Какие числа называют целыми. Наибольшее общее кратное и наименьший общий делитель. Признаки делимости и методы группировки (2019)

Важные замечания!
1. Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь:
2. Прежде чем на начнешь читать статью, обрати внимание на наш навигатор по самым полезным ресурса для

Чтобы НАМНОГО упростить себе жизнь когда надо что-то вычислить, чтобы выиграть драгоценное время на ОГЭ или ЕГЭ, чтобы сделать меньше глупых ошибок - читай этот раздел!

Вот чему ты научишься:

как быстрее, легче и точнее считать, используя группировку чисел при сложении и вычитании,
как без ошибок, быстро умножать и делить, используя правила умножения и признаки делимости ,
как значительно ускорить расчеты с помощью наименьшего общего кратного (НОК) и наибольшего общего делителя (НОД).

Владение приемами этого раздела может перевесить чашу весов в ту или иную сторону...поступишь ты в ВУЗ мечты или нет, придется тебе или твоим родителям платить огромные деньги за обучение или ты поступишь на бюджет.

Let"s dive right in... (Поехали!)

P.S. ПОСЛЕДНИЙ ЦЕННЫЙ СОВЕТ...

Множество целых чисел состоит из 3 частей:

натуральные числа (рассмотрим их подробнее чуть ниже);
числа, противоположные натуральным (все станет на свои места, как только ты узнаешь, что такое натуральные числа);
ноль - " " (куда уж без него?)

буквой Z.

Натуральные числа

«Бог создал натуральные числа, всё остальное - дело рук человеческих» (c) Немецкий математик Кронекер.

Натуральные числа - это числа, которые мы употребляем для счета предметов и именно на этом основывается их история возникновения - необходимости считать стрелы, шкуры и т.д.

1, 2, 3, 4... n

буквой N.

Соответственно, в это определение не входит (не можешь же ты посчитать то, чего нет?) и тем более не входят отрицательные значения (разве бывает яблоко?).

Кроме этого, не входят и все дробные числа (мы также не можем сказать « у меня есть ноутбука», или «я продал машины»)

Любое натуральное число можно записать с помощью 10 цифр:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Таким образом, 14 - это не цифра. Это число. Из каких цифр оно состоит? Правильно, из цифр и.

Сложение. Группировка при сложении чтобы быстрей считать и меньше ошибаться

Что интересного ты можешь сказать про эту процедуру? Конечно, ты сейчас ответишь «от перестановки слагаемых значение суммы не меняется». Казалось бы, примитивное, знакомое с первого класса правило, однако, при решении больших примеров оно моментально забывается!

Не забывай про него - используй группировку , чтобы облегчить себе процесс подсчета и снизить вероятность ошибок, ведь на ЕГЭ калькулятора у тебя не будет.

Смотри сам, какое выражение легче сложить?

4 + 5 + 3 + 6
4 + 6 + 5 + 3

Конечно же второе! Хотя результат один и тот же. Но! считая вторым способом у тебя меньше шансов ошибиться и ты все сделаешь быстрее!

Итак, ты в уме считаешь вот так:

4 + 5 + 3 + 6 = 4 + 6 + 5 + 3 = 10 + 5 + 3 = 18

Вычитание. Группировка при вычитании, чтобы быстрее считать и меньше ошибаться

При вычитании мы также можем группировать вычитаемые числа, например:

32 - 5 - 2 - 6 = (32 - 2) - 5 - 6 = 30 - 5 - 6 = 19

А что, если вычитание чередуется в примере со сложением? Так же можно группировать, ответишь ты, и это правильно. Только прошу, не забывай о знаках перед числами, например: 32 - 5 - 2 - 6 = (32 - 2) - (6 + 5) = 30 - 11 = 19

Помни: неправильно проставленные знаки приведут к ошибочному результату.

Умножение. Как умножать в уме

Очевидно, что от перемены мест множителей значение произведения также не изменится:

2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ 5 = (2 ⋅ 5 ) ⋅ (4 ⋅ 6 ) = 1 0 ⋅ 2 4 = 2 4 0

Я не буду говорить тебе «используй это при решении примеров» (ты и сам понял намек, правда?), а лучше расскажу, как быстро умножать некоторые числа в уме. Итак, внимательно смотри таблицу:

И еще немного об умножении. Конечно, ты помнишь два особых случая … Догадываешься о чем я? Вот об этом:

Ах да, еще рассмотрим признаки делимости . Всего существует 7 правил по признакам делимости, из которых первые 3 ты точно уже знаешь!

