הבה נעבור לשקול יישומים של חשבון אינטגרלי. בשיעור זה ננתח את המשימה האופיינית והנפוצה ביותר חישוב השטח של דמות מישור באמצעות אינטגרל מוגדר. לבסוף, תן לכל אלה שמחפשים משמעות במתמטיקה גבוהה יותר למצוא אותה. אתה אף פעם לא יודע. בחיים האמיתיים, תצטרך להעריך עלילת דאצ'ה באמצעות פונקציות יסודיות ולמצוא את השטח שלה באמצעות אינטגרל מוגדר.

כדי לשלוט בהצלחה בחומר, עליך:

1) הבן את האינטגרל הבלתי מוגדר לפחות ברמת ביניים. לפיכך, על בובות לקרוא תחילה את השיעור לֹא.

2) להיות מסוגל ליישם את נוסחת ניוטון-לייבניץ ולחשב את האינטגרל המובהק. אתה יכול ליצור קשרי ידידות חמים עם אינטגרלים מסוימים בדף אינטגרל מובהק. דוגמאות לפתרונות. המשימה "לחשב את השטח באמצעות אינטגרל מוגדר" כרוכה תמיד בבניית ציור, כך שהידע שלך וכישורי הציור יהיו גם נושא רלוונטי. לכל הפחות, אתה צריך להיות מסוגל לבנות קו ישר, פרבולה והיפרבולה.

נתחיל עם טרפז מעוקל. טרפז מעוקל הוא דמות שטוחה התחום על ידי הגרף של פונקציה כלשהי y = ו(x), ציר שׁוֹרוקווים x = א; x = ב.

השטח של טרפז עקום שווה מספרית לאינטגרל מוגדר

לכל אינטגרל מוגדר (שקיים) יש משמעות גיאומטרית טובה מאוד. בכיתה אינטגרל מובהק. דוגמאות לפתרונותאמרנו שאינטגרל מוגדר הוא מספר. ועכשיו הגיע הזמן לציין עוד עובדה שימושית. מנקודת מבט של גיאומטריה, האינטגרל המובהק הוא AREA. כלומר, האינטגרל המובהק (אם הוא קיים) מתאים מבחינה גיאומטרית לשטח של דמות מסוימת. שקול את האינטגרל המובהק

אינטגרנד

מגדיר עקומה במישור (ניתן לצייר אותה אם תרצה), והאינטגרל המובהק עצמו שווה מספרית לשטח הטרפז העקום המקביל.

דוגמה 1

, , , .

זוהי הצהרת משימה טיפוסית. הנקודה החשובה ביותר בהחלטה היא בניית השרטוט. יתר על כן, השרטוט חייב להיות בנוי יָמִינָה.

בעת בניית ציור, אני ממליץ על הסדר הבא: בהתחלהעדיף לבנות את כל הקווים הישרים (אם קיימים) ורק אָז– פרבולות, היפרבולות, גרפים של פונקציות אחרות. ניתן למצוא את טכניקת הבנייה הנקודתית בחומר העזר גרפים ומאפיינים של פונקציות יסודיות. שם תוכלו למצוא גם חומר שימושי מאוד לשיעור שלנו - איך לבנות מהר פרבולה.

בבעיה זו, הפתרון עשוי להיראות כך.

בוא נעשה את הציור (שים לב שהמשוואה y= 0 מציין את הציר שׁוֹר):

לא נצל את הטרפז המעוקל כאן ברור על איזה אזור אנחנו מדברים. הפתרון ממשיך כך:

על הקטע [-2; 1] גרף פונקציות y = x 2 + 2 ממוקם מעל הצירשׁוֹר, בגלל זה:

תְשׁוּבָה: .

למי יש קשיים בחישוב האינטגרל המובהק ויישום נוסחת ניוטון-לייבניץ

,

עיין בהרצאה אינטגרל מובהק. דוגמאות לפתרונות. לאחר השלמת המשימה, תמיד כדאי להסתכל על הציור ולהבין אם התשובה אמיתית. במקרה זה, אנו סופרים את מספר התאים בציור "בעין" - ובכן, יהיו בערך 9, נראה שזה נכון. ברור לחלוטין שאם קיבלנו, נניח, את התשובה: 20 יחידות מרובעות, אז ברור שנעשתה טעות איפשהו - 20 תאים כמובן לא מתאימים לנתון המדובר, לכל היותר תריסר. אם התשובה שלילית, אז גם המשימה נפתרה בצורה לא נכונה.

דוגמה 2

חשב את השטח של דמות התחום בקווים xy = 4, x = 2, x= 4 וציר שׁוֹר.

זו דוגמה שתוכל לפתור בעצמך. פתרון מלא ותשובה בסוף השיעור.

מה לעשות אם הטרפז המעוקל ממוקם מתחת לסרןשׁוֹר?

דוגמה 3

חשב את השטח של דמות התחום בקווים y = לְשֶׁעָבַר, x= 1 וצירי קואורדינטות.

פתרון: בואו נעשה ציור:

אם טרפז מעוקל ממוקם לחלוטין מתחת לציר שׁוֹר , אז ניתן למצוא את השטח שלו באמצעות הנוסחה:

במקרה זה:

.

תְשׁוּמַת לֵב! אין לבלבל בין שני סוגי המשימות:

1) אם תתבקשו לפתור פשוט אינטגרל מוגדר ללא כל משמעות גיאומטרית, אז הוא עשוי להיות שלילי.

2) אם תתבקשו למצוא את השטח של דמות באמצעות אינטגרל מוגדר, אז השטח תמיד חיובי! לכן המינוס מופיע בנוסחה שנידונה זה עתה.

בפועל, לרוב הדמות ממוקמת הן בחצי המישור העליון והן בחצי המישור התחתון, ולכן, מבעיות בית הספר הפשוטות ביותר נעבור לדוגמאות משמעותיות יותר.

דוגמה 4

מצא את השטח של דמות מישור התחום בקווים y = 2x – x 2 , y = -x.

פתרון: ראשית אתה צריך לעשות ציור. כאשר בונים ציור בבעיות שטח, אנו מתעניינים ביותר בנקודות החיתוך של קווים. בואו נמצא את נקודות החיתוך של הפרבולה y = 2x – x 2 וישר y = -x. זה יכול להיעשות בשתי דרכים. השיטה הראשונה היא אנליטית. נפתור את המשוואה:

זה אומר שהגבול התחתון של אינטגרציה א= 0, גבול עליון של אינטגרציה ב= 3. לעתים קרובות יותר רווחי ומהיר יותר לבנות קווים נקודה אחר נקודה, וגבולות האינטגרציה מתבהרים "מעצמם". עם זאת, השיטה האנליטית של מציאת גבולות עדיין צריכה לשמש לפעמים אם, למשל, הגרף גדול מספיק, או שהבנייה המפורטת לא חשפה את גבולות האינטגרציה (הם יכולים להיות חלקים או לא רציונליים). נחזור למשימה שלנו: יותר רציונלי לבנות קודם קו ישר ורק אחר כך פרבולה. בואו נעשה את הציור:

נחזור על כך שכאשר בונים באופן נקודתי, גבולות האינטגרציה נקבעים לרוב "אוטומטית".

ועכשיו נוסחת העבודה:

אם על הקטע [ א; ב] פונקציה רציפה כלשהי ו(x) גדול או שווה לפונקציה רציפה כלשהי ז(x), אז ניתן למצוא את השטח של הדמות המקבילה באמצעות הנוסחה:

כאן כבר לא צריך לחשוב איפה הדמות ממוקמת - מעל הציר או מתחת לציר, אלא זה משנה איזה גרף גבוה יותר(ביחס לגרף אחר), ואיזה מהם נמצא מתחת.

בדוגמה הנבדקת, ברור שעל הקטע הפרבולה ממוקמת מעל הקו הישר, ולכן מ-2 x – xיש לגרוע 2 - x.

הפתרון המושלם עשוי להיראות כך:

הנתון הרצוי מוגבל על ידי פרבולה y = 2x – x 2 למעלה וישר y = -xלְהַלָן.

על קטע 2 x – x 2 ≥ -x. לפי הנוסחה המתאימה:

תְשׁוּבָה: .

למעשה, נוסחת בית הספר לשטח של טרפז עקום בחצי המישור התחתון (ראה דוגמה מס' 3) היא מקרה מיוחד של הנוסחה

.

כי הציר שׁוֹרנתון על ידי המשוואה y= 0, והגרף של הפונקציה ז(x) ממוקם מתחת לציר שׁוֹר, זה

.

ועכשיו כמה דוגמאות לפתרון משלך

דוגמה 5

דוגמה 6

מצא את השטח של דמות התחום בקווים

כאשר פותרים בעיות הכרוכות בחישוב שטח באמצעות אינטגרל מוגדר, קורה לפעמים תקרית מצחיקה. השרטוט נעשה נכון, החישובים היו נכונים, אבל בגלל חוסר זהירות... נמצא האזור של הדמות הלא נכונה.

דוגמה 7

ראשית בואו נעשה ציור:

הדמות שאת השטח שלה אנחנו צריכים למצוא מוצללת בכחול(הסתכלו היטב על המצב - איך הנתון מוגבל!). אבל בפועל, בגלל חוסר תשומת לב, אנשים מחליטים לעתים קרובות שהם צריכים למצוא את אזור הדמות המוצל בירוק!

דוגמה זו שימושית גם מכיוון שהיא מחשבת את השטח של דמות באמצעות שני אינטגרלים מוגדרים. בֶּאֱמֶת:

1) על הקטע [-1; 1] מעל הציר שׁוֹרהגרף ממוקם ישר y = x+1;

2) על קטע מעל הציר שׁוֹרנמצא הגרף של היפרבולה y = (2/x).

ברור למדי שניתן (וצריך) להוסיף את האזורים, לכן:

תְשׁוּבָה:

דוגמה 8

חשב את השטח של דמות התחום בקווים

בואו נציג את המשוואות בצורת "בית ספר".

ולעשות ציור נקודתי:

מהציור ברור שהגבול העליון שלנו הוא "טוב": ב = 1.

אבל מה הגבול התחתון?! ברור שזה לא מספר שלם, אבל מה זה?

יכול להיות, א=(-1/3)? אבל איפה הערובה שהציור נעשה בדיוק מושלם, יכול בהחלט להתברר שכן א=(-1/4). מה אם בנינו את הגרף בצורה לא נכונה?

במקרים כאלה, אתה צריך להשקיע זמן נוסף ולהבהיר את גבולות האינטגרציה בצורה אנליטית.

בוא נמצא את נקודות החיתוך של הגרפים

לשם כך נפתור את המשוואה:

.

לָכֵן, א=(-1/3).

הפתרון הנוסף הוא טריוויאלי. העיקר לא להתבלבל בהחלפות ובסימנים. החישובים כאן הם לא הכי פשוטים. על הקטע

, ,

לפי הנוסחה המתאימה:

תְשׁוּבָה:

לסיום השיעור, נסתכל על עוד שתי משימות קשות.

דוגמה 9

חשב את השטח של דמות התחום בקווים

פתרון: הבה נתאר את הדמות הזו בציור.

כדי לבנות ציור נקודתי, אתה צריך לדעת את המראה של סינוסואיד. באופן כללי, כדאי לדעת את הגרפים של כל הפונקציות היסודיות, כמו גם כמה ערכי סינוס. ניתן למצוא אותם בטבלת הערכים פונקציות טריגונומטריות. במקרים מסוימים (לדוגמה, במקרה זה), ניתן לבנות שרטוט סכמטי, שעליו יש להציג בצורה נכונה את הגרפים ומגבלות האינטגרציה.

אין בעיות עם גבולות האינטגרציה כאן הם נובעים ישירות מהתנאי:

- "x" משתנה מאפס ל-"pi". בואו נקבל החלטה נוספת:

על קטע, הגרף של פונקציה y= חטא 3 xממוקם מעל הציר שׁוֹר, בגלל זה:

(1) ניתן לראות כיצד סינוסים וקוסינוסים משולבים בחזקות אי-זוגיות בשיעור אינטגרלים של פונקציות טריגונומטריות. אנחנו צובטים סינוס אחד.

(2) אנו משתמשים בזהות הטריגונומטרית הראשית בטופס

(3) בואו נשנה את המשתנה ט=cos x, אם כן: ממוקם מעל הציר, לכן:

.

.

פֶּתֶק:שים לב כיצד נלקח האינטגרל של הקוביות המשיקות כאן

.

במאמר זה תלמדו כיצד למצוא את השטח של דמות התחום בקווים באמצעות חישובים אינטגרלים. לראשונה אנו נתקלים בניסוח של בעיה כזו בתיכון, כאשר זה עתה סיימנו את לימוד האינטגרלים המוגדרים והגיע הזמן להתחיל את הפרשנות הגיאומטרית של הידע הנרכש בפועל.

אז, מה נדרש כדי לפתור בהצלחה את הבעיה של מציאת השטח של דמות באמצעות אינטגרלים:

• יכולת ביצוע ציורים מוכשרים;
• יכולת לפתור אינטגרל מוגדר באמצעות נוסחת ניוטון-לייבניץ הידועה;
• היכולת "לראות" אפשרות פתרון רווחית יותר - כלומר. להבין איך יהיה נוח יותר לבצע אינטגרציה במקרה כזה או אחר? לאורך ציר ה-X (OX) או ציר ה-Y (OY)?
• ובכן, איפה היינו בלי חישובים נכונים?) זה כולל הבנה כיצד לפתור את הסוג האחר של אינטגרלים וחישובים מספריים נכונים.

אלגוריתם לפתרון הבעיה של חישוב השטח של דמות התחום בקווים:

1. אנחנו בונים ציור. רצוי לעשות זאת על פיסת נייר משובצת, בקנה מידה גדול. אנו חותמים את שם הפונקציה הזו בעיפרון מעל כל גרף. החתימה על הגרפים נעשית אך ורק לנוחות חישובים נוספים. לאחר קבלת גרף של הדמות הרצויה, ברוב המקרים יתברר מיד באילו גבולות של אינטגרציה ייעשה שימוש. לפיכך, אנו פותרים את הבעיה בצורה גרפית. עם זאת, קורה שהערכים של הגבולות הם חלקיים או לא רציונליים. לכן, אתה יכול לעשות חישובים נוספים, עבור לשלב השני.

2. אם גבולות האינטגרציה אינם מצוינים במפורש, אז אנו מוצאים את נקודות החיתוך של הגרפים זו עם זו ורואים אם הפתרון הגרפי שלנו עולה בקנה אחד עם הפתרון האנליטי.

3. לאחר מכן, אתה צריך לנתח את הציור. בהתאם לאופן שבו מסודרים גרפי הפונקציה, ישנן גישות שונות למציאת השטח של דמות. בואו נסתכל על דוגמאות שונות למציאת השטח של דמות באמצעות אינטגרלים.

3.1. הגרסה הקלאסית והפשוטה ביותר של הבעיה היא כאשר אתה צריך למצוא את השטח של טרפז מעוקל. מהו טרפז מעוקל? זהו דמות שטוחה המוגבלת על ידי ציר ה-x (y = 0), ישר x = a, x = bוכל עקומה רציפה על המרווח מ אאֶל ב. יתרה מכך, נתון זה אינו שלילי וממוקם לא מתחת לציר ה-x. במקרה זה, השטח של הטרפז העקום שווה מספרית לאינטגרל מסוים, המחושב באמצעות נוסחת ניוטון-לייבניץ:

דוגמה 1 y = x2 – 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.

באילו קווים תחומה הדמות? יש לנו פרבולה y = x2 – 3x + 3, אשר ממוקם מעל הציר הו, זה לא שלילי, כי לכל הנקודות של פרבולה זו יש ערכים חיוביים. לאחר מכן, נתון קווים ישרים x = 1ו x = 3, העוברים במקביל לציר Op-amp, הם קווי הגבול של הדמות משמאל ומימין. טוֹב y = 0, זה גם ציר ה-x, שמגביל את הדמות מלמטה. הדמות המתקבלת מוצללת, כפי שניתן לראות מהדמות משמאל. במקרה זה, אתה יכול מיד להתחיל לפתור את הבעיה. לפנינו דוגמה פשוטה לטרפז מעוקל, שאותו אנו פותרים לאחר מכן באמצעות נוסחת ניוטון-לייבניץ.

3.2. בפסקה הקודמת 3.1, בחנו את המקרה כאשר טרפז מעוקל ממוקם מעל ציר ה-x. עכשיו שקול את המקרה כאשר תנאי הבעיה זהים, אלא שהפונקציה נמצאת מתחת לציר ה-x. מינוס נוסף לנוסחת ניוטון-לייבניץ הסטנדרטית. נשקול כיצד לפתור בעיה כזו להלן.

דוגמה 2 . חשב את השטח של דמות התחום בקווים y = x2 + 6x + 2, x = -4, x = -1, y = 0.

בדוגמה זו יש לנו פרבולה y = x2 + 6x + 2, שמקורו בציר הו, ישר x = -4, x = -1, y = 0. כָּאן y = 0מגביל את הנתון הרצוי מלמעלה. יָשִׁיר x = -4ו x = -1אלו הגבולות שבתוכם יחושב האינטגרל המובהק. העיקרון של פתרון הבעיה של מציאת השטח של דמות תואם כמעט לחלוטין עם דוגמה מספר 1. ההבדל היחיד הוא שהפונקציה הנתונה אינה חיובית, והיא גם רציפה במרווח [-4; -1] . מה זאת אומרת לא חיובי? כפי שניתן לראות מהאיור, לדמות שנמצאת בתוך ה-x הנתון יש קואורדינטות "שליליות" בלבד, וזה מה שאנחנו צריכים לראות ולזכור כשפותרים את הבעיה. אנו מחפשים את שטח הדמות באמצעות נוסחת ניוטון-לייבניץ, רק עם סימן מינוס בהתחלה.

המאמר לא הושלם.

בחלק הקודם, שהוקדש לניתוח המשמעות הגאומטרית של אינטגרל מוגדר, קיבלנו מספר נוסחאות לחישוב שטחו של טרפז עקום:

Yandex.RTB R-A-339285-1

S (G) = ∫ a b f (x) d x עבור פונקציה רציפה ולא שלילית y = f (x) על המרווח [ a ; ב] ,

S (G) = - ∫ a b f (x) d x עבור פונקציה רציפה ולא חיובית y = f (x) על המרווח [ a ; ב] .

נוסחאות אלו ישימות לפתרון בעיות פשוטות יחסית. במציאות, לעתים קרובות נצטרך לעבוד עם דמויות מורכבות יותר. בהקשר זה, נקדיש חלק זה לניתוח אלגוריתמים לחישוב שטח הדמויות המוגבלים על ידי פונקציות בצורה מפורשת, כלומר. כמו y = f(x) או x = g(y).

מִשׁפָּט

תנו לפונקציות y = f 1 (x) ו- y = f 2 (x) להיות מוגדרות ורציפות על המרווח [ a ; b ] , ו- f 1 (x) ≤ f 2 (x) עבור כל ערך x מ- [ a ; ב] . אז הנוסחה לחישוב השטח של הדמות G, תחום בקווים x = a, x = b, y = f 1 (x) ו-y = f 2 (x) תיראה כמו S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x .

נוסחה דומה תחול על שטח של דמות התחום בקווים y = c, y = d, x = g 1 (y) ו-x = g 2 (y): S (G) = ∫ c d ( g 2 (y) - g 1 (y) d y .

הוֹכָחָה

הבה נסתכל על שלושה מקרים שהנוסחה תהיה תקפה עבורם.

במקרה הראשון, תוך התחשבות בתכונת התוספת של השטח, סכום השטחים של הדמות G המקורית והטרפז העקמומי G1 שווה לשטח הדמות G2. זה אומר ש

לכן, S (G) = S (G 2) - S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) dx.

אנו יכולים לבצע את המעבר האחרון באמצעות התכונה השלישית של האינטגרל המוגדר.

במקרה השני, השוויון נכון: S (G) = S (G 2) + S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x + - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 ( x) - f 1 (x)) ד x

האיור הגרפי ייראה כך:

אם שתי הפונקציות אינן חיוביות, נקבל: S (G) = S (G 2) - S (G 1) = - ∫ a b f 2 (x) d x - - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) d x . האיור הגרפי ייראה כך:

נעבור לשקול את המקרה הכללי כאשר y = f 1 (x) ו- y = f 2 (x) חותכים את ציר O x.

נסמן את נקודות החיתוך כ-x i, i = 1, 2,. . . , n - 1 . נקודות אלו מפצלות את הקטע [א; b] לתוך n חלקים x i-1; x i, i = 1, 2, . . . , n, כאשר α = x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Фигуру G можно представить объединением фигур G i , i = 1 , 2 , . . . , n . Очевидно, что на своем интервале G i попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как S (G i) = ∫ x i - 1 x i (f 2 (x) - f 1 (x)) d x , i = 1 , 2 , . . . , n

לָכֵן,

S (G) = ∑ i = 1 n S (G i) = ∑ i = 1 n ∫ x i x i f 2 (x) - f 1 (x)) d x = = ∫ x 0 x n (f 2 (x) - f ( x)) d x = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x

אנו יכולים לבצע את המעבר האחרון באמצעות התכונה החמישית של האינטגרל המוגדר.

הבה נמחיש את המקרה הכללי בגרף.

הנוסחה S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x יכולה להיחשב מוכחת.

כעת נעבור לניתוח דוגמאות לחישוב שטח הדמויות המוגבלים על ידי הקווים y = f (x) ו-x = g (y).

נתחיל את השיקול שלנו בכל אחת מהדוגמאות על ידי בניית גרף. התמונה תאפשר לנו לייצג צורות מורכבות כאיחודים של צורות פשוטות יותר. אם בניית גרפים ודמויות עליהם קשה לכם, תוכלו ללמוד את הקטע של פונקציות יסודיות בסיסיות, טרנספורמציה גיאומטרית של גרפים של פונקציות וכן בניית גרפים תוך כדי לימוד פונקציה.

דוגמה 1

יש צורך לקבוע את שטח הדמות, אשר מוגבל על ידי הפרבולה y = - x 2 + 6 x - 5 וקווים ישרים y = - 1 3 x - 1 2, x = 1, x = 4.

פִּתָרוֹן

נצייר את הקווים בגרף במערכת הקואורדינטות הקרטזית.

על הקטע [1; 4 ] הגרף של הפרבולה y = - x 2 + 6 x - 5 ממוקם מעל לקו הישר y = - 1 3 x - 1 2. בהקשר זה, כדי לקבל את התשובה אנו משתמשים בנוסחה שהתקבלה קודם לכן, כמו גם בשיטת חישוב האינטגרל המובהק באמצעות נוסחת ניוטון-לייבניץ:

S (G) = ∫ 1 4 - x 2 + 6 x - 5 - - 1 3 x - 1 2 d x = = ∫ 1 4 - x 2 + 19 3 x - 9 2 d x = - 1 3 x 3 + 19 6 x 2 - 9 2 x 1 4 = = - 1 3 4 3 + 19 6 4 2 - 9 2 4 - - 1 3 1 3 + 19 6 1 2 - 9 2 1 = = - 64 3 + 152 3 - 18 + 1 3 - 19 6 + 9 2 = 13

תשובה: S(G) = 13

בואו נסתכל על דוגמה מורכבת יותר.

דוגמה 2

יש צורך לחשב את השטח של הדמות, אשר מוגבל על ידי הקווים y = x + 2, y = x, x = 7.

פִּתָרוֹן

במקרה זה, יש לנו רק קו ישר אחד הממוקם במקביל לציר ה-x. זה x = 7. זה מחייב אותנו למצוא את הגבול השני של האינטגרציה בעצמנו.

בואו נבנה גרף ונשרטט עליו את הקווים הניתנים בהצהרת הבעיה.

כאשר הגרף נמצא לנגד עינינו, נוכל לקבוע בקלות שהגבול התחתון של האינטגרציה יהיה האבססיס של נקודת החיתוך של גרף הישר y = x והפרבולה למחצה y = x + 2. כדי למצוא את האבשיסה אנו משתמשים בשוויון:

y = x + 2 O DZ: x ≥ - 2 x 2 = x + 2 2 x 2 - x - 2 = 0 D = (- 1) 2 - 4 1 (- 2) = 9 x 1 = 1 + 9 2 = 2 ∈ O DZ x 2 = 1 - 9 2 = - 1 ∉ O DZ

מסתבר שהאבססיס של נקודת החיתוך הוא x = 2.

אנו מפנים את תשומת לבך לעובדה שבדוגמה הכללית בציור, הקווים y = x + 2, y = x מצטלבים בנקודה (2; 2), כך שחישובים מפורטים כאלה עשויים להיראות מיותרים. סיפקנו כאן פתרון כל כך מפורט רק בגלל שבמקרים מורכבים יותר ייתכן שהפתרון לא כל כך ברור. זה אומר שתמיד עדיף לחשב את הקואורדינטות של מפגש הקווים בצורה אנליטית.

על המרווח [2; 7] הגרף של הפונקציה y = x ממוקם מעל הגרף של הפונקציה y = x + 2. בוא ניישם את הנוסחה כדי לחשב את השטח:

S (G) = ∫ 2 7 (x - x + 2) d x = x 2 2 - 2 3 · (x + 2) 3 2 2 7 = = 7 2 2 - 2 3 · (7 + 2) 3 2 - 2 2 2 - 2 3 2 + 2 3 2 = = 49 2 - 18 - 2 + 16 3 = 59 6

תשובה: S (G) = 59 6

דוגמה 3

יש צורך לחשב את שטח הדמות, המוגבלת על ידי הגרפים של הפונקציות y = 1 x ו- y = - x 2 + 4 x - 2.

פִּתָרוֹן

בואו נשרטט את הקווים בגרף.

בואו נגדיר את גבולות האינטגרציה. לשם כך, אנו קובעים את הקואורדינטות של נקודות החיתוך של הקווים על ידי השוואת הביטויים 1 x ו - x 2 + 4 x - 2. בתנאי ש-x אינו אפס, השוויון 1 x = - x 2 + 4 x - 2 הופך שווה ערך למשוואת המעלה השלישית - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 = 0 עם מקדמים שלמים. כדי לרענן את הזיכרון שלך לגבי האלגוריתם לפתרון משוואות כאלה, נוכל להתייחס לסעיף "פתרון משוואות מעוקבות".

השורש של משוואה זו הוא x = 1: - 1 3 + 4 1 2 - 2 1 - 1 = 0.

מחלקים את הביטוי - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 בבינומי x - 1, נקבל: - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ⇔ - (x - 1) (x 2 - 3 x - 1) = 0

נוכל למצוא את השורשים הנותרים מהמשוואה x 2 - 3 x - 1 = 0:

x 2 - 3 x - 1 = 0 D = (- 3) 2 - 4 · 1 · (- 1) = 13 x 1 = 3 + 13 2 ≈ 3 . 3; x 2 = 3 - 13 2 ≈ - 0 . 3

מצאנו את המרווח x ∈ 1; 3 + 13 2, שבו הדמות G כלולה מעל הכחול ומתחת לקו האדום. זה עוזר לנו לקבוע את השטח של הדמות:

S (G) = ∫ 1 3 + 13 2 - x 2 + 4 x - 2 - 1 x d x = - x 3 3 + 2 x 2 - 2 x - ln x 1 3 + 13 2 = = - 3 + 13 2 3 3 + 2 3 + 13 2 2 - 2 3 + 13 2 - ln 3 + 13 2 - - - 1 3 3 + 2 1 2 - 2 1 - ln 1 = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

תשובה: S (G) = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

דוגמה 4

יש צורך לחשב את השטח של הדמות, אשר מוגבל על ידי העקומות y = x 3, y = - log 2 x + 1 וציר האבססיס.

פִּתָרוֹן

בואו נשרטט את כל הקווים בגרף. נוכל לקבל את הגרף של הפונקציה y = - log 2 x + 1 מהגרף y = log 2 x אם נמקם אותו באופן סימטרי על ציר ה-x ונעביר אותו למעלה יחידה אחת. משוואת ציר x היא y = 0.

הבה נסמן את נקודות החיתוך של הקווים.

כפי שניתן לראות מהאיור, הגרפים של הפונקציות y = x 3 ו- y = 0 מצטלבים בנקודה (0; 0). זה קורה כי x = 0 הוא השורש האמיתי היחיד של המשוואה x 3 = 0.

x = 2 הוא השורש היחיד של המשוואה - log 2 x + 1 = 0, כך שהגרפים של הפונקציות y = - log 2 x + 1 ו- y = 0 מצטלבים בנקודה (2; 0).

x = 1 הוא השורש היחיד של המשוואה x 3 = - log 2 x + 1 . בהקשר זה, הגרפים של הפונקציות y = x 3 ו- y = - log 2 x + 1 מצטלבים בנקודה (1; 1). ההצהרה האחרונה אולי לא ברורה, אבל המשוואה x 3 = - log 2 x + 1 לא יכולה להיות יותר משורש אחד, מכיוון שהפונקציה y = x 3 הולכת וגדלה לחלוטין, והפונקציה y = - log 2 x + 1 היא יורד בהחלט.

הפתרון הנוסף כולל מספר אפשרויות.

אפשרות מס' 1

אנו יכולים לדמיין את הדמות G כסכום של שני טרפזים עקומים הממוקמים מעל ציר ה-x, שהראשון שבהם ממוקם מתחת לקו האמצע בקטע x ∈ 0; 1, והשני נמצא מתחת לקו האדום בקטע x ∈ 1; 2. המשמעות היא שהשטח יהיה שווה ל-S (G) = ∫ 0 1 x 3 d x + ∫ 1 2 (- log 2 x + 1) d x .

אפשרות מס' 2

איור G יכול להיות מיוצג כהבדל של שתי דמויות, שהראשונה ממוקמת מעל ציר ה-x ומתחת לקו הכחול בקטע x ∈ 0; 2, והשני בין הקווים האדומים והכחולים בקטע x ∈ 1; 2. זה מאפשר לנו למצוא את האזור באופן הבא:

S (G) = ∫ 0 2 x 3 d x - ∫ 1 2 x 3 - (- log 2 x + 1) d x

במקרה זה, כדי למצוא את השטח תצטרך להשתמש בנוסחה בצורה S (G) = ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y)) d y. למעשה, הקווים שקושרים את הדמות יכולים להיות מיוצגים כפונקציות של הארגומנט y.

בואו נפתור את המשוואות y = x 3 ו- log 2 x + 1 ביחס ל-x:

y = x 3 ⇒ x = y 3 y = - log 2 x + 1 ⇒ log 2 x = 1 - y ⇒ x = 2 1 - y

נקבל את השטח הנדרש:

S (G) = ∫ 0 1 (2 1 - y - y 3) d y = - 2 1 - y ln 2 - y 4 4 0 1 = = - 2 1 - 1 ln 2 - 1 4 4 - - 2 1 - 0 ln 2 - 0 4 4 = - 1 ln 2 - 1 4 + 2 ln 2 = 1 ln 2 - 1 4

תשובה: S (G) = 1 ln 2 - 1 4

דוגמה 5

יש צורך לחשב את השטח של הדמות, המוגבלת על ידי הקווים y = x, y = 2 3 x - 3, y = - 1 2 x + 4.

פִּתָרוֹן

עם קו אדום נשרטט את הקו המוגדר על ידי הפונקציה y = x. אנו מציירים את הקו y = - 1 2 x + 4 בכחול, ואת הקו y = 2 3 x - 3 בשחור.

בואו נסמן את נקודות ההצטלבות.

בואו נמצא את נקודות החיתוך של הגרפים של הפונקציות y = x ו- y = - 1 2 x + 4:

x = - 1 2 x + 4 O DZ: x ≥ 0 x = - 1 2 x + 4 2 ⇒ x = 1 4 x 2 - 4 x + 16 ⇔ x 2 - 20 x + 64 = 0 D = (- 20 ) 2 - 4 1 64 = 144 x 1 = 20 + 144 2 = 16 ; x 2 = 20 - 144 2 = 4 בדוק: x 1 = 16 = 4, - 1 2 x 1 + 4 = - 1 2 16 + 4 = - 4 ⇒ x 1 = 16 לא האם הפתרון למשוואה x 2 = 4 = 2, - 1 2 x 2 + 4 = - 1 2 4 + 4 = 2 ⇒ x 2 = 4 הוא הפתרון למשוואה ⇒ (4; 2) נקודת החיתוך i y = x ו- y = - 1 2 x + 4

בוא נמצא את נקודת החיתוך של הגרפים של הפונקציות y = x ו- y = 2 3 x - 3:

x = 2 3 x - 3 O DZ: x ≥ 0 x = 2 3 x - 3 2 ⇔ x = 4 9 x 2 - 4 x + 9 ⇔ 4 x 2 - 45 x + 81 = 0 D = (- 45 ) 2 - 4 4 81 = 729 x 1 = 45 + 729 8 = 9, x 2 45 - 729 8 = 9 4 בדוק: x 1 = 9 = 3, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 - 3 = 3 ⇒ x 1 = 9 הוא הפתרון למשוואה ⇒ (9 ; 3) נקודה a s y = x ו- y = 2 3 x - 3 x 2 = 9 4 = 3 2, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 4 - 3 = - 3 2 ⇒ x 2 = 9 4 אין פתרון למשוואה

בואו נמצא את נקודת החיתוך של הקווים y = - 1 2 x + 4 ו- y = 2 3 x - 3:

1 2 x + 4 = 2 3 x - 3 ⇔ - 3 x + 24 = 4 x - 18 ⇔ 7 x = 42 ⇔ x = 6 - 1 2 6 + 4 = 2 3 6 - 3 = 1 ⇒ (6; 1 ) נקודת החיתוך y = - 1 2 x + 4 ו- y = 2 3 x - 3

שיטה מס' 1

הבה נדמיין את שטח הדמות הרצויה כסכום השטחים של דמויות בודדות.

ואז השטח של הדמות הוא:

S (G) = ∫ 4 6 x - - 1 2 x + 4 d x + ∫ 6 9 x - 2 3 x - 3 d x = = 2 3 x 3 2 + x 2 4 - 4 x 4 6 + 2 3 x 3 2 - x 2 3 + 3 x 6 9 = = 2 3 6 3 2 + 6 2 4 - 4 6 - 2 3 4 3 2 + 4 2 4 - 4 4 + + 2 3 9 3 2 - 9 2 3 + 3 9 - 2 3 6 3 2 - 6 2 3 + 3 6 = = - 25 3 + 4 6 + - 4 6 + 12 = 11 3

שיטה מס' 2

השטח של הדמות המקורית יכול להיות מיוצג כסכום של שתי דמויות אחרות.

לאחר מכן אנו פותרים את משוואת הישר ביחס ל-x, ורק לאחר מכן אנו מיישמים את הנוסחה לחישוב שטח הדמות.

y = x ⇒ x = y 2 קו אדום y = 2 3 x - 3 ⇒ x = 3 2 y + 9 2 קו שחור y = - 1 2 x + 4 ⇒ x = - 2 y + 8 s i n i a l i n e

אז השטח הוא:

S (G) = ∫ 1 2 3 2 y + 9 2 - - 2 y + 8 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = ∫ 1 2 7 2 y - 7 2 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = 7 4 y 2 - 7 4 y 1 2 + - y 3 3 + 3 y 2 4 + 9 2 y 2 3 = 7 4 2 2 - 7 4 2 - 7 4 1 2 - 7 4 1 + + - 3 3 3 + 3 3 2 4 + 9 2 3 - - 2 3 3 + 3 2 2 4 + 9 2 2 = = 7 4 + 23 12 = 11 3

כפי שאתה יכול לראות, הערכים זהים.

תשובה: S (G) = 11 3

תוצאות

כדי למצוא את השטח של דמות המוגבלת על ידי קווים נתונים, עלינו לבנות קווים במישור, למצוא את נקודות החיתוך שלהם וליישם את הנוסחה כדי למצוא את השטח. בחלק זה, בחנו את הגרסאות הנפוצות ביותר של משימות.

אם אתה מבחין בשגיאה בטקסט, אנא סמן אותה והקש Ctrl+Enter

אנו מתחילים לשקול את תהליך חישוב האינטגרל הכפול בפועל ולהכיר את המשמעות הגאומטרית שלו.

האינטגרל הכפול שווה מספרית לשטח דמות המישור (אזור האינטגרציה). זוהי הצורה הפשוטה ביותר של אינטגרל כפול, כאשר הפונקציה של שני משתנים שווה לאחד: .

ראשית, בואו נסתכל על הבעיה בצורה כללית. עכשיו תתפלאו עד כמה הכל באמת פשוט! בואו לחשב את השטח של דמות שטוחה התחום בקווים. ליתר ביטחון, אנו מניחים שבקטע . השטח של נתון זה שווה מספרית ל:

בואו נתאר את האזור בציור:

בואו נבחר את הדרך הראשונה לחצות את האזור:

כָּך:

ומיד טכניקה טכנית חשובה: ניתן לחשב אינטגרלים חוזרים בנפרד. קודם האינטגרל הפנימי, אחר כך האינטגרל החיצוני. אני ממליץ בחום על שיטה זו למתחילים בנושא.

1) בוא נחשב את האינטגרל הפנימי, והשילוב מתבצע על המשתנה "y":

האינטגרל הבלתי מוגדר כאן הוא הפשוט ביותר, ואז משתמשים בנוסחה הבנאלית של ניוטון-לייבניץ, עם ההבדל היחיד שהוא גבולות האינטגרציה אינם מספרים, אלא פונקציות. ראשית, החלפנו את הגבול העליון ב-"y" (פונקציה אנטי-נגזרת), ולאחר מכן את הגבול התחתון

2) יש להחליף את התוצאה המתקבלת בפסקה הראשונה באינטגרל החיצוני:

ייצוג קומפקטי יותר של הפתרון כולו נראה כך:

הנוסחה שהתקבלה היא בדיוק נוסחת העבודה לחישוב השטח של דמות מישור באמצעות האינטגרל המובהק "הרגיל"! צפו בשיעור חישוב שטח באמצעות אינטגרל מוגדר, הנה היא בכל צעד!

כלומר, בעיה של חישוב שטח באמצעות אינטגרל כפול לא שונה בהרבהמהבעיה של מציאת השטח באמצעות אינטגרל מובהק!למעשה, זה אותו דבר!

בהתאם, לא צריכים להתעורר קשיים! אני לא אסתכל על הרבה מאוד דוגמאות, שכן אתה, למעשה, נתקלת שוב ושוב במשימה זו.

דוגמה 9

פִּתָרוֹן:בואו נתאר את האזור בציור:

הבה נבחר את סדר המעבר הבא של האזור:

כאן ועוד לא אתעכב על איך לחצות את השטח, שכן הסברים מפורטים מאוד ניתנו בפסקה הראשונה.

כָּך:

כפי שכבר ציינתי, עדיף למתחילים לחשב אינטגרלים חוזרים בנפרד, ואני אצמד לאותה שיטה:

1) ראשית, באמצעות נוסחת ניוטון-לייבניץ, אנו עוסקים באינטגרל הפנימי:

2) התוצאה המתקבלת בשלב הראשון מוחלפת באינטגרל החיצוני:

נקודה 2 היא למעשה מציאת השטח של דמות מישור באמצעות אינטגרל מוגדר.

תְשׁוּבָה:

זו משימה כל כך מטופשת ונאיבית.

דוגמה מעניינת לפתרון עצמאי:

דוגמה 10

באמצעות אינטגרל כפול, חשב את השטח של דמות מישור התחום בקווים , ,

דוגמה משוערת לפתרון סופי בסוף השיעור.

בדוגמאות 9-10, הרבה יותר משתלם להשתמש בשיטה הראשונה של חציית השטח, אגב, קוראים סקרנים יכולים לשנות את סדר המעבר ולחשב את השטחים בשיטה השנייה. אם לא תטעו, אז, באופן טבעי, תקבלו את אותם ערכי שטח.

אבל במקרים מסוימים, השיטה השנייה לחצות את האזור יעילה יותר, ובסוף הקורס של החנון הצעיר, בואו נסתכל על עוד כמה דוגמאות בנושא זה:

דוגמה 11

באמצעות אינטגרל כפול, חשב את השטח של דמות מישור התחום בקווים,

פִּתָרוֹן:אנחנו מצפים לשתי פרבולות עם מוזרויות ששוכבות על הצדדים. אין צורך לחייך דברים דומים מתרחשים לעתים קרובות למדי באינטגרלים מרובים.

מהי הדרך הקלה ביותר לצייר ציור?

בואו נדמיין פרבולה בצורה של שתי פונקציות:
– הענף העליון ו- הענף התחתון.

באופן דומה, דמיינו פרבולה בצורת עליון ותחתון סניפים.

לאחר מכן, שרטוט נקודתי של כללי גרפים, וכתוצאה מכך נתון מוזר זה:

אנו מחשבים את שטח הדמות באמצעות האינטגרל הכפול לפי הנוסחה:

מה קורה אם נבחר בשיטה הראשונה של חציית האזור? ראשית, אזור זה יצטרך להיות מחולק לשני חלקים. ושנית, נתבונן בתמונה העצובה הזו: . אינטגרלים, כמובן, אינם ברמה סופר מסובכת, אבל... יש פתגם מתמטי ישן: מי שקרוב לשורשיו לא צריך מבחן.

לכן, מתוך אי ההבנה שניתנה בתנאי, אנו מבטאים את הפונקציות ההפוכות:

לפונקציות הפוכות בדוגמה זו יש יתרון שהן מציינות את כל הפרבולה בבת אחת ללא עלים, בלוטים, ענפים ושורשים.

לפי השיטה השנייה, חציית השטח תהיה כדלקמן:

כָּך:

כמו שאומרים, הרגישו את ההבדל.

1) אנו עוסקים באינטגרל הפנימי:

נחליף את התוצאה באינטגרל החיצוני:

אינטגרציה על המשתנה "y" לא אמורה לבלבל אם הייתה אות "zy", זה יהיה נהדר לשלב מעליה. אמנם מי קרא את הפסקה השנייה של השיעור כיצד לחשב נפח של גוף סיבוב, הוא כבר לא חווה שמץ של סרבול עם אינטגרציה לפי שיטת "Y".

שימו לב גם לשלב הראשון: האינטגרנד זוגי, ומרווח האינטגרציה סימטרי בערך אפס. לכן, ניתן לחצות את הקטע, ולהכפיל את התוצאה. טכניקה זו מוערת בפירוט בשיעור. שיטות יעילות לחישוב האינטגרל המובהק.

מה להוסיף... כֹּל!

תְשׁוּבָה:

כדי לבדוק את טכניקת האינטגרציה שלך, אתה יכול לנסות לחשב . התשובה צריכה להיות זהה לחלוטין.

דוגמה 12

באמצעות אינטגרל כפול, חשב את השטח של דמות מישור התחום בקווים

זו דוגמה שתוכל לפתור בעצמך. מעניין לציין שאם תנסו להשתמש בשיטה הראשונה של חציית השטח, הדמות כבר לא תצטרך להיות מחולקת לשניים, אלא לשלושה חלקים! ובהתאם לכך, אנו מקבלים שלושה זוגות של אינטגרלים חוזרים. גם זה קורה.

כיתת המאסטר הגיעה לסיומה, והגיע הזמן לעבור לרמת הגראנדמאסטר - איך מחשבים אינטגרל כפול? דוגמאות לפתרונות. אני אשתדל לא להיות כל כך מטורף במאמר השני =)

אני מאחל לך הצלחה!

פתרונות ותשובות:

דוגמה 2:פִּתָרוֹן: בואו נתאר את האזור על הציור:

הבה נבחר את סדר המעבר הבא של האזור:

כָּך:
נעבור לפונקציות הפוכות:


כָּך:
תְשׁוּבָה:

דוגמה 4:פִּתָרוֹן: בואו נעבור לפונקציות ישירות:


בואו נעשה את הציור:

בואו נשנה את סדר המעבר באזור:

תְשׁוּבָה:

אינטגרל מובהק. כיצד לחשב שטח של דמות

הבה נעבור לשקול יישומים של חשבון אינטגרלי. בשיעור זה ננתח את המשימה האופיינית והנפוצה ביותר - כיצד להשתמש באינטגרל מוגדר כדי לחשב את השטח של דמות מישור. לבסוף, מי שמחפש משמעות במתמטיקה גבוהה יותר - שימצאו אותה. אתה אף פעם לא יודע. בחיים האמיתיים, תצטרך להעריך עלילת דאצ'ה באמצעות פונקציות יסודיות ולמצוא את השטח שלה באמצעות אינטגרל מוגדר.

כדי לשלוט בהצלחה בחומר, עליך:

1) הבן את האינטגרל הבלתי מוגדר לפחות ברמת ביניים. לפיכך, על בובות לקרוא תחילה את השיעור לֹא.

2) להיות מסוגל ליישם את נוסחת ניוטון-לייבניץ ולחשב את האינטגרל המובהק. אתה יכול ליצור קשרי ידידות חמים עם אינטגרלים מסוימים בדף אינטגרל מובהק. דוגמאות לפתרונות.

למעשה, כדי למצוא את השטח של דמות, אתה לא צריך כל כך הרבה ידע על האינטגרל הבלתי מוגדר והמוגדר. המשימה "לחשב את השטח באמצעות אינטגרל מוגדר" כרוכה תמיד בבניית ציור, כך שהידע שלך וכישורי הציור יהיו נושא דחוף הרבה יותר. בהקשר זה, כדאי לרענן את הזיכרון שלך מהגרפים של פונקציות בסיסיות, ולכל הפחות, להיות מסוגל לבנות קו ישר, פרבולה והיפרבולה. זה יכול להיעשות (עבור רבים, זה הכרחי) בעזרת חומר מתודולוגי ומאמר על טרנספורמציות גיאומטריות של גרפים.

למעשה, כולם מכירים את המשימה של מציאת השטח באמצעות אינטגרל מובהק מאז בית הספר, ולא נלך רחוק יותר מתוכנית הלימודים בבית הספר. המאמר הזה אולי לא היה קיים בכלל, אבל העובדה היא שהבעיה מתרחשת ב-99 מקרים מתוך 100, כאשר תלמיד סובל מבית ספר שנוא ושולט בהתלהבות בקורס במתמטיקה גבוהה יותר.

החומרים של סדנה זו מוצגים בפשטות, בפירוט ובמינימום תיאוריה.

נתחיל עם טרפז מעוקל.

טרפז עקוםהוא דמות שטוחה התחום על ידי ציר, קווים ישרים וגרף של פונקציה רציף על מרווח שאינו משנה סימן במרווח זה. תן לדמות הזו להיות ממוקם לא נמוך יותרציר x:

אָז השטח של טרפז עקום שווה מספרית לאינטגרל מוגדר. לכל אינטגרל מוגדר (שקיים) יש משמעות גיאומטרית טובה מאוד. בכיתה אינטגרל מובהק. דוגמאות לפתרונותאמרתי שאינטגרל מוגדר הוא מספר. ועכשיו הגיע הזמן לציין עוד עובדה שימושית. מנקודת מבט של גיאומטריה, האינטגרל המובהק הוא AREA.

כלומר, האינטגרל המובהק (אם הוא קיים) מתאים מבחינה גיאומטרית לשטח של דמות מסוימת. לדוגמה, שקול את האינטגרל המובהק. האינטגרנד מגדיר עקומה במישור הממוקם מעל הציר (מי שרוצה יכול לעשות ציור), והאינטגרל המובהק עצמו שווה מספרית לשטח הטרפז העקום המקביל.

דוגמה 1

זוהי הצהרת משימה טיפוסית. הנקודה הראשונה והחשובה ביותר בהחלטה היא בניית שרטוט. יתר על כן, השרטוט חייב להיות בנוי יָמִינָה.

בעת בניית ציור, אני ממליץ על הסדר הבא: בהתחלהעדיף לבנות את כל הקווים הישרים (אם קיימים) ורק אָז– פרבולות, היפרבולות, גרפים של פונקציות אחרות. יותר משתלם לבנות גרפים של פונקציות נקודה אחר נקודה, ניתן למצוא את טכניקת הבנייה הנקודתית בחומר העזר גרפים ומאפיינים של פונקציות יסודיות. שם תוכלו למצוא גם חומר שימושי מאוד לשיעור שלנו - איך לבנות מהר פרבולה.

בבעיה זו, הפתרון עשוי להיראות כך.
בוא נשלים את הציור (שים לב שהמשוואה מגדירה את הציר):

אני לא אצל את הטרפז המעוקל כאן ברור על איזה אזור אנחנו מדברים. הפתרון ממשיך כך:

על הקטע, גרף הפונקציה ממוקם מעל הציר, בגלל זה:

תְשׁוּבָה:

למי יש קשיים בחישוב האינטגרל המובהק ויישום נוסחת ניוטון-לייבניץ , עיין בהרצאה אינטגרל מובהק. דוגמאות לפתרונות.

לאחר השלמת המשימה, תמיד כדאי להסתכל על הציור ולהבין אם התשובה אמיתית. במקרה זה, אנו סופרים את מספר התאים בציור "בעין" - ובכן, יהיו בערך 9, נראה שזה נכון. ברור לחלוטין שאם קיבלנו, נניח, את התשובה: 20 יחידות מרובעות, אז ברור שנעשתה טעות איפשהו - 20 תאים כמובן לא מתאימים לנתון המדובר, לכל היותר תריסר. אם התשובה שלילית, אז גם המשימה נפתרה בצורה לא נכונה.

דוגמה 2

חשב את השטח של דמות התחום בקווים, , וציר

זו דוגמה שתוכל לפתור בעצמך. פתרון מלא ותשובה בסוף השיעור.

מה לעשות אם הטרפז המעוקל ממוקם מתחת לסרן?

דוגמה 3

חשב את שטח הדמות התחום בקווים ובצירי קואורדינטות.

פִּתָרוֹן: בוא נעשה ציור:

אם נמצא טרפז מעוקל מתחת לסרן(או לפחות לא גבוה יותרציר נתון), אז ניתן למצוא את השטח שלו באמצעות הנוסחה:
במקרה זה:

תְשׁוּמַת לֵב! אין לבלבל בין שני סוגי המשימות:

1) אם תתבקשו לפתור פשוט אינטגרל מוגדר ללא כל משמעות גיאומטרית, אז הוא עשוי להיות שלילי.

2) אם תתבקשו למצוא את השטח של דמות באמצעות אינטגרל מוגדר, אז השטח תמיד חיובי! לכן המינוס מופיע בנוסחה שנידונה זה עתה.

בפועל, לרוב הדמות ממוקמת הן בחצי המישור העליון והן בחצי המישור התחתון, ולכן, מבעיות בית הספר הפשוטות ביותר נעבור לדוגמאות משמעותיות יותר.

דוגמה 4

מצא את השטח של דמות מישור התחום בקווים, .

פִּתָרוֹן: ראשית עליך להשלים את הציור. באופן כללי, כאשר בונים ציור בבעיות שטח, אנו מתעניינים בעיקר בנקודות החיתוך של קווים. בוא נמצא את נקודות החיתוך של הפרבולה והקו הישר. זה יכול להיעשות בשתי דרכים. השיטה הראשונה היא אנליטית. נפתור את המשוואה:

זה אומר שהגבול התחתון של האינטגרציה הוא , הגבול העליון של האינטגרציה הוא .
אם אפשר, עדיף לא להשתמש בשיטה זו..

הרבה יותר רווחי ומהיר יותר לבנות קווים נקודה אחר נקודה, וגבולות האינטגרציה מתבהרים "מעצמם". טכניקת הבנייה הנקודתית של גרפים שונים נדונה בפירוט בעזרה גרפים ומאפיינים של פונקציות יסודיות. עם זאת, השיטה האנליטית של מציאת גבולות עדיין צריכה לשמש לפעמים אם, למשל, הגרף גדול מספיק, או שהבנייה המפורטת לא חשפה את גבולות האינטגרציה (הם יכולים להיות חלקים או לא רציונליים). וגם נשקול דוגמה כזו.

נחזור למשימה שלנו: יותר רציונלי לבנות קודם קו ישר ורק אחר כך פרבולה. בואו נעשה את הציור:

אני חוזר על כך שכאשר בונים באופן נקודתי, גבולות האינטגרציה מתגלים לרוב "באופן אוטומטי".

ועכשיו נוסחת העבודה: אם יש פונקציה רציפה כלשהי על הקטע גדול או שווה לפונקציה רציפה כלשהי , ואז ניתן למצוא את שטח הדמות התחום על ידי הגרפים של הפונקציות הללו והקווים , , באמצעות הנוסחה:

כאן אתה כבר לא צריך לחשוב איפה הדמות ממוקמת - מעל הציר או מתחת לציר, ובגדול, זה משנה איזה גרף גבוה יותר(ביחס לגרף אחר), ואיזה מהם נמצא מתחת.

בדוגמה הנבדקת, ברור שעל הקטע הפרבולה ממוקמת מעל לקו הישר, ולכן יש צורך להחסיר ממנו

הפתרון המושלם עשוי להיראות כך:

הדמות הרצויה מוגבלת על ידי פרבולה מעל וקו ישר למטה.
על הקטע, לפי הנוסחה המתאימה:

תְשׁוּבָה:

למעשה, נוסחת בית הספר לשטח של טרפז עקום בחצי המישור התחתון (ראה דוגמה פשוטה מס' 3) היא מקרה מיוחד של הנוסחה . מכיוון שהציר מוגדר על ידי המשוואה, והגרף של הפונקציה נמצא לא גבוה יותרצירים, אם כן

ועכשיו כמה דוגמאות לפתרון משלך

דוגמה 5

דוגמה 6

מצא את השטח של הדמות התחום בקווים, .

כאשר פותרים בעיות הכרוכות בחישוב שטח באמצעות אינטגרל מוגדר, קורה לפעמים תקרית מצחיקה. השרטוט נעשה נכון, החישובים היו נכונים, אבל בגלל חוסר זהירות... נמצא השטח של הדמות הלא נכונה, כך בדיוק פישל המשרת הצנוע שלך כמה פעמים. הנה מקרה מהחיים האמיתיים:

דוגמה 7

חשב את שטח הדמות התחום על ידי הקווים , , , .

פִּתָרוֹן: ראשית, בואו נעשה ציור:

...אה, הציור יצא שטויות, אבל הכל נראה קריא.

הדמות שאת השטח שלה אנחנו צריכים למצוא מוצללת בכחול(הסתכלו היטב על המצב - איך הנתון מוגבל!). אבל בפועל, בגלל חוסר תשומת לב, מתרחשת לעתים קרובות "תקלה" שאתה צריך למצוא את השטח של דמות מוצלת בירוק!

דוגמה זו שימושית גם בכך שהיא מחשבת את השטח של דמות באמצעות שני אינטגרלים מוגדרים. בֶּאֱמֶת:

1) על הקטע שמעל הציר יש גרף של קו ישר;

2) על הקטע שמעל הציר יש גרף של היפרבולה.

ברור למדי שניתן (וצריך) להוסיף את האזורים, לכן:

תְשׁוּבָה:

נעבור למשימה משמעותית אחרת.

דוגמה 8

חשב את השטח של דמות התחום בקווים,
בואו נציג את המשוואות בצורה "בית ספר" ונעשה ציור נקודתי:

מהציור ברור שהגבול העליון שלנו הוא "טוב":.
אבל מה הגבול התחתון?! ברור שזה לא מספר שלם, אבל מה זה? יכול להיות? אבל איפה הערובה שהציור נעשה בדיוק מושלם, בהחלט יכול להתברר ש... או השורש. מה אם בנינו את הגרף בצורה לא נכונה?

במקרים כאלה, אתה צריך להשקיע זמן נוסף ולהבהיר את גבולות האינטגרציה בצורה אנליטית.

בוא נמצא את נקודות החיתוך של קו ישר ופרבולה.
לשם כך נפתור את המשוואה:


,

באמת, .

הפתרון הנוסף הוא טריוויאלי, העיקר לא להתבלבל בהחלפות ובסימנים החישובים כאן הם לא הכי פשוטים;

על הקטע , לפי הנוסחה המתאימה:

תְשׁוּבָה:

ובכן, לסיום השיעור, בואו נסתכל על עוד שתי משימות קשות.

דוגמה 9

חשב את שטח הדמות התחום בקווים , ,

פִּתָרוֹן: בואו נתאר את הדמות הזו בציור.

לעזאזל, שכחתי לחתום על לוח הזמנים, וסליחה, לא רציתי לחזור על התמונה. לא יום ציור, בקיצור, היום זה היום =)

לבנייה נקודתית, יש צורך לדעת את המראה של סינוסואיד (ובאופן כללי כדאי לדעת גרפים של כל הפונקציות היסודיות), כמו גם כמה ערכי סינוס, ניתן למצוא אותם ב טבלה טריגונומטרית. במקרים מסוימים (כמו במקרה זה), ניתן לבנות שרטוט סכמטי, שעליו יש להציג בצורה נכונה את הגרפים ומגבלות האינטגרציה.

אין בעיות עם גבולות האינטגרציה כאן הם נובעים ישירות מהתנאי: "x" משתנה מאפס ל"pi". בואו נקבל החלטה נוספת:

על הקטע, הגרף של הפונקציה ממוקם מעל הציר, לכן: