უმარტივესი ირაციონალური წილადების ინტეგრაცია. ირაციონალური გამონათქვამების ინტეგრაცია. რთული წილადების ინტეგრირება

განმარტება 1

მოცემული ფუნქციის $y=f(x)$-ის ყველა ანტიდერივატივის სიმრავლეს, რომელიც განსაზღვრულია გარკვეულ სეგმენტზე, ეწოდება მოცემული ფუნქციის $y=f(x)$ განუსაზღვრელი ინტეგრალი. განუსაზღვრელი ინტეგრალი აღინიშნება სიმბოლოთ $\int f(x)dx $.

კომენტარი

განმარტება 2 შეიძლება დაიწეროს შემდეგნაირად:

\[\int f(x)dx =F(x)+C.\]

ყველა ირაციონალური ფუნქცია არ შეიძლება გამოიხატოს როგორც ინტეგრალი ელემენტარული ფუნქციებით. თუმცა, ამ ინტეგრალების უმეტესობა შეიძლება შემცირდეს რაციონალური ფუნქციების ინტეგრალებით ჩანაცვლების გამოყენებით, რაც შეიძლება გამოიხატოს ელემენტარული ფუნქციების სახით.

$\int R\ left(x,x^(m/n) ,...,x^(r/s) \right)dx $;

$\int R\left(x,\left(\frac(ax+b)(cx+d) \right)^(m/n) ,...,\left(\frac(ax+b)(cx +d) \right)^(r/s) \right)dx $;

$\int R\left(x,\sqrt(ax^(2) +bx+c) \მარჯვნივ)dx $.

მე

$\int R\left(x,x^(m/n) ,...,x^(r/s) \right)dx $ ფორმის ინტეგრალის პოვნისას აუცილებელია შემდეგი ჩანაცვლება:

ამ ჩანაცვლებით $x$ ცვლადის ყოველი წილადი ძალა გამოიხატება $t$ ცვლადის მთელი რიცხვით. შედეგად, ინტეგრანდული ფუნქცია გარდაიქმნება $t$ ცვლადის რაციონალურ ფუნქციად.

მაგალითი 1

შეასრულეთ ინტეგრაცია:

\[\int \frac(x^(1/2) dx)(x^(3/4) +1) .\]

გამოსავალი:

$k=4$ არის $\frac(1)(2) ,\, \, \frac(3)(4) $ წილადების საერთო მნიშვნელი.

\ \[\begin(მასივი)(l) (\int \frac(x^(1/2) dx)(x^(3/4) +1) =4\int \frac(t^(2)) (t^(3) +1) \cdot t^(3) dt =4\int \frac(t^(5) )(t^(3) +1) dt =4\int \left(t^( 2) -\frac(t^(2) )(t^(3) +1) \right)dt =4\int t^(2) dt -4\int \frac(t^(2) )(t ^(3) +1) dt =\frac(4)(3) \cdot t^(3) -) \\ (-\frac(4)(3) \cdot \ln |t^(3) +1 |+C)\ბოლო(მასივი)\]

\[\int \frac(x^(1/2) dx)(x^(3/4) +1) =\frac(4)(3) \cdot \left+C\]

II

$\int R\left(x,\left(\frac(ax+b)(cx+d) \right)^(m/n) ,...,\left(\frac) ფორმის ინტეგრალის პოვნისას (ax+ b)(cx+d) \right)^(r/s) \right)dx $ აუცილებელია შემდეგი ჩანაცვლების შესრულება:

სადაც $k$ არის $\frac(m)(n) ,...,\frac(r)(s) $ წილადების საერთო მნიშვნელი.

ამ ჩანაცვლების შედეგად ინტეგრანდული ფუნქცია გარდაიქმნება $t$ ცვლადის რაციონალურ ფუნქციად.

მაგალითი 2

შეასრულეთ ინტეგრაცია:

\[\int \frac(\sqrt(x+4) )(x) dx .\]

გამოსავალი:

მოდით გავაკეთოთ შემდეგი ჩანაცვლება:

\ \[\int \frac(\sqrt(x+4) )(x) dx =\int \frac(t^(2) )(t^(2) -4) dt =2\int \left(1 +\frac(4)(t^(2) -4) \მარჯვნივ)dt =2\int dt +8\int \frac(dt)(t^(2) -4) =2t+2\ln \მარცხნივ |\frac(t-2)(t+2) \მარჯვნივ|+C\]

საპირისპირო ჩანაცვლების შემდეგ მივიღებთ საბოლოო შედეგს:

\[\int \frac(\sqrt(x+4) )(x) dx =2\sqrt(x+4) +2\ln \left|\frac(\sqrt(x+4) -2)(\ sqrt(x+4) +2) \right|+C.\]

III

$\int R\left(x,\sqrt(ax^(2) +bx+c) \right)dx $ ფორმის ინტეგრალის პოვნისას ტარდება ე.წ. ეილერის ჩანაცვლება (სამი შესაძლო ჩანაცვლებიდან ერთი არის გამოყენებული).

