MÁTRIX HOZZÁADÁS.

Az összeadási művelet csak azonos méretű mátrixok esetén kerül bevezetésre.

MEGHATÁROZÁS Két mátrix összege A = (a én j ) És B = (b én j) ugyanaz méret azonos méretű C = (c i j) mátrixnak nevezzük, amelynek elemei egyenlők a mátrixok tagjainak megfelelő elemeinek összegével, azaz. i j = a i j + b i j-vel

Az A + B mátrixok összegét jelöljük.

A MÁTRIZOK SZORZÁSA VALÓS SZÁMMAL

MEGHATÁROZÁS Egy mátrix k számmal való megszorzásához a mátrix minden elemét meg kell szorozni ezzel a számmal:

ha A= (a i j), akkor

A MÁTRIXADÁS ÉS SZÁMSZORZÁS TULAJDONSÁGAI

1. Kommutatív tulajdonság:

A + B = B + A

• 2. Kombinációs tulajdonság:
  • (A + B) + C = A + (B + C)
• 3. Elosztó tulajdonság:

k (A + B) = k A + k B,

ahol k a szám

MÁTRIXSZORZAT

A B mátrixszal konzisztens A mátrixot akkor nevezzük, ha az A mátrix oszlopainak száma megegyezik a B mátrix sorainak számával, azaz. illesztett mátrixok esetén az A mátrix mérete m n , a B mátrix mérete n k. A négyzetes mátrixok konzisztensek, ha azonos sorrendűek.

MEGHATÁROZÁS Az m n méretű A mátrix és az n k méretű B mátrix szorzata egy m k méretű C mátrix, amelynek az i -edik sorában és a j -edik oszlopában található a i j eleme egyenlő a szorzatainak összegével. az A mátrix i -edik sorának elemeit a B mátrix j - oszlopának megfelelő elemeivel, azaz.

c i j = a i 1 b 1 j + a i 2 b 2 j +……+ a i n b n j

Jelöljük: C = A B.

A BA terméknek nincs értelme, mert a mátrixok nem konzisztensek.

MEGJEGYZÉS 1. Ha A B-nek van értelme, akkor lehet, hogy B A-nak nincs értelme.

MEGJEGYZÉS 2. Ha A B-nek és B A-nak van értelme, akkor általában véve

azok. A mátrixszorzásnak nincs kommutációs törvénye.

MEGJEGYZÉS 3. Ha A négyzetmátrix, E pedig azonos rendű azonosságmátrix, akkor

A E = E A = A.

Ebből következik, hogy az identitásmátrix szorozva az egy szerepét tölti be.

PÉLDÁK. Keresse meg, ha lehetséges, A B és B A.

Megoldás: Az azonos másodrendű négyzetmátrixok konzisztensek abban a másik sorrendben, tehát létezik A B és B A.

Megoldás: Az A és B mátrixok konzisztensek

A B és A mátrixok nem konzisztensek, így B A-nak nincs értelme.

Vegye figyelembe, hogy két mátrix szorzásának eredményeként egy mátrixot kapunk, amely annyi sort tartalmaz, ahány szorzómátrix és annyi oszlop van, amennyi a szorzómátrixnak van.

Ebben a cikkben megértjük, hogyan történik az összeadás művelet azonos sorrendű mátrixokon, a mátrix számmal való szorzása és a megfelelő sorrendű mátrixok szorzása, axiomatikusan beállítjuk a műveletek tulajdonságait, ill. tárgyalja a mátrixokon végzett műveletek prioritását is. Az elmélettel párhuzamosan részletes megoldásokat adunk olyan példákra, amelyekben mátrixokkal végzett műveleteket hajtanak végre.

Azonnal jegyezzük meg, hogy az alábbiak mind olyan mátrixokra vonatkoznak, amelyek elemei valós (vagy komplex) számok.

Oldalnavigáció.

Két mátrix összeadásának művelete.

Két mátrix összeadásának műveletének meghatározása.

Az összeadási művelet KIZÁRÓLAG AZONOS RENDELŐ MÁTRIZOKRA van definiálva. Más szóval, lehetetlen megtalálni a különböző dimenziójú mátrixok összegét, és általában lehetetlen különböző dimenziójú mátrixok összeadásáról beszélni. Nem beszélhetünk egy mátrix és egy szám összegéről sem, vagy egy mátrix és más elem összegéről.

Meghatározás.

Két mátrix összegeés olyan mátrix, amelynek elemei egyenlők az A és B mátrixok megfelelő elemeinek összegével, azaz .

Így a két mátrix összeadási műveletének eredménye egy azonos sorrendű mátrix.

A mátrixösszeadási művelet tulajdonságai.

Milyen tulajdonságai vannak a mátrixösszeadás műveletnek? Erre a kérdésre meglehetősen könnyű válaszolni, ha két adott rendű mátrix összegének meghatározásából indulunk ki, és emlékezünk a valós (vagy komplex) számok összeadási műveletének tulajdonságaira.

1. Az azonos rendű A, B és C mátrixokat az A+(B+C)=(A+B)+C összeadás asszociativitási tulajdonsága jellemzi.
2. Adott rendű mátrixoknál van egy semleges elem az összeadás tekintetében, ami a nulla mátrix. Vagyis az A+O=A tulajdonság igaz.
3. Adott rendű nem nulla A mátrixhoz létezik (–A) mátrix, ezek összege a nulla mátrix: A+(-A)=O.
4. Adott rendű A és B mátrixokra igaz az A+B=B+A összeadás kommutatív tulajdonsága.

Következésképpen egy adott sorrendű mátrixhalmaz egy additív Abel-csoportot generál (egy Abel-csoport az összeadás algebrai műveletéhez képest).

Mátrix összeadás - megoldások példákra.

Nézzünk néhány példát a mátrixösszeadásra.

Példa.

Keresse meg a mátrixok összegét és .

Megoldás.

Az A és B mátrixok sorrendje egybeesik és egyenlő 4x2-vel, így elvégezhetjük a mátrixösszeadás műveletét, és ennek eredményeként 4-szeres mátrixot kell kapnunk. A két mátrix összeadás műveletének meghatározása szerint elemenként hajtjuk végre az összeadást:

Példa.

Keresse meg két mátrix összegét! És melynek elemei komplex számok.

Megoldás.

Mivel a mátrixok sorrendje egyenlő, összeadást végezhetünk.

Példa.

Végezzen három mátrix összeadást .

Megoldás.

Először adja hozzá az A mátrixot B-vel, majd adja hozzá a C-t a kapott mátrixhoz:

Kaptunk egy nulla mátrixot.

Egy mátrix számmal való szorzásának művelete.

Egy mátrix számmal való szorzásának műveletének meghatározása.

A mátrix számmal való szorzásának művelete BÁRMELY RENDŰ MÁTRIKRA van definiálva.

Meghatározás.

Egy mátrix és egy valós (vagy komplex) szám szorzata olyan mátrix, amelynek elemeit úgy kapjuk meg, hogy az eredeti mátrix megfelelő elemeit megszorozzuk a számmal, azaz .

Így egy mátrixot egy számmal megszorozva egy azonos rendű mátrixot kapunk.

Egy mátrix számmal való szorzása műveletének tulajdonságai.

A mátrix számmal való szorzása műveletének tulajdonságaiból az következik, hogy egy nulla mátrixot nullával megszorozva nulla mátrixot kapunk, és egy tetszőleges szám és egy nulla mátrix szorzata egy nulla mátrix.

Mátrix szorzása számmal - példák és megoldásuk.

Nézzük meg a mátrix számmal való szorzásának műveletét példákon keresztül.

Példa.

Keresse meg a 2-es szám és a mátrix szorzatát! .

Megoldás.

Egy mátrix számmal való megszorzásához minden elemét meg kell szorozni ezzel a számmal:

Példa.

Végezzen mátrixszorzást számmal.

Megoldás.

Egy adott mátrix minden elemét megszorozzuk egy adott számmal:

Két mátrix szorzásának művelete.

Két mátrix szorzásának műveletének meghatározása.

Két A és B mátrix szorzásának művelete csak arra az esetre van definiálva, ha AZ A MÁTRIX OSZLOPSZÁMA EGYENLŐ A B MÁTRIX SOROK SZÁMÁVAL.

Meghatározás.

A sorrendű A mátrix és a B sorrendű mátrix szorzata- ez egy C sorrendű mátrix, amelynek minden eleme egyenlő az A mátrix i-edik sorának elemeinek a B mátrix j-edik oszlopának megfelelő elemeinek szorzatával, azaz

Így egy rendelési mátrixnak egy sorrendi mátrixszal való szorzásának művelet eredménye a sorrendi mátrix.

Mátrix szorzása mátrixszal - példák megoldásai.

Nézzük meg a mátrixszorzást példákon keresztül, majd folytassuk a mátrixszorzási művelet tulajdonságainak felsorolásával.

Példa.

Keresse meg a mátrixok szorzásával kapott C mátrix összes elemét! És .

Megoldás.

Az A mátrix sorrendje p=3 x n=2, a B mátrixé n=2 x=4, ezért ezen mátrixok szorzatának sorrendje p=3 x q=4 lesz. Használjuk a képletet

Sorra vesszük az i értékeit 1-től 3-ig (mivel p=3) minden j-hez 1-től 4-ig (mivel q=4), esetünkben pedig n=2, akkor

Ily módon a C mátrix összes eleme kiszámításra kerül, és a két adott mátrix szorzásával kapott mátrix alakja .

Példa.

Végezze el a mátrixszorzást és .

Megoldás.

Az eredeti mátrixok sorrendjei lehetővé teszik a szorzási művelet végrehajtását. Ennek eredményeként egy 2-3-as rendű mátrixot kell kapnunk.

Példa.

Adott mátrixok és . Keresse meg az A és B mátrixok, valamint a B és A mátrixok szorzatát!

Megoldás.

Mivel az A mátrix sorrendje 3:1, és a B mátrix 1:3, akkor A⋅B sorrendje 3:3, a B és A mátrixok szorzata pedig 1:1.

Amint látod, . Ez a mátrixszorzási művelet egyik tulajdonsága.

A mátrixszorzási művelet tulajdonságai.

Ha az A, B és C mátrixok megfelelő sorrendűek, akkor a következők igazak: a mátrixszorzási művelet tulajdonságai.

Megjegyzendő, hogy megfelelő sorrend mellett az O nulla mátrix és az A mátrix szorzata adja a nulla mátrixot. A és O szorzata is nulla mátrixot ad, ha a sorrendek lehetővé teszik a mátrixszorzás műveletét.

A négyzetmátrixok között vannak ún permutációs mátrixok, a szorzási művelet számukra kommutatív, azaz . A permutációs mátrixok példája az azonossági mátrix és bármely más, azonos sorrendű mátrix párja, mivel .

A mátrixokon végzett műveletek prioritása.

A mátrix számmal való szorzása és egy mátrix mátrixszal való szorzása azonos prioritású. Ugyanakkor ezek a műveletek magasabb prioritásúak, mint a két mátrix összeadásának művelete. Így a mátrixot először megszorozzuk egy számmal, és először megszorozzuk a mátrixot, majd csak ezután hajtjuk végre a mátrixösszeadást. A mátrixokon végzett műveletek sorrendje azonban zárójelek használatával kifejezetten megadható.

Tehát a mátrixokon végzett műveletek prioritása hasonló a valós számok összeadási és szorzási műveleteihez rendelt prioritáshoz.

Példa.

Adott mátrixok . Hajtsa végre a megadott műveleteket a megadott mátrixokkal .

Megoldás.

Kezdjük azzal, hogy megszorozzuk az A mátrixot B mátrixszal:

Most megszorozzuk az E másodrendű azonosságmátrixot kettővel:

Összeadjuk a kapott két mátrixot:

Marad az eredményül kapott mátrix A mátrixszal való megszorzásának művelete:

Meg kell jegyezni, hogy az A és B azonos rendű mátrixok kivonásának művelete nem létezik. A két mátrix közötti különbség lényegében az A mátrix és a B mátrix összege, előzőleg megszorozva mínusz eggyel: .

A négyzetmátrix természetes hatványra emelésének művelete sem független, mivel ez mátrixok szekvenciális szorzása.

Összesít.

A mátrixok halmazán három műveletet definiálunk: az azonos rendű mátrixok összeadását, a mátrix szorzatát egy számmal és a megfelelő sorrendű mátrixok szorzását. Adott rendű mátrixok halmazán végzett összeadás művelete Abel-csoportot generál.

A mátrixokról, tulajdonságaikról és a rajtuk végzett műveletekről szóló bevezető témák tanulmányozása után gyakorlati tapasztalatokat kell szereznünk a mátrixösszeadás és -kivonás valós példáinak megoldásával. A megszerzett ismeretek gyakorlati megszilárdítása után továbbléphet a következő témákra.

Kezdjük az egyszerűbb problémák tanulmányozását, fokozatosan haladva az összetettebbek felé. Minden műveletet kommentálunk, és szükség esetén lábjegyzeteket adunk, amelyek részletesebben ismertetik az egyes átalakításokat.

Miután meghatároztuk ennek a leckének a céljait, folytassuk a gyakorlatot.

Mátrix összeadás példák segítségével:

1) Adjunk hozzá két mátrixot, és írjuk le az eredményt.

Először is meg kell határozni, hogy van-e megoldás a problémára.

A két mátrix mérete egybeesik, ami azt jelenti, hogy van megoldás.

Folytatjuk a közvetlen összeadást, összeadjuk a mátrix elemeit. A végső megoldás így fog kinézni:

Amint látjuk, ez a példa egyértelműen szemlélteti 2 mátrix összeadását.
Próbáljunk meg egy kicsit bonyolultabb összeadási problémát megvizsgálni.

2) Adjunk hozzá 2 "A" és "B" mátrixot

A mátrixok méretei egybeesnek, ami azt jelenti, hogy folytathatjuk az összeadást.
A kiegészítés eredménye az alábbi képen látható eredmény lesz:

3) Adja hozzá az "A" és "B" mátrixokat

Mint korábban, először meghatározzuk a méretet. Az "A" és "B" mátrixok mérete megegyezik, folytathatjuk az összeadásukat.

A mátrix elemeit pontosan ugyanúgy adjuk össze, mint a fentebb megoldott példákban.
A bemutatott probléma megoldása így fog kinézni:

4) Adja hozzá a mátrixokat, és írja le a választ!

Először is nézzük meg a méretet. Látjuk, hogy az „A” mátrix mérete 3×2 (3 sor és 2 oszlop), a „B” mátrix mérete pedig 2×3, vagyis nem egyenlőek, ezért lehetetlen az „A” és „B” mátrix hozzáadásához.
Válasz: nincs megoldás.

5) Igazolja az A+B=B+A egyenlőség érvényességét!
A mátrixok azonos méretűek, és így néznek ki:

Először adjuk hozzá az A+B, majd a B+A mátrixot, majd hasonlítsuk össze az eredményt.

Amint látjuk, az összeadás eredménye pontosan ugyanaz, azaz. A kifejezések pozícióinak átrendezése nem változtatja meg az összeg értékét.
Ezt néztük meg az előző témakörben a mátrixokkal végzett műveletek tulajdonságai szakaszban.

Mátrixok kivonása példák segítségével:

A mátrix kivonás nem olyan egyszerű, mint az összeadás, de a különbség nagyon kicsi.
Ahhoz, hogy egy másik mátrixból kivonjunk egy másikat, először is azonos méretűnek kell lenniük, másodszor a kivonást a következő képlet szerint kell végrehajtani: A-B = A+(-1) B Hozzá kell adni a második mátrixot az első mátrix, amelyet megszorozunk a (-1) számmal.

Nézzük meg ezt részletesebben egy példa segítségével.

6) Keresse meg a "C" és a "D" mátrixok közötti különbséget

A két mátrix mérete egybeesik, ami azt jelenti, hogy elkezdhetjük a kivonást.
Ehhez vonjuk ki a második mátrixot az első mátrixból, amelyet megszorozunk a (-1) számmal. Mint tudjuk, ahhoz, hogy egy számot megszorozzon egy mátrixszal, minden elemét meg kell szoroznia egy adott számmal. A teljes megoldás így fog kinézni:

Amint ebből a megoldásból is látható, a kivonás ugyanolyan egyszerű művelet, mint a mátrixok összeadása, és csak számtani ismeretekre van szükség, így ezeket a feladatokat minden tanuló meg tudja oldani.

Itt fejezzük be ezt a leckét, és reméljük, hogy miután elolvasta ezt az anyagot, és részletesen megoldotta a bemutatott problémákat, most könnyedén összeadhat és kivonhat mátrixokat, és ez a téma nagyon egyszerű az Ön számára.

1. évfolyam, felsőfokú matematika, tanulás mátrixokés a rájuk vonatkozó alapvető műveletek. Itt rendszerezzük a mátrixokkal végrehajtható alapműveleteket. Hol kezdjem a mátrixokkal való ismerkedést? Természetesen a legegyszerűbb dolgoktól - definícióktól, alapfogalmaktól és egyszerű műveletektől. Biztosítjuk Önöket, hogy a mátrixokat mindenki megérti, aki legalább egy kis időt szán rájuk!

Mátrix definíció

Mátrix egy téglalap alakú elemtáblázat. Nos, leegyszerűsítve – egy számtáblázat.

A mátrixokat általában nagy latin betűkkel jelölik. Például mátrix A , mátrix B stb. A mátrixok különböző méretűek lehetnek: téglalap alakúak, négyzet alakúak, és vannak sor- és oszlopmátrixok is, amelyeket vektoroknak nevezünk. A mátrix méretét a sorok és oszlopok száma határozza meg. Például írjunk fel egy téglalap alakú mátrixot m tovább n , Ahol m – sorok száma, és n - oszlopok száma.

Tételek, amelyekhez i=j (a11, a22, .. ) alkotják a mátrix főátlóját, és diagonálisnak nevezzük.

Mit lehet csinálni a mátrixokkal? Összeadás/kivonás, szorozzuk meg egy számmal, szaporodnak egymás között, átültetni. Most a mátrixokkal végzett összes alapvető műveletről sorrendben.

Mátrix összeadás és kivonás műveletek

Azonnal figyelmeztetjük, hogy csak azonos méretű mátrixokat adhat hozzá. Az eredmény egy azonos méretű mátrix lesz. A mátrixok összeadása (vagy kivonása) egyszerű - csak hozzá kell adnia a megfelelő elemeket . Mondjunk egy példát. Végezzük el két A és B mátrix összeadását, melyek mérete kettő-kettő.

A kivonás analógiával történik, csak ellenkező előjellel.

Bármely mátrix megszorozható tetszőleges számmal. Ezt csináld meg, minden elemét meg kell szorozni ezzel a számmal. Például szorozzuk meg az első példa A mátrixát 5-tel:

Mátrixszorzási művelet

Nem minden mátrix szorozható össze. Például két mátrixunk van - A és B. Csak akkor szorozhatók meg egymással, ha az A mátrix oszlopainak száma megegyezik a B mátrix sorainak számával. Ebben az esetben a kapott mátrix minden eleme, amely az i-edik sorban és a j-edik oszlopban található, egyenlő lesz az első tényező i-edik sorában és a j-edik oszlopában lévő megfelelő elemek szorzatának összegével. a második. Az algoritmus megértéséhez írjuk fel, hogyan szorozunk két négyzetmátrixot:

És egy példa valós számokkal. Szorozzuk meg a mátrixokat:

Mátrix transzponálási művelet

A mátrixtranszpozíció olyan művelet, amelyben a megfelelő sorokat és oszlopokat felcserélik. Például transzponáljuk az A mátrixot az első példából:

Mátrix meghatározó

A determináns vagy determináns a lineáris algebra egyik alapfogalma. Valamikor régen az emberek lineáris egyenletekkel álltak elő, és ezek után egy determinánst kellett kitalálniuk. Végül csak rajtad múlik, hogy mindezzel foglalkozz, szóval, az utolsó lökés!

A determináns egy négyzetmátrix numerikus karakterisztikája, amely számos probléma megoldásához szükséges.
A legegyszerűbb négyzetmátrix determinánsának kiszámításához ki kell számítania a fő- és másodlagos átló elemeinek szorzatai közötti különbséget.

Egy elsőrendű, azaz egy elemből álló mátrix determinánsa egyenlő ezzel az elemmel.

Mi van, ha a mátrix háromszor három? Ez nehezebb, de megoldható.

Egy ilyen mátrixnál a determináns értéke egyenlő a főátló elemei és a főátlóval párhuzamos lapú háromszögeken fekvő elemek szorzatának összegével, amelyből a főátló szorzata. a másodlagos átló elemeit és a háromszögeken fekvő elemek szorzatát a párhuzamos másodlagos átló lapjával kivonjuk.

Szerencsére a gyakorlatban ritkán van szükség nagy méretű mátrixok determinánsainak kiszámítására.

Itt megnéztük a mátrixokkal végzett alapvető műveleteket. Persze előfordulhat, hogy a való életben egy mátrix egyenletrendszernek még csak a jelével sem találkozik, vagy éppen ellenkezőleg, sokkal összetettebb esetekkel találkozhat, amikor tényleg törnie kell az agyát. Az ilyen esetekre van szakember diákszolgálat. Kérjen segítséget, kapjon minőségi és részletes megoldást, élvezze a tanulmányi sikereket és a szabadidőt.