А вот остальные совсем не сложно запомнить.

7 признаков делимости чисел, которые помогут тебе быстро считать в уме!

Первые три правила ты, конечно же, знаешь.
Четвертое и пятое легко запомнить - при делении на и мы смотрим, делится ли на это сумма цифр, составляющих число.
При делении на мы обращаем внимание на две последние цифры числа - делится ли число, которое они составляют на?
При делении на число должно одновременно делиться на и на. Вот и вся премудрость.

Ты сейчас думаешь - «зачем мне все это»?

Во-первых, ЕГЭ проходит без калькулятора и данные правила помогут тебе сориентироваться в примерах.

А во-вторых, ты же слышал задачи про НОД и НОК ? Знакомая аббревиатура? Начнем вспоминать и разбираться.

Наибольший общий делитель (НОД) - нужен для сокращения дробей и быстрых вычислений

Допустим, у тебя есть два числа: и. На какое наибольшее число делятся оба этих числа? Ты, не задумываясь, ответишь, потому что знаешь, что:

12 = 4 * 3 = 2 * 2 * 3

8 = 4 * 2 = 2 * 2 * 2

Какие цифры в разложении общие? Правильно, 2 * 2 = 4. Вот и твой ответ был. Держа в голове этот простой пример, ты не забудешь алгоритм, как находить НОД . Попробуй «выстроить» его у себя в голове. Получилось?

Чтобы найти НОД необходимо:

Разложить числа на простые множители (на такие числа, которые нельзя разделить ни на что больше, кроме самого себя или на, например, 3, 7, 11, 13 и т.д.).
Перемножить их.

Понимаешь, зачем нам нужны были признаки делимости? Чтобы ты посмотрел на число и мог начать делить без остатка.

Для примера найдем НОД чисел 290 и 485

Первое число - .

Глядя на него, ты сразу можешь сказать, что оно делится на, запишем:

больше разделить ни на что нельзя, а вот можно - и, получаем:

290 = 29 * 5 * 2

Возьмем еще одно число - 485.

По признакам делимости оно должно без остатка делиться на, так как на заканчивается. Делим:

Проанализируем изначальное число.

На оно делиться не может (последняя цифра - нечетная),
- не делится на, значит число тоже не делится на,
на и на также не делится (сумма цифр, входящих в число, не делится на и на)
на тоже не делится, так как не делится на и,
на тоже не делится, так как не делится на и.
нельзя разделить на нацело,

Значит, число можно разложить только на и.

А теперь найдем НОД этих чисел (и). Какое это число? Правильно, .

Потренируемся?

Задача №1. Найти НОД чисел 6240 и 6800

1) Делю сразу на, так как оба числа 100% делятся на:

Задача №2. Найти НОД чисел 345 и 324

Здесь не могу быстро найти хоть один общий делитель, так что просто раскладываю на простые множители (как можно меньше):

Наименьшее общее кратное (НОК) - экономит время, помогает решить задачи нестандартно

Допустим, у тебя есть два числа - и. Какое существует самое маленькое число, которое делится и без остатка (то есть нацело)? Сложно представить? Вот тебе визуальная подсказка:

Ты же помнишь, что обозначается буквой? Правильно, как раз целые числа. Так какое наименьшее число подходит на место х? :

В данном случае.

Из этого простого примера вытекает несколько правил.

Правила быстрого нахождения НОК

Правило 1. Если одно из двух натуральных чисел делится на другое число, то большее из этих двух чисел является их наименьшим общим кратным.

Найди у следующих чисел:

НОК (7;21)
НОК (6;12)
НОК (5;15)
НОК (3;33)

Конечно, ты без труда справился с этой задачей и у тебя получились ответы - , и.

Заметь, в правиле мы говорим о ДВУХ числах, если чисел будет больше, то правило не работает.

Например, НОК (7;14;21) не равно 21, так как не делится без остатка на.

Правило 2. Если два (или более двух) числа являются взаимно простыми, то наименьшее общее кратное равно их произведению.

Найди НОК у следующих чисел:

НОК (1;3;7)
НОК (3;7;11)
НОК (2;3;7)
НОК (3;5;2)

Посчитал? Вот ответы - , ; .

Как ты понимаешь, не всегда можно так легко взять и подобрать этот самый х, поэтому для чуть более сложных чисел существует следующий алгоритм:

Потренируемся?