ეილერის პირველი შეცვლა

$a> შემთხვევისთვის

$\sqrt(a) $-ის წინ "+" ნიშნის აღებით, მივიღებთ

მაგალითი 3

შეასრულეთ ინტეგრაცია:

\[\int \frac(dx)(\sqrt(x^(2) +c)) .\]

გამოსავალი:

მოდით გავაკეთოთ შემდეგი ჩანაცვლება (შემთხვევა $a=1>0$):

\[\sqrt(x^(2) +c) =-x+t,\, \, x=\frac(t^(2) -c)(2t) ,\, \, dx=\frac(t ^(2) +c)(2t^(2) ) dt,\, \, \sqrt(x^(2) +c) =-\frac(t^(2) -c)(2t) +t= \frac(t^(2) +c)(2t) .\] \[\int \frac(dx)(\sqrt(x^(2) +c) ) =\int \frac(\frac(t^ (2) +c)(2t^(2) ) dt)(\frac(t^(2) +c)(2t)) =\int \frac(dt)(t) =\ln |t|+C \]

საპირისპირო ჩანაცვლების შემდეგ მივიღებთ საბოლოო შედეგს:

\[\int \frac(dx)(\sqrt(x^(2) +c) ) =\ln |\sqrt(x^(2) +c) +x|+C.\]

ეილერის მეორე შეცვლა

$c>0$ შემთხვევისთვის საჭიროა შემდეგი ჩანაცვლება:

„+“ ნიშნის აღებით $\sqrt(c) $-ის წინ, მივიღებთ

მაგალითი 4

შეასრულეთ ინტეგრაცია:

\[\int \frac((1-\sqrt(1+x+x^(2) ))^(2) )(x^(2) \sqrt(1+x+x^(2) ) ) dx .\]

გამოსავალი:

მოდით გავაკეთოთ შემდეგი ჩანაცვლება:

\[\sqrt(1+x+x^(2) ) =xt+1.\]

\ \[\sqrt(1+x+x^(2) ) =xt+1=\frac(t^(2) -t+1)(1-t^(2) ) \] \

$\int \frac((1-\sqrt(1+x+x^(2) ))^(2) )(x^(2) \sqrt(1+x+x^(2) ) dx = \int \frac((-2t^(2) +t)^(2) (1-t)^(2) (1-t^(2))(2t^(2) -2t+2))( (1-t^(2))^(2) (2t-1)^(2) (t^(2) -t+1)(1-t^(2))^(2) dt =\ int \frac(t^(2) )(1-t^(2) ) dt =-2t+\ln \left|\frac(1+t)(1-t) \right|+C$ საპირისპირო გაკეთების შემდეგ ჩანაცვლება, მივიღებთ საბოლოო შედეგს:

\[\begin(მასივი)(l) (\int \frac((1-\sqrt(1+x+x^(2) ))^(2) )(x^(2) \sqrt(1+x +x^(2) ) dx =-2\cdot \frac(\sqrt(1+x+x^(2) ) -1)(x) +\ln \მარცხნივ|\frac(x+\sqrt(1 + x+x^(2) ) -1)(x-\sqrt(1+x+x^(2) ) +1) \right|+C=-2\cdot \frac(\sqrt(1+x + x^(2) ) -1)(x) +) \\ (+\ln \მარცხნივ|2x+2\sqrt(1+x+x^(2) ) +1\მარჯვნივ|+C) \დასრულება ( მასივი)\]

ეილერის მესამე შეცვლა

ქვეშ ირაციონალურიგაიგე გამოთქმა, რომელშიც დამოუკიდებელი ცვლადი %%x%% ან პოლინომი %%P_n(x)%% ხარისხის %%n \in \mathbb(N)%% შედის ნიშნის ქვეშ რადიკალური(ლათინურიდან რადიქსი- ფესვი), ე.ი. გაიზარდა წილადის ხარისხში. ცვლადის ჩანაცვლებით, ინტეგრადების ზოგიერთი კლასი, რომლებიც ირაციონალურია %%x%%–ის მიმართ, შეიძლება შემცირდეს რაციონალურ გამონათქვამებამდე ახალი ცვლადის მიმართ.

ერთი ცვლადის რაციონალური ფუნქციის კონცეფცია შეიძლება გავრცელდეს რამდენიმე არგუმენტზე. თუ ყოველი არგუმენტისთვის %%u, v, \dotsc, w%% ფუნქციის მნიშვნელობის გამოთვლისას მოცემულია მხოლოდ არითმეტიკული ოპერაციები და აწევა მთელ რიცხვამდე, მაშინ ჩვენ ვსაუბრობთ ამ არგუმენტების რაციონალურ ფუნქციაზე, რომელიც ჩვეულებრივ არის აღინიშნება %%R(u, v, \ dotsc, w)%%. ასეთი ფუნქციის არგუმენტები თავად შეიძლება იყოს %%x%% დამოუკიდებელი ცვლადის ფუნქციები, მათ შორის %%\sqrt[n](x), n \in \mathbb(N)%% ფორმის რადიკალები. მაგალითად, რაციონალური ფუნქცია $$ R(u,v,w) = \frac(u + v^2)(w) $$ %%u = x, v = \sqrt(x)%% და %% w = \sqrt(x^2 + 1)%% არის რაციონალური ფუნქცია $$ R\left(x, \sqrt(x), \sqrt(x^2+1)\right) = \frac(x + \sqrt(x ^2))(\sqrt(x^2 + 1)) = f(x) $$ %%x%%-დან და რადიკალები %%\sqrt(x)%% და %%\sqrt(x ^2 + 1 )%%, ხოლო ფუნქცია %%f(x)%% იქნება ერთი დამოუკიდებელი ცვლადის %%x%% ირაციონალური (ალგებრული) ფუნქცია.

