גליל הוא גוף גיאומטרי התחום בשני מישורים מקבילים ומשטח גלילי. במאמר נדבר על איך למצוא את השטח של צילינדר ובאמצעות הנוסחה נפתור כמה בעיות כדוגמה.

לגליל יש שלושה משטחים: עליון, בסיס ומשטח צדדי.

החלק העליון והבסיס של גליל הם עיגולים וקלים לזיהוי.

ידוע ששטח המעגל שווה ל-πr 2. לכן, הנוסחה לשטח של שני עיגולים (החלק העליון והבסיס של הגליל) תהיה πr 2 + πr 2 = 2πr 2.

המשטח השלישי, הצדדי של הגליל, הוא הקיר המעוקל של הגליל. כדי לדמיין טוב יותר את המשטח הזה, בואו ננסה להפוך אותו כדי לקבל צורה מזוהה. תארו לעצמכם שהצילינדר הוא קופסת פח רגילה שאין לה מכסה עליון או תחתון. בואו נערוך חתך אנכי על הדופן הצדדית מלמעלה לבסיס הפחית (שלב 1 באיור) וננסה לפתוח (ליישר) את הדמות המתקבלת ככל האפשר (שלב 2).

לאחר שהצנצנת שהתקבלה תיפתח במלואה, נראה דמות מוכרת (שלב 3), זהו מלבן. קל לחשב את השטח של מלבן. אבל לפני כן, נחזור רגע לצילינדר המקורי. קודקוד הגליל המקורי הוא עיגול, ואנו יודעים שההיקף מחושב לפי הנוסחה: L = 2πr. זה מסומן באדום באיור.

כאשר הדופן הצדדית של הגליל נפתחת במלואה, אנו רואים שההיקף הופך לאורכו של המלבן שנוצר. צלעותיו של מלבן זה יהיו ההיקף (L = 2πr) וגובה הגליל (h). שטחו של מלבן שווה למכפלת הצלעות שלו - S = אורך x רוחב = L x h = 2πr x h = 2πrh. כתוצאה מכך, קיבלנו נוסחה לחישוב שטח המשטח הרוחבי של הגליל.

נוסחה עבור שטח הפנים לרוחב של גליל
צד S = 2πrh

שטח הפנים הכולל של גליל

לבסוף, אם נוסיף את השטח של שלושת המשטחים, נקבל את הנוסחה עבור שטח הפנים הכולל של גליל. שטח הפנים של גליל שווה לשטח החלק העליון של הגליל + שטח בסיס הגליל + שטח פני הצד של הגליל או S = πr 2 + πr 2 + 2πrh = 2πr 2 + 2πrh. לפעמים ביטוי זה נכתב זהה לנוסחה 2πr (r + h).

נוסחה עבור שטח הפנים הכולל של גליל
S = 2πr 2 + 2πrh = 2πr(r + h)
r – רדיוס הגליל, h – גובה הגליל

דוגמאות לחישוב שטח הפנים של גליל

כדי להבין את הנוסחאות לעיל, בואו ננסה לחשב את שטח הפנים של גליל באמצעות דוגמאות.

1. הרדיוס של בסיס הגליל הוא 2, הגובה הוא 3. קבע את שטח המשטח הרוחבי של הגליל.

שטח הפנים הכולל מחושב באמצעות הנוסחה: צד S. = 2πrh

צד S = 2 * 3.14 * 2 * 3

צד S = 6.28 * 6

צד S = 37.68

שטח הפנים לרוחב של הגליל הוא 37.68.

2. איך למצוא את שטח הפנים של גליל אם הגובה הוא 4 והרדיוס הוא 6?

שטח הפנים הכולל מחושב על ידי הנוסחה: S = 2πr 2 + 2πrh

S = 2 * 3.14 * 6 2 + 2 * 3.14 * 6 * 4

S = 2 * 3.14 * 36 + 2 * 3.14 * 24

כיצד לחשב את שטח הפנים של גליל הוא הנושא של מאמר זה. בכל בעיה מתמטית צריך להתחיל בהזנת נתונים, לקבוע מה ידוע ועם מה לפעול בעתיד, ורק אז להמשיך ישירות לחישוב.

גוף נפח זה הוא דמות גיאומטרית גלילית, התחום בחלק העליון והתחתון בשני מישורים מקבילים. אם תפעילו מעט דמיון, תשימו לב שגוף גיאומטרי נוצר על ידי סיבוב מלבן סביב ציר, כשאחת מצלעותיו היא הציר.

מכאן נובע שהעקומה המתוארת מעל ומתחת לגליל תהיה מעגל, שהאינדיקטור העיקרי שלו הוא הרדיוס או הקוטר.

שטח פנים של גליל - מחשבון מקוון

פונקציה זו מפשטת סוף סוף את תהליך החישוב, והכל מסתכם בהחלפה אוטומטית של הערכים שצוינו בגובה וברדיוס (קוטר) של בסיס הדמות. הדבר היחיד שנדרש הוא לקבוע במדויק את הנתונים ולא לעשות טעויות בהזנת מספרים.

שטח פנים צד צילינדר

ראשית עליך לדמיין כיצד נראית סריקה בחלל דו מימדי.

זהו לא יותר ממלבן, שצד אחד שלו שווה להיקף. הנוסחה שלו ידועה מאז ומעולם - 2π*ר, איפה ר- רדיוס המעגל. הצד השני של המלבן שווה לגובה ח. למצוא את מה שאתה מחפש לא יהיה קשה.

סצַד= 2π *r*h,

איפה המספר π = 3.14.

שטח הפנים הכולל של גליל

כדי למצוא את השטח הכולל של הגליל, עליך להשתמש בתוצאה המתקבלת צד Sהוסף את השטחים של שני עיגולים, החלק העליון והתחתון של הגליל, המחושבים באמצעות הנוסחה S o =2π * r 2 .

הנוסחה הסופית נראית כך:

סקוֹמָה= 2π * r 2+ 2π * r * h.

שטח גליל - נוסחה דרך קוטר

כדי להקל על החישובים, לפעמים יש צורך לבצע חישובים דרך הקוטר. לדוגמה, יש חתיכת צינור חלול בקוטר ידוע.

בלי להטריד את עצמנו בחישובים מיותרים, יש לנו נוסחה מוכנה. אלגברה כיתה ה' באה לעזרה.

סמגדר = 2π * r 2 + 2 π * r * h= 2 π * ד 2 /4 + 2 π*ח*ד/2 = π *ד 2 /2 + π *ד*ח,

בִּמקוֹם רעליך להכניס את הערך לנוסחה המלאה r =ד/2.

דוגמאות לחישוב שטח גליל

חמושים בידע, בואו נתחיל להתאמן.

דוגמה 1. יש צורך לחשב את השטח של חתיכת צינור קטומה, כלומר גליל.

יש לנו r = 24 מ"מ, h = 100 מ"מ. עליך להשתמש בנוסחה דרך הרדיוס:

קומה S = 2 * 3.14 * 24 2 + 2 * 3.14 * 24 * 100 = 3617.28 + 15072 = 18689.28 (מ"מ 2).

אנו ממירים למ"ר הרגיל ומקבלים 0.01868928, כ-0.02 מ"ר.

דוגמה 2. יש לברר את שטח המשטח הפנימי של צינור כיריים אסבסט, שקירותיו מצופים בלבנים עקשן.

הנתונים הם כדלקמן: קוטר 0.2 מ'; גובה 2 מ' אנו משתמשים בנוסחה במונחים של קוטר:

קומה S = 3.14 * 0.2 2 /2 + 3.14 * 0.2 * 2 = 0.0628 + 1.256 = 1.3188 מ"ר.

דוגמה 3. כיצד לגלות כמה חומר נדרש לתפירת תיק, r = 1 מ' וגובה 1 מ'.

רגע אחד, יש נוסחה:

צד S = 2 * 3.14 * 1 * 1 = 6.28 מ"ר.

מַסְקָנָה

בסוף המאמר עלתה השאלה: האם כל החישובים וההמרות הללו של ערך אחד למשנהו באמת נחוצים? למה כל זה נחוץ ובעיקר למי? אבל אל תזניחו ותשכחו נוסחאות פשוטות מהתיכון.

העולם עמד ויעמוד על ידע יסודי, כולל מתמטיקה. וכאשר מתחילים כל עבודה חשובה, זה אף פעם לא רעיון רע לרענן את הזיכרון שלך מהחישובים האלה, ליישם אותם בפועל עם השפעה רבה. דיוק הוא הנימוס של מלכים.

מצא את השטח של החתך הצירי בניצב לבסיסי הגליל. אחת מהצלעות של מלבן זה שווה לגובה הגליל, השנייה - לקוטר מעגל הבסיס. בהתאם לכך, שטח החתך במקרה זה יהיה שווה למכפלת צלעות המלבן. S=2R*h, כאשר S הוא שטח החתך, R הוא רדיוס מעגל הבסיס, נתון מתנאי הבעיה, ו-h הוא גובה הגליל, שניתן גם על ידי תנאי הבעיה.

אם החתך מאונך לבסיסים, אך אינו עובר דרך ציר הסיבוב, המלבן לא יהיה שווה לקוטר המעגל. צריך לחשב את זה. לשם כך, הבעיה צריכה לומר באיזה מרחק מציר הסיבוב עובר מישור החתך. כדי להקל על החישובים, בנה מעגל בבסיס הגליל, שרטט רדיוס ורשום עליו את המרחק שבו נמצא החתך ממרכז המעגל. מנקודה זו, צייר אנכים להצטלבות שלהם עם המעגל. חברו את נקודות ההצטלבות למרכז. אתה צריך למצוא את האקורדים. מצא את הגודל של חצי אקורד באמצעות משפט פיתגורס. הוא יהיה שווה לשורש הריבועי של ההפרש בין ריבועי רדיוס המעגל מהמרכז לקו החתך. a2=R2-b2. האקורד כולו יהיה, בהתאם, שווה ל-2a. חשב את שטח החתך, השווה למכפלת צלעות המלבן, כלומר S=2a*h.

ניתן לחתוך את הגליל מבלי לעבור דרך מישור הבסיס. אם החתך מאונך לציר הסיבוב, אז זה יהיה מעגל. השטח שלו במקרה זה שווה לשטח הבסיסים, כלומר מחושב לפי הנוסחה S = πR2.

עצה שימושית

כדי לדמיין בצורה מדויקת יותר את הקטע, צור ציור וקונסטרוקציות נוספות עבורו.

מקורות:

• שטח חתך צילינדר

קו החיתוך של משטח עם מישור שייך הן למשטח והן למישור החיתוך. קו החיתוך של משטח גלילי עם מישור חיתוך המקביל לגנרטריקס הישר הוא קו ישר. אם מישור החיתוך מאונך לציר משטח הסיבוב, החתך יהיה מעגל. באופן כללי, קו החיתוך של משטח גלילי עם מישור חיתוך הוא קו מעוקל.

אתה תצטרך

• עיפרון, סרגל, משולש, תבניות, מצפן, מטר.

הוראות

במישור החזיתי של ההקרנות П₂, קו החתך עולה בקנה אחד עם הקרנת מישור החיתוך Σ₂ בצורה של קו ישר.
ציין את נקודות החיתוך של המחוללים של הגליל עם ההשלכה Σ₂ 1₂, 2₂ וכו'. לנקודות 10₂ ו-11₂.

במישור P₁ יש מעגל. נקודות 1₂, 2₂ וכו' מסומנות במישור החתך Σ₂. באמצעות קו חיבור הקרנה מוקרנים על קווי המתאר של מעגל זה. סמן את ההקרנות האופקיות שלהם באופן סימטרי ביחס לציר האופקי של המעגל.

לפיכך, תחזיות החתך הרצוי נקבעות: במישור P₂ - קו ישר (נקודות 1₂, 2₂...10₂); במישור P₁ - מעגל (נקודות 1₁, 2₁...10₁).

בעזרת שניים, בנה את הגודל הטבעי של הקטע של גליל זה לפי המישור הבולט הקדמי Σ. לשם כך, השתמש בשיטת ההקרנה.

צייר את המישור П₄ במקביל להקרנה של המישור Σ₂. על ציר ה-x₂₄ החדש הזה, סמן נקודה 1₀. מרחקים בין נקודות 1₂ – 2₂, 2₂ – 4₂ וכו'. מההקרנה הקדמית של הקטע, הנח אותו על ציר x₂4, שרטט קווים דקים של חיבור ההקרנה בניצב לציר x₂₄.

בשיטה זו, מישור P₄ מוחלף במישור P₁, לכן, מההקרנה האופקית, העבירו את הממדים מהציר לנקודות לציר של מישור P₄.

לדוגמה, ב-P₁ עבור נקודות 2 ו-3 זה יהיה המרחק מ-2₁ ו-3₁ לציר (נקודה A) וכו'.

אם מניחים בצד את המרחקים המצוינים מההקרנה האופקית, מקבלים נקודות 2₀, 3₀, 6₀, 7₀, 10₀, 11₀. לאחר מכן, לדיוק רב יותר של הבנייה, נקבעות נקודות הביניים הנותרות.

על ידי חיבור כל הנקודות עם עקומה תבנית, אתה מקבל את הגודל הטבעי הנדרש של חתך הגליל על ידי המישור הבולט הקדמי.

מקורות:

• איך מחליפים מטוס

טיפ 3: כיצד למצוא את שטח החתך הצירי של חרוט קטום

כדי לפתור בעיה זו, אתה צריך לזכור מהו קונוס קטום ואיזה תכונות יש לו. הקפד לעשות ציור. זה יאפשר לך לקבוע איזו דמות גיאומטרית החתך מייצג. בהחלט ייתכן שאחרי זה, פתרון הבעיה כבר לא יקשה עליך.

הוראות

חרוט עגול הוא גוף המתקבל על ידי סיבוב משולש סביב אחת מרגליו. קווים ישרים היוצאים מהקודקוד קוֹנוּסומצטלב את בסיסו נקראים מחוללים. אם כל המחוללים שווים, אז החרוט ישר. בבסיס הסיבוב קוֹנוּסטמון מעגל. האנך שירד לבסיס מהקודקוד הוא הגובה קוֹנוּס. בסיבוב הישר קוֹנוּסהגובה חופף לציר שלו. הציר הוא קו ישר המתחבר למרכז הבסיס. אם מישור החיתוך האופקי של עגול קוֹנוּס, אז הבסיס העליון שלו הוא עיגול.

מכיוון שלא מצוין בהצהרת הבעיה שזהו החרוט שניתן במקרה זה, ניתן להסיק שמדובר בקונוס קטום ישר, שקטעו האופקי מקביל לבסיס. החתך הצירי שלו, כלומר. מישור אנכי, אשר דרך ציר הסיבוב קוֹנוּס, הוא טרפז שווה צלעות. הכל צירי סעיפיםעגול ישר קוֹנוּסשווים זה לזה. לכן, למצוא מְרוּבָּעצִירִי סעיפים, אתה צריך למצוא מְרוּבָּעטרפז, שבסיסיו הם הקוטרים של הבסיסים של קטום קוֹנוּס, והצדדים הצדדיים הם מרכיביו. גובה פרוסטום קוֹנוּסהוא גם גובה הטרפז.

שטחו של טרפז נקבע על ידי הנוסחה: S = ½(a+b) h, כאשר S – מְרוּבָּעטרפז a - גודל הבסיס התחתון של הטרפז; גודל הבסיס העליון שלו;

מכיוון שהתנאי אינו מציין אילו ניתנים, ייתכן שהקטרים ​​של שני הבסיסים של הקטום קוֹנוּסידוע: AD = d1 – קוטר הבסיס התחתון של הקטום קוֹנוּס;BC = d2 - קוטר הבסיס העליון שלו; EH = h1 – גובה קוֹנוּס.כָּך, מְרוּבָּעצִירִי סעיפיםקטוע קוֹנוּסמוגדר: S1 = ½ (d1+d2) h1

מקורות:

• שטח של חרוט קטום

הגליל הוא דמות מרחבית ומורכב משני בסיסים שווים, שהם עיגולים ומשטח צד המחבר בין הקווים המגבילים את הבסיסים. כדי לחשב מְרוּבָּע צִילִינדֶר, מצא את השטחים של כל המשטחים שלו והוסף אותם.

צילינדר (גליל עגול) הוא גוף המורכב משני עיגולים, המשולבים בתרגום מקביל, וכל הקטעים המחברים את הנקודות המתאימות של עיגולים אלה. המעגלים נקראים בסיסי הגליל, והקטעים המחברים את הנקודות המתאימות של היקפי המעגלים נקראים מחוללי הגליל.

בסיסי הגליל שווים ונמצאים במישורים מקבילים, והמחוללים של הגליל מקבילים ושווים. פני השטח של הגליל מורכבים ממשטח הבסיס והמשטח הצדדי. המשטח הרוחבי מורכב ממחוללים.

גליל נקרא ישר אם המחוללים שלו מאונכים למישורי הבסיס. גליל יכול להיחשב כגוף המתקבל על ידי סיבוב מלבן סביב אחת מצלעותיו כציר. ישנם סוגים נוספים של צילינדרים - אליפטי, היפרבולי, פרבולי. פריזמה נחשבת גם כסוג של צילינדר.

איור 2 מציג צילינדר משופע. מעגלים עם מרכזי O ו- O 1 הם הבסיסים שלו.

הרדיוס של גליל הוא רדיוס הבסיס שלו. גובה הגליל הוא המרחק בין מישורי הבסיסים. ציר גליל הוא קו ישר העובר במרכזי הבסיסים. זה מקביל לגנרטורים. החתך של גליל עם מישור העובר דרך ציר הגליל נקרא חתך צירי. המישור העובר דרך הגנרטריקס של גליל ישר ומאונך לחתך הצירי שנמשך דרך הגנרטריקס הזה נקרא מישור המשיק של הגליל.

מישור הניצב לציר הגליל חוצה את פני הצד שלו לאורך מעגל השווה להיקף הבסיס.

פריזמה הכתובה בגליל היא פריזמה שבסיסיה הם מצולעים שווים הרשומים בבסיסי הגליל. הצלעות הצדדיות שלו יוצרות את הגליל. אומרים שמנסרה מוקפת סביב גליל אם הבסיסים שלה הם מצולעים שווים המוקפים סביב בסיסי הגליל. מישורי פניו נוגעים במשטח הצד של הגליל.

ניתן לחשב את שטח הפנים לרוחב של גליל על ידי הכפלת אורך הגנרטריקס בהיקף החתך של הגליל במישור המאונך לגנרטריקס.

ניתן למצוא את שטח הפנים לרוחב של גליל ישר על ידי התפתחותו. הפיתוח של גליל הוא מלבן עם גובה h ואורך P, השווה להיקף הבסיס. לכן, שטח פני השטח הצדדיים של הגליל שווה לשטח התפתחותו ומחושב לפי הנוסחה:

בפרט, עבור גליל עגול ימני:

P = 2πR, ו-S b = 2πRh.

שטח הפנים הכולל של גליל שווה לסכום השטחים של פני השטח שלו ובסיסיו.

לגליל עגול ישר:

S p = 2πRh + 2πR 2 = 2πR(h + R)

ישנן שתי נוסחאות למציאת נפח גליל משופע.

אתה יכול למצוא את הנפח על ידי הכפלת אורך הגנרטריקס בשטח החתך של הגליל במישור המאונך לגנרטריקס.

נפח גליל משופע שווה למכפלת שטח הבסיס והגובה (המרחק בין המישורים שבהם הבסיסים נמצאים):

V = Sh = S l sin α,

כאשר l הוא אורך הגנרטריקס, ו-α הוא הזווית בין הגנרטריקס למישור הבסיס. עבור צילינדר ישר h = l.

הנוסחה למציאת נפח גליל עגול היא כדלקמן:

V = π R 2 h = π (d 2 / 4)h,

כאשר d הוא קוטר הבסיס.

blog.site, בעת העתקת חומר מלא או חלקי, נדרש קישור למקור המקורי.

השטח של כל בסיס של הגליל הוא π ר 2, השטח של שני הבסיסים יהיה 2π ר 2 (איור).

שטח פני השטח לרוחב של גליל שווה לשטח של מלבן שבסיסו הוא 2π ר, והגובה שווה לגובה הגליל ח, כלומר 2π rh.

המשטח הכולל של הגליל יהיה: 2π ר 2 + 2π rh= 2π ר(ר+ ח).

השטח של פני השטח לרוחב של הגליל נחשב אזור לטאטאפני השטח הצדדיים שלו.

לכן, שטח המשטח הרוחבי של גליל עגול ישר שווה לשטח המלבן המתאים (איור) ומחושב על ידי הנוסחה

ה' לפני הספירה = 2πRH, (1)

אם נוסיף את שטח שני הבסיסים שלו לשטח המשטח הרוחבי של הגליל, נקבל את שטח הפנים הכולל של הגליל

S מלא =2πRH + 2πR 2 = 2πR (H + R).

נפח של צילינדר ישר

מִשׁפָּט. נפח גליל ישר שווה למכפלת שטח בסיסו וגובהו , כלומר

כאשר Q הוא שטח הבסיס, ו-H הוא גובה הגליל.

מכיוון ששטח בסיס הגליל הוא Q, אז יש רצפים של מצולעים מוקמים וכתובים עם שטחי Q נו-Q' נכזה ש

\(\lim_(n \rightarrow \infty)\) ש נ= \(\lim_(n \rightarrow \infty)\) Q' נ= ש.

הבה נבנה רצף של מנסרות, שבסיסיהן הם המצולעים המתוארים והרשומים שנדונו לעיל, וקצוות הצדדיים מקבילים לגנרטריקס של הגליל הנתון ובעלי אורך H. מנסרות אלו מוקפות ורשומות עבור הגליל הנתון. הנפחים שלהם נמצאים לפי הנוסחאות

V נ=ש נ H ו-V' נ= Q' נח.

לָכֵן,

V= \(\lim_(n \rightarrow \infty)\) ש נ H = \(\lim_(n \rightarrow \infty)\) Q' נ H = QH.

תוֹצָאָה.
נפחו של גליל עגול ימני מחושב על ידי הנוסחה

V = π R 2 H

כאשר R הוא רדיוס הבסיס ו-H הוא גובה הגליל.

מכיוון שהבסיס של גליל עגול הוא מעגל ברדיוס R, אז Q = π R 2, ולכן