Найдем наименьшее общее кратное - НОК (345; 234)

Найди наименьшее общее кратное (НОК) самостоятельно

Какие ответы у тебя получились?

Вот, что вышло у меня:

Сколько времени ты потратил на нахождение НОК ? Мое время - 2 минуты, правда я знаю одну хитрость , которую предлагаю тебе открыть прямо сейчас!

Если ты очень внимателен, то ты наверное заметил, что по заданным числам мы уже искали НОД и разложение на множители этих чисел ты мог взять из того примера, тем самым упростив себе задачу, но это далеко не все.

Посмотри на картинку, возможно к тебе придут еще какие-нибудь мысли:

Ну что? Сделаю подсказку: попробуй перемножить НОК и НОД между собой и запиши все множители, которые будут при перемножении. Справился? У тебя должна получиться вот такая цепочка:

Присмотрись к ней повнимательней: сравни множители с тем, как раскладываются и.

Какой вывод ты можешь сделать из этого? Правильно! Если мы перемножим значения НОК и НОД между собой, то мы получим произведение этих чисел.

Соответственно, имея числа и значение НОД (или НОК ), мы можем найти НОК (или НОД ) по такой схеме:

1. Находим произведение чисел:

2. Делим получившееся произведение на наш НОД (6240; 6800) = 80:

Вот и все.

Запишем правило в общем виде:

Попробуй найти НОД , если известно, что:

Справился? .

Отрицательные числа - «лжечисла» и их признание человечеством.

Как ты уже понял, это числа, противоположные натуральным, то есть:

Отрицательные числа можно складывать, вычитать, умножать и делить - все как в натуральных. Казалось бы, что в них такого особенного? А дело в том, что отрицательные числа «отвоевывали» себе законное место в математике аж до XIX века (до этого момента было огромное количество споров, существуют они или нет).

Само отрицательное число возникло из-за такой операции с натуральными числами, как «вычитание». Действительно, из вычесть - вот и получается отрицательное число. Именно поэтому, множество отрицательных чисел часто называют «расширением множества натуральных чисел ».

Отрицательные числа долго не признавались людьми. Так, Древний Египет, Вавилон и Древняя Греция - светочи своего времени, не признавали отрицательных чисел, а в случае получения отрицательных корней в уравнении (например, как у нас), корни отвергались как невозможные.

Впервые отрицательные числа получили свое право на существование в Китае, а затем в VII веке в Индии. Как ты думаешь, с чем связано это признание? Правильно, отрицательными числами стали обозначать долги (иначе - недостачу). Считалось, что отрицательные числа - это временное значение, которое в результате изменится на положительное (то есть, деньги кредитору все же вернут). Однако, индийский математик Брахмагупта уже тогда рассматривал отрицательные числа наравне с положительными.

В Европе к полезности отрицательных чисел, а также к тому, что они могут обозначать долги, пришли значительно позже, эдак, на тысячелетие. Первое упоминание замечено в 1202 году в «Книге абака» Леонарда Пизанского (сразу говорю - к Пизанской башне автор книги отношения никакого не имеет, а вот числа Фибоначчи - это его рук дело (прозвище Леонардо Пизанского - Фибоначчи)). Далее европейцы пришли к тому, что отрицательные числа могут обозначать не только долги, но и нехватку чего бы то ни было, правда, признавали это не все.

Так, в XVII веке Паскаль считал что. Как думаешь, чем он это обосновывал? Верно, «ничто не может быть меньше НИЧЕГО». Отголоском тех времен остается тот факт, что отрицательное число и операция вычитания обозначается одним и тем же символом - минусом «-». И правда: . Число « » положительное, которое вычитается из, или отрицательное, которое суммируется к?... Что-то из серии «что первое: курица или яйцо?» Вот такая вот, своеобразная эта математическая философия.

Отрицательные числа закрепили свое право на существование с появлением аналитической геометрии, иначе говоря, когда математики ввели такое понятие как числовая ось.

Именно с этого момента наступило равноправие. Однако все равно вопросов было больше чем ответов, например:

пропорция

Данная пропорция носит название «парадокс Арно». Подумай, что в ней сомнительного?

Давай рассуждать вместе « » больше, чем « » верно? Таким образом, согласно логике, левая часть пропорции должна быть больше, чем правая, но они равны… Вот он и парадокс.

