אילו מספרים נקראים מספרים שלמים? המחלק המשותף הגדול ביותר והמחלק המשותף הפחות. קריטריונים לחלוקה ושיטות קיבוץ (2019)

הערות חשובות!
1. אם אתה רואה gobbledygook במקום נוסחאות, נקה את המטמון שלך. כיצד לעשות זאת בדפדפן שלך כתוב כאן:
2. לפני שתתחיל לקרוא את המאמר, שים לב לנווט שלנו עבור המשאבים השימושיים ביותר עבור

כדי להפוך את החיים שלך להרבה יותר קלים כשאתה צריך לחשב משהו, להרוויח זמן יקר בבחינת המדינה המאוחדת או הבחינה המאוחדת, לעשות פחות טעויות טיפשיות - קרא את הסעיף הזה!

הנה מה שתלמד:

• כיצד לספור מהר יותר, קל יותר ומדויק יותר בשימושקיבוץ מספריםבעת חיבור וחיסור,
• כיצד להכפיל ולחלק במהירות ללא שגיאות באמצעות כללי כפל וסימני חלוקה,
• כיצד להאיץ משמעותית את החישובים באמצעות כפולה משותפת מינימאלית(NOK) ו המחלק המשותף הגדול ביותר(מָנוֹד רֹאשׁ).

שליטה בטכניקות בסעיף זה יכולה להטות את הכף לכיוון זה או אחר...בין אם תכנסו לאוניברסיטה החלומות שלכם או לא, אתם או ההורים שלכם תצטרכו לשלם הרבה כסף על השכלה או שתירשמו בתקציב. .

בוא נצלול ישר פנימה... (בוא נלך!)

נ.ב. עצה אחרונה יקרת ערך...

חבורה של מספרים שלמיםמורכב מ-3 חלקים:

1. מספרים שלמים(נסתכל עליהם ביתר פירוט בהמשך);
2. מספרים הפוכים למספרים טבעיים(הכל ייפול למקומו ברגע שתדעו מהם מספרים טבעיים);
3. אפס -" " (איפה היינו בלעדיו?)

האות ז.

מספרים שלמים

"אלוהים ברא מספרים טבעיים, כל השאר הוא מעשה ידי אדם" (ג) המתמטיקאי הגרמני קרונקר.

מספרים טבעיים הםמספרים שאנו משתמשים בהם כדי לספור חפצים ועל זה מבוססת היסטוריית המקור שלהם – הצורך לספור חצים, עורות וכו'.

1, 2, 3, 4...n

האות נ.

בהתאם לכך, ההגדרה הזו לא כוללת (אי אפשר לספור משהו שלא קיים?) ובעיקר לא כוללת ערכים שליליים (האם באמת יש תפוח?).

בנוסף, כל המספרים השבריים אינם כלולים (אנחנו גם לא יכולים לומר "יש לי מחשב נייד" או "מכרתי מכוניות")

כל מספר טבעיניתן לכתוב באמצעות 10 ספרות:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

אז 14 זה לא מספר. זה המספר. מאיזה מספרים הוא מורכב? זה נכון, ממספרים ו...

חיבור. קיבוץ בעת הוספה כדי לספור מהר יותר ולעשות פחות טעויות

אילו דברים מעניינים אתה יכול לומר על ההליך הזה? כמובן, כעת תענה "ערך הסכום אינו משתנה על ידי ארגון מחדש של המונחים." נראה כי זהו כלל פרימיטיבי, המוכר מכיתה א', אולם כאשר פותרים דוגמאות גדולות. נשכח מיידית!

אל תשכח ממנו -להשתמש בקיבוץ, כדי להקל על עצמך את תהליך הספירה ולהפחית את הסבירות לטעויות, כי לא יהיה לך מחשבון בבחינת המדינה המאוחדת.

ראה בעצמך איזה ביטוי קל יותר להרכיב?

• 4 + 5 + 3 + 6
• 4 + 6 + 5 + 3

כמובן השני! למרות שהתוצאה זהה. אבל! בהתחשב בשיטה השנייה יש לך פחות סיכוי לעשות טעויות ותעשה הכל מהר יותר!

אז בראש שלך אתה חושב ככה:

4 + 5 + 3 + 6 = 4 + 6 + 5 + 3 = 10 + 5 + 3 = 18

חִסוּר. קיבוץ בעת חיסור כדי לספור מהר יותר ולעשות פחות טעויות

בעת חיסור, נוכל גם לקבץ את המספרים שאנו מפחיתים, למשל:

32 - 5 - 2 - 6 = (32 - 2) - 5 - 6 = 30 - 5 - 6 = 19

מה אם חיסור יתחלף עם חיבור בדוגמה? אתה יכול גם לקבץ, אתה עונה, וזה נכון. רק בבקשה אל תשכח את הסימנים לפני המספרים, למשל: 32 - 5 - 2 - 6 = (32 - 2) - (6 + 5) = 30 - 11 = 19

זכרו: שלטים הממוקמים בצורה לא נכונה יובילו לתוצאה שגויה.

כֶּפֶל. איך להרבות בראש

ברור שגם שינוי מקומות הגורמים לא ישנה את ערך המוצר:

2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ 5 = (2 ⋅ 5 ) ⋅ (4 ⋅ 6 ) = 1 0 ⋅ 2 4 = 2 4 0

אני לא אגיד לך "השתמש בזה כשפותרים דוגמאות" (הבנת את הרמז בעצמך, נכון?), אלא אני אגיד לך איך להכפיל במהירות כמה מספרים בראש שלך. אז, התבונן היטב בטבלה:

ועוד קצת על הכפל. כמובן, אתה זוכר שני מקרים מיוחדים... אתה יכול לנחש למה אני מתכוון? הנה על זה:

אה כן, בוא נסתכל על זה שוב סימני חלוקה. ישנם 7 כללים בסך הכל המבוססים על קריטריונים של חלוקה, מתוכם אתם כבר מכירים את 3 הראשונים!