განვიხილოთ %%\int R(x, \sqrt[n](x)) \mathrm(d)x%% ფორმის ინტეგრალები. ასეთი ინტეგრალების რაციონალიზაცია ხდება %%t = \sqrt[n](x)%% ცვლადის ჩანაცვლებით, შემდეგ %%x = t^n, \mathrm(d)x = nt^(n-1)%%.

მაგალითი 1

იპოვეთ %%\displaystyle\int \frac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x) + \sqrt(x))%%.

სასურველი არგუმენტის ინტეგრანტი იწერება %%2%% და %%3% ხარისხის რადიკალების ფუნქციად. ვინაიდან %%2%% და %%3%% უმცირესი ჯერადი არის %%6%%, ეს ინტეგრალი არის %%\int R(x, \sqrt(x)) \mathrm(d) ტიპის ინტეგრალი. x %% და შეიძლება რაციონალიზაცია %%\sqrt(x) = t%% შეცვლით. შემდეგ %%x = t^6, \mathrm(d)x = 6t \mathrm(d)t, \sqrt(x) = t^3, \sqrt(x) =t^2%%. ამიტომ, $$ \int \frac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x) + \sqrt(x)) = \int \frac(6t^5 \mathrm(d)t)(t^3 + t^2) = 6\int\frac(t^3)(t+1)\mathrm(d)t. $$ ავიღოთ %%t + 1 = z, \mathrm(d)t = \mathrm(d)z, z = t + 1 = \sqrt(x) + 1%% და $$ \begin(მასივი)( ll ) \int \frac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x) + \sqrt(x)) &= 6\int\frac((z-1)^3)(z) \mathrm(d ) t = \\ &= 6\int z^2 dz -18 \int z \mathrm(d)z + 18\int \mathrm(d)z -6\int\frac(\mathrm(d)z)( z ) = \\ &= 2z^3 - 9 z^2 + 18z -6\ln|z| + C = \\ &= 2 \left(\sqrt(x) + 1\right)^3 - 9 \left(\sqrt(x) + 1\მარჯვნივ)^2 + \\ &+~ 18 \left( \sqrt(x) + 1\right) - 6 \ln\left|\sqrt(x) + 1\right| + C \end(მაივი) $$

%%\int R(x, \sqrt[n](x)) \mathrm(d)x%% ფორმის ინტეგრალები წილადი წრფივი ირაციონაციების განსაკუთრებული შემთხვევაა, ე.ი. ფორმის ინტეგრალები %%\displaystyle\int R\left(x, \sqrt[n](\dfrac(ax+b)(cd+d))\right) \mathrm(d)x%%, სადაც %% ad - bc \neq 0%%, რომლის რაციონალიზაცია შესაძლებელია %%t ცვლადის ჩანაცვლებით = \sqrt[n](\dfrac(ax+b)(cd+d))%%, შემდეგ %%x = \dfrac (dt^n - b)(a - ct^n)%%. შემდეგ $$ \mathrm(d)x = \frac(n t^(n-1)(ad - bc))(\left(a - ct^n\right)^2)\mathrm(d)t. $$

მაგალითი 2

იპოვეთ %%\displaystyle\int \sqrt(\dfrac(1 -x)(1 + x))\dfrac(\mathrm(d)x)(x + 1)%%.

ავიღოთ %%t = \sqrt(\dfrac(1 -x)(1 + x))%%, შემდეგ %%x = \dfrac(1 - t^2)(1 + t^2)%%, $ $ \begin(მასივი)(l) \mathrm(d)x = -\frac(4t\mathrm(d)t)(\left(1 + t^2\მარჯვნივ)^2), \\ 1 + x = \ frac (2) (1 + t^2), \\ \frac (1) (x + 1) = \frac (1 + t^2) (2). \end(მასივი) $$ ამიტომ, $$ \begin(მასივი)(l) \int \sqrt(\dfrac(1 -x)(1 + x))\frac(\mathrm(d)x)(x + 1) = \\ = \frac(t(1 + t^2))(2)\ მარცხენა (-\frac(4t \mathrm(d)t)(\left(1 + t^2\მარჯვნივ)^2 )\მარჯვნივ) = \\ = -2\int \frac(t^2\mathrm(d)t)(1 + t^2) = \\ = -2\int \mathrm(d)t + 2\int \frac(\mathrm(d)t)(1 + t^2) = \\ = -2t + \text(arctg)~t + C = \\ = -2\sqrt(\dfrac(1 -x)( 1 + x)) + \text(arctg)~\sqrt(\dfrac(1 -x)(1 + x)) + C. \end(მასივი) $$

განვიხილოთ ფორმის ინტეგრალები %%\int R\left(x, \sqrt(ax^2 + bx + c)\right) \mathrm(d)x%%. უმარტივეს შემთხვევებში, ასეთი ინტეგრალები მცირდება ტაბულად, თუ სრული კვადრატის იზოლირების შემდეგ მოხდება ცვლადების ცვლილება.