В итоге, математики договорились до того, что Карл Гаусс (да, да, это тот самый, который считал сумму (или) чисел) в 1831 году поставил точку - он сказал, что отрицательные числа имеют те же права, что и положительные, а то, что они применимы не ко всем вещам, ничего не означает, так как дроби так же не применимы ко многим вещам (не бывает так, что яму роют землекопа, нельзя купить билета в кино и т.д.).

Успокоились математики только в XIX веке, когда Уильямом Гамильтоном и Германом Грассманом была создана теория отрицательных чисел.

Вот такие они спорные, эти отрицательные числа.

Возникновение «пустоты», или биография нуля.

В математике - особенное число. С первого взгляда, это ничто: прибавить, отнять - ничего не изменится, но стоит только приписать его справа к « », и полученное число будет в раз больше изначального. Умножением на ноль мы все превращаем в ничто, а разделить на «ничто», то есть, мы не можем. Одним словом, волшебное число)

История нуля длинная и запутанная. След нуля найден в сочинениях китайцев во 2 тыс. н.э. и ещё раньше у майя. Первое использование символа нуля, каковым он является в наши дни, было замечено у греческих астрономов.

Существует множество версий, почему было выбрано именно такое обозначение «ничего». Некоторые историки склоняются к тому, что это омикрон, т.е. первая буква греческого слова ничто - ouden. Согласно другой версии, жизнь символу ноля дало слово «обол» (монета, почти не имеющая ценности).

Ноль (или нуль) как математический символ впервые появляется у индийцев (заметь, там же стали «развиваться» отрицательные числа). Первые достоверные свидетельства о записи нуля относятся к 876 г., и в них « » - составляющая числа.

В Европу ноль также пришел с запозданием - лишь в 1600г., и также как и отрицательные числа, сталкивался с сопротивлением (что поделаешь, такие они, европейцы).

«Нуль часто ненавидели, издавна боялись, а то и запрещали» — пишет американский математик Чарльз Сейф. Так, турецкий султан Абдул-Хамид II в конце XIXв. приказал своим цензорам вычеркнуть из всех учебников химии формулу воды H2O, принимая букву «О» за нуль и не желая, чтобы его инициалы порочились соседством с презренным нулём».

На просторах интернета можно встретить фразу: «Ноль - самая могущественная сила во Вселенной, он может всё! Ноль создаёт порядок в математике, и он же вносит в неё хаос». Абсолютно верно подмечено:)

Краткое изложение раздела и основные формулы

Множество целых чисел состоит из 3 частей:

натуральные числа (рассмотрим их подробнее чуть ниже);
числа, противоположные натуральным;
ноль - " "

Множество целых чисел обозначается буквой Z.

1. Натуральные числа

Натуральные числа - это числа, которые мы употребляем для счета предметов.

Множество натуральных чисел обозначается буквой N.

В операциях с целыми числами понадобится умение находить НОД и НОК.

Наибольший общий делитель (НОД)

Чтобы найти НОД необходимо:

Разложить числа на простые множители (на такие числа, которые нельзя разделить ни на что больше, кроме самого себя или на, например, и т.д.).
Выписать множители, которые входят в состав обоих чисел.
Перемножить их.

Наименьшее общее кратное (НОК)

Чтобы найти НОК необходимо:

Разложить числа на простые множители (это ты уже отлично умеешь делать).
Выписать множители входящие в разложение одного из чисел (лучше брать самую длинную цепочку).
Добавить к ним недостающие множители из разложений остальных чисел.
Найти произведение получившихся множителей.

2. Отрицательные числа

это числа, противоположные натуральным, то есть:

Теперь я хочу слышать тебя...

Надюсь ты оценил супер-полезные "трюки" этого раздела и понял как они помогут тебе на экзамене.

И что более важно - в жизни. Я об этом не говорю, но, поверь, этот так. Умение быстро и без ошибок считать спасает во многих жизненных ситуациях.

Теперь твой ход!

Напиши, будешь ли ты применять методы группировки, признаки делимости, НОД и НОК в расчетах?

Может быть ты применял их ранее? Где и как?

Возможно у тебя есть вопросы. Или предложения.

Напиши в комментариях как тебе статья.

И удачи на экзаменах!

Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит ты очень крут.

Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, значит ты попал в эти 5%!

Теперь самое главное.

Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем абсолютное большинство твоих сверстников.

Проблема в том, что этого может не хватить…

Для чего?

