1) תחום פונקציה וטווח פונקציות.

התחום של פונקציה הוא קבוצת כל ערכי הארגומנטים התקפים x(מִשְׁתַנֶה x), שעבורו הפונקציה y = f(x)נָחוּשׁ. הטווח של פונקציה הוא קבוצת כל הערכים האמיתיים y, שהפונקציה מקבלת.

במתמטיקה יסודית, פונקציות נלמדות רק על קבוצת המספרים הממשיים.

2) אפסים פונקציה.

פונקציה אפס היא הערך של הארגומנט שבו ערך הפונקציה שווה לאפס.

3) מרווחים של סימן קבוע של פונקציה.

מרווחים של סימן קבוע של פונקציה הם קבוצות של ערכי ארגומנט שעליהם ערכי הפונקציה חיוביים בלבד או רק שליליים.

4) מונוטוניות של הפונקציה.

פונקציה עולה (במרווח מסוים) היא פונקציה שבה ערך גדול יותר של הארגומנט מהמרווח הזה מתאים לערך גדול יותר של הפונקציה.

פונקציה יורדת (במרווח מסוים) היא פונקציה שבה ערך גדול יותר של הארגומנט מהמרווח הזה מתאים לערך קטן יותר של הפונקציה.

5) פונקציה זוגית (אי זוגית)..

פונקציה זוגית היא פונקציה שתחום ההגדרה שלה סימטרי ביחס למקור ולכל Xמתחום ההגדרה השוויון f(-x) = f(x).

הגרף של פונקציה זוגית הוא סימטרי לגבי הסמטה. Xפונקציה אי זוגית היא פונקציה שתחום ההגדרה שלה סימטרי ביחס למקור ולכל מתחום ההגדרה השוויון נכון f(-x) = - f(x

)..

הגרף של פונקציה אי זוגית הוא סימטרי לגבי המקור.

6) פונקציות מוגבלות ובלתי מוגבלות.

פונקציה נקראת מוגבלת אם יש מספר חיובי M כך ש |f(x)| ≤ M עבור כל הערכים של x. אם מספר כזה לא קיים, אז הפונקציה היא בלתי מוגבלת.

7) מחזוריות של הפונקציה

פונקציה f(x) היא מחזורית אם יש מספר T שאינו אפס כך שלכל x מתחום ההגדרה של הפונקציה מתקיים הדבר הבא: f(x+T) = f(x). המספר הקטן ביותר הזה נקרא התקופה של הפונקציה. כל הפונקציות הטריגונומטריות הן מחזוריות. (נוסחאות טריגונומטריות).

19. פונקציות יסודיות בסיסיות, תכונותיהן וגרפים. יישום פונקציות בכלכלה.

פונקציות יסודיות בסיסיות. המאפיינים והגרפים שלהם נקראת פונקציה של הצורה , כאשר x הוא משתנה, a ו-b הם מספרים ממשיים.

מִספָּר אהנקרא שיפוע הישר, הוא שווה לטנגנס של זווית הנטייה של הישר הזה לכיוון החיובי של ציר האבססיס. הגרף של פונקציה לינארית הוא קו ישר. הוא מוגדר על ידי שתי נקודות.

מאפיינים של פונקציה לינארית

1. תחום ההגדרה - קבוצת כל המספרים הממשיים: D(y)=R

2. קבוצת הערכים היא קבוצת כל המספרים הממשיים: E(y)=R

3. הפונקציה מקבלת ערך אפס כאשר או.

4. הפונקציה גדלה (יורדת) על פני כל תחום ההגדרה.

5. פונקציה לינארית היא רציפה על כל תחום ההגדרה, ניתנת להבדלה ו.

2. פונקציה ריבועית.

נקראת פונקציה של הצורה, שבה x הוא משתנה, המקדמים a, b, c הם מספרים ממשיים רִבּוּעִי

כדי להבין נושא זה, הבה נבחן פונקציה המתוארת על גרף // הבה נראה כיצד גרף של פונקציה מאפשר לך לקבוע את תכונותיה.

בואו נסתכל על המאפיינים של פונקציה באמצעות דוגמה

תחום ההגדרה של הפונקציה הוא span [ 3.5; 5.5].

טווח הערכים של הפונקציה הוא span [ 1; 3].

1. ב-x = -3, x = - 1, x = 1.5, x = 4.5, ערך הפונקציה הוא אפס.

ערך הארגומנט שבו ערך הפונקציה הוא אפס נקרא פונקציה אפס.

//הָהֵן. עבור פונקציה זו המספרים הם -3;-1;1.5; 4.5 הם אפסים.

2. במרווחים [ 4.5; 3) ו-(1; 1.5) ו-(4.5; 5.5] הגרף של הפונקציה f ממוקם מעל ציר האבשיסה, ובמרווחים (-3; -1) ו-(1.5; 4.5) מתחת לציר האבשיסה, זה מוסבר באופן הבא: במרווחים [ 4.5; 3) ו- (1; 1.5) ו- (4.5; 5.5] הפונקציה מקבלת ערכים חיוביים, ובמרווחים (-3; -1) ו- (1.5; 4.5) שליליים.

כל אחד מהמרווחים המצוינים (כאשר הפונקציה מקבלת ערכים של אותו סימן) נקרא מרווח הסימן הקבוע של הפונקציה f.//כלומר. לדוגמה, אם ניקח את המרווח (0; 3), אז זה לא מרווח של סימן קבוע של פונקציה זו.

במתמטיקה, כאשר מחפשים מרווחים של סימן קבוע של פונקציה, נהוג לציין מרווחים באורך מקסימלי. //הָהֵן. המרווח (2; 3) הוא מרווח קביעות של סימןפונקציה f, אבל התשובה צריכה לכלול את המרווח [ 4.5; 3) המכיל את המרווח (2; 3).

3. אם תנוע לאורך ציר ה-x מ-4.5 ל-2, תבחין שגרף הפונקציות יורד, כלומר, ערכי הפונקציה יורדים. //במתמטיקה נהוג לומר שעל המרווח [ 4.5; 2] הפונקציה יורדת.

ככל ש-x גדל מ-2 ל-0, הגרף של הפונקציה עולה, כלומר. ערכי הפונקציה עולים. //במתמטיקה נהוג לומר שעל המרווח [ 2; 0] הפונקציה גדלה.

פונקציה f נקראת אם עבור כל שני ערכים של הארגומנט x1 ו-x2 מהמרווח הזה כך ש-x2 > x1, אי השוויון f (x2) > f (x1) מתקיים. // או שהפונקציה נקראת גדל על פני מרווח מסוים, אם עבור ערכים כלשהם של הארגומנט מהמרווח הזה, ערך גדול יותר של הארגומנט מתאים לערך גדול יותר של הפונקציה.//כלומר. ככל שיותר x, יותר y.

הפונקציה f נקראת ירידה במרווח מסוים, אם עבור כל שני ערכים של הארגומנט x1 ו-x2 מהמרווח הזה כך ש-x2 > x1, אי השוויון f(x2) פוחת במרווח כלשהו, ​​אם עבור ערכים כלשהם של הארגומנט מהמרווח הזה הערך הגדול יותר של הארגומנט מתאים לערך הקטן יותר של הפונקציה. //הָהֵן. כמה שיותר x, פחות y.

אם פונקציה גדלה על פני כל תחום ההגדרה, אז היא נקראת גָדֵל.

אם פונקציה פוחתת על פני כל תחום ההגדרה, אז היא נקראת פּוֹחֵת.

דוגמה 1.גרף של פונקציות גדלות ויורדות, בהתאמה.

דוגמה 2.

הגדירו את התופעה. האם הפונקציה הליניארית f(x) = 3x + 5 עולה או יורדת?

הוֹכָחָה. בואו נשתמש בהגדרות. תנו ל-x1 ו-x2 להיות ערכים שרירותיים של הארגומנט, ו-x1< x2., например х1=1, х2=7

הַגדָרָה: פונקציה מספרית היא התכתבות שמשייכת כל מספר x מקבוצה נתונה כלשהי למספר y בודד.

יִעוּד:

כאשר x הוא המשתנה הבלתי תלוי (טיעון), y הוא המשתנה התלוי (פונקציה). קבוצת הערכים של x נקראת תחום הפונקציה (מסומן D(f)). קבוצת הערכים של y נקראת טווח הערכים של הפונקציה (מסומן E(f)). הגרף של פונקציה הוא קבוצת הנקודות במישור עם קואורדינטות (x, f(x))

שיטות לציון פונקציה.

1. שיטה אנליטית (באמצעות נוסחה מתמטית);
2. שיטה טבלאית (באמצעות טבלה);
3. שיטה תיאורית (באמצעות תיאור מילולי);
4. שיטה גרפית (באמצעות גרף).

מאפיינים בסיסיים של הפונקציה.

1. זוגי ומשונה

פונקציה נקראת אפילו אם
– תחום ההגדרה של הפונקציה סימטרי בערך אפס
f(-x) = f(x)

הגרף של פונקציה זוגית הוא סימטרי על הציר 0y

פונקציה נקראת אם אי זוגי
– תחום ההגדרה של הפונקציה סימטרי בערך אפס
– עבור כל x מתחום ההגדרה f(-x) = –f(x)

הגרף של פונקציה אי זוגית הוא סימטרי לגבי המקור.

2. תדירות

פונקציה f(x) נקראת מחזורית עם נקודה אם עבור כל x מתחום ההגדרה f(x) = f(x+T) = f(x-T) .

הגרף של פונקציה תקופתית מורכב משברים זהים שחוזרים על עצמם ללא הגבלה.

3. מונוטוניות (גדל, פוחת)

הפונקציה f(x) הולכת וגדלה בקבוצה P אם עבור כל x 1 ו-x 2 מקבוצה זו, כך ש-x 1

הפונקציה f(x) יורדת בקבוצה P אם עבור כל x 1 ו-x 2 מקבוצה זו, כך ש-x 1 f(x 2) .

4. קיצוניות

הנקודה X max נקראת נקודת המקסימום של הפונקציה f(x) אם עבור כל x משכונה כלשהי של X max מתקיים אי השוויון f(x) f(X max).

הערך Y max =f(X max) נקרא המקסימום של פונקציה זו.

X max - נקודת מקסימום
במקסימום - מקסימום

נקודה X min נקראת נקודת מינימום של הפונקציה f(x) אם עבור כל x משכונה כלשהי של X min, אי השוויון f(x) f(X min) מתקיים.

הערך Y min =f(X min) נקרא המינימום של פונקציה זו.

X min - נקודת מינימום
Y min - מינימום

X min, X max - נקודות קיצון
Y min , Y max – אקסטרים.

5. אפסים של הפונקציה

האפס של פונקציה y = f(x) הוא הערך של הארגומנט x שבו הפונקציה הופכת לאפס: f(x) = 0.

X 1, X 2, X 3 – אפסים של הפונקציה y = f(x).

משימות ומבחנים בנושא "מאפיינים בסיסיים של פונקציה"

• מאפייני פונקציה - פונקציות מספריות כיתה ט'

  שיעורים: 2 מטלות: 11 מבחנים: 1

• מאפיינים של לוגריתמים - פונקציות אקספוננציאליות ולוגריתמיות כיתה 11

  שיעורים: 2 מטלות: 14 מבחנים: 1

• פונקציית שורש ריבועי, תכונותיה וגרף - פונקציית שורש ריבועי. מאפיינים של שורש ריבועי דרגה 8

  שיעורים: 1 מטלות: 9 מבחנים: 1

• פונקציות כוח, תכונותיהן וגרפים - מעלות ושורשים. פונקציות כוח דרגה 11

  שיעורים: 4 מטלות: 14 מבחנים: 1

• פונקציות - נושאים חשובים לסקירת בחינת המדינה המאוחדת במתמטיקה

  משימות: 24

לאחר שלמדת נושא זה, אתה אמור להיות מסוגל למצוא את תחום ההגדרה של פונקציות שונות, לקבוע את מרווחי המונוטוניות של פונקציה באמצעות גרפים, ולבחון פונקציות עבור זוגיות ומוזרות. הבה נשקול לפתור בעיות דומות באמצעות הדוגמאות הבאות.

דוגמאות.

1. מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה.

פִּתָרוֹן:תחום ההגדרה של הפונקציה נמצא מהתנאי

חומר לימוד זה מיועד לעיון בלבד ומתייחס למגוון רחב של נושאים. המאמר מספק סקירה כללית של גרפים של פונקציות בסיסיות ולוקח בחשבון את הנושא החשוב ביותר - איך לבנות גרף בצורה נכונה ומהירה. במהלך לימוד מתמטיקה גבוהה ללא ידע בגרפים של פונקציות יסודיות, זה יהיה קשה, ולכן חשוב מאוד לזכור איך נראים הגרפים של פרבולה, היפרבולה, סינוס, קוסינוס וכו', ולזכור כמה של משמעויות הפונקציות. נדבר גם על כמה מאפיינים של הפונקציות העיקריות.

אני לא טוען לשלמות וליסודיות מדעית של החומרים הדגש יושם, קודם כל, על הפרקטיקה - אותם דברים שבהם אדם פוגש ממש בכל שלב, בכל נושא של מתמטיקה גבוהה יותר. תרשימים עבור בובות? אפשר להגיד את זה גם.

עקב פניות רבות של קוראים תוכן עניינים הניתן ללחיצה:

בנוסף, ישנו תקציר קצר במיוחד בנושא
- לשלוט ב-16 סוגי תרשימים על ידי לימוד שישה דפים!

ברצינות, שש, אפילו אני הופתעתי. תקציר זה מכיל גרפיקה משופרת וזמין תמורת תשלום סמלי ניתן לצפות בגרסת הדגמה. נוח להדפיס את הקובץ כך שהגרפים יהיו תמיד בהישג יד. תודה על התמיכה בפרויקט!

ובואו נתחיל מיד:

כיצד לבנות צירים תיאום נכון?

בפועל, מבחנים כמעט תמיד מבוצעים על ידי תלמידים במחברות נפרדות, מרופדות בריבוע. למה צריך סימנים משובצים? אחרי הכל, העבודה, באופן עקרוני, יכולה להתבצע על גיליונות A4. והכלוב נחוץ רק לעיצוב איכותי ומדויק של ציורים.

כל ציור של גרף פונקציות מתחיל בצירי קואורדינטות.

ציורים יכולים להיות דו מימדיים או תלת מימדיים.

תחילה נבחן את המקרה הדו-ממדי מערכת קואורדינטות מלבנית קרטזית:

1) צייר צירי קואורדינטות. הציר נקרא ציר x , והציר הוא ציר y . אנחנו תמיד מנסים לצייר אותם מסודר ולא עקום. החצים גם לא צריכים להידמות לזקן של אבא קרלו.

2) אנו חותמים את הצירים באותיות גדולות "X" ו- "Y". אל תשכח לתייג את הצירים.

3) הגדר את קנה המידה לאורך הצירים: צייר אפס ושתיים. בעת ביצוע ציור, קנה המידה הנוח והנפוצה ביותר הוא: יחידה אחת = 2 תאים (ציור משמאל) - אם אפשר, היצמדו אליו. עם זאת, מעת לעת קורה שהציור לא מתאים לגיליון המחברת - אז נפחית את קנה המידה: 1 יחידה = תא 1 (ציור מימין). זה נדיר, אבל קורה שיש להקטין (או להגדיל) את קנה המידה של הציור אפילו יותר

אין צורך ב"מקלע" …-5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ….שכן מטוס הקואורדינטות אינו אנדרטה לדקארט, והתלמיד אינו יונה. שמנו אֶפֶסו שתי יחידות לאורך הצירים. לִפְעָמִים בִּמקוֹםיחידות, נוח "לסמן" ערכים אחרים, למשל, "שניים" על ציר האבססיס ו"שלוש" על ציר האורדינאטה - ומערכת זו (0, 2 ו-3) גם תגדיר באופן ייחודי את רשת הקואורדינטות.

עדיף להעריך את המידות המשוערות של השרטוט לפני בניית השרטוט. אז, למשל, אם המשימה דורשת ציור משולש עם קודקודים , , , אז ברור לחלוטין שהסקאלה הפופולרית של 1 יחידה = 2 תאים לא יעבוד. מַדוּעַ? בואו נסתכל על הנקודה - כאן תצטרכו למדוד חמישה עשר סנטימטרים למטה, וברור שהציור לא יתאים (או בקושי יתאים) על דף מחברת. לכן, אנו בוחרים מיד בקנה מידה קטן יותר: יחידה אחת = תא אחד.

אגב, בערך סנטימטרים ותאי מחברת. האם זה נכון ש-30 תאי מחברת מכילים 15 סנטימטרים? בשביל הכיף, מדדו 15 סנטימטרים במחברת עם סרגל. בברית המועצות אולי זה היה נכון... מעניין לציין שאם מודדים את אותם סנטימטרים אופקית ואנכית, התוצאות (בתאים) יהיו שונות! למהדרין, מחברות מודרניות אינן משובצות, אלא מלבניות. זה אולי נראה שטויות, אבל לצייר, למשל, עיגול עם מצפן במצבים כאלה זה מאוד לא נוח. למען האמת, ברגעים כאלה אתה מתחיל לחשוב על נכונותו של החבר סטלין, שנשלח למחנות לעבודות פריצה בייצור, שלא לדבר על תעשיית הרכב המקומית, מטוסים נופלים או תחנות כוח מתפוצצות.

אם כבר מדברים על איכות, או המלצה קצרה על ניירת. כיום, רוב המחברות במבצע הן, בלשון המעטה, קשקוש מוחלט. מהסיבה שהם נרטבים, ולא רק מעטי ג'ל, אלא גם מעטים כדוריים! הם חוסכים כסף על הנייר. להשלמת בדיקות, אני ממליץ להשתמש במחברות ממפעל העיסה והנייר של ארכנגלסק (18 גיליונות, ריבועיים) או "Pyaterochka", אם כי זה יקר יותר. רצוי לבחור בעט ג'ל אפילו מילוי הג'ל הסיני הזול ביותר הוא הרבה יותר טוב מאשר עט כדורי, שמכתים או קורע את הנייר. העט הכדורי ה"תחרותי" היחיד שאני זוכר הוא אריך קראוזה. היא כותבת בצורה ברורה, יפה ועקבית - אם עם גרעין מלא ואם עם אחד כמעט ריק.

בְּנוֹסַף: הראייה של מערכת קואורדינטות מלבנית דרך עיני הגיאומטריה האנליטית מכוסה במאמר תלות לינארית (לא) של וקטורים. בסיס של וקטורים, מידע מפורט על רבעוני קואורדינטות ניתן למצוא בפסקה השנייה של השיעור אי שוויון ליניארי.

מארז תלת מימד

זה כמעט אותו דבר כאן.

1) צייר צירי קואורדינטות. תֶקֶן: יישום ציר – מכוון למעלה, ציר – מכוון ימינה, ציר – מכוון מטה שמאלה למהדריןבזווית של 45 מעלות.

2) סמן את הצירים.

3) הגדר את קנה המידה לאורך הצירים. קנה המידה לאורך הציר קטן פי שניים מקנה המידה לאורך הצירים האחרים. שימו לב גם שבציור הימני השתמשתי ב"חריץ" לא סטנדרטי לאורך הציר (אפשרות זו כבר הוזכרה לעיל). מנקודת מבטי זה יותר מדויק, מהיר ואסתטי יותר - אין צורך לחפש את אמצע התא במיקרוסקופ ו"לפסל" יחידה קרובה למקור הקואורדינטות.

בעת ביצוע ציור תלת מימד, שוב, תן עדיפות לקנה מידה
יחידה אחת = 2 תאים (ציור משמאל).

בשביל מה כל הכללים האלה? חוקים נועדו להפר אותם. זה מה שאני אעשה עכשיו. העובדה היא שהציורים הבאים של המאמר ייעשו על ידי באקסל, וצירי הקואורדינטות ייראו שגויים מנקודת המבט של עיצוב נכון. יכולתי לצייר את כל הגרפים ביד, אבל זה בעצם מפחיד לצייר אותם מכיוון שאקסל לא שש לצייר אותם בצורה הרבה יותר מדויקת.

גרפים ומאפיינים בסיסיים של פונקציות יסודיות

פונקציה לינארית ניתנת על ידי המשוואה. הגרף של פונקציות לינאריות הוא יָשִׁיר. כדי לבנות קו ישר, מספיק לדעת שתי נקודות.

דוגמה 1

בנה גרף של הפונקציה. בוא נמצא שתי נקודות. כדאי לבחור באפס כאחת מהנקודות.

אם, אז

ניקח נקודה נוספת, למשל, 1.

אם, אז

בעת השלמת משימות, הקואורדינטות של הנקודות בדרך כלל מסוכמות בטבלה:

והערכים עצמם מחושבים בעל פה או על טיוטה, מחשבון.

נמצאו שתי נקודות, בואו נעשה את הציור:

בעת הכנת ציור, אנו תמיד חותמים על הגרפיקה.

זה יהיה שימושי להיזכר במקרים מיוחדים של פונקציה לינארית:

שימו לב איך שמתי את החתימות, חתימות לא צריכות לאפשר סתירות בעת לימוד הציור. במקרה זה, זה היה מאוד לא רצוי לשים חתימה ליד נקודת החיתוך של הקווים, או בצד ימין למטה בין הגרפים.

1) פונקציה לינארית של הצורה () נקראת פרופורציונליות ישירה. לדוגמה, . גרף מידתיות ישירה תמיד עובר דרך המקור. לפיכך, בניית קו ישר מפושטת - מספיק למצוא נקודה אחת בלבד.

2) משוואה של הצורה מציינת ישר מקביל לציר, בפרט, הציר עצמו ניתן על ידי המשוואה. הגרף של הפונקציה נשרטט מיד, מבלי למצוא נקודות. כלומר, יש להבין את הערך באופן הבא: "ה-y תמיד שווה ל-4, עבור כל ערך של x."

3) משוואה של הצורה מציינת ישר מקביל לציר, בפרט, הציר עצמו ניתן על ידי המשוואה. גם הגרף של הפונקציה נשרטט מיד. יש להבין את הערך באופן הבא: "x תמיד, עבור כל ערך של y, שווה ל-1."

יש שישאלו, למה זוכרים את כיתה ו'?! ככה זה, אולי זה כך, אבל במהלך שנות התרגול פגשתי תריסר טוב של תלמידים שהיו מבולבלים מהמשימה של בניית גרף כמו או.

בניית קו ישר היא הפעולה הנפוצה ביותר בעת ביצוע שרטוטים.

הקו הישר נדון בפירוט במהלך הגיאומטריה האנליטית, והמעוניינים יכולים להתייחס למאמר משוואת קו ישר במישור.

גרף של פונקציה ריבועית, מעוקבת, גרף של פולינום

פָּרַבּוֹלָה. גרף של פונקציה ריבועית () מייצג פרבולה. קחו בחשבון את המקרה המפורסם:

נזכיר כמה מאפיינים של הפונקציה.

אז, הפתרון למשוואה שלנו: - בנקודה זו נמצא קודקוד הפרבולה. מדוע זה כך ניתן למצוא במאמר התיאורטי על הנגזרת ובשיעור על קיצוניות של הפונקציה. בינתיים, בואו נחשב את הערך "Y" המתאים:

לפיכך, הקודקוד נמצא בנקודה

כעת אנו מוצאים נקודות אחרות, תוך שימוש בחוצפה בסימטריה של הפרבולה. יש לציין כי הפונקציה – אינו אפילו, אבל, בכל זאת, איש לא ביטל את הסימטריה של הפרבולה.

באיזה סדר למצוא את הנקודות הנותרות, אני חושב שזה יהיה ברור מהטבלה הסופית:

אלגוריתם בנייה זה יכול להיקרא "מעבורת" או עקרון "הלוך ושוב" עם Anfisa Chekhova.

בואו נעשה את הציור:

מהגרפים שנבדקו, עולה תכונה שימושית נוספת:

לפונקציה ריבועית () הדברים הבאים נכונים:

אם , אז ענפי הפרבולה מכוונים כלפי מעלה.

אם , אז ענפי הפרבולה מכוונים כלפי מטה.

ידע מעמיק על העקומה ניתן לקבל בשיעור היפרבולה ופרבולה.

פרבולה מעוקבת ניתנת על ידי הפונקציה. הנה ציור מוכר מבית הספר:

הבה נפרט את המאפיינים העיקריים של הפונקציה

גרף של פונקציה

הוא מייצג את אחד הענפים של פרבולה. בואו נעשה את הציור:

מאפיינים עיקריים של הפונקציה:

במקרה זה, הציר הוא אסימפטוטה אנכית עבור הגרף של היפרבולה ב .

זו תהיה טעות GROSS אם, כשאתה משרטט ציור, אתה מאפשר לרשלנות לגרף להצטלב עם אסימפטוטה.

גם גבולות חד-צדדיים אומרים לנו שההיפרבולה לא מוגבל מלמעלהו לא מוגבל מלמטה.

בואו נבחן את הפונקציה באינסוף: כלומר, אם נתחיל לנוע לאורך הציר שמאלה (או ימינה) לאינסוף, אז ה"משחקים" יהיו צעד מסודר קרוב לאין ערוךמתקרבים לאפס, ובהתאם, ענפי ההיפרבולה קרוב לאין ערוךלהתקרב לציר.

אז הציר הוא אסימפטוטה אופקית עבור גרף של פונקציה, אם "x" נוטה לפלוס או מינוס אינסוף.

הפונקציה היא מְשׁוּנֶה, ולכן, ההיפרבולה סימטרית לגבי המקור. עובדה זו ברורה מהציור, בנוסף, היא מאומתת בקלות אנליטית: .

הגרף של פונקציה של הצורה () מייצג שני ענפים של היפרבולה.

אם , אז ההיפרבולה ממוקמת ברבע הקואורדינטות הראשון והשלישי(ראה תמונה למעלה).

אם , אז ההיפרבולה ממוקמת ברבעי הקואורדינטות השני והרביעי.

קל לנתח את הדפוס המצוין של מגורי ההיפרבולה מנקודת המבט של טרנספורמציות גיאומטריות של גרפים.

דוגמה 3

בנו את הענף הימני של ההיפרבולה

אנו משתמשים בשיטת הבנייה הנקודתית, וכדאי לבחור את הערכים כך שיהיו מתחלקים בשלם:

בואו נעשה את הציור:

לא יהיה קשה לבנות את הענף השמאלי של ההיפרבולה המוזרות של הפונקציה תעזור כאן. באופן גס, בטבלת הבנייה הנקודתית, אנו מוסיפים מנטלית מינוס לכל מספר, שמים את הנקודות המתאימות ומציירים את הענף השני.

מידע גיאומטרי מפורט על הקו הנחשב ניתן למצוא במאמר Hyperbola and parabola.

גרף של פונקציה אקספוננציאלית

בחלק זה אתייחס מיד לפונקציה האקספוננציאלית, שכן בבעיות של מתמטיקה גבוהה יותר ב-95% מהמקרים זה האקספוננציאלי שמופיע.

הרשו לי להזכיר לכם שזהו מספר אי-רציונלי: , זה יידרש בעת בניית גרף, שלמעשה אני אבנה ללא טקס. שלוש נקודות כנראה מספיקות:

נשאיר את הגרף של הפונקציה לבד לעת עתה, על זה בהמשך.

מאפיינים עיקריים של הפונקציה:

גרפי פונקציות וכו' נראים אותו דבר ביסודו.

אני חייב לומר שהמקרה השני מתרחש בתדירות נמוכה יותר בפועל, אבל הוא מתרחש, ולכן ראיתי צורך לכלול אותו במאמר זה.

גרף של פונקציה לוגריתמית

שקול פונקציה עם לוגריתם טבעי.
בואו נעשה ציור נקודתי:

אם שכחת מהו לוגריתם, אנא עיין בספרי בית הספר שלך.

מאפיינים עיקריים של הפונקציה:

תחום ההגדרה:

טווח ערכים: .

הפונקציה אינה מוגבלת מלמעלה: , אמנם לאט, אבל הענף של הלוגריתם עולה עד אינסוף.
הבה נבחן את התנהגות הפונקציה ליד אפס מימין: . אז הציר הוא אסימפטוטה אנכית שכן הגרף של פונקציה כ-"x" שואף לאפס מימין.

הכרחי לדעת ולזכור את הערך האופייני של הלוגריתם: .

באופן עקרוני, הגרף של הלוגריתם לבסיס נראה אותו הדבר: , , (לוגריתם עשרוני לבסיס 10) וכו'. יתרה מכך, ככל שהבסיס גדול יותר, כך הגרף יהיה שטוח יותר.

לא נשקול את המקרה אני לא זוכר את הפעם האחרונה שבניתי גרף עם בסיס כזה. ונראה שהלוגריתם הוא אורח נדיר מאוד בבעיות של מתמטיקה גבוהה יותר.

בסוף הפסקה אני אגיד עוד עובדה אחת: פונקציה אקספוננציאלית ופונקציה לוגריתמית– אלו שתי פונקציות הפכות זו לזו. אם אתה מסתכל מקרוב על גרף הלוגריתם, אתה יכול לראות שזה אותו מעריך, הוא פשוט ממוקם קצת אחרת.

גרפים של פונקציות טריגונומטריות

היכן מתחילים ייסורים טריגונומטריים בבית הספר? יָמִינָה. מסינוס

בואו נשרטט את הפונקציה

הקו הזה נקרא סינוסואיד.

הרשו לי להזכיר לכם ש"פי" הוא מספר לא רציונלי: , ובטריגונומטריה הוא מסנוור את העיניים.

מאפיינים עיקריים של הפונקציה:

פונקציה זו היא תְקוּפָתִיעם תקופה. מה זה אומר? בואו נסתכל על הקטע. משמאל ומימין לו, בדיוק אותו קטע של הגרף חוזר על עצמו בלי סוף.

תחום ההגדרה: , כלומר, לכל ערך של "x" יש ערך סינוס.

טווח ערכים: . הפונקציה היא מוּגבָּל: , כלומר, כל ה"משחקים" יושבים אך ורק בקטע .
זה לא קורה: או ליתר דיוק, זה קורה, אבל למשוואות האלה אין פתרון.

אפסים פונקציה
האפס של פונקציה הוא הערך X, שבו הפונקציה הופכת ל-0, כלומר, f(x)=0.

אפסים הם נקודות החיתוך של גרף הפונקציות עם הציר אה.

זוגיות פונקציה
פונקציה נקראת גם אם עבור כל אחת Xמתחום ההגדרה מתקיים השוויון f(-x) = f(x).

פונקציה זוגית היא סימטרית על הציר אה

פונקציית זוגיות מוזרה
פונקציה נקראת אי זוגי אם לכל Xמתחום ההגדרה מתקיים השוויון f(-x) = -f(x).

פונקציה אי-זוגית היא סימטרית לגבי המקור.
פונקציה שאינה זוגית ואינה נקראת פונקציה כללית.

הגדלת תפקוד
אומרים שפונקציה f(x) עולה אם ערך גדול יותר של הארגומנט מתאים לערך גדול יותר של הפונקציה, כלומר.

פונקציה יורדת
פונקציה f(x) נקראת ירידה אם ערך גדול יותר של הארגומנט מתאים לערך קטן יותר של הפונקציה, כלומר.

מרווחים שבהם הפונקציה רק ​​יורדת או רק גדלה נקראים מרווחים של מונוטוניות. לפונקציה f(x) יש 3 מרווחים של מונוטוניות:

מצא מרווחים של מונוטוניות באמצעות השירות מרווחים של פונקציה הולכת ופוחתת

מקסימום מקומי
נְקוּדָה x 0נקראת נקודת מקסימום מקומית אם בכלל Xמסביבת נקודה x 0אי השוויון הבא מתקיים: f(x 0) > f(x)

מינימום מקומי
נְקוּדָה x 0נקראת נקודת מינימום מקומית אם בכלל Xמסביבת נקודה x 0אי שוויון מתקיים: f(x 0)< f(x).

נקודות מקסימום מקומיות ונקודות מינימום מקומיות נקראות נקודות קיצון מקומיות.

נקודות קיצון מקומיות.

תדירות פונקציה
הפונקציה f(x) נקראת מחזורית, עם נקודה ט, אם בכלל Xהשוויון f(x+T) = f(x) מתקיים.

מרווחים של קביעות סימנים
מרווחים שבהם הפונקציה חיובית או שלילית בלבד נקראים מרווחים של סימן קבוע.

המשכיות של תפקוד
פונקציה f(x) נקראת רציפה בנקודה x 0 אם הגבול של הפונקציה כ-x → x 0 שווה לערך הפונקציה בנקודה זו, כלומר. .

נקודות שבירה
הנקודות שבהן מופר תנאי ההמשכיות נקראות נקודות שבירה של פונקציות.

x 0- נקודת שבירה.

סכימה כללית לשרטוט פונקציות

1. מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה D(y).

2. מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציות עם צירי הקואורדינטות.

3. בדוק את הפונקציה זוגית או אי זוגית.

4. בדקו את הפונקציה לגבי מחזוריות.

5. מצא מרווחי מונוטוניות ונקודות קיצון של הפונקציה.

6. מצא את מרווחי הקמורות ונקודות הפיתול של הפונקציה.

7. מצא את האסימפטוטים של הפונקציה.

8. על סמך תוצאות המחקר בנו גרף.

דוּגמָה:חקור את הפונקציה ושרטט אותה: y = x 3 - 3x

1) הפונקציה מוגדרת על כל הציר המספרי, כלומר תחום ההגדרה שלה הוא D(y) = (-∞; +∞).

2) מצא את נקודות החיתוך עם צירי הקואורדינטות:

עם ציר OX: פתרו את המשוואה x 3 – 3x = 0

עם ציר OY: y(0) = 0 3 – 3*0 = 0

3) גלה אם הפונקציה זוגית או אי-זוגית:

y(-x) = (-x) 3 – 3(-x) = -x 3 + 3x = - (x 3 – 3x) = -y(x)

מכאן נובע שהפונקציה היא מוזרה.

4) הפונקציה אינה מחזורית.

5) בואו נמצא את המרווחים של מונוטוניות ונקודות קיצון של הפונקציה: y' = 3x 2 - 3.

נקודות קריטיות: 3x 2 – 3 = 0, x 2 =1, x= ±1.

y(-1) = (-1) 3 – 3(-1) = 2

y(1) = 1 3 – 3*1 = -2

6) מצא את מרווחי הקמורות ונקודות הפיתול של הפונקציה: y'' = 6x

נקודות קריטיות: 6x = 0, x = 0.

y(0) = 0 3 – 3*0 = 0

7) הפונקציה היא רציפה, אין לה אסימפטוטות.

8) על סמך תוצאות המחקר נבנה גרף של הפונקציה.