בואו נשקול את הבעיה. בסיס המלבן גדול מגובהו ב-10 ס"מ ושטחו 24 ס"מ. מצא את גובה המלבן. לְאַפשֵׁר Xסנטימטרים הוא גובה המלבן, ואז הבסיס שלו שווה ל- X+10) ס"מ השטח של מלבן זה הוא X(X+ 10) cm². לפי תנאי הבעיה X(X+ 10) = 24. פתיחת הסוגריים והזזת המספר 24 עם הסימן הנגדי לצד שמאל של המשוואה, נקבל: X² + 10 X-24 = 0. כשפותרים בעיה זו התקבלה משוואה שנקראת ריבועית.

משוואה ריבועית היא משוואה של הצורה

גַרזֶן ²+ bx+c= 0

אֵיפֹה א, ב, ג- מספרים נתונים, ו א≠ 0, ו X- לא ידוע.

קְטָטָה א, ב, גהמשוואה הריבועית נקראת בדרך כלל: א- המקדם הראשון או הגבוה ביותר, ב- מקדם שני, ג- חבר חינם. לדוגמה, בבעיה שלנו, המקדם המוביל הוא 1, המקדם השני הוא 10, והמונח החופשי הוא -24. פתרון בעיות רבות במתמטיקה ובפיזיקה מסתכם בפתרון משוואות ריבועיות.

פתרון משוואות ריבועיות

השלם משוואות ריבועיות. הצעד הראשון הוא להביא את המשוואה הנתונה לצורה סטנדרטית גַרזֶן²+ bx+ c = 0. נחזור לבעיה שלנו, שבה ניתן לכתוב את המשוואה כ X(X+ 10) = 24 בואו נביא את זה לצורה סטנדרטית, פתח את הסוגריים X² + 10 X- 24 = 0, אנו פותרים את המשוואה הזו באמצעות הנוסחה של השורשים של משוואה ריבועית כללית.

הביטוי מתחת לסימן השורש בנוסחה זו נקרא המבחין D = ב² - 4 ac

אם D>0, אז למשוואה הריבועית יש שני שורשים שונים, אותם ניתן למצוא באמצעות הנוסחה של השורשים של משוואה ריבועית.

אם D=0, אז למשוואה הריבועית יש שורש אחד.

אם ד<0, то квадратное уравнение не имеет действительных корней, т. е. не имеет решения.

בואו נחליף את הערכים בנוסחה שלנו א= 1, ב= 10, ג= -24.

נקבל D>0, לכן נקבל שני שורשים.

הבה נבחן דוגמה שבה D=0, בתנאי זה צריך להיות שורש אחד.

25x² - 30 x+ 9 = 0

שקול דוגמה שבה D<0, при этом условии решения не должно быть.

2x² + 3 x+ 4 = 0

המספר מתחת לסימן השורש (דיפרנצינט) הוא שלילי אנו כותבים את התשובה באופן הבא: למשוואה אין שורשים אמיתיים.

פתרון משוואות ריבועיות לא שלמות

משוואה ריבועית גַרזֶן² + bx+ ג= 0 נקרא לא שלם אם לפחות אחד מהמקדמים באוֹ גשווה לאפס. משוואה ריבועית לא שלמה היא משוואה מאחד מהסוגים הבאים:

גַרזֶן² = 0,

גַרזֶן² + ג= 0, ג≠ 0,

גַרזֶן² + bx= 0, ב≠ 0.

בואו נסתכל על כמה דוגמאות ונפתור את המשוואה

חלוקת שני הצדדים של המשוואה ב-5 נותנת את המשוואה X² = 0, לתשובה יהיה שורש אחד X= 0.

שקול משוואה של הצורה

3X² - 27 = 0

מחלקים את שני הצדדים ב-3, נקבל את המשוואה X² - 9 = 0, או שאפשר לכתוב אותו X² = 9, לתשובה יהיו שני שורשים X= 3 ו X= -3.

שקול משוואה של הצורה

2X² + 7 = 0

מחלקים את שני הצדדים ב-2, נקבל את המשוואה X² = -7/2. למשוואה זו אין שורשים אמיתיים, שכן X² ≥ 0 עבור כל מספר ממשי X.

שקול משוואה של הצורה

3X² + 5 X= 0

אם נחשוב על הצד השמאלי של המשוואה, נקבל X(3X+ 5) = 0, לתשובה יהיו שני שורשים X= 0, X=-5/3.

הדבר החשוב ביותר בפתרון משוואות ריבועיות הוא להביא את המשוואה הריבועית לצורה סטנדרטית, לשנן את הנוסחה לשורשים של משוואה ריבועית כללית ולא להתבלבל בסימנים.

שקול את המשוואה הריבועית:
(1) .
שורשים של משוואה ריבועית(1) נקבעים לפי הנוסחאות:
; .
ניתן לשלב נוסחאות אלו כך:
.
כאשר השורשים של משוואה ריבועית ידועים, אז פולינום מהמעלה השנייה יכול להיות מיוצג כמכפלה של גורמים (מחולקים):
.

לאחר מכן אנו מניחים שהם מספרים ממשיים.
בואו נשקול אבחנה של משוואה ריבועית:
.
אם המבחין חיובי, אז למשוואה הריבועית (1) יש שני שורשים אמיתיים שונים:
; .
אז לפירוק של הטרינום הריבועי יש את הצורה:
.
אם המבחין שווה לאפס, אז למשוואה הריבועית (1) יש שני שורשים אמיתיים מרובים (שווים):
.
פקטוריזציה:
.
אם המבחין שלילי, אז למשוואה הריבועית (1) יש שני שורשים מצומדים מורכבים:
;
.
הנה היחידה הדמיונית,;
והם החלקים האמיתיים והדמיונים של השורשים:
; .
אָז

.

פרשנות גרפית

אם אתה מתווה את הפונקציה
,
שהיא פרבולה, אז נקודות החיתוך של הגרף עם הציר יהיו שורשי המשוואה
.
ב-, הגרף חותך את ציר ה-x (ציר) בשתי נקודות.
כאשר , הגרף נוגע בציר ה-x בנקודה אחת.
כאשר , הגרף אינו חוצה את ציר ה-x.

להלן דוגמאות לגרפים כאלה.

נוסחאות שימושיות הקשורות למשוואה ריבועית

(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .

גזירת הנוסחה לשורשים של משוואה ריבועית

אנו מבצעים טרנספורמציות ומיישמים נוסחאות (f.1) ו-(f.3):




,
אֵיפֹה
; .

אז, קיבלנו את הנוסחה עבור פולינום מהמעלה השנייה בצורה:
.
זה מראה שהמשוואה

בוצע ב
ו.
כלומר, והם שורשי המשוואה הריבועית
.

דוגמאות לקביעת השורשים של משוואה ריבועית

דוגמה 1

(1.1) .

פִּתָרוֹן

.
בהשוואה למשוואה שלנו (1.1), אנו מוצאים את ערכי המקדמים:
.
אנו מוצאים את המפלה:
.
מכיוון שהמבחן חיובי, למשוואה יש שני שורשים אמיתיים:
;
;
.

מכאן נקבל את הפירוק לגורמים של הטרינום הריבועי:

.

גרף של הפונקציה y = 2 x 2 + 7 x + 3חותך את ציר ה-x בשתי נקודות.

בואו נשרטט את הפונקציה
.
הגרף של פונקציה זו הוא פרבולה. הוא חוצה את ציר האבשסיס (ציר) בשתי נקודות:
ו.
נקודות אלו הן שורשי המשוואה המקורית (1.1).

תְשׁוּבָה

;
;
.

דוגמה 2

מצא את השורשים של משוואה ריבועית:
(2.1) .

פִּתָרוֹן

בוא נכתוב את המשוואה הריבועית בצורה כללית:
.
בהשוואה למשוואה המקורית (2.1), אנו מוצאים את ערכי המקדמים:
.
אנו מוצאים את המפלה:
.
מכיוון שהמבחן הוא אפס, למשוואה יש שני שורשים מרובים (שווים):
;
.

אז לפירוק של הטרינום יש את הצורה:
.

גרף של הפונקציה y = x 2 - 4 x + 4נוגע בציר ה-x בנקודה אחת.

בואו נשרטט את הפונקציה
.
הגרף של פונקציה זו הוא פרבולה. הוא נוגע בציר ה-x (ציר) בנקודה אחת:
.
נקודה זו היא השורש של המשוואה המקורית (2.1). מכיוון שהשורש הזה מושפע פעמיים:
,
אז שורש כזה נקרא בדרך כלל כפולה. כלומר, הם מאמינים שיש שני שורשים שווים:
.

תְשׁוּבָה

;
.

דוגמה 3

מצא את השורשים של משוואה ריבועית:
(3.1) .

פִּתָרוֹן

בוא נכתוב את המשוואה הריבועית בצורה כללית:
(1) .
נכתוב מחדש את המשוואה המקורית (3.1):
.
בהשוואה עם (1), אנו מוצאים את ערכי המקדמים:
.
אנו מוצאים את המפלה:
.
המפלה היא שלילית,.

לכן אין שורשים אמיתיים.
;
;

בואו נשרטט את הפונקציה
.
אתה יכול למצוא שורשים מורכבים:

תְשׁוּבָה

הגרף של פונקציה זו הוא פרבולה. הוא אינו חוצה את ציר ה-x (ציר). לכן אין שורשים אמיתיים.
;
;
.

אין שורשים אמיתיים. שורשים מורכבים:

בית ספר תיכון כפרי קופייבסקאיה

10 דרכים לפתור משוואות ריבועיות

ראש: פטריקיבה גלינה אנטולייבנה,

מורה למתמטיקה

כפר קופבו, 2007

1. היסטוריה של התפתחות משוואות ריבועיות

1.1 משוואות ריבועיות בבבל העתיקה

1.2 כיצד דיופנטוס חיבר ופתר משוואות ריבועיות

1.3 משוואות ריבועיות בהודו

1.4 משוואות ריבועיות מאת אל-חורזמי

1.5 משוואות ריבועיות באירופה מאות XIII - XVII

1.6 על משפט וייטה

2. שיטות לפתרון משוואות ריבועיות

מַסְקָנָה

1. סִפְרוּת

היסטוריה של התפתחות משוואות ריבועיות

1.1 משוואות ריבועיות בבבל העתיקה

הצורך לפתור משוואות לא רק מהמדרגה הראשונה, אלא גם מהדרגה השנייה, אפילו בימי קדם, נגרם מהצורך לפתור בעיות הקשורות במציאת שטחי חלקות קרקע ובעבודות חפירה בעלות אופי צבאי, גם כן. כמו בהתפתחות האסטרונומיה והמתמטיקה עצמה. ניתן לפתור משוואות ריבועיות בסביבות שנת 2000 לפני הספירה. ה. בבל.

באמצעות סימון אלגברי מודרני, אנו יכולים לומר שבטקסטים שלהם בכתב היתדות יש, בנוסף לאלה שאינם שלמים, משוואות ריבועיות שלמות, למשל: 2 + באמצעות סימון אלגברי מודרני, אנו יכולים לומר שבטקסטים שלהם בכתב היתדות יש, בנוסף לאלה שאינם שלמים, משוואות ריבועיות שלמות, למשל: = ¾; באמצעות סימון אלגברי מודרני, אנו יכולים לומר שבטקסטים שלהם בכתב היתדות יש, בנוסף לאלה שאינם שלמים, משוואות ריבועיות שלמות, למשל: 2 - באמצעות סימון אלגברי מודרני, אנו יכולים לומר שבטקסטים שלהם בכתב היתדות יש, בנוסף לאלה שאינם שלמים, משוואות ריבועיות שלמות, למשל: = 14,5

הכלל לפתרון המשוואות הללו, שנקבע בטקסטים הבבליים, תואם בעיקרו את הכלל המודרני, אך לא ידוע כיצד הגיעו הבבלים לכלל זה. כמעט כל הטקסטים של כתב היתדות שנמצאו עד כה מספקים רק בעיות עם פתרונות שנקבעו בצורה של מתכונים, ללא אינדיקציה לגבי איך הם נמצאו.

למרות רמת ההתפתחות הגבוהה של האלגברה בבבל, אין בכתבי היתדות מושג של מספר שלילי ושיטות כלליות לפתרון משוואות ריבועיות.

1.2 כיצד דיופנטוס חיבר ופתר משוואות ריבועיות.

האריתמטיקה של דיופנטוס אינה מכילה הצגה שיטתית של אלגברה, אך היא מכילה סדרה שיטתית של בעיות, מלוות בהסברים ונפתרות באמצעות בניית משוואות בדרגות שונות.

בעת חיבור משוואות, דיופאנטוס בוחר במיומנות אלמונים כדי לפשט את הפתרון.

הנה, למשל, אחת המשימות שלו.

בעיה 11."מצא שני מספרים, בידיעה שהסכום שלהם הוא 20 והמוצר שלהם הוא 96"

דיופנטוס מנמק כך: מתנאי הבעיה עולה שהמספרים הנדרשים אינם שווים, שכן אילו היו שווים, אז המכפלה שלהם לא הייתה שווה ל-96, אלא ל-100. לפיכך, אחד מהם יהיה יותר מ- מחצית מהסכום שלהם, כלומר. 10 + x, השני הוא פחות, כלומר. שנות ה-10. ההבדל ביניהם 2x .

מכאן המשוואה:

(10 + x)(10 - x) = 96

100 - x 2 = 96

x 2 - 4 = 0 (1)

מכאן x = 2. אחד מהמספרים הנדרשים שווה ל 12 , אחר 8 . פִּתָרוֹן x = -2שכן דיופנטוס אינו קיים, שכן המתמטיקה היוונית ידעה רק מספרים חיוביים.

אם נפתור בעיה זו על ידי בחירה באחד מהמספרים הנדרשים בתור הלא נודע, אז נגיע לפתרון המשוואה

y(20 - y) = 96,

y 2 - 20y + 96 = 0. (2)

ברור שבאמצעות בחירת חצי ההפרש של המספרים הנדרשים כבלתי ידוע, דיופאנטוס מפשט את הפתרון; הוא מצליח לצמצם את הבעיה לפתרון משוואה ריבועית לא שלמה (1).

1.3 משוואות ריבועיות בהודו

בעיות במשוואות ריבועיות נמצאות כבר בחיבור האסטרונומי "אריאבהטיאם", שחיבר בשנת 499 על ידי המתמטיקאי והאסטרונום ההודי אריאבהאטה. מדען הודי אחר, Brahmagupta (המאה השביעית), התווה כלל כללי לפתרון משוואות ריבועיות המופחתות לצורה קנונית אחת:

אה 2+ ב x = c, a > 0. (1)

במשוואה (1), המקדמים, למעט א, יכול להיות גם שלילי. שלטונו של ברהמגופטה זהה למעשה לשלנו.

בהודו העתיקה, תחרויות ציבוריות בפתרון בעיות קשות היו נפוצות. אחד הספרים ההודיים הישנים אומר את הדברים הבאים על תחרויות כאלה: "כפי שהשמש תעלה על הכוכבים בזוהר שלה, כך אדם מלומד יעלה על תהילתו של אחר באסיפות ציבוריות, שיציע ופותר בעיות אלגבריות." בעיות הוצגו לעתים קרובות בצורה פואטית.

זו אחת הבעיות של המתמטיקאי ההודי המפורסם של המאה ה-12. בהסקרס.

בעיה 13.

"להקת קופים עליזים, ושנים עשר לאורך הגפנים...

השלטונות, לאחר שאכלו, נהנו. הם התחילו לקפוץ, לתלות...

יש אותם בכיכר, חלק שמיני כמה קופים היו?

נהניתי בקרחת היער. תגיד לי, בחבילה הזו?

הפתרון של בהסקרה מצביע על כך שהוא ידע שהשורשים של משוואות ריבועיות הם דו-ערכיים (איור 3).

המשוואה התואמת לבעיה 13 היא:

( x /8) 2 + 12 = x

בהסקרה כותב במסווה:

x 2 - 64x = -768

וכדי להשלים את הצד השמאלי של המשוואה הזו לריבוע, מוסיף לשני הצדדים 32 2 , ואז מקבל:

x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x - 32 = ± 16,

x 1 = 16, x 2 = 48.

1.4 משוואות ריבועיות באל-חורזמי

בחיבור האלגברי של אל-חורזמי ניתן סיווג של משוואות ליניאריות וריבועיות. המחבר מונה 6 סוגי משוואות, המבטא אותם באופן הבא:

1) "ריבועים שווים לשורשים", כלומר. ax 2 + c = ב X.

2) "ריבועים שווים למספרים", כלומר. גרזן 2 = ג.

3) "השורשים שווים למספר", כלומר. אה = ש.

4) "ריבועים ומספרים שווים לשורשים", כלומר. ax 2 + c = ב X.

5) "ריבועים ושורשים שווים למספרים", כלומר. אה 2+ bx = ש.

6) "שורשים ומספרים שווים לריבועים", כלומר. bx + c = ax 2 .

עבור אל-חורזמי, שנמנע משימוש במספרים שליליים, המונחים של כל אחת מהמשוואות הללו הם חיבורים ולא ניתנים לחסר. במקרה זה, משוואות שאין להן פתרונות חיוביים כמובן לא נלקחות בחשבון. המחבר מגדיר שיטות לפתרון משוואות אלו באמצעות הטכניקות של אל-ג'בר ואל-מוקבלה. ההחלטות שלו, כמובן, אינן תואמות לחלוטין להחלטות שלנו. שלא לדבר על זה שהוא רטורי בלבד, יש לציין, למשל, שכאשר פותרים משוואה ריבועית לא שלמה מהסוג הראשון

אל-חורזמי, כמו כל המתמטיקאים לפני המאה ה-17, לא לוקח בחשבון את פתרון האפס, כנראה בגלל שבבעיות מעשיות ספציפיות זה לא משנה. בעת פתרון משוואות ריבועיות שלמות, אל-חורזמי מגדיר את הכללים לפתרונן באמצעות דוגמאות מספריות מסוימות, ולאחר מכן הוכחות גיאומטריות.

בעיה 14."הריבוע והמספר 21 שווים ל-10 שורשים. מצא את השורש" (מרמז על השורש של המשוואה x 2 + 21 = 10x).

הפתרון של המחבר הולך בערך כך: מחלקים את מספר השורשים לשניים, מקבלים 5, מכפילים 5 בעצמו, מחסירים 21 מהמכפלה, מה שנשאר זה 4. קח את השורש מ-4, אתה מקבל 2. החסר 2 מ-5 , אתה מקבל 3, זה יהיה השורש הרצוי. או להוסיף 2 ל-5, מה שנותן 7, זה גם שורש.

החיבור של אל-חורזמי הוא הספר הראשון שהגיע אלינו, הקובע באופן שיטתי את סיווג המשוואות הריבועיות ונותן נוסחאות לפתרון שלהן.

1.5 משוואות ריבועיות באירופה XIII - XVII bb

נוסחאות לפתרון משוואות ריבועיות בנוסח אל-חורזמי באירופה הוצגו לראשונה בספר אבקסיס, שנכתב ב-1202 על ידי המתמטיקאי האיטלקי ליאונרדו פיבונאצ'י. יצירה עשירה זו, המשקפת את השפעת המתמטיקה, הן מארצות האסלאם והן מיוון העתיקה, נבדלת בשלמותה ובבהירות ההצגה שלה. המחבר פיתח באופן עצמאי כמה דוגמאות אלגבריות חדשות לפתרון בעיות והיה הראשון באירופה שניגש להכנסת מספרים שליליים. ספרו תרם להפצת הידע האלגברי לא רק באיטליה, אלא גם בגרמניה, צרפת ומדינות אחרות באירופה. בעיות רבות מתוך ספר אבקסיס שימשו כמעט בכל ספרי הלימוד האירופיים של המאות ה-16-17. ובחלקו XVIII.

הכלל הכללי לפתרון משוואות ריבועיות מופחת לצורה קנונית אחת:

x 2 + bx = ג,

לכל השילובים האפשריים של סימני מקדם ב , עִםנוסחה באירופה רק בשנת 1544 על ידי מ' שטיפל.

הגזירה של הנוסחה לפתרון משוואה ריבועית בצורה כללית זמינה מ-Vieth, אך Vieth זיהה רק שורשים חיוביים. המתמטיקאים האיטלקיים טרטליה, קרדנו, בומבלי היו בין הראשונים במאה ה-16. בנוסף לחיוביים, נלקחים בחשבון גם שורשים שליליים. רק במאה ה-17. הודות לעבודתם של ז'ירארד, דקארט, ניוטון ומדענים אחרים, השיטה לפתרון משוואות ריבועיות מקבלת צורה מודרנית.

1.6 על משפט וייטה

המשפט המבטא את הקשר בין המקדמים של משוואה ריבועית לשורשיה, הקרוי על שם וייטה, נוסח על ידו לראשונה בשנת 1591 כך: "אם ב + ד, כפול א - א 2 , שווה BD, זה אשווה INושווה ד ».

כדי להבין את וייטה, עלינו לזכור זאת א, כמו כל אות תנועות, פירושו הלא נודע (שלנו X), תנועות IN, ד- מקדמים עבור הלא נודע. בשפת האלגברה המודרנית, הניסוח של וייטה לעיל אומר: אם יש

(+ ב )x - x 2 = אב ,

x 2 - (a + ב )x + a ב = 0,

x 1 = a, x 2 = ב .

על ידי ביטוי היחס בין השורשים והמקדמים של המשוואות עם נוסחאות כלליות שנכתבו באמצעות סמלים, Viète קבע אחידות בשיטות לפתרון משוואות. עם זאת, הסמליות של וייט עדיין רחוקה מצורתה המודרנית. הוא לא זיהה מספרים שליליים ולכן, בעת פתרון משוואות, הוא שקל רק מקרים שבהם כל השורשים היו חיוביים.

2. שיטות לפתרון משוואות ריבועיות

משוואות ריבועיות הן הבסיס שעליו נשען המבנה המלכותי של האלגברה. משוואות ריבועיות נמצאות בשימוש נרחב בפתרון משוואות ואי-שוויון טריגונומטריות, אקספוננציאליות, לוגריתמיות, אי-רציונליות וטרנסצנדנטליות. כולנו יודעים לפתור משוואות ריבועיות מבית הספר (כיתה ח') ועד סיום הלימודים.

המבחין, כמו משוואות ריבועיות, מתחילים ללמוד בקורס אלגברה בכיתה ח'. ניתן לפתור משוואה ריבועית באמצעות אבחנה ושימוש במשפט וייטה. השיטה של ​​לימוד משוואות ריבועיות, כמו גם נוסחאות מבדילות, נלמדת בצורה לא מוצלחת לתלמידי בית הספר, כמו הרבה דברים בחינוך האמיתי. לכן, שנות הלימודים חולפות, החינוך בכיתות ט'-י"א מוחלף ב"השכלה הגבוהה" וכולם מסתכלים שוב - "איך פותרים משוואה ריבועית?", "איך למצוא את שורשי המשוואה?", "איך למצוא את המבחין?" ו...

נוסחה מפלה

המבחין D של המשוואה הריבועית a*x^2+bx+c=0 שווה ל-D=b^2–4*a*c.
השורשים (הפתרונות) של משוואה ריבועית תלויים בסימן המבחין (D):
D>0 – למשוואה יש 2 שורשים אמיתיים שונים;
D=0 - למשוואה יש שורש אחד (2 שורשים תואמים):
ד<0 – не имеет действительных корней (в школьной теории). В ВУЗах изучают комплексные числа и уже на множестве комплексных чисел уравнение с отрицательным дискриминантом имеет два комплексных корня.
הנוסחה לחישוב ההבחנה היא פשוטה למדי, ולכן אתרים רבים מציעים מחשבון מבחנה מקוון. עוד לא הבנו סוג זה של סקריפטים, אז אם מישהו יודע איך ליישם את זה, אנא כתוב לנו במייל כתובת דוא"ל זו מוגנת מפני ספבוטים. עליך להפעיל JavaScript כדי לצפות בו. .

נוסחה כללית למציאת השורשים של משוואה ריבועית:

אנו מוצאים את שורשי המשוואה באמצעות הנוסחה
אם המקדם של משתנה בריבוע מזווג, אז רצוי לחשב לא את המבחין, אלא את החלק הרביעי שלו.
במקרים כאלה, שורשי המשוואה נמצאים באמצעות הנוסחה

הדרך השנייה למצוא שורשים היא משפט וייטה.

המשפט מנוסח לא רק עבור משוואות ריבועיות, אלא גם עבור פולינומים. אתה יכול לקרוא את זה בוויקיפדיה או במשאבים אלקטרוניים אחרים. עם זאת, כדי לפשט, הבה נבחן את החלק הנוגע למשוואות הריבועיות לעיל, כלומר, משוואות הצורה (a=1)
המהות של הנוסחאות של וייטה היא שסכום שורשי המשוואה שווה למקדם המשתנה, בסימן ההפוך. מכפלת שורשי המשוואה שווה לאיבר החופשי. ניתן לכתוב את המשפט של וייטה בנוסחאות.
הגזירה של הנוסחה של Vieta היא די פשוטה. בוא נכתוב את המשוואה הריבועית באמצעות גורמים פשוטים
כפי שאתה יכול לראות, הכל גאוני הוא פשוט בו זמנית. יעיל להשתמש בנוסחה של וייטה כאשר ההבדל במודול השורשים או ההבדל במודול השורשים הוא 1, 2. לדוגמה, למשוואות הבאות, לפי משפט וייטה, יש שורשים




עד משוואה 4, הניתוח אמור להיראות כך. המכפלה של שורשי המשוואה היא 6, לכן השורשים יכולים להיות הערכים (1, 6) ו- (2, 3) או זוגות עם סימנים מנוגדים. סכום השורשים הוא 7 (מקדם המשתנה עם הסימן ההפוך). מכאן אנו מסיקים שהפתרונות למשוואה הריבועית הם x=2; x=3.
קל יותר לבחור את שורשי המשוואה בין המחלקים של המונח החופשי, תוך התאמת הסימן שלהם על מנת להגשים את נוסחאות ה-Vieta. בהתחלה זה נראה קשה לביצוע, אבל עם תרגול על מספר משוואות ריבועיות, טכניקה זו תתברר כיעילה יותר מאשר חישוב המבחין ומציאת שורשי המשוואה הריבועית בדרך הקלאסית.
כפי שניתן לראות, תורת בית הספר של לימוד המבחין ושיטות מציאת פתרונות למשוואה נטולת משמעות מעשית - "למה תלמידי בית ספר צריכים משוואה ריבועית?", "מהי המשמעות הפיזית של המבחין?"

בואו ננסה להבין את זה מה מתאר המאבחן?

בקורס אלגברה לומדים פונקציות, סכמות ללימוד פונקציות ובניית גרף של פונקציות. מכל הפונקציות תופסת הפרבולה מקום חשוב שאת המשוואה שלה ניתן לכתוב בצורה
אז המשמעות הפיזיקלית של המשוואה הריבועית היא האפסים של הפרבולה, כלומר, נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר האבשיסה Ox
אני מבקש מכם לזכור את תכונות הפרבולות המתוארות להלן. יגיע הזמן לגשת למבחנים, מבחנים או מבחני כניסה ותהיה אסיר תודה על חומר העזר. הסימן של המשתנה בריבוע מתאים לשאלה האם הענפים של הפרבולה בגרף יעלו למעלה (a>0),

או פרבולה עם ענפים למטה (א<0) .

קודקוד הפרבולה נמצא באמצע הדרך בין השורשים

המשמעות הפיזית של המבדיל:

אם המבחין גדול מאפס (D>0) לפרבולה יש שתי נקודות חיתוך עם ציר השור.
אם המבחין הוא אפס (D=0) אז הפרבולה בקודקוד נוגעת בציר ה-x.
והמקרה האחרון, כאשר המבחין קטן מאפס (ד<0) – график параболы принадлежит плоскости над осью абсцисс (ветки параболы вверх), или график полностью под осью абсцисс (ветки параболы опущены вниз).

משוואות ריבועיות לא שלמות

משוואות ריבועיות. מפלה. פתרון, דוגמאות.

תְשׁוּמַת לֵב!
ישנם נוספים
חומרים בסעיף מיוחד 555.
למי שהם מאוד "לא מאוד..."
ולמי ש"מאוד...")

סוגי משוואות ריבועיות

מהי משוואה ריבועית? איך זה נראה? בקדנציה משוואה ריבועיתמילת המפתח היא "מְרוּבָּע".זה אומר שבמשוואה בהכרחחייב להיות x בריבוע. בנוסף לזה, המשוואה עשויה (או לא!) להכיל רק X (בחזקה ראשונה) ורק מספר (חבר חינם).ואסור שיהיו איקסים לעוצמה גדולה משניים.

במונחים מתמטיים, משוואה ריבועית היא משוואה בצורה:

כָּאן א, ב ו-ג- כמה מספרים. b ו-c- בהחלט כל, אבל א- כל דבר מלבד אפס. לְדוּגמָה:

כָּאן א =1; ב = 3; ג = -4

כָּאן א =2; ב = -0,5; ג = 2,2

כָּאן א =-3; ב = 6; ג = -18

טוב, אתה מבין...

במשוואות הריבועיות הללו משמאל יש סט שלםחברים. X בריבוע עם מקדם א, x בחזקת הראשונה עם מקדם בו חברים חינם.

משוואות ריבועיות כאלה נקראות מָלֵא.

מה אם ב= 0, מה אנחנו מקבלים? יש לנו X יאבד לחזקה הראשונה.זה קורה כאשר מכפילים באפס.) מתברר, למשל:

5x 2 -25 = 0,

2x 2 -6x=0,

-x 2 +4x=0

וכו. ואם שני המקדמים בו גשווים לאפס, אז זה אפילו יותר פשוט:

2x 2 =0,

-0.3x 2 =0

משוואות כאלה שבהן חסר משהו נקראות משוואות ריבועיות לא שלמות.וזה די הגיוני.) שימו לב ש-x בריבוע קיים בכל המשוואות.

אגב, למה אלא יכול להיות שווה לאפס? ואתה מחליף במקום אאפס.) בריבוע ה-X שלנו ייעלם! המשוואה תהפוך ללינארית. והפתרון שונה לגמרי...

זה כל הסוגים העיקריים של משוואות ריבועיות. שלם ולא שלם.

פתרון משוואות ריבועיות.

פתרון משוואות ריבועיות שלמות.

קל לפתור משוואות ריבועיות. לפי נוסחאות ולפי כללים ברורים ופשוטים. בשלב הראשון, יש צורך להביא את המשוואה הנתונה לצורה סטנדרטית, כלומר. לטופס:

אם המשוואה כבר ניתנת לך בצורה זו, אתה לא צריך לעשות את השלב הראשון.) העיקר הוא לקבוע נכון את כל המקדמים, א, בו ג.

הנוסחה למציאת השורשים של משוואה ריבועית נראית כך:

הביטוי מתחת לסימן השורש נקרא מפלה. אבל עוד עליו בהמשך. כפי שאתה יכול לראות, כדי למצוא X, אנו משתמשים רק a, b ו-c. הָהֵן. מקדמים ממשוואה ריבועית. רק תחליף בזהירות את הערכים א, ב ו-גאנו מחשבים לתוך הנוסחה הזו. בואו נחליף עם הסימנים שלך! לדוגמה, במשוואה:

א =1; ב = 3; ג= -4. כאן נכתוב את זה:

הדוגמה כמעט נפתרה:

זו התשובה.

זה מאוד פשוט. ומה, אתה חושב שאי אפשר לטעות? ובכן, כן, איך...

הטעויות הנפוצות ביותר הן בלבול עם ערכי סימנים א, ב ו-ג. או ליתר דיוק, לא עם הסימנים שלהם (איפה להתבלבל?), אלא עם החלפת ערכים שליליים בנוסחה לחישוב השורשים. מה שעוזר כאן הוא רישום מפורט של הנוסחה עם מספרים ספציפיים. אם יש בעיות בחישובים, לעשות את זה!

נניח שעלינו לפתור את הדוגמה הבאה:

כָּאן א = -6; ב = -5; ג = -1

נניח שאתה יודע שאתה כמעט ולא מקבל תשובות בפעם הראשונה.

ובכן, אל תתעצלו. זה ייקח בערך 30 שניות לכתוב שורה נוספת ואת מספר השגיאות יקטן בחדות. אז אנחנו כותבים בפירוט, עם כל הסוגריים והסימנים:

זה נראה קשה להפליא לכתוב כל כך בזהירות. אבל זה רק נראה כך. לְנַסוֹת. ובכן, או לבחור. מה עדיף, מהיר או נכון?

חוץ מזה, אני אעשה אותך מאושר. לאחר זמן מה, לא יהיה צורך לכתוב הכל כל כך בקפידה. זה יסתדר מעצמו. במיוחד אם אתה משתמש בטכניקות מעשיות שמתוארות להלן. הדוגמה המרושעת הזו עם שלל מינוסים ניתנת לפתרון בקלות וללא שגיאות!

אבל, לעתים קרובות, משוואות ריבועיות נראות מעט שונות. לדוגמה, כך: זיהית את זה?) כן! זֶה.

משוואות ריבועיות לא שלמות

פתרון משוואות ריבועיות לא שלמות. א, ב ו-ג.

ניתן לפתור אותם גם באמצעות נוסחה כללית. אתה רק צריך להבין נכון למה הם שווים כאן. הבנת את זה? בדוגמה הראשונה a = 1; b = -4; גא ? זה בכלל לא שם! ובכן כן, זה נכון. במתמטיקה זה אומר את זה c = 0 ! זהו. החלף אפס בנוסחה במקום זאתג, עִםונצליח. אותו דבר עם הדוגמה השנייה. רק שאין לנו כאן אפס ב !

, א

אבל אפשר לפתור משוואות ריבועיות לא שלמות הרבה יותר פשוט. בלי שום נוסחאות. בואו ניקח בחשבון את המשוואה הלא מלאה הראשונה. מה אפשר לעשות בצד שמאל? אתה יכול להוציא X מהסוגריים! בוא נוציא את זה.
אז מה עם זה? והעובדה שהמכפלה שווה לאפס אם ורק אם כל אחד מהגורמים שווה לאפס! לא מאמין לי? אוקיי, אז תמצא שני מספרים שאינם אפס, שכאשר מכפילים אותם, יתנו אפס!
לא עובד? זהו... לכן, אנו יכולים לכתוב בביטחון:, x 1 = 0.

x 2 = 4 כֹּל. אלו יהיו שורשי המשוואה שלנו. שניהם מתאימים. כאשר מחליפים כל אחד מהם במשוואה המקורית, נקבל את הזהות הנכונה 0 = 0. כפי שאתה יכול לראות, הפתרון הוא הרבה יותר פשוט משימוש בנוסחה הכללית. הרשו לי לציין, אגב, איזה X יהיה הראשון ואיזה יהיה השני - אדיש לחלוטין. נוח לכתוב לפי הסדר, x 1 - מה יותר קטן ו x 2

- מה שגדול יותר.

גם את המשוואה השנייה אפשר לפתור בפשטות. העבר את 9 לצד ימין. אנחנו מקבלים:

כל מה שנותר הוא לחלץ את השורש מ-9, וזהו. יתברר: . גם שני שורשים, x 1 = -3.

כך נפתרות כל המשוואות הריבועיות הלא שלמות. או על ידי הצבת X מתוך סוגריים, או פשוט על ידי הזזת המספר ימינה ואז חילוץ השורש.
קשה מאוד לבלבל בין טכניקות אלו. פשוט כי במקרה הראשון תצטרכו לחלץ את השורש של X, שזה איכשהו לא מובן, ובמקרה השני אין מה להוציא מסוגריים...

מפלה. נוסחה מפלה.

מילת קסם מפלה ! לעתים רחוקות תלמיד תיכון לא שמע את המילה הזו! הביטוי "אנחנו פותרים באמצעות מפלה" מעורר ביטחון והרגעה. כי אין צורך לצפות לטריקים מהמבדיל! זה פשוט וללא בעיות לשימוש.) אני מזכיר לך את הנוסחה הכללית ביותר לפתרון כֹּלמשוואות ריבועיות:

הביטוי מתחת לסימן השורש נקרא אבחנה. בדרך כלל המבחין מסומן באות ד. נוסחת מפלה:

D = b 2 - 4ac

ומה כל כך מדהים בביטוי הזה? למה זה היה ראוי לשם מיוחד? מַה המשמעות של המפלה?אחרי הכל -ב,אוֹ 2אבנוסחה הזו הם לא קוראים לזה במפורש כלום... אותיות ואותיות.

הנה העניין. כשפותרים משוואה ריבועית באמצעות נוסחה זו, זה אפשרי שלושה מקרים בלבד.

1. המפלה חיובית.זה אומר שאפשר לחלץ ממנו את השורש. האם השורש מופק טוב או גרוע זו שאלה אחרת. מה שחשוב זה מה שנשלף באופן עקרוני. אז למשוואה הריבועית שלך יש שני שורשים. שני פתרונות שונים.

2. המבחין הוא אפס.אז יהיה לך פתרון אחד. מכיוון שחיבור או חיסור של אפס במונה לא משנה כלום. למהדרין, זה לא שורש אחד, אלא שניים זהים. אבל, בגרסה מפושטת, נהוג לדבר על פתרון אחד.

3. המפלה היא שלילית.לא ניתן לקחת את השורש הריבועי של מספר שלילי. נו טוב. זה אומר שאין פתרונות.

למען האמת, כשפשוט פותרים משוואות ריבועיות, המושג של מבחין לא ממש נחוץ. אנו מחליפים את ערכי המקדמים בנוסחה וסופרים. הכל קורה שם מעצמו, שני שורשים, אחד, ואף אחד. עם זאת, כאשר פותרים משימות מורכבות יותר, ללא ידע המשמעות והנוסחה של המבדיללא יכול להסתדר. במיוחד במשוואות עם פרמטרים. משוואות כאלה הן אווירובטיקה לבחינת המדינה ולבחינת המדינה המאוחדת!)

כָּך, איך לפתור משוואות ריבועיותדרך המאבחן שזכרת. או שלמדת, וזה גם לא רע.) אתה יודע לקבוע נכון א, ב ו-ג. אתה יודע איך? בתשומת לבהחליפו אותם בנוסחת השורש ו בתשומת לבלספור את התוצאה. אתה מבין שמילת המפתח כאן היא בתשומת לב?

כעת שימו לב לטכניקות מעשיות שמפחיתות באופן דרמטי את מספר השגיאות. אותם אלה שנובעים מחוסר תשומת לב... שעבורם זה הופך מאוחר יותר לכאוב ופוגע...

פגישה ראשונה . אל תתעצלו לפני שתפתרו משוואה ריבועית והביאו אותה לצורה סטנדרטית. מה זה אומר?
נניח שאחרי כל השינויים מקבלים את המשוואה הבאה:

אל תמהרו לכתוב את נוסחת השורש! כמעט בטוח תערבבו את הסיכויים א, ב ו-ג.בנה את הדוגמה בצורה נכונה. ראשית, X בריבוע, אחר כך ללא ריבוע, ואז המונח החופשי. כָּזֶה:

ושוב, אל תמהרו! מינוס מול X בריבוע יכול להרגיז אותך מאוד. קל לשכוח... היפטרו מהמינוס. אֵיך? כן, כפי שלימדו בנושא הקודם! עלינו להכפיל את המשוואה כולה ב-1. אנחנו מקבלים:

אבל עכשיו אתה יכול לכתוב בבטחה את הנוסחה לשורשים, לחשב את המבחין ולסיים לפתור את הדוגמה. תחליט בעצמך.

כעת אמורים להיות לך שורשים 2 ו-1. קבלה שניה. בדוק את השורשים! לפי משפט וייטה. אל תפחד, אני אסביר הכל! בודקאַחֲרוֹן משוואה. הָהֵן. זו שבה השתמשנו כדי לרשום את נוסחת השורש. אם (כמו בדוגמה זו) המקדם a = 1 , קל לבדוק את השורשים. מספיק להכפיל אותם. התוצאה צריכה להיות חבר חינם, כלומר. במקרה שלנו -2. שימו לב, לא 2, אלא -2! חבר חינם עם השלט שלך

. אם זה לא מסתדר, זה אומר שהם כבר פישלו איפשהו. חפש את השגיאה. באם זה עובד, אתה צריך להוסיף את השורשים. בדיקה אחרונה ואחרונה. המקדם צריך להיות עִם מוּל במוּכָּר. במקרה שלנו -1+2 = +1. מקדם
, שהוא לפני ה-X, שווה ל-1. אז הכל נכון! חבל שזה כל כך פשוט רק עבור דוגמאות שבהן x בריבוע הוא טהור, עם מקדם a = 1.

אבל לפחות תבדוק במשוואות כאלה! יהיו פחות ופחות שגיאות. קבלה שלישית

. אם למשוואה שלך יש מקדמי שברים, היפטר מהשברים! הכפל את המשוואה במכנה משותף כמתואר בשיעור "איך פותרים משוואות? טרנספורמציות של זהות". כשעובדים עם שברים, שגיאות ממשיכות להתגנב מסיבה כלשהי...

אגב, הבטחתי לפשט את הדוגמה הרעה עם שלל מינוסים. אָנָא! הנה הוא.

כדי לא להתבלבל במינוסים, נכפיל את המשוואה ב-1. אנחנו מקבלים:

זהו! פתרון זה תענוג!

אז בואו נסכם את הנושא.

עצות מעשיות: 1. לפני הפתרון, אנו מביאים את המשוואה הריבועית לצורה סטנדרטית ובונים אותה.

יָמִינָה

3. אם המקדמים הם שברים, אנו מבטלים את השברים על ידי הכפלת המשוואה כולה בגורם המתאים.

4. אם x בריבוע הוא טהור, המקדם שלו שווה לאחד, ניתן לאמת את הפתרון בקלות באמצעות משפט Vieta. תעשה את זה!

עכשיו אנחנו יכולים להחליט.)

לפתור משוואות:

8x 2 - 6x + 1 = 0

x 2 + 3x + 8 = 0

x 2 - 4x + 4 = 0

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2)

תשובות (בחוסר סדר):

לכן, אנו יכולים לכתוב בביטחון:
x 2 = 5

x 1.2 =2

x 1 = 2
x 2 = -0.5

x - כל מספר

גם שני שורשים
x 1 = -3

אין פתרונות

x 1 = 0.25
x 2 = 0.5

הכל מתאים? גָדוֹל! משוואות ריבועיות הן לא כאב הראש שלך. שלושת הראשונים עבדו, אבל השאר לא? אז הבעיה היא לא במשוואות ריבועיות. הבעיה היא בטרנספורמציות זהות של משוואות. תסתכל בקישור, זה עוזר.

לא ממש מסתדר? או שזה לא מסתדר בכלל? אז סעיף 555 יעזור לך כל הדוגמאות האלה מפורקות שם. מוצג רָאשִׁישגיאות בפתרון. כמובן, אנו מדברים גם על השימוש בטרנספורמציות זהות בפתרון משוואות שונות. עוזר מאוד!

אם אתה אוהב את האתר הזה...

אגב, יש לי עוד כמה אתרים מעניינים בשבילך.)

אתה יכול לתרגל פתרון דוגמאות ולגלות את הרמה שלך. בדיקה עם אימות מיידי. בואו ללמוד - בעניין!)

ניתן להכיר פונקציות ונגזרות.