Для успешной сдачи ЕГЭ, для поступления в институт на бюджет и, САМОЕ ГЛАВНОЕ, для жизни.

Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь…

Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил. Это статистика.

Но и это - не главное.

Главное то, что они БОЛЕЕ СЧАСТЛИВЫ (есть такие исследования). Возможно потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю...

Но, думай сам...

Что нужно, чтобы быть наверняка лучше других на ЕГЭ и быть в конечном итоге… более счастливым?

НАБИТЬ РУКУ, РЕШАЯ ЗАДАЧИ ПО ЭТОЙ ТЕМЕ.

На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию.

Тебе нужно будет решать задачи на время .

И, если ты не решал их (МНОГО!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь.

Это как в спорте - нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка.

Найди где хочешь сборник, обязательно с решениями, подробным разбором и решай, решай, решай!

Можно воспользоваться нашими задачами (не обязательно) и мы их, конечно, рекомендуем.

Для того, чтобы набить руку с помощью наших задач нужно помочь продлить жизнь учебнику YouClever, который ты сейчас читаешь.

Как? Есть два варианта:

Открой доступ ко всем скрытым задачам в этой статье -
Открой доступ ко всем скрытым задачам во всех 99-ти статьях учебника - Купить учебник - 499 руб

Да, у нас в учебнике 99 таких статей и доступ для всех задач и всех скрытых текстов в них можно открыть сразу.

Доступ ко всем скрытым задачам предоставляется на ВСЕ время существования сайта.

И в заключение...

Если наши задачи тебе не нравятся, найди другие. Только не останавливайся на теории.

“Понял” и “Умею решать” - это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба.

Найди задачи и решай!

К целым числам относятся натуральные числа, ноль, а также числа, противоположные натуральным.

Натуральные числа — это положительные целые числа.

К примеру: 1, 3, 7, 19, 23 и т.д. Такие числа мы используем для подсчета (на столе лежит 5 яблок, у машины 4 колеса и др.)

Латинской буквой \mathbb{N} — обозначается множество натуральных чисел .

К натуральным числам нельзя отнести отрицательные (у стула не может быть отрицательное количество ножек) и дробные числа (Иван не мог продать 3,5 велосипеда).

Числами, противоположными натуральным, являются отрицательные целые числа: −8, −148, −981, … .

Арифметические действия с целыми числами

Что можно делать с целыми числами? Их можно перемножать, складывать и вычитать друг из друга. Разберем каждую операцию на конкретном примере.

Сложение целых чисел

Два целых числа с одинаковыми знаками складываются следующим образом: производится сложение модулей этих чисел и перед полученной суммой ставится итоговый знак:

(+11) + (+9) = +20

Вычитание целых чисел

Два целых числа с разными знаками складываются следующим образом: из модуля большего числа вычитается модуль меньшего и перед полученным ответом ставят знак большего по модулю числа:

(-7) + (+8) = +1

Умножение целых чисел

Чтобы умножить одно целое число на другое нужно выполнить перемножение модулей этих чисел и поставить перед полученным ответом знак «+ », если исходные числа были с одинаковыми знаками, и знак «− », если исходные числа были с разными знаками:

(-5) \cdot (+3) = -15

(-3) \cdot (-4) = +12

Следует запомнить следующее правило перемножения целых чисел :

+ \cdot + = +

+ \cdot - = -

- \cdot + = -

- \cdot - = +

Существует правило перемножения нескольких целых чисел. Запомним его:

Знак произведения будет «+ », если количество множителей с отрицательным знаком четное и «− », если количество множителей с отрицательным знаком нечетное.

(-5) \cdot (-4) \cdot (+1) \cdot (+6) \cdot (+1) = +120

Деление целых чисел

Деление двух целых чисел производится следующим образом: модуль одного числа делят на модуль другого и если знаки чисел одинаковые, то перед полученным частным ставят знак «+ », а если знаки исходных чисел разные, то ставится знак «− ».

(-25) : (+5) = -5

Свойства сложения и умножения целых чисел

Разберем основные свойства сложения и умножения для любых целых чисел a , b и c :

a + b = b + a - переместительное свойство сложения;
(a + b) + c = a + (b + c) - сочетательное свойство сложения;
a \cdot b = b \cdot a - переместительное свойство умножения;
(a \cdot c) \cdot b = a \cdot (b \cdot c) - сочетательное свойства умножения;
a \cdot (b \cdot c) = a \cdot b + a \cdot c - распределительное свойство умножения.

Существуют множество разновидностей чисел, одни из них – это целые числа. Целые числа появились для того, чтобы облегчить счет не только в положительную сторону, но и в отрицательную.

Рассмотрим пример:
Днем на улице была температура 3 градуса. К вечеру температура снизилась на 3 градуса.
3-3=0
На улице стало 0 градусов. А ночью температура снизилась на 4 градуса и стало показывать на термометре -4 градуса.
0-4=-4

Ряд целых чисел.

Натуральными числами мы такую задачу описать мы не сможем, рассмотрим эту задачу на координатной прямой.

У нас получился ряд чисел:
…, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …

Этот ряд чисел называется рядом целых чисел .

Целые положительные числа. Целые отрицательные числа.

Ряд целых чисел состоит из положительных и отрицательных чисел. Справа от нуля идут натуральные числа или их еще называют целыми положительными числами . А слева от нуля идут целые отрицательные числа.

Нуль не является ни положительным ни отрицательным числом. Он является границей между положительными и отрицательными числами.

– это множество чисел, состоящие из натуральных чисел, целых отрицательных чисел и нуля.

Ряд целых чисел в положительную и в отрицательную сторону является бесконечным множеством.

Если мы возьмём два любых целых числа, то числа, стоящие между этими целыми числами, будут называться конечным множеством.

Например:
Возьмем целые числа от -2 до 4. Все числа, стоящие между этими числами, входят в конечное множество. Наше конечное множество чисел выглядит так:
-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4.

Натуральные числа обозначаются латинской буквой N.
Целые числа обозначаются латинской буквой Z. Все множество натуральных чисел и целых чисел можно изобразить на рисунке.

Неположительные целые числа другими словами – это отрицательные целые числа.
Неотрицательные целые числа – это положительные целые числа.

Множество — это набор каких-либо объектов, которые называются элементами этого множества.

Например: множество школьников, множество машин, множество чисел .

В математике множество рассматривается намного шире. Мы не будем сильно углубляться в эту тему, поскольку она относится к высшей математике и на первых порах может создавать трудности для обучения. Мы рассмотрим только ту часть темы, с которой уже имели дело.

Содержание урока

Обозначения

Множество чаще всего обозначают заглавными буквами латинского алфавита, а его элементы - строчными. При этом элементы заключаются в фигурные скобки.

Например, если наших друзей зовут Том, Джон и Лео , то мы можем задать множество друзей, элементами которого будут Том, Джон и Лео.

Обозначим множество наших друзей через заглавную латинскую букву F (friends ), затем поставим знак равенства и в фигурных скобках перечислим наших друзей:

F = { Том, Джон, Лео }

Пример 2 . Запишем множество делителей числа 6.

Обозначим через любую заглавную латинскую букву данное множество, например, через букву D

затем поставим знак равенства и в фигурных скобках перечислим элементы данного множества, то есть перечислим делители числа 6

D = { 1, 2, 3, 6 }

Если какой-то элемент принадлежит заданному множеству, то эта принадлежность указывается с помощью знака принадлежности ∈ . К примеру, делитель 2 принадлежит множеству делителей числа 6 (множеству D ). Записывается это так:

Читается как: «2 принадлежит множеству делителей числа 6»

Если какой-то элемент не принадлежит заданному множеству, то эта не принадлежность указывается с помощью зачёркнутого знака принадлежности ∉. К примеру, делитель 5 не принадлежит множеству D . Записывается это так:

Читается как: «5 не принадлежит множеству делителей числа 6″

Кроме того, множество можно записывать прямым перечислением элементов, без заглавных букв. Это может быть удобным, если множество состоит из небольшого количества элементов. Например, зададим множество из одного элемента. Пусть этим элементом будет наш друг Том :

{ Том }

Зададим множество, которое состоит из одного числа 2

{ 2 }

Зададим множество, которое состоит из двух чисел: 2 и 5

{ 2, 5 }

Множество натуральных чисел

Это первое множество с которым мы начали работать. Натуральными числами называют числа 1, 2, 3 и т.д.

Натуральные числа появились из-за потребности людей сосчитать те иные объекты. Например, посчитать количество кур, коров, лошадей. Натуральные числа возникают естественным образом при счёте.

В прошлых уроках, когда мы употребляли слово «число» , чаще всего подразумевалось именно натуральное число.

В математике множество натуральных чисел обозначается заглавной латинской буквой N .

Например, укажем, что число 1 принадлежит множеству натуральных чисел. Для этого записываем число 1, затем с помощью знака принадлежности ∈ указываем, что единица принадлежит множеству N

1 ∈ N

Читается как: «единица принадлежит множеству натуральных чисел»

Множество целых чисел

Множество целых чисел включает в себя все положительные и , а также число 0.

Множество целых чисел обозначается заглавной латинской буквой Z .

Укажем, к примеру, что число −5 принадлежит множеству целых чисел:

−5 ∈ Z

Укажем, что 10 принадлежит множеству целых чисел:

10 ∈ Z

Укажем, что 0 принадлежит множеству целых чисел:

В будущем все положительные и отрицательные числа мы будем называть одним словосочетанием — целые числа .

Множество рациональных чисел

Рациональные числа, это те самые обыкновенные дроби, которые мы изучаем по сей день.

Рациональное число — это число, которое может быть представлено в виде дроби , где a — числитель дроби, b — знаменатель.

В роли числителя и знаменателя могут быть любые числа, в том числе и целые (за исключением нуля, поскольку на нуль делить нельзя).

Например, представим, что вместо a стоит число 10, а вместо b — число 2

10 разделить на 2 равно 5. Видим, что число 5 может быть представлено в виде дроби , а значит число 5 входит во множество рациональных чисел.

Легко заметить, что число 5 также относится и ко множеству целых чисел. Стало быть множество целых чисел входит во множество рациональных чисел. А значит, во множество рациональных чисел входят не только обыкновенные дроби, но и целые числа вида −2, −1, 0, 1, 2.

Теперь представим, что вместо a стоит число 12, а вместо b — число 5.

12 разделить на 5 равно 2,4. Видим, что десятичная дробь 2,4 может быть представлена в виде дроби , а значит она входит во множество рациональных чисел. Отсюда делаем вывод, что во множество рациональных чисел входят не только обыкновенные дроби и целые числа, но и десятичные дроби.

Мы вычислили дробь и получили ответ 2,4. Но мы могли бы выделить в этой дроби целую часть:

При выделении целой части в дроби , получается смешанное число . Видим, что смешанное число тоже может быть представлено в виде дроби . Значит во множество рациональных чисел входят и смешанные числа.

В итоге мы приходим к выводу, что множество рациональных чисел содержат в себе:

целые числа
обыкновенные дроби
десятичные дроби
смешанные числа

Множество рациональных чисел обозначается заглавной латинской буквой Q .

Например укажем, что дробь принадлежит множеству рациональных чисел. Для этого записываем саму дробь , затем с помощью знака принадлежности ∈ указываем, что дробь принадлежит множеству рациональных чисел:

∈ Q

Укажем, что десятичная дробь 4,5 принадлежит множеству рациональных чисел:

4,5 ∈ Q

Укажем, что смешанное число принадлежит множеству рациональных чисел:

∈ Q

Вводный урок по множествам завершён. В будущем мы рассмотрим множества намного лучше, а пока рассмотренного в данном уроке будет достаточно.

Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

В данной статье определим множество целых чисел, рассмотрим, какие целые называются положительными, а какие отрицательными. Также покажем, как целые числа используются для описания изменения некоторых величин. Начнем с определения и примеров целых чисел.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Целые числа. Определение, примеры

Вначале вспомним про натуральные числа ℕ . Само название говорит о том, что это такие числа, которые естественно использовались для счета с незапамятных времен. Для того, чтобы охватить понятие целых чисел, нам нужно расширить определение натуральных чисел.

Определение 1. Целые числа

Целые числа - это натуральные числа, числа, противоположные им, и число нуль.

Множество целых чисел обозначается буквой ℤ .

Множество натуральных чисел ℕ - подмножество целых чисел ℤ . Любое натуральное число является целым, но не любое целое число является натуральным.

Из определения следует, что целым является любое из чисел 1 , 2 , 3 . . , число 0 , а также числа - 1 , - 2 , - 3 , . .

В соответствии с этим, приведем примеры. Числа 39 , - 589 , 10000000 , - 1596 , 0 являются целыми числами.

Пусть координатная прямая проведена горизонтально и направлена вправо. Взглянем на нее, чтобы наглядно представить расположение целых чисел на прямой.