მაგალითი 3

იპოვეთ ინტეგრალი %%\displaystyle\int \dfrac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x^2 + 4x + 5))%%.

იმის გათვალისწინებით, რომ %%x^2 + 4x + 5 = (x+2)^2 + 1%%, ვიღებთ %%t = x + 2, \mathrm(d)x = \mathrm(d)t%%, შემდეგ $$ \begin(მასივი)(ll) \int \frac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x^2 + 4x + 5)) &= \int \frac(\mathrm(d)t) (\sqrt(t^2 + 1)) = \\ &= \ln\left|t + \sqrt(t^2 + 1)\right| + C = \\ &= \ln\მარცხნივ|x + 2 + \sqrt(x^2 + 4x + 5)\მარჯვნივ| + C. \end(მაივი) $$

უფრო რთულ შემთხვევებში გამოიყენება %%\int R\left(x, \sqrt(ax^2 + bx + c)\right) \mathrm(d)x%% ფორმის ინტეგრალების საპოვნელად.

ირაციონალური ფუნქციების კლასი ძალიან ფართოა, ამიტომ მათი ინტეგრაციის უნივერსალური გზა უბრალოდ შეუძლებელია. ამ სტატიაში შევეცდებით გამოვავლინოთ ირაციონალური ინტეგრანდული ფუნქციების ყველაზე დამახასიათებელი ტიპები და მათთან დავაკავშიროთ ინტეგრაციის მეთოდი.

არის შემთხვევები, როდესაც მიზანშეწონილია დიფერენციალური ნიშნის გამოწერის მეთოდის გამოყენება. მაგალითად, ფორმის განუსაზღვრელი ინტეგრალების პოვნისას სად გვ- რაციონალური წილადი.

მაგალითი.

იპოვნეთ განუსაზღვრელი ინტეგრალი .

გამოსავალი.

ამის შემჩნევა ძნელი არ არის. ამიტომ, ჩვენ მას ვსვამთ დიფერენციალური ნიშნის ქვეშ და ვიყენებთ ანტიდერივატიულ ცხრილს:

პასუხი:

.

13. წილადი წრფივი ჩანაცვლება

იმ ტიპის ინტეგრალები, სადაც a, b, c, d არის რეალური რიცხვები, a, b,..., d, g არის ნატურალური რიცხვები, მცირდება რაციონალური ფუნქციის ინტეგრალებში ჩანაცვლებით, სადაც K არის უმცირესი საერთო ჯერადი. წილადების მნიშვნელები

მართლაც, ჩანაცვლებიდან გამომდინარეობს, რომ

ანუ x და dx გამოიხატება t-ის რაციონალური ფუნქციებით. უფრო მეტიც, წილადის თითოეული ხარისხი გამოიხატება t-ის რაციონალური ფუნქციით.

მაგალითი 33.4. იპოვნეთ ინტეგრალი

ამოხსნა: 2/3 და 1/2 წილადების მნიშვნელთა უმცირესი საერთო ჯერადი არის 6.

ამიტომ ვსვამთ x+2=t 6, x=t 6 -2, dx=6t 5 dt, ამიტომ,

მაგალითი 33.5.მიუთითეთ ინტეგრალების პოვნის ჩანაცვლება:

ამოხსნა: I 1 ჩანაცვლებისთვის x=t 2, I 2 ჩანაცვლებისთვის

14. ტრიგონომეტრიული ჩანაცვლება

ტიპის ინტეგრალები მცირდება ფუნქციების ინტეგრალებამდე, რომლებიც რაციონალურად დამოკიდებულნი არიან ტრიგონომეტრიულ ფუნქციებზე შემდეგი ტრიგონომეტრიული ჩანაცვლების გამოყენებით: x = სინტი პირველი ინტეგრალისთვის; x=a tgt მეორე ინტეგრალისთვის;

მაგალითი 33.6.იპოვნეთ ინტეგრალი

ამოხსნა: დავდოთ x=2 sin t, dx=2 cos tdt, t=arcsin x/2. მერე

აქ ინტეგრანტი არის რაციონალური ფუნქცია x-ის მიმართ რადიკალის ქვეშ სრული კვადრატის არჩევით და ჩანაცვლებით, მითითებული ტიპის ინტეგრალები მცირდება უკვე განხილული ტიპის ინტეგრალებამდე, ე.ი. ეს ინტეგრალები შეიძლება გამოითვალოს შესაბამისი ტრიგონომეტრიული ჩანაცვლების გამოყენებით.

მაგალითი 33.7.იპოვნეთ ინტეგრალი

ამოხსნა: ვინაიდან x 2 +2x-4=(x+1) 2 -5, შემდეგ x+1=t, x=t-1, dx=dt. Ამიტომაც დავაყენოთ

შენიშვნა: ინტეგრალური ტიპი მიზანშეწონილია იპოვოთ ჩანაცვლება x=1/t.

15. განსაზღვრული ინტეგრალი

დაე, ფუნქცია განისაზღვროს სეგმენტზე და ჰქონდეს მასზე ანტიდერივატი. განსხვავება ჰქვია განსაზღვრული ინტეგრალი ფუნქციონირებს სეგმენტის გასწვრივ და აღნიშნავს. Ისე,

განსხვავება იწერება ფორმაში, მაშინ . ნომრებს ეძახიან ინტეგრაციის საზღვრები .