אבל את השאר בכלל לא קשה לזכור.

7 סימני חלוקה של מספרים שיעזרו לך לספור במהירות בראש שלך!

• כמובן, אתה מכיר את שלושת הכללים הראשונים.
• את הרביעית והחמישית קל לזכור - כשמחלקים ב- ונבדוק אם סכום הספרות המרכיבות את המספר מתחלק בזה.
• כאשר מחלקים ב, אנו מסתכלים על שתי הספרות האחרונות של מספר - האם המספר שהם עושים בו מתחלק?
• כאשר מחלקים ב, מספר חייב להיות ניתן לחלוקה בו-זמנית. זו כל החוכמה.

האם אתה חושב עכשיו, "למה אני צריך את כל זה"?

ראשית, בחינת המדינה המאוחדת מתקיימת ללא מחשבוןוכללים אלה יעזרו לך לנווט בין הדוגמאות.

ושנית, שמעת על הבעיות GCDו NOC? האם ראשי התיבות האלה מוכרים? בואו נתחיל לזכור ולהבין.

מחלק המשותף הגדול ביותר (GCD) - נחוץ להפחתת שברים ולביצוע חישובים מהירים

נניח שיש לך שני מספרים: ו. מהו המספר הגדול ביותר ששני המספרים מתחלקים בו? אתה תענה ללא היסוס, כי אתה יודע ש:

12 = 4 * 3 = 2 * 2 * 3

8 = 4 * 2 = 2 * 2 * 2

מהם המספרים הנפוצים בהרחבה? נכון, 2 * 2 = 4. זו הייתה התשובה שלך. אם תזכור את הדוגמה הפשוטה הזו, לא תשכח את האלגוריתם כיצד למצוא GCD. נסה "לבנות" את זה בראש שלך. קרה?

כדי למצוא GCD עליך:

1. מחלקים מספרים לגורמים ראשוניים (אותם המספרים שאי אפשר לחלק בשום דבר אחר מלבד עצמם או למשל ב-3, 7, 11, 13 וכו').
2. תכפיל אותם.

אתה מבין למה היינו צריכים סימני חלוקה? כדי שתסתכל על המספר ותוכל להתחיל לחלק בלי שארית.

לדוגמה, בואו נמצא את ה-gcd של המספרים 290 ו-485

מספר ראשון - .

כשמסתכלים על זה, אתה יכול מיד לראות שהוא מתחלק ב, בואו נרשום את זה:

אי אפשר לחלק לשום דבר אחר, אבל אתה יכול - ואנחנו מקבלים:

290 = 29 * 5 * 2

בוא ניקח מספר אחר - 485.

לפי הקריטריונים של חלוקה, יש לחלק אותו ללא שארית, שכן הוא מסתיים ב. לחלק:

בואו ננתח את המספר המקורי.

• לא ניתן לחלק אותו ב(הספרה האחרונה היא אי זוגית),
• - אינו מתחלק ב, כלומר המספר גם אינו מתחלק ב,
• גם ב-ו-ב-אינו מתחלק (סכום הספרות הכלולות במספר אינו מתחלק ב-and-by)
• הוא גם לא מתחלק ב, מכיוון שהוא לא מתחלק ב- ו,
• גם אינו מתחלק ב-, כיון שאינו מתחלק ב-ו.
• לא ניתן לחלק לחלוטין

המשמעות היא שניתן לפרק את המספר רק ל- ו.

עכשיו בואו נמצא GCDהמספרים הללו. איזה מספר זה? ימין, .

נתאמן?

משימה מס' 1. מצא את ה-gcd של המספרים 6240 ו-6800

1) אני מחלק מיד, מכיוון ששני המספרים מתחלקים ב-100% ב:

משימה מס' 2. מצא את ה-gcd של המספרים 345 ו-324

אני לא מצליח למצוא כאן לפחות מחלק משותף אחד, אז אני פשוט מפרק אותו לגורמים ראשוניים (קטנים ככל האפשר):

הכיפול המשותף (LCM) - חוסך זמן, עוזר לפתור בעיות בצורה לא סטנדרטית

נניח שיש לך שני מספרים - ו. מהו המספר הקטן ביותר שניתן לחלק בו בלי עקבות(כלומר, לגמרי)? קשה לדמיין? הנה רמז ויזואלי בשבילך:

אתה זוכר מה מסמל המכתב? נכון, פשוט מספרים שלמים.אז מהו המספר הקטן ביותר שמתאים במקום x? :

במקרה הזה.

מספר כללים עולים מהדוגמה הפשוטה הזו.

כללים לאיתור מהיר של NOCs

כלל 1: אם אחד משני מספרים טבעיים מתחלק במספר אחר, אז הגדול מבין שני המספרים הוא הכפולה הפחות משותפת שלהם.

מצא את המספרים הבאים:

• NOC (7;21)
• NOC (6;12)
• NOC (5;15)
• NOC (3;33)

כמובן, התמודדת עם המשימה הזו ללא קושי וקיבלת את התשובות - , ו.

שימו לב שבכלל אנחנו מדברים על שני מספרים אם יש יותר מספרים, אז הכלל לא עובד.

לדוגמה, LCM (7;14;21) אינו שווה ל-21, מכיוון שהוא אינו מתחלק ב.

כלל 2. אם שניים (או יותר משני) מספרים הם ראשוניים, אז הכפולה הפחות משותפת שווה למכפלתם.

למצוא NOCהמספרים הבאים:

• NOC (1;3;7)
• NOC (3;7;11)
• NOC (2;3;7)
• NOC (3;5;2)

ספרת? להלן התשובות - , ; .

כפי שאתה מבין, לא תמיד ניתן לקלוט את אותו x כל כך בקלות, אז עבור מספרים קצת יותר מורכבים יש את האלגוריתם הבא:

נתאמן?

בואו נמצא את הכפולה הכי פחות משותפת - LCM (345; 234)

מצא את הכפולה הפחות משותפת (LCM) בעצמך

איזה תשובות קיבלת?

הנה מה שקיבלתי:

כמה זמן השקעת בחיפוש NOC? הזמן שלי הוא 2 דקות, אני באמת יודע טריק אחד, שאני מציע לך לפתוח עכשיו!

אם אתה מאוד קשוב, אז כנראה שמת לב שכבר חיפשנו את המספרים הנתונים GCDואתה יכול לקחת את הפירוק לגורמים של המספרים האלה מהדוגמה הזו, ובכך לפשט את המשימה שלך, אבל זה לא הכל.

תסתכל על התמונה, אולי יעלו לך מחשבות אחרות:

נו? אני אתן לך רמז: נסה להכפיל NOCו GCDבינם לבין עצמם ורשמו את כל הגורמים שיופיעו בעת הכפלה. הסתדרת? אתה אמור לסיים עם שרשרת כזו:

תסתכל על זה מקרוב: השווה את המכפילים עם איך ומונחים.

איזו מסקנה אתה יכול להסיק מכך? ימין! אם נכפיל את הערכים NOCו GCDבינם לבין עצמם, אז נקבל את המכפלה של המספרים הללו.

בהתאם, בעל מספרים ומשמעות GCD(אוֹ NOC), אנחנו יכולים למצוא NOC(אוֹ GCD) לפי תכנית זו:

1. מצא את המכפלה של המספרים:

2. חלקו את המוצר המתקבל לפי שלנו GCD (6240; 6800) = 80:

זה הכל.

בואו נכתוב את הכלל בצורה כללית:

נסה למצוא GCD, אם ידוע ש:

הסתדרת? .

מספרים שליליים הם "מספרים כוזבים" והכרה בהם על ידי האנושות.

כפי שכבר הבנתם, אלו מספרים הפוכים מאלה הטבעיים, כלומר:

ניתן להוסיף, לגרוע, להכפיל ולחלק מספרים שליליים - ממש כמו במספרים טבעיים. נראה, מה כל כך מיוחד בהם? אבל העובדה היא שמספרים שליליים "זכו" במקומם הראוי במתמטיקה עד המאה ה-19 (עד אותו רגע הייתה כמות עצומה של מחלוקת אם הם קיימים או לא).

המספר השלילי עצמו נוצר עקב פעולה כזו עם מספרים טבעיים כמו "חיסור". אכן, הפחיתו ממנו ותקבלו מספר שלילי. לכן קבוצת המספרים השליליים נקראת לעתים קרובות "הרחבה של הסט מספרים טבעיים».

מספרים שליליים לא זוהו על ידי אנשים במשך זמן רב. כך, מצרים העתיקה, בבל ויוון העתיקה - האורות של זמנן, לא הכירו במספרים שליליים, ובמקרה של שורשים שליליים במשוואה (למשל כמו שלנו), השורשים נדחו כבלתי אפשריים.

מספרים שליליים קיבלו תחילה את זכותם להתקיים בסין, ולאחר מכן במאה ה-7 בהודו. מהי לדעתך הסיבה להכרה הזו? נכון, מספרים שליליים החלו לציין חובות (אחרת, מחסור). האמינו שמספרים שליליים הם ערך זמני, שכתוצאה מכך ישתנה לחיובי (כלומר, הכסף עדיין יוחזר לנושה). עם זאת, המתמטיקאי ההודי ברהמגופטה כבר שקל מספרים שליליים על בסיס שווה למספרים חיוביים.

באירופה, התועלת של מספרים שליליים, כמו גם העובדה שהם יכולים להצביע על חובות, התגלתה הרבה מאוחר יותר, אולי מאלף. האזכור הראשון הבחין בשנת 1202 ב"ספר האבוקסיס" מאת לאונרד מפיזה (אני אגיד מיד שלמחבר הספר אין שום קשר למגדל הנטוי של פיזה, אבל מספרי פיבונאצ'י הם יצירתו (הכינוי של ליאונרדו מפיזה הוא פיבונאצ'י)). יתר על כן, האירופים הגיעו למסקנה שמספרים שליליים יכולים להיות לא רק חובות, אלא גם חוסר בכל דבר, אם כי לא כולם הכירו בכך.

אז, במאה ה-17, פסקל האמין בכך. איך אתה חושב שהוא הצדיק את זה? זה נכון, "שום דבר לא יכול להיות פחות מכלום." הד לאותם זמנים נותר העובדה שמספר שלילי ופעולת החיסור מסומנים באותו סמל - המינוס "-". והאמת:. האם המספר " " הוא חיובי, שנגרע ממנו, או שלילי, שמסוכם ל?... משהו מהסדרה "מה בא קודם: התרנגולת או הביצה?" זו פילוסופיה מתמטית כל כך מוזרה.

מספרים שליליים הבטיחו את זכותם להתקיים עם הופעתה של הגיאומטריה האנליטית, במילים אחרות, כאשר מתמטיקאים הציגו מושג כמו ציר המספרים.

מרגע זה הגיע השוויון. עם זאת, עדיין היו יותר שאלות מתשובות, למשל:

פּרוֹפּוֹרצִיָה

פרופורציה זו נקראת "הפרדוקס של ארנו". תחשוב על זה, מה מפוקפק בזה?

בואו נתווכח ביחד "" זה יותר מ"" נכון? לפיכך, על פי ההיגיון, הצד השמאלי של הפרופורציה צריך להיות גדול מהימין, אבל הם שווים... זה הפרדוקס.

כתוצאה מכך, מתמטיקאים הסכימו עד כדי כך שקארל גאוס (כן, כן, זה אותו אחד שחישב את הסכום (או) המספרים) שם לזה סוף ב-1831 - הוא אמר שלמספרים שליליים יש אותן זכויות כמו חיוביות אלה, וזה שהם לא חלים על כל הדברים לא אומר כלום, שכן שברים גם לא חלים על הרבה דברים (לא קורה שחופר חופר בור, אי אפשר לקנות כרטיס קולנוע וכו' .).

המתמטיקאים נרגעו רק במאה ה-19, כאשר תורת המספרים השליליים נוצרה על ידי ויליאם המילטון והרמן גרסמן.

הם כל כך שנויים במחלוקת, המספרים השליליים האלה.

הופעתה של "ריקנות", או הביוגרפיה של אפס.

במתמטיקה זה מספר מיוחד. במבט ראשון, זה כלום: הוסף או חיסור - שום דבר לא ישתנה, אבל אתה רק צריך להוסיף אותו מימין ל" ", והמספר המתקבל יהיה גדול פי כמה מהמספר המקורי. על ידי הכפלה באפס אנו הופכים הכל ללאום, אך חלוקה ב"כלום", כלומר, איננו יכולים. במילה אחת, מספר הקסם)

ההיסטוריה של האפס ארוכה ומסובכת. זכר לאפס נמצא בכתבי הסינים באלף השני לספירה. ועוד קודם לכן בקרב בני המאיה. השימוש הראשון בסמל האפס, כפי שהוא היום, נראה בקרב אסטרונומים יוונים.

ישנן גרסאות רבות מדוע נבחר כינוי זה "כלום". כמה היסטוריונים נוטים להאמין שמדובר באומיקרון, כלומר. האות הראשונה של המילה היוונית לחינם היא אודן. לפי גרסה אחרת, המילה "אובול" (מטבע כמעט ללא ערך) העניקה חיים לסמל האפס.

אפס (או אפס) כסמל מתמטי מופיע לראשונה בקרב האינדיאנים (שימו לב שמספרים שליליים החלו "להתפתח" שם). העדות האמינה הראשונה לרישום של אפס מתוארכת לשנת 876, ובהם " " הוא מרכיב של המספר.

גם אפס הגיע לאירופה באיחור - רק בשנת 1600, ובדיוק כמו מספרים שליליים, הוא נתקל בהתנגדות (מה אפשר לעשות, ככה הם, אירופאים).

"אפס היה לעתים קרובות שנוא, חששו מזמן, או אפילו נאסר", כותב המתמטיקאי האמריקאי צ'רלס סייף. כך, הסולטן הטורקי עבדול חמיד השני בסוף המאה ה-19. הורה לצנזורה שלו למחוק את הנוסחה של מים H2O מכל ספרי הלימוד בכימיה, כשהוא לוקח את האות "O" לאפס ולא רוצה שראשי התיבות שלו יוכפשו בגלל הקרבה לאפס הבזוי".

באינטרנט ניתן למצוא את המשפט: "אפס הוא הכוח החזק ביותר ביקום, הוא יכול לעשות הכל! האפס יוצר סדר במתמטיקה, והוא גם מכניס לתוכו כאוס". נקודה נכונה בהחלט :)

סיכום הסעיף ונוסחאות יסוד

קבוצת המספרים השלמים מורכבת מ-3 חלקים:

• מספרים טבעיים (נסתכל עליהם ביתר פירוט בהמשך);
• מספרים הפוכים למספרים טבעיים;
• אפס - ""

קבוצת המספרים השלמים מסומנת האות ז.

1. מספרים טבעיים

מספרים טבעיים הם מספרים שבהם אנו משתמשים כדי לספור עצמים.

קבוצת המספרים הטבעיים מסומנת האות נ.

בפעולות עם מספרים שלמים, תצטרך את היכולת למצוא GCD ו-LCM.

המחלק המשותף הגדול ביותר (GCD)

כדי למצוא GCD עליך:

1. פירוק מספרים לגורמים ראשוניים (אותם המספרים שאי אפשר לחלק בשום דבר אחר מלבד עצמם או ב, למשל וכו').
2. רשום את הגורמים שהם חלק משני המספרים.
3. תכפיל אותם.

כפולה פחות משותפת (LCM)

כדי למצוא את ה-NOC אתה צריך:

1. חלקו מספרים לגורמים ראשוניים (אתם כבר יודעים איך לעשות את זה טוב מאוד).
2. רשום את הגורמים הכלולים בהרחבה של אחד המספרים (עדיף לקחת את השרשרת הארוכה ביותר).
3. הוסף אליהם את הגורמים החסרים מהרחבות של המספרים הנותרים.
4. מצא את המכפלה של הגורמים המתקבלים.

2. מספרים שליליים

אלו הם מספרים הפוכים למספרים הטבעיים, כלומר:

עכשיו אני רוצה לשמוע אותך...

אני מקווה שהערכת את ה"טריקים" הסופר שימושיים בסעיף זה והבנת איך הם יעזרו לך בבחינה.

ויותר חשוב - בחיים. אני לא מדבר על זה, אבל תאמין לי, זה נכון. היכולת לספור במהירות וללא שגיאות חוסכת אותך במצבי חיים רבים.

עכשיו תורך!

כתוב, האם תשתמש בשיטות קיבוץ, מבחני חלוקה, GCD ו-LCM בחישובים?

אולי השתמשת בהם בעבר? איפה ואיך?

אולי יש לך שאלות. או הצעות.

כתבו בתגובות איך אתם אוהבים את המאמר.

ובהצלחה במבחנים!

ובכן, הנושא הסתיים. אם אתה קורא שורות אלה, זה אומר שאתה מאוד מגניב.

כי רק 5% מהאנשים מסוגלים לשלוט במשהו בעצמם. ואם אתה קורא עד הסוף, אז אתה ב-5% האלה!

עכשיו הדבר הכי חשוב.

הבנת את התיאוריה בנושא זה. ואני חוזר, זה... זה פשוט מעולה! אתה כבר טוב יותר מהרוב המכריע של עמיתיך.

הבעיה היא שאולי זה לא מספיק...

בשביל מה?

על מעבר מוצלח של מבחן המדינה המאוחדת, על כניסה לקולג' בתקציב ובעיקר, לכל החיים.

אני לא אשכנע אותך בכלום, אני רק אגיד דבר אחד...

אנשים שקיבלו חינוך טוב מרוויחים הרבה יותר מאלה שלא קיבלו אותו. זו סטטיסטיקה.

אבל זה לא העיקר.

העיקר שהם יותר שמחים (יש מחקרים כאלה). אולי בגלל שהזדמנויות רבות נוספות נפתחות בפניהן והחיים נעשים בהירים יותר? לא יודע...

אבל תחשוב בעצמך...

מה צריך כדי להיות בטוח להיות טוב יותר מאחרים בבחינת המדינה המאוחדת ובסופו של דבר להיות... מאושר יותר?

השג את ידך על ידי פתרון בעיות בנושא זה.

לא תבקשו מכם תיאוריה במהלך הבחינה.

אתה תצטרך לפתור בעיות מול הזמן.

ואם לא פתרת אותם (הרבה!), אתה בהחלט תעשה טעות מטופשת איפשהו או פשוט לא יהיה לך זמן.

זה כמו בספורט - צריך לחזור על זה הרבה פעמים כדי לנצח בוודאות.

מצא את האוסף היכן שתרצה, בהכרח עם פתרונות, ניתוח מפורטולהחליט, להחליט, להחליט!

אתה יכול להשתמש במשימות שלנו (לא חובה) ואנחנו כמובן ממליצים עליהן.

כדי להשתפר בשימוש במשימות שלנו, אתה צריך לעזור להאריך את חיי ספר הלימוד של YouClever שאתה קורא עכשיו.

אֵיך? ישנן שתי אפשרויות:

1. בטל את הנעילה של כל המשימות הנסתרות במאמר זה -
2. בטל את הנעילה של גישה לכל המשימות הנסתרות בכל 99 המאמרים של ספר הלימוד - קנה ספר לימוד - 499 RUR

כן, יש לנו 99 מאמרים כאלה בספר הלימוד שלנו וניתן לפתוח מיד גישה לכל המשימות וכל הטקסטים המוסתרים שבהם.

גישה לכל המשימות הנסתרות ניתנת לכל החיים של האתר.

לסיכום...

אם אתה לא אוהב את המשימות שלנו, מצא אחרים. רק אל תפסיק בתיאוריה.

"מובן" ו"אני יכול לפתור" הם כישורים שונים לחלוטין. אתה צריך את שניהם.

מצא בעיות ופתור אותן!

ל מספרים שלמיםכוללים מספרים טבעיים, אפס ומספרים הפוכים למספרים טבעיים.

מספרים שלמיםהם מספרים שלמים חיוביים.

לדוגמה: 1, 3, 7, 19, 23 וכו'. אנו משתמשים במספרים כאלה לספירה (יש 5 תפוחים על השולחן, למכונית יש 4 גלגלים וכו')

האות לטינית \mathbb(N) - מסומנת קבוצה של מספרים טבעיים.

מספרים טבעיים אינם יכולים לכלול מספרים שליליים (כיסא לא יכול לקבל מספר שלילי של רגליים) ומספרים שברים (איבן לא יכול היה למכור 3.5 אופניים).

ההפך ממספרים טבעיים הם מספרים שלמים שליליים: −8, −148, −981, ….

פעולות אריתמטיות עם מספרים שלמים

מה אפשר לעשות עם מספרים שלמים? ניתן להכפיל, להוסיף ולגרוע אחד מהשני. בואו נסתכל על כל פעולה באמצעות דוגמה ספציפית.

חיבור של מספרים שלמים

שני מספרים שלמים עם אותם סימנים מתווספים באופן הבא: המודולים של המספרים הללו מתווספים וקודם לסכום המתקבל סימן סופי:

(+11) + (+9) = +20

הפחתת מספרים שלמים

שני מספרים שלמים עם סימנים שונים מתווספים כדלקמן: מהמודלוס של המספר הגדול, מופחת המודולוס של הקטן והסימן של מספר המודולו הגדול מונח לפני התשובה המתקבלת:

(-7) + (+8) = +1

הכפלת מספרים שלמים

כדי להכפיל מספר שלם אחד בשני, עליך להכפיל את המודולים של המספרים הללו ולשים סימן "+" לפני התשובה המתקבלת אם למספרים המקוריים היו אותם סימנים, וסימן "-" אם למספרים המקוריים היו שונים. שלטים:

(-5)\cdot (+3) = -15

(-3)\cdot (-4) = +12

יש לזכור את הדברים הבאים כלל להכפלת מספרים שלמים:

+ \cdot + = +

+ \cdot - = -

- \cdot + = -

- \cdot - = +

יש כלל להכפלת מספרים שלמים מרובים. בואו נזכור את זה:

הסימן של המוצר יהיה "+" אם מספר הגורמים עם סימן שלילי הוא זוגי ו-"-" אם מספר הגורמים עם סימן שלילי הוא אי זוגי.

(-5) \cdot (-4) \cdot (+1) \cdot (+6) \cdot (+1) = +120

חלוקת מספרים שלמים

החלוקה של שני מספרים שלמים מתבצעת באופן הבא: המודולוס של מספר אחד מחולק במודולוס השני, ואם סימני המספרים זהים, הסימן "+" ממוקם לפני המנה המתקבלת , ואם הסימנים של המספרים המקוריים שונים, אז הסימן "−" ממוקם.

(-25) : (+5) = -5

תכונות של חיבור וכפל של מספרים שלמים

בואו נסתכל על המאפיינים הבסיסיים של חיבור וכפל עבור כל מספרים שלמים a, b ו-c:

1. a + b = b + a - תכונה קומוטטיבית של חיבור;
2. (a + b) + c = a + (b + c) - תכונה קומבינטיבית של חיבור;
3. a \cdot b = b \cdot a - תכונה קומוטטיבית של כפל;
4. (a \cdot c) \cdot b = a \cdot (b \cdot c)- מאפיינים אסוציאטיביים של כפל;
5. a \cdot (b \cdot c) = a \cdot b + a \cdot c- תכונה חלוקתית של כפל.

ישנם סוגים רבים של מספרים, אחד מהם הוא מספרים שלמים. נראה כי מספרים שלמים הקלו על הספירה לא רק בכיוון החיובי, אלא גם בכיוון השלילי.

בואו נסתכל על דוגמה:
במהלך היום הטמפרטורה בחוץ הייתה 3 מעלות. בערב הטמפרטורה ירדה ב-3 מעלות.
3-3=0
זה הפך ל-0 מעלות בחוץ. ובלילה הטמפרטורה ירדה ב-4 מעלות והמדחום התחיל להראות -4 מעלות.
0-4=-4

סדרה של מספרים שלמים.

אנחנו לא יכולים לתאר בעיה כזו באמצעות מספרים טבעיים, נשקול בעיה זו על קו קואורדינטות.

קיבלנו סדרה של מספרים:
…, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …

סדרת המספרים הזו נקראת סדרה של מספרים שלמים.

מספרים שלמים חיוביים. מספרים שלמים שליליים.

סדרת המספרים השלמים מורכבת ממספרים חיוביים ושליליים. מימין לאפס נמצאים המספרים הטבעיים, או שהם נקראים גם מספרים שלמים חיוביים. ומשמאל לאפס הם הולכים מספרים שלמים שליליים.

אפס אינו מספר חיובי ולא שלילי. זה הגבול בין מספרים חיוביים ושליליים.

הוא קבוצה של מספרים המורכבת ממספרים טבעיים, מספרים שלמים שליליים ואפס.

סדרה של מספרים שלמים בכיוון חיובי ושלילי הוא מספר אינסופי.

אם ניקח שני מספרים שלמים כלשהם, אז המספרים בין המספרים השלמים האלה ייקראו סט סופי.

לדוגמה:
ניקח מספרים שלמים מ-2 עד 4. כל המספרים בין המספרים הללו נכללים בקבוצה הסופית. קבוצת המספרים הסופית שלנו נראית כך:
-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4.

מספרים טבעיים מסומנים באות הלטינית N.
מספרים שלמים מסומנים באות הלטינית Z. ניתן לתאר את כל קבוצת המספרים הטבעיים והמספרים השלמים בתמונה.


מספרים שלמים לא חיובייםבמילים אחרות, הם מספרים שלמים שליליים.
מספרים שלמים לא שלילייםהם מספרים שלמים חיוביים.

חבורה שלהוא קבוצה של כל אובייקט שנקרא אלמנטים של קבוצה זו.

לדוגמה: הרבה תלמידי בית ספר, הרבה מכוניות, הרבה מספרים .

במתמטיקה, קבוצה נחשבת בצורה הרבה יותר רחבה. לא נעמיק יותר מדי בנושא זה, שכן הוא מתייחס למתמטיקה גבוהה יותר ובהתחלה עלול ליצור קשיים בלמידה. נשקול רק את החלק הזה של הנושא שכבר עסקנו בו.

תוכן השיעור

ייעודים

קבוצה מסומנת לרוב באותיות גדולות של האלפבית הלטיני, ומרכיביה באותיות קטנות. במקרה זה, האלמנטים סגורים בפלטה מתולתלת.

לדוגמה, אם שם החברים שלנו הוא טום, ג'ון וליאו , אז נוכל להגדיר קבוצה של חברים שהמרכיבים שלהם יהיו טום, ג'ון וליאו.

הבה נסמן רבים מחברינו באמצעות אות לטינית גדולה ו(חברים), אז שימו סימן שוויון ורשמו את החברים שלנו בסוגריים מסולסלים:

F = (טום, ג'ון, ליאו)

דוגמה 2. נרשום את קבוצת המחלקים של המספר 6.

הבה נסמן קבוצה זו בכל אות לטינית גדולה, למשל באות ד

לאחר מכן אנו שמים סימן שוויון ומפרטים את האלמנטים של קבוצה זו בסוגריים מסולסלים, כלומר, אנו מפרטים את המחלקים של המספר 6

D = (1, 2, 3, 6)

אם אלמנט כלשהו שייך לקבוצה נתונה, חברות זו מסומנת באמצעות סימן החברות ∈. לדוגמה, המחלק 2 שייך לקבוצת המחלקים של המספר 6 (הקבוצה ד). זה כתוב כך:

קוראים כמו: "2 שייך לקבוצת המחלקים של המספר 6"

אם אלמנט כלשהו אינו שייך לקבוצה נתונה, אזי אי-חברות זו מסומנת באמצעות סימן חברות מרוחק ∉. לדוגמה, המחלק 5 אינו שייך לקבוצה ד. זה כתוב כך:

קוראים כמו: "5 לא שייךסט מחלקים של המספר 6 אינץ'

בנוסף, ניתן לכתוב סט על ידי רישום ישיר של האלמנטים, ללא אותיות גדולות. זה יכול להיות נוח אם הסט מורכב ממספר קטן של אלמנטים. לדוגמה, בואו נגדיר קבוצה של אלמנט אחד. תן לאלמנט הזה להיות חבר שלנו כרך:

( כרך )

בוא נגדיר קבוצה שמורכבת ממספר אחד 2

{ 2 }

בוא נגדיר קבוצה המורכבת משני מספרים: 2 ו-5

{ 2, 5 }

קבוצה של מספרים טבעיים

זה הסט הראשון שהתחלנו לעבוד איתו. מספרים טבעיים הם המספרים 1, 2, 3 וכו'.

מספרים טבעיים הופיעו עקב הצורך של אנשים לספור את אותם חפצים אחרים. לדוגמה, ספור את מספר התרנגולות, הפרות, הסוסים. מספרים טבעיים מתעוררים באופן טבעי בעת ספירה.

בשיעורים קודמים, כשהשתמשנו במילה "מספר", לרוב היה הכוונה למספר טבעי.

במתמטיקה, קבוצת המספרים הטבעיים מסומנת באות גדולה נ.

לדוגמה, נציין שהמספר 1 שייך לקבוצת המספרים הטבעיים. לשם כך, נכתוב את המספר 1, ולאחר מכן באמצעות סימן החברות ∈ אנו מציינים שהיחידה שייכת לסט נ

1 ∈ נ

קוראים כמו: "אחד שייך לקבוצת המספרים הטבעיים"

קבוצה של מספרים שלמים

קבוצת המספרים השלמים כוללת את כל החיובים ו-, כמו גם את המספר 0.

קבוצה של מספרים שלמים מסומנת באות גדולה ז .

הבה נציין, למשל, שהמספר −5 שייך לקבוצת המספרים השלמים:

−5 ∈ ז

נציין כי 10 שייך לקבוצת המספרים השלמים:

10 ∈ ז

נציין ש-0 שייך לקבוצת המספרים השלמים:

בעתיד, נקרא לכל המספרים החיוביים והשליליים ביטוי אחד - מספרים שלמים.

קבוצה של מספרים רציונליים

מספרים רציונליים הם אותם שברים רגילים שאנו לומדים עד היום.

מספר רציונלי הוא מספר שניתן לייצג כשבר, שבו א- מונה השבר, ב- מכנה.

המונה והמכנה יכולים להיות כל מספר, כולל מספרים שלמים (למעט אפס, מכיוון שלא ניתן לחלק באפס).

לדוגמה, דמיינו את זה במקום אהוא המספר 10, אבל במקום זאת ב- מספר 2

10 חלקי 2 שווה ל-5. אנו רואים שניתן לייצג את המספר 5 כשבר, כלומר המספר 5 נכלל בקבוצת המספרים הרציונליים.

קל לראות שהמספר 5 חל גם על קבוצת המספרים השלמים. לכן, קבוצת המספרים השלמים נכללת בקבוצת המספרים הרציונליים. המשמעות היא שקבוצת המספרים הרציונליים כוללת לא רק שברים רגילים, אלא גם מספרים שלמים בצורה −2, −1, 0, 1, 2.

עכשיו בואו נדמיין את זה במקום אהוא המספר 12, אבל במקום זאת ב- מספר 5.

12 חלקי 5 שווה 2.4. אנו רואים שניתן לייצג את השבר העשרוני 2.4 כשבר, כלומר הוא נכלל בקבוצת המספרים הרציונליים. מכאן אנו מסיקים שקבוצת המספרים הרציונליים כוללת לא רק שברים רגילים ושלמים, אלא גם שברים עשרוניים.

חישבנו את השבר וקיבלנו את התשובה 2.4. אבל נוכל להדגיש את כל החלק של השבר הזה:

כאשר אתה מבודד את כל החלק של שבר, אתה מקבל מספר מעורב. אנו רואים שניתן לייצג מספר מעורב גם כשבר. המשמעות היא שקבוצת המספרים הרציונליים כוללת גם מספרים מעורבים.

כתוצאה מכך, אנו מגיעים למסקנה שקבוצת המספרים הרציונליים מכילה:

• מספרים שלמים
• שברים נפוצים
• עשרונים
• מספרים מעורבים

קבוצת המספרים הרציונליים מסומנת באות גדולה ש.

לדוגמה, נציין ששבר שייך לקבוצת המספרים הרציונליים. לשם כך, נכתוב את השבר עצמו, ולאחר מכן באמצעות סימן החברות ∈ אנו מציינים שהשבר שייך לקבוצת המספרים הרציונליים:

∈ ש

נציין שהשבר העשרוני 4.5 שייך לקבוצת המספרים הרציונליים:

4,5 ∈ ש

נציין שמספר מעורב שייך לקבוצת המספרים הרציונליים:

∈ ש

שיעור ההיכרות על סטים הושלם. אנחנו נסתכל על סטים הרבה יותר טוב בעתיד, אבל לעת עתה יספיק מה שנדון בשיעור זה.

אהבתם את השיעור?
הצטרף לקבוצת VKontakte החדשה שלנו והתחל לקבל הודעות על שיעורים חדשים

במאמר זה נגדיר את קבוצת המספרים השלמים, נבחן אילו מספרים שלמים נקראים חיוביים ואילו שליליים. כמו כן נראה כיצד משתמשים במספרים שלמים לתיאור שינויים בכמויות מסוימות. נתחיל בהגדרה ובדוגמאות של מספרים שלמים.

Yandex.RTB R-A-339285-1

מספרים שלמים. הגדרה, דוגמאות

ראשית, בואו נזכור לגבי מספרים טבעיים ℕ. השם עצמו מעיד שמדובר במספרים שבאופן טבעי שימשו לספירה מאז ומעולם. על מנת לכסות את מושג המספרים השלמים, עלינו להרחיב את ההגדרה של מספרים טבעיים.

הגדרה 1. מספרים שלמים

מספרים שלמים הם המספרים הטבעיים, ההפכים שלהם והמספר אפס.

קבוצת המספרים השלמים מסומנת באות ℤ.

קבוצת המספרים הטבעיים ℕ היא תת-קבוצה של המספרים השלמים ℤ. כל מספר טבעי הוא מספר שלם, אבל לא כל מספר שלם הוא מספר טבעי.

מההגדרה עולה שכל אחד מהמספרים 1, 2, 3 הוא מספר שלם. . , המספר 0, כמו גם המספרים - 1, - 2, - 3, . .

בהתאם לכך, נביא דוגמאות. המספרים 39, - 589, 10000000, - 1596, 0 הם מספרים שלמים.

אפשר לצייר את קו הקואורדינטות אופקית ולכוון ימינה. בואו נסתכל על זה כדי לדמיין את מיקומם של מספרים שלמים על קו.

המוצא על קו הקואורדינטות מתאים למספר 0, ונקודות השוכנות משני צדי האפס מתאימות למספרים שלמים חיוביים ושליליים. כל נקודה מתאימה למספר שלם בודד.

ניתן להגיע לכל נקודה על קו שהקואורדינטה שלה היא מספר שלם על ידי הפרדת מספר מסוים של מקטעי יחידה מהמקור.

מספרים שלמים חיוביים ושליליים

מבין כל המספרים השלמים, הגיוני להבחין במספרים שלמים חיוביים ושליליים. בואו ניתן את ההגדרות שלהם.

הגדרה 2: מספרים שלמים חיוביים

מספרים שלמים חיוביים הם מספרים שלמים עם סימן פלוס.

לדוגמה, המספר 7 הוא מספר שלם עם סימן פלוס, כלומר מספר שלם חיובי. על קו הקואורדינטות, מספר זה נמצא מימין לנקודת הייחוס, הנחשבת למספר 0. דוגמאות נוספות למספרים שלמים חיוביים: 12, 502, 42, 33, 100500.

הגדרה 3: מספרים שלמים שליליים

מספרים שלמים שליליים הם מספרים שלמים עם סימן מינוס.

דוגמאות למספרים שלמים שליליים: - 528, - 2568, - 1.

המספר 0 מפריד מספרים שלמים חיוביים ושליליים והוא עצמו לא חיובי ולא שלילי.

כל מספר שהוא ההפך ממספר שלם חיובי הוא, בהגדרה, מספר שלם שלילי. גם ההפך הוא הנכון. ההיפוך של כל מספר שלם שלילי הוא מספר שלם חיובי.

אפשר לתת ניסוחים אחרים של ההגדרות של מספרים שלמים שליליים וחיוביים באמצעות השוואתם לאפס.

הגדרה 4. מספרים שלמים חיוביים

מספרים שלמים חיוביים הם מספרים שלמים שגדולים מאפס.

הגדרה 5: מספרים שלמים שליליים

מספרים שלמים שליליים הם מספרים שלמים שקטנים מאפס.

בהתאם לכך, מספרים חיוביים נמצאים מימין למקור על קו הקואורדינטות, ומספרים שלמים שליליים נמצאים משמאל לאפס.

אמרנו קודם שמספרים טבעיים הם תת-קבוצה של מספרים שלמים. בואו נבהיר את הנקודה הזו. קבוצת המספרים הטבעיים מורכבת ממספרים שלמים חיוביים. בתורו, קבוצת המספרים השלמים השליליים היא קבוצת המספרים הפוכה לטבעיים.

חָשׁוּב!

כל מספר טבעי יכול להיקרא מספר שלם, אבל כל מספר שלם לא יכול להיקרא מספר טבעי. כאשר עונים על השאלה האם מספרים שליליים הם מספרים טבעיים, עלינו לומר באומץ - לא, הם לא.

מספרים שלמים לא חיוביים ולא שליליים

בואו ניתן כמה הגדרות.

הגדרה 6. מספרים שלמים לא שליליים

מספרים שלמים לא שליליים הם מספרים שלמים חיוביים והמספר אפס.

הגדרה 7. מספרים שלמים לא חיוביים

מספרים שלמים לא חיוביים הם מספרים שלמים שליליים והמספר אפס.

כפי שאתה יכול לראות, המספר אפס אינו חיובי ולא שלילי.

דוגמאות למספרים שלמים לא שליליים: 52, 128, 0.

דוגמאות למספרים שלמים לא חיוביים: - 52, - 128, 0.

מספר לא שלילי הוא מספר גדול או שווה לאפס. בהתאם לכך, מספר שלם לא חיובי הוא מספר הקטן או שווה לאפס.

המונחים "מספר לא חיובי" ו"מספר לא שלילי" משמשים לקיצור. לדוגמה, במקום לומר שהמספר a הוא מספר שלם שגדול או שווה לאפס, אפשר לומר: a הוא מספר שלם לא שלילי.

שימוש במספרים שלמים לתיאור שינויים בכמויות

למה משמשים מספרים שלמים? קודם כל, בעזרתם נוח לתאר ולקבוע שינויים בכמות של כל אובייקט. בואו ניתן דוגמה.

תן למספר מסוים של גלי ארכובה להיות מאוחסן במחסן. אם יובאו למחסן 500 גלי ארכובה נוספים, מספרם יגדל. המספר 500 מבטא במדויק את השינוי (העלייה) במספר החלקים. אם לאחר מכן נלקחים 200 חלקים מהמחסן, אז מספר זה יאפיין גם את השינוי במספר גלי הארכובה. הפעם, כלפי מטה.

אם לא נלקח דבר מהמחסן ושום דבר לא נמסר, אז המספר 0 יציין שמספר החלקים נשאר ללא שינוי.

הנוחות הברורה בשימוש במספרים שלמים, בניגוד למספרים טבעיים, היא שהסימן שלהם מציין בבירור את כיוון השינוי בערך (עלייה או ירידה).

ירידה בטמפרטורה ב-30 מעלות יכולה להתאפיין במספר שלם שלילי - 30, ועלייה ב-2 מעלות - במספר שלם חיובי 2.

בוא ניתן דוגמה נוספת באמצעות מספרים שלמים. הפעם, בואו נדמיין שאנחנו צריכים לתת 5 מטבעות למישהו. לאחר מכן, אנו יכולים לומר שיש לנו - 5 מטבעות. המספר 5 מתאר את גודל החוב, וסימן המינוס מציין שעלינו להחזיר את המטבעות.

אם אנו חייבים 2 מטבעות לאדם אחד ו-3 לאדם אחר, אזי ניתן לחשב את החוב הכולל (5 מטבעות) באמצעות הכלל של הוספת מספרים שליליים:

2 + (- 3) = - 5

אם אתה מבחין בשגיאה בטקסט, אנא סמן אותה והקש Ctrl+Enter