Началу отсчета на координатной прямой соответствует число 0 , а точкам, лежащим по обе стороны от нуля соответствуют положительные и отрицательные целые числа. Каждой точке соответствует единственное целое число.

В любую точку прямой, координатой которой является целое число, можно попасть, отложив от начала координат некоторое количество единичных отрезков.

Положительные и отрицательные целые числа

Из всех целых чисел логично выделить положительные и отрицательные целые числа. Дадим их определения.

Определение 2. Положительные целые числа

Положительные целые числа - это целые числа со знаком "плюс".

Например, число 7 - целое число со знаком плюс, то есть положительное целое число. На координатной прямой это число лежит справа от точки отсчета, за которую принято число 0 . Другие примеры положительных целых чисел: 12 , 502 , 42 , 33 , 100500 .

Определение 3. Отрицательные целые числа

Отрицательные целые числа - это целые числа со знаком "минус".

Примеры целых отрицательных чисел: - 528 , - 2568 , - 1 .

Число 0 разделяет положительные и отрицательные целые числа и само не является ни положительным, ни отрицательным.

Любое число, противоположное положительному целому числу, в силу определения, является отрицательным целым числом. Справедливо и обратное. Число, обратное любому отрицательному целому числу, есть положительное целое число.

Можно дать другие формулировки определений отрицательных и положительных целых чисел, используя их сравнение с нулем.

Определение 4. Положительные целые числа

Положительные целые числа - это целые числа, которые больше нуля.

Определение 5. Отрицательные целые числа

Отрицательные целые числа - это целые числа, которые меньше нуля.

Соответственно, положительные числа лежат правее начала отсчета на координатной прямой, а отрицательные целые числа находятся левее от нуля.

Ранее мы уже говорили, что натуральные числа - это подмножество целых. Уточним этот момент. Множество натуральных чисел составляют целые положительные числа. В свою очередь, множество отрицательных целых чисел является множеством чисел, противоположных натуральным.

Важно!

Любое натуральное число можно назвать целым, но любое целое число нельзя назвать натуральным. Отвечая на вопрос, являются ли являются ли отрицательные числа натуральными, нужно смело говорить - нет, не являются.

Неположительные и неотрицательные целые числа

Дадим определения.

Определение 6. Неотрицательные целые числа

Неотрицательные целые числа - это положительные целые числа и число нуль.

Определение 7. Неположительные целые числа

Неположительные целые числа - это отрицательные целые числа и число нуль.

Как видим, число нуль не является ни положительным, ни отрицательным.

Примеры неотрицательных целых чисел: 52 , 128 , 0 .

Примеры неположительных целых чисел: - 52 , - 128 , 0 .

Неотрицательное число - это число, большее или равное нулю. Соответственно, неположительное целое число - это число, меньшее или равное нулю.

Термины "неположительное число" и "неотрицательное число" используются для краткости. Например, вместо того, чтобы говорить, что число a - целое число, которое больше или равно нулю, можно сказать: a - целое неотрицательное число.

Использование целых чисел при описании изменения величин

Для чего используются целые числа? В первую очередь, с их помощью удобно описывать и определять изменение количества каких-либо предметов. Приведем пример.

Пусть на складе хранится какое-то количество коленвалов. Если на склад привезут еще 500 коленвалов, то их количество увеличится. Число 500 как раз и выражает изменение (увеличение) количества деталей. Если потом со склада увезут 200 деталей, то это число также будет характеризовать изменение количества коленвалов. На этот раз, в сторону уменьшения.

Если же со склада ничего не будут забирать, и ничего не будут привозить, то число 0 укажет на неизменность количества деталей.

Очевидное удобство использования целых чисел в отличие от натуральных в том, что их знак явно указывает на направление изменения величины (увеличение или убывание).

Понижение температуры на 30 градусов можно охарактеризовать отрицательным числом - 30 , а увеличение на 2 градуса - положительным целым числом 2 .

Приведем еще один пример с использованием целых чисел. На этот раз, представим, что мы должны отдать кому-то 5 монет. Тогда, можно сказать, что мы обладаем - 5 монетами. Число 5 описывает размер долга, а знак "минус" говорит о том, что мы должны отдать монеты.

Если мы должны 2 монеты одному человеку, а 3 - другому, то общий долг (5 монет) можно вычислить по правилу сложения отрицательных чисел:

2 + (- 3) = - 5

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Понравилась статья? Поделитесь ей

Распечатать статью