მაგალითად, ფუნქციის ერთ-ერთი ანტიდერივატი. Ამიტომაც

16 . თუ c არის მუდმივი რიცხვი და ფუნქცია ƒ(x) ინტეგრირებადია ზე, მაშინ

ანუ მუდმივი c ფაქტორი შეიძლება ამოღებულ იქნას განსაზღვრული ინტეგრალის ნიშნიდან.

▼ მოდით შევადგინოთ ƒ(x) ფუნქციის ინტეგრალური ჯამი. Ჩვენ გვაქვს:

შემდეგ გამოდის, რომ c ƒ(x) ფუნქცია ინტეგრირებადია [a; b] და ფორმულა (38.1) მოქმედებს.▲

2. თუ ƒ 1 (x) და ƒ 2 (x) ფუნქციები ინტეგრირებადია [a;b]-ზე, მაშინ ინტეგრირებადია [a; ბ] მათი ჯამი u

ანუ ჯამის ინტეგრალი ინტეგრალების ჯამის ტოლია.

▼
▲

თვისება 2 ეხება ნებისმიერი სასრული რაოდენობის ტერმინების ჯამს.

3.

ეს თვისება შეიძლება იქნას მიღებული განმარტებით. ეს თვისება ასევე დასტურდება ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულით.

4. თუ ფუნქცია ƒ(x) ინტეგრირებადია [a; ბ] და ა< с < b, то

ანუ მთლიანი სეგმენტის ინტეგრალი უდრის ამ სეგმენტის ნაწილებზე არსებული ინტეგრალების ჯამს. ამ თვისებას ეწოდება განსაზღვრული ინტეგრალის დანამატობა (ან დანამატობის თვისება).

სეგმენტის [a;b] ნაწილებად დაყოფისას ჩვენ ვვრთავთ c წერტილს გაყოფის წერტილების რაოდენობაში (ეს შეიძლება გაკეთდეს ინტეგრალური ჯამის ზღვრის დამოუკიდებლობის გამო სეგმენტის გაყოფის მეთოდისგან [a;b]). ნაწილებად). თუ c = x m, მაშინ ინტეგრალური ჯამი შეიძლება დაიყოს ორ ჯამად:

თითოეული დაწერილი ჯამი ინტეგრალურია, შესაბამისად, სეგმენტებისთვის [a; ბ], [ა; s] და [s; ბ]. ბოლო ტოლობის ზღვარზე გადასვლისას როგორც n → ∞ (λ → 0), ვიღებთ ტოლობას (38.3).

თვისება 4 მოქმედებს a, b, c წერტილების ნებისმიერი მდებარეობისთვის (ვვარაუდობთ, რომ ფუნქცია ƒ (x) ინტეგრირებადია მიღებული სეგმენტებიდან უფრო დიდზე).

ასე, მაგალითად, თუ ა< b < с, то

(გამოყენებულია 4 და 3 თვისებები).

5. „თეორემა საშუალო მნიშვნელობებზე“. თუ ფუნქცია ƒ(x) არის უწყვეტი ინტერვალზე [a; b], შემდეგ არის ტონკა є [a; ბ] ისეთი, რომ

▼ ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულით გვაქვს

სადაც F"(x) = ƒ(x). ლაგრანგის თეორემას (თეორემა ფუნქციის სასრულ ნამატზე) F(b)-F(a) სხვაობაზე გამოყენებით მივიღებთ.

F(b)-F(a) = F"(c) (b-a) = ƒ(c) (b-a).▲

თვისებას 5 ("საშუალო მნიშვნელობის თეორემა") ƒ (x) ≥ 0-სთვის აქვს მარტივი გეომეტრიული მნიშვნელობა: განსაზღვრული ინტეგრალის მნიშვნელობა უდრის, ზოგიერთი c є (a; b), მართკუთხედის ფართობს. სიმაღლით ƒ (c) და ფუძით b-a (იხ. სურ. 170). ნომერი

ეწოდება ƒ(x) ფუნქციის საშუალო მნიშვნელობა [a; ბ].

6. თუ ფუნქცია ƒ (x) ინარჩუნებს თავის ნიშანს [a; b], სადაც ა< b, то интегралимеет тот же знак, что и функция. Так, если ƒ(х)≥0 на отрезке [а; b], то

▼ „საშუალო მნიშვნელობის თეორემით“ (თვისება 5)

სადაც c є [a; ბ]. და ვინაიდან ƒ(x) ≥ 0 ყველა x О [a; b], მაშინ

ƒ(с)≥0, b-a>0.

ამიტომ ƒ(с) (b-а) ≥ 0, ე.ი. ▲

7. უტოლობა უწყვეტ ფუნქციებს შორის ინტერვალზე [a; ბ], (ა

▼ ვინაიდან ƒ 2 (x)-ƒ 1 (x)≥0, მაშინ როცა< b, согласно свойству 6, имеем

ან მე-2 თვის მიხედვით,

გაითვალისწინეთ, რომ შეუძლებელია უტოლობების დიფერენცირება.

8. ინტეგრალის შეფასება. თუ m და M არის, შესაბამისად, ფუნქციის უმცირესი და უდიდესი მნიშვნელობები y = ƒ (x) სეგმენტზე [a; ბ], (ა< b), то

▼რადგან ნებისმიერი x є [a;b] გვაქვს m≤ƒ(x)≤M, მაშინ 7 თვისების მიხედვით გვაქვს

თვისება 5-ის გამოყენებისას უკიდურეს ინტეგრალებზე, მივიღებთ

▲

თუ ƒ(x)≥0, მაშინ თვისება 8 ილუსტრირებულია გეომეტრიულად: მრუდი ტრაპეციის ფართობი მოქცეულია მართკუთხედების უბნებს შორის, რომელთა ფუძე არის , ხოლო სიმაღლეები m და M (იხ. სურ. 171).

9. განსაზღვრული ინტეგრალის მოდული არ აღემატება ინტეგრანტის მოდულის ინტეგრალს:

▼ 7 თვისების გამოყენება აშკარა უტოლობებზე -|ƒ(x)|≤ƒ(x)≤|ƒ(x)|, მივიღებთ

Აქედან გამომდინარეობს, რომ

▲

10. განსაზღვრული ინტეგრალის წარმოებული ცვლადის ზედა ზღვართან მიმართებაში უდრის ინტეგრანდს, რომელშიც ინტეგრაციის ცვლადი ჩანაცვლებულია ამ ზღვრით, ე.ი.

ფიგურის ფართობის გამოთვლა ფართობის თეორიის ერთ-ერთი ყველაზე რთული პრობლემაა. სასკოლო გეომეტრიის კურსზე ვისწავლეთ ძირითადი გეომეტრიული ფიგურების არეების პოვნა, მაგალითად წრე, სამკუთხედი, რომბი და ა.შ. თუმცა, ბევრად უფრო ხშირად გიწევთ საქმე უფრო რთული ფიგურების არეების გამოთვლასთან. ასეთი პრობლემების გადაჭრისას საჭიროა ინტეგრალური გამოთვლების გამოყენება.

ამ სტატიაში განვიხილავთ მრუდი ტრაპეციის ფართობის გამოთვლის პრობლემას და მას გეომეტრიული გაგებით მივუდგებით. ეს საშუალებას მოგვცემს გავარკვიოთ პირდაპირი კავშირი განსაზღვრულ ინტეგრალსა და მრუდი ტრაპეციის ფართობს შორის.

დაუშვით ფუნქცია y = f(x)უწყვეტი სეგმენტზე და არ ცვლის მასზე ნიშანს (ანუ არაუარყოფითი ან არადადებითი). ფიგურა გ, შემოსაზღვრული ხაზებით y = f(x), y = 0, x = aდა x = b, დაურეკა მოხრილი ტრაპეცია. ავღნიშნოთ მისი ფართობი S(G).

მოდით მივუდგეთ მრუდი ტრაპეციის ფართობის გამოთვლის პრობლემას შემდეგნაირად. კვადრატული ფიგურების განყოფილებაში გავარკვიეთ, რომ მრუდი ტრაპეცია არის კვადრატული ფიგურა. თუ სეგმენტს გაყოფთ on ნნაწილებს წერტილებით აღსანიშნავად , და აირჩიეთ ქულები ისე, რომ , შემდეგ დარბუს ქვედა და ზედა ჯამების შესაბამისი ფიგურები შეიძლება ჩაითვალოს ჩართულად პდა ყოვლისმომცველი ქმრავალკუთხა ფორმებისთვის გ.

ამრიგად, დანაყოფის პუნქტების რაოდენობის ზრდითაც კი ნ, მივდივართ უტოლობამდე , სადაც არის თვითნებურად მცირე დადებითი რიცხვი და სდა ს– ქვედა და ზედა დარბუს ჯამები სეგმენტის მოცემული დანაყოფისთვის . სხვა პოსტში . მაშასადამე, მივმართავთ განსაზღვრული დარბუს ინტეგრალის კონცეფციას, მივიღებთ .

ბოლო ტოლობა ნიშნავს, რომ განსაზღვრული ინტეგრალი უწყვეტი და არაუარყოფითი ფუნქციისთვის y = f(x)გეომეტრიული გაგებით წარმოადგენს შესაბამისი მოხრილი ტრაპეციის ფართობს. Ეს არის ის, რაც განსაზღვრული ინტეგრალის გეომეტრიული მნიშვნელობა.

ანუ განსაზღვრული ინტეგრალის გამოთვლით ჩვენ ვიპოვით ხაზებით შემოსაზღვრულ ფიგურის ფართობს. y = f(x), y = 0, x = aდა x = b.

კომენტარი.

თუ ფუნქცია y = f(x)არადადებითი სეგმენტზე , მაშინ მოხრილი ტრაპეციის ფართობი შეიძლება მოიძებნოს როგორც .

მაგალითი.

გამოთვალეთ ხაზებით შემოსაზღვრული ფიგურის ფართობი .

გამოსავალი.

ავაშენოთ ფიგურა სიბრტყეზე: სწორი ხაზი y = 0ემთხვევა x ღერძს, სწორ ხაზებს x = -2და x = 3არიან ორდინატთა ღერძის პარალელურად, ხოლო მრუდი შეიძლება აშენდეს ფუნქციის გრაფიკის გეომეტრიული გარდაქმნების გამოყენებით.

ამრიგად, ჩვენ უნდა ვიპოვოთ მოხრილი ტრაპეციის ფართობი. განსაზღვრული ინტეგრალის გეომეტრიული მნიშვნელობა მიგვანიშნებს, რომ სასურველი ფართობი გამოხატულია განსაზღვრული ინტეგრალით. აქედან გამომდინარე, . ეს განსაზღვრული ინტეგრალი შეიძლება გამოითვალოს ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულით.

ფორმის ინტეგრალები (m 1, n 1, m 2, n 2, ... - მთელი რიცხვები). ამ ინტეგრალებში ინტეგრადი რაციონალურია ინტეგრაციის ცვლადისა და x-ის რადიკალების მიმართ. ისინი გამოითვლება x=t s-ის ჩანაცვლებით, სადაც s არის წილადების საერთო მნიშვნელი, ... ცვლადის ასეთი ჩანაცვლებით ყველა მიმართება = r 1, = r 2, ... არის მთელი რიცხვები, ანუ ინტეგრალი არის დაყვანილი t ცვლადის რაციონალურ ფუნქციამდე:

ფორმის ინტეგრალები (m 1, n 1, m 2, n 2, ... - მთელი რიცხვები). ეს ინტეგრალები არის ჩანაცვლებით:

სადაც s არის წილადების საერთო მნიშვნელი, ..., მცირდება t ცვლადის რაციონალურ ფუნქციამდე.

ფორმის ინტეგრალები I 1 ინტეგრალის გამოსათვლელად აირჩიეთ სრული კვადრატი რადიკალური ნიშნის ქვეშ:

და ჩანაცვლება გამოიყენება:

შედეგად, ეს ინტეგრალი მცირდება ცხრილამდე:

I 2 ინტეგრალის მრიცხველში გამოიყოფა გამოხატვის დიფერენციალი რადიკალური ნიშნის ქვეშ და ეს ინტეგრალი წარმოდგენილია როგორც ორი ინტეგრალის ჯამი:

სადაც I 1 არის ზემოთ გამოთვლილი ინტეგრალი.

I 3 ინტეგრალის გამოთვლა მცირდება I 1 ინტეგრალის გამოთვლაზე ჩანაცვლებით:

ფორმის ინტეგრალი ამ ტიპის ინტეგრალების გამოთვლის განსაკუთრებული შემთხვევები განხილულია წინა აბზაცში. მათი გაანგარიშების რამდენიმე განსხვავებული მეთოდი არსებობს. მოდით განვიხილოთ ერთ-ერთი ასეთი ტექნიკა, რომელიც ეფუძნება ტრიგონომეტრიული ჩანაცვლების გამოყენებას.

კვადრატული ტრინომალური ცული 2 +bx+c სრული კვადრატის იზოლირებით და ცვლადის შეცვლით შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ფორმით, ამიტომ საკმარისია შემოვიფარგლოთ ინტეგრალის სამი ტიპის გათვალისწინებით:

ინტეგრალი ჩანაცვლებით

u=ksint (ან u=kcost)

ამცირებს რაციონალური ფუნქციის ინტეგრალამდე სინტთან და ღირებულებასთან მიმართებაში.

ფორმის ინტეგრალები (m, n, p є Q, a, b є R). განსახილველი ინტეგრალები, რომლებსაც დიფერენციალური ბინომის ინტეგრალები ეწოდება, გამოიხატება ელემენტარული ფუნქციებით მხოლოდ შემდეგ სამ შემთხვევაში:

1) თუ p є Z, მაშინ ჩანაცვლება გამოიყენება:

სადაც s არის m და n წილადების საერთო მნიშვნელი;

2) თუ Z, მაშინ ჩანაცვლება გამოიყენება:

სადაც s არის წილადის მნიშვნელი

3) თუ Z, მაშინ ჩანაცვლება გამოიყენება:

სადაც s არის წილადის მნიშვნელი

მოცემულია ირაციონალური ფუნქციების (ფესვების) ინტეგრირების ძირითადი მეთოდები. მათ შორისაა: წრფივი წილადური ირაციონალურობის ინტეგრაცია, დიფერენციალური ბინომი, ინტეგრალები კვადრატული ტრინომის კვადრატულ ფესვთან. მოცემულია ტრიგონომეტრიული ჩანაცვლებები და ეილერის ჩანაცვლებები. განხილულია ზოგიერთი ელიფსური ინტეგრალი, რომელიც გამოხატულია ელემენტარული ფუნქციებით.

შინაარსი

ინტეგრალები დიფერენციალური ბინომებიდან

დიფერენციალური ბინომებიდან ინტეგრალებს აქვთ ფორმა:
,
სადაც m, n, p არის რაციონალური რიცხვები, a, b არის რეალური რიცხვები.
ასეთი ინტეგრალები მცირდება რაციონალური ფუნქციების ინტეგრალამდე სამ შემთხვევაში.

1) თუ p არის მთელი რიცხვი. ჩანაცვლება x = t N, სადაც N არის m და n წილადების საერთო მნიშვნელი.
2) თუ - მთელი რიცხვი. ჩანაცვლება a x n + b = t M, სადაც M არის p რიცხვის მნიშვნელი.
3) თუ - მთელი რიცხვი. ჩანაცვლება a + b x - n = t M, სადაც M არის p რიცხვის მნიშვნელი.

სხვა შემთხვევაში, ასეთი ინტეგრალები არ არის გამოხატული ელემენტარული ფუნქციებით.

ზოგჯერ ასეთი ინტეგრალები შეიძლება გამარტივდეს შემცირების ფორმულების გამოყენებით:
;
.

კვადრატული ტრინომის კვადრატული ფესვის შემცველი ინტეგრალები

ასეთ ინტეგრალებს აქვთ ფორმა:
,
სადაც R არის რაციონალური ფუნქცია. თითოეული ასეთი ინტეგრალისთვის არსებობს მისი გადაჭრის რამდენიმე მეთოდი.
1) გარდაქმნების გამოყენება იწვევს უფრო მარტივ ინტეგრალებს.
2) გამოიყენეთ ტრიგონომეტრიული ან ჰიპერბოლური ჩანაცვლება.
3) გამოიყენეთ ეილერის ჩანაცვლება.

მოდით განვიხილოთ ეს მეთოდები უფრო დეტალურად.

1) ინტეგრანდული ფუნქციის ტრანსფორმაცია

ფორმულის გამოყენებით და ალგებრული გარდაქმნების შესრულებით, ჩვენ ვამცირებთ ინტეგრანდულ ფუნქციას ფორმამდე:
,
სადაც φ(x), ω(x) რაციონალური ფუნქციებია.

ტიპი I

ფორმის ინტეგრალი:
,
სადაც P n (x) არის n ხარისხის მრავალწევრი.

ასეთი ინტეგრალები გვხვდება განუსაზღვრელი კოეფიციენტების მეთოდით იდენტობის გამოყენებით:

.
ამ განტოლების დიფერენცირებით და მარცხენა და მარჯვენა გვერდების გათანაბრებით ვპოულობთ A i კოეფიციენტებს.

ტიპი II

ფორმის ინტეგრალი:
,
სადაც P m (x) არის m ხარისხის მრავალწევრი.

ჩანაცვლება t = (x - α) -1ეს ინტეგრალი დაყვანილია წინა ტიპზე. თუ m ≥ n, მაშინ წილადს უნდა ჰქონდეს მთელი რიცხვი.

III ტიპის

აქ ვაკეთებთ ჩანაცვლებას:
.
რის შემდეგაც ინტეგრალი მიიღებს ფორმას:
.
შემდეგ, α, β მუდმივები უნდა აირჩეს ისე, რომ მნიშვნელში t-ის კოეფიციენტები იყოს ნული:
B = 0, B 1 = 0.
შემდეგ ინტეგრალი იშლება ორი ტიპის ინტეგრალის ჯამად:
,
,
რომლებიც ინტეგრირებულია ჩანაცვლებით:
u 2 = A 1 t 2 + C 1,
v 2 = A 1 + C 1 t -2.

2) ტრიგონომეტრიული და ჰიპერბოლური ჩანაცვლებები

ფორმის ინტეგრალებისთვის ა > 0 ,
გვაქვს სამი ძირითადი ჩანაცვლება:
;
;
;

ინტეგრალებისთვის ა > 0 ,
გვაქვს შემდეგი ჩანაცვლება:
;
;
;

და ბოლოს, ინტეგრალებისთვის ა > 0 ,
ჩანაცვლებები შემდეგია:
;
;
;

3) ეილერის ჩანაცვლებები

ასევე, ინტეგრალები შეიძლება შემცირდეს ეილერის სამი ჩანაცვლების რაციონალური ფუნქციების ინტეგრალებამდე:
, ამისთვის > 0;
, ამისთვის c > 0 ;
, სადაც x 1 არის a x 2 + b x + c = 0 განტოლების ფესვი. თუ ამ განტოლებას რეალური ფესვები აქვს.

ელიფსური ინტეგრალები

დასასრულს, განიხილეთ ფორმის ინტეგრალები:
,
სადაც R არის რაციონალური ფუნქცია, . ასეთ ინტეგრალებს ელიფსური ეწოდება. ზოგადად, ისინი არ გამოიხატება ელემენტარული ფუნქციებით. თუმცა არის შემთხვევები, როდესაც არსებობს A, B, C, D, E კოეფიციენტებს შორის მიმართებები, რომლებშიც ასეთი ინტეგრალები გამოიხატება ელემენტარული ფუნქციებით.

ქვემოთ მოცემულია მაგალითი, რომელიც დაკავშირებულია რეფლექსურ მრავალწევრებთან. ასეთი ინტეგრალების გაანგარიშება ხორციელდება ჩანაცვლების გამოყენებით:
.

მაგალითი

გამოთვალეთ ინტეგრალი:
.

მოდით გავაკეთოთ ჩანაცვლება.

.
აქ x > 0 (u > 0 აიღეთ ზედა ნიშანი "+". x-ზე< 0 (უ< 0 ) - ქვედა ′- ′.

.

ცნობები:
ნ.მ. გიუნტერი, რ.ო. კუზმინი, უმაღლეს მათემატიკაში ამოცანების კრებული, „ლან“, 2003 წ.

Იხილეთ ასევე: