Statički neodređeni torzijski problemi. Statički neodređeni problemi na torziju Sopromat statički neodređeni sustavi torzija

Dijagram dizajna i dijagrami

Riješenje

Označimo uzdužnu os z, točke A i B, presječne brojeve 1, 2, 3. Krajevi štapa su uklješteni, pa nastaju reaktivni momenti M A i M B koje treba izračunati. Broj nepoznatih reakcija oslonca je dva, a jednadžba statike za ovaj sustav sila je jedinstvena:

M A – M 1 + M 2 – M B = 0. (1)

Stoga je ovaj sustav jednom statički neodređen. Uz jednadžbu (1) potrebno je izraditi još jednu jednadžbu koja sadrži iste nepoznanice M A i M B . U tu svrhu postupit ćemo na sljedeći način. Odbacimo desno štipanje, ali njegov utjecaj zamijenimo momentom M B , još uvijek nepoznate veličine i smjera. Tako dobivamo projektnu shemu 2), ekvivalentnu izvornoj shemi 1). Sada se na šipku primjenjuju tri opterećenja: M 1, M 2, M B u obliku momenata, uključujući željeni - M B. Budući da je desni kraj šipke stegnut, kut zakreta ovog dijela oko uzdužne osi šipke trebao bi biti jednak nuli, tj. . Takva rotacija u točki B rezultat je djelovanja tri faktora sile: M 1, M 2, M B.

Prema principu neovisnosti sila, kut zakreta presjeka B može se najprije izračunati iz svakog trenutka, a zatim se rezultati mogu zbrojiti. Čineći to, dobivamo drugu jednadžbu koja nadopunjuje (1):

Pri sastavljanju ove jednadžbe uzeto je u obzir da moment M 1 uvija samo prvi dio štapa, moment M 2 uvija dijelove 1 i 2, a moment M B uvija sva tri dijela. Smanjimo lijevu stranu jednadžbe (2) za i G i dobivamo

Jednadžbe (1) i (3) tvore sustav za određivanje M A i M B . Da biste ga riješili, prvo morate odrediti momente tromosti J, J, J.

Prvi dio šipke je šuplji cilindar. Za svoj dio

Drugi dio šipke ima pravokutni presjek. Njegov torzijski moment inercije

J (5)

Ovdje je tablični koeficijent ovisno o omjeru širine i visine pravokutnika. Za dani omjer h/b = 2,0 vrijednost uzeti sa stola.

Formula (5) daje rezultat

J . (6)

Poprečni presjek štapa drugog dijela je pun okrugli. Zato

(7)

Vrijednosti momenta i pronađene vrijednosti momenata tromosti presjeka zamjenjuju se u (3)

Smanjujemo b 4 u svim terminima, provodimo jednostavne aritmetičke izračune i dobivamo

Nakon transformacija, jednadžba poprima oblik

14,89 M B = 17,78.

Odavde imamo

M B = 1.194 kNm.

Iz jednadžbe (1) nalazimo reaktivni moment u uklještenju lijevog kraja:

M A = M 1 – M 2 + M B = 6 – 7 + 1,194 = 0,194 kNm.

Sada možete početi konstruirati dijagram momenta. Na proizvoljnom mjestu svakog dijela šipke nacrtat ćemo presjeke 1–1, 2–2, 3–3.

Uzmimo lijevi odsječeni dio i pokažimo moment u presjeku M. Iako se njegov smjer može odabrati proizvoljno, bolje je odabrati pozitivan smjer, tj. tako da se gledajući kraj odsječenog dijela vidi u smjeru suprotnom od kazaljke na satu.

Cijeli štap je u ravnoteži. To znači da svaki odrezani dio mora biti u ravnoteži. Stoga možemo napisati jednadžbu ravnoteže:

Odavde imamo

Odjeljak 2–2

Odjeljak 3–3

kNm.

Na temelju rezultata proračuna konstruiramo dijagram momenta. Dimenzije poprečnog presjeka šipke moraju se pronaći iz uvjeta čvrstoće

(8)

Ovdje je broj stranice. Lijeva strana nejednadžbe je najveća apsolutna vrijednost posmičnog naprezanja za cijeli štap. Desna strana je dopušteno naprezanje za materijal temeljeno na tangencijalnim naprezanjima. Instalirajmo ih. Za svaki presjek nalazimo maksimalno posmično naprezanje pomoću opće formule

Zakretni momenti su već pronađeni. Odredimo momente otpora tijekom torzije:

Druga formula je tablični koeficijent koji ovisi o omjeru širine i visine pravokutnika. Za dani omjer h/b = 2,0 vrijednost uzeti sa stola.

Za svaki presjek određujemo lokalne maksimume tangencijalnih naprezanja:

(9)

(10)

(11)

Usporedbom rezultata vidimo da su dionice druge dionice opasne.

Dopušteni smični napon

.

Za razliku od prethodno razmatranih okruglih šipki, torzija šipki nekružnog poprečnog oblika ima svoje osobitosti. Glavna je deplanacija. Ovo je fenomen da sekcije prestaju biti ravne i postaju deplanirane. Formule temeljene na hipotezi ravninskih presjeka gube svoju valjanost. Javljaju se normalni naprezanja.

Postoji slobodna i ograničena torzija. Besplatno To se naziva torzija u kojoj je deplanacija konstantna duž duljine štapa i može se karakterizirati količinom pomaka u aksijalnom smjeru. Torzija štapa, pri kojoj se mijenja deplanacija presjeka po duljini štapa, naziva se ograničena torzija. U tom slučaju nastaje posebna vrsta unutarnje sile - bimoment, koji utječe na raspodjelu normalnih i tangencijalnih naprezanja po presjeku.

Šipke s nekružnim presjekom mogu biti različite (slika 11.1).

Riža. 11.1. Šipke s nekružnim presjekom: a) debele stijenke; b) tankostjenog zatvorenog i otvorenog profila

Debelih stijenki nazivaju se šipke koje imaju dimenzije različitih elemenata presjeka razmjerne dimenzijama samog presjeka. Deformacija šipki debelih stijenki je složena, problemi torzije takvih šipki rješavaju se analitički ili numerički metodama teorije elastičnosti.

Tankih stijenki nazivaju se šipke kod kojih je duljina konture poprečnog presjeka mnogo veća od debljine presjeka.

Proračun tankostijenih šipki otvorenog i zatvorenog profila za ograničenu torziju proučava se u teoriji tankostijenih šipki koju je razvio prof. V.Z. Vlasov.

Rješenje problema slobodnog uvijanja štapova nekružnog presjeka dobio je Saint-Venant.

Torzijski pravokutnog presjeka najveće naprezanje javlja se na sredini duge strane strujnog kruga (slika 11.2). Za izračun upotrijebite formulu (11.1).

Ovdje W t = αhb 2- trenutak torzijska otpornost, α – Saint-Venantov koeficijent, h I b dimenzije pravokutnog presjeka (sl. 11.2).

Kut uvijanja duljine teretnog dijela l s konstantnom unutarnjom silom nalazi se formulom (11.2)

Ovdje I t =βhb 3- moment inercije tijekom torzije, β – Saint-Venantov koeficijent.

Ep. τ[MPa]

Riža. 11.2. Dijagram smičnih naprezanja

Saint-Venant koeficijenti α, β, γ određuju se pomoću tablice 11.1 ovisno o omjeru h/b.

Tablica 11.1

h/b
α	0,208	0,246	0,267	0,282	0,299	0,307	0,313	0,333
β	0,140	0,229	0,263	0,281	0,299	0,307	0,312	0,333
γ	1,000	0,795	0,753	0,745	0,743	0,742	0,742	0,742

Proračun različitih nekružnih presjeka za čvrstoću i krutost provodi se slično kao što je opisano u prethodnom predavanju. Pomoću uvjeta čvrstoće i krutosti rješavaju se problemi odabira dimenzija poprečnog presjeka, određivanja dopuštenog opterećenja i provjere ispunjenosti uvjeta. Ovisno o profilu poprečnog presjeka različito se određuju geometrijske karakteristike poprečnog presjeka koje se pojavljuju u formulama za proračun naprezanja i pomaka. (Ove formule potražite sami u udžbeniku).

Rješavanje statički neodređenih problema u torziji. Problemi torzije štapova su statički neodređen, ako se zakretni momenti koji nastaju u poprečnim presjecima štapa ne mogu odrediti samo pomoću jednadžbi ravnoteže. Da bi se riješili takvi problemi, potrebno je uzeti u obzir deformirano stanje upletene šipke. Algoritam rješenja sličan je onom opisanom u temi aksijalni napon – sabijanje.

U slučaju stalne krutosti štapa pogodno je koristiti metodu početnih parametara za rješavanje statički neodređenih problema (upoznajte se s ovom metodom).

Problemi mogu biti statički neodređeni nekoliko puta. Razmotrimo jednom statički neodređene probleme.

Riža. 11.3. Statički neodređeni štapovi u torziji

a) Otkrivanje statičke neodređenosti

∑ m X = 0; M A - M + M V nst

Kretanje (kut uvijanja) točke B (kruto učvršćenje) je nemoguće, tada se to kretanje može prikazati kao zbroj kutova uvijanja presjeka opterećenja φ B =φ ja+φ II = 0 (2).

M t = konst može se predstaviti kao: (3). Zamijenimo (3) u (2): . (4)

Napišimo jednadžbe momenta na presjecima opterećenja, uzimajući u obzir ravnotežu desne strane koja sadrži reakciju oslonca M V: M t,ja = M V- konst M t,II = M V - M– konst. Ako su krutosti na presjecima opterećenja jednake, jednadžba (4) će imati oblik:

M U

b) Otkrivanje statičke neodređenosti

1. Razmotrite statičku stranu problema

Napravimo jednadžbu ravnoteže:

∑ m X = 0; M A + ml – M V = 0 (1), nalazimo stupanj statičke neodređenosti kao razliku između nepoznatih reakcija potpore i broja statičkih jednadžbi nst = 2 – 1 = 1 – problem je jednom statički neodređen i potrebna je još jedna jednadžba da se otkrije statička neodređenost.

2. Razmotrimo geometrijsku stranu problema

Pomicanje (kut zaokreta) točke U(kruto učvršćivanje) nemoguće, tada se to kretanje može prikazati kao zbroj kutova uvijanja presjeka opterećenja φ B =φ ja = 0 (2).

3. Razmotrimo fizičku stranu problema

Kut uvijanja na duljini presjeka opterećenja, gdje M t opisan linearnom jednadžbom može se predstaviti kao:

(3). Zamijenimo (3) u (2): . (4)

Napišimo jednadžbu momenta na presjeku opterećenja, uzimajući u obzir ravnotežu desne strane koja sadrži reakciju oslonca M V: M t, I = - M V + mx, zamijenimo jednadžbu unutarnje sile u (4):

Riješimo dobivenu jednadžbu za jednu nepoznanicu M U . Zatim se problem rješava kao statički odrediv.

Proračun štapova u torziji na temelju graničnog stanja. Razmotrimo raspodjelu tangencijalnih naprezanja u poprečnom presjeku okruglog štapa izrađenog od elastoplastičnog materijala, podvrgnutog idealiziranom Prandtlovom dijagramu (sl. 11.4).

Riža. 11.4. Prandtlov dijagram

τ max < τs τ max = τ s. τ sτ s

M t = τ sWρ Elastična jezgra Plastični šarnir

(M t, lim)

Riža. 11.5. Raspodjela posmičnih naprezanja u presjeku

Kod kutova smicanja γ ≤ γ s materijal se pokorava Hookeovom zakonu, tj. τ = G γ, gdje je γ = γ s smično naprezanje dosegne granicu tečenja τ s, za γ > γ s materijal “teče” pri konstantnom naponu τ = τ s. Time završava čisto elastična faza rada (sl. 11.5 b) i moment doseže opasnu vrijednost. S daljnjim povećanjem momenta, dijagram naprezanja poprima oblik prikazan na sl. 11. 5. stoljeća Kako se moment povećava, elastična jezgra se smanjuje, a fluidnost materijala se javlja u cijelom presjeku; dolazi do stanja granične ravnoteže, što odgovara maksimalnoj nosivosti šipke. Za puni kružni presjek u slučaju prikazanom na sl. 11. 5 g nosivost štapa se povećava za 33% u odnosu na nosivost izračunatu za situaciju prikazanu na sl. 11.5

4.4. Statički neodređeni torzijski problemi

Takvi problemi obično nastaju ako je kretanje osovine ograničeno u nekim dijelovima, na primjer (Sl. 4.9), kada su njezini krajevi priklješteni. U

jedna ravnotežna jednadžba: :

postoje dva nepoznata momenta u osloncima pa je problem statički neodređen. Da bismo ga riješili, kreiramo dodatnu jednadžbu pomaka. Razmotrimo pomake (kutove rotacije) sekcija koje su granice sekcija osovine..gif" width="99" height="27 src=">.

https://pandia.ru/text/78/579/images/image007_54.gif" width="99 height=26" height="26">.

Budući da je dio osovine stegnut, onda s: https://pandia.ru/text/78/579/images/image011_42.gif" align="left" width="258" height="186">

Potencijalna deformacija dijela osovine duljine dz bit će:
Budući da je tijekom torzije τ = (MK / IP) r, tada

Smanjivanjem za IP dobivamo izraz za potencijalnu energiju deformacije tijekom torzije

4.6 . Torzija štapova nekružnog presjeka

https://pandia.ru/text/78/579/images/image018_20.gif" align="left" width="324" height="237 src="> Kada torzija šipki (osovina) nije okrugla niti prstenasta presjeci, pretpostavke prihvaćene za torziju okruglih i prstenastih osovina nisu ispunjene: ravni poprečni presjeci štapa ne ostaju ravni tijekom torzije, nego se deplaniraju (krivulja); ravni radijusi nacrtani u ravnim presjecima su savijeni; razmak između presjeka promjene (Sl. 4. Ako štap konstantnog presjeka duž cijele duljine nije nigdje priklješten, a momenti uvijanja nalaze se na njegovim krajevima, tada se svi dijelovi jednako deplaniraju i normalni naprezanja ne nastaju. Međutim, s dovoljnom točnošću za praktične može se koristiti za ne-okrugle štapove izvedene za okrugli štap, zamjenjujući oba https://pandia.ru/text/78/579/images/image021_17.gif" width="23" height="27. src=">- moment tromosti pri torziji, i - moment otpora pri torziji.

https://pandia.ru/text/78/579/images/image024_18.gif" width="90" height="49">, ,

Za pravokutni presjek (Sl. 4.12)

https://pandia.ru/text/78/579/images/image027_17.gif" width="87" height="29 src=">.

Ovdje i - ovisi o odnosu.

Koeficijenti.	Omjer veće stranice presjeka prema manjoj.

Diferencijalna" href="/text/category/differentcial/" rel="bookmark">diferencijalna jednadžba, ista kao i problem ravnoteže tankog filma rastegnutog preko konture istog obrisa kao kontura poprečnog presjeka šipka i opterećena ravnomjerno raspodijeljenim pritiskom. Analogni napon je kut koji čini tangenta na površinu filma s ravninom konture, a analog momenta je volumen zatvoren između ravnine konture i površine filma Ponašanje filma pod pritiskom, slika 4.13b prikazuje kvalitativnu raspodjelu štapa složenog profila Uzimajući u obzir krutost filma, isti eksperiment se provodi s okruglom rupom, odakle se dobiva potrebna krutost filma, budući da je rješenje u ovom slučaju moguće dobiti točno.

4.7. Slobodno uvijanje štapova tankih stijenki

Tankostijene šipke su one koje imaju jednu dimenziju presjeka - debljinu profila, i manju od druge - duljinu konture poprečnog presjeka s. Šipke dolaze u otvorenom (slika 4.14) i zatvorenom (slika 4.15) profilu. Upotrijebimo analogiju s membranom. Priroda ponašanja filma i, shodno tome, tangencijalnih naprezanja u šipkama tankih stijenki otvorenih i zatvorenih profila bitno je različita (sl. 4.16 i sl. 4. Ako se šipka otvorenog profila ispravi u dugački pravokutnik , tada se oblik filma neće promijeniti.

Zatim za pravokutni presjek na , imamo: ,..gif" width="22" height="25"> pravokutnika, tada

..gif" width="42" height="26"> .

Sustavi u kojima je veći broj superponiranih veza, broj neovisnih jednadžbi ravnoteže, nazivaju se stat nedefiniran.U usporedbi sa statistički odredivim sustavima, u stotinu neodredivih. sustavi imaju dodatne dodatne veze. Termin "ekstra veze" je uvjetan. Ove veze su suvišne sa stajališta računskih premisa. Zapravo, ove veze stvaraju dodatne rezerve za konstrukcije, kako u smislu osiguravanja krutosti tako i čvrstoće. 2.5, a prikazuje nosač koji se sastoji od 2 šipke zglobno povezane jedna s drugom. Zbog činjenice da na konstrukciju djeluje samo vertikalna sila R, a sustav je ravan, pokazuje se da se sile u štapovima lako određuju. iz uvjeta ravnoteže čvora A, tj. x= 0, g= 0. Proširivanjem ovih jednadžbi dobivamo zatvoreni sustav linearnih jednadžbi za nepoznate sile N 1 i N 2 u kojoj je broj jednadžbi jednak broju nepoznanica: N 1  N 2 sin  = 0; N 2 cos   R = 0.

Ako je konstrukcija nosača komplicirana dodavanjem druge šipke (Sl. 2.5, b), zatim sile u štapovima N 1 ,N 2 i N 3 više se ne može odrediti prethodnom metodom, jer uz iste dvije jednadžbe ravnoteže (2.16), postoje 3 nepoznate sile u štapovima. Polusustav je jednom sto neodređen. Razlika između broja nepoznatih sila i broja neovisnih (smislenih) jednadžbi ravnoteže koje povezuju te sile naziva se stupanj c neodređenog sustava U općem slučaju pod nstatički neodređenim sustavom podrazumijeva se sustav u kojem broj nepoznatih vanjskih oslonskih reakcija i unutarnjih sila premašuje broj neovisnih i smislenih jednadžbi ravnoteže za n jedinice. Rješavanje statički neodređenih zadataka metodom sila provodi se sljedećim redoslijedom.1 Postavite stupanj st neodređenog sustava kao razliku između broja traženih nepoznatih sila i broja nezavisnih jednadžbi ravnoteže. Uzima se u obzir da jednostavna šarka koja povezuje 2 šipke sustava smanjuje stupanj st za 1, budući da uklanja jednu vezu koja sprječava rotaciju jednog dijela sustava u odnosu na drugi. Jednostavna šarka omogućuje vam da dodate Eq. jednak cijelog sustava jednadžba ravnoteže dijela sustava spojenog ovim zglobom.2. Od datog undef. sustava, glavni sustav je izoliran uklanjanjem nepotrebnih priključaka i vanjskog opterećenja.3. Prikazan je ekvivalentni sustav koji odgovara odabranom glavnom, u kojem se sile primjenjuju umjesto uklonjenih dodatnih veza iu njihovom smjeru X i, ako veze sprječavaju linearno kretanje, i parovi Xk, ako su isključili rotacije presjeka.4. Sastavljaju se kanonske jednadžbe metode sila.5. Koeficijenti kanoničkih jednadžbi izračunavaju se analitički

U TORZIJI (zadatak br. 11)

Zadatak

Čelično vratilo kružnog poprečnog presjeka sastoji se od tri dijela s različitim polarnim momentima tromosti (sl. 3.6, A). Krajevi osovine su kruto osigurani od rotacije u odnosu na uzdužnu os osovine. Navedena su opterećenja: parovi sila i , koji djeluju u ravnini poprečnog presjeka vratila; odnos između polarnih momenata tromosti sekcija vratila i ; duljine dionica , , .

Potreban:

1) izgraditi dijagram momenta;

2) odabrati dimenzije poprečnih presjeka na temelju uvjeta čvrstoće;

3) konstruirajte dijagram kutova uvijanja.

Riješenje

Zbog prisutnosti dvaju krutih nosača, pod utjecajem opterećenja, u svakom od njih nastaju reaktivni parovi. Stvorivši uvjet ravnoteže za osovinu

Uvjereni smo da se napisana jednadžba ne može jednoznačno riješiti jer sadrži dvije nepoznate veličine: i . Preostale jednadžbe ravnoteže za određeno opterećenje izvode se identično. Prema tome, problem je jednom statički neodređen.

Za otkrivanje statičke neodređenosti stvaramo uvjet za kompatibilnost deformacija. Zbog krutosti potpornih spojeva, krajnji dijelovi osovine se ne okreću. To je ekvivalentno činjenici da je ukupni kut zakretanja osovine u području A–B jednaka nuli: , ili .

Posljednja jednadžba je uvjet kompatibilnosti deformacija. Da bismo ga povezali s jednadžbom ravnoteže, zapisujemo fizikalne jednadžbe koje povezuju momente i kutove uvijanja (3.3) (Hookeov zakon za torziju) za svaki dio štapa:

, , .

Zamjenom fizikalnih odnosa u uvjet kompatibilnosti deformacija nalazimo reaktivni moment , a zatim iz jednadžbe ravnoteže određujemo . Dijagram zakretnog momenta prikazan je na sl. 3.6, b.

Da bismo riješili problem odabira presjeka, zapisujemo formule za određivanje maksimalnih tangencijalnih naprezanja (3.5) na svakom presjeku vratila:

; ; .

Koeficijenti i , koji predstavljaju omjer polarnih momenata otpora odsječaka drugog i trećeg odsječka osovine prema polarnom momentu otpora odsječka prvog odsječka, odredit će se preko poznatih parametara i .

Polarni moment tromosti može se napisati na dva načina:

; ,

gdje su polumjeri prvog i drugog dijela štapa. Odavde izražavamo radijus kroz:

Zatim polarni moment otpora drugog odsječka

,

to je . Također.

Sada možemo usporediti najveća tangencijalna naprezanja u pojedinim presjecima i zapisati uvjet čvrstoće (3.13) za najveći od njih. Iz ovog uvjeta nalazimo traženi polarni moment otpora, a zatim, pomoću formule (3.8), polumjere osovine u svakom presjeku.

; ; .

Da bismo konstruirali dijagram kutova uvijanja, izračunavamo kutove uvijanja na svakom dijelu štapa pomoću formule (3.3). Ordinate dijagrama dobivaju se uzastopnim zbrajanjem rezultata za pojedine dionice, počevši od jednog od krajeva osovine. Ispravnost rješenja provjerava se jednakošću kuta zakretanja na nuli na drugom kraju osovine. Dijagram kutova zakretanja prikazan je na sl. 3.6, V.

Za konstrukciju s krutim štapom, jednadžba racionalne ravnoteže, koja uključuje jednu nepoznatu silu, je jednadžba gdje A- šarka oko koje se okreće kruta šipka.

Kao što naziv implicira, ova metoda je primjenjiva na strukture čije su šipke izrađene od plastičnog materijala.

Očito je da će odnos između deformacija štapova biti isti kao u prvom dijelu zadatka, stoga se jednadžba kompatibilnosti deformacija u trećem dijelu zadatka može napisati pomoću prethodno dobivene jednadžbe, zamjenjujući je s .

Pri rješavanju ovog problema dopisni studenti izvode samo proračune na temelju graničnog plastičnog stanja. Ostali učenici rješavaju zadatak br. 6 prema zahtjevu nastavnika. Točka 2. označena * je izborna i izvodi se na zahtjev studenta.

Suvremeni standardi projektiranja zgrada predviđaju složeniji pristup (uvođenje zasebnih faktora sigurnosti za opterećenja, svojstva materijala, uvjete rada konstrukcije). S tim će se student upoznati tijekom izučavanja kolegija o metalnim, armiranobetonskim i drugim konstrukcijama.