಮತ್ತು ror = r 2 = ((x 4 ,x)½xО ಎನ್}.
ಈ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನಾವು ಸಂಬಂಧದ n ನೇ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು:
, ಅಲ್ಲಿ nО ಎನ್, n> 1.
ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಉದಾಹರಣೆ 2 ರಿಂದ ಸಂಬಂಧಗಳಿಗಾಗಿ ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ:
, 
ನಾನು ಗುಣಾಕಾರದೊಂದಿಗೆ ಸಾದೃಶ್ಯವನ್ನು ಪೂರಕಗೊಳಿಸಲು ಬಯಸುತ್ತೇನೆ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ನೈಸರ್ಗಿಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುತ್ತೇವೆ:
ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 2:ಬೈನರಿ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸಮಾನ, ಅವು ಉಪವಿಭಾಗಗಳಾಗಿ ಸಮಾನವಾಗಿದ್ದರೆ, R=S if"x,y((x,y)ÎRÛ(x,y)ÎS).
ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಒಂದೇ ಸೆಟ್ಗಳಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬೇಕು ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ.
ಪ್ರಮೇಯ (ಸಂಬಂಧಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು):ಯಾವುದೇ ಬೈನರಿ ಸಂಬಂಧಗಳಿಗೆ R, S, T, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:
1. (RoS)oT = Ro(SoT)
2. (RoS) -1 = S -1 o R -1
ಪುರಾವೆ:
1) ಯಾವುದೇ x ಮತ್ತು y ಗಾಗಿ ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ:
x(RoS)oTy º $z(xTzÙ(zRoSy)) º $z$t(xTzÙ(zStÙtRy)) º $z$t((xTzÙzSt)ÙtRy) º $t(($z(xTzÙzSt)) $t((xSoTt)ÙtRy) º xRo(SoT)y.
2) x(RoS) -1 y º yRoSx º $z(ySzÙzRx) º $z(xR -1 zÙzS -1 y) º xS -1 oR -1 y.
ಕ್ಯೂ.ಇ.ಡಿ.
ಕಾಮೆಂಟ್: A ಸೆಟ್ನಲ್ಲಿ R ಒಂದು ಸಂಬಂಧವಾಗಿದ್ದರೆ, I A oR=RoI A =R ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂದರೆ, ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸುವಾಗ I A ಒಂದರಂತೆ ವರ್ತಿಸುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಾದೃಶ್ಯವನ್ನು ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಕಮ್ಯುಟಾಟಿವಿಟಿಗೆ ಯಾವುದೇ ಸ್ಥಾನವಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ RoS ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು, ಆದರೆ SoR ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಸಮಾನತೆ R -1 oR=RoR -1 = I A ಯಾವಾಗಲೂ ಅರ್ಥವಾಗುವುದಿಲ್ಲ.
ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಮುಚ್ಚುವುದು
ಮುಚ್ಚುವಿಕೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು ಮೂಲಭೂತ ಗಣಿತದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಹೆಚ್ಚಿನ ಶಾಖೆಗಳಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಾವು ಈ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಉದಾಹರಣೆಯೊಂದಿಗೆ ವಿವರಿಸೋಣ: ಒಂದು ವಸ್ತು x 0 ಮತ್ತು ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ P ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ, ಇದು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಅನ್ವಯಿಸಿದಾಗ, ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ, ಒಂದು ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ x 1 , x 2 , ..., x n , . .. ಆದ್ದರಿಂದ x 1 ÎP(x 0), x 2 ÎP(x 1),..., x n ÎP(x n -1),... 
ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 1: P ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪಡೆಯಬಹುದಾದ ಮತ್ತು x 0 ಯಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುವ ಎಲ್ಲಾ ಅನುಕ್ರಮಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಮುಚ್ಚುವುದು x 0 ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ P .
ಫಲಿತಾಂಶವು ಕೆಲವರಿಗೆ P n (x 0) ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ ಎನ್.ಈ ಎನ್ನಮಗೆ ಮುಂಚಿತವಾಗಿ ತಿಳಿದಿಲ್ಲ; ಇದು ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ನಾವು ಅಂಶವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ ವೈಈ ಮುಚ್ಚುವಿಕೆಯಿಂದ ಮತ್ತು ನಾವು ಅದಕ್ಕೆ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತೇವೆ ಆರ್,ನಂತರ ನಾವು ಹೊಸದನ್ನು ಪಡೆಯುವುದಿಲ್ಲ. ಅಂದರೆ, ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಈ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ವಿಸ್ತರಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ - ಅದು ಮುಚ್ಚಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ!
ಉದಾಹರಣೆ : ABCD ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾದ S ಚೌಕವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ ಮತ್ತು 90° ಮೂಲಕ ಚೌಕವನ್ನು ಪ್ರದಕ್ಷಿಣಾಕಾರವಾಗಿ ತಿರುಗಿಸುವುದನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ r ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ:
| |
| |
| |
| |
| |
ಕೆಲವು ಸೆಟ್ನಲ್ಲಿ ಸಂಬಂಧ A ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸೋಣ. ನಂತರ:
ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 2: ಟ್ರಾನ್ಸಿಟಿವ್ ಮುಚ್ಚುವಿಕೆ ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಸೆಟ್‌ನಲ್ಲಿನ ಸಂಬಂಧ ಎ ಅನ್ನು ಸಂಬಂಧ ಎ + ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ:
ಹೀಗಾಗಿ, ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸೆಟ್ನಲ್ಲಿ ಟ್ರಾನ್ಸಿಟಿವ್ ಅಲ್ಲದ ಸಂಬಂಧ A ಯಿಂದ ಒಬ್ಬರು ಟ್ರಾನ್ಸಿಟಿವ್ A + ಅನ್ನು ರಚಿಸಬಹುದು.
ಉದಾಹರಣೆಗಳು:
1. ಆರ್ - ಅನುಪಾತ ಆನ್ ಎನ್: r=((x, y)| y=x+1), ನಂತರ r + =((x, y)| x 2.s ಆನ್ ಪ್ರ: s=((x, y)| x 3.ಟಿ ಆನ್ ಪ್ರ: t=((x, y)| x×y=1), ನಂತರ r + =((x, x)| x¹0) 4. L ಲಂಡನ್ ಭೂಗತ ನಿಲ್ದಾಣಗಳ ಸೆಟ್ ಆಗಿರಲಿ; L=(a, b, c) ಸತತ ನಿಲ್ದಾಣಗಳು. N=((x, y)| y x ಅನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಇದರರ್ಥ (a, b), (b, c) ÎN; ಜೊತೆಗೆ (a, a), (b, b), (c, c), (a, c) О N 2 . ಇದರರ್ಥ N + =L´L ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಟ್ರಾನ್ಸಿಟಿವ್ ಮುಚ್ಚುವಿಕೆಯು ಪ್ರತಿಫಲಿತವಲ್ಲ (ಉದಾಹರಣೆ 2). A X ಮೇಲೆ ಸಂಬಂಧವಾಗಿರಲಿ. A 0 =I X . ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 3: ಪ್ರತಿಫಲಿತ ಮುಚ್ಚುವಿಕೆ A*ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಎ ಸಂಬಂಧ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಉದಾಹರಣೆಗಳು:
1. r*=((x, y)| x£y) I. ವರ್ಗಗಳಾಗಿ ವಿಭಾಗ. ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 2.1. ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸನ್ನಿವೇಶದಲ್ಲಿ ಅತ್ಯಗತ್ಯವಾಗಿರುವ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಔಪಚಾರಿಕ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸೆಟ್ M ನ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಬದಲಾಯಿಸಬಹುದಾದವು ಎಂದು ಕರೆಯೋಣ. x ವಸ್ತುವಿನೊಂದಿಗೆ ಪರಸ್ಪರ ಬದಲಾಯಿಸಬಹುದಾದ ಎಲ್ಲಾ ವಸ್ತುಗಳ ಗುಂಪನ್ನು M x ನಿಂದ ಸೂಚಿಸೋಣ. x M x ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ M x (M ನಿಂದ ಸಾಧ್ಯವಿರುವ ಎಲ್ಲಾ x ಗೆ) ಯೂನಿಯನ್ ಸಂಪೂರ್ಣ M ನೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ: ಹಾಗೆ ನಟಿಸೋಣ. ಇದರರ್ಥ z ಕೆಲವು ಅಂಶವಿದೆ, ಅದು ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ಸೇರಿದೆ ಮತ್ತು ಮತ್ತು. ಆದ್ದರಿಂದ x ಅನ್ನು z ನೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸಬಹುದಾಗಿದೆ ಮತ್ತು z y ಯೊಂದಿಗೆ ಪರಸ್ಪರ ಬದಲಾಯಿಸಬಹುದಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, x y ಯೊಂದಿಗೆ ಪರಸ್ಪರ ಬದಲಾಯಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಯಾವುದೇ ಅಂಶದೊಂದಿಗೆ. ಹೀಗೆ. ರಿವರ್ಸ್ ಸ್ವಿಚಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಅದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಒಕ್ಕೂಟದಲ್ಲಿ ಸಂಭವಿಸುವ ಸೆಟ್‌ಗಳು (2.1) ಛೇದಿಸುವುದಿಲ್ಲ ಅಥವಾ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 2.2. M ಸೆಟ್ನ ಖಾಲಿ-ಅಲ್ಲದ ಉಪವಿಭಾಗಗಳ (M 1, M 2,....) ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ನಾವು ಈ ಗುಂಪಿನ ವಿಭಾಗ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ ಸೆಟ್‌ಗಳನ್ನು ವಿಭಜನಾ ತರಗತಿಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 2.3. M ಸೆಟ್ನ ಒಂದು ವಿಭಾಗವು (M 1, M 2,...) ಇದ್ದರೆ (x, y) x ಮತ್ತು ಆಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಹೊಂದಿರುವಂತಹ ಒಂದು ಸೆಟ್ M ನಲ್ಲಿನ c ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಸಮಾನತೆ (ಅಥವಾ ಸಮಾನ ಸಂಬಂಧ) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. y ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವಿಭಾಗದ ಕೆಲವು ಸಾಮಾನ್ಯ ವರ್ಗ M i ಗೆ ಸೇರಿದೆ. (M 1 , M 2 ,....) M ಸೆಟ್ನ ವಿಭಜನೆಯಾಗಿರಲಿ. ಈ ವಿಭಾಗದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ, ನಾವು c ನಿಂದ M ಗೆ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತೇವೆ: (x, y), x ಮತ್ತು y ಕೆಲವು ಸಾಮಾನ್ಯ ವರ್ಗ M i ಗೆ ಸೇರಿದ್ದರೆ ಈ ವಿಭಜನೆಯ. ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ ಜೊತೆಗಿನ ಸಂಬಂಧವು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಕೊಟ್ಟಿರುವ ವಿಭಾಗಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧದೊಂದಿಗೆ ನಾವು ಕರೆ ಮಾಡೋಣ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 2.4. ಪ್ರತಿ ಉಪವಿಭಾಗ M i ನಲ್ಲಿ ನಾವು ಅದರಲ್ಲಿ ಒಳಗೊಂಡಿರುವ x i ಅಂಶವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿದರೆ, ಈ ಅಂಶವು ಅದೇ ಸೆಟ್ M i ನಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಲಾದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಂಶ y ಗೆ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುತ್ತದೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ, c* "ಒಂದು ಮಾನದಂಡವಾಗಿರಲು" (x i, y) ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಪೂರೈಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಭಾವಿಸೋಣ ಕೊಟ್ಟಿರುವ ವಿಭಾಗಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಸಿ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು ಎಂದು ನೋಡುವುದು ಸುಲಭ: (z, y) z ಮತ್ತು y ಸಾಮಾನ್ಯ ಮಾನದಂಡವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ (x i, z) ಮತ್ತು (x i, y). ಉದಾಹರಣೆ 2.1: ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಗುಂಪನ್ನು M ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಿ ಮತ್ತು ಅದರ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ಸಮ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ M 0 ಮತ್ತು ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸೆಟ್ M 1 ಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ. ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ ಅನುಗುಣವಾದ ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ: ಮತ್ತು ಓದುತ್ತದೆ: n ಅನ್ನು m ಮಾಡ್ಯೂಲೋ 2 ಗೆ ಹೋಲಿಸಬಹುದು. ಸಮ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ 0 ಮತ್ತು ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ 1 ಅನ್ನು ಮಾನದಂಡವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವುದು ಸಹಜ. ಅದೇ ರೀತಿಯಾಗಿ, ಅದೇ ಸೆಟ್ M ಅನ್ನು k ಉಪವಿಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುವುದು M 0, M 1,... M k-1, ಅಲ್ಲಿ M j ಎಲ್ಲಾ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ, ಅದು k ನಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದಾಗ ಉಳಿದ j ಅನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ, ನಾವು ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ತಲುಪುತ್ತೇವೆ: k ನಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದಾಗ n ಮತ್ತು m ಒಂದೇ ಶೇಷವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಅದು ಹೊಂದಿದೆ. ಪ್ರತಿ M j ನಲ್ಲಿ ಅನುಗುಣವಾದ ಶೇಷ j ಅನ್ನು ಮಾನದಂಡವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವುದು ಸಹಜ. II. ಫ್ಯಾಕ್ಟರ್ ಸೆಟ್ ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧವಿರಲಿ. ನಂತರ, ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ, ಸೆಟ್ M ನ ವಿಭಾಗವು (M 1, M 2,....) ಪರಸ್ಪರ ಸಮಾನವಾದ ಅಂಶಗಳ ವರ್ಗಗಳಾಗಿ - ಸಮಾನತೆಯ ವರ್ಗಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುತ್ತದೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 2.5. ಸಂಬಂಧಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಸಮಾನತೆಯ ವರ್ಗಗಳ ಗುಂಪನ್ನು M/ ನಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸಂಬಂಧಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ M ಸೆಟ್ನ ಅಂಶಗಳ ಗುಂಪಾಗಿ ಓದಲಾಗುತ್ತದೆ. μ: M > S ಕೆಲವು ಸೆಟ್ S ಗೆ M ಸೆಟ್ನ ಸರ್ಜೆಕ್ಟಿವ್ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಆಗಿರಲಿ. ಯಾವುದೇ μ: M > S - ಸರ್ಜೆಕ್ಟಿವ್ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್‌ಗೆ M ಸೆಟ್ನಲ್ಲಿ ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧವಿದೆ ಅಂದರೆ M/ ಮತ್ತು S ಅನ್ನು ಒಂದರಿಂದ ಒಂದು ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರಕ್ಕೆ ಹಾಕಬಹುದು. III. ಸಮಾನತೆಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 2.6. ಒಂದು ಸೆಟ್ M ನಲ್ಲಿನ ಸಿ ಸಂಬಂಧವು ಪ್ರತಿಫಲಿತ, ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಮತ್ತು ಟ್ರಾನ್ಸಿಟಿವ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಅದನ್ನು ಸಮಾನ ಸಂಬಂಧ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ರಮೇಯ 2.1: M ಸೆಟ್‌ನಲ್ಲಿನ ಸಿ ಸಂಬಂಧವು ಪ್ರತಿಫಲಿತ, ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಮತ್ತು ಟ್ರಾನ್ಸಿಟಿವ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, M ಸೆಟ್ನ (M 1 , M 2 ,….) ಒಂದು ವಿಭಾಗವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ ಅಂದರೆ (x, y) x ಮತ್ತು y ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವಿಭಾಗದ ಕೆಲವು ಸಾಮಾನ್ಯ ವರ್ಗ M i ಗೆ ಸೇರಿದೆ. ವ್ಯತಿರಿಕ್ತವಾಗಿ: ಒಂದು ವಿಭಾಗವನ್ನು ನೀಡಿದರೆ (M 1, M 2,....) ಮತ್ತು ಬೈನರಿ ಸಂಬಂಧ c ಅನ್ನು "ವಿಭಜನೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಸೇರಿದೆ" ಎಂದು ನೀಡಿದರೆ, c ಎಂಬುದು ಪ್ರತಿಫಲಿತ, ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಮತ್ತು ಸಂಕ್ರಮಣವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಪುರಾವೆ: C ಗೆ M ಗೆ ಪ್ರತಿಫಲಿತ, ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಮತ್ತು ಸಂಕ್ರಮಣ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಯಾವುದಾದರೂ (x, z) c ಗೆ ಎಲ್ಲಾ z ಅನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. ಲೆಮ್ಮಾ 2.1: ಯಾವುದೇ x ಮತ್ತು y ಗೆ, ಅಥವಾ ಲೆಮ್ಮಾ ಮತ್ತು ಸಂಬಂಧದ ಪ್ರತಿವರ್ತನದಿಂದ ಇದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ ರೂಪದ ಸೆಟ್‌ಗಳು M. ಸೆಟ್ನ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ (ಈ ವಿಭಾಗವನ್ನು ಸ್ವಾಭಾವಿಕವಾಗಿ ಮೂಲ ಸಂಬಂಧಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ವಿಭಾಗ ಎಂದು ಕರೆಯಬಹುದು). ಈಗ ಬಿಡಿ (x, y) c. ಇದರರ್ಥ ವೈ. ಆದರೆ (x, x) c ಯ ಗುಣದಿಂದ x. ಆದ್ದರಿಂದ, ಎರಡೂ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, (x, y) c ಆಗಿದ್ದರೆ, x ಮತ್ತು y ಅನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿಭಜನಾ ವರ್ಗದಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, ಯು ಮತ್ತು ವಿ. ನಾವು (u, v) c ಮತ್ತು (x, v) c ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಎಂದು ತೋರಿಸೋಣ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಮ್ಮಿತಿಯ ಮೂಲಕ (u, x) c. ಟ್ರಾನ್ಸಿಟಿವಿಟಿಯಿಂದ, (u, x) c ಮತ್ತು (x, v) c ನಿಂದ (u, v) c ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಪ್ರಮೇಯದ ಮೊದಲ ಭಾಗವು ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ. M ಸೆಟ್ನ ಒಂದು ವಿಭಾಗವನ್ನು (M 1, M 2,....) ನೀಡಲಿ. ವಿಭಾಗದ ಎಲ್ಲಾ ವರ್ಗಗಳ ಒಕ್ಕೂಟವು M ನೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ, ನಂತರ ಯಾವುದೇ x ಅನ್ನು ಕೆಲವು ವರ್ಗದಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ (x, x) c, ಅಂದರೆ. ರು - ಪ್ರತಿಫಲಿತವಾಗಿ. x ಮತ್ತು y ಕೆಲವು ವರ್ಗದಲ್ಲಿದ್ದರೆ, y ಮತ್ತು x ಒಂದೇ ವರ್ಗದಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ. ಇದರರ್ಥ (x, y) c ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ (y, x) c, ಅಂದರೆ. ಸಂಬಂಧವು ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿದೆ. ಈಗ (x, y) c ಮತ್ತು (y, z) c ಹಿಡಿದುಕೊಳ್ಳಿ. ಇದರರ್ಥ x ಮತ್ತು y ಕೆಲವು ವರ್ಗದಲ್ಲಿವೆ ಮತ್ತು y ಮತ್ತು z ಕೆಲವು ವರ್ಗದಲ್ಲಿವೆ. ತರಗತಿಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಂಶ y ಅನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಇದರರ್ಥ x ಮತ್ತು z ಅನ್ನು ವರ್ಗದಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ. (x, z) ಹೊಂದಿದೆ ಮತ್ತು ಸಂಬಂಧವು ಟ್ರಾನ್ಸಿಟಿವ್ ಆಗಿದೆ. ಪ್ರಮೇಯವು ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ. IV. ಸಮಾನತೆಗಳ ಮೇಲಿನ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು. ಇಲ್ಲಿ ನಾವು ಸಮಾನತೆಗಳ ಮೇಲೆ ಕೆಲವು ಸೆಟ್-ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಪುರಾವೆಗಳಿಲ್ಲದೆ ಅವುಗಳ ಪ್ರಮುಖ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ. ಸಂಬಂಧವು ಒಂದು ಜೋಡಿ () ಎಂದು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ, ಇಲ್ಲಿ M ಎಂಬುದು ಸಂಬಂಧಕ್ಕೆ ಪ್ರವೇಶಿಸುವ ಅಂಶಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಸಂಬಂಧವನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ಜೋಡಿಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 2.7. ಸಂಬಂಧಗಳ ಛೇದಕ (c 1, M) ಮತ್ತು (c 2, M) ಅನುಗುಣವಾದ ಉಪವಿಭಾಗಗಳ ಛೇದಕದಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಸಂಬಂಧವಾಗಿದೆ. (x, y) 1 ರಿಂದ 2 ಆಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು (x, y) 1 ರಿಂದ ಮತ್ತು (x, y) 2 ರಿಂದ ಒಂದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ. ಪ್ರಮೇಯ 2.2: 1 ಜೊತೆ 2 ಜೊತೆ 1 ಜೊತೆ 2 ಜೊತೆ ಸಮಾನತೆಯ ಛೇದನವು ಸ್ವತಃ ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧವಾಗಿದೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 2.8. ಸಂಬಂಧಗಳ ಒಕ್ಕೂಟ (1, M ನೊಂದಿಗೆ) ಮತ್ತು (2, M ನೊಂದಿಗೆ) ಅನುಗುಣವಾದ ಉಪವಿಭಾಗಗಳ ಒಕ್ಕೂಟದಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಸಂಬಂಧವಾಗಿದೆ. (x, y) 1 ನೊಂದಿಗೆ 2 ಇದ್ದರೆ ಮತ್ತು (x, y) 1 ನೊಂದಿಗೆ ಅಥವಾ (x, y) 2 ನೊಂದಿಗೆ ಮಾತ್ರ. ಪ್ರಮೇಯ 2.3: 1 ಮತ್ತು 2 ರೊಂದಿಗೆ ಸಮಾನತೆಗಳ ಒಕ್ಕೂಟವು ಸ್ವತಃ ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧವಾಗಲು, ಇದು ಅವಶ್ಯಕ ಮತ್ತು ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ 1 ರಿಂದ 2 = 1 ರಿಂದ 2 ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 2.9. ಸಂಬಂಧಗಳ ನೇರ ಮೊತ್ತ (c 1, M 1) ಮತ್ತು (c 2, M 2) ಅನುಪಾತ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ನೇರ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ (c 1, M 1) (c 2, M 2). ಹೀಗಾಗಿ, (c 1, M 1) (c 2, M 2) = (), ಆಗ M =. ಪ್ರಮೇಯ 2.4: ಮತ್ತು ಸಂಬಂಧಗಳು ಸಮಾನತೆಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, ಸಂಬಂಧಗಳ ನೇರ ಮೊತ್ತ (c 1, M 1) (c 2, M 2) = (), ಸಹ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. V. ಸಂಬಂಧಗಳ ವಿಧಗಳು ನಾವು ಇನ್ನೂ ಹಲವಾರು ಪ್ರಮುಖ ರೀತಿಯ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸೋಣ. ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಮೂರನೇ ಅಧ್ಯಾಯದಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗುವುದು. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 2.10. ಒಂದು ಸೆಟ್ M ನಲ್ಲಿನ ಸಿ ಸಂಬಂಧವು ಪ್ರತಿಫಲಿತ ಮತ್ತು ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿದ್ದರೆ ಅದನ್ನು ಸಹಿಷ್ಣುತೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 2.11. ಒಂದು ಸೆಟ್ M ನಲ್ಲಿನ ಸಿ ಸಂಬಂಧವು ವಿರೋಧಿ ಪ್ರತಿಫಲಿತ ಮತ್ತು ಟ್ರಾನ್ಸಿಟಿವ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಅದನ್ನು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ಕ್ರಮದ ಸಂಬಂಧ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 2.12. ಯಾವುದೇ ಜೋಡಿ ಅಂಶಗಳ x ಮತ್ತು y M ನಿಂದ (x, y) ಅಥವಾ (y, x) ನಿಜವಾಗಿದ್ದರೆ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ಕ್ರಮ ಸಂಬಂಧ c ಅನ್ನು ಪರಿಪೂರ್ಣ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ಕ್ರಮ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 2.13. M ಸೆಟ್‌ನಲ್ಲಿನ ಸಿ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದಾದರೆ ಅದನ್ನು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ಕ್ರಮದ ಸಂಬಂಧ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ: ಅಲ್ಲಿ M ಮೇಲೆ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ಕ್ರಮವಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು E ಒಂದು ಕರ್ಣೀಯ ಸಂಬಂಧವಾಗಿದೆ. ಉಪನ್ಯಾಸ 22. ಒಂದು ಸೆಟ್ನಲ್ಲಿ ಸಮಾನತೆ ಮತ್ತು ಕ್ರಮ ಸಂಬಂಧಗಳು 1. ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧ. ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧ ಮತ್ತು ವರ್ಗಗಳಾಗಿ ಒಂದು ಸೆಟ್ನ ವಿಭಜನೆಯ ನಡುವಿನ ಸಂಪರ್ಕ. 2. ಆದೇಶ ಸಂಬಂಧ. ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ಮತ್ತು ಕಠಿಣವಲ್ಲದ ಕ್ರಮ ಸಂಬಂಧಗಳು, ರೇಖೀಯ ಕ್ರಮ ಸಂಬಂಧಗಳು. ಸೆಟ್ಗಳ ಆದೇಶ. 3. ಮುಖ್ಯ ತೀರ್ಮಾನಗಳು ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ನೋಡೋಣ X= (1/2, 1/3, 1/4, 2/4, 2/6, 3/6) ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧ. ಈ ಸಂಬಂಧ: ಪ್ರತಿಫಲಿತವಾಗಿ, ಪ್ರತಿ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯು ಸ್ವತಃ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ; ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿ, ಅಂಶದಿಂದ ಭಿನ್ನರಾಶಿ ಮೀ/ಎನ್ಒಂದು ಭಾಗಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಪ/q, ಇದು ಭಿನ್ನರಾಶಿಯನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ ಪ/qಒಂದು ಭಾಗಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮೀ/ಎನ್; ಟ್ರಾನ್ಸಿಟಿವ್, ಏಕೆಂದರೆ ಅಂಶದಿಂದ ಮೀ/ಎನ್ಒಂದು ಭಾಗಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಪ/qಮತ್ತು ಭಾಗ ಪ/qಒಂದು ಭಾಗಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಆರ್/ರು, ಇದು ಭಿನ್ನರಾಶಿಯನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ ಮೀ/ಎನ್ಒಂದು ಭಾಗಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಆರ್/ರು. ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. ಒಂದು ಸೆಟ್ X ನಲ್ಲಿನ R ಸಂಬಂಧವು ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಫಲಿತತೆ, ಸಮ್ಮಿತಿ ಮತ್ತು ಟ್ರಾನ್ಸಿಟಿವಿಟಿ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಅದನ್ನು ಸಮಾನ ಸಂಬಂಧ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳೆಂದರೆ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅಂಕಿಗಳ ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧಗಳು, ರೇಖೆಗಳ ಸಮಾನಾಂತರ ಸಂಬಂಧ (ಒದಗಿಸಿದರೆ ಕಾಕತಾಳೀಯ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಸಮಾನಾಂತರವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ). ಈ ರೀತಿಯ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಏಕೆ ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಲಾಗಿದೆ? ಸೆಟ್ನಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ X= (1/2, 1/3, 1/4, 2/4, 2/6, 3/6) (ಚಿತ್ರ 106). ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಮೂರು ಉಪವಿಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ನೋಡುತ್ತೇವೆ: (1/2, 2/4, 3/6), (1/3, 2/6), (1/4). ಈ ಉಪವಿಭಾಗಗಳು ಛೇದಿಸುವುದಿಲ್ಲ, ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಒಕ್ಕೂಟವು ಸೆಟ್ನೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ X,ಆ. ನಾವು ಸೆಟ್ನ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ Xತರಗತಿಗಳಿಗೆ. ಇದು ಆಕಸ್ಮಿಕವಲ್ಲ. ಎಲ್ಲಾ, X ಸೆಟ್ನಲ್ಲಿ ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಅದು ಈ ಸೆಟ್ನ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ಜೋಡಿಯಾಗಿ ಡಿಜಾಯಿಂಟ್ ಉಪವಿಭಾಗಗಳಾಗಿ (ಸಮಾನ ವರ್ಗಗಳು) ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಗುಂಪಿನ (1/2, 1/3, 1/4, 2/4, 2/6, 3/6) ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧವು ಈ ಗುಂಪಿನ ಸಮಾನತೆಯ ವರ್ಗಗಳಾಗಿ ವಿಭಜನೆಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಸ್ಥಾಪಿಸಿದ್ದೇವೆ. , ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಸಮಾನ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. ಸಂವಾದವೂ ನಿಜ: ಒಂದು ಸೆಟ್ X ನಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಯಾವುದೇ ಸಂಬಂಧವು ಈ ಗುಂಪಿನ ವಿಭಾಗವನ್ನು ವರ್ಗಗಳಾಗಿ ರಚಿಸಿದರೆ, ಅದು ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧವಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸೆಟ್ನಲ್ಲಿ ಪರಿಗಣಿಸಿ X =(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10) ಸಂಬಂಧ "3 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದಾಗ ಅದೇ ಶೇಷವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದು." ಇದು ಸೆಟ್ನ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತದೆ Xವರ್ಗಗಳಾಗಿ: ಒಂದು ಎಲ್ಲಾ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು 3 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದಾಗ 0 ರ ಶೇಷವನ್ನು ಬಿಡುತ್ತದೆ (ಇವು ಸಂಖ್ಯೆಗಳು 3, 6, 9), ಎರಡನೆಯದು - 3 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದಾಗ 1 ರ ಶೇಷವನ್ನು ಬಿಡುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು (ಇವು ಸಂಖ್ಯೆಗಳು 1, 4 , 7 , 10), ಮತ್ತು ಮೂರನೆಯದರಲ್ಲಿ - ಎಲ್ಲಾ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, 3 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದಾಗ ಉಳಿದವು 2 (ಇವು ಸಂಖ್ಯೆಗಳು 2, 5, 8). ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಉಪವಿಭಾಗಗಳು ಛೇದಿಸುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಒಕ್ಕೂಟವು ಸೆಟ್ನೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ X.ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, "3 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದಾಗ ಅದೇ ಶೇಷವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ" ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಸೆಟ್ನಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ X,ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧವಾಗಿದೆ. ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧದ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧದ ಬಗ್ಗೆ ಹೇಳಿಕೆ ಮತ್ತು ವರ್ಗಗಳಾಗಿ ಒಂದು ಸೆಟ್ನ ವಿಭಜನೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಪುರಾವೆ ಅಗತ್ಯವಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ನಾವು ಅದನ್ನು ಹಾಕುತ್ತಿದ್ದೇವೆ. ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧವು ಹೆಸರನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಅನುಗುಣವಾದ ಹೆಸರನ್ನು ತರಗತಿಗಳಿಗೆ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೇಳೋಣ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ವಿಭಾಗಗಳ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದರೆ (ಮತ್ತು ಇದು ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧವಾಗಿದೆ), ನಂತರ ವಿಭಾಗಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಸಮಾನ ಭಾಗಗಳ ವರ್ಗಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆ (ಚಿತ್ರ 99 ನೋಡಿ). ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧವು ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ತ್ರಿಕೋನಗಳ ವರ್ಗಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಲು ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸೆಟ್ನಲ್ಲಿ ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ನಾವು ಈ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ವರ್ಗಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಬಹುದು. ಆದರೆ ನೀವು ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ ಸಹ ಮಾಡಬಹುದು: ಮೊದಲು ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ವರ್ಗಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸಿ, ತದನಂತರ ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿ, ಪ್ರಶ್ನೆಯಲ್ಲಿರುವ ವಿಭಾಗದ ಒಂದೇ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಸೇರಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಎರಡು ಅಂಶಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಕೆಲವು ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಒಂದು ಗುಂಪನ್ನು ವರ್ಗಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುವ ತತ್ವವು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಪ್ರಮುಖ ತತ್ವವಾಗಿದೆ. ಏಕೆ? ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಸಮಾನ - ಇದರರ್ಥ ಸಮಾನ, ಪರಸ್ಪರ ಬದಲಾಯಿಸಬಹುದಾದ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಒಂದೇ ಸಮಾನತೆಯ ವರ್ಗದ ಅಂಶಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಬದಲಾಯಿಸಲ್ಪಡುತ್ತವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಮಾನತೆಯ ವರ್ಗದಲ್ಲಿರುವ (1/2, 2/4, 3/6) ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳು ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧದ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ ಅಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು 3/6 ಭಾಗವನ್ನು ಇನ್ನೊಂದರಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಬಹುದು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ 1 /2. ಮತ್ತು ಈ ಬದಲಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಎರಡನೆಯದಾಗಿ, ಸಮಾನತೆಯ ವರ್ಗದಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ಸಂಬಂಧಗಳ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಲಾಗದ ಅಂಶಗಳಿರುವುದರಿಂದ, ಸಮಾನತೆಯ ವರ್ಗವನ್ನು ಅದರ ಯಾವುದೇ ಪ್ರತಿನಿಧಿಗಳು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತಾರೆ ಎಂದು ನಾವು ನಂಬುತ್ತೇವೆ, ಅಂದರೆ. ಈ ವರ್ಗದ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಅಂಶ. ಹೀಗಾಗಿ, ಈ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಸೇರಿದ ಯಾವುದೇ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುವ ಮೂಲಕ ಸಮಾನ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಯಾವುದೇ ವರ್ಗವನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಬಹುದು. ಒಬ್ಬ ಪ್ರತಿನಿಧಿಯಿಂದ ಸಮಾನತೆಯ ವರ್ಗವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು, ಸೆಟ್ನ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳ ಬದಲಿಗೆ, ಸಮಾನತೆಯ ವರ್ಗಗಳಿಂದ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಪ್ರತಿನಿಧಿಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಗಳ ಗುಂಪಿನ ಮೇಲೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ "ಅದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ಹೊಂದಲು" ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧವು ಈ ಗುಂಪಿನ ವಿಭಾಗವನ್ನು ತ್ರಿಕೋನಗಳು, ಚತುರ್ಭುಜಗಳು, ಪೆಂಟಗನ್ಗಳು, ಇತ್ಯಾದಿಗಳ ವರ್ಗಗಳಾಗಿ ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವರ್ಗದಲ್ಲಿ ಅಂತರ್ಗತವಾಗಿರುವ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಅದರ ಪ್ರತಿನಿಧಿಗಳಲ್ಲಿ ಒಬ್ಬರ ಮೇಲೆ ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮೂರನೇ, ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಒಂದು ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ವರ್ಗಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುವುದು ಹೊಸ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, "ರೇಖೆಗಳ ಬಂಡಲ್" ಎಂಬ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಒಬ್ಬ ವ್ಯಕ್ತಿಯು ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ ಯಾವುದೇ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವರ್ಗದ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ. “ಟೇಬಲ್”, “ಮನೆ”, “ಪುಸ್ತಕ” - ಈ ಎಲ್ಲಾ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು ಒಂದೇ ಉದ್ದೇಶವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಅನೇಕ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವಸ್ತುಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಿದ ವಿಚಾರಗಳಾಗಿವೆ. ಮತ್ತೊಂದು ಪ್ರಮುಖ ರೀತಿಯ ಸಂಬಂಧ ಆದೇಶ ಸಂಬಂಧಗಳು. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. ಒಂದು ಸೆಟ್ X ನಲ್ಲಿನ R ಸಂಬಂಧವು ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ಆಂಟಿಸಿಮ್ಮೆಟ್ರಿ ಮತ್ತು ಟ್ರಾನ್ಸಿಟಿವಿಟಿಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಅದನ್ನು ಆದೇಶ ಸಂಬಂಧ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.
.
ಕ್ರಮ ಸಂಬಂಧಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಸೇರಿವೆ: ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ "ಕಡಿಮೆ" ಸಂಬಂಧ; ವಿಭಾಗಗಳ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ ಸಂಬಂಧವು "ಕಡಿಮೆ" ಆಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಅವುಗಳು ಆಂಟಿಸಿಮ್ಮಟ್ರಿಕ್ ಮತ್ತು ಟ್ರಾನ್ಸಿಟಿವ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ಆದೇಶದ ಸಂಬಂಧವು ಸಂಪರ್ಕದ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಅದನ್ನು ಸಂಬಂಧ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ ರೇಖೀಯ ಕ್ರಮ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿರುವ "ಕಡಿಮೆ" ಸಂಬಂಧವು ರೇಖೀಯ ಕ್ರಮದ ಸಂಬಂಧವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಆಂಟಿಸಿಮ್ಮೆಟ್ರಿ, ಟ್ರಾನ್ಸಿಟಿವಿಟಿ ಮತ್ತು ಸಂಪರ್ಕದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. ಒಂದು ಸೆಟ್ X ಆದೇಶದ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಅದನ್ನು ಆದೇಶ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಹೀಗಾಗಿ, ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸೆಟ್ N ಅನ್ನು ಅದರ ಮೇಲೆ "ಕಡಿಮೆ" ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಸೂಚಿಸುವ ಮೂಲಕ ಆದೇಶಿಸಬಹುದು. ಒಂದು ಸೆಟ್ನಲ್ಲಿ ಆದೇಶ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದರೆ X,ಸಂಪರ್ಕದ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ನಂತರ ನಾವು ಅದನ್ನು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ ಇದು ರೇಖೀಯವಾಗಿ ಆದೇಶಿಸುತ್ತದೆಒಂದು ಗೊಂಚಲು X. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪನ್ನು "ಕಡಿಮೆ" ಸಂಬಂಧ ಮತ್ತು "ಬಹು" ಸಂಬಂಧ ಎರಡನ್ನೂ ಬಳಸಿ ಕ್ರಮಗೊಳಿಸಬಹುದು - ಇವೆರಡೂ ಕ್ರಮ ಸಂಬಂಧಗಳಾಗಿವೆ. ಆದರೆ "ಕಡಿಮೆ" ಸಂಬಂಧ, "ಬಹು" ಸಂಬಂಧಕ್ಕಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿ, ಸಂಪರ್ಕದ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಸಹ ಹೊಂದಿದೆ. ಇದರರ್ಥ "ಕಡಿಮೆ" ಸಂಬಂಧವು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ರೇಖೀಯವಾಗಿ ಆದೇಶಿಸುತ್ತದೆ. ಎಲ್ಲಾ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧಗಳು ಮತ್ತು ಕ್ರಮದ ಸಂಬಂಧಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಒಬ್ಬರು ಭಾವಿಸಬಾರದು. ಸಮಾನ ಸಂಬಂಧಗಳಾಗಲೀ ಅಥವಾ ಕ್ರಮ ಸಂಬಂಧಗಳಲ್ಲದ ಸಂಬಂಧಗಳ ಬೃಹತ್ ಸಂಖ್ಯೆಯಿದೆ. X = ( ) ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ. ಈ ಸಂಬಂಧ: ಪ್ರತಿಫಲಿತವಾಗಿ, ಪ್ರತಿ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯು ಸ್ವತಃ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ; ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿ, ಭಿನ್ನರಾಶಿಯು ಭಿನ್ನರಾಶಿಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬ ಅಂಶದಿಂದ, ಭಿನ್ನರಾಶಿಯು ಭಿನ್ನರಾಶಿಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ; ಟ್ರಾನ್ಸಿಟಿವ್, ಒಂದು ಭಿನ್ನರಾಶಿಯು ಭಿನ್ನರಾಶಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಭಿನ್ನರಾಶಿಯು ಭಿನ್ನರಾಶಿಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬ ಅಂಶದಿಂದ, ಭಿನ್ನರಾಶಿಯು ಭಿನ್ನರಾಶಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಅದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. ಒಂದು ಸೆಟ್ X ನಲ್ಲಿನ R ಸಂಬಂಧವು ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಫಲಿತತೆ, ಸಮ್ಮಿತಿ ಮತ್ತು ಟ್ರಾನ್ಸಿಟಿವಿಟಿ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಅದನ್ನು ಸಮಾನ ಸಂಬಂಧ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ
. ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳೆಂದರೆ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅಂಕಿಗಳ ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧಗಳು, ರೇಖೆಗಳ ಸಮಾನಾಂತರ ಸಂಬಂಧ (ಒದಗಿಸಿದರೆ ಕಾಕತಾಳೀಯ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಸಮಾನಾಂತರವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ). ಈ ರೀತಿಯ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಏಕೆ ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಲಾಗಿದೆ? X = () ಸೆಟ್ನಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ನಾವು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ. (Fig.7). ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಮೂರು ಉಪವಿಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ನೋಡುತ್ತೇವೆ: ಎಲ್ಲಾ X ಸೆಟ್ನಲ್ಲಿ ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಅದು ಈ ಸೆಟ್ನ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ಜೋಡಿಯಾಗಿ ಡಿಜಾಯಿಂಟ್ ಉಪವಿಭಾಗಗಳಾಗಿ (ಸಮಾನ ವರ್ಗಗಳು) ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತದೆ.
