Problèmes de torsion statiquement indéterminés. Problèmes de torsion statiquement indéterminés Systèmes de torsion statiquement indéterminés Sopromat

Schéma de calcul et diagrammes

La solution

Notons l'axe longitudinal z, les points A et B, les numéros de section 1, 2, 3. Les extrémités de la tige sont pincées, il y a donc des moments réactifs M A et M B , qu'il faut calculer. Le nombre de réactions d'appui inconnues est de deux et l'équation statique de ce système de forces est unique :

M UNE – M 1 + M 2 – M B = 0. (1)

Par conséquent, ce système est une fois statiquement indéterminé. En plus de l'équation (1), il est nécessaire de composer une autre équation contenant les mêmes inconnues M A et M B . A cet effet, nous procéderons comme suit. Écartons le pincement droit, mais son influence sera remplacée par le moment M B , dont la grandeur et la direction sont encore inconnues. Ainsi, nous obtenons le schéma de conception 2) équivalent au schéma original 1). Trois charges sont maintenant appliquées à la tige: M 1 , M 2 , M B sous forme de moments, y compris celui requis - M B . L'extrémité droite de la tige étant pincée, l'angle de rotation de cette section autour de l'axe longitudinal de la tige doit être égal à zéro, c'est-à-dire . Un tel virage au point B est le résultat de trois facteurs de force : M 1 , M 2 , M B .

Selon le principe d'indépendance de l'action des forces, l'angle de rotation de la section B peut d'abord être calculé à partir de chaque instant et les résultats sont ensuite sommés. Ce faisant, on obtient la deuxième équation, complétant (1) :

Lors de la compilation de cette équation, il a été pris en compte que le moment M 1 tord uniquement la première section de la tige, le moment M 2 - sections 1 et 2 et le moment M B - les trois sections. Nous réduisons le côté gauche de l'équation (2) par et G et obtenir

Les équations (1) et (3) forment un système de détermination de M A et M B . Pour le résoudre, vous devez d'abord déterminer les moments d'inertie J , J , J .

La première section de la tige est un cylindre creux. Pour sa rubrique

La deuxième section de la tige a une section rectangulaire. Son moment d'inertie en torsion

J (5)

Ici, est un coefficient tabulé dépendant du rapport d'aspect du rectangle. Pour un rapport donné h/b = 2,0, la valeur extrait du tableau.

La formule (5) donne le résultat

J . (6)

La section transversale de la tige de la deuxième section est pleine ronde. C'est pourquoi

(7)

Les valeurs des couples et les valeurs trouvées des moments d'inertie des sections sont substituées dans (3)

Nous réduisons b 4 dans tous les termes, effectuons des calculs arithmétiques simples et obtenons

Après transformations, l'équation prend la forme

14,89 MB = 17,78.

Par conséquent nous avons

M B = 1 194 kNm.

À partir de l'équation (1), nous trouvons le moment réactif dans le pincement de l'extrémité gauche :

M A \u003d M 1 - M 2 + M B \u003d 6 - 7 + 1,194 \u003d 0,194 kNm.

Vous pouvez maintenant commencer à tracer le diagramme de couple. À un endroit arbitraire de chaque section de la tige, nous dessinons les sections 1–1, 2–2, 3–3.

Prenons la partie de coupure gauche et montrons le couple dans la section M . Bien que sa direction puisse être choisie arbitrairement, il est préférable de choisir une direction positive, c'est-à-dire de sorte que, lorsqu'on regarde l'extrémité de la partie découpée, on la voit dirigée dans le sens inverse des aiguilles d'une montre.

Toute la tige est en équilibre. Cela signifie que toute partie coupée doit être en équilibre. On peut donc écrire l'équation d'équilibre :

Par conséquent nous avons

Section 2–2

Section 3–3

kNm

Sur la base des résultats des calculs, nous construisons un diagramme de couples. Les dimensions de la section transversale de la tige doivent être trouvées à partir de la condition de résistance

(8)

Voici le numéro de section. Le côté gauche de l'inégalité est la plus grande valeur du modulo de contrainte de cisaillement pour l'ensemble de la tige. Le côté droit est la contrainte admissible pour le matériau en termes de contraintes de cisaillement. Installons-les. Pour chaque section, on trouve la contrainte de cisaillement maximale en utilisant la formule générale

Les couples ont déjà été trouvés. Déterminons les moments de résistance en torsion :

Dans la deuxième formule, un coefficient tabulé qui dépend du rapport des côtés du rectangle. Pour un rapport donné h/b = 2,0, la valeur extrait du tableau.

Pour chaque section, nous déterminons les maxima locaux des contraintes de cisaillement :

(9)

(10)

(11)

De la comparaison des résultats, on voit que les sections de la deuxième section sont dangereuses.

Contrainte de cisaillement admissible

.

Contrairement aux tiges rondes précédemment considérées, la torsion des tiges de forme transversale non circulaire présente certaines particularités. Le principal est débarquement. C'est le phénomène que les sections cessent d'être plates, déplanées. Les formules basées sur l'hypothèse des sections plates perdent de leur force. Il y a des contraintes normales.

Distinguer torsion libre et torsion contrainte. libre appelé une telle torsion, dans laquelle le gauchissement est constant sur la longueur de la tige et il peut être caractérisé par la quantité de déplacement dans la direction axiale. La torsion d'une barre, dans laquelle la déformation de la section sur la longueur de la barre change, est appelée torsion contrainte. Dans ce cas, un type spécial de force interne apparaît - un bimoment qui affecte la répartition des contraintes normales et de cisaillement sur la section.

Les tiges de section non circulaire peuvent être différentes (Fig. 11.1).

Riz. 11.1. Tiges à section transversale non circulaire : a) à paroi épaisse ; b) profil fermé et ouvert à paroi mince

à paroi épaisse appelées tiges ayant des dimensions de divers éléments de la section en rapport avec les dimensions de la section elle-même. La déformation des tiges à paroi épaisse a un caractère complexe, les problèmes de torsion de ces tiges sont résolus analytiquement ou numériquement par des méthodes de la théorie de l'élasticité.

à paroi mince appelées tiges, dans lesquelles la longueur du contour de la section transversale est bien supérieure à l'épaisseur de la section.

Le calcul des barres à parois minces d'un profil ouvert et fermé pour la torsion contrainte est étudié dans la théorie des barres à parois minces, développée par le prof. V.Z. Vlasov.

La solution au problème de la torsion libre des tiges de section non circulaire a été obtenue par Saint-Venant.

Torsion section rectangulaire la plus grande contrainte se produit au milieu du côté long du circuit (Fig. 11.2). Pour le calculer, la formule (11.1) est utilisée.

Ici W t =αhb 2- moment résistance à la torsion, α est le coefficient de Saint-Venant, h et b dimensions d'une section rectangulaire (Fig. 11.2).

Angle de torsion de la longueur de la section de chargement jeà effort interne constant se trouve par la formule (11.2)

Ici Je t \u003d βhb 3- moment d'inertie lors de la torsion, β est le coefficient de Saint-Venant.

Ép. τ[MPa]

Riz. 11.2. Diagramme des contraintes de cisaillement

Les coefficients de Saint-Venant α, β, γ sont déterminés à l'aide du tableau 11.1 en fonction du rapport h/b.

Tableau 11.1

h/b
α	0,208	0,246	0,267	0,282	0,299	0,307	0,313	0,333
β	0,140	0,229	0,263	0,281	0,299	0,307	0,312	0,333
γ	1,000	0,795	0,753	0,745	0,743	0,742	0,742	0,742

Le calcul de diverses sections transversales non circulaires pour la résistance et la rigidité est effectué de manière similaire à celle décrite dans la leçon précédente. À l'aide des conditions de résistance et de rigidité, les problèmes sont résolus afin de sélectionner les dimensions de la section transversale, de déterminer la charge admissible et de vérifier le respect des conditions. Selon le profil de la section transversale, les caractéristiques géométriques de la section transversale sont déterminées différemment, apparaissant dans les formules de calcul des contraintes et des déplacements. (Voir ces formules par vous-même dans le manuel).

Résolution de problèmes statiquement indéterminés en torsion. Les problèmes de torsion de la tige sont statiquement indéterminé, si les couples apparaissant dans les sections transversales de la tige ne peuvent pas être déterminés en utilisant uniquement les équations d'équilibre. Pour résoudre de tels problèmes, il est nécessaire de considérer l'état déformé de la tige torsadée. L'algorithme de résolution est similaire à celui décrit dans le sujet traction-compression axiale.

Dans le cas d'une rigidité constante de la tige, il convient d'utiliser la méthode des paramètres initiaux pour résoudre des problèmes statiquement indéterminés (lisez vous-même cette méthode).

Les tâches peuvent être plusieurs fois statiquement indéterminées. Considérons une fois les problèmes statiquement indéterminés.

Riz. 11.3. Barres statiquement indéterminées en torsion

a) Divulgation de l'indétermination statique

∑ m X = 0; MA - M + MV nst

Le déplacement (angle de torsion) du point B (terminaison rigide) est impossible, alors ce mouvement peut être représenté comme la somme des angles de torsion des sections de fret φ B =φ je +φ II = 0 (2).

M t = const peut être représenté par : (3). Remplacer (3) par (2) : . (quatre)

Ecrivons les équations des couples sur les sections de fret, en considérant l'équilibre du côté droit contenant la réaction d'appui MV: M t, je = MV- const, M t, II = MV - M– const. Si les raideurs sur les sections de fret sont égales, l'équation (4) prendra la forme :

M À

b) Divulgation de l'indétermination statique

1. Considérez le côté statique du problème

Faisons une équation d'équilibre :

∑ m X = 0; MA + ml – MV = 0 (1), nous trouvons le degré d'incertitude statique comme la différence entre les réactions de support inconnues et le nombre d'équations statiques nst = 2 - 1 = 1 - le problème est une fois statiquement indéterminé et une équation de plus est nécessaire pour révéler l'indétermination statique.

2. Considérez le côté géométrique du problème

Déplacement (angle de torsion) d'un point À(terminaison rigide) est impossible, alors ce mouvement peut être représenté comme la somme des angles de torsion des sections de fret φ B =φ je= 0 (2).

3. Considérez le côté physique du problème

L'angle de torsion sur la longueur de la section de chargement, où M t décrit par une équation linéaire peut être représenté par :

(3). Remplacer (3) par (2) : . (quatre)

Ecrivons l'équation des couples sur la section cargo, en considérant l'équilibre du côté droit contenant la réaction d'appui MV: M t, je = - М В + MX, nous substituons l'équation de la force interne dans (4) :

Nous résolvons l'équation résultante pour une inconnue M À . De plus, le problème est résolu comme statiquement déterminé.

Calcul de bielles en torsion en fonction de l'état limite. Considérons la distribution des contraintes de cisaillement dans la section transversale d'une tige ronde en matériau élasto-plastique, obéissant au diagramme de Prandtl idéalisé (Fig. 11.4).

Riz. 11.4. Diagramme de Prandtl

τ maximum < τs τ maximum = τ s. τ sτ s

M t = τ sWρ Noyau élastique Charnière en plastique

(M t lim)

Riz. 11.5. Répartition des contraintes de cisaillement dans la section

Aux angles de cisaillement γ ≤ γ s le matériau obéit à la loi de Hooke, c'est-à-dire τ = Gγ, pour γ = γ s la contrainte de cisaillement atteint la limite d'élasticité τ s, pour γ > γ s le matériau "coule" à une tension constante τ = τ s. Cela met fin à la phase de travail purement élastique (Fig. 11.5 b) et le moment atteint une valeur dangereuse. Avec une nouvelle augmentation du couple, le diagramme de contrainte prend la forme illustrée à la Fig. 11. 5 ch. Avec une augmentation du couple, le noyau élastique diminue, et la fluidité du matériau se produit sur toute la section, un état d'équilibre limite se produit, correspondant à la capacité portante maximale de la tige. Pour une section circulaire solide dans le cas illustré à la fig. 11. 5 g, la capacité de charge de la tige est augmentée de 33 % par rapport à la capacité de charge calculée pour la situation représentée sur la fig. 11.5

4.4. Problèmes de torsion statiquement indéterminés

De tels problèmes surviennent généralement si le mouvement de l'arbre est limité dans certaines sections, par exemple (Fig. 4.9), lorsque ses extrémités sont pincées. À

une équation d'équilibre :

il y a deux moments inconnus dans les supports, donc le problème est statiquement indéterminé. Pour le résoudre, nous composons une équation de déplacement supplémentaire. Considérez les déplacements (angles de rotation) des sections qui sont les limites des sections de l'arbre..gif" width="99" height="27 src=">.

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Puisque la section de l'arbre est pincée, alors où : https://pandia.ru/text/78/579/images/image011_42.gif" align="left" width="258" height="186">

La déformation potentielle de la déformation de la section d'arbre de longueur dz sera :
Puisqu'avec la torsion τ = (MK / IP) r, alors

En réduisant par IP, on obtient une expression de l'énergie potentielle de déformation en torsion

4.6 . Torsion des barres de section non circulaire

https://pandia.ru/text/78/579/images/image018_20.gif" align="left" width="324" height="237 src="> Lorsque les tiges de torsion (arbres) ne sont pas rondes et non - des sections transversales annulaires, les hypothèses faites lors de la torsion des arbres ronds et annulaires ne sont pas remplies : les sections transversales plates de la tige ne restent pas plates pendant la torsion, mais se déforment (plient) ; les rayons droits dessinés dans les sections plates sont pliés ; la distance entre les sections change (Fig. 4Si une tige de section constante sur toute la longueur n'est pincée nulle part et que les moments de torsion sont situés à ses extrémités, toutes les sections sont débarquées de la même manière et les contraintes normales ne se produisent pas. Une telle torsion est appelé gratuit Cependant, avec une précision suffisante à des fins pratiques, pour les tiges non rondes, vous pouvez utiliser des formules dérivées pour une tige ronde, en remplaçant à la fois https://pandia.ru/text/78/579/images/image021_17.gif " width="23" height="27 src=">- moment d'inertie pendant la torsion, et - moment de torsion de résistance.

https://pandia.ru/text/78/579/images/image024_18.gif" width="90" height="49">, ,

Pour une section rectangulaire (Fig. 4.12)

https://pandia.ru/text/78/579/images/image027_17.gif" width="87" height="29 src=">.

Ici et - dépendent du rapport .

Coefficients.	Rapport entre le plus grand côté de la section et le plus petit.

Différentiel" href="/text/category/differentcial/" rel="bookmark"> à l'équation différentielle, qui revient au problème de l'équilibre d'un film mince tendu sur un contour de même forme que le contour de la section transversale de la tige et chargée d'une pression uniformément répartie.La contrainte analogique est l'angle qui fait la tangente à la surface du film avec le plan de contour, et l'analogue du couple est le volume compris entre le plan de contour et la surface du film La figure 4.13a montre le comportement du film sous pression, la figure 4.13b montre la distribution qualitative des contraintes de torsion d'une tige de profil complexe.A l'aide d'un dispositif spécial et d'un film calibré, des résultats quantitatifs peuvent également être obtenus.Pour faire cela, afin de prendre en compte la rigidité du film, la même expérience est réalisée avec un trou rond, à partir duquel la rigidité nécessaire du film est obtenue, puisque la solution dans ce cas peut être obtenue exactement.

4.7. Torsion libre des tiges à parois minces

Les tiges à paroi mince sont appelées tiges qui ont une taille de section - épaisseur du profil, inférieure à l'autre - la longueur du contour de section s. Les tiges sont des profils ouverts (Fig. 4.14) et fermés (Fig. 4.15). Utilisons l'analogie de la membrane. La nature du comportement du film et, par conséquent, les contraintes de cisaillement dans les tiges à paroi mince de profils ouverts et fermés sont fondamentalement différentes (Fig. 4.16 et Fig. 4. Si la tige d'un profil ouvert est redressée en un long rectangle, alors la forme du film ne changera pas.

Alors pour une section rectangulaire avec , on a : ,..gif" width="22" height="25"> rectangles, alors

..gif" largeur="42" hauteur="26"> .

Les systèmes dans lesquels le nombre de liaisons superposées est supérieur au nombre d'équations d'équilibre indépendantes sont appelés statistique indéfinie.Comparé aux systèmes définissables par les statistiques, une centaine de neoprd. les systèmes ont des connexions supplémentaires supplémentaires Le terme « connexions supplémentaires » est conditionnel. Ces liaisons sont redondantes du point de vue des hypothèses de calcul. En effet, ces liaisons créent des réserves supplémentaires pour les structures, tant pour assurer sa rigidité que sa résistance. 2.5, a, un support est représenté, composé de 2 tiges articulées l'une à l'autre. Du fait que seule la force verticale agit sur la structure R, et que le système est plat, il s'avère que les forces dans les tiges sont facilement déterminées. à partir des conditions d'équilibre des nœuds MAIS, c'est à dire. X= 0, y= 0. En développant ces équations, nous obtenons un système fermé d'équations linéaires pour des forces inconnues N 1 et N 2 où le nombre d'équations est égal au nombre d'inconnues : N 1  N 2 péché  = 0 ; N 2 cos   R = 0.

Si la conception du support est compliquée par l'ajout d'une autre tige (Fig. 2.5, b), puis les forces dans les tiges N 1 ,N 2 et N 3 ne peut plus être déterminé de la manière précédente, car avec les deux mêmes équations d'équilibre (2.16) il y a 3 forces inconnues dans les tiges. Un semi-système est une fois cent indéfinissable. La différence entre le nombre d'efforts inconnus et le nombre d'équations d'équilibre indépendantes (significatives) reliant ces efforts est appelée le degré c du système indéfini considéré. n- une fois qu'un système statiquement indéterminé est compris comme un système dans lequel le nombre de réactions d'appui externes et de forces internes inconnues dépasse le nombre d'équations d'équilibre indépendantes et significatives de n unités. La solution des problèmes statiquement indéterminés par la méthode de la force est effectuée dans l'ordre suivant. Il est pris en compte qu'une simple charnière, reliant 2 tiges du système, réduit le degré de st de 1, car elle supprime une connexion, empêchant la rotation d'une partie du système par rapport à l'autre. Une simple charnière vous permet d'ajouter à l'Eq. égal. de l'ensemble du système, l'équation d'équilibre de la partie du système attachée à cette rotule.2. A partir d'un article neodef donné. syst est alloué au système principal en supprimant les connexions inutiles et la charge externe.3. Le système équivalent de base correspondant est représenté, dans lequel, au lieu des liaisons superflues supprimées, des forces sont appliquées dans leur direction X je, si les liaisons empêchaient le mouvement linéaire, et les paires X k, s'ils excluaient les rotations de sections.4. Les équations canoniques de la méthode de la force sont compilées.5. Les coefficients des équations canoniques sont calculés analytiquement

À LA TORSION (TÂCHE N° 11)

La tâche

Un arbre en acier à section circulaire se compose de trois sections avec des moments d'inertie polaires différents (Fig. 3.6, un). Les extrémités de l'arbre sont rigidement fixées en rotation par rapport à l'axe longitudinal de l'arbre. Les charges sont données : paires de forces et agissant dans le plan de la section transversale de l'arbre ; le rapport des moments d'inertie polaires des sections d'arbre et ; longueurs de section , , .

Obligatoire:

1) construire un diagramme de couples ;

2) sélectionner les dimensions des sections transversales à partir de la condition de résistance ;

3) construire un diagramme des angles de torsion.

La solution

Du fait de la présence de deux fixations rigides de support, sous l'action d'une charge, des paires réactives et apparaissent dans chacune d'elles. Composition de l'état d'équilibre de l'arbre

on s'assure que l'équation écrite ne peut pas être résolue de manière unique, puisqu'elle contient deux inconnues : et . Les autres équations d'équilibre pour une charge donnée sont remplies de manière identique. Par conséquent, le problème est une fois statiquement indéterminé.

Pour révéler l'indétermination statique, nous formulons une condition de compatibilité des déformations. Du fait de la rigidité des fixations du support, les tronçons d'extrémité de l'arbre ne tournent pas. Cela équivaut au fait que l'angle de torsion total de l'arbre dans la zone UN B est nul : , ou .

La dernière équation est la condition de compatibilité des déformations. Pour la relier à l'équation d'équilibre, on écrit les équations physiques reliant les couples et les angles de torsion (3.3) (loi de Hooke pour la torsion) pour chaque section de la bielle :

, , .

En substituant des relations physiques à la condition de compatibilité des déformations, on trouve le moment réactif , puis à partir de l'équation d'équilibre on détermine . Le tracé des couples est illustré à la fig. 3.6, b.

Pour résoudre le problème de sélection d'une section, nous écrivons des formules permettant de déterminer les contraintes maximales de cisaillement (3.5) sur chaque section de l'arbre :

; ; .

Les coefficients et , qui sont les rapports des moments polaires de résistance des sections des deuxième et troisième sections de l'arbre au moment polaire de résistance de la section de la première section, nous déterminons à travers les paramètres connus et .

Le moment d'inertie polaire peut s'écrire de deux manières :

; ,

où , sont les rayons des première et deuxième sections de la tige. De là, nous exprimons le rayon par :

Alors le moment polaire de résistance de la deuxième section

,

C'est . De même.

Nous pouvons maintenant comparer les contraintes tangentielles maximales dans les sections individuelles et noter la condition de résistance (3.13) pour la plus grande d'entre elles. À partir de cette condition, nous trouvons le moment de résistance polaire requis, puis, en utilisant la formule (3.8), les rayons de l'arbre dans chaque section.

; ; .

Pour construire un diagramme des angles de torsion, nous calculons les angles de torsion sur chaque section de la tige à l'aide de la formule (3.3). Les ordonnées du diagramme sont obtenues en sommant successivement les résultats pour chaque section, en partant d'une des extrémités de l'arbre. Le contrôle de l'exactitude de la solution est l'égalité de l'angle de torsion à l'autre extrémité de l'arbre à zéro.Le diagramme des angles de torsion est illustré à la fig. 3.6, dans.

Pour une structure à tige rigide, l'équation d'équilibre rationnel, qui comprend une force inconnue, est l'équation , où MAIS- une charnière autour de laquelle tourne une tige rigide.

Comme son nom l'indique, cette méthode est applicable aux structures dont les tiges sont en matière plastique.

Il est évident que la relation entre les déformations des tiges sera la même que dans la première partie du problème, donc l'équation de compatibilité des déformations dans la troisième partie du problème peut être écrite en utilisant l'équation obtenue précédemment, en remplaçant avec .

Lors de la résolution de ce problème, les étudiants à temps partiel effectuent uniquement le calcul de l'état plastique limite. Les élèves restants résolvent le problème n ° 6 conformément à l'exigence de l'enseignant. L'item 2, marqué d'un *, est facultatif et s'effectue à la demande de l'étudiant.

Les normes de conception des bâtiments modernes prévoient une approche plus complexe (introduction de facteurs de sécurité de charge individuels, propriétés des matériaux, conditions d'exploitation de la construction). L'étudiant s'en familiarisera lors de l'étude des cours de métal, de béton armé et d'autres structures.