ಹೀಗಾಗಿ, ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಗುಂಪಿನ ಮೇಲೆ ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ನಾವು ಸ್ಥಾಪಿಸಿದ್ದೇವೆ X = ( ) ಸಮಾನತೆಯ ವರ್ಗಗಳಾಗಿ ಈ ಸೆಟ್ನ ವಿಭಜನೆಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಪರಸ್ಪರ ಸಮಾನವಾದ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಸಂವಾದವೂ ನಿಜ: ಒಂದು ಸೆಟ್ X ನಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಯಾವುದೇ ಸಂಬಂಧವು ಈ ಗುಂಪಿನ ವಿಭಾಗವನ್ನು ವರ್ಗಗಳಾಗಿ ರಚಿಸಿದರೆ, ಅದು ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧವಾಗಿದೆ.
ಉದಾಹರಣೆಗೆ, X = (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10) ಸೆಟ್ನಲ್ಲಿ "3 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದಾಗ ಅದೇ ಶೇಷವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ" ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಇದು X ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ವರ್ಗಗಳಾಗಿ ವಿಭಾಗಿಸುತ್ತದೆ: ಒಂದು ಎಲ್ಲಾ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು 3 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದಾಗ 0 ಆಗಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ (ಇವುಗಳು 3, 6, 9 ಸಂಖ್ಯೆಗಳು), ಎರಡನೆಯದು 3 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದಾಗ 1 ರ ಶೇಷವನ್ನು ಬಿಡುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ( ಇವು ಸಂಖ್ಯೆಗಳು 1, 4, 7, 10), ಮತ್ತು ಮೂರನೆಯದರಲ್ಲಿ - ಎಲ್ಲಾ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, 3 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದಾಗ ಉಳಿದವು 2 (ಇವುಗಳು 2, 5, 8 ಸಂಖ್ಯೆಗಳು). ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಫಲಿತಾಂಶದ ಉಪವಿಭಾಗಗಳು ಛೇದಿಸುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಒಕ್ಕೂಟವು X ಸೆಟ್ನೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, X ಸೆಟ್ನಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ "3 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದಾಗ ಅದೇ ಶೇಷವನ್ನು ಹೊಂದಲು" ಸಂಬಂಧವು ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧವಾಗಿದೆ. ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧದ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧದ ಬಗ್ಗೆ ಹೇಳಿಕೆ ಮತ್ತು ವರ್ಗಗಳಾಗಿ ಒಂದು ಸೆಟ್ನ ವಿಭಜನೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಪುರಾವೆ ಅಗತ್ಯವಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ನಾವು ಅದನ್ನು ಹಾಕುತ್ತಿದ್ದೇವೆ. ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧವು ಹೆಸರನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಅನುಗುಣವಾದ ಹೆಸರನ್ನು ತರಗತಿಗಳಿಗೆ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೇಳೋಣ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ವಿಭಾಗಗಳ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದರೆ (ಮತ್ತು ಇದು ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧವಾಗಿದೆ), ನಂತರ ವಿಭಾಗಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಸಮಾನ ಭಾಗಗಳ ವರ್ಗಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆ (ಚಿತ್ರ 4 ನೋಡಿ). ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧವು ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ತ್ರಿಕೋನಗಳ ವರ್ಗಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಲು ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸೆಟ್ನಲ್ಲಿ ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ನಾವು ಈ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ವರ್ಗಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಬಹುದು. ಆದರೆ ನೀವು ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ ಸಹ ಮಾಡಬಹುದು: ಮೊದಲು ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ವರ್ಗಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸಿ, ತದನಂತರ ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿ, ಪ್ರಶ್ನೆಯಲ್ಲಿರುವ ವಿಭಾಗದ ಒಂದೇ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಸೇರಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಎರಡು ಅಂಶಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಕೆಲವು ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಒಂದು ಗುಂಪನ್ನು ವರ್ಗಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುವ ತತ್ವವು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಪ್ರಮುಖ ತತ್ವವಾಗಿದೆ. ಏಕೆ? ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಸಮಾನ - ಇದರರ್ಥ ಸಮಾನ, ಪರಸ್ಪರ ಬದಲಾಯಿಸಬಹುದಾದ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಒಂದೇ ಸಮಾನತೆಯ ವರ್ಗದ ಅಂಶಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಬದಲಾಯಿಸಲ್ಪಡುತ್ತವೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಒಂದೇ ಸಮಾನತೆಯ ವರ್ಗದಲ್ಲಿ ತಮ್ಮನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುವ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳಿಂದ ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧದ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ, ಮತ್ತು ಭಾಗವನ್ನು ಇನ್ನೊಂದರಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಬಹುದು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಮತ್ತು ಈ ಬದಲಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಎರಡನೆಯದಾಗಿ, ಸಮಾನತೆಯ ವರ್ಗದಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ಸಂಬಂಧಗಳ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಲಾಗದ ಅಂಶಗಳಿರುವುದರಿಂದ, ಸಮಾನತೆಯ ವರ್ಗವನ್ನು ಅದರ ಯಾವುದೇ ಪ್ರತಿನಿಧಿಗಳು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತಾರೆ ಎಂದು ನಾವು ನಂಬುತ್ತೇವೆ, ಅಂದರೆ. ಈ ವರ್ಗದ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಅಂಶ. ಹೀಗಾಗಿ, ಈ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಸೇರಿದ ಯಾವುದೇ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುವ ಮೂಲಕ ಸಮಾನ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಯಾವುದೇ ವರ್ಗವನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಬಹುದು. ಒಬ್ಬ ಪ್ರತಿನಿಧಿಯಿಂದ ಸಮಾನತೆಯ ವರ್ಗವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು, ಸೆಟ್ನ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳ ಬದಲಿಗೆ, ಸಮಾನತೆಯ ವರ್ಗಗಳಿಂದ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಪ್ರತಿನಿಧಿಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಗಳ ಗುಂಪಿನ ಮೇಲೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ "ಅದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ಹೊಂದಲು" ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧವು ಈ ಗುಂಪಿನ ವಿಭಾಗವನ್ನು ತ್ರಿಕೋನಗಳು, ಚತುರ್ಭುಜಗಳು, ಪೆಂಟಗನ್ಗಳು, ಇತ್ಯಾದಿಗಳ ವರ್ಗಗಳಾಗಿ ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವರ್ಗದಲ್ಲಿ ಅಂತರ್ಗತವಾಗಿರುವ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಅದರ ಪ್ರತಿನಿಧಿಗಳಲ್ಲಿ ಒಬ್ಬರ ಮೇಲೆ ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮೂರನೇ, ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಒಂದು ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ವರ್ಗಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುವುದು ಹೊಸ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, "ರೇಖೆಗಳ ಬಂಡಲ್" ಎಂಬ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಒಬ್ಬ ವ್ಯಕ್ತಿಯು ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ ಯಾವುದೇ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವರ್ಗದ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ. “ಟೇಬಲ್”, “ಮನೆ”, “ಪುಸ್ತಕ” - ಈ ಎಲ್ಲಾ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು ಒಂದೇ ಉದ್ದೇಶವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಅನೇಕ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವಸ್ತುಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಿದ ವಿಚಾರಗಳಾಗಿವೆ. ಮತ್ತೊಂದು ಪ್ರಮುಖ ರೀತಿಯ ಸಂಬಂಧವೆಂದರೆ ಆದೇಶ ಸಂಬಂಧ. ಇದನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. ಒಂದು ಸೆಟ್ X ನಲ್ಲಿನ R ಸಂಬಂಧವು ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ಆಂಟಿಸಿಮ್ಮೆಟ್ರಿ ಮತ್ತು ಟ್ರಾನ್ಸಿಟಿವಿಟಿಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಅದನ್ನು ಆದೇಶ ಸಂಬಂಧ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಕ್ರಮ ಸಂಬಂಧಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಸೇರಿವೆ: ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ "ಕಡಿಮೆ" ಸಂಬಂಧಗಳು; ಸಂಬಂಧ ವಿಭಾಗಗಳ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ "ಕಡಿಮೆ", ಏಕೆಂದರೆ ಅವು ಆಂಟಿಸಿಮೆಟ್ರಿಕ್ ಮತ್ತು ಟ್ರಾನ್ಸಿಟಿವ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ಆದೇಶದ ಸಂಬಂಧವು ಸಂಪರ್ಕದ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಅದನ್ನು ರೇಖೀಯ ಕ್ರಮ ಸಂಬಂಧ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿರುವ "ಕಡಿಮೆ" ಸಂಬಂಧವು ರೇಖೀಯ ಕ್ರಮದ ಸಂಬಂಧವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಆಂಟಿಸಿಮ್ಮೆಟ್ರಿ, ಟ್ರಾನ್ಸಿಟಿವಿಟಿ ಮತ್ತು ಸಂಪರ್ಕದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. ಒಂದು ಸೆಟ್ X ಆದೇಶದ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಅದನ್ನು ಆದೇಶ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಹೀಗಾಗಿ, ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸೆಟ್ N ಅನ್ನು ಅದರ ಮೇಲೆ "ಕಡಿಮೆ" ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಸೂಚಿಸುವ ಮೂಲಕ ಆದೇಶಿಸಬಹುದು. X ಸೆಟ್ನಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಆದೇಶ ಸಂಬಂಧವು ಸಂಪರ್ಕದ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಅದು X ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ರೇಖೀಯವಾಗಿ ಆದೇಶಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪನ್ನು "ಕಡಿಮೆ" ಸಂಬಂಧ ಮತ್ತು "ಬಹು" ಸಂಬಂಧ ಎರಡನ್ನೂ ಬಳಸಿ ಕ್ರಮಗೊಳಿಸಬಹುದು - ಇವೆರಡೂ ಕ್ರಮ ಸಂಬಂಧಗಳಾಗಿವೆ. ಆದರೆ "ಕಡಿಮೆ" ಸಂಬಂಧ, "ಬಹು" ಸಂಬಂಧಕ್ಕಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿ, ಸಂಪರ್ಕದ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಸಹ ಹೊಂದಿದೆ. ಇದರರ್ಥ "ಕಡಿಮೆ" ಸಂಬಂಧವು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ರೇಖೀಯವಾಗಿ ಆದೇಶಿಸುತ್ತದೆ. ಎಲ್ಲಾ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧಗಳು ಮತ್ತು ಕ್ರಮದ ಸಂಬಂಧಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಒಬ್ಬರು ಭಾವಿಸಬಾರದು. ಸಮಾನ ಸಂಬಂಧಗಳಾಗಲೀ ಅಥವಾ ಕ್ರಮ ಸಂಬಂಧಗಳಲ್ಲದ ಸಂಬಂಧಗಳ ಬೃಹತ್ ಸಂಖ್ಯೆಯಿದೆ.
. ಅದು 
.
ಈ ಉಪವಿಭಾಗಗಳು ಛೇದಿಸುವುದಿಲ್ಲ, ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಒಕ್ಕೂಟವು X ಸೆಟ್ನೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ನಾವು X ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ವರ್ಗಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಿದ್ದೇವೆ. ಇದು ಆಕಸ್ಮಿಕವಲ